UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA DAIRA SIBELE DE OLIVEIRA UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE NA RESOLUÇÃO DE CÁLCULOS INTEGRAIS ERECHIM 2010

2 1 DAIRA SIBELE DE OLIVEIRA UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE NA RESOLUÇÃO DE CÁLCULOS INTEGRAIS Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática pelo Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI Campus de Erechim. Orientador: Prof. Clémerson Alberi Pedroso ERECHIM 2010

3 2 AGRADECIMENTOS A Deus, o que seria de mim sem a fé que eu tenho nele. Aos meus pais, minha irmã, e a toda minha família que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa de minha vida. Ao professor e orientador Clémerson Alberi Pedroso por seu apoio e inspiração no amadurecimento dos meus conhecimentos e conceitos que me levaram a execução e conclusão desta monografia. Aos amigos e colegas, pelo convívio, pelo apoio, pela compreensão e pela amizade.

4 3 A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original. (Albert Einstein)

5 4 RESUMO Neste trabalho apresenta-se uma breve discussão sobre a necessidade e importância dos softwares computacionais os quais estão presentes sob vários aspectos em nossas vidas, estando nos negócios, na cultura e nas atividades diárias. A intenção inicial deste trabalho é mostrar um pouco das potencialidades da informática na educação, que quando utilizada de maneira adequada pelos professores, pode contribuir muito para um processo de ensino e aprendizagem significativo A ênfase aqui é a utilização do software Maple para o ensino de cálculo de integrais definidas como uma ferramenta didática no Ensino Superior analisando as vantagens de sua utilização. Especificamente foram desenvolvidas atividades que envolvem somas de Riemann por aproximação pelo extremo esquerdo, pelo direito e pelo ponto médio, com a descrição dos procedimentos (comandos) necessários para a sua utilização. Portanto, utilizando o software Maple, alguns conceitos de integral vistos em sala de aula são apresentados de maneira computacional, podendo tornar o processo de aprendizagem mais prazeroso, pois favorece principalmente experimentação e visualização. Palavras-chaves: Informática na Educação. Integral definida no software Maple. Soma de Riemann.

6 5 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Foto do MARK I Figura 2 - Foto do ENIAC Figura 3 - Foto do EDVAC Figura 4 - Foto do UNIVAC Figura 5 - Foto do IBM Figura 6 - Foto do IBM Figura 7 - Foto do APPLE II Figura 8 - Foto do LISA Figura 9 - Fotos de computadores criados a partir de Figura 10 - Foto do mais moderno computador de mão...14 Figura 11 - Alguns pacotes que o Maple contém e suas finalidades...22 Figura 12 - Alguns comandos básicos do software Maple...23 Figura 13 - Comandos do Software Maple relacionados com a soma de Riemann...23 Figura 14 - Janela de comandos do Maple...24 Figura 15 - Gráfico da função f(x)=x² Figura 16 - Resultado do comando leftbox sem que o aluno tenha digitado o pacote with (student) Figura 17 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n= Figura 18 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n= Figura 19 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n= Figura 20 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n= Figura 21 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n= Figura 22 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n= Figura 23 - Detalhes dos cálculos no caso n= Figura 24 - Valor das áreas em função do número de retângulos...34 Figura 25 - Valor exato da área sob a curva utilizando o cálculo de integral definida...35 Figura 26 - Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)

7 6 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO UMA BREVE HISTORIA SOBRE A EVOLUÇÃO DO COMPUTADOR A HISTORIA DA INTERNET E SEUS BENEFICIOS NA EDUCAÇÃO COMO UMA FERRAMENTA DE AUXILIO AO PROFESSOR DE MATEMÁTIC CONCEITOS DE CÁLCULO INTEGRAL E ALGUNS COMANDOS BÁSICOS DO SOFTWARE MAPLE INTEGRAL DEFINIDA CALCULADA PLEA SOMA DE RIEMANN CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 40

8 7 1 INTRODUÇÃO O tema deste trabalho é o uso de computadores e a utilização dos softwares matemáticos, em específico o Maple, para a resolução de cálculos de integrais definidas utilizando a soma de Riemann com as aproximações pelos extremos esquerdo, direito e pelo ponto médio com a intenção de dinamizar as primeiras aulas de cálculo integral, com o uso de tecnologias. Do ponto de vista da experiência como estudante do curso de Matemática Licenciatura, pode-se dizer que existe um certo consenso de que a disciplina Cálculo Diferencial e Integral se apresenta como uma barreira difícil de ser ultrapassada para a maioria dos alunos desse curso, pois o conhecimento matemático, desenvolvido anteriormente, na escola secundária pouco ou nada tem a ver com o que lhe é apresentado nesta disciplina. Acredita-se que muitos esbarram nas dificuldades em decorrência da linguagem matemática. A maneira por meio da qual, algumas vezes, o ensino de Calculo Integral é conduzido pressupõe que tal disciplina se resume a um conjunto de regras prontas e acabadas e que para resolver determinado problema é necessário lembrar dentre todas estas regras, qual irá solucioná-lo. Mesmo para funções muito simples é difícil calcular a área como um limite de somas. Um computador pode ser usado para obter o valor da soma para valores muito grandes, mas teremos apenas um valor aproximado. Como uma forma de potencializar a compreensão das idéias, é que propomos a utilização do software Maple, que poderia ser qualquer outro similar, em paralelo. Na primeira parte deste trabalho apresenta-se uma breve história da evolução dos computadores. Com o passar dos anos, e com uma velocidade admirável, os computadores evoluíram e se popularizaram, chegando ao campo educacional. Hoje estão presentes em muitas escolas e universidades, mas, causando inquietação pela falta de conhecimento de uma grande maioria sobre as vantagens e desvantagens do uso dessa ferramenta. Com a inclusão digital no meio educacional, criou-se um pensamento na mente das pessoas que os professores aos poucos, perderiam seus espaços sendo substituídos automaticamente pelas máquinas. Com os avanços tecnológicos segundo Valente (1999) a

