UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO NÍVEL MÉDIO. CARLOS MAGNO LIMA FERNANDES E SILVA NATAL - RN. 2006

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO NÍVEL MÉDIO. CARLOS MAGNO LIMA FERNANDES E SILVA Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação de Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Modalidade Física. Orientador: Prof. Dr. Marcílio Colombo Oliveros

3 CARLOS MAGNO LIMA FERNANDES E SILVA UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO NÍVEL MÉDIO. Aprovada em: Dissertação apresentada ao departamento de Física e ao Centro de Ciências Exatas como parte dos quesitos necessários a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Modalidade Física. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Marcílio Colombo Oliveros - Orientador Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Prof. Dr. Ciclamio Leite Barreto Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Prof. Dr. José Ademir Sales de Lima Universidade de São Paulo - IAG

4 Dedico essa dissertação ao meu irmão Neto falecido em 1982.

5 AGRADECIMENTOS Um trabalho dessa natureza com pesquisa e reflexão teórica certamente teve inúmeras contribuições direta ou indireta de ordem técnica, pessoal e profissional que ajudaram a sua conclusão. Por essas contribuições meus agradecimentos especiais: Ao meu orientador Marcílio Colombo Oliveros pela singular dedicação e interesse na orientação dessa dissertação. Aos professores do programa de Mestrado José Ferreira Neto, Gilvan Luiz Borba, Luis Carlos Jafelice e Ciclamio Leite Barreto pelos questionamentos propostos. Ao professor Paulo Fulco que numa pequena conversa de corredor me reanimou numa hora de desistência e abandono. Ao amigo Márcio Rogério Dantas colega de profissão, pelas leituras de texto e suas considerações. Aos alunos integrantes do grupo de Mestrado, companheiros que participaram dessa jornada mesmo com vários afazeres externos. Aos alunos que participaram da aplicação do material e pelas importantes sugestões para o seu aperfeiçoamento. A equipe de trabalho do Ensino Médio da Escola Doméstica de Natal e do Complexo Educacional Henrique Castriciano, onde encontrei apoio para aplicação do mestrado: A diretora Noilde Ramalho, a Coordenadora Geral Cristine Cunha, Educadora Celina Bezerra e a Coordenadora pedagógica Ana Maria Brandão. Nessa equipe do colégio agradeço também a Gina, Andreza e Marileide pela a ajuda na confecção de algumas figuras e na mecanografia. A Nouraide e Liana pela correção dos capítulos do texto para a aplicação do material Aos irmãos, sobrinhos e amigos que mantiveram, de perto ou de longe, uma verdadeira torcida organizada para que esse trabalho chegasse a um bom termo. Aos meus pais pelo tempo de vida. As minhas filhas Júlia e Cecília que me inspiram tentar todos os dias a ser um ser humano melhor. A minha esposa Roseane pela paciência e compreensão nas minhas ausências em casa, pela sua incansável obstinação em ajudar o seu companheiro a vencer. A Deus acima de todos.

6 A primeira contradição é então, como sempre, o primeiro conhecimento. Bachelard

7 RESUMO As novas diretrizes curriculares apontam para uma necessidade de se introduzir conceitos de Física Moderna e Contemporânea no nível médio. O objetivo desse trabalho é desenvolver uma metodologia e produzir material didático para o ensino da Teoria da Relatividade Especial (TRE) no nível médio. Na primeira etapa fizemos um levantamento bibliográfico coletando artigos e livros sobre a TRE e seu ensino. Na análise destes trabalhos destacamos alguns pontos importantes para o processo ensino aprendizagem como as concepções prévias, a utilização da História e Filosofia da Ciência na compreensão da evolução do conhecimento, os equívocos que são praticados em relação a alguns conceitos da TRE, especialmente sobre a equivalência massa energia e sobre a massa. Nesse trabalho apresentamos uma proposta pedagógica baseada em fundamentos da aprendizagem por construção do conhecimento por parte do aluno e a metodologia utilizada leva à participação ativa do aluno através de um estímulo à reflexão. Na primeira aula aplicamos um questionário com questões relacionadas ao conteúdo para fazer um levantamento de algumas concepções prévias dos alunos e, depois de analisar as respostas foi feito uma discussão e a colocação do problema. Na seqüência foi feita uma revisão dos conceitos de Mecânica Clássica no sentido de reafirmar algumas idéias que estarão em questão ao longo do curso e para as quais se busca uma evolução conceitual. Seguindo uma abordagem problematizadora foram trabalhadas quatro atividades envolvendo situações da natureza que não podem ser descritas pela Física Clássica, criando dessa forma uma necessidade de novos conhecimentos para a compreensão do comportamento da natureza. Agindo assim deixamos o ensino tradicional no sentido de o aluno somente receber a informação sem refletir sobre ela. A metodologia escolhida foi a preparação de textos com informações e perguntas cadenciadas para levar aos alunos alguns conflitos entre dados experimentais e teóricos. Na aplicação dessas atividades os alunos foram divididos em grupos de três para responder as perguntas à medida que avançavam na leitura. Ao final de cada atividade fizemos uma discussão e síntese no sentido de reforçar e garantir que o objetivo da atividade fosse alcançado. Foram preparadas ainda seis atividades com perguntas e respostas que poderão ser utilizadas pelo professor de acordo com a sua disponibilidade de tempo e as condições da turma. Devido à inexistência de um texto adequado à metodologia utilizada também foi preparado um material específico para o aluno com o objetivo de dar suporte ao trabalho da sala de aula. Isso exigiu bastante tempo de preparação. O material desenvolvido foi aplicado em duas turmas compostas de alunos de terceiro ano do ensino médio. Uma turma foi formada com alunos e alunas do terceiro ano do ensino médio da Escola Doméstica de Natal e do Complexo Educacional Henrique Castriciano e a outra foi formada com dezesseis alunos sendo que cinco já haviam terminado o ensino médio e onze estavam concluindo o terceiro ano do ensino médio em diversos colégios de Natal. Devido a vários problemas estruturais não foi possível, como planejado, aplicar o material em turmas regulares do ensino médio. Um dos fatores foi a dificuldade de se enquadrar a carga horária necessária para aplicação do material dentro da programação da escola. Ao final foi aplicado novamente o questionário inicial acrescido de mais três questões para se avaliar a evolução conceitual dos alunos e a aplicação das novas idéias da TRE. Da experiência vivida na aplicação do material constatamos que a metodologia utilizada é viável e efetiva, mas encontra alguns problemas relacionados com o tempo de operacionalização, com a formação dos professores e com o nível geral do ensino médio. Os problemas envolvendo a formação dos professores serão considerados na seqüência desse trabalho através de cursos de extensão. Fazendo isso estaremos divulgando nossas idéias junto à comunidade e aperfeiçoando o trabalho. Palavras chaves: Relatividade Especial, Ensino de Física, Material Didático, Abordagem Problematizadora, Concepções Prévias, História e Filosofia da Ciência, Ensino da Relatividade Especial.

8 ABSTRACT There are indications to introduce Modern and Contemporaneous Physics in high school, according to actual official curriculum. The main objective of this work is to develop a methodology and produce didactic material for teaching Special Relativity Theory (SRT) in High School. At first a bibliographic research was done collecting articles and books about the subject of Special Relativity Theory and its teaching practices. In analyzing these materials we point out some important considerations for the teaching learning process such as previous conceptions, importance of History and Philosophy of Science in the knowledge evolution, the main mistakes related do SRT, specially on the mass-energy equivalence and on mass concepts. In this research work we present a pedagogic proposal based on learning by knowledge construction by the students and the methodology considered here stimulate their active and reflexive participation. In the beginning, as the first class, we asked the students to answer some questions related to the subject in order to detect students previous conceptions and, after analyzing their answers, an open discussion was stimulated where the problem was established. Afterwards a revision on the concepts of Classical Mechanics was considered in the sense of reaffirming some ideas that will be in check along the didactic module and to which we are looking for a conceptual evolution. Following a problemizing approach we considered four activities relating situations in nature that can not be described based on Classical Physics, this way, creating a necessity of new knowledge in order to understand the nature behavior. Acting like that we leave the traditional teaching in which the student only gets the information without reflecting on it. The chosen methodology was a preparation of texts with information and questions in sequence in order to present the students some conflicts among experimental data and theory. In the application of these activities the students were divided in small groups to follow the sequence presented in the text. After each activity a discussion and synthesis were done with the whole group in order to assure that the activities objectives were reached. Yet six activities were prepared with questions and answers that can be considered by the teacher according to each specific situation of the class and the time available. Due to a non existence of a proper text adequated to the proposed methodology, we also prepared some specific material for the student, aiming to give them support to the contents presented in classroom. This required a long time of preparation. The developed material was presented to two groups of students in the third year of High School. One group was formed with third year high school students from Escola Doméstica de Natal and from Complexo Educacional Henrique Castriciano and the other group was formed with sixteen students being five who had already finished High School and eleven who where in the third year were from different schools in Natal. Due to some structural problems it was not possible to apply the material in regular groups of high school students. One of the main factors was the difficulty of intercalating in the school programe the time necessary for presenting the material in regular groups. At the end we applied the same initial questions with three additional questions in order to evaluate the students conceptual evolution and the application of the new ideas of STR in concrete situations. From the knowledge acquired in the application of the material we conclude that the considered methodology is viable and effective, but it has some problems in relation with the time necessary, with the teachers formation and with the general high school level. The problems involving teachers formation will be considered in a near future as a continuation of this research through forming groups and providing them special classes. Doing this we will be presenting our ideas to the community and improving our own work. Key-words: Special Relativity, Physics Teaching, Didactic Material, Problemizing Approach, Previous Conceptions, History and Philosophy of Science, Special Relativity Teaching.

9 LISTA DE QUADROS E FIGURAS Quadro 1: Respostas da questão Quadro 2: Respostas da questão Quadro 3: Respostas da questão Quadro 4: Respostas da questão Quadro 5: Respostas da questão Quadro 6: Respostas da questão Quadro 7: Respostas da questão Quadro 8: Respostas da questão Quadro 9: Respostas da questão Quadro 10: Respostas da questão Quadro 11: Respostas da questão Quadro 12: Respostas da questão Quadro 13: Respostas da questão Quadro 14: Respostas da questão Quadro 15: Respostas da questão ANEXOS ANEXO B - 1 A RELATIVIDADE CLÁSSICA OU GALILEANA Figura 1: Comparação da descrição do movimento de queda livre no referencial do avião e movimento de projéteis no referencial da Terra Figura 2a: Referencial S (x,y,z) e S (x, y, z ). As origens O e O coincidem (x = x = 0, y = y = 0 e z = z = 0) para t = t = 0. A posição do ponto P é a mesma em S e em S (x p = x p ) Figura 2b: Após transcorrido um certo tempo t a posição do ponto P e relação à Terra é dada por x p = x p + Vt Figura 3a: Referencial S (x,y,z) e S (x, y, z ) sendo que S move-se com velocidade V em relação à S. As origens O e O coincidem (x = x = 0, y = y = 0 e z = z = 0) para t = t = 0. A posição do ponto P é a mesma em S e em S (x p = x p ) Figura 3b: Após transcorrido um certo tempo t a posição do ponto P em relação à Terra é dada por x p = x p - Vt Figura 4a: Objeto P movendo-se com velocidade v x em relação à S. A velocidade em relação à S é v x = V + v x

10 Figura 4b: Objeto P movendo-se com velocidade -v x em relação à S. A velocidade em relação à S é v x = V - v x Figura 5a: Objeto P movendo-se com velocidade v x em relação à S. A velocidade em relação à S é v x = V + v x Figura 5b: Objeto P movendo-se com velocidade -v x em relação à S. A velocidade em relação à S é v x = V - v x Figura 6: (a) barco atravessando o rio no sentido A B; (b) barco atravessando o rio no sentido B A; (c) barco descendo o rio no sentido A 1 B 1 ; (d) barco subindo o rio no sentido B 1 A Figura 7a: A barra está em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > Figura 7b: A barra está em repouso em S que se move com velocidade ( V) em relação à S no sentido de x < Figura 8a: Referenciais S e S coincidindo no instante inicial Figura 8b : O Referencial S se movendo em relação ao referencial S Quadro 1: Transformações de Galileu ANEXO C - AS ATIVIDADES DE PROBLEMATIZAÇÃO Gráfico 1: Decaimento dos mésons em seu referencial de repouso Figura 1: Representação esquemática da experiência Figura 1: (a) o referencial do éter onde a Terra se move com velocidade V = 30 km/s e a luz tem velocidade c; (b) referencial da Terra em relação ao qual o éter se move com velocidade V = 30 km/s e a velocidade da luz é obtida através da TG Figura 2: Esquema da experiência de Michelson e Morley Figura 3: (a)a luz com velocidade no mesmo sentido da velocidade do trem; (b) A luz com velocidade com sentido contrário à velocidade do trem

11 ANEXO D 2 AS NOVAS IDÉIAS QUE LEVARAM À TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL Figura 1: Parte (a) mostra um corpo em repouso em relação a Terra (V = 0) : alguém fixo na Terra mede o comprimento próprio L 0. Parte (b) mostra o mesmo corpo movendo-se com velocidade V em relação a Terra: a medida de seu comprimento feita a partir da Terra é menor com valor L = L 0 / γ Figura 2: Dois SRI com velocidade relativa V constante. Os relógios de S e de S são sempre ajustados para marcar t = t = 0 em (x, y, z) = (x, y, z ) = (0, 0, 0) Figura 3: Temos dois referenciais S e S que são inerciais. Depois que as origens coincidem e S vê S se afastar com velocidade relativa V constante. Após certo intervalo de tempo t = t ocorre um evento na posição (x, 0,0) de S Figura 4: Temos dois referenciais S e S que são inerciais. Depois que as origens coincidem e S vê S se afastar com velocidade relativa V constante. Após certo intervalo de tempo t = t ocorre um evento na posição (x, 0,0) de S Figura 5: A caixa de Einstein uma experiência de pensamento na qual uma caixa recua em relação à sua posição inicial (a) para a posição final (c) como resultado da emissão de um pulso de luz (energia na forma de radiação) que vai de uma extremidade à outra da caixa. A caixa volta ao repouso quando a luz é absorvida pela outra extremidade. A parte b da figura mostra a luz em trânsito Quadro 1: As Transformações de Lorentz entre dois referenciais inerciais S e S quando o movimento relativo ocorre ao longo da direção x ANEXO E 3 AS CONSEQÜÊNCIAS DA NOVA TEORIA Figura 1: Sincronização de dois relógios Figura 2: Referencial S com vários relógios sincronizados todos marcando o mesmo tempo Figura 3: Fontes emitindo ondas eletromagnéticas para celulares em diferentes referenciais inerciais

12 Figura 4: Um relógio medindo tempo próprio ( t 0 ) move-se com velocidade V em relação aos infinitos relógios do referencial S, que medem o intervalo de tempo t Figura 5: (a)a nave em movimento em relação à Terra, (b) A Terra em movimento em relação à nave Figura 6: (a) Nave indo para a direita com velocidade V e (b) Nave voltando com V Figura 7: A barra está em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > Figura 8: Parte (a) mostra um corpo em repouso em relação a Terra que tem comprimento vertical H 0. Parte (b) mostra o mesmo corpo se movendo com velocidade V em relação a Terra. H = H Figura 9: A experiência do decaimento do méson. Do ponto de vista méson é a Terra que se move com velocidade V Figura 10: Fonte em repouso no referencial S emitindo pulso com freqüência ν e período T Quadro 1: Transformações de velocidade segundo a TL APÊNDICE 2 - O DIAGRAMA ESPAÇO-TEMPO DE MINKOWSKI Figura 1: Representação, em diferentes instantes de tempo, de um pulso de luz produzido em (x = 0, y = 0, t = 0). A sobreposição dessas diferentes circunferências forma um Cone Figura 2: Cone de luz para duas dimensões espaciais é definido pela relação x 2 + y 2 = c 2 t 2 : a) instante t = 0 é o presente, b) t > 0 é o futuro absoluto e c) t < 0 é o passado absoluto. d) linha de mundo APÊNDICE 3 - RELATIVIDADE GERAL Figura 1: Representação esquemática do espaço tempo do eclipse solar de 1919.A Fonte de luz (estrela) B Direção aparente da estrela C Sol D Observador (Terra) ANEXO F - AS ATIVIDADES DO CAPÍTULO 3 ATIVIDADE 5 Figura 1: Eventos simultâneos em S. Como serão em S?

13 ATIVIDADE 6 Figura 1: Referenciais inerciais sem movimento relativo. a) lâmpada desligada todos os relógios marcam t = 0; b) lâmpada ligada todos os relógios marcam o mesmo tempo t. Para O e O os eventos (instante em que a luz chega A e em B) são simultâneos Figura 2: (a) A lâmpada é ligada no instante em que O cruza com O (todos os relógios estão sincronizados e marcam t = t = 0) Figura 2: (b) Instante t A que a luz chega em A conforme medido por O. No intervalo de tempo t A a luz percorre a distância c.t A e o trem percorre a distância V.t A Figura 2: c) Instante t B que a luz chega em B conforme medido por O. No intervalo de tempo t B a luz percorre a distância c t B e o trem percorre a distância V t B ATIVIDADE 7 Figura 1: Representação de intervalos de tempo em S e em S ATIVIDADE 8 Figura 1: Trajetória da luz (ida e volta) do ponto de vista do referencial S Figura 2: Trajetória da luz de ida e volta do ponto de vista de um observador O na Terra (referencial S) em que o relógio (espelho) se desloca com velocidade horizontal V. Em A é a posição do relógio de luz em t = 0. Em M é a posição do relógio de luz quando a luz atinge o espelho de cima. Em C é a posição do relógio de luz quando a luz atinge o espelho de baixo ATIVIDADE 9 Figura 1: (a) A barra está em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > Figura 2: Parte (a) mostra um corpo em repouso em relação a Terra que tem comprimento vertical H 0. Parte (b) mostra o mesmo corpo movendo-se com velocidade V em relação a Terra. As medidas das alturas são iguais, H = H 0, para a barra em repouso e em movimento

14 ATIVIDADE 10 Figura 1: Medida do intervalo de tempo no referencial S. Tempo próprio t 0 = 2 L 0 / c Figura 2: Relógio de pulso de luz usado para ilustrar a contração de Lorentz. (a) A luz é emitida em A 1. (b) A luz chega à outra extremidade do vagão. (c) A luz volta à extremidade de onde saiu

15 LISTA DE TABELAS ANEXO C - AS ATIVIDADES DE PROBLEMATIZAÇÃO Tabela 1: Tempo de percurso e velocidade do elétron em função da energia fornecida Tabela 1: Decaimento dos mésons para uma amostra em repouso Tabela 1: Massas das partículas

16 LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES CM Centro de Massa FMC Física Moderna e Contemporânea HC Henrique Castriciano LDB Lei de Diretrizes e Bases MM Michelson-Morley PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio SRI Sistema de Referência Inercial SR Sistema de Referência TG Transformações de Galileu TL Transformações de Lorentz TRE Teoria da Relatividade Especial UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte USP Universidade de São Paulo

17 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO ENSINO MÉDIO: DIRETRIZES E PROBLEMAS 1.1 O Ensino de Conceitos de Física Moderna no Ensino Médio Uma Análise do Ensino da Teoria da Relatividade Especial (TRE) no Ensino Médio PESQUISAS RECENTES RELACIONADAS COM O ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO NÍVEL MÉDIO E A PROPOSTA DO TRABALHO 2.1 Concepções Prévias em Relação a Conceitos Básicos na Relatividade Galileana e Especial: Sistemas de Referência, Distância, Tempo e Energia; Concepções Prévias em Relação à Natureza da Ciência; Os Erros Mais Comuns no Ensino da TRE O conceito de referencial A experiência de Michelson e Morley interpretação da contração espacial e da dilatação temporal O princípio da relatividade A relação com a Mecânica Clássica A interpretação da massa A equivalência massa energia Possíveis Caminhos para Vencer os Obstáculos no Ensino-Aprendizagem da TRE A Nossa Proposta METODOLOGIA 3.1 Introdução O Questionário Inicial Revisão dos Conceitos de Mecânica Clássica Atividades de Problematização

18 3.5 A evolução do conhecimento relacionado com a TRE e a questão da Natureza da Ciência na visão de Kuhn Os Resultados decorrentes da TRE e a descrição do comportamento da natureza como apresentado nas atividades de problematização A Cinemática e a Dinâmica Relativísticas O Questionário Final APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 4.1 Avaliação do Texto do Aluno, das Atividades de Problematização e da Metodologia Utilizada no Módulo Didático Análise da Avaliação Final em Comparação com o Resultado do Questionário Inicial As Respostas Subjetivas a Respeito das Perguntas Sobre a Natureza da Ciência As Respostas Subjetivas a Respeito dos Conceitos da Física Clássica As Respostas Subjetivas a Respeito dos Conceitos Relativos à Soma de Velocidades e as Mudanças de referencial Inercial As Respostas a Respeito dos Conceitos Relativos à TRE CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS ANEXOS: ANEXO A - QUESTIONÁRIO INICIAL E DE AVALIAÇÃO FINAL... ANEXO B - 1 A RELATIVIDADE CLÁSSICA OU GALILEANA... ANEXO C - ATIVIDADES DE PROBLEMATIZAÇÃO... ANEXO D - 2 AS NOVAS IDÉIAS QUE LEVARAM À TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL... ANEXO E - 3 AS CONSEQÜÊNCIAS DA NOVA TEORIA... ANEXO F - ATIVIDADES COMPLEMENTARES PARA O CAPÍTULO

19 19 APRESENTAÇÃO (EM PRIMEIRA PESSOA) A apresentação desse trabalho me leva a refletir sobre a estrutura de ensino relativo à Física da qual fui sujeito ativo e passivo. Cientificamente ou academicamente essa seção pode ser considerada desnecessária, porém, acredito que as experiências e relações humanas devem ser partilhadas. Nesse sentido, essa seção contribui na contextualização desse trabalho e sendo assim, destacarei alguns pontos que influenciaram direta e indiretamente a sua conclusão. Aluno oriundo do sistema estadual de ensino e hoje professor de escolas públicas e privadas, analiso agora com outro olhar o meu ensino médio, o antigo científico e constato o quanto ele foi deficiente e tradicional. Hoje, percebo que os problemas que a educação apresentava, quando eu era estudante, ainda existem e não seria exagero dizer que eles se agravaram. Na escola pública, os exemplos já são bem conhecidos: professores desmotivados e mal remunerados, a falta de estrutura, etc. Nas escolas particulares a tônica era o ensino tradicional voltado para a memorização, a repetição e o conformismo. O interesse pela Física surgiu decorrente do interesse pela Matemática, mas ao término do científico (atual ensino médio) a minha base de estudo era insuficiente devido aos problemas da escola pública já mencionados anteriormente. O tema central dessa dissertação, o ensino da Teoria da Relatividade Especial, quando estudante do ensino médio, eu não sabia nem que existia, como hoje não sabem a maioria dos alunos da rede estadual de ensino, a não ser em frases soltas por divulgação em diversos tipos de mídia se destacando a impressa e a televisa. No segundo vestibular consegui ingressar no curso de Física modalidade licenciatura. Avaliando o meu curso de graduação, também verifico quanto o curso superior é tradicional. Esteve ausente no meu curso de graduação matérias interdisciplinares com a Física, como a História e Filosofia da Ciência. Digo ausente porque foi somente uma única disciplina de dois créditos de História da Ciência, ministrado por um professor que admitiu que não estiva preparado para ensinar a disciplina. Como a maioria dos estudantes universitários quando ocorre esse tipo de caso, a minha assimilação desse conteúdo foi autodidata. No curso de graduação o conteúdo relacionado com a Teoria da Relatividade Especial foi insuficiente, sendo ministrado em um terço de semestre sem conexões com a Filosofia e História da Ciência, apesar do empenho e do carisma do professor. Durante os dois primeiros anos de curso comecei a lecionar Física em escolas estaduais como estagiário e depois com experiência iniciei na rede privada de ensino, função

20 20 que exerço desde então, somando até agora dezessete anos de profissão. Formado por um ensino tradicional no ensino médio e na graduação, me tornei também mais um professor tradicional. Repetia os conteúdos de livros didáticos, resolvia exercícios sem sentido para os alunos e me conformava com o ensino mecânico, repetitivo e acrítico. Nunca fazia paralelos com outras disciplinas, pela deficiente formação nessa área e ensinar a Teoria da Relatividade Especial só se fosse uma menção de ficção científica. A deficiente formação em áreas interdisciplinares mostrava nesse momento alguns efeitos colaterais bem negativos. No final da minha graduação, um grupo de professores da UFRN começou uma mudança no curso de Licenciatura em Física e desse projeto também nasceu uma especialização em Ensino de Física. Novamente, apesar dos esforços dos professores, muito do tradicional da graduação em termos de ensino permaneceu nas aulas da especialização. Por outro lado, a especialização foi muito proveitosa no sentido de ter mudado o meu perfil de professor. Percebi conscientemente meu aspecto de professor tradicional e fui eliminando muito lentamente minhas deficiências filosóficas, históricas, como também na parte de Física Moderna. O curso de especialização abriu novos horizontes de conhecimento e adquiri o hábito de leitura diária, formando um traço que eu não possuía e que trago comigo até hoje. Finalmente encontrei o motivo para aperfeiçoar-me como profissional e foi nascendo em mim à vontade de querer avançar um pouco mais na área de pesquisa em Ensino de Física. Paralelamente a tudo isso, a UFRN, e em particular o Departamento de Física Teórica e Experimental, iniciou um inovador processo de começar a explorar conteúdos de Física Moderna no vestibular e nesse aspecto, como já foi dito, a especialização fez a grande diferença, tanto no rendimento de minhas aulas, como também na ascensão profissional. Entrementes, eu via agora com outros olhos a questão do ensino-aprendizagem e percebia com base acadêmica que prática educativa e a teoria educativa eram separadas por uma longa distância. Em relação ao tema da dissertação - a Teoria da Relatividade Especial - passei de um professor que simplesmente não ensinava porque não detinha o conhecimento, para o professor que tentava passar esse conhecimento de forma dialogada, mas mesmo assim, sentia que o processo não rendia de forma adequada. Terminada a especialização, fiquei na expectativa de um dia poder concluir um mestrado na área de ensino. Durante certo tempo me senti um pouco inerte fora do ambiente da universidade, mas sempre alimentando o desejo de um dia voltar para aprender novas idéias sobre a área de Ensino de Física. Quatro anos mais tarde, ingressei no mestrado em ensino de Física. Nesse momento ficou evidente como o ensino tradicional ao qual estamos acostumados é um aspecto de difícil mudança. Verifiquei que apesar dos esforços dos professores nas aulas do

21 21 curso, muito do tradicional da graduação e especialização, continuava presente. Não os culpo, porque sei que é muito difícil refazer nossas estruturas internas, principalmente relativas ao modo de ensino que usamos durante muitos anos. No mestrado muitas foram às lições, mas a maior e mais significativa, foi à percepção que precisava desaprender muitas coisas para poder assimilar outras. No primeiro ano de Mestrado escolhi o tema da dissertação. A Teoria da Relatividade Especial TRE - sempre despertou em mim interesse especial, pela sua relação com a filosofia e aspectos históricos. Não tinha ainda delineado a estrutura do trabalho, mas sabia que faltava um texto que preenchesse a lacuna no ensino da TRE. A esta altura vários livros de ensino médio já versavam sobre o tema de forma pragmática e sem qualquer interdisciplinaridade. A maioria desses livros, com raras exceções, segue basicamente a mesma estrutura, não dando a oportunidade do aluno dialogar com a sua aprendizagem. Sem fazer a interdisciplinaridade com aspectos históricos e filosóficos, sem dar oportunidade do aluno se colocar diante do conhecimento de forma reflexiva, se promove o ensino de uma só via, o professor fala, repete o que está no texto incentivando a memorização do aluno. Paulo Freire introduziu a terminologia educação bancária para caracterizar esse tipo de educação. Nesse contexto achei o problema a ser estudado e a pesquisa encontrou o seu foco. O trabalho deveria abordar os conteúdos da TRE partindo da evolução histórica e das concepções próprias dos alunos e, utilizando uma metodologia de problematização, trabalharse-ia no sentido de fazer a mudança conceitual nos alunos. É importante frisar que nessa seção não se pretende criticar o sistema educacional por criticar e nem poderia já que faço parte do problema. Proponho sim uma contribuição para minimizar esses problemas, isto é, a crítica é no sentido de colaborar na melhora no ensino da TRE. É óbvio que não se pretende de forma alguma se esgotar o tema, isso é meramente impossível, já que o problema do processo educacional seja em qual for a disciplina, é de natureza múltipla: política, conjuntural, estrutural, etc. Com efeito, sabemos que em Ciência qualquer que seja o tema, mesmo simples, quando se resolve analisar de forma mais aprofundada, com certeza emerge desse estudo inúmeras discussões. Com a TRE, essas discussões afloram com muito mais facilidade devido à sua essência abstrata e polêmica. A estrutura da dissertação foi encaminhada da seguinte forma. No capítulo 1 se encontra a colocação do problema a ser pesquisado. Fizemos uma análise da importância do ensino de Física Moderna no Ensino Médio, comparando com os objetivos determinados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM. Foram levantadas

22 22 as opiniões de especialistas em ensino de Física sobre esse aspecto e fizemos também uma análise sobre o ensino da TRE no nível médio, explicitando as suas deficiências que motivaram a construção desse trabalho. Uma pesquisa a respeito da carga horária e do conteúdo programático da TRE foi feita com professores de Física do terceiro ano do Ensino Médio de algumas escolas públicas e particulares de Natal. Alguns livros didáticos do Ensino Médio foram analisados no sentido de saber como estava sendo apresentada a TRE. O resultado da análise foi, com raras exceções, uma apresentação dogmática e com falhas conceituais. O capítulo dois foi escrito para dar o suporte teórico ao trabalho. Nele está contido o pensamento de autores sobre o Ensino da TRE no nível médio. A maioria desses autores afirma que o ensino da TRE deve ser feito com mais contextualização e interdisciplinaridade, levando em conta as concepções dos alunos e a evolução histórica do conhecimento científico. Nesse capítulo foram destacadas as principais dificuldades na aprendizagem de alguns conceitos da TRE, bem como alguns erros conceituais que se tornaram usuais nos livros principalmente em relação à massa e à equivalência massa-energia. No capítulo três foi descrita a metodologia utilizada na aplicação do material em duas turmas. Aplicamos um questionário trabalhando na perspectiva de se levantar concepções próprias sobre a natureza da ciência e sobre alguns conceitos da TRE. Propomos a partir dos conflitos levantados nas atividades problematizadoras, mostrar que o paradigma da Mecânica Clássica não era suficiente para descrever tais fatos e, assim, evidenciar a necessidade de se formular outro paradigma. Dentro da metodologia, o capítulo 1 (texto para o aluno) foi planejado para que os alunos possam ter uma base mais significativa dos fundamentos da mecânica clássica que vão ser reformulados pela TRE. No capítulo 2 (texto para o aluno), explicitou-se como evoluiu o conhecimento cientifico da TRE, na perspectiva de Thomas Kuhn. Vários aspectos filosóficos e históricos que levaram à ruptura paradigmática entre a Física Clássica e a proposta de Einstein, foram abordados. Demos ênfase à natureza da ciência, trabalhando aspectos levantados nos questionários. Depois de tratar da evolução do conhecimento científico, apresentamos os postulados da TRE, ou seja, a solução de Einstein para o problema existente entre o Eletromagnetismo e a Mecânica Clássica. No capítulo 3 (texto para o aluno), desenvolvemos os conteúdos específicos relativos às conseqüências dos postulados, a relação espaço-tempo, a simultaneidade de eventos, a cinemática e a dinâmica relativística. Todos esses tópicos foram desenvolvidos com várias atividades. Procuramos manter sempre um olhar na participação do aluno durante o processo, para minimizar a passividade mecânica tão

23 23 presente no ensino tradicional e sempre usando uma abordagem em que o aluno construa suas convicções de maneira participativa. Tal postura evita o vício de dar toda a matéria pronta, e com isso promovendo a reflexão necessária sobre o tema. Ainda no capitulo 3 (texto para o aluno) fizemos breves apêndices sobre a questão da causalidade, o espaço tempo de Minkowski e a Teoria da Relatividade Geral. A proposta deste trabalho vai no sentido de criação de oportunidades para a participação ativa dos alunos e para o desenvolvimento da capacidade crítico reflexiva. No capítulo quatro se encontra a análise dos dados dos relatórios que foram aplicados durante o curso e quais foram as limitações e observações feitas durante o processo de aplicação da metodologia proposta. A maioria desses dados foi obtida através de dois questionários - inicial e final - que continham perguntas sobre a natureza da Ciência, os fundamentos da Mecânica clássica e sobre conceitos da TRE. A idéia é a comparação das respostas a estes questionários para termos um parâmetro de medição da evolução da aprendizagem dos alunos bem como o êxito do material. Foram preparados vários quadros mostrando que a aprendizagem das duas turmas foi bem diferente, devido a problemas bem específicos. As sugestões e os comentários finais são apresentados no capítulo 5 Mais detalhes se encontra na dissertação que se segue.

24 24 1 A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO ENSINO MÉDIO: DIRETRIZES E PROBLEMAS 1.1 O Ensino de Conceitos de Física Moderna no Ensino Médio O Ensino de Ciências naturais no nível médio nos últimos anos vem sofrendo modificações impostas pelas novas tendências educacionais. Esse ensino em particular, passa por uma transformação lenta, porém gradual, para um ensino mais significativo e que envolva uma realidade mais contemporânea do aluno. Entre as diversas disciplinas, a Física talvez represente a que mais se aprofundou nessa mudança. No Brasil o ensino de Física vem tomando, muito paulatinamente, característica condizentes com essas inovações. Documentos como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e a Nova Lei de Diretrizes e Bases (LDB), estão ajudando a influenciar essas inovações. Em vários aspectos, esses documentos apontam para um ensino que envolva uma realidade mais recente, uma formação para a cidadania, um ensino de ciências que prepara o cidadão para enfrentar os obstáculos da vida. O ensino de Ciências propedêutico, constituído por excesso na parte formal dos conteúdos, com quantificações mecânicas e qualificações abstratas, sem significação para o estudante, tem se revelado inadequado nos tempos atuais. Os Parâmetros Curriculares Nacionais, em sua forma mais recente, os PCN+ (p. 60), mencionam, com muita propriedade, as novas tendências para o ensino de Ciências, O ensino de Física vem deixando de se concentrar na simples memorização de fórmulas ou repetição automatizadas de procedimentos, em situações artificiais ou extremamente abstratas, ganhando consciência de que é preciso lhe dar significado, explicitando seu sentido já no momento do seu aprendizado na escola média. Outra diretriz importante para do ensino de Ciências é a interdisciplinaridade dos conteúdos. Promover a interdisciplinaridade é tornar o conhecimento ensinado mais rico e para isso é necessário fazer conexões com outros ramos do saber. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (p. 10) indicam como tratar a interdisciplinaridade do conteúdo da Física:

25 25 A Física, por sistematizar propriedades gerais da matéria, de certa forma como a Matemática, que é sua principal linguagem, também fornece instrumentais e linguagens que são naturalmente incorporados pelas demais ciências. A cosmologia, no sentido amplo de visão de mundo, e inúmeras tecnologias contemporâneas, são diretamente associadas ao conhecimento físico, de forma que um aprendizado culturalmente significativo e contextualizado da Física transcende naturalmente os domínios disciplinares estritos. E é essa Física que há de servir aos estudantes para compreenderem a geração de energia nas estrelas ou o princípio de conservação que explica a permanente inclinação do eixo de rotação da Terra relativamente ao seu plano de translação. É importante ressaltar outra diretriz das novas tendências educacionais para o ensino de Ciências. Essa diretriz indica que o ensino de Ciências deve se voltar para o desenvolvimento de competências. Os PCNs (p.29) apontam para quais competências básicas que os alunos devem adquirir ao longo do ensino de Física: Utilizar e compreender tabelas, gráficos e relações matemáticas gráficas para a expressão do saber físico. Ser capaz de discriminar e traduzir as linguagens matemática e discursiva entre si; Compreender as ciências como construções humanas, entendendo como elas se desenvolveram por acumulação, continuidade ou ruptura de paradigmas e relacionando o desenvolvimento científico com a transformação da sociedade; Reconhecer o sentido histórico da ciência e da tecnologia, percebendo seu papel na vida humana em diferentes épocas e na capacidade humana de transformar o meio; Conhecer fontes de informações e formas de obter informações relevantes, sabendo interpretar notícias científicas; Elaborar sínteses ou esquemas estruturados dos temas físicos trabalhados; Construir e investigar situações-problema, identificar a situação física, utilizar modelos físicos, generalizar de uma a outra situação, prever, avaliar, analisar previsões; Articular o conhecimento físico com conhecimentos de outras áreas do saber científico; Reconhecer o papel

26 26 da Física no sistema produtivo, compreendendo a evolução dos meios tecnológicos e sua relação dinâmica com a evolução do conhecimento científico; Dimensionar a capacidade crescente do homem propiciada pela tecnologia. Sendo assim, percebemos que observar, experimentar, investigar, etc são competências fundamentais cujo desenvolvimento inicial deve ser feito no ensino fundamental e serem aprimoradas no aluno do ensino médio. Em relação a isso o PCN+ (p.62) diz que Essas mesmas competências, no ensino médio, ganham um sentido maior, com a identificação de relações mais gerais e com a introdução de modelos explicativos específicos a física, promovendo uma construção das abstrações, indispensáveis ao pensamento cientifico e a vida. Outra diretriz contida no PCNEM aponta para um ensino mais contextualizado historicamente, dentro de uma visão onde esteja inserida a postura crítico reflexiva. Como exemplo de ensino mais interdisciplinar e contextualizado, mais produtivo e significativo para o estudante, podemos citar: a Física Moderna sendo ensinada mostrando os aspectos históricos, abordando toda uma revolução científica, envolvendo o campo filosófico e fazendo as pontes com o forte impulso do desenvolvimento tecnológico. O Ensino de Física precisa socializar a idéia de que a Física do começo do século XX transcendeu a própria área especifica. Uma prática que aborda a Física de forma descontextualizada, sem trabalhar relações que ela guarda com outras disciplinas foge à direção indicada pelas novas tendências. Mesmo com alguma evolução, o Ensino de Física ainda é bastante desvinculado da realidade, com uma gama de conceitos que o aluno não consegue relacionar com o seu cotidiano. Nesse contexto é necessário promover no Ensino de Física, uma maior integração entre os conteúdos, evitando a sua fragmentação, dando mais significado a aprendizagem. Sobre isso Milton e Terrazan (2002) argumentam,...no ensino de Ciências Naturais à excessiva fragmentação, os currículos / programas estruturados com tópicos estanques e não relacionados, a predominância de uma metodologia tradicional, são fatores que tem contribuído para manter a situação atual de baixa qualidade.

27 27 Na década de setenta, oitenta e meados da década de noventa, os livros didáticos do Ensino Médio, em geral, não abordavam os conteúdos de Física Moderna e quando apresentavam era de forma superficial ou trabalhado em textos e leituras complementares. De uma forma geral, os livros didáticos, com raras exceções, não estão adequados à proposta da reforma, mostrando as deficiências de materiais didáticos nessa área. Segundo Moreira (2000)... agora me referindo apenas à realidade brasileira, muito do ensino de física nas escolas secundárias está, atualmente, outra vez referenciado por livros de má qualidade com muitas cores, figuras e fórmulas e distorcido pelos programas de vestibular; ensina-se o que cai no vestibular e adota-se o livro com menos texto para ler. Por volta de 1995, algumas editoras e autores de livros didáticos começaram a escrever seus livros introduzindo conceitos de Física Moderna, muitos deles pressionados pela inserção desse tópico nos exames de vestibulares das universidades federais. A Universidade Federal do Rio Grande do Norte foi umas das pioneiras nessa inserção tomando as medidas iniciais em Com efeito, o manual do candidato para o vestibular da UFRN de 2005 apresenta no item 9 do programa de Física Discussões envolvendo elementos de história, filosofia e sociologia da ciência e no subitem 9.1 Aspectos gerais conteúdos relacionados com História e Filosofia da Ciência (p.35), Concepções míticas, filosóficas e científicas sobre o mundo físico ao longo da história da humanidade (por exemplo, envolvendo variadas concepções cosmogônicas, física aristotélica, galileana, newtoniana, etc.); experiências mentais ou de pensamento ( Gedanken experiment ; como aquelas freqüentemente propostas em física, por Aristóteles, Galileu, Einstein e outros); a educação científica na formação do cidadão (a necessidade de uma formação ao mesmo tempo bem embasada em conteúdos específicos, mas também crítica quanto à inter-relação entre ciência e ideologia e usos e limitações da ciência), etc. e com a TRE (p.38),

28 28 Noção de invariância das leis da física; base experimental da teoria da Relatividade Especial ou Restrita (TRE); o conceito de éter; a experiência de Michelson - Morley; postulados da TRE; observador em TRE; transformação de Lorentz e suas principais conseqüências: relatividade da simultaneidade, dilatação temporal, contração de comprimento, adição relativística de velocidades; momento relativístico; limite clássico das equações relativísticas; equivalência entre massa e energia. Esse processo desencadeou uma problemática representada pela ausência de formação continuada dos professores. Alguns desses professores que foram formados na década de 80 e 90 sentiram essa mudança exigida pelas novas tendências e de alguma maneira tiveram ou estão tendo que se atualizar, uma vez que, as inovações chegaram até aos livros didáticos mais recentes que eles mesmos fazem uso no trabalho em sala de aula. Na atualidade, além dos livros didáticos inadequados, os jovens têm acesso à informação de toda natureza. A informação é transmitida de várias outras formas: via mídia televisiva, canais de rádio, papel impresso, se destacando, de forma mais preocupante a mídia eletrônica, pela Internet. Essa última, a informação eletrônica, representa uma maneira de divulgar o conhecimento específico de forma aleatória e pode fornecer conteúdos com erros conceituais e sem a qualidade didática necessária para a compreensão. O estudante que é exposto à informação eletrônica pode assimilar conceitos errôneos dentro de contextos equivocados. Todo esse processo faz com que os adolescentes que estão diante da Física, no caso específico de Física Moderna, desenvolvam conceitos prévios (ou espontâneos) e outros tipos de concepções que podem representar uma forma errada do conceito. Isso implica numa maior dificuldade em fazer com que o aluno aprenda o conhecimento científico de forma correta. Esses fatores contribuem para uma maior dificuldade na compreensão dos conceitos de Física Moderna. Os conceitos de Física Moderna levaram aos desenvolvimentos mais recentes da tecnologia que fazem parte de nosso mundo contemporâneo, como por exemplo: o laser, sistema GPS de navegação, transistores, plasmas, cristais líquidos, etc. Esses fatores e outros mais denotam a importância do seu ensino. A Física Moderna tendo surgido no início do século XX, não pode continuar subtraída ao aluno e muito menos distorcida por algumas literaturas (MARTINS, 1998), já que a maioria dos alunos certamente vivenciou alguma

29 29 relação com a mesma, seja por qualquer viés de comunicação. Reforçando essa opinião, dentre os conteúdos da Física - a Física Moderna e Contemporânea - são assuntos que despertam maior motivação dos alunos e sendo consideradas por eles mais interessantes de se estudar. Ostermann e Moreira (2003, p. 2), registram várias observações comentadas sobre o incentivo da Física Moderna e Contemporânea para a escolha da profissão de físico e podemos estender para o gosto pelo estudo da Física. Dentre elas está o... despertar a curiosidade dos estudantes e ajudá-los a reconhecer a Física como um empreendimento humano e mais próximo a eles. Os motivos expostos acima suscitam a idéia que, além de necessário, é também lógico que o ensino de Física Moderna deva ser ministrado no Ensino Médio. 1.2 Uma Análise do Ensino da Teoria da Relatividade Especial (TRE) no Ensino Médio. Neste trabalho, dentro da Física Moderna e Contemporânea, será focalizado de forma mais específica, a TRE e o seu ensino a nível médio. Para melhor identificar os problemas relativos ao ensino da TRE, foi feito uma pesquisa com dez professores da rede estadual (município de Natal) do terceiro ano. O resultado foi preocupante uma vez que os professores entrevistados das escolas estaduais, (Floriano Cavalcanti, Walfredo Gurgel, Luis Antônio) responderam que não ensinam a TRE aos seus alunos. Os fatores explicitados por eles estão relacionados abaixo. Entretanto vale ressaltar que nas entrevistas, a maioria dos professores das escolas públicas, demonstraram, nas suas respostas, uma formação deficiente nesse conteúdo. Pelos dados obtidos no questionário, destacamos dois fatores que entravam o desenvolvimento da aprendizagem no ensino da TRE no nível médio, na maioria das escolas públicas do Rio Grande do Norte: a) A falta de formação adequada dos professores para esse conteúdo curricular; b) Estrutura insuficiente como a falta de material didático apropriado, juntamente com o número de aulas reduzido. A pesquisa também foi aplicada a dez professores de escolas particulares de Natal. (Colégio Salesiano, CEI, Contemporâneo e CDF). Nessas o resultado foi diferente das escolas estaduais, mas com algumas ressalvas. Em primeiro lugar ensina-se a TRE porque é um conteúdo exigido para o vestibular e esse é o motivo primordial. Alguns professores exageraram na maneira de descrever os seus trabalhos, relatando nos conteúdos da TRE alguns tópicos de nível de curso universitário. Foi percebida pelo entrevistador a relutância de alguns professores em mostrar as suas deficiências, motivo que levou ao não preenchimento

30 30 do questionário. Dois professores de cursinho em suas entrevistas falaram que levavam oito a dez aulas para ministrar o conteúdo da TRE. Tal informação não foi confirmada pelos seus alunos e a apostila pela qual foi desenvolvida a matéria indicava quatro aulas. Alguns professores de terceiro ano ao listarem os conteúdos da TRE informaram a carga horária de 12 aulas para ministrar esse conteúdo. Entretanto os seus alunos informaram que eles levaram em média de quatro a seis aulas para esse fim. Verificou-se nesses professores uma grande preocupação em externar que possuíam um forte embasamento na disciplina, listando muitos tópicos e subitens de conceitos da TRE, mas não externaram a importância desses conceitos e da disciplina na grade curricular do colégio. Em resumo, a maior parte dos professores entrevistados das escolas particulares de Natal adota livros didáticos que são seguidos textualmente e na maioria dos casos, sem levantar questões importantes. O uso unilateral de materiais esparsos, livros textos limitam e restringem o ensino da TRE. Nessa ótica, a aprendizagem, se existir, será somente o que deve estar no livro adotado. Sobre a influência e importância dos livros didáticos no processo ensino aprendizagem na área de ciências, Ostermann e Ricci (2004) argumentam, Além disso, diversos fatores, como as precárias condições de trabalho e de remuneração do professor, as dificuldades para o aprimoramento de sua formação, contribuem para que, sobretudo nas escolas públicas, tornam-se apoio básico e, até mesmo o único referencial do professor em suas aulas. Quando a TRE é ensinada verifica-se, infelizmente, que o aspecto tradicional continua sobressaindo. O professor é o centro da atenção e o aluno simplesmente um mero receptor de mensagens. Utiliza-se somente a lousa, o livro texto como ferramenta essencial e única, e os seus conteúdos são apresentados como sendo uma matéria excêntrica criada e desenvolvida unicamente por Albert Einstein no início do século XX. Novamente em relação ao uso do livro texto no ensino da TRE como forma vital única de trabalho e sua influência na aprendizagem, Arriassecq e Greca (2002) comentam,... considerando que a incorporação curricular efetiva está fortemente influenciada pelos conteúdos que aparecem nos livros didáticos que os professores utilizam como referência. Como se sabe, os docentes, e também os alunos, tendem a utilizar os livros de texto como um dos

31 31 principais recursos no processo de ensino aprendizagem. (tradução do autor) Os postulados da TRE e suas conseqüências são repassados para o aluno de forma mecânica sem o intuito de dirigir a aula para a discussão. Não é criado um ambiente visando desenvolver o raciocínio do aluno num método ativo e reflexivo. Em linhas gerais observa-se que o ensino da TRE vem sendo feito de forma compacta, estanque e ressaltando apenas os aspectos matemáticos dando uma visão tradicional deste tópico. Um outro problema é que mesmo entre alunos que já estudaram de alguma maneira a TRE, não conseguem compreender e relacionar com outras situações os conceitos desse tópico de Física. Pietrocola e Zylberstajn (1996) concordam com esse ponto de vista ao dizer que Isso é, eles aprenderam que os tempos dilatam, as massas aumentam e os espaços contraem, porém não sabem como aplicar esses conhecimentos. O aluno, no ensino tradicional, caracterizado pela passividade com que recebe as informações no processo ensino-aprendizagem não tem compreendido os conceitos da TRE em sala de aula, porque falta, entre inúmeras outras variáveis, a postura da reflexão dentro dos contextos históricos, filosóficos e sua contextualização quando o professor realiza a transposição didática da TRE. Sobre isso Arriassecq e Greca (2002) afirmam que, Uma adequada contextualização histórica do surgimento da TRE deveria contemplar aspectos tais como um panorama do estado da Física na época em que surge a teoria e as contribuições de investigadores que prepararam o terreno para a TRE. Nesse sentido poderia discutir-se o estado da Física em Um aspecto interessante em relação a essa questão é a caracterização do programa Mecanicista Newtoniano. (tradução do autor) Os professores em sua maioria não realizam os paralelos necessários com alguns aspectos da tecnologia moderna, com a História e a Filosofia da Ciência que a TRE requer. Os conceitos de TRE além de servir de base para o desenvolvimento de novas teorias da Física, representam, por exemplo, o cerne da questão nuclear. Com todos esses aspectos ausentes, o ensino torna-se para o aluno sem significado e sua aprendizagem quando existir será simplesmente momentânea.

