Avaliação de Modelos de Risco através de Backtesting

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Avaliação de Modelos de Risco através de Backtesting"

Transcrição

1 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Avaliação de Modelos de Risco através de Backtesting Autora: Cristiane Azevedo Ferreira Orientadores: Prof. Dr. Jorge P. Zubelli e Prof. Dra. Beatriz Vaz de Melo Mendes Rio de Janeiro Junho de 2013

2 Para Miguel. i

3

4 Agradecimentos Agradeço aos Professores Jorge Zubelli e Beatriz Mendes pela orientação no desenvolvimento deste trabalho e pelos conhecimentos transmitidos. Agradeço aos meus colegas do BNDES, que sempre me apoiaram e incentivaram ao longo do curso. Agradeço também ao Sérgio, Rodrigo, Carlos, Osvaldo, Vinícius, Matheus e Bruna por terem ajudado em inúmeras situações, e também pelo companheirismo nessa jornada. E, em especial, agradeço a meu marido e à minha família por terem compreendido minha ausência e por tudo que têm feito por mim. Ter vocês ao sempre meu lado tornou as vitórias mais especiais e os momentos difíceis mais leves. iii

5

6 Resumo A mensuração adequada dos riscos financeiros é uma atividade fundamental na gestão de carteiras de ativos. Para tal, existem diversas medidas de risco e metodologias para modelar as perdas de uma carteira. Porém, a variedade dos instrumentos financeiros e as condições de mercado cada vez menos estáveis tornam este problema não trivial. Por isso, é importante usar técnicas adequadas para comparar e avaliar modelos de risco. Os backtests são a principal ferramenta para esse fim, e consistem em testes de hipótese que comparam as medidas de risco com as perdas históricas da carteira. Neste contexto, o presente trabalho tem como objetivo analisar e comparar diferentes métodos de backtesting. Foram implementados três métodos de backtesting aplicáveis ao Value-at- Risk (VaR) e um método de backtesting genérico, que pode ser aplicado tanto ao VaR quanto ao Expected Shortfall. Através de simulações, verificou-se que uma limitação destes métodos é o baixo poder quando séries de um ou dois anos de dados são utilizadas. Por fim, os testes foram executados para diferentes modelos de riscos aplicados a séries nanceiras reais, ilustrando a utilização prática dos testes aqui estudados. Key words: Backtesting, Medidas de Risco, Modelos de Risco, Value at Risk, Expected Shortfall v

7

8 Sumário Contents vii 1 Introdução Motivação Estrutura do trabalho Medidas e modelos de risco Modelos de risco Modelos paramétricos univariados Modelos de variância-covariância Método da Simulação Histórica Método de Monte Carlo Medidas de Risco Definições e Exemplos de VaR e Perda Esperada Medidas coerentes de risco Backtesting Backtestings baseados em violações Teste de Kupiec Testes de Independência Serial das Violações Backtest baseado em duration Backtest para Perda Esperada Resultados da simulação Estudo de casos Descrição das séries Comparação dos modelos para séries de moedas Comparação dos modelos para outras séries de moeda Comparação dos modelos para séries de juros Conclusão 47 vii

9 viii SUMÁRIO Bibliography 48

10

11 x SUMÁRIO

12 Capítulo 1 Introdução Medidas de risco têm como objetivo expressar o potencial de perdas de uma carteira de ativos em dados um horizonte de tempo t com um nível de probabilidade α. Dois exemplos de perguntas que podem ser respondidas através de medidas de risco são: 1. Que valor de perda não será ultrapassado com nível α de certeza? 2. Qual é o valor esperado de perda, dado que a perda é maior que um determinado limiar? Para determinar com exatidão esses valores, seria necessário conhecer a distribuição de probabilidades das perdas da carteira. Porém, na prática, essa distribuição é desconhecida, e por isso a perda potencial da carteira deve ser estimada através de um modelo de risco. O modelo de risco consiste de dois elementos: a modelagem da distribuição das perdas dos ativos que compõem a carteira e um método de cálculo para a medida de risco. A escolha do modelo de risco é determinante para a confiabilidade da medida de risco obtida. Para avaliar a confiabilidade da medida de risco, as seguintes características devem ser observadas: Propriedades teóricas [1]: o modelo possui propriedades desejadas para uma medida de risco, como sub-aditividade, monotonicidade e invariância à translação? Desempenho do modelo [8]: as perdas estimadas pelo modelo são compatíveis com o histórico de perdas? A ferramenta mais utilizada para avaliação de medidas de risco é o backtesting que, em linhas gerais, consiste em comparar, através de testes estatísticos, as perdas históricas de uma carteira de ativos com as medidas de risco geradas pelo modelo. A maioria dos métodos de backtesting encontrados na literatura são métodos baseados em violações. Esses métodos utilizam como informação apenas se as perdas ocorridas de fato ultrapassaram o limiar de perdas calculado para cada dia. Métodos mais recentes levam em consideração a dimensão das perdas quando 1

13 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO comparadas à medida de risco. Um problema comum a todos os métodos é o baixo poder dos testes estatísticos, o que pode ser justificado pelo pequeno número de observações extremas nas amostras utilizadas. Isso poderia inviabilizar o uso de backtest para comparação e escolha de modelos de risco. Assim, o principal objetivo deste trabalho é analisar e comparar diferentes métodos de backtesting, de forma a entender as aplicações e limitações de cada método. Para tal, duas abordagens serão utilizadas: primeiramente, o poder dos testes será avaliado através de simulações, e em um segundo momento, os testes serão aplicados a diferentes modelos de riscos, com a utilização de séries financeiras reais. Com isso, espera-se responder a questões como: qual é o tamanho mínimo de amostra para obter resultados confiáveis; que características do modelo de risco e das séries financeiras impactam nos resultados do backtest; e como os resultados de diferentes métodos de backtesting se comparam quando aplicados às mesmas séries e modelos de risco. 1.1 Motivação Instituições financeiras, empresas e governos estão sujeitos a perdas decorrentes de oscilações nos preços de mercado de seus ativos. Essas oscilações, por sua vez, são causados por movimentos em taxas de juros, cotações de moedas e de ações e preços de commodities. O risco de perda decorrente destes movimentos é denominado risco de mercado. A má gestão de riscos de mercado tem sido a causa de falências de empresas e bancos, o que se torna particularmente preocupante em um cenário globalizado, onde as economias encontram-se fortemente interligadas e a falência de uma única instituição pode resultar em uma crise de grandes proporções. Jorion descreve em [14] alguns casos típicos de má gestão de risco de mercado. Entre eles, podemos citar o caso do Banco Barings, que faliu após 233 anos de funcionamento. Um único operador do banco assumiu uma posição extremamente elevada em futuros de índice Nikkei 225, compondo uma carteira que chegou a valer US$ 7 bilhões. Com a queda de 15% da bolsa japonesa, esses futuros sofreram uma queda de US$ 1,3 bilhão, A situação foi agravada pela posição vendida em opções e decisões equivocadas para conter as perdas, levando o banco à falência. Outro caso é o da Metallgeselschaft, um grande conglomerado industrial que assumiu contratos de longo prazo de venda de derivados de petróleo, fazendo o hedge 1 destas posições com contratos de curto prazo, rolados na medida em que venciam. Com a queda de 25% nos preços a vista, a empresa foi obrigada a depositar US$ 1 bilhão em chamada de margem, capital do qual não esperava ter que dispor, e levando a empresa a sérios prejuízos financeiros. Para evitar crises globais por conta de epiosódios como esses, diversos bancos centrais passaram a exigir que instituições financeiras aloquem capital suficiente para fazer face a perdas 1 O hedge é uma posição tomada para mitigar riscos decorrentes da variação de preços.

14 1.2. ESTRUTURA DO TRABALHO 3 extremas decorrentes de risco de mercado. Essas iniciativas originaram-se com o Acordo de Basileia II, que consiste em uma série de recomendações para legislação e regulação bancária. O Acordo de Basileia II foi publicado em junho de 2004 e revisado em 2006 pelo Comitê de Supervisão Bancária de Basileia, composto por membros de 29 países, entre eles Brasil, Estados Unidos, China, França, Alemanhã, Coreia, Rússia e Itália. Dois modelos são propostos neste acordo para mensuração de risco de mercado: um modelo padrão, onde o Banco Central define todas as metodologias e calibrações do modelo, e um modelo interno, onde a instituição financeira define o modelo mais adequado para seu funcionamento, com algumas restrições. Neste modelo, o risco deve ser mensurado através do chamado Value-at-Risk com nível de confiança de 99%, horizonte de tempo de dez dias e janela de dados mínima de um ano para estimação dos modelos, ficando cada instituição financeira livre para definir o modelo probabilístico mais adequado para as perdas da carteira, bem como as metodologias de estimação do modelo. O capital regulatório é determinado não apenas pelo Value-at-Risk, mas também pelo resultado dos backtests. O backtest indicado no Acordo de Basileia consiste em avaliar quantos dias no último ano a perda na carteira da instituição foi maior que medida de risco obtida por seus modelos. Dependendo do número de violações, o capital regulatório pode ser penalizado em até 1/3 a mais, ou ser considerado inadequado, caso o número de violações seja muito elevado. Este teste verifica apenas se o número de violações observado é compatível com o nível do VaR, mas testes mais sofisticados podem verificar outros aspectos do modelo, como a independência temporal entre as violações. O Acordo de Basileia III, publicado entre 2010 e 2011, e com introdução prevista para até 2015, propôs a substituição do Value-at-Risk pela Perda Esperada como medida de risco padrão. Porém, a escassez de metodologias de backtesting desta medida de risco tem sido um empecilho à sua adoção. Este trabalho descreve um backtest aplicável à Perda Esperada (Expected Shortfall), que por ser um trabalho recente, e por sua complexidade, ainda não tem sido aplicado no mercado. 1.2 Estrutura do trabalho O trabalho está estruturado da seguinte forma: O Capítulo 2 conceitua Valor em Risco (Value-at-Risk, ou VaR) e Perda Esperada (Expected Shortfall ou Conditional Value-at-Risk), cita as propriedades necessárias para que uma medida de risco seja coerente, e descreve alguns modelos para estimar medidas de risco. O Capítulo 3 descreve diferentes metodologias de backtesting tanto para o VaR como para Perda Esperada.

15 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO O Capítulo 4 consiste em estudos de casos, onde alguns modelos de risco serão avaliados através das metodologias de backtesting estudadas no Capítulo 3. O Capítulo 5 conclui o trabalho.

