UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DAVIDSON DE ALMEIDA SANTOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DAVIDSON DE ALMEIDA SANTOS ANÁLISE COMPARATIVA DAS HEURÍSTICAS DE UM SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO POR INTERMÉDIO DE PARÂMETROS DE PRODUTIVIDADE Aplicação em uma empresa distribuidora de bebidas NITERÓI 2007

2 DAVIDSON DE ALMEIDA SANTOS ANÁLISE COMPARATIVA DAS HEURÍSTICAS DE UM SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO POR INTERMÉDIO DE PARÂMETROS DE PRODUTIVIDADE Aplicação em uma empresa distribuidora de bebidas Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de Concentração: Apoio à Decisão Logística. Orientador: Prof. MARCO ANTÔNIO FARAH CALDAS, Ph. D. Niterói 2007

3 DAVIDSON DE ALMEIDA SANTOS ANÁLISE COMPARATIVA DAS HEURÍSTICAS DE UM SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO POR INTERMÉDIO DE PARÂMETROS DE PRODUTIVIDADE Aplicação em uma empresa distribuidora de bebidas Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Área de Concentração: Apoio à Decisão Logística. Aprovada em 21 de Agosto de 2007 BANCA EXAMINADORA Prof. Marco Antônio Farah Caldas, PhD. Universidade Federal Fluminense Prof. Luiz Fleury Wanderley Soares, Ph.D. Universidade Federal Fluminense Prof. Hostilio Xavier Ratton Neto, D.sc. Universidade Federal do Rio de Janeiro Niterói 2007

4 AGRADECIMENTOS A Deus que me concedeu, com as suas bênçãos intermitentes, a determinação na medida necessária para concluir esse trabalho. A Sheila que se constitui como o grande amor da minha e a pessoa que desde o começo do mestrado, rezou, apoiou e ofereceu-me todo o amor e carinho que eu precisava para concluir esse trabalho. Meu amor essa vitória também é sua e você faz e fará parte dessa e de muitas outras vitórias. Com certeza sem o seu amor os obstáculos tornar-se-iam intransponíveis. Meu amor te amo muito e dedico esse trabalho a você. A minha família, um dos pilares importantes em minha vida, que participou de uma forma ou de outra para a conclusão desse trabalho. Aos professores e funcionários do mestrado em engenharia de produção que contribuíram com esse trabalho. Ao Prof. Marco Caldas com suas orientações valiosas para o presente trabalho.

5 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Principais trabalhos na área de programação linear, f. 16 Figura 2 Representação gráfica dos tipos de grafos, f. 20 Figura 3 Representação gráfica do grau de vértice de um grafo, f. 23 Figura 4 Representação da rede formada em um grafo, f. 23 Figura 5 Representação gráfica do fecho transitivo direto de x, f. 25 Figura 6 Redução polinomial, f. 44 Figura 7 Provável configuração das classes, f. 46 Figura 8 Representação gráfica do método de Clark e Wright, f. 47 Figura 9 Representação gráfica do método r-opt da troca de nós na rota, f. 49 Figura 10 Heurística de Bellmore e Nemhauser passo a passo, f. 51 Figura 11 Exemplificação dos movimentos 2-opt e 3-opt, f. 55 Figura 12 Demonstração gráfica da troca de vértices para mais de uma rota, f. 56 Figura 13 Demonstração gráfica da inserção de vértices entre duas rotas, f. 57 Figura 14 Representação gráfica da heurística de Gillet e Miller, f. 59 Figura 15 Representação gráfica da heurística de Mole e Jameson, f. 63 Figura 16 Área de roteirização 8, f. 69 Figura 17 Área de roteirização 3, f. 69 Figura 18 Área de atendimento antiga (antes de 14/08/2006) da central de distribuição de Jacarepaguá, f. 70 Figura 19 Área de atendimento que passou a ser atendida pela central de distribuição de Campo Grande, f. 71 Figura 20 Área de atendimento que passou a ser atendida pela central de distribuição de São Cristóvão, f. 71 Figura 21 Área de atendimento atual da central de distribuição de Jacarepaguá, f. 72 Figura 22 Organograma da área de logística da central de distribuição de Jacarepaguá, f. 73 Figura 23 Representação gráfica do macro fluxo de operações, f. 75 Figura 24 Representação gráfica da primeira etapa do Fluxo Entrega Rota, f. 76 Figura 25 Representação gráfica da segunda etapa do Fluxo Entrega Rota, f. 77 Figura 26 Representação gráfica da terceira etapa do Fluxo Entrega Rota, f. 77

6 Figura 27 Representação gráfica da quarta etapa do Fluxo Entrega Rota, f. 78 Figura 28 Descrição das etapas principais do fluxo entrega rota, f. 78 Figura 29 Representação gráfica da primeira etapa do fluxo recebimento da puxada, f. 79 Figura 30 Representação gráfica da segunda etapa do fluxo recebimento da puxada, f. 79 Figura 31 Representação gráfica da primeira etapa do Fluxo do carregamento, f. 80 Figura 32 Representação gráfica da segunda etapa do Fluxo do carregamento, f. 80 Figura 33 Representação gráfica da primeira etapa do fluxo de retorno de rota, f. 81 Figura 34 Representação gráfica da segunda etapa do fluxo de retorno de rota, f. 81 Figura 35 Descrição do fluxo de roteirização, f. 82 Figura 36 Ambiente de roteirização, f. 83 Figura 37 Formação dos cenários simulados de roteirização, f. 96 Figura 38 Fluxo relacionando as alternativas de roteamento em relação as suas características básicas de resolução, f. 98

7 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Tabela de tamanho do problema em relação ao tempo estimado para a resolução, f. 40 Tabela 2 Função complexidade tempo de algoritmos de tempo polinomial e exponencial, relacionado ao tamanho da instância do problema, f. 42 Tabela 3 Perfil de veículos utilizados pela central de distribuição de Jacarepaguá, f. 85 Tabela 4 Resultados do cenário (1) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume alto e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 99 Tabela 5 Resultados do cenário (1) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume alto e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 99 Tabela 6 Resultados do cenário (2) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume médio e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 100 Tabela 7 Resultados do cenário (2) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume médio e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 101 Tabela 8 Resultados do cenário (3) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume baixo e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 102 Tabela 9 Resultados do cenário (3) para pontos concentrados e próximos um dos outros no volume baixo e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 102 Tabela 10 Resultados do cenário (4) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume alto e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 103 Tabela 11 Resultados do cenário (4) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume alto e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 103

8 Tabela 12 Resultados do cenário (5) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume médio e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 104 Tabela 13 Resultados do cenário (5) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume médio e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 104 Tabela 14 Resultados do cenário (6) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume baixo e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 105 Tabela 15 Resultados do cenário (6) para pontos concentrados e afastados um dos outros no volume baixo e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 105 Tabela 16 Resultados do cenário (7) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume alto e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 106 Tabela 17 Resultados do cenário (7) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume alto e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 107 Tabela 18 Resultados do cenário (8) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume médio e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 107 Tabela 19 Resultados do cenário (8) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume médio e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 108 Tabela 20 Resultados do cenário (9) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume baixo e com parâmetros obtidos da média dos dados reais consolidados, f. 108 Tabela 21 Resultados do cenário (9) para pontos concentrados ao redor do CDD no volume baixo e com parâmetros obtidos do maior valor dos dados reais consolidados, f. 109

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO, p OBJETIVO DO ESTUDO, p METODOLOGIA, p.17 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA, p CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM TEORIA DOS GRAFOS, p REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM GRAFO, p GRAUS DE UM VÉRTICE, p DEFINIÇÃO DE REDE, p OUTROS CONCEITOS BÁSICOS, p Vizinhança entre vértices, p Sucessores e Antecessores de um vértice, p Fechos transitivos, p O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV), p PROBLEMAS CLÁSSICOS DE ROTEAMENTO, p CRITÉRIOS PARA A CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV), p CLASSIFICAÇÃO DOS PRINCIPAIS PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS, p O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) BÁSICO E SUAS EXTENSÕES, p DESCRIÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DO PROBLEMA DE ROTEAMENTO AMPLIADO, p Em relação à estrutura da rede, p Em relação aos veículos, p Em relação aos pedidos, p Em relação às variáveis de otimização, p Função objetivo, p Restrições de exclusividade, p Limitação no número de veículos, p Restrições de capacidade, p. 39

10 2.12 COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL, p CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE DECISÃO, p ALTERNATIVAS DE ROTEIRIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV), p Métodos heurísticos, p Heurística de Bellmore e Nemhauser, p Heurística de Clark e Wright (CW), p Procedimentos de melhoria, p Heurística de Gillet e Miller (Primeiro-agrupa e segundo-roteiriza), p Método de primeiro-roteiriza e segundo-clusteriza, p Algoritmo de Fisher e Jaikumar (1981), p Heurística de Mole e Jameson, p Heurística construtiva de Solomon (1987), p ESTUDO DE CASO, p VISÃO NO ÂMBITO BRASIL DA EMPRESA DISTRIBUIDORA DE BEBIDAS, p ESTRUTURA FUNCIONAL DAS UNIDADES PERTENCENTES À GEOGRAFIA RIO DE JANEIRO DA EMPRESA DISTRIBUIDORA DE BEBIDAS, p ÁREA DE ATENDIMENTO DA CENTRAL DE DISTRIBUIÇÃO DE JACAREPAGUÁ, p INFRA-ESTRUTURA ORGANIZACIONAL E LOGÍSTICA DA CENTRAL DE DISTRIBUIÇÃO DE JACAREPAGUÁ, p MACRO FLUXO DE OPERAÇÕES, p Fluxo entrega rota, p Fluxo Recebimento de Puxada, p Fluxo do Carregamento, p Fluxo retorno de rota, p Fluxo de roteirização, p SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO, p Ambiente de roteirização, p Gerenciador de dados, p Cadastro de produtos, p Cadastro de veículos da empresa, p Cadastro de motoristas e ajudantes, p. 85

11 Perfil dos veículos cadastrados, p Parâmetros, p Regras de roteirização, p Roteirização dos pedidos, p ASPECTOS QUE PRECEDEM AS ANÁLISES COMPARATIVAS DAS ALTERNATIVAS DE ROTEAMENTO PRESENTES NO SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO, p ANÁLISES COMPARATIVAS DAS ALTERNATIVAS DE ROTEAMENTO PRESENTES NO SOFTWARE DE ROTEIRIZAÇÃO, p PONTOS CONCENTRADOS E PRÓXIMOS UM DOS OUTROS, p Cenário (1): Pontos concentrados e próximos um dos outros Volume alto, p Cenário (2): Pontos concentrados e próximos um dos outros Volume médio, p Cenário (3): Pontos concentrados e próximos um dos outros Volume baixo, p PONTOS CONCENTRADOS E AFASTADOS UM DOS OUTROS, p Cenário (4): Pontos concentrados e afastados um dos outros Volume alto, p Cenário (5): Pontos concentrados e afastados um dos outros Volume médio, p Cenário (6): Pontos concentrados e afastados um dos outros Volume baixo, p PONTOS CONCENTRADOS AO REDOR DO CDD, p Cenário (7): Pontos concentrados ao redor do CDD Volume alto, p Cenário (8): Pontos concentrados e ao redor do CDD Volume médio, p Cenário (9): Pontos concentrados ao redor da central de distribuição Volume baixo, p ANÁLISES COMPLEMENTARES EM RELAÇÃO ÀS ALTERNATIVAS DE ROTEIRIZAÇÃO, p CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES, p REFERÊNCIAS, p. 114 ANEXOS, p. 117

12 RESUMO O roteamento de veículos em áreas urbanas coloca-se como um dos principais problemas da área de logística. Esse alto nível de complexidade deve-se a multiplicidade de restrições que devem ser consideradas para este tipo de problema e ao impacto gerado em custos no momento em que o roteamento de veículos mostra-se pouco eficiente. Esse estudo desenvolve uma análise comparativa em relação às alternativas de roteirização presentes em um software de roteirização de uma empresa distribuidora de bebidas. O estudo tem como objetivo contribuir com análises que permitirão uma melhor compreensão do problema de roteamento em áreas urbanas e verificar em que cenários as alternativas de roteirização adaptam-se melhor. Palavras-chave: Software de roteirização. Alternativas de roteirização. Problema de roteamento. Heurísticas.

13 ABSTRACT The routing of vehicles in urban areas poses as a major problem in the area of logistics. This high level of complexity due to the multiplicity of restrictions to be considered for this kind of problem and the impact on costs generated at the time the routing of vehicles it is inefficient. This study develops a comparative analysis of the routing alternatives in a routing software of the company in a distributor of beverages. The study aims to contribute to analysis for better understanding of the problem of routing in urban areas and see where the scenarios routing alternative adapt itself better. Keywords: Software of Routing. Routing Alternatives. Routing Problem. Heuristical.

