Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov

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1 Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov João Eduardo Reis Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Doutor em Ciências. Orientador: Carlos Morales Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

2 Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov João Eduardo Reis Orientador: Carlos Morales Tese submetida ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Doutor em Ciências. Aprovada por: Prof. Albetã C. Mafra - UFRJ Prof. Alexander Arbieto - UFRJ Prof. Carlos Morales - UFRJ Prof. Dante Carrasco-Olivera - BIO-BIO Prof. Enoch Humberto Apaza Calla - UFV Prof. Oswaldo Ruggiero - PUC-Rio Rio de Janeiro Fevereiro de 2011

3 Agradecimentos Agradeço a Maria Alice, Fausto e Ana Cecília. Agradeço à CAPES pelo suporte financeiro. Dedico esta tese em memória de minha avó Cecília. iii

4 Ficha Catalográfica Reis, João Eduardo. R375 Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov. / João Eduardo Reis. Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, vii, 42f. :il. ;30 cm. Tese (doutorado) - UFRJ/ IM/ Programa de Pós- Graduação em Matemática, Orientador: Carlos Arnoldo Morales Rojas. Referências: f Sistemas Dinâmicos. 2. Fluxos seccional-anosov. 3. Aplicações triangulares I.Morales Rojas, Carlos Arnoldo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. III. Título. iv

5 Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov João Eduardo Reis Orientador: Carlos Morales Em [BM06] S. Bautista e C. Morales provaram a existência de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov em 3-variedades compactas. Sob uma hipótese (genérica) adicional nós mostramos a infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov de codimensão 1 em variedades compactas. Em particular, tal resultado vale para fluxos seccional- Anosov de codimensão 1 com uma única singularidade que é tipo-fronteira. v

6 Sumário Lista de Figuras vii Introdução 1 1 Aplicações triangulares Teorema auxiliar Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2) O conjunto das descontinuidades da aplicação triangular Bandas, curvas abertas e cobrimento Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema Um conjunto especial de bandas Pontos periódicos Pontos homoclínicos transversais Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov Aplicações de retorno como funções triangulares Singularidades Seções transversais-singulares A Propriedade H e as variedades instáveis Aplicações de retorno com domínio grande Prova do Teorema Argumento recursivo Prova do Corolário vi

7 Lista de Figuras 1.1 Motivação geométrica para a Definição 13: exemplos do caso (H2)-(ii)-(b) Exemplo: W 1 L +, W 2,W 3 D(F) e p tem período Seção transversal-singular Refinamento ( = +, ) vii

8 Introdução A exibição do retrato de fase de um sistema dado é um problema fundamental no desenvolvimento da teoria qualitativa dos Sistemas Dinâmicos. Conceitos diferenciais e topológicos são, muito frequentemente, criados na literatura para lidar com esta questão. A Dinâmica tem, atualmente, uma teoria muito rica em seu ramo hiperbólico que serve como modelo para a extensão de outros conceitos mais gerais. Uma extensão é a hiperbolicidade parcial que inclui importantes exemplos (não-hiperbólicos) tais como o Atrator Geométrico de Lorenz [GW79, ABS82] e a Ferradura-Singular [LP86]. No final dos anos noventa [MPP98] introduziu uma nova classe de sistemas dentro do mundo parcialmente hiperbólico em variedades de dimensão 3: os sistemas singular-hiperbólicos, cuja característica particular é possuir um subfibrado central expansor de volume e ter somente singularidades hiperbólicas. Esta classe nasceu expressivamente por conter sistemas hiperbólicos tipo-sela, os dois exemplos acima e o fato de que conjuntos C 1 -robustamente transitivos não-triviais para um fluxo tridimensional X são singular-hiperbólicos ou para X ou para X. Em [MM08] tal conceito foi estendido para variedades de dimensões maiores: um conjunto compacto invariante é seccional-hiperbólico se suas singularidades são hiperbólicas, ele for parcialmente hiperbólico e a derivada do fluxo ao longo do subfibrado central E c expande área de paralelogramos exponencialmente. Nessa ocasião eles mostraram que conjuntos hiperbólicos tipo-sela e o Atrator Multidimensional de Lorenz [BPV97] verificam a hiperbolicidade-seccional. Um conjunto compacto e invariante pelo fluxo é isolado se ele for um invariante maximal em alguma vizinhança compacta sua (chamada bloco isolante). Um conjunto isolado é um sumidouro se ele possuir um bloco isolante invariante positivamente pelo fluxo. Posteriormente o conceito de fluxo seccional-anosov foi introduzido na literatura (veja, por exemplo, [M10]): um campo de vetores em uma variedade, transversal à fronteira (quando esta for não-vazia) e apontando para dentro, no qual o conjunto invariante maxi- 1

9 2 mal com respeito à variedade inteira for seccional-hiperbólico. Por definição, o conjunto invariante maximal de um fluxo seccional-anosov é um sumidouro. Segue-se do trabalho [BM06] que todo fluxo seccional-anosov numa variedade tridimensional compacta tem uma órbita periódica. Aqui nós estendemos esse resultado provando a infinidade de órbitas periódicas em fluxos seccional-anosov de codimensão 1 em variedades compactas sob uma hipótese adicional. Como consequencia obtemos infinidade de órbitas periódicas para tais fluxos caso exista uma única singularidade que é de tipo fronteira, isto é, acumulada pelo maximal invariante apenas por um lado só. Enunciemos nossos resultados de forma precisa. Estamos assumindo de antemão a conexidade de qualquer variedade considerada nessa tese. Seja M uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n 3 e X um campo de vetores suave transversal à fronteira de M (se M ) e apontando para dentro. Seja φ t o fluxo associado à X. Um conjunto compacto Λ M é invariante se φ t (Λ) = Λ, t R. Para qualquer conjunto compacto U M, M(U) = φ t (U) (1) t R é o conjunto invariante maximal com respeito à U (i. e., φ t (M(U)) = M(U), t R e a órbita de qualquer ponto em U \ M(U) sai de U para o futuro ou para o passado). Dizemos que Λ é isolado se Λ = M(U) para algum compacto U Λ. Em tal caso, U é um bloco isolante de Λ. Um conjunto isolado Λ é um sumidouro se seu bloco isolante U for positivamente invariante pelo fluxo: φ t (U) U t 0 (2) Denotaremos por M(X) o conjunto invariante maximal com respeito à variedade inteira. Pela natureza de nosso fluxo, M(X) é sumidouro e, por (1) e (2), nós também podemos escrever Denote por a norma mínima de um operador linear A. M(X) = t 0φ t (M). Av m(a) = inf v 0 v

10 3 Definição 1 Um conjunto compacto invariante Λ é hiperbólico para um fluxo φ t se existem constantes positivas k,λ e uma decomposição contínua e Dφ t -invariante do fibrado tangente T Λ M = EΛ s EX Λ Ec Λ tal que (i) E s Λ é contrator: Dφ t (x) E s ke λt x t > 0, x Λ; (ii) E u Λ é expansor: m (Dφ t (x) ) E k 1 e λt t > 0, x Λ; cx (iii) EΛ X é tangente ao campo de vetor X associado à φt. Uma órbita fechada é uma órbita periódica ou uma singularidade. Uma órbita fechada é hiperbólica se o for visto como conjunto compacto invariante pelo fluxo. Definição 2 Um conjunto compacto invariante Λ M é seccional-hiperbólico se suas singularidades são hiperbólicas e existem constantes positivas k, λ e uma decomposição contínua e Dφ t -invariante do fibrado tangente T Λ M = EΛ s Ec Λ tal que (i) E s é contrator; (ii) E c domina E s : Dφ t (x) E s x ) ke m (Dφ λt t (x) E cx t > 0, x Λ; (iii) E c é seccionalmente expansor: dim(ex) c 2 x Λ e ( det Dφ t (x) ) Lx k 1 e λt t > 0, x Λ para qualquer 2-subespaço L x E c x. As duas primeiras condições acima declaram Λ ser o que chamamos de parcialmente hiperbólico. Nós dizemos que T Λ M = EΛ s Ec Λ é a decomposição seccional-hiperbólica de Λ. Definição 3 ([M10]) Um fluxo seccional-anosov é um campo de vetores suave em uma variedade, transversal à fronteira da mesma e apontando para dentro, no qual o conjunto invariante maximal é seccional-hiperbólico.