16 Capítulo 2 Medidas e modelos de risco Como já mencionado na introdução, um modelo de risco compreende a escolha de um modelo probabilístico para o retorno da carteira e um método para estimar a distribuição de probabilidade dos retornos. As medidas de risco (como quantis ou esperanças condicionais) são extraídas a partir desta distribuição. Além da escolha da família de distribuição dos retornos da carteira e das medidas de risco que serão utilizadas, diversas outras decisões devem ser tomadas ao se utilizar um modelo de risco. Uma lista não extensiva destas decisões seria: O retorno da carteira será explicado apenas por sua série histórica ou por outras variáveis econômicas? Neste caso, quais variáveis serão escolhidas, e como o retorno da carteira será modelado em função destas variáveis? Por exemplo, para representar o retorno de uma carteira de ações, podemos usar como variáveis explicativas índices setoriais ou as séries de retornos das ações que compõem a carteira; já para títulos de renda fixa, devemos escolher que vértices das curvas de juros serão utilizados. Qual será o tamanho das séries históricas utilizadas nas estimativas? Séries muito pequenas podem não ser estatisticamente significantes, enquanto séries muito grandes podem conter mudanças de regime que prejudicariam as estimativas. Que modelos serão usados para precificar os ativos da carteira? O modelo de apreçamento dos ativos vai influenciar diretamente na medida de risco obtida, seja no cálculo dos retornos hipotéticos da carteira, seja na função que relaciona a variação do preço do ativo ao retorno dos fatores de risco subjacentes. A precisão das medidas de risco dependem tanto do modelo escolhido como de sua estimação. Neste capítulo, descreveremos os modelos de risco que serão avaliados nos estudos de caso do Capítulo 5. Os modelos apresentados neste trabalho são frequentemente usados na indústria para mensuração de risco com horizontes de tempo curtos (como um ou dez dias úteis) [18]. Em 5

17 6 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO seguida, serão apresentadas duas medidas de risco: Valor em Risco (VaR) e Perda Esperada (PE), também conhecido como Expected Shortfall, Conditional Value-at-Risk (CVaR) ou Average Value-at-Risk [20]. A escolha destas medidas também deveu-se à sua popularidade e à grande diversidade de trabalhos acadêmicos sobre as mesmas. Notações e convenções adotadas Antes de partir para as definições, é conveniente estabelecer algumas notações a serem utilizadas ao longo deste trabalho. O horizonte de tempo (ou holding period) para estimativa de retornos é dado por. Exceto quando mencionado ao contrário, será de um dia útil. A seguinte convenção será adotada para séries históricas e variáveis aleatórias indexadas no tempo: O índice t (como em x t ) representará o instante t. Séries de valores observados serão representados em letras minúsculas (como x t ), e variáveis aleatórias, em maiúsculas (p. ex. X t ). Se a variável ou elemento da série for um vetor (ou vetor aleatório), será representado em negrito (p. ex. X t ) Quando a variável ou elemento da série se referir a um retorno, a indexação no tempo indicará o final do período. Por exemplo, o retorno Z t+1 é a variação de uma grandeza da data t a (t + 1). De modo geral, o retorno da carteira na data t será representado por x t e X t (respectivamente, um valor observado e uma variável aleatória), e os vetor de retornos dos fatores de risco, por z t e Z t. O estimador de um parâmetro θ será denotado por ˆθ. Estatísticas de ordem: A série ordenada por valor dos elementos de uma série temporal {x i } T i=1 serão representados por {x (j) } T j=1, onde x (1) x (2)... x (T ). Retornos hipotéticos Ao modelar o retorno de uma carteira para um determinado horizonte de tempo, tipicamente não serão consideradas mudanças nas quantidades dos ativos da carteira dentro deste período. Da mesma forma, as séries históricas dos retornos de uma carteira usadas nos backtests e no cálculo de VaR e PE históricos não serão formadas por retornos reais (dado pelas quantidades de

18 2.1. MODELOS DE RISCO 7 cada ativo e seus valores em cada data da série). Ao invés destes, usaremos séries de retornos hipotéticos. A série de retornos hipotéticos é obtida fixando-se as posições da carteira na data t e calculando o seu valor conforme as variáveis de mercado observadas nas para as últimas n datas. Denotando por v (t,t i), 0 i n o valor da carteira com as posições da data t e variáveis de mercado da data t i, temos que o retorno hipotético da carteira com posições da data t e dados de mercado de t i é dado por: h (t,t i) = log(v (t,t i) ) log(v (t,t i 1) ), i {0, 1, 2,..., n 1} O motivo para a utilização dos retornos hipotéticos em detrimento dos retornos reais fica claro com o seguinte exemplo. Suponha que desejamos modelar a distribuição do retorno de uma carteira de ações de hoje até o próximo dia útil, e o desvio padrão deste retorno seja estimado pelo desvio padrão amostral dos últimos 5 retornos. Suponha agora que a composição da carteira e os valores das ações A e B sejam dadas conforme a Tabela 2.1 (coluna Qtde. para as quantidades e P.U. para os preços unitários da ação). Se usamos o retorno real da carteira, estamos considerando aplicações, resgates e mudanças em sua composição na formação dos retornos, o que não reflete a volatilidade estimada da posição da carteira na data t. Assim, para estimar o desvio padrão desta carteira composta por 3 ações A e 7 ações B em t, deve-se observar como uma carteira fixa com estas posições se comportaria no tempo, e para isso, é preciso usar os retornos hipotéticos. Observe na última linha da tabela a diferença na estimativa do desvio padrão usando retornos reais e hipotéticos. Tabela 2.1: Comparação da estimativa de volatilidade usando retornos reais e hipotéticos. Data Ação A Ação B V. Real R. Real V. Hip. R. Hip. Qtde. P.U. Ret. Qtde. P.U. Ret. t $ $7.00 $50.00 $64.00 t $ % 1 $ % $ % $ % t $ % 3 $ % $ % $ % t $ % 3 $ % $ % $ % t $ % 5 $ % $ % $ % t 3 $ % 7 $ % $ % $ % D.P. 5.51% 3.91% 9.25% 2.62% 2.1 Modelos de risco Como já foi mencionado na introdução deste capítulo, a definição de um modelo de risco inicia com a escolha de uma distribuição para os retornos, e prossegue com a estimativa dos

19 8 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO parâmetros desta distribuição. Mais precisamente, o problema de estimar a distribuição dos retornos consiste em definir a seguinte função de distribuição de probabilidade: F (X t+1 Ω t ) (2.1.1) onde Ω t é o conjunto de informações conhecidas até o instante t. É sobre essa distribuição que serão aplicadas as medidas de risco. Note que a distribuição estimada dos retornos varia a cada data t + 1, já que o conjunto dos dados conhecidos até t também varia com o tempo. De acordo com a distribuição selecionada para os retornos da carteira, o modelo pode ser classificado em paramétrico, onde os retornos são modelados através de distribuições paramétricas como a normal ou a t de Student, ou não paramétricos, onde as medidas de risco são extraídas da distribuição empírica dos retornos históricos ou simulados. Modelos de risco também podem ser classificados em condicionais, como o modelo GARCH (Generalized Auto- Regressive Conditional Heteroscedasticity) ou não-condicionais, como o modelo paramétrico normal não-condicional. A distribuição dos retornos da carteira é estimada a partir de dados históricos, que podem ser séries de retornos dos fatores de risco ou a própria série de retornos da carteira. De acordo com o modelo escolhido, as séries podem ser usadas para estimar os parâmetros da distribuição da própria carteira ou dos fatores de risco, ou como insumo de simulações. O tamanho das séries históricas é determinante para a estimativa da distribuição, e consequentemente, para o valor da medida de risco. Esse fato será ilustrado nos estudos de caso, onde será possível observar o impacto da existência de períodos de crise nas séries históricas Modelos paramétricos univariados Uma maneira simples de estimar medidas de risco de uma carteira é modelar seu log-retorno X t+1 através de uma distribuição paramétrica univariada. Essa distribuição é estimada a partir da série de retornos hipotéticos da carteira. Na prática, modelos multivariados costumam apresentar melhores resultados por explicitarem as correlações entre os ativos de risco que compõem a carteira, mas apresentaremos primeiramente os modelos univariados para ilustrar alguns conceitos importantes para os demais modelos. Modelos paramétricos não-condicionais Em um modelo paramétrico não-condicional, assume-se que os log-retornos possuem uma distribuição paramétrica, como, por exemplo, a Normal. Por ser um modelo não-condicional, assume-se que os retornos são independentes e identicamente distribuídos. Uma primeira abordagem para a estimativa dos parâmetros é usar estimadores de máxima

20 2.1. MODELOS DE RISCO 9 verossimilhança (EMV). Se X t N(µ, σ), sabe-se que os EMV para a média µ e variância σ 2 equivalem à media e à variância amostrais dos últimos N log-retornos, {x i } t 1 i=t N : N ˆµ = 1 N ˆσ = 1 N i=1 x t i N (x t i µ) 2 = i=1 N i=1 x2 t i N ˆµ 2 Distribuições como a t de Student podem apresentar um ajuste melhor aos dados por terem caudas mais pesadas. Mas, a menos que o número de graus de liberdade desta distribuição seja pré-fixado, ele precisa ser estimado através de métodos de otimização. Uma desvantagem dos métodos não-condicionais pode ser observada na Figura 2.1, que ilustra as volatilidades do dólar de 2007 a 2011 estimadas por diversos métodos. É um fato estilizado conhecido que séries financeiras apresentam heteroscedasticidade condicional (ou clusters de volatilidade), como ocorreu na crise de Podemos observar o efeito desse período na linha em vermelho do gráfico (b), que mostra a série de volatilidade do dólar estimada pelo método não condicional com janela de um ano de dados. Como todas as amostras da janela têm o mesmo peso, picos de volatilidade na amostra causarão um aumento súbito na estimativa, que irá persistir enquanto o período de crise estiver na janela de amostragem. Após sua saída, a volatilidade cairá abruptamente e permanecerá em valores baixos, até que ocorra um novo período de estresse na série. Modelo EWMA Para contornar esse efeito, modelos condicionais podem ser utilizados. Uma possibilidade é usar o modelo EWMA (Exponentially Weighted Moving Average). Este modelo foi proposto pela equipe do JP Morgan dentro de sua metodologia RiskMetrics T M de avaliação de riscos financeiros [19]. O EWMA atribui pesos diferentes aos retornos da janela de amostragem, onde pesos maiores são atribuídos a retornos mais recentes, e o decaimento dos pesos ao longo do tempo se dá exponencialmente. A variância σ t+1 é estimada recursivamente no modelo EWMA como: ˆσ t+1 = λˆσ t + (1 λ)(x t µ) 2 N = (1 λ) λ i (x t i µ) 2 i=0 onde 0 < λ < 1 é o fator de alisamento exponencial, sendo tipicamente próximo a 0.95, e N é o tamanho da janela. Quanto menor for λ, menor será a persistência do modelo, e maior será a sensibilidade a variações recentes. A soma dos pesos atribuídos a cada variação é igual a 1.

