Capítulo 10 - Somatórios

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1 Capítulo 10 - Somatórios Os somatórios, que se ecotram aturalmete associados às relações de recorrêcia, são bastate importates para a resolução de problemas de matemática do discreto (aálise de eficiêcia de algoritmos, etc.). Justifica-se, assim, que os debrucemos um pouco sobre os somatórios, recordado algus factos elemetares sobre estes e algumas das suas propriedades esseciais, bem como algus dos somatórios mais importates. Tal é objecto deste capítulo. Secção 1: Somatórios e relações de recorrêcia. Como observámos o capítulo aterior (e vimos exemplos), a aplicação do método iterativo a resolução de relações de recorrêcia coduz-os em geral a somatórios. Por outro lado, associado a um somatório, como S = temos sempre uma relação de recorrêcia: S 1 = a 1 S = S -1 + a, para >1 pelo que também podemos usar técicas de resolução de relações de recorrêcia para calcular somatórios 1. Os somatórios aparecem assim aturalmete associados às relações de recorrêcia. Deste modo, surge também atural que, a sequêcia do capítulo aterior, efectuemos uma breve revisão dos somatórios (que costituem um istrumeto idispesável a resolução de algus problemas de matemática do discreto). Começaremos por recordar, a próxima secção, algus factos elemetares sobre os somatórios e algumas das suas propriedades esseciais. Secção : Somatórios: otação e propriedades geéricas esseciais. Notação do somatório Supoha-se que a é uma sucessão de úmeros. Etão, podemos recorrer à letra maiíuscula grega "sigma" (símbolo do somatório) para desigar, de forma codesada, a soma de um úmero especificado de termos cosecutivos da sucessão. Por exemplo, a soma dos primeiros termos de uma sucessão 1 a é represetada como se segue: 1 No etato, o método, referido a secção 4 do último capítulo, para a resolução de relações de recorrêcia lieares, de coeficietes costates, ão homogéeas, ão servirá em pricípio, pois esta relação de recorrêcia é da forma S = c 1 S -1 +a, com c 1 =1 (veja-se a ota de rodapé 9 do último capítulo). Mais geralmete, a otação do somatório a seguir pode cosiderar-se que a é uma sucessão de elemetos de um cojuto E qualquer, sobre o qual esteja defiida uma operação de adição, com as propriedades usuais. Mas, os casos que iremos cosiderar, a é sempre uma sucessão de úmeros, iteiros ou reais. Esta otação do somatório foi itroduzida em 180 por Joseph Fourier. 61

2 = a a (para 4 1) otação que represeta "a soma dos termos, com i a percorrer, de um em um, todos os valores etre o ídice iferior (ou limite iferior) 1 e o ídice superior (ou limite superior) ". A variável i que aparece o ídice iferior do somatório está "muda", podedo ser substituída por qualquer outra variável 5. Saliete-se que o ídice iferior do somatório ão tem de ser 1. Aliás, se a for uma famílidexada pelo cojuto dos iteiros 6, podemos mesmo cosiderar que os ídices (iferior e superior) do somatório podem ser quaisquer iteiros, e ão apeas iteiros positivos, tedo-se: = a k + a k a, para k (e k e iteiros) assumido-se, aturalmete, que se = k, etão: i= = a A otação do somatório pode geeralizar-se permitido que o ídice do termo "somado" ão teha de ser a variável do somatório, mas possa ser uma fução desta. Mais precisamete, sedo ϕ uma aplicação do cojuto dos ídices de a em si próprio, etão: a ϕ(i) = a ϕ(k) + a ϕ(k +1) a ϕ(), para k somatório que pode ser descrito a forma atrás, como sedo igual a b i com b a família defiida, sobre o mesmo cojuto de ídices que a família a, como se segue: b i = a ϕ(i). Por exemplo, sedo ϕ é a aplicação que aplica cadteiro o seu dobro, tem-se: 4 = a + a 4 + a 6 + a 8 e, se ϕ for a aplicação costatemete igual a 1, tem-se: 4 a ϕ(i) = a 1 + a 1 + a 1 + a 1 = 4a 1 Como a ordem por que descrevemos as parcelas uma soma é irrelevate, podemos aida cosiderar outras geeralizações, ão problemáticas, da otação do somatório. Nomeadamete, podemos (omitir o ídice superior e) descrever o ídice iferior a propriedade que caracteriza os valores que se cosidera que a 4 Assume-se em geral que = 0, se =0. 5 Que ão ocorra a expressão que deota. 6 Ou uma família idexada apeas pelo cojuto dos iteiros maiores ou iguais que um certo iteiro q (i.e. uma sucessão q ). com q meor ou igual que o ídice iferior do somatório. 6

3 "variável do somatório" deverá percorrer (assumido-se sempre que a "variável do somatório" é uma variável iteira). Assim, por exemplo, o somatório, com k pode ser represetado a forma k i Mais geralmete: (ou, se se quiser salietar qual a variável do somatório 7 : P(i) ) i:p(i) desigará a soma dos termos da sucessão a cujos ídices satisfazem a propriedade P, assumido-se que estes são em úmero fiito 8. Caso ehum iteiro i satisfaça a propriedade P, assume-se que a soma aterior é zero (o elemeto eutro para a adição). Mais algus exemplos: = a 0 + a + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 i é par 0 i 10 = a 1 + a + a 5 i {1,,5} = 0 i Por outro lado, como podemos represetar qualquer propriedade P por um cojuto (o cojuto {x:p(x)} dos elemetos que satisfazem essa propriedade), e vice-versa (qualquer cojuto pode ser descrito pela propriedade de lhe pertecer), podemos dizer que os somatórios com que iremos trabalhar podem ser represetados a forma geérica i K com K um qualquer cojuto fiito de iteiros. De qualquer forma, o que se segue iremos em geral cocetrar-os em somatórios da forma, com k, Z e k Propriedades gerais dos somatórios No que se segue (ao logo desta secção) K desiga um qualquer cojuto fiito de iteiros e, salvo meção em cotrário, e k desigam iteiros tais que k. 7 O que em geral ão é ecessário, embora possa haver casos em que tal se justifique, omeadamete se, quer a codição P(i), quer a expressão do termo geral, ocorrerem outras variáveis (fucioado como parâmetros). 8 Caso cotrário já ão estaremos em preseça propriamete de um somatório, mas sim de uma somfiita, dita uma série, cuja abordagem sai fora desta breve revisão 6

