UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática. SuperAção

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1 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática SuperAção Superando as dificuldades trazidas pelo descontrole motor com aplicação de sequências didáticas Adriana Maria Balena Tostes Júlio César da Silva Chang Kuo Rodrigues

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3 APRESENTAÇÃO Esta sugestão de atividades é o Produto integrante da dissertação de Mestrado profissional do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu da Universidade Severino Sombra (USS), intitulada de Matemática Inclusiva, Situações Didáticas e Tecnologia: um estudo de caso no Ensino Superior. Nesse estudo, apresentamos nossa pesquisa sobre o ensino de matemática, aplicada a um aluno com dificuldade motora, matriculado no 1º período de Administração de Empresas, de uma universidade privada, na cidade do Rio de Janeiro, na disciplina de Matemática I. SuperAção tem realmente os dois sentidos. O sentido de superação das dificuldades trazidas pelo descontrole motor e também o sentido do aluno entrar em contato com as atividades, alcançando os objetivos propostos em cada sequência, através de suas próprias ações. O produto é dividido em quatro partes. Na primeira parte, apresentamos nove sequências didáticas, relacionadas aos conteúdos funções, limites e

4 continuidade, com o cuidado especial de ser aplicada a alunos com dificuldades motoras. Após algumas atividades propostas disponibilizamos uma série de exercícios relacionados ao tema proposto no estudo, a fim de que o aluno trabalhe de modo autônomo e consiga aplicar os conceitos adquiridos em outras situaçõesproblema, principalmente em situações encontradas em Administração, Economia e Fianças. Esses exercícios foram extraídos do livro Cálculo: Funções de uma e várias variáveis de HAZZAN, S., BUSSAB, W. e MORETTIN, P., adotado pelos professores da disciplina Matemática I, da universidade onde a pesquisa foi realizada e aplicada. A segunda parte é destinada aos aplicadores das sequências didáticas, onde apresentamos sugestões e orientações para o desenvolvimento do trabalho, além de todas as respostas das atividades. A terceira parte abrange um tutorial do software Winplot, além de uma breve recordação para a confecção de planilhas de cálculos, utilizando o software Excel. Finalmente, na quarta parte, deixamos algumas indicações sobre tecnologias assistivas para o uso do computador, em ambientes de aprendizagem, voltadas

5 para alunos com a motricidade comprometida. Nosso objetivo é acenar aos profissionais que trabalham com pessoas que necessitam de cuidados especiais, alguns caminhos que os inspirem buscar esses recursos de acessibilidade que podem e devem ser disponibilizados a cada pessoa de modo bem eficaz, diminuindo assim o distanciamento entre essas pessoas e o conhecimento. Esperamos que o conteúdo deste produto venha auxiliar a professores e alunos, servindo como apoio didático, criando assim subsídios que facilitem a aprendizagem e possam colaborar com a evolução e a inclusão de alunos com dificuldades motoras ou não.

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7 SUMÁRIO PARTE 1 SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS Construindo e analisando gráficos com auxílio do software Winplot Trabalhando com as funções Custo total, Receita e Lucro no Winplot Trabalhando com as funções de demanda e oferta nos softwares GeoGebra e Winplot Trabalhando com o Modelo Exponencial no Winplot Respondendo questões sobre a curva de aprendizagem através da análise gráfica A noção intuitiva de limites com auxílio dos softwares Winplot e Excel Determinação de Limites Infinitos com auxílio dos softwares Winplot e Excel Determinação de Limites nos Extremos do Domínio com auxílio dos softwares Winplot e Excel... 38

8 1.9 - Continuidade de uma função com auxílio dos softwares Winplot e Excel PARTE 2 ORIENTAÇÕES, SUGESTÕES E RESPOTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº

9 2.8 - Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº Orientações, sugestões e respostas para a Sequência Didática nº PARTE 3 TUTORIAIS Tutorial do software Winplot Breve recordação para confecção de planilhas de cálculos, utilizando o software Excel PARTE 4 - TECNOLOGIAS ASSISTIVAS PARA O USO DO COMPUTADOR, VOLTADAS PARA ALUNOS COM A MOTRICIDADE COMPROMETIDA

10 PARTE 1 SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS

11 9 Sequência Didática nº 1 Construindo e analisando gráficos com auxílio do software Winplot CONTEÚDO: 1- Construção de gráficos de função constante, afim e quadrática. 2- Interpretação e análise do comportamento dos gráficos OBJETIVO: 1- Utilizar os comandos do software Winplot e construir gráficos das funções constante, afim e quadrática. 2- Analisar o comportamento dos gráficos, bem como suas interseções com os eixos coordenados e valores extremos. 3- Oferecer subsídios para que o aluno consiga resolver problemas de administração utilizando as teorias de função. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- O conceito de função 2- Funções reais de uma variável real 3- Domínio, imagem e conta domínio 4- Interceptos com os eixos coordenados 5- Monotonicidade 6- Valores extremos TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador, software Winplot e software Excel. 1ª questão proposta:

12 10 O valor da hora-aula de um professor não varia em função do número de alunos em sala de aula, se o número de alunos for menor ou igual a 40. Supondo que por cada hora-aula o professor receba o valor de R$50,00, e que a variável independente x represente o número de alunos e a variável dependente y represente o valor da hora-aula recebida pelo professor: Número de alunos (x) Valor da horaaula (y) Par ordenado (x,y) 1 R$50,00 (1;50) x (se x<40) Baseado na tabela, responda as questões: a) Qual seria o modelo matemático que representa a situação exposta? Expresse a fórmula que relaciona y em função de x. b) Como chamamos as funções que apresentam esse comportamento? c) Agora, vamos plotar o gráfico desta função, com o auxílio do software Winplot. d) O que você poderia concluir quando observa um gráfico que tem seu traçado representado por uma reta paralela ao eixo das abscissas?

13 11 CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Em que outras situações cotidianas você observa um comportamento como o dessa função, onde uma grandeza não varia, independentemente da outra? Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que você mais te chamou atenção nessa atividade? 2ª questão proposta: Com auxílio do software Winplot, esboce o gráfico das funções, determine os interceptos com os eixos coordenados, estude os sinais e identifique os pontos de máximos ou mínimos se existirem. a) f(x)=3x+2 b) f(x)=4x c) f(x)= -5x+6 d) f(x) = x 2-5x+6 2x + 1 se x 1 e) f(x) = { 3 se x < 1 CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Na sua opinião, para que servem as funções? Dê um exemplo de uma grandeza que varia dependendo da outra. O que você pode dizer que aprendeu com essa atividade?

14 12 Situação Didática nº 2 Trabalhando com as funções Custo Total, Receita e Lucro no Winplot CONTEÚDO: 1- Determinação das funções custo total, receita e lucro. 2- Traçado dos gráficos das funções Custo, Receita e Lucro. 3- Interpretação e análise do comportamento dos gráficos. 4- Determinação do ponto de nivelamento, ou ponto crítico, ou break-even point OBJETIVO: 1- Utilizar os comandos do software Winplot e construir gráficos das funções custo total, receita e lucro. 2- Analisar o comportamento dos gráficos. 3- Aplicar os conhecimentos obtidos de maneira que o aluno consiga resolver problemas de administração, como problemas de custo mínimo, lucro máximo, e pontos de nivelamento. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Função Custo Total 2- Função Receita 3- Função Lucro 4- Ponto de nivelamento, ou ponto crítico, ou break-even point 5- Construção de gráficos com auxílio do software Winplot TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador, software Winplot e software Excel. 1ª questão proposta: Função Custo, Receita e Lucro

15 13 Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é R$2.000,00 e o custo variável para produzir cada unidade é R$25,00. Durante o primeiro ano o preço de venda é R$65,00 por unidade. a) Com auxílio da planilha eletrônica Excel, complete a tabela e determine a função Custo Total Quantidade de peças produzidas no primeiro ano Custo fixo (R$) Custo Variável (R$) Custo Total (R$) , , x x b) Com auxílio da planilha eletrônica Excel, complete a tabela e determine a função Receita Quantidade de peças vendidas no primeiro ano Preço de venda R$ Receita R$ 1 65,00 1 x x c) Se x unidades são vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano em função de x. d) Com auxílio do software Winplot, trace o gráfico da função custo total e da função receita num mesmo plano cartesiano. e) Observando o gráfico, determine as coordenadas do ponto de nivelamento. f) Trace no Winplot o gráfico da função lucro e determine os intervalos que ocorrem prejuízo e os intervalos que a empresa obtém lucro. Compare suas respostas com as coordenadas do ponto de nivelamento.