11 4 Definição 4 Um fluxo seccional-anosov X é de codimensão 1 se seu fibrado central E c tem dimensão 2, isto é, dim(ex) c = 2 x M(X). Definição 5 Uma singularidade de um campo vetorial de classe C 1 em uma variedade n- dimensional (n 3) é tipo-lorenz se ela possui três autovalores λ ss,λ s,λ u com λ s,λ u reais e Re(λ ss ) < λ s < 0 < λ s < λ u sendo que a parte real dos autovalores restantes estão fora de [λ s,λ u ]. Introduzamos variedades invariantes associadas a uma singularidade tipo-lorenz σ. Primeiramente observe que σ é hiperbólica, e então, existe a variedade estável W s (σ) tangente em σ ao auto-espaco associados ao conjunto de autovalores com parte real negativa. Por outro lado, existe também uma variedade estável forte W ss (σ) que é tangente em σ ao autoespaco associado àqueles autovalores de parte real menor ou igual do que Re(λ ss ). Segue-se que W ss (σ) é uma subvariedade de codimensão 1 de W s (σ) e logo separa W s (σ) em duas componentes conexas as quais denotamos por W+(σ) s e W (σ). s Definição 6 Dizemos que um fluxo seccional-anosov satisfaz a propriedade H se para toda órbita periódica O e qualquer singularidade tipo-lorenz σ temos W u (O) W (σ) s W u (O) W (σ) s, {, +}. Nem todo fluxo seccional-anosov satisfaz a Propriedade H (veja [B05]). Apesar disso, nós provamos, na Proposição 1, 2.1.2, a genericidade de tal propriedade. Teorema 1 Fluxos seccional-anosov de codimensão 1 em variedades compactas satisfazendo a propriedade H têm infinitas órbitas periódicas. Uma consequência do Teorema 1 juntamente com a Proposição 1, 2.1.2, é existência de infinitas órbitas periódicas para qualquer fluxo seccional-anosov de codimensão 1 genérico em variedades compactas. Porém, Arbieto e Morales deram uma prova rápida desse fato em codimensão arbitrária: uma vez que não há órbitas periódicas atratoras para fluxos seccional- Anosov em variedades compactas (devido a expansão de volume) temos que esses fluxos têm infinitas órbitas não-errantes. Então, o resultado segue do Teorema da Densidade Geral de Pugh [P67]. O último fato não engloba o Teorema 1 pois aqui explicitamos a hipótese que torna genérico o resultado.

12 5 Note-se também que a infinidade de órbitas periódicas para fluxo seccional-anosov de codimensão 1 em variedades compactas, porém sob a hipótese de suavidade C 2, segue-se de [S10]. Agora passaremos a uma aplicação do Teorema 1. O argumento de Arbieto e Morales acima não provam tal aplicação (Corolário 1). Definição 7 Uma singularidade tipo-lorenz σ é tipo-fronteira se M(X) W±(σ) s M(X) W (σ) s =. Equivalentemente o invariante maximal pode intersectar somente uma única componente conexa de W s (σ) \ W ss (σ). O Atrator de Lorenz é um exemplo de fluxo seccional-anosov com uma única singularidade tipo-fronteira. Corolário 1 Fluxos seccional-anosov com uma única singularidade tipo fronteira em 3- variedades compactas tem infinitas órbitas periódicas. Para provar o Corolário 1 nós usamos o auxílio de um connecting Lemma para fluxos seccional-anosov [BM10]. Agora apresentaremos um esboço da prova do Teorema 1. A priori nossa meta era provar a existência de órbita homoclínica para um fluxo seccional- Anosov. Entretanto a propriedade H foi adicionada e, tentando uma prova indireta, nós usamos a finitude de órbitas periódicas como hipótese de contradição no Lema 16, Os outros fatos seguem sob uma hipótese de contradição mais fraca: inexistência de órbita homoclínica. Por simplicidade desenvolveremos a prova do Teorema 1 no Capítulo 1 e 2 assumindo dim(m) = 3. A prova seguirá por contradição. Sob a hipótese de finitude de órbita periódica nós encontraremos um ponto homoclínico transversal em seções transversais ao fluxo especiais as quais serão construídas ligeiramente próximas às singularidades tipo- Lorenz. Folheações (geradas pela interseção da folheação estável do fluxo) serão inerentes em tais seções transversais. Dois fatos aparecem: qualquer folha ou morre em uma órbita periódica ou acumula-se em uma singularidade tipo-lorenz;

13 6 sob a hipótese de inexistência de órbita homoclínica, o fecho da variedade instável de qualquer órbita periódica deve cruzar todas as folhas de pelo menos uma seção transversal. Em um próximo passo nós asseguramos que a variedade instável de alguma órbita periódica cruza uma segunda seção transversal, então uma terceira, etc, até ela cruzar aquela que tinha uma folha morrendo em tal órbita periódica. Isto implica uma contradição. Este argumento recursivo é apoiado por: o Lema da Inclinação [KH95]: para quaisquer duas órbitas periódicas, ξ 1 e ξ 2, se W u (ξ 1 ) intersecta W s (ξ 2 ) então ela também cruza qualquer seção transversal cruzada por W u (ξ 2 ); a Propriedade H unida ao singular-hyperbolic closing Lemma [M08]: se W u (ξ 1 ) cruza uma seção transversal que, por sua vez, tem uma folha acumulando em uma singularidades tipo-lorenz então ela cruza uma seção transversal associada tal singularidade. Para completar o argumento nós precisamos lidar com o seguinte caso: todas as folhas de certas seções transversais acumulam-se somente em singularidades tipo-lorenz associadas a tais seções transversais. Neste caso nós conseguimos definir uma aplicação de retorno que será uma aplicação triangular com domínio grande e comportando-se de tal modo que podemos aplicar um teorema auxiliar e encontrar uma órbita homoclínica. A aplicação de retorno é um assunto bidimensional técnico desenvolvido no Capítulo 1. Os outros fatos mencionados são estudados no Capítulo 2.

