PRINCÍPIOS DA CONTAGEM NUMÉRICA: UMA CONSTRUÇÃO PROGRESSIVA? 1. Resumo

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1 PRINCÍPIOS DA CONTAGEM NUMÉRICA: UMA CONSTRUÇÃO PROGRESSIVA? 1 Beatriz Vargas Dorneles Universidade Federal do Rio Grande do Sul Resumo A construção dos princípios da contagem é um processo longo que requer interações em situações de quantificação pela criança.este trabalho descreve a construção dos cinco princípios de contagem por crianças de cinco e seis anos e descreve uma seqüência de construção dos mesmos. Em um grupo de 118 crianças de cinco e seis anos de escolas particulares, utilizando-se situações experimentais baseadas no método clínico, encontramos a seguinte ordem na construção: o princípio da ordem estável é o primeiro a ser construído acompanhado do princípio da correspondência termo a termo logo a seguir.os seguintes princípios aparecem nesta seqüência nos dois grupos de crianças: princípio da cardinalidade, da abstração e da irrelevância da ordem. Discute-se os resultados confrontando-os coma literatura existente. Conclui-se que tal tendência na construção destes princípios mantém-se nos dois grupos pesquisados, é parcialmente coerente com a literatura e sugere-se a necessidade de intervenção pedagógica com crianças desta faixa etária, considerandose a importância da aprendizagem da contagem para as aprendizagens matemáticas posteriores. Palavras-chave: Princípios de contagem, contagem numérica, quantificação. Introdução A construção das primeiras regularidades do sistema numérico pelas crianças e, mais especificamente, das regularidades da contagem numérica tem sido menos estudada do que a construção das regularidades do sistema alfabético de escrita.no entanto, há um crescimento no volume de trabalhos escritos na área nas duas últimas 1 Participaram da coleta dos dados as seguintes alunas do PPGEdu: Neila Agranionih, Iara Caierão (Doutorandas), Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Andréa Wallauer (mestrandas) e Dionara Aragon, Isabel Vasconcellos e Nilce Azevedo Cardoso (alunas do Programa de Pós-Graduação pelo PEC-Programa de Extensão Continuada). Este trabalho faz parte do projeto de pesquisa desenvolvido junto ao PPGEdu-UFRGS intitulado A construção dos princípios princípios da contagem inicial em crianças de cinco a sete anos. 2 Doutora em Educação USP. Professora do PPGEdu da Faculdade de Educação da UFRGS. 1

2 décadas, tratando desde o uso precoce de símbolos numéricos até uma idéia muito inicial de numerosidade passando pela compreensão das regularidades da contagem (FUSON, 1988; GEARY, D., HOARD, M. & HAMSON, C.O. (1999); K.C.;RICHARDS & BRIARS,1982; GEARY, David C.,1993) em crianças com e sem dificuldades na área da matemática. A pesquisa que ora descrevemos trata de um tema bastante específico: a seqüência de construção cognitiva dos princípios de contagem que aparecem no início do processo de consolidação de tais regularidades pela criança pequena, de cinco e seis anos. Consideramos, de acordo com GELMAN e GALISTEL (1978), a existência de cinco grandes princípios a serem desenvolvidos pelas crianças e consideramos que tais princípios sofrem influência da qualidade das interações sociais, bem como das habilidades internas de cada sujeito. Encontra-se, na literatura da área, uma aceitação relativamente consensual quanto à existência de tais princípios (GEARY, 1992,1993; FAYOL,1996; NUNES & BRYANT, 1997; BURGOS, 2003). No entanto, há uma lacuna na literatura a respeito da seqüência da construção de tais princípios. O que descrevemos nesta pesquisa é justamente tal seqüência na construção de tais princípios, ou seja, procuramos determinar tendências no aparecimento seqüencial dos princípios.já temos trabalhado com diferentes dimensões da construção numérica (DORNELES, 1998; DORNELES, 2002b; DORNELES, 2003) e, neste momento, optamos por pesquisar a construção dos princípios de contagem por três razões diferentes mas complementares. Em primeiro lugar, os princípios da contagem são a base para toda a construção numérica posterior. Dificuldades nesta construção inicial acarretam dificuldades em vários outros processos presentes na construção matemática como a literatura na área tem confirmado (GEARY, HOARD & HAMSON, 1999; GEARY, HAMSON & HOARD, 2000).Uma melhor compreensão da construção destes princípios possibilita uma intervenção pedagógica mais precisa e preventiva de dificuldades futuras.em segundo lugar, a constatação da existência da lacuna significativa que apontamos acima quanto à seqüência de construção de tais princípios mesmo com a relativa aceitação da existência dos mesmos. Em terceiro lugar, a contagem tem sido considerada como uma ferramenta cognitiva importante não só para a compreensão de conteúdos posteriores como 2