14 1 INTRODUÇÃO Segundo Eilon (1971) logística pode ser definida como a provisão de bens e serviços de um ponto de oferta para um ponto de demanda. Um sistema logístico completo congrega a movimentação da matéria-prima de fornecedores para a fábrica, a conversão desses insumos em produtos, a movimentação desses produtos para fábricas e armazéns e a entrega desses produtos ao consumidor final. Segundo Ballou (1993) a logística associa estudo e administração dos fluxos de bens e serviços e da informação que os põe em movimento. Caso fosse viável produzir todos os bens e serviços nas áreas onde estes serão consumidos ou se as pessoas vivessem onde os produtos são fabricados, a logística não seria tão importante. No entanto, isso não ocorre devido à tendência que as regiões têm em especializar-se na produção de determinado bem ou serviço. Essa tendência encontra-se diretamente relacionada às características naturais e econômicas que a região apresenta, fazendo com que esta venha a se especializar na produção do produto que lhe permitir obter uma maior vantagem econômica. Com isso a missão do profissional de logística é colocar as mercadorias ou os serviços no lugar, no instante correto e na condição desejada ao menor custo. As atividades de distribuição de empresa compreendem toda a movimentação e estocagem de bens. Segundo Christofides (1981) a última etapa nessa movimentação (da central de distribuição para os consumidores), constitui-se como o elo mais caro da cadeia de distribuição. Para Bodin (1983) o sucesso na realização dessa etapa depende do desenvolvimento racional do planejamento e execução da atividade de transporte. A relevância dos problemas de distribuição está relacionada à magnitude dos custos associados a essa atividade. Conseqüentemente torna-se evidente a relevância dos problemas de distribuição e, por conseguinte as questões referentes ao sistema de roteamento e programação de veículos, já que estas se constituem como os fatores que determinarão o quão

15 15 eficiente será a distribuição de determinado produto. O sistema de roteamento é definido como um conjunto organizado de meios que objetiva o atendimento de demandas localizadas nos arcos e/ou nos vértices de alguma rede de transportes. No caso de roteamento de veículos, o objetivo mais comum é utilizar-se de uma frota de veículos para atender a um conjunto de pedidos de entrega, cujas demandas estão localizadas nos nós da rede denominados destino. Para atender a esses pedidos, um conjunto de restrições deve ser respeitado. Essas restrições podem ser as mais diversas, como: capacidade limitada dos veículos; capacidade limitada dos arcos ou dos nós; tamanho da frota; quantidade de nós; tempo de entrega; etc. Na literatura, há inúmeros trabalhos publicados, os quais abordam os mais diversos temas, desde modelos simples (com frota homogênea, produtos de único tipo e sem janela de tempo) a modelos bem mais complexos (com frota não-homogênea, produtos de diferentes tipos, janela de tempo para a entrega da encomenda, com roteamento dinâmico, etc). Em 1987, por exemplo, a abordagem feita por Kolen, Kan e Trienekens em Problemas de Roteamento de Veículos (PRV), considerou o problema com janela de tempo (time Windows), uma frota fixa de veículos, com capacidade limitada e disponível em um único depósito. O objetivo era atender a um conjunto de clientes com uma dada demanda, que deveriam ser visitados dentro de um período específico de tempo. Em 1993, Taillard observou que PRV s eram, na maioria das vezes, problemas de alta complexidade. Neste trabalho, o autor considerou o problema PRV formulado para veículos idênticos (quantidade não definida), possuindo capacidade de carga fixa, com as cargas concentradas em um único depósito. Posteriormente, Taillard considerou o mesmo problema formulado com restrição de janela de tempo. Em 1998, Savelsbergh e Sol apresentaram um software para planejamento de transporte a ser incorporado em um sistema de suporte de decisão para uma grande companhia de transporte rodoviário na região de Benelux (Bélgica, Holanda e Luxemburgo), com cerca de 1400 veículos, transportando 160 mil encomendas para centenas de consumidores, para dezenas de centenas de endereços. O serviço dessa companhia era grosseiramente dividido em duas partes: o sistema de transporte regular e o sistema de transporte direto. As inúmeras pesquisas sobre a roteirização de veículos colocam essa área de estudo como um dos maiores sucessos da pesquisa operacional nas últimas décadas. Isso se deve a atuação conjunta entre teoria e prática. Por um lado a pesquisa operacional tem desenvolvido

16 16 cada vez mais algoritmos que tem um importante papel na implementação de sistemas de roteirização. Por um lado tem-se o desenvolvimento crescente de software e hardware que permitem a execução dos algoritmos estruturados pela área de pesquisa operacional. Este fato também é comprovado pelos inúmeros artigos que vêm sendo publicados ao longo dos anos na literatura especializada. O precursor desse estudo foi o problema de roteirização do caixeiro viajante (no inglês traveling salesman problem ou TSP) Melamed (1990) e Campello e Maculan (1994), que tem como objetivo precípuo estabelecer o roteiro ou seqüência de cidades a serem visitadas por um caixeiro viajante, minimizando a distância total percorrida e assegure que cada cidade seja visitada exatamente uma vez. Abaixo é apresentada a cronologia dos eventos que permitiram o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes para a resolução dos Problemas de Roteamento de Veículos (PRV). Devendo-se destacar que os recentes avanços nessa área foram propiciados em virtude dos grandes avanços verificados na área de computação, ou seja, com computadores mais eficientes e, por conseguinte capacidade de cálculo elevado os algoritmos mais específicos e complexos foram desenvolvidos em sua plenitude. Figura 1 Principais trabalhos na área de programação linear. Fonte: Goldbarg e Luna (2005).

17 17 Com o crescente avanço nos estudos que envolvem o desenvolvimento de métodos de resolução mais eficientes para o Problema de Roteamento de Veículos (PRV) faz-se necessário, para que a implementação dos algoritmos ocorra de forma eficiente, uma compreensão maior dos cenários de roteirização em que esses métodos serão implementados. O processo de adequação entre método e cenário de roteirização é de fundamental importância, pois irá exercer um impacto considerável na qualidade do resultado obtido com a roteirização. Além disso, o tempo de roteirização será reduzido consideravelmente permitindo com que os processos subseqüentes a este sejam realizados com eficiência. Com base nos elementos destacados anteriormente serão definidos a seguir os objetivos delineados para o presente trabalho. 1.1 OBJETIVO DO ESTUDO O presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de análises comparativas entre as alternativas de roteamento nos cenários de roteirização simulados para o presente trabalho. Permitindo com isso estabelecimento da alternativa de roteamento que melhor se adapta a determinado cenário de roteirização. 1.2 METODOLOGIA O presente trabalho será dividido nos seguintes capítulos: Capítulo 1: visão geral do problema de roteirização, o avanço nos métodos de resolução e como o trabalho foi estruturado; Capítulo 2: revisão bibliográfica contendo o embasamento teórico que servirá de base para analisar as alternativas de roteirização relacionadas neste trabalho. Esse embasamento teórico é estruturado sob os seguintes alicerces: teoria dos grafos, visão ampla do problema de roteamento de veículos, complexidade do problema de roteamento de veículos e métodos de resolução; Capítulo 3: visão ampla da empresa que será utilizada como base para análise dos cenários de roteirização e do software de roteamento que essa empresa utiliza;

18 18 Capítulo 4: exposição das etapas que permitiram a estruturação das análises comparativas entre as alternativas de roteirização desenvolvidas nesse trabalho; e Conclusões e recomendações: algumas conclusões extraídas das análises desenvolvidas no trabalho e recomendações para estudos futuros.

19 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Este capítulo contemplará toda a fundamentação teórica utilizada como base para formação de análises em relação ao estudo de caso proposto para o presente trabalho. Mediante a isso serão abordadas questões referentes a grafos, definição e modelagem do problema de roteamento de veículos, métodos de resolução empregados para resolvê-lo e a complexidade computacional inerente ao Problema de Roteamento de Veículos (PRV). 2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM TEORIA DOS GRAFOS Segundo Goldbarg e Luna (2005) o grafo pode ser definido como sendo uma representação gráfica de interdependência entre elementos que são representados por nós. Elementos que atendem à relação imaginada são simbolicamente unidos através de um traço denominado aresta. O modelo possui uma interpretação gráfica muito confortável. Contudo tal desenho não tem o poder, em várias situações reais, de formalizar completa e satisfatoriamente a estrutura imaginada. De forma geral grafo é uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados nós e suas relações de interdependência ou arestas. Mediante a isso o grafo pode ser definido e representado matematicamente conforme exposição abaixo. Definição de Grafo: segundo Goldbarg e Luna (2005) grafo é definido como uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados nós e suas relações de interdependências ou arestas.

20 20 Representação Matemática: denominando X o conjunto de vértices da estrutura e A o conjunto das arestas ou ligações o grafo pode ser representado por: G = (X, A), onde: X = conjunto de nós X = {x 1, x 2,..., x n } A = conjunto de arcos A = {a 1, a 2,..., a m } Quanto às linhas, o gráfico pode ser direcionado, ou seja, as linhas possuem uma direção; não-direcionado, quando suas linhas não possuem uma direção ou misto com linhas direcionadas e não-direcionadas. As figuras a seguir ilustram os tipos de grafos: Grafo direcionado Grafo não-direcionado Grafo misto Figura 2 Representação gráfica dos tipos de grafos.

21 21 Para uma melhor compreensão dos aspectos concernentes a grafos devem-se considerar os seguintes elementos: Caminho (direcionado): qualquer seqüência de arcos onde o vértice final de um é o vértice inicial de outro; Caminho simples: um arco não figura mais de uma vez; Caminho elementar: o vértice não figura mais de uma vez; Cadeia (não direcionado): qualquer seqüência de arestas na qual cada aresta é conectada com suas arestas adjacentes através dos seus dois vértices terminais; Grafo conexo: se existir entre quaisquer pares de nós do grafo G pelo menos uma cadeia; Custo (ou peso ou comprimento) de um caminho: se a cada arco for associado um custo; Circuito: é um caminho no qual o vértice inicial coincide com o inicial; Circuito elementar: um vértice só aparece uma vez (exceto o final e o inicial que são os mesmos); Circuito Hamiltoniano: é um circuito elementar que contém todos os n vértices do grafo G; Ciclo: é uma parte não direcionada do circuito; Grafo ponderado: um grafo G = (N, M) é ponderado se existem valores numéricos associados a suas arestas ou nós; Grafo rotulado: um grafo G = (N, M) é rotulado se existem atribuições associadas a seus nós (tanto numéricas como alfabéticas); Multigrafo: um grafo G = (N, M) é um multigrafo se existem mais de uma aresta ligando o mesmo par de vértices; Grafo bipartido: quando seu conjunto de nós, N, pode ser dividido em dois conjuntos N 1 e N 2 tais que N 1 N 2 = 0 e N 1 N 2 = N e somente existem arestas em G ligando algum nó de N 1 com algum nó de N 2 e vice-versa; Ciclo Euleriano: Um ciclo que passa por todas as arestas; e Ciclo Hamiltoniano: Um circuito que passa por todos os nós de G.

22 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM GRAFO O grafo pode ser representado matricialmente da seguinte forma: Matriz de Adjacência: Para um grafo G (X, A), sua matriz de adjacência, denotada por A= [a ij ] é definida como: a ij = {1, se o arco (X i, X j ) em G / 0, se o arco (X i, X j ) em G} Matriz de incidência: Para um grafo G (X, A), sua matriz de adjacência, denotada por B=[b ij ] é uma matriz n x m, onde m é o número de arcos, definida como: b ij = {1, se x i é o vértice inicial de a j / -1, se se x i é o vértice final de a j / 0, se x i não é um vértice terminal de a j ou se a é um laço}. Se G (X, A) for um grafo não direcionado, a matriz de incidência é definida como acima, exceto trocando os -1 por GRAUS DE UM VÉRTICE O grau de entrada é representado pelo número de arcos que x i tem como seu vértice final, já o número de arcos que x i tem em seu vértice inicial representa o seu grau de saída. Segundo Goldbarg e Luna (2005) alguns autores fazem distinção entre o conceito de grau para grafos orientados e não orientados. No caso dos grafos orientados o grau pode ser decomposto em duas parcelas: o grau interno ou o número de arcos chegando ao nó, e o grau externo, ou o número de arcos partindo do nó. Essas parcelas do grau do nó são denominadas semigrau. No caso dos grafos direcionados a soma do semigrau interior d(i) + e exterior d(i) -, conduz ao valor final do grau do nó. A expressão para obtenção do grau em grafos orientados é: d(i) = d(i) - + d(i) + O grau do vértice 4 é: d(4) = d(4) - + d(4) + = = 4

23 Figura 3 Representação gráfica do grau de vértice de um grafo. 2.4 DEFINIÇÃO DE REDE Define-se rede como sendo um grafo direcionado atravessado por um fluxo que circula em suas arestas. Na maioria das situações em uma rede temos dois nós que ganham um maior destaque, a saber: o nó fonte e o nó sumidouro. Deve-se destacar que os arcos da rede podem ser limitados em capacidade em relação ao fluxo. Além disso, esses mesmos arcos podem impor custos à circulação do fluxo. De uma maneira geral uma rede poderia ser representada conforme figura abaixo: Nós intermediários Nó fonte Nó semidouro Figura 4 Representação da rede formada em um grafo.

24 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS Um dos aspectos fundamentais em grafos refere-se a ligação entre vértices. Diante disso é essencial estabelecer vínculos ou ligações através das denominadas arestas ou arcos. Para a compreensão da vizinhança entre os nós e arestas deve diferenciar-se o caso para o grafo direcionado e não-direcionado Vizinhança entre vértices Dizemos que dois vértices X i e X j são vizinhos ou adjacentes quando existe uma aresta que liga X i a X j ou vice-versa Sucessores e Antecessores de um vértice X i a X j. Dizemos que um vértice X j é sucessor de Xi se existe pelo menos um arco ligando Fechos transitivos Denomina-se por fecho transitivo direto do vértice x Î + (x) (x), ao conjunto de vértices que podem ser alcançados, a partir de x, através de sucessivas relações de vizinhança. A figura a seguir descreve as possíveis relações de vizinhança entre os nós de um grafo. Devendo-se destacar que as relações de vizinhança podem ocorrer em diferentes níveis, ou seja, a relação não ocorre necessariamente entre dois nós que estão ligados diretamente, podendo ocorrer entre um nó e outro que se encontra mais afastado deste.

