Computação Gráfica 2D

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1 Universidade Federal de anta Maria Departamento de Eletrônica e Computação rof. Cesar adeu ozzer Disciplina: Computação Gráfica 9/6/ Computação Gráfica D ransformações D Afins Uma transformação afim mantém o paralelismo de retas. ão eemplos a translação, escala, rotação, refleão e cisalhamento. A projeção em perspectiva não é uma transformação afim. O mesmo vale para transformações de tapering, twist e bend [4]. ransformações afins envolvendo rotações, translações e refleões preservam ângulos e comprimentos, da mesma forma como linhas paralelas. ara estas três transformações, comprimentos e ângulos entre duas linhas permanecem o mesmo após a transformação []. Utiliza-se matrizes para representar transformações. er seção de Matrizes. ranslação Definida pela soma de fatores de translação t e t as coordenadas e do ponto. É uma soma de matrizes Escala Definida pela multiplicação de fatores de escala e as coordenadas do ponto. É representada por uma multiplicação de matrizes. * *

2 e > aumenta o tamanho do objeto < diminui o tamanho do objeto mantém o tamanho n escala uniforme OB: a escala pode mudar a posição do objeto. Depende do referencial. Refleão - Cisalhamento ransformação que distorce o formato do objeto. Aplica-se um deslocamento aos valores das coordenadas ou do objeto proporcional ao valor das outras coordenadas de cada ponto transformado. * Rotação Rotacionar um vetor significa mudar sua direção segundo algum eio de rotação. ara um vetor bidimensional, ou seja, paralelo ao plano, significa reposicioná-lo sobre um caminho circular, como ocorre com o movimento dos ponteiros de um relógio. O eio de rotação é um vetor perpendicular ao plano e passa pelo centro de rotação. A rotação é especificada por um ângulo (Coordenadas olares) alores positivos de geram uma rotação no sentido anti-horário. Neste eemplo, considera-se que o centro de rotação é a origem do sistema de coordenadas.

3 (, ) r φ r (, ) Rotação de um vetor da posição (,) para a posição (, ) segundo um ângulo relativo à origem do sistema de coordenadas. Em uma rotação, a norma r do vetor permanece inalterada. Usando identidades trigonométricas, pode-se epressar as coordenadas transformadas em termo dos ângulos φ e. r ( φ ) r φ r φ r ( φ ) r φ r φ As coordenadas iniciais do vetor em coordenadas polares são ubstituindo na epressão anterior temos Usando-se uma notação matricial, tem-se etor erpendicular r φ r φ R Dado um vetor, para encontrar um vetor Q, perpendicular a (que forma um ângulo de 9º em sentido anti-horário), usa-se a seguinte fórmula: Q Esta fórmula pode ser demonstrada utilizando-se a notação matricial genérica para rotações sobre um eio: (9) (9) Q (9) (9) Q [ ] [ ] Deve-se observar que eistem dois vetores perpendiculares em um espaço D. ara um vetor em três dimensões, a determinação de um vetor perpendicular é mais vaga. odem eistir infinitos vetores 3

4 4 perpendiculares (qualquer vetor no plano perpendicular ao vetor ). Em um plano 3D eistem vetores perpendiculares. Coordenadas Homogêneas odas as transformações apresentadas, eceto a translação são representadas como multiplicações de matrizes. Como será visto na seqüência, é comum fazer a combinações de várias transformações em uma única matriz. Como a translação está presente em quase todas as transformações, é fundamental que ela possa ser representada por meio de multiplicação de matrizes. ara isso introduziu-se o conceito de coordenadas homogêneas. Consiste em adicionar mais uma dimensão à matriz. Cada ponto D é representado por (,,h). Caso o valor de h não seja, deve-se dividir cada componente do vetor por h. Assim, o ponto (, 3, 6) e (4, 6, ) representam a mesma informação ( ) h h h Este processo é chamado de homogenização. Neste caso, /h e /h são as coordenadas cartesianas do ponto homogêneo. A terceira coordenada do ponto pode ser interpretada geometricamente como um plano h no R 3, como mostrado na figura. O ponto (/h, /h) é a projeção do ponto (,, h) no plano h. Desta forma, qualquer múltiplo do ponto homogêneo representa o mesmo ponto. Fazendo uso de coordenadas homogêneas, a translação é definida como Escala: lano h h (,, h) /h /h