32 32 Considerando o exposto acima são vários os motivos para que se realize o Ensino da TRE no Ensino Médio: a) Oferecer ao aluno uma melhor compreensão da física clássica, quando se mostra os seus limites e sua validade; b) A exigência para o acesso ao ensino superior; c) O interesse bastante singular do aluno pela TRE e pelos seus paradoxos; d) Mostrar que a ciência se desenvolve de maneira não linear e muitas vezes por ruptura paradigmática. Muitos problemas devem ser enfrentados quando se trata de introduzir os conceitos da TRE de uma forma mais significativa. Entre eles podemos destacar: a escolha de uma metodologia adequada; a falta de material didático; professor sem a formação adequada; o currículo existente nas escolas, etc. O nosso objetivo neste trabalho é dar uma contribuição para um ensino mais significativo através do ensino dos conceitos da TRE considerando o aluno como participante ativo no processo ensino - aprendizagem. Em relação a isso os PCN+ (p.60) apontam que, Para implementação dessas novas diretrizes, ou seja, sua tradução em práticas escolares concretas, não existem fórmulas prontas. Esse processo depende, ao contrário, de um movimento contínuo de reflexão, de investigação e atuação, necessariamente permeado de diálogo constante. Depende de um movimento permanente, com idas e vindas, através do qual possam ser identificadas as várias dimensões das questões a serem enfrentadas, a ser constantemente realimentado pelo resultado das ações realizadas. No próximo capítulo apresentamos alguns resultados de pesquisas já realizadas em torno da busca de novas maneiras de se introduzir o ensino da TRE no nível médio e apresentamos também a abordagem utilizada neste trabalho.

33 33 2 PESQUISAS RECENTES RELACIONADAS COM O ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NO NÍVEL MÉDIO E A PROPOSTA DO TRABALHO A necessidade do ensino da TRE no nível médio tem despertado ao longo dos anos a atenção de muitos pesquisadores que vêm buscando novas e mais efetivas metodologias de ensino para esse tema. No ano de 2004 e principalmente no ano de 2005, pela comemoração do Ano Mundial da Física e pelo centenário do ano miraculoso de Einstein, surgiram muitas publicações relacionadas às contribuições de Einstein para a Ciência e, em particular sobre a TRE. Entre as edições especiais destacamos: Ciência&Ambiente. n.30, 2005; A Física na Escola, v.6, n.1, 2005; Scientific American, Gênios da Ciência, 2005; Revista Brasileira de Ensino de Física, v.27, n.1, Uma revisão bibliográfica sobre a área de pesquisa Física Moderna e Contemporânea no Ensino Médio foi feita por Ostermann e Moreira (2003). Este trabalho apresenta uma extensa lista de referências bibliográficas que serve de base para quem estiver interessado no assunto. A partir do estudo dessas referências indicadas, foram destacados pelos autores os seguintes aspectos: a) Justificativas para inserção de Física Moderna e Contemporânea (FMC) no ensino médio; b) Questões metodológicas e estratégias de ensino; c) Concepções prévias dos estudantes; d) Temas de Física Moderna e Contemporânea apresentados como divulgação ou como bibliografia de consulta para professores do ensino médio; e) Propostas testadas em sala de aula com apresentação de resultados de aprendizagem; f) Livros didáticos de nível médio que inserem temas de Física Moderna e Contemporânea. Nesse trabalho os autores concluíram que,...há uma grande concentração de publicações que apresentam temas de FMC, em forma de divulgação, ou como bibliografia de consulta para professores de ensino médio. Por outro lado, existe uma escassez de trabalhos sobre concepções alternativas de estudantes acerca de tópicos de FMC, bem como pesquisas que relatam propostas testadas em sala de aula com apresentação de resultados de aprendizagem.

34 34 No trabalho de Ostermann e Moreira (2003) foram mencionadas apenas oito referências de trabalhos diretamente relacionados com o ensino da TRE no nível médio. Aprofundando a pesquisa bibliográfica pudemos constatar vários outros trabalhos relacionados ao tema, alguns, inclusive, voltados para o ensino a nível universitário. As pesquisas mais recentes, que serão citadas ao longo deste trabalho, apontam para alguns aspectos que devem ser considerados no ensino da TRE: a) Concepções prévias em relação a conceitos básicos na relatividade galileana e especial: sistemas de referência, distância, tempo, massa, energia; b) Concepções prévias em relação à natureza da ciência; c) História e Filosofia da Ciência no ensino da TRE; d) Os erros mais comuns no ensino da TRE. 2.1 Concepções Prévias em Relação a Conceitos Básicos na Relatividade Galileana e Especial: Sistemas de Referência, Distância, Tempo, Massa e Energia; O interesse de muitos pesquisadores na compreensão das concepções prévias dos estudantes em relação à aprendizagem dos conceitos relacionados com a TRE, tem levado à publicação de vários trabalhos (RAMADAS et all 1996, PANSE et all 1994, VILLANI e PACCA 1987, PIETROCOLA e ZYLBERSZTAJN 1999, PIETROCOLA e ZYLBERSZTAJN 1996). Panse et all (1994) pesquisaram sobre as concepções prévias em relação a sistemas de referência e relacionam as seguintes concepções: a) Tratar os sistemas de referência como objetos concretos fisicamente fixos aos corpos; b) Localizar sistemas de referência por extensões físicas dos objetos nos quais eles estão fixos (sistemas de referência têm domínios localizados definidos pela extensão finita de objetos aos quais são fixados e não somente pelas características de movimento do corpo associado ); c) Tratar pequenos corpos localizados em corpos maiores como parte do sistema de referência do corpo maior; (quando pequenos corpos são localizados em corpos maiores e se movem em relação a ele, seu movimento é ignorado, pois eles são parte de um sistema de referência maior); d) Associar fenômenos particulares com sistemas de referência particulares (fenômenos pertencem a seus sistemas particulares); e) Os movimentos são reais e aparentes (alguns movimentos são reais e outros são aparentes e é no sistema considerado mais natural que o movimento é real);

35 35 f) Descrição física através da visão dos fatos. (a descrição de um movimento em relação a um sistema de referência normalmente implica uma aparência visual do movimento ou o objeto visto (no sentido literal) se movendo a partir de um sistema de referência); g) Falso relativismo (os estudantes não fazem uso da ferramenta conceitual sistema de referência em Física, mas têm uma idéia rudimentar de relatividade de movimento.). Ramadas et al (1996) estudaram as concepções prévias em relação aos conceitos de distância, tempo e energia. Eles identificaram seis classes de concepções prévias: a) Uso implícito do tempo como uma grandeza física absoluta (axioma da relatividade galileana que não se prova, mas que é utilizado para determinar como distância e velocidade se transformam de um sistema de referência para outro) sem explicitar consciência da invariância de intervalos de tempo ( t); b) Invariância do intervalo de distância entre dois eventos quaisquer (muitos estudantes consideram a invariância das distâncias independentemente de os eventos serem simultâneos ou não, mas a invariância das distâncias só é definida para eventos simultâneos); c) Visualizar as transformações cinemáticas com sendo devido ao arrasto físico (a lei de transformação de velocidades de um referencial para outro, não é utilizada, mas sim os alunos tendem a considerar que o sistema em movimento arrasta o objeto que está nele adição de dois movimentos absolutos); d) Preferência de raciocínio baseado na explicação cinemática e dinâmica em detrimento da invariância das leis (o conceito de invariância das leis da Física é muito vago e o princípio de relatividade de Galileu não é interpretado como uma lei que pode dar as mesmas respostas em muitas situações); e) Conservação de energia de um referencial para outro (consideram a energia como constante mesmo quando há uma mudança de sistema de referência); Na pesquisa realizada por Villani e Paca (1987) eles trabalharam na identificação das idéias espontâneas de estudantes acerca da velocidade da luz. Embora eles tivessem trabalhado com graduados em Física, algumas conclusões podem ser interessantes para auxiliar neste trabalho. Entre as conclusões destacamos: a) Idéia de movimento absoluto é muito forte entre os estudantes; b) Para o ensino da TRE não é realístico admitir que os estudantes compreendam inteiramente a relatividade galileana (construir primeiro na relatividade galileana para se eliminar a idéia de sistema absoluto),

36 36 c) A TRE é muito mais abstrata e fica mais difícil de relacionar com situações do dia a dia. 2.2 Concepções Prévias em Relação à Natureza da Ciência; Pesquisas no Ensino Médio indicam que as concepções prévias sobre a natureza da Ciência apontam para uma concepção empirista-indutivista da Ciência. Bastos (1998) argumenta sobre essa visão de Ciência mostrando características a respeito do empirismo e não-empirismo (p.14), Segundo uma visão empirista, a observação, adequadamente conduzida resulta em dados fielmente representativos da realidade; segundo uma visão não-empirista, ao contrário a observação é um ato interpretativo que é necessariamente influenciado por teorias, expectativas e motivações prévias, o que significa que cientistas diferentes (ou cientistas inseridos em contextos diferentes) poderão chegar a diferentes conclusões a partir das observações de um mesmo objeto, fenômeno ou processo. Sabemos que os professores do Ensino Médio, no contexto geral, acabam por repetir na sua prática educativa, a prática exercida na sua formação. A visão empíricoindutivista de Ciência presente nos textos direcionados aos alunos do Ensino Médio, reflete o pensamento dominante dos professores em seu trabalho em sala de aula. Kohnlein e Peduzzi (2005) consideram que a concepção empírica-indutivista para a ciência está muito presente nos livros didáticos de Física e de Ciências de uma forma geral e está associada ao chamado método científico. Sobre essa visão empírico-indutivista de ciência, esses autores afirmam, Embora pareça indispensável promover a reflexão filosófica no ensino de Ciências, a Filosofia da Ciência contemporânea, em geral, não se faz presente nos livros didáticos, em sala de aula, na bagagem cultural dos professores e nos currículos dos cursos de formação de professores na área de Ciências. O contexto escolar continua praticamente restrito a uma única concepção de ciência: a empíricoindutivista. (...) a concepção empirista da ciência faz parte inclusive

37 37 do ideal de ciência da maioria dos professores em exercício nessas áreas; é disseminada pelos meios de comunicação e está presente nas idéias espontâneas dos estudantes do ensino médio. Em pesquisa realizada por Arruda e Laburu (1998) também se destaca a presença de uma visão generalizada e equivocada de ciência. Segundo eles, Pode ser encontrado em livros ou entre professores das áreas científicas no 1 0, 2 0 ou 3 0 graus, ou mesmo entre cientistas ou profissionais com formação científica, uma visão de ciência que poderíamos chamar de tradicional ou popular, a qual se fundamenta, dentre outros, nos pressupostos (i) e (ii) enumerados abaixo. (i) As leis ou teorias científicas existem na natureza e podem ser descobertas pela investigação científica, ou seja, através de observação sistemática. A partir da experimentação ou medição as leis e teorias são criadas. (...) (ii) A função do experimento na ciência é comprovar hipóteses ou teorias levantadas, as quais podem então ser chamadas de leis e consideradas verdadeiras. Portanto, são científicas somente as afirmações comprovadas experimentalmente. Em suma, da análise das idéias dos artigos sobre a natureza da Ciência, se pode concluir que é quase generalizada a interpretação por parte dos alunos de que o conhecimento científico é aquele que pode ser comprovado ou verificado empiricamente e também que ele é construído a partir da observação, obedecendo na maioria dos casos às regras do método científico. 2.3 Os Erros Mais Comuns no Ensino da TRE. O alto nível de abstração que a aprendizagem da TRE requer, bem como, o aporte de conhecimentos extra-relativísticos, faz com que erros conceituais relativos a essa matéria, sejam aflorados tanto no seu ensino como na sua aprendizagem. Tal afirmativa baseia-se tanto pela prática no ensino anual e atual dessa disciplina, como pelos estudos de

38 38 pesquisadores sobre o tópico. Os conceitos fundamentais da TRE, como por exemplo, o espaço, o tempo, a massa e a energia, são conceitos intuitivos e abstratos que favorecem a assimilação errônea pelo aluno. Com efeito, da prática de sala de aula percebe-se que a aprendizagem da TRE se torna difícil para o aluno, exatamente porque entra em franca contradição com os conceitos adquiridos pelo senso comum O conceito de referencial A noção de referencial é apontada por Aleman Berenguer (1997) como uma dificuldade, pois os alunos possuem resistência na aprendizagem da diferença entre sistema de referência, sistema de coordenadas e de observador. A relação entre esses conceitos é próxima, mas não é correto afirmar que eles são equivalentes. A um sistema de referência concreto, uma casa, uma esquina, o centro da galáxia, podemos associar uma variedade de sistemas de coordenadas e da mesma maneira todos eles são corretos. Falando de outra forma há um número infinito de sistemas de coordenadas que podemos associar a um sistema de referência e todos eles, efetivamente, tem a mesma utilidade. Um sistema de referência, ou referencial, é qualquer conjunto de eixos perpendiculares orientados, que arbitrariamente têm suas origens centradas em um ponto de um corpo material ou em um ponto localizado no espaço de algum modo. Com efeito, o sentido físico e matemático de nossas representações de coordenadas do espaço-tempo está intimamente relacionado com a idéia de sistema de referência. Associado à idéia de sistema de referência está o conceito de observador. Sem entrar em estudos mais aprofundados nesse momento, podemos afirmar que o conceito de observador é secundário em relatividade. A Física se preocupa com acontecimentos ou estado da natureza e das leis que os governam, isto é, se refere à realidade independente de como ela se manifesta (aparece) a um observador concreto. Um aspecto interessante que contribui para a não necessidade do conceito de observador é que o registro dos eventos não é visual, mas sim através de equipamentos que permitem fazer medidas A experiência de Michelson e Morley Entre os historiadores tem havido uma controvérsia em relação à importância da experiência de Milchelson-Morley (MM) na formulação da TRE. Essa controvérsia pode ser, talvez, em função do fato de Einstein não ter feito nenhuma referência a essa experiência

39 39 em seu trabalho publicado em 1905 onde estabeleceu os fundamentos dessa teoria. Conforme apresentado no livro de Hey e Walters (1997, p 43), Einstein teria negado várias vezes que tivesse conhecimento da experiência de MM antes de Na biografia de Einstein (PAIS, 1982, p116) relata que Einstein conhecia os resultados da Experiência de MM antes de 1905 e que esses resultados influenciaram a sua criação da TRE. Em seu trabalho sobre a relação da experiência de MM e o ensino da TRE, Kirsh e Meidav (1987) citam que Em um jantar festivo no Califórnia Institute of Tecnology, em 1931, Einstein disse, referindo-se a Michelson. Foi você que liderou os físicos para novos caminhos, e através de seu maravilhoso trabalho experimental abriu os caminhos para o desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial. Você revelou um efeito insidioso na teoria do éter luminífero, como se pensava então, e estimulou as idéias de H.A.Lorentz e Fitzgerald que levaram ao desenvolvimento da TRE.(tradução do autor) Para Olival (2002) não foram os problemas de mecânica que levaram à criação da TRE. O título do primeiro artigo publicado em 1905 por Einstein foi sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, isto é, tratava de estudos sobre a Ciência da Eletricidade e do Magnetismo. Efetivamente foi o grande desenvolvimento do Eletromagnetismo, ao longo do século XIX, que forneceu os problemas que estão na base da TRE. Essa interpretação inadequada pode ser em função de que a mudança que o advento da TRE trouxe foi para os fundamentos da mecânica newtoniana. Um outro erro freqüente é sobre a interpretação do objetivo dessa experiência. Martins (1998) analisando o livro A dança do universo do físico brasileiro Marcelo Gleiser, diz que este cometeu um erro ao afirmar que o objetivo da experiência de MM era provar a existência do éter e que de fato, a experiência de MM objetivava calcular a velocidade de arrasto da Terra através do éter. Embora existam algumas discordâncias sobre a importância dessa experiência no contexto do surgimento da TRE, nos parece que hoje está claro que Einstein conhecia os seus resultados bem como as idéias propostas por Lorentz e Fitzgerald. O quanto isso influenciou em seu trabalho é mais difícil de se estabelecer.

40 Interpretação da contração espacial e da dilatação temporal Outro erro está relacionado com a interpretação da dilatação temporal e da contração espacial. Esses dois conceitos podem gerar concepções bem imaginativas tais como objetos que irão encolher drasticamente, relógios que irão parar definitivamente e obviamente a juventude eterna. Existem terminologias que são usadas de forma inadequada quando se ensina o conceito de medidas de comprimento na TRE. Um bom exemplo dessas inadequações é em relação à medida L do comprimento de uma régua (comprimento de repouso L 0 ), que está colocada paralelamente ao eixo x. Se a régua se move com velocidade V na direção x e no sentido de x>0 em relação ao referencial de onde será feita a medida, Ostermann e Ricci (2002) chamam a atenção sobre como será feita essa medida do comprimento L da régua sem nenhuma ambigüidade: Não basta que um único observador, utilizando um sistema de referência qualquer, olhe ou fotografe a régua em um certo instante t, e daí obtenha as coordenadas das duas extremidades da régua. Isso não está correto devido à finitude da velocidade de propagação da luz. Os dois raios de luz provenientes dessas duas extremidades são registrados como atingindo simultaneamente a retina do olho do observador ou o filme fotográfico, mas de fato foram emitidos de maneira não simultânea: o que veio da extremidade mais distante do observador ou da máquina fotográfica foi emitido primeiro que o outro. Medir as posições das extremidades da régua, portanto, não é exatamente a mesma coisa que ver ou fotografar, como estamos acostumadas a pensar cotidianamente. (...) Assim, o observador precisará medir simultaneamente (para ele) as posições das extremidades da régua relativística no referencial S utilizado. (...) O observador que utiliza o referencial S poderá medir corretamente esses valores dispondo de uma rede de sensores espalhados ao longo do eixo x, cada qual sendo controlado por um cronômetro preciso, sendo que os cronômetros foram previamente sincronizados. Em cada determinado instante t previamente

41 41 escolhido, cada sensor determina se uma das extremidades está ou não coincidindo com a sua posição sobre o eixo x. Para o observador que utiliza o referencial S, então, no instante t, as extremidades da régua terão x 1 e x 2, que são as coordenadas dos dois únicos sensores cujas posições coincidem com as extremidades da régua. Logo, o comprimento da régua é L = x 2 x 1. Osterman e Ricci ( 2002) ainda chamam a atenção que: O professor deve evitar o emprego daqueles termos problemáticos mencionados nas críticas que fizemos, tais como ver, observar e fotografar ao invés de medir, ou de outras expressões que possam induzir o aluno a pensar na contração de Lorentz-Fitzgerald como um encurtamento material do objeto. (itálico nosso) O princípio da relatividade Erros no ensino da TRE também são cometidos quando se aborda o princípio da relatividade. O princípio da relatividade, pelo fato de ser um dos postulados da TRE e pelo seu caráter universal, é considerado um dos seus principais fundamentos conceituais. A sua assimilação de forma errada concretiza um fracasso na aprendizagem dos conceitos subseqüentes. Apesar de sua estrutura simples e bela, a sua interiorização correta pelos discentes tem se mostrado em algumas práticas, ineficiente. Em alguns casos essa aprendizagem errônea se mostra em falas bem conhecidas como, tudo é relativo na relatividade, onde em essência o princípio da relatividade prega exatamente o contrário - a invariância das leis da Física. Concordando com esse pensamento Aleman Berenguer (1997) nos diz que Esta visão do princípio da relatividade, precisamente por ser simplificadora e fácil de assimilar, resulta tremendamente perigosa tanto que desvirtua a verdadeira natureza da teoria e dificulta os posteriores intentos por lograr uma cabal compreensão da mesma. (tradução do Autor).

42 42 Os estudantes, desde níveis iniciais, têm dificuldade em aprender esse princípio porque esses entraves nascem de uma má assimilação da relatividade galileana. Para Perez e et all ( 2003) analisar o movimento desde um sistema de referência exterior à própria pessoa é algo que se consegue somente em um estado de desenvolvimento mental avançado e com bastante treinamento (tradução do autor). Para fortalecer essa argumentação sobre a dificuldade da aprendizagem do princípio da relatividade devemos ter em mente que não é bom partir da afirmação de que os alunos já possuem um completo conhecimento do princípio clássico da relatividade de Galileu para poder introduzir sua versão relativística.(villani E PACA 1987). A preocupação é que ao se ensinar a TRE devemos estar cientes que a aprendizagem do princípio da relatividade tanto no âmbito clássico como no relativístico é fundamental na análise de fenômenos que se manifestam independentes da escolha do referencial A relação com a Mecânica Clássica Outro erro muito comum no ensino aprendizagem da TRE é a crença em achar que a mecânica clássica é um subconjunto da TRE. Tal fato foi evidenciado por Arriassecq e et al, (2002) O fato de que os alunos considerem que a teoria especial da relatividade é uma mera ampliação da física clássica e não uma teoria distinta tem como conseqüência que não estão preparados para compreender que a nova teoria constitui uma ruptura com a imagem clássica do mundo. (tradução do autor). Sabemos que a teoria clássica se aplica muito bem para as situações onde a velocidade envolvida é até da ordem de 0,1c, onde o fator γ = 1,005. Para esse valor do fator γ, a diferença entre o resultado relativístico e o clássico é simplesmente de 0,5%, mas os fundamentos dessas teorias são bastante diferentes. Nesse contexto, a mudança entre as teorias representa assim, uma ruptura na forma de encarar a natureza e isso deve ser destacado embora os resultados numéricos sejam iguais no limite de baixa velocidade.

43 A interpretação da massa O conceito de massa é bastante intuitivo, envolvente e ultimamente tem sido motivo de polêmica para os pesquisadores. O seu entendimento teve muitas contribuições ao longo do tempo, desde Newton, passando por Lorentz (introduziu o conceito de massa longitudinal, massa transversal e a variação da massa com a velocidade), Poincaré e Einstein, entre outros. Entre os erros mais freqüentes (ALEMAN BERENGUER 1997, PÉREZ e SOLBES 2003) destacam-se aqueles relacionados com a introdução do conceito de massa relativística e do conceito de equivalência massa-energia. No ensino da TRE tem havido uma grande preocupação em relação ao conceito de massa e da equivalência massa-energia (OSTERMANN E RICCI 2004, VALADARES 1993a, VALADARES 1993b, LEMOS 2001, ALEMAN BERENGUER 1997, WHITAKER 1976, WARREN 1976). Segundo esses autores a introdução do conceito de massa relativística m(v) = m r = γ(v) m, onde γ(v) é o fator de Lorentz e m é denominada de massa de repouso (massa no sentido newtoniano para um corpo em repouso em relação a um referencial e é definida por m = F/a; a massa relativística será representada por m r ou m(v)), foi introduzida para manter a definição do momento linear como p = m r v e a energia total na forma E = m r c 2. p = m( v) v = m v e E = m(v) c 2 = 2 v 1 2 c m v 1 c 2 2 c 2 Nestas equações m é uma grandeza escalar e tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Alguns autores a representam por m 0, mas isso pode causar alguma confusão e não utilizaremos essa notação nesse trabalho. Como destaca Lemos (2001) a introdução da massa relativística na teoria especial da relatividade gera confusão entre o efeito aparentemente dinâmico (aumento de massa) e um efeito que na verdade é de natureza estritamente cinemática: o fator γ não tem origem na partícula, mas é conseqüência da transformação de Lorentz do referencial próprio para aquele em que ela é vista movendo-se com velocidade v, isto é, o fator γ(v) reflete as propriedades geométricas do espaço tempo, sendo independente de qualquer dinâmica em particular.

44 44 Essa interpretação de massa relativística se tornou tradicional, mas Einstein não a utilizou em seu trabalho original, embora tenha deduzido o resultado de Lorentz para a massa longitudinal e para a massa transversal (WHITAKER, 1976). Essa interpretação é uma simplificação conveniente e surge quase de uma forma natural. Segundo essa interpretação a massa relativística dependeria da velocidade da partícula em relação ao observador, m r = γ(v) m, isto é, a massa newtoniana seria corrigida pelo fator de Lorentz. Assim, a massa não mais seria uma propriedade exclusiva de uma partícula ou de um corpo, mas um atributo físico relativo, dependente do observador. Como observa Ostermann e Ricci (2004)...essa interpretação induz, imediatamente, uma razão física para que a velocidade da luz no vácuo seja um limite superior e intransponível de velocidade para quaisquer objetos materiais, bastando que se interprete m r como sendo, também, uma medida da inércia do corpo: seria impossível acelerar o corpo até uma velocidade superior a c simplesmente porque sua inércia tenderia a um valor infinito quando o valor de v aproxima-se de c. No mesmo artigo Ostermann (2004) destaca ainda alguns problemas que a introdução do conceito de massa relativística traz: a) Induz a pensar que as expressões para outras grandezas mecânicas podem ser obtidas das correspondentes expressões newtonianas apenas substituindo-se, nelas, a massa newtoniana pela massa relativística (E C = ½ m v 2 para E não é correto). C r 2 2 m r v m γ v = = o que 2 2 b) A noção de massa relativística surge da identificação de m r com a medida da inércia de um corpo material, que é, por definição, a massa inercial e isso pode levar a relação errada F = m r a. Como introduzido acima m r é simplesmente o fator que multiplica a velocidade vetorial do corpo na expressão do momento relativístico, enquanto a massa inercial é, por definição, a razão entre o valor da força resultante aplicada ao corpo e o valor da aceleração adquirida pelo mesmo (m inercial = F R / a). A massa relativística não coincide em geral com a razão entre a força e a aceleração e, consequentemente, não pode ser considerada como medida da inércia nos moldes newtonianos. Entretanto, para identificar corretamente a massa inercial do corpo temos que usar a segunda lei do movimento como escrita por Newton. Assim, F R = d(γ m v)/dt. Fazendo-se esta

45 45 derivada e escrevendo a aceleração em duas componentes ortogonais, numa direção paralela a v (representada por a L ) e numa direção perpendicular a v (representada por a T ). Com isso, a partir da expressão para F R podemos identificar as componentes longitudinal e transversal da força resultante relativística como sendo F L R = γ 3 m a L e F T R = γ m a T. Essas expressões indicam que a inércia de um corpo não está univocamente definida para um dado valor de sua velocidade. Com efeito, se a força resultante for perpendicular a v, a L = 0, então a massa inercial será idêntica à massa relativística. Mas se a força resultante for paralela a v, a T = 0, então a massa inercial será γ 3 m. Como interpretar esse fato contraditório para o conceito de massa? A massa inercial seria um atributo dependente não apenas do próprio corpo e do observador (através da velocidade escalar relativa), mas dependente também do agente que aplica a força resultante (através da direção em que a força resultante é aplicada, com relação à direção instantânea de movimento do corpo). c) Pode dar ao aluno a impressão de que os efeitos relativísticos são devido a algo que acontece com o corpo, ao passo que eles são uma conseqüência das propriedades do espaço e do tempo. A expressão para o momento relativístico p = γ m v foi obtida, pela primeira vez, por Max Planck em artigo publicado em 1906 (PAIS, 1995) a partir da análise teórica da ação de um campo eletromagnético sobre uma partícula carregada. Inicialmente, nem Planck, nem Einstein, propuseram a noção de massa relativística e interpretaram o fator de Lorentz como uma correção relativística à expressão newtoniana do momento linear de uma partícula. Essa é a abordagem que utilizaremos no material do aluno. Sendo assim, o fato de um corpo apresentar o valor c como velocidade limite deve ser justificada sem a necessidade da introdução do conceito de massa relativística (OSTERMANN E RICCI 2004, LEMOS 2001, ALEMAN BERENGUER 1997, VALADARES 1993a, VALADARES 1993b, WHITAKER 1976). Segundo Ostermann e Ricci (2004) basta considerar...que o corpo esteja inicialmente em repouso com relação ao observador, como o seu momento linear torna-se infinito quando a velocidade aproxima-se de c, segue daí que seria necessário um impulso de valor infinito, o que é fisicamente impossível, para acelerar o corpo até a velocidade da luz. Um outro argumento para

46 46 justificar tal impossibilidade é baseado no teorema do trabalho energia cinética, pelo qual seria necessário realizar um trabalho infinito para efetuar tal tarefa. Portanto, não é necessário introduzir o conceito de massa relativística para justificar a existência de um limite superior para a velocidade. De forma enfática, Ostermann e Ricci (2004) destacam ainda que a massa relativística não é uma grandeza relevante sequer do ponto de vista formal. Na relação existente entre a energia mecânica de uma partícula livre e o valor de seu momento linear, E 2 = c 2 p 2 + ( m c 2 ) 2, em que m é a massa newtoniana, a massa m r não está presente. Esse resultado fundamental decorre como conseqüência do espaço quadridimensional introduzido por Minkowski onde as coordenadas são (x, y, z, ict) e se pode definir o quadrivetor energiamomento como p q = (E/c, p x, p y, p z ) que associa valores de todos os tipos de partícula. A relação (E/c) 2 p 2 = p q p q = (mc) 2 é um invariante, independente de escolha de sistema de coordenadas. A massa m está relacionada com a grandeza do quadrivetor momento energia. Portanto, a formulação espaço temporal, tem a vantagem de mostrar que a energia de uma partícula depende de sua massa no sentido newtoniano e de seu momento linear relativístico. Deve ser ressaltado que a formulação espaço-temporal é a base para a teoria relativística da gravitação. Adler (1987) faz uma citação a partir de uma carta que Einstein escreveu para Lincon Barnett em 1948 (a carta original está reproduzida na página 32 de seu trabalho): Não é correto introduzir o conceito de massa M = m/(1 v 2 /c 2 ) 1/2 para um corpo em movimento para a qual uma clara definição não pode ser dada. É melhor introduzir apenas o conceito de massa e não o de massa de repouso. Em vez de introduzir M é melhor mencionar a expressão para o momento e para a energia de um corpo em movimento. Ainda em relação ao conceito de massa relativística, a questão 14 do vestibular 2006 da UFRN nos levou a aprofundar a discussão do conceito de massa vinculado ao conceito de densidade volumétrica de massa de um corpo em relatividade. A questão é:

47 47 Segundo a teoria da relatividade especial, as medidas de comprimento e de massa, por exemplo, dependem do estado de movimento relativo entre observadores que efetuam tais medidas a partir de referenciais inerciais diferentes. Considere um cubo sólido e homogêneo movendo-se com velocidade v, na direção x, paralelamente a uma de suas arestas, conforme representado na figura ao lado. As grandezas L 0, m 0, V 0 e ρ 0 são, respectivamente, o comprimento da aresta, a massa, o volume e a densidade de massa desse cubo, medidos desde um referencial em relação ao qual ele está em repouso. Se esses valores forem medidos de um referencial inercial em relação ao qual esse cubo se move com velocidade v constante segundo uma direção paralela a uma das arestas, então o comprimento da aresta paralela à direção em que o cubo se move será dado por L = L 0/ γ e as outras três grandezas serão dadas, respectivamente, por m = γm 0, V e ρ, em que γ é o fator relativístico de Lorentz. São dados ainda: ρ 0 = m 0 / V 0 e ρ = m / V. Segundo a teoria da relatividade especial, para a situação descrita, a relação entre as densidades de massa do cubo, conforme medidas nos dois referenciais, é expressa por: A análise desta questão não se mostrou simples e recorremos ao Dr. José Ademir Sales de Lima Prof. Titular da USP, um especialista em relatividade e ao Dr. Nivaldo Lemos da Universidade Federal Fluminense. Segundo Dr. Sales de Lima (2006) Quem formulou a questão está convencido que a resposta certa é B. A resposta B é na realidade uma resposta de transformação de energia e não de massa! Isso pode ser compreendido considerando a formulação covariante e o tensor de energia momentum de um fluido. A relação de transformação da densidade de energia, obtida através do tensor momento energia para um fluido perfeito caracterizado pela quadrivelocidade (γ c, γ v ρ ), pela densidade própria ρ 0, por um campo escalar de pressão p(x), é E 2 E p v 0 ρ = γ ρ0 + 2 c 2

48 48 onde E ρ E e ρ 0 0 são as densidades de energia em movimento e própria, respectivamente, p é a pressão cinética e v é a velocidade do corpo. Neste caso não há como chegar na resposta B. Para o caso de p = 0 temos um sistema incoerente, isto é, onde as partículas não interagem. Mesmo neste caso onde ρ E = γ 2 ρ 0 E 0, se dividirmos por c 2, e considerarmos a relação de massa-energia proposta por Einstein, E 0 = m c 2, podemos dizer que o lado direito é γ 2 multiplicado pela densidade de massa de repouso, mas não podemos dizer que o lado esquerdo é uma densidade de massa, pois essa densidade de energia inclui a energia de movimento. A resposta encaminhada pelo Dr. Nivaldo Lemos segue uma abordagem diferente e mostra que a resposta correta é a A. Assim se manifestou (LEMOS, 2006), No meu entender, esta questão exemplifica bem os equívocos e/ou inconveniências que decorrem da concepção de que a massa varia com a velocidade. Assim como no eletromagnetismo onde a densidade de carga e a densidade de corrente formam um quadrivetor Jµ = (cρ, Jx, Jy,Jz), também no caso de fluxo de massa deve haver um quadrivetor que descreva este fluxo, e que seja composto pela densidade de massa e pela densidade de corrente de massa. Se U µ é a quadrivelocidade de um elemento de carga, a quadricorrente elétrica J µ é dada por J µ = ρ 0 U µ, onde ρ 0 é a densidade de carga própria do elemento de carga e, portanto, é um escalar. A natureza escalar de ρ 0 é indispensável para que J µ seja um quadrivetor. Portanto, no caso de fluxo de massa, a quadricorrente de massa também deve poder ser escrita como o produto da densidade de massa própria (um escalar) pela quadrivelocidade do elemento de massa. Para o observador que vê o elemento de massa em movimento, U µ = (cγ, γ v ρ ). Portanto, para este observador, J µ = ρ 0 U µ = (cρ 0 γ, ρ 0 γ v ρ ). Como isto deve ser identificado com J µ = (cρ, J ρ ), resulta que ρ = ρ 0 γ e J ρ = ρ 0 γ v ρ ). Note que esta última igualdade é consistente com a conhecida igualdade e J ρ = ρ vρ, que exprime a densidade de corrente de uma distribuição (seja lá do

49 49 que for) com densidade ρ em movimento com velocidade vρ. Logo, a lei correta de transformação da densidade, consistente com o ponto de vista de que a massa é um escalar, e consistente com a covariância relativística, é ρ = ρ 0 γ. (...) Portanto, se a questão tivesse sido formulada adequadamente, a resposta correta seria a opção A. Os argumentos acima apresentados certamente estão acima do nível esperado para o ensino médio, mas são importantes para reforçar que a idéia de massa relativística deve ser abandonada A equivalência massa energia Escrever a energia mecânica relativística para a partícula livre, E = γ(v) m c 2, na forma E = m r c 2 é um outro atrativo (equivocado) na utilização da idéia de massa relativística, pois essa expressão se reduz à E 0 = m c 2 para um observador em repouso em relação à partícula, que é a famosa relação de equivalência massa-energia apresentada por Einstein em A relação proposta por Einstein para a equivalência massa-energia não inclui a energia cinética de translação da partícula livre. A expressão E = m r c 2 não foi empregada por Einstein (OSTERMANN, RICCI 2004) nos artigos originais, mas é muito popular nos livros didáticos, mesmo em alguns livros escritos por físicos conceituados como Feynman (1963) e Hawking (2002). Sobre esse tema, Valadares (1993a), cita o trabalho de Einstein A inércia de um corpo depende de seu conteúdo energético?, no qual o próprio conclui o artigo escrevendo,...se um corpo perder energia E em forma de radiação, a sua massa sofre a diminuição E/c 2. É claro que nada importa ser ou não direta a transformação da energia saída do corpo em energia de radiação, de modo que somos assim conduzidos às seguintes conclusões gerais: A massa de um corpo é uma medida do seu conteúdo energético; se a energia sofrer uma variação igual a E, a sua massa sofrerá, no mesmo sentido, uma variação E/ (sistema CGS, no qual c = 3 x cm/s). Não está fora do possível que, em corpos de conteúdo energético altamente variável (por ex., os sais de rádio), se venha a encontrar uma

50 50 prova a que esta teoria se possa sujeitar. Se a teoria corresponder aos fatos, então a radiação é um veículo de inércia entre os corpos emissores e os absorventes. Analisando esse texto escrito por Einstein, Valadares (1993a) destaca alguns aspectos importantes: a) Einstein afirma que a massa inercial de um corpo varia não porque varia a sua velocidade, mas sim porque varia a energia que ele contém. b) A relação que ele estabelece é uma relação entre a variação m da massa de um corpo num referencial em que está em repouso e a variação do seu conteúdo de energia, isto é, da energia que o corpo possui independentemente de ter energia cinética ou não: m = E 0 /c 2. c) Einstein relaciona a radiação com a inércia pelo fato de a energia radiante, como qualquer energia fornecida (ou retirada) a um corpo, aumentar (ou diminuir) a massa inercial desse corpo. Mas, não se refere em parte alguma deste artigo que a radiação tem inércia e muito menos que tem massa. A massa do corpo emissor diminui, a do corpo receptor aumenta, mas isso não significa que a luz seja energia com massa. Para reforçar essas conclusões Valadares (1993a), destaca um outro trecho de um livro escrito por Einstein em 1916, assim,...se um corpo absorve a energia E 0, a sua massa inercial cresce de E 0 /c 2 ; a massa inercial de um corpo não é constante, mas sim variável segundo a modificação da sua energia. A massa inercial de um sistema de corpos deve ser encarada precisamente como uma medida da sua energia. O postulado da conservação da massa de um sistema coincide com o da conservação da energia e só é válido na medida em que o sistema não absorve e nem emite energia. A expressão E = m r c 2 nada acrescenta porque significa apenas que a massa relativística seria, essencialmente, a mesma coisa que a energia mecânica, com o fator c 2 servindo de mera constante de proporcionalidade entre ambos. Os autores que utilizam a relação E = m r c 2 para a equivalência massa-energia induzem os leitores a pensar que, sempre que existir energia, existirá massa, o que, por sua vez, pode levá-los a concluir que o fóton, por possuir uma energia, deve possuir uma massa.

51 51 Novamente Valadares (1993 a), conclui que, a idéia mais importante e perene que Einstein estabeleceu acerca da massa é a de que esta grandeza constitui uma propriedade do corpo que é essencialmente idêntica à energia que ele contém e que mede a sua inércia. A idéia de que a massa depende da velocidade apareceu em Einstein como um resquício histórico de que mais tarde se libertou. Uma situação que exemplifica uma má compreensão envolvendo conceitos de massa e energia é o caso da formação dos átomos. Sobre isso Ostermann e Ricci (2004) escrevem A relação E 0 = m c 2 se aplica a partículas, mas também a corpos macroscópicos, formados por constituintes mais elementares ligados entre si. Neste caso, a energia de repouso não inclui certamente a energia cinética translacional do corpo (energia cinética do centro de massa), pois em relação ao observador o corpo (ou sistema composto) como um todo se encontra em repouso. Mas deve incluir a energia interna do corpo, de forma que tanto as energias cinéticas de seus constituintes mais elementares, como também suas energias potenciais de ligação entre pares desses constituintes estão contemplados em E 0. Para sistemas estáveis, como um núcleo atômico, por exemplo, em geral a energia total de ligação (negativa) suplanta em valor a energia cinética microscópica total (positiva), de tal forma que a energia interna resulta negativa e, portanto, a energia de repouso diminui de valor em relação à soma das energias de repouso dos constituintes se eles não estão ligados. No caso de um núcleo atômico com N núcleons, podemos expressar isso matematicamente como: E 0 = N m livre c 2 - E int erna = N m ligado c 2 O que explica porque a massa dos núcleons em um núcleo atômico estável é menor do que suas massas quando livres.