14 Capítulo 1 Aplicações triangulares 1.1 Teorema auxiliar Dinâmica discreta e contínua são dois ramos primários da teoria dos Sistemas Dinâmicos. Propriedades matemáticas de ambos estão inseparavelmente conectados devido ao conceito de aplicação de retorno. Um exemplo particular de dinâmica discreta é uma aplicação triangular do quadrado F : [0, 1] [0, 1], F(x,y) = (f(x),g(x,y)). Esta seção dedicase a enunciar um resultado auxiliar: existência de órbita homoclínica para uma classe de aplicações tendo as seguintes propriedades C 1 exceto por descontinuidades em uma coleção finita de curvas; um tipo de estrutura skew-product : há uma folheação (vertical) estável globalmente definida; transversal a essa folheação estável existe um campo de cone instável uniforme; não há órbitas confinadas ao conjunto das descontinuidades. Apesar da força dessas hipóteses essas funções surgem como aplicações de retorno de fluxos seccional-anosov em 3-variedades compactas (veja a Proposição 2, 2.1.4). Seja I = [ 1, 1] o intervalo fechado de centro na origem e raio unitário. Daqui em diante I i denotará uma cópia de I e Σ i denotará uma cópia do quadrado I 2 = I I para i = 1, 2,...,k. Denote por Σ a união disjunta dos quadrados Σ i. Ponha L i = { 1} I i ; L 0i = {0} I i ; L +i = {1} I i, 7

15 1.1 Teorema auxiliar 8 para i = 1,...,k e k k k L = L i ; L 0 = L 0i ; L + = L +i. i=1 i=1 i=1 Dada uma aplicação F, nós denotamos por dom(f) o domínio de F. Uma curva c em Σ é a imagem de uma aplicação injetiva C 1 c : dom(c) R Σ com dom(c) sendo um intervalo compacto. Nós frequentemente identificamos c com seu conjunto imagem. Uma curva c é vertical se for o gráfico de uma aplicação C 1 g : I i I i. i. e., c = {(g(y),y) : y I i } Σ i para algum i = 1,...,k. Definição 8 Uma folheação contínua F i em uma componente Σ i de Σ é vertical se suas folhas são curvas verticais e as curvas L i,l 0i,L +i são folhas de F i. Uma folheação vertical F de Σ é uma folheação que quando restrita a cada componente Σ i de Σ for uma folheação vertical. Segue-se da definição acima que as folhas de uma folheação vertical F são curvas verticais consequentemente diferenciáveis. Em particular, o espaço tangente à cada folha em qualquer ponto está bem definido. Definição 9 Seja F : dom(f) Σ Σ uma aplicação e F, uma folheação vertical em Σ. Dizemos que F preserva F se para toda folha L de F contida em dom(f) existe uma folha f(l) de F tal que F(L) f(l) e F L : L f(l) é contínua. (1.1) Seja F uma folheação vertical de Σ. Um subconjunto B Σ é F-saturado se for união de folhas de F. Definição 10 Uma aplicação F : dom(f) Σ Σ é triangular se ela preserva uma folheação vertical F em Σ tal que dom(f) é F-saturada. Além disso, F contrai folhas se F L : L f(l) for uma contração L dom(f). Denote por TΣ o fibrado tangente de Σ. Dado x Σ, α > 0 e um subespaço linear V x T x Σ denotamos por C α (x,v x ) C α (x) o cone em volta de V x em T x Σ com inclinação α: C α (x) = {v x T x Σ : (v x,v x ) α}.

16 1.1 Teorema auxiliar 9 Aqui (v x,v x ) denota o ângulo entre o vetor v x e o subespaço V x. Um campo de cone em Σ é uma aplicação contínua C α : x Σ C α (x) T x Σ, onde C α (x) é um cone com inclinação constante α em T x Σ. Um campo de cone C α é transversal a folheação vertical F on Σ se T x L não está contido em C α (x) para todo x L e todo L F. Definição 11 Seja F : dom(f) Σ Σ uma aplicação triangular com folheação vertical associada F. Dado λ > 0 dizemos que F é λ-hiperbólica se existe um campo de cone C α em Σ tal que: (a) C α é transversal à F. (b) Se x dom(f) e F é diferenciável em x, então DF x (C α (x)) Int ( C α/2 (F(x)) ) (1.2) e DF(x)v λ v v C α (x). (1.3) Definição 12 Seja F uma aplicação triangular tal que L L + dom(f). Dada uma folha L dom(f), defina o número natural n(l) da forma: se F n (L) L L + n N então n(l) =. Caso contrário, 0, F(L) Σ \ (L L + ); n(l) = min{m N F m+1 (L) Σ \ (L L + )}, F(L) L L +. Dada L Σ dizemos que S é uma vizinhança de L sempre que S for um conjunto aberto (em Σ) conexo e F-saturado contendo L. Definição 13 Seja F uma aplicação triangular tal que L L + dom(f). F satisfaz (H1) se L dom(f); n(l) = 0 uma vizinhança S de L tal que F S é C 1. F satisfaz (H2) se L dom(f); 1 n(l) < uma vizinhança S de L verificando F(S \ L) Σ \ (L L + ) e tal que:

17 1.1 Teorema auxiliar 10 (i) se S \ L é conexo então F S é C 1 ; (ii) se S \ L = S 1 S 2, onde S 1 e S 2 são conjuntos abertos conexos e disjuntos então (a) F S1 L é C1 ; (b) n 2 (L) {2,...,n(L) + 1} tal que {x l } l N S 2 ; x l x L F(x l ) F n2 (L) (x). n2(l) n(l)+1 F (L)=F (L) S 1 L S 2 S 1 L S 2 n F 2 (L) (L) F(S 2 ) φ F(S ) 1 F(S ) 2 φ F(L) F n(l)+1 (L) 2 F (L) F(S ) 1 F n(l) (L) (a) n 2 (L) = n(l) + 1 = 2 e φ é um fluxo C 1. (b) 3 = n 2 (L) < n(l)+1 = 4 e φ é um fluxo C 1. Figura 1.1: Motivação geométrica para a Definição 13: exemplos do caso (H2)-(ii)-(b). Definição 14 Um conjunto compacto invariante Λ é hiperbólico para o difeomorfismo g se existem constantes positivas k,λ e uma decomposição contínua Dg-invariante do fibrado tangente T Λ M = EΛ s Ec Λ tal que Es Λ e Ec Λ são, respectivamente, contrator e expansor no sentido da Definição 1. Seja p um ponto periódico hiperbólico, ou seja, a órbita de p, o(p), é um conjunto hiperbólico. Então as variedades locais estável e instável existem, Wloc s (p), W loc u (p) (veja [KH95]). As globais são definidas por W s (p) = n 0 Também temos as equações g n (Wloc(g s n (p))) e W u (p) = g n (Wloc(g u n (p))). (1.4) n 0 W s (p) = {x M lim n d(g n (x),g n (p)) = 0}, (1.5) W u (p) = {x M lim n d(gn (x),g n (p)) = 0}.

