VESTIBULAR DA UNICAMP a e 2 a Fase Provas de Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

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1 VESTIBULAR DA UNICAMP e Fse Provs de Mtemátic Professor Mri Antôni Gouvei QUESTÕES DA FASE Segundo o IBGE, nos próximos nos, prticipção ds gerções mis velhs n populção do Brsil umentrá O gráfico o ldo mostr um estimtiv d populção rsileir por fix etári, entre os nos de e 5 Os números presentdos no gráfico indicm populção estimd, em milhões de hitntes, no início de cd no Considere que populção vri linermente o longo de cd décd ) Com se nos vlores fornecidos no gráfico, clcule extmente em que no o número de hitntes com 6 nos ou mis irá ultrpssr o número de hitntes com té 7 nos (Atenção: não st encontrr um número proximdo prtir do gráfico É preciso mostrr s conts) ) Determine qul será, em termos percentuis, vrição d populção totl do pís entre 4 e 5 ) Fzendo corresponder o no sciss (nos pssdos), o no, sciss (nos pssdos), temos o gráfico: Considerndo p x, equção d ret que pss pelos pontos (,59) e (,45) Como ess equção pss pelo ponto (,59) então 59 p x 59 Como ess equção é verddeir pr o pr 7 7 ordendo (,45), p x 59 Considerndo p x, equção d ret que pss pelos pontos (,9) e (,4) Como ess equção pss pelo ponto (,9) então 9 p x 9 Como ess equção é verddeir pr o pr ordendo (,4), 4 9 p x 9 Pr determinr o no em que o número de hitntes com 6 nos ou mis irá ultrpssr o número de 7 hitntes com té 7 nos, deve-se resolver desiguldde: x 9 x 59 8 x 4x 8 x x, Logo de té o ponto de interseção dos gráficos ds equções p x 59 e p x 9 se pssrm,85 nos, ssim o no pedido é RESPOSTA: O no de

2 ) A populção em 4, será de (7 5 4) 9 milhões de hitntes A populção em 5, será de (6 64 5) 5 milhões de hitntes Pr determinr o percentul de diminuição d populção, fç-se: n(4) n(5) 4,86 n(4) 5 RESPOSTA: Decresceu,86% As mensliddes dos plnos de súde são estelecids por fix etári A tel o ldo fornece os vlores ds mensliddes do plno "Gerção Súde" Sendo que o slário mínimo ncionl vle, hoje, R$ 465,, respond às pergunts ixo ) O gráfico em formto de pizz o ldo mostr o comprometimento do rendimento mensl de um pesso que recee 8 slários mínimos por mês e deriu o plno de súde "Gerção Súde" Em cd fti do gráfico, estão indicdos o item referente o gsto e o ângulo correspondente, em grus Determine que fix etári pertence ess pesso ) O comprometimento do rendimento mensl de um pesso com o plno de súde "Gerção Súde" vri de cordo com o slário que el recee Suponh que x sej quntidde de slários mínimos receid menslmente por um pesso que tem 56 nos, e que C(x) sej função que fornece o comprometimento slril, em porcentgem, com o plno de súde Note que x não precis ser um número inteiro Determine expressão de C(x) pr x, e trce curv correspondente ess função no gráfico ixo Fix etári Menslidde (R$) Até 5 nos, de 6 nos 8, de 45 nos 6, de 46 6 nos 7, 6 nos ou mis 558, ) A pesso que recee 8 slários mínimos tem um rend rut de 8 R$465, R$ 7, 7 x 7 x x Armndo proporção: 86 x RESPOSTA: Ess pesso pertence fix etári de 6 nos ou mis ) Se pesso que tem 56 nos receesse pens um slário mínimo, o seu slário seri de 465x reis Pr determinr o seu comprometimento slril, em porcentgem, com o plno de súde, deve-se resolver proporção: 465x 7 465C(x)x 7% C( x) % C(x) Cujo gráfico está o ldo: 7 465x 8 x C(x)