3 também para o desenvolvimento de habilidades de matematização mais elaboradas e significativas. Ou seja, é preciso contar bem para desenvolver habilidades cognitivas mais complexas.este relato de pesquisa se divide em três seções: a primeira trata do enquadramento teórico do problema, a segunda descreve a metodologia da pesquisa e a terceira descreve os primeiros resultados encontrados. 1.Diretrizes teóricas A compreensão dos processos de aprendizagem e/ou construção do sistema de contagem numérico tem se ampliado graças a trabalhos publicados sobre o desenvolvimento de tais processos (GELMAN & GALISTELL, 1978; NUNES & BRYANT, 1997; BRUN, 1996, HOUDÉ & MIEVILLE, 1994) que têm garantido um acúmulo de conhecimentos sobre o tema. A pesquisa ora descrita está baseada em dois grandes paradigmas teóricos: a Epistemologia Genética e a Ciência Cognitiva. Temos trabalhado com estas duas construções teóricas considerando-as na perspectiva de POZO (2002): como referenciais teóricos que explicam os processos de aprendizagem diversos que estão presentes na maioria das situações de aprendizagem complexas que caracterizam as aprendizagens numéricas de crianças e adolescentes. Como já referimos em trabalho recente (DORNELES, 2003), encontramos na Epistemologia Genética referenciais poderosos para explicar os processos de construção e reestruturação cognitiva.tais processos estão presentes na aprendizagem das regularidades da contagem, das regularidades do sistema decimal, na construção das relações espaciais, na compreensão das relações trigonométricas etc. No entanto, a aprendizagem associativa, bem descrita pela Ciência Cognitiva, está presente também nas construções numéricas permitindo a memorização das seqüências de nomes de números, dos resultados da tabuada, dos procedimentos de solução de problemas, etc. Portanto, ao falarmos de aprendizagem do sistema numérico estamos diante de um bom exemplo de sistema complexo, como o define MORIN (1996), que comporta uma organização hierárquica integrando vários processos. Da mesma forma que MORIN (BIANCHI, 2001) propõe em relação à natureza das modificações nos sistemas 3