9 8 mudança é a palavra de ordem na sociedade atual, discussões como estas serão abordadas na segunda parte. Na terceira parte será retomado a idéia de integral definida e apresentado alguns comandos básicos do software Maple, que serão fundamentais para o estudo e verificação da aproximação de integrais pelos extremos esquerdo, direito e pelo ponto médio. E finalmente será apresentada uma atividade baseada nos comandos do software Maple que envolverá integrais definidas, gráficos, aproximações de Riemann e cálculos de área. Considerando que, o professor raramente consegue adotar novas formas de ensino de matemática, o presente trabalho mostra uma forma diferente de se abordar o conteúdo de integral definida e a soma de Riemann pelo método das aproximações, utilizando o método computacional.

10 9 2 UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE A EVOLUÇÃO DO COMPUTADOR Com a chegada da Segunda Guerra Mundial houve a necessidade de se projetar máquinas capazes de executar cálculos balísticos com rapidez e precisão para serem utilizadas na indústria bélica. O primeiro computador foi inventado em 1943, sendo chamado de Mark 1(figura 1). Pesava cerca de 4,5 toneladas, realizava uma soma em 0,3 segundos, uma multiplicação em 0,4 segundos e uma divisão em cerca de 10 segundos. Figura 1: Foto do MARK I 1943 Fonte: Em fevereiro de 1946 surgiu o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer) conforme ilustrado na figura 2, primeiro computador eletrônico, construído por uma equipe de cientistas da Universidade da Pensilvânia, onde quem coordenava esta equipe era Herman Goldstine, matemático formado na Universidade de Michigan. Com 5,5 metros de altura e 25 de comprimento, era mais de duas vezes maior que o Mark I, mas esse aumento de tamanho correspondia a uma velocidade aumentada mil vezes.

11 10 Figura2: Foto do ENIAC 1946 Fonte: Como o ENIAC era muito grande e complicado, começaram os estudos para o aperfeiçoamento e surgiu o EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) em 1947 conforme figura 3. O ENIAC e o EDVAC não foram comercializados. Figura 3: Foto do EDVAC 1947 Fonte:

12 11 Em 1951 surgiu o UNIVAC (Universal Automatic Computer) mostrado na figura 4, que foi realmente a primeira geração de computadores, pois foi o primeiro computador que armazenava programas e estava disponível comercialmente. Figura 4: Foto do UNIVAC Fonte: Em 29 de Abril de 1952 ínicio da segunda geração de computadores, a IBM (International Business Machine) nos Estados Unidos lançou o seu primeiro computador eletrônico o IBM 701 (Electronic Data Processing Machine), conforme figura 5. Foi o primeiro computador que usou o conceito de memória, dispositivo que armazena internamente os dados processados. Esteve disponível comercialmente e em três anos foram vendidas 19 máquinas para laboratórios de pesquisa, companhias aéreas e o governo federal americano.

13 12 Figura 5: Foto do IBM Fonte: Em 1959 a IBM lançou o IBM 1401, mostrado na figura 6, que foi o representante mais típico desta terceira geração. Esta máquina foi produzida também no Brasil a partir de 1961, somando mais unidades ao grande sucesso da história da IBM na área de Processamento de Dados. Dez anos depois, graças à criação do microprocessador (pastilha de silício) Intel, aconteceu o grande avanço tecnológico, pois este microprocessador, pouco maior do que um grão de milho ajudou na redução do tamanho do computador. Figura 6: Foto do IBM Fonte:

14 13 A partir de 1977, foi lançado o APPLE II (figura7), este sim bem próximo ao modelo do qual tal e qual conhecemos hoje, tinha teclado e poderia ser ligado em um monitor, no caso uma TV. Figura 7: Foto do APPLE II 1977 Fonte: O LISA (figura 8) lançado em 1983 pela Apple Computer, foi o primeiro computador a ter mouse, ícones, placas de alerta, menus e janelas que se abriam com um clique duplo, a chamada interface gráfica. Figura 8: Foto do LISA 1983 Fonte:

15 14 Do ano de 1983 em diante, o desenvolvimento dos microcomputadores ou PCs (Personal Computer) foi muito rápido. Hoje temos diversos modelos de computadores com diferentes capacidades de armazenamento, notbooks e até celulares com computador integrado, como ilustrado nas figuras 9 e 10. Figura 9: Fotos de computadores criados a partir de 1995 Fonte: h/ _d b8_o.png Figura 10: Foto do mais atual e moderno computador de mão Fonte:

16 15 3 A história da Internet e seus benefícios na educação como uma ferramenta de auxílio ao professor de matemática A Internet é um conglomerado de redes em escala mundial de milhões de computadores interligados por uma conexão TCP/IP, onde TCP significa Protocolo de Controle de Transmissão e IP Protocolo de Internet, onde formam um conjunto de protocolos de comunicação na qual a Internet e a maioria das redes comercias funcionam. Segundo José Armando Valente (1999) internet é o nome dado para o conjunto interconectado de rede de computadores no mundo. Essa é usada por pessoas em diferentes partes do mundo, de diferentes culturas, formação, individualidade ou em organizações. A Internet teve início em 1969, nos Estados Unidos, criada pela ARPANET (ARPA Networks (nome semelhante aos atuais)) que era uma rede de laboratórios que operavam para o Departamento de Defesa Americano. De acordo com Valente (1999) a Internet foi inicialmente projetada para atender objetivos militares dos Estados Unidos, a Internet expandiu-se, atingindo as comunidades acadêmicas e de pesquisa. De acordo com a Inter-ponta Informática Ltda( ), a ARPANET com o passar dos anos, foi ampliada com novos pontos em todo os Estados Unidos e também em universidades. Em 1971 surgiu o modelo experimental do ampliando a utilidade da Rede. Em 1973 foram feitas as primeiras conexões internacionais, interligando computadores na Noruega e Inglaterra. Apartir dos anos setenta, a Rede so teve a crescer. Em 1982 foi implementado o TCP/IP protocolo padrão da rede. Conforme Nepomuceno ( ), em 1983 a IBM (International Business Machine), maior fabricante de computadores de grande porte, abriu uma rede privada de acesso à Internet, a BITNET. Mais tarde o governo dos Estados Unidos inaugurou uma rede restrita para universidades, instituições governamentais e militares que se chamou NfsNet (National Science Foundation Networks), onde anos depois se fundiu com a ARPANET. A partir de 1990 a ARPANET deixou de existir, pois começou a ser usado o nome INTERNET para se referir a este conjunto de redes. No Brasil a Internet teve início em 1989, quando as universidades USP, UNICAMP e UNESP se ligaram a Fundação de Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e esta com a Internet nos Estados Unidos. Mas a Internet veio com maior força em 1991 com a criação da Rede Nacional de Pesquisa (RPN) lançada pelo Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT),

17 16 onde hoje o RNP é responsável pela interconexão e informação em nível nacional (backdone). Em 2000 foi criado o backbone RPN2 conectada com os 27 estados brasileiros e interligada a mais de 300 instituições de ensino superior e de pesquisa no país, pois com o aumento de acesso à Internet o país precisou de uma conexão mais rápida e segura. De acordo com Zevallos: Em 1991, a RNP (Rede Nacional de Pesquisas), trouxe a Internet para o Brasil, sendo o seu objetivo o de atender a conexão das redes de universidades e centros de pesquisas, mas logo as esferas federal e estadual começaram também a se interligar. Em 1995, finalmente o Ministérios de Comunicações e de Ciência e Tecnologia abriram a Internet para a sua operação comercial, onde provedores puderam contratar conexões junto com a RNP e depois com a Embratel. Atualmente o Brasil possui diversos backbones inteligando todos os estados do Brasil, bem como centenas de conexões com outros países, o que nos dá a possibilidade de conectar a sites e utilizar seus serviços em todos todos os lugares do mundo. Segundo Antonioli ( ), o Brasil é o quinto país com o maior número de conexões á Internet. Em dezembro de 2009, segundo o Ibope/Nielsen (2010), o número de internautas era de aproximadamente 67,5 milhões. Não conseguimos imaginar o que seria os dias atuais sem o acesso à Internet, pois parece que sempre existiu. Mas e se tratando de educação, em especifico a Matemática, como esta tecnologia pode ser implementada nesta área como uma ferramenta de auxílio ao professor? Existem recursos que podemos aproveitar e dispor ao nosso favor? O professor deverá ter uma formação qualificada? Segundo Valente: Quando perguntamos para os educadores sobre o verdadeiro papel do computador na educação é muito comum ouvirmos coisas como: o computador motiva o aluno, é a ferramenta da atualidade ou o computador facilita (acelera) a educação. A idéia de que o computador deve facilitar a educação esta intimamente ligada a generalização do fato de que ele entrou em nossas vidas para facilitar. Graças a ele, é possível termos hoje os bancos 24 horas, os eletrodomésticos automatizados, etc. Estes são exemplos nos quais a existência do computador tornou tudo mais fácil ou nos propiciou facilidades que não tínhamos antes dele. Analogamente, as pessoas entende que essas facilidades devem acontecer também na educação. O computador deveria facilitar a educação e tornar as coisas mais fáceis para o estudante aprender, para o professor ensinar ou para organizar a parte administrativa da escola. (VALENTE, 1999, p. 105). A idéia de que a Matemática oferece mais obstáculos do que as demais disciplinas, confirmada nas práticas de salas de aula, é muito antiga, e por isso, nos últimos anos tem

18 17 merecido especial atenção por parte dos educadores matemáticos e dos professores em geral. Apesar desta atenção o ensino de Matemática ainda continua sendo proposto de maneira pouco refletida, seja quanto aos conteúdos, métodos de ensino e avaliação. Segundo Seymour Papert: Nossa cultura é tão matofóbica, tem tanto da matemática que, se eu conseguisse demonstrar que o computador pode nos proporcionar uma nova relação com a matemática, eu teria poderosos fundamentos para declarar que ele também tem a poderosa capacidade de mudar nossa relação com outros tipos de aprendizado que nos apavoram. (PAPERT, 1985, p. 69). Como vimos, a sociedade esta em constantes mudanças, onde podemos ressaltar aqui dois dos principais fatores, ambos frutos do desenvolvimento tecnológico: a Comunicação e a Informática. O computador tem provocado uma revolução na educação por causa de sua versatilidade de "ensinar". Existem várias possibilidades de implantação de novas técnicas de ensino envolvendo o computador pois o custo financiero é relativamente baixo para implantar e manter laboratórios de computadores, cada vez mais exigido tanto por pais quanto por alunos. Segundo Valente, (1999): A tecnología computacional tem mudado a prática de quase todas as atividades, das científicas, às de negocios, às empresariais e o conteúdo e práticas educacionais começam a seguir essas tendências de mudança. [ ] Similarmente pode parecer que se colocarmos as habilidades cognitivas básicas dos profesores nos computadores, poderemos delegar alguma parte do ensino às máquinas e dessa forma melhorar os resultados da educação.. (VALENTE, 1999, p. 81). Mas tudo isso causa insegurança nos professores, que num primeiro momento temem sua substituição por máquinas e programas capazes de cumprir o papel antes reservado para eles. O professor deve ter cuidado para não apresentar resistências às tecnologias, já que o novo sempre assusta um pouco. A função do computador é tornar o trabalho mais fácil e eficaz. É preciso entender, que o ser humano nunca vai ser substituído pela máquina. Computadores são instrumentos que auxiliam para um ensino e uma aprendizagem mais criativa, autonôma, colaborativa e interativa.