3 QUESTÕES DA FASE Um confeitri produz dois tipos de olos de fest Cd quilogrm do olo do tipo A consome,4 kg de çúcr e, kg de frinh Por su vez, o olo do tipo B consome, kg de çúcr e, kg de frinh pr cd quilogrm produzido Sendo que, no momento, confeitri dispõe de kg de çúcr e 6 kg de frinh, respond às questões ixo ) Será que é possível produzir 7 kg de olo do tipo A e 8 kg de olo do tipo B? Justifique su respost ) Quntos quilogrms de olo do tipo A e de olo do tipo B devem ser produzidos se confeitri pretende gstr tod frinh e todo o çúcr de que dispõe? Pr produzir 7 kg de olo do tipo A e 8 kg de olo do tipo B, serão necessários (7,4 8,) 6,4 quilogrms de çúcr e (7, 8,) 6,8 quilogrms de frinh RESPOSTA: Não porque frinh não é suficiente ) Considerndo que serão produzidos x quilogrms de olo do tipo A e y quilogrms do tipo B, podemos rmr o sistem: y 5,4x,y,4x,y,4y,4x,x,y 6,4x,6x y 5 x,5 RESPOSTA: Devem ser produzidos,5 quilogrms de olo do tipo A e 5 quilogrms do tipo B Um peç esféric de mdeir mciç foi escvd, dquirindo o formto de nel, como mostr figur o ldo Oserve que, n escvção, retirou-se um cilindro de mdeir com dus tmps em formto de clot esféric Se-se que um clot esféric tem volume πh Vcl ( R h), em que h é ltur d clot e R é o rio d esfer Além disso, áre d superfície d clot esféric (excluindo porção pln d se) é dd por Acl πrh Atenção: não use um vlor proximdo pr π ) Supondo que h R/, determine o volume do nel de mdeir, em função de R ) Depois de escvd, peç de mdeir receerá um cmd de verniz, tnto n prte extern, como n intern Supondo, novmente, que h R/, determine áre sore qul o verniz será plicdo ) O volume do nel é: V ANEL V esfer V dus clots V cilindro, ou 4π R πh sej, V ANEL ( R h) ) πr Hcilindro Então é necessário determinr ltur H e o rio r do cilindro em função de R Sendo h R/, H R N figur o ldo vê-se um triângulo retângulo de hipotenus R e ctetos r e R/, então r R R R r 4

4 Então V ANEL π R R π R R ) R π R π R 4 RESPOSTA: O volume do nel é π R π R V ANEL 6 ) Como peç de mdeir receerá um cmd de verniz, tnto n prte extern, como n intern, áre sore qul o verniz será plicdo, tem por medid: S S ESFERA S CALOTA S LATERAL DO CILINDRO S 4πR² πrh πrh R R S 4π R 4ππ π R 4π R ππ πr ( ) πr RESPOSTA: A superfície do nel tem áre igul ( ) πr Um rtesão precis recortr um retângulo de couro com cm,5 cm Os dois retlhos de couro disponíveis pr otenção dess tir são mostrdos ns figurs ixo ) O retlho semicirculr pode ser usdo pr otenção d tir? Justifique ) O retlho tringulr pode ser usdo pr otenção d tir? Justifique No retlho semicirculr, considere-se o retângulo ABCD e o triângulo retângulo OAB com AD cm, AB x cm, AO 5cm e OB 6cm Pelo Teorem de Pitágors: x² 6 5 x >, 5 RESPOSTA: Como o retângulo de couro ser recortdo tem dimensões cm,5 cm então o retlho semicirculr pode ser utilizdo pr otenção d tir, pois ABCD tem dimensões cm mior que do retângulo EFGH cm e ssim su superfície é ) Os triângulos retângulos FOE e CBE são semelhntes, logo os seus ldos correspondentes são proporcionis: FO CB 6 x 8 x,5 <,5 OE BE 8 8 RESPOSTA: Como o retângulo de couro ser recortdo tem dimensões cm,5 cm o retlho tringulr não pode ser utilizdo pr otenção d tir, pois ABCD tem dimensões cm,5 cm, ssim su superfície é menor que do retângulo EFGH 4