21 10 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO (b) Volatilidade (a) Log Retorno (c) Volatilidade (d) Volatilidade Figura 2.1: Log-retornos do dólar de 2007 a 2011 (a) e volatilidades estimadas pelos modelos não-condicional (b), EWMA (c) e GARCH(1,1). Em (b), o tamanho da janela é de 6 meses na linha azul e 1 ano na linha vermelha. Em (c), o fator de decaimento do EWMA é de 0.9 em azul, e 0.97 em vermelho. E (d), a janela usada para estimativa do GARCH é de 1 ano. O gráfico (c) da Figura 2.1 ilustra a volatilidade do dólar estimada pelo método EWMA. Observe que a volatilidade responde mais rápida e intensamente a grandes variações que o modelo não-condicional. Em contrapartida, a volatilidade cai mais rapidamente, onde a velocidade desta queda é dada pelo fator de decaimento, e não pelo tamanho da janela utilizada. Vale notar que no método EWMA o tamanho da janela determina apenas onde a série de pesos será truncada. Idealmente, esse tamanho deve ser ajustado para ser o menor possível em que a soma dos pesos esteja suficientemente próxima de 1, adotando uma solução de compromisso entre eficiência computacional e precisão da estimativa.

22 2.1. MODELOS DE RISCO 11 Modelo GARCH O modelo GARCH (Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity) foi proposto por Bollerslev em [5], e é base para um grande número de modelos de séries temporais amplamente utilizados em finanças. Definição 1. Seja {Z t } t Z um ruído branco 1 com média zero e desvio padrão 1. {X t } t Z é um processo GARCH(p,q) se é estritamente estacionário e satisfaz, para todo t Z e algum processo {σ t } t Z, a: X t = σ t Z t σ 2 t = α 0 + p q α i Xt i 2 + β j σt j 2 i=1 j=1 Em particular, o modelo GARCH(1,1) tem a forma: X t = σ t Z t σ 2 t = α 0 + α 1 X 2 t 1 + βσ 2 t 1 A equação da definição 1 é adequada para modelar séries com clusters de volatilidade. Como exemplo, observe no modelo do GARCH(1,1) que X t tende a assumir um valor maior quando a volatilidade σ t for maior, o que pode ocorrer quando X t 1 ou σ t 1 são grandes. Em outras palavras, o modelo implica em persistência de altas volatilidades. Algumas propriedades matemáticas de processos GARCH valem destaque: Média e variância condicionais: Seja F t = σ(x s : s t) a σ-álgebra que representa o processo até o tempo t. A definição 1 garante que σ t é F t -mensurável. Com isso, temos que: E[X t F t 1 ] = E[σ t Z t F t 1 ] = σ t E[Z t F t 1 ] = σ t E[Z t ] = 0 E[Xt 2 F t 1 ] = E[σt 2 Zt 2 F t 1 ] = σt 2 E[Zt 2 F t 1 ] = σt 2 Essa propriedade mostra que o modelo é heteroscedástico, já que a variância condicional do processo muda ao longo do tempo. Condição para estacionariedade: Um processo {X t } t Z é estritamente estacionário se para todo t 1,... t n, k Z e todo n N, os vetores (X t1,..., X tn ) e (X t1 +k,..., X tn+k) possuem a mesma distribuição. Em particular, o processo GARCH(1,1) é estritamente estacionário se E[ln(α 1 Zt 2 + β)] < 0. 1 Um ruído branco é um processo estacionário de segunda ordem com autocorrelação nula para lags diferentes de zero.

23 12 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO Séries financeiras costumam ser melhor ajustadas a modelos GARCH de ordens baixas, sendo o GARCH(1,1) uma escolha bastante frequente. As inovações Z t são tipicamente modeladas com distribuição normal ou t de Student, onde esta última tem a vantagem de capturar as caudas pesadas de retornos financeiros, mas pode demandar o ajuste de um parâmetro adicional (o grau de liberdade da distribuição). Um contorno para isso é fixar o número de graus de liberdade. Em [6], Bollerslev conclui que 8 graus de liberdade são, de modo geral, uma boa parametrização para séries financeiras. O modelo GARCH permite ainda uma série de variações. Em [7], Bollerslev cita mais de 100 modelos inspirados no ARCH e no GARCH. Em [13], são comparados 330 modelos e suas possíveis variações da família GARCH para modelar retornos intra-diários de câmbio de Marco Alemão por Dólar e de ações da IBM. Surpreendentemente, os autores não puderam identificar nenhum modelo significativamente superior ao GARCH(1,1). Passemos agora ao ajuste de um modelo GARCH(1,1) a uma série histórica. Suponha que a distribuição condicional de X t+1 será estimada com base nos t + 1 últimos retornos observados x 0, x 1,..., x t. Os parâmetros α 0, α 1 e β de um modelo GARCH(1,1) são estimados por máxima verossimilhança, onde a densidade conjunta de probabilidade é dada por: L(α 0, α 1, β x 0, x 1,..., x n ) = f X1,...,X t X 0,σ 0 (x 1,..., x t x 0, σ 0 ) (2.1.2) t = f Xi X i 1,...,X 0,σ 0 (x i x i 1,..., x 0, σ 0 ) (2.1.3) = i=1 t i=1 1 σ i g ( Xi onde g(z) é a densidade de probabilidade das inovações {Z t } t Z. σ i ) (2.1.4) As volatilidades σ i, 0 i n não podem ser observadas, mas exceto por σ 0, podem ser calculadas em função de retornos e volatilidades anteriores. Resolvendo a recursão da expressão 2.1.2, temos que: ( ) 1 β σt 2 t = α 0 1 β t + α 1 β t i Xi β t σ0 2 Essa equação pode ser demostrada facilmente por indução: i=1 ( ) 1 β σ1 2 1 = α 0 + α 1 β 0 X0 2 + β 1 σ0 2 1 β = α 0 + α 1 X βσ 2 0

24 2.1. MODELOS DE RISCO 13 e, por indução: σt 2 = α 0 + α 1 Xt βσt 1 2 [ ( ) ] 1 β = α 0 + α 1 Xt 1 2 t 1 t 1 + β α 0 + α 1 β t 1 i Xi β t 1 σ0 2 1 β i=1 ( )] [ ] 1 β t 1 t 1 = α 0 [1 + β + α 1 Xt β β t 1 i Xi β t σ0 2 1 β i=1 ( ) 1 β t t = α 0 + α 1 β t i Xi β t σ0 2 1 β i=1 Como σ 0 não pode ser estimado, seu valor deve ser arbitrado. Duas escolhas são para σ 0 são a variância amostral de X 0, X 1,..., X t, ou simplesmente assumí-lo como zero. Para uma amostra suficientemente grande, essa escolha não terá impacto relevante, já que o termo que multiplica σ 0 é β t, que tende a zero quando t tende a infinito. Substituindo-se essa equação em 2.1.2, obtemos a expressão de verossimilhança que deve ser maximizada para estimar os parâmetros do GARCH. Note que dependendo da distribuição assumida para as inovações, pode ser que parâmetros adicionais desta distribuição também precisem ser estimados Modelos de variância-covariância No método da variância-covariância, assume-se que o retorno de uma carteira é dado pela combinação linear dos retornos dos fatores de risco a que está exposta, ou seja: X t = d w i Z i,t (2.1.5) i=1 onde d é o número de fatores de risco, w i é a exposição da carteira ao fator de risco i e Z i,t é o retorno o i-ésimo fator de risco na data t. Esse modelo tem como premissa que, para pequenas variações nos fatores de risco, a variação no preço total da carteira se comporta de forma linear. O vetor de retornos dos fatores de risco Z t é modelado através de uma distribuição multivariada fechada sob operadores lineares, de forma que a distribuição do retorno da carteira seja da mesma família da distribuição dos fatores de risco e possa ser definida em termos da matriz de covariâncias dos retornos. Para utilizar este método, é necessário que a carteira seja decomposta nas exposições em fatores de risco. Dependendo dos instrumentos da carteira, é importante verificar se a representação de seus retornos sob a forma linear é uma aproximação satisfatória. Uma distribuição muito utilizada neste método é a normal, ou seja, Z t N d (µ t, Σ t ), onde µ t é o vetor de retornos esperados dos fatores de risco estimado para a data t e Σ t R d d é a

25 14 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO matriz de variância-covariância. Neste caso, a distribuição de X t também é normal com média w T µ t e variância w T Σ t w. Outras distribuições podem ser utilizadas, como a t de Student e as distribuições hiperbólicas generalizadas, dando mais peso às caudas da distribuição. Para a distribuição normal multivariada não-condicional, os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros µ e Σ podem também ser a média e a variância-covariância amostrais, como no caso univariado: N ˆµ t = 1 N ˆΣ t = 1 N i=1 z t i N (z t i ˆµ) T (Z t i ˆµ) i=1 Tipicamente, assume-se que µ é zero, já que é um fato estilizado conhecido que séries de retornos financeiros têm médias aproximadamente nulas. O modelo EWMA também pode ser estendido para um modelo multivariado normal. Neste caso, o estimador da matriz de variâncias-covariâncias Σ assume a seguinte forma: ˆΣ t+1 = λˆσ t + (1 λ)(z t µ)(z t µ) T N = (1 λ) λ i 1 (Z t i µ) T (Z t i µ) i= Método da Simulação Histórica No método da Simulação Histórica, os retornos da carteira são modelados através da distribuição empírica dos retornos hipotéticos. A distribuição empírica é definida por um conjunto de observações de uma variável aleatória: Definição 2. Sejam X 1, X 2,..., X n R variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F (x). A função de distribuição empírica F n (x) é definida como: F n (X) = 1 n n I (,x] (X i ) i=1 A hipótese de que a distribuição empírica é uma boa aproximação para sua distribuição real encontra fundamento no Teorema de Glivenko-Cantelli [22]: Teorema 1 (Glivenko-Cantelli). F n F = sup F n (x) F (x) 0 q.c. x R