18 1.1 Teorema auxiliar 11 Sejam S 1 e S 2 duas subvariedades C r de M, r 1. S 1 é transversal à S 2 em p se T p S 1 + T p S 2 = T p M. Neste caso p pertence à interseção transversal de S 1 e S 2 : p S 1 S 2. Definição 15 Seja p um ponto periódico hiperbólico para um difeomorfismo. Um ponto q M é homoclínico transversal à p se q pertence à interseção transversal de W s (p) e W u (p). A órbita de um ponto homoclínico transversal é uma órbita homoclínica. Definição análoga segue-se também para fluxos. Trabalharemos com pontos homoclínicos transversais para fluxos no próximo capítulo. Nós provaremos o Teorema 1 usando o teorema a seguir: Teorema 2 Aplicações triangulares injetivas λ-hiperbólicas contratoras satisfazendo as condições (H1), (H2), dom(f) = Σ \ L 0, λ > 2 e n(l) < L dom(f), possuem órbita homoclínica. S. Bautista e C. Morales provaram, em [BM06], o seguinte resultado relacionado: aplicações triangulares λ-hiperbólicas satisfazendo as condições (H1), (H2), λ > 2 e dom(f) = Σ \ L 0 têm órbita periódica. Eles usaram esse fato para provar que fluxos seccional-anosov em 3-variedades compactas possuem órbita periódica. Embora, no Teorema 2, três condições a mais são assumidas: injetividade, contração de folhas e n(l) < L dom(f), as duas primeiras são verificadas das propriedades de fluxos seccional-anosov. A hipótese de injetividade nos previne de exemplos onde F(Σ\L 0 ) é composto por um único segmento de reta horizontal em cada uma das componentes Σ i s. Aplicações triangulares satisfazendo as outras hipóteses do Teorema 2 com essa forma não são injetivas e não possuem pontos homoclínicos transversais. A propriedade de contração de folhas assegura que as folhas da folheação estão contidas na variedade estável de seus pontos. A última condição foi assumida para valer como uma substituta à hipótese de contradição (inexistência de órbita periódica) suposta por eles no resultado alcançado. Este capítulo é organizado da seguinte forma: 1.2 desenvolve algumas propriedades de nosso sistema bidimensional usando somente as hipóteses (H1), (H2) e n(l) < L dom(f). Sob as demais hipóteses nós provamos que folhas no domínio são descontínuas para a aplicação se, e somente se, suas imagens jazem nas folhas de bordo de Σ. Nós também

19 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 12 conseguimos suavidade de F fora das folhas descontínuas e discrição do conjunto das folhas descontínuas com respeito ao conjunto das folhas do domínio. 1.3 trabalha com todas as hipóteses do Teorema 2. Nós selecionamos um conjunto de faixas Σ para o qual curvas pequenas cruza toda uma faixa pertencente a tal conjunto após finitos iterados, devido à hiperbolicidade de F. Isto nos permite encontrar uma folha invariante (sob uma iteração finita) e, assim, um ponto periódico (hiperbólico). A Definição 18 cria subconjuntos do conjunto das faixas. Esta Definição, quando avaliadas nas faixas contendo pontos periódicos e pedaços de suas variedades instáveis locais, gera finitos conjuntos encaixantes. Deste fato nós encontramos um ponto periódico para o qual sua variedade instável cruza a faixa contendo ele mesmo. Então nós achamos um ponto homoclínico transversal. 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2) O conjunto das descontinuidades da aplicação triangular. Defina D(F) = {x dom(f) F não é contínua em x}. Suporemos que D(F) é não-vazio neste capítulo inteiro. Relações entre D(F) e L L +. De modo a usarmos as hipóteses (H1) e (H2) nós lidamos com folhas L no domínio para a qual o número associado n(l) é finito. Os dois próximos lemas juntos essencialmente dizem que uma folha no interior de Σ é descontínua se, e somente se, sua imagem jaz em L L +. Lema 1 Seja F uma aplicação triangular satisfazendo (H1). Se L D(F) então F(L) L L +. PROVA. Suponha, pelo contrário, que F(L) Σ \ (L L + ). Por Definição 12, n(l) = 0. Por (H1), F S é C 1 em alguma vizinhança S de L. Então L dom(f) \ D(F) o que é absurdo. Dado x Σ denotamos F x a folha da folheação vertical F contendo x.

20 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 13 Observação 3 Seja F uma aplicação triangular tal que L L + dom(f). Dado L dom(f) x Σ tal que F x = L. Se existe um número natural r > 1 tal que F j (L) L L + j {1,...,r 1} (1.6) e F r (L) F F(x) (1.7) então n(l) =. De fato, de (1.6), F i (F F(x) ) L L + i {0,...,r 2}. (1.8) Além disso, F r 1 (F F(x) ) F F r (x) (1.7) = F F(x). (1.9) Daí, para qualquer inteiro positivo m = q(r 1) + s, onde q N e s {0,...,r 2}, temos F m (F F(x) ) = (F s } F r 1 {{ F r 1 })(F F(x) ) (1.9) F s (F F(x) ) (1.8) L L +. q times Assim n(f F(x) ) =. Uma vez que n(l) = n(f x ) = n(f F(x) )+1 nós obtemos a afirmação. De acordo com a Definição 12, no caso 1 n(l) < temos F i (L) L L + dom(f), i {1,...,n(L)}. (1.10) Lema 2 Seja F uma aplicação triangular satisfazendo (H2). Se L dom(f) é tal que L Σ \ (L L + ) e 1 n(l) < então L D(F). PROVA. Seja S uma vizinhança de L dada por (H2). Uma vez que L Σ \ (L L + ) e dom(f) é aberto em Σ, temos S = S 1 L S 2 onde S 1 e S 2 são conjuntos abertos conexos e disjuntos. Seja n 2 (L) dado por (H2)-(ii)-(b). Então, n 2 (L) 1 n(l) e daí, por (1.10), F j (L) L L + j {1,...,n 2 (L) 1}. Seja x L. Assim F x = L. Além disso, se F n2 (L) (L) F F(x) então temos, da Observação 3, que n(l) = contradizendo à hipótese. Por isso F n2 (L) (L) Σ \ F F(x) Σ \ F(L). (1.11) Agora, tome {x l } l N S 2 ; x l x. Então, por (H2)-(ii)-(b), lim F(x l ) = F n2 (L) (x) (1.11) F(x). Daí x D(F). Uma vez que x é arbitrário temos L D(F).

21 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 14 Suavidade de F. Agora nós buscamos a suavidade de F fora das folhas descontínuas. Este fato é importante pois nos viabiliza usar a propriedade de hiperbolicidade. Recorde que ela exige a diferenciabilidade do sistema em um ponto. Lema 3 Seja F uma aplicação triangular tal que L L + dom(f). Se F satisfaz (H1), (H2) e n(l) < L dom(f) então dom(f) \ D(F) é F-saturado, aberto em dom(f) e F dom(f)\d(f) é C 1. PROVA. É suficiente mostrar que para qualquer ponto em dom(f) \ D(F), F é C 1 em uma vizinhança da folha contendo tal ponto. Seja x dom(f) \ D(F). (i) n(f x ) = 0. Uma vez que F satisfaz (H1), S, vizinhança de F x, tal que F S é C 1 e está concluído. (ii) 1 n(f x ) <. Se F x Σ \ (L L + ) então, pelo Lema 2, temos que F x D(F) o que é um absurdo. Assim F x L L +. (1.12) Seja S a vizinhança dada por (H2). Por (1.12), S \ F x é conexa. Então, por (H2)-(i), F S é C 1 como queríamos. Discrição do conjunto das folhas de D(F). Dado um conjunto F -saturado G Σ, denote por Ĝ o conjunto das folhas de G e por G o conjunto dos pontos de acumulação de Ĝ. No caso de uma única folha nós simplificaremos a notação usando L ˆΣ (ao invés de ˆL ˆΣ). Apesar de podermos ter infinitas folhas descontínuas o seguinte resultado implica que a hipótese desta seção é suficiente para folhas descontínuas acumuladas no domínio.

