PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: MATEMATICA ASSUNTO: PROPORCIONALIDADE REQUISITO BÁSICO: FRAÇÕES

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1 PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: MATEMATICA ASSUNTO: PROPORCIONALIDADE REQUISITO BÁSICO: FRAÇÕES

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3 Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em tres partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

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7 RAZÃO: Na matemática, a razão é uma relação entre duas grandezas proporcionais (qualquer dimensão ), e algumas vezes representada aritmeticamente como um quociente adimensional das duas quantidades (não necessariamente um inteiro).

8 EXEMPLO: Os índios Baniwa fazem parte do complexo cultural de 22 povos indígenas da Amazônia brasileira. Somam cerca de 12 mil pessoas, das quais 4 mil vivem no Brasil e o restante, na Colômbia e na Venezuela. A razão entre o número de índios Baniwa que vivem no Brasil e que vivem no exterior é: (A) 1 / 2 (B) 1 / 3 (C) 1 / 4 (D) 2 / 3 (E) 3 / 4

9 SOLUÇÃO:

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11 SOLUÇÃO:

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16 PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: MATEMATICA ASSUNTO: TEORIA DE CONJUNTOS

17 Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.

18 2. Notação e Representação A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras:

19 EXEMPLOS: FORMA TABULAR: 1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} 2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} 3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

20 Propriedade de seus elementos: A = {x / x possui uma determinada propriedade P} Exemplos 1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto} 2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

21 Diagrama de Euller-Ven: Exemplo

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25 Importante A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão referese, sempre, a dois conjuntos.

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28 Número de Elementos do conjunto de partes Exemplo: Em uma sala existem 6 lâmpadas que podem ser ligadas por 6 interruptores independentes. De quantas formas podemos iluminar essa sala com pelo menos uma dessas lâmpadas?

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34 Diferença entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A B. Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos Conjuntos é: A B = {1,2}

35 Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4,5}

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38 PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: MATEMATICA ASSUNTO: DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRAS DE TRES

39 DIVISÃO PROPORCIONAL Definição: Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qual determinamse valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.

40 A divisão proporcional pode ser: - Direta - Inversa - Direta e Inversa ao mesmo tempo.

41 Divisão em partes diretamente proporcionais O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcional está para a parte que a representa.

42 EXEMPLO: As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão das despesas mensais é proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi de R$ 1 280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda? (A) 320,00 (B) 410,00 (C) 450,00 (D) 480,00 (E) 520,00

43 SOLUÇÃO:

44 EXEMPLO: João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, em 3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é o que receberá o maior valor, a parte deste corresponderá, em reais, a (A) ,00 (B) ,00 (C) 8.000,00 (D) 4.000,00 (E) 3.000,00

45 SOLUÇÃO:

46 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: Para decompor um número em partes inversamente proporcionais é decompor este número em partes diretamente proporcionais aos inversos das constantes dadas.

47 EXEMPLOS: Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi (A) 87 (B))85 (C) 70 (D) 68 (E) 75

48 SOLUÇÃO:

49 EXEMPLO: As 1430 latas de suco de um supermercado foram distribuídas em 3 caixas de tamanhos diferentes, de forma que as quantidades de latas nas caixas fossem inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Quantas latas a caixa maior recebeu? (A) 660 (B) 440 (C) 330 (D) 220 (E) 110

50 SOLUÇÃO:

51 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: Sejam x, y, z números tais que x é diretamente proporcional a 2, y é diretamente proporcional a 3 e z é inversamente proporcional a 4. Se x + y + z = 210, o valor de xy / z é: A) 720 B) 810 C) 900 D) 960 E) 980

52 SOLUÇÃO:

53 REGRAS DE TRÊS: A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da Regra de Três".

54 REGRAS DE TRÊS SIMPLES DIRETA: Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

55 Exemplo : Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha? Estabelecemos a seguinte relação: x Podem ser feitos 150 pães.

56 REGRAS DE TRÊS SIMPLES INVERSA: Quando existe proporcionalidade inversa, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas são inversas, quando uma divide a outra multiplica na mesma constante proporcional.

57 EXEMPLO: Doze pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de doze, fossem dezoito pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?