5 4 Lur decidiu usr su iciclet nov pr suir um rmp As figurs ixo ilustrm rmp que terá que ser vencid e iciclet de Lur ) Suponh que rmp que Lur deve suir tenh ângulo de inclinção α, tl que cos(α),99 Suponh, tmém, que cd pedld fç iciclet percorrer,5 m Clcule ltur h (medid com relção o ponto de prtid) que será tingid por Lur pós dr pedlds ) O qudro d iciclet de Lur está destcdo n figur à direit Com se nos ddos d figur, e sendo que mede cm, clcule o comprimento d rr que lig o eixo d rod o eixo dos pedis ) Se cos(α),99, sen( ) (,99 ),, BC h No triângulo retângulo ABC, senα, h,5 AC 5 RESPOSTA: A ltur h (medid com relção o ponto de prtid) que será tingid por Lur é de,5m ) No triângulo BCD tem-se o ângulo CDˆ B mede 79, pois O ângulo ADˆ B mede 75, pois No triângulo ABD, α 75, pois Logo o triângulo ABD é isósceles e AD Aplicndo esse triângulo lei dos cossenos em relção o ângulo de e sendo cm (ddo d questão): 484 cos 484 ( ) 484 ( ) ( ) RESPOSTA: cm 5

6 5 O vlor presente, Vp, de um prcel de um finncimento, ser pg dqui n meses, é ddo pel fórmul ixo, em que r é o percentul mensl de juros ( r ) e p é o vlor d prcel p Vp n r ) Suponh que um mercdori sej vendid em dus prcels iguis de R$,, um ser pg à vist, e outr ser pg em dis (ou sej, mês) Clcule o vlor presente d mercdori, Vp, supondo um tx de juros de % o mês ) Imgine que outr mercdori, de preço p, sej vendid em dus prcels iguis p, sem entrd, com o primeiro pgmento em dis (ou sej, mês) e o segundo em 6 dis (ou meses) Supondo, novmente, que tx mensl de juros é igul %, determine o vlor presente d mercdori, Vp, e o percentul mínimo de desconto que loj deve dr pr que sej vntjoso, pr o cliente, comprr à vist ) Vp Vp 98,98 Vp 98, Então o vlor presente d mercdori é: R$, R$98, R$98, RESPOSTA: R$98, p ) Vlor presente d primeir prestção: Vp Vp p,99p p Vlor presente d primeir prestção: Vp Vp p,98p Vlor presente d mercdori:,99p,98p,97p p,97p, O desconto mínimo que deve ser ddo o cliente é de,5,5% p RESPOSTA: O vlor presente d mercdori é,97p e o desconto mínimo ser é de,5% 6 Um empres fricnte de prelhos que tocm músics no formto MP efetuou um levntmento ds vends dos modelos que el produz Um resumo do levntmento é presentdo n tel o ldo ) Em fce dos ótimos resultdos otidos ns vends, empres resolveu sorter um prêmio entre seus clientes Cd proprietário de um prelho d empres receerá Modelo Preço (R$) Aprelhos vendidos (milhres) A 5 78 B 8 7 C 5 5 D 6 um cupom pr cd R$, gstos n compr, não sendo possível receer um frção de cupom Supondo que cd proprietário dquiriu pens um prelho e que todos os proprietários resgtrm seus cupons, clcule o número totl de cupons e proilidde de que o prêmio sej entregue lgum pesso que tenh dquirido um prelho com preço superior R$, ) A empres pretende lnçr um novo modelo de prelho Após um pesquis de mercdo, el descoriu que o número de prelhos serem vendidos nulmente e o preço do novo modelo estão relciondos pel função n(p) 5,5p, em que n é o número de prelhos (em milhres) e p é o preço de cd prelho (em reis) Determine o vlor de p que mximiz receit rut d empres com o novo modelo, que é dd por n p 6