16 14 2ª questão proposta: Custo Mínimo Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² 80x , sendo que C(x) representa o custo de produção, em reais, e x representa o número de unidades produzidas. a) Com auxílio do plotador de gráficos Winplot, trace o gráfico da função custo. b) Determine o número de unidades produzidas para que o custo de produção seja mínimo. c) Qual é o valor do custo mínimo? 3ª questão proposta: Lucro Máximo Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função: C(x) = x² 20x e a receita representada por R(x) = 60x x². Com base nessas informações, responda as questões: a) Trace o gráfico da função lucro b) Quantas peças devem ser comercializadas para que o lucro seja máximo. CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: O que você pode dizer sobre o ponto de nivelamento? Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que você achou mais interessante nessa atividade?

17 15 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1) Uma editora vende certo livro por R$60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$40,00. Qual o ponto de nivelamento? Resposta: (500, ) 2) Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de R$8.000,00? Resposta:900 unidades 3) O custo fixo de fabricação de um produto é R$1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$5,00. Se cada unidade for vendida por R$7,00: a) Qual o ponto de nivelamento? b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, à custa do aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento (em relação ao item a) quando o custo variável por uidade é reduzido em 30%? Respostas: a) (500, ) b) (400, ) c) 75% 4) Um encanador A cobra por serviço feito, um valor fixo de R$100,00 mais R$50,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra pelo mesmo serviço um valor fixo de R$80,00 mais R$60,00 por hora trabalhada. A partir de quantas horas de serviço, o encanador A é preferível ao B? Resposta: 2 horas

18 16 Situação Didática nº 3 Trabalhando com as funções de demanda e oferta nos dos softwares GeoGebra e Winplot CONTEÚDO: 1- Determinação das funções de demanda e oferta com o software GeoGebra, versão Traçado dos gráficos das funções de demanda e oferta. 3- Interpretação e análise do comportamento dos gráficos. 4- Determinação do Ponto de Equilíbrio OBJETIVO: 1- Apresentar os comandos do software GeoGebra que determinam a equação de uma reta que passa por dois pontos. 2- Utilizar os comandos do software Winplot e construir gráficos das funções de demanda e oferta. 3- Analisar o comportamento dos gráficos. 4- Aplicar os conhecimentos obtidos de maneira que o aluno consiga resolver problemas de administração, como problemas de Ponto de Equilíbrio de Mercado. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Função Demanda 2- Função Oferta 3- Ponto de Equilíbrio de mercado 4- Construção de gráficos com auxílio do software Winplot TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e softwares Winplot e GeoGebra OBS.: Para o uso do software GeoGebra faz-se necessário a instalação no computador do ambiente Java.

19 17 Exemplo: Observe um exemplo de utilização do software GeoGebra, quando queremos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos: Considere a seguinte situação: O proprietário de uma barbearia verificou que, quando o preço do corte de cabelo era R$20,00, o número de clientes era 100 por semana. Verificou também que, quando o preço passava para R$15,00, o número de clientes dobrava. a) Se x representa o número de clientes e y representa o preço do corte de cabelo, identifique os pares ordenados que representam a situação descrita no enunciado. b) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear. Resolução: Com as informações do enunciado podemos identificar os pares ordenados: (100;20) (200;15) Como o gráfico da função de demanda é linear, basta determinar qual é a equação da reta que passa por esses dois pontos. Para isso, vamos usar o software GeoGebra para nos auxiliar. Ao abrir o GeoGebra é mostrada a seguinte tela:

20 18 Para iniciar clique em Algebra & Grafics Para representar um ponto no plano cartesiano, basta digitar as coordenadas desse ponto na linha de comando Input, digitando (100,20) e em seguida, Enter para executar a operação. Repita a operação para o ponto (200,1). Como a escala dos eixos mostrada inicialmente vai de [-4,6] para o eixo das abscissas e de [-1,6] para o eixo das ordenadas, os pontos digitados não apareceram na tela. Será preciso reduzir a escala.

21 19 Para isso, posicione o mouse na janela gráfica e role a bola do scrol para baixo várias vezes para baixo. A tela ficará assim: Vamos mover os eixos para centralizá-lo na tela gráfica. Clique na ferramenta move graphics view. Clique na janela graphics e puxe o desenho para esquerda e para baixo. A tela ficará assim:

22 20 Vamos determinar então a equação da reta que passa por esses dois pontos A e B. Clique na ferramenta Line through two points e depois clique em cima do ponto A e em cima do ponto B. Aparecerá o traçado da reta que passa por A e B.

23 21 A equação da reta que passa pelos pontos A e B, chamada de a, ou seja a equação da função de demanda, aparecerá na janela algébrica. Neste caso, a: x+20y=500 Se preferir, clique com o botão direito do mouse em cima da equação, e mude para a equação a forma reduzida.

24 22 Logo, a equação da função de demanda será: y=-0,05x Como a variável y está representando o preço do corte de cabelo, podemos escrever a equação da função de demanda como sendo: p=-0,05x+25

25 23 1ª questão proposta 1 : O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era R$10,00, o número de doses vendidas era 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caia para R$7,00, o número de doses passava para 400 por semana. a) Obtenha a função de demanda, admitindo seu gráfico linear. b) Com a função de demanda, obtenha a função de receita c) Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de uma dose igual a R$4,00 2ª questão proposta: Ponto de Equilíbrio Uma companhia vende 90 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é R$10,00 e a companhia determinou que pode vender duas unidades a mais com uma redução de 20% no preço unitário. a) Qual a equação de demanda, admitindo-a como função do 1º grau? b) Se a equação de oferta do referido produto é p = 40 + x, determine o ponto de equilíbrio. CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? Quais foram os novos conhecimentos que esta atividade lhe trouxe? 1 Extraída do livro Cálculo: Funções de uma e várias variáveis de HAZZAN, S., BUSSAB, W. e MORETTIN, P., adotado pelos professores da disciplina Matemática I, da universidade pesquisada.

26 24 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1) Quando 10 unidades de um produto são fabricadas por dia, o custo é igual a R$6.600,00. Quando são produzidas 20 unidades por dia o custo é R$7.200,00. Obtenha a função custo supondo que ela seja uma função do 1º grau. Resposta: C(x)= x 2) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é R$20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a função de demanda seja do 1º grau, obtenha essa função. Resposta: p=-0,2x+30 3) O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar R$150,00 por uma diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada R$5,00 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia. a) Obtenha a equação da demanda admitindo-a como função do 1º grau. b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita? Resposta: a) p=-5x+350 b)r$175,00 4) Uma loja de CD s adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nessas condições, a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço de venda para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês. a) Obtenha a função de demanda admitindo que seu gráfico seja linear. b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal? Resposta: a) p=-0,02x+40 b) R$30,00

27 25 Situação Didática nº 4 Trabalhando com o Modelo Exponencial no Winplot CONTEÚDO: 1- Traçado dos gráficos de funções exponenciais. 2- Interpretação e análise do comportamento dos gráficos. OBJETIVO: 1- Utilizar os comandos do software Winplot e construir gráficos de funções exponenciais 2- Analisar o comportamento dos gráficos. 3- Aplicar os conhecimentos obtidos de maneira que o aluno consiga resolver problemas de administração, como depreciação de bens e crescimento exponencial. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Modelo de crescimento exponencial TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e software Winplot

28 26 1ª questão proposta: Crescimento Exponencial O Produto Interno Bruto (PIB) representa a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos numa determinada região, durante um período determinado. O PIB é um dos indicadores mais utilizados na macroeconomia, com o objetivo de mensurar a atividade econômica de uma região. A fórmula para o cálculo do PIB de uma região é a seguinte: PIB = C+I+G+X-M. Onde, C (consumo privado), I (investimentos totais feitos na região), G (gastos dos governos), X (exportações) e M (importações). No ano de 2011, o PIB do Brasil cresceu 2,7% sobre o ano anterior, totalizando R$ 4,143 trilhões (dados divulgados pelo IBGE em 06 de março de 2012). Baseado nessas informações: a) Apresente o modelo exponencial que representa essa situação, caso esta taxa de crescimento permaneça inalterada nos próximos anos. b) Analise o modelo e diga qual será o PIB do país daqui a 5 anos? 2ª questão proposta: Depreciação de bens Um automóvel vale hoje R$20.000,00. Sabendo-se que ele sofre uma desvalorização de 15% ao ano, qual será o seu valor daqui a 10 anos?