25 Figura 5 Representação gráfica do fecho transitivo direto de x Analisando o grafo acima se podem constatar as seguintes relações: em relação ao nó 1 este em um primeiro nível encontra-se relacionado aos nós 3 e 4; o nó 1 em um segundo nível encontra-se relacionado aos nós 7, 8, 9 e 10; o nó 6 encontra-se relacionado aos nós 1, 2, 3, 4, 5, 11, 12 e 13; o nó 3 encontra-se relacionado aos nós 1, 2, 5, 4, 7 e O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) O termo roteamento de veículos constitui-se como o processo para a determinação de um ou mais roteiros ou seqüências de paradas a serem cumpridos por veículos de uma frota, objetivando visitar um conjunto de pontos geograficamente dispersos, em locais prédeterminados, que necessitam de atendimento. Além deste deve-se destacar o termo roteirização de veículos que também é utilizado alternativamente por alguns autores. Segundo Laporte (2000) o problema de roteirização de veículos consiste em definir roteiros de veículos que minimizem o custo total de atendimento, sendo que cada um dos quais deve iniciar e terminar no depósito ou base dos veículos, assegurando que cada ponto

26 26 seja visitado exatamente uma vez e a demanda em qualquer rota não exceda a capacidade do veículo que a atende. Em contrapartida segundo Cunha (1997) o Problema de Roteamento de Veículos (PRV) envolve não só aspectos espaciais ou geográficos, mas também temporais, tais como restrições de horários de atendimento nos pontos a serem visitados, os problemas são então denominados roteirização e programação de veículos. Para Christofides (1985) o problema de distribuição/roteamento de veículos é considerado como sendo aquele em que os veículos, localizados em um depósito central são requisitados para visitar durante um dado período de tempo clientes geograficamente dispersos, para cumprir suas exigências. Este tipo de problema encontra-se presente em inúmeras situações através das quais se têm as necessidades de distribuir determinada(s) mercadoria(s). Para alguns autores o Problema de Roteamento de Veículos (PRV) é conhecido como Programação de Veículos (CLARK & WRIGHT, 1964; GASKEL, 1967), Despacho de caminhões - Trucks Dispatching - (DANTZIG & RAMSER, 1959; CHRISTOFIDES & EILON, 1964; KROLAK, 1972). Coexiste uma série de variações do Problema de Roteamento de Veículos, nas quais as operações podem ser de coletas e/ou entregas e o nível de serviço e os veículos podem assumir muitas variedades. O roteamento de veículos constitui-se como um problema de otimização combinatória, que tem como pressuposto básico arranjar o conjunto ótimo de rotas para determinada frota de veículos de modo a servir um conjunto de clientes. Essa complexidade matemática dos problemas de roteirização, assim como a sua relevância no contexto logístico atual, justifica o constante interesse na busca de novas estratégias de solução. A importância dessa classe de problemas está correlacionada à dificuldade de resolução e sua considerável relevância prática. Uma alternativa para a resolução desses problemas é a utilização de métodos heurísticos que visam encontrar uma solução em tempo computacional aceitável. Com relação à relevância prática esta se deve a importância deste problema para empresas de bens e serviços que objetivam distribuir um ou alguns produtos para satisfazer uma determinada demanda que pode ser determinística (demanda conhecida) ou probabilística (demanda desconhecida). O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) é considerado de natureza combinatória devido ao espaço de soluções ser construído através de um agrupamento, arranjo, seleção ou ordenação de objetos, normalmente finitos.

27 PROBLEMAS CLÁSSICOS DE ROTEAMENTO Os principais problemas de roteamento de veículos, segundo BODIN (1983), são: Problema do Caixeiro Viajante (PCV): tem-se como objetivo a elaboração de rotas de mínimo custo que permitam ao caixeiro viajante visitar os nós (clientes) de uma rede; Problema do Carteiro Chinês (PCC): deve-se determinar um ciclo de custo mínimo que permita ao carteiro passar ao menor uma vez por todos os arcos; Problema dos Múltiplos Caixeiros Viajantes (PCVM): Vários caixeiros devem visitar todos os nós da rede; Problema de Roteamento de Nós com um Único Depósito e múltiplos Veículos (PRDMV): Coexistem vários tipos de veículos, onde cada um desses deve atender uma determinada área. Para isso será elaborada a rota com o menor custo e que atenda a todos os clientes de uma determinada área; Problema de Roteamento de Nós com Múltiplos Depósitos e múltiplos Veículos (PRMDMV): Para esta situação existem vários depósitos e vários perfis de veículos, ou seja, deve-se elaborar a rota com o menor custo e que atenda a todos os clientes e retorne ao depósito pré-estabelecido para seu retorno; Problema de Roteamento de Nós com Depósito Único, múltiplos Veículos e Demanda Estocástica nos Vértices (PRDMVE): Para este caso temos vários veículos e a demanda é estática, ou seja, a demanda é conhecida e, por conseguinte teremos o número exato de veículo para atender a esta demanda; e Problema do Carteiro Chinês Capacitado (PCCC): tem como objetivo definir rotas para um conjunto de carteiros a fim de atender à demanda despertada no grafo G = (V, E). Neste caso as restrições asseguram que o atendimento dos carteiros é considerado em apenas uma das suas passadas pelo arco. O carteiro deve atender os arcos que lhe forem designados a atender. Outras restrições devem garantir que o atendimento dos diversos carteiros não ultrapasse sua capacidade.

28 CRITÉRIOS PARA A CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) O output de qualquer sistema de roteirização e programação é basicamente estabelecer para cada motorista e veículo uma rota e uma programação de entrega associada à mesma. Neste caso a rota estabelece a seqüência de entregas a serem realizadas e a programação determinada os horários em que ocorrerão as atividades de entrega e/ou coleta na área de atendimento especificada. Uma das classificações clássicas é a proposta por Bodin e Golden (1981). Segundo esses autores o Problema de Roteamento de Veículos pode ser classificado segundo os seguintes critérios: Tempo para servir um determinado nó ou arco: Tempo especificado e prefixado. Janela de tempo (Time Window). Número de domicílios: Um domicílio. Mais de um domicílio. Tamanho da frota de veículos: Um veículo. Mais de um veículo. Localização dos veículos: Em um único depósito. Em vários depósitos. Tipo de frota disponível: Homogênea. Heterogênea. Natureza da demanda e parâmetros: Determinística. Estocástica. Localização da demanda: Nos vértices. Nos arcos. Arcos e nós.

29 29 Restrições junto aos clientes: Necessidade ou não de atender toda a demanda. Existência de clientes com prioridade. Existência de janelas de tempo. Tempo máximo permitido para carga/descarga. Necessidade ou restrição de serviço em algum dia específico da semana. Grafo de substrato: Direcionado. Não direcionado. Misto. Restrições dos veículos: Com relação à autonomia de cada veículo. Com relação ao tipo de carga. Com relação à operação de carga e descarga. Restrições aos veículos: Limite de peso do veículo. Limite de altura, largura e comprimento do veículo. Restrições de carga e descarga. Número de rotas permitido por veículo. Restrições na capacidade de veículos: Todos sujeitos as mesmas restrições. Restrições diferentes. Jornada de trabalho: Duração. Horário de almoço e outras interrupções. Permissão para viagens com mais de um dia de duração. Tempo de roteamento: O mesmo para todos os veículos. Tempos diversos. Sem restrições de tempo. Estrutura de custos: Variáveis (associados à rota escolhida). Fixos.

30 30 Pagamento dos tripulantes: Por jornada de trabalho. Por produtividade. Jornada e horas extras. Operação: De entrega. De recolhimento. Ambas. Coleta (ou entrega) com carga de retorno. Tipo de carga: Única. Múltiplas cargas. Necessidade de veículo especial para efetuar o transporte. Objetivo: Minimizar custos variáveis. Minimizar custos fixos. Minimizar soma de custos fixos e variáveis. Minimizar duração das rotas. Minimizar o número de veículos necessários. Maximizar função de utilidade baseada no nível de serviço e/ou satisfação e/ou prioridades dos clientes. Balanceamento de rotas. Minimizar o uso de frota fretada. Restrições na capacidade dos arcos: Imposta a todos os arcos. Impostas a um subconjunto de arcos. Sem restrições. Número de tripulantes por veículo Outras: Necessidade de balanceamento da rota. Existência de pontos de parada (descanso). Proibição de contornos à esquerda por questões de segurança.

31 31 Assad (1988) menciona que a maior dificuldade para encontrar um esquema de classificação adequado para problemas de roteirização deve-se a necessidade em se definir a base que será utilizada para a classificação, ou seja, os requisitos do problema ou a técnica de solução proposta. Outra possível classificação está baseada no tempo em que as informações de demanda estão disponíveis. Nos problemas tradicionais supõe-se que a demanda é conhecida (determinística), contrapondo-se a roteirização dinâmica na qual a demanda é estocástica, ocorre em tempo real e é inserida no roteamento em andamento. 2.9 CLASSIFICAÇÃO DOS PRINCIPAIS PROBLEMAS DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS categorias: Os problemas de roteamento de veículos podem ser subdivididos nas seguintes Problemas de Roteamento de Veículos sem restrição de janela de tempo: para esta categoria não temos restrições temporais por parte dos clientes (ou seja, não há nenhum horário pré-estabelecido para início e término de atendimento), não existem relações de precedência entre os clientes (neste caso nenhum cliente precisa ser atendido especificamente antes ou depois de algum determinado cliente). Neste tipo de problema o objetivo é construir um conjunto de rotas viáveis e de menor custo. Problemas de Programação de Veículos: quando a definição das rotas deve levar em consideração os horários pré-estabelecidos para cada atividade a ser executada (horário limite para chegada e saída dos pontos de demanda, ou também o instante programado para outras tarefas como, por exemplo, horário de saída do depósito, parada para reabastecimento, etc). Sendo assim o processo de elaboração das rotas levam em consideração, além dos aspectos espaciais dos problemas, também os aspectos temporais. Problemas Combinados de Roteamento e Programação de Veículos: quando existe algum tipo de restrição de precedência e/ou janela de tempo. As relações de precedência ocorrem quando a entrega de uma mercadoria deve ser precedida pela sua coleta. Janelas de tempo são restrições horárias normalmente associadas ao

32 32 intervalo desejado para que um dado serviço seja executado num cliente. Podendo existir outros tipos de janela de tempo, como, por exemplo, o intervalo de tempo que um veículo fica disponível, ou o intervalo de tempo em que o depósito (ou depósitos) fica disponível aos veículos. Em problemas combinados tanto os aspectos espaciais quanto temporais são levados em consideração. Segundo Bodin e Golden (1981) os problemas que ocorrem na prática normalmente estão nessa categoria. O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) capacitado com demanda igual: para este modelo considera-se o volume demandado como sendo igual entre os pontos de demanda. Devendo-se destacar que os pontos de demanda são atendidos conforme a capacidade de carregamento dos veículos, ou seja, a soma de todos os pontos de demanda que estão sendo atendidos por um veículo deve ser inferior a sua capacidade de carregamento. O Problema de Roteamento de Veículos (PRV) capacitado com demanda desigual: para este modelo considera-se que o volume demandado é desigual entre os pontos de demandados. Conforme o modelo exposto anteriormente este também apresenta restrição na capacidade dos veículos. Problema de Roteamento de Veículos capacitado com restrição de janela de tempo: para este modelo tem-se a restrição de capacidade dos veículos e janelas de atendimento específicas para alguns consumidores. Para todos os modelos expostos anteriormente o objetivo básico é a construção de rotas que minimizem a distância percorrida, o tempo para a execução da operação de entrega e o custo geral da rota para atender aos pontos de demanda O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) BÁSICO E SUAS EXTENSÕES O problema básico de roteirização desconsidera uma série de restrições freqüentemente encontradas em problemas ou situações reais. Algumas dessas restrições são listadas a seguir:

33 33 Cada veículo pode estar presente em mais de uma rota, considerando que o tempo total gasto de viagem deve ser inferior a um tempo T pré-determinado para aqueles veículos; Os clientes devem ser visitados durante seu horário de funcionamento (Janela de Horário ou tempo); O problema pode envolver tanto entregas quanto coletas. Podendo-se misturar entregas e coletas em uma única rota ou pode ser estabelecido que o veículo deva realizar primeiro todas as suas entregas e depois todas as coletas; Não são só os clientes que apresentam janela de horário, os motoristas, enfim, a equipe que trabalha nos veículos pode ter que cumprir uma janela de tempo de trabalho restrito; e O tempo de entrega pode ser subdividido nos seguintes tempos: tempo de descarga (descarregar o produto do veículo), tempo de viagem, tempo de carregamento do veículo no depósito e tempo de espera (aguardando o cliente por algum motivo, como por exemplo, pagar pela mercadoria entregue). Adicionalmente as restrições destacadas anteriormente existem algumas outras considerações práticas que também ocorrem com certa freqüência, que não se ajustam adequadamente ao Problema de Roteamento Básico (PRV). Devendo-se considerar que as restrições consideradas no parágrafo anterior não alteram as características intrínsecas do PRV básico, já as que são consideradas posteriormente não se ajustam ao PRV básico. Algumas delas são: Múltiplos depósitos: algumas empresas operam com mais de um depósito, ou seja, um veículo pode sair de um depósito entregar e/ou coletar os produtos em todos os clientes e retornar para outro depósito. Neste caso os depósitos não podem ser considerados isoladamente. No momento em que o depósito tem sua própria frota e área geográfica de atendimento, deve-se simplificar o problema de roteamento em vários problemas similares de roteirização. Nível de Serviço: pode existir uma série de fatores para atender as exigências do consumidor, dentre eles: prazo de entrega curto (Janela de Horário de atendimento específica para cada cliente), comportamento da equipe de entrega em relação aos clientes, em que medida as solicitações do cliente são atendidas (dentro de quanto