4 complexos, consideramos que a aprendizagem do sistema numérico dispõe de dois tipos de processos: processos cíclicos, reversíveis e cumulativos baseados na repetição e na manutenção da estabilidade (aprendizagem por associação) e outros processos evolutivos, irreversíveis, que produzem uma reorganização e um aumento da complexidade (aprendizagem por reestruturação). 1.1.Habilidades numéricas iniciais Um certo inatismo nas capacidades de quantificação é tema polêmico entre os pesquisadores da construção numérica (FODOR, 1983; STERNBERG, 2000). GELMAN & GALISTEL (1978) defendem a existência de uma capacidade inata de abstração numérica das crianças, isto é, a capacidade que as crianças têm para formar representações sobre a numerosidade de conjuntos. Vários trabalhos realizados com bebês (FLAVELL et alii, 1999; STERNBERG, 2000) mostram algum tipo de raciocínio numérico entre bebês, resultante de uma certa predisposição inata que nos possibilita sermos numericamente competentes. Vale ressaltar, porém, que tais habilidades se expressam somente frente a conjuntos pequenos de dois, três ou quatro elementos, o que nos remete ao processo de subitização (da palavra súbito ), um processo de reconhecimento imediato da quantidade de elementos de um conjunto que é encontrado inclusive em animais (IFRAH, 1989). Há, porém, que se referir outras habilidades numéricas iniciais, especialmente um certo conhecimento lingüístico que permite estabelecer (ou etiquetar) algumas relações do tipo mais ou menos, maior ou menor. São esquemas muito iniciais, que alguns autores (RESNICK, In: STERNBERG, 2000) chamam de protoquantitativos, que constituem os elementos básicos para o desenvolvimento matemático posterior. A autora citada refere três tipos de esquemas de raciocínio: os esquemas de comparação, os esquemas de aumento ou diminuição e os esquemas de relações parte-todo.tais esquemas são os que dão origem aos princípios da contagem desenvolvidos posteriormente.porém não há consenso sobre o caráter inato dos princípios de contagem.fuson (1988) considera que os princípios de contagem não são inatos e se desenvolvem a partir da prática repetida dos procedimentos de contagem, especialmente por imitação. 4

5 1.2.Princípios da contagem Partimos, então, da possibilidade de uma certa predisposição genética, não bem determinada, mas existente, que permite a construção do número, e necessitamos de oportunidades quantitativas para construir a estrutura da quantificação, suas regularidades e os instrumentos necessários para realizar esta quantificação que nos são dados pela cultura. Apesar de que os contextos interacionais variam de cultura para cultura (DORNELES, 2002a), a maior parte das diferentes culturas oferece um sistema de contagem junto com as oportunidades para manipular e contar pequenas quantidades de objetos.a contagem é progressivamente construída na medida em que as crianças vão compreendendo as regularidades do sistema e organizando os princípios essenciais que as regem. GELMAN & GALISTEL (1978) foram os precursores na descrição destes princípios os quais descreveremos a seguir. O primeiro princípio, o da correspondência termo a termo, supõe que o sujeito construa a idéia de que deve contar todos os objetos e contar cada um deles uma vez e apenas uma vez. Se contarmos cada objeto mais de uma vez ou se pularmos os objetos, chegaremos ao total errado.portanto, este princípio envolve a correspondência de um nome de número para cada objeto a ser contado. O princípio da ordem constante implica em construir a idéia de que a ordem na qual devemos produzir os números deve ser sempre a mesma, isto significa não mudar a seqüência para não chegar a resultados inconsistentes.é necessário contar na seguinte ordem: um, dois, três, quatro, cinco e não quatro, seis, oito, dois. O terceiro princípio se refere à decisão de quando parar: ou seja, o total de objetos corresponde ao último nome de número de nossa contagem. E compreender que este último número envolve todos os números da série contada. GELMAN E GALISTEL (1978) propõem outros dois princípios: o da abstração, que determina que os princípios anteriores podem ser aplicados a qualquer tipo de conjunto e o princípio da irrelevância que indica que a ordem pela qual se começa a enumerar os elementos de um conjunto é irrelevante para sua designação cardinal. Compreender a contagem é um processo que envolve tais princípios complexos que as crianças vão construindo lentamente. Uma boa parte das crianças desenvolve estes princípios até os cinco, seis anos, mas ainda não estabelecem relações entre 5