4 Lei distributiva: Tem-se ca+cb = c(a+b). Geeralizado obtém-se (com c uma qualquer expressão que ão depeda de i): c = c e c = c i K i K Leis associativas 9 : 1) Sedo K 1 e K dois cojutos fiitos de iteiros, tem-se: ) + i K 1 i K Casos particulares = i K 1 K i K 1 U = + i K 1 I K U j i K 1 K +, se K 1 K = i K = + b i i= j +1 (com k j<) ( + b i ) = a 1 + b a + b = a a + b b = + b i Mais geralmete: ( + b i ) = + b i i K i K i K Lei comutativa : Sedo ϕ uma qualquer permutação do cojuto dos iteitos, tem-se: = a ϕ(i) i K ϕ(i) K Casos particulares de iteresse (com k, Z e k ): Cosiderado a trasformação ϕ(i) = i + c (com c uma costate iteira), obtém-se: = = k i c i.e. = +c ( = c a ϕ(i) = k ϕ(i) ϕ 1 () a ϕ(i) ) i=ϕ 1 (k) = +c k i+c = +c k c i c c +c c E cosiderado a trasformação ϕ(i) = c - i (com c uma costate iteira), obtém-se: 9 Apesar de desigarmos as igualdades a seguir geericamete de leis associativas, para a obteção de algumas destas propriedades é relevate ão só a propriedade associativa da adição, mas também a propriedade comutativa. 64

5 c k = a c i ( = i= c ϕ 1 (k) a ϕ(i) i=ϕ 1 () ) A lei distributiva permite-os mover costates para detro e fora de um somatório. As leis associativas permitem-os partir um somatório em dois, ou combiar dois somatórios um só. E a lei comutativa diz-os que podemos reordear os termos a somar por qualquer ordem. Saliete-se que a lei comutativa podemos efraquecer um pouco a codição de ϕ ser uma permutação do cojuto dos iteiros (i.e. de ϕ: Z Z ser uma bijecção), e exigir apeas que para cada j pertecete a K exista um e um só iteiro i tal que ϕ(i)=j. Mudaças de variável Por outro lado, podemos reformular a lei comutativa de um modo que traduz melhor a forma como ormalmete aplicamos a (chamada) técica da mudaça de variável. De facto, sedo ϕ: Z Z uma bijecção, e atededo a que = a ϕ(i) a ϕ(i) ϕ(i) K i ϕ 1 [K ] podemos reformular a lei comutativa como se segue = a ϕ(i), isto é, i K i ϕ 1 [K ] i ϕ 1 [K ] a ϕ(i) = i K Assim, sedo B um qualquer cojuto fiito de iteiros, e desigado por K o cojuto ϕ[b], chega-se a i B a ϕ(i) = i ϕ[b ] E, como o ome que se usa para a variável do somatório é irrelevate, podemos escrever i B a ϕ(i) = a j j ϕ[b ] salietado assim que se pode passar do somatório da esquerda para o da direita, fazedo a mudaça de variável j = ϕ(i). Por outro lado, pelo que se observou acima, ão é ecessário exigir que se teha uma bijecção ϕ: Z Z, mas apeas que ϕ sejjectiva o cojuto B (i.e., mais rigorosamete, que a restrição de ϕ a B seja ijectiva). Técica da mudaça de variável : Seja B um cojuto fiito de iteiros e ϕ: Z Z bijectiva (ou, pelo meos, ijectiva em B). Etão: i B a ϕ(i) = a j j ϕ[b ] mudaça de variável j = ϕ(i) Como casos particulares de iteresse refira-se: 65

6 Mudaças de variável típicas 10 (motivadas por queremos alterar o termo somado ) (Com k, Z e k, e com c uma costate iteira): Cosiderado a trasformação ϕ(i) = i + c, obtém-se: ϕ() a ϕ(i) = a j j=ϕ(k) +c +c = a j j= k +c, isto é, mudaça de variável j = i + c Cosiderado a trasformação ϕ(i) = c - i, obtém-se: ϕ(k) c k a ϕ(i) = a j, isto é, a c i = a j mudaça de variável j = c - i j=ϕ() j= c E, cosiderado aida a situação em que a fução de i deotada por é o próprio i (isto é, o caso em que a família a é a fução idetidade o seu cojuto de ídices), os casos ateriores reduzem-se aos casos (em que talvez esta técica de mudaça de variável seja mais aplicada): +c (i + c) = j j= k +c mudaça de variável j = i + c c k (c i) = j j= c mudaça de variável j = c - i Os casos ateriores referem-se a situações em que optamos (ou podemos querer optar) por efectuar uma mudaça de variável por o somado se ecotrar expresso à custa de uma trasformação ϕ. Uma outra situação típica em que podemos querer optar por efectuar uma mudaça de varável ocorre quado um dos ídices do somatório é descrito por uma expressão da forma k+c, com c uma costate iteira (ormalmete quado optamos, estes casos, por uma mudaça de variável, o outro ídice também é descrito por uma expressão do mesmo tipo, como +c, mas tal ão é obrigatório). Supoha-se por exemplo, que se tem um somatório da forma +c e se quer trasformar este somatório, um somatório (equivalete) da forma??? a??? j = k Iformalmete, procede-se assim: Quado i = k+c, deve ter-se j=k, logo j deve estar relacioado com i como se segue: j=i-c. Tal coduz às seguites outras trasformações do somatório: ídice superior: i = j = i-c = -c ídice do termo somado: j = i-c i = j+c 10 O ome escolhido para a ova variável é irrelevate, desde que ão ocorra a expressão ϕ(i). 66