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59 SOLUÇÃO:

60 Regra de três composta: A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

61 EXEMPLO: Para fabricar 12 máquinas de empacotar remédios, 5 operários trabalham durante 10 dias. O número de operários que devem trabalhar para que uma encomenda de 48 máquinas possa ser entregue em 8 dias é igual a: A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

62 SOLUÇÃO:

63 PROFESSOR : ALEXANDRE PORTELA MATÉRIA: MATEMATICA ASSUNTO: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.

64 PORCENTAGEM OU PERCENTAGEM Percentagem ou Porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).

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69 Observação1: Todo percentual depende de referencial. Exemplo: Segundo dados do IBGE, a média de ocupação de um domicílio no Brasil caiu de 5 pessoas, nos anos 70, para 3,5, nos dias atuais. Em relação aos anos 70, a média de ocupação de um domicílio brasileiro foi reduzida em: (A) 15% (B) 30% (C) 40% (D) 55% (E) 70%

70 SOLUÇÃO:

71 Observação2: Todo percentual depende de referencial. Quando não houver referencial use o valor 100, porque: 18% de 100kg = 18kg 27,5litros são 27,5% de 100 litros

72 Uma empresa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços, (A)aumento de 20% (B) aumento de 10% (C) redução de 10% (D) redução de 20% (E) redução de 25%

73 Uma empresa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços, (A)aumento de 20% (B) aumento de 10% (C) redução de 10% (D) redução de 20% (E) redução de 25%

74 SOLUÇÃO:

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76 MONTANTE OU RESGATE: No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos: M = C + J M = montante final C = capital J = juros

77 EXEMPLO: Um capital de R$ ,00, aplicados a 5% ao ano, durante 8 anos, qual o juros produzido? A) 7.000,00 B) 6.000,00 C) 8.000,00 D) 9.000,00 E) ,00

78 SOLUÇÃO:

79 EXEMPLO: Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ ,00 dispondo de R$ ,00 capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses: A) 10% B) 5% C) 6% D) 3% E) 4%

80 SOLUÇÃO:

81 EXEMPLO: Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi (A) menor do que R$ 500,00. (B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00.

82 SOLUÇÃO:

83 EXEMPLO: Se o capital for igual a 2 / 3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? (A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m. (D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.

84 SOLUÇÃO:

85 EXEMPLO: Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto? (A) 320,00 (B) 336,00 (C) 350,00 (D) 382,00 (E) 400,00

86 SOLUÇÃO:

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88 EXEMPLO: O valor, em reais, mais próximo do montante da aplicação de R$ 2.000,00 a juros compostos de taxa mensal 4% por dois meses é (A) (B) (C) (D) (E) 2.180

89 SOLUÇÃO:

90 EXEMPLO: Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$ ,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00

91 SOLUÇÃO:

92 EXEMPLO: Uma empresa nordestina produz atualmente 360 toneladas de óleo de babaçu por ano. Com o aumento das exportações, essa empresa pretende, nos próximos anos, aumentar sua produção em 15% ao ano. Sendo assim, qual será, em toneladas, a produção de óleo de babaçu dessa empresa daqui a dois anos? (A) 468,0 (B) 472,2 (C) 476,1 (D) 484,0 (E) 492,3

93 SOLUÇÃO:

94 EXEMPLO: Aplicando-se R$ 5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será (A) 5.400,00 (B) 5.405,00 (C) 5.408,00 (D) 6.272,00 (E) 6.275,00

95 SOLUÇÃO:

96 EXEMPLO: Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é,aproximadamente, (A) 12% (B) 12,49% (C) 12,55% (D) 13% (E) 13,43%

97 SOLUÇÃO:

98 EXEMPLO: Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses, à taxa de juros de 20% ao mês. A taxa de inflação, durante esse mesmo período, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicação é de, aproximadamente, (A) 30% (B) 32% (C) 33% (D) 35% (E) 36%

99 SOLUÇÃO:

100 COMPARAÇÕES ENTRE OS JUROS SIMPLES E OS JUROS COMPOSTOS:

101 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: Progressões e Funções

102 PROGRESSÕES Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão.

103 PROGRESSÕES Alguns exemplos de progressões aritméticas: 1, 4, 7, 10, 13,..., é P.A. de razão 3. -2, -4, -6, -8, -10,..., é P.A. de r =-2 6, 6, 6, 6, 6,..., é P.A. de r = 0

104 PROGRESSÕES Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo com base no valor da razão e do 1º termo. Para tal, basta utilizar a seguinte expressão do termo geral: an = a1 + (n 1) * r

105 PROGRESSÕES Exemplo 1 Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. a18 = 2 + (18 1) * 5 a18 = * 5 a18 = a18 = 87 O 18º termo da PA em questão é igual a 87.