22 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 15 Lema 4 Seja F uma aplicação triangular tal que L L + dom(f). Se F satisfaz (H1), (H2) e n(l) < L dom(f) então dom(f) ˆ D(F) =. PROVA. Seja L (i) n(l) = 0. ˆ dom(f). Provaremos que L / D(F). Seja S uma vizinhança de L dada pela hipótese (H1). Dado que F S é C 1 isso implica que S D(F) =. Uma vez que, por (H1), S dom(f) é aberto em Σ temos que L / D(F). (ii) 1 n(l) <. Seja S uma vizinhança de L dada pela hipótese (H2). Pela hipótese (H2), temos que F(S \ L) Σ \ (L L + ) que, pelo Lema 1, implica (S \ L) D(F) =. Dado que S dom(f) é aberto em Σ temos que L / D(F) Bandas, curvas abertas e cobrimento. Para qualquer folha L da folheação vertical F existe um único x L I. Defina o conjunto dom(f) = dom(f). ˆ Considere a função f : dom(f) ˆΣ f é a aplicação unidimensional associada à F. L F F(L I). Seja L, L ˆΣ e x, x Σ tal que L, L Σ i, x L I i e x L I i para algum i {1,...,k}. Definimos L L se, e somente se, x x. Denote os limites laterais para f em W ˆΣ por f(w+) = lim L W L>W sempre que tais limites existirem. Defina o conjunto f(l) e f(w ) = lim f(l) L W L<W ν = {f(l) ˆΣ L dom(f) e L L L + }. (1.13)

23 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 16 Lema 5 Seja F uma aplicação triangular satisfazendo (H2) e f sua aplicação unidimensional associada. Dada L dom(f) tal que 1 n(l) < temos o seguinte: (1) Se L L então f(l+) existe. (2) Se L L + então f(l ) existe. (3) Se L Σ \ (L L + ) então ambos f(l ) e f(l+) existem, são distintos e um deles é f(l). Além disso, em qualquer um dos casos os respectivos limites pertencem à ν L L +. PROVA. (1) Seja S uma vizinhança de L dada pela hipótese (H2). Uma vez que L L então S jaz do lado direito de L (i. e., W L W S, lembre-se que S é F-saturada) o que implica que S \ L é conexa. Daí, por (H2)-(i), F S é C 1 e então f Ŝ é contínua. Portanto f(l+) = f(l) L L +. A última inclusão é devida à n(l) 1. (2) Análogo ao ítem (1). (3) Seja S uma vizinhança de L dada pela hipótese (H2). Uma vez que L Σ \ (L L + ) então S\L = S 1 S 2, onde S 1 e S 2 são conjuntos aberto conexos e disjuntos. Suponha, sem perda de generalidade, que S 1 jaz do lado esquerdo de L e S 2, do lado direito. Por (H2)-(ii)-(a), F S1 L é C1. Assim f S 1 ˆ L é contínua e então f(l ) = f(l) L L +. Por outro lado, da hipótese de (H2), temos F(S \ L) Σ \ (L L + ) o que, pelo Lema 1, implica dom(f) \ D(F) S \ L S 2. Pelo Lema 3, F S2 é C 1. Então f Ŝ2 é contínua e o limite lateral f(l+) existe. Agora, note que, da definição de f, temos Pegue {x n } n N S 2 ; x n x L. Então f(f x ) = F F(x) x dom(f). (1.14) lim F xn = F x = L. (1.15) Além disso, por (H2)-(ii)-(b), n 2 (L) {2,...,n(L) + 1} tal que lim F(x n ) = F n2 (L) (x). (1.16)

24 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 17 Dado que estamos assumindo que S 2 jaz do lado direito de L temos f(l+) = f(f x +) (1.15) = lim f(f xn ) (1.14) (1.16) = lim F F(xn) = F F n 2 (L) (x) = F F(F n2 (L) 1 (x)) (1.14) = f(f F n2(l) 1 (x)) (1.13) ν para F F n 2 (L) 1 (x) L L +. Agora checaremos que os limites laterais são distintos. Isso é verdade, caso contrário F n2 (L) (F x ) F F n 2 (L) (x) = f(l+) = f(l ) = f(l) = f(f x) = F F(x). Por outro lado F j (L) L L + j {1,...,n 2 (L) 1}. Esses fatos juntos implicam, pela Observação 3, que n(l) =. Absurdo. Seja W, W ˆΣ tal que W,W Σ i para algum i e W < W. O conjunto (W,W ) = {x L W < L < W } é chamado banda. Dado B Σ denote por F B = x B F x. Seja A, B Σ. Dizemos que A cobre B se, e somente se, F A B. Seja c : dom(c) R Σ i, para algum i {1,...,k}, uma curva (assim, c é uma aplicação C 1 injetiva e dom(c) é um intervalo compacto, digamos [a,b]). A aplicação c (a,b) é chamada curva aberta. Frequentemente identificamos uma curva aberta com seu conjunto imagem (conexo). c(a) e c(b) são os pontos finais de c. Seja c uma curva aberta com pontos finais x,y Σ i. Se F x < F y então, de acordo com as prévias definições, c cobre a banda (F x, F y ). Lema 6 Seja F uma aplicação triangular e (W,W ) uma banda tal que F (W,W ) é C1. Se c é uma curva aberta contida em (W,W ) com pontos finais x W e x W então f(w+) e f(w ) existem e F(c) cobre a banda (f(w+),f(w )) (assumindo f(w+) < f(w )). PROVA. Uma vez que F (W,W ) é C1 temos, da definição de f, que f (W,W ˆ ) é contínua. Então, os limites laterais f(w+) e f(w ) existem. Suponha, sem perda de generalidade, que f(w+) < f(w ). Agora, tome (x n ) n N tal que {x n } c e x n x. Daí, a = limf(x n ) é um ponto final de F(c). Além disso, lim F F(xn) = lim f(f xn ) = f(w+) lim F(x n ) = a f(w+).

25 1.2 Aplicações triangulares e as hipóteses (H1) e (H2). 18 Similarmente conseguimos outro ponto final a f(w ) da curva aberta F(c). Portanto, F(c) cobre a banda (f(w+),f(w )). Relação entre bandas. Uma curva c Σ é tangente à C α se T x c C α (x) x c. Definição 16 Seja F uma aplicação triangular. Dadas duas bandas A e B escrevemos A B se existe uma curva aberta c A dom(f) \ D(F) tangente à C α, uma subcurva aberta c c e um número natural n tal que (i) F j (c ) dom(f) \ D(F) j = 1,...,n 1; (ii) F n (c ) cobre B. De forma a especificar as duas curvas e o número envolvidos na definição escreveremos (A,n,c,c ) B. Sejam c,c dom(f) curvas abertas. Dado que a aplicação triangular F preserva a folheação vertical F temos: se F c = F c então F F(c) = F F(c ). (1.17) Por outro lado, pelo Lemma 3, se x dom(f)\d(f) então F x dom(f)\d(f). Portanto se c é uma curva aberta temos: c dom(f) \ D(F) F c dom(f) \ D(F). (1.18) O seguinte fato é a propriedade transitiva da relação definida na Definição 16. Lema 7 Seja F uma aplicação triangular e A, B e E bandas. Suponha que existem curvas abertas c,γ,c,η e n,m N tais que (A,n,c,γ) B e (B,m,c,η) E. Então existe uma curva aberta c c tal que (A,n + m,c,c ) E. PROVA. Tome c = F n (F n (γ) F η ) γ. Então, c γ c é uma curva aberta. Agora checaremos o ítem (i) da Definição 16.