7 Outras mudaças de var iável típicas (motivadas por queremos alterar os ídices/limites do somatório) (Com k, Z e k, e c uma costate iteira): c a j +c +c j= k = mudaça de variável j = i c (está implícito que k+c ) +c = +c = +c a j +c j= k c mudaça de variável j = i - c (está implícito que k +c) j= k a j +c mudaça de variável j = i - c Saliete-se que as igualdades ateriores se podem obter da expressão geral dada atrás para a técica da mudaça de variável. A título basicamete ilustrativo, vejamos como tal pode ser obtido (por exemplo) para a primeirgualdade: Seja ϕ(i)=i-c (pelo que ϕ -1 (i)= i+c), e seja b i a sucessão dada por b i = a ϕ-1(i). Etão = b ϕ(i) e tem-se: +c = ϕ() b ϕ(i) +c = b j = b j = j=ϕ(k +c) j= k (como pretedíamos obter). = ( mudaça de variável j = ϕ(i)) c c a ϕ 1 ( j) j= k = c a j +c j= k Secção : Cálculo 11 (fórmulas explícitas) de algus somatórios. As propriedades e técicas ateriores permitem-os maipular somatórios, podedo ser usadas para trasformar um somatório outro somatório mais simples, ou de que já se cohece o resultado, como ilustraremos à frete. Mas, até parsso, covém dispor de fórmulas explícitas para vários tipos de somatórios e, omeadamete, para os que ocorrem mais frequetemete. Sobre este aspecto os debruçaremos a seguir. Até que poto é simples ecotrar uma fórmula explícita para um somatório? A resposta é que depede: às vezes é simples, outras vezes ão. E (como se refere o livro já citado de Graham, Kuth e Patashik texto [7]) a primeira coisa que se pode fazer quado os deparamos com um somatório que os parece que (provavelmete) já deve ter sido 11 O sigificado de calcular (ou resolver) um somatório é etedido por todos e deixado aqui implícito. Neste texto, em vez de calcular um somatório também dizemos, com o mesmo setido, ecotrar uma fórmula explícita para o somatório. A ideia é trasformar um somatório uma expressão equivalete que possa ser facilmete calculada computacioalmete através das operações usuais, sem ecessidade de recursão em de utilização de ciclos (i.e., de comados tipo "While"). A tais formas chama-se por vezes de closed forms (formas fechadas). Podemos descrever iformalmete uma closed form como uma expressão que pode ser calculada aplicado um úmero fixo de operações familiares aos argumetos (o facto de o úmero de operações a aplicar ser fixo implica que tal forma ão pode evolver "..."; assim p.ex. a a ão é uma closed form). 67

8 estudado é ir a um livro de tabelas e fórmulas matemáticas, como William H. Beyer (ed.), CRC Stadard Mathematical Tables ad Formulae, 9ª ed., CRC Press, Boca Rato, Florida, 1991, e ver se lá ocorre o somatório procurado. Refira-se, a propósito, que a pricipal referêcia para fórmulas matemáticas é o livro M. Abramowitz e I.A. Stegu (eds.), Hadbook of Mathematical Fuctios, Dover, Uma outra alterativa é recorrer a um sistema computacioal que suporte computação simbólica, como p.ex. o Mathematica, e procurar avaliar esse sistema o somatório em causa. Por exemplo, se o Mathematica madarmos avaliar a expressão obtemos i 1 (1+ )(1+ ) 6 (ou Sum[i^,{i,1,}]) Covém, o etato, cohecer o resultado dos somatórios mais importates, para ão termos de estar sempre a recorrer a tais ferrametas auxiliares (livros/tabelas ou ferrametas computacioais), que podemos até ão ter à mão o mometo em que precisamos de calcular um somatório simples (para além de que o somatório em que estamos iteressados pode ser uma versão simples de um somatório tabelado um maual, e por isso mesmo ão estar aí tabelado ). Assim, o que se segue iremos recordar algus dos somatórios mais importates, aproveitado para recordar e exercitar algumas técicas que podem ser usadas para calcular somatórios (mostrado também como us somatórios se podem reduzir a outros para os quais já sabemos o resultado, por utilização das propriedades geéricas referidas atrás). O somatório mais simples de resolver, é o somatório i K com ( ) i K a família costatemete igual a 1, uma vez que esse caso apeas estamos a somar 1 por cada elemeto do cojuto K. Obtém-se assim, trivialmete: Fórmula 1 : i K 1 =# K Caso particular: 1 = k +1 E desta fórmula sai imediatamete, por aplicação da lei distributiva, a fórmula seguite 1 : 1 Não ecessitamos de saber de cor fórmulas, como a que se segue, que saem trivialmete de outra fórmula. Daí que os exemplos a seguir se evite aplicar directamete a fórmula a seguir ( deduzido-a para os casos cocretos em causa). 68