52 52 No mesmo artigo Ostermann e Ricci (2004) mencionam ainda que vários livros texto apresentam os erros já destacados anteriormente. Eles também apontam erros na interpretação da equivalência massa-energia. Em resumo destacamos: a) Introduzir E = m r c 2 e p = m r v com m r sendo a massa relativística é procedimento utilizado para justificar que um objeto material não possa ser acelerado até à velocidade da luz, pois quando v c faz com que a massa m ; b) Escrever a relação E c = (m r m) c 2 = ( m) c 2, que sugere explicitamente ao aluno que a energia cinética seja igual à variação da massa, devido ao movimento relativo, multiplicado pelo fator c 2 ; c) A inclusão da E c do centro de massa do corpo (o que não é correto) leva a afirmação tal como um bola em movimento possui energia cinética e, portanto, tem massa maior do que se estivesse em repouso. d) A expressão E = γ m c 2 é utilizada sem mencionar que ela só é válida para partículas livres. Em conclusão, pelo apresentado nos diferentes trabalhos, podemos dizer que: a) Do ponto de vista de correção conceitual é mais aconselhável definir e escrever o momento linear, a energia mecânica e a energia cinética relativísticos, respectivamente, como p = γ m v, E = γ m c 2 e E c = m c 2 (γ 1), em que m = massa newtoniana, em lugar das fórmulas tradicionais que empregam a definição de massa relativística. Essas definições reforçam a idéia de que é o momento linear relativístico que difere do newtoniano no limite de velocidade relativístico e não a massa relativística ; b) Dessas relações pode-se obter outra relação que é E 2 = p 2 c 2 + (m c 2 ) 2 que engloba partículas de massa zero ou massa diferente de zero, que podem ser tratadas em pé de igualdade, pois com m = 0 ela reduz-se a E = p c, que é a relação para o fóton. c) Deve-se falar sempre em termos da massa newtoniana m, evitando-se a expressão massa de repouso m 0 ; d) Na utilização da relação E = γ m c 2 deve ficar claro que a mesma é válida apenas para partículas livres; e) A equivalência massa-energia deve ser escrita como E 0 = m c 2 onde m é a massa newtoniana. Essa relação não deve ser identificada com a possibilidade de conversão de massa em energia e vice-versa; A idéia de conversão entre massa e energia é absolutamente contrária ao princípio de Einstein. Observa-se com muita freqüência, erros relativos à questão do uso da

53 53 palavra conversão para relacionar massa e energia quando a TRE é abordada. Esses erros se repetem nos textos dos livros didáticos tanto do ensino médio como também de alguns autores de nível superior. Não existe conversão de energia em massa no sentido literal da palavra, por que: massa é uma grandeza física associada a uma propriedade de um sistema e quando existe conversão de massa em algo, se induz a idéia que essa propriedade deixou de existir (desaparecer) para se converter em outra. Por outro lado, sabemos que quando fornecemos energia a um corpo, ela não desaparece, ela continua lá internamente no sistema sob outra forma. Por exemplo, ao esticarmos um elástico a energia não desaparece, ela se acomoda na forma de energia potencial elástica no sistema. De acordo com Einstein se começarmos com uma massa m, em seu referencial próprio, esta tem o conteúdo de energia E 0 = mc 2. Se esta energia é mudada para qualquer outra forma, há então a mesma quantidade de energia E 0 que ainda tem a mesma massa m equivalente. Isso leva à lei de conservação de massa-energia. Massa e energia são dois conceitos equivalentes, na verdade são os mesmos conceitos denominados de duas maneiras distintas (BERENGUER 1997). Existe pelo menos dois casos que podem ser mais polêmicos seguindo essa interpretação de que não há conversão de massa em energia e vice-versa: a) o fenômeno da desintegração de um píon neutro em dois fótons na reação π 0 = γ + γ, e b) o processo aniquilação elétron-pósitron, onde o elétron (e - ) e o pósitron (e + ) desaparecem e em seu lugar encontramos somente radiação eletromagnética, e + + e - radiação. A questão contraditória aqui é se há ou não conversão de massa em energia. Segundo Lemos (2001) pode-se falar em conversão de massa em energia, mas segundo Valadares (1993b) não. Utilizando-se a equivalência massa-energia e a lei de conservação de massa-energia podemos entender muito bem o que está acontecendo. Essa é uma situação diferente daquela envolvendo os átomos e merece uma maior reflexão, mas consideramos que a análise com base na lei de conservação de massa-energia é suficiente para os nossos propósitos e será apresentada no texto do aluno. Um último comentário sobre a lei de conservação de massa-energia deve ser feito. Como apontado por Warren (1976), o conceito de Einstein está muito longe de ser contrário às leis de conservação e as coloca em bases mais sólidas. Claro que a idéia de somar massa e energia é fisica e matematicamente sem sentido seja em mecânica clássica ou relativística e daí a importância do conceito de equivalência massa-energia.

54 Possíveis Caminhos para Vencer os Obstáculos no Ensino Aprendizagem da TRE O trabalho de Arriassecq e Greca (2002) apresenta um estudo sobre algumas considerações históricas, epistemológicas e didáticas para a abordagem da TRE no nível médio. Os autores chamam a atenção para o fato de que a TRE é uma nova teoria e não uma continuação da Mecânica Clássica sugerindo que se trabalhe para que os alunos consigam uma mudança conceitual, isto é, a substituição de uma concepção existente por outra adquirida mediante a instrução formal. Entretanto destacam os autores que pode ocorrer uma coexistência de ambas as concepções. Neste caso o aluno deveria ser capaz de identificar o campo de validade da velha teoria e aceitar a plausibilidade e eficiência da nova. Em termos do conhecimento científico ocorreu uma ruptura ao se passar da mecânica clássica para a TRE, mas em termos de aprendizagem não se trata de abandonar a mecânica clássica, mas reconhecer que ela é limitada e que surgiu uma teoria mais abrangente. Várias outras investigações realizadas têm se dedicado á aplicação das teorias de mudança conceitual no ensino da TRE (BERENGUER et al 2000; VILLANI E ARRUDA 1998; TOLEDO et al 1997), mas esses autores mostram que a mudança conceitual por parte dos alunos é difícil de ser alcançada. No capítulo três do livro organizado por Pietrocola (2001), de autoria de Sônia S. Peduzzi se discute as estratégias que favorecem a mudança conceitual, mas apresenta ao mesmo tempo algumas críticas à visão da mudança conceitual, destacando que as idéias prévias podem sobreviver ao processo ensino aprendizagem, podendo, então, acontecer a coexistência de dois modelos diferentes que serão acessados dependendo do contexto. Para Toledo et al (1997) deve-se ter em mente uma visão mais abrangente do que seja mudança conceitual. Segundo eles a busca da mudança conceitual não é, apenas, conseguir a substituição de uma concepção por outra, mas conviver com ambos os conceitos até a escolha do conceito final a ser usado. Contribuições a partir da História e Filosofia da Ciência são vistas, em geral, como extremamente importantes no ensino de Ciências (MATTHEWS, 1995). Agora está se reconhecendo que a História e a Filosofia da Ciência devem ser incorporadas de forma mais abrangente e não apenas como um item do currículo. Arruda e Villani (1998) sugerem a utilização de informações históricas sobre a TRE de Einstein no estabelecimento de uma estratégia de ensino. Uma análise dos eventos mais importantes envolvidos na origem e no desenvolvimento da TRE pode ser importante para a aprendizagem do aluno, principalmente em relação à natureza da ciência e em relação à evolução do conhecimento científico. O

55 55 conhecimento científico, construção sofisticada e gradual da mente humana, passa a ser tomado e apreendido pelo aluno como algo em permanente construção. A utilização didática da História da Ciência tem seus defensores e seus críticos conforme coloca Peduzzi (2001) não se pode exagerar ou super dimensionar a contribuição da história junto ao ensino, para não tornar o ensino um escravo da história, e também para não alimentar expectativas que possam concebê-la como a solução dos sérios problemas da didática da Física. Ainda de acordo com Peduzzi (2001),...a pesquisa, em condições de sala de aula, com materiais históricos apropriados, de boa qualidade, que vai referendar ou refutar afirmações como: A História da Ciência pode (vamos destacar somente o que nos interessa diretamente): a) Propiciar o aprendizado significativo de equações (que estabelecem relações entre conceitos, ou que traduzem leis e princípios) que o utilitarismo do ensino tradicional acaba transformando em meras expressões matemáticas que servem à resolução de problemas (caso da contração e dilatação do tempo, equação E = mc 2, etc) b) Ser bastante útil para lidar com a problemática das concepções alternativas; c) Desmistificar o método científico, dando ao aluno os subsídios necessários para que ele tenha um melhor entendimento do trabalho do cientista; d) Mostrar como o pensamento científico se modifica com o tempo, evidenciando que as teorias científicas não são definitivas e irrevogáveis, mas objeto de constante revisão. È nessa perspectiva que utilizamos a História e Filosofia da Ciência. Objetivo é para tornar claro os problemas que aconteceram para levar à TRE. Especificamente destacamos a contribuição de Einstein, pois até hoje muitos cientistas consideram que ele não deveria levar o mérito pela TRE, mas sim outros cientistas como Lorentz e Poincaré. Aproveitaremos a história da evolução do conhecimento em relação à TRE para apresentarmos alguns aspectos da natureza do conhecimento científico segundo Kuhn. Isso será apresentado com mais detalhes no próximo capítulo.

56 A Nossa Proposta Diante dos resultados das pesquisas em relação ao ensino aprendizagem da TRE como vamos nos posicionar? Como podem ser vencidos os vários obstáculos apontados tais como: as concepções alternativas sobre referencial, espaço, tempo, distância, energia, massa, natureza da ciência, etc? Como exposto acima, as pesquisas apontam várias possibilidades de utilização do tema da TRE em sala de aula, mas pouco tem sido feito até o momento em relação à concretização dessas idéias. A nossa proposta é levar algumas dessas idéias para a sala de aula. A fundamentação teórica deste trabalho está em torno das orientações construtivistas para o ensino e de mudanças conceituais. Para alcançar os objetivos de aprendizagem será utilizada uma abordagem problematizadora. Partimos do pressuposto que os alunos já têm, em sua estrutura de conhecimento, os fundamentos da mecânica newtoniana bem como sua associação com as Leis de Newton e noções de espaço, tempo, massa, energia e sistemas de referência. Sabemos da existência das concepções prévias dos alunos, em geral, formadas pela vivência das pessoas, pelo ensino anterior, pelos meios de comunicação, pela divulgação científica, via publicações, internet e outros. Consideramos que para existir uma aprendizagem dos novos conceitos associados à TRE, esses conceitos terão que passar por uma reformulação, o que poderá ser conseguido através da explicitação clara das mudanças ocorridas de uma teoria para a outra. Neste trabalho seguimos, em linhas gerais, as idéias apresentadas por Moreira (1999). Segundo ele a necessidade de implantação de métodos ativos e de uma escola ativa, não significa que a iniciativa seja totalmente do aluno. O diretivismo puro, como no ensino tradicional, leva ao conformismo e o não diretivismo puro levam à desorganização, insegurança ou mera repetição. Em relação a isso Moreira (1999 p.104) coloca que Outra implicação imediata da teoria de Piaget para o ensino é que ele deve ser acompanhado de ações e demonstrações e, sempre que possível, deve dar aos alunos a oportunidade de agir (trabalho prático). Segundo ainda Moreira ( 1999, p.105)... estas ações e demonstrações devem estar sempre integradas à argumentação, ao discurso, do professor. Seria uma ilusão acreditar

57 57 que ações e demonstrações, mesmo realizadas pelos alunos, têm em si mesmas o poder de produzir conhecimento: elas podem gerá-lo somente na medida em que estiverem integradas à argumentação do professor. Para que ocorra uma aprendizagem significativa, o aluno deve relacionar um novo conhecimento a proposições e conceitos relevantes em sua estrutura cognitiva, isto é, que já existam de forma clara e estável. Nesta perspectiva o professor e os materiais instrucionais participam como mediadores da aprendizagem sendo que o professor deve adotar uma postura construtivista e o material deve ser potencialmente significativo. Essa proposta apresenta um planejamento didático onde o aluno possa ter uma participação ativa em sala de aula podendo assim desenvolver a sua formação integral tanto na parte social quanto crítico-reflexiva. Esse planejamento didático foi realizado considerando uma abordagem problematizadora procurando estabelecer conflitos entre o conhecimento do aluno e algumas situações existentes na natureza através das atividades de problematização. Nesse contexto se explicita que o conhecimento do aluno não é suficiente para descrever o comportamento da natureza. Uma vez estabelecidos os novos conceitos, as atividades serão retomadas para explicar como o comportamento da natureza se enquadra na nova teoria. A problematização de uma determinada situação pode ser determinante no despertar da motivação por parte do aluno. A ciência é dinâmica, e não sendo algo estático, o seu ensino também deve ser dinâmico e uma das melhores maneiras de dinamizar o ensino é problematizando-o. Fazer fluir a discussão, favorecer o debate, enfim problematizar o conteúdo é primordial no ensino atual. André citando Paulo Freire (1998) comenta sobre a problematização, A tarefa do educador, então, é de problematizar aos educandos os conteúdos que os mediatiza e não ao de dissertar sobre ele, de dá-lo, de estendê-lo, de entregá-lo, como se tratasse de algo já feito, elaborado, terminado. Ao problematizar um determinado conteúdo, o professor cria um clima que favorece a participação do aluno fazendo fluir as concepções internas sobre suas idéias a respeito do tema. O ambiente de discussão favorecido pela problematização facilita a passagem para a entrada de outras informações relevantes e paralelas ao conteúdo ministrado.

58 58 Nesse contexto o aluno perceberá mais claramente a teia de ligações entre as mais diversas disciplinas ajudando a mudar a visão que a física é formada por conteúdos separados e estanques sem a menor vinculação entre eles. Novamente André (1998) argumenta, O professor de Física, no âmbito da problematização que se propõe, deve explorar as possíveis interfaces do conceito, tema ou assunto que pretenda trabalhar com seus alunos. Tal exploração evidenciará semelhanças e diferenças que podem e devem propiciar atividades novas que re-criem os significados dos objetos cognoscíveis, plurarizem-no, para que a compreensão do mesmo dê-se plenamente de forma re-elaborada, e fruto de uma reflexão profunda. Em relação ao ensino da TRE a problematização pode ser feita a partir da comparação entre os conceitos fundamentais da Física após a ruptura paradigmática da Física Clássica para relativística. Isso será relatado no próximo capítulo que trata da metodologia utilizada para a realização deste trabalho bem como da sua aplicação em sala de aula.

59 59 3. METODOLOGIA 3.1 Introdução Nesse capítulo estão apresentados os elementos essenciais da metodologia. Os dados sobre as turmas, a descrição das aulas, objetivo das atividades planejadas e dos questionários de levantamento de concepções prévias. Faremos a descrição de nossa abordagem metodológica na aplicação do material, objetivando localizar o leitor no ambiente didático da aplicação e para uma melhor avaliação dos procedimentos metodológicos. O material desenvolvido foi aplicado em duas turmas compostas de alunos de terceiro ano, hoje comumente chamada de turma de pré-vestibular. Consideramos que os conteúdos tratados nessa proposta só devem ser apresentados para alunos do terceiro ano do nível médio. Entendemos que a inclusão de pequenos trechos isolados sobre a TRE ao longo dos diversos conteúdos de física básica, causa uma fragmentação da TRE e contribui fracamente para uma aprendizagem efetiva desta teoria. Devido a vários problemas estruturais não foi possível, como planejado, aplicar o material em turmas regulares do ensino médio. Um dos fatores foi a dificuldade se enquadrar a carga horária necessária para aplicação do material dentro da programação da escola. Uma turma foi formada com alunos e alunas do terceiro ano do ensino médio da Escola Doméstica de Natal e do Complexo Educacional Henrique Castriciano. Esses alunos que se dispuseram a colaborar na aplicação dessa proposta freqüentavam a escola pelo turno matutino de 07h15min até 12h30min e depois de um intervalo de almoço recomeçavam assistir as aulas do curso a partir das 14h30min. Muitos deles permaneciam na própria escola nas segundas feiras quando o curso foi ministrado. Essa turma que iniciou com trinta alunos, terminou com vinte e um e um dos fatores indicados para essa desistência foi o cansaço. O curso foi gratuito sendo cobrado apenas o custo do material. A outra turma foi formada com dezesseis alunos sendo que cinco já haviam terminado o ensino médio e onze estava concluindo o terceiro ano do ensino médio em diversos colégios de Natal. Esses alunos todos tinham o objetivo fazer um reforço em Física para prestar o vestibular na UFRN e constituía uma turma de curso isolado, uma nova modalidade de cursinho que tem ganhado muito espaço no mercado educacional nos últimos anos. Nessa turma o material foi aplicado aos sábados à tarde no mesmo horário da outra turma. O local foi numa sala de aula própria pertencente ao mestrando. A aplicação do material foi feita em sete tardes e exigiu um total de aproximadamente de 18 horas.

60 60 O trabalho foi iniciado com a aplicação de um questionário para levantamento das concepções prévias dos alunos. Para operacionalização dessa proposta foi utilizada uma abordagem problematizadora procurando estabelecer um confronto entre os conceitos teóricos da Mecânica Clássica e os resultados experimentais na descrição do comportamento da natureza em quatro situações específicas contidas nas atividades problematizadoras As atividades problematizadoras tiveram o objetivo de demonstrar que os fundamentos da Mecânica Clássica não eram suficientes para a descrição de determinadas situações. A idéia é exatamente trazer esses conflitos à tona para promover a participação do aluno em intervenções mediadas pelo professor. Sendo assim, deixamos o ensino tradicional no sentido de o aluno somente receber a informação sem refletir sobre ela. Devido à inexistência de um texto adequado à metodologia utilizada também foi preparado um material específico para o aluno. Isso exigiu bastante tempo de preparação. O texto entregue aos alunos foi desenvolvido para dar suporte ao trabalho de sala de aula. Nesse material considerou-se a evolução histórica da TRE, por meio da ruptura paradigmática da física clássica para a relativística e a comparação entre os diferentes pontos de vista desses modelos acerca de conceitos fundamentais para descrever a natureza. Nesse sentido incentivou-se a interdisciplinaridade, uma vez que a exploração desse conteúdo nessa pedagogia tem que abordar elementos da História e Filosofia da Ciência. 3.2 O Questionário Inicial Logo depois da apresentação pessoal, fizemos abertura do curso explicando aos alunos, como é estruturada uma pesquisa de mestrado com todas as suas fases. Conscientizamos os alunos, que eles estavam vivendo a fase de aplicação do material e por conseqüência eles formavam uma parte fundamental do laboratório da pesquisa. Frisamos que suas opiniões e sugestões iriam ser analisadas para influenciar mudanças no texto do material e na metodologia. Após as informações iniciais, antes de ministrar qualquer tipo de conhecimento relacionado a TRE, aplicou-se um questionário com treze perguntas (anexo A) sobre temas como: a natureza da ciência, conceitos fundamentais da Mecânica Clássica e sobre os fenômenos envolvendo a luz. A idéia é levantar as concepções prévias sobre assuntos relativos à natureza da ciência e à TRE e verificar qual era o nível de conhecimento que os alunos tinham sobre esses assuntos. Foi informado que eles não se preocupassem com o certo

61 61 e o errado nas respostas no questionário, mas que o importante era a opinião sincera no seu preenchimento. O questionário foi respondido em aproximadamente 01h30min. Acreditamos que o questionário inicial constitui parte fundamental do trabalho, sendo ele composto por treze perguntas cada uma com o objetivo bem definido. Nessa proposta fizemos a comparação das respostas dadas inicialmente a essas perguntas com as respostas dadas ao mesmo questionário, acrescido de outras perguntas específicas à TRE, que foi aplicado no final do curso. As perguntas do questionário foram divididas em dois blocos específicos. Quatro primeiras perguntas se referiam a natureza da ciência e as outras sete eram relativas a conhecimentos de mecânica clássica e sobre a propagação da luz. As perguntas sobre a natureza da Ciência foram baseadas no artigo de Kohnlein e Peduzzi (2004) onde eles utilizaram onze perguntas, das quais selecionamos quatro (as questões 2 e 4 são as mesmas e as questões 1 e 3 foram adaptadas), que a nosso ver atinge o objetivo de problematizar o debate de como a Ciência é construída. Todavia, devemos lembrar que não se pretendeu fazer uma discussão aprofundada sobre a natureza da ciência e sim fornecer uma base necessária para que o aluno entenda as peculiaridades do conhecimento científico. Dessa maneira estamos aproveitando o ensino da TRE para introduzir algumas idéias sobre a evolução do conhecimento científico. A abordagem tanto da História da Ciência como da Filosofia da Ciência nesse trabalho tem um aspecto mais motivador para o estudo do que um aspecto de pesquisa desses temas no ensino médio. As perguntas do segundo bloco são sobre os conceitos de Mecânica Clássica que têm forte relação com os conteúdos da TRE e sobre a propagação da luz. Uma das perguntas tratou da questão da velocidade limite, pois a física clássica não impõe um limite de velocidade para os corpos materiais quando estes são submetidos a uma força por um intervalo de tempo significativo. A pergunta foi importante porque obteve êxito em alimentar a futura discussão sobre o limite de velocidade imposto pela TRE. A mudança de referencial inercial foi também abordada em algumas perguntas. Essas questões tiveram como objetivo a explicitação de algumas concepções sobre referenciais tais como: conceito de sistema de referência, velocidade relativa, existência de um referencial absoluto, aplicação da Transformação de Galileu em várias situações inclusive para a luz. Uma das questões foi colocada para explorar a idéia se o movimento é real ou ilusório dependendo do referencial, uma outra foi para explorar se os resultados físicos são diferentes quando em repouso e quando em movimento retilíneo uniforme. Tais questões

62 62 permitiram a discussão sobre o princípio da relatividade e concomitante a isso o desenvolvimento da relatividade galileana. Uma outra questão foi colocada para explicitar a aplicação da TG para os fenômenos eletromagnéticos levando a um resultado maior que c para a velocidade da luz. Por fim a última questão abordou a experiência de pensamento desenvolvida por Einstein, denominada o espelho de Einstein. Essa questão foi colocada no sentido de apresentar um questionamento de Einstein que contribuiu para o surgimento da TRE. Após a aplicação do questionário foi feita, na aula seguinte, uma discussão de cada uma das questões para explicitar as idéias dos alunos e criar conflitos em relação às diferenças apresentadas. Além disso, ao longo de todo o conteúdo houve uma retomada dessas questões. 3.3 Revisão dos Conceitos de Mecânica Clássica Após as respostas do questionário, iniciou-se uma revisão sobre os fundamentos da Mecânica Clássica (Anexo B). Essa aula foi conduzida através de um diálogo com os alunos fazendo com que eles se manifestassem sobre os conhecimentos que eles já possuíam em relação à Mecânica Clássica. O objetivo da revisão é construir um alicerce mínimo de conhecimento fundamentando com mais solidez os conceitos essenciais da Física Clássica. Uma vez que os alunos tenham esse conhecimento será mais fácil compreender a evolução que ocorreu com a formulação da TRE. Seguindo essa metodologia acreditamos que a aprendizagem da TRE é mais significativa. Os conceitos básicos de Mecânica Clássica que foram revisados são: o espaço, tempo, massa, energia, referencial, Transformação de Galileu para coordenadas e velocidade, medidas de intervalo de tempo e de comprimento. Esses conteúdos foram trabalhados para desenvolver: a noção da invariância na medida de comprimentos para evidenciar o caráter absoluto do espaço; a noção da invariância na medida de intervalos de tempo para mostrar o caráter absoluto do tempo. Foi dada ênfase ao princípio da relatividade, isto é, o fato das leis da Mecânica Clássica apresentarem o mesmo resultado em qualquer referencial inercial Para consolidar esses conceitos foram discutidos dois exercícios, sendo um deles para a aplicação da TG em uma situação simples e o outro também para a aplicação da TG tratando do movimento de um barco em um rio. Esse exemplo é importante na discussão da experiência de Michelson e Morley.

63 63 Essa aula foi desenvolvida com sete transparências e os alunos estavam todos de posse do primeiro capítulo que continha o material para a revisão. 3.4 Atividades de Problematização Dando seqüência à proposta metodológica foram trabalhadas quatro atividades de problematização (Anexo C): 1) O comportamento de partículas em alta velocidade; 2) O comportamento dos mésons µ; 3) A massa e a energia no átomo; 4) Tentando compreender a luz. O objetivo dessas atividades é explicitar situações da natureza em que a teoria clássica não consegue descrever, mas que serão descritas com a nova teoria. Sabemos que não foram esses problemas que levaram ao surgimento da TRE, mas sim questões relacionadas com o eletromagnetismo. A razão de tratarmos o ensino aprendizagem da TRE utilizando tais atividades é que, o reflexo maior da TRE foi na mecânica newtoniana, pois a teoria do eletromagnetismo de Maxwell e Lorentz satisfaz os postulados de Einstein. A nossa hipótese é que tratar dessas questões via Mecânica Clássica, se apresenta como muito mais plausível em termos do processo ensino aprendizagem. Temos consciência que as idéias exploradas nas atividades envolvendo a energia e a massa nos átomos bem como aquela relacionada com os mésons µ, não poderiam ser consideradas à época que a TRE foi formulada, pois esses conhecimentos relacionados com os átomos e com os núcleos atômicos só foram estabelecidos depois da TRE. Em relação a essas atividades, não estamos considerando o ordenamento histórico, mas isso foi feito quando ao exploramos a contribuição de Einstein e de outros cientistas tais como Lorentz e Poincaré no estabelecimento da TRE. As idéias exploradas nas atividades sobre partículas em alta velocidade e sobre a luz já eram do conhecimento dos cientistas antes da formulação da TRE em As experiências relatadas nas atividades sobre os átomos e núcleos atômicos são consideradas hoje, como resultados experimentais que fortalecem a TRE como uma teoria básica para descrever os fenômenos da natureza. A metodologia escolhida foi à preparação de textos com informações e perguntas cadenciadas para levar aos alunos alguns conflitos entre dados experimentais e teóricos. Os alunos foram divididos em grupos de três e teriam que responder às perguntas à medida que avançavam na leitura das atividades. Ao final de cada atividade fizemos uma síntese no sentido de reforçar e garantir que o objetivo das atividades fossem alcançados.

64 64 Com objetivo de avaliar as atividades e a metodologia utilizada foi solicitado aos alunos que emitissem suas avaliações e sugestões sobre o material com o qual trabalharam. Os resultados serão apresentados no próximo capítulo. Atividade 1 O Comportamento de partículas em altas velocidades A primeira atividade tinha como objetivo aplicar as equações da cinemática para descrever uma experiência realizada em aceleradores de partículas, em que os elétrons adquirem altas velocidades. A idéia é que através da comparação dos resultados experimentais com a previsão teórica da Física Clássica, o aluno perceba o conflito sobre o limite de velocidade de uma partícula. A partir dos dados experimentais e da previsão teórica da mecânica clássica, foi pedido aos alunos que elaborassem um gráfico em papel milimetrado (v 2 x E C ). A interpretação dos dados experimentais através do gráfico torna claro a existência de uma velocidade limite cujo valor se aproxima do valor da velocidade c da luz. Além disso, fica bem explicitado que os resultados da previsão clássica estão bem longe dos resultados experimentais. Com o resultado dessa atividade fica caracterizado que a cinemática clássica não descreve o comportamento dos elétrons em altas velocidades, pois estes na experiência apresentam uma velocidade limite, mostrando um comportamento que está em franca contradição com previsão clássica. Esse comportamento do elétron em altas velocidades já havia sido estudado por Kauffman em 1904 entre outros. Ao final da atividade se deixava em aberto algumas perguntas que evidentemente os alunos não tinham respostas. Tais perguntas direcionavam para a necessidade do surgimento de uma outra teoria e, se isso acontecesse, como ficaria a velha teoria. Essa atividade procura também trabalhar as diferentes linguagens da Física e a análise de gráficos. Atividade 2 O Comportamento dos mésons µ A segunda atividade versava sobre os mésons µ, partículas do mundo atômico. Essa atividade tinha como objetivo levantar o conflito sobre a questão do tempo e podendo ser estendida a questão do espaço. A atividade mostrava também dados experimentais sobre os

65 65 registros de mésons em aparelhos de medidas e evidenciou-se nela que a previsão clássica não era adequada para descrever os dados experimentais colhidos na experiência sobre o decaimento dos mésons µ. Como enriquecimento do texto, frisamos a participação do físico brasileiro César Lattes como sendo um dos participantes de um projeto sobre os estudos para detecção experimental dos méson e que resultou em um prêmio Nobel para o coordenador do laboratório em que ele trabalhou. Nesta atividade procura-se explorar o fato de o conhecimento sobre os mésons ter sido através de cálculo teórico e que só depois de alguns anos ele foi detectado experimentalmente e mais do que isso, foi detectado dois tipos de mésons. Além disso, procuramos ressaltar também o conhecimento como construção coletiva, pois César Latttes esteve na Inglaterra, no Brasil, na Bolívia e nos Estados Unidos durante a elaboração de seu trabalho que levou à descoberta do méson π que decai no méson µ. O texto da atividade procura também destacar a importância dessas partículas na estabilidade da matéria. Atividade 3 A massa e a energia nos átomos A terceira atividade está direcionada para problematizar a questão da massa e energia no mundo atômico. Nessa atividade foram exploradas duas situações: i) reação de fusão de dois átomos para formar um outro átomo mais pesado, e ii) formação de um átomo a partir de partículas livres. Em relação à reação de fusão foi destacado o fato que quando se faz o balanço das massas dos átomos, antes e depois da reação de fusão, encontramos sempre uma pequena diferença entre elas. Foi chamada a atenção que nessas reações há liberação de energia e foi colocada a possibilidade de haver uma relação entre essa diferença de massa e a energia liberada. O objetivo, em relação à formação dos átomos a partir de partículas livres, é chamar a atenção para o fato de que quando se considera, isoladamente, a massa das partículas que formam o dêuteron (ou outro átomo qualquer), com a massa do próprio dêuteron, verifica-se que há uma diferença entre ambas e que há uma energia envolvida no processo. Em função disso alguns questionamentos são feitos em relação à essa diferença de massa e uma possível relação com a energia envolvida. A idéia central da atividade é mostrar que a massa não se mantém com o mesmo valor nas reações nucleares em que também há energia envolvida, fato que é conflitante com a lei clássica de conservação da massa.

66 66 Atividade 4 Tentando compreender a luz A questão da luz foi a quarta atividade. Nessa atividade se apresenta um breve histórico mostrando a evolução das idéias sobre a luz na visão de vários cientistas. Uma questão importante na busca pela compreensão da luz, uma vez estabelecido o modelo ondulatório, foi a necessidade de se determinar o meio que daria suporte para a propagação da luz, o éter. A experiência de Michelson e Morley foi a mais famosa para se detectar o movimento da Terra através do éter e foi destacado o seu resultado negativo. Essa experiência foi importante, pois seu resultado levou a uma situação de impasse em relação à compreensão da luz, à validade da TG e em relação à existência do éter. A segunda parte dessa atividade foi colocada para questionar a aplicação da TG para a luz e com isso tornar mais explícito que a TG não se aplicava à mesma. Em resumo, essa atividade está chamando a atenção para a questão da não aplicabilidade das Transformações de Galileu aos fenômenos eletromagnéticos (como a luz era considerada à época). Nesse sentido, a atividade também tinha a diretriz de mostrar a deficiência da Física Clássica em explicar porque a luz não seguia os padrões normais de soma de velocidades newtonianas. 3.5 A Evolução do Conhecimento Relacionado com a TRE e a Questão da Natureza da Ciência na Visão de Kuhn. Na busca da compreensão da natureza da ciência bem como da evolução do conhecimento relacionado com a TRE utilizamos algumas idéias propostas por Kuhn (2005). A proposta é utilizar a evolução histórica do conhecimento relacionado com a TRE para compreender a natureza da ciência e vice versa, utilizar noções de Filosofia da Ciência para compreender as mudanças introduzidas pela TRE em relação à Mecânica Clássica (Anexo D). A teoria de Kuhn é construída na óptica da ruptura de paradigmas e acreditamos que entre as várias visões de como a ciência evoluiu, a visão Kuhniana sobre a evolução do conhecimento científico pode ser utilizada para descrever a evolução do conhecimento da Mecânica Clássica para a TRE. Acreditamos fortemente na hipótese de que se deve abordar o ensino da TRE através da ruptura de modelos científicos, uma vez que, o confronto de idéias dos modelos clássicos e relativísticos leva o aluno a comparar esses conceitos e refletir sobre os mesmos. Tal postura, na visão de Kuhn, fomenta a idéia de que a ciência pode sofrer mudanças radicais em sua evolução.

67 67 Nas atividades de problematização foi dada ênfase que quando surgem problemas com o modelo cientifico atual, pelo fato de eles não descreverem certos resultados experimentais, abre-se a possibilidade de se formular outro modelo que leve a ampliação do modelo antigo ou até mesmo o seu abandono. Foi explanado em aula que a física newtoniana durante certo tempo não sofreu nenhum abalo em sua estrutura e nesse aspecto era considerada uma teoria que seguia sua trajetória como ciência normal (KUHN, 2005). É nesse período de ciência normal, onde se procura ampliar as aplicações do paradigma em vigor e onde começa a surgir anomalias (comportamentos da natureza não explicados pelo paradigma vigente) podendo levar ao surgimento dos novos paradigmas. Dessa maneira fica evidenciado que a ciência não é um processo linear, que flui de forma premeditada e inexorável. Os conceitos de ciência normal e ruptura paradigmática foram abordados direcionando a discussão para os aspectos da Física Clássica e da TRE. Para isso foi necessário apresentar a evolução histórica de alguns fatos e idéias que antecederam a formulação da TRE. Em suma, demos ênfase que a ciência se desenvolve pelo aperfeiçoamento da ciência normal e pelas crises científicas que a acompanham. Segundo o pensamento de Kuhn É somente através da ciência normal que a comunidade profissional de cientistas obtém sucesso; primeiro, explorando o alcance potencial e a precisão do velho paradigma e então isolando a dificuldade cujo estudo permite a emergência de um novo paradigma. Várias contribuições históricas relacionadas com gênese da TRE foram citadas: Woldemar Voigt ( ) e Joseph Larmor ( ) iniciaram o que seria futuramente as Transformações de Lorentz; Fitzgerald e a proposta da contração do comprimento ao longo do movimento (hoje conhecida como contração de Lorentz- Fitzgerald); Michelson-Morley e a experiência realizada para detectar o movimento da Terra através do éter; Poincaré que chegou muito próximo das idéias centrais da TRE, porém, tentando manter a idéia de éter; Lorentz e a transformação de coordenadas que deixava invariante as equações do eletromagnetismo frente a mudança de um referencial inercial para outro; Kauffman que estudou o comportamento dos elétrons em altas velocidades sugerindo que a massa do elétron variava com a velocidade; Maxwell que mostrou que uma onda eletromagnética se propaga com a mesma velocidade que a luz; Foulcault e Fizeau que mostraram que a velocidade da luz é menor no meio com maior índice de refração. Essas contribuições foram comentadas e comparadas com a solução criativa de Einstein. Nesse contexto a idéia de ciência como um construto humano fica mais solidificado, porque fica exposta a contribuição de várias pessoas para o resultado final de um trabalho.

68 68 Em vários momentos das aulas se reafirmou que a mudança do paradigma newtoniano para o relativístico motivou - se devido à quantidade de problemas não explicados pela mecânica clássica e pelo eletromagnetismo conjuntamente. Sobre a quantidade de explicações existentes e o advento da TRE, Kuhn (2005) afirma,...o resultado final foi precisamente, aquela proliferação de teorias que mostramos ser concomitante com as crises. Foi nesse contexto histórico que, em 1905, emergiu a teoria da relatividade de Einstein. Ainda nessa aula mostramos que a proposta de Einstein ignora a existência do éter luminífero e que ele desenvolveu a TRE a partir de dois postulados. A partir desses postulados ele obteve as Transformações de Lorentz e foi destacado que o resultado matemático foi o mesmo, mas os seus fundamentos são bastante diferentes. Foi também colocada em evidência a diferença entre as Transformações de Lorentz e as Transformações de Galileu, entretanto informando que para baixas velocidades as TL se reduzem às TG, isto é, nesse limite, ambas fornecem o mesmo resultado numérico. Apontamos para o aluno que o paradigma newtoniano agora passa a ter uma delimitação em suas condições de validade, isto é, o modelo newtoniano descreve de forma eficiente aos fenômenos comuns da vida humana, mas não é adequado para descrever os fenômenos envolvendo velocidades da ordem 0,1c ou maiores que esse valor. No fim dessa aula foi apresentada uma contribuição fundamental de Einstein para a compreensão de alguns fenômenos da natureza que é a relação massa-energia. Seguindo uma experiência de pensamento proposta por Einstein foi feita uma atividade em que os alunos, auxiliados por uma figura e por perguntas dirigidas, puderam chegar à expressão E 0 = mc 2. Nessa atividade os alunos necessitaram utilizar os conceitos de conservação da quantidade de movimento e de centro de massa. De posse desse resultado retornou-se à atividade envolvendo os átomos e os núcleos atômicos e se discutiu como esse modelo proposto por Einstein consegue descrever o comportamento da natureza. A aplicação desse resultado foi estendida para outras situações especialmente o caso da energia nuclear. Logo após foi feito alguns exercícios sobre o tema da aula.

69 Os Resultados Decorrentes da TRE e a Descrição do Comportamento da Natureza Como Apresentado nas Atividades de Problematização. Na seqüência da proposta metodológica foi mostrado aos alunos, vários resultados decorrentes da proposta de Einstein para a TRE. Aqui também foi produzido um texto para o aluno pelos mesmos motivos já citados anteriormente (Anexo E). O primeiro ponto a ser destacado foi a questão do tempo e a relatividade da simultaneidade. O resultado da quebra de simultaneidade foi obtido de duas maneiras diferentes: a) atividade utilizando a TL para o tempo (Anexo F) e, b) atividade utilizando os postulados da TRE (Anexo F). Essas atividades foram organizadas passo a passo com perguntas dirigidas para se chegar ao objetivo. Sempre que possível foram utilizadas figuras ilustrativas para facilitar a visualização da situação física real. Fica a critério do professor utilizar uma ou outra atividade e até as duas se houver condições para isso. Se o professor fizer a opção para não trabalhar as transformações de coordenadas ele pode seguir a linha de trabalho a partir dos postulados da TRE. Como fechamento desse item foi utilizado um exercício envolvendo a recepção de sinais por aparelhos de telefonia celular. Procedimentos semelhantes foram utilizados na apresentação de outras conseqüências da TRE relacionadas com as medidas de intervalos de tempo e com as medidas de comprimento (Anexo F). Após o estabelecimento dos resultados decorrentes da teoria de Einstein foram retomadas as atividades de problematização: o comportamento dos elétrons, dos mésons µ e da luz. Mostrou-se como, a partir dos resultados da TRE foi possível interpretar os resultados das experiências. Isso serviu para enfatizar que a teoria não surge diretamente da experiência, mas que a teoria serve para organizar os fatos e a função do experimento é adaptar a teoria à realidade. Além disso, outros resultados foram obtidos e confrontados com os resultados apresentados na aula de revisão de Mecânica Clássica. Também foi apresentada a questão do paradoxo dos gêmeos e a sua discussão com base nos princípios da TRE. 3.7 A Cinemática e a Dinâmica Relativísticas. Nesse momento tratamos das velocidades na cinemática relativística. Mostramos que as Transformações de Lorentz se estendem também para as velocidades. As expressões para as transformações de velocidades foram obtidas utilizando-se simplesmente a

70 70 relação v = espaço/ tempo. Foi trabalhada a questão da velocidade limite e mostrado que essas novas transformações, ao contrário das de Galileu, estão de acordo com a existência de uma velocidade limite na natureza como foi o resultado da experiência da atividade 1. Mostramos que dentro dos limites clássicos baixas velocidades - as Transformações de Lorentz se reduzem as Transformações de Galileu. Explicitamos que em situações de velocidades extremas, as TL convergem para o limite de velocidade do universo que é o da velocidade da luz no vácuo como se conhece no momento. Na seqüência abordamos o efeito Doppler relativístico e mostramos com exercícios que a dilatação temporal pode ser obtida através desse efeito. Logo após iniciamos o estudo da dinâmica relativística. Descrevemos que as mudanças da TRE, promovidas pelos postulados, acabam gerando a mudança no conceito de momento linear. Mostramos que o fator de Lorentz que atua como agente de correção relativística nos conceitos cinemáticos de tempo e espaço, continua a atuar também, nos conceitos dinâmicos momento linear e energia. Em relação ao conceito de massa foi evidenciado que a expressão para a denominada massa relativística que aparece na maioria dos chamados livros didáticos não está conceitualmente correta e que massa é apenas aquela considerada na Mecânica Clássica. Além disso, procurou-se reforçar a idéia da equivalência massa energia, bem como, o princípio de conservação massa e energia. Depois foram resolvidos exercícios sobre o tema. Ainda fornecemos como apêndice de leitura, informações complementares para o professor e para os alunos que queiram aprofundar alguns conceitos: a questão da causalidade, o continuum espaço-tempo de Minkowski, e a Teoria Geral da Relatividade. 3.8 O Questionário Final. Ao término do curso para avaliar a aprendizagem do aluno bem como o êxito do material aplicamos um questionário final. Esse questionário contém as mesmas perguntas do primeiro questionário objetivando como já foi dito a comparação das respostas dos alunos antes e depois do curso. Entretanto foram acrescidas três perguntas específicas aos conteúdos da TRE. Uma das perguntas retoma a questão do átomo de dêuteron e aborda a questão da massa-energia nas transformações nucleares. Foi questionado porque o átomo de dêuteron, com suas partículas unidas apresentava uma massa ligeiramente diferente do que a massa das partículas isoladas que o constituem.

71 71 Foram discutidas em outra questão as correções relativísticas através do fator de Lorentz para uma velocidade igual a v = 0,9c. Essas correções foram direcionadas para os conceitos de: a) a energia inicial do elétron; b) a energia final do elétron; c) a energia cinética do elétron; d) quantidade de movimento linear inicial e final do elétron. Por último uma questão abordava as medidas feitas em SRI diferentes. A comparação de medidas quando feitas por um observador na plataforma e por um observador na nave representam o objetivo central dessa questão. A idéia é fazer surgir o conflito sobre os conceitos de comprimento e tempo tanto medido pela pessoa na Terra e por outra na nave. Também era objetivo dessa questão abordar os postulados da TRE.

72 72 4 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Nesse capítulo serão discutidos os resultados da aplicação do material desenvolvido segundo a fundamentação anteriormente apresentada. Na primeira parte serão apresentadas as avaliações feitas pelos alunos em relação ao texto produzido, em relação às atividades problematizadoras e em relação à metodologia utilizada ao longo da aplicação do módulo. Na segunda parte será apresentado o resultado da avaliação realizada no final da aplicação do material em comparação com as respostas apresentadas na primeira aula. 4.1 Avaliação da Metodologia Utilizada no Módulo Didático, do Texto do Aluno e das Atividades de Problematização. Ao final da aplicação do módulo didático foi solicitado aos alunos para fazerem uma avaliação em relação à metodologia utilizada. Em relação à metodologia adotada, o resultado final na opinião dos alunos é que ela foi bastante eficiente. Vários alunos registraram que a metodologia ajudou a entender o conteúdo ministrado. Alguns extratos foram escolhidos para evidenciar as afirmações acima: a) Fez com que pensássemos com o texto; b) Bom. Muito bom para aprendizagem. c) As aulas foram dadas com bastante aprofundamento facilitando o entendimento da TRE; d) A retomada das atividades nas explicações. Alguns alunos manifestaram que a utilização de demonstrações em animações ajudariam a melhorar o assunto, que é um pouco abstrato. Sugeriram ainda que o reto projetor não deveria ser utilizado com tanta freqüência. O procedimento de avaliação do material produzido para o aluno foi através de questionário apresentado depois que o aluno teve contato com o mesmo. Foi solicitado aos alunos que expressassem suas opiniões em relação ao material fornecido como o texto para leitura complementar ao trabalho desenvolvido na sala de aula. Os pontos solicitados foram: a) em relação à linguagem do texto, b) em relação às figuras e seu papel na compreensão do texto, c) que fizessem uma análise comparativa com outros textos que conhecessem sobre o assunto. De uma forma geral os alunos expressaram que a linguagem está acessível e que o texto transmite um bom entendimento para o leitor. Alguns manifestaram que os períodos do texto estão muito longos e isso dificulta a compreensão. Em relação às figuras o resultado foi que elas estão bem apresentadas e que contribuem para uma boa conexão com o texto. Na comparação com outros textos a manifestação da maioria foi que este é mais

73 73 aprofundado, mais detalhado, porém mais abstrato. Alguns alunos colocaram que o texto é mais claro e objetivo e que foi importante ter os conteúdos disponíveis para revisão em casa. Outros sugeriram que os capítulos estão muito grandes e que deveriam ser divididos em capítulos menores. Já o exercício que prova a equação massa-energia (capítulo II) foi elogiado, bem como, o método de se colocar perguntas intercaladas na atividade. Como apresentado na metodologia, as atividades de problematização foram avaliadas através de um questionário em que os alunos expressaram as suas opiniões sobre cada uma delas. Vários alunos confirmaram que as atividades obtiveram êxito em mostrar o conflito entre os dados da experiência e os resultados previstos pela teoria clássica. Destacaram que o estabelecimento dessas contradições foi importante na aprendizagem. Em relação à atividade das partículas de alta velocidade alguns alunos destacaram que o gráfico ajudou muito a compreensão. Em relação à atividade dos méson outros comentaram que o texto estava um pouco difícil e abstrato. Em relação à quarta atividade alguns alunos disseram que o texto estava longo e que a atividade do barco foi boa, porém, com muita matemática. Apresentamos abaixo as perguntas e os resultados conforme análise das respostas dos alunos. O número de respostas varia de uma questão para outra em função de alguns alunos não terem respondido o questionário ou terem respondido parcialmente. Avaliação da atividade 1- O Comportamento de partículas em altas velocidades Na avaliação da atividade 1 foi solicitado que os alunos se manifestassem respondendo algumas perguntas. Para ilustrar destacamos algumas respostas. Q.1 A linguagem está acessível? Você considerou o texto difícil. O texto estava longo ou cansativo? Linguagem acessível. 26 Não está longo e nem cansativo 10 Um pouco longo. 6 Texto fácil. 5 Q.2 Atividade obteve êxito em mostrar o conflito entre os dados da experiência com os resultados previstos pela teoria clássica sobre a questão da velocidade? Sim. Deu para entender os conflitos a partir dos experimentos. 17

74 74 Sim. Através do gráfico ficou clara a diferença dos dados. 7 Sim. A tabela permitiu visualizar bem isso. 5 Q.3 A leitura dos dados da tabela e a construção do gráfico com o papel milimetrado para você ajudaram no entendimento da atividade? Você já tinha experiência de fazer gráficos em papel milimetrado? Ajudaram a prática. 23 Já havia usado papel. 12 Não tinha experiência. 6 Q.4 Aponte pontos positivos do texto ou faça críticas construtivas visando o seu aprimoramento. Linguagem de fácil entendimento. 9 Texto com perguntas objetivas. 7 O gráfico e a tabela ajudaram na compreensão. 5 Ensino de forma gradativa na construção da idéias. 2 Ser feito com termos mais acessíveis ao leitor. 2 Um pouco longo e cansativo. 2 As perguntas deveriam vir depois. 1 Avaliação da atividade 2 O comportamento dos mésons mi. Q.1 A linguagem está acessível? Você considerou o texto difícil? O texto é compreensível 16 O texto está acessível, mas o tema é abstrato. 8 O texto está difícil devido a falta de conhecimento do assunto 2 O texto está acessível, mas sua leitura é cansativa. 2 Q.2 Atividade obteve êxito em mostrar o conflito entre os dados da experiência com os resultados previstos pela teoria clássica sobre a questão do tempo? Sim o texto esclarece os principais temas abordados. 17 Por exigir muitos cálculos não ajudou a compreensão. 4 Q.3 A leitura dos dados da tabela ajudaram a você no entendimento da atividade?