29 27 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1) Uma empresa expande suas vendas em 20% ao ano. Se este ano ela vendeu 1000 unidades, quantas venderá daqui a 5 anos? Resposta: 2488,32 unidades 2) Um imóvel vale hoje R$ ,00 e a cada ano sofre uma desvalorização de 3% ao ano. Qual o seu valor daqui a 10 anos? Resposta: R$ ,62 3) O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7000 e cresce à taxa de 3% ao ano. Daqui a quantos meses a população dobrará? Resposta: 282 meses aproximadamente 4) Daqui a x anos o valor de uma máquina será V=50. (0,8) x milhares de reais. Daqui a quanto tempo seu valor se reduzirá à metade? Resposta: 3,1 anos aproximadamente 5) O PIB de um país cresce a uma taxa igual a 5% ao ano. Daqui a quantos anos aproximadamente o PIB triplicará? Resposta: 22,5 anos 6) Estudos demográficos feitos em certo país estimaram que sua população daqui a x anos será P=40. (1,05) x milhões de habitantes. Daqui a quantos meses a população dobrará? Resposta: 180 meses

30 28 Situação Didática nº 5 Respondendo questões sobre a curva de aprendizagem através da análise gráfica CONTEÚDO: 1- Traçado dos gráficos de curvas de aprendizagem. 2- Interpretação e análise do comportamento dos gráficos. OBJETIVO: 1- Utilizar os comandos do software Winplot e construir gráficos de curvas de aprendizagem 2- Analisar o comportamento dos gráficos. 3- Aplicar os conhecimentos obtidos de maneira que o aluno consiga resolver problemas de administração. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Função Exponencial 2- Função logarítmica 3- Curva de aprendizagem TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e software Winplot

31 29 1ª questão proposta: A curva de aprendizagem é o gráfico de uma função frequentemente utilizada para relacionar a eficiência de trabalho de uma pessoa em função de sua experiência. A expressão matemática dessa função é f(x) = A B. e k.x em que x representa o tempo e f(x) a eficiência. Os valores A, B e k são constantes positivas e dependem intrinsecamente do problema em questão e são determinados estatisticamente. O gráfico da curva de aprendizagem tem o seguinte aspecto: Nota-se que quando o tempo x aumenta muito, e k.x tende a zero e, portanto, a eficiência f(x) tende a A. assim, a reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada A é uma assíntota do gráfico e

32 30 praticamente reflete o fato que, a partir de determinado tempo, a eficiência praticamente nãos e altera (ou altera muito pouco). O ponto de intersecção com o eixo-y tem ordenada A B, pois f(0) = A B. e k.0 = A B Suponha que após x meses de experiência um operário consiga montar y peças por hora. Suponha ainda que: f(x) = e 0,4.x a) Trace o gráfico de f(x) em função de x. Analisando o gráfico, responda: b) Quantas peças ele montava por hora quando não tinha experiência? c) Daqui a quantos meses o operário conseguirá montar, aproximadamente, 29 peças? d) Quantas peças ele montará por hora após 2,5 meses de experiência? e) Quantas peças, no máximo, ele conseguirá montar por hora? Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que mais te chamou atenção nessa atividade?

33 31 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1- Um digitador após x dias de experiência consegue digitar p palavras por minuto. Suponha que p=60 55 e -0,1x a) Quantas palavras ele digitava por minuto quando não tinha experiência? Resposta: 5 b) Quantas palavras digitará por minuto após 20 dias de experiência? Resposta: 52,5 c) Quantas palavras conseguirá digitar por minuto no máximo? Resposta: 60 d) Esboce o gráfico de p em função de x. Resposta:

34 32 Situação Didática nº 6 A noção intuitiva de Limites com auxílio dos softwares Winplot e Excel CONTEÚDO: 1- Verificação da existência do limite 2- Identificação algébrica e gráfica da existência do limite. OBJETIVO: 1- Identificar algébrica e graficamente a existência do limite ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Convergência de sucessões 2- Limite de funções TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e softwares Winplot e Excel

35 33 1ª questão proposta: x + 2 se x 3 Considere a função dada por f(x) = { 2x se x > 3 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 3, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a 3. 2ª questão proposta: Considere a função dada por f(x) = { x2 se x 0 x se x < 0 a) Calcule os limites laterais quando x tende a zero, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a zero. 3ª questão proposta: Considere a função dada por f(x) = x2 10x+25 x 5 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 1, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a 1.

36 34 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1- Para cada função seguinte f(x) e para cada a, calcule (quando existir): lim f(x), lim f(x) e lim f(x) x a + x a x a Respostas: a) f(x) = x 3, a = 2 b) f(x) = 2x + 1, a = 3 c) f(x) = x+5 x 3, a = 0 2x + 1 se x 3 d) f(x) = { 8 se x = 3, a=3 e) f(x) = x2 9 x 3 f) f(x) = g) f(x) = 49 x2 7+x h) f(x) = x2 +x x 2 3x a) 8 b) 7 c) -5/3 d) 7 e) 6 f) 14 g) 0,1 h) -1/3, a = 3, a = 7 5 x 25 x 2, a = 5, a = 0

37 35 Situação Didática nº 7 Determinação de Limites Infinitos com auxílio dos softwares Winplot e Excel CONTEÚDO: 1- Verificação da existência do limite. 2- Identificação algébrica e gráfica da existência do limite. OBJETIVO: 1- Identificar algébrica e graficamente a existência do limite ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Convergência de sucessões 2- Limite de funções 3- Limites Infinitos TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e softwares Winplot e Excel

38 36 1ª questão proposta: Seja f(x) = 3 (x 2) 2 definida para todos os reais diferentes de 2. a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais. 2ª questão proposta: Seja f(x) = 3 definida para todos os reais diferentes de 2. (x 2) 2 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais. 3ª questão proposta: Seja f(x) = 2x definida para todos os reais diferentes de 2. x 1 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais.

39 37 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1- Para cada função seguinte f(x) e para cada a, calcule (quando existir): lim f(x) e lim f(x) x a + x a a) f(x) = 4 x 6 b) f(x) = 3 1 x c) f(x) = x+5 x d) f(x) = x 2 x e) f(x) = x2 x 1, a = 6, a = 1, a = 0, a = 2, a = 1 f) f(x) = 1 x, a = 0 g) f(x) = 1 x2, a = 0 Respostas: a) + e - b) - e + c) + e - d) - e + e) + e - f) + e - g) + e +

40 38 Situação Didática nº 8 Determinação de Limites nos Extremos do Domínio com auxílio dos softwares Winplot e Excel CONTEÚDO: 1- Verificação da existência do limite nos extremos do domínio 2- Identificação algébrica e gráfica da existência do limite. OBJETIVO: 1- Identificar algébrica e graficamente a existência do limite ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Convergência de sucessões 2- Limite de funções 3- Limites Infinitos 4- Limites nos extremos do domínio TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e softwares Winplot e Excel