106 PROGRESSÕES Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática determina a soma dos termos de uma PA.

107 Exemplo 2 PROGRESSÕES Na sequência numérica ( 1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. Cálculo da razão da PA 3 ( 1) = = = = = 4

108 PROGRESSÕES Determinando o 20º termo da PA a20 = 1 + (20 1) * 4 a20 = * 4 a20 = a20 = 75

109 PROGRESSÕES Soma dos termos

110 PROGRESSÕES Uma progressão geométrica(ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

111 PROGRESSÕES Crescente (q > 0) Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por números crescentes, como: (1, 3, 9, 27, 81, ), onde a razão é 3

112 PROGRESSÕES Constante Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a excessão do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1: (4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ) onde a razão é 0 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ) onde a razão é 1

113 PROGRESSÕES Decrescente As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior: (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...) razão = 1/2 (-1, -3, -9, -27, -81, ) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência)

114 PROGRESSÕES Fórmula do termo geral: a n = a 1. q n-1 Exemplo a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a 1 = 2, q = 4/2 = 8/4 =... = 2. a 10 = a 1. q 9 = = = 1024

115 PROGRESSÕES Exemplo b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a 4 = 20 e a 8 = 320. Logo, podemos escrever: a 8 = a 4. q 8-4. Daí, vem: 320 = 20.q 4 Então q 4 =16 e portanto q = 2.

116 PROGRESSÕES Soma dos n primeiros termos de uma PG:

117 PROGRESSÕES Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: Observe que neste caso a 1 = 1.

118 PROGRESSÕES Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

119 PROGRESSÕES Exemplo: Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...). Solução: Temos: a1 = 2, q = 1/2 A soma dos termos dessa P. G. infinita é:

120 PROGRESSÕES Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/ =100 Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Daí, vem: x = /2 = 50

121 FUNÇÕES Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).

122 FUNÇÕES Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial,função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras

123 Injetora ou injetiva: FUNÇÕES Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando x y no domínio tem-se f(x) f(y) no contradomínio.

124 FUNÇÕES Sobrejetora ou sobrejetiva : Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.

125 FUNÇÕES Bijetora ou bijetiva : São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.

126 Função de 1º grau Definição FUNÇÕES Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

127 FUNÇÕES

128 Eixo Cartesiano: FUNÇÕES

129 FUNÇÕES f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

130 FUNÇÕES f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

131 FUNÇÕES f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

132 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: Análise Combinatória e Probabilidade

133 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Princípio fundamental da contagem Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

134 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m. n.

135 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressoras e 3 tipos de CPU. SOLUÇÃO: Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

136 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

137 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18, somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

138 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EXEMPLOS: Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?

139 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

140 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2possibilidades.

141 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado. Logo: São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

142 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EXEMPLO: Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?

143 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto. Portanto: Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

144 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EXEMPLO: De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R?.

145 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R. Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos:

146 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.

147 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EXEMPLO: Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

148 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EXEMPLO: Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6, de forma que os algarismos sejam distintos? Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

149 NÚMERO FATORIAL Fatorial Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: n! = n(n 1)(n 2)(n 3) *...* 3 * 2 * 1 Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

150 NÚMERO FATORIAL Veja alguns exemplos: 0!= 1 1! = 1 2! = 1*2 3! = 1*2* 3 4! = 1*2*3*4 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

151 PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutação Simples A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.

152 PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo: Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}. As permutações de A são: {(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}.

153 PERMUTAÇÃO SIMPLES Fórmula da Permutação Simples P n = n!

154 PERMUTAÇÃO SIMPLES EXEMPLO: Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? Temos que calcular P 3, então: P 3 = 3! = = 6 Logo: As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila.

155 PERMUTAÇÃO SIMPLES Um anagrama é uma espécie de jogo de palavras, resultando do rearranjo das letras de uma palavra para produzir outras palavras, utilizando todas as letras originais. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.

156 PERMUTAÇÃO SIMPLES EXEMPLO: Quantos anagramas a palavra oba possui? As permutações da palavra dada são: {(oba);(oab);(bao);(boa);(abo);(aob)} Calculo de permutações por fatorial: n! = n.(n 1). (n 2). (n 3) = 6

157 PERMUTAÇÃO SIMPLES EXEMPLO: Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P 5. Temos então: P 5 = 5! = = 120

158 Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

159 Permutação com Elementos Repetidos EXEMPLO: Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P 5 (2, 2) :

160 Permutação com Elementos Repetidos EXEMPLO: Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA? A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes. Resposta: P = 5!/(3!2!)=10

161 PERMUTAÇÃO CIRCULAR Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. É definida pela fórmula: Pc(N) = (N 1)!

162 PERMUTAÇÃO CIRCULAR Exemplo : Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentarse junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? P(4) = (4-1)! = 3! = 6

163 PERMUTAÇÃO CIRCULAR Exemplo : 5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que haja repetição? P(5) = (5-1)! = 4! = 24

164 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

165 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

166 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são: 312, 321, 132, 123, 213, 231 Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem..

