Capítulo DOIS Sistemas de numeração em computação

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1 Capítulo DOIS Sistemas de numeração em computação 2. Introdução Em todas as fórmulas usadas a seguir, B representa a base do sistema de numeração, n representa a quantidade de dígitos disponíveis para representar os números, e a, b e c representam números. A fórmula utilizada para representar um número inteiro: n- a =Σ (xi.bi) i= será representada por a=σ n- x i B i, ficando a variação de i desde até o limite (n-) implícita. Para uma determinada base B, empregando-se n dígitos, pode-se representar B n combinações distintas, ou seja, B n números distintos. Assim, para base decimal com três dígitos pode-se representar números distintos (com zero incluído!). Entretanto, com os mesmos três dígitos e base dois, representa-se somente 8 números distintos. Assim, números binários vão exigir um grande número de dígitos, e normalmente trabalha-se com grandes cadeias de zeros e uns. Isto pode levar a erros visuais, e por isso empregam-se comumente as notações em base 8 e base 6 para representar números binários. A tabela abaixo lista os primeiros 6 números em binário, decimal, octal e hexadecimal. Binário Decimal Octal Hexadecimal A 3 B C D 4 6 E 5 7 F Tabela 2. - Números em binário, decimal, octal e hexadecimal Em computação trabalha-se normalmente com quatro bases: a decimal, para entrada e saída dos dados (já que nossa sociedade é baseada no sistema decimal); a binária, para os cálculos internos; a hexadecimal, como forma compactada de representação interna; e a octal, também por este motivo. Note-se que a escolha das bases 8 e 6 não é ocasional: as transformações 2-

2 entres as bases 2, 8 e 6 pode ser feita facilmente pelo método da substituição direta. Embora a base hexadecimal seja de representação mais complexa (utiliza letras e dígitos), ela é preferida sobre a base octal por ser mais compacta, ou seja, requerer menos espaço para representar os resultados. Os números do sistema binário são formados como qualquer outro número do sistema de numeração arábico (inclusive em octal ou hexadecimal): cada novo número é obtido por enumeração, somando-se um ao seu antecessor (e observando-se a regra do vai-um ). Cada dígito do sistema binário ( e ) é denominado de bit, a contração de binary digit. A determinados conjuntos de bits são empregados nomes específicos. Assim, um quarteto (4 bits) é frequentemente denominado de nibble, e um octeto (8 bits) recebe a denominação de byte (ou o termo aportuguesado baite). Os múltiplos deste conjuntos utilizam os mesmos denominadores que no sistema decimal (K para kilo, M para Mega, G para giga, T para Tera, P para Peta), mas o fator multiplicativo não é ( 3 ) mas sim 24 (2 ). Assim, um kilobit (abreviado Kb) são 24 bits, e um kilobyte (abreviado KB) são 24 bytes. Um megabyte (MB) são 24 KB; um gigabyte (GB) são 24 MB, um terabyte (TB) são 24 GB e assim por diante. 2.2 Soma de números binários A soma de dois números binários utiliza as mesmas regras da soma no sistema decimal. Como existem entretanto somente dois símbolos, a tabela de soma é extremamente simples: a c d=a+c e vai-um Tabela Tabela verdade de um meio-somador (half adder) Observe-se que soma de mais resulta em (dois), ou seja, o dígito do resultado é zero e existe a ocorrência de um vai-um (carry out, em inglês). Considerando-se a possível existência de um vem-um (carry in) e de vai-um (carry out), obtém-se a tabela a seguir. a c vem-um d=a+c vai-um Tabela Tabela verdade de um somador completo (full adder) 2.3 Representação de números A representação de números inteiros positivos é direta e imediata. Entretanto, é necessário expandir (ou modificar) esta representação para incluir também números negativos. Diversas representações foram desenvolvidas com este propósito. Quatro destas representações, as mais comuns atualmente, são analisadas a seguir: inteiros positivos, sinal/magnitude, complemento de B- e complemento de B. 2-2