9 Fórmula soma de uma costate : Sedo c uma qualquer expressão que ão depeda de i, tem-se: c = c 1 = c( k +1) Passemos agora à aálise da soma de certas sequêcias de úmeros que ocorrem em muitos problemas. Defiição 1 Progressão aritmética : Uma progressão aritmética é uma qualquer sequêcia de úmeros em que qualquer termo (com excepção do primeiro) pode ser obtido do aterior adicioado-lhe uma certa costate r (dita a razão da progressão). Isto é, podemos dizer que uma sequêcia de () úmeros a 1,..., a costituí uma (ou está em) progressão aritmética sse existe um real r (dito a razão da progressão) tal que =-1 + r, para qualquer (iteiro) 1<i. Este coceito geeraliza-se trivialmete a sucessões de úmeros e podemos dizer que uma sucessão a 1,..., a,... é uma progressão aritmética de razão 1 r sse =-1 + r, para qualquer (iteiro) i>1. E ada se altera se os ídices da família a puderem ser quaisquer iteiros maiores ou iguais a um iteiro k: Uma sequêcia k ( ) i k costituí uma progressão aritmética de razão r sse i>k =-1 + r. Termo geral de uma progressão aritmética: É fácil obter uma forma explícita para o termo geral de uma progresssão aritmética (por exemplo aplicado o método iterativo). É aliás fácil de demostrar por idução (o que se deixa como exercício) que quaisquer dois termos de uma progressão aritmética, a j e, com j i, estão relacioados pela fórmula: =a j + (i-j)r pelo que o termo geral de uma progressão aritmética (a), de razão r, é igual ao valor do primeiro termo (da sucessão a) mais (a razão) r vezes a difereça etre i e o ídice do primeiro termo (da sucessão a), e, reciprocamete, é também imediato mostrar que sempre que o termo geral de uma sucessão satisfaz uma relação deste tipo, se está perate uma progressão aritmética de razão r. Vejamos etão como calcular a soma de um certo úmero de termos cosecutivos de uma progressão aritmética. Soma da progressão aritmética de razão 1, começado em 1: Comecemos por cosiderar o caso mais simples, em que queremos calcular a soma dos primeiros termos da progressão aritmética 1,,, 4,... (progressão aritmética de razão 1 e cujo primeiro termo é 1): 1 Quado a razão r é 0, obtém-se uma sucessão cotate. Assim, ormalmete ão se cosidera a razão zero o coceito de progressão aritmética. Mas ada do que se segue deixa de ser válido para esse caso ( degeerado ). 69

10 i Vejamos como Gauss calculou este somatório em 1786, quado tiha 9 aos: Desige-se por S o somatório i. Tem-se: S = (-1) + + S = + (-1) (S escrito a formversa) S= (+1) + (+1) (+1) + (+1) ( parcelas) Logo S = (+1) e, portato, S = ( +1) O truque usado por Gauss pode ser formalizado como se segue: Cosiderado a bijecção etre iteiros dada por ϕ(i) = -i+1 (que, em particular, satisfaz ϕ()=1 e ϕ(1)=), tem-se, pela lei comutativa 14, que: (S =) i = ( i +1) S = i + Assim, aplicado a lei associativa (e a fórmula ), obtém-se: dode sai que (S =) i = ( i +1) = 1+ (i + i +1) = ( +1) = (+1) Soma de uma progre ssão aritmética de razão r: Passado agora ao caso geral, seja a uma progressão aritmética e supoha-se que se quer calcular a soma de um certo úmero de termos cosecutivos dessa progressão. Isto é, de uma forma mais simples, supoha-se que k e são dois ídices da sucessão a, com k, e que se quer calcular: (S =) Iremos, em seguida, ilustrar dois modos de calcular a soma em causa. Hipótese 1: Uma primeira hipótese, para o cálculo deste somatório, é usar exactamete a mesma estratégia que o caso aterior (i.e., de algum modo, a estratégia que Gauss usou): 14 Que gualdade a seguir sai da formulação atrás descrita para a lei comutativa pode ver-se, em pormeor, como se segue (otado que a sucessão em causa é dada por =i e que ϕ(i) = +1-i): +1 1 i = = a +1 i = a i+1 = ( i +1) i= +1 70

11 Cosiderado a bijecção etre iteiros dada por ϕ(i) = -i+k (que, em particular, satisfaz ϕ()=k e ϕ(k)=), tem-se, pela lei comutativa, que: = a i+k Mas (como observámos atrás) =a k +(i-k)r, par r, e a -i+k =a k +((-i+k)-k)r =a k +(-i)r, para -i+k r. Logo: S = + a i+k = ( + a i+k ) = (a k + (i k)r + a k + ( i)r) = (a k + ( k)r) E, como a k +(-k)r ão depede da variável do somatório i, obtém-se (usado a lei distributiva e a fórmula 1) 15 : S = (a k + ( k)r) = (a k + ( k)r) 1 = (a k + ( k)r)( k +1) E, otado que a k +(-k)r = a k +a k + (-k)r = a k +a, chega-se a (S =) = a k + a ( k +1) Saliete-se que a fórmula da soma em causa ão evolve explicitamete a razão r, sedo dada pela soma do primeiro e do último termo do somatório a dividir por (i.e. pela média do primeiro e do último termo do somatório) vezes o úmero de termos do somatório. Hipótese : Uma seguda hipótese, para o cálculo do somatório em causa, cosiste em usar as propriedades gerais dos somatórios para reduzir este somatório ao somatório da progressão aritmética de razão 1 que já calculámos atrás. Como =a k +(i-k)r, par r, tem-se (aplicado as leis associativa e distributiva, e a fórmula 1): = = a k ( k +1) + r j = (a k + (i k)r) = a k + (i k)r = a k 1+ r (i k) = a k ( k +1) + r (i k) e, fazedo a mudaça de variável j=i-k, este último somatório, obtém-se: k a k ( k +1) + r k j= 0 dode sai, pelo fórmula ateriormete calculada para a soma de uma progressão aritmética de razão 1 e com primeiro termo igual a 1: j 15 Ou usado directamete a fórmula. 71