34 34 tempo as solicitações são atendidas) e alguns incentivos promocionais (preços das mercadorias comercializadas pela empresa). Múltiplas Mercadorias: este se refere à multiplicidade de mercadorias, ou seja, existem mercadorias que devem ser acondicionadas em uma determinada temperatura e outras apresentam diferentes formas de serem carregadas nos veículos. Este último aspecto deve-se aos diferentes tamanhos que as mercadorias apresentam e com isso ocuparão diferentes espaços tanto no veículo quanto no armazém ou central de distribuição. Objetivos múltiplos e conflitantes: em algumas situações as empresas objetivam atingir uma determinada meta que confronta com outra (trade-off). Por exemplo, itens de produtividade estão diretamente relacionados à necessidade da equipe de entrega em cumprir uma determinada Janela de tempo de trabalho prédeterminada. Em outras situações pode ser necessário cumprir um determinado nível de serviço que pode ser obstruído por um pico na demanda, no qual a empresa não consegue atender plenamente todos os clientes. Em uma situação em que a frota fixa estabelecida não consegue atender a demanda pode ser necessário a contratação de veículos extra para atender a esta demanda. Diante do fato a necessidade pode ser em minimizar um dos seguintes fatores: O número de veículos extras contratados. A soma de clientes não servidos no dia de atendimento. A distância total percorrida. As variáveis expostas anteriormente têm seu nível de complexidade aumentado de acordo com a natureza dinâmica do Problema de Roteamento de Veículos (PRV). Mediante a isso se podem mencionar dois tipos de problemas de roteirização de veículos quanto ao grau de dinamismo: o problema dinâmico de roteirização de veículos e o problema estático. Com relação ao primeiro este apresenta como características básicas: as informações para o planejamento das rotas não são totalmente conhecidas e a informação pode sofrer uma modificação após a roteirização. Em contrapartida no problema estático temos como características: todas as informações são conhecidas e não existe a possibilidade de uma informação ser modificada após a roteirização. Além desses aspectos coexistem outros que diferenciam esses dois tipos de problemas:

35 35 Dimensão tempo é essencial: para problemas com características dinâmicas o tempo é uma dimensão essencial, já para problemas estáticos o tempo não é uma dimensão essencial. A questão do retorno a uma central de distribuição ou depósito: para os problemas de característica dinâmica os veículos retornam a uma central de distribuição ou depósito, já no caso dinâmico essa hipótese nem sempre ocorrerá e o processo poderá ser ilimitado. Informações futuras são imprecisas ou desconhecidas: uma parcela das informações com relação à roteirização é imprecisa ou desconhecida para os problemas de característica dinâmica, já para os problemas estáticos todas as informações são conhecidas. Um mecanismo que forneça informação atualizada é essencial: Esse mecanismo, conforme exposto anteriormente, é essencial para problemas com características dinâmicas. Rapidez no tempo de processamento computacional é essencial: para problemas com características dinâmicas, que se modificam conforme a inserção de informações novas e/ou modificação de informações pré-existentes, faz-se necessário um tempo de processamento computacional rápido, permitindo a formulação rápida de soluções para o problema em questão. As restrições referentes a tempo podem ser diferentes: Com relação aos problemas de característica dinâmica estes podem ser mais frágeis com relação às restrições de tempo do que os problemas com característica estática DESCRIÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DO PROBLEMA DE ROTEAMENTO AMPLIADO Essa descrição tem como objetivo descrever matematicamente o problema de roteamento que será analisado no presente trabalho.

36 Em relação à estrutura da rede Com relação à estrutura de rede esta se refere à descrição das variáveis que comporão o grafo que representará as rotas do problema de roteamento. A seguir serão descritas as variáveis que fazem parte do grafo referente ao modelo matemático do problema de roteamento de veículos. A: conjunto de arcos da malha viária. S(i): conjunto de arcos que saem do nó i. E(i): conjunto de arcos que chegam ao nó i. I: conjunto de nós de transbordo (intermediários). N: conjunto total de nós (localidades) existentes na malha. C F ij : custo de deslocamento do nó i para o nó j para veículos do tipo (A), (i, j U N). C c ij : custo de deslocamento do nó i para o nó j para veículos do tipo (B), (i, j U N). o(k): nó origem do pedido k. d(k): nó destino do pedido k. Devendo-se destacar que para o problema de roteamento que será abordado no presente trabalho terá vários perfis de veículo, porém, para em nível de ilustração para o modelo matemático do problema de roteamento de veículos serão apresentados somente dois tipos de veículos Em relação aos veículos Este se refere as variáveis que caracterizam os dois perfis de veículo existentes nesse modelo matemático. F: conjunto de veículos do tipo (A). O: conjunto de veículos do tipo (B). V: conjunto de veículos existentes, V = F O. C: carga máxima de cada veículo do tipo F ou O.

37 Em relação aos pedidos Compõem as variáveis relacionadas aos pedidos realizados pelos clientes. As variáveis são as seguintes: P: conjunto de requisições (pedidos) existentes a ser atendido. Q: conjunto de cargas a ser entregue Em relação às variáveis de otimização Estas representam as variáveis que comporão a função objetivo, que tem como meta a minimização do custo. A seguir são descritas as duas variáveis. xij kv = 1, se o pedido k F e 0 caso contrário. yij kv = 1, se o pedido k O e 0 caso contrário. P passa pelo arco (i,j) utilizando o veículo do tipo (A) v P passa pelo arco (i,j) utilizando o veículo do tipo (B) v Cada pedido k (k U P) é caracterizado por um par de nós origem/destino e por uma commodity que deve ser transportada da origem até o destino através de arcos, utilizando-se um determinado veículo v (v U V), com um custo de deslocamento associado conforme o tipo de veículo utilizado. Tal pedido se enquadrará na seguinte possibilidade: uma carga q k U Q deverá ser transportada de i para j.

38 Função objetivo Minimize (1) (2) (1) Custo de transporte para veículos do tipo (A). (2) - Custo de transporte para veículos do tipo (B) Restrições de exclusividade Continuidade de fluxo Nó origem Para cada nó origem de um pedido k, sempre haverá um e somente um veículo, tipo (A) ou tipo (B), disponível para o seu atendimento. Logo, a diferença entre os somatórios de tudo que sai e tudo que entra no nó origem é igual a 1: Nó transbordo Para cada nó transbordo para um pedido k, a diferença entre os somatórios de tudo que sai e tudo que entra no nó transbordo é igual a 0:

39 39 Nó destino Para cada nó destino para um pedido k, sempre haverá um e somente um veículo tipo (A) ou tipo (B) chegando a esse nó, atendendo a esse pedido. Isto é, a diferença entre os somatórios de tudo que sai e tudo que entra no nó destino é igual a 1: Limitação no número de veículos pedido k. Sempre haverá um, e somente um, um veículo do tipo (A) ou tipo (B) atendendo ao Restrições de capacidade As restrições de capacidade são dadas pelas equações a seguir. Isto é, cada veículo do tipo (A) pode transportar no arco (i,j) uma carga máxima inferior ou igual à Q v : De forma semelhante, os veículos do tipo (B) também podem transportar no arco (i, j) uma carga máxima inferior ou igual à Qv:

40 COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL O termo complexidade computacional relaciona-se com o estudo dos problemas e dos algoritmos capazes de resolvê-los. Segundo Ziviane (2002), um algoritmo pode ser definido como uma seqüência de ações executáveis para a obtenção de uma solução para um determinado tipo de problema. Podendo coexistir uma diversidade de algoritmos capazes de resolver um mesmo problema, com isso deve-se realizar a escolha do mais apropriado. Para a identificação do algoritmo mais apropriado na resolução de um determinado problema é necessário medir o custo de execução de cada candidato a resolução do problema. Mediante a isso, é comum definir uma função de custo, ou função de complexidade f, onde f(n) pode ser a medida de espaço de memória ou a medida de tempo, necessário para executar um algoritmo para uma instância de tamanho n. No primeiro caso, f é chamada de função de complexidade de espaço do algoritmo, enquanto que no segundo, f é chamada de função de complexidade de tempo do algoritmo. O custo para obter uma solução para um dado problema aumenta de acordo com o tamanho n do problema. Em outras palavras, o tempo necessário para resolver o problema cresce quando n cresce. Para visualizar este fato, considera-se o Problema do Caixeiro Viajante com n municípios apresentado na tabela abaixo. Como alternativa de resolução temse o método de enumeração completa, que simplesmente lista todas as possíveis soluções e escolhe a melhor delas. Como se pode constatar a partir de qualquer município, existe (n 1)! / 2 possíveis soluções para o problema (simétrico versão onde as distâncias entre os pares de municípios são as mesmas, independente do sentido viajado). Tabela 1 Tabela de tamanho do problema em relação ao tempo estimado para a resolução. Fonte: Ziviane (2002).

41 41 Analisando-se os dados da tabela 1 pode-se notar que para uma pequena variação do número de municípios ocorre uma variação gritante no tempo de resolução do problema. Existem algoritmos melhores que o método de enumeração completa para a obtenção da solução ótima do Problema do Caixeiro Viajante e de outros problemas. Segundo Ziviane (2002) para valores pequenos de n, qualquer algoritmo custa pouco para ser executado, em outras palavras, a escolha do algoritmo não é tarefa crítica para problemas de tamanho pequeno. Sendo assim a análise de algoritmos é realizada para valores grandes de n, estudando o comportamento de suas funções de custo para tais valores. Em outras palavras, estuda-se o comportamento assintótico das funções de custo, que representa o limite do comportamento do custo quando n cresce. Para o estudo do comportamento assintótico utiliza-se a notação O que pode ser formalizada da seguinte maneira: coloca-se que g(n) = O(f(n)) se existirem duas constantes positivas c e uma inteira m tais que g(n) c f(n) para n > m. Isto é, para valores de n suficientemente grandes, g(n) não cresce mais rapidamente que f(n). Pode-se ler também, g(n) é da ordem no máximo f(n). Dessa forma os algoritmos podem então, ser avaliados a partir da comparação dos seus comportamentos assintóticos. Um algoritmo com tempo de execução O(n) é melhor que um algoritmo com tempo de execução O(n²). Contudo, constantes de proporcionalidade podem gerar algumas exceções. Por exemplo, um algoritmo com tempo de execução 2n² pode ser mais eficiente do que um algoritmo com tempo de execução 100n; isso ocorre para instâncias de problemas com tamanho n < 50. Entretanto, para valores maiores de n o algoritmo de complexidade O(n²) é muito mais lento que o algoritmo de complexidade O(n). As principais funções de complexidade que definem o comportamento assintótico dos algoritmos são apresentadas por Ziviani (2002) da seguinte maneira: f(n) = O(1) (complexidade constante): O uso do algoritmo não depende do tamanho de n suas instruções são executadas um número fixo de vezes. f(n) = O(log n) (complexidade logarítmica): Este tipo de função ocorre em algoritmos que resolvem um problema dividindo-o em problemas menores. f(n) = O(n) (complexidade linear): Esse tipo de comportamento aparece em algoritmos que realizam um pequeno trabalho em cada elemento de entrada.

42 42 f(n) = O(n log n) (complexidade n log n): Esse tipo de comportamento ocorre em algoritmos que atacam um problema dividindo-o em problemas menores, resolvendo cada um deles independentemente, ajuntando em seguida as soluções. f(n) = O(n²) (complexidade quadrática): Esse tipo de função ocorre em algoritmos em que os itens de dados são processados aos pares, muitas vezes em um laço dentro do outro. f(n) = O(n³) (complexidade cúbica): Algoritmos desta ordem de complexidade são utilizados apenas para resolver pequenos problemas. f(n) = O(2ⁿ) (complexidade exponencial): Esse tipo de função ocorre em algoritmos que utilizam força bruta para resolver o problema. f(n) = O(n!) (complexidade fatorial): Esse tipo de comportamento aparece em algoritmos que listam todas as possíveis combinações para escolher a melhor, como o método de enumeração completa utilizado no exemplo anterior do Problema do Caixeiro Viajante. Observando a tabela seguinte, pode-se visualizar a diferença de tempo entre algumas funções de complexidade típicas para diferentes tamanhos de n, onde cada função expressa o tempo de execução em micro segundos. Função Complexidade tempo N 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s n 2 0,0001 s 0,0004 s 0,0006 s 0,00016 s 0,00025 s n 3 0,001 s 0,008 s 0,0027 s 0,0064 s 0,00125 s n 5 0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 (min.) 5,2 (min.) 2 n 0,001 s 1 (min.) 17,2 (min.) 12,7 (dias) 35,7 (anos) 3 n 0,059 s 58 (min.) 6,5 (anos) 3855 (séculos) 2 x 10 8 (séc.) Tabela 2 Função complexidade tempo de algoritmos de tempo polinomial e exponencial, relacionado ao tamanho da instância do problema. Fonte: Garey e Johnson, 1979.