75 75 Foi fundamental. 17 Ajudou pouco, pois foi difícil a compreensão. 5 Sim, juntamente com a fórmula. 2 Q.4 Aponte pontos positivos do texto ou faça críticas construtivas visando o seu aprimoramento. As respostas à essa pergunta pouco acrescentaram ao que já havia sido dito nas perguntas anteriores. As respostas foram muito variadas. Apesar do tema abstrato, foi compreensível 3 Esta bom e não precisa de melhorar 3 A explicação do professor esclarece melhor o texto. 2 Tornar a linguagem mais clara. 2 Os cálculos estavam um pouco complicados. 1 Deveria ser composto por áreas mais fáceis. 1 Ajudou muito foi a apresentação esquemática da experiência. 1 Texto muito longo e complicado devido ao tema complexo 2 As informações iniciais do texto podem ser resumidas. 1 Ser mais objetivo. 1 Citar mais exemplos sobre o assunto. 1 Citar exemplos do dia a dia para deixar a aula mais dinâmica. 1 Avaliação da atividade 3 A Massa e a energia no átomo. Q.1 A linguagem está acessível? Você considerou o texto difícil? Acessível e de fácil compreensão 19 Difícil 7 Q.2 Atividade obteve êxito em mostrar o conflito entre os dados da experiência com os resultados previstos pela teoria clássica sobre a questão da massa? Sim. Facilitou o entendimento do que foi exposto. 19 Sim. Os cálculos ajudaram a compreensão. 4 Sim. Percebi que a lei da conservação da massa não e válida para todos os casos. 3

76 76 Q.4 Aponte pontos positivos do texto ou faça críticas construtivas visando o seu aprimoramento. Neste caso também as respostas a essa pergunta pouco acrescentaram ao que já havia sido dito nas perguntas anteriores. As respostas foram muito variadas Claro e objetivo. 7 Muito bom. 5 As perguntas foram bem elaboradas. 2 Texto com questionamentos é ótimo. 2 A demonstração foi ótima 1 Bons exercícios. 1 Cria paradoxos. 1 Outros 7 Avaliação da atividade 4 Tentando compreender a luz. Q.1 A linguagem está acessível? Você considerou o texto difícil? O texto estava longo ou cansativo? Linguagem acessível. 5 Um pouco longo e cansativo 4 Está longo, porém nada nele e desnecessário. 1 Linguagem direta, não difícil e dinâmico. 1 Q.2 Atividade obteve êxito em mostrar o conflito entre a previsão da Mecânica de Newton (equivalência de todos os SRI segundo a transformação de Galileu para fenômenos mecânicos) e o resultado da experiência de Michelson Morley para a luz? ( considerada um onda eletromagnética) Mais ou menos. 5 Sim. 2 Não 1 A partir dos exercícios dá para perceber os conflitos 1 Texto confuso não está objetivo. 2

77 77 Q.3 A analogia do barco se movendo no rio foi útil para compreender a experiência com a luz? Útil 6 Confuso e pouco útil 5 Q.4 Aponte pontos positivos do texto ou faça críticas construtivas visando o seu aprimoramento. Ser menor. 3 Ter mais exercícios. 2 Bom 1 Confuso. 1 Explicar falando mesmo, escrito fica mais difícil. 1 As gravuras devem ser mais elaboradas. 1 Interessante 1 Mais objetividade Análise da Avaliação Final em Comparação com o Resultado do Questionário Inicial. A análise foi feita pergunta a pergunta e preferimos mostrar as tendências das respostas analisadas, através dos extratos mais significativos das respostas dos alunos. A conclusão da análise foi feita comparando as respostas iniciais e finais contidas nesses questionários. Da análise das respostas ao questionário inicial, como já era esperado, percebeu-se a presença algumas concepções prévias sobre a natureza da ciência e sobre a TRE. Ainda nesta análise, evidencia-se os dados percentuais relativos a comparação das respostas do primeiro e último questionário, bem como, alguns comentários sobre as mudanças e não mudanças de concepções dos alunos sobre os temas. Mesmo durante a aplicação do material já se percebia que o resultado da turma de sábado iria ser melhor. Foi preocupante o comportamento da turma do HC. Os alunos em muitos momentos estavam cansados e isso motivou um pouco a falta de concentração e de comprometimento durante as atividades. Como essa turma era formada apenas por jovens que cursavam o terceiro ano do ensino médio, podemos afirmar que a além da pouca concentração no trabalho, a maturidade foi também relevante para o resultado final. Em suma na turma do

78 78 HC faltou um maior comprometimento dos alunos para que no final a aprendizagem fosse mais significativa. A turma do sábado teve um melhor resultado por vários fatores. Um dos principais fatores é que essa turma é destinada à preparação para o vestibular e isso leva esses adolescentes a terem um maior comprometimento com os estudos. Eles percebiam as aulas do curso como algo a reforçar os seus estudos e também o fato de ser formada com um número menor de alunos ajudou a chegar a um resultado melhor. Com efeito, acreditamos que os fatores principais foi o comprometimento com o trabalho, a participação e atenção dispensada às atividades durante as aulas. Várias perguntas estão acompanhadas objetivamente pela seguinte codificação: CF (Concordo fortemente), C (Concordo), I (indeciso), D (Discordo) e DF (Discordo fortemente). Entretanto, como complemento foi solicitado aos alunos que respondessem a essas perguntas justificando as suas respostas. Os resultados estão apresentados em quadros contrastando os resultados no início e no final. Assim, para cada questão o quadro mostra, em termos percentuais, as respostas dos alunos das duas turmas. Na coluna início apresenta-se o resultado do questionário antes de iniciar a aplicação do material e na coluna final apresenta-se o resultado depois da aplicação do material. Para facilitar a análise foram agrupados os resultados considerados próximos, assim as indicações para CO e CF, e para DO e DF foram colocados no mesmo índice. De uma forma geral os alunos tiveram muita dificuldade de expressar os seus pensamentos sobre o que foi perguntado nas questões, especialmente no que se refere às perguntas sobre a natureza da ciência, e isso dificultou muito a análise As respostas subjetivas a respeito das perguntas sobre a natureza da ciência. Os dados colhidos nas respostas dos alunos mostraram a existência de vários tipos de concepções prévias sobre a natureza da ciência como explicitado no capítulo dois e três. Como exemplos das principais concepções prévias identificadas, podemos citar algumas: a) a generalização de que o conhecimento científico não pode ser falso; b) o conhecimento se fosse científico não era sujeito a mudanças; c) o aluno pensa que o conhecimento científico é derivado somente de alguma fonte, como uma única observação ou uma única experimentação.

79 79 a) Respostas à primeira pergunta e sua análise percentual Q1. As teorias científicas são obtidas a partir dos dados da experiência, adquiridos por observação e experimento, ou seja, a experiência é o ponto de partida para elaboração de leis e princípios. O objetivo dessa pergunta é explicitar até que ponto a visão empírica da ciência faz parte das concepções dos alunos. O resultado está apresentado no quadro1. Quadro 1: respostas da questão 1 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CO CF 71 % CO CF 57 % CO CF 62,5 % CO CF 0 % DO DF 9,5 % DO DF 42,8 % DO DF 37,5 % DO DF 100 % Na turma do HC, 71 % manifestaram no questionário inicial que a experiência é o ponto de partida para as teorias científicas. Nessa turma, após a aplicação material, 57 % não mudaram sua opinião. Isso indica que a concepção empírica é muito forte. Na turma do sábado esse resultado foi, aparentemente, bastante diferente, pois o percentual inicial foi de 62,5% e no final nenhum aluno manifestou concordância com a afirmação dessa questão. Isso mostra um rendimento bem mais significativo em comparação a outra turma, entretanto, quando analisamos as justificativas, várias delas não estavam condizentes com esse resultado, a maioria dos alunos não conseguiram expressar essa mudança sobre o conhecimento da natureza da ciência. Para ilustrar apresentamos algumas justificativas dos alunos onde pode ser detectada uma clara evolução: a) Um aluno inicialmente respondeu concordando, O ponto de partida para toda e qualquer lei é a observação, após a observação se inicia o estudo prático que aliado com a observação chamamos de experiência. Esse aluno, no final, respondeu discordando, O ponto de partida das teorias cientificas é a observação só depois da observação é que surge a elaboração de uma teoria que irá ser comprovada ou não através de experiências.

80 80 b) Um outro aluno que concordava no início argumentou, As teorias têm como objetivo explicar fenômenos observados na natureza. Assim, uma teoria tem de nascer de algo concreto, no caso uma experiência. No final escreveu discordando, As teorias devem ter como objetivo explicar os dados experimentais, porém, uma teoria pode prever algo antes do experimento (como Maxwell fez com as ondas eletromagnéticas). Para ilustrar que muitos alunos tiveram dificuldade em compreender o sentido do que estava sendo solicitado na pergunta, segue as justificativas de uma aluna: c) Uma aluna que inicialmente respondeu concordando, para sabermos que dada lei ou princípio realmente é válido, deve-se prová-lo através de experimentos ou caso contrário aquilo deixa de ser válido. A aluna respondeu no final discordando, porque não são todas as teorias científicas que são formuladas a partir de experimentos, mas através de teorias que logo após serão comprovado pelas experiências. Na justificativa apresentada inicialmente a aluna comentou em provar uma lei através da experiência e não em que ela fosse obtida através de uma experiência. A justificativa no final está mais coerente. b) Respostas à segunda pergunta e sua análise percentual Q2. Todo conhecimento científico é provisório, isto é, com o passar do tempo poderá se verificar um fato que leve a sua rejeição. Essa pergunta tinha como objetivo levantar concepções prévias sobre se conhecimento científico tem um caráter de verdade absoluta, bem como, encaminhar o debate para as futuras discussões sobre a visão de Thomas Kuhn sobre a evolução da ciência. O índice de concordância em relação ao caráter não absoluto do conhecimento científico já foi elevado deste o início e o resultado mostra que ele foi ampliado na avaliação final. Apesar de existir um elevado percentual de concordância para a rejeição do conhecimento científico, muitas respostas tenderam a apontar que existe um limite de aplicação das teorias científicas em vez de sua rejeição. Algumas respostas mostraram a tendência de se supor que a autoridade científica é suficiente para dar veracidade ao conhecimento.

81 81 Quadro 2: respostas da questão 2 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CO CF 66,7 % CO CF 85,7 % CO CF 68,75 % CO CF 100 % DO DF 33,3 % DO DF 9,5 % DO DF 12,5 % DO DF 0 % Para ilustrar apresentamos algumas justificativas dos alunos para avaliar o nível de argumentação: a) Um aluno respondeu concordando no início, Com o passar do tempo as leis científicas podem ser rejeitadas ou complementadas, tudo isso feito após experiências que provem que essa lei está errada ou incompleta e no final manteve a concordância afirmando, Como podemos ver, isso é claramente exposto nas Transformações de Galileu que só serviu até certo tempo e foi substituída pelas Transformações de Lorentz. b) Uma outra aluna que assinalou discordo fortemente apresentou a justificativa, Há leis como a da relatividade, formulada por Einstein, que não foram rejeitadas. No final ela respondeu concordo fortemente e justificou a sua mudança escrevendo, Pois, assim, como a mecânica clássica foi sobrepujada pela relatividade, esta última, daqui a algum tempo poderá ser substituída também. c) Outro aluno que discordava no início respondeu, Se há um conhecimento cientifico, é porque anteriormente ele já foi observado e testado por algum cientista. No final ele manteve a discordância escrevendo, Um conhecimento científico pode ser aprimorado, como a Mecânica Clássica, embora não seja rejeitado. c) Respostas à terceira pergunta e sua análise percentual Q3. Na Ciência, todas as observações sempre são feitas com base em alguma teoria, isto é, o cientista primeiro formula uma teoria e somente depois observa. O objetivo dessa pergunta é explicitar as concepções prévias sobre a relação teoria e observação e se há alguma indicação de que a observação sempre pressupõe algum conhecimento.

82 82 Quadro 3: respostas da questão 3 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CO CF 14,3 % CO CF 14,3 % CO CF 12,5 % CO CF 12,5 % DO DF 85,7 % DO DF 71 % DO DF 81,5 % DO DF 87,5 % Nas duas turmas percebeu-se que praticamente não houve mudança no resultado comparando-se o questionário inicial e o final. Na turma do HC, onde houve uma forte tendência empirista nas respostas, o percentual dos alunos que discordavam caiu em torno de 15 %. Esse percentual migrou para o grupo dos indecisos. Seguem algumas justificativas dos alunos: a) Um aluno que discordava comentou na justificativa no início, Uma teoria pode surgir de uma observação, como acontece na maioria das vezes, um exemplo disso é a teoria da gravitação universal, onde Newton viu que certo objeto caia e depois que foi formulada a teoria. No final ele continuou discordando como mesmo argumento, na ciência pode haver primeiro uma observação e depois a elaboração de uma teoria, como aconteceu com as leis da gravitação universal. Este aluno não demonstrou nenhuma evolução. b) Uma aluna concordou inicialmente justificando, essa é a lei de qualquer pesquisa, onde primeiro formula-se a tese e depois a põe em prática. No final ela continuou concordando e justificou, A teoria é o inicio de tudo para a formulação de leis e princípios, que logo após a sua formulação se concretizam através de observações e experimentos. O aluno manteve em essência a mesma resposta. c) Um aluno que estava inicialmente discordava escreveu, Primeiro se observa, para depois a teoria ser formulada e ser posta em prática. No final respondeu que concordava e justificou, Após a formulação da teoria, a hipótese, é sujeita à observação. Esse foi um dos poucos alunos que mudaram a sua resposta. d) Respostas à quarta pergunta e sua análise percentual Q4. Uma teoria que entra em conflito com as observações ou resultados experimentais deve ser rejeitada imediatamente.

83 83 Essa pergunta foi selecionada porque a nosso ver ela direciona o estudo para uma parte essencial do trabalho. O que ocorre com os paradigmas da ciência quando estão em crise? Quadro 4: respostas da questão 4 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CO CF 42,8 % CO CF 57 % CO CF 0 % CO CF 31,25 % DO DF 42,8 % DO DF 42,8 % DO DF 62,5 % DO DF 68,75 % Aqui (Turma do HC) houve certa coerência nas respostas, pois as novas teorias vêm estabelecer os limites das teorias existentes. Existiu uma mudança de 14% entre as pessoas que concordavam quanto à rejeição da teoria no início e as pessoas que concordavam no final. Esse percentual veio dos alunos que estavam indecisos. Na outra turma (sábado) houve um ligeiro aumento dos alunos que não concordaram e a maioria dos indecisos no início tendeu na segunda etapa para concordar com a afirmação. A turma do HC em relação a quarta pergunta mostrou em suas respostas, numa certa medida, quais os limites que um paradigma pode ter. Esse fato ficou evidenciado no extratos da respostas dos alunos: a) Uma aluna que mostrou evolução, inicialmente concordava justificando, A teoria, deverá ser reavaliada em seus pontos fracos para a formulação de uma lei que englobe maior número de fenômenos. No final ela respondeu que discordava e justificou, Não deve ser rejeitada, mas poderá (e deverá) ser reformulada a fim de abranger os fenômenos aos quais não se aplica. b) Um aluno que estava inicialmente indeciso escreveu, Uma teoria que contraria a natureza é falha, devendo assim ser descartada, porém se esta explica uma boa parte dos fenômenos observados ela ainda pode ser aplicada para esses casos. Depois ele passou a discordar justificando, Algumas teorias como a de Newton, apesar de entrar em conflitos com alguns fatos experimentais, servem para explicar vários outros. c) Um outro aluno que concordava no início justificou, É importante que a teoria explique realmente o fenômeno; porém, mesmo que não seja verdadeira, ela pode

84 84 ajudar a simplificar o trabalho ou facilitar a compreensão de algo. No final respondeu discordando, A mecânica clássica não explica muito bem como a TRE faz, pois, ainda assim, é útil para demonstrar vários fenômenos complicados Respostas subjetivas a respeito dos conceitos da física clássica. Passamos a analisar as questões que foram formuladas para levantar concepções prévias dos alunos relativas aos conceitos fundamentais da Física clássica que são necessários a um bom entendimento na aprendizagem da TRE. Foram formuladas cinco questões cada uma direcionada para um conteúdo específico da Mecânica Clássica que a TRE vai fazer uso. Somente a sexta foi analisada sem o uso de quadros. As análises dessas questões estão detalhadas através de percentuais e algumas respostas subjetivas estão representadas através de extratos. a) Respostas à quinta pergunta e sua análise percentual Q 5. Pelas leis de Newton, que você já conhece, a relação que permite calcular a velocidade de um corpo em função do tempo é v = v 0 + at. Considerando que v 0 = 0 e que a aceleração é 100 m/s 2, a velocidade depois de transcorrido 10 horas será 3,6 x 10 6 m/s, depois de transcorrido 100 horas será 3,6 x 10 7 m/s e depois de transcorrido 1000 horas será 3,6 x 10 8 m/s. Pelas leis de Newton a velocidade pode aumentar sem limites. Em relação ao fato de a velocidade poder aumentar indefinidamente você Essa questão tem como objetivo levantar concepções prévias sobre a idéia de existir uma velocidade limite na natureza. Partindo das idéias da Física Clássica o aluno é levado a pensar que a velocidade é uma grandeza física que tende ao infinito quando acelerada durante um tempo indeterminado. Após a aplicação do material nas aulas, esperavase que o aluno respondesse sobre o limite de velocidade imposta pela natureza representada pela velocidade da luz no vácuo. O quadro 5 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos.

85 85 Quadro 5: respostas da questão 5 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final Sem limite 47,61 % Sem limite 19,04 % Sem limite 12,5 % Sem limite 0,0 % Há limite 38,09 % Há limite 66,67 % Há limite 50 % Há limite 100 % Outros 14,28 % Outros 14,28 % Outros 37,5 % Outros 0,0 % Na turma do HC percebeu-se uma evolução na aprendizagem desse conceito, entretanto, persistiu ainda um percentual de 19,04 % que acredita na velocidade ilimitada na natureza. Também podemos perceber que existiu uma mudança significativa (quase o dobro) nos alunos que indicaram a existência de um limite de velocidade na natureza. Na turma do sábado identifica-se que já existiam concepções prévias sobre a velocidade limite em maior quantidade, uma vez, que existiu um baixo índice de alunos que acreditavam em velocidade ilimitada (12,5 %). Com base no percentual nota-se claramente que aprendizagem foi efetiva já que no questionário final nenhum aluno permaneceu com a idéia de velocidade infinita Como já era esperado, alguns alunos que não tinham o conhecimento prévio das idéias relativísticas concordaram com a velocidade ilimitada proposta pela Física Clássica. Por outro lado, existiu mudança conceitual a respeito do limite de velocidade quando comparamos algumas respostas antes e depois da aplicação. Os extratos a seguir demonstram esses fatos: a) Um aluno antes comentou concordando, Pois se existir uma aceleração contínua quanto mais tempo passar mais essa velocidade irá aumentar, e como o tempo não para a velocidade aumenta indefinidamente. O mesmo aluno no questionário final argumentou que não concordava da seguinte forma, Pois hoje já é comprovada que a velocidade tende a um limite, a velocidade da luz. Para esse aluno a aprendizagem foi efetiva b) Uma aluna que concordava no início argumentou, de acordo com a lei de Newton a velocidade pode aumentar, porém em intervalos de tempo muito grande. E depois do curso discordando sua opinião era, Com a teoria da relatividade ficou comprovada através dos experimentos que a velocidade não é infinita como Newton acreditava. seguir: Para justificar as concepções próprias existentes selecionamos o extrato a

86 86 c) Um aluno antes de iniciar o curso discordando respondeu, Tal idéia entra em conflito com a teoria de que a velocidade da luz é a máxima velocidade que um corpo pode atingir. b) Respostas à sexta pergunta e sua análise percentual Este texto servirá de base para as perguntas que seguem abaixo. Vamos considerar uma situação envolvendo um trem que está movendo-se com velocidade constante V e sempre em linha reta. O trem é tal que quem está dentro pode ver o que ocorre fora e quem está fora pode ver o que ocorre dentro. Costuma-se dizer que há um sistema de referência fixo na Terra (referencial S) e um sistema de referência fixo no trem (referencial S ). Trem em movimento S V Plataforma S Q6. O que você entende por sistema de referência? O que significa dizer que há um sistema de referência fixo na Terra e outro fixo no trem? O sistema de referência fixo na Terra é maior do que o do trem? Essas questões foram colocadas para identificar concepções prévias sobre a noção de referencial e idéias correlatas (ver capítulo 2). Alguns alunos confundem a noção de referencial com objetos materiais, como por exemplo: o sistema de referência pode ser uma casa ou uma plataforma; outros acham que são réguas rígidas e infinitas para medir distâncias para os estados de movimento ou de repouso; outros acham que o sistema de referência como algo sólido preso a um corpo, que o tamanho do sistema de referência está associado ao tamanho do corpo, etc. A análise desta questão se tornou bastante difícil por ser uma questão aberta e também em função de ter sido colocado três perguntas em um só questionamento. A seguir

87 87 apresentamos algumas respostas dos alunos para ilustrar algumas concepções prévias e a evolução conceitual: a) Um aluno respondeu inicialmente, Primeiramente sistema de referência significa procurar um referencial que será adotado como ponto fixo. Os referenciais não são maiores entre si. No final este aluno respondeu, É um sistema de eixos coordenados em que pode ser representado na figura acima por S e por S, um que é fixo na Terra e o outro fixo no trem. Ambos possuem o mesmo tamanho.. Neste caso houve uma evolução, pois o aluno conseguiu melhorar o seu argumento. b) Um outro aluno disse no início, Sistema de referência são pontos fixos que servem para estudar o que é externo a ele. Há um ponto de observação na Terra e outro no trem, este último é menor. Ao final esse aluno respondeu, Um sistema de coordenadas, uma relação entre observador e um corpo em estudo. Um sistema de coordenadas no trem e outro na Terra (observador no trem e na terra). O sistema de referência na Terra não é maior do que no trem.. Esse aluno já tinha uma razoável concepção, mas evoluiu em relação ao tamanho de um referencial. c) No início, outro aluno respondeu que, Sistema de referência refere-se ao observador do fato. Quando se diz que há dois sistemas de referência (o do trem e o da Terra) dizse que pode haver duas posições com relação ao fato e não se pode dizer que um sistema de referência é maior do que outro, pois não há diferença física neste ponto de vista.. Ao final ele respondeu, Sistema de referência é um sistema de coordenadas imaginário. Significa dizer que para cada observador há um sistema de coordenadas. E não se pode fazer relação de tamanho entre os sistemas de referência.. Embora com dificuldades na expressão das idéias ele conseguiu associar a cada corpo um sistema de coordenadas. d) Inicialmente uma outra aluna respondeu, Um espaço, com algumas circunstâncias, que se toma para observar um fato que não faça parte desse espaço, para que se possam comparar. Um sistema de referência fixo na Terra é um lugar em que o que ocorre fora dele é diferente do que ocorre dentro dele. E um SR fixo no trem também. O SR fixo na Terra pode ser maior que o do trem porque a Terra tem mais espaço para se escolher um sistema de referência. No final ela respondeu, Sistema de referência é um conjunto de coordenadas que pode ser associado a qualquer lugar que queira se fazer referência para se analisar os movimentos. Podemos notar que no início a resposta foi bastante confusa e que a resposta, no final, foi bem mais elaborada.

88 88 De uma forma geral os alunos apresentaram inicialmente algumas concepções prévias como indicado pelas pesquisas relatadas no capítulo 2, mas a maioria mostrou alguma evolução nas respostas apresentadas no final do curso, principalmente em relação à associação de um sistema de coordenadas a um corpo para descrever o movimento de outro corpo, e em relação ao tamanho do referencial. A conclusão é que os alunos têm noção de sistema de referência, mas têm dificuldades para expressar as suas idéias. No final cerca de 65% dos alunos deram a resposta esperada em relação ao tamanho do referencial, isto é, que ele não está a associado ao tamanho do corpo ao qual ele é solidário, mas que pode se estender por todo espaço. O rendimento da turma do sábado foi melhor que a turma do HC, isto é, nessa turma cerca 77% associaram o sistema de referência a um sistema de coordenadas solidário a um corpo. Na outra turma esse índice ficou em torno de 50%. c) Respostas à sétima pergunta e sua análise percentual Q7. A velocidade do trem em relação à Terra é V. Qual a velocidade da Terra em relação ao trem? Justifique a sua resposta. Essa questão tinha como objetivo saber se os alunos possuíam idéias prévias sobre a mudança de referencial inercial em movimento. Ela se constitui numa questão de nível elementar exatamente para termos uma noção sobre o nível de conhecimento que os alunos possuem sobre esse aspecto. O quadro 6 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos. Quadro 6: respostas da questão 7 Turma do HC (segunda feira) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final -V 66,67 % -V 85,71 % -V 75,0 % -V 100 % Nula 28,57 % Nula 4,76 % Nula 12,5 % Nula 00,0 % Outro 4,76 % Outro 9,52 % Outro 12,5 % Outro 00,0 % Na turma do HC apesar de 66,67% dos alunos já terem idéia sobre a mudança de referencial existiu um aumento nessa aprendizagem de 20,71%. Já o número de alunos que respondeu de forma errada ou nula, aproximadamente (33%), caiu no questionário final para 14%. Assim consideramos que houve uma evolução na aprendizagem.

89 89 Para a turma do sábado o início foi muito semelhante à outra, porém o resultado final foi o melhor possível. Todos os alunos responderam corretamente sobre a mudança de referencial Nas turmas foram detectadas algumas mudanças conceituais em relação às mudanças de sistemas de referências inerciais. Por exemplo: a) Uma aluna respondeu no questionário inicial, A velocidade da Terra em relação ao trem é nula, já que para quem está no trem a Terra está parada. Após o curso a aluna respondeu, pelo fato da plataforma estar se afastando quando observada do trem sua velocidade V. b) Outra aluna inicialmente respondeu, A velocidade da Terra é zero, pois não se mantém constante movimento como o trem. Após o curso comentou, A velocidade da Terra em relação ao trem é a mesma velocidade que o trem em relação à Terra, pois depende do referencial. c) Uma aluna na parte inicial comentou, Ela estará em repouso. Depois ela respondeu, É V, porque houve mudança de referencial. d) As respostas a oitava pergunta e sua análise percentual. Q.8 Considere que, de repente, começou a chover e uma pessoa que está parada na plataforma vê a chuva cair paralelamente a um poste de luz, isto é, a chuva cai verticalmente. Para uma pessoa dentro do trem a chuva cai em uma direção oblíqua em relação ao trem. Em relação à afirmação A chuva realmente cai verticalmente, sua inclinação não é real, Essa questão foi formulada para mostrar que todas as observações em Ciências são reais do ponto de vista de qualquer sistema de referência inercial. Os resultados diferem aparentemente entre si pelo fato do sistema de referência para observação da chuva ser diferente. Neste caso, como resposta podemos simplesmente dizer que a trajetória da chuva depende do referencial adotado. Na turma do sábado percebe-se uma melhora. Os percentuais dos alunos que concordavam foram diminuídos em torno de 12% enquanto os que discordavam aumentou em 30%. Percebeu-se em algumas respostas que os alunos, erroneamente, atribuíram a diferença a uma ilusão de óptica. Outros atribuíram essa diferença ao movimento relativo que existe entre os corpos e ainda outros responderam de forma incompleta O quadro 7 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos.

90 90 Quadro 7: respostas da questão 8 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CF CO 57,5 % CF CO 67,5 % CF CO 25,0 % CF CO 12,5 % DF DO 28,5% DF DO 28,75 % DF DO 56,5 % DF DO 87,5 % Com base nos percentuais na turma do HC existiu um aumento de em torno de 10 % nas pessoas que concordavam que inclinação não é real, enquanto o percentual das pessoas que não concordavam permaneceu em torno de 30 %. Entretanto, apesar dos percentuais não indicarem que existiu uma evolução de aprendizagem desse conceito é necessário levar em conta com mais ênfase as respostas escritas. Nessa turma alguns alunos respondem objetivamente de uma maneira, mas as justificativas mostravam uma contradição. Por exemplo: uma aluna respondeu inicialmente que concordava e apresentou a seguinte justificativa, A inclinação que a pessoa dentro do trem parece observar é devido ao referencial dele, um local que está em movimento. No final ela continuou concordando e escreveu, A inclinação da chuva que se vê no trem não é real, isso acontece devido ao referencial que foi modificado. Essa aluna entende que é um efeito devido à mudança de referencial, mas continua afirmando que não é real. Os extratos a seguir mostram algumas opiniões dos alunos: a) Uma aluna que discordava no início, escreveu, A realidade para a pessoa que está dentro do trem é que a chuva cai inclinada. O que é real para uma pessoa pode não ser real para outra e não devemos afirmar que a realidade de outrem é falsa. No final indecisa comentou, Se o trem estiver em MRU e a chuva cair obliquamente não dá para dizer como realmente cai porque na plataforma que pode ser considerada uma referencial inercial, a chuva cai perpendicularmente e nesse caso os referenciais inerciais não são equivalentes. Essa aluna mudou sua resposta para indeciso, mas apesar de ter se confundido quanto aos referenciais percebe-se que existiu uma evolução em seus conhecimentos e que não havia razão para essa mudança. b) Uma aluna antes comentou concordando, Pra quem está em movimento em relação a chuva, esta parece inclinada, pois a velocidade do observador altera a sua percepção do fenômeno No final ela respondeu discordando, Essa afirmação depende do referencial usado. Para quem está parado na plataforma ela cai verticalmente. Mas

91 91 para quem está no trem ela cai obliquamente. Devemos ressaltar aqui que, embora a aluna tivesse concordado inicialmente, a sua justificativa foi no sentido de discordar. c) Outro aluno que concordava respondeu inicialmente, Realmente não há inclinação, o que ocorre é uma ilusão de ótica, porém, temos que pensar com relação aos referenciais. O mesmo aluno respondeu depois discordando, Do modo que observador viu é real para ele e os resultados são diferentes porque o referencial importa bastante. Para esse aluno existiu uma evolução de aprendizagem. e) Respostas à nona pergunta e sua análise percentual. Q9. Considere dois canhões idênticos (de brinquedo) sendo um na Terra e outro em um trem. O alcance e a altura máxima de um projétil disparado pelo canhão no solo são 4 m e 2 m, respectivamente e a trajetória é uma parábola valendo para esses casos a segunda lei de Newton F =ma. Considere o alcance e a altura máxima da bala disparada pelo canhão no trem. Em relação ao sistema de referência do trem podemos afirmar que o alcance e a altura máxima são as mesmas da bala disparada pelo canhão na terra, pois as leis de movimento são idênticas nos dois sistemas de referência. Em relação a essa afirmação você : Essa questão foi formulada para se obter uma melhor compreensão sobre o princípio da relatividade. As concepções espontâneas dos alunos que os resultados físicos são afetados pelos movimentos apareceram em certas respostas. O aluno deveria responder que as leis ou os resultados físicos são os mesmos qualquer que seja o referencial inercial. O quadro 8 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos. Quadro 8: respostas da questão 9 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CF CO 44 % CF CO 48% CF CO 20 % CF CO 70,5 % DF DO 51% DF DO 33,% DF DO 82 % DF DO 26 % Consideramos que a aprendizagem da turma do HC para essa questão não foi significativa visto que as pessoas que concordavam com afirmação aumentaram somente em

92 92 torno de 4%. Entretanto, vale salientar que o número de pessoas que discordaram diminui em 20%. Na turma de sábado nota-se que aprendizagem foi significativa. Os alunos que concordavam aumentaram em torno de 50 % e os alunos que discordavam diminui em 55%. Para exemplificar apresentamos algumas justificativas dos alunos: a) Uma aluna que não concordava inicialmente explicitou, O caminhão está em movimento e terá um menor alcance. No final justificou concordando, Os mesmos. Porque os referenciais são inerciais. A comparação entre as respostas evidencia uma aprendizagem b) Existiu mudança conceitual relativo a essa pergunta como mostra os extratos a seguir de uma aluna que discordava, Não se pode aplicar o mesmo resultado a dois sistemas de referências diferentes. No final ela concordou comentando, O canhão colocado no trem está em uma referencial inercial do trem e por isso, as leis de movimento são as mesmas, já que se aplicam a todos os referenciais inerciais c) O extrato da resposta de uma aluna que discordava, Porque no trem o canhão terá movimento e isso influi no resultado. Depois do curso respondeu concordando, Se o trem estiver em MRU, porque o princípio da relatividade diz que em referenciais diferentes, os resultados físicos são os mesmos Respostas subjetivas a respeito dos conceitos relativos à soma de velocidades e as mudanças de referencial inercial. Este texto servirá de base para as perguntas que seguem abaixo. Dentro de um vagão esportivo de nosso trem que tem comprimento de 20 m existe uma pessoa que corre a uma velocidade de 2 m/s e o trem está movendo-se com uma velocidade V = 10 m/s em relação à Terra. O texto a seguir foi pensado para diagnosticar as concepções prévias dos alunos relativos a mudança de referencial frente as transformações de Galileu. Espera-se problematizar a questão da soma de velocidades de Galileu para se discutir posteriormente o limite de velocidade imposto pela natureza.

93 93 S Trem em movimento v V S Trem em movimento v V S S Plataforma Plataforma a) As respostas da décima e décima primeira perguntas e suas análises percentuais. Q.10. Qual a velocidade da pessoa em relação à Terra quando ela está movendo-se no mesmo sentido do movimento do trem? As questões 10 e 11 foram selecionadas para examinar se os alunos possuíam alguma idéia prévia sobre a adição vetorial de velocidades newtonianas. Um dos objetivos era a ênfase nas TG para fundamentar conteúdos posteriores. As respostas foram numéricas e por isso avaliações das mesmas estão a seguir somente em dados quantitativos nos quadros de percentagem. Os quadros 9 e 10 mostram os percentuais das respostas dos alunos. Quadro 9: respostas da questão 10 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final 12 m/s 61,09 % 12 m/s 90,47% 12 m/s 81,25% 12 m/s 100% Outro 28,57 % Outro 9,52% Não sei 18,75 % Não sei 0,0% Errado 9,52% Errado 0,0% Errado 0,0% Errado 0,0% Na turma do HC 61% dos alunos conheciam a maneira de operar velocidades corretamente. O índice de cerca de 91% indica que houve uma evolução na aprendizagem. Na turma do sábado observa-se que existia conhecimento prévio em 82% dos alunos a respeito das operações com velocidades. A aprendizagem foi significativa uma vez que 100% dos alunos responderam corretamente.

94 94 Q11. Qual a velocidade da pessoa em relação à Terra quando ela está movendo-se no sentido contrário ao do trem? Quadro 10: respostas da questão 11 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final 8 m/s 38,05% 8 m/s 90,47% 8 m/s 87,5% 8 m/s 100% Outro 61,09 % Outro 9,52% Não sei 12,5% Não sei 0,0% Na turma do HC 61% dos alunos operaram de maneira incorreta as velocidades. Houve uma evolução na aprendizagem que aumentou em 60 %. Houve uma redução das pessoas que responderam de forma errada em torno de 50%. Na turma do sábado, como já existia uma significativa porcentagem de pessoas que já tinham esse conhecimento, houve uma aprendizagem total dessa pergunta. b) Respostas à décima segunda pergunta e sua análise percentual. Q12. Considere que uma pessoa está parada em um vagão com tem uma lanterna na mão. Ela acende e apaga a lanterna emitindo um pulso de luz que se propaga com velocidade c em relação ao vagão. Se a lanterna estiver apontando no sentido do movimento do trem (ver figura), a velocidade da luz em relação à Terra será c + V; Se a lanterna estiver apontando no sentido contrário ao do movimento do trem (ver figura), a velocidade da luz em relação à Terra será c - V. Em relação a essas afirmações, você: Essa questão tem como objetivo verificar se a soma de velocidades newtonianas se estende para a luz. Espera-se o surgimento de concepções prévias sobre o limite de velocidade, bem como, mudanças conceituais a esse respeito. O quadro 11 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos. No início 52% dos alunos da turma do HC achavam que a soma de velocidades também se aplicava para a luz. Na parte final esse percentual caiu para 24%. Por outro lado 48% que inicialmente discordava pulou para quase 62%. Consideramos esse resultado positivo.

95 95 Quadro 11: respostas da questão 12 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final CF CO 52,37% CF CO 23,8% CF CO 37,25% CF CO 0,00% DF DF DF DF DO 47,57% DO 61,89% DO 50,5% DO 100,00% A aprendizagem na turma de sábado foi boa já que ao final todos os alunos discordaram de forma correta. Na turma de sábado as concepções prévias sobre a TRE existiam em maior número. Os exemplos escolhidos abaixo denotam tanto as concepções prévias como as mudanças conceituais. Tais evidências foram encontradas nas duas turmas e os extratos a seguir mostram isso: a) Um aluno respondendo no início, A velocidade da luz não pode ser c + V, pois de acordo com a TRE não existe velocidade maior do c. No final respondeu, a velocidade da luz é absoluta (c). b) Um aluno que inicialmente concordava, As velocidades relativas são dadas pela soma ou subtração dos vetores de acordo com o referencial e sentido dos pontos. Depois o mesmo aluno respondeu, A velocidade luz é a mesma c em qualquer SRI. c) Uma aluna que inicialmente concordava, Em relação à Terra essas velocidades irão somar-se quando estiverem num mesmo sentido e subtraindo-se quando estiverem em sentidos opostos. Depois a aluna respondeu, Segundo as experiências com aceleradores de partículas e os postulados de Einstein a velocidade da luz no vácuo não pode ser somada nem subtraída por nenhuma outra velocidade. c) Respostas à décima terceira pergunta e sua análise percentual. Q13. Uma pessoa que está na plataforma se vê em um espelho que está fixo na mesma. Nós vemos a nossa imagem porque a luz é refletida pelo nosso corpo e roupa e incide no espelho e do espelho ela volta para o nosso olho. Assim, a luz e sua propagação têm um papel fundamental no processo de nos vermos no espelho. As experiências realizadas para se determinar a velocidade da luz indicam que a luz se propaga com uma velocidade c = 3 x 10 8 m/s em relação à Terra. Quando o trem está movendo-se com sua velocidade usual sabemos

96 96 que podemos ver a nossa imagem em um espelho dentro do trem. Suponha agora uma situação imaginária em que o trem está movendo-se com a velocidade da luz em relação à Terra e uma pessoa dentro do trem se coloca em frente a um espelho fixo no trem, como mostra a figura. Essa pessoa vai se ver no espelho? Responda e justifique a sua resposta. Essa questão se refere em essência, à histórica pergunta conhecida como o espelho de Einstein. Ela tem como objetivo problematizar a questão da luz na passagem da física clássica para a relativística. A questão foi formulada em aberto e esperava-se que a resposta fosse dada com base em dois paradigmas, o clássico e o relativístico. De uma forma geral foi detectado uma dificuldade na compreensão dessa questão e, em conseqüência, na formulação das respostas. Na turma de sábado inicialmente 82% responderam não e desses 65% responderam usando o modelo newtoniano (luz em repouso). Dos 18% dos alunos que responderam sim, somente 12% responderam de forma correta. Percebe-se uma mudança significativa no percentual que respondeu não. Responderam sim à questão 83% dos alunos, entretanto destes 70% usaram os postulados da relatividade. O quadro 12 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos. Quadro 12: respostas da questão 13 Turma do HC (segunda feira) Turma isolada (sábado) Início Final Início Final Não 62, 00 % Não 52,38% Não 82,35 % Não 17,54% Sim 37,80 % Sim 47,62 % Sim 17,54 % Sim 82,35 % Na turma do HC, 62% dos alunos como mostra a tabela respondeu inicialmente não à pergunta. Destes a justificativa mais usada foi a newtoniana afirmando que a luz está em repouso em relação ao trem. Curiosamente 20% destes afirmaram que os olhos não acompanhariam o processo. Os alunos que responderam sim, no início, justificaram de forma errada. Apenas um aluno usou o argumento correto. Ainda para a turma do HC, o resultado final mostrado na tabela indica que, para essa questão, a mudança foi de cerca de 10%, já que 52% dos alunos ainda utilizaram o modelo newtoniano para alcançá-la. Aumentou para 48% o número de pessoas que concordaram, mas apenas em torno de 30% desses utilizaram o postulado de Einstein.

97 97 Inicialmente foi revelado nas respostas um comportamento clássico, visto que, achavam que a luz estava em repouso. Os exemplos seguir mostram algumas tendências: a) Um aluno respondeu inicialmente de forma indecisa, Suponho que não, pois com a luz e o trem na mesma velocidade a luz não chegaria até o espelho, pois haveria uma velocidade igual a zero se levarmos em conta o trem e a luz. No final respondeu, Sim, pois a velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial, para a pessoa que está parada no trem.. b) Uma aluna respondeu inicialmente, Não. Porque a luz que atingirá o menino caminhará com a mesma velocidade do trem e não conseguirá atingir o espelho e ser refletida ao olho da pessoa para a formação da imagem na retina. No final ela continuou com a mesma resposta mantendo o pensamento clássico. c) Alguns alunos responderam afirmativamente, mas expressaram suas idéias de forma pouco clara. Os extratos a seguir mostram várias concepções newtonianas que permaneceram: Não, pois com a mesma velocidade que a luz, quando isso acontecer a luz estará parada e não será possível sua visualização ; Não, porque a luz não vai conseguir chegar ao espelho, pois não vai conseguir alcançá-lo ; Não, porque a velocidade é muito grande (do trem) e o olho humano não consegue acompanhar tal rapidez. È como se não desse tempo de a imagem ser refletida. No final alguns alunos responderam de forma correta como mostra os extratos: Sim, pois a velocidade da luz não depende do referencial, assim, a luz vai conseguir chegar ao espelho e voltar a seu olho ; Sim, a velocidade da luz será sempre independente do referencial. Vai, pois para quem está dentro do trem, sendo que o espelho também está dentro, a velocidade do mesmo não influencia nos fenômenos da luz dentro do trem Respostas a respeito dos conceitos relativos à TRE. Na avaliação final foram acrescentadas três questões específicas com o objetivo de avaliar a aprendizagem dos conceitos relacionados à TRE após a aplicação do material. Elas versavam sobre vários aspectos da TRE como a questão da massa e energia, as medidas de tempo e de espaço feitas em referenciais inerciais diferentes, sobre o limite de velocidade e o do princípio da relatividade.