167 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

168 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES EXEMPLO: Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

169 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES EXEMPLO: Quantas palavras (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

170 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES COMBINAÇÕES SIMPLES: Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

171 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES

172 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Exemplo: Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?

173 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Exemplo: Com 12 bolas de cores distintas, posso separálas de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?

174 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Exemplo: Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?

175 ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES Exemplo: Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas turmas diferentes podem ser escaladas? (A) (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) 510

176 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: PROBABILIDADE

177 PROBABILIDADE A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

178 PROBABILIDADE Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.

179 PROBABILIDADE Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

180 PROBABILIDADE Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por: S = { cara, coroa } Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

181 PROBABILIDADE Evento Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.

182 PROBABILIDADE Classificação de Eventos Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:

183 PROBABILIDADE Evento Simples Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.

184 PROBABILIDADE Evento Certo Ao lançarmos um dado o conjunto A será o conjunto dos eventos múltiplos de 1 O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

185 PROBABILIDADE Evento Impossível No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15? Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por A = {}.

186 PROBABILIDADE Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

187 PROBABILIDADE EXEMPLO: Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6? Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por: E = { 1, 2, 3, 6 } Então n(e) = 4 e n(s) = 6, portanto:

188 PROBABILIDADE PROBABILIDADES CONDICIONAIS: A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.

189 PROBABILIDADE EXEMPLO: No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade de se obter soma igual a 5? A) 1 / 8 B) 1 / 9 C) 1 / 16 D) 5 / 36 E) 1 / 6

190 PROBABILIDADE EXEMPLO: Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? (A)1 / 9 (B) 1 / 4 (C) 5 / 9 (D) 5 / 18 (E) 7 / 36

191 PROBABILIDADE EXEMPLO: Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele estude Engenharia ou Economia é igual a: A) 45% B) 44% C) 46% D) 48% E) 50%

192 PROBABILIDADE EXEMPLO: A turma de Marcelo foi dividida em 4 grupos. Cada grupo deverá fazer um trabalho sobre um derivado do petróleo: diesel, gasolina, nafta ou óleo combustível. Se a professora vai sortear um tema diferente para cada grupo, qual é a probabilidade de que o primeiro grupo a realizar o sorteio faça um trabalho sobre gasolina e o segundo, sobre diesel? (A) 1 / 4 (B) 1 / 6 (C) 1 / 8 (D) 1 / 12 (E) 1 / 16

193 PROBABILIDADE EXEMPLO: Numa urna existem 6 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de se retirarem 2 bolas sucessivamente, sem reposição, sendo a primeira azul e a segunda amarela? (A)6 / 25 (B) 4 / 25 (C) 4 / 15 (D) 4 / 20 (E) 3 / 25

194 PROBABILIDADE EXEMPLO: Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: (A) 1 / 9 (B) 2 / 9 (C) 5 / 9 (D) 7 / 9 (E) 8 / 9

195 PROBABILIDADE EXEMPLO: Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa?

196 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS

197 FUNÇÃO DO 1ºGRAU EXEMPLO: Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

198 FUNÇÃO DO 1ºGRAU EXEMPLO: A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

199 FUNÇÃO DO 1ºGRAU EXEMPLO: Sabendo que a função f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8, calcule os valores de m e n: a) m = 4 e n = -12 b) m = -4 e n = 10 c) m = 3 e n = 4 d) m = 14 e n = 10

200 FUNÇÃO DO 1ºGRAU EXEMPLO: O gráfico a seguir representa a posição de um carro em movimento numa estrada. Determine a posição do carro no instante 7h. a) 90 km b) 105 km c) 110 km d) 120 km

201 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, definida pela fórmula f(x) = ax 2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

202 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R R definida por f(x) = ax 2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R. Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

203 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Veja alguns exemplos de Função do 2º grau: f(x) = 5x 2 2x + 8; a = 5, b = 2 e c = 8 (Completa) f(x) = x 2 2x; a = 1, b = 2 e c = 0 (Incompleta) f(x) = x 2 ; a = 1, b = 0 e c = 0 (Incompleta) Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

204 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Exemplo: Com relação à função f(x) = 3x 2 5x + m 2 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

205 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

206 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Concavidade da parábola: Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

207 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Concavidade da parábola:

208 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau: A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

209 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau: Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

210 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau: Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

211 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau: Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intercepta.