43 43 Um algoritmo polinomial é aquele que possui função de complexidade O(p(n)), onde p(n) é um polinômio. Já um algoritmo exponencial, é aquele que possui função de complexidade O(cⁿ), com c > 1. Devendo-se destacar também que a definição de algoritmo exponencial inclui também outras funções de complexidade de tempo não polinomiais, como por exemplo, n^log n, que normalmente não é considerada uma função exponencial. A partir da tabela anterior, pode-se perceber uma das razões que torna um algoritmo polinomial mais desejável que um algoritmo exponencial. Os algoritmos polinomiais são tidos como bons algoritmos, ou algoritmos eficientes, enquanto que, os algoritmos exponenciais são classificados como ineficientes. Contudo podem existir algumas exceções para tal classificação, que ocorrem geralmente para instâncias de tamanho limitado. Por exemplo, o algoritmo de complexidade 2ⁿ é mais rápido que o algoritmo para n 20 (ver tabela anterior). De qualquer forma, a distinção entre algoritmos eficientes e ineficientes torna-se mais significativa com o aumento do tamanho de n. Segundo Ziviane (2002) os algoritmos exponenciais são geralmente variações dos métodos exaustivos, enquanto que os algoritmos polinomiais são concebidos através de um entendimento maior das características do problema, fazendo com que eles sejam mais úteis na prática do que os exponenciais. Apesar disso, existem algoritmos exponenciais que são muito úteis na prática, como por exemplo, o Simplex, que possui complexidade exponencial para o pior caso, mas que em média executa muito rápido. Da mesma forma que um algoritmo pode ser classificado como bom ou ruim, dependendo se ele possui ou não função de complexidade polinomial, os problemas podem ser classificados como fáceis ou difíceis, dependendo se eles possuem ou não um algoritmo polinomial capaz de resolvê-los. Para o estudo da classificação dos problemas, a teoria da complexidade computacional se restringe aos problemas de decisão, ou seja, problemas cujas soluções requerem apenas sim ou não como resposta. Contudo, muitos problemas de otimização podem ser naturalmente expressos como problemas de decisão, tal que se existir um algoritmo de tempo polinomial para o problema de decisão, então existirá um também para a sua versão em problema de otimização. Como exemplo, pode-se gerar uma versão de problema de decisão para o Problema do Caixeiro Viajante acrescentando um limite numérico como parâmetro adicional. Sendo que ao

44 44 invés de se estabelecer como objetivo gerar uma rota que passa por todas as cidades percorrendo a menor distância, deve-se responder a seguinte questão: existe uma rota que passa por todas as cidades com distância total que não seja maior que D? Constatando-se com isso que a questão exige sim ou não como resposta, onde D é o nosso parâmetro adicional. Embora a teoria tenha sido desenvolvida para os problemas de decisão, suas implicações podem ser estendidas para os problemas de otimização. Lewis e Papadimitriou (2000) realizaram um estudo detalhado sobre a classificação dos problemas. Os referidos autores apresentam também o conceito de redução polinomial, necessário para o entendimento de tal classificação. Segundo Lewis e Papadimitriou (2000), o conceito de redução polinomial é importante por revelar interessantes afinidades entre problemas computacionais. Pode-se dizer que T é uma redução polinomial do problema V para o problema X quando T transforma, em tempo polinomial, instâncias do problema V em instâncias do problema X, de maneira que Vi é uma instância do problema V com resposta sim, se e somente se, T(Vi) for uma instância do problema X que fornece a resposta sim. A figura abaixo exemplifica o conceito de redução polinomial descrito por Lewis e Papadimitriou (2000). Figura 6 Redução polinomial Fonte: Lewis e Papadimitriou (2000) Quando existe uma redução Polinomial de V para X, pode-se dizer que X é no mínimo mais complexo que V. Se existir um algoritmo polinomial para X, esse método também resolverá V em tempo polinomial. Se V exigir um tempo exponencial, então X exigirá um tempo pelo menos exponencial.

45 CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE DECISÃO Grande parte dos problemas de decisão associados a problemas de interesse prático, derivados ou não de problemas de otimização, pertencem às seguintes classes: Classe P (Polynomial time): Um problema X pertence à classe P se ele pode ser resolvido por um algoritmo de tempo polinomial. Classe NP: Um problema X pertence à classe NP quando ele admite, ou apresenta um certificado. Um certificado deve ser polinomialmente sucinto, ou seja, seu comprimento deve ser dado no máximo, pelo valor de um polinômio sobre o comprimento da cadeia de entrada; ele também deve ser verificável em tempo polinomial. Classe NP-Completo: Um problema X pertence à classe NP-Completo se ele for pertencente classe NP e se qualquer outro problema V também pertencente à classe NP puder ser reduzido polinomialmente a X. Em outras palavras, X é NP- Completo quando está em NP, e para qualquer V em NP, um algoritmo para resolver X pode ser adaptado em tempo polinomial para resolver V (ver ilustração anterior). Classe NP-Difícil (NP-Árduo ou NP-Hard): Um problema X pertence à classe NP- Difícil se qualquer outro problema V pertencente à classe NP puder ser reduzido polinomialmente a X. Note que aqui, X não necessariamente pertence à classe NP. Um problema NP-Difícil é pelo menos tão difícil quanto qualquer problema em NP. A classe P está contida em NP. No entanto, existem muitos problemas em NP para os quais não são conhecidos algoritmos que os resolvam em tempo polinomial. Por isso não se sabe se P = NP; existe uma forte conjectura de que P NP, embora isso não tenha ainda sido provado. A figura a seguir expõe como ocorre a configuração das classes de problemas descritos anteriormente.

46 46 Figura 7 Provável configuração das classes. Fonte: Garey e Johnson, ALTERNATIVAS DE ROTEIRIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS (PRV) Este capítulo tem como objetivo apresentar as alternativas de roteirização para o problema de roteamento de veículos (PRV). As heurísticas serão esmiuçadas em todas as suas etapas de resolução, permitindo com isso uma melhor compreensão das análises comparativas que serão realizadas em etapas subseqüentes Métodos heurísticos Heurísticas podem ser definidas como uma técnica que busca boas soluções, ou seja, próximo das ótimas, com um custo computacional (tempo) aceitável. Sendo que em muitos casos não declara o quão próximo uma solução encontra-se da ótima. A complexidade computacional de resolução dos problemas de roteamento de veículos exposta acima e a forma de modelar os problemas precisamente, uma vez que as heurísticas são mais flexíveis e aptas a operar com funções objetivo e restrições mais complicadas, faz com que as heurísticas coloquem-se como os métodos de resolução mais acertados para resolver os problemas de roteamento de veículos. Nesse caso tem-se um maior benefício com uma solução aproximada de um modelo exato.

47 47 Christofides (1985) classifica as heurísticas para problemas de roteamento de veículo da forma que será descrita abaixo. Nos métodos construtivos a solução é estruturada com base em algumas etapas na qual a rota é construída de forma seqüencial ou paralela. Esses métodos foram desenvolvidos, em sua maioria, por Clark e Wright (1964). Tendo em vista que este método é simples e flexível. No método de Clark e Wright (1964) supõe-se inicialmente que cada cliente seria atendido por um veículo, porém, esta configuração é inviável. Diante disso o algoritmo avalia a possibilidade, em termos de economia em distância, em se atender um par de clientes por intermédio de uma rota. Para uma melhor compreensão do método de Clark e Wright (1964) a seguir serão apresentados graficamente como esse processo de construção de rotas é realizado e a economia obtida a cada etapa. Rota 1 Rota 2 Rota 1' i j i j 0 0 S refere-se à distância total percorrida, ou seja, na rota um' temos a economia descrita acima. S = d(i,0) + d(0,i) + d(0,j) + d(j,0) S = d(i,0) + d(0,j) - d(i,j) Figura 8 Representação gráfica do método de Clark e Wright.

48 48 Com a inserção de um cliente a rota temos a rota 1' que gerou a economia em distância verificada anteriormente. Neste caso é avaliada a possibilidade de inserção de um nó de acordo com a economia que esta inserção gerará. Outro método de construção de uma solução inicial é o do vizinho mais próximo que se baseia na escolha dos pontos de demanda mais próximo a ser atendido constituindo-se como uma heurística gulosa, já que busca a melhor inclusão local. Tem-se também o método da varredura no qual uma reta é traçada partindo-se de uma origem e a mesma gira em um determinado sentido formando grupo de pontos de demanda que serão futuramente roteirizados com base em um algoritmo que formará uma seqüência de atendimento tendo como base a proximidade entre os pontos de demanda. Como último exemplo pode-se mencionar a heurística seqüencial de inserção Push Forward de Solomon (1987), nesta é considerada as restrições de janela de tempo, calculando-se o efeito que determinado ponto de demanda teria ao ser inserido na rota. O método das duas-fases é baseado na lógica agrupa-roteiriza ou roteiriza-agrupa. Neste método temos os trabalhos de Tyagi (1968) e Christofides (1979). No caso do Tyagi (1968) os pontos de demanda são agrupados com base no conceito do vizinho mais próximo, ou seja, o cliente a ser adicionado é o mais próximo do último que foi adicionado. Com relação à Christofides (1979) tem-se a utilização de um algoritmo de melhoramento nas duas etapas (agrupamento dos clientes e formação da seqüência de atendimento). No método de otimização incompleta temos um algoritmo branch and bound, transformando em uma heurística através da fase prematura, ou seja, são utilizados algoritmos aproximativos que garantem uma solução viável sem garantia de otimalidade. Devendo-se destacar que de acordo com Fisher e Jaikumur (1981) as heurísticas que vem sendo desenvolvidas para a resolução do problema de roteamento de veículos são modificações de heurísticas para o problema do caixeiro viajante. Com isso é adicionada mais uma categoria as heurísticas para problema de roteamento de veículos, a saber: método de melhorias. Essa nova categoria tem como objetivo precípuo a redução gradativa do custo da rota. Para isso baseia-se em três conceitos fundamentais: mecanismo para alterar a solução inicial, estratégias de soluções alternativas e critério da parada. A solução é melhorada/aperfeiçoada por intermédio de trocas sucessivas de arestas visando à redução do custo da rota. Esses métodos são denominados como heurísticas de busca local. Para isso têm sido propostos vários mecanismos de melhoria das rotas, dentre esses o mais utilizado é o

49 49 r-opt, onde r é o número de arestas a serem trocadas. Nesse processo de geração de soluções por intermédio da troca de arestas o objetivo é encontrar uma solução superior a anterior, no momento que não houver mais possibilidade de melhorias tem-se a solução denominada r-ótima. Devendo-se destacar que quanto maior o valor de r melhor será a solução obtida, porém, maior será o tempo computacional empregado. Para uma melhor compreensão de como o mecanismo r-opt funciona temos a representação gráfica realizada posteriormente. Rota 1 a Rota 2 a b d b d c e c e 0 0 Figura 9 Representação gráfica do método r-opt da troca de nós na rota A aplicação do movimento 2-opt a rota 1 provoca a inserção de dois clientes a rota e a mudança ma seqüência da mesma, com isso esta solução foi aperfeiçoada comparativamente a primeira solução na qual a rota atendia os nós com um custo superior à segunda. Mediante a isso se tem a eliminação das arestas (a,0) e (d,c) e a adição das arestas (d,a) e (c,0). Contrapondo-se a heurística de trocas de arestas limitadas r-opt Dror e Levy (1986) desenvolveram um método que propõe operações de trocas e inserção de nós a sistemas com m rotas. Posteriormente a essas heurísticas de trocas e inserção de nós o conceito foi estendido para λ-troca (OSMAN, 1989; CHRISTOFIDES, 1994), onde são considerados movimentos

50 50 de um número, a princípio, arbitrário de nós que podem ser inseridos ou trocados entre quaisquer pares de rotas. Contudo essas múltiplas trocas que venham a ocorrer pode tornar o tempo computacional de resolução do problema impraticável. Além disso, coexiste a questão que refere-se ao ótimo local que é alcançado nesse tipo de heurística e que como é de conhecimento em problemas combinatoriais nem sempre o ótimo local é o ótimo global. A alternativa para lidar com esse tipo de problema está na utilização de metas-heurísticas que objetivam superar a otimalidade local e alcançar soluções de qualidade superior Heurística de Bellmore e Nemhauser No ano de 1968 foi publicado um estudo de Bellmore e Nemhauser sobre o Problema do Caixeiro Viajante. Dentre os teoremas, métodos e técnicas de solução, os autores apresentaram uma heurística construtiva que elege um vértice inicial de maneira arbitrária e na seqüência inclui outros vértices no circuito em formação, seguindo o critério de escolha do vértice ou vizinho mais próximo (Bellmore e Nemhauser). A complexidade dessa heurística é O(n²). Existindo uma variação elaborada para minimizar o efeito da influência da escolha do vértice inicial. Nela, o algoritmo é repetido para todos os possíveis vértices candidatos ao início do processo. Nesse caso, a heurística passa a ter complexidade O(n³). Devendo-se considerar que mesmo com algumas variações da regra de escolha do vizinho mais próximo, o algoritmo pode ser escrito da seguinte forma: Etapa 1: um vértice inicial será selecionado, encontre o vértice mais próximo dele e inicie a construção do circuito por intermédio da ligação desses dois extremos; Etapa 2: agora o objetivo é encontrar o vértice mais próximo de um dos vértices extremos incluídos na solução; este vértice deve ser inserido na rota em construção ligando-o com o seu vizinho mais próximo; Etapa 3: caso todos os vértices tenham sido incluídos, complete com a aresta que liga os vértices extremos e o processo será finalizado; e Etapa 4: caso contrário deve-se retornar ao passo 2.