5 5 Rotação: Matrizes em ransformações Geométricas Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A é ortogonal se MM I. ortanto, se M é ortogonal então M - M Uma outra conseqüência é que se M é ortogonal então det M é igual a ou -. ropriedades: - e A e B são ortogonais então C AB também é ortogonal. - e A é ortogonal então A - também é ortogonal. Uma matriz é dita é dita ortonormal se o comprimento de cada linha ou coluna, tomados como vetores, tem comprimento (normalizado). Esses vetores também são mutuamente ortogonais (formam um ângulo de 9 o cada (perpendiculares) ver definição de produto interno/escalar). eorema: e M é uma matriz ortogonal, então M preserva comprimentos e ângulos. [] Uma vez que matrizes ortonormais preservam ângulos e comprimentos, elas preservam a estrutura geral do sistema de coordenadas. Deste modo, podem apenas representar combinações de rotações e refleões. Matrizes de translação não são ortonormais. R [ ] 45, ) (.77) ( [ ] [ ]

6 6 R R R R Combinações de ransformações Quando se deseja aplicar várias transformações a vários pontos, ao invés aplicar várias transformações a cada ponto, pode-se combinar todas as transformações em uma única matriz e então aplicar esta matriz resultante aos pontos do objeto, reduzindo-se assim o custo computacional. Este processo é chamado de concatenação de matrizes, e é eecutado multiplicando-se as matrizes que representam cada transformação. OB: a multiplicação de matrizes não é comutativa, porém é associativa. AB BA (não comutativa) A(BC) (AB)C (associativa) (FG) G F OB: Deve-se observar a terceira propriedade: (FG) G F. Ou seja, a forma como a multiplicação é aplicada indica na ordem que os elementos devem estar dispostos. A seguinte matriz representa a concatenação de uma translação seguida de uma rotação. A rotação deve vir antes na multiplicação. R (Concatenação Correta) R (errado) [ ] [ ]

7 Observa-se que a transformação R R e que (FG) G F. Considerando-se como, R como R e como, temos: R [ ] [ ] No seguinte eemplo deseja-se aplicar uma rotação sobre o eio do retângulo, ou seja, uma rotação no sistema de coordenadas local do objeto. ara isso, deve-se fazer uma mudança de sistema, ou seja, levar a origem (pivô) do sistema de coordenadas do objeto para a origem do sistema de coordenadas do mundo, aplicar a rotação, e transladar o objeto para seu sistema de coordenadas. istema de coordenadas local Neste tipo de aplicação, é necessário fazer transformações diretas e inversas, ou seja, deve-se aplicar uma matriz de transformação e em seguida a sua inversa -. O cálculo de matrizes inversas é compleo, porém é fácil determinar matrizes inversas de transformações geométricas. No caso da rotação, por ser uma matriz ortonormal, sua inversa de R() é a transposta (o mesmo vale para matrizes de refleão), o que é equivalente a R(-). No caso de uma matriz de translação [ ], - é dada por - [- - ]. ara uma matriz de escala [ ], - [/ / ] Assim, para o eemplo anterior temos a seguinte matriz M que representa a concatenação de matrizes de transformação: M R - 7

8 M onde e representam as coordenadas do sistema de coordenadas do objeto em relação ao sistema de coordenadas do mundo. No caso de rotações sucessivas em um mesmo eio R( )R( ) or serem aditivas, a composição das duas rotações pode ser dada por Outros eemplos: Escala sem alterar a posição do objeto Rotação em um eio arbitrário Rotações consecutivas no mesmo eio Rotações consecutivas em diferentes eios R( ) Implementação de ransformações Como ilustrado no eemplo anterior, em muitas situações é necessário aplicar (concatenar) várias transformações, incluindo rotação, escala e translações. Neste caso, para criar a matriz de rotação final M deve-se multiplicar várias matrizes. Antes de partir para uma implementação direta, deve-se observar como a AI OpenGL faz para trabalhar com matrizes de transformação. Ele define uma única matriz global, que é atualizada a cada chamada de comandos glrotate(), glranslate(), glcale(). A matriz corrente é então multiplicada pela nova matriz correspondente a transformação chamada. O seguinte código em C ilustra como criar uma classe para gerenciar a matriz de transformação. Class Matri { float m[3][3]; //em coordenadas homogêneas public: Matri(); void operator *(Matri m); //multiplica por outra matriz void loadidentit(); //carrega matriz identidade void rotate(float ang); //concatena matriz de rotação void translate(float d, float d); //concatena matriz de translação void scale(float s, float s); //concatena matriz de escala ector operator*(ector v); //multiplica um ponto v pela matriz void push(); //empilha matriz (duplica o valor do topo) void pop(); //desempilha matriz (remove o topo da pilha) } Na prática, ao invés de ter uma única matriz, o OpenGL define uma pilha de matrizes de transformação, cuja posição topo pode ser modificada pelas funções glushmatri() e glopmatri(). Esse recurso é etremamente útil quando se tem em uma mesma cena um objeto que sofre movimentação relativa a outro objeto. Como eemplo, pode-se ter um carro que está em cima de um navio. Quando o navio se move, o veículo sofre a mesma transformação, porém nada impende que o veículo ande sobre o navio já em movimento. 8