26 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema Primeiramente F j (c ) F j (γ) dom(f) \ D(F), j = 1,...n 1. Em seguida, F n (c ) = F n (γ) F η F η (1.18) dom(f) \ D(f). Além disso, F F n (c ) = F F n (γ) F η = B F η = F η. (1.19) Pegue j {1,...,m 1} e aplique (1.17) j-vezes em (1.19). Daí F F j (F n (c )) = F F j (η). Por hipótese, F j (η) dom(f) \ D(F) F F j (F n (c )) = F F j (η) F j (F n (c )) (1.18) dom(f) \ D(F). Isto prova o ítem (i) da definição. Por outro lado, aplicando (1.17) m-vezes em (1.19) temos (1.18) dom(f) \ D(F) F F m+n (c ) = F F m (η) = E, i. e., F m+n (c ) cobre E. 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema 2. Lema 8 ([BM06]) Seja F uma aplicação triangular λ-hiperbólica. Se c dom(f)\d(f) é uma curva tangente à C α com comprimento c então F(c) é uma curva tangente à C α com comprimento λ c. Daqui em diante F é uma aplicação triangular λ-hiperbólica satisfazendo as condições (H1), (H2), λ > 2, dom(f) = Σ \ L 0 e n(l) < L dom(f) Um conjunto especial de bandas. Sejam L + L = {f(l+) ˆΣ L L 0 e f(l+) existem}; = {f(l ) ˆΣ L L 0 e f(l ) existem}. Relembre o conjunto ν definido em (1.13).

27 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema Definição 17 Defina o seguinte conjunto de bandas Note que #BS <. BS = {(W,W ) Σ W,W L L + ν L L + }. Lema 9 Se A BS e c A dom(f) \ D(F) é uma curva aberta tangente à C α então existe B BS, uma curva aberta c c e n N tal que (A,n,c,c ) B. PROVA. Pelo Lema 4, D(F) L 0. (1.20) Por [BM06, page 295], n 1 N e uma curva aberta c 1 c tal que F j (c 1 ) dom(f) \ D(F) j = 1,...,n 1 1 (1.21) e #F n 1 (c 1 ) (D(F) L 0 ) 2. (1.22) (o Lema 8 foi usado nesta última afirmação.) Pela definição de curva aberta temos que F n 1 (c 1 ) Σ i para algum i {1,...,k}. (a) F n 1 (c 1 ) L 0i =. Por (1.22), x,y F n 1 (c 1 ) D(F). Suponha, sem perda de generalidade, que F x < F y. Note que F y D(F) dom(f) = Σ \ L 0 (1.20) Σ \ D(F), i. e., F y / D(F). Assim, z F n 1 (c 1 ) tal que F x F z < F y e (F z, F y ) dom(f) \ D(F). (1.23) Tome c = [F n 1 (F n 1 (c 1 ) (F z, F y ))] c 1. Portanto, c c 1 c é uma curva aberta tal que F n 1 (c ) (F x, F y ) com x F x e y F y sendo pontos finais da curva aberta F n 1 (c ). Por (1.21) e (1.23), temos F j (c ) dom(f) \ D(F) j = 1,...,n 1. Por outro lado, pelo Lema 3, F (Fx,F y) é C1. Daí, pelo Lema 6, f(f x +) e f(f y ) existem. Suponha, sem perda de generalidade, que f(f x +) < f(f y ). Então,

28 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema aplicando o Lema 6 para a curva F n 1 (c ), conseguimos que F n 1 (c ) cobre a banda B = (f(f x +),f(f y )). Isto significa, pela Definição 16, que (A,n 1 + 1,c,c ) B. Agora, dado que F x, F y D(F) temos, pelo Lema 1, que 1 n(f x ),n(f y ) <. Então, pelo Lema 5, f(f x +),f(f y ) ν L L + o que implica B BS. (b) F n 1 (c 1 ) L 0i. Seja x F n 1 (c 1 ) L 0i. Por (1.22), y F n 1 (c 1 ) D(F). Suponha, sem perda de generalidade, que L 0i < F y. (i) L 0i D(F). Como anteriormente, F y / D(F). Agora, da hipótese deste caso, z F n 1 (c 1 ) D(F) tal que L 0 < F z < F y e (F z, F y ) dom(f) \ D(F). Assim, analogamente ao ítem (a) obtemos o resultado. (ii) L 0i / D(F). Se (L 0i, F y ) D(F) então estamos concluídos bastando apenas proceder como no ítem (a) dado que F y / D(F). Caso contrário, (L 0i, F y ) dom(f) \ D(F). Analogamente ao ítem (a) temos (A,n 1,c,c ) (f(l 0i +),f(f y )) = B, onde c = [F n 1 (F n 1 (c 1 ) (L 0i, F y ))] c 1. Pelo Lema 5, f(f y ) ν L L + e, pela definição de L +, f(l 0i +) L +. Portanto, B BS. Até o presente momento neste capítulo temos trabalhado em adaptar as idéias de [BM06] para nosso caso. Agora daremos um passo a frente para encontrar órbita homoclínica. Definição 18 Dada uma banda B BS e uma curva aberta η B dom(f) \ D(F) tangente à C α defina o conjunto (B,η) = {A BS n N e γ η ; (B,n,η,γ) A}. Pelo Lema 9, (B,η) (1.24) para qualquer banda B e qualquer curva aberta η dadas como na Definição 18.

29 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema Pontos periódicos. Lema 10 Seja A,B,E BS bandas e c dom(f) A\D(F) uma curva aberta tangente à C α. Então é verdade o seguinte: (i) Se B (A,c) e E / (A,c) então B E; (ii) Se B (A,c) e ξ B dom(f) \ D(F) é uma curva aberta tangente à C α então (A,c) (B,ξ). PROVA. (i). Suponha B E. Então, de acordo com a Definição 16, temos (B,m,c,η) E (1.25) para algum m N, uma curva aberta c (dom(f) B) \ D(F) tangente à C α e uma curva aberta η c. Por outro lado, B (A, c) significa (A,n,c,γ) B (1.26) para algum n N e para alguma curva aberta γ c. Então, pelo Lema 7, (1.25) e (1.26), temos a existência de uma curva aberta c c tal que (A,n + m,c,c ) E. Isto implica E (A,c) o que, por hipótese, é um absurdo. (ii). Seja E / (A,c). Dado que B (A,c) temos, pelo ítem (i), que B E o que significa que E / (B, ξ). Seja η uma curva aberta tangente à C α tal que η dom(f). Pelo Lema 4, curva aberta γ η tal que cl(γ) dom(f) \ D(F). (1.27) Lema 11 Seja A uma banda e c uma curva aberta tangente à C α tal que cl(c) A dom(f) \ D(F). Se n N e uma curva aberta c c tal que (A,n,c,c ) A então p A Per(F) \ D(F). Além disso, a órbita o, que passa por p está contida em dom(f) \ D(F). PROVA. Uma vez que (A,n,c,c ) A temos, da Definição 16 e Lema 3, que F n c é C 1 o que implica f n F ˆ ser contínua. Além disso, de F n c (c ) cobrir A temos f n ( F ˆ c ) Â ˆ cl(c) ˆ cl(c ). Consequentemente L ˆ F c tal que f n (L) = L. Como F n (L) f n (L) = L e F n L é contínua então o Teorema do Ponto Fixo de Brower implica que