51 51 Pode-se exemplificar a execução dos passos dessa heurística fazendo uso do cenário incluído na próxima figura, onde as distâncias entre os vértices são as seguintes: ab=15, ac=25, ad=36, ae=37, af=56, bc=13, bd=23, be=29, bf=45, cd=11, ce=17, cf=32, de=18, df=25, ef=20. Os valores apresentados correspondem à distância aproximada, em milímetros, entre os centros dos vértices que formam os pares relacionados. Figura 10 Heurística de Bellmore e Nemhauser passo a passo. Observando a figura anterior, nota-se que a primeira etapa da heurística é executada com a escolha do vértice inicial c, seguido da ligação deste com o seu vizinho mais próximo d. A rota passa então a ser expandida a partir da execução do passo 2, aonde o vizinho mais próximo de um dos vértices extremos da solução vai sendo localizado e incluído no circuito em formação. Os passos 3 e 4 da heurística estão relacionados com a verificação da formação de um circuito hamiltoniano para prosseguir ou parar com a execução do algoritmo. No final do processo, encontra-se na figura presente no quadro F um circuito hamiltoniano de custo igual a 133 mm Heurística de Clark e Wright (CW) A heurística das economias de Clarke e Wright (CW) (1965), bastante conhecida e ainda muito utilizada como parte de outros procedimentos, foi originalmente desenvolvida

52 52 para resolver o problema clássico de roteamento de veículos. Essa heurística baseia-se na noção de economias, que pode ser definido como o custo da combinação, ou união, de duas sub rotas existentes. Inicialmente, cada cliente é servido por um veículo, constituindo rotas entre o depósito e cada cliente. Seja c ij o custo de viagem partindo de um cliente i a um cliente j, podendo ser dado em distância percorrida ou tempo de deslocamento. Segundo definição de Liu e Shen (1999), duas rotas contendo os clientes i e j podem ser combinadas, respeitando-se as seguintes condições: desde que i e j estejam ou na primeira ou na última posição de suas respectivas rotas e que a demanda total das rotas combinadas não ultrapasse a capacidade do veículo. Em cada iteração, todas as combinações de rotas possíveis são analisadas através da fórmula s ij = c i0 + c 0j - c ij, onde 0 representa o depósito. As duas rotas que obtiverem a maior economia de combinação são unidas. Como a cada nova combinação de sub-rotas as economias são novamente calculadas e atualizadas para a próxima combinação de sub-rotas, o método é considerado iterativo. Segundo Goldbarg e Luna (2005) a partir do momento em que as rotas vão sendo unidas, a distância total a ser percorrida pela frota vai diminuindo. No momento em que uma rota vai se expandindo, ou seja, vai sendo mesclada com outras, alguns vértices passam a ficar desligados do depósito; tais vértices são chamados de vértices internos e não são mais candidatos a melhoria na rota, uma vez que para união das rotas só são testados os vértices externos, ou seja, aqueles que possuem ligação com o depósito. Em alguns momentos, isso pode ser encarado como uma fragilidade do algoritmo. Segundo Cordeau (2002), o algoritmo se mostrou bastante simples e rápido, sendo fácil de codificar, principalmente pela ausência de parâmetros. Segundo Laporte e Semet (2002) um dos pontos fracos do algoritmo original de Clarke e Wright (1965) é que ele tende a produzir boas rotas de início, mas ao se aproximar do final, realiza uniões que podem produzir rotas menos interessantes. Além disso, para algumas instâncias o algoritmo pode consumir um perceptível tempo de processamento para calcular, ordenar e armazenar a lista de economias. Em contrapartida outros pesquisadores observaram que a solução construída apresentava baixa qualidade e um grande número de rotas longas circunferenciais. Por essa razão, a deficiência em flexibilidade é considerada a pior característica do algoritmo.

53 53 Com base nessas afirmações foram apresentadas algumas melhorias para o algoritmo CW, sendo uma delas a utilização de economias generalizadas na forma s ij = c i0 + c 0j - λc ij, buscando produzir rotas mais compactas, sendo λ um parâmetro positivo. A aplicabilidade dessa heurística está associada à possibilidade em não se estabelecer o número de veículos, podendo ser utilizada em duas versões: tanto na versão seqüencial quanto na versão paralela. Conforme as rotas vão sendo expandidas rumo a uma solução de melhor qualidade, é possível realizar os testes relativos às restrições do problema. Os passos do algoritmo na sua versão seqüencial podem ser descritos da seguinte forma: Etapa 1: inicie pelo depósito que corresponde ao vértice V 0. Etapa 2: para todos os demais vértices são criadas pequenas rotas saindo de V 0, passando, por exemplo, por V a e retornando a origem V 0. Etapa 3: nessa etapa deve-se obter a lista de economias relacionando o vértice V 0 (corresponde a origem) e todos os possíveis pares de vértices restantes do grafo. Como exemplo, tem-se o par de vértices V a e V u onde a economia calculada fica da seguinte forma: E = C a0 + C 0u C au, onde E representa a economia realizada se o vértice V a for ligado ao vértice V u sem passar pelo vértice origem V 0. Etapa 4: as listas de economias serão ordenadas de forma decrescente (da maior para a menor economia). Etapa 5: estabeleça uma rota que pode ser expandida. Etapa 6: a lista de economias será percorrida, iniciando pela primeira da lista, e selecione a primeira economia que pode ser usada para expandir a rota eleita no passo anterior, respeitando as restrições do problema. Etapa 7: nessa etapa será efetuada a união das rotas, por exemplo, através da inserção da aresta (V a, V u ) e a remoção das arestas (V a, V 0 ) e (V 0,V u ), expandindose com isso a rota eleita no passo 5, por fim deve-se remover a economia utilizada da lista de economias. Etapa 8: caso a rota possa ainda ser expandida deve-se repetir o passo 6. Etapa 9: caso existam rotas a serem expandidas volte ao passo 5. A versão seqüencial percorre várias vezes as listas de economias na tentativa de expandir uma única rota antes de iniciar a expansão da próxima contraponham-se a versão paralela que percorre a lista de economias apenas uma vez, tentando realizar a expansão de

54 54 uma ou mais rotas até que a lista seja finalizada. Os passos do algoritmo da versão paralela podem ser descritos da seguinte forma: Etapa 1: idêntico ao da versão seqüencial. Etapa 2: idêntico ao da versão seqüencial. Etapa 3: idêntico ao da versão seqüencial. Etapa 4: idêntico ao da versão seqüencial. Etapa 5: a lista de economias será percorrida da primeira posição e ocorrerá a tentativa de união das rotas, por exemplo, por intermédio da inserção da aresta (V a,v u ) e a remoção da aresta (V a,v 0 ) e (V 0,V u ), sendo que as restrições do problema devem ser respeitadas. Etapa 6: caso não seja possível usar a economia selecionada para a união das rotas, deve-se tentar usar a próxima economia da lista. Etapa 7: o procedimento deve ser repetido até que a lista seja percorrida até o final Procedimentos de melhoria Esses procedimentos de melhoria para o Problema de Roteamento de Veículos (PRV) operam em uma rota específica ou em várias rotas ao mesmo tempo. No primeiro caso será aplicada a heurística λ-opt faz parte do grupo das heurísticas de melhoria, que são estratégias que partem de um circuito hamiltoniano inicial e tentam melhorá-lo a partir de trocas na ordem em que os vértices serão visitados pelo caixeiro viajante. Segundo Lin (1965) para a realização de tais trocas deveriam ser procuradas arestas no circuito inicial para serem retiradas e substituídas por outras que gerassem um circuito hamiltoniano de menor custo. Segundo Lin (1965) podem ser encontradas soluções que podem ser denominadas como de λ ótimas, para λ = 2, 3,..., n arestas ou arcos do grafo. Por exemplo, uma solução é considerada "2 ótima" (2-Opt) quando não conseguimos mais melhorá-la substituindo dois arcos do circuito por outros dois arcos. Já uma solução é considerada 3-Opt quando não conseguimos melhorá-la através da substituição de três ou duas arestas do circuito. Generalizando, uma solução é considerada λ-opt quando não conseguimos melhorá-la substituindo λ arestas do circuito; uma solução λ-opt é ainda uma solução λ-opt, onde λ < λ.

55 55 Para uma melhor compreensão dos procedimentos de melhoria as etapas desse algoritmo são descritas a seguir: Etapa 1: o circuito hamiltoniano será obtido a partir de uma heurística qualquer. Etapa 2: devem ser removidas arestas do circuito inicial. Etapa 3: todas as possibilidades de combinações de λ serão testadas para a reconstrução do circuito hamiltoniano. Etapa 4: caso sejam encontradas um conjunto de λ arestas que remontam o circuito com tamanho menor em relação ao anterior, a troca será efetivada. Etapa 5: deve-se agora retornar ao passo 2 até que não haja mais nenhuma melhora a ser obtida. Para casos em que λ é maior do que 3 são verificadas todas as possíveis substituições de λ arestas até não existir mais nenhuma troca que melhore a solução. Entretanto, o número de operações necessárias para esse procedimento cresce rapidamente com o aumento do número de vértices do grafo. Diante disso, valores de λ=2 e λ=3 são mais utilizados, sendo que soluções obtidas com λ=3 são geralmente melhores do que as obtidas com λ=2. Na figura seguinte podemos observar exemplos de movimentos de troca utilizados nas heurísticas 2-Opt e 3-Opt. Figura 11 Exemplificação dos movimentos 2-opt e 3-opt.

56 56 Conforme apresentados anteriormente os procedimentos de melhoria para o problema de roteamento de veículos PRV operam em uma rota específica ou em várias rotas ao mesmo tempo. No primeiro caso (rota específica), qualquer heurística de melhoria para o problema do caixeiro viajante PCV pode ser aplicada, como por exemplo, a heurística λ-opt de Lin (1965), demonstrada nas etapas anteriores. Já para o segundo caso (várias rotas), trabalhos como os de Dror e Levy (1986), Salhi e Rand (1987), Waters (1987), Fahrion e Wrede (1990), fornecem uma descrição de uma série de estratégias que utilizam combinações de métodos com algumas operações elementares de trocas de vértices entre rotas. Tais operações podem ser exemplificadas da seguinte forma: Troca de vértices: dois grupos de k vértices são trocados entre duas rotas; no exemplo a seguir k=1 e a troca ocorre com o uso dos vértices w e e, sendo que as linhas claras correspondem aos arcos substituídos nas operações. Figura 12 Demonstração gráfica da troca de vértices para mais de uma rota O algoritmo pode ser descrito da seguinte forma: Troca de vértices (k=1) Etapa 1: uma solução inicial será gerada, devendo-se guardar em um vetor a identificação de cada rota. Etapa 2: percorra o vetor de rotas da primeira até a penúltima posição. Etapa 3: para cada incremento realizado do passo anterior, percorra o vetor de rotas do índice posterior ao obtido no passo 2 até a última posição.

57 57 Etapa 4: percorra os vértices da rota indicada pelo passo 2. Etapa 5: para cada incremento do passo 4, percorra os vértices da rota do passo 3. Etapa 6: análise da possibilidade de troca de rotas para os vértices indicados nos passos 4 e 5 segundo ilustração anterior, se a troca for vantajosa e não ferir nenhuma restrição do problema, a operação será efetivada. Inserção de vértices: um grupo de k vértices é movido de uma para outra rota; no exemplo seguinte k=1 e a rota (a, b, c, d, e, f) cedeu, ou doou o vértice e para a outra. Novamente, as linhas claras correspondem aos arcos substituídos. Figura 13 Demonstração gráfica da inserção de vértices entre duas rotas Para a rotina de inserção de vértices identificamos as rotas como doadoras e receptoras. Cada rota terá o seu momento de doadora e tentará inserir um de seus vértices (com exceção do depósito) em uma das restantes rotas receptoras. O algoritmo pode ser descrito da seguinte forma: Etapa 1: a solução inicial será gerada e guardada em um vetor apenas para a identificação de cada rota. Etapa 2: percorra o vetor de rotas da primeira a última posição (rota doadora). Etapa 3: para cada incremento realizado do passo anterior, percorra o vetor de rotas da primeira até a última posição (rota receptora). Etapa 4: caso os índices dos contadores dos passos 2 e 3 sejam diferentes, deve-se executar os passos seguintes.