6 todos os aspectos dos números (GEARY, 1993). Numeralizar crianças desta idade requer envolvê-las em situações nas quais a contagem é uma boa estratégia para resolver problemas. O uso da contagem em situações significativas torna o número mais pleno de sentidos (NUNES & BRYANT, 1997). Na medida em que o número for mais significativo, ele vai se transformando numa ferramenta para pensar, num procedimento a ser usado para resolver problemas (NUNES & BRYANT, 1997; DORNELES, 2002b).A aprendizagem da série numérica não termina quando as crianças são capazes de recitar a seqüência de números corretamente. Esta seqüência permite que, mais adiante, as crianças e adolescentes recitem automaticamente os números de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro. Além disso, permite recitá-los regressivamente, o que será de significativa importância para as operações básicas de adição e subtração (FAYOL,1996). Ou seja, encontramos fartas evidências de que a contagem inicial é a base para aprendizagens numéricas posteriores. 2.Objetivos da Pesquisa O objetivo central desta pesquisa é identificar a psicogênese dos princípios da contagem em crianças de cinco e seis anos, ou seja, determinar a seqüência de construção dos cinco princípios da contagem em crianças da faixa etária citada acima.estabelecer algumas conseqüências desta evolução psicogenética para o ensino do sistema numérico na educação infantil e nas séries iniciais é o objetivo secundário. 3.Metodologia da investigação Esta pesquisa foi realizada em cinco escolas particulares, duas de Porto Alegre e três de diferentes cidades do interior do Rio Grande do Sul. Tais escolas foram selecionadas considerando dois aspectos: a) interesse e possibilidade física de realização de atividades individuais com as crianças da pesquisa e b) número de crianças, de cinco e seis anos, suficiente para completar a amostra. Foi utilizado o método clínico como recurso metodológico, com técnicas de investigação dos cinco princípios de contagem, a partir da descrição dos princípios de contagem de GELMAN E GALISTEL (1978), organizadas e sintetizadas por BURGOS 6

7 (2002), em 118 sujeitos assim distribuídos: 62 sujeitos de cinco anos, 56 sujeitos de seis anos.tal instrumento foi adaptado pela organizadora da pesquisa com a autorização do autor. As técnicas de investigação constam de cinco situações experimentais diferentes. A primeira situação refere-se ao princípio da ordem estável. Inicialmente perguntou-se à criança até quanto ela sabia contar e pediu-se que ela contasse.anotavam-se todos os procedimentos e respostas orais na folha de respostas. A segunda situação, envolvendo o princípio da correspondência termo a termo, consistiu em apresentar inicialmente um grupo de dez fichas enfileiradas e pedir que a criança diga quantas fichas há no grupo apresentado. Após esta primeira contagem, apresentou-se o mesmo número de fichas não mais enfileiradas e perguntou-se novamente quantas fichas havia no grupo.repetiu-se o mesmo procedimento com 15, 25,35 e 45 fichas. A terceira situação diz respeito ao princípio da abstração. Perguntou-se à criança se fossem contadas quinze balas se contaríamos de forma diferente das quinze fichas ou não. A quarta proposta trata do princípio da cardinalidade.ao final da contagem de um conjunto de 15 elementos, perguntou-se à criança quantos tinham ao todo e pediu-se que ela entregasse dez fichas à avaliadora. A quinta proposta refere-se ao princípio da irrelevância da ordem. Pediu-se que a criança contasse o mesmo conjunto de quinze fichas, apresentado linearmente, em outra ordem, ou seja, começando por outra ficha. A seguir, solicitava-se que ela dissesse quantas fichas teria ao desmanchar-se a linearidade do conjunto.logo, pediase que a criança contasse primeiramente 8 fichas do mesmo conjunto, separando-as e depois as outras 7 e perguntava-se quantas tinha agora ao todo. Todas as crianças foram classificadas em três grupos em cada princípio. Aquelas que apresentavam os indicadores que mostravam que ela já havia construído o princípio eram consideradas S (Sim).As que mostravam dúvidas, tateios, respostas pouco consistentes eram consideradas EC (Em construção). As que não demonstravam 7