41 39 1ª questão proposta: Consideremos a função f(x) = 1 x definida para todos os reais diferentes de zero. a) Elabore uma tabela com uma sequência que divirja para o infinito e calcule as respectivas imagens. b) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? c) Agora, elabore uma tabela com uma sequência que divirja para menos infinito e calcule as respectivas imagens. d) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? e) Trace o gráfico da função e evidencie os limites os extremos do domínio. 2ª questão proposta: definida para todos os reais diferentes de zero. a) Elabore uma tabela com uma sequência que divirja para o infinito e calcule as respectivas imagens. b) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? c) Agora, elabore uma tabela com uma sequência que divirja para menos infinito e calcule as respectivas imagens. d) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? e) Trace o gráfico da função e evidencie os limites os extremos do domínio. Consideremos a função f(x) = x 3

42 40 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1- Calcule os seguintes limites: Respostas:

43 41 Situação Didática nº 9 Continuidade de uma função com auxílio dos softwares Winplot e Excel CONTEÚDO: 1- Verificação da existência do limite nos extremos do domínio. 2- Identificação algébrica e gráfica da existência do limite. OBJETIVO: 1- Reconhecer graficamente as condições de continuidade. ASSUNTOS ABORDADOS EM SALA DE AULA ANTES DESTA ATIVIDADE: 1- Convergência de sucessões 2- Limite de funções 3- Continuidade das funções TEMPO ESTIMADO: 110 minutos (trabalhando com um único aluno). Estender o tempo caso esteja trabalhando com um grupo de alunos. MATERIAL NECESSÁRIO: Computador e softwares Winplot e Excel

44 42 1ª questão proposta: 2x 1 se x 3 Seja a função f(x) = { 3x 4 se x > 3 a) Determine lim f(x) e lim f(x) x 3 x 3 + b) Determine f(3) c) O que você pode dizer sobre a continuidade da função no ponto x=3? d) Trace o gráfico de f(x) e verifique graficamente sua resposta

45 43 APLICANDO ESTES CONCEITOS EM OUTRAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS 1- A função f(x) = { x2 + 3 se x 2 é contínua no ponto 10 se x = 2 x=2? 2- Verifique se a função x2 1 x 1 Resposta: Não é contínua para x=1. Resposta: Não 3- Determine k, de modo que a função 2x + 3 se x 2 f(x) = { k se x = 2 seja contínua para x=2. Resposta: k=7

46 PARTE 2 ORIENTAÇÕES, SUGESTÕES E RESPOTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 44

47 45 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 1 Construindo e analisando gráficos com auxílio do software Winplot 1ª Questão proposta: O valor da hora-aula de um professor não varia em função do número de alunos em sala de aula, se o número de alunos for menor ou igual a 40. Supondo que por cada hora-aula o professor receba o valor de R$50,00, e que a variável independente x represente o número de alunos e a variável dependente y represente o valor da hora-aula recebida pelo professor, complete a tabela seguinte: Número de alunos (x) Valor da horaaula (y) Par ordenado (x,y) 1 R$50,00 (1;50) 2 R$50,00 (2;50) 3 R$50,00 (3;50) 10 R$50,00 (10;50) 20 R$50,00 (20;50) 30 R$50,00 (30;50) x (se x<40) R$50,00 (x;50) Baseado na tabela, responda as questões:

48 46 a) Qual seria o modelo matemático que representa a situação exposta? b) Como chamamos as funções que apresentam esse comportamento? Antes de prosseguir, conversar um pouco sobre as respostas obtidas. O modelo matemático que descreve essa situação corresponde a y=f(x)=50. As funções que apresentam esse comportamento são denominadas de função constante. c) Agora, vamos plotar o gráfico desta função, com o auxílio do software Winplot.

49 47 Abra o software Winplot, escolha as opções: Janela 2-dim Equação Explícita, ou utilize as teclas de atalho F2 e F1. No campo f(x)= complete com a lei de formação da função. Neste caso, f(x)=50. Vamos restringir o domínio, já que esta lei de formação só é verdadeira se 0<x<40. Então, marque a opção travar o intervalo e escolha para x min = 0 e x max=40. Aperte em Ok. Para visualizarmos o gráfico, aperte várias vezes a tecla PgDn, pois a escala dos eixos coordenados está variando de [-5,5] e a imagem de f(x)=50.

50 48 d) O que você poderia concluir quando observa um gráfico que tem seu traçado representado por uma reta paralela ao eixo das abscissas? Espera-se que o aluno conclua que uma grandeza não varia, independentemente da outra. CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Em que outras situações cotidianas você observa um comportamento como o dessa função, onde uma grandeza não varia, independente da outra? Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que você mais te chamou atenção nessa atividade? 2ª questão proposta: O objetivo desta questão é familiarizar o aluno com os comandos do software Winplot, preparando-o para trabalhar com questões mais contextualizadas, que estarão propostas na próxima atividade.

51 49 Esboce o gráfico das funções, determine os interceptos com os eixos coordenados, estude os sinais e identifique os pontos de máximos ou mínimos se existirem. a) f(x)=3x+2 b) f(x)=4x c) f(x)= -5x+6 d) f(x) = x 2-5x+6 2x + 1 se x 1 e) f(x) = { 3 se x < 1 Abra o software Winplot, escolha as opções: Janela 2-dim Equação Explícita, ou utilize as teclas de atalho F2 e F1. No campo f(x)= complete com a lei de formação da função. Como não temos restrições para o domínio, aperte em Ok. Os ajustes na escala do gráfico podem ser feitos pelas teclas PgDn e PgUp do teclado. Para determinar o intercepto com o eixo das abscissas, também conhecida como raiz ou zero da função, vá ao menu Um, selecione a opção Zeros. A coordenada x aparecerá na caixa de diálogo.

52 50 Para determinar o intercepto com o eixo das ordenadas, vá em inventário (ctrl + I) e clique em tabelas. Os pares ordenados são apresentados. Busque o par que apresenta x=0 e identifique a coordenada y Ainda observando a tabela presente no inventário, podemos fazer o estudo do sinal da função. Para determinar os pontos de máximo e mínimo, vá no menu Um, escolha a opção Extremos Pelo traçado do gráfico, podemos observar o comportamento quanto à monotonicidade. Este comportamento também pode ser observado na opção tabelas do inventário. O traçado gráfico das funções definidas por várias sentenças pode ser obtido com a utilização do comando joinx. g(x) se x < a h(x) se a < x < b f(x) = i(x) se b < x < c { j(x) se x > d Sintaxe: joinx(g a,h b,i c,j) Exemplo: 2 se x < 1 f(x) = { x 2 se 1 < x < 2 8 2x se x > 2 Sintaxe: joinx(2-1,x^2 2,2-2*x)

53 51 Respostas da 2ª questão proposta: a) Interceptos: (-0,6667; 0) (0, 2) b) Interceptos: (0; 0) Sinal da função: f(x) > 0 se x > -0,66667 f(x) = 0 se x = -0,66667 f(x) < 0 se x < -0,66667 Pontos de máximos e mínimos: não existem Sinal da função: f(x) > 0 se x > 0 f(x) = 0 se x = 0 f(x) < 0 se x < 0 c) Interceptos: (1,2; 0) (0, 6) Pontos de máximos e mínimos: não existem Sinal da função: f(x) > 0 se x <1,2 f(x) = 0 se x = 1,2 f(x) < 0 se x > 1,2 Pontos de máximos e mínimos: não existem

54 52 d) Interceptos: (2; 0) (3;0) (0,6 ) Sinal da função: f(x) > 0 se x <2 ou x>3 f(x) = 0 se x = 2 ou x=3 f(x) < 0 se 2<x < 3 Pontos de mínimo: (2,5; -0,25) e) Interceptos: (0,3) Sinal da função: f(x) > 0 sempre Pontos de máximos e mínimos: não existem CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Na sua opinião, para que servem as funções? Dê um exemplo de uma grandeza que varia dependendo da outra.

55 53 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 2 Trabalhando com as funções Custo Total, Receita e Lucro no Winplot 1ª questão proposta: Função Custo, Receita e Lucro Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é R$2.000,00 e o custo variável para produzir cada unidade é R$25,00. Durante o primeiro ano o preço de venda é R$65,00 por unidade. a) Com auxílio da planilha eletrônica Excel, complete a tabela e determine a função Custo Total Caso tenha alguma dúvida para confecção da tabela, consulte o tutorial, presente neste material: Uma breve recordação para confecção de planilhas de cálculos, utilizando o software Excel.