9 Outros usos das transformações de Escala e ranslação Muitas vezes é necessário fazer a transformação de dados para um correto processamento ou eibição em um dispositivo. Eemplo : Considere por eemplo que seja necessário armazenar vetores de dados alizados em vetores não alizados. Considerando um tipo char, em um intervalo alizado temos valores entre [-8, 7]. Aplicando-se uma translação nos valores de 8, temos os valores no intervalo [, 55]. Adicionalmente pode-se aplicar uma escala nos valores, por eemplo, de.5, para transformar os valores no intervalo [, 8]. O processo inverso pode ser usado para levar os valores ao intervalo original. Eemplo : uponha que se deseje desenhar na tela um círculo paramétrico (em coordenadas esféricas). As funções seno e seno geram valores entre [-. ]. Na tela, tem-se, por eemplo, valores entre [, 4]. ara se desenhar um círculo em tela cheia, deve-se fazer as seguintes transformações: - translação em para levar o intervalo entre [, ] - escala em 5 para levar o intervalo entre [, 4] rimitivas Gráficas D Formas de Representação de primitivas: Analítica (função): o Gasta menos espaço o Maior precisão (resolução) o Facilidade para calculo de pontos intermediários o Representação de Figuras vetoriais. o E: M Word. Discreta (pontos/piels - Amostragem) o Usado para fazer a representação gráfica em dispositivos, como monitores ou impressoras. o Representações poligonais. o E: Modelos de personagens em jogos 3D, imagens BM, arquivo de impressão, figuras na tela do computador Representação discreta e analítica de um círculo Erro de reconstrução Discretização amostragem Analítica Discreta Interpolação Reconstrução 9

10 Representação analítica:. aramétrica: cada coordenada de um ponto é representado como uma função de um único parâmetro.. Não aramétrica a. Eplícita m b para cada, obtém-se apenas valor de. E: retas, senoides, etc. b. Implícita r para cada, obtém-se valores para. ode ser usado para representar círculos. Linha Usos Geralmente disponibilizado em AIs (Java, OpenGL, Direct, etc) Representação paramétrica ou por função Representação por função Eplícita m b m inclinação da reta b interseção com o eio. m Λ b m mλ, Λ Λ m (, ) (, ) Algoritmo DDA (Digital Differiential Analser) k m, < < k, m > k m k m Algoritmo DDA d - d - if ( d > d ) steps d else steps d inc d/steps inc d/steps piel(, ) for(k; k< steps; k) { inc; inc piel(, ) }

11 c Representação aramétrica (t) (t) (t) ((t), (t)) etor direção ( t) t( ), t (Uma multiplicação) ( t) t t ( t) ( t) t (Duas multiplicações) ou ( t) t, t (representação de um raio) se t, (t) se t, (t) se t.5, (t).5.5 Independente da representação, deve-se observar que quando a linha é representada graficamente por um conjunto de pontos amostrados. Dependendo da resolução do dispositivo, pode ser visível a formação de bordas dentadas (Alias). Uma solução para evitar este problema, espacialmente em monitores onde a resolução é menor que DI, deve-se utilizar algum algoritmo de anti-aliag. Na seguinte figura é ilustrado como um algoritmo de anti-aliag pode ser usado para gerar linhas que se pareçam mais suaves. Faz uso de piels com intensidades diferentes, dependendo de sua área de projeção sobre a linha. iels que são cobertos pela linha tem cor mais escura e piels que são parcialmente cobertos pela linha tem cor mais clara Círculo Função implícita do círculo r r ± r Não centrado na origem c -r c r