26 2.1. MODELOS DE RISCO 15 Este teorema requer que duas hipóteses sejam assumidas: primeiro, que os retornos hipotéticos sejam independentes e identicamente distribuídos, o que classifica o método como não-condicional. A segunda hipótese diz respeito ao número de amostras, que deve ser suficientemente grande para que a diferença entre as distribuições real e empírica seja satisfatória. A Figura 2.2 ilustra a influência do tamanho da amostra: as quatro distribuições foram obtidas da mesma série (de dólar), com tamanhos de amostra entre 6 meses e 5 anos de dados, sendo que a última data de todas as amostras é a mesma (30/12/2011). A linha pontilhada equivale a 5% de probabilidade, e permite visualizar a diferença no quantil para diferentes tamanhos de amostra Figura 2.2: Distribuições empíricas do dólar para amostras de 6 meses, 1, 2 e 5 anos de dados (respectivamente, as linhas preta, vermelha, verde e azul). Apesar das condições acima não serem satisfeitas, este método apresenta duas vantagens em relação aos anteriores: é de fácil implementação e não requer que nenhuma hipótese sobre a distribuição dos retornos seja feita. O cálculo do VaR e da Perda Esperada a partir dos retornos ordenados é particularmente fácil, como será visto a seguir Método de Monte Carlo Uma alternativa para o método de simulação histórica é a simulação de Monte Carlo. Este método também se baseia na distribuição empírica dos retornos da carteira. Mas, ao invés de usar retornos hipotéticos, o método utiliza retornos gerados por um número elevado de simulações. A geração dos retornos consiste nos seguintes passos:

27 16 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO 1. Simular diversos cenários a partir da distribuição conjunta dos fatores de risco que compõem a carteira. 2. Para cada cenário, calcular o retorno da carteira a partir dos valores dos fatores de risco do cenário. 3. Gerar a distribuição empírica dos retornos calculados no passo anterior. Para que o primeiro passo seja realizado, é preciso que o retorno da carteira possa ser expresso em termos dos retornos de fatores de risco (como retornos de ações, de índices e de vértices de curvas de juros), e que a distribuição conjunta destes fatores de risco seja estimada. A complexidade computacional do método depende do número de cenários simulados, do número de fatores de risco e da complexidade da estimativa da distribuição dos fatores de risco. 2.2 Medidas de Risco Em diversos trabalhos [15], [3], [18] encontra-se a seguinte definição matemática para risco: Definição 3. Seja um espaço de probabilidade m = (Ω, F, P), onde Ω é o conjunto dos possíveis estados da economia, F é uma σ-álgebra e P é uma medida de probabilidade P : F [0, 1]. Um risco X(ω), ω Ω é uma variável aleatória real definida em Ω. Em termos concretos, podemos entender retornos de ativos e de carteiras em um determinado instante t como riscos: essas grandezas são variáveis aleatórias reais cujo valor depende do estado da economia até o momento em que forem observados. Artzner aponta em [3] que o risco está relacionado com a variação do valor futuro de uma carteira, já que apenas valores no futuro estão sujeitos a incertezas. No contexto da definição 3, Kerkhof define medida de risco de uma maneira bastante genérica: Definição 4. Seja M(m) o conjunto dos possíveis riscos definidos em Ω. Uma medida de risco é uma função ρ : M(m) R { }. Em outras palavras, a medida de risco resume um risco através de um valor real. Nesta seção, serão apresentadas duas medidas de risco: o Valor em Risco (VaR) e Perda Esperada (PE). Em linhas gerais, o VaR de uma carteira representa um quantil superior da perda estimada da carteira (ou, analogamente, um quantil inferior do retorno), sendo a medida de risco recomendada por Basileia II e adotada como padrão por diversas instituições financeiras e órgãos reguladores no Brasil. A Perda Esperada, como o nome já indica, é o valor esperado da perda dado que essa perda foi superior ao VaR. Há uma tendência que a Perda Esperada passe a ser a medida de risco recomendada pelas próximas versões de Basileia, uma vez que ela é mais informativa sobre a real dimensão das perdas extremas da carteira.

28 2.2. MEDIDAS DE RISCO Definições e Exemplos de VaR e Perda Esperada A definição matemática de VaR remete à definição de quantis: se X é a variável aleatória que representa os retornos de uma carteira, o VaR α (X), X (0, 1) é dado por [1], [15]: VaR α (X) = Q α (X) = sup{x R P(X x) α} = inf{x R P(X x) > α} (2.2.1) onde Q α (X) é o α-quantil superior de X. Denotando a distribuição de probabilidade de X por F (x) = P(X x), podemos simplificar a notação, escrevendo: VaR α (X) = F (α) (2.2.2) onde F (x) = inf{x R P(X x) > α} é também conhecida como a inversa generalizada da função de distribuição F [18]. A Perda Esperada de nível α é dado por [1]: PE α (X) = 1 α ( [ ] E XI(,Q α (X)] + Q α (X)(α P(X Q α (X))) ) (2.2.3) Se F(X) é uma função contínua, então P(X Q α (X)) = α, e a expressão acima se reduz a: PE α (X) = 1 α ( E [ XI(,Q α X]]) (2.2.4) Notação adotada para VaR e Perda Esperada Neste trabalho, o nível do VaR e da PE será denotado por α. Em relação ao nível do VaR, é possível encontrar duas convenções na literatura. Em [14], [18], [4] e [21], o nível do VaR é de fato um nível de confiança, sendo tipicamente um valor próximo de 1, como 95% ou 99%. Em outros trabalhos, como [3] e [10] esse nível é próximo de 0, como 1% ou 5%. Essa última convenção será adotada ao longo do trabalho. Exemplo 1: VaR e Perda Esperada de um ativo com distribuição normal A título de ilustração, vamos calcular o VaR e o PE de um ativo com distribuição dos retornos X N (µ, σ), e sejam Φ(.) e φ(.), respectivamente, as funções de distribuição e densidade de probabilidade normais padrão. Temos, então, que: VaR α (X) = µ σφ 1 (α)) PE α (X) = 1 α Φ 1 (α) x σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dx = µ σ φ(φ 1 (α)) α

29 18 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO Figura 2.3: VaR e Perda Esperada de nível 10% para retornos com distribuição normal padrão. A área cinza corresponde a 10% de probabilidade. Exemplo 2: VaR e Perda Esperada de um ativo com distribuição t de Student Seguindo o mesmo raciocínio que no exemplo anterior, temos que se X t(ν, µ, σ): VaR α (X) = µ σt 1 ν (α) PE α (X) = µ σ g ν(t 1 ν (α)) α ( ν + (t 1 ν (α)) 2 ν 1 onde t ν (.) e g ν (.) são, respectivamente, as funções de distribuição e densidade de probabilidade t de Student com ν graus de liberdade. ) Exemplo3: VaR e Perda Esperada de um ativo a partir de sua distribuição empírica Ao calcular o VaR e a Perda Esperada de um ativo a partir de sua distribuição empírica, pode-se perceber as implicações das descontinuidades na função de distribuição. Para ilustrar o cálculo, considere a função de distribuição da Figura 2.4. O exemplo ilustra o VaR com nível de 20% (na figura, é a linha pontilhada em vermelho). Conforme a definição de quantis dada em 2.2.1, podemos ver no exemplo abaixo que as duas definições se equivalem: X = {x R P(X x) 0.2} = (, 1) sup(x ) = 1 X + = {x R P(X x) > 0.2} = [ 1, ) inf(x + ) = 1 Como a função de distribuição é uma função crescente, e os conjuntos X e X + são complementares, o primeiro terá sempre a forma (, VaR α ), e o segundo, [ VaR α, ).

30 2.3. MEDIDAS COERENTES DE RISCO 19 Distribuição de Probabilidade Retorno Figura 2.4: Exemplo de distribuição empírica. Reproduzindo a equação de Perda Esperada em 2.2.3: PE α (X) = 1 ( [ E XI(,Q (X)]] α α + Q α (X)(α P(X Q α (X))) ) { E [ XI (,Q (X)]] onde α = 0.2( 2) + 0.2( 1) = 0.6 P(X Q α (X)) = 0.4 PE α (X) = 1 ( 0.6 1( )) = Medidas coerentes de risco A definição 3 de medida de risco é bastante flexível e comporta o Valor em Risco e a Perda Esperada. De fato, qualquer função real definida em M(m) pode ser uma medida de risco a partir desta definição. Apesar de flexível, essa definição não impõe determinadas condições que seriam desejáveis a uma medida de risco. Por exemplo, a função f(m) = k, onde k é uma constante qualquer, se encaixa na definição de medida de risco em 3. Neste contexto, Artzner define em [3] um conjunto de axiomas que caracterizam uma medida de risco coerente. Esses axiomas são: 1. Monotonicidade: X M(m), X 0 ρ(x) 0 Este axioma indica que quando não há risco de perda (X 0), a medida de risco não pode ser maior que zero. Da mesma maneira, uma medida de risco maior que zero implica que existe uma probabilidade não nula de perda. Por outro lado, uma carteira pode ter

31 20 CAPÍTULO 2. MEDIDAS E MODELOS DE RISCO medida de risco menor que zero e ainda assim apresentar probabilidade não nula de perda. 2. Sub-aditividade: X, Y, X + Y M(m) ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ) A sub-aditividade diz respeito ao efeito de diversificação de carteiras: o risco de duas carteiras, quando avaliadas conjuntamente, deve ser no máximo igual à soma do risco individual de cada carteira, podendo ser menor. Em outras palavras, a diversificação tem o poder de reduzir o risco de uma carteira. 3. Homogeneidade positiva: X M(m), λ R ρ(λx) = λρ(x) Este axioma significa que multiplicar as posições de uma carteira por um escalar vai multiplicar o risco por esse mesmo escalar. 4. Invariância à translação: X M(m), k R ρ(x + k) = ρ(x) k A carteira (X + k) equivale a adicionar à carteira ativos livres de risco cujo valor é k. Isso equivale à translação na distribuição das perdas em k, e portanto a perda será reduzida exatamente neste montante. Conforme demonstrado em Artzer [2], a Perda Esperada é uma medida coerente. Já o Valor em Risco é monotônico, positivamente homogêneo e invariante à translação, mas não é subaditivo, e portanto, não é uma medida de risco coerente. É possível mostrar esse fato a partir de um exemplo simples: sejam 100 debêntures, todas emitidas por empresas diferentes, e cada uma com 2% de probabilidade de inadimplência. O preço de cada debênture é $100 e os eventos de inadimplência das debêntures são independentes entre si. Não havendo inadimplência, o retorno de cada debênture é de $5, e havendo, todo o valor é perdido (ou seja, o retorno é de -$100). Denotando por I i o evento de inadimplência da debênture i, temos que o retorno da carteira com N debêntures é dado por X = N i 5(1 I i ) 100I i. Sejam agora duas carteiras: a carteira A possui uma das debêntures, e a carteira B é composta pelas outras 99 debêntures. O Var de nível 5% da carteira A é igual a -$5, enquanto o da carteira B é o equivalente a 4 empresas inadimplentes em 99 2, o que dá uma perda de 4 $100 (99 4) $5 = $75. Por fim, o VaR da carteira (A+B) equivale a 4 inadimplências em 100, com uma perda de 5 $100 (100 5) $5 = $25. Ou seja, VaR(A+B) = $25 > Var(A) + VaR(B) = (-$5) + (-$75) = -$80, contradizendo a sub-aditividade. VaR. Por fim, vale notar que se a distribuição das carteiras é normal, vale a sub-aditividade do 2 Para esse resultado, usou-se a inversa generalizada da distribuição binomial