58 58 Etapa 5: percorra os vértices da rota doadora. Etapa 6: para cada incremento do passo 5 que ocorrer, percorra os vértices da rota receptora. Etapa 7: para cada um dos vértices da rota doadora procure na rota receptora um par de vértices adjacentes que forneça a melhor posição para inserção do candidato, tendo como critérios a não violação de nenhuma restrição do problema e a consideração de quão vantajosa será essa inserção. Além das operações ilustradas anteriormente, foram utilizadas trocas de três vértices (um vértice de uma rota e um par de vértices adjacentes de outra), e quatro vértices (dois pares de vértices adjacentes de rotas diferentes). Os procedimentos foram combinados e ordenados, com base em resultados obtidos, da seguinte maneira: 1. 2-Opt; 2. Troca de dois pares adjacentes; 3. Troca de um vértice mais um par de adjacentes; 4. Troca de vértices; 5. Inserção ou doação de vértice. Analisando-se as ilustrações descritas anteriormente, nota-se que para realizar a troca de um vértice de uma rota com um de outra rota é necessário remover quatro arestas e incluir quatro novas arestas. Para a operação de doação de vértice é necessário remover três arestas e incluir três novas arestas. De uma forma geral, para efetivar a operação deve-se satisfazer a seguinte condição: Custo das arestas removidas Custo das arestas incluídas > Heurística de Gillet e Miller (Primeiro-agrupa e segundo-roteiriza) A Heurística de Gillett e Miller (1974) faz parte do grupo das heurísticas de duas fases, que utilizam a estratégia de dividir o problema em partes para resolvê-lo. Na primeira fase dessa heurística, os vértices são organizados em grupos segundo um critério de proximidade. Na segunda fase cada grupo é solucionado de forma independente, onde os grupos correspondem às rotas a serem construídas. Para agrupar os vértices, é realizada uma varredura circular a partir do depósito central, na qual os vértices vão sendo escolhidos de acordo com o ângulo de sua coordenada polar em relação ao depósito, respeitando as

59 59 restrições do problema. Em seguida, as rotas são obtidas através da solução do PCV para cada grupo de vértices. Os passos do algoritmo podem ser descritos da seguinte maneira: Etapa 1: considere o depósito como a origem do sistema de coordenadas polares, para cada um dos vértices calcule suas coordenadas polares tomando como base o depósito e guarde-as em uma lista. Etapa 2: ordene a lista contendo as coordenadas polares dos vértices em ordem crescente de ângulo. Etapa 3: agora percorra essa lista iniciando pelo topo e siga agrupando os vértices até que alguma restrição, de capacidade, por exemplo, seja transgredida. Etapa 4: o grupo formado será armazenado em um vetor e será iniciado um novo grupamento a partir do vértice que violou a restrição, siga com a varredura até o final da lista. Etapa 5: no momento em que a lista for esgotada, obtenha as rotas resolvendo de maneira exata ou aproximada o referido problema para cada um dos grupos encontrados. A ilustração descrita abaixo demonstra as duas fases dessa estratégia. Na célula A, os grupos de vértices são organizados a partir da varredura circular. Na célula B, as rotas são construídas a partir da solução do Problema do Caixeiro Viajante (PCV) para cada um dos grupos escolhidos na primeira fase. Figura 14 Representação gráfica da heurística de Gillet e Miller.

60 60 Para a formação do grupo de vértices (pontos de demanda) pode-se utilizar a noção do vértice-território, ou seja, os vértices podem pertencer a territórios específicos que serão agrupados a fim de serem roteirizados (seqüência de entregas) posteriormente. Com o objetivo de complementar os aspectos descritos anteriormente será descrito a seguir de forma matemática o algoritmo de Gillet e Miller (1974). Segundo Goldbarg e Luna (2005) o algoritmo de Gillet e Miller (1974) pode ser descrito matematicamente da seguinte forma: INÍCIO Ler G = (N, A), c ij. {*Nó1 é o depósito central do roteamento} Obter as coordenadas polares dos clientes em relação ao depósito e ordená-las em ordem de crescimento de seu valor e Fazer: Início F: = N \ {x 1 } Ponta_Rota = {x 1 } Rota 1 : = {x 1 } i: = 1 Fim Enquanto F 0 Faça { Agrupar } Início Fim Enquanto x s F atendendo as condições de viabilidade para rota i Início Encontrar o vértice x s F de coordenada polar mais próxima da Ponta_Rota e Fazer Início Rota i : = Rota i {x s } Ponta_Rota: = {x s } F: = F \ {x s } j: = j + 1 Se Controle (j) = Verdadeiro então aplicar Procedimento k- ótimo (Rota i ) {*Rotear*} Fim

61 61 Fim Fim i:= i + 1 Ponta_Rota: = {x 1 } Rota i : = {x 1 } Método de primeiro-roteiriza e segundo-clusteriza Segundo Goldbarg e Luna (2005) este método realiza a operação inversa da anterior. A primeira etapa da abordagem busca a identificação de uma rota (normalmente inviável) que englobe todos os pontos de demanda. Em uma segunda fase o circuito é particionado em pequenas rotas viáveis. Esse método é aplicado em problemas nos quais o número de veículos é livre. Os passos desse método serão descritos abaixo: Etapa 1: na primeira etapa agrupam-se todos os pontos de demanda em uma rota, que é normalmente inviável. Etapa 2: o circuito é particionado em pequenas rotas viáveis. Etapa 3: as rotas viáveis que serão formadas devem respeitar as restrições impostas ao Problema de Roteamento de Veículos e em relação aos parâmetros impostos para o problema, como por exemplo: número de entregas, tempo máximo em rota, distância percorrida, tempo máximo de deslocamento demais fatores que colocarão limites para as rotas em formação Algoritmo de Fisher e Jaikumar (1981) O algoritmo de Fisher e Jaikumar pode ser descrito da seguinte forma: Etapa 1: Escolha dos grupos de vértices j k em V para inicializar cada cluster k. Etapa 2: (Alocação dos consumidores para os grupos). Registrar o custo d ik de alocação de cada consumidor i para cada cluster k como d ik = min (c 0i + c ijk + c jk0, c 0jk + c jki + c i0 ) (c 0jk + c jk0 ).

62 62 Etapa 3: (transferência generalizada). Resolver um Problema de Transferência Generalizada (GAP em inglês) com custo d ij, demanda dos consumidores q i, e veículo de capacidade Q. Etapa 4: (Solução do Problema do Caixeiro Viajante). Resolver um Problema do Caixeiro Viajante para cada cluster correspondente com a solução do Problema de Transferência Generalizada. Para este algoritmo o número de veículo é fixado a priori. Os autores propuseram um método geométrico baseado na partição do plano dentro de K cones de acordo com as demandas dos consumidores. Uma vez que os clusters tenham sido determinados, os problemas do caixeiro viajante são resolvidos otimamente usando uma abordagem baseada em relaxação da restrição Heurística de Mole e Jameson Em 1976, Mole e Jameson apresentaram uma heurística construtiva seqüencial, em que o critério utilizado para expandir uma rota pela inclusão de novos vértices conta com duas condições: C 1 (i, k, j) = D ik + D kj - µd ij C 2 (i, k, j) = λd 0k - C 1 (i, k, j) A primeira condição é responsável por encontrar a melhor posição para inserção de cada vértice candidato ainda não roteado. A segunda condição é responsável pela seleção do vértice que será incluído pelo movimento de expansão. Nas condições existem dois parâmetros, µ e λ, que podem receber valores diferentes, fazendo com que sejam geradas rotas de diferentes formatos e composições. O algoritmo dessa estratégia pode ser descrito através dos seguintes passos: Etapa 1: caso todos os vértices estejam incluídos nas rotas formadas o processo será finalizado, caso contrário inicie uma nova rota (0,k,0) onde k representa o vértice que não está contido nas rotas existentes.

63 63 Etapa 2: para a expansão da rota, deve ser encontrado para cada vértice k não roteado o custo de inserção C 1 *(ik,k,jk) = min {C 1 (r,k,s)} para todo par adjacente de vértices r e s da rota em formação, onde ik e jk fornecem o mínimo custo para a primeira condição, caso não haja inserções possíveis retorne ao passo 1. Etapa 3: com os valores mínimos de C 1 encontrados para cada vértice no passo anterior, procure o melhor vértice candidato K* para inserção, satisfazendo a expressão C 2 *(ik*,k*,jk*) = max {C 2 (ik,k,jk)}; o candidato k* será inserido entre os vértices ik* e jk*. Etapa 4: como último passo será aplicada uma heurística λ- Opt na rota em formação e retorne ao passo 2. A figura seguinte mostra um exemplo de um movimento de expansão do algoritmo. Figura 15 Representação gráfica da heurística de Mole e Jameson Com o objetivo de desenvolver os cálculos relacionados acima foram utilizados valores que representam as distâncias, em milímetros, entre os centros dos vértices do grafo. São eles: D 0a =18, D 0b =26, D 0c =29, D 0d =13, D 0e =29, D 0f =37, D ab =41, D ac =47, D ad =29, D ae =47, D af =41, D bc =13, D bd =29, D be =29, D bf =58, D cd =26, D ce =18, D cf =54, D de =18, D df =29 e D ef =39.

64 64 Analisando-se a célula B, nota-se que o vértice a, por exemplo, pode ser inserido entre os pares adjacentes 0c, 0f, cd e df. Contudo a melhor posição de inserção é obtida com o par de vértices que minimizará o custo da primeira condição, com isso para o vértice em questão, a melhor posição é entre os vértices 0 e f. Deve-se destacar que o vértice e foi escolhido para ser inserido entre o vértice c e o vértice interno d. Esse é um dos pontos positivos dessa heurística em relação à heurística de Clarke e Wright, onde a rota é expandida apenas a partir de um de seus vértices extremos Heurística construtiva de Solomon (1987) Marius Solomon (1987) desenvolveu uma heurística construtiva que inclui a restrição de janelas de tempo nas decisões de seleção de sementes e de posição de inserção dos clientes. Dentre a multiplicidade de variantes propostas por Solomon, descreve-se aquela que proporcionou o melhor resultado para os problemas teste: Etapa 1: defina dois conjuntos, um conjunto de clientes inseridos (I) e outro conjunto de clientes não inseridos (NI) e coloque todos os clientes no conjunto NI. Etapa 2: faça I = vazio. Etapa 3: Ache o próximo cliente-semente (c_semente). Há duas opções: Cliente mais distante do depósito: considera que clientes distantes do depósito são mais difíceis de serem inseridos. Cliente com o menor tempo final da janela de tempo: prioriza clientes que devem ser atendidos com maior urgência. Etapa 4: faça I = I c_semente e NI = NI c_semente. Etapa 5: procure em NI o cliente i que ao ser inserido na rota de c_semente proporciona o menor acréscimo de custo, respeitando as restrições de capacidade e de janela de tempo. Para tanto, teste todas as posições de inserção do cliente e selecione a melhor posição de inserção. Etapa 6: insira o cliente i na rota de c_semente. Etapa 7: faça I = I i e NI = NI i. Etapa 8: retorne ao passo 6 enquanto houver clientes a serem inseridos na rota de c_semente. Etapa 9: volte ao passo 4 enquanto NI vazio.

65 3 ESTUDO DE CASO O capítulo referente ao estudo de caso visa descrever a infra-estrutura logística no âmbito brasileiro da empresa distribuidora de bebidas de forma geral e a estrutura funcional presente na geografia do Rio de Janeiro. Além disso, tem-se como objetivo a exposição dos resultados que foram obtidos por intermédio das análises que foram realizadas com base na revisão bibliográfica. 3.1 VISÃO NO ÂMBITO BRASIL DA EMPRESA DISTRIBUIDORA DE BEBIDAS A empresa distribuidora de bebidas é subdivida no âmbito brasileiro com base na localização geográfica das áreas de atendimento. Para isso denominam-se cada região como sendo uma geografia que congrega áreas próximas de atendimento. Cada uma dessas geografias apresenta metas específicas, que se relacionam as características da sua operação. As geografias subdividem-se da seguinte forma: Geografia Sul: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Porto Alegre, Sapucaia, Pelotas, Caxias do Sul e Florianópolis; Geografia Rio de Janeiro: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Campos dos Goytacazes, Jacarepaguá, São Cristóvão e Campo Grande; Geografia Norte: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Fortaleza, São Luís e Bacanal; Geografia Minas Gerais e Espírito Santo: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Uberlândia, Uberaba, Vitória, Contagem e Belo Horizonte;

66 66 Geografia São Paulo-Centro: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Mooca, Diadema, Paulínia e Oeste paulista; Geografia do Centro-Oeste: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Manaus e Brasília; Geografia Paraná e interior de São Paulo: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Agudos, Araraquara, Ribeirão Preto, Curitiba e Londrina; Geografia nordeste: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Olinda, Caruaru, João Pessoa, Natal, Maceió e Aracaju; Geografia Bahia: Apresenta as seguintes centrais de distribuição: Vitória da Conquista, Ilhéus, Feira de Santa, Salvador e Jequié. Dentre as geografias especificadas anteriormente as próximas considerações irão circunscrever-se a geografia Rio de Janeiro e posteriormente em relação a central de distribuição de Jacarepaguá. 3.2 ESTRUTURA FUNCIONAL DAS UNIDADES PERTENCENTES À GEOGRAFIA RIO DE JANEIRO DA EMPRESA DISTRIBUIDORA DE BEBIDAS A geografia Rio de Janeiro é composta por: 1 fábrica de bebidas e quatro centrais de distribuição. A fábrica é localizada em Campo Grande e as quatro centrais de distribuição em: Jacarepaguá, São Cristóvão, Campo Grande e Campos dos Goytacazes. Com essas quatro centrais de distribuição tem-se o atendimento do estado do Rio de Janeiro. Cada central de distribuição apresenta a estrutura organizacional que será descrita a seguir: Área de logística: Composta pelo coordenador de distribuição, o gerente de operações e distribuição, coordenador do armazém, supervisores de distribuição e do armazém, analistas de controle e do armazém e os técnicos em roteirização. Esta área tem como objetivo precípuo realizar com os menores custos e um elevado nível de serviço a entrega dos produtos comercializados pela empresa. Para isso tem-se a gestão das operações de armazenagem e compra dos produtos, gestão das rotas de entrega (identificando as