19 18 Aos professores cabe, apesar de todas as dificuldades existentes, atualizarem-se constantemente com o intuito de enriquecerem os processos educacionais, que assumam uma nova postura, não só de buscar acompanhar o processo tecnológico, mas também de associar esses recursos ao seu método de ensinar, tornando-os muito mais comunicativos e significativos, digo isto não somente para a educação infantil, básica, ou ensino médio, mas também para o ensino superior. É de suma importância que os profissionais ligados à educação se conscientizem que o processo de ensino e aprendizagem é muito dependente das tecnologias. A utilização da informática na área da educação é mais complexa do que a utilização de outro recurso didático conhecido até o momento, sendo muito diferente em função da diversidade dos recursos disponíveis. Com ela, é possível se comunicar, pesquisar, criar desenhos, efetuar cálculos, simular fenômenos, construir e transformar gráficos e muitas outras ações. Nem um outro recurso didático possui tantas funções, além de ser o recurso tecnológico mais utilizado em todas as áreas do mercado de trabalho pois na maioria deles existe o feedback. Para isto temos um recurso ótimo que o acesso à Internet nos disponibiliza que são vários sites onde podemos fazer download de softwares gratuitamente onde pode ser usado, copiado, estudado e redistribuído sem restrições. Borba (2001) relata que: O acesso à Informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma alfabetização tecnológica. Tal alfabetização deve ser vista não como um curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, nesse sentido, a Informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. (BORBA, 2001, p.17). A informática, e o computador, em particular, são instrumentos válidos de inovação tecnológica em qualquer área onde se atua. Quem os utiliza consegue inseri-los em um processo educativo no qual sejam claros os objetivos, a metodologia e as modalidades de avaliação utilizada. Partindo deste pressuposto, a presença de computadores em sala de aula pode proporcionar grandes avanços no processo de ensino-aprendizagem. O interessante é que a educação tecnológica não precisa ter uma disciplina em especial, ela pode ser utilizada nas diversas disciplinas, cabe ao educador saber a melhor maneira de utilizá-la a seu serviço, porém isso implica na formação ou capacitação destes. Na Educação Matemática as

20 19 tecnologias podem ser utilizadas através de formas e modalidades diversas, tanto em trabalhos individuais como de grupo. De acordo com Morais: Ao nosso ver, as possibilidades postas pelas tecnologias da informação ampliam as perspectivas educativas, sobretudo no campo do desenvolvimento da comunicação, do diálogo, da ética, propiciando, quiça, integrações culturais e étnicas, criando, assim, as bases futuras da paz. (MORAIS, 2000, P.66). A descoberta das potencialidades do computador em Educação e na Educação Matemática deve ser sempre considerada em relação à sua aplicação a um campo específico de atividade. Assim sendo, verificar onde é possível utilizar o computador e como usá-lo: elaborar programas didáticos buscando soluções para problemas complexos da Matemática, utilizar jogos educativos, divertir-se em atividades criativas, explorar as potencialidades das máquinas em redes como a Internet ou utilizar o computador para criar desenhos, manipular imagens, gerar sons, gráficos, etc. Programas didáticos que exploram ao máximo os recursos de multimídia (sons, vídeos, desenhos, cores, animação), revelam-se, sobretudo entre adolescentes e crianças, excelente fonte de motivação e de complementação de aprendizagem de complexos conteúdos de Matemática, por promoverem atividades criativas, interativas e de feedback imediatos ao aluno e ao professor. Segundo COBURN [et al.] (1988, p. 227), os educadores das escolas alfabetizadas em informática usarão os computadores de várias formas, como utilizam atualmente as linguagens: para o ensino, para a motivação, para estimular, entreter e fornecer explicações. É importante observarmos que o processo de ensino é constituído por diversas atividades que deverão ser organizadas pelo professor, visando a assimilação, por parte dos alunos, de conhecimentos, habilidades e hábitos, do desenvolvimento de suas capacidades intelectuais, objetivando sempre o domínio dos conhecimentos e habilidades e suas diversas aplicações. A tecnologia traz benefícios, mas também poderá ser vista como prejudicial pelo seu mau uso. Valente relata que: O professor necessita ser formado para assumir o papel de facilitador da construção de conhecimento e deixar de ser o entregador da informação para o aprendiz. Isso significa ser formado tanto no aspecto computacional, de domínio do computador e dos diferentes softwares, quanto ao aspecto da integração do computador nas