32 Capítulo 3 Backtesting Modelos de risco são usados na tomada de decisões tanto por gestores de investimentos, que desejam adequar a relação entre o retorno desejado e o risco incorrido, como por autoridades reguladoras, que devem observar se as instituições financeiras estão assumindo mais riscos que seu patrimônio pode suportar. Por isso, as estimativas de perda fornecidas pelos modelos de risco devem ser constantemente avaliadas através de backtesting, que compara as estimativas de risco com perdas ocorridas de fato através de testes estatísticos. Os métodos mais populares de backtesting, como os propostos em [16], [9] e [10], analisam a série de violações do VaR, ou seja, em que momentos a perda incorrida foi maior que o VaR estimado pelo modelo de risco. Como a probabilidade de violação do VaR de nível α é igual a α, então podemos afirmar que se o modelo de risco estiver correto, a série de violações será uma série i.i.d. de variáveis aleatórias com distribuição Bernoulli com parâmetro α. Os dois trabalhos citados acima usam testes de razão de verossimilhança para verificar essa hipóteses. Dependendo da propriedade que está sendo avaliada, os backtests baseados em violações são classificados na literatura como testes de cobertura incondicional, testes de independência ou testes de cobertura condicional (que avaliam conjuntamente o nível do VaR e a independência das violações). Por desconsiderar a magnitude das perdas, métodos de backtesting baseados em séries de violações não podem ser aplicados ao Expected Shortfall. Há poucos trabalhos na literatura sobre backtesting desta medida de risco. Em um deles, Kerkhof e Melenberg desenvolveram um framework para backtesting de uma medida de risco qualquer [15], que consiste em um teste de hipótese cuja estatística observada é a diferença entre a medida de risco proveniente do modelo de risco e a medida aplicada à distribuição histórica das perdas. Uma das críticas aos métodos de backtesting apresentados a seguir é a baixa taxa de rejeição de modelos mal especificados. Como será mostrado a seguir, o poder dos testes pode ser indesejavelmente baixo quando o tamanho da amostra usada no backtest é pequena. Outro problema é que os métodos são baseados na distribuição assintótica das estatísticas de teste. 21

33 22 CAPÍTULO 3. BACKTESTING Essa distribuição pode ter uma diferença significativa para a distribuição real. Nas próximas seções, serão estudados diversos modelos de backtesting. Foram selecionados métodos amplamente utilizados no mercado, como o método de Kupiec [16] e de Christoffersen [9], ou métodos que se propõem a corrigir deficiências observadas nos métodos mais populares, como o testes baseados em duration [10] e o método de Kerkhof e Melenberg [15]. Para simplificar a apresentação dos métodos a seguir, consideraremos o horizonte de tempo de um dia, exceto quando explicitado. A extensão para outros horizontes de tempo será descrita ao final do capítulo, e alterações de posições na carteira de um dia para o outro serão desconsideradas. 3.1 Backtestings baseados em violações Seja {Y t } T t=1 a série dos retornos observados, e {VaR t } T t=1 a série das estimativas de VaR de nível α. Diz-se que houve uma violação na data t quando a perda da carteira em t foi maior que o VaR estimado para essa data. Assim, a sequência de violações {Y t } T t=1 é dada por: I t = { 1, se Y t < VaR t 0, caso contrário Se o modelo de VaR foi especificado corretamante, a probabilidade da perda Y t ser maior que VaR t é igual a α. Assim, espera-se que a série {I t } seja i.i.d. com distribuição Bernoulli(α). O teste de Kupiec é um teste de cobertura incondicional, e os testes propostos por Christoffersen ([9] e [10]) são testes de independência e de cobertura condicional Teste de Kupiec O teste de Kupiec consiste em um teste de hipótese sobre o nível θ do VaR estimado pelo modelo de risco: H 0 : θ = α H 1 : θ α Sob a hipótese nula, {I t } tem distribuição Bernoulli(α), e portanto o total de violações V tem distribuição binomial: T V = I t Binomial(T, α) t=1 O autor propõe usar o teste da razão de verossimilhança para testar a hipótese nula em

34 3.1. BACKTESTINGS BASEADOS EM VIOLAÇÕES 23 Tabela 3.1: Intervalos de violações no teste de Kupiec α T Teste 1% Teste 5% 1% 250 [0, 7] [1, 6] 1% 500 [1, 11] [2, 9] 1% 1000 [4, 19] [5, 16] 1% 2000 [10, 32] [12, 29] 5% 250 [5, 22] [7, 19] 5% 500 [14, 38] [17, 35] 5% 1000 [34, 68] [38, 64] 5% 2000 [76, 126] [82, 119] (3.1.1). A estatística do teste é dada por: Λ(V ) = 2 ln sup θ L(α V ) {L(θ V ) : θ [0, 1]} = ( ) α V (T V ) (1 α) 2 ln ˆα V (1 ˆα) (T V ), se V > 0 2 ln ( (1 α) T ), se V = 0 onde L(.) é a função de verossimilhança, ˆα = V/T é o estimador de máxima verossimilhança de α e, assintoticamente, Λ(V ) χ 2 (1) 1. A Tabela 3.1 mostra os valores mínimo e máximo de violações para não-rejeição no teste de Kupiec com níveis de confiança de 1% e 5%, níveis de VaR de 1% e 5% e tamanho da amostra T variando de 250 a 2000 dias. Observe que para os valores menores de T, a faixa de violações na região de não-rejeição é relativamente ampla. Por exemplo, se T = 250, 6 violações não são suficientes para rejeitar o VaR de 1%. O valor de máxima verossimilhança para α quando V = 6 é ˆα = 6/250 = 2, 4%, siginificativamente maior que o nível esperado do VaR (de 1%). Isso sugere um erro de tipo II grande. 1 Em um teste de razão de verossimilhança, a estatística de teste é assintoticamente distribuída como uma chi-quadrada. O grau de liberdade é dado pela diferença entre o número de parâmetros livres nos modelos associados às hipótese nula e alternativa. O modelo da hipótese nula não possui parâmetros livres, pois supõese que θ = α. Já na hipótese alternativa, o parâmetro θ é livre.

35 24 CAPÍTULO 3. BACKTESTING Análise do poder do teste O poder do teste de Kupiec (probabilidade de rejeitar o modelo quando a hipótese nula é falsa) é dado por: onde: (1 β) = 1 V max v=v min a hipótese alternativa tem a forma θ = α a ; ( ) T α v (T v) v a(1 α a ) [V min, V max ] é o intervalo de confiança para o número de violações, conforme o nível de confiança do teste. A Figura 3.1 mostra o poder deste teste para diversas hipóteses alternativas e para vários tamanhos de amostra T. Neste gráfico, percebe-se que o poder de teste depende fortemente do tamanho da amostra: no teste de nível de 5%, quando o tamanho da amostra é de 2000 dias, são rejeitados mais de 90% dos modelos com nível de VaR de 2% (ou seja, 2 vezes mais que o nível de VaR da hipótese nula). Já se o tamanho da amostra é de 250 dias, essa taxa de rejeição cai para pouco mais de 20%. Figura 3.1: Poder do teste de Kupiec com nível de confiança de 5%(abaixo) para VaR de 1% e diversos tamanhos de amostra Testes de Independência Serial das Violações Como observado por Mandelbrot em [17], grandes variações [nos preços de ativos financeiros] tendem a ser seguidas por grandes variações, em qualquer direção, e pequenas variações tendem a ser seguidas por pequenas variações. É desejável que o modelo VaR capture esse fato

36 3.1. BACKTESTINGS BASEADOS EM VIOLAÇÕES 25 estilizado, sendo maior (e portanto, mais conservador) nos períodos de mais turbulência no mercado. Se o modelo de risco considera a volatilidade como sendo constante, é provável que as violações ocorram com frequência maior que o esperado em períodos de maior volatilidade, e com menor frequência nos demais períodos. Christoffersen propôs em [9] e [10] testes estatísticos para verificar se a série de violações é temporalmente independente, indicando que a variação de volatilidade da série foi capturada pelo modelo de risco. A primeira abordagem do autor é uma simplificação do problema, e testa a independência entre duas datas consecutivas na série de violações. Se essa dependência existe, e se datas não consecutivas são independentes, a série pode ser interpretada como uma Cadeia de Markov de primeira ordem cuja matriz de probabilidades de transição é: [ ] (1 α 01 ) (1 α 11 ) Π = α 01 α 11 onde α ij = P(I t = j I t 1 = i), ou seja, α 11 e α 01 são, respectivamente, a probabilidade de haver violação dado que houve e que não houve violação no dia anterior. O teste de independência, no caso, consiste em verificar se a probabilidade de haver violação na data t independe de ter havido violação em t 1, ou seja: H 0 : α 01 = α 11 H 1 : α 01 α 11 (3.1.1) Alternativamente, é possível fazer um teste de cobertura condicional através um teste de hipótese similar: H 0 : α 01 = α 11 = α H 1 : α 01 α 11 (3.1.2) Assim, sejam: T 1 T 1 T 0 = (1 I t ) T 01 = I t+1 (1 I t ) t=1 t=1 T 1 T 1 T 1 = I t T 11 = I t+1 I t t=1 t=1 Ou seja, T 0 e T 1 são, respectivamente, o número de não-violações e de violações, desconsiderando o último elemento da série {I t }; T 01 é o número de violações que sucedem uma não-violação e T 11 é o número de violações que sucedem uma violação. Novamente, T 01 e T 11