12 = 1+ ( k) a k ( k +1) + r ( k) = ( k +1)(a k + chegado-se fialmete (atededo a que a = a k +(-k)r) a: r( k) ) = ( k +1) a k + a k + r( k) = a k + a ( k +1) Fórmula soma de uma progressão aritmética de razão r : Se i>k =-1 +r (ou de forma equivalete, se i>k =a k +(i-k)r ), etão (com k e iteiros tais que k ): = i = a k + a ( k +1) Caso particular ( = i, razão r=1): k + ( k +1) Ates de passarmos a outras somas importates, vejamos um exemplo simples de aplicação da fórmula aterior. Exemplo 1 : Supoha-se que se pretede calcular (+1), com 0 (i.e. pretede-se calcular a soma dos primeiros +1 ímpares). Se repararmos que estamos em preseça da soma dos primeiros +1 termos de uma progressão aritmética de razão, o resultado sai imediatamete por aplicação da fórmula aterior. De facto, a sequêcia ( ) 1 i +1, dada por a 1 = 1, a =,... é uma progressão aritmética de razão (pois = -1 +, par>1). Logo, pela fórmula : (+1) = ( +1 = a 1 + a +1 ( +1) = ) ( +1) = ( +1) Se ão reparámos logo que estamos em preseça da soma de uma progressão aritmética de razão, o cálculo é igualmete simples, codificado o somatório em causa e maipulado-o recorredo às propriedades elemetares dos somatórios: (+1) = = i + 1 i= 0 i= 0 i= 0 (i +1) (estes somatórios já são evidetes) = 0 + ( +1) + ( +1) = ( +1) + ( +1) = ( +1)( +1) = ( +1) Passemos agora à soma de progressões geométricas. 7

13 Defiição Progressão geométrica : Numa progressão aritmética qualquer termo (distito do primeiro) pode ser obtido do aterior adicioadolhe uma certa costate r (dita a razão da progressão). Numa progressão geométrica qualquer termo (distito do primeiro) pode ser obtido do aterior multiplicado-o por uma certa costate r (dita a razão da progressão): ( ) i... é uma progressão geométrica de razão r sse = r -1, para qualquer ídice i distito do primeiro ídice da sucessão a. É fácil de demostrar que: ( ) i... é uma progressão geométrica de razão r sse 16 quaisquer que sejam os ídices da sucessão, j e i, com j i, =a j r i-j O caso em que a razão r é 0 é obviamete um caso sem iteresse (trata-se de uma sucessão em que todos os termos, com excepção do primeiro são ulos), pelo que o iremos excluir (embora algumas das fórmulas à frete também permaeçam válidas para esse caso). O caso em que a razão r é 1, é um outro caso que podemos cosiderar degeerado (como progressão geométrica). Se r=1, estamos em preseça de uma sucessão em que todos os termos são iguais ao primeiro (que também podemos ver como uma progressão aritmética de razão 0). A fórmula da soma de termos cosecutivos de uma progressão geométrica, a deduzir a seguir, só é válida para r 1. No caso de r ser igual a 1, é imediato (fórmula ) que a soma de termos cosecutivos é dado pelo primeiro termo vezes (o úmero de termos a somar). Vejamos etão como calcular a soma de um certo úmero de termos cosecutivos de uma progressão geométrica de razão r, com r 0 e r 1, aproveitado parlustrar uma outra técica que se pode tetar usar para calcular somatórios. Comecemos por cosiderar o caso em que o primeiro termo da sucessão é o de ídice 0 e é igual a 1. Mais cocretamete vejamos como podemos calcular (com 0): S = i= 0 r i Tem-se (adicioado r +1 a ambos os membros dgualdade aterior): (S +1 =) S + r +1 = r i + r +1 = 1 + r r + r +1 = 1 + r (1 + r r ) = 1 + r S i= 0 Logo (resolvedo a equação aterior em ordem a S ): r +1 1 S = r 1 16 Se permitirmos que a razão r possa ser zero, etão o que se segue terá de se substituir j i por j<i (para evitar 0 0 ). 7

14 E a partir daqui facilmete se calcula a soma de um certo úmero de termos cosecutivos de uma qualquer progressão geométrica de razão r, utilizado as propriedades gerais dos somatórios para reduzir tal soma ao caso aterior. Seja a uma qualquer progressão geométrica de razão r, com r 0 e r 1 e sejam k e quaisquer dois ídices da sucessão a, com k,. Etão (recordar que =a k r i-k, para qualquer i k): = a k r i k = Logo: a k r i k = (mudaça de variável j = i-k) k a k r j j= 0 = (usado a fórmula que acabámos deduzir) a k r k +1 1 r 1 a k r i k = a k r k +1 1 r 1 Dode sai também que: a k r i = r k a k r i k = a k r +1 r k r 1 E em vez de estarmos a fixar estas duas fórmulas, basta cocetrar-os a seguite (a partir das quais as duas fórmulas ateriores saem trivialmete usado a propriedade distributiva). Fórmula 4 progressão geométrica de razão r 0 e r 1 (soma relevate) : Sejam k e quaisquer iteiros tais que k. Etão: r i = r +1 r k r 1 Caso particular: r i = i= 0 r +1 1 r 1 A forma como calculámos atrás S = i= 0 r i ilustra uma outra técica que se pode tetar usar para calcular somatórios, que a seguir descrevemos. Possível estratégia para o cálculo de S = Para o cálculo de um somatório: : ecotrar uma equação em S 74