98 98 a) Respostas a décima quarta pergunta e sua análise percentual. Q14. Um átomo de dêuteron é formado por um próton, um nêutron e um elétron. Quando se compara a soma das massas das partículas isoladas verifica-se que ela é maior do que a massa do átomo de dêuteron. Como se interpreta esse resultado através da TRE? Essa questão foi formulada para se avaliar a relação da massa-energia. Esperava-se que o aluno nas suas respostas afirmassem que a energia e a massa são equivalentes no sentido de que a massa pode aparecer sob forma das energias de ligação na estrutura atômica. Existiram muitas concepções a esse respeito nas respostas dos alunos. O quadro 13 mostra os percentuais das respostas dos alunos. Quadro 13 respostas da questão 14 Turma do HC (segunda feira ) Turma isolada (sábado) Equivalência massa-energia 76,00% Equivalência massa-energia 70,00 % Massa e energia juntas 18,00 % Respostas erradas 24,00% Respostas erradas 12,00 % Percebe-se que na turma do HC existiu uma aprendizagem significativa sobre a equivalência entre a massa e a energia uma vez que 76% dos alunos responderam corretamente. Entretanto em torno de 24% dos alunos ainda não conseguiram aprender os conceitos relativos a relação entre a massa e a energia. Também na turma de sábado existiu uma aprendizagem significativa. 70% responderam corretamente e 18% tentaram relacionar a massa e energia de forma correta, porém se o rigor científico. Entretanto, 12% dos alunos ainda não conseguiram aprender os conceitos relativos a relação entre a massa e a energia. b) Respostas à décima quinta pergunta e sua análise percentual. Q15. Um elétron, massa m e, é acelerado a partir do repouso até alcançar a velocidade v = 0,9c (fator relativístico γ = 2,3). Em relação à essa situação determine (expressar os resultados em função de m e e c): a) a energia inicial do elétron; b) a energia final do elétron; c) a energia cinética do elétron; d) quantidade de movimento linear inicial e final do elétron.

99 99 Essa questão tinha objetivo de verificar se os alunos sabiam fazer as correções relativísticas através do fator de Lorentz para os conceitos: da quantidade de movimento inicial e final; para a energia inicial e final; para a energia cinética. Nessa questão não existiram respostas escritas e quadro 14 mostra os percentuais das respostas dos alunos. Quadro 14: respostas da questão 15 Turma do HC (segunda feira ) Item (a) Errado e em Branco 38,00% Correto 62,00% Item (b) Errado e em Branco 33,00% Correto 67,00% Item (c) Errado e em Branco 33,00% Correto 67,00% Item (d) Errado e em Branco 38,00% Correto 62,00% Turma isolada (sábado) Item (a) Errado e em Branco 11,80% Correto 88,20% Item (b) Errado e em Branco 29,41% Correto 71,59% Item (c) Errado e em Branco 23,50% Correto 73,50% Item (d) Errado e em Branco 11,80% Correto 88,20% turma do sábado foi de 82%. Como mostra o quadro 14, o aproveitamento da turma do HC foi de 65% e o dá c) Respostas à décima sexta pergunta e sua análise percentual. Q16. Um cientista quer testar a validade da TRE. Para isso ele prepara uma experiência em que ele pega uma barra e coloca um emissor de luz na extremidade esquerda e um receptor na extremidade direita para registrar o instante da chegada do sinal. (Isso está mostrado na figura a). No referencial do laboratório (Terra) ele mede o comprimento da barra encontrando 9 metros e mede também o intervalo de tempo para a luz se deslocar do emissor ao receptor e encontra da ordem de 3 x 10-8 s. Isso está de acordo com a relação x = ct onde c = 3 x 10 8 m/s é a velocidade da luz. Esse resultado indica que a velocidade da luz no sistema do laboratório é c. Dando seqüência ao seu propósito de testar a TRE, ele faz um outro aparelho exatamente igual e o coloca em uma nave espacial partindo deixando na

100 100 Terra o primeiro aparelho e um ajudante. Quando a velocidade da nave é constante e igual a 0,9c em relação à Terra ele repete, dentro da nave, a mesma experiência feita no laboratório. Tendo em vista a validade da TRE responda as perguntas abaixo: a) Qual a medida do comprimento da barra feita no referencial da nave? Explique a sua resposta b) Qual a medida do intervalo de tempo para a luz ir do emissor ao receptor no referencial da nave? c) Qual a velocidade da luz em relação à nave? d) Suponha que o ajudante dele que ficou na Terra pudesse fazer as medidas do comprimento da barra e do tempo que a luz leva para percorrer esse comprimento na experiência realizada na nave. Qual valor ele encontraria para a velocidade da luz, para o comprimento da barra e para o tempo? e) Suponha que o cientista que está na nave pudesse fazer as mesmas medidas na experiência que estava se realizando na Terra. Qual valor ele encontraria para a velocidade da luz, para o comprimento da barra e para o tempo? Referencial do laboratório Emissor Receptor R Barra Figura a - Medida x no referencial do laboratório x Referencial da nave Emissor Receptor V R Barra x Emissor Receptor R Referencial do laboratório Barra x Figura b - Medida no referencial do laboratório e da nave. Essa questão foi elaborada para verificar se os alunos aprenderam os postulados da TRE e se conseguem chegar à conclusão que as medidas relacionadas a um

101 101 objeto serão as mesmas em qualquer referencial inercial que esteja em repouso em relação a ele. Nessas questões não existiram respostas escritas e o quadro 15 mostra em termos percentuais as respostas dos alunos. Pelos índices apresentados no quadro 15 nota-se que o aproveitamento da turma de sábado foi melhor. Isso se justifica pelo fato de termos notado, como mencionado anteriormente, que houve um maior compromisso dessa turma ao longo de toda aplicação do material. Assim, enquanto o rendimento da turma do sábado pode ser considerado muito bom, o da turma do HC foi apenas razoável. Quadro 15: respostas da questão 16 Turma do HC (segunda feira ) Item (a) Errado e em Branco 38,00% Correto 62,00% Item (b) Errado e em Branco 38,00% Correto 62,00% Item (c) Errado e em Branco 52,00% Correto 48,00% Item (d) Errado e em Branco 38,00% Correto 62,00% Item (e) Errado e em Branco 43,00% Correto 57,00% Turma isolada (sábado) Item (a) Errado e em Branco 00,00% Correto 100,0% Item (b) Errado e em Branco 0,00% Correto 100,00% Item (c) Errado e em Branco 11,20% Correto 88,80% Item (d) Errado e em Branco 5,80% Correto 94,20% Item (e) Errado e em Branco 25,00% Correto 75,00%

102 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste capítulo apresentamos as conclusões onde avaliamos os resultados da pesquisa e a seqüência desse trabalho. Ao final deste trabalho podemos dizer que a TRE no ensino médio é um fator motivador de estudo. Essa constatação vem reafirmar resultados de outras pesquisas já realizadas e mencionadas no capítulo 1. A figura de Einstein presente, de forma recorrente em vários tipos de mídia: televisiva, impressa, nos artigos ou documentários de divulgação sobre sua vida, representa um dos fatores que contribui fortemente para a inserção da TRE no contexto da sala de aula. Também contribui para isso o fato de Einstein ter sido eleito a personalidade do século XX nos Estados Unidos e pelo fato de se pensar, erroneamente, que ele teve alguma participação direta na produção da bomba atômica utilizada na segunda guerra mundial contra o Japão. É importante lembrar que em 2005, o ano mundial da Física, foi comemorado um século da publicação dos cinco trabalhos de Einstein, sendo um deles a Teoria da Relatividade Especial. Em vista disso, a produção de artigos científicos sobre a TRE e sobre a pessoa de Einstein foi muito grande o que ajudou no trabalho, mas exigiu um esforço maior de leitura e ampliou o tempo para conclusão deste trabalho. A motivação para a aprendizagem em Física, o que é muito raro, despertado pelo primeiro contato do estudante com a TRE é produtivo ao ambiente da sala de aula. O rompimento dos conceitos clássicos, interiorizados a partir do senso comum, torna a TRE atrativa aos olhos do estudante de Física e é muito bem vindo ao contexto escolar, uma vez que promove o debate de idéias sobre o assunto. Os conteúdos da TRE como, a questão do tempo e do espaço, quando mediada de forma adequada pelo professor, pode fazer emergir intervenções por parte dos alunos e, nesse sentido, um dos objetivos do trabalho foi alcançado: a participação ativa dos alunos. Neste trabalho foi feito um amplo e detalhado levantamento bibliográfico sobre os problemas no ensino da TRE no nível médio onde foi dado mais destaque a problemas conceituais relacionados à massa e à equivalência massa-energia (capítulo 2) e apresentamos uma proposta metodológica no sentido de estabelecer condições mais favoráveis para o processo ensino-aprendizagem desse conteúdo (capítulo 3). O material foi desenvolvido para ser aplicado na terceira série do nível médio ou mesmo acima desse nível e a metodologia segue uma abordagem problematizadora. Dessa maneira em contraposição ao ensino tradicional utilizamos uma metodologia que requer a participação ativa do aluno. O aluno, tendo oportunidade de ser um

103 103 agente ativo em um ambiente onde possa pensar, agir e refletir tem mais condições de desenvolver uma aprendizagem significativa. Nesse aspecto, o desenvolvimento da TRE a partir de fatos conflitantes relacionados com o comportamento da natureza, como mostrado através das atividades de problematização, foi muito bem aceito pelos alunos. Essas características se evidenciaram tanto no desenvolvimento das aulas, como na maturidade das respostas dadas pelos alunos nas questões abertas, sobre a natureza da Ciência e a TRE. Como motivação para a elaboração desta dissertação foi formulada duas hipóteses que tentaram identificar os problemas a serem estudados: a) as atividades problematizadoras melhoram a aprendizagem dos alunos em relação aos conteúdos da TRE bem como a sua participação durante as aulas, b) o ensino da TRE favorece a abordagem da natureza da ciência segundo a visão de Thomas Kuhn, levando a uma melhor aprendizagem destes conteúdos. Ao fim desse trabalho concluímos que as hipóteses são válidas e mereciam o devido estudo e reflexão. As atividades problematizadoras motivam os alunos na aprendizagem da TRE. De fato, na aplicação do material percebeu-se que a dinâmica das atividades problematizadoras foi bastante apropriada para uma melhor aprendizagem do conteúdo. Foram identificados nas atividades que os alunos interagiram mais entre si, discutindo suas idéias e suas dúvidas. Nos depoimentos colhidos através de questionários de avaliação foram registrados vários elogios para as perguntas cadenciadas das atividades de problematização que levavam os alunos a uma reflexão e leitura mais atenta. Também foi elogiada a estrutura textual do material envolvendo a natureza da ciência e da metodologia problematizadora aplicada. Pretende-se, como aperfeiçoamento e continuidade desse trabalho, fazer: sua divulgação através de artigos em revistas e congressos especializados; realização de cursos de extensão para apresentação do material a outros docentes do ensino médio como uma forma de colocá-lo em julgamento. Dessa maneira, estaremos contribuindo na formação continuada de professores e fazendo deles um agente multiplicador desse trabalho. Em suma como contribuição que esse trabalho traz, citamos: ensino da TRE através de uma abordagem problematizadora; uma proposta no sentido de se fazer o ensino da TRE envolvendo a História e Filosofia da Ciência; uma extensa pesquisa bibliográfica sobre o ensino da TRE para futuras pesquisas; uma discussão sobre o conceito de massa relativística e da equivalência massa-energia e sobre a compreensão da relação E = mc 2, que é equivocada na maioria dos casos; texto produzido para os alunos para o acompanhamento

104 104 das aulas com a inclusão de atividades contendo perguntas e respostas e ainda com apêndices sobre causalidade, espaço tempo de Minkowski e a Teoria da Relatividade Geral. Encerra-se afirmando que as mais diversas recomendações e observações feitas durante a aplicação do material foram registradas e consideradas na medida do possível. Temos consciência que um material como esse, que apresenta uma natureza um tanto quanto ambiciosa, não se basta, isto é, não é a última palavra. Um trabalho que versa sobre um tema polêmico e interdisciplinar, obviamente carece no seu uso de necessários aperfeiçoamentos.

105 105 REFERÊNCIAS ALEMAN BERENGUER, R.A. Errores comunes sobre relatividad entre los profesores de ensenãnza secundaria. Enseñanza de las ciências, v.15, n.03, p , ALEMAN BERENGUER, R.A.; PÉREZ SELLES, J.F. Ensenãnza por cambio conceptual: de la física clásica a la relatividad. Enseñanza de las ciências, v.18, n.03, p , ARRIASSECQ, I.; GRECA, I. M. Algunas consideraciones históricas, epistemológicas y didácticas para el abordaje de la teoria de la Relatividad Especial en el nível médio y polimodal. Ciência & Educação, v.8, n.1, p.55 69, ARRIASSECQ, I.; TOLEDO, B.; SANTOS, G. Análisis de la transición da la física clásica a la relativista desde perspectiva del cambio conceptual. Enseñanza de las ciências, v.15,n 01, p.79 90, BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Novo Ensino Médio. Brasília, FREIRE, P. Pedagogia do oprimido. Rio de Janeiro, Paz e Terra,17ª Edição, HAWKING, S. O universo numa casca de noz, 5. ed. São Paulo, Ed. Arx, HEY, T.; WALTERS, P. Eintein s Mirror. Ed. Cambridge University Press HEWITT, P. G. Física Conceitual. Tradução de Trieste F. Ricci e Maria H. Gravina. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, KIRSH, Y., MEIDAV, M. The Michelson-Morley experiment and teaching of special relativity. Physics education. Janeiro, p , 1987 KOHNLEIN, J.F.K, PEDUZZI, L.O.P. Uma discussão sobre a natureza da ciência no ensino médio: um exemplo com a teoria da relatividade restrita. Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, v. 22, n.1, p.36-70, abr

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112 ANEXOS 112

113 113 ANEXO A QUESTIONÁRIO PARA AVALIAÇÃO

114 114 UFRN - CCET - DFTE Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática Aluno: Este questionário tem como objetivo avaliar o nível de aprendizagem comparando-se a situação no início da apresentação do material sobre TRE e após a apresentação do material. A resposta consciente a essas questões é muito importante, pois servirá de base para avaliar a formação do conhecimento em relação ao conteúdo apresentado relacionado com a TRE. Atenção: para a maioria das questões não há certo ou errado em relação às questões propostas. Apenas escolha uma alternativa e justifique tendo como base o seu conhecimento de momento. (Exceção: Q6, Q7, Q10, Q11, Q13, Q14, Q15 e Q16) Primeira Parte: Natureza da ciência Q1. As teorias científicas são obtidas a partir dos dados da experiência, adquiridos por observação e experimento, ou seja, a experiência é o ponto de partida para elaboração de leis e princípios. a) Concordo fortemente. b) Concordo. c) Indeciso. d) Discordo fortemente. e) Discordo. Justificativa Q2. Todo conhecimento científico é provisório, isto é, com o passar do tempo poderá se verificar um fato que leve a sua rejeição. a) Concordo fortemente. b) Concordo. c) Indeciso. d) Discordo fortemente. e) Discordo. Justificativa Q3. Na Ciência, todas as observações sempre são feitas com base em alguma teoria, isto é, o cientista primeiro formula uma teoria e somente depois observa. a) Concordo fortemente. b) Concordo. c) Indeciso. d) Discordo fortemente. e) Discordo. Justificativa Q4. Uma teoria que entra em conflito com as observações ou resultados experimentais deve ser rejeitada imediatamente. a) Concordo fortemente. b) Concordo. c) Indeciso. d) Discordo fortemente.

115 115 e) Discordo. Justificativa Segunda Parte: Conceitos de Mecânica Q5. Pelas leis de Newton, que você já conhece, a relação que permite calcular a velocidade de um corpo em função do tempo é v = v 0 + at. Considerando que v 0 = 0 e que a aceleração é 100 m/s 2, a velocidade depois de transcorrido 10 horas será 3,6 x 10 6 m/s, depois de transcorrido 100 horas será 3,6 x 10 7 m/s e depois de transcorrido 1000 horas será 3,6 x 10 8 m/s. Pelas leis de Newton a velocidade pode aumentar sem limites. Em relação ao fato de a velocidade poder aumentar indefinidamente você a) Concorda fortemente. b) Concorda. c) Indeciso. d) Discorda fortemente. e) Discorda. Justificativa: Este texto servirá de base para as perguntas que seguem abaixo. Vamos considerar uma situação envolvendo um trem que está movendo-se com velocidade constante V e sempre em linha reta. O trem é tal que quem está dentro pode ver o que ocorre fora e quem está fora pode ver o que ocorre dentro. Costuma-se dizer que há um sistema de referência fixo na Terra (referencial S) e um sistema de referência fixo no trem (referencial S ). S Trem em movimento V Plataforma S Q6. O que você entende por sistema de referência? O que significa dizer que há um sistema de referência fixo na Terra e outro fixo no trem? O sistema de referência fixo na Terra é maior do que o do trem? Q7. A velocidade do trem em relação à Terra é V. Qual a velocidade da Terra em relação ao trem? Justifique a sua resposta. Q8. Considere que, de repente, começou a chover e uma pessoa que está parada na plataforma vê a chuva cair paralelamente a um poste de luz, isto é, a chuva cai verticalmente.. Para uma pessoa dentro

116 116 do trem a chuva cai em uma direção oblíqua em relação ao trem. Em relação à afirmação A chuva realmente cai verticalmente, sua inclinação não é real, você a) Concorda fortemente. b) Concorda. c) Indeciso. d) Discorda fortemente. e) Discorda. Justificativa Q9. Considere dois canhões idênticos (de brinquedo) sendo um na Terra e outro em um trem. O alcance e a altura máxima de um projétil disparado pelo canhão no solo são 4 m e 2m, respectivamente e a trajetória é uma parábola e vale a segunda lei de Newton F =ma. Considere o alcance e a altura máxima da bala disparada pelo canhão no trem. Em relação ao sistema de referência do trem podemos afirmar que o alcance e a altura máxima são as mesmas da bala disparada pelo canhão na terra, pois as leis de movimento são idênticas nos dois sistemas de referência. Em relação a essa afirmação você : a) Concorda fortemente. b) Concorda. c) Indeciso. d) Discorda fortemente. e) Discorda. Justificativa Este texto servirá de base para as perguntas que seguem abaixo. Dentro de um vagão esportivo de nosso trem que tem comprimento de 20 m existe uma pessoa que corre a uma velocidade de 2 m/s e o trem está movendo-se com uma velocidade V = 10 m/s em relação à Terra. S Trem em movimento v V B S Trem em movimento v V S Plataforma S Plataforma Q10. Qual a velocidade da pessoa em relação à Terra quando ela está movendo-se no mesmo sentido do movimento do trem? Q11. Qual a velocidade da pessoa em relação à Terra quando ela está movendo-se no sentido contrário ao do trem?

117 117 Q12. Considere que uma pessoa está parada em um vagão com uma lanterna na mão. Ela acende e apaga a lanterna emitindo um pulso de luz que se propaga com velocidade c em relação ao vagão. Se a lanterna estiver apontando no sentido do movimento do trem (ver figura), a velocidade da luz em relação à Terra será c + V; Se a lanterna estiver apontando no sentido contrário ao do movimento do trem (ver figura), a velocidade da luz em relação à Terra será c - V. Em relação a essas afirmações, você: a) Concorda fortemente. b) Concorda. c) Indeciso. d) Discorda fortemente. e) Discorda. Justificativa c V c V Q13. Uma pessoa ao estar na plataforma se vê em um espelho que está fixo na mesma. Nós vemos a nossa imagem porque a luz é refletida pelo nosso corpo e roupa e incide no espelho e do espelho ela volta para o nosso olho. Assim, a luz e sua propagação têm um papel fundamental no processo de nos vermos no espelho. As experiências realizadas para se determinar a velocidade da luz indicam que a luz se propaga com uma velocidade c = 3 x 10 8 m/s em relação à Terra. Quando o trem está movendose com sua velocidade usual sabemos que podemos ver a nossa imagem em um espelho dentro do trem. Suponha agora uma situação imaginária em que o trem está movendo-se com a velocidade da luz em relação à Terra e uma pessoa dentro do trem se coloca em frente a um espelho fixo no trem, como mostra a figura. Essa pessoa vai se ver no espelho? Responda e justifique a sua resposta. S Trem em movimento Espelho c V = c Q14. Um átomo de dêuteron é formado por um próton, um nêutron e um elétron. Quando se compara a soma das massas das partículas isoladas verifica-se que ela é maior do que a massa do átomo de dêuteron. Como se interpreta esse resultado através da TRE? Q15. Um elétron, massa m e, é acelerado a partir do repouso até alcançar a velocidade v = 0,9c (fator relativístico γ = 2,3). Em relação a essa situação determine (expressar os resultados em função de m e e c): a) a energia inicial do elétron; b) a energia final do elétron; c) a energia cinética do elétron; d) quantidade de movimento linear inicial e final do elétron. Q16. Um cientista quer testar a validade da TRE. Para isso ele prepara uma experiência em que ele pega uma barra e coloca um emissor de luz na extremidade esquerda e um receptor na extremidade direita para registrar o instante da chegada do sinal. (Isso está mostrado na Figura a). No referencial do laboratório (Terra) ele mede o comprimento da barra encontrando 9 metros e mede também o intervalo

118 118 de tempo para a luz se deslocar do emissor ao receptor e encontra da ordem de 3 x 10-8 s. Isto está de acordo com a relação x = ct em que c = 3 x 10 8 m/s é a velocidade da luz. Esse resultado indica que a velocidade da luz no sistema do laboratório é c. Dando seqüência ao seu propósito de testar a TRE, ele faz um outro aparelho exatamente igual, o coloca em uma nave espacial partindo deixando na Terra o primeiro aparelho e um ajudante. Quando a velocidade da nave é 0,9c em relação à Terra ele repete, dentro da nave, a mesma experiência feita no laboratório. Tendo em vista a validade da TRE responda as perguntas abaixo: a) Qual a medida do comprimento da barra feita no referencial da nave? Explique a sua resposta b) Qual a medida do intervalo de tempo para a luz ir do emissor ao receptor no referencial da nave? c) Qual a velocidade da luz em relação à nave? d) Suponha que o ajudante dele que ficou na Terra pudesse fazer as medidas do comprimento da barra e do tempo que a luz leva para percorrer esse comprimento na experiência realizada na nave. Qual valor ele encontraria para a velocidade da luz, para o comprimento da barra e para o tempo? e) Suponha que o cientista que está na nave pudesse fazer as mesmas medidas na experiência que estava se realizando na Terra. Qual valor ele encontraria para a velocidade da luz, para o comprimento da barra e para o tempo? Referencial do laboratório Emissor Barra Figura a - Medida no referencial x do laboratório Receptor R x Referencial da nave Emissor Receptor V x Barra R x Referencial do laboratório Emissor Receptor R Barra Figura b - x Medida no referencial do laboratório e da nave. x

119 119 ANEXO B 1 A RELATIVIDADE CLÁSSICA OU GALILEANA

120 120 TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL 1 A RELATIVIDADE CLÁSSICA OU GALILEANA 1.1 Introdução A verdade é filha do tempo e não da autoridade. Galileu Galileu O que você diria se alguém lhe solicitasse para dizer alguns fatos relacionados à Teoria da Relatividade Especial? Provavelmente você se lembraria da equação E = m.c 2, do nome de Einstein, de viagens espaciais onde o viajante retorna mais jovem, da energia nuclear, etc. Esses fatos estão relacionados com a Teoria da Relatividade Especial TRE elaborada pelo alemão, naturalizado americano, Albert Einstein ( ). A formalização dessa teoria por Einstein, em torno de 1905, é considerada como um dos grandes passos dados em todos os tempos na tentativa de descrever e interpretar os fenômenos da natureza. A TRE impôs suas condições em toda a física de partículas (colisões de alta energia, efeito Compton, antimatéria, etc,.) e abriu caminho para um grande número de experimentos e explicações : aceleradores de partículas, radioastronomia, reações nucleares, etc. A grande característica da ciência é que a evolução do conhecimento científico não é devida, apenas a um cientista, mas é o resultado do trabalho coletivo da comunidade científica. Einstein teve seus méritos, mas muitas outras pessoas realizaram trabalhos de pesquisa relacionados com a TRE e deram contribuições significativas. O que Einstein fez para ser tão conhecido quando se fala de relatividade? Quais os outros cientistas que participaram na construção do conhecimento relacionado com a TRE? Por que foi necessária a formulação da TRE? Pretendemos durante as aulas e através deste texto complementar levá-los a uma viagem que durou de cerca de 350 anos, desde Galileu Galilei ( ) e Isaac Newton ( ) até Einstein. Nessa viagem responderemos a essas e outras perguntas de tal forma que ao final tenhamos um conhecimento sobre algumas idéias desenvolvidas para a compreensão dos fenômenos relacionados à luz e que levaram ao estabelecimento da Teoria da Relatividade Especial. Será feito um contraste entre a relatividade clássica e mecânica clássica com a teoria proposta por Einstein. Será destacado que vários outros cientistas contribuíram, mas foi Einstein quem realmente conseguiu estabelecer uma teoria consistente, mais geral, que trata não apenas dos fenômenos mecânicos, mas também dos fenômenos eletromagnéticos. O que quer dizer relatividade? O conceito de relatividade, de forma simplificada, é melhor representado pelo principio da relatividade. Tal princípio se baseia na afirmação de que as leis da Física são as mesmas, isto é, dão os mesmos resultados em qualquer sistema de referência inercial (SRI). Dito de outra forma, a descrição de um sistema físico deve ser a mesma em qualquer sistema de referência inercial. As idéias sobre relatividade já existiam antes de Einstein. Essas idéias já haviam surgido na discussão envolvendo os modelos geocêntrico (a Terra como centro do universo) e heliocêntrico (o Sol como centro do universo). Esses modelos representam formas diferentes de descrever o mesmo sistema físico, visto que, para o modelo geocêntrico o referencial está associado à Terra e para o modelo heliocêntrico o referencial está associado ao Sol. A conveniência de se escolher um sistema de referência é pela simplicidade de

121 121 descrever o sistema físico em determinadas situações. Nesse caso a descrição do movimento dos planetas tendo o Sol como referência se mostrou bem mais simples e é até hoje o modelo utilizado. Galileu Galilei é a figura central no estudo dos movimentos de corpos macroscópicos como conhecemos hoje. Ele se preocupou com o estudo dos movimentos sem atenção às suas causas e conseguiu romper de modo mais significativo com as concepções de Aristóteles que eram as idéias dominantes à época. Galileu introduziu na Física, entre outras contribuições, a explicação dos movimentos uniforme e acelerado, incluindo a queda dos corpos, e avançou na compreensão do princípio da inércia e da relatividade do movimento. Ele também foi responsável pelas primeiras observações dos corpos celestes através de instrumentos óticos. Galileu desenvolveu um grande esforço para matematizar o movimento e isso representou o início da construção das equações do movimento. Ele começou a perceber o papel da Matemática como linguagem da Física e que ela é necessária como instrumento de raciocínio para tirar conclusões que podem ser comparadas com a experiência. Galileu conseguiu esse feito utilizando os mais variados modos de exercitar o pensamento científico, por exemplo, através de experiências reais que desenvolvia em seu laboratório com grande habilidade, mas também munido de experiências de pensamento, quando imaginava o possível comportamento de tarefas impossíveis de serem realizadas em sua época. As contribuições científicas de Galileu e Kepler ( ) Leis de Kepler para os movimentos dos planetas foram fundamentais para a grande síntese da mecânica, elaborada por Isaac Newton e publicada em 1687, no Philosophia naturalis principia mathematica. As Leis da Mecânica foram consideradas na época como uma teoria perfeita, porque descrevia a natureza fortemente embasada em conceitos matemáticos. Newton produziu conhecimentos em várias áreas da ciência realizando várias contribuições importantes em matemática (cálculo diferencial e integral) e em Física. Entre outras, se podem citar: a decomposição da luz solar nas cores do espectro ao atravessar um prisma, a Teoria de Gravitação Universal, a lei das colisões elásticas e inelásticas, a lei de ação e reação, a expressão da aceleração centrípeta, as leis do movimento, etc. Para obter a lei de gravitação universal ele partiu das leis de Kepler, da expressão da aceleração centrípeta e de sua segunda lei do movimento para provar que a força gravitacional cai com o inverso do quadrado da distância. Newton não se preocupou apenas com o movimento, mas também com as causas do movimento e com a matematização do movimento. A união dos trabalhos de Galileu e de Newton está presente até hoje nos livros através das três leis de movimento que são denominadas Leis de Newton lei da inércia, lei de ação e reação e F = Q / t, onde F é a força resultante que atua no corpo e Q = mv é a quantidade de movimento linear do corpo de massa inercial m. A teoria desenvolvida por Galileu e Newton, por aqueles que o antecederam e também por seus contemporâneos se mostrou de um grande sucesso para descrever os fenômenos até então conhecidos. Neste capítulo vamos fazer uma revisão de alguns conceitos básicos da mecânica clássica e apresentar algumas idéias fundamentais da teoria de relatividade clássica que é conhecida como relatividade galileana. 1.2 Alguns Princípios Básicos Existentes Antes da Formulação da TRE Antes da formulação da TRE por Einstein, a Mecânica e o Eletromagnetismo eram duas teorias bem estabelecidas, isto é, eram aceitas pela comunidade científica e quando aplicadas a fenômenos da natureza davam resultados coerentes. As Leis da Mecânica foram desenvolvidas para aplicação em fenômenos gerais e ela se mostrou muito útil para descrever fenômenos como o movimento dos corpos na

122 122 superfície da Terra, nos movimentos dos planetas e satélites. Para descrever esses movimentos Newton estabeleceu a Lei de Gravitação Universal. A teoria de gravitação quando aplicada ao sistema solar nos fornece a informação que a Terra está movendo-se ao redor do Sol com a velocidade de 30 km/s. Esta velocidade pode ser considerada alta, mas é ainda vezes menor que c = 3 x 10 8 m/s. (c representa a velocidade da luz no vácuo). Curiosamente, apesar da previsão newtoniana de que estamos viajando no espaço a 30 km/s, não sentimos, não percebemos. Por quê? Aqui vamos apresentar uma síntese dos princípios gerais da Física Clássica relacionados com os sistemas mecânicos e que eram aceitos pela comunidade científica antes da formulação da TRE: a) Velocidade limite: na mecânica clássica não existe uma velocidade limite para os corpos materiais. Qual a máxima velocidade que você já ouviu falar? As Leis de Newton para o movimento se aplicam muito bem para qualquer objeto ou partícula que se mova com velocidade muito menor que a velocidade da luz, isto é, se aplica muito bem para todos os fenômenos mecânicos do nosso cotidiano. À época não se conhecia nenhuma velocidade maior que 30 km/s. b) A massa inercial: fator de proporcionalidade entre a força e a aceleração, é constante independendo de o corpo estar em movimento ou estar em repouso, isto é, m i = F/a igual a uma constante e essa relação é denominada segunda Lei de Newton. Considerando-se v que a = (variação da velocidade no decorrer do tempo) podemos escrever essa relação t em outra forma. Assim, m i v = F t. Da mesma forma a massa gravitacional fator de proporcionalidade entre a força peso e a aceleração da gravidade também é constante, m g = Peso/g. c) A quantidade de movimento linear p = mv se conserva. Considerando a massa inercial como uma propriedade constante de um corp um resultado fundamental da Mecânica Clássica é que a soma das quantidades de movimento linear mv de dois ou mais corpos interagentes é uma constante, desde que o efeito de qualquer força de origem externa possa ser ignorado. Por exemplo, em colisões entre corpos, o corpo de maior massa adquire menor velocidade após a colisão. Esse resultado representa um dos resultados importantes dos fundamentos experimentais da mecânica clássica. d) Existem duas leis de conservação que são independentes: a) a energia total de um sistema se conserva; b) a massa total de um sistema se conserva. Você ainda se lembra da conservação de energia em mecânica? E em termodinâmica (primeira lei da termodinâmica)? Qual o significado do princípio de conservação de energia? O princípio de conservação de energia foi estabelecido depois de Newton. A idéia é que a energia existe em diferentes formas e ela passa de um sistema para outro, mas nunca desaparece. Por exemplo, a energia de movimento (cinética) recebida pelo corpo devido à ação de uma força, pode ser transferida e passar a se manifestar como energia térmica ou energia interna do corpo e da superfície, quando o corpo é levado ao repouso pelas forças de atrito. A manifestação da energia em diferentes situações transferindo-se de um corpo a outro mantendo a quantidade total de energia inalterada é um dos princípios básicos da mecânica clássica no qual se acredita fortemente. E a conservação da massa, você se lembra? Essa lei de conservação originou-se na Química com Lavoisier na comparação das massas dos reagentes e dos produtos de uma reação química. Em outras palavras, a massa total de um sistema permanece inalterada, mesmo que haja modificações nas substâncias. e) Relatividade Clássica e a Transformação de Galileu: O problema central da relatividade é encontrar uma transformação de coordenadas que interligue dois sistemas de referência inerciais.

123 De uma forma geral os eventos acontecem em algum lugar e em algum instante de tempo. Um evento é a idealização de uma ocorrência física, a qual considera como sendo algo que acontece em um intervalo de tempo de curta duração e em uma pequena região do espaço. As perguntas básicas que fazemos acerca de um evento são: a) onde o evento ocorreu? b) Quando ele ocorreu? A localização espacial de um evento é feita através de um sistema de coordenadas retangulares (x, y, z) em três dimensões. A esse sistema de coordenadas associamos também um relógio que vai mostrar o instante de tempo em que o evento ocorreu. Todas as observações em Física têm de ser feitas em relação a um sistema de referência, mas, às vezes, costuma-se ignorar a sua existência. Por exemplo, quando dizemos que um carro se move com velocidade 100 km/h deveríamos escrever que o movimento é em relação à Terra (A Terra é sistema de referência natural, mas poderia ser um outro carro, por exemplo). Nós estamos sobre a Terra e todas as experiências têm de ser feitas na Terra. Isto quer dizer que nosso sistema de coordenadas deve estar ligado a Terra. Esse conjunto da Terra mais um sistema de coordenadas ligado a Terra constitui o que chamamos de sistema de referência. A prática nos mostra que as leis de Newton apresentam bons resultados quando resolvemos problemas no referencial da Terra. Entretanto a Terra não é um referencial adequado, pois ela apresenta o movimento de rotação em torno de seu eixo e, portanto, os corpos sobre a Terra estão sujeitos a uma aceleração como no caso do carrossel. A lei de Newton só tem validade para os chamados referenciais inerciais RI, isto é, aqueles que estariam isolados sem nenhum tipo de influência (as estrelas são consideradas como referenciais inerciais). Mesmo assim, para quase todos os problemas podemos considerar a Terra como um referencial inercial. Admitimos, assim, que há um sistema de referência no qual as Leis de Newton são válidas, que é a Terra, com as ressalvas apresentadas. Será que esse sistema de referência é único? Analisemos a seguinte situação concreta possível de se realizar. Considere que você está dentro de um avião parado na pista com as portas fechadas e pronto para decolar. Antes de o avião decolar você solta uma bola de certa altura H e observa que ela cai verticalmente devido à ação da força de gravidade e o movimento é descrito pela equação y = (g t 2 / 2) (referencial com sentido positivo para baixo). Quando o avião decola e passa a mover-se em linha reta a uma velocidade constante de 1000 km/h, você repete a mesma experiência. Se você já viajou de avião a sua resposta será imediata. O passageiro sente que o avião está movendo-se a 1000 km/h? Podemos fazer essa mesma experiência para o caso de um trem (com todas as portas e janelas fechadas para não ter a influência do vento) que esteja movendo-se com velocidade constante e em linha reta. Há alguma diferença no comportamento da bola com o avião (trem) parado e com o avião (trem) em movimento com velocidade constante? Fazendo essas experiências você não notará nenhuma diferença no movimento de queda do objeto no avião em movimento com velocidade constante e no avião parado (no trem com velocidade constante e no trem parado). Isto indica que através dessa experiência não dá para distinguir se o avião (trem) está parado ou em movimento com velocidade constante (módulo, direção e sentido). A razão pela quais os movimentos são iguais é que o movimento é comum ao avião (trem) e a tudo que ele contém, incluindo o ar. Da mesma forma, como explicava Galileu, a Terra está movendo-se a 30 km/s ao redor do Sol e não percebemos. Essas considerações estão na origem do princípio de relatividade de Galileu: Se as leis da mecânica são válidas em um dado referencial inercial, então são também válidas em qualquer referencial que se move com velocidade constante em relação ao primeiro. Como vimos acima às leis da mecânica podem ser experimentalmente confirmadas tanto no solo quanto no avião (trem) quando este se move com velocidade 123

124 124 constante em relação à Terra. Agora pensemos no que ocorre quando os observadores de dois SRI começam a discutir sobre as observações do mesmo acontecimento do ponto de vista de seus diferentes sistemas de referência. Cada um gostaria de traduzir as observações do outro para a sua própria linguagem. Consideremos novamente o exemplo da bola que é solta dentro do avião e cai verticalmente. Como uma pessoa na Terra descreve o movimento da bola que está no avião? O que uma pessoa na Terra precisa saber para isso? A pessoa na Terra precisa saber como a pessoa no avião descreve o movimento da bola (queda livre na vertical) e acrescentar a isso o movimento relativo do avião, cuja velocidade é V em relação à Terra. Assim, quem está na Terra descreve o movimento da bola como uma combinação de queda livre e do movimento retilíneo e uniforme, isto é, como um movimento de projéteis e a trajetória é uma parábola. (Figura 1). As descrições do movimento do ponto de vista da Terra ou do avião (trem) são equivalentes e é importante saber como passar de um SRI para outro. Trajetória vista da Terra Trajetória vista no avião Vt Figura 1 Comparação da descrição do movimento de queda livre no referencial do avião e movimento de projéteis no referencial da Terra Consideremos dois sistemas de referência, partindo de uma posição conhecida e movendo-se com velocidade constante um em relação ao outro. Podemos imaginar a Terra como sendo o referencial S e um trem como sendo um outro referencial S. Vamos considerar o movimento ao longo da direção x. Esses dois referenciais podem ser representados pelos eixos coordenados, sendo (x,y,z) fixo na Terra e (x,y,z ) fixo no trem. Com fixo queremos dizer que têm propriedades de movimento como aquelas da Terra e do trem, respectivamente. Os eixos coordenados de um sistema de referência vão de - a +, não estando limitado às dimensões físicas do corpo que está associado. As condições iniciais são tais que x = x = 0, y = y = 0, z = z = 0, para t = t = 0. Isto significa que as origens dos dois sistemas de referência coincidem quando se começa a marcar o tempo. 1.3 As Transformações de Galileu Na Mecânica Clássica a passagem de um referencial inercial para outro é feita utilizando-se as Transformações de Galileu, isto é, as descrições de um mesmo evento a partir de dois SRIs podem ser comparadas utilizando-se a TG Determinação das posições em dois sistemas de referência inerciais diferentes Podemos distinguir dois casos: a) a Terra como sendo o referencial base S(x,y,z) (Figura 2) e b) o trem como sendo o referencial base S (x,y,z ) (Figura 3). Caso 1 - A Terra como sendo o referencial base.

125 125 Nesse caso o trem está movendo-se com velocidade V na direção x e no sentido de x positivo. Na mecânica clássica, basta um relógio para os dois SRI, pois o transcorrer do tempo é o mesmo no trem e na Terra. Para t = 0, a posição de um ponto material é dada pelo mesmo número em ambos os sistemas de referência, x p = x p = b (Figura 2a e 2b). Depois de transcorrido certo instante t, em que S se deslocou Vt em relação a S, temos x p = b, mas x p = b + Vt. Generalizando temos x = x + Vt. z z y y x p P V S x O O = O S x Figura 2 (a) Referencial S (x,y,z) e S (x, y, z ). As origens O e O coincidem (x = x = 0, y = y = 0 e z = z = 0) para t = t = 0. A posição de P é a mesma em S e em S (x p = x p ). z z y y x p P S V x O O Vt O S x Figura 2 (b) Após transcorrido um certo tempo t a posição do ponto P em relação a Terra é dada por x p = x p + Vt. Caso 2 - O trem como sendo o referencial base. Nesse caso a Terra está movendo-se com velocidade -V na direção x e no sentido de x negativo. Note que aqui o ponto P está em S (Figura 3a e 3b). Da mesma forma que no caso 1 podemos escrever que a coordenada de P em S é x P = b e em S será x P = b Vt. Generalizando temos x = x - Vt. Figura 3 (a) Referencial S (x,y,z) e S (x, y, z ) sendo que S move-se com velocidade V em relação à S. As origens O e O coincidem (x = x = 0, y = y = 0 e z = z = 0) para t = t = 0. A posição do ponto P é a mesma em S e em S (x p = x p ) - V z O z z y y O O = O x p z y y S - V.t x P P S S x x - V S S x x

126 126 x p Figura 3 (b) Depois de transcorrido certo tempo t a posição do ponto P em relação à S é dada por x p = x p - Vt. Esses resultados mostram como estão relacionadas as coordenadas de um ponto P em dois sistemas de referência inerciais cuja velocidade relativa V é uma constante. É importante notar a diferença entre a determinação da posição de um ponto e o tempo de acontecimento de um evento. Todo observador tem seu próprio sistema de referência, mas há apenas um relógio para todos eles. Na mecânica clássica o tempo é uma grandeza física absoluta que flui da mesma forma para todos observadores em todos os sistemas de referência Medidas de velocidade em dois sistemas de referência inerciais diferentes Como se comparam as medidas de velocidade entre dois SRIs? Aqui também distinguimos os mesmos dois casos anteriores. Caso 1 - A Terra como sendo o referencial base. A situação abaixo mostra temos um objeto no ponto P que está movendo-se com velocidade v x na direção x e no sentido de x >0 em relação à S (Figura 4a). Se, inicialmente, o trem está em repouso em relação à Terra temos de imediato que v x = v x. Se o trem está movendo-se com velocidade V no sentido de x>0, para uma pessoa na Terra a velocidade de P será v x = v x + V (Figura 4a). Para o referencial do trem a velocidade continua sendo v x. Qual seria a relação se v x estivesse no sentido negativo de x? (ver Figura 4b) z z y y O O = O Figura 4 ( a) Objeto P movendo-se com velocidade v x em relação à S. A velocidade em relação a S (Terra) é v x = V + v x z z y y V - v x P S S x O O = O P v x Figura 4 (b) Objeto P movendo-se com velocidade -v x em relação à S. A velocidade em relação a S (Terra) é v x = V - v x Caso 2 - O trem como referencial base. Nesse caso o objeto no ponto P que está movendo-se com velocidade v x na direção x e no sentido de x > 0 em relação à S. Se, inicialmente, o trem está em repouso em relação à Terra temos de imediato que v x = v x. Se a Terra está movendo-se com velocidade - V no sentido de x < 0. Para uma pessoa no trem a velocidade de P será v x = v x - V (P está S S S V x x x

127 127 sendo levado pela Terra) (Figura 5a). Para o referencial da Terra a velocidade continua sendo v. Qual seria a relação se v x estivesse no sentido negativo de x? (ver Figura 5b) z z y y S P S x O O = O v x - V S x Figura 5 ( a) Objeto P movendo-se com velocidade v x em relação à S (Terra). A velocidade em relação à S é v x = - V + v x z z y y S P O O = O - v x - V S S x x Figura 5 (b) Objeto P movendo-se com velocidade -v x em relação à S (Terra). A velocidade em relação à S é v x = - V - v x Pelo exposto até aqui vemos que as posições ou coordenadas e as velocidades são exemplos de quantidades diferentes em SRI diferentes. As posições ou coordenadas, bem como as velocidades, em diferentes SRIs estão ligadas entre si pelas leis de transformação vistas acima. Essas transformações são denominadas de Transformações de Galileu TG. Exercício: movimento do barco no rio Imagine uma corrida entre dois barcos em um rio. Um barco cruza o rio, de largura L, perpendicularmente às margens e retorna ao ponto de partida percorrendo uma distância 2L (Figura 6a e 6b); o outro barco percorre a mesma distância 2L, primeiro descendo uma distância L (ajudado pela correnteza do rio) e depois volta subindo contra a correnteza a mesma distância L, retornando ao ponto inicial (Figura 6c e 6d). Qual barco vencerá? Nessas figuras temos que a Terra é o referencial S, o rio é o referencial S e o barco é o objeto em movimento em relação a esses dois referenciais. A velocidade do barco em relação à Terra (S) é v, a velocidade do rio em relação à Terra é V (velocidade relativa entre S e S ) e a velocidade do barco em relação ao rio (S ) e v. Vamos utilizar a TG para determinar a velocidade v do barco em relação à Terra. Quando o barco se desloca a favor da correnteza do rio, a velocidade resultante do barco tende a aumentar visto que a velocidade própria do barco soma-se a velocidade da correnteza (v = v + V). Quando o barco viaja em sentido contrário ele tende a diminuir sua velocidade resultante já que sua velocidade própria foi subtraída pela velocidade da correnteza (v = v V). Quando o barco atravessa o rio vemos que ele se desloca mantendo a orientação do eixo longitudinal do barco inclinada em relação à trajetória para compensar o efeito da correnteza, pois, caso contrário, o barco não conseguiria atravessar o rio perpendicularmente. Assim a velocidade do barco em relação à Terra, para atravessar ' 2 2 perpendicularmente, é v = v V. Vemos claramente aqui que a velocidade do barco é influenciada pela velocidade da correnteza.