56 54 Quantidade de peças produzidas no primeiro ano Custo fixo (R$) Custo Variável (R$) Custo Total (R$) , , x , , x , , x , , x 25 x 2.000, ,00 + x x 25 b) Com auxílio da planilha eletrônica Excel, complete a tabela e determine a função Receita Quantidade de peças Preço de venda Receita vendidas no primeiro R$ R$ ano 1 65,00 1 x ,00 2 x ,00 3 x ,00 10 x 65 x 65,00 x x 65 Se x unidades são vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano em função de x. Antes de prosseguir temos que conversar um pouco sobre as respostas obtidas. A função Custo Total será dada por: CT= 2.000, x A função Receita será dada por: R=65x

57 55 Logo, como a função Lucro = Receita - Custo Total, então: L= 40x 2.000,00 c) Com auxílio do software Winplot, trace o gráfico da função custo total e da função receita num mesmo plano cartesiano. Abra o software Winplot, escolha as opções: Janela 2-dim Equação Explícita, ou utilize as teclas de atalho F2 e F1. No campo f(x)= complete com a lei de formação da função. Não esqueça de restringir o domínio, já que a quantidade deve ser maior ou igual a zero. Utilize: X min = 0 e X max = pinf (que corresponde a + ) Para melhor visualização do gráfico, após o uso da tecla PgDn várias vezes, utilizar umas quatro vezes o comando do menu mouse arrastar box BE. (Corresponde a clicar, arrastar e selecionar com o retângulo onde deseja melhorar a visualização.) Obs.: Se o aluno tiver dificuldade motora, o movimento de clicar o mouse e arrastar deve ser evitado. Para isso, devemos escolher situações-problema que trabalhem com números menores.

58 56 d) Observando o gráfico, determine as coordenadas do ponto de nivelamento. Para determinarmos o ponto de interseção de curvas devemos utilizar o comando do menu Dois interceptos

59 57 Logo, o ponto de nivelamento será (50;3250) e) Trace no Winplot o gráfico da função lucro e determine os intervalos que ocorrem prejuízo e os intervalos que a empresa obtém lucro. Compare suas respostas com as coordenadas do ponto de nivelamento.

60 58 Lucro: x>50 Prejuízo: x<50 2ª questão proposta: Custo Mínimo Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² 80x , sendo que C(x) representa o custo de produção, em reais, e x representa o número de unidades produzidas. a) Com auxílio do plotador de gráficos Winplot, trace o gráfico da função custo.

61 59 Não esqueça de restringir o domínio, já que a quantidade de unidades produzidas deve ser maior ou igual a zero. Utilize: X min = 0 e X max = pinf (que corresponde a + ) b) Determine o número de unidades produzidas para que o custo de produção seja mínimo.

62 60 Lembre-se que para determinarmos os pontos extremos no Winplot, basta no menu Um, escolher a opção Extremos Logo a quantidade produzida que minimiza o custo é 40.

63 61 c) Qual é o valor do custo mínimo? Na tabela dos valores extremos temos duas coordenadas. A abscissa representa a quantidade que minimiza o custo e a ordenada, representa o valor do custo mínimo. Logo, o custo mínimo de produção é de R$1.400,00. Outra opção seria buscar no inventário (ctrl + I), na aba tabelas o valor correspondente ao número de unidades que minimiza o custo de produção. Para x=40, o custo é de R$1400,00.

64 62 3ª questão proposta: Lucro Máximo Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função: C(x) = x² 20x e a receita representada por R(x) = 60x x². Com base nessas informações, responda as questões: a) Trace o gráfico da função lucro A função Lucro = Receita Custo, logo L=60x x² - (x² 20x) L= -2x 2 +80x. Para melhor visualização do gráfico, vamos mudar a escala dos eixos coordenados: Clique no menu VER na opção VER. Escolha a opção cantos e digite os valores: Esquerdo: -10 Direito: 100 Inferior: -300 Superior: 900

65 63 O traçado gráfico: b) Quantas peças devem ser comercializadas para que o lucro seja máximo. No menu UM, escolher a opção extremos: Logo, a quantidade de peças que devem ser produzidas e vendidas para se obter o maior lucro é igual a 20 e o valor do lucro máximo é R$800,00. CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que você achou mais interessante nessa atividade?

66 64 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 3 Trabalhando com as funções de demanda e oferta nos dos softwares GeoGebra e Winplot 1ª questão proposta: O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era R$10,00, o número de doses vendidas era 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caia para R$7,00, o número de doses passava para 400 por semana. a) Obtenha a função de demanda, admitindo seu gráfico linear. b) Com a função de demanda, obtenha a função de receita c) Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de uma dose igual a R$4,00 Vamos iniciar, determinando a equação da função de demanda. Com auxílio do GeoGebra, marque os dois pontos (200,10) e (400,7) e depois determine a equação da reta que passa por estes dois pontos.

67 65 Logo: p=-0,015x+13 Para determinarmos a função de receita, basta lembrarmos que R=p.x, então R= - 0,015x x Agora, precisamos determinar a função Lucro. Como o custo de uma dose é igual a R$4,00, logo o custo de x doses será C=4.x. Com a equação da função receita e a função custo, vamos determinar a equação da função lucro, pois Lucro = Receita Custo, então: L=-0,015x x 4x

68 66 Com auxílio do software Winplot, vamos traçar o gráfico da função Lucro e determinar a quantidade que maximiza o lucro. Logo, a quantidade que maximiza o lucro é x=300. Com a quantidade que maximiza o lucro, vamos substituir na equação da demanda para determinar o preço que maximiza o lucro. Você pode também traçar o gráfico da função de demanda no Winplot, ir em tabelas no inventário e com a quantidade que maximiza o lucro (x=300), identificar o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. p = - 0, = 8,50

69 67 2ª questão proposta: Ponto de Equilíbrio Uma companhia vende 90 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é R$10,00 e a companhia determinou que pode vender duas unidades a mais com uma redução de 20% no preço unitário. c) Qual a equação de demanda, admitindo-a como função do 1º grau? d) Se a equação de oferta do referido produto é p = 40 + x, determine o ponto de equilíbrio. Com auxílio do GeoGebra, marque os dois pontos A(90, 10) e B(92, 8) e depois determine a equação da reta que passa por estes dois pontos.

70 68 Logo, a equação da demanda é p= - x Com auxílio do Winplot, trace os gráficos da função de demanda e da função de oferta. Para determinarmos o Ponto de Equilíbrio, basta identificarmos o ponto de interseção, então, com auxílio do Winplot, vamos utilizar o comando do menu Dois interceptos

71 69 Logo o ponto de equilíbrio é (30, 70) CONVERSANDO SOBRE A ATIVIDADE: Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? Quais foram os novos conhecimentos que esta atividade lhe trouxe?

72 70 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 4 Trabalhando com o Modelo Exponencial no Winplot 1ª questão proposta: Crescimento Exponencial O Produto Interno Bruto (PIB) representa a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos numa determinada região, durante um período determinado. O PIB é um dos indicadores mais utilizados na macroeconomia, com o objetivo de mensurar a atividade econômica de uma região. A fórmula para o cálculo do PIB de uma região é a seguinte: PIB = C+I+G+X-M. Onde, C (consumo privado), I (investimentos totais feitos na região), G (gastos dos governos), X (exportações) e M (importações). No ano de 2011, o PIB do Brasil cresceu 2,7% sobre o ano anterior, totalizando R$ 4,143 trilhões (dados divulgados pelo IBGE em 06 de março de 2012). Baseado nessas informações: c) Apresente o modelo exponencial que representa essa situação, caso esta taxa de crescimento permaneça inalterada nos próximos anos. d) Analise o modelo e diga qual será o PIB do país daqui a 5 anos?