8 nenhuma compreensão do princípio que estava em observação eram consideradas N (Não). 4.Descrição dos dados A tabela seguinte resume os principais dados encontrados. Tabela 1 Distribuição dos Princípios de Contagem em Crianças de 5 e 6 anos Princípio da Ordem Estável Princípio da Correspondência Princípio do Valor Cardinal Princí Abstr Idade Quant. S N Ec S N Ec S N Ec S N ,54% ,10% 4,84% 8,06% 72,58% 12,90% 14,52% 51,61% 24,19% 24,19% 45,16% 37, ,46% 100,00% 0,00% 0,00% 98,21% 0,00% 1,79% 78,57% 7,14% 14,29% 62,50% 19,6 Fonte: Entrevistas realizadas no segundo semestre de 2003 pelo grupo de pesquisa em seis escolas particulares Esta tabela aponta três resultados significativos. a) Há um crescimento importante no percentual de construção de cada um dos princípios dos cinco para os seis anos; b) O princípio da ordem estável parece ser o mais precoce.com efeito, 87% das crianças de cinco anos e 100% das de seis anos já tem este princípio construído. c) O princípio da correspondência termo-a-termo aparece com um percentual levemente menor que o princípio da ordem estável, estando consolidado em 72,58% das crianças de cinco anos e 98,21% das crianças de seis anos. O princípio da Irrelevância da Ordem aparece, nesta amostra, como o princípio com menor índice de construção tanto entre as crianças de 5 anos (25,81%), como entre as de 6 anos (51,78%). 8

9 Na amostra pesquisada tanto entre as crianças de cinco anos como entre as de seis encontra-se uma seqüência de aparecimento dos princípios muito semelhante: ordem estável, correspondência termo-a-termo, cardinalidade, abstração e irrelevância da ordem. 5.Discussão dos dados Os dados apresentados indicam tendências coincidentes com FUSON, RICHARDS & BRIARS (1982) mas discrepantes de outras pesquisas (GELMAN & MECK, 1983). GELMAN & MECK (1983) apontam para compreensão precoce dos princípios da correspondência termo a termo e da irrelevância da ordem. FUSON, RICHARDS & BRIARS (1982) sugerem que o princípio da ordem estável desenvolve-se gradualmente e que as seqüências iniciais (seqüência até 15 aí incluída) estabilizam-se até os cinco anos. Os princípios da cardinalidade e da abstração aparecem mais tardiamente, conforme resultados de FUSON (1988) e SHIPLEY & SHEPPERSON (1990).GEARY, BOW-THOMAS & YAO (1992) sugerem que crianças de primeira série, com dificuldades na leitura ou na matemática não entendem o princípio da irrelevância da ordem mas compreendem o princípio da ordem estável.para estas crianças a ordem estável é compreendida mais rapidamente do que a irrelevância da ordem. Estes resultados sugerem que as crianças com desenvolvimento mais lento ou dificuldades específicas na matemática demoram mais para compreender o princípio da irrelevância da ordem.em nossa pesquisa a maior parte das crianças (com ou sem dificuldades) apresenta esta mesma tendência. A literatura (GEARY, BOW-THOMAS & YAO, 1992) aponta para a necessidade de uma intervenção pedagógica eficaz na construção dos princípios de contagem, especialmente entre as crianças que ainda não construíram os princípios da ordem estável e da correspondência termo a termo. 6.Conclusões gerais A compreensão dos princípios de contagem é um conhecimento inicial e fundamental para os conhecimentos matemáticos posteriores.estes princípios ainda são pouco conhecidos dos professores, especialmente os de educação infantil e séries iniciais. Os dados da pesquisa mostram que estes princípios se desenvolvem 9