21 20 atividades curriculares. O professor deve ter muito claro quando e como usar o computador como ferramenta para estimular a aprendizagem. (VALENTE, 1999, p. 109). Para que professores e alunos possam usufruir, plenamente dessa nova tecnologia, os mesmos devem conhecer suas potencialidades, assim como seus limites e serem conscientes das conseqüências de seus usos e eventuais abusos, uma vez que, para se obter um maior aproveitamento de instrumentos informáticos na Educação Matemática não é suficiente apenas saber utilizar os recursos de software e se manter atualizado com as últimas novidades da pesquisa científica, mas entender que a escolha crítica do momento e do modo como deve ser utilizado um instrumento tão potente e sofisticado como o computador pode propiciar grandes benefícios à Educação, da mesma forma que o seu uso abusivo e incorreto pode gerar verdadeiras distorções. De acordo com o autor José Armando Valente: Isso significa que, para o professor também, muito mais envolvimento e formação são necessários para que ele possa avaliar e usar em sua sala de aula, as novas aplicações computacionais. É fundamental que os educadores estejam conscientes das promessas e possibilidades da tecnologia do computador, para assegurarem uma escolha de qualidade a sua prática educacional. (VALENTE, 1999, p. 84). Podemos contar com inúmeros jogos e softwares, que cultivam no ambiente educacional uma prazerosa aliança entre diversão e aprendizado. Programas de processamento de texto, planilhas, manipulação de banco de dados, construção e transformação de gráfico, calculadores numéricos, são aplicativos extremamente úteis tanto ao aluno quanto ao professor. Talvez estas ferramentas constituam uma das maiores fontes de mudança do ensino e do processo de manipular informação. As modalidades de softwares educativos descritas acima podem ser caracterizadas como uma tentativa de computadorizar o ensino tradicional.

22 21 4 Conceitos de Cálculo Integral e alguns comandos básicos do Software Maple O Cálculo Integral é disciplina de grande importância, aparecendo em várias grades curriculares de diferentes cursos do ensino superior. Dedica-se ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem podendo produzir aceleração. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento prévio de matemática básica como: funções, algebra, geometria e trigonometria, pois estas são ferramentas básicas do cálculo. A integral definida, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida. Segundo Mariani (2005) b f (x) dx = F(b) F(a). a a integral definida da função f(x) para a x b é calculada por Tomando como base a funcionalidade do software Maple, objetiva-se destacar e analisar aspectos que não conseguiríamos fazer em sala de aula simplesmente usando o quadro-negro. Para melhor entender e compreender a questão de funcionalidade apresenta-se uma proposta pedagógica para a exploração de conceitos do Cálculo Integral. Neste trabalho, serão propostos alguns cálculos de integrais definidas utilizando o método de Riemann pelos extremos direito, esquerdo e pelo ponto médio. A soma de Riemann se caracteriza de maneira geral como sendo a soma das áreas de n retângulos. O objetivo é mostrar a facilidade de cálculo com o método de Riemann usando o software Maple, sendo que somente com giz e quadro-negro seria impossível calcularmos como por exemplo a soma para 50 retângulos ou até mesmo 1000 retângulos. Também será discutido qual aproximação (esquerda, direita ou ponto médio) é mais eficiente para o cálculo da área sob a curva. O ambiente computacional criado não tem a intenção de diminuir a importância das aulas teóricas uma vez que esse ambiente computacional é apenas uma ferramenta para o aluno aplicar os conceitos vistos em sala de aula. O software Maple é desenvolvido pela Universidade de Waterloo, Canadá, e pelo Instituto Federal de Tecnologia de Zurique (ETH), Suiça. O Maple é um sistema de álgebra computacional comercial de uso genérico, um ambiente de matemática completo para a

23 22 resolução de problemas que possui uma grande variedade de operações matemáticas como: álgebra simbólica, análise numérica, gráficos, além de resolver equações diferenciais, integração, derivação, e qualquer outro assunto que envolva cálculos matemáticos. De acordo com Mariani: [...] Um sistema de computação algébrica, númerica e gráfica desenvolvido para uso profissional na resolução de problemas que exigem métodos matemáticos. Ao abrir o Maple, é apresentada uma folha de trabalho, na qual pode-se acionar funções do aplicativo, produzir textos, hipertextos, cálculos, obter gráficos e animações,[...] (MARIANI 2005, p.02). A escolha do software MAPLE se deu visto às potencialidades que o mesmo oferece para os conteúdos que normalmente são trabalhados nas disciplinas chamadas de Cálculo Diferencial e Integral. Para o desenvolvimento das atividades foi utilizado o MAPLE 9.01, para o sistema operacional Windows. Nas atividades propostas vamos utilizar o pacote Student, onde a palavra with deve antecedê-la para que o pacote seja carregado, ou seja, with(student). O pacote Student será utilizado nas atividades propostas. Alguns dos pacotes que o Maple contém e suas finalidades segundo a autora Viviana Cocco Mariani (2005): Pacotes DEtools Difforms Finace Plots Stats Student Sumtool Funcionalidades equações diferenciais formas diferenciais matemática financeira gráficos estatística cálculo Somas indefinidas e definidas Figura 11: Alguns pacotes que o Maple contém e suas finalidades Fonte: MARIANI (2005) Para que o desenvolvimento das atividades seja significativo serão apresentados aos alunos alguns comandos básicos do software que serão utilizados:

24 23 Comandos Funcionalidades + Adição - Subtração * Multiplicação / Divisão ^ Potenciação ** Potenciação sqrt Raiz quadrada int(f(x),x=a..b); calcula a integral definida de uma função f de variável x, com x variando de a até b. Int escreve o símbolo de integração. f:=x->f(x) escreve a função plot(f(x),x=a..b,y=b..c) desenha o gráfico da função Figura 12: Alguns comandos básicos do software maple Fonte: MARIANI (2005) O pacote student possui seis funções relacionadas com as somas de Riemann de uma função f (x) em um intervalo [a,b], que são: Comandos Funcionalidades leftbox(f(x), x=a..b, n); mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo extremo esquerdo leftsum(f(x), x=a..b, n); aproximação numérica da integral pelo extremo esquerdo rightbox(f(x), x=a..b, n) mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo extremo direito rightsum(f(x), x=a..b, n) aproximação numérica da integral pelo extremo direito middlebox(f(x), x=a..b, n) mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo ponto médio middlesum(f(x), x=a..b, n) aproximação numérica da integral pelo ponto médio Figura 13: Comandos do software Maple relacionadas com a soma de Riemann Fonte: MARIANI (2005) O símbolo # é utilizado para colocar algum comentário, o que vem depois deste símbolo não é levado em consideração pelo Maple como comando. Com o comando evalf(%) retorno o valor calculado usando uma quantidade de dígitos após a vírgula conforme fixado (solicitado). O símbolo % seguido junto com o comando evalf substitui a escrita da última função explorada e o comando restart limpa a memória interna usada pelo Maple para armazenar cálculos.

25 24 Salienta-se que ao encontrar uma falha em um comando que pode ser decorrente a um erro de digitação, o Maple responde com uma mensagem de erro escrita na cor azul. A mensagem indica o tipo de falha e o cursor localiza a primeira falha. Uma vez inicializado o Maple, aparecerá uma janela conforme ilustra a figura 11. Nela os símbolos, [> indicam a linha de digitação dos comandos ou também chamada prompt. Todo comando deve ser finalizado com ponto e vírgula (;), para que o resultado apareça, ou dois pontos não aparecer na folha de trabalho o resultado, ou seja, o Maple executa e guarda na memória e em seguida teclando-se Enter, conforme mostrada na figura 14. Figura 14: Janela de comandos do Maple

26 25 5 Integral definida calculada pela Soma de Riemann Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. Pode também ser usada para definir a operação integração. O método é nomeado em relação ao matemático alemão Bernhard Riemann. A sugestão de atividade pode ser iniciada desafiando os alunos a construirem o gráfico de uma determinada função, utilizando os comandos do Maple apresentados anteriormente. Uma forma para construir um gráfico é utilizando o comando f:=x->f(x) que escreverá a função e o comando plot(f(x),x=a..b,y=b..c), que desenhará o gráfico da função, conforme ilustra a figura 15. FIGURA 15: Gráfico da funçãof(x)=x²+10

27 26 Se o aluno não digitar o pacote with(student) o software não reconhece o comando digitado e conseqüentemente não irá construir o gráfico conforme figura 16. Figura 16: Resultado do comando leftbox, sem que o aluno tenha digitado o pacote with(student) Em um segundo momento após os alunos terem conhecimento do comando leftbox e de que n corresponde ao número de retângulos, será solicitado para que construam o gráfico da função f(x)=x²+10, para n=10 e após para n=50, conforme figuras 17 e 18. Os alunos também deverão associar o resultado calculado pelo comando evalf(%) como sendo a soma das áreas dos retângulos, ou seja, a área sob a curva.

28 Figura 17: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=10 27

29 28 Figura 18: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=50 O que pode-se observar em relação a soma das áreas dos 10 retângulos em relação a soma das áreas dos 50 retângulos? Lembrando que estamos trabalhando com a aproximação pelo extremo esquerdo. Espera-se que o aluno responda que a soma das áreas aumentou, pois diminuiu o espaçamento entre a curva e os retângulos. Para um terceiro momento, pede-se para que os alunos verifiquem qual comando devemos utilizar para que o cálculo seja efetuado pelo extremo direito, ilustrado nas figuras 19 e 20, considerando os mesmos números de retângulos da atividade anterior, ou seja, n=10 e n=50.

30 Figura 19: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=10 29

31 30 Figura 20: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=50 Observa-se neste caso que se aumentado o número de retângulos o valor da área tende a diminuir, isto porque, pelo extremo direito calcula-se uma área maior que a área sob a curva, diferente do cálculo pelo extremo esquerdo. Em um quarto momento, solicitar para que os alunos calculem a área utilizando o comando middlebox, ou seja, pelo ponto médio, novamente considerando o mesmo número de retângulos das atividades anteriores, conforme ilustrado nas figuras 21 e 22.

32 Figura 21: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=10 31

33 32 Figura 22: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=50 Pode-se perguntar aos alunos: se aumentado o número de retângulos para 1000, o valor das áreas pelas aproximações será o mesmo? Pedir para que os mesmos justifiquem a resposta utilizando o software, pois utilizando-o para a construção dos gráficos os alunos podem ter uma melhor visualização dos resultados. Espera-se que pelas experimentações e visualizações, os alunos cheguem à conclusão de que o valor das áreas tende a um único número, mas não chegam a ele, ficam próximos a 423. Em virtude da realização dos exercícios no software Maple, é importante que o professor auxilie os alunos para que não fique dúvida sobre o uso do software. Utilizando o conceito de integral, para a atividade seguinte os alunos podem ser desafiados a construírem uma tabela, calculando a área de cada retângulo, pelas aproximações pelo extremo esquerdo, direito e ponto médio. Segundo Anton: os cálculos aqui envolvem somente a soma dos valores da função em n pontos, seguido por uma multiplicação por x. Os pontos x1, x2,,...,xn podem ser arbitrariamente escolhidos nos subintervalos; porém as escolhas mais comuns sãoos