73 71 Para resolução da letra (a) lembre-se do modelo de crescimento exponencial: y = y 0 (1 + i) x onde y 0 representa o valor inicial da grandeza, i a taxa de juros e x o período. Antes de prosseguir, vamos conversar um pouco sobre a resposta obtida. O modelo de crescimento exponencial deve ser: y =4,143(1+0,027) x

74 72 Para resolução da letra (b), vamos traçar o gráfico deste modelo, com auxílio do Winplot. Para entrada da função, lembre-se que no Winplot, o separador das casas decimais é o ponto. Então, para entrar com o valor 4,143 devemos digitar No inventário (ctrl + I), busque na aba tabelas o valor correspondente ao PIB do Brasil daqui a 5 anos. Logo, daqui a 5 anos o PIB do Brasil será igual a R$ trilhões 2ª questão proposta: Depreciação de bens

75 73 Um automóvel vale hoje R$20.000,00. Sabendo-se que ele sofre uma desvalorização de 15% ao ano, qual será o seu valor daqui a 10 anos? Para resolução lembre-se do modelo de desvalorização exponencial: y = y 0 (1 i) x onde y 0 representa o valor inicial da grandeza, i a taxa de juros e x o período. Antes de prosseguir, vamos conversar um pouco sobre a resposta obtida. O modelo de desvalorização exponencial deve ser: y =20.000,00(1-0,15) x Vamos traçar o gráfico deste modelo, com auxílio do Winplot.

76 74 No inventário (ctrl + I), busque na aba tabelas o valor correspondente ao automóvel daqui a 10 anos. Será necessário aumentar o limite da tabela. Para isso, vá em inventário (ctrl+i), tabelas, parâmetros, e mude o máximo para 10. Caso você queira melhorar a visualização da tabela, mude para duas casas decimais. Vá no menu edição, na opção formatar, número de decimais e abas. Logo, daqui a 5 anos o valor do automóvel será de R$3.937,49

77 75 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 5 Respondendo questões sobre a curva de aprendizagem através da análise gráfica 1ª questão proposta: A curva de aprendizagem é o gráfico de uma função frequentemente utilizada para relacionar a eficiência de trabalho de uma pessoa em função de sua experiência. A expressão matemática dessa função é f(x) = A B. e k.x em que x representa o tempo e f(x) a eficiência. Os valores A, B e k são constantes positivas e dependem intrinsecamente do problema em questão e são determinados estatisticamente. O gráfico da curva de aprendizagem tem o seguinte aspecto:

78 76 Nota-se que quando o tempo x aumenta muito, e k.x tende a zero e, portanto, a eficiência f(x) tende a A. assim, a reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada A é uma assíntota do gráfico e praticamente reflete o fato que, a partir de determinado tempo, a eficiência praticamente nãos e altera (ou altera muito pouco). O ponto de intersecção com o eixo-y tem ordenada A B, pois f(0) = A B. e k.0 = A B Suponha que após x meses de experiência um operário consiga montar y peças por hora. Suponha ainda que: f(x) = e 0,4.x a) Trace o gráfico de f(x) em função de x. Analisando o gráfico, responda: b) Quantas peças ele montava por hora quando não tinha experiência? c) Daqui a quantos meses o operário conseguirá montar, aproximadamente, 29 peças? d) Quantas peças ele montará por hora após 2,5 meses de experiência? Quantas peças, no máximo, ele conseguirá montar por hora?

79 77 a) Traçado do gráfico Para traçar o gráfico de f(x) = e 0,4.x Winplot, devemos tomar cuidado com a sintaxe. Após apertar F2 e F1, digitar na caixa y=f(x): 40-20*e^(-0.4*x) Não se esqueça de restringir o domínio, já que a quantidade de peças deve ser maior ou igual a zero. Utilize: X min = 0 e X max = pinf (que corresponde a + ) ou um valor grande, por exemplo 1000 no

80 78 Vamos analisar o comportamento do gráfico e responder as questões: b) Quantas peças ele montava por hora quando não tinha experiência? Se a variável x representa os meses de experiência, quando o operário não tinha experiência x=0. Logo, basta determinar a intersecção com o eixo das ordenadas.

81 79 Podemos fazer isso de duas maneiras no Winplot. Observando o gráfico ou na tabela do inventário, procuramos o par ordenado com abscissa igual a zero. Logo, quando não tinha experiência (x=0, o funcionário montava 20 peças)

82 80 c) Daqui a quantos meses, o operário conseguirá montar aproximadamente 29 peças? Se tivéssemos que resolver algebricamente, iríamos cair em uma equação logarítmica. No Winplot, analisando a tabela do inventário, basta procurar o par ordenado cuja ordenada se aproxima de 29. Logo, x=1,5 meses, aproximadamente.

83 81 d) Quantas peças ele montará por hora após 2,5 meses de experiência? Na tabela do inventário, buscamos o par ordenado de abscissa igual a 2,5. Caso não encontre, mude os parâmetros para mínimo=0, máximo=1000, passos=2000. Logo, se x=2,5 então p=32,64 peças aproximadamente.

84 82 e) Quantas peças, no máximo, ele conseguirá montar por hora? f) Basta analisar o gráfico, que vamos concluir que a medida que a partir de um determinado tempo, a eficiência praticamente não se altera, então, a quantidade de peças que o operário conseguirá montar no máximo será igual a 40 peças. Ao final desta atividade devemos conversar sobre alguns pontos: Quais foram as dificuldades encontradas para execução desta atividade? O que mais chamou sua atenção nessa atividade?

85 83 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 6 A noção intuitiva de Limites com auxílio dos softwares Winplot e Excel 1ª questão proposta: x + 2 se x 3 Considere a função dada por f(x) = { 2x se x > 3 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 3, pela esquerda e pela direita. Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir uma tabela, com valores de x se aproximando de 3 cada vez mais, pela esquerda. x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,

86 84 Agora, vamos calcular os valores de f(x). Como x<3, então f(x)=x+2. Para isso, basta posicionarmos o cursor na célula que queremos efetuar o cálculo e digitar na linha de fórmulas: = (movimentar com o cursor para esquerda com a tecla ) e digitar +2 e depois copiar para as demais células da tabela. x f(x)=x+2 2,9 4,9 2,99 4,99 2,999 4,999 2,9999 4,9999 2, , Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a 5 e podemos dizer que: lim f(x) = 5 x 3 Agora, precisamos investigar o que acontece nas vizinhanças de 3, mas quando nos aproximamos de 3 pela direita. Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir uma tabela, com valores de x se aproximando de 3 cada vez mais, pela direita.

87 85 x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3, Agora, vamos calcular os valores de f(x). Como x>3, então f(x)=2x. Para isso, basta posicionarmos o cursor na célula que queremos efetuar o cálculo e digitar na linha de fórmulas: = (movimentar com o cursor para esquerda com a tecla ) e digitar +2 e depois copiar para as demais células da tabela. x f(x)=2x 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002 3, , Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a 3 pela direita, f(x) tende a 6 e podemos dizer que: lim f(x) = 6 x 3 +

88 86 b) Verifique a existência do limite global. Como lim x 3 f(x) = 5 e lim f(x) = 6 verificamos que os x 3 + limites laterais são diferentes, logo, não existe limite global quando x tende a 3. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a 3. Para traçarmos o gráfico da função, vamos utilizar o comando do Winplot chamado joinx, pois ele faz o traçado gráfico das funções definidas por várias sentenças. Sintaxe: joinx(x+2 3,2x) Com o traçado gráfico, podemos evidenciar os limites laterais e concluir que não existe o limite global, quando x tende a 3. A opção tabela do inventario, nos mostra o comportamento da função nas vizinhanças do ponto de abscissa igual a 3. (Nesta questão, foi necessário modificarmos os parâmetros mínimo para 2, máximo para 4 e número de passos para 1000).