7 ) Como se supõe que no to d compr foi dquirido pens um prelho, e pr cd R$, gstos n compr, o proprietário do prelho recee um cupom, o totl de cupons distriuídos, em milhres, foi: O totl, em milhres, de proprietários que dquirirm prelhos com preço superior R$, foi 6 O totl de cupons receidos por eles foi de 6 8 Logo proilidde pedid é: 8 p 6 RESPOSTA: 6 mil cupons e P % Modelo Preço (R$) Aprelhos vendidos (milhres) A 5 78 B 8 7 C 5 5 D 6 TOTAL 9 6 ) O número n, de prelhos do novo modelo serem vendidos, é ddo pel relção n(p) 5,5p, depende do preço por unidde (p) e sendo R n p, então, receit rut é: R p(5,5p),5p² 5 p Est função está representd pel práol o ldo, e o vlor máximo d receit é R v é tingido no ponto (P v, R v ) Logo o vlor de p que mximiz receit rut d empres 5 5 com o novo modelo, é: p (,5),5 RESPOSTA: R$, x 7 Sejm dds s funções f(x) 8/4 e g(x) 4 x ) Represente curv y f(x) no gráfico o ldo, em que o eixo verticl fornece log (y) ) Determine os vlores de y e z que resolvem o sistem de equções f(z) g(y) f(y)/g(z) Dic: convert o sistem cim em um sistem liner equivlente 7

8 x x ) Sendo y f(x) 8/4, então, h(x) log (y) log ( 8/4 ) h(x) log ( 4x ) 4x Sendo h(), h() e h() 9, então o gráfico pedido está o ldo 8 y 4 z y z y 4z f(z) g(y) 4 ) 8 8 z z 4y f(y)/g(z) y 4 y 4 4 z 4 6z z y 4z 4y 8z 6 4y z 4y z y RESPOSTA: y e z 8 O ppgio (tmém conhecido como pip, pndorg ou rri) é um rinquedo muito comum no Brsil A figur o ldo mostr s dimensões de um ppgio simples, confecciondo com um folh de ppel que tem o formto do qudrilátero ABCD, dus vrets de mu (indicds em cinz) e um pedço de linh Um ds vrets é ret e lig os vértices A e C d folh de ppel A outr, que lig os vértices B e D, tem o formto de um rco de circunferênci e tngenci s rests AB e AD nos pontos B e D, respectivmente ) Clcule áre do qudrilátero de ppel que form o ppgio ) Clcule o comprimento d vret de mu que lig os pontos B e D ) Clculndo inicilmente o vlor de x n figur o ldo: x 5sen 5cm S ABCD S BAD S BCD S ABCD S ABCD RESPOSTA: A re do qudrilátero de ppel é ( ) 65 cm² 8

9 9 ) Sendo o rco BD tngente os segmentos AD e AB, então estes são, respectivment, perpendiculres os rios OD e BO Logo, o qudrilátero ABOD é um qudrdo ccuj digonl mede 5cm Assim: OD 5 OD 5 5 cm O comprimento do rco BD é: π π π l cm RESPOSTA: O comprimento d vret de mu que lig os pontos B e D é 5 π cm 9 Considere mtriz A, cujos coeficientes são números reis ) Suponh que extmente seis elementos dess mtriz são iguis zero Supondo tmém que não há nenhum informção dicionl sore A, clcule proilidde de que o determinnte dess mtriz não sej nulo ) Suponh, gor, que ij pr todo elemento em que j > i, e que ij i j pr os elementos em que j i Determine mtriz A, nesse cso, e clcule su invers, A ) Existem C C 9, 9,6 modos de se rmr mtriz A com seis elementos iguis zero Ess mtriz somente terá determinnte diferente de zero, qundo os três elementos não nulos dess mtriz estiverem formndo digonl principl, porque estrão em linhs diferentes Existem A, 6 modos diferentes de distriuir esse três elementos n digonl principl Logo proilidde de que o determinnte dess mtriz não sej nulo é: p RESPOSTA: 4 ) De cordo com s condições do item : A Considerndo i h g f e d c A Sendo I A A : i f c h e g d f c e d c i h g f e d c Então, i f c f c c, h e e, g d d i f c, h e, g d i f c, h e, g d d