128 128 Ida S rio v = C 2 v' V v ρ ' V ρ B 2 v ρ A Referencial S (Terra) (a) L S rio C 1 Volta v ρ ' v = V ρ A v' B v ρ Referencial S (Terra) (b) 2 V 2 L S rio A 1 L B 1 v ρ ' V ρ S rio A 1 L B 1 ρ V v ρ ' Referencial S (Terra) (c) Referencial S (Terra) (d) Figura 6 (a) barco atravessando o rio no sentido A B; (b) barco atravessando o rio no sentido B A; (c) barco descendo o rio no sentido A 1 B 1 ; (d) barco subindo o rio no sentido B 1 A 1 Tendo como base a Figura 6 e a composição de velocidades de acordo com a TG determine os tempos nas duas situações: a) t - atravessando o rio (ida e volta A B A) problema em duas dimensões tratamento vetorial; b) t - subindo e descendo o rio A 1 B 1 A 1. Você deve encontrar o seguinte resultado: 2 L 2L v' t = e t = v' V v' V t 1 e a razão entre t e t é = t 2 V 1 2 v' Pelo resultado o barco que atravessa o rio sempre vence, isto é, t < t. O importante aqui é que se medirmos os dois tempos, conhecida a velocidade v do barco através da água, podemos determinar a velocidade V do rio em relação à Terra. Esse resultado será utilizado futuramente para ajudar a na compreensão da experiência de Michelson-Morley Medida de comprimento em dois sistemas de referência inerciais diferentes Vamos determinar a medida de um comprimento quando ele está em repouso e quando ele está em movimento.

129 129 Será que o movimento altera a medida de um comprimento? Retomemos o caso do trem, mas, daqui em diante, vamos introduzir certo grau de abstração e não vamos mais representar ou falar de trem, mas apenas o sistema de coordenadas S (x, y, z ). Da mesma forma a Terra será representada pelo sistema de coordenadas S (x, y, z). Considere uma barra colocada horizontalmente no referencial S (x, y, z ) que se move com velocidade V em relação à S(x, y, z) ao longo do eixo x e no sentido de x > 0. As extremidades da barra são x 1 e x 2 e, portanto, para uma pessoa em S, seu comprimento é L = x 2 x 1 = L 0 (como a barra está em repouso em S a medida feita em qualquer instante de tempo t dará sempre o mesmo comprimento L 0 ) onde L 0 é denominado de comprimento próprio. Qual será o comprimento dessa barra se ela for medida a partir de S? Podemos definir um procedimento para encontrar o comprimento da barra por meio de medidas feitas em outro referencial inercial S. Isto pode ser feito medindo-se as posições de ambas as extremidades, x 1 e x 2, da barra no mesmo instante de tempo t como medido em S. Usando a TG temos x 1 = x 1 - Vt e x 2 = x 2 - Vt. O comprimento do objeto medido a partir de S é dado por L = x 2 x 1. Assim, L 0 = L = x 2 x 1 = x 2 - Vt (x 1 - Vt) = (x 2 x 1 ) = L Podemos concluir que, do ponto de vista dessa transformação de coordenadas, a medida do comprimento de um objeto, colocado paralelo à direção do movimento, não é afetada pelo movimento. z y z y V L S O X 1 X 2 x O S x Figura 7 (a) A barra está em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > 0. O comprimento da barra medido a partir de S é L = x 2 x 1. z y z y O S x O x 1 L 0 = x 2 - x 1 x 2 S x

130 130 Figura 7 (b ) a barra está em repouso em S que se move com velocidade ( V) em relação à S no sentido de x < 0. Consideremos agora que a barra está em repouso em S e suas extremidades estão nas coordenadas x 1 e x 2 e seu comprimento é L 0 = x 2 x 1 qualquer que seja o instante de tempo t que se faça a medida. Qual será o comprimento da barra medido por alguém que está em S? Seguindo o caso anterior, a medida das posições das extremidades, x 1 e x 2, deve ser feita no mesmo instante de tempo t. Usando a TG temos x 1 = x 1 + Vt e x 2 = x 2 + Vt. O comprimento do objeto medido a partir de S é dado por L = x 2 x 1. Assim, L 0 = L = x 2 x 1 = x 2 + Vt (x 1 + Vt ) = (x 2 x 1 ) = L O comprimento da barra é invariável, isto é, independente da escolha do sistema de referência. Concretamente, a medida de uma mesa será a mesma independentemente de ela estar em repouso na Terra ou em uma nave espacial movendo-se com velocidade de km/h. Isto é, o resultado da medida que alguém na nave faz é o mesmo resultado que alguém na Terra obteria se pudesse fazer essa medida. Os SRIs são absolutamente equivalentes. As coordenadas y e z, que são perpendiculares à direção do movimento, não se alteram com o movimento, isto é, y = y e z = z. Portanto, a medida de qualquer dimensão perpendicular ao movimento será a mesma em S e em S, isto é, sempre temos y 2 y 1 = y 2 y 1 e z 2 z 1 = z 2 z Medida da aceleração em dois sistemas de referência inerciais diferentes Temos ainda uma grandeza fundamental em mecânica que é a aceleração. Como você deve saber a aceleração está relacionada com a variação da velocidade em certo intervalo de tempo. Vamos retomar o caso da Figura 4a, mas considerando o valor da velocidade do objeto em S como sendo v 1 em P 1 e v 2 em P 2. No referencial S, usando as relações acima, essas velocidades são, respectivamente, v 1 = v 1 + V e v 2 = v 2 + V. A diferença v 2 v 1 = v 2 v 1 e, portanto, a aceleração será a mesma em S e em S, pois o intervalo de tempo é o mesmo em S e S. Isso só ocorre porque a velocidade relativa V é constante. Se as interações entre dois corpos só dependem da distância entre eles, sendo a distância um invariante nos dois SRIs, temos que a Lei de Newton que relaciona a força com a variação de velocidade será válida nos dois SRIs. Generalizando: se as leis de Newton são válidas para um SRI então elas serão válidas em todos os SRIs que movam-se com velocidade constante em relação a esse SRI. Isso é a expressão do princípio da relatividade. As leis de transformação aqui apresentadas para coordenadas e velocidades são chamadas de Transformações de Galileu ou leis de transformação da mecânica clássica e definem a relatividade clássica ou galileana. - V

131 131 Exercício. Uma garota chamada Júlia se encontra na origem de um referencial S associado a uma estação de trem. Outra garota chamada Cecília está na origem de outro referencial S associado a um vagão que se move com velocidade constante V = 1,0 m/s em relação a S. As origens dos referenciais S e S coincidem em t = 0 s(como mostra a Figura 8a). A figura 8b mostra as posições relativas depois de transcorrido um tempo t. No vagão há uma mesa de 3,0 m de comprimento bem na frente de Cecília. Com base no texto e nas figuras responda: a) Qual a posição de Cecília em relação a Júlia, após t= 2,0 s? b) Qual a posição de Júlia em relação a Cecília, após t= 2,0 s? c) Qual a posição do ponto A após t = 2,0 s, conforme medidos por Cecília e por Júlia? d) A partir desse resultado obtenha uma expressão que relaciona a posição medida por Cecília e por Júlia, válida para qualquer instante de tempo t. e) Qual a posição do ponto B medida por Cecília e por Júlia para o instante de t 0 = 0 s? f) Qual o comprimento da mesa para ambas no instante t 0 = 0s? g) Calcule com a equação do item d as posições dos pontos A e B medida por Cecília e por Júlia para o t = 4,0 s? h) Qual é o comprimento da mesa no tempo t = 4,0 s medida no referencial de Cecília e no referencial de Júlia? Qual a sua conclusão? i) Se a mesa tiver 1,0 m de altura medida por Cecília, qual deve ser a medida da altura feita por Júlia para um instante t 0 = 0 s? j) Quais os valores das grandezas físicas que mudaram? Quais os valores das grandezas físicas que não mudaram? y = y 1,0 m A 3,0 m Mesa B B x = x Figura 8 (a) Referenciais S e S coincidindo no instante inicial z = z

132 132 y y' V = 1,0 ms V.t 1,0 m 3,0 m Mesa x = x z = z Figura 8 (b) O Referencial S se movendo em relação ao referencial S. 1.4 Síntese Apresentamos abaixo uma síntese dos principais resultados: a) Um sistema de referencia inercial SRI é aquele no qual as Leis de Newton podem ser utilizadas, isto é, é um referencial não acelerado. b) Todos os SRIs são equivalentes, pois movem-se com velocidade constante (módulo, direção e sentido) uns em relação aos outros. c) Um evento fica completamente determinado em um SRI se soubermos a posição em que ele ocorreu e o instante de tempo em que ele ocorreu. d) As leis da mecânica não estabelecem a existência de uma velocidade limite. e) A massa de um corpo não depende de seu estado de movimento, isto é, é a mesma em todos os SRIs. f) A energia e a massa são grandezas independentes e se conservam. g) O momento linear é uma constante em um SRI. h) O tempo correspondente a um acontecimento é o mesmo em todos os SRIs. A marcação do tempo é a mesma para relógios em repouso em relação ao evento e para relógios em movimento em relação ao evento. i) As coordenadas (posições) na direção do movimento seguem a Lei de transformação de Galileu definida por x = x + Vt ou por x = x Vt. A posição é uma grandeza relativa. j) As velocidades são diferentes em cada SRI, e seguem a Lei de transformação de Galileu definida por v x = v x + V ou por v x = v x V. A velocidade é uma grandeza relativa. k) A medida do comprimento de um corpo é a mesma em todos os SRIs, isto é, todos medem o mesmo comprimento para uma barra independentemente de estar em repouso ou em movimento em relação a quem está fazendo a medida. (L = L = L 0 ). l) A força que depende apenas da distância e a aceleração são invariantes, isto é, dão os mesmos resultados quando aplicadas em qualquer SRI. ( a x = a x )

133 133 Quadro 1 Transformações de Galileu Transformação de Galileu de S para S Como calcular as coordenadas em S quando conhecemos as coordenadas em S. Transformação de Galileu de S para S Como calcular as coordenadas em S quando conhecemos as coordenadas em S x = x Vt x = x + Vt Y = y y = y Z = z z = z T = t t = t v x = v x V v x = v x + V a x ' = a x a x = a x Exercícios 1. Inácio, um observador inercial, observa um objeto em repouso devido às ações de duas forças opostas exercidas pela vizinhança desse objeto. No mesmo instante Ingrid e Acelino, observando o mesmo objeto, a partir de referenciais diferentes do referencial de Inácio, chegam as seguintes conclusões: para Ingrid, o objeto se move com o movimento linear constante e para Acelino, o objeto se move com aceleração constante. Face ao exposto, e correto afirmar que: A) Ingrid esta num referencial não inercial com velocidade constante. B) Ingrid e Acelino estão, ambos em referenciais não inerciais. C) Acelino está num referencial não inercial com aceleração constante D) Acelino e Ingrid estão, ambos, em referencias inerciais. 2. Primeiro um ônibus que viaja retilineamente com a velocidade de 80 km/h em relação a um rapaz que ficou na parada de ônibus. Um pacote foi arremessado do ônibus paralelamente a direção do movimento com velocidade 20 km/h. Qual a velocidade do pacote em relação ao motorista do ônibus? Qual a velocidade do pacote em relação ao rapaz da parada? 3. Agora uma nave A do futuro viajando com uma velocidade igual a 0,8 c em relação à Terra numa direção x. Uma outra nave B viaja em relação à Terra com a velocidade de 0,6 c na mesma direção x. Qual a velocidade relativa da nave A em relação a nave B sabendo que elas estão no mesmo sentido? Qual a velocidade relativa da nave A em relação a nave B sabendo que elas estão viajando com sentidos contrários? 4. A mecânica clássica afirma que quando um carro faz uma curva existe uma força resultante que aponta para o centro (força centrípeta) que é responsável pela variação da direção da velocidade. Entretanto, você já andou de carro fazendo uma curva e não sentiu a atuação de uma força puxando você para o centro. Sentiu sim exatamente o contrário, uma força lhe puxando para fora do carro. Como você explicaria essa situação em termos da mecânica clássica?

134 134 ANEXO C ATIVIDADES DE PROBLEMATIZAÇÃO

135 135 ATIVIDADE 1 O COMPORTAMENTO DE PARTÍCULAS EM ALTA VELOCIDADE Conforme os seus estudos da mecânica clássica, você deve saber que um corpo, quando é acelerado a partir do repouso, a sua velocidade aumenta com o transcorrer do tempo. Para um movimento retilíneo uniformemente variado a relação que permite calcular a velocidade de um corpo em função do tempo, na mecânica clássica, é v = v 0 + at. Questão 1 Qual a maior velocidade que você pode conseguir utilizando essa equação? Qual é a velocidade limite imposta pelas leis da mecânica clássica? (Se quiser trabalhar numericamente, pode considerar, por exemplo, v 0 = 0 e a = 100 m/s 2.) Questão 2 A mecânica clássica prevê algum comportamento especial para partículas em alta velocidade? Em torno de 1905, quando Einstein estabeleceu a TRE, já existia tecnologia para acelerar partículas até que estas atingissem altas velocidades. Como exemplo, quatro anos antes do estabelecimento da TRE, em 1901, o físico Walter Kaufmann ( ) conseguiu em suas pesquisas acelerar elétrons com velocidades entre oitenta e noventa por cento da velocidade da luz no vácuo. Hoje existem aceleradores mais potentes que podem fornecer grandes quantidades de energia às partículas aumentando ainda mais a sua velocidade. Vamos considerar aqui um conjunto de dados obtidos em uma dessas experiências. Na experiência realizada, um elétron, cuja massa m e = 9,11 x kg, foi submetido a uma diferença de potencial V variável, fazendo com que ele adquirisse uma energia cinética E C que variou de 0,5 MeV a 15 MeV 11. Nessas condições, para certos valores da diferença de potencial, foi medido o tempo que o elétron demorou para percorrer uma distância de L = 8,4 metros. Os resultados encontrados estão expressos na segunda linha da Tabela 1. Note que a velocidade do elétron foi calculada através da equação para o movimento retilíneo uniforme (v = L / t) que é a definição básica de velocidade. Essa equação pode ser utilizada visto que o elétron adquire essa velocidade e permanece, em muito boa aproximação, em movimento retilíneo e uniforme até o fim do percurso. Esses cálculos estão representados na terceira linha da Tabela 1. Questão 3 Qual foi a velocidade máxima obtida experimentalmente? Vamos, então, utilizar o nosso conhecimento de mecânica clássica a fim de analisar o resultado dessa experiência para verificar se há um acordo entre esses resultados e o resultado do modelo da mecânica clássica. A visualização dos resultados, embora esteja contida na tabela, é mais fácil através de gráficos. Assim, para facilitar essas comparações costuma-se mudar a linguagem da tabela para a linguagem gráfica. 1 2 A definição clássica de energia cinética é E c = mv, onde m é a massa do 2 corpo e v é a velocidade do corpo em relação a um referencial (nesse caso o referencial é o laboratório, isto é, a Terra). Utilizando nesta equação o valor da massa do elétron e o valor da 1 MeV é mega eletronvolt é uma unidade conveniente de energia para se trabalhar com partículas com alta energia. 1,0 MeV = 10 6 eletronvolt = 1,6 x J; 1,0 ev = 1,6 x J (energia cinética adquirida por um elétron quando acelerado por uma diferença de potencial de 1,0 Volt).

136 136 energia cinética fornecida ao elétron, podemos calcular a sua velocidade segundo a teoria clássica. Os resultados desses cálculos estão apresentados na quinta linha da Tabela 1. Tabela 1 Tempo de percurso e velocidade do elétron em função da energia fornecida Energia cinética - Ec (Mev) 0,5 1,0 1,5 4,5 15 Medida do intervalo de tempo ( 10 8 s) 3,23 3,08 2,92 2,84 2,80 Velocidade do elétron v = L / t (10 8 m/s) 2,60 2,73 2,88 2,96 3,00 Velocidade ao quadrado v 2 (10 16 m 2 /s 2 ) 6,76 7,45 8,29 8,76 9,0 Previsão teórica da Mecânica Clássica Valor da velocidade do elétron calculada 4,18 5,91 7,25 12,5 22,9 por E c = 1 2 mv 2 (10 8 m/s) v 2 (10 16 m 2 /s 2 ) 17, ,5 157,5 525 Essa experiência foi realizada no Education Development Center, Newton, Mass.,1962 para fazer o filme The ultimate speed e foi publicada BERTOZZI, W.. Am. J. Phys., v.32, p , 1964 Utilizando uma folha de papel milimetrado, faça um gráfico de v 2 (eixo das ordenadas) em função da energia cinética E C fornecida ao elétron (eixo das abscissas) 2. Faça o gráfico para os dois casos e observe que os gráficos passam pelo ponto (0,0): a) Utilizando o valor da velocidade obtida a partir dos dados experimentais. 1 2 b) O valor da velocidade obtida a partir da relação E c = mv. 2 Questão 4 Compare a curva obtida utilizando os dados experimentais com aquela obtida utilizando os cálculos clássicos. Qual foi a velocidade máxima obtida pelo cálculo clássico? Há tendência para uma velocidade limite? Questão 5 Considerando a curva experimental, há uma tendência para uma velocidade limite? Qual o valor dessa velocidade? Observe que quando consideramos os dados experimentais, a relação entre o quadrado da velocidade e a energia cinética não é linear. Isso está indicando que a E C do elétron tem uma dependência da velocidade que é diferente daquela prevista pela Mecânica Clássica. O resultado experimental parece indicar que a velocidade do elétron não aumenta segundo a relação clássica E C = ½ mv 2 e que fica cada vez mais difícil aumentar a velocidade do elétron à medida que a sua velocidade se aproxima da velocidade limite que é igual a c = 3 x 10 8 m/s. Questão 6 Qual a conclusão a que se pode chegar sobre a existência ou não de uma velocidade limite para o movimento de uma partícula? A baixa velocidade, o resultado da experiência e a previsão da mecânica 1 2 clássica estão de acordo. Sabe-se que a energia cinética definida por E c = mv funciona 2 2 Para fazer um gráfico é necessário definir as variáveis para cada eixo e uma escala adequada para poder representar os dados no papel.

137 137 muito bem para elétrons com energia da ordem de 10 3 ev ou menos. Entretanto, mesmo para energia da ordem de 0,5 x 10 6 ev, que é a energia mais baixa da experiência realizada no acelerador de partículas, o valor de v 2 predito classicamente é cerca do dobro do valor medido experimentalmente. À medida que a velocidade vai aumentando, há uma grande discrepância entre os resultados experimentais e as previsões da mecânica clássica. As leis de Newton não prevêem a existência de uma velocidade limite, mas a experiência está mostrando que, por maior que seja a energia cinética fornecida ao elétron através do acelerador de partículas, há uma indicação de que há uma velocidade limite para o elétron em torno de 3 x 10 8 m/s. Por que não se consegue fazer com que uma partícula adquira uma velocidade arbitrariamente grande, se essa partícula pode receber energia a valores extremos? Pelo resultado dessa experiência, na qual se analisa a relação entre a Ec e a velocidade para partículas de alta energia, se vê um claro afastamento do comportamento newtoniano, quando altas energias estão presentes no movimento dos elétrons. Esse afastamento torna-se mais acentuado quando os elétrons alcançam velocidades próximas à velocidade da luz no vácuo. Diante desse resultado, a validade da Mecânica Clássica pode ser colocada em questão, pelo menos para os fenômenos físicos que ocorrem em altas velocidades e algumas questões podem ser feitas. Questão 7 Devemos abandonar a mecânica clássica em função desse resultado? Será que a mecânica clássica continua válida para baixas velocidades, mas precisa ser reformulada para tratar de situações envolvendo altas velocidades?

138 138 ATIVIDADE 2 O COMPORTAMENTO DOS MÉSONS µ Vamos iniciar contando um pouco da história do descobrimento dos mésons, em que o brasileiro César Lattes teve uma participação muito importante e, segundo relatos de outros pesquisadores, deveria ter recebido o prêmio Nobel pela descoberta do méson π, partícula considerada importante na compreensão do núcleo atômico. O núcleo atômico é constituído por duas espécies de partículas: prótons (carga elétrica positiva) e nêutrons (carga elétrica nula). Essas partículas estão compactadas em um volume muito pequeno, visto que o raio do núcleo, determinado por diferentes métodos, varia entre 2 x cm e 9 x cm. Realmente muito pequeno. O que é que mantém tão intimamente unidos os prótons e os nêutrons? Deve existir alguma espécie de força atrativa entre eles. Esta não pode ser de natureza elétrica, porque o nêutron não tem carga e não é, portanto, sensível aos campos elétricos. Um cientista japonês, de nome Yukawa, estudou essa questão e, em 1935, concluiu a partir de seus cálculos, que deveria existir uma nova espécie de interação responsável pela atração entre o próton e o nêutron. Segundo ele deveriam existir partículas, os mésons, com massa de valor compreendido entre as massas do elétron e do próton. Os mésons seriam os intermediadores da interação entre o próton e o nêutron. Essa partícula hipotética seria incessantemente emitida e absorvida por prótons e nêutrons e a troca de mésons entre os constituintes do núcleo atômico produziria, entre eles, uma atração de curto alcance, responsável pela estabilidade nuclear. Os mésons seriam partículas que diferem dos elétrons e das partículas nucleares (prótons e nêutrons), pois não aparecem na estrutura da matéria ordinária. Segundo Yukawa, os mésons não são partículas estáveis e fora do núcleo atômico, os mésons sobreviveriam por apenas bilionésimos de segundo, desintegrando-se em seguida. Essa predição começou a ser confirmada em 1939, quando foi descoberto o méson µ (letra grega mi), ou míon, mas essa descoberta não foi suficiente. Algumas discrepâncias entre a teoria e a observação, por exemplo, entre os valores calculados para a vida média e os valores medidos, levaram alguns pesquisadores, em 1947, a sugerirem a idéia de que existiriam duas espécies diferentes de mésons. A primeira prova desse fato foi dada por um grupo de pesquisadores que estavam trabalhando no laboratório da Universidade de Bristol, Inglaterra. O brasileiro César Lattes fazia parte desse grupo que era dirigido por um cientista inglês de nome Powell (recebeu o prêmio Nobel pelos estudos sobre os mésons). César Lattes continuou suas pesquisa, em 1948, em uma precária estação andina, localizada em Chacaltaya, Bolívia, a 5500 metros de altitude, onde o número de partículas cósmicas era 100 mil vezes maior. Num ar rarefeito, com metade da pressão atmosférica existente ao nível do mar, ele realizou o experimento que o imortalizou. As emulsões expostas em Chacaltaya revelaram cerca de 30 rastros de mésons duplos. Feitos os cálculos, confirmou-se a existência de dois tipos de partículas com massas diferentes: uma partícula secundária que correspondia ao méson µ e uma partícula primária que era algo novo e recebeu o nome de méson π (letra grega pi) ou píon. Esse resultado foi confirmado ainda em 1948 na Universidade de Berkeley, Estados Unidos, para onde se deslocou César Lattes ao tomar conhecimento da instalação de um acelerador de partículas nessa universidade. Em apenas duas semanas ele conseguiu produzir mésons π nesse laboratório. César Lattes conseguiu mostrar que tanto os mésons π como os mésons µ são produzidos bombardeando alvos de vários materiais com partículas alfa (núcleo de átomo de Hélio) de energia da ordem de 300 MeV obtidas no ciclotron (acelerador de partículas). César Lattes descobriu que os mésons eram instáveis e decaiam. Assim,

139 139 os mésons π desintegram-se produzindo um méson µ e um neutrino (partícula sem carga e com massa muito pequena (ou nenhuma)). Assim, π = µ + υ ; a vida média T dos mésons π para este processo de desintegração é cerca de 2,5 x 10 8 segundos; + os mésons µ desintegram-se produzindo um elétron ou um pósitron e (partícula semelhante ao elétron mas com carga positiva), um neutrino e um anti-neutrino. ± ± Assim, µ = e + υ + υ ; a vida média T dos mésons µ para este processo de desintegração é cerca de 2,20 x 10-6 segundos. A vida média T é definida como sendo o tempo médio para uma partícula decair. A meia vida é definida como sendo o tempo τ necessário para que metade das partículas existentes em certo instante inicial passe pelo processo de decaimento. A meia vida está relacionada com a vida média através da relação τ = T ln(2) = 2,2 x 10-6 x 0,693 = 1,52 x 10-6 s. Os mésons são partículas instáveis que decaem transformando se em outras partículas quando são emitidas pelos núcleos em certos processos radioativos. Um decaimento radioativo é um fenômeno no qual processos aleatórios individuais levam a um quadro bem definido de um grupo de partículas. Para qualquer conjunto de partículas instáveis em repouso, é possível medir a fração desse conjunto de partículas, primeiro observado em um instante t = 0, que ainda sobrevivem (não decaíram) em um tempo posterior t. No caso dos mésons µ, os resultados experimentais podem ser reproduzidos, dentro de certa margem de erros nas medidas experimentais, através da relação matemática ± ± t T 0. e N = N, ou 0,693 t τ N = N e 0 em que N é o número de partículas que ainda não decaiu após ter transcorrido o tempo t e N 0 é o número de partículas radioativas no instante t = 0; T é o tempo de vida médio do elemento radioativo e τ é a meia vida. Assim, essa relação matemática descreve o comportamento estatístico de um conjunto de mésons µ e sua representação gráfica é apresentada no gráfico abaixo. Observe que a cada tempo τ o número de partículas que ainda não decaiu se reduz à metade. 0 τ 2τ 3τ 4τ Gráfico 1 decaimento dos mésons em seu referencial de repouso Podemos então predizer que dentro das incertezas estatísticas do número finito envolvido, o mesmo resultado será obtido com qualquer outra amostra do mesmo tipo de

140 140 partículas. Nesse sentido estatístico, partículas instáveis são uma espécie de relógio, pois a medida da fração de partículas que não decaiu nos dá informação sobre quanto tempo transcorreu. É importante frisar que este é o comportamento observado para amostras que estão em repouso no sistema do laboratório. Questão 1 - Qual a relação temporal entre teoria e experiência para o caso do conhecimento científico sobre os mésons? Questão 2 - César Lattes fez tudo sozinho na descoberta dos mésons π? Em uma experiência realizada por D.H. Frisch e J.H. Smith (American Journal of Physics,31, (1963)) utilizando mésons µ produzidos pelos raios cósmicos eles colocaram um detector para registrar o número de mésons em uma montanha a cerca de H = 2000 m em relação ao nível do mar, e um outro detector ao nível do mar. Assim que são produzidos pelos raios cósmicos, os mésons viajam predominantemente para baixo através da atmosfera da Terra com velocidade da ordem de v = 0,99c. Os mésons são detectados (parados) por aparelhos especialmente preparados para isso. Registrando-se o intervalo de tempo entre o instante da chegada do méson e o instante de seu decaimento, podemos construir o comportamento estatístico para um grande número de mésons em repouso. Feixe de mésons Detector de mésons 2000 m Detector de mésons Figura 1 - Representação esquemática da experiência Na experiência mencionada, foram feitas medidas da taxa média de chegada dos mésons a uma altura de 2000 m, e ao nível do mar. A medida do número de mésons à altura de 2000 m indicou que, em média 568 mésons/hora estavam chegando ao detector. A medida do número de mésons ao nível do mar indicou que em média 425 mésons/hora estavam chegando ao detector. Vamos interpretar esse resultado tendo como base a teoria expressa na relação. t. e T 0 N = N. Um méson, ao chegar à altura H, tem ainda que percorrer 2000 m antes de chegar à superfície da Terra. Questão 3 - Considerando que a velocidade do méson é constante e é da ordem de 0,99c, qual o tempo que um méson demora para percorrer a altura H e chegar à superfície da Terra? A tabela mostra as medidas experimentais do comportamento dos mésons no detector colocado na altura H.

141 141 Tabela 1 decaimento dos mésons para amostra em repouso Tempo transcorrido em Resultado experimental na altura H: número de mésons que não unidades de 10-6 s decaíram depois de transcorrido o tempo t Questão 4 - Pelo resultado encontrado na Questão 3, qual o número N de partículas que ainda não decaiu após ter transcorrido o tempo necessário para o méson chegar na superfície da Terra? Observe que você pode ler o resultado aproximado diretamente na tabela. Podemos fazer uma previsão do número de mésons que deve ser encontrado se utilizarmos a t equação N = N. e T 0 onde T = 2,2 x 10 6 s, t é tempo encontrado na Questão 3 é N 0 = 568 mésons /hora. Questão 5 - Compare o número de mésons que foi detectado ao nível do mar, N = 425 mésons/hora, com o número de mésons que deveriam chegar ao nível do mar segundo a previsão teórica. O que você pode concluir? T Questão 6 - Determine, consultando a Tabela 1, ou utilizando a equação N = N0. e qual teria sido o tempo transcorrido para que o número de mésons não decaídos seja 425 mésons/hora. Compare esse resultado com o tempo encontrado na Questão 3, para o méson percorrer H = 2000 m. O que você pode concluir? Questão 7 - O comportamento dos mésons em movimento foi o mesmo de uma amostra em repouso? Será que os mésons µ têm comportamento diferente quando estão em movimento quando comparado com o seu comportamento em situação de repouso? O comportamento dos mésons µ claramente não é descrito pelas relações da Física Clássica. Nesta atividade você teve oportunidade de conhecer o comportamento dos mésons que são partículas nucleares e que elas se comportam de forma diferente quando estão em repouso (decaimento exponencial) e quando estão movendo-se com velocidade da ordem da velocidade da luz no vácuo. Neste texto ficou claro também que há uma relação entre teoria e experimento onde, neste caso, houve uma previsão teórica (Yukawa) da existência de tais partículas e depois elas foram detectadas em laboratório. A partir daí desenvolveram-se outros estudos teóricos e experimentais para ampliar o conhecimento sobre essas partículas. Você deve ter percebido também que muitas pessoas contribuíram para o conhecimento sobre essas partículas e que o brasileiro César Lattes interagiu com cientistas da Inglaterra, do Brasil e dos Estados Unidos. t

142 142 ATIVIDADE 3 A MASSA E A ENERGIA NO ÁTOMO A energia talvez seja uma das questões mais importantes da ciência e da sociedade, sendo seu estudo e pesquisa parte vital para a evolução da tecnologia e, por conseqüência, da civilização. A produção de energia elétrica para alimentar o crescente consumo mundial é uma preocupação constante dos governos. Esse fato foi um dos motivos, entre outros, que impulsionou o homem durante o século XX, a obter energia elétrica através da fissão nuclear. Entretanto, a ciência busca agora tentar fazer a fusão nuclear, que é chamada de energia sem poluição. O processo de produção de energia nuclear sem poluição ocorre normalmente nas estrelas como o Sol. A energia emitida pelo Sol é originada na sua parte mais central onde a temperatura é da ordem de milhões de graus centígrados. Esta energia é liberada pela reação termo nuclear em que quatro átomos de hidrogênio se combinam para formar um átomo de Hélio. Essa é uma reação conhecida como fusão nuclear e se dá sempre que um elemento mais leve (nesse caso o hidrogênio) se funde para formar um elemento mais pesado (nesse caso o hélio). Nesse processo, uma quantidade de energia é liberada para o meio exterior. O processo de liberação de energia nuclear ocorre em várias etapas. Uma dessas etapas consiste na fusão de um próton com um dêuteron D (notação 2 1 D - átomo de hidrogênio contendo um próton e um nêutron no núcleo) produzindo o isótopo de hélio radiação. Assim, 3 2 He e energia na forma de p + D 2He + 3 energia na forma de radiação valores são: Atualmente as massas dessas partículas são muito bem determinadas e seus Tabela 1 - Massa das partículas Partículas massa próton 1 p m p = 1, 6726 x kg Nêutron m n = 1,6749 x kg dêuteron 1 D m D = 3,3432 x kg 3 isótopo de hélio 2 He m He = 5,0058 x kg. Elétron m e = 9,1094 x kg Tendo como base a reação acima e os valores das massas, procure responder às perguntas que seguem. Questão 1 - Qual a massa total no lado esquerdo da equação (próton + dêuteron)? 3 Questão 2 - Compare com a massa do lado direito da equação ( 2 He ). Qual a sua conclusão? Questão 3 - Nesse caso como fica a lei de conservação da massa?

143 143 Consideremos ainda uma outra situação intrigante que está relacionada com os átomos. Vamos considerar o caso do dêuteron que é composto por um próton, por um nêutron e por um elétron. Questão 4 - Qual a massa resultante quando somamos as massas do próton, do nêutron e do elétron quando eles estão como partículas isoladas? Questão 5 - Compare com a massa do dêuteron. A soma das massas das partículas isoladas é igual à massa do dêuteron? O que você conclui? Observamos que, no caso da fusão de duas partículas mais leves formando uma mais pesada, houve liberação de energia e a massa final é menor do que a massa inicial. No caso do dêuteron, podemos concluir que a massa de um átomo que contém certo número de prótons, nêutrons e elétrons é menor do que a soma das massas das partículas isoladas. Questão 6 - Será que existe alguma relação entre essa diferença de massa e a energia que está sendo produzida na fusão? Questão 7 - No caso do dêuteron, como explicar a diferença de massa entre as partículas isoladas e o dêuteron?

144 144 ATIVIDADE 4 TENTANDO COMPREENDER A LUZ A construção de um modelo para a luz levou a grandes discussões e a um grande confronto de idéias por pelo menos três séculos. A compreensão das luz como fenômeno eletromagnético foi muito importante para o desenvolvimento da TRE. Mas afinal o que vem a ser luz? Vários cientistas contribuíram para a construção de um modelo para a luz. Dentro dos objetivos de compreender o surgimento das idéias da TRE, vamos considerar as contribuições mais pertinentes. Isaac Newton ( ) foi um dos pensadores que se interessaram em compreender os fenômenos luminosos e em seu livro Optiks publicado em 1704, resumiu seus estudos sobre a natureza e o comportamento da luz. Newton propôs o modelo corpuscular para a luz considerando que ela era formada por partículas materiais muito especiais e extremamente pequenas. Essa teoria explicava de forma convincente a reflexão e a refração da luz, todavia falhava em explicar outros processos físicos como interferência e difração. O físico holandês Cristiann Huyghens ( ) foi, na época, um opositor às idéias de Newton, pois considerou a luz como um fenômeno ondulatório que se propaga num determinado meio. Em função da grande aceitação das idéias da Mecânica de Newton, o modelo corpuscular foi mais aceito no início mesmo não conseguindo explicar os fenômenos de difração e interferência. O modelo ondulatório, embora tendo sido preterido por muitos cientistas da época, explicava muito bem os fenômenos de difração e interferência, além dos fenômenos de reflexão e refração. O grande questionamento que se fazia em relação a se considerar a luz como uma onda, era saber em qual meio a luz se propagava, uma vez que todas as ondas conhecidas precisavam de um meio para a sua propagação (caso da onda sonora que se propagava tendo o ar e outros materiais como meio suporte, mas não se propaga no vácuo). Como a luz do Sol atravessa o espaço? Como a luz atravessa um meio onde se fez vácuo? Na época já se podia fazer vácuo e se verificou que se fosse colocada uma fonte sonora e uma fonte de luz em uma redoma de vidro e se fosse feito vácuo, o som deixaria de ser ouvido, mas a luz continuaria sendo vista. Huygens e a maioria dos físicos que vieram posteriormente não conseguiam imaginar a propagação de vibrações na ausência de um meio material. Era então essencial introduzir um meio especial que servisse de suporte para as ondas luminosas. Huygens o denominou de éter. A idéia da existência do éter foi ignorada por Einstein quase 300 anos depois. O éter seria um meio que preencheria todo o espaço, sua densidade seria desprezível e praticamente não interagiria com a matéria. Nessa época houve uma busca intensa da comunidade científica por esse meio a luz teria a velocidade aproximada de 3x10 8 m/s, valor esse que ficou conhecido através das experiências Armand H. L.Fizeau ( ) realizadas em Como um registro histórico deve ser mencionado que Galileu tentou medir a velocidade da luz, mas não conseguiu. A interpretação da luz como onda (modelo ondulatório) se firmou como o modelo mais adequado por volta de 1864 com a teoria do eletromagnetismo formulada por James Clerk Maxwell ( ). Hoje se aceita que os dois modelos se complementam, mas o modelo corpuscular foi reformulado por Einstein quando ele propôs que as partículas da luz são fótons, isto é, energia, e não partículas materiais como proposto por Newton. Hoje os fenômenos luminosos relacionados com a propagação são explicados de forma mais adequada pelo modelo ondulatório, enquanto que a interação da luz com a matéria é explicada pelo modelo de fótons. Maxwell estabeleceu a teoria das ondas eletromagnéticas e deduziu, a partir das equações do eletromagnetismo, que a velocidade das ondas eletromagnéticas era igual à velocidade da luz. Isso representou um passo muito importante na evolução do conhecimento, pois veio reforçar a idéia da luz como onda e mais ainda, como onda eletromagnética

145 145 vibrações de campos elétrico e magnético no tempo e no espaço. Na teoria de Maxwell as fontes dessas ondas eletromagnéticas são cargas em movimento acelerado. Com isso passouse a interpretar a luz como uma onda eletromagnética e não mais como um processo mecânico. Foi um jovem cientista alemão, Heinrich R. Hertz. ( ) que produziu em 1888 essas ondas eletromagnéticas em laboratório confirmando a sua existência. Questão 1 Qual a relação entre teoria e experiência no estabelecimento do modelo ondulatório da luz? A teoria de Maxwell das ondas eletromagnéticas não deixava claro qual era o referencial em relação ao qual as ondas eletromagnéticas têm velocidade c = 1/(µ 0 ε 0 ) 1/2 = 2,998 x 10 8 m/s. Seria o éter esse sistema? Quando dizemos que um carro tem velocidade de 100 km/h está subentendido que essa velocidade é em relação à estrada (Terra). Se tivermos, em um momento durante uma ultrapassagem, um outro carro com a velocidade de 100 km/h, os dois carros ficam emparelhados à velocidade de 100 km/h,isto é, um estará em repouso em relação ao outro. Portanto, a velocidade é uma quantidade relativa, isto é, depende de qual é a referência que está sendo considerada. A mudança de um referencial para outro, como conhecida na época, era dada pela TG que já foi vista anteriormente. O experimento físico mais famoso relacionado ao éter foi realizado, pela primeira vez, em 1881 por Albert Michelson ( ). Esse experimento, bem mais aprimorado, foi refeito em 1887 em colaboração com Edward Morley ( ). Eles usaram um equipamento denominado interferômetro e o objetivo era detectar o movimento da Terra através do éter em repouso no qual a velocidade da luz é c. Se o movimento da Terra através do éter fosse detectado seria uma possível comprovação da existência do éter estacionário. Éter Éter V = 30 km/s T (a) V = 30 km/s T (b) Figura 1 (a) o referencial do éter onde a Terra se move com velocidade V = 30 km/s e a luz tem velocidade c; (b) referencial da Terra em relação ao qual o éter se move com velocidade V = 30 km/s e a velocidade da luz é obtida através da TG. Para entender o princípio envolvido podemos fazer uma analogia com a situação de um barco movendo-se em um rio, situação esta já analisada na revisão da Mecânica Clássica. Nessa experiência foram consideradas duas hipóteses : a velocidade da luz é c somente em relação ao referencial inercial do éter (referencial estacionário e absoluto), Transformação de Galileu é válida também para se determinar a velocidade da luz em relação aos diferentes referenciais inerciais. Um esquema da experiência de MM está representado na Figura 2

146 146 A 1 B 1 a luz se movimenta paralelamente ao movimento do éter sendo v 1B1 velocidade da luz em relação á Terra (caso do barco descendo o rio) B 1 A 1 a luz se movimenta paralelamente ao movimento do éter sendo velocidade da luz em relação à Terra (caso do barco subindo o rio ) AB a luz se movimenta perpendicularmente ao movimento do éter sendo = c V a A + v B1A1 = c V a 2 2 v AB = c V = v BA a velocidade da luz em relação à Terra (caso do barco atravessando o rio perpendicularmente às margens) O ponto A = A 1 corresponde ao ponto onde o feixe de luz, emitido pela fonte, se separa (espelho semi-prateado) seguindo os dois caminhos até chegar ao telescópio. As distâncias de AB e A 1 B 1 são iguais a L. B Movimento do éter V fonte A A 1 B 1 Telescópio Figura 2 esquema da experiência de Michelson e Morley Com base na Figura 2, a analogia com o movimento do barco se completa observando-se que: a) o referencial da Terra (S) é a base a partir da qual estão sendo feitas as medidas nos dois casos; b) o éter (referencial S ) está movendo-se em relação à Terra com velocidade V = 30 km/s velocidade orbital da Terra em torno do Sol (análogo à velocidade do rio em relação à Terra); c) a velocidade da luz é c em relação ao éter (análogo à velocidade do barco em relação ao rio); d) a velocidade da luz em relação à Terra é v. Os tempos para fazer os dois percursos A B A e A 1 B 1 A 1, por analogia com os resultados obtidos no caso do barco, são dados por 2 L 2 L c t = e t = e a razão é c V c V t t = 1 V 1 c 2 2

147 147 Questão 2 - Utilizando os valores conhecidos para V e c calcule esses tempos bem como a razão entre eles. A proposta da experiência era detectar, através de processos ópticos, a diferença de tempo nos dois percursos. Como MM não sabiam a direção do vento de éter, algumas precauções tiveram que ser tomadas para garantir o resultado considerando todas as possibilidades de influência nos mesmos. O equipamento estava montado em uma placa de pedra maciça flutuando em mercúrio. Girando o equipamento de 90 graus, eles puderam mudar a direção do suposto vento de éter em relação aos feixes de luz. Eles fizeram observações dia e noite, quando a Terra gira sobre seu eixo, e, em todas as estações do ano, quando a Terra se move em torno do Sol. Em todas essas situações o resultado da experiência indicou que não havia nenhuma diferença entre os intervalos de tempo t e t. Essa experiência foi realizada muitas vezes, mas o resultado foi sempre negativo, isto é, os tempos nos dois percursos A B A e A 1 B 1 A 1 eram sempre iguais. Se o resultado experimental estivesse de acordo com previsão teórica, então as hipóteses assumidas poderiam estar corretas. O resultado experimental não confirmou a previsão teórica. Questão 3 Essa experiência foi repetida muitas vezes e sempre apresentou o mesmo resultado, mas este foi muito difícil de ser aceito e muitos cientistas começaram a procurar uma justificativa para ele. O que isso sugere em relação ao confronto teoria experiência e em relação à aceitação de resultados inesperados? Questão 4 O que você pode concluir em relação às hipóteses feitas para a obtenção do resultado teórico. O resultado da experiência de MM pode ter várias interpretações: a) a velocidade da terra em relação ao éter é nula (hipótese muito difícil de aceitar quando se sabe que a velocidade da Terra em seu movimento orbital ao redor do Sol é 30 km/s); b) a velocidade da luz em relação ao éter não é c (muito difícil de aceitar, pois a teoria do eletromagnetismo de Maxwell prevê a velocidade c para as ondas eletromagnéticas no vácuo) c) a Transformação de Galileu não é aplicável para a luz e a análise feita não tem sentido (fato difícil de aceitar, pois a TG estava estabelecida desde Newton). Para tornar ainda mais explícitas essas idéias voltemos ao exemplo do trem. Uma pessoa está no trem (referencial S ) que se desloca com velocidade V = 10 m/s em relação ao solo (referencial S). Em um dado instante essa pessoa aponta uma lanterna na direção e no sentido do movimento do trem e a acende emitindo luz (a luz é o objeto em movimento com velocidade c em relação ao trem). Questão 5 - Qual será a velocidade da luz medida por alguém na Terra, segundo a TG? E por alguém no trem? Em um instante seguinte essa pessoa aponta a lanterna na direção do movimento, mas em sentido contrário ao do movimento do trem e a acende emitindo luz. Questão 6 - Qual será a velocidade da luz medida por alguém na Terra, segundo a TG? E por alguém no trem?

148 148 Questão 7 - Pensando dessa maneira se alguém se mover com a velocidade igual à velocidade da luz, o que acontece? Você poderia ver-se no espelho se ele também estivesse movendo-se com a velocidade da luz? V V Figura 3 (a) A luz com velocidade no mesmo sentido da velocidade do trem; (b) A luz com velocidade com sentido contrário da velocidade do trem Seguindo o raciocínio newtoniano a luz ficaria em repouso em relação a quem viajasse com a velocidade igual à dela (semelhante a dois carros emparelhados e com a mesma velocidade, um está em repouso em relação ao outro). Para nos vermos no espelho a luz emitida pelo nosso corpo deve viajar até o espelho e voltar ao nosso olho. A conclusão, de acordo com a Mecânica Clássica e seguindo a TG, é que não podemos nos ver em um espelho se o mesmo estiver movendo-se com a velocidade da luz. A experiência mostra que nunca ninguém encontrou um valor para a velocidade da luz no vácuo que fosse diferente de c! O resultado de todas as tentativas de se medir a velocidade da luz sempre chegaram ao mesmo resultado em torno de 3,0 x 10 8 m/s. Esse comportamento peculiar da luz não pode ser descrito pelas leis da Mecânica Clássica. Assim, a luz não se comporta de acordo com os resultados da TG. Nessa atividade procuramos entender o resultado da experiência de MM e sua importância na evolução do conhecimento em torno da relatividade e do comportamento da luz. Ela mostra uma situação de impasse em relação à compreensão da luz e em relação à validade das TG. Na evolução do conhecimento científico os modelos teóricos devem sempre se adequar aos resultados experimentais. Se isso não for conseguido, a busca por novos modelos continua até que novos postulados e novas idéias sejam apresentados, testados e aceitos pela comunidade científica.