15 S = uma estratégia, que por vezes fucioa, cosiste em procurar ecotrar uma equação em que S ocorra os dois membros 17, mas com coeficietes diferetes, de modo a que a possamos resolver em ordem a S. Naturalmete, põe-se a questão de como levar à prática a estratégia acabada de referir, isto é, como obter tal equação em S? Ora, por uma das leis associativas, ós sabemos que podemos partir um somatório (evolvedo mais que uma parcela) em dois somatórios, como se segue (com k j<): = j + i= j +1 E, em particular, podemos usar este facto para extrair (retirar) de um somatório uma sua parcela, e omeadamete a primeira ou a última: = a k 1 + (com k ) 1 +1 = + a +1 (com k ) Ora, esta operação de separação de um termo é a base de um método (às vezes desigado por perturbatio method) que muitas vezes os permite obter tal equação em S e assim resolver o somatório. Técica: extracção de um elemeto do somatório Seja S = o somatório que queremos calcular. Etão reescrevemos S +1 de duas maeiras, através da separação do seu primeiro e do seu último termo: S +1 = + a +1 e +1 S +1 = a k + +1 (mudaça de variável j = i-1) = a k + a j +1 j= k obtedo-se 18 S + a +1 = a k + a j +1 j= k 17 Logo ão se trata de uma equação de recorrêcia. 18 Ode estar, como variável do somatório, i ou j, é, como sabemos, irrelevate. 75

16 e procura-se em seguida trabalhar (maipular) a última soma, tetado expressá-la em termos de S. Se o coseguirmos obtemos uma equação cuja solução é o resultado do somatório que procuramos. Foi esta a técica que utilizámos atrás para o cálculo do somatório S = i= 0 r i Seja Vejamos um outro exemplo de aplicação desta técica. S = ix i sabemos calcular.) Tem-se: com ( 1 e) x 1. (Caso x sejgual a 1, estamos perate a soma de uma progressão aritmética, que já S + ( +1)x +1 = ix i = x + ix i = (mudaça de variável j=i-1) i= x + ( j +1)x j +1 = x + x( jx j x j ) = (o último somatório é dado pela fórmula 4) x + xs + x x +1 x x 1 xs + x + x x 1 E resolvedo a equação S + ( +1)x +1 = = xs + x + x x 1 em ordem a S, chega-se facilmete à fórmula a seguir. Fórmula 5 (com iteiro e x real): ix i = x ( +1)x +1 + x + (com 1 e x 1) (x 1) Refira-se que existem outras variates desta técica que podem ser usadas para obter a equação desejada em S. Por exemplo, para o cálculo do somatório aterior também poderíamos ter procedido (de modo ligeiramete diferete) como se segue: 76

17 S + ( +1)x +1 = +1 ix i = (mudaça de variável j = i-1) ( j +1)x j +1 = x( jx j + x j ) = j= 0 j= 0 j= 0 x(s + x +1 1 x 1 ) = xs + x + x x 1 x( jx j + x j ) = (fórmula 4) j= 0 Um outra técica que às vezes fucioa é: Técica: substituir varável por expressão Para ecotrar uma equação em S, com S =, substituir alguma ocorrêcia da variável i, em, por uma expressão (equivalete) mais complicada. Ilustremos esta técica, aida a propósito do mesmo exemplo: S = ix i = (substituição do i, que ão é expoete de x, por i-1+1) (i 1+1)x i = (i 1)x i + x i = (mudaça de variável j = i-1 o 1º somatório e fórmula 4) 1 jx j +1 i= 0 1 x( jx j + x +1 x x 1 ) + x +1 x x 1 = x(s x ) + x +1 x x 1 xs x +1 + x +1 x x 1 = = = xs + x + + ( +1)x +1 x x 1 e resolvedo esta equação em ordem a S, chega-se imediatamete à fórmula 5 acima. Refira-se aida que a fórmula 5 para o cálculo do somatório ix i poderia também ser obtida de um modo completamete diferete, recorredo a técicas elemetares do Cálculo Diferecial, como se ilustra a seguir. Pela fórmula 4 77

18 x i = i= 0 ix i 1 = x +1 1 x 1 e, derivado ambos os membros em ordem a x, obtém-se i= 0 ix i = ( +1)x (x 1) (x +1 1) (x 1) dode sai facilmete (verifique!) a fórmula 5 que a seguir se recorda S = x ( +1)x +1 + x + (x 1) Vejamos, por último, como calcular o somatório 19 i procurado, primeiro, usar o método, referido atrás, da separação de uma parcela: S + ( +1) = +1 = 1+ i i= = 1+ ( j +1) +1 i = 1+ j + j + 1 = 1+ j + j + = S + j + +1 (mudaça de variável j=i-1) A estratégia ão resultou pois S tem os mesmos coeficietes os dois membros da equação! Mas é iteressate otar (para o que se deixou propositadamete ficar o último somatório) que se resolvermos a equação aterior se obtém a fórmula da soma da progressão aritmética i = ( +1) Isto é, procurado resolver i ecotrou-se a fórmula do somatório i. Será que procurado resolver (pelo mesmo método) Tetar ão custa! Experimetemos: S + ( +1) = +1 i i se ecotra a fórmula do somatório i? 19 Outras téciicas para o cálculo deste somatório são ilustradas o livro [7] (págias 41 a 46). 78

19 +1 1+ i = i= (mudaça de variável j=i-1) 1+ ( j +1) = 1+ ( j + j + j +1) = 1+ j + j + j + 1 = 1+ S + j ( +1) + + = S + j ( +1) + + ( +1) E resolvedo esta equação obtém-se: Isto é: Fórmula 6 : j = ( +1) ( +1) ( +1) = ( +1)( ) = ( +1)( + 1 ) i = i = ( +1)( +1) 6 ou, de forma equivalete (mas talvez mais fácil de memorizar) ( + 1 )( +1) Refira-se aida que uma estratégia aáloga pode ser utilizada para calcular i à custa dos somatórios i, i e i k, com k 1 1 estratégia que se pode geeralizar para o cálculo de qualquer somatório E, para termiar esta ossa breve icursão/revisão pelos somatórios simples, apeas uma referêcia às chamadas somas telescópicas. 79