34 33 extremos esquerdo e direito ou centro do intervalo, e em cada caso a fórmula é chamada de aproximação pelo extremo esquerdo, pelo extremo direito ou pelo ponto médio da área exata. ANTON (2000, p.406) As aproximações feitas pelo extremo esquerdo, direito e pelo ponto médio da área sob a curva y=x²+10 no intervalo [1,10], com n=10, n=50 e n = 1000, foram calculadas com o método computacional, conforme vistos nos gráficos anteriores, porém conseguimos calcular a área de cada retângulo e conseqüentemente a soma das áreas dos retângulos pelas diferentes aproximações, conforme figura 23. Os resultados de todos os cálculos estão na figura 24. Aprox. pelo extremo Aprox. pelo extremo Aprox. pelo ponto médio esquerdo direito n xn (xn)²+10 xn (xn)²+10 xn (xn)² ,9 13,61 1,45 12, ,9 13,61 2,8 17,84 2,35 15, ,8 17,84 3,7 23,69 3,25 20, ,7 23,69 4,6 31,16 4,15 27, ,6 31,16 5,5 40,25 5,05 35, ,5 40,25 6,4 50,96 5,95 45, ,4 50,96 7,3 63,29 6,85 56, ,3 63,29 8,2 77,24 7,75 70, ,2 77,24 9,1 92,81 8,65 84, ,1 92, ,55 101, , , ,325 (0,9)(421,85000 (0,9)(520,850000) (0,9)(469,325) x ( fx n ) 0) i = 1 379, , , Figura 23: Detalhes dos cálculos no caso n=10

35 34 n (número de Aprox. pelo Aprox. pelo Aprox. pelo ponto retângulos) extremo esquerdo extremo direito médio Figura 24: Valor das áreaa em função do número de retângulos Segundo Anton (2000, p.407) cada aproximação pelo extremo esquerdo superestima a área, enquanto que aquela do extremo direito subestima-a e cada aproximação pelo ponto médio fica entre a subestimativa e superestimativa. Os alunos deverão perceber então que a soma de Riemann com a aproximação pelo ponto médio quando n cresce (n igual ao número de retângulos) a soma das áreas dos retângulos tende a área exata sob a curva, ou seja, é mais eficiente do que as outras. Espera-se que se não todos, a maioria dos alunos, entendam o conceito de integral definida a qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x, pois quando o número de retângulos tende a infinito e as suas larguras tendem a zero, a aproximação do valor desta área tende para o valor exato da área sob a curva, e esse número chama-se integral de f de a até b e é indicado por: b n a f ( x) dx = lim ( fx n ). x = x.[ f ( x1) + f ( x2) f ( xn) n i = 1 onde: b a x = n Será solicitado aos alunos que utilizem os comandos fornecidos pelo software para o cálculo da integral da função trabalhada, com a intenção de que os mesmos calculem o valor exato sob a curva, formalizando então o conceito de integral. A integral definida de acordo com Mariani (2005, p.185) [...] é o valor da área, entre a curva e o eixo dos x, quando o número de retângulos tende a infinito. Para o cálculo da integral definida é necessário especificar o intervalo de integração. O software Maple consegue calcular essa área exata. O comando Int escreve o símbolo de integração. A função

36 35 int, disponível no pacote student, calcula a integral. Se a integral for definida, então o comando int dará o valor exato desta integral, conforme figura 25. Figura 25: Valor exato da área sob a curva utilizando o cálculo de integral definida Pode-se concluir então que, a área exata sob a curva é 423 unidades quadradas e que quando n o limite da soma de Riemann com n subintervalos é igual à integral de x²+10 no intervalo [1,10], ficando plenamente satisfatório se realizado o cálculo pela aproximação pelo ponto médio. A integral da função trabalhada f(x)=x²+10 que é bem b simples, pode ser facilmente calculada por f (x) dx = F(b) F(a), obtendo o mesmo resultado. Agora o aluno pode ser qustionado com: se tivermos uma função mais complicada como f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2, qual seria o valor da área sob a curva? a Aplicando os comandos ja conhecidos, o software nos da o recurso para calcularmos a área de uma função que aparentemente seria mais complicada se fosse calculada no caderno (escrita). De acordo com a figura 26, podemos observar o comportamento da função e o valor da área sob a curva pelo cálculo de integral da função.

37 36 Figura 26: Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2 Calculando pela soma de Riemann pela aproximação pelo ponto médio, como já estudado e, utilizando a soma da área de 100 retângulos pode-se obter a área aproximada desta função, observe na figura 27.

38 37 Figura27: Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2, para n=100 Para finalizar estas atividades podemos concluir que o uso do computador como ferramenta no ensino, é uma das alternativas mais poderosas para ensino moderno, principalmente aqueles que envolvem modelos matemáticos. Foram desenvolvidos vários softwares nessa direção e um deles é o Maple que tem uma capacidade extraordinária de lidar com os mais diversos conteúdos matemáticos. Nas atividades propostas, apresentou-se um pouco do software Maple e sua utilização no cálculo de integral definida. Espera-se que se aplicadas estas atividades de um modo correto pelo professor possamos ajudar o aluno na compreensão e assimilação de integrais definidas, e também talvez mostrar ao aluno um caminho que certamente facilitará sua vida acadêmica de um modo geral, tornando as aulas mais dinâmicas e não somente no quadro negro como são as aulas tradicionais.