89 87 2ª questão proposta: Considere a função dada por f(x) = { x2 se x 0 x se x < 0 a) Calcule os limites laterais quando x tende a zero, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a zero. a) Calcule os limites laterais quando x tende a zero, pela esquerda e pela direita. Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir as tabelas, com valores de x se aproximando de 0 cada vez mais, pela esquerda e pela direita. x f(x) = x 2 x f(x)=-x -0,1 0,01-0,1 0,1-0,01 0,0001-0,01 0,01-0,001 0, ,001 0,001-0,0001 0, ,0001 0,0001-0, , ,

90 88 Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a zero pela esquerda, f(x) tende a zero, então podemos dizer que: lim f(x) = 0 x 0 Percebemos também, que quando x tende a zero pela direita, f(x) tende a zero, então: lim f(x) = 0 x 0 + b) Verifique a existência do limite global. Como lim x 0 f(x) = 0 e lim f(x) = 0, verificamos que os x 0 + limites laterais são iguais, logo, existe limite global quando x tende a zero e este limite é igual a zero, então: lim f(x) = 0 x 0 + c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a zero. Com o traçado gráfico, podemos evidenciar os limites laterais na vizinhança de zero e concluir que existe o limite global, quando x tende a zero..

91 89 3ª questão proposta: Considere a função dada por f(x) = x2 6x+5 x 1 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 1, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais, quando x tende a 1. a) Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir a tabela, com valores de x se aproximando de 1 cada vez mais, pela esquerda. x f(x) = x2 6x + 5 x 1 0,9-4,1 0,99-4,01 0,999-4,001 0,9999-4,0001 0, ,

92 90 Agora vamos construir a tabela, com valores de x se aproximando de 1 cada vez mais, pela direita. x f(x) = x2 6x + 5 x 1 1,1-3,9 1,01-3,99 1,001-3,999 1,0001-3,9999 1, , Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a 1 pela esquerda, f(x) tende a -4 então podemos dizer que: lim f(x) = 4 x 1 Percebemos também, que quando x tende a 1 pela direita, f(x) tende a -4, então: lim f(x) = 4 x 1 + b) Verifique a existência do limite global. Como lim x 1 f(x) = 4 e lim f(x) = 4, verificamos que x 1 + os limites laterais são iguais, logo, existe limite global quando x tende a 1 e este limite é igual a -4.

93 91 c ) O traçado gráfico: Apesar da função não ser definida para x=1, o limite global existe e é igual a -4.

94 92 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 7 Determinação de Limites Infinitos com auxílio dos softwares Winplot e Excel 1ª questão proposta: Seja f(x) = 3 definida para todos os reais diferentes de 2. (x 2) 2 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais. Com auxílio do software Winplot vamos traçar o gráfico da função f(x) = 3 (x 2) 2

95 93 A opção tabela do inventario, nos mostra o comportamento da função nas vizinhanças do ponto de abscissa igual a 2. Analisando o gráfico, bem como os dados da tabela podemos concluir que: 3 lim x 2 (x 2) 2 = +

96 94 2ª questão proposta: Seja f(x) = 3 (x 2) 2 definida para todos os reais diferentes de 2. a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais. Com auxílio do software Winplot vamos traçar o gráfico da função f(x) = 3 (x 2) 2

97 95 A opção tabela do inventário, nos mostra o comportamento da função nas vizinhanças do ponto de abscissa igual a 2. Analisando o gráfico, bem como os dados da tabela podemos concluir que: 3 lim x 2 (x 2) 2 = 3ª questão proposta: Seja f(x) = 2x definida para todos os reais diferentes de 2. x 1 a) Calcule os limites laterais quando x tende a 2, pela esquerda e pela direita. b) Verifique a existência do limite global. c) Represente graficamente esta função e evidencie os limites laterais.

98 96 Com auxílio do software Winplot vamos traçar o gráfico da função f(x) = 2x x 1 A opção tabela do inventário, nos mostra o comportamento da função nas vizinhanças do ponto de abscissa igual a 2. Analisando o gráfico, bem como os dados da tabela podemos concluir que: lim x 2 2x x 1 = 2x lim x 1 = + x 2 +

99 97 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 8 Determinação de Limites nos Extremos do Domínio com auxílio dos softwares Winplot e Excel 1ª questão proposta: Consideremos a função f(x) = 1 x definida para todos os reais diferentes de zero. a) Elabore uma tabela com uma sequência que divirja para o infinito e calcule as respectivas imagens. x 1/x 10 0, , , ,0001 b) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem?

100 98 Intuitivamente percebemos que as correspondentes imagens convergem para zero. Logo, dizemos que lim x + 1 x = 0 c) Agora, elabore uma tabela com uma sequência que divirja para menos infinito e calcule as respectivas imagens. x 1/x -10-0, , , ,0001 d) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? Intuitivamente percebemos que as correspondentes imagens convergem para zero. Logo, dizemos que lim x 1 x = 0 e) Trace o gráfico da função e evidencie os limites os extremos do domínio.

101 99 Analisando o gráfico, bem como os dados da tabela podemos concluir que: lim 1 x = 0 lim 1 x = 0 x + x

102 100 2ª questão proposta: Consideremos a função f(x) = x 3 definida para todos os reais diferentes de zero. a) Elabore uma tabela com uma sequência que divirja para o infinito e calcule as respectivas imagens. x x b) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? Intuitivamente percebemos que as correspondentes imagens convergem para +. Logo, dizemos que lim x + x3 = +

103 101 c) Agora, elabore uma tabela com uma sequência que divirja para menos infinito e calcule as respectivas imagens. x x d) Intuitivamente, você consegue perceber uma convergência da imagem? Intuitivamente percebemos que as correspondentes imagens convergem para -. Logo, dizemos que lim x x3 = e) Trace o gráfico da função e evidencie os limites os extremos do domínio. Analisando o gráfico, bem como os dados da tabela podemos concluir que: lim x + x3 = + e lim x x3 =

104 102 Orientações, Sugestões e Respostas para Aplicação da Sequência Didática nº 9 Continuidade de uma função com auxílio dos 1ª questão proposta: softwares Winplot e Excel 2x 1 se x 3 Seja a função f(x) = { 3x 4 se x > 3 a) Determine lim f(x) e lim f(x) x 3 x 3 + Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir uma tabela, com valores de x se aproximando de 3 cada vez mais, pela esquerda. x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,

105 103 Agora, vamos calcular os valores de f(x). Como x<3, então f(x)=2x - 1. Para isso, basta posicionarmos o cursor na célula que queremos efetuar o cálculo e digitar na linha de fórmulas: = 2* (movimentar com o cursor para esquerda com a tecla ) e digitar -1 e depois copiar para as demais células da tabela. x f(x)=2x - 1 2,9 4,8 2,99 4,98 2,999 4,998 2,9999 4,9998 2, , Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a 5 e podemos dizer que: lim x 3 f(x) = 5 Agora, precisamos investigar o que acontece nas vizinhanças de 3, mas quando nos aproximamos de 3 pela direita.

106 104 Com auxílio da planilha eletrônica Excel, vamos construir uma tabela, com valores de x se aproximando de 3 cada vez mais, pela direita. x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3, Agora, vamos calcular os valores de f(x). Como x>3, então f(x)=3x-4. Para isso, basta posicionarmos o cursor na célula que queremos efetuar o cálculo e digitar na linha de fórmulas: = (movimentar com o cursor para esquerda com a tecla ) e digitar +2 e depois copiar para as demais células da tabela. x f(x)=3x-4 3,1 5,2 3,01 5,02 3,001 5,002 3,0001 5,0002 3, ,

107 105 Assim, percebemos intuitivamente, que quando x tende a 3 pela direita, f(x) tende a 5e podemos dizer que: lim f(x) = 5 x 3 + Como lim x 3 f(x) = 5 e lim f(x) = 5 verificamos que os x 3 + limites laterais são iguais, logo, existe limite global quando x tende a 3 e esse limite é igual a 5 b) Determine f(3) Se x=3, f(x) = 2x 1, logo f(3) = = 5 c) O que você pode dizer sobre a continuidade da função no ponto x=3? Como lim x 3 f(x) =, lim f(x) = f(3), podemos x 3 + dizer que a função é contínua no ponto de abscissa igual a 3. d) Trace o gráfico de f(x) e verifique graficamente sua resposta

108 106 Ao analisar o gráfico traçado, vimos que o programa apresenta uma falha na construção deste gráfico, pois visualmente poderíamos concluir que a função não é contínua para x=3. Por isso, é necessário que tenhamos um posicionamento questionador e reflexivo a respeito da resposta fornecida para que possamos assumi-la como uma verdade Matemática.