20 Fórmula 7 (soma telescópica) : Uma soma telescópica é uma soma da forma ( 1 ) i=k Como cada um dos termos a k,a k+1,...,a 1 é adicioado e subtraído uma vez, é imediato que: ( 1 ) = a a k 1 i=k Apesar da fórmula 7 ser óbvia, ela permite-os calcular algus somatórios, que podem ser reformulados como uma soma telescópica. Vejamos (apeas) um exemplo. Exemplo : Supoha-se que se pretede calcular 1 (com k<). i(i +1) i=k 1 Ora i(i +1) = 1 i 1, pelo que, defiido = 1, se obtém i +1 i +1 1 = ( 1 i(i +1) i +1 1 i ) = ( 1 ) = a k 1 a = 1 i=k i=k i=k k 1 +1 Caso particular: 1 1 i(i +1) Exercícios : 1. Determie: a) b) c) = 1 1 = 1 ( i + 5) (para 1) 50 0 ( i + i +1) ( i + i). Determie: i i (para 0). Verifique que ( 1) k +1 1 ( 1) = k=1 (para 1) aplicado, por exemplo, a técica da extracção de um elemeto do somatório. 80

21 4. Verifique que k=1 ( 1) k k = 1+ ( +1)( 1) 4 (para 1) aplicado, por exemplo, a técica da extracção de um elemeto do somatório. 5. Determie: ( 1) i i da alíea aterior.) (para 1) (Sugestão: aplique, por exemplo, a técica da extracção de um elemeto do somatório e use o resultado Secção 4: Somas múltiplas e, em particular, os somatórios duplos. Cosideremos agora uma família (de elemetos um cojuto 0 E) duplamete idexada por aturais 1 a : N 0 E e desige-se por, j, ou mesmo por j, o valor a(i,j). Etão pode escrever-se, j P(i, j ) para desigar a soma de todos os a(i,j) em que o par (i,j) satisfaz a propriedade P (assumido-se que são em úmero fiito), bem como (com umterpretação aáloga), j (i, j) K com K um subcojuto fiito de N 0. Os casos mais simples, sobre os quais os debruçaremos a seguir, são os somatórios, da forma aterior, em que existem cojutos (fiitos) I e J, idepedetes um do outro, tais que (i, j) K i I j J isto é, em que os cojutos de variação das variáveis do somatório são idepedetes um do outro. (No que se segue assumiremos sempre que as variáveis dos somatórios são variáveis iteiras.) Vejamos um exemplo: Exemplo 1 :, j = (i, j ) {1,,}, j (= i {1,,} j {1,,} =, j =) 1 i, j, j 1 i 1 j (a ordem por que eumeramos os,j a adicioar é irrelevate, em virtude da adição ser comutativa e associativa) 0 Sobre o qual está defiida uma operação de adição com as propriedades usuais. Aqui tipicamete E será o cojuto dos iteiros ou dos reais. 1 O que se segue pode geeralizar-se facilmete a famílias idexadas em N k 0, para k. Por outro lado, em vez de estarmos a cosiderar N 0 o cojuto dos ídices, podíamos também cosiderar o cojuto Z q dos iteiros maiores ou iguais a um iteiro q. 81

22 a 1,1 + a 1, + a 1, + a,1 + a, + a, + a,1 + a, + a, = (podemos agrupar os termos,j como quisermos) (a 1,1 + a 1, + a 1, ) + (a,1 + a, + a, ) + (a,1 + a, + a, ) (os parêteses a seguir ão são esseciais, mas, pelo meos o iício, são coveietes, para evitar cofusões) a 1, j + a, j + a, j = e aalogamete se pode obter, j = a i, j = 1 i, j 1 i 1 j (, j ) Este exemplo ilustra um primeiro resultado importate: (, j ) Troca dos somatórios :, j = i I j J (, j ) = i I j J j J (, j ) ídices (i.e. das variáveis dos somatórios) são idepedetes um do outro. i I isto é, podemos trocar sem problema a ordem dos somatórios, quado os cojutos de variação dos dois O resultado aterior é importate, em virtude de por vezes ser mais fácil somar primeiro em relação a uma variável, do que em relação à outra. Pelo resultado aterior, podemos escolher a ordem que for mais coveiete. Outros casos particulares de iteresse obtêm-se quado o termo somado,j pode ser expresso como uma fução de um b i e de um c j (com b : N 0 E e c : N 0 E) Vejamos um primeiro exemplo, em que,j = b i c j (e ode se assume que a expressão que b i deota ão evolve a variável j e que a expressão que c j deota ão evolve a variável i). Exemplo : (, j =) 1 i, j b i c j = 1 i, j ( b i c j ) = (lei distributiva: como b i é idepedete de j, b i pode passar para fora do somatório de detro) b i ( c j ) = 8

23 (lei distributiva: o somatório de detro é idepedete de i) ( c j )( b i ) = (a ordem dos factores de um produto é irrelevate, pela comutatividade do produto) ( b i )( c j ) Como se viu ao logo deste exemplo, cotiuam a poder aplicar-se as leis gerais dos somatórios, atrás referidas (devidamete adaptadas, quado ecessário), podedo algumas delas ser geeralizadas. O exemplo aterior pode geeralizar-se, podedo provar-se a seguite propriedade: Lei distributiva geeralizada : b i c j = i I j J ( b i )( i I ) c j j J Vejamos um exemplo (cocreto) de aplicação destes resultados: Exemplo : Pretede-se calcular 1 i, j (i + j). Tem-se: (i + j) = ( (i + j) =) 1 i, j,...,,..., (i + ij + j ) = 1 i, j (podemos já decompor este somatório em dois somatórios, um em i e o outro em j, ou adiar isso para mais tarde) i + ij 1 i, j 1 i, j + j = 1 i, j (em cada um dos casos podemos escolher sobre que variável queremos somar primeiro) i + ij + j = i 1+ ( i)( j) + j 1 = i (1+ ) (1+ ) + + j = (como as variáveis dos somatórios são variáveis mudas, o primeiro e o último somatório são iguais) 8