3 2.3. Números inteiros positivos Considerando-se somente a representação de números inteiros positivos, com n dígitos pode-se representar B n números, dispostos no intervalo fechado entre zero (o menor) e B n (o maior). Faixa de representação: [, B n ] Assim, para 2 dígitos decimais tem-se números, de a 99; para 3 dígitos em base 3 temse 27 números, de ( 3 ) a 26 (222 3 ); para 4 dígitos binários tem-se 2 4 =6 números, desde zero ( 2 ) até 5 ( 2 ); para 8 dígitos binários tem-se 2 8 =256 números, desde zero ( 2 ) até 255 ( 2 ); Não existe previsão para números negativos. Cálculo do valor do número O valor de número positivo é calculado pelo polinômio Σ n- x i B i, exatamente o mesmo método utilizado para a conversão pelo método polinomial. Troca de sinal Como não existe a capacidade de representar números negativos, não existe tal função. Soma de dois números A soma de dois números positivos é realizada somando-se os dois polinômios dígito a dígito, de acordo com as tabelas da soma na base em questão. Para base 2 utiliza-se a Tabela 2.3 da seção 2.2. Naturalmente, nesta soma leva-se em conta os eventuais vai-um e vemum Números com sinal: representação em sinal-magnitude Para permitir números com sinal, esta representação utiliza um dígito (normalmente o mais significativo) para representar o sinal. No sistema decimal, o símbolo é usado para indicar números negativos e + (ou simplesmente um espaço vazio) para números positivos. Com isto ganha-se a possibilidade de representar inteiros negativos, mas a faixa de representação é reduzida porque tem-se agora somente (n ) dígitos para representar a magnitude. Faixa de representação: [ (B n- ), +(B n- ) ] ou [ (B n- ), (B n- ) ] Divide-se a gama de representação em dois subconjuntos simétricos, um para números negativos e outro para positivos. A faixa dos números positivos é reduzida de um fator igual a base B. Por exemplo, para base decimal com dois dígitos, se consideramos somente números positivos tem-se a faixa de até 99; com a representação em sinal magnitude obtém-se a faixa de 9 até +9. Além disto, existem duas representações para o zero: e +. De um modo geral, para uma base qualquer, das B n combinações possíveis usam-se somente 2.B n- (descontando-se o duplo zero). No exemplo acima, das combinações são utilizadas somente 9. Em binário, entretanto, com B=2, obtém-se 2.2 n-, ou seja, 2 n (isto é, B n ). Assim, somente uma representação é perdida (a do duplo zero). Obs.: no sistema binário costuma-se utilizar no lugar de, e no lugar de +. Assim, para 4 dígitos, representa 7, representa 7, representa zero e representa. 2-3

4 Cálculo do valor do número Um número em sinal magnitude, independente de qual a base utilizada, é formado por duas parcelas, escritas lado a lado. A parcela à esquerda (S(a)) representa o sinal e a parcela à direita (M(a)) a magnitude: a = S(a)M(a) onde S(a) é + ou, e M(a)=Σ n-2 x i B i. Em binário, utiliza-se usualmente no lugar de + e ao invés de -. Troca de sinal Para trocar o sinal de um número a em sinal magnitude, troca-se simplesmente S(a), mantendo-se a magnitude M(a). Assim, no caso de c= a, tem-se M(c)=M(a), e se S(a)= +, então S(c)=, e se S(a)= então S(c)= +. Soma de dois números A soma de dois números em sinal magnitude é realizada de acordo com as regras da tabela abaixo. No caso, deseja-se calcular d=a+c. S(a) S(c) S(d) M(d) Exemplo M(a)+M(c) = 2 M(a)+M(c) = -2 + se M(a) M(c), + se M(a)<M(c), M(a) M(c) M(c) M(a) = = -2 + se M(a)>M(c), se M(a) M(c), + M(a) M(c) M(c) M(a) = = 2 Tabela Soma em sinal / magnitude Note-se que, para realizar somas de números em sinal/magnitude, deve-se conhecer as tabelas de soma e de subtração da base em que se estiver trabalhando. Esta necessidade de realizar duas operações distintas (soma e subtração) torna muito mais complexa a manipulação de números em sinal/magnitude pelo computador. Assim, apesar de familiar ao ser humano, esta notação é pouco utilizada em computação. Para resolver o problema de representação de números negativos, optou-se por usar a notação em complemento da base, como visto a seguir. Duas notações foram desenvolvidas: em complemento de (B-) e em complemento de B Observação: a tabela de subtração em binário será vista mais adiante (seção 2.5) Números com sinal: representação em complemento de (B ) Para permitir que a operação de soma seja realizada de forma única, sem preocupação com os sinais dos operandos, é utilizada a representação em complemento. Números positivos são representados na forma normal, e números negativos são representados em complemento. Na representação em complemento de (B-), o complemento de um número a é obtido subtraindo-se este número da maior quantidade representável, ou seja, B n a. Assim, na base, com 3 dígitos, o complemento de 9 (-) de um número a é obtido pela fórmula 999-a. Note-se que isto equivale a subtrair cada um dos dígitos de a de 9, que é justamente a base menos um. Generalizando, para representar números negativos em complemento de B, cada algarismo x i é complementado individualmente pela fórmula B x i. A tabela a seguir ilustra o cálculo do complemento para diversas bases. 2-4