Manual de Risco Yield Capital

Manual de Risco Yield Capital Manual de Risco Yield Capital Introdução: O objetivo deste manual é apresentar a metodologia utilizada no sistema de risco da Yield Capital. Os fundos tem seu risco de mercado monitorado diariamente utilizando,

Leia mais

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014 Inferência Estatística Estimação Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brasil Mestrado em Nutrição, Atividade Física e Plasticidade Fenotípica Julho, 2014 C.T.Cristino

Leia mais

1. Introdução. 1.1 Introdução

1. Introdução. 1.1 Introdução 1. Introdução 1.1 Introdução O interesse crescente dos físicos na análise do comportamento do mercado financeiro, e em particular na análise das séries temporais econômicas deu origem a uma nova área de

Leia mais

POLÍTICA: ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO

POLÍTICA: ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO POLÍTICA: ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO 1. INTRODUÇÃO A política de Risco de Mercado do Scotiabank Brasil ( Scotiabank ) é baseada na política do grupo de Risk Management Global do Scotiabank

Leia mais

POLÍTICA DE GOVERNANÇA CORPORATIVA

POLÍTICA DE GOVERNANÇA CORPORATIVA Sumário: 01. OBJETIVO:... 2 02. CONCEITUAÇÃO / DEFINIÇÃO:... 2 03. ABRANGÊNCIA / ÁREAS ENVOLVIDAS:... 2 04. RESPONSABILIDADES:... 2 04.01. Responsáveis pela execução das atribuições desta política... 2

Leia mais

ÍNDICE GERAL. Política de Gerenciamento do Risco de Mercado. 1 Introdução. 2 Definição de Risco de Mercado. 3 Metodologia.

ÍNDICE GERAL. Política de Gerenciamento do Risco de Mercado. 1 Introdução. 2 Definição de Risco de Mercado. 3 Metodologia. Política de Gerenciamento do Risco de Mercado ÍNDICE GERAL 1 Introdução 2 Definição de Risco de Mercado 3 Metodologia 4 Gestão de Risco 5 Qualificação de novas operações 1. Introdução A Política de Gerenciamento

Leia mais

Estrutura de gestão do Risco de Mercado no BNDES. 1. Introdução

Estrutura de gestão do Risco de Mercado no BNDES. 1. Introdução 1 Estrutura de gestão do Risco de Mercado no BNDES 1. Introdução A Gestão de Riscos de Mercado é a atividade por meio da qual uma instituição financeira administra os riscos resultantes de variações nas

Leia mais

ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO

ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO 1. INTRODUÇÃO O Scotiabank Brasil (SBB), em atendimento à Resolução CMN 3.464 e alinhado a política global do grupo, implementou estrutura de Gerenciamento

Leia mais

BANCO STANDARD DE INVESTIMENTOS S.A. ( BSI ) STANDARD BANK INTERNATIONAL HOLDINGS S.A. ( SIH ) ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO

BANCO STANDARD DE INVESTIMENTOS S.A. ( BSI ) STANDARD BANK INTERNATIONAL HOLDINGS S.A. ( SIH ) ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO BANCO STANDARD DE INVESTIMENTOS S.A. ( BSI ) STANDARD BANK INTERNATIONAL HOLDINGS S.A. ( SIH ) ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO ÚLTIMA VERSÃO Abril 2013 APROVAÇÃO Conselho de Administração

Leia mais

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão

AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão 1 AULAS 13, 14 E 15 Correlação e Regressão Ernesto F. L. Amaral 23, 28 e 30 de setembro de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ESTIMAÇÃO AUT 516 Estatística Aplicada a Arquitetura e Urbanismo 2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Na aula anterior analisamos

Leia mais

Risk & Permanent Control

Risk & Permanent Control Estrutura Organizacional Risco de Mercado Introdução Este documento apresenta a estrutura organizacional da área de Risco de Mercado do CRÉDIT AGRICOLE BRASIL e descreve as suas principais responsabilidades

Leia mais

4 Avaliação Econômica

4 Avaliação Econômica 4 Avaliação Econômica Este capítulo tem o objetivo de descrever a segunda etapa da metodologia, correspondente a avaliação econômica das entidades de reservas. A avaliação econômica é realizada a partir

Leia mais

Risco de Mercado ESTRUTURA

Risco de Mercado ESTRUTURA Risco de Mercado Em atendimento a Resolução 3.464/2007 do Conselho Monetário Nacional, o Banco Fidis ponderou a natureza das operações e a complexidade dos produtos associados aos seus negócios e implementou

Leia mais

6 Construção de Cenários

6 Construção de Cenários 6 Construção de Cenários Neste capítulo será mostrada a metodologia utilizada para mensuração dos parâmetros estocásticos (ou incertos) e construção dos cenários com respectivas probabilidades de ocorrência.

Leia mais

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes

NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS. Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes NECESSIDADES DE PREVISÃO DA CADEIA DE SUPRIMENTOS Mayara Condé Rocha Murça TRA-53 Logística e Transportes Setembro/2013 Introdução Estimativas acuradas do volume de produtos e serviços processados pela

Leia mais

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade,

Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, D Resumo de Álgebra Matricial Este apêndice resume os conceitos de álgebra matricial, inclusive da álgebra de probabilidade, necessária para o estudo de modelos de regressão linear múltipla usando matrizes,

Leia mais

Notas de aula número 1: Otimização *

Notas de aula número 1: Otimização * UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Introdução ao Value-at-Risk

Introdução ao Value-at-Risk 1 Introdução ao Value-at-Risk Objetivos da aprendizagem Discutir o conceito de Value-at-Risk. Apresentar as principais características do Value-at- Risk. Explicar o conceito de Value-at-Risk, evidenciando

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES Caros concurseiros, Como havia prometido, seguem comentários sobre a prova de estatística do ICMS RS. Em cada questão vou fazer breves comentários, bem como indicar eventual possibilidade de recurso. Não

Leia mais

ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCOS

ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCOS Conselho de Administração Diretoria Geral Gerenciamento de Capital Diretoria de Controladoria, Operações, Jurídico, Ouvidoria e Cobrança Diretoria de Tesouraria, Produtos e Novos Negócios Operações Bancárias

Leia mais

COMENTÁRIO AFRM/RS 2012 ESTATÍSTICA Prof. Sérgio Altenfelder

COMENTÁRIO AFRM/RS 2012 ESTATÍSTICA Prof. Sérgio Altenfelder Comentário Geral: Prova muito difícil, muito fora dos padrões das provas do TCE administração e Economia, praticamente só caiu teoria. Existem três questões (4, 45 e 47) que devem ser anuladas, por tratarem

Leia mais

Modelos de Risco de Crédito em Carteiras Uma Comparação Aplicada ao Caso Brasileiro

Modelos de Risco de Crédito em Carteiras Uma Comparação Aplicada ao Caso Brasileiro Modelos de Risco de Crédito em Carteiras Uma Comparação Aplicada ao Caso Brasileiro Alexandre de Oliveira - out/2013 No atual estágio de desenvolvimento das metodologias para mensuração do risco de crédito

Leia mais

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com

TEORIA DO RISCO. LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com TEORIA DO RISCO LUIZ SANTOS / MAICKEL BATISTA economia.prof.luiz@hotmail.com maickel_ewerson@hotmail.com 1 TARIFAÇÃO (FERREIRA, 2002) Diversos conceitos e metodologias envolvidos no cálculo do preço pago

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES Olá pessoal! Neste ponto resolverei a prova de Matemática Financeira e Estatística para APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010 realizada no último final de semana. A prova foi enviada por um aluno e o tipo é 005. Os

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

RISCO DE MERCADO E DE LIQUIDEZ ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO

RISCO DE MERCADO E DE LIQUIDEZ ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO RISCO DE MERCADO E DE LIQUIDEZ ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO RESUMO DESCRITIVO Princípios, Diretrizes e Instrumentos de Gerenciamento de Risco de Mercado. 1) Objetivo 2) Abrangência 3)

Leia mais

O gerenciamento de Risco de Mercado abrange todas as empresas do Conglomerado que constam do Balanço Consolidado do Banco Safra.

O gerenciamento de Risco de Mercado abrange todas as empresas do Conglomerado que constam do Balanço Consolidado do Banco Safra. ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO DE RISCO DE MERCADO 1 Objetivo Apresentar o modelo de gerenciamento de Risco de Mercado no Banco Safra e os princípios, as diretrizes e instrumentos de gestão em que este modelo

Leia mais

Value at Risk (VaR) Introdução. Introdução. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE

Value at Risk (VaR) Introdução. Introdução. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Value at Risk (VaR) Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Introdução Quando estamos usando VaR, o administrador de uma carteira de instrumentos financeiros esta interessado em fazer uma afirmação da seguinte forma:

Leia mais

Geração de Números Aleatórios e Simulação

Geração de Números Aleatórios e Simulação Departamento de Informática Geração de Números Aleatórios e imulação Métodos Quantitativos LEI 26/27 usana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt) Advertência Autores João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) usana

Leia mais

4 Resultados. 4.1 Dados Empíricos de Alta Freqüência do IBOVESPA

4 Resultados. 4.1 Dados Empíricos de Alta Freqüência do IBOVESPA 4 Resultados Neste capítulo, vamos analisar o comportamento dos retornos de preços intradiários do IBOVESPA e obter modelagem para as distribuições baseadas em distribuições q-gaussianas. Lembramos que

Leia mais

Aprendendo a Interpretar Dados Financeiros de uma Empresa Usando Estatística de Forma Simples e Prática

Aprendendo a Interpretar Dados Financeiros de uma Empresa Usando Estatística de Forma Simples e Prática Aprendendo a Interpretar Dados Financeiros de uma Empresa Usando Estatística de Forma Simples e Prática Ederson Luis Posselt (edersonlp@yahoo.com.br) Eduardo Urnau (dudaurnau@gmail.com) Eloy Metz (eloy@softersul.com.br)

Leia mais

Primeira Lista de Exercícios de Estatística

Primeira Lista de Exercícios de Estatística Primeira Lista de Exercícios de Estatística Professor Marcelo Fernandes Monitor: Márcio Salvato 1. Suponha que o universo seja formado pelos naturais de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C =

Leia mais

Aula 5 Metodologias de avaliação de impacto

Aula 5 Metodologias de avaliação de impacto Aula 5 Metodologias de avaliação de impacto Metodologias de Avaliação de Impacto Objetiva quantificar as mudanças que o projeto causou na vida dos beneficiários. Plano de Aula Método experimental: regressão

Leia mais

Retorno e risco de carteiras de investimento

Retorno e risco de carteiras de investimento Retorno e risco de carteiras de investimento 1 OBJETIVOS DA UNIDADE DE ESTUDO Compreender o processo de avaliação do risco de uma carteira. Definir e mensurar a covariancia entre duas variáveis Definir

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos

CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos CAPÍTULO 9 Exercícios Resolvidos R9.1) Diâmetro de esferas de rolamento Os dados a seguir correspondem ao diâmetro, em mm, de 30 esferas de rolamento produzidas por uma máquina. 137 154 159 155 167 159

Leia mais

Circular 3477/2009 Aspectos Qualitativos. Dezembro de 2011. Introdução

Circular 3477/2009 Aspectos Qualitativos. Dezembro de 2011. Introdução Circular 3477/2009 Aspectos Qualitativos Dezembro de 2011 Introdução Este relatório foi elaborado com o objetivo de apresentar as atividades relacionadas à gestão de riscos, ao Patrimônio de Referência

Leia mais

1. Avaliação de impacto de programas sociais: por que, para que e quando fazer? (Cap. 1 do livro) 2. Estatística e Planilhas Eletrônicas 3.