39 38 6 CONCLUSÃO Atualmente o trabalho docente deve assumir uma perspectiva a qual incorpora novas possibilidades teórico-metodológicas e que considerem as Tecnologias da Informática e Comunicação (TICs) para a exploração, construção disseminação do conhecimento. Cabe ao professor investigar como utilizá-las e torná-las parte do processo educativo, criando novos contextos para que os alunos possam transformar informações e experiências compartilhadas em conhecimentos. Espera-se que este trabalho ajude o professor refletir e repensar sob as dimensões pedagógicas e epistemológica da TICs. A proposta metodológica apresentada neste trabalho teve como intuito mostrar que o aluno do curso de graduação tem capacidade de absorver noções de cálculo de integrais definidas, utilizando-se da tecnologia, em especifico o computador/software. O principal objetivo hoje ao adaptar a informática ao currículo escolar esta na utilização do computador ou outro recurso tecnológico como instrumento de apoio as matérias e conteúdos lecionados, além da função de preparar os alunos para uma sociedade informatizada. A funcionalidade dos softwares é interagir como facilitador no que se refere ao ensino de cálculo de integral definida, pois normalmente o ensino deste conteúdo caracteriza-se de processos algébricos seguidos de exercícios, via de regras e de caráter repetitivo. Uma das possibilidades de modificar este quadro seria a utilização de tecnologias como ferramenta didática. O emprego do software neste caso, talvez liberte o aluno da execussão desses algoritmos e procedimentos demorados podendo ultrapassar o papel passivo de escutar, decorar e repetir ensinamentos do professor/mediador, e tornar-se criativo, critíco e atuante para produzir o conhecimento. O Maple aqui é apenas uma sugestão de programa que pode ser utilizado para dinamizar as aulas de cálculo. Com o uso do software o professor pode planejar atividades nos quais os alunos desenvolvam habilidades e práticas de visualização, simulação, experimentação, onde o mesmo poderá fazer conjecturas, formular e testar hipóteses. O objetivo das atividades apresentadas é fazer com que o aluno seja capaz de entender conceito de integral definida utilizando a soma de Riemann pelo método das aproximações e que o mesmo visualize como é de fundamental importância o uso do software para que estes conceitos e aplicações fiquem mais clarividentes conseguindo e verificar qual seria o método das aproximações mais eficiente para calcular a área sob a curva. Essas experimentações são possíveis devido a flexibilidade do Maple. Com a utilização do software o interesse dos

40 39 alunos pelas aulas provavelmente será superior, sendo o conhecimento construído a partir do envolvimento dos alunos na solução do problema proposto. O ambiente informatizado é um diferencial, pois possibilita um substrato de ações que a aula convencional não proporciona. O contato com o software Maple, pode servir como um instrumento de facilitador da aprendizagem do Cálculo, desde que seja utilizado de forma adequada, como uma ferramenta de complementação, aperfeiçoamento e possível mudança na qualidade de ensino. Uma mudança resultante da própria modificação na qualidade de vida, pois, como sabemos, o computador é um recurso que, de uma forma ou de outra, já está presente no cotidiano dos alunos. Segundo a opinião dos autores consultados no decorrer deste trabalho a utilização das tecnologias educacionais no ensino deveria ter por objetivo dar maior agilidade, atualidade aos conteúdos, tornando as aulas mais dinâmicas e contextualizadas. No entanto, para que o computador cumpra o papel almejado no ensino da atividade proposta é necessário um cuidado, pois corre-se o risco de repetir os mesmos erros que o ensino tradicional vem cometendo e transformar as novas tecnologias em potencializadoras do fracasso no ensinoaprendizagem de Matemática. A idéia da utilização do software Maple em sala de aula está na linha dos que buscam, como propõem Borba e Penteado (2007), alterar práticas que subestimam a capacidade dos alunos. Queremos enfatizar que o interesse pelo computador está tanto na rapidez que ele pode oferecer ao realizar cálculos de rotina, quanto na atividade investigativa que ele possibilita e potencializa. O computador favorece uma maior possibilidade de identificação de regularidades rapidamente, o que leva a percepção de propriedades e o traçado de gráficos sofisticados. Além disso, possibilita também que o aluno visualize seu erro e interaja com base nele. Cabe ressaltar que a continuidade das pesquisas envolvendo ferramentas computacionais é de grande importância, pois se constitui em estudo atual e necessário não só em termos de aplicações específicas, mas como base para a discussão dos efeitos da sua utilização.

41 40 REFERÊNCIAS ANTON, Howard, Cálculo, um novo horizonte, Editora Bookman, Porto Alegre, ANTONIOLI, Leonardo, Estatísticas, dados e projeções atuais sobre a Internet no Brasil, Disponível em: os&itemid=62. Acessado em 03 maio BORBA, M. de C., PENTEADO, M. G., Informática e Educação Matemática, Belo Horizonte: Autêntica, COBURN, Peter [et.al], Informática na Educação, Rio de Janeiro: LTC, ENTENDENDO o computador: As linguagens do computador, São Paulo: Nova Cultura, A revolução dos computadores, São Paulo: Nova Cultura, INTER-PONTA INFORMÁTICA LTDA, Como surgiu a Internet. Disponível em: < Acesso em: 24 de abr MARINI, Viviana Cocco, Maple: fundamentos e aplicações, Rio de Janeiro: LTC, MORAES, Raquel de A., Informática na Educação, Rio de Janeiro: DP&A, NEPOMUCENO, Nivardo C., História da Internet. Disponível em < Acessado em: 05 maio PAPERT, Seymour, LOGO: Computadores e Educação, São Paulo: Brasiliense, VALENTE, José Armando, O computador na sociedade do conhecimento, Campinas: NIED, 1999.

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