149 149 ANEXO D 2. AS NOVAS IDÉIAS QUE LEVARAM À TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

150 AS NOVAS IDÉIAS QUE LEVARAM À TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL Embora a ciência se construa de dados experimentais, da mesma forma que uma casa se constrói de tijolos, uma coleção de das experimentais não é ciência, da mesma forma que uma coleção de tijolos não é uma casa. 2.1 Introdução Poincaré No capítulo anterior falamos da relatividade galileana e dos fundamentos da Física Clássica. Vimos à impossibilidade do modelo mecânico em responder várias questões já citadas nas atividades feitas anteriormente. Nesse capítulo falaremos da evolução do conhecimento científico relacionados com a gênese da Teoria da Relatividade Especial. Daremos ênfase às idéias propostas por cientistas renomados que já pairavam no ar sobre a TRE antes de sua criação. Quais eram essas idéias? Como e por que essas idéias não foram aceitas pela comunidade científica? As respostas a essas perguntas e a interpretação original de Einstein serão objetos de reflexão nesse capítulo. Vamos apresentar os princípios fundamentais propostos por Einstein para resolver o impasse entre o eletromagnetismo e a mecânica newtoniana, alterando profundamente os pilares de sustentação da Mecânica Clássica. Discutiremos também as novas transformações de coordenadas de um SRI para outro SRI proposta por Lorentz, mas interpretada por Einstein num contexto inovador. O objetivo aqui é apresentar uma visão da ciência como um construto humano que pode mudar ao longo da história sendo construída pelas contribuições de muitos cientistas. Neste capítulo será ainda apresentado o princípio da equivalência massa energia, a relação E = mc 2, ao qual Einstein deu uma interpretação mais geral. 2.2 Algumas questões à procura de resposta. Foram realizadas quatro atividades: a) O comportamento de partículas em altas velocidades; b) O comportamento dos mésons µ; b) A massa e a energia no átomo e d) Tentando compreender a luz. Todas essas atividades explicitaram alguns aspectos do comportamento da natureza que não podem ser compreendidos a partir dos conceitos da Mecânica Clássica. Desses fatos o comportamento dos elétrons em altas velocidades e o comportamento da luz já era bastante discutido antes de Einstein apresentar sua teoria de relatividade especial em Os outros dois surgiram depois da TRE, como ficou claro nas atividades, e vieram reforçar a validade dessa teoria. Nesse contexto, elas estão sendo utilizados como um recurso didático para facilitar a aprendizagem da TER ajudando a compreender a evolução do conhecimento e a importância dessa teoria. a) O comportamento de partículas em altas velocidades Como resultado da atividade sobre o comportamento de elétrons em altas velocidades ficou claro que as leis da mecânica clássica não conseguem explicar os resultados obtidos no acelerador de partículas. A experiência mostrou que a relação para a energia cinética não deve ser da forma E c = ½ mv 2, pois a energia cinética pode crescer sem um valor limite (que depende das limitações do equipamento), mas a velocidade do elétron tem um valor limite da ordem de 3 x 10 8 m/s que é a velocidade da luz no vácuo. A pergunta que se faz é como podemos expressar a energia cinética da partícula para o caso de altas velocidades? Que mudanças serão necessárias?

151 151 O fato de haver uma velocidade limite para partícula nos leva a pensar que se deve fazer uma revisão nas regras pelas qual um dado movimento é descrito do ponto de vista de diferentes SRIs. Ou seja, não vale mais a combinação de velocidades que é decorrente da TG. Essa atividade mostra que há um claro afastamento do comportamento newtoniano quando altas energias estão presentes e o corpo alcança velocidades próximas à velocidade da luz. b) O comportamento mésons mi Na análise da experiência de decaimento dos mésons µ ficou claro a diferença de comportamento de uma amostra de mésons mi quando essa amostra está em repouso em relação à Terra e quando essa amostra está movendo-se em direção à Terra com velocidade da ordem da velocidade da luz no vácuo. Através dessa experiência verificou-se que os mésons em movimento decaem muito menos do que quando em repouso, ou seja, o tempo para os mésons em movimento parece passar mais devagar. Para a Mecânica Clássica o tempo é considerado como absoluto e é o mesmo para qualquer referencial inercial. A teoria clássica não consegue descrever esse tipo de comportamento da natureza. c) A massa e a energia no átomo Nessa atividade observou-se na comparação do balanço das massas dos átomos antes e depois da reação de fusão nuclear encontra-se sempre uma pequena diferença entre elas. Como explicar essa diferença de massa? A hipótese é que haja uma relação entre essa diferença de massa e a energia liberada. Foi apresentada ainda uma outra situação intrigante que está relacionada com os átomos. Quando se considera isoladamente a massa das partículas que formam o dêuteron (ou outro átomo qualquer), com a massa do próprio dêuteron verifica-se que há uma diferença entre ambas. A soma das massas das partículas isoladas (próton + nêutron + elétron) é maior que a massa do dêuteron que é formado por um próton, um nêutron e um elétron. Como explicar essa diferença de massa? Qual a diferença entre as partículas isoladas e as partículas formando os átomos? Uma clara diferença é que no átomo temos as energias de ligação entre as partículas que são as que mantêm o átomo como uma estrutura estável (energia potencial elétrica entre o elétron e o núcleo e a energia nuclear). d) Tentando compreender a luz Uma questão importante na busca pela compreensão da luz foi a necessidade de se determinar o meio que daria suporte para a propagação da luz, o éter. A experiência mais famosa para se detectar o movimento da Terra através do éter foi a de Michelson e Morley. Segundo as idéias vigentes na época, a luz deveria ter velocidade c em relação ao éter e obedecer as transformações de Galileu. O éter seria um referencial absoluto em relação ao qual todos os outros SRIs estariam em movimento e nestes a velocidade da luz seria diferente de c. O resultado dessa experiência foi negativo apesar dela ter sido repetida muitas vezes. Não se detectou o movimento da Terra através do éter e nem a luz satisfazia a TG. Esse resultado levou a uma situação de impasse em relação à compreensão da luz, em relação à validade da TG e em relação à existência do éter. A experiência mostra que nunca ninguém encontrou um valor para a velocidade da luz no vácuo que fosse diferente de c! O resultado de todas as tentativas de se medir a velocidade da luz sempre chegaram ao mesmo resultado em torno de 3,0 x 10 8 m/s. Esse comportamento peculiar da luz não pode

152 152 ser descrito pelas leis da mecânica clássica e não vale, para a luz, a lei de composição de velocidades decorrentes da Transformação de Galileu. 2.3 A Evolução do Conhecimento Científico. O ano de 2005 foi considerado o Ano Mundial da Física. O objetivo foi chamar a atenção do público em geral para a importância e o impacto da Física no mundo contemporâneo. A escolha de 2005 coincide com o centenário da publicação dos primeiros trabalhos de Albert Einstein que revolucionaram a Física. As cinco contribuições que aparecem na revista alemã Annalen der Physik e foram coletadas em um livro 3, são: a) A Teoria da Relatividade Especial, b) A introdução do conceito de quantum de luz, c) A explicação do movimento browniano, d) A equivalência entre massa e energia, e) Um novo método de determinação de dimensões moleculares. A Sociedade Brasileira de Física, como parte das comemorações do Ano Mundial da Física, publicou uma edição especial da Revista Brasileira para o Ensino de Física prestando uma homenagem a Einstein. Nessa revista foram publicados quatro artigos 4 relacionados com o trabalho de Einstein e com os fatos que ocorreram antes do surgimento da TRE, mostrando assim, como ocorreu a evolução do conhecimento científico relacionado a ela. Nesta parte do texto vamos utilizar informações e dados que constam desses quatro artigos, pois consideramos que os autores são pessoas especializadas e as informações ali apresentadas são confiáveis se enquadrando no nosso objetivo que é mostrar um pouco da evolução do conhecimento em torno da TRE. Os textos estão apresentados em um nível de detalhes e em uma linguagem acima daquela que os alunos de nível médio possam compreender. Aqui vamos apresentar alguns fatos mais essenciais e em um nível mais acessível. Os filósofos da ciência são estudiosos que procuram construir modelos sobre como o conhecimento científico evolui ao longo do tempo. Existem várias correntes de pensamento, mas aqui vamos apresentar alguns aspectos da teoria proposta por Thomas Kuhn ( ), pois consideramos que essa teoria descreve bem a evolução do conhecimento que aconteceu com a passagem do modelo da Mecânica Clássica para a TRE. Convém lembrar que as teorias desenvolvidas pelos filósofos têm seus adeptos, mas também têm os seus opositores. O nosso objetivo aqui não é discutir a Filosofia da Ciência, mas apenas introduzir alguns aspectos que podem contribuir para organizar o pensamento relacionado com o desenvolvimento da TRE e ajudar a compreender a complexa natureza da Ciência. A idéia central do pensamento de Kuhn é que o conhecimento científico não cresce de modo cumulativo e contínuo, mas que é descontínuo e opera por saltos qualitativos. Tais saltos qualitativos ocorrem nos períodos de desenvolvimento científico, em que são questionados e postos em suspeita os princípios, as teorias, os conceitos básicos e as metodologias vigentes. O conjunto de todos esses princípios constitui o que Kuhn chama paradigma. O paradigma é, neste sentido, uma concepção de mundo que, pressupondo um modo de ver e de praticar, engloba um conjunto de teorias, instrumentos, conceitos e métodos de investigação. 3 J. Stachel (org). O Ano Miraculoso de Einstein: Cinco Artigos que Mudaram a Face da Física. (Ed. UFRJ, Rio de Janeiro 2001). 4 Rev. Bras. Ens. Fis.,vol. 27, n.1, 2005 presta uma homenagem a Einstein. Nessa revista foram publicados quatro artigos : 1. Stachel, John e tudo o mais; 2. Martins, Roberto de Andrade. A dinâmica relativística antes de Einstein; 3. Renn, Jurgen. A física de cabeça para baixo: como Einstein descobriu a teoria da relatividade especial; 4. Einstein, A. Sobre o princípio da relatividade e suas implicações)

153 Ainda segundo Kuhn, o desenvolvimento da ciência processa-se em duas fases, a fase da ciência normal e a fase da ciência revolucionária. A ciência normal é a ciência dos períodos em que o paradigma é unanimemente aceito, sem qualquer tipo de contestação, no seio da comunidade científica. O paradigma indica à comunidade o que é interessante investigar e como desenvolver essa investigação. Toda a investigação é realizada dentro e à luz do paradigma aceito pela comunidade científica. Neste caso as teorias dominantes que existiam antes da TRE era a Mecânica Clássica e a Teoria de Maxwell do Eletromagnetismo. As leis da mecânica vieram resolver muitos problemas existentes na época, pois chegou a ser considerada uma teoria perfeita se aplicando a todos os fenômenos da natureza. A Teoria de Gravitação Universal elaborada por Newton foi muito importante, pois uniu os fenômenos celestes com os terrestres, ou seja, as leis que se aplicavam aos movimentos dos corpos na superfície da Terra também podiam ser aplicadas para descrever os movimentos dos corpos celestes. O impacto do trabalho científico de Galileu e Newton foi realmente muito grande. Enquanto todos estavam convencidos de que os fenômenos da natureza poderiam ser representados com auxílio da Mecânica Clássica, a sua validade e a do princípio da relatividade de Galileu nunca foram postas em dúvida. A teoria de Maxwell que mostrou a existência de ondas eletromagnéticas, fortaleceu a idéia do éter e unificou a ótica e o eletromagnetismo. Em torno do ano de 1900 havia uma sensação de que a Física estava completa com as teorias da mecânica e do eletromagnetismo. Nesse contexto houve uma resistência muito grande à mudança em relação aos princípios da mecânica newtoniana. Um princípio básico sobre o conhecimento científico é que ele se mantém enquanto consegue explicar os diversos fenômenos da natureza, pois os modelos construídos pelos cientistas têm um objetivo de descrever a natureza e é através desses modelos que se pode fazer projetos para um melhor desenvolvimento tecnológico. O período da ciência normal, não é feito só de êxitos, pois se assim fosse, não teríamos o surgimento de novas teorias, isto é, mudança de paradigmas. Ao longo do tempo pode acontecer que um problema não tenha solução utilizando o paradigma em vigor, isto é, a comunidade científica não consegue explicar algum fato ou fenômeno da natureza tendo como referência o conhecimento disponível. Se o número de questões não resolvidas for crescendo e vai surgindo uma insatisfação em relação ao paradigma. Pelo fato de as teorias em vigor não conseguirem explicar todos os problemas que vão surgindo, começa-se a pensar em novas idéias que podem levar a um novo paradigma. Com isso o novo paradigma começa a se estabelecer na comunidade científica. Esse processo em que ele surge e se impõe constitui o período de revolução científica. O novo paradigma irá redefinir os problemas até então insolúveis, dando-lhes uma solução convincente, e é neste sentido que ele se vai impondo junto da comunidade científica. Essa substituição não ocorre de um modo rápido; o período de crise, caracterizado pela transição de um paradigma a outro, pode ser bastante longo devido à resistência à mudança manifestada pelos cientistas. O tempo que será necessário para o novo paradigma se impor é imprevisível, mas, uma vez imposto, ele passa a ser aceito e as gerações futuras de cientistas são treinadas para aceitá-lo. Da fase da ciência revolucionária passa-se de novo à fase da ciência normal. Voltando ao caso da relação entre a Mecânica Clássica, a teoria do eletromagnetismo e a TRE, sabe-se que, historicamente, os problemas com a Mecânica Clássica começaram a surgir quando Newton tentou aplicar os princípios dessa teoria para compreender o que é a luz e como ela se comporta. Como já foi colocado na atividade Tentando compreender a luz, Newton propôs um modelo corpuscular para a luz enquanto Huygens propôs um modelo ondulatório. O modelo de Newton explicava a lei de refração de Snell - Descartes (Willibrod Snell ( ) e René Descartes ( )), que já era bem conhecida desde 1621, 153

154 assumindo que os corpúsculos de luz aumentavam a velocidade ao passar de um meio com um menor índice de refração para um meio com maior índice de refração. Essa idéia foi derrubada quando Jean Bernard Léon Foucault ( ) e Armand Fizeau ( ). Estes dois físicos franceses demonstraram, em 1849, que a luz diminui de velocidade, como o predito pela rival teoria ondulatória da luz (v = c/n onde v é a velocidade da luz no meio material, c é a velocidade da luz no vácuo e n é o índice de refração do meio você já deve ter aprendido isso). Dessa forma o modelo ondulatório acabou prevalecendo em torno de Com o confronto entre o modelo corpuscular e o ondulatório começou o período de revolução científica que levou à mudança do paradigma da Mecânica Clássica. Esse período foi bastante longo, pois somente em 1905, com a formulação da TRE, foram estabelecidos os novos conceitos de espaço e tempo relativos, derrubando os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos. Isso desencadeou uma série de outras conseqüências. A seguir vamos mostrar alguns dos conflitos que aconteceram até chegar à mudança de paradigma. Prevalecendo o modelo ondulatório, isto é, a luz como uma onda, a questão seguinte foi saber qual era o meio em que a luz se propagava uma vez que todas as ondas conhecidas precisavam de um meio para a sua propagação. A luz começou a ser considerada como vibrações de uma substância especial, a qual se chamou éter luminífero cujas propriedades já foram apresentadas. A interpretação da luz como onda se firmou como o modelo mais adequado por volta de 1864 com a teoria do eletromagnetismo formulada por James Clerk Maxwell ( ). Maxwell mostrou que a luz pode ser interpretada como um movimento ondulatório dos campos elétrico e magnético, obedecendo ao que hoje chamamos de Equações de Maxwell (embora essas equações tenham sido obtidas por outros cientistas) para esses campos. Portanto, além de reforçar o modelo ondulatório, Maxwell com a sua teoria identificou as propriedades dessa onda eletromagnética. Em sua teoria Maxwell considerou a existência do éter e que era através desse meio que as interações entre as cargas ocorriam. Ele não acreditava que as forças eletromagnéticas pudessem ser produzidas diretamente à distância e adotou a idéia da existência de linhas de força afirmando que as ações elétricas seriam um fenômeno de tensão do meio (éter). Nessa época, praticamente todos os físicos aceitavam que a luz era uma onda eletromagnética que se propagava no éter e que a teoria de Maxwell descrevia corretamente todos os fenômenos eletromagnéticos conhecidos. O resultado negativo da experiência de MM foi tão inesperado que muitas pessoas, incluindo o físico holandês Hendrik Antoon Lorentz ( ), fizeram grandes esforços para tentar explicá-lo. A tendência dessas explicações era manter a teoria do éter, a mecânica clássica e a Transformação de Galileu. Uma das mais inesperadas explicações foi apresentada por Lorentz e pelo físico irlandês George Francis Fitzgerald ( ). Para poder obter esse resultado teoricamente, Lorentz, em 1892, introduziu uma nova transformação de coordenada espacial e temporal de um SRI para outro SRI em movimento relativo (será apresentada na próxima seção). Ele interpretou o resultado nulo da experiência de MM como sendo devido à uma contração real dos corpos rígidos, dinamicamente induzida, na direção de seus movimentos através do éter, devido a forças eletromagnéticas exercidas nas partículas que compõem o corpo. O fator de contração é exatamente a razão entre os tempos paralelo e perpendicular que surgiu no cálculo teórico para a experiência de MM. Quando, em 1894, Lorentz tomou conhecimento da proposta de contração apresentada por Fitzgerald, escreveu para ele. Fitzgerald ficou satisfeito que Lorentz tivesse chegado a uma conclusão semelhante. Eles adotaram um ponto de vista segundo o qual existe um mecanismo físico que comprime as moléculas do corpo umas contra as outras na direção paralela ao movimento, ao se deslocar em relação ao éter. A expressão matemática obtida 154

155 155 por Lorentz e Fitzgerald é hoje conhecida como a contração de Lorentz-Fitzgerald (mas com um significado bem diferente dentro da teoria de Einstein) e é dada por 1 L = L 0 / γ com γ = (1) 2 V 1 2 c Em que L 0 é o comprimento do objeto na direção de seu movimento quando medido por alguém que está em repouso em relação a ele (no caso da experiência de MM o referencial onde o equipamento está em repouso é a Terra), denominado comprimento próprio L 0 do objeto; L é o comprimento do objeto medido em um referencial em relação ao qual o objeto se move com velocidade V = 30 km/s (no caso da experiência de MM o referencial em relação ao qual o equipamento está em movimento é o éter, pois o equipamento está fixo na Terra), e c é a velocidade da luz. A Figura 1 ilustra esse fato de uma forma mais simples. L 0 V Terra (a) Terra Figura 1 - Parte (a) mostra um corpo em repouso em relação a Terra (V = 0) : alguém fixo na Terra mede o comprimento próprio L 0. Parte (b) mostra o mesmo corpo movendo-se com velocidade V em relação à Terra: a medida de seu comprimento feita a partir da Terra é menor com valor L = L 0 / γ. Qual a medida do corpo por alguém que está em movimento junto com ele com a mesma velocidade V em relação à Terra? Essa tentativa de salvar a existência do éter veio complicar a mecânica clássica e a TG, pois segundo o princípio da relatividade de Galileu deveria ser possível detectar o movimento da Terra através do éter medindo-se a diferença de tempo entre os dois percursos. Como colocado até aqui, o período de crise da mecânica newtoniana foi bastante longo e com vários problemas não explicados. Dois cientistas, Lorentz e Poincaré estiveram muito próximos de estabelecer uma nova teoria, mas não conseguiram formular uma teoria consistente. Poincaré ( ) não conseguiu abandonar a teoria do éter, mas ele acreditava firmemente no princípio da relatividade e na impossibilidade fundamental de detectar o movimento absoluto por meio de observações óticas. Em 1904 Poincaré publicou um artigo tratando, entre outros assuntos, de tópicos relativísticos: a) aceitava a existência do éter e que ele não podia ser detectado, mas considerava esse conceito útil, pois permitia compreender os fenômenos de ação à distância e de propagação da luz; b) formulação matemática da transformação de coordenadas do espaço e do tempo; c) a contração de Lorentz onde acrescentou ao trabalho de Lorentz uma formulação matemática; d) o aumento da massa com a velocidade; (b)

156 156 e) o fato de c ser uma velocidade limite na dinâmica e, chegou a afirmar que era necessário construir uma nova mecânica, onde a velocidade da luz no vácuo seria um limite para as velocidades, mas que não sabia como fazê-lo. De certa maneira Lorentz e Poincaré chegaram próximo de descobrir a estrutura formal da relatividade, mas não conseguiram formular uma teoria consistente integrando a mecânica e o eletromagnetismo. Outros fatos importantes foram; A relação massa-energia: em 1900, Henri Poincaré já havia mostrado que um pulso eletromagnético de energia E, deveria ter um momento linear p = E/c (teoria de Maxwell). Como a luz tem velocidade c no vácuo, e como o momento mecânico é dado por p = mv, é possível associar uma massa m = E/c 2 ao pulso de luz. A questão do tempo relativo: Lorentz introduziu a transformação do tempo absoluto de Newton para uma nova variável temporal, a qual é diferente para cada referencial inercial que se move através do éter. Como a relação entre o tempo absoluto e seu novo tempo variava de lugar para lugar, Lorentz o chamou de tempo local daquele referencial. Lorentz entendeu a transformação de um tempo absoluto para um tempo local como um artifício puramente matemático, útil para demonstrar certos resultados físicos. Mas Poincaré deu uma outra interpretação para o tempo local: é o tempo que os relógios em repouso em um referencial que se move através do éter marcariam, se fossem sincronizados usando sinais de luz, mas sem levar em consideração o movimento da referencial. Isso será retomado mais adiante ao se tratar da contribuição de Einstein, pois foi Einstein quem definiu de forma clara o conceito de tempo, afirmando que o tempo local de um referencial inercial é tão fisicamente significativo quando o de outro SRI, pois não há tempo absoluto com o qual os dois possam ser comparados. Variação da massa com o movimento: Em 1901 Walter Kaufmann ( ) mediu a razão e/m para os elétrons com velocidades entre 0,8c e 0,9c e encontrou que havia um claro aumento de massa inercial com a velocidade. Essa idéia de a massa variar com a velocidade não está de acordo com a interpretação de Einstein através da relação E = m c 2. Em função dos trabalhos realizados por Lorentz e por Poincaré muitos cientistas consideram que Einstein não merece a fama de ter sido o criador da TRE. O físico brasileiro César Lattes, por exemplo, dizia que Einstein ficou famoso por uma teoria que foi formulada por Lorentz e Poincaré. O livro O plágio de Einstein 5 refere-se à possibilidade de que o cientista alemão possa ter plagiado Olinto de Pretto, um desconhecido industrial e cientista amador italiano. Na verdade, quase todas as previsões científicas da teoria de Einstein já estavam lá nos artigos publicados antes de Entretanto, a grande maioria da comunidade científica atribui a Einstein os méritos pela criação da TRE. Coube a Einstein estabelecer um novo paradigma de forma simples e consistente. As teorias, embora apresentem resultados e várias expressões iguais são bastante diferentes em sua fundamentação. O fato é que em seu artigo de 1905, Einstein não mencionou nenhum trabalho anterior ao seu, dando a entender que construiu a Teoria da Relatividade Especial apenas a partir de seus estudos A Contribuição de Einstein existiam: Quando Einstein publicou o seu primeiro trabalho sobre relatividade já 5 SANTOS, Carlos Alberto. O Plágio de Einstein, série narrativas, WS Editora, Porto Alegre, 2004.

157 157 a) O princípio da relatividade; b) As transformações de Lorentz para o espaço e o tempo; c) A maior parte da dinâmica relativística. (relação entre massa e energia em alguns casos específicos e sem formulação geral). Como vimos acima esses resultados não foram obtidos por trabalho de uma única pessoa e nem de forma rápida. Foram construídos gradualmente por um conjunto de pesquisadores (principalmente Lorentz e Poincaré), mas há muitos outros que contribuíram de alguma maneira para a criação da teoria relativística. O que Einstein introduziu de novo em seu artigo de 1905? Em seu trabalho já citado anteriormente, Roberto Martins afirma que há três novidades no trabalho de Einstein: Estruturação da teoria da relatividade de um modo muito mais simples que os trabalhos de Lorentz e Poincaré Einstein deduziu os resultados básicos (a cinemática relativística) a partir de dois postulados: o princípio da relatividade ampliado e o princípio da constância da velocidade da luz no vácuo. Einstein mostrou que todas as deduções se tornavam muito mais simples se esses postulados fossem assumidos como ponto de partida básico. Através desses postulados surge automaticamente a condição de o espaço e o tempo serem grandezas físicas relativas em contradição com o caráter absoluto que tinha na teoria de Newton. Propôs a relação E = m c 2 como uma relação geral de sua teoria Essa relação já era conhecida para casos específicos. Einstein não provou que essa relação era geral, apenas a deduziu em um caso particular e depois propôs que fosse aplicada a todos os casos. Essa equação embora seja simples na sua forma a sua compreensão não é como será visto adiante. Einstein ignorou a existência do éter alegou que a Física apenas deveria lidar com aquilo que pode ser observado e medido. Aceitar ou não o éter não era uma questão científica, pois não podia ser decidida por experimentos, ou seja, nenhum experimento provou que o éter existia ou que ele não existia. Einstein simplesmente desenvolveu a sua teoria sem se preocupar com a existência do éter, mas apenas considerou que o espaço tem a propriedade física de transmitir ondas. Ele considerou a luz como onda eletromagnética, tendo um comportamento especial, isto é, a velocidade da luz no vácuo é c em qualquer referencial inercial. Para Einstein as noções de realmente em repouso e de realmente em movimento são sem sentido, visto que: somente o movimento relativo de dois ou mais objetos tem realidade, isto é, todo corpo se movimenta somente em relação a outro corpo de referência. Vamos explorar um pouco mais os postulados fundamentais a partir dos quais foram deduzidas as expressões para a mecânica relativística. Postulado 1 o princípio da relatividade: Todas as leis da natureza são a mesmas em todos os sistemas de referência inerciais que se movem com velocidade relativa uniforme. Todos os SRIs são equivalentes. O princípio da relatividade elaborado por Galileu-Newton valia apenas para as leis da mecânica e não para as leis do Eletromagnetismo. As transformações de Lorentz valiam para o eletromagnetismo e não para a Mecânica de Newton. Para Einstein, as leis da natureza determinam a igualdade total dos sistemas inerciais de referência em relação não só à mecânica, mas também aos processos eletromagnéticos. O caráter universal do princípio de relatividade garante que todas as leis da Física são válidas da mesma forma e têm os mesmos efeitos em situações de repouso ou movimento constante em linha reta. Ao admitir esse postulado Einstein partiu do pressuposto que as Transformações de Galileu, bem como as

158 158 leis da Mecânica, não são corretas e que são corretas as equações do Eletromagnetismo e as transformações de Lorentz. O princípio unitário defendido por Einstein indicava que deveria haver apenas uma transformação para determinar a equivalência de todos os SRIs. Einstein entendeu que a Mecânica Clássica tinha que ser adaptada no que fosse necessário, para também satisfazer a Transformação de Lorentz. Dessa adaptação surgiu a TRE. Postulado 2 constância da velocidade da luz: a velocidade da luz no vácuo é constante em todas as direções e em todos os referenciais inerciais não importando o movimento da fonte ou do receptor da luz. Esse postulado, por si só estabelece que a TG não se aplica para a luz. O segundo postulado afirma que a medida da velocidade da luz é sempre c em relação a qualquer referencial inercial! Não é estranho? Sim, esse postulado incomoda porque fere o senso comum. Com efeito, ele afirma que todos medem sempre c independente da velocidade da fonte ou da velocidade de quem mede. Aqui temos a resposta para a pergunta de Einstein se alguém poderia mover-se lado a lado com um pulso de luz. Isso simplesmente não é possível porque a luz sempre tem velocidade c em relação a qualquer referencial inercial. A partir desses postulados foi possível deduzir as Transformações de Lorentz, chegar a todos os resultados de Poincaré, Lorentz e Fitzgerald. Embora deduzidas por Einstein as transformações de coordenadas de um sistema inercial para outro continuam recebendo o nome de Transformações de Lorentz. 2.5 A Teoria de Einstein e a Transformação de Lorentz Decorrente do primeiro postulado da TRE segue imediatamente a seguinte pergunta: Como relacionar as medidas feitas em um referencial inercial com as medidas feitas em outro referencial inercial? A resposta a essa pergunta foi obtida por Einstein a partir de seus dois postulados. A demonstração desses resultados exige cálculos que estão acima do nível do que consideramos razoável para o ensino médio. O resultado encontrado é o mesmo proposto por Lorentz e Fitzgerald e Poincaré, mas Einstein obteve essas transformações a partir de uma teoria consistente. Para compreender o significado da Transformação de Lorentz consideremos dois referenciais inerciais S e S cujas origens estão coincidindo em t = t = 0.

159 159 R S ( 0,0,0,0) V ρ z z S ( 0,0,0,0) R y y x x Figura 2 Dois SRIs com velocidade relativa V constante. Os relógios de S e de S são sempre ajustados para marcar t = t = 0 em (x, y, z) = (x, y, z ) = (0 0,0). Podemos considerar dois casos como já feito anteriormente para a Transformação de Galileu. Caso 1 - o referencial S está se movendo em linha reta com velocidade V em relação a S. Neste caso um observador em S vê o referencial S se afastar com velocidade V. A grande diferença é que agora há um conjunto de relógios para cada SRI que vai marcar o tempo no respectivo sistema. A condição única é que em (x, y, z) = (x, y, z ) = (0,0,0) os relógios estejam marcando t = t = 0. Consideremos que depois de certo tempo t ocorre um evento no ponto (x, 0, 0) conforme medido no referencial S. S z V z Vt S R y R x y x x (x,0,0,t) Figura 3 - Temos dois referenciais S e S que são inerciais. Depois que as origens coincidem, S vê S se afastar com velocidade relativa V constante. Após certo intervalo de tempo t = t ocorre um evento na posição (x, 0,0) de S.

160 160 Para alguém em S esse evento ocorreu na posição (x, 0,0) e no instante t. Qual a relação entre x e x e entre t e t? A resposta a essa pergunta é dada pela transformação de Lorentz. Aqui a visualização da resposta não é possível como ocorreu com a TG. A coluna esquerda do Quadro I mostra a resposta a essa pergunta. A diferença entre a Transformação de Galileu e a Transformação de Lorentz é o fator γ que apareceu na explicação de Lorentz e Fitzgerald para o resultado da experiência de Michelson e Morley. Outra diferença é o tempo que não é mais absoluto e que cada relógio marca um tempo de acordo com o seu referencial. Quadro I As Transformações de Lorentz entre dois referenciais inerciais S e S quando o movimento relativo ocorre ao longo da direção x. Como calcular x e t em S quando conhecemos x e t em S (note que para o referencial S é o referencial S que se move com velocidade V) ' x x V t = ( x V t) 2 V 1 2 c Como calcular x e t em S quando conhecemos x e t em S (note que para o referencial S é o referencial S que se move com velocidade V) = γ x = ' ' x + V t ' ' = γ ( x + V t ) 2 V 1 2 c y ' = z ' = y z y = y z = z' ' V x t ' V x 2 ' V. x t + c 2 ' t = = γ ( t ) c ' V.x 2 2 t = = γ ( t + ) V c 2 2 c 1 V 2 1 c 2 c Caso 2 - o referencial S está se movendo em linha reta com velocidade - V em relação a S. Aqui um observador em S vê o referencial S se afastar com velocidade -V. Há um conjunto de relógios para cada SRI que vai marcar o tempo no respectivo sistema. A condição única é sempre que em (x, y, z) = (x, y, z ) = (0,0,0) os relógios estejam marcando t = t = 0. Consideremos que depois de certo tempo t ocorre um evento no ponto (x, 0, 0) conforme medido no referencial S. Para o sistema S o evento ocorreu em (x, 0, 0) e no instante t. Qual a relação entre x e x e entre t e t? A resposta a essa pergunta é dada pela transformação de Lorentz que está na coluna direita do Quadro I. Pelo princípio da relatividade em que todos os SRI são equivalentes e a forma das relações deve ser a mesma. Para se obter as relações de S para S basta trocar V por V e x x e t t. '

161 161 z R z S Vt y R x y x x (x, 0, 0, t ) Figura 4 - Temos dois referenciais S e S que são inerciais. Depois que as origens coincidem e S vê S se afastar com velocidade relativa V constante. Após certo intervalo de tempo t = t ocorre um evento na posição (x, 0,0) de S. 2.6 A Relação Massa - Energia Com certeza a relação E = mc 2 está entre as equações mais famosas da Física. Tendo se tornado tão conhecida, ela se constitui como ponto obrigatório no estudo da TRE. As teorias físicas consistem em um conjunto de leis descritas por equações matemáticas acompanhadas de uma interpretação. Com o transcorrer do tempo a interpretação pode se modificar à medida que a compreensão do seu conteúdo vai sendo expandida. A equação E = mc 2 fornece um bom exemplo de como o significado dos conceitos em Física está sujeito a um processo evolutivo. Como já vimos a Física Clássica apresenta duas leis de conservação: energia e massa. Em 1905, ano em que enunciou a TRE, Einstein publicou cinco artigos dois dos quais relacionados diretamente com a TRE. São eles: a) Uma nova determinação das dimensões moleculares; b) Sobre o movimento de pequenas partículas em suspensão dentro de líquidos em repouso, tal como exigido pela teoria cinético-molecular de calor; c) Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento; d) A inércia de um corpo depende de seu conteúdo de energia? e) Sobre um ponto de vista heurístico a respeito da produção e transformação da luz. Com o artigo A inércia de um corpo depende de seu conteúdo de energia?, Einstein deu mais um passo na compreensão dos conceitos de massa e de energia em que concluiu que massa e energia estão intimamente relacionadas. Assim, se um corpo emite energia E na forma de radiação, sua massa diminui de E/c 2. Mais tarde ele mesmo generalizou essa afirmação concluindo que a massa de um corpo é uma medida do seu conteúdo energético; se a energia de um corpo em repouso sofrer uma variação igual a E, a sua massa sofrerá, no mesmo sentido uma variação igual a E/c 2. Esse resultado pode ser obtido através de uma experiência de pensamento experiência que não dá para realizar que foi publicada em um artigo em (hoje se

162 162 considera que essa experiência de pensamento apresenta inconsistência 6, pois nela admite-se uma velocidade infinita para propagação de uma informação, o que está em contradição com o valor c para o limite de velocidade, entretanto experiências similares mais elaboradas apresentam o mesmo resultado). Aqui vamos utilizar a noção de conservação da quantidade de momento linear (em um sistema isolado de forças externas o momento linear é sempre constante) e de centro de massa (em um sistema isolado o centro de massa não muda de lugar). A experiência imaginada por Einstein consistia em uma caixa isolada de massa M como mostra a Figura 5 tendo em sua parte interna uma fonte de luz que pode emitir um pulso de luz de energia luminosa E. A caixa e a luz constituem um sistema fechado e isolado que não interage com o exterior. Pela teoria de Maxwell a luz transporta momento linear p = E/c. Isso significa que ao ser emitida, a luz leva certo momento linear p. A caixa então adquire um momento linear ( p) para que a lei de conservação do momento linear seja obedecida. Considere que a caixa de massa (M-m) recua com velocidade v ao emitir a luz e que à luz emitida possa se associar uma massa m que se propaga com velocidade c. L/2 L/2 CM (a) V Luz C CM (b) X CM CM (c) Figura 5: A caixa de Einstein uma experiência de pensamento na qual uma caixa recua em relação à sua posição inicial (a) para a posição final (c) como resultado da emissão de um pulso de luz (energia na forma de radiação) que vai de uma extremidade à outra da caixa. A caixa volta ao repouso quando a luz é absorvida pela outra extremidade. A parte b da figura mostra a luz em trânsito. Considerando a lei de conservação do momento linear podemos escrever: Q i = 0 (a caixa está parada sem emitir luz) (Fig. 5a) Q d = 0 (houve emissão de luz e ela está em trânsito) (Fig. 5b) X 6 Uma conseqüência particular do limite físico c para a velocidade é que o conceito clássico de um corpo rígido ideal não existe para a relatividade especial. Por um corpo rígido entendemos como sendo um objeto ao longo do qual a informação pode ser transmitida em um tempo arbitrariamente curto, tal que o objeto é colocado em movimento instantaneamente, como um todo, quando uma força é aplicada em qualquer ponto dele. Para uma caixa usual a informação que sai de uma extremidade é transmitida como uma onda elástica cuja velocidade é bem inferior a c. Portanto o argumento de Einstein em sua forma original não pode ser mantido. Outras experiências mais elaboradas apresentam o mesmo resultado.

163 163 Q f = 0 (a caixa volta ao repouso quando o pulso de luz é absorvido pela outra extremidade da caixa (Fig 5c)). Enquanto a luz está em trânsito temos (considerando m a massa equivalente atribuída à luz): Momento linear devido ao recuo da caixa (M-m) v Momento linear da luz E/c Pela lei de conservação do momento linear: (M m) v = E/c ou v = E/c(M-m) (2) Depois de viajar livremente com velocidade c a luz chega à outra extremidade da caixa após certo tempo t. Nesse mesmo tempo t a caixa, que adquiriu a velocidade v, recua uma distância x no sentido negativo (ver Figura c). Assim a caixa percorreu a distância x = v t e a luz percorreu a distância L x = ct. Dessas relações temos que x / (L-x) = v/c (3) Substituindo (2) em (3) temos que x / (L-x) = E / c 2 (M-m) (4) Agora devemos verificar a condição de o centro de massa (CM) não se movimentar. Para que o CM fique na mesma posição o produto da massa da caixa (M-m) pela distância x que a caixa se movimentou, deve ser igual ao produto da massa m atribuída à luz pela distância (L-x) percorrida pela luz (isso é análogo a uma balança de braços). Assim temos Igualando (4) e (5) obtemos a expressão E = mc 2. m(l-x) = (M-m)x ou x / (L-x) = m/ (M m) (5) Esse resultado foi obtido utilizando-se a lei de conservação do momento linear e a condição do CM não se deslocar pois o processo de emissão e absorção da luz ocorreu internamente à caixa. Nessa dedução apresentada por Einstein, quando a radiação é emitida em uma extremidade há um decréscimo de E/c 2 em sua massa inercial (equivalência massa-energia). Da mesma forma, a absorção da radiação na outra extremidade significa uma adição de E/c 2 em sua massa inercial. Uma vez que a energia foi absorvida, ela perde a sua identificação como energia dos fótons e se adiciona à energia térmica. Assim temos que a energia em qualquer de suas formas tem o seu equivalente em massa definido por E/c 2. Não é correto dizer que a luz (fótons) tem massa, mas devemos falar em equivalência massa energia, ou seja, massa e energia passam a ser conceitos equivalentes. A fórmula de Einstein E 0 = mc 2 é freqüentemente interpretada como significando que massa e energia podem ser convertidas uma na outra, ou seja, que uma parte da massa de um corpo pode desaparecer se no processo surgir certa quantidade de energia. Não existe conversão de massa em energia, mas apenas a equivalência. Assim massa continua sendo massa e energia continua sendo energia. O caráter geral da equivalência massa energia pode ser analisado considerando os átomos neutros em um bloco de material. O átomo como conhecemos hoje é formado por elétrons, nêutrons, prótons e outras partículas organizadas de forma complexa. A massa do átomo como um todo contém, além das partículas, contribuições positivas da energia cinética do movimento das partículas que constituem o átomo, contribuições positivas e negativas da energia potencial das interações elétricas e nucleares. Qualquer variação no estado interno do

164 164 átomo é seguida por fluxo de energia para o átomo ou saindo dele ocorrendo um aumento ou decréscimo em sua massa. Para sistemas estáveis, como um núcleo atômico, por exemplo, em geral a energia total de ligação (negativa) suplanta em valor a energia cinética microscópica total (positiva), de tal forma que a energia interna resulta negativa e, portanto, a energia de repouso diminui de valor em relação à soma das energias de repouso dos constituintes se eles não estão ligados. No caso de um núcleo atômico com N núcleons, podemos expressar isso matematicamente como: E 0 = N m livre c 2 - E int erna = N m ligado c 2 (6) Portanto, a massa dos núcleons em um núcleo atômico estável é menor do que suas massas quando livres. É importante notar que a energia de movimento das partículas como um todo não deve ser considerada no cálculo de E 0. A energia de repouso não inclui a energia cinética translacional do corpo (energia cinética do centro de massa), pois em relação a um SRI o corpo (ou sistema composto) como um todo se encontra em repouso. Mas se deve incluir a energia interna do corpo, de forma que tanto as energias cinéticas de seus constituintes mais elementares, como também, suas energias potenciais de ligação entre pares desses constituintes estão contemplados em E 0. Exemplo1: Consideremos o núcleo do átomo de 120 Sn que possui 50 prótons e 70 nêutrons. Determine para esse núcleo: a) a energia de ligação entre os prótons e nêutrons; b) a energia por núcleon. Dados: m( 120 Sn) = 119,902199u; m p = 1,007825u; m n = 1,008665u. Fator de equivalência 931,5 Mev/u (cada unidade de massa atômica equivale a 931,5 Mev de energia). Solução: (a) A partir do princípio de equivalência massa-energia, da lei de conservação massa-energia, e introduzindo E L como a energia necessária para separar os prótons e nêutrons, podemos escrever: (massa-energia do núcleo) + E L = (massa-energia das partículas livres) m( 120 Sn) c 2 + E L = 50 m p c m n c 2 E L = (50 m p + 70 m n - m( 120 Sn)) c 2 = m c 2 E L = (50 (1,007825u) + 70 (1,008665u) - 119,902199u) c 2 = 1,095601u c 2 Portanto, como m = 1,095601u, podemos utilizar o fator de equivalência para obtermos que E L = m c 2 = (1,095601u x 931,5 Mev/u) = 1020,6 Mev. A diferença de massa, m = 1,095601u, está relacionada com a energia de ligação cujo valor determinado experimentalmente é E L = 1020,6 Mev. Considerando a relação de equivalência massa-energia temos que m c 2 é exatamente esse valor da energia de ligação. A energia fornecida foi para compensar a energia de ligação que é negativa e, assim deixar as partículas livres. Portanto se considerarmos individualmente a lei de conservação da massa e/ou a lei de conservação de energia não conseguiremos descrever o que está acontecendo. Deve ser compreendido que não se fala em conversão de massa em energia e vice-versa. Só

165 165 podemos descrever o que está acontecendo utilizando-se o princípio da equivalência massaenergia. b) A energia de ligação por núcleon é: E = E L /120 = 8,50 Mev/núcleon. Isso está de acordo com os resultados experimentais. Exemplo2: considere um núcleo de 236 U em seu estado fundamental. Quanto de energia é necessário para remover um nêutron desse núcleo deixando o núcleo 235 U? Dados: m( 236 U) = 236, u; m( 235 U) = 235, u; m n = 1, u Solução: A reação pode ser expressa como 236 U + E L = 235 U + n Considerando a equivalência massa-energia e a lei de conservação de massaenergia podemos escrever m( 236 U) c 2 + E L = m( 235 U) c 2 + m n c 2 E L = (m( 235 U) + m n - m( 236 U)) c 2 = m c 2 E L = (235,043924u + 1,008665u - 236,045563u) c 2 = 0,007026u c 2 Assim, a variação da massa do sistema quando se retira um nêutron é: m = 0,007026u. Utilizando-se o fator de conversão dado no exemplo 1, temos que E L = (0, u)(931,5 Mev/u) = 6,545 Mev. Esse resultado indica que essa energia tem que ser fornecida para retirar um nêutron do núcleo, isto é, essa é a energia de ligação do nêutron enquanto ele está dentro do núcleo 236 U. Ao fornecer essa energia ao sistema ele evolui de um estado inicial 236 U para um estado final 235 U + n. Essa energia veio compensar uma energia negativa que existia no 236 U e que mantinha o nêutron preso no núcleo. Como descrever o processo da fissão nuclear das usinas? A noção incorreta de que massa pode ser transformada em energia tem origem provavelmente nas descrições populares dos processos de fissão nuclear, em que é colocada ênfase no fato de que os fragmentos da fissão de um átomo de urânio têm massa total menor do que a massa do átomo de urânio original, enquanto surge uma considerável quantidade de energia liberado (como energia cinética dos fragmentos, energia da radiação eletromagnética, etc.). Mas de onde veio essa energia? Ela já estava presente como energia potencial no arranjo de prótons e nêutrons no núcleo do átomo de urânio antes da fissão. É esta energia potencial que diminuiu (aumenta em módulo) pelo rearranjo das partículas nos fragmentos mais estáveis da fissão. O exemplo que segue deverá tornar isso mais claro. Exemplo3: O processo de fissão do 235 U é um processo de grande importância prática. Uma reação possível de fracionamento desse átomo levando a produtos finais estáveis é a seguinte: 235 U + n 140 Ce + 94 Zr + 2 n Qual é a energia envolvida nessa reação de fissão? Dados: m( 235 U) = 235,043924u; m n = 1,008665u; m( 140 Ce) = 139,905433u; m( 94 Zr) = 93, u