10 progressivamente, sendo que a maioria das crianças já os têm construídos aos seis anos. No entanto, nesta pesquisa não fizemos distinção entre as crianças de cinco e seis anos com escolarização prolongada ou não e somente trabalhamos com crianças de escolas particulares.a próxima etapa da pesquisa contemplará crianças de classes populares e analisará o desempenho das crianças em cada um dos princípios em relação com os outros.os dados encontrados até agora sugerem que se dê uma maior atenção àquelas crianças que não construíram ainda os princípios inicias (ordem constante e correspondência termo-a-termo) e que se criem situações pedagógicas que contemplem todos os princípios. 7.Referências BIANCHI, Françoise. (2001). Le fil des idées: une eco-biographie intellectuelle d Edgar Morin.Paris, Seuil.. BRUN, J. et alii. (1996) Didactique des mathématiques. Paris, Lausanne,. BURGOS, Carlos Eduardo Oyarzún.(2003). Proposta de Avaliação psicopedagógica das habilidades numéricas iniciais à perspectiva do modelo de integração de habilidades. Projeto de Tese de Doutorado.Universidade de Salamanca. DORNELES, Beatriz Vargas.(1998). Escrita e Número: relações iniciais. Porto Alegre, Artes Médicas. DORNELES, Beatriz Vargas. (2002 a). Conhecimentos atuais sobre os processos de aprendizagem e suas implicações para a escola. Getúlio Vargas, Fazeres e Saberes Educativos, I, 1, junho de DORNELES, Beatriz Vargas. (2002b) Crianças Construindo Números. Vídeo produzido na UFRGS.. DORNELES, Beatriz Vargas. (2003) Reflexões sobre a construção numérica: limites e possibilidades. In: SCOZ et alii. Psicopedagogia: um portal para inserção social. São Paulo, Vozes.. FAYOL, Michel. (1996) A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre, Artmed. 10

11 FLAVELL, J; Miller, P. & Miller, S. (1999) Desenvolvimento cognitivo. Porto Alegre, Artmed. FODOR, J. A. ( 1983) The modularity of mind. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. FUSON, K. C.(1988) Children s counting and concepts of number. New York; Springer- Verlag. FUSON, K.C.;RICHARDS & BRIARS, (1982). The acquisition and elaboration of the number word sequence. In: Brainerd (Ed.) Progress in Cognitive Development Children Logical and Mathematical Cognition.New York: Springer-Verlag. GEARY,David C. (1993). Mathematical Disabilities: Cognitive, Neuropsychological and Genetics Components. Psychological Bulletin 114,2: American Psichological Association. GEARY, David C. (1992). Counting Knowledge and Skill in Cognitive Addition: a comparison of Normal and Mathematically Disabled Children. Journal of Experimental Child Psychology. 54, ,. GEARY, David, BOW-THOMAS, C. & YAO, Y. (1992). Counting Knowledge and skill in cognitive addition: a comparision of normal and mathematically disabled children. Journal of Experimental Child Psichology, 54, GEARY, D., HOARD, M. & HAMSON, C.O. (1999).Numerical and Arithmetical Cognition:Patterns of Functions and Deficits in Children at Risk for a Mathematical Disability. Journal of Experimental Child Psichology, 54, GEARY, D. C. HAMSON, C. O. & HOARD, M. (2000). Numerical and Arithmetical Cognition: a longitudinal Study of Process and Concept Deficits in Children with Learning Disabilities. Journal of Experimental Child Psychology, 77, GELMAN, R & GALISTELL, C.R. The child s understanding of number. Cambridge, Harvard University Press, GELMAN, R. & MECK, (1983). Preschooler s counting:principles before skill. Cognition, 13, HOUDÉ, Olivier & MIÉVILLE, Denis (1994). Pensée Logique-mathématique. Paris, PUF. IFRAH, Georges. (1989). Os números: a história de uma grande invenção.rio de Janeiro,Globo. 11

12 MORIN, Edgar (1996). Paradigma da Complexidade. In: SCHNITMAN, Dora Fried (org.). Novos paradigmas, Cultura e Subjetividade. Porto Alegre Artes Médicas. NUNES, Terezinha & BRYANT, Peter. Crianças Fazendo Matemática. Porto Alegre, Artmed, POZO, Juan Ignacio.(2002). Aprendizes e Mestres: a nova cultura da aprendizagem. Porto Alegre, Artmed. SHIPLEY & SHEPPERSON. (1990). Countable entities. Developmental changes. Cognition, 34, STERNBERG, Robert. (2000) Psicologia Cognitiva. Porto Alegre, Artmed. 12