212 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = x2-4

213 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Raízes e termo independente: Exemplo f(x) = -x2 + 4

214 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Raízes e termo independente: Exemplo: y=-x²-4x-3

215 FUNÇÃO DO 2ºGRAU Raízes e termo independente: Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

216 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

217 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Para termos uma equação devemos ter uma igualdade, ou seja, alguma coisa igualada à outra. E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência).

218 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES A NÚMEROS PRIMOS de ambos os lados da igualdade.

219 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL

220 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL

221 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL

222 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL 4 x +3(2 x+1 )=16.

223 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL 2 2x -12(2 x )=-32.

224 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL 3 x 7 x =(441) 1/4.

225 EXEMPLO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação de água por resíduos industriais. A lei n(t) = t 1 fornece uma estimativa do número de espécies vivas (n(t)) em função do número de anos (t) transcorridos após a instalação do parque industrial na região.

226 PERGUNTA 1) EQUAÇÃO EXPONENCIAL Estime a quantidade de peixes que viviam no lago no ano da instalação do parque industrial.

227 PERGUNTA 2) EQUAÇÃO EXPONENCIAL Algum tempo após as indústrias começarem a operar, constatou-se que havia no lago menos de 4920 peixes. Para que valores de t vale essa condição?

228 EQUAÇÃO EXPONENCIAL EXEMPLO: Suponha que, e, 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? (Use a aproximação 1,03 20 = 1,80.) a) 900 b) 950 c) 1000 d) 1050 e) 1100

229 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: LOGARITMOS

230 LOGARITMOS

231 LOGARITMOS

232 LOGARITMOS

233 LOGARITMOS Exemplo:

234 LOGARITMOS Exemplo:

235 LOGARITMOS Exemplo:

236 LOGARITMOS Exemplo:

237 LOGARITMOS Exemplo:

238 LOGARITMOS Exemplo:

239 LOGARITMOS Propriedades: a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1. log b b = 1. Exemplo: log 8 8 = 1.

240 LOGARITMOS Propriedades: b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0. log b 1 = 0 Exemplo: log 9 1 = 0

241 LOGARITMOS Propriedades: c) Logaritmo de uma potência log b a y = y. log b a Exemplo: Log = 4. log 2 3

242 LOGARITMOS Propriedades: d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x. log b b x = x Exemplo: Log = 7

243 LOGARITMOS

244 LOGARITMOS

245 LOGARITMOS

246 LOGARITMOS Propriedades: g) Logaritmo decimal Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10. Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja: Exemplo: Log 100 = 2

247 LOGARITMOS Exemplos: Assinale a propriedade válida sempre: a) log (a. b) = log a. log b b) log (a + b) = log a + log b c) log m. a = m. log a d) log a m = log m. a e) log a m = m. log a (Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)?

248 LOGARITMOS Exemplos: Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209

249 LOGARITMOS Exemplos: Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: a) 9 e -4 b) 9 e 4 c) -4 d) 9 e) 5 e -4

250 MATEMATICA BÁSICA Professor: Alexandre Portela Assunto: EQUAÇÕES DE 2º GRAU E PROBLEMAS

251 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU DEFINIÇÃO Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma: ax² + bx + c = 0 onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado x é a incógnita a,b, e c números reais, chamados de coeficientes

252 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU Equação Completa do segundo grau Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5 2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3, b = 1 e c = 2

253 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

254 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU 1) x² + 9 x + 8 = 0 EXEMPLO:

255 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU EXEMPLO: 2) 9 x² - 24 x + 16 = 0

256 EXEMPLO: 3) x² - 2 x + 4 = 0 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

257 EQUAÇÃO DO 2ºGRAU EXEMPLO: 4) 3 x² - 15 x + 12 = 0

258 PROBLEMAS DO 2ºGRAU

259 PROBLEMAS DO 2ºGRAU

260 PROBLEMAS DO 2ºGRAU

261 PROBLEMAS DO 2ºGRAU Exemplo: Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m2 de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo?

262 PROBLEMAS DO 2ºGRAU EXEMPLO: A área de um retângulo é de 64cm2. Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m.

263 EXEMPLO: PROBLEMAS DO 2ºGRAU Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e, do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número?

264 PROBLEMAS DO 2ºGRAU EXEMO quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero?

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

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