67 67 anomalias que vem ocorrendo, procurando corrigi-las) e o estabelecimento de uma relação de parceria com a empresa transportadora. Área de vendas: Composta pelo gerente de distribuição direta, gerentes de vendas, os supervisores de vendas e os vendedores. A área de vendas tem como objetivo estar presente periodicamente em todos os pontos de venda para a comercialização dos produtos da empresa, visando compreender de forma clara quais são as necessidades dos clientes. Esta área também realiza a negociação de preços junto aos consumidores e promoções visando a alavancagem em suas vendas. Além disso, esta área desenvolve a previsão de vendas que se coloca como pilar principal para a estruturação de todas as metas da área de logística de uma forma geral. Área de marketing: Com relação à área de marketing esta trata essencialmente de como a empresa é visualizada no mercado e de que forma os consumidores vêem os produtos comercializados pela empresa. Além disso, trata da questão de patrocínios a eventos realizados ou não pela empresa e como os produtos da empresa estão sento expostos nos pontos de venda, orientando os pontos de venda a posicionar todo o material de exposição da empresa em pontos estratégicos, permitindo com isso uma visualização clara e objetiva por parte dos consumidores em relação aos produtos comercializados pela empresa. Área de Recursos Humanos: Suporte em recrutamento, seleção e treinamento de todos os funcionários da empresa. Área Administrativo-Financeiro: Apuração de resultados, suporte em informática, faturamento, gestão de riscos e cadastro de clientes e análise das informações referentes à situação financeira dos mesmos. Essa área é subdividida da seguinte forma: tecnologia da informação suporte na manutenção dos computadores e nos sistemas fornecedores de informações gerenciais, faturamento emissão de notas fiscais e relação de entrega contendo a seqüência de clientes a serem atendidos e os produtos que cada cliente comprou e a área de riscos trata essencialmente da estruturação de ações que visam a mensuração e a prevenção de prejuízos financeiros em relação a produtos que chegam avariados da fábrica e de produtos que se encontram avariados no armazém. Além disso, a área de riscos trata, juntamente com a

68 68 equipe de rastreamento, da mensuração e prevenção no roubo das cargas distribuídas pelos caminhões. Centro de assistência técnica: realiza a manutenção dos equipamentos disponibilizados pela empresa ao cliente. Central de monitoramento: realiza o monitoramento dos veículos que estão realizando as entregas na rua, enviando para os analistas de rota e supervisores de distribuição informações referentes a devolução de produtos, problemas de pagamento do cliente, quantas entregas faltam para a o término da rota e demais informações pertinentes a execução das entregas aos clientes. Dentre as áreas descritas anteriormente as considerações a seguir ficarão circunscritas à área de logística, em virtude do objetivo central do presente trabalho estar direcionado para a presente área, mas especificamente ao processo que permite a entrega dos produtos aos clientes. Com relação às centrais de distribuição o presente trabalho terá como foco a área de atendimento da central de distribuição de Jacarepaguá. Essa área e a infra-estrutura logística para atendê-la serão apresentadas nos tópicos subseqüentes a este. 3.3 ÁREAS DE ATENDIMENTO DA CENTRAL DE DISTRIBUIÇÃO DE JACAREPAGUÁ A central de distribuição de Jacarepaguá tem sua área de atendimento circunscrita a parte da Zona Norte e Oeste do Rio de Janeiro. Devido ao tamanho e complexidade quanto às características de atendimento da área da central de distribuição de Jacarepaguá, ocorre a subdivisão desta área no software de roteirização em duas sub-áreas: área de roteirização 8 e área de roteirização 3. Essas áreas encontram-se descritas na figura abaixo, posteriormente será apresentada uma visão geral da área de atendimento da central de distribuição de Jacarepaguá. Devendo-se considerar que os pontos em amarelo representam os pontos de venda e o ponto em vermelho a central de distribuição de Jacarepaguá.

69 69 Figura 16 Área de roteirização 8. Figura 17 Área de roteirização 3.

70 70 No entanto, deve-se destacar que essa área de atendimento sofreu uma modificação considerável a partir de 14/08/2006, quando foi efetivada a retirada de duas partes dessa área de atendimento. Essa mudança teve como objetivo desobstruir em termos logísticos a central de distribuição de Jacarepaguá. As áreas foram para a central de distribuição de Campo Grande e São Cristóvão. Abaixo é apresentada a área de atendimento geral antes dessa mudança. Posteriormente são apresentadas as áreas de atendimento que foram para a central de distribuição de Campo Grande e São Cristóvão respectivamente. Figura 18 Área de atendimento antiga (antes de 14/08/2006) da central de distribuição de Jacarepaguá.

71 71 Figura 19 Área de atendimento que passou a ser atendida pela central de distribuição de Campo Grande. Figura 20 Área de atendimento que passou a ser atendida pela central de distribuição de São Cristóvão.

72 72 As áreas que foram para a central de distribuição de Campo Grande e São Cristóvão compreendem as seguintes regiões: entre o metrô da Pavuna e a Av. Nazaré Campo Grande e o bairro de Sampaio e o morro do Jacarezinho São Cristóvão. Com a mudança a área de atendimento da central de distribuição de Jacarepaguá ficou conforme a figura abaixo. Figura 21 Área de atendimento atual da central de distribuição de Jacarepaguá. 3.4 INFRA-ESTRUTURA ORGANIZACIONAL E LOGÍSTICA DA CENTRAL DE DISTRIBUIÇÃO DE JACAREPAGUÁ Atualmente, em termos de infra-estrutura logística, a central de distribuição de Jacarepaguá opera em sua área de logística com uma frota de 100 caminhões da frota fixa e 20 caminhões pertencentes à frota extra (freteiros contratados por viagem de acordo com o volume de vendas). Esses 100 caminhões apresentam os seguintes perfis: 10 baias alto, 10 baias rebaixado, 8 baias alto, 8 baias rebaixado, 6 baias alto, 6 baias rebaixado, 12 baias aberto, carreta e 8 baias aberto.

73 73 Com relação a equipe de trabalho tem-se: 1 gerente de operações e distribuição - GOD, 1 coordenador de distribuição, 1 supervisor de distribuição, 4 analistas de rota, 1 coordenador de armazém, 3 supervisores de armazém, 60 conferentes (realizam o carregamento do caminhão), 1 analista de armazém, dois controllers (registram e analisam a quantidade de produtos que entra e sai da central de distribuição) e dois técnicos em roteirização que utilizam o software de roteirização para realizar a seqüência de entregas de cada caminhão. GOD Coord. Armazém Coord. Distribuição Sup. Armazém Sup. Armazém Sup. Armazém Analista Supervisor Distrib. Conferentes 20 Confe rentes Conferentes 20 Controller Conferentes 20 Controller Controller Analista de Rota (I) Analista de Rota (III) Analista de Rota (V) Analista de Rota (II) Analista de Rota (IV) Analista de Rota (VI) Tec. Roteirização (I) Tec. Roteirização (II) Figura 22 Organograma da área de logística da central de distribuição de Jacarepaguá. 3.5 MACRO FLUXO DE OPERAÇÕES O macro fluxo de operações congrega todas as etapas pertinentes ao processo de entrega de produtos da empresa distribuidora de bebidas, ou seja, desde o momento em que ocorre a venda do produto até a entrega deste ao cliente. Inicialmente será exposta uma visão ampla do macro fluxo de operações para que posteriormente sejam apresentados seus fluxos internos principais: fluxo entrega rota, recebimento puxada, carregamento e fluxo de roteirização.

74 74 Partindo de uma visão geral do macro fluxo de operações temos os seguintes fatores principais que o compõe e suas respectivas funções: Vendas: processo através do qual o vendedor visita os pontos de venda e digita o pedido do cliente em seu palmtop. Após essa etapa o vendedor retorna a central de distribuição, comparece até a área de tecnologia de informação e descarrega as informações de vendas inseridas no palmtop no sistema integrado de gestão, com o objetivo de que essas informações de vendas sejam inseridas na grade que contemplará todos os pedidos realizados no dia da venda. Financeiro: recebimento do arquivo contendo todos os pedidos de compra dos clientes e com isso é encerrado o processo de descarga de informações de venda do palmtop dos vendedores no sistema integrado de gestão ( corte do link ). Como etapa subseqüente efetua-se a crítica dos pedidos, ou seja, todos os clientes que apresentarem alguma pendência financeira com a empresa não terão sua compra efetuada. Além disso, o financeiro realiza a emissão das notas fiscais, boletos de pagamento e no momento em que o veículo retorna a central de distribuição após realizar as entregas ocorrem o processo de prestação de contas financeiras, que visa comparar o valor das mercadorias que o caminhão tinha de entregar aos clientes em relação ao dinheiro que a equipe de entrega trouxe. Entrega: roteirização e escala de equipes. Após o processo de roteirização realizase a geração de uma série de relatórios gerenciais planejamento e controle de distribuição PCD que visam fornecer informações com relação à operação de entrega. Armazém: Nas etapas iniciais do macro fluxo de operações o armazém realiza a gestão da grade de estoque que visa comparar quais foram os produtos vendidos e suas respectivas quantidades demandadas em relação aos que se encontram disponíveis no armazém. Esse processo de verificação está diretamente relacionado à programação de puxada, que se refere ao processo de abastecimento da central de distribuição. Nas etapas subseqüentes ocorre a separação das relações de entrega (mapas), contendo a seqüência de clientes a serem entregues no dia por caminhão, ou seja, cada relação de entrega contém a seqüência de clientes a serem atendidos por um caminhão no dia entrega. Além disso, deve-se destacar que no retorno dos caminhões a central de distribuição o armazém realiza a conferência física do caminhão que seria o processo de verificar se houve devolução de produtos e se os produtos que apresentam embalagens retornáveis não sofreram nenhum tipo de avaria durante o trajeto.

75 75 Para permitir uma melhor compreensão dos fatores mencionados acima e como estes interagem entre si tem-se a seguir a exposição gráfica do fluxo de macro operações da empresa distribuidora de bebidas. Nesse fluxo deve-se destacar que algumas etapas do processo de entrega e armazém são qualificadas como sendo críticas, ou seja, são etapas que exercem um impacto considerável na operação como um todo. Figura 23 Representação gráfica do macro fluxo de operações Após a exposição do macro fluxo de operações devem-se descrever os principais fluxos que ocorrem no interior desse macro fluxo e que permitem a entrega dos produtos aos pontos de venda Fluxo entrega rota O fluxo entrega rota refere-se à etapa que congrega todo o processo diretamente relacionado à entrega dos produtos pela empresa distribuidora de bebidas, ou seja, todos os fatores e situações que se vinculam ao processo de entrega. Neste caso o processo inicia-se com a preparação para saída em rota que congrega a conferência da carga transportada e das notas fiscais e termina no retorno a central de distribuição para a prestação de contas físicas e

76 76 financeiras. Esse fluxo opera da seguinte forma: o motorista ao chegar ao PDV confere juntamente com o cliente a quantidade de produto demandada e o valor da nota fiscal, caso não haja nenhuma anomalia o PDV irá receber a mercadoria e a equipe de entrega irá conferir o vasilhame e apurar o refugo, ou seja, a equipe verificará se o PDV tem o mesmo número de vasilhames com a marca da bebida que a equipe estará entregando neste PDV e se as garrafas de bebidas não apresentam alguma avaria. No entanto, se houver alguma anomalia e o PDV não receber a mercadoria a equipe de entrega deve entrar em contato com o analista de rota e o supervisor da transportadora. A partir deste momento o fluxo pode ser direcionado para a possibilidade de o PDV aceitar em refugar as garrafas e do vasilhame ser suficiente para a realização da entrega. Por fim se não houver mais nenhuma anomalia equipe de entrega continuará a seqüência de entregas sem maiores problemas. A seguir o fluxo encontra-se graficamente esmiuçado, com o objetivo de permitir uma compreensão mais aprofundada em relação ao fluxo entrega rota. Figura 24 Representação gráfica da primeira etapa do Fluxo Entrega Rota.

77 77 Figura 25 Representação gráfica da segunda etapa do Fluxo Entrega Rota. Figura 26 Representação gráfica da terceira etapa do Fluxo Entrega Rota.

78 78 Figura 27 Representação gráfica da quarta etapa do Fluxo Entrega Rota. Com o objetivo de finalizar a exposição do fluxo entrega rota tem-se a tabela abaixo que coloca como o processo deve ser executado pela equipe de entrega. Figura 28 Descrição das etapas principais do fluxo entrega rota.

79 Fluxo recebimento de Puxada Esta etapa refere-se ao recebimento da mercadoria proveniente da fábrica, conferência em termos de quantidade, se existem avarias nas mercadorias recebidas na central de distribuição e demais ações de registro de avarias/medidas a fim de que a transportadora venha a ressarcir a empresa distribuidora de bebidas. O fluxo encontra-se descrito graficamente abaixo em duas etapas: fluxo de recebimento da puxada e armazenagem. Figura 29 Representação gráfica da primeira etapa do fluxo recebimento da puxada Figura 30 Representação gráfica da segunda etapa do fluxo recebimento da puxada