1. Avaliação de impacto de programas sociais: por que, para que e quando fazer? (Cap. 1 do livro) 2. Estatística e Planilhas Eletrônicas 3. 1 1. Avaliação de impacto de programas sociais: por que, para que e quando fazer? (Cap. 1 do livro) 2. Estatística e Planilhas Eletrônicas 3. Modelo de Resultados Potenciais e Aleatorização (Cap. 2 e 3

Leia mais

Medidas Coerentes de Risco

Medidas Coerentes de Risco IMPA Instituto acional de Matemática Pura e Aplicada Medidas Coerentes de Risco Elsio Paiva Oliveira Orientador: Roberto Imbuzeiro Oliveira 06 de Março de 2009 Resumo A análise e gestão de riscos tem se

Leia mais

2. Método de Monte Carlo

2. Método de Monte Carlo 2. Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é uma denominação genérica tendo em comum o uso de variáveis aleatórias para resolver, via simulação numérica, uma variada gama de problemas matemáticos.

Leia mais

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello

Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas Aula 04 Prof. Valner Brusamarello Incerteza - GUM O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) estabelece regras gerais para avaliar

Leia mais

Métodos de Monte Carlo

Métodos de Monte Carlo Departamento de Estatística - UFJF Outubro e Novembro de 2014 são métodos de simulação São utilizados quando não temos uma forma fechada para resolver o problema Muito populares em Estatística, Matemática,

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1

CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1 CURSO ON-LINE PROFESSOR GUILHERME NEVES 1 Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova de Matemática e Estatística para Técnico Administrativo para o BNDES 2008 organizado pela CESGRANRIO. Sem mais delongas,

Leia mais

II - os limites mínimos de exposição presentes no regulamento

II - os limites mínimos de exposição presentes no regulamento A construção das taxas spot é obtida mediante a acumulação das taxas a termo implícitas entre os vencimentos dos instrumentos financeiros listados, assumida a hipótese de que a taxa a termo entre os vencimentos

Leia mais

Inferência Estatística

Inferência Estatística Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Inferência Estatística Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística Conteúdo 1 Inferência estatística Conceitos básicos 1 1.1

Leia mais

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg

2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2 Modelo Clássico de Cramér-Lundberg 2.1 Conceitos fundamentais Nesta sessão introduziremos alguns conceitos fundamentais que serão utilizados na descrição do modelo de ruína. A lei de probabilidade que

Leia mais

Opções Reais. Processos Estocásticos. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos

Opções Reais. Processos Estocásticos. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos Modelando Incerteza Opções Reais A incerteza em um projeto pode ter mais do que apenas dois estados. Na prática, o número de incertezas pode ser infinito Prof. Luiz Brandão brandao@iag.puc-rio.br IAG PUC-Rio

Leia mais

Análise de Regressão. Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho. Cleber Moura Edson Samuel Jr

Análise de Regressão. Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho. Cleber Moura Edson Samuel Jr Análise de Regressão Tópicos Avançados em Avaliação de Desempenho Cleber Moura Edson Samuel Jr Agenda Introdução Passos para Realização da Análise Modelos para Análise de Regressão Regressão Linear Simples

Leia mais

4 Gráficos de controle

4 Gráficos de controle 4 Gráficos de controle O gráfico de controle é uma ferramenta poderosa do Controle Estatístico de Processo (CEP) para examinar a variabilidade em dados orientados no tempo. O CEP é composto por um conjunto

Leia mais

Gerenciamento de Projetos Gerenciamento de Custos

Gerenciamento de Projetos Gerenciamento de Custos Gerenciamento de Projetos Gerenciamento de Custos Metodologia Aula Teórica Exemplos e Exercícios práticos Questões de concursos anteriores Metodologia e Bibliografia Bibliografia PMBOK, 2004. Project Management

Leia mais

2. Otimização de Portfolio

2. Otimização de Portfolio 2. Otimização de Portfolio 2.1. Análise de Média-Variância Portfolio (carteira, em português) é uma combinação de ativos, tais como investimentos, ações, obrigações, commodities, imóveis, entre outros.

Leia mais

CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R.

CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R. CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R. M. A. S. Sanfins a 1 & T. M. Clark a 2 a Universidade Federal

Leia mais

COMO AVALIAR O RISCO DE UM PROJETO ATRAVÉS DA METODOLOGIA DE MONTE CARLO

COMO AVALIAR O RISCO DE UM PROJETO ATRAVÉS DA METODOLOGIA DE MONTE CARLO COMO AVALIAR O RISCO DE UM PROJETO ATRAVÉS DA O que é risco? Quais são os tipos de riscos? Quais são os tipos de análises? Qual a principal função do Excel para gerar simulações aleatórias? O que é distribuição

Leia mais

http://www.de.ufpb.br/~luiz/

http://www.de.ufpb.br/~luiz/ UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Luiz Medeiros http://www.de.ufpb.br/~luiz/ Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequências

Leia mais

POLÍTICAS. Política de Risco de Mercado

POLÍTICAS. Política de Risco de Mercado POLÍTICAS Versão: 1.3 Política Institucional de Risco de Mercado Vigência: 26.02.2009 Atualização: 21.12.2009 1- Introdução Definição: Risco de mercado é a possibilidade de ocorrência de perdas resultantes

Leia mais

Qual é o risco real do Private Equity?

Qual é o risco real do Private Equity? Opinião Qual é o risco real do Private Equity? POR IVAN HERGER, PH.D.* O debate nos mercados financeiros vem sendo dominado pela crise de crédito e alta volatilidade nos mercados acionários. Embora as

Leia mais

A utilização do VaR como Ferramenta de Previsão do Risco Orçamentário no Processode ALM das Empresas Seguradoras

A utilização do VaR como Ferramenta de Previsão do Risco Orçamentário no Processode ALM das Empresas Seguradoras A utilização do VaR como Ferramenta de Previsão do Risco Orçamentário no Processode ALM das Empresas Seguradoras FrederikeMonikaBudiner di Mette Frederike M. B. Mette Marco A. S. Martins 08/11/11 Gilberto

Leia mais

Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti. Distribuição Normal

Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti. Distribuição Normal Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti Distribuição Normal 1. Introdução O mundo é normal! Acredite se quiser! Muitos dos fenômenos aleatórios que encontramos na

Leia mais

Método de Monte Carlo e ISO

Método de Monte Carlo e ISO Método de Monte Carlo e ISO GUM para cálculo l de incerteza Prof. Dr. Antonio Piratelli Filho Universidade de Brasilia (UnB) Faculdade de Tecnologia Depto. Engenharia Mecânica 1 Introdução: Erro x incerteza

Leia mais

Modelagem da Venda de Revistas. Mônica Barros. Julho de 1999. info@mbarros.com 1

Modelagem da Venda de Revistas. Mônica Barros. Julho de 1999. info@mbarros.com 1 Modelagem da Venda de Revistas Mônica Barros Julho de 1999 info@mbarros.com 1 Modelagem Matemática e Previsão de Negócios Em todas as empresas, grandes e pequenas, é necessário fazer projeções. Em muitos

Leia mais

Gestão Financeira. VAR - Value At Risk e Valuation 16/10/2012. Prof.: Marcelo dos Santos. VAR - Value At Risk. Risco

Gestão Financeira. VAR - Value At Risk e Valuation 16/10/2012. Prof.: Marcelo dos Santos. VAR - Value At Risk. Risco Gestão Financeira Prof.: Marcelo dos Santos VAR - Value At Risk e Valuation VAR - Value At Risk Tudo na vida é administração de Risco, não sua eliminação Walter Wriston Risco A noção de risco está ligada

Leia mais

Uma Comparação entre o Desempenho de Metodologias de Cálculo do Valor em Risco Aplicadas à Carteiras Lineares e Opções de Compra

Uma Comparação entre o Desempenho de Metodologias de Cálculo do Valor em Risco Aplicadas à Carteiras Lineares e Opções de Compra Uma Comparação entre o Desempenho de Metodologias de Cálculo do Valor em Risco Aplicadas à Carteiras Lineares e Opções de Compra Autoria: Patrícia Barros Ramos, Josete Florencio dos Santos, Eduardo Luiz

Leia mais

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado,

PE-MEEC 1S 09/10 118. Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e. 4.1 Variáveis. densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, Capítulo 4 - Variáveis aleatórias e distribuições contínuas 4.1 Variáveis aleatórias contínuas. Função densidade de probabilidade 4.2 Valor esperado, variância e algumas das suas propriedades. Moda e quantis

Leia mais

RELATÓRIO DE GERENCIAMENTO DE RISCOS FINANCEIROS

RELATÓRIO DE GERENCIAMENTO DE RISCOS FINANCEIROS RELATÓRIO DE GERENCIAMENTO DE RISCOS FINANCEIROS Superintendência de Controles e Gerenciamentos de Riscos - SUCOR Gerência de Riscos GERIS Primeiro Trimestre de 2011 Índice APRESENTAÇÃO 3 1. GERENCIAMENTO