24 i + ( +1) = (fórmula 6 da secção aterior) ( +1)( +1) 6 + ( +1) ( +1)( +1) + ( +1) 6 ( +1)(7 + 5) 6 = = (simplificado) Como referimos atrás, quado os cojutos de variação (I e J) das variáveis dos dois somatórios são idepedetes um do outro, podemos trocar à votade a ordem dos somatórios: =, j i I j J poder ser trocada, mas tal troca exige alterações adequadas esses cojutos de variação e tem de ser feita com cuidado. j J Quado os cojutos de variação em causa estão iterrelacioados, a ordem dos somatórios cotiua a Supoha-se, por exemplo, que estamos perate um duplo somatório, como e que se pretede trocar a ordem dos dois somatórios., j i I j J(i) (Note-se, ates de prosseguir, que o cojuto de variação I do somatório de fora uca poderá depeder do de detro; qualquer variável que ocorra a descrição de I fucioa como um parâmetro; uma evetual ocorrêcia de um j a descrição de I ada terá a ver com a variável j do somatório de detro, que está aí muda e pode ser substituída, esse somatório, por uma outra variável.) O somatório aterior pode ser trasformado um somatório da forma desde que sejam iguais os cojutos: {(i, j): i I j J(i)} = {(i, j): j J* i I*(j)} uma vez que o cojuto dos termos a somar tem de ser o mesmo os dois casos. i I, j j J * i I *( j), j Refira-se, cotudo, que existem algumas situações simples, em que essa troca de somatórios se faz sem grade dificuldade, e que são importates por ocorrerem frequetemete em várias aplicações. Cosidere-se, por exemplo, o duplo somatório, j j= i O cojuto dos termos,j a somar é formado por aqueles termos cujos ídices satisfazem a propriedade 1 i e i j, somatório que podemos descrever a forma:, j 1 i j 84

25 e facilmete se vê que tal cojuto dos termos a somar pode ser expresso, somado primeiro em i, como se segue: j, j Vejamos, agora de forma sitética, uma outrlustração aáloga: superior.), j = 1 i< j 1, j j= i+1 = j 1, j j= (Não esquecer que o limite iferior de cada somatório deve ser meor ou igual que o respectivo limite Naturalmete, a geeralidade do que se disse até aqui sobre somatórios duplos, aplica-se a somatórios triplos, etc., isto é, a somatórios múltiplos em que a soma em causa evolve duas, três ou mais variáveis (iteiras) percorredo certos cojutos de valores (iteiros). Para termiar esta breve revisão dos somatórios, vejamos dois exemplos (cocretos), de cálculo de somatórios múltiplos, em que os cojuto de variação de algus dos somatórios podem ter depedêcias etre si (e em que poderemos, ou ão, estar iteressados em trocar a ordem desses somatórios). Exemplo 4 : i Pretede-se calcular ke + j. Tem-se: i=0 j=0k=1 ke + j = i= 0 j= 0k=1 i e + j (1+ i)i = i= 0 j= 0 e + j i k = i= 0 j= 0 e k=1 (1+ i)i ( e j ) = i= 0 e ( e j (1+ i)i )( ) = (Fórmula 4 progressão geométrica de razão e) j= 0 i= 0 e ( e+1 1 e 1 ) 1 ( i + i ) = (fórmula 6) i=0 i=0 e ( e +1 1 e 1 ) 1 +1) (( + e (e +1 1)( +1)( + ) 6(e 1) j= 0 ( +1)( +1) ) = (simplificado) 6 Exemplo 5 : Pretede-se calcular j 1 ie j i j=. Tem-se: Há quem cosidere que quado tal ão é o caso, o valor do somatório é sempre zero, mas ão estamos aqui impor essa assumpção geérica (embora se assuma que = 0, se =0). Sobre isto veja-se p.ex. [7], pág. 501 (exercício resolvido.1). 85

26 j 1 ie j i = (embora ão seja ecessário, supoha-se, parlustrar, que se quer somar primeiro em j) j= ie j i = 1 i< j 1 i 1 i e k +1 = k= ie j i = j= i+1 1 i 1 1 i e j i = (optado por fazer a mudaça de variável: k= j-i-1) j= i+1 e i e k = (Fórmula 4 progressão geométrica de razão e) k= ei e i 1 = e e 1 e 1 ( i e i i) = e e 1 (e 1 ) + ( 1)(e 1 ) +1 e 1 (e (e 1 1) e + e 1 e + ( 1)e 1 e( 1) (e 1) (e 1) e + e + ( 1)e e( 1) (e 1) (e 1) 1 e e 1 (e i(e 1 ) i ( 1) ) = (simplificado) = (simplificado) ( 1) ) = (Fórmula 5) (resultado que aida poderá ser simplificado, o que se deixa ao cuidado do leitor) Exercícios : Determie: 1. 1 i + j ( j + i) m e i+ j (para, m 1) (ij +1) (para 1) 7 10 ( j ij) j=5 10 j = 1 j k = 1 k j 10 0 (ik 5k) i = 5k = 0 8. k( i +1 ) i = 0 k = 1 86

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