109 107 PARTE 3 TUTORIAIS Tutorial do software Winplot Breve recordação para confecção de planilhas de cálculos, utilizando o software Excel

110 108 Tutorial -Aprendendo os comandos do plotador de gráficos Winplot Objetivo: Apresentar os conceitos básicos para a utilização do software Winplot, bem como os recursos disponíveis necessários para o desenvolvimento das atividades didáticas propostas. 1- Onde conseguir o programa Winplot O programa está disponível na página oficial do Winplot: 2- Como instalar o programa Após baixar o programa wppr32z.exe, basta salválo em um diretório qualquer e a partir do gerenciador de arquivos, dar um duplo clique no

111 109 referido arquivo, começando o processo de descompactação do arquivo. O seguinte ícone será criado no diretório escolhido para a descompactação do arquivo: 3- Sintaxe das operações, constantes e algumas funções do Winplot Operação Ação Sintaxe Adição Adição entre os a+b valores a e b Subtração Subtração entre os a-b valores a e b Multiplicação Multiplicação entre a*b os valores a e b Divisão Divisão entre os a/b valores a e b Potência a elevado a b a^b Raiz quadrada Raiz quadrada de x sqrt(x) ou sqr(x) Raiz n-ésima Raiz enésima de x root(n,x)

112 110 Constantes Sintaxe π=3, pi e=2, e Outros Sintaxe Menos infinito (- ) ninf Mais infinito (+ ) pinf Fatorial de n n! Funções Sintaxe Modular abs(x) Logarítmica (base 10) log(x) Logarítmica (base b qualquer) log(b,x) Logarítmica (base e ) ln(x) Exponencial exp(x) Funções Trigonométricas Sintaxe Seno de x sin(x) Cosseno de x cos(x) Tangente de x tan(x) Cossecante de x csc(x) Secante de x sec(x) Cotangente de x cot(x) Para as funções trigonométricas inversas, basta acrescentar o prefixo arc arcsin(x) na sintaxe. Ex.: arco seno de x Para as funções hiperbólicas, basta acrescentar a letra h antes do sinh(x) argumento. Ex.: seno hiperbólico de x

113 111 Função definida por várias sentenças Sintaxe f(x) g(x) se x < a h(x) se a < x < b = i(x) se b < x < c { j(x) se x > d joinx(g a,h b,i c,j) O Winplot interpreta Lei 1 no intervalo x < a, lei 2 no intervalo a < x < b, e assim sucessivamente, até a última lei Lei n no intervalo formado pelos demais valores. Exemplo: 2 se x < 1 f(x) = { x 2 se 1 < x < 2 8 2x se x > 2 joinx(2-1,x^2 2,2-2*x)

114 112 Operações e funções não tão elementares maior inteiro menor que x menor inteiro maior que x fator de conversão de radianos para graus n-ésima potência de x n-iterado de f(x), f(f(f(...(f(x))...))) n vezes módulo do vetor (x,y) módulo do vetor (x,y,z) ângulo polar entre -pi e pi o valor máximo entre os elementos a, b,... o valor mínimo entre os elementos a, b,... sinal de x (-1, 0 ou 1) função erro padrão combinação de n r a r somatório de f(n,x) para n=1 to n=b produtório de f(n,x) para n=1 to n=b valor aleatório entre -x e x Sintaxe floor(x) ceil(x) deg = pi/180 pow(n,x) = power(n,x) iter(n,f(x)) abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y) abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z) arg(x,y) max(a,b,..) min(a,b,..) sgn(x) = x/abs(x) erf(x) binom(n,r) = n!/r!/(n-r)! sum(b,f(n,x)) prod(b,f(n,x)) rnd(x)

115 113 A sintaxe das funções pode ser encontrada em Equação e a seguir biblioteca. Maiúsculas e minúsculas não são diferenciadas. Colchetes, chaves e parênteses podem ser usados como símbolos de agrupamento. Espaços serão ignorados. Qualquer letra pode ser usada como uma variável numérica e receber um valor específico a qualquer hora. Por exemplo, axx + bx + c representa uma função quadrática padrão, cujos coeficientes podem ser modificados. Qualquer conjunto de letras e números serão tratados como um produto de constantes e variáveis, caso este não se encontre na biblioteca de nomes de função. A tradução inicia-se no final esquerdo de cada conjunto. Embora xpi seja lido como x*pi, o conjunto pix será interpretado como p*i*x. Pode-se adicionar novas funções à biblioteca.

116 Iniciando a utilização do Winplot Ao abrir o programa, uma janela de dicas aparecerá. Você pode optar em não receber estas dicas ao iniciar ou simplesmente fechar esta janela. Duas abas são apresentadas inicialmente, Janela e Ajuda. Ao clicar na aba Janela, nove opções serão mostradas: 2-dim 3-dim Adivinhar Mapeador Planetas Mostrar arquivos recentes Abrir última Usar padrão Sair Abrir uma nova janela para gráficos em duas dimensões Abrir uma nova janela para gráficos em três dimensões Uma espécie de jogo, onde o usuário deve tentar descobrir qual é a função, da qual, o gráfico faz parte. Basicamente funciona como uma transformação entre dois planos, onde são pedidas as funções u(x,u) e v(x,y). Oferece a possibilidade de criar órbitas planetárias para realizar cálculos de objetos no espaço Apresenta os últimos arquivos salvos Se esta opção estiver marcada, assim que o Winplot for aberto novamente ele automaticamente abrirá o último arquivo utilizado. Usar as configurações padronizadas do Winplot. Sair do programa Tecla de atalho: F2 Tecla de atalho: F3

117 115 Na aba ajuda, três opções estão disponíveis: a ajuda propriamente dita, algumas dicas e a opção sobre que mostra todas as informações do programa. 5- Traçando gráficos de funções de uma variável Para traçar gráfico de uma função de uma variável y=f(x), utiliza-se a opção Janela da barra do meu e em seguida a opção 2-dim na coluna de comandos, ou simplesmente apertando a tecla de atalho F2. Aparecerão oito menus, que serão aqui apresentadas. Optamos por detalhar somente as opções que utilizaremos em nosso trabalho, já que em todas os menus existe um comando de ajuda, que explica detalhadamente cada opção da aba. Os menus são: Arquivo Equação Ver Mouse Um Dois Anim Outros.

118 116 No menu ARQUIVOS, podemos contar com os seguintes comandos: Comando Abrir Novo Salvar Salvar como Imprimir Formatar Ação Abre um arquivo antigo que já tenha sido salvo antes. Abre um arquivo novo para trabalho. Grava o arquivo. Grava o arquivo num diretório específico. Imprime o gráfico. Posiciona a imagem a ser impressa na página.

119 117 Selecionar impressora Copiar Copiar bitmap Tamanho da imagem Exportação de gráficos Senha Autor Ajuda Permite mudar de impressora enquanto o programa está rodando. Copia a figura atual para ser colada em outro programa do Windows Copia a figura no formato bitmap. Tem qualidade Excelente, por consequência ao colar esta imagem em outro documento aumentará muito o tamanho do arquivo. Especifica a largura e a altura da imagem. Permite a exportação do gráfico em 5 formatos diferentes: EPS, SVG, PiCTeX, EMF e BMP Permite inserir uma senha para o arquivo, antes de salvá-lo. Esta opção está ativada se o autor do arquivo protegido incluiu informações e seus contatos. Exibe a ajuda desta aba

120 118 comandos: O menu EQUAÇÕES disponibiliza os seguintes Existem quatro formatos de entrada: Explícita, Paramétrica, Implícita e Polar. Em nossas atividades utilizaremos a opção explícita, que pode ser acionada facilmente pela tecla de atalho F1. Aparecerá a seguinte caixa de diálogo:

121 119 Após o preenchimento dos campos que forem necessários, finalizamos a tela com a opção OK. O gráfico será plotado e aparecerá, automaticamente, uma nova caixa de diálogo, chamada de inventário, que nos permitirá

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