166 166 Solução: Para efeito de análise essa reação pode ser escrita como 235 U 140 Ce + 94 Zr + n + energia (7) Considerando a equivalência massa-energia e a lei de conservação massaenergia e introduzindo E como a energia que se manifesta no processo de fracionamento, podemos escrever: m( 235 U) c 2 = m( 140 Ce) c 2 + m( 94 Zr) c 2 + m n c 2 + E E = (m( 235 U) (m( 140 Ce) + m( 94 Zr) + m n )) c 2 = m c 2 E = (235,043924u (139,905433u + 93,906315u + 1,008665u)) c 2 = 0,223511u c 2 Utilizando a relação de equivalência massa-energia temos E = m c 2 = (0,223511u) (931,5 Mev/u) = 208,2 Mev que é o resultado experimental para a energia que se manifesta nessa reação. Aqui também não devemos falar em conversão de massa energia. A energia que se manifesta já estava no 235 U e surge em função de um rearranjo estrutural. Isso pode ser compreendido considerando a equação (6), pois o número de partículas livres (prótons, nêutrons e elétrons) é o mesmo antes e depois da reação nuclear. Assim o que há é apenas a variação da energia interna em função do 235 U ter se fracionado em 140 Ce + 94 Zr + n. Assim, na relação (6), após cancelar as contribuições das partículas livres temos: E ( U) = E ( Ce) E ( Zr) + E ou E = E ( Ce) + E ( Zr) E ( U) i i i Dessa variação de energia, 80% está na forma de energia cinética dos dois fragmentos. Os outros 20% estão no nêutron e nos produtos do decaimento radioativo. Se o evento do decaimento radioativo ocorrer em um sólido, a maior parte da energia de desintegração aparece como um aumento na energia interna do sólido, causando um aumento na temperatura. Cerca de 5% da energia de desintegração, entretanto, está associada com neutrinos que deixam o sistema e não contribuem para o aumento na energia interna. O pósitron é uma partícula de mesma massa que o elétron, mas com carga elétrica positiva. Quando os pósitrons encontram elétrons na matéria observa-se um processo em que o elétron (e - ) e o pósitron (e + ) desaparecem e em seu lugar encontramos somente radiação eletromagnética. Podemos escrever e + + e - radiação (2 fótons). Considerando que as partículas estão em repouso e distantes para não ser necessário considerar a energia potencial de interação, pela lei de conservação de massa-energia e pela equivalência massaenergia temos (m e c 2 = 0,511 Mev): m(e + ) c 2 + m(e - ) c 2 = E γ + E γ ou 2 E γ = (m(e + ) + m(e - )) c 2 = 2x 0,511 Mev = 1,022 Mev que é o resultado experimental medido para esse evento. Aqui também se torna claro a necessidade da lei de conservação de massa-energia. Um outro fenômeno ao qual podemos aplicar a equivalência massa-energia e a lei de conservação massa-energia é o fenômeno da desintegração de um méson π 0 neutro em dois fótons na reação π 0 = γ + γ. O méson π 0 tem massa igual a 264,3 m e e os dois fótons γ têm energia 135 MeV. i i i

167 167 m(π 0 ) = (E γ + Eγ)/ c 2 ou m(π 0 ) c 2 = E γ + Eγ ou 2 Eγ = 264,3 m e c 2 = 135 Mev Existe alguma controvérsia em relação a se dizer que houve conversão de massa em energia e consideramos apenas que essa desintegração está de acordo com a relação de Einstein da equivalência entre massa e energia e que a lei de conservação de massa-energia é satisfeita. Vamos agora retomar a atividade três onde a reação de fusão no Sol libera a energia que torna possível a vida na Terra e mostrar como as idéias sobre a equivalência massa-energia se aplicam à essa reação. Como vimos uma das etapas de liberação de energia consiste na fusão de um próton com um dêuteron 2 1 D (átomo de 1 1 H contendo um próton e um 3 nêutron no núcleo) produzindo o 2 He e um fóton de radiação γ. Assim, Considerando a equação (6) podemos escrever 1 1 p D 2 He + γ m p c 2 + (m p + m n + m e ) c 2 D E i = (2m p + m n + m e ) c 2 He - E i + E γ E γ = He D E i - E i As partículas livres se cancelam ficando apenas as energias internas do dêuteron e do hélio. Considerando os átomos com um todo temos: m p c 2 + m(d)c 2 = m(he) c 2 + E γ ou E γ = (m p + m(d) - m(he)) c 2 = 0,098 x kg c 2 Assim, a diferença de massa entre as partículas antes e depois da fusão é m = 0,098 x kg. Essa diferença de massa equivale à energia do fóton da radiação γ. A energia do fóton é dada por E = mc 2 = 8,8 x J ou 5,5 MeV. Esse processo tem sido estudado em laboratório e a radiação com essa energia tem sido observada. A outra situação da atividade três foi o fato de a massa do próton + nêutron + elétron como partículas isoladas ser maior do que a massa do átomo de dêuteron (que é formado por um próton, por um nêutron e por um elétron). As partículas quando estão formando o átomo possuem energia (Energia cinética do elétron, energia potencial elétrica entre o elétron e o próton e a energia nuclear de ligação entre o próton e o nêutron). O valor total dessa energia é negativo. p + n + e 2 1 D + E L Utilizando a equivalência massa-energia m = E/c 2 podemos escrever: (m p + m n + m e ) c 2 = m ( 2 1 D ) c 2 + E L E L = ((m p + m n + m e ) - m ( 2 1 D )) c 2 = m c 2 E L = (1, 6726 x ,6749 x ,1094 x ,3432 x )kg x c 2 E L = 0,0052 x kg x (3x 10 8 m/s) 2 = 4,689 x J = 2,93 x 10 6 ev

168 168 E L = 2,93 MeV Como essa energia é de ligação e, portanto, é negativa a sua contribuição para a massa equivalente é negativa fazendo com que diminua a massa total. O processo de explosão de TNT (dinamite) é uma boa analogia com o processo de fissão do urânio. A energia produzida não aparece simplesmente por mágica: ela já estava presente anteriormente como energia potencial química na maneira como os átomos de carbono, nitrogênio, hidrogênio e oxigênio se arranjam para formar as moléculas de TNT. Quando estas moléculas se fragmentam e estes fragmentos se reorganizam em agrupamentos mais estáveis, parte desta energia potencial deixa de existir e em seu lugar aparece a energia cinética destes agrupamentos, que se movem originando a onda de choque da explosão. Embora a equação E 0 = mc 2 esteja de forma mais diretamente relacionada com transformações nucleares não se pode esquecer que qualquer variação E na energia própria de um corpo implica na correspondente variação m na sua massa inercial. Por exemplo, um corpo que está numa temperatura mais alta tem mais massa do que quando está numa temperatura mais baixa. Einstein considerou a descoberta dessa conexão entre massa e energia como sendo extremamente importante. Considerando suas próprias palavras 7 O resultado mais importante do caráter geral ao qual a teoria especial levou está relacionado com a concepção de massa. Antes do advento da relatividade, a física reconhecia duas leis de conservação de importância fundamental, isto é, a lei conservação da energia e a lei de conservação da massa; essas duas leis pareciam ser totalmente independentes. Por meio da teoria de relatividade elas foram unidas em uma lei. ( tradução do autor) 7 A. P. French. Special Relativity. Ed. Tomas Nelson and Sons Ltda. Hong Kong, 1977

169 169 Exercícios 1) Transformação de Lorentz para baixas velocidades: Considere dois referencias inerciais que estão com uma velocidade relativa entre si V = 30 km/s na direção x. Responda os itens a) e b) utilizando a TG e a TL e compare os resultados. a) Um evento ocorreu em t = 5,0 s e na posição x = (0,0,0). Em que posição e em que instante de tempo esse evento ocorreu para o referencial S? b) Um evento ocorreu na posição (- 30, 0, 0) no referencial S no instante t = 10 s. Em que posição e em que instante de tempo esse evento ocorreu para o referencial S? 2) A constância da velocidade da luz: Um sinal luminoso é emitido no espaço (em todas as direções) quando os sistemas de coordenadas S e S estão com as origens coincidentes, isto é, (x, y, z) = (x, y,z ) = (0,0,0) os relógios estão marcando t = t = 0. Para o referencial S o sinal luminoso se propaga segundo uma superfície esférica dada por x 2 + y 2 + z 2 = c t 2 (superfície esférica centrada em O e raio ct). Mostrar que no sistema S a frente de onda da luz é também uma superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = c t 2 (superfície esférica centrada em O ). 3) Transformação de Lorentz para altas velocidades: Um evento ocorre em x = 60 m, t = 8 x 10-8 s em um sistema de referência S com y = z = 0. O sistema S tem velocidade V = 3c/5 ao longo do eixo x em relação ao sistema S. As origens de S e S coincidem para t = t = 0. Quais são as coordenadas do espaço e tempo em S? 4) Transformação de Lorentz para altas velocidades: O sistema S tem velocidade V = 0,6c em relação a S. Os relógios são ajustados tal que x = x = 0 em t = t = 0. a) Um evento ocorre em S em t = 2 x 10-7 s e na coordenada x = 50 m. Em que instante esse evento ocorreu em S. b) Se um segundo evento ocorre em S em t = 3 x 10-7 s e na coordenada x = 10 m, qual é o intervalo de tempo medido em S? 5) Equivalência entre dois referenciais inerciais: Considere que os sistemas de coordenadas S e S estão com as origens coincidentes, isto é, (x, y, z) = (x, y, z ) = (0,0,0) os relógios estão marcando t = t = 0 e sua velocidade relativa é 0,6c na direção x. a) Um relógio na posição x = 0 em S marca 1,0 s. Quanto está marcando um relógio em S? B) Um relógio na posição x = 0 em S marca 1,0 s. Quanto está marcando um relógio em S? c) Compare as respostas a) e b) e comente. 6. A constância da velocidade da luz: (UFMG 2004)Observe esta figura: Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de uma plataforma espacial, com velocidade de 0,7c, em que c é a velocidade da luz. Para se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que

170 170 está na plataforma, envia um pulso luminoso em direção à nave. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio é de A) 0,7 c. B) 1,0 c. C) 0,3 c. D) 1,7 c. 7. O princípio da relatividade : Um pequeno carrinho possui um canhão em sua parte superior, como indica o desenho, e move-se para a direita com velocidade constante igual a 10 m/s. O canhão forma um ângulo de 60 o com a horizontal e lança um projétil com velocidade igual a 20 m/s. Para um observador parado sobre o plano horizontal o alcance do projétil, após 1 segundo, será: A) 82 m B) 70 m C) 35 m D) 30 m E) zero 8. Filosofia da ciência: Um grupo de cosmólogos publicou na revista britânica New Scientist, em 2004, uma carta aberta à população na qual critica a postura dos defensores do modelo cosmológico da grande explosão. Aqueles cientistas argumentam que atualmente, na cosmologia, não se tolera a dúvida e a discordância. Eles também criticam que essa postura totalitária faz com que as observações astrofísicas sejam interpretadas de modo enviesado. Assim, quando surgem dados observacionais discordantes daquele modelo, em vez de o colocarem em cheque, eles são ignorados ou ridicularizados pelos defensores do referido modelo. Com base nessas informações, conclui-se que esse grupo de cosmólogos está chamando a atenção para o fato de que A) a ciência lida com a realidade última, por isso os modelos não podem estar errados e correspondem a essa realidade. B) a ciência lida com modelos, os quais podem estar errados na interpretação da realidade, mesmo quando são aceitos por muitos cientistas. C) a pesquisa científica não comete erros ao interpretar a realidade, mesmo quando os cientistas estão em desacordo entre si sobre qual modelo é verdadeiro. D) a pesquisa científica é feita por cientistas imparciais e objetivos, os quais querem encontrar testes observacionais para mostrar que os modelos estão errados. 10. O exemplo básico da equivalência entre massa e energia, fundamental para a existência de vida na Terra, é o das reações termonucleares que ocorrem no Sol. As medidas feitas mostram que a energia que alcança a Terra é 1350 Watts/m 2. Determine de quanto a massa do Sol se reduz em função dessa emissão de energia devido às reações termonucleares. 11. (UFRN adaptado) Bastante envolvida com seus estudos para a prova do vestibular, Sílvia selecionou o seguinte texto sobre Teoria da Relatividade para mostrar à sua colega Tereza: À luz da Teoria da Relatividade Especial, as medidas de comprimento e tempo não são absolutas quando realizadas por observadores em referenciais inerciais diferentes. Conceitos inovadores como contração de Lorentz e dilatação temporal desafiam o senso comum. Um resultado dessa teoria é que as dimensões de um objeto são máximas quando medidas em repouso em relação ao observador. Quando o objeto se move com velocidade V, em relação ao observador, o resultado da medida de sua dimensão paralela à direção do movimento é

171 171 menor do que o valor obtido quando em repouso. As suas dimensões perpendiculares à direção do movimento, no entanto, não são afetadas. Depois de ler esse texto para Tereza, Sílvia pegou um cubo de lado L 0 que estava sobre a mesa e fez a seguinte questão para ela: Tendo como base as medidas feitas, como seria a forma desse cubo se ele estivesse se movendo, com velocidade relativística constante, conforme direção indicada na figura a seguir? 12. ( UFCE-2004) A figura ao lado mostra uma nave espacial em forma de cubo que se move no referencial S, ao longo do eixo x, com velocidade v = 0,8 c (c é a velocidade da luz no vácuo). O volume da nave, medido por um astronauta em repouso dentro dela, é Vo. Calcule o volume da nave medido por um observador em repouso no referencial S. 13. Filosofia da ciência: (UFRN 2006) Leia o seguinte fragmento de texto: MARTINS, Roberto de Andrade. O Universo: teorias sobre sua origem e evolução. São Paulo: Moderna, Do fragmento, pode-se concluir que

172 A) as concepções míticas, religiosas, filosóficas e históricas tiveram sua função, mas estão ultrapassadas e devem ser substituídas pelas concepções científicas. B) o estudo da origem e evolução do universo feito exclusivamente pela via científica é mais preciso porque a ciência é o melhor modo para se estudar a realidade. C) a compreensão do desenvolvimento do pensamento humano envolve, além das concepções científicas, concepções míticas e religiosas, história e filosofia. D) com o desenvolvimento da ciência, os outros modos de entender a evolução do universo passaram a contribuir apenas como fundamentação histórica. 172

173 173 ANEXO E 3 AS CONSEQÜÊNCIAS DA NOVA TEORIA

174 174 3 AS CONSEQÜÊNCIAS DA NOVA TEORIA Existe uma coisa que uma longa existência me ensinou: toda a nossa ciência, comparada à realidade, é primitiva e inocente; e portanto, é o que temos de mais precioso. Albert Eisntein A TRE surgiu para resolver os conflitos existentes entre o eletromagnetismo e a mecânica clássica. A nova transformação de coordenadas Transformação de Lorentz obtida a partir dos postulados veio substituir a TG. Pela TL o espaço e o tempo não são independentes e isso altera significativamente os conceitos newtonianos de comprimento, tempo, energia, quantidade de movimento. O que acontecerá com esses invariantes? Outros conceitos que também serão alterados são: a) Simultaneidade, pois dois eventos poderão ser simultâneos em um referencial e serem não simultâneos em outro referencial; b) A adição de velocidades surgindo uma velocidade limite que é a velocidade da luz. Como se modificam as chamadas Leis de Newton para o movimento de partículas de massa m? Veremos que a primeira lei não se altera, mas a segunda se modifica em função da alteração da expressão para a quantidade de movimento e que a terceira lei de Newton (o princípio da ação e reação), perde sua validade na TRE devido à imposição de um limite superior de velocidade de propagação. Foram grandes as alterações sobre os conceitos newtonianos, no entanto, quando as velocidades são pequenas, em comparação com a velocidade da luz, as correções relativísticas não são significativas. Verifica-se que para baixas velocidades as correções numéricas introduzidas pela TRE são pequenas em relação aos resultados clássicos. Mesmo para velocidades da ordem de c/10 para a qual o fator de correção relativístico é γ = 1,005, leva a uma correção da ordem de 0,5%. Isso estabelece o limite de validade da Mecânica Clássica. Entretanto quando v se aproxima de c, que é o que ocorre nos aceleradores de partículas, não podemos aplicar mais a Mecânica Clássica. As leis descobertas antes do aparecimento da Teoria da Relatividade Especial não devem ser rejeitadas, mas deve-se, sim, observar os limites para as quais elas são válidas. Embora os resultados numéricos sejam quase iguais no limite de baixas velocidades, não podemos deixar de considerar que se trata de duas teorias bastante distintas A Questão do Tempo A Relatividade da simultaneidade A crença na física clássica era que quando um determinado evento acontecia, ele ocorria num mesmo tempo para todos, isto é, um acontecimento, quando surgido no universo, era simultâneo para qualquer observador que conseguia registrá-lo. No mundo newtoniano de baixas velocidades, esse pensamento é fortemente respaldado pelo senso comum e pelas impressões diretas dos nossos sentidos. Como o ser humano percebe os eventos que estão acontecendo ao seu redor? Os acontecimentos da nossa vida, principalmente a análise de fenômenos celestes, são percebidos de que maneira? A informação da realidade física da vida humana transportada pelas ondas eletromagnéticas é percebida pelos olhos ou por equipamentos de medidas. Com base nesse aspecto, a noção de

175 175 eventos simultâneos é bem sólida, pelo fato do alto valor da propagação da velocidade da luz no vácuo ser aproximadamente km/s. Para uma velocidade dessa ordem de grandeza, as distâncias terrenas são percorridas em intervalos de tempo extremamente pequenos para os seres humanos dando uma falsa impressão de simultaneidade. Verifique quanto demora a luz para percorrer a distância entre Natal e Parnamirim, cerca de 10 km. Qual a diferença de tempo entre alguém que vê a luz de um evento que ocorre em Natal (está próximo do evento) e uma outra pessoa que está em Parnamirim? Podemos dizer que o acender da luz para essas duas pessoas são eventos simultâneos? Veremos que não. A impressão sensorial diz que sim, mas os registros informam que não. Para discutir o conceito de simultaneidade precisamos fazer a determinação da relação temporal entre dois eventos, isto é, buscar uma forma de medir o intervalo de tempo entre dois acontecimentos. Quando podemos dizer que dois acontecimentos são simultâneos? Para podermos definir se dois eventos são simultâneos nós devemos sincronizar os dois relógios através dos quais medimos os tempos entre os dois eventos. Por sua vez, relógios sincronizados são relógios que marcam o tempo simultaneamente. Para sincronizar relógios, para dois observadores que estão em repouso, um em relação ao outro, devemos proceder como mostra a Figura 1. L L A B Figura 1 - Sincronização de dois relógios. A fonte de luz está à meia distância entre os dois relógios. Os relógios A e B são automaticamente ajustados para t = 0 no instante em que eles registram a chegada do sinal luminoso emitido pela fonte de luz que foi ligada. Nesse caso consideramos que a velocidade da luz é c em relação a ambos observadores, importando somente a condição da velocidade relativa entre os relógios seja zero. Se dessa maneira podemos sincronizar qualquer par de relógios, é possível sincronizar vários relógios colocados em todos os pontos de um dado referencial inercial (Figura 2). Em cada referencial inercial todos os relógios colocados ao longo do referencial marcam o mesmo tempo. O X 1 X 2 X 3 Figura 2 referencial S com vários relógios sincronizados, em várias posições diferentes, todos marcando o mesmo tempo. Uma melhor compreensão da simultaneidade pode ser obtida sem recorrer a matemática com o seguinte exemplo: Considere uma nave espacial que se move com uma grande velocidade constante v em relação à plataforma. O 1 é um observador localizado no

176 176 centro da nave e O 2 é um observador externo, localizado no centro da plataforma. Cada observador tem dois telefones celulares, um C A e um C B, junto aos seus ouvidos. A e B são fontes de radiação eletromagnética localizadas na extremidade da plataforma. A Figura 3 representa a situação. Figura 3 Fontes emitindo ondas eletromagnéticas para celulares em diferentes referenciais inerciais. O que ocorrerá em relação à recepção dos celulares quando são emitidos simultaneamente um sinal do ponto A da plataforma, na freqüência de recepção dos celulares C A, e outro sinal do ponto B da plataforma, na freqüência de recepção dos celulares C B? Os celulares tocaram simultaneamente? Existe algum celular que tocará primeiro? Os celulares C A e C B da plataforma tocaram simultaneamente devido ao fato que as ondas percorreram a mesma distância para chegar aos dois. Na nave a situação é diferente. As ondas eletromagnéticas emitidas viajam com a mesma velocidade c, entretanto, os celulares dentro da nave estão em movimento. Nesse aspecto, a onda emitida pela fonte A atingirá o celular C A depois, uma vez que este se afasta da fonte, isto é, a onda emitida pela fonte A percorrerá uma distancia maior para atingir esse celular. Tal efeito ocorre contrariamente no celular C B da nave, ou seja, a onda emitida por B percorrerá uma distancia menor uma vez que o celular C B se movimenta no sentido da fonte B. Em resumo, os eventos no referencial da nave que está em movimento em relação à plataforma - não são simultâneos e o celular C B toca primeiro do que o celular C A. Com o avanço da tecnologia, o fenômeno da não simultaneidade aparece com mais freqüência no cotidiano, como por exemplo, nas transmissões de televisão via satélite ao vivo. Normalmente nessa situação como na cobertura da mídia na tragédia das ondas gigantes na Ásia quando o repórter fora do país se comunica com o apresentador de um telejornal qualquer, fica bastante evidente a não simultaneidade. É clara essa evidencia porque a conversa do repórter com o apresentador do jornal é intercalada por intervalos de tempo, pois quando um fala, o outro não escuta de forma instantânea, ficando no ar calado esperando a onda eletromagnética que conduz a informação chegar. Como já foi mencionado acima, para distâncias terrestres, quando se considera sinais que se propagam com a velocidade da luz, o tempo envolvido é muito pequeno. Quando se trata de distâncias astronômicas a situação é diferente. Quanto tempo leva a luz para chegar à Lua? Se considerarmos a distância Terra Lua, que é 3,8 x 10 8 m, um sinal luminoso (onda eletromagnética) emitida pelos astronautas que pousaram na Lua, demorou 1,27 segundos para chegar a Terra. Da mesma forma se considerarmos a distância Terra Sol, que é 1,5 x m, obtemos que a energia emitida pelo Sol como luz visível demora cerca de 500

177 177 segundos (ou cerca de 8,3 minutos) para chegar na Terra. Assim, todas as informações que recebemos através de ondas eletromagnéticas vindas do espaço representam algo que já aconteceu. Em suma com a relativização do conceito de simultaneidade passado, presente e futuro não serão mais vistos da mesma maneira e como conseqüência o conceito de tempo tem que ser repensado. Atenção: esses conceitos foram trabalhados em sala de aula através das atividades 5 e Os Relógios e as Medidas de Intervalos de Tempo Eu não defino tempo, espaço, lugar e movimento já que essas coisas são bem conhecidas de todos. Essa frase foi dita por Newton e expressa bem o conceito de tempo na sua visão. O tempo é uma grandeza física absoluta transcorrendo de maneira igual independente da massa e do espaço. Há pessoas que dizem: o tempo está passando rápido demais; o tempo não está passando. Essas situações refletem a dificuldade de entender o complexo conceito de tempo. Além de Newton muitos filósofos já se dedicaram ao estudo do tempo e foi Santo Agostinho um dos principais pensadores. Para ele, o que é o tempo afinal? Se ninguém me pergunta, eu sei. Mas se me perguntam e eu quero explicar, já não sei. Para Agostinho só podemos experimentar o tempo, mas não conseguimos dizer o que é. O tempo somente se mostra pra gente como algo que foge que escorrega. Quando vamos falar ele já passou. A discussão filosófica do tempo não será estudada nesse trabalho, mas as medidas de tempo feita por observadores solidários a sistemas de referencias inerciais sim. Na Física o tempo será medido como sendo a duração entre eventos registrados em aparelhos (relógios). Os relógios sincronizados marcaram o mesmo tempo em todos os eventos? Já vimos que não. Com o advento da TRE, a idéia que existe um relógio mestre que determina como todos os outros relógios devem funcionar foi questionada. Uma das prerrogativas da constância da velocidade luz no vácuo em qualquer sistema de referencia inercial é que o tempo tem dependência com o estado de movimento. Em outras palavras o tempo é uma grandeza física relativa, isto é, cada sistema de referência inercial registra seu tempo próprio. Generalizando esse resultado podemos dizer que um relógio (fixo em S ) em movimento com velocidade constante V em relação a um dado referencial inercial S, mede um intervalo de tempo menor do que os relógios do referencial inercial em relação ao qual ele está em movimento. Em termos matemáticos temos: t = γ. t 0 (3) Onde t é o tempo medido no referencial inercial que usa dois relógios e t 0 (tempo próprio) é o tempo medido por um relógio em movimento em relação a esse referencial inercial. (ver Figura 4). Nessa figura, qual a velocidade V do relógio? A relação t = γ t 0 é conhecida como sendo a expressão matemática da dilatação temporal. Como γ é sempre maior que 1 temos que os relógios em S marcaram um maior intervalo de tempo. A relação da dilatação temporal aqui exposta pode ser obtida tanto a partir dos postulados da TRE como também a partir das Transformações de Lorentz. Esses conceitos foram trabalhados nas atividades 7 e 8. Será que a TRE pode explicar o comportamento dos mésons? Podemos utilizar o conceito de tempo relativo para interpretar o resultado da atividade 3 - o comportamento dos mésons µ. Nessa atividade a experiência mostrou que uma amostra de mésons tem comportamentos diferentes quando está em repouso e quando está em movimento. Esse comportamento não pode ser explicado pelas teorias anteriores à TRE.

178 178 V t = t =0 V V V Figura 4 Um relógio medindo tempo próprio ( t 0 ) move-se com velocidade V em relação aos infinitos relógios do referencial S, que medem o intervalo de tempo t. Como foi exposto acima, o intervalo de tempo transcorrido em um relógio em movimento é diferente do intervalo de tempo transcorrido para os relógios em repouso em certo sistema de referência inercial. Nesse caso o méson é o referencial em movimento. Considerando que o méson se movimenta com velocidade V = 0,994 c em relação à Terra, determine o intervalo de tempo no referencial do méson. O tempo medido pelo relógio que está na Terra é t = H/c = 2000/3x10 8 s = 6, s e o fator γ = 9,14. Pela relação da dilatação do tempo temos que t (terra) = γ t 0 (méson) de onde obtemos que t 0 = 0,73x10-6 s, que é o tempo fornecido pelo resultado da experiência. Podemos dizer que o relógio associado ao méson marcou o tempo muito mais devagar em relação ao relógio na Terra. A conclusão é que o modelo da TRE se ajusta bem ao comportamento da natureza quando se trata do comportamento dos mésons.

179 179 Essa estranheza de relógios marcarem valores diferentes já foi confirmada experimentalmente? Sim, apesar de ser um fato que não faz parte do cotidiano, vários aspectos da dilatação temporal já foram confirmados. Fora os exemplos já citados na experiência dos mésons têm ainda outras confirmações. Uma dessas confirmações foi feita em 1971 quando foram colocados quatro relógios atômicos de césio dentro de dois aviões e os pilotos deram uma volta completa na Terra em sentidos contrários. Os relógios que estavam sincronizados na saída chegaram com marcações de tempo ligeiramente diferentes. Um outro exemplo associado à dilatação do tempo é o Global Position System (GPS). O GPS constitui um dos elementos em que se utiliza no dia a dia, de forma concreta, os conceitos abstratos da TRE. Esse sistema de navegação é muito utilizado para a localização exata de navios em qualquer condição atmosférica adversa. O receptor de GPS capta sinais de microondas enviados por satélites que estão a 20 km de altura em média. Os satélites possuem relógios atômicos de césio que envia um sinal codificado com a hora da emissão. Quando o satélite em órbita viaja com velocidade aproximadamente de 4,0 km/s o seu relógio para funcionar corretamente precisa sofrer correção relativística pelo fato de estar em movimento em relação a Terra. Sendo assim, o tempo medido pelos relógios está sujeito ao fenômeno da dilatação temporal. A explicação é que os satélites em altitudes elevadas, ficam condicionados a uma força gravitacional mais fraca e por isso trabalham cerca de 45 microssegundos por dia mais rápido do que os relógios na superfície da Terra (efeito previsto pela Teoria da Relatividade Geral). Paralelamente a isso eles sofrem o efeito de caráter relativístico pelo fato de estarem com velocidade em relação a Terra, o que implicará num retardo de sete microssegundos por dia (efeito previsto pela TRE). No somatório geral, os tempos medidos pelos aparelhos de GPS precisam sofrer uma correção relativística de 38 microssegundos por dia e se esses erros não fossem corrigidos seriam acumulados erros de 11 km/dia 8. (Scientific American do Brasil) Podemos falar um pouco mais sobre a questão dos tempos de um evento medidos de forma diferente em SRIs diferentes. O fator γ que relaciona o tempo próprio e relativo mostra matematicamente a impossibilidade de se viajar a uma velocidade maior do que a velocidade da luz no vácuo. Se o valor da velocidade for maior do que c teremos γ (fator de Lorentz) sendo uma raiz quadrada de um número negativo, fato que não pode ser analisado dentro do campo dos números reais. Alguns autores sugerem a idéia de um tempo imaginário ou também da possibilidade de voltar no tempo, porém, esse assunto envolve alguns conceitos de Relatividade Geral e está fora do objetivo deste trabalho. Os efeitos mostrados até aqui são estranhos porque acontecem num mundo de altas velocidades que não fazem parte da vida comum do ser humano e convém lembrar que o senso comum mascara, na forma de preconceitos, os efeitos relativísticos. Talvez no futuro com a exploração do espaço e com as viagens com velocidades consideráveis, os efeitos de relatividade serão comuns à existência humana e esse fenômeno será considerado um fenômeno de rotina. É bom ressaltar que o fato de um relógio marcar valores diferentes não significa de forma alguma que um deles está funcionado de forma errada. Um dos relógios marca o ritmo de tempo de acordo com o seu movimento. Quanto mais veloz o trem estiver, o relógio que estiver solidário ao trem marcará mais lentamente o tempo, em relação ao relógio do observador da plataforma que não se move junto com o trem. Ambos só tomarão consciência disso quando forem comparar as medidas desses intervalos de tempo. Para ambos os relógios marcam o tempo normalmente. 8 YAN, P. Einstein no dia a dia. Scientific American Brasil. n.29, p.90 95, outubro 2004.

180 180 Seguindo esse raciocínio, imaginando a possibilidade de que um relógio hipotético viajasse com a velocidade da luz no vácuo, o que aconteceria? Os tiques desse relógio estariam separados por um intervalo infinito, ou seja, o relógio está parado (tempo próprio infinito). Quanto mais veloz for o corpo, mais aumenta o retardamento do tempo medido pelo do relógio do corpo em comparação com os relógios na Terra. Mas é bom ressaltar que para um observador que viajasse com esse relógio ele estaria marcando o tempo normalmente, pois ele não tem como comparar o seu tempo com tempo marcado por outros relógios. A recíproca é verdadeira, uma pessoa que viajasse com velocidade constante próxima da velocidade da luz, acharia, no seu referencial, que o nosso relógio estaria marcando o tempo de forma mais lenta, assim como, nós acharíamos sobre o relógio dele. Isto parece confuso, mas não há nenhuma contradição, porque os observadores estão em regiões de espaço-tempo diferentes (referenciais inerciais diferentes). É impossível fisicamente, os dois observadores em movimento relativo fazerem medidas numa mesma região do espaçotempo sem usar transformações devidas (transformações de Lorentz). A única medida feita em diferentes regiões de espaço-tempo que são idênticas é a medida da velocidade da luz no vácuo garantido pelo segundo postulado da TRE. O paradoxo dos gêmeos Você já deve ter ouvido falar do paradoxo dos gêmeos. De todos os paradoxos relacionados com a TRE, o paradoxo dos gêmeos é o mais famoso, o mais controvertido e as discussões sobre a compreensão do mesmo perduraram até cerca de 1960, segundo registros na literatura. Consideremos a seguinte situação: temos dois gêmeos e dois relógios idênticos e sincronizados. Um gêmeo (A) com seu relógio fica na Terra e o outro (B) é enviado para o espaço em uma nave. Depois de certo tempo a nave volta a Terra e para surpresa dos gêmeos, um está mais velho do que o outro. Por enquanto, esse resultado não foi verificado experimentalmente e ficamos apenas no resultado teórico previsto pela TRE. A questão central nesse paradoxo é decidir quem está em movimento, pois como já foi visto, um relógio em movimento marca o tempo mais devagar e a pessoa estaria mais nova (dilatação do tempo). Os dois SRIs (a Terra e a nave) são equivalentes, ou seja, para o gêmeo que ficou na Terra é o outro que está em movimento, mas para quem está na nave é aquele que ficou na Terra que está em movimento (Figura 5). Dessa forma, a pessoa que está na Terra dirá que quem viajou estará mais novo, mas da mesma forma o observador que está na nave vai dizer que quem está mais novo é o gêmeo que ficou na Terra. Como decidir esse paradoxo? V - V Figura 5 a) a nave em movimento em relação a Terra, b) A Terra em movimento em relação à nave É importante reafirmar que nenhum dos dois sente que o tempo passa de forma diferente. Só irão ter consciência disso quando se encontrarem. A viagem para quem está na nave consiste de três eventos separados por períodos de movimento com velocidade constante:

181 181 a) o gêmeo (A) inicia o seu movimento, alcançando a velocidade constante V em um pequeno intervalo de tempo; b) depois de se movimentar com velocidade constante, a nave inverte a sua velocidade em um pequeno intervalo de tempo; c) o gêmeo chega de volta ao seu ponto de partida e pára. V - V Figura 6 a) Nave indo para a direita com velocidade V e,b) Nave voltando com velocidade V. Nesse caso t T = γ t nave Suponha que o relógio na Terra registrou o tempo T de ida e volta e o gêmeo que está na Terra, que conhece a TRE diz que o tempo transcorrido para quem viajou foi de T/γ. Por outro lado o viajante vai pensar da mesma maneira, isto é, o meu relógio marcou um tempo T e como a Terra se moveu o relógio na Terra deve estar marcando T/γ. Em princípio ambos os cálculos estão corretos. Como podemos dizer que um está mais novo que o outro? A solução desse paradoxo é que não há simetria nos referenciais utilizados. Nós podemos identificar quem realmente se moveu (Figura 6). O item b acima indica que, para retornar a nave, o viajante tem que variar a sua velocidade e, portanto durante certo tempo estará sendo acelerada e a nave muda de um SRI para outro SRI (inverte V por V). Enquanto isso, nada aconteceu para quem está na Terra. Da mesma forma, a nave é acelerada também nas etapas a e b. Levando essa assimetria em conta, realmente não há paradoxo, sendo a diferença de idades real e a previsão teórica é que o gêmeo viajante da nave será o mais novo ao retornar a Terra. Finalizando, na verdade não medimos algo chamado tempo, contamos sucessão entre eventos causais, registrados em aparelhos de medidas. Se biologicamente um gêmeo vai envelhecer mais do que outro é previsão teórica por enquanto. A prova que o relógio biológico irá realmente obedecer às Transformações de Lorentz terá que esperar pelas futuras viagens espaciais com velocidades relativísticas. 3.2 As Réguas - As Medidas de Comprimentos Na Física Clássica, como já foi dito o espaço é considerado uma grandeza física absoluta. O espaço possui duas importantes propriedades: sua isotropia e sua uniformidade. A uniformidade do espaço significa que todos os seus pontos são idênticos, isto é, se o espaço é uniforme se garante que as leis da física são as mesmas em qualquer ponto, assim se pode fazer uma escolha arbitraria de forma conveniente da origem do sistema de coordenadas em qualquer ponto do espaço. Por sua vez a isotropia do espaço é a afirmação que todas as suas direções são idênticas, não existindo nenhuma direção preferencial do espaço. Ao girarmos um eixo de coordenadas em torno da origem não observaremos qualquer mudança nas propriedades do espaço. Quando medimos o tamanho de um corpo estamos de alguma forma considerando o espaço imóvel e sendo a medida do comprimento constante (invariante) em qualquer referencial, dizemos que o espaço é absoluto.

182 182 Contrariamente, na TRE o espaço é definido como algo relativo, sendo sua medida dependente do referencial que serve de base para se fazer as medidas. Einstein chegou à conclusão que as medidas do espaço se contraem na direção do movimento. Esse fato entra em contradição com a explicação de Lorentz-Fitzgerald que achavam que era a matéria no espaço que se contraía na direção do movimento através de forças eletromagnéticas que atuavam nos átomos. Embora os fundamentos sejam bastante diferentes, a expressão para a contração do comprimento é a mesma para ambos, como apresentado na equação 1 do capítulo 2. Esse resultado, L = L 0 /γ, pode ser obtido de duas maneiras diferentes como apresentado nas atividades 9 (utilizando diretamente as Transformações de Lorentz) e 10 (utilizando os postulados da TER). A figura 7 mostra uma barra em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > 0. Nesta figura L 0 é o comprimento de repouso medido por S e L é o comprimento medido a partir de S. Como a barra está movendo-se em relação à S, temos L = L 0 /γ. z z y V y L = L 0 S O X 1 X 2 x O x 1 L = x 2 - x 1 x 2 S x Figura 7 A barra está em repouso em S que se move em relação à S com velocidade V no sentido x > 0. O comprimento medido a partir de S é L = L 0 /γ. Como fica a medida dos comprimentos que são perpendiculares à direção do movimento? A resposta a essa pergunta é imediata se considerarmos a TL, pois as coordenadas que estão nas direções perpendiculares ao movimento não se alteram. O comprimento de um corpo não se altera quando ele está perpendicular à direção do movimento relativo (Figura 8). Importante ressaltar que essa não é a aparência visual, mas sim uma figura mostrando o resultado das medidas. V Figura 8 - Parte (a) mostra um corpo em repouso em relação a Terra que tem comprimento vertical H 0. Parte (b) mostra o mesmo corpo movendo-se com velocidade V em relação a Terra. As medidas das alturas são iguais, H = H 0,para a barra em repouso e em movimento. Exercício: Uma bola quando em repouso tem um raio de 5cm. Faça um desenho dessa bola levando em consideração as medidas do diâmetro da bola nas direções paralela e perpendicular ao movimento para v = 0,6c em relação à Terra. E se fosse 0,9c? Nestes dois casos, desenhe a bola de acordo com as medidas feitas por alguém que se move junto à bola.

183 183 A contração espacial obtida pelos postulados de Einstein leva a um resultado contrário ao resultado obtido a partir da transformação de Galileu. A medida do comprimento de um corpo que se move com velocidade V em relação ao sistema que faz a medida, depende do valor dessa velocidade. Quanto maior a sua velocidade V menor será a medida de seu comprimento quando realizada por alguém que observa esse movimento. Importante notar que quem está em repouso em relação a esse objeto continua medindo o comprimento próprio L 0. Diante desse resultado vamos retornar à atividade 3, ao caso dos mésons. Como já visto o resultado da atividade 3 foi explicado pela dilatação do tempo. O resultado da experiência com o mésons também pode ser analisado considerando-se a contração de comprimento. Já vimos que a) no referencial da Terra o méson percorre a distância H = L 0 = 2000 m com velocidade V = 0,994c em um intervalo de tempo t = L/V = 6,7 x 10-6 s. b) no referencial do méson esse tempo é reduzido pelo fator γ = 9,14, isto é, t 0 = 0,73 x 10-6 s. No referencial do méson é a Terra que se aproxima com velocidade V = 0,994c e a distância a ser percorrida é contraída pelo fator γ, isto é L = L 0 /γ = 2000 m/ 9,14 = 218 m. Observe que no referencial do méson temos que V = L / t 0 que é igual a V = L 0 / t medidos no referencial da Terra. A velocidade relativa é a mesma para os dois referenciais. Somente com os conceitos da dilatação temporal e contração espacial podemos explicar a existência do mésons. L = H/γ Observador B se movendo junto com o méson V= 0,994 c Figura 9 A experiência do decaimento do méson. Do ponto de vista méson, é a Terra que se move com velocidade V. 3.3 Cinemática Relativística Como já foi visto no capítulo anterior, as Transformações de Lorentz representam uma transformação de coordenadas de um SRI para outro SRI de uma forma diferente das Transformações de Galileu. A partir da TL, obtém-se uma relação para a transformação de velocidades que também é diferente daquela obtida pela TG (v x = v x + V ou v x = v x - V) onde v x é a velocidade do objeto em relação à S, v x é a velocidade do objeto em relação à S e V é a velocidade de S em relação à S. Observe que continuamos considerando que o movimento relativo ocorre segundo a direção x, no sentido de x positivo. As deduções dessas relações, para esse caso particular, são bastante simples.

184 184 Situação 1: S se afasta de S com velocidade relativa V Conhecemos v x, v y e v z, que são os valores das componentes da velocidade do objeto em relação à S e queremos determinar v x, v y e v z que são os valores das componentes da velocidade do objeto em relação à S. O observador em S vê o referencial S se afastar com velocidade V no sentido de x positivo. Suponha que temos um objeto dentro de uma nave espacial que está em movimento em relação a ela com velocidade v x = km/s e a nave por sua vez se move com velocidade V = km/s em relação a Terra. Pela TG o valor da velocidade seria km/s. Esse valor é maior que a velocidade da luz. Qual a velocidade desse objeto em relação à Terra? O que nos diz a TRE a esse respeito? Tratando de uma forma geral suponha que o objeto dentro da nave tenha velocidade v x e que a nave tenha uma velocidade V em relação à Terra. Queremos saber com que velocidade v x esse objeto está se movendo em relação à Terra. Dentro da nave espacial a velocidade é v x e o deslocamento é x = v x t. Para o referencial da Terra a relação equivalente é x = v x t. Temos que calcular qual é a posição e o tempo do ponto de vista do referencial da Terra. Da TL temos: ' V(vx ' t') ' t + x' + V t 2 ' V(v ' t') x = = γ (x' + V t ) e c ' x t = = γ ( t + ) V V c c c A velocidade em relação à Terra só pode ser obtida dividindo a distância medida no referencial da Terra pelo tempo medido no referencial da Terra. Assim vx ' + V v x = x / t = (3) V vx ' c Retornando ao caso colocado no início temos, v = x x = km / s Portanto, bem diferente do resultado fornecido pela TG e inferior a c. Observe que o denominador tende para 1 quando a velocidade relativa V é muito menor do que c e o resultado numérico da TL é praticamente o mesmo da TG. Vamos considerar o caso limite. Suponha que dentro da nave se acenda uma lanterna e a luz se propaga com velocidade c em relação à nave (a luz é o objeto em movimento). A nave está se movendo com velocidade c/2. Qual é a velocidade da luz em relação a Terra? v = (c + 0,5c)/ (1 + 0,5c c/c 2 ) = c Portanto, se algo está se movendo à velocidade da luz dentro da nave, ele parecerá estar movendo-se à velocidade da luz do ponto de vista do referencial da Terra. Isso está consistente com o postulado da constância da velocidade da luz.

185 185 Quando o movimento do objeto não ocorrer na direção de translação, teremos velocidades nas direções y e z. Por exemplo, pode haver um objeto dentro da nave que esteja se movendo para cima com velocidade v y em relação à nave e a nave se move horizontalmente na direção x. Devemos seguir os mesmos procedimentos para determinar a velocidade v y medida no referencial da Terra. Assim, y = v y t = y = v y t. Portanto y' vy' v = = (5) y t V v γ + x ' 1 2 c Da mesma forma para a componente z temos: z' vz' v = = (6) z t V v γ + x ' 1 2 c Para o caso em que o movimento do objeto esteja ocorrendo no plano (y, z) temos que v x = 0. As relações acima ficam bem mais simples. Situação 2: S se afasta de S com velocidade relativa -V Conhecemos v x, v y e v z que são os valores das componentes da velocidade do objeto em relação à S e queremos determinar v x, v y e v z que são os valores das componentes da velocidade do objeto em relação à S. Aqui o referencial S se afasta de S com velocidade -V no sentido de x negativo. Esse resultado é obtido a partir do anterior trocando-se V V e v x v x, atendendo a equivalência entre os dois SRIs. Quadro 1 - mostrando as transformações de velocidade segundo a TL Como calcular as componentes da velocidade em S quando conhecemos as componentes da velocidade em S (Transformações de S para S ) v x V v x = V v x 1 2 c v v y ' = V v γ x 1 2 c v z v z = V v γ x 1 2 c y Como calcular as componentes da velocidade em S quando conhecemos as componentes da velocidade em S (Transformações de S para S) vx ' + V v x = V vx ' c v v y z v y ' = V v γ c v z ' = V v γ c x x ' ' No quadro acima apresentamos o caso mais geral em que um corpo se move no espaço tendo as três componentes da velocidade diferente de zero. Para simplificar podemos considerar apenas o caso unidimensional, isto é, (v x, v y, v z ) = (v x, 0, 0) e, portanto, teremos (v x, v y, v z ) = (v x, 0, 0). Todas as características mais importantes podem ser discutidas nessa situação de movimento em uma dimensão. A relação da primeira linha da tabela representa a lei relativística de adição de duas velocidades que estão na mesma direção. Observe que se v x e V forem pequenas em

186 186 relação à c, o termo (V.v x / c 2 ) pode ser considerado muito pequeno em relação à 1