30 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema p Per(F) L Per(F) (A dom(f)\d(f)) = A Per(F)\D(F). Pela Definição 16-(i), o dom(f) \ D(F). Lema 12 Suponha que exista um conjunto não-vazio Γ BS verificando A Γ,B BS \ Γ A B. (1.28) Então existe X Γ contendo um ponto p Per(F) X \ D(F). Ademais, o(p) dom(f) \ D(F). PROVA. Seja A 1 Γ. Dado que dom(f) = Σ \ L 0 então existe uma curva aberta η 1 tangente à C α com η 1 A 1 dom(f). Seja γ 1 η 1 como em (1.27). Pelo Lema 9, (A 1,n 1,γ 1,c 1) A 2 para algum A 2 BS, n 1 N e curva aberta c 1 γ 1. Além disso, A 2 Γ por (1.28). Se A 2 = A 1 então o resultado segue-se do Lema 11. Caso contrário, tomamos, analogamente como acima, uma curva aberta γ 2 A 2 dom(f) (tal que cl(γ 2 ) A 2 dom(f) \ D(F)) e conseguimos, do Lema 9 e (1.28), que (A 2,n 2,γ 2,c 2) A 3 para algum A 3 Γ, n 2 N e curva aberta c 2 γ 2. Se A 3 = A 2 então estamos concluídos pelo Lema 11. Se A 3 = A 1 então, pelo Lema 7, (A 1,n 1 +n 2,γ 1,ξ) A 1 para alguma curva aberta ξ γ 1 e o resultado segue-se do Lema 11. Caso, contrário nós continuamos com este procedimento. Depois de i vezes, i {1,...#Γ} encontramos (A i,n i,γ i,c i) A k para algum k i. Tome X = A k. Isto finaliza a prova Pontos homoclínicos transversais. Em nosso sistema qualquer órbita periódica o em dom(f)\d(f) é hiperbólica. De fato, pelo Lema 3, F é diferenciável em qualquer ponto de o. Assim da Definição 11-(b) temos a existência de um subfibrado df -invariante expansor sobre o contido no campo de cone C α. Por outro lado, de (1.5) e do fato de que F contrai folhas temos a existência de um subfibrado df -invariante contrator sobre o que é tangente às folhas da folheação vertical F. Portanto, pela Definição 11-(a), os dois subfibrados acima gera uma decomposição hiperbólica para o fibrado tangente sobre o. Seja p dom(f) \ D(F) um ponto periódico hiperbólico e o, a órbita de p. Dado que o dom(f) \ D(F) e F dom(f)\d(f) é C 1 temos da Teoria Hiperbólica (ver [KH95]) que

31 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema existem famílias de variedades locais estáveis e instáveis sobre o. Além disso, a família de variedades locais instáveis é tangente ao subfibrado expansor da decomposição hiperbólica, que no nosso caso está contida no campo de cone C α. Deste fato e da Definição 11-(b) temos F n (c) é tangente à C α curva aberta c W u loc(p),n N. (1.29) Agora, se k N é o período de p então F kn (W u loc(p)) = F kn (W u loc(f kn (p)) (1.4) W u (p) n N. (1.30) Denote por c p uma subcurva aberta da componente conexa de Wloc u (p) \ {p} tal que c dom(f) \ D(F) (isso é possível pelo Lema 4). Lema 13 Suponha que F contrai folhas e seja injetiva. Suponha que exista p A Per(F) \ D(F), para algum A BS, e seja c p a curva definida como acima. Se existem n N e uma curva aberta c c p tais que então F possui um ponto homoclínico transversal. (A,n,c p,c) A (1.31) PROVA. Pelo Lema 7, quando comparamos a equação (1.31) com ela mesma obtemos a existência de uma curva aberta c 2 c p tal que (A, 2n,c p,c 2 ) A. (1.32) Agora, lidando com (1.31) e (1.32) temos, novamente pelo Lema 7, (A, 3n,c p,c 3 ) A para alguma curva aberta c 3 c p. Repetimos este argumento até alcançarmos (A,kn,c p,c k ) A, onde k 1 é o período de p. Portanto F kn (c k ) cobre A. Let {q} = F kn (c k ) F p. Uma vez que F é injetora temos que q p. Além disso, por (1.5) e do fato de que F contrai folhas temos que F p W s (p). Por outro lado c k c p W u loc(p) F kn (c k ) F kn (W u loc(p)) (1.30) W u (p), i. e., q W s (p) W u (p). Por (1.29) e a Definição 11-(a), a última interseção é transversal o que implica, pela Definição 15, que q é um ponto homoclínico transversal. PROVA DO TEOREMA 2. Seja F uma aplicação triangular como na hipótese do Teorema 2. Suponha que F não tenha ponto homoclínico transversal.

32 1.3 Aplicações triangulares e as hipóteses do Teorema n F (c 2) p q A 2n F (c 2) n F (c 1) L 0i W 1 W 2 F p W 3 L i+ c p c 1 c 2= c Figura 1.2: Exemplo: W 1 L +, W 2,W 3 D(F) e p tem período 2. Pelo Lema 12, (para Γ = BS) B 1 BS e p 1 B 1 Per(F) \ D(F). Relembre a curva c p1 do Lema 13 e considere o conjunto (B 1,c p1 ), de acordo com a Definição 18. Pelo Lema 10 (i), o conjunto (B 1,c p1 ) verifica (1.28). Então, pelo Lema 12, existe B 2 (B 1,c p1 ) (1.33) e p 2 B 2 Per(F) \ D(F). Agora, considere o conjunto (B 2,c p2 ). Se B 2 (B 2,c p2 ) então, pela Definição 18 e pelo Lema 13, F tem uma órbita homoclínica. Absurdo. Daí B 2 / (B 2,c p2 ). (1.34) Assim, por (1.33), (1.34) e pelo Lema 10 (ii), temos (B 1,c p1 ) (B 2,c p2 ). Analogamente encontramos B 3 (B 2,c p2 ), p 3 B 3 Per(F) \ D(F) e o conjunto (B 3,c p3 ) verifica (B 1,c p1 ) (B 2,c p2 ) (B 3,c p3 ). Após um número finito de passos i {2,...,#BS} encontramos B i (B i 1,c pi 1 ) e p i B i Per(F) \ D(F) tal que (B i,c pi ) =. Absurdo por (1.24). Esta contradição termina a prova.

33 Capítulo 2 Infinidade de órbitas periódicas para fluxos seccional-anosov Neste capítulo provaremos o teorema principal usando o auxílio do sistema bidimensional estudado no Capítulo mostra os dois tipos de singularidades permitidas em nosso sistema tridimensional onde em um dos caso (das singularidades tipo-lorenz) são construídas seções transversais (singulares) próximas. Nós provamos que a variedade instável de qualquer ponto periódico intersecta transversalmente a folheação de algum elemento da seção transversal-singular (veja a Definição 21). Definimos aplicações de retorno nessas seções transversais o que, quando assumimos possuírem domínio grande, se tornam aplicações triangulares como no Teorema 2, Capítulo 1. Começamos 2.2 trabalhando com elementos bem comportados das seções transversaissingulares: uma de suas folhas tende à uma órbita periódica no futuro. Mais adiante lidamos com o caso onde, em alguns elementos, pode-se definir aplicação de retorno com domínio grande. Neste caso obtemos a hipótese do Teorema 2. Finalmente provamos o teorema principal. 2.1 Aplicações de retorno como funções triangulares Singularidades Daqui por diante e até o final deste capítulo, φ é um fluxo seccional-anosov, associado a um campo de vetores X de classe C 1, em uma variedade Riemanniana suave e compacta 26