Leia mais

PREGÃO ELETRÔNICO AA 33/2014 ESCLARECIMENTOS SOBRE ROTEIROS DE TESTE ACCENTURE DO BRASIL LTDA

PREGÃO ELETRÔNICO AA 33/2014 ESCLARECIMENTOS SOBRE ROTEIROS DE TESTE ACCENTURE DO BRASIL LTDA C PREGÃO ELETRÔNICO AA /204 ESCLARECIMENTOS SOBRE ROTEIROS DE TESTE ACCENTURE DO BRASIL LTDA Em 27/0/205, a ACCENTURE DO BRASIL LTDA solicitou esclarecimentos sobre os roteiros de teste e. Os pontos a

Leia mais

Universidade Federal de Alfenas Programa de Pós-graduação em Estatística Aplicada e Biometria Prova de Conhecimentos Específicos

Universidade Federal de Alfenas Programa de Pós-graduação em Estatística Aplicada e Biometria Prova de Conhecimentos Específicos Dados que podem ser necessários a algumas questões de Estatística: P (t > t α ) = α ν 0,05 0,025 15 1,753 2,131 16 1,746 2,120 28 1,791 2,048 30 1,697 2,042 (Valor: 1,4) Questão 1. Considere o seguinte

Leia mais

2 Conceitos de Capital

2 Conceitos de Capital Capítulo 2 Conceitos de Capital 2 Conceitos de Capital Este capítulo tem como objetivo definir o capital na visão da instituição, interligando-o aos riscos existentes nas operações das mesmas. Além disso,

Leia mais

2 Independência e dependência das taxas de juro

2 Independência e dependência das taxas de juro 1 Incerteza e juro aleatório Considere-se o intervalo [0, n], o tempo medido em anos, e a partição [0, 1], (1, 2],..., (n 1, 1] e suponha-se que no início do ano t são aplicadas C t unidades de capital,

Leia mais

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R)

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R) Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (, ) Neste capítulo é apresentado um modelo para o sistema de controle de estoque (,). Considera-se que a revisão dos estoques é continua e uma encomenda de

Leia mais

Olá pessoal! Sem mais delongas, vamos às questões.

Olá pessoal! Sem mais delongas, vamos às questões. Olá pessoal! Resolverei neste ponto a prova para AFRE/SC 2010 realizada pela FEPESE no último final de semana. Nosso curso teve um resultado muito positivo visto que das 15 questões, vimos 14 praticamente

Leia mais

Curso on-line BACEN Analista Finanças. Prova Resolvida Áreas 02 e 03

Curso on-line BACEN Analista Finanças. Prova Resolvida Áreas 02 e 03 FINANÇAS ANALISTA ÁREA 02 BACEN 2009 PROVA RESOLVIDA 38 Quando um investidor faz uma venda de um título a descoberto, isso significa que (A) comprou anteriormente a descoberto. (B) comprou e depois vendeu

Leia mais

Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos

Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos Esse documento é parte integrante do material fornecido pela WEB para a 2ª edição do livro Data Mining: Conceitos, técnicas, algoritmos, orientações e

Leia mais

Gerenciamento de Riscos Risco de Mercado

Gerenciamento de Riscos Risco de Mercado Gerenciamento de Riscos Risco de Mercado 2. Risco de Mercado A divulgação da Resolução 3.464 do CMN pelo BACEN em 26 de junho de 2007 foi o primeiro passo no processo de implementação de uma estrutura

Leia mais

Um estudo da correlação dos resultados patrimoniais e operacionais das seguradoras Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV)

Um estudo da correlação dos resultados patrimoniais e operacionais das seguradoras Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) Um estudo da correlação dos resultados patrimoniais e operacionais das seguradoras Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) Este estudo aborda a correlação entre os resultados operacionais e patrimoniais

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV)

O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) O estudo de um indicador de comportamento do segurado brasileiro Francisco Galiza, Mestre em Economia (FGV) Este artigo tem por objetivo analisar as taxas de aversão ao risco em alguns ramos do mercado

Leia mais

SATURNO V 6.11. Por Hindemburg Melão Jr. http://www.saturnov.com

SATURNO V 6.11. Por Hindemburg Melão Jr. http://www.saturnov.com SATURNO V 6. Por Hindemburg Melão Jr. http://www.saturnov.com A versão 6. (ou 3.4926c83) foi analisada sob diversos aspectos, a fim de verificar a uniformidade do comportamento ao longo do tempo. Primeiramente

Leia mais

6 Análise dos resultados

6 Análise dos resultados 6 Análise dos resultados Os cálculos para análise econômica de um projeto E&P, devem considerar que os dados empregados são imprecisos e sem certeza da ocorrência dos resultados esperados, apesar de estarem

Leia mais

Seleção e Monitoramento de Fundos de Investimentos

Seleção e Monitoramento de Fundos de Investimentos 2010 Seleção e Monitoramento de Fundos de Investimentos Nota Técnica 02 Diretoria de Investimentos Previ-Rio 09/2010 NOTA TÉCNICA 02 1 - Introdução Esta nota técnica, desenvolvida pela Equipe da, tem por

Leia mais

IMES Catanduva. Probabilidades e Estatística. no Excel. Matemática. Bertolo, L.A.

IMES Catanduva. Probabilidades e Estatística. no Excel. Matemática. Bertolo, L.A. IMES Catanduva Probabilidades e Estatística Estatística no Excel Matemática Bertolo, L.A. Aplicada Versão BETA Maio 2010 Bertolo Estatística Aplicada no Excel Capítulo 3 Dados Bivariados São pares de valores

Leia mais

Teste de Hipótese para uma Amostra Única

Teste de Hipótese para uma Amostra Única Teste de Hipótese para uma Amostra Única OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de: 1.Estruturar problemas de engenharia de tomada de decisão, como

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Relatório. Gestão de Riscos. Conglomerado Cruzeiro do Sul

Relatório. Gestão de Riscos. Conglomerado Cruzeiro do Sul Relatório de Gestão de Riscos Conglomerado Cruzeiro do Sul Data-Base 31/12/2010 Superintendência de Riscos Índice 1. Introdução 3 2. Perímetro 3 3. Estrutura de Gestão de Riscos 3 3.1 Risco de Crédito

Leia mais

3 Estratégias de Análise Técnica

3 Estratégias de Análise Técnica 3 Estratégias de Análise Técnica Como foi visto no Capítulo 2, as estratégias dos investidores do mercado são compostas por dois fatores, a saber: o mecanismo de ativação σ i (t) (Eq. 2-10) e o mecanismo

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 Distribuição Exponencial Vamos relembrar a definição de uma variável com Distribuição Poisson. Número de falhas ao longo

Leia mais

Geração de variáveis aleatórias

Geração de variáveis aleatórias Geração de variáveis aleatórias Danilo Oliveira, Matheus Torquato Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 5 de setembro de 2012 Danilo Oliveira, Matheus Torquato () 5 de setembro de 2012

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE i1 Introdução Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de

Leia mais

6 METODOLOGIA DE CÁLCULO DO CAPITAL ECONÔMICO

6 METODOLOGIA DE CÁLCULO DO CAPITAL ECONÔMICO METODOLOGIA 77 6 METODOLOGIA DE CÁLCULO DO CAPITAL ECONÔMICO Uma das principais funções do gerenciamento de riscos em um setor financeiro é determinar a quantidade de capital que a instituição necessita

Leia mais

GERENCIANDO INCERTEZAS NO PLANEJAMENTO LOGÍSTICO: O PAPEL DO ESTOQUE DE SEGURANÇA

GERENCIANDO INCERTEZAS NO PLANEJAMENTO LOGÍSTICO: O PAPEL DO ESTOQUE DE SEGURANÇA GERENCIANDO INCERTEZAS NO PLANEJAMENTO LOGÍSTICO: O PAPEL DO ESTOQUE DE SEGURANÇA Eduardo Saggioro Garcia Leonardo Salgado Lacerda Rodrigo Arozo Benício Erros de previsão de demanda, atrasos no ressuprimento

Leia mais

Descrição da Estrutura de Gerenciamento 2015. - Risco de Mercado -

Descrição da Estrutura de Gerenciamento 2015. - Risco de Mercado - Descrição da Estrutura de Gerenciamento 2015 - Risco de Mercado - Sumário: 1. Introdução:... 3 2. Objetivo:... 3 3. Diretrizes de Gestão:... 3 4. Atribuições e Responsabilidades:... 4 Conselho de Administração:...

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A GEOMETRIA DO VaR: (Value at risk) Aplicações computacionais AUTOR: RODOLFO VENDRASCO TACIN PROFESSOR

Leia mais

Metodologia de Gerenciamento de Risco de Mercado

Metodologia de Gerenciamento de Risco de Mercado Metodologia de Gerenciamento de Risco de Mercado O Gerenciamento de Risco de Mercado das Carteiras geridas pela Rio Verde Investimentos é efetuado pela Administradora dos Fundos, no caso BNY Mellon Serviços

Leia mais

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A:

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE 008.0 Teste 6/05/008 GABARITO PROBLEMA O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 5 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado

Leia mais

IND 2072 - Análise de Investimentos com Opções Reais

IND 2072 - Análise de Investimentos com Opções Reais IND 2072 - Análise de Investimentos com Opções Reais PROVA P2 1 o Semestre de 2007-03/07/2007 OBS: 1) A prova é SEM CONSULTA. Nota da prova = mínimo{10; pontuação da P2 + crédito da P1} 2) Verdadeiro ou

Leia mais

DETERMINAÇÃO DE LIMITES DE CRÉDITO! Uma nova abordagem para um velho problema.! Apresentação de planilha para determinação de limites de crédito.

DETERMINAÇÃO DE LIMITES DE CRÉDITO! Uma nova abordagem para um velho problema.! Apresentação de planilha para determinação de limites de crédito. UP-TO-DATE. ANO I. NÚMERO 41 DETERMINAÇÃO DE LIMITES DE CRÉDITO! Uma nova abordagem para um velho problema.! Apresentação de planilha para determinação de limites de crédito. Carlos Alexandre Sá (calex@marlin.com.br)

Leia mais

Parametrização e configuração da ferramenta IBM Algo One ALM Base e outro Dúvida: Esclarecimento: 1. Dúvida: Esclarecimento: Dúvida:

Parametrização e configuração da ferramenta IBM Algo One ALM Base e outro Dúvida: Esclarecimento: 1. Dúvida: Esclarecimento: Dúvida: 1 Dúvida: Sobre Conciliar contabilmente os saldos da rubricas contábeis... e Consultar o resultado da conciliação..., entendemos que o Banco deseja que seja desenvolvido um relatório que concilie, com

Leia mais