10 RESPOSTA: A e A Suponh que f : IR IR sej um função ímpr (isto é, f( x) f(x)) e periódic, com período (isto é, f(x) f(x)) O gráfico d função no intervlo [, 5] é presentdo ixo ) Complete o gráfico, mostrndo função no intervlo [-, ], e clcule o vlor de f(99) ) Dds s funções g(y) y² 4y e h(x) g(f(x)), clcule h() e determine expressão de h(x) pr,5 x 5 ) Sendo f(x) um função ímpr (isto é, f( x) f(x)), então imgem correspondente o intervlo [ 5, ] é simétric à imgem do intervlo [, 5] e periódic, com período (isto é, f(x) f(x)) Sendo f(x) um função ímpr e periódic, com período (isto é, f(x) f(x)), imgem do intervlo de [5, ] é igul à imgem do intervlo de [ 5, ], e do intervlo de [, 5] é do intervlo [, ] RESPOSTA: O gráfico o ldo é d função f(x) no intervlo [, ] Sendo f(x) periódic de período, f(99) f(89) f(79) f(9) Se 9 [7,5; ], f(9) [ 5, ] Ou sej o ponto (9, f(9)) pertence o segmento AB contido n ret y x, determind pelos pontos (7,5; 5) e (, ), ,5 y x Nest equção sustituindo x por 9, determinmos f(9) f(99): y 8 RESPOSTA: f(99) ) Se x pertence o intervlo,5 x 5, então equção de f(x) é ret y x que pss pelos pontos A e B d figur o ldo:

11 ,5 5 5,5 y x f(x) x 5 Sendo h(x) g(f(x)), então h(x) ( x )² 4( x ) h(x) 4x² x 6 e h() RESPOSTA: h(x) 4x² x 6 e h(), pr,5 x 5 No desenho ixo, ret y x ( > ) e ret que pss por B e C são perpendiculres, interceptndo-se em A Supondo que B é o ponto (, ), resolv s questões ixo ) Determine s coordends do ponto C em função de ) Supondo, gor, que, determine s coordends do ponto A e equção d circunferênci com centro em A e tngente o eixo x Sej y mx n equção d ret que pss pelos pontos C e B (, ) Usndo s coordends de B: m n n m y mx m Como s rets y mx m e y x são perpendiculres, o produto de seus coeficientes ngulres é igul, donde: m e m RESPOSTA: C, y x C, ) Supondo, temos s equções formndo o sistem: y x x y x 9x x 5 y x y x x y 5 A, 5 5 A equção d circunferênci com centro em A,, tngente o eixo x e rio é: x y 5x 5y x y RESPOSTA: A, e 5x 5y x y 5 5 Dois sites de relcionmento desejm umentr o número de integrntes usndo estrtégis gressivs de propgnd O site A, que tem 5 prticipntes tulmente, esper conseguir novos integrntes em um período de um semn e dorr o número de novos prticipntes cd semn susequente Assim, entrrão internuts novos n primeir semn, n segund, 4 n terceir, e ssim por dinte Por su vez, o site B, que já tem memros, credit que conseguirá mis ssocidos n primeir

12 semn e que, cd semn susequente, umentrá o número de internuts novos em pessos Ou sej, novos memros entrrão no site B n primeir semn, entrrão n segund, n terceir, etc ) Quntos memros novos o site A esper trir dqui 6 semns? Quntos ssocidos o site A esper ter dqui 6 semns? ) Em qunts semns o site B esper chegr à mrc dos memros? ) NOVOS MEMBROS site A semn semn semn 4 semn 5 semn 6 semn TOTAL 6 RESPOSTA: O site A esper trir dqui 6 semns novos sócios, e ter dqui 6 semns um totl de (5 6) 645 sócios ) NOVOS MEMBROS site B semn semn semn n semn (n ) n TOTAL ( n) n 5n 5n 78 n n 56 As rízes d equção n ± 64 ± 5 n 56, são n n' e n'' Logo solução d inequção n n 56 é: n ou n RESPOSTA: Em semns