34 2.1 Aplicações de retorno como funções triangulares 27 M de dimensão 3. O conjunto invariante maximal de M com respeito à φ será denotado por Λ e sua decomposição seccional-hiperbólica, por T Λ M = EΛ s Ec Λ. Ressaltamos que Λ é conexo por ser o maximal invariante em uma variedade. Seja Sing(φ) Λ o conjunto de singularidades de φ e LSing(φ) Sing(φ) o conjunto das singularidades tipo-lorenz. Recorde as variedades invariantes W s (σ),w ss (σ) e W u (σ) (dadas após a Definição 5) associadas à singularidades tipo-lorenz σ. Definição 19 Suponha σ Sing(φ) seja tipo-lorenz ou tenha dois autovalores positivos. Se σ é tipo-lorenz então defina W ss (σ) como a variedade invariante de φ tangente em σ aos auto-espaços {λ 2 }. Caso contrário, ela tem dois autovalores positivos e atribuimos W ss (σ) = W s (σ). Em cada uma das alternativas da definição acima, W ss (σ) é uma subvariedade unidimensional. O seguinte lema apresenta uma dicotomia para as singularidades de φ. Lema 14 ([BM06]) Se σ Sing(φ) então σ ou é tipo-lorenz ou tem dois autovalores positivos. Em qualquer um dos casos temos De [BM06], temos Per(φ). Λ W ss (σ) = {σ}. Além disso, qualquer ξ Per(φ) é hiperbólico (veja [MPP99, Lemma 3]). Denote por LSing(φ) como o conjunto das singularidades tipo- Lorenz. Lema 15 Se existe ζ Per(φ) tal que W u (ζ) LSing(φ) = então o sistema possui órbita homoclínica. PROVA. Primeiramente observe que W u (ξ) Λ ξ Per(φ), (2.1) porque dado ξ Per(φ) temos que o (y) M y W u (ξ). Agora afirmamos que W u (ξ) (Sing(φ) \ LSing(φ)) = ξ Per(φ). (2.2) De fato, suponha pelo contrário que exista uma órbita periódica ξ e uma singularidade que não seja tipo-lorenz σ tal que σ W u (ξ). (2.3)

35 2.1 Aplicações de retorno como funções triangulares 28 Seja x W u (ξ). Por (2.1) e pelo Lema 14, x / W ss (σ). (2.4) Por (2.3) e (2.4), ω(x) (W ss (σ) \ {σ}). (2.5) Logo Λ (W ss (σ) \ {σ}) (2.1) W u (ξ) (W ss (σ) \ {σ}) ω(x) W ss (σ) \ {σ} (2.5) o que contradiz o Lema 14. Portanto, tomando ζ da hipótese e considerando (2.2) temos que W u (ζ) é um conjunto invariante compacto e sem singularidades. Por [MPP99, Lema 3], o mesmo é hiperbólico. Dessa forma, ele possui uma órbita homoclínica Seções transversais-singulares Do Lema 15, assumiremos daqui em diante que LSing(φ) e W u (ξ) LSing(φ) ξ Per(φ). (2.6) Construção das seções transversais-singulares Considere um sistema de coordenadas linearizado (x 1,x 2,x 3 ) em uma vizinhança de σ como descrito na Figura 2.1. Note que W ss (σ) separa W s (σ) em duas componentes conexas, nomeadas, componentes da tampa e do fundo. Na componente da tampa consideramos uma seção transversal Σ + σ de φ juntamente com uma curva l σ + como na Figura 2.1. Similarmente consideramos uma seção transversal Σ σ e uma curva lσ na componente do fundo. Assumimos que tais seções Σ σ, = ±, são difeomorfas ao quadrado [ 1, 1] [ 1, 1] e que as curvas lσ estão contidas em W s (σ) \ W ss (σ). As órbitas positivas do fluxo φ começando em (Σ + σ Σ σ ) \ (l σ + lσ ) saem por uma vizinhança pequena de σ passando através de uma região cúspede como indicada na Figura 2.1. As órbitas positivas começando em l σ + lσ vão diretamente para σ. Notemos que a fronteira de Σ σ é composta por quatro curvas, duas delas transversais a lσ e duas delas paralelas a lσ. A união das curvas na fronteira de Σ σ que são paralelas (resp., transversais) a lσ é denotada por v Σ σ (resp., h Σ σ).

36 2.1 Aplicações de retorno como funções triangulares 29 Definição 20 Seja σ uma singularidade tipo-lorenz. As seções transversais Σ + σ, Σ σ construídas como acima são seções transversais-singulares associadas à σ. As curvas l + σ e l σ são curvas singulares de Σ + σ e Σ σ respectivamente. x 3 x 1 x 2 v Σ + σ l + σ h Σ + σ Σ σ h Σ + σ v + W s ( σ ) W ss ( σ ) σ W u ( σ) l - σ Figura 2.1: Seção transversal-singular Observação 4 Por [MP03, Remark 5.6], existem seções transversais-singulares Σ + σ, Σ σ associadas à σ que estão arbitrariamente próximas de σ e satisfazem Λ h Σ σ =. Definição 21 Uma seção transversal-singular de Λ é uma coleção disjunta Σ = {Σ σ σ LSing(φ), Σ σ é uma, e apenas uma, seção transversal-singular associada à σ, = ±}. satisfazendo onde Λ h Σ =, h Σ = ( h Σ + σ h Σ σ ). σ LSing(φ)

37 2.1 Aplicações de retorno como funções triangulares 30 Denotaremos também por Σ a união dos elementos de Σ. A curva singular de Σ é a coleção de curvas singulares associadas l = {l σ σ LSing(φ),l σ é a curva singular de Σ σ, = ± }. A fronteira vertical é v Σ = ( v Σ + σ v Σ σ ). σ LSing(φ) Folheação induzida Uma vez que estamos trabalhando em dimensão três então a direção EΛ s da decomposição seccional-hiperbólica é unidimensional. Daí, EΛ s pode ser estendido a um subfibrado invariante contrator E s U(Λ) em uma vizinhança U(Λ) de Λ. A Teoria das Variedades Invariantes [HPS77] implica que o campo de direção EU(Λ) s é integrável, i. e., tangente a uma folheação contínua contratora e unidimensional F ss em U(Λ). Ressaltamos que a folheação F ss é apenas contínua. Isto porque o campo em que estamos trabalhando é de classe C 1. Suas folhas porém são de classe C 1 (ou, melhor dito, da mesma diferenciabilidade do campo). Se P é uma folheação denotamos por P x a folha de P contendo x. Seja Σ uma seção transversal-singular de Λ contida em U(Λ). Construiremos uma folheação F em Σ projetando F ss sobre Σ. Mais precisamente, se I R e B M definimos Se α > 0 e x U(Λ) definimos onde I ss x φ I (B) = {φ t (x) : (t,x) I B}. F s x,α = φ [ α,α] (I ss x ), é a variedade estável forte local, i. e., um intervalo pequeno na folha Fss x centrada em x. Se x é regular (i. e. X(x) 0) então Fx,α s é uma subvariedade bidimensional de M (esta observação é aplicável em x Σ). Se x Σ definimos F x,α = F s x,α Σ. Trocando Σ por uma seção transversal menor em torno de l, caso necessário, podemos assumir que a fronteira vertical de Σ tem a forma F x,α. Dessa forma, uma vez que Σ é compacta (e formada por pontos regulares), podemos encontrar α > 0 tal que se F x = F x,α, então a família F = {F x : x Σ} (2.7)

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