5 Algarismo B=2 B=3 B=4 B=8 B=9 B= Tabela Exemplos de cálculo de complemento de B- A notação em complemento elimina a necessidade de representação explícita do símbolo do sinal, ou seja, não existe um símbolo especial para o sinal. A faixa de números representáveis é dividida em duas. Uma das faixas representa números positivos, e a outra faixa representa números negativos. Existindo m representações, as primeiras m/2 são utilizadas para números positivos (de a m/2), e as m/2 representações seguintes (de m/2 até m) são utilizadas para números negativos. A faixa de representação fica: Faixa de representação, para B par: [ (B n /2 ), +(B n /2 ) ] Faixa de representação, para B ímpar: [ (B n 3)/2, +(B n )/2 ] A tabela a seguir ilustra as faixas para diversas bases. Note-se que a gama de representação é dividida em dois subconjuntos, um para números negativos e outro para positivos. A faixa dos números positivos é reduzida da metade (em relação aos inteiros positivos). Continua existindo a dupla representação do zero, assim como em sinal magnitude, mas não existe mais a perda de capacidade de representação devido a existência do dígito de sinal. Base Num.dig. Faixa Faixa em decimal 2 4,,..,,,,.., 7, 6,..,,+,, ,2,2,..,222,,,.., 2,,,..,,+,,.., ,2,..,333,,,..,32,33 3, 3,..,,+,, ,4,..,777,,,..,376, , 254,..,,+,.., ,46,..,88,,,..,43,44 39, 38,..,,+,,..,39,4 2 5,5,..,98,99,,,..,48,49 49, 48,..,,,+,..,48,49 Tabela Exemplos de faixas de representação em complemento de B- Por exemplo, para base decimal com dois dígitos, se consideramos somente números positivos tem-se a faixa de até 99; com a representação em complemento de 9 obtém-se a faixa de 5 a 99 e a 49. A primeira metade (de 5 a 99) representa números negativos (de 49 a ); a segunda metade (de a 49) representa números positivos. Note-se que um número iniciando por 9, 8, 7, 6 ou 5 é negativo; iniciando por,, 2, 3 ou 4 é positivo. Em binário, para 4 dígitos, tem-se a faixa a ( 7 a ) e a ( a 7). Números iniciando por são negativos, e iniciando por são positivos. Para bases ímpares, existe um número positivo a mais, e para a determinação do sinal não basta a verificação do dígito mais significativo (veja-se a seguir). Por exemplo, na tabela 2.6, os números em base 3 iniciando por zero são positivos, e os números iniciando por 2 são negativos, mas dos números iniciando por metade são positivos (,, 2, e ) e metade são negativos (2, 2, 2 e 22). 2-5

6 Cálculo do valor do número Um número em complemento de (B ) tem o seu valor calculado de acordo com os seguintes passos: determinação do sinal: se a representação do número, interpretado como inteiro positivo, estiver na metade superior da faixa, ele é negativo. Se estiver na metade inferior da faixa, é positivo. Ou seja, sendo o número a=σ n- x i B i, se a B n /2, então este número em complemento de (B ) é negativo. Se a<b n /2, então, em complemento de (B ), ele é positivo. Obs.: para bases pares, basta analisar o dígito mais significativo, conforme já explicado. Assim, por exemplo, para base 3 com três dígitos, tem-se 3 3 = 27 representações. A metade é 3,5, e assim os números de a treze (representados respectivamente por a ) são positivos, e os de 4 a 26 (representados por 2 a 222) são negativos. Note-se que existem 4 números positivos, e 3 números negativos. Em outro exemplo, para base 4 com três dígitos, tem-se 4 3 = 64 combinações. A metade é 32, e então os números de a 3 (representados por a 33) são positivos, e os de 32 a 63 (representados por 2 a 333) são negativos. Existem neste caso 32 números positivos e 32 números negativos. determinação da magnitude do número. Se o número a for positivo, então sua magnitude é dada por M(a)=Σ n- x i B i. Se o número a for negativo, para calcular sua magnitude (valor absoluto) deve-se calcular o complemento de (B ) de cada algarismo, ou seja, substitui-se cada dígito pelo seu complemento. Alternativamente, também é possível manipular todo o número: M(a)=Σ n- (B--x i )B i = Σ n- (B-)B i Σ n- x i B i = B n Σ n- x i B i =B n a Assim, por exemplo, para base 3 com três dígitos, a magnitude de é 2 (o número é positivo). Já o número 2 é negativo, e assim seus dígitos devem ser complementados, resultando em, ou seja, a magnitude também é 2. Utilizando-se a fórmula acima, tem-se também 3 3 (2) 3 = 27 4=26 4=2. A tabela a seguir fornece diversos exemplos do cálculo do valor de um número, de acordo com as regras descritas acima. Base Num.dig. Número Sinal Magnitude Num.decim Tabela Exemplos de cálculo do valor de um número em complemento de B- 2-6

7 Troca de sinal Para trocar o sinal de um número a em complemento de (B ), basta complementar, também em B, cada um de seus dígitos. Assim, no caso de c= (a), tem-se, pelo raciocínio acima, c=b n a. Note-se que ( (a)) = (B n a) = B n (B n a) = a. No caso de bases ímpares, o maior positivo, ao ser trocado de sinal, resulta novamente em si próprio. Nestes casos, diz-se que houve estouro de representação (veja seção 2.6). Para bases pares, isto nunca ocorre (para complemento de B-). A tabela abaixo ilustra diversos casos de troca de sinal. Base Num.dig. Número Núm.negado Magnitude (estouro) FE 6 2 FF Tabela Exemplos de troca de sinal para números em complemento de B- Soma de dois números Para entender-se o processo de soma de dois números em complemento de (B ), deve-se analisar os mesmos casos da soma em sinal magnitude. Na Tabela 2.9 a seguir, deseja-se realizar a soma d=a+c. Os números a e c estão em complemento de (B ), e quer-se obter d também em complemento de (B ). Note-se que um número x, quando for negativo, está representado por B n --M(x). As quatro primeiras colunas da esquerda da tabela mostram os mesmos seis casos da soma em sinal/magnitude, e a coluna da direita ilustra o resultado obtido pela simples soma dos dois operandos, sem analisar-se seus sinais, suas magnitudes ou se eles devem na realidade ser somados ou subtraídos (ou seja, simplesmente realiza-se a soma a+c). Em todos os casos mostrados na Tabela 2.9, usam-se sempre as mesmas tabelas de soma de números inteiros (não se utilizam tabelas especiais para soma ou subtração em complemento de (B )). Note-se que em três casos, marcados com (*), não se obtém diretamente o número já representado em complemento de (B ); existe um termo excedente de B n. Nos outros três casos, não marcados, o resultado obtido já está correto. Para reconhecer facilmente os casos que necessitam de correção, basta observar-se que o termo B n corresponde a um dígito na posição (n+). Como os números representados tem somente n posições, a posição (n+) só será ocupada naquelas somas que produzirem um vai-um. Assim, se o termo B n estiver presente, ele só pode ter sido gerado, na soma, por um vai-um. Ou seja, somente os casos que produzirem um vai-um são os que necessitam de correção. Para eliminar o termo B n, basta eliminar-se este vai-um. E para eliminar o termo ( ), adiciona-se um ao resultado. 2-7

8 S(a) S(c) S(d) M(d) Resultado obtido pela simples soma de a+c M(a)+M(c) a+c M(a)+M(c) B n --M(a) + B n --M(c) B n -+B n --(M(a)+M(c)) B n - + B n - - M(d) B n - + d (*) + se M(a) M(c), + M(a) M(c) M(a) + B n --M(c) B n - + M(a)-M(c) B n - + d (*) se M(a)<M(c), M(c) M(a) M(a) + B n --M(c) B n - - (M(c)-M(a)) B n - - M(d) d + se M(a)>M(c), M(a) M(c) B n - - M(a) + M(c) B n - - (M(a)-M(c)) B n - - M(d) d se M(a) M(c), + M(c) M(a) B n - - M(a) + M(c) B n - + (M(c)-M(a)) B n - + d (*) Tabela Soma em complemento de B- Simplificando, tem-se a seguinte regra de correção: para obter a soma correta em complemento de (B ), basta somar o vai-um ao resultado (e eliminar o vai-um ). Ou, dito de outra maneira, se ocorrer um vai-um, deve-se somar um ao resultado para corrigilo. Se não ocorrer vai-um, o resultado já está correto. A tabela a seguir ilustra exemplos de diversas somas, tanto em base 2 (complemento de um) como em base (complemento de nove). Base Num.dig. a c d=a+c d corrigido Tabela 2. - Exemplos de soma em complemento de B- 2-8

9 2.3.4 Números com sinal: representação em complemento de B Para representar números em complemento de B, utiliza-se a fórmula B n a. Note-se que, ao contrário de complemento de (B ), esta fórmula é aplicada sobre todo o número, e não sobre os seus algarismos individuais. Desta maneira elimina-se a dupla representação do zero, e faixa de representação fica: Faixa de representação, para B par: [ (B n /2), +(B n /2 ) ] Faixa de representação, para B ímpar: [ (B n )/2, +(B n )/2 ] Note-se que a gama de representação é dividida em dois subconjuntos, um para números negativos e outro para positivos. Não existe mais a dupla representação do zero. Observe-se também que as faixas (considerando-se a representação dos números) continuam as mesmas da representação em complemento de B. Como estes números são agora interpretados em complemento de B, entretanto, os valores das faixas mudam. A faixa positiva permanece a mesma, mas a faixa negativa sofre um deslocamento de uma unidade, de forma a eliminar o zero negativo. A tabela a seguir ilustra as faixas para diversas bases. Base Num.dig. Faixa Faixa em decimal 2 4,,..,,,.., 8, 7,..,,,, ,2,2,..,222,,,.., 3, 2,,..,,,,.., ,2,..,333,,,..,32,33 32, 3,..,,,, ,4,..,777,,,..,376, , 255,..,,,,.., ,46,..,88,,,..,43,44 4, 39,..,,,,..,39,4 2 5,5,..,98,99,,,..,48,49 5, 49,.., 2,,,,..,48,49 Tabela 2. - Exemplos de faixas de representação em complemento de B Na Tabela 2., por exemplo, para base decimal com dois dígitos, com números positivos tem-se a faixa de até 99; com a representação em complemento de 9 obtém-se a faixa de 5 a 99 e a 49. Esta faixa continua a mesma para complemento de ; e da mesma maneira a primeira metade (de 5 a 99) representa números negativos; a segunda metade (de a 49) representa números positivos. Entretanto, agora 99 representa (e não mais zero, como em complemento de 9) e 5 representa o número 5 (que não tem representação positiva equivalente!). Ou seja, todos os números negativos sofreram um acréscimo de. As demais propriedades se mantém: um número iniciando por 9, 8, 7, 6 ou 5 é negativo; iniciando por,, 2, 3 ou 4 é positivo. Em binário, para 4 dígitos, tem-se a faixa a ( 8 a ) e a ( a 7). Números iniciando por são negativos, e iniciando por são positivos. Note-se também que agora as bases ímpares tem faixas simétricas, mas que as bases pares possuem um número negativo a mais, que não tem equivalente positivo dentro da faixa. Cálculo do valor do número Um número em complemento de B, tem o seu valor calculado de acordo com os seguintes passos: determinação do sinal: a regra é a mesma de complemento de (B ): se a representação do número, interpretado como inteiro positivo, estiver na metade superior da faixa, ele é negativo. Se estiver na metade inferior da faixa, é positivo. Ou seja, sendo o número a=σ n- x i B i, se a B n /2, então este número em complemento de B é negativo. Se a<b n /2, então sua interpretação é de um número positivo. Obs.: para bases pares, a regra pode ser simplificada: basta analisar o dígito mais significativo, conforme já foi explicado. 2-9

10 determinação da magnitude do número. Se o número a for positivo, então sua magnitude é dada por M(a)=Σ n- x i B i. Se o número a for negativo, para obter seu valor deve-se calcular o complemento de B do número: M(a)=B n a = B n Σ n- x i B i Note-se que B n --a é a representação em complemento de (B ). Assim, uma maneira rápida de calcular o complemento de B é realizando o complemento de (B ) de cada algarismo e a seguir somar um no número resultante. Ou seja, (B n a)+ = B n a, que é o número desejado em complemento de B. A tabela a seguir fornece diversos exemplos. Base Num.dig. Número Sinal Magnitude Num.decim Tabela Exemplos de cálculo do valor de um número em complemento de B Troca de sinal Para trocar o sinal de um número a em complemento de B, basta calcular B n -a. Ou, pelo raciocínio acima, calcula-se o complemento de (B ), complementando cada algarismo, e depois soma-se um. A tabela a seguir ilustra diversos casos de troca de sinal. Note-se que, para bases pares, a troca de sinal do menor número negativo (de maior magnitude) provoca estouro de representação, pois este número não tem equivalente positivo. Em bases ímpares isto não ocorre. Base Num.dig. Número Núm.negado Magnitude (estouro) 8 ( 8) (estouro) 5 ( 5) Tabela Exemplos de troca de sinal para números em complemento de B 2-

11 Soma de dois números O raciocínio é análogo ao utilizado em complemento de (B ). Deve-se analisar os mesmos casos da soma em complemento de (B ) e da soma em sinal magnitude. Na tabela a seguir, deseja-se calcular d=a+c. Os números a e c estão representados em complemento de B, e quer-se obter d também em complemento de B. A tabela é praticamente uma cópia da usada para complemento de (B ); comparando-se as duas nota-se que a diferença está na eliminação de todos os termos (que é justamente a diferença entre (B ) e (B). Como no caso de complemento de B-, tem-se seis casos a serem analisados. A coluna da direita mostra o resultado obtido se for realizada simplesmente uma soma dos dois operandos, sem a preocupação de analisar previamente os operandos. Em todos os casos, usam-se sempre as mesmas tabelas de soma de números inteiros (não se utilizam tabelas especiais para complemento de B). Note-se que em três casos, marcados com (*), não se obtém diretamente o número já representado em complemento de B; existe um termo excedente de B n. Nos outros três casos, não marcados, o resultado obtido já está correto. S(a) S(c) S(d) M(d) d (Soma de a + c) M(a)+M(c) a+c M(a)+M(c) B n -M(a) + B n -M(c) B n +B n - (M(a)+M(c)) B n + B n - M(d) B n + d (*) + se M(a) M(c), + M(a) M(c) M(a) + B n -M(c) B n + M(a)-M(c) B n + d (*) se M(a)<M(c), M(c) M(a) M(a) + B n -M(c) B n - (M(c)-M(a)) B n - M(d) d + se M(a)>M(c), M(a) M(c) B n - M(a) + M(c) B n - (M(a)-M(c)) B n - M(d) d se M(a) M(c), + M(c) M(a) B n - M(a) + M(c) B n + (M(c)-M(a)) B n + d (*) Tabela Soma em complemento de B Os casos a serem corrigidos são identificados da mesma maneira que em complemento de (B ). Somente os casos que produzirem um vai-um são os que necessitam de correção. Para eliminar o termo B n, basta eliminar este vai-um ; não existe a necessidade de somar um ao resultado. Para todos os fins práticos, esta eliminação é realizada simplesmente ignorando-se a existência do vai-um em um primeiro momento (a ocorrência ou não do vai-um ainda pode influenciar a análise do resultado da soma, mas não a soma propriamente dita). A tabela a seguir ilustra exemplos de diversas somas, tanto em base 2 como em base, considerando que os números estão representados em complemento de B. 2-

12 Base Num.dig. a c d=a+c d corrigido Tabela Exemplos de soma em complemento de B 2.4 Comparação entre os métodos Dos quatro métodos estudados nas seções anteriores, dois são amplamente utilizados: o de representação de números positivos e o de representação em complemento de B. Nestas duas representações, somas são realizadas através das mesmas tabelas; nenhum procedimento especial é necessário para somar-se dois números em complemento de dois (exceto a eventual eliminação do vai-um ). Os outros dois métodos, de sinal magnitude e de complemento de (B ), sofrem da desvantagem de necessitarem de procedimentos mais complexos para realização da soma, além de apresentarem duas representações para o zero. Em sistemas atuais, a base é binária e utiliza-se para tratamento de números negativos a representação em complemento de 2. A título de comparação, a tabela a seguir mostra a interpretação decimal de números binários de 4 dígitos nas quatro maneiras analisadas. Binário Int.positivo sinal mag. compl. de compl. de Tabela Interpretação de números binários 2-2

13 2.5 Subtração A operação de subtração, seja qual for o método de representação utilizado, pode ser facilmente realizada transformando-a em uma soma: d = a c = a + ( c) Assim, para realizar subtrações, pode-se simplesmente trocar o sinal do subtraendo e somálo ao minuendo. A troca de sinal e a soma seriam então realizadas de acordo com o sistema de representação utilizado. A subtração pode, também ser realizada através de tabelas próprias. Neste caso, no lugar de vem-um (carry in), tem-se o emprestou-um (borrow in); e no lugar de vai um (carry out) tem-se o pede-um (borrow out). a c d=a-c e pede-um Tabela Tabela verdade de um meio-subtrator a c emprestou um d=a c pede um Tabela Tabela verdade de um subtrator completo Apesar destas tabelas serem análogas às utilizadas para a soma, a grande maioria dos computadores não as utiliza; subtrações são realizadas internamente usando-se o método do complemento do subtraendo. 2.6 Estouro de representação Os números representados em um computador são limitados. Quanto maior o número de dígitos disponíveis, maior será a faixa dos números representáveis, mas esta faixa sempre será finita. Assim, ao realizar-se a soma (ou subtração) de dois números, o resultado pode cair fora da faixa representável. Nestes casos, diz-se que houve estouro ou transbordamento da representação (overflow). Para representar corretamente o resultado quando ocorreu estouro necessitaria-se de um dígito a mais para representar o número. Por exemplo, para números binários de 4 dígitos, tem-se: + = 8 + = 7 (correto) + = 8 + = 7 (incorreto; deveria ser 9) + = 7 + = 6 (correto) + = = 6 (incorreto; deveria ser ) Note-se que o estouro não está diretamente relacionado com o vai-um. Os exemplos acima ilustram isto. No primeiro caso, não ocorreu nem estouro nem vai-um ; no segundo caso 2-3

14 ocorreram tanto estouro como vai-um ; no terceiro caso ocorreu vai-um, mas não estouro; e no quarto caso não ocorreu vai-um, mas ocorreu estouro. Existe uma regra simples para determinação de estouro em complemento de 2: ocorre estouro quando o vai-um do dígito mais significativo é diferente do vem-um para este mesmo dígito. Note-se que o dígito mais significativo é o utilizado para indicar o sinal do número. Esta é a maneira como os computadores internamente calculam se o resultado estourou ou não. Uma outra maneira, que não necessita da análise dos vai-um e vem-um, utiliza somente os dígitos mais significativos dos dois operandos e do resultado, ou seja, analisam-se os sinais dos operandos e do resultado. Esta análise está resumida na tabela a seguir (seja d=a+c). Sinal de a Sinal de c Sinal obtido para d Sinal real de d Estouro Não Sim Não + Sim + +/ +/ Nunca ocorre + /+ /+ Nunca ocorre Tabela Análise dos casos de estouro de representação Pela tabela, pode-se observar que: se os dois operandos tiverem sinais diferentes, nunca ocorre estouro (a representação do resultado sempre estará dentro da faixa). somente ocorre estouro quando os dois operandos tiverem sinais iguais, e este sinal é diferente do sinal obtido para o resultado. Ou seja, quando somando-se dois números positivos obtém-se um resultado negativo, e quando somando-se dois números negativos obtém-se um número positivo. Nestas duas situações, o sinal do resultado está obviamente incorreto, e esta é uma indicação clara que ocorreu estouro de representação. Assim, em uma soma, ocorre estouro quando S(a)=S(c) e S(a) S(d). Analogamente, em uma subtração ocorre estouro quando S(a) S(c) e S(a) S(d). 2.7 Exercícios propostos. Qual o valor decimal de 2? Qual a representação binária de 654? 2. Converter para binário os seguintes números decimais: (a) 39 (b),4475 (c) 256,75 (d) 29, Converter para decimal os seguintes números binários: (a) (b), (c), (d) 4. Quantos números diferentes podem ser representados em uma palavra binária de 6 bits? 5. Quantos números diferentes podem ser representados em um conjunto de 4 chaves, cada uma com três posições diferentes? 6. Escrever os 2 primeiros números no sistema de numeração de base

15 7. Escrever os 26 primeiros números no sistema de numeração de base 2. Usar a letra A para o decimal e a letra B para o decimal. 8. Representar o número 2, em binário de dez bits, com 5 bits de parte inteira e 5 bits de parte fracionária. 9. Represente o número 47 usando representações binárias de 8 bits em (a) sinal e magnitude, (b) complemento de um e (c) complemento de dois.. Converter os seguintes números hexadecimais em decimais: (a) B6C7 (b) D2763 (c) 9,A. Converter os seguintes números octais em binário: (a) 56 (b) 32,234 (c) 23,2 (d) Converter os seguintes números hexadecimais em binários: (a) AB2 (b) 2,A (c) 649 (d),d9 3. Converter os seguintes números binários em hexadecimais: (a) (b), (c) 4. Considerando um processador que opere com a base quaternária utilizando 5 bits. 4. Para números inteiros positivos: a) Quantos números diferentes podem ser representados? (Fórmula de cálculo e valor decimal) b) Quais são os limites inferior e superior desta faixa? (Valor quaternário e decimal correspondente) c) Como seria representado o número 26 neste sistema? 4. 2 Supondo que se queira representar os números inteiros com sinal, usando sinal e magnitude: a) Quantos números diferentes podem ser representados? (Fórmula de cálculo e valor decimal) b) Quais são os limites inferior e superior desta faixa? (Valor quaternário e decimal correspondente) c) Como seria representado o número 26 neste sistema? d) Como seria representado o número -26 neste sistema? 4.3 Agora supondo que se quer representar estes números usando complemento de B-: a) Quantos números diferentes podem ser representados? (Fórmula de cálculo e valor decimal) b) Quais são os limites inferior e superior desta faixa? (Valor quaternário e decimal correspondente) c) Como seria representado o número 26 neste sistema? d) Como seria representado o número -26 neste sistema? 4.4 Agora supondo que se quer representar estes números usando complemento de B: a) Quantos números diferentes podem ser representados? (Fórmula de cálculo e valor decimal) b) Quais são os limites inferior e superior desta faixa? (Valor quaternário e decimal correspondente) c) Como seria representado o número 26 neste sistema? d) Como seria representado o número -26 neste sistema? 5. Considere os pares de números binários de 6 bits indicados abaixo. Efetue a operação de soma entre eles supondo, independentemente, que: ) os números estão representados em sinal e magnitude; 2) os números estão representados em complemento de um; 2-5

16 3) os números estão representados em complemento de dois. Para cada caso, interprete o resultado, isto é, determine qual é o seu valor numérico e indique se este valor é o resultado correto da operação para a forma de representação sugerida. (a) e (b) e (c) e 6. Efetuar as seguintes subtrações em um sistema decimal de 4 dígitos, utilizando uma vez complemento de 9 e outra vez complemento de : (a) (b) (c) Repetir o exercício 6, agora para um sistema binário de 2 bits, uma vez utilizando complemento de um e outra vez com complemento de dois. 8. Efetuar as operações indicadas abaixo (em decimal) em um sistema binário de bits, com notação em complemento de dois. Analise o resultado, indicando a eventual existência de estouro de representação: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Converta os números 7 e 5 para binário usando 6 bits e efetue a operação de soma entre eles (7+5), usando as seguintes representações: a) sinal magnitude; b) complemento de um; c) complemento de dois. Analise os resultados obtidos quanto à correção (sem calcular o seu valor correspondente em decimal). 2. Repita o exercício 9 para os números 3 e Repita o exercício 9 para os números -7 e -5 (realizando a soma -7+(-5)). 22. Mostre como somar em complemento de um, para n=6 bits, as seguintes parcelas decimais: (a) 27 e 7 (b) 27 e 8 (c) e Repetir o exercício 23, com as parcelas codificadas em complemento de dois, também para 6 bits. 24. Usando a técnica de subtrair através de complemento do subtraendo, mostrar como obter as seguintes diferenças em binário, 6 bits, complemento de um: (a) 8 7 (b) -6 6 (c) Repetir o exercício 25 para complemento de dois em 6 bits. 26. Repetir o exercício 25 para sinal / magnitude. 27. Converta os seguintes números para binário, usando a representação destinada a inteiros positivos, usando o número necessário de bits e efetue a subtrações indicadas usando a tabela de subtração: (a) 32-5 (b) 3-4 (c) Supondo um sistema decimal, com 4 dígitos, que trabalhe com representação de negativos em complemento de 9, mostre como realizar as operações: (a) (b) (c) Repetir o exercício 28 para representação em complemento de. 2-6