12 ( c ) ( c ) r, ( c r) ( c ) r ( ) ( c c ( c ) ( c r ) r) c ± r ( c ) Equação paramétrica do círculo c r (variação constante entre pontos na curva) c r Anti-aliag para círculos: O processo é o mesmo utilizado para retas. As seguintes figuras ilustram curvas geradas com dois tipos de algoritmos de anti-aliag (imagens de lentes de câmeras - As figuras da direita são ampliações das figuras da esquerda. ode-se claramente notar a diferença de qualidade das imagens. Deve-se observar que se estas imagens fossem geradas sem algoritmos de anti-aliag, o resultado seria bem pior. Bom algoritmo de anti-aliag Algoritmo ruim de anti-aliag Assim como primitivas, algoritmos de anti-aliag também são muito utilizados para geração de caracteres. A seguinte figura ilustra a geração de caracteres gerados pelo editor Word. ode-se observar a adição de piels coloridos nas bordas dos caracteres.

13 Elipse a (variação não constante entre pontos na curva) [4] pg. b uperquádricas uperelípse r s r s paramétrica r r s s s.5 s s.5 s s3 oligonal etor ordenado de coordenadas que definem a forma do objeto. ode ser usado para representar qualquer figura. Apresenta limitações para desenho de curvas. reenchimento de olígonos can-line mínimo Faz o preenchimento da cena de linha em linha sentido de deslocamento da scan-line scan-line máimo 3

14 Faz uso da inclinação de cada reta para otimizar o processo. z-buffer Usado pelo OpenGL para preenchimento de polígonos em 3D. Faz o preenchimento da cena de polígono em polígono. Flood/Boundar fill Contorno boundar fill Cor de fundo flood fill 4-connected 8-connected void boundarfill4(int, int, int fill, int boundar) { int cur getiel(, ) if( cur!boundar && curr!fill) { setiel(,, fill) boundarfill4(,, fill, boundar) boundarfill4(-,, fill, boundar) boundarfill4(,, fill, boundar) boundarfill4(, -, fill, boundar) } } void floodfill4(int, int, int fill, int oldcolor) { if(getiel(, ) oldcolor) { setiel(,, fill) floodfill4(,, fill, oldcolor) floodfill4(-,, fill, oldcolor) floodfill4(,, fill, oldcolor) floodfill4(, -, fill, oldcolor) } } 3 isualização Bidimensional Window área selecionada do sistema de coordenadas do mundo para ser eibida no displa (área que será vista). Deve-se observar que nem toda área de um ambiente pode ser eibida em uma única window. Esta área é determinada pela configuração e posicionamento da câmera tética. iewport área do displa (monitor) na qual a window é mapeada. Corresponde a posição na tela onde mostrar. E: janela gráfica de uma aplicação gráfica. iewing transformation (ou windowing transformation) mapeamento de uma parte da cena em coordenadas do mundo para coordenadas do dispositivo. Deve-se observar que as coordenadas do mundo podem estar no intervalo entre [, ] e que as coordenadas da viewport sempre estão em resolução de tela. A principal transformação é a escala, que pode não ser uniforme. assos: Definir a área da window 4

15 Recortar o que está fora (clipping) Ajustar posição e escala dentro da viewport (mapeamento) window viewport mundo dispositivo Algoritmos de Clipping Linhas (Cohen-utherland) olígonos (Weiler-Atherton) curvas strings Mapeamento na tela istema cartesiano define origem no canto inferior esquerdo istema de tela define a origem no canto superior esquerdo o E: OpenGL/Glut, Java, etc. o cartesiano (,) (,) window viewport h (,) tela cartesiano h tela cartesiano Referências: [] Lengel, E.. Mathematics for 3D Game rogramming and Computer Graphics. Charles River Media,. [] Hearn, D., Baker, M.. Computer Graphics, C ersion ( nd Edition), rentice Hall, New Jerse, 997 [3] Fole, J.D., van Dam, A., Feiner,.K. and Hughes, J.F. Computer Graphics: rinciples and ractice in C ( nd Edition), Addison-Wesle ub. Co., Reading, MA, 995. [4] Watt, A. 3D Computer Graphics, Addison Wesle; 3 edition,999. [5] Rogers, D., Adams, J. Mathematical Elements for Computer Graphics, nd Edition. Mc Graw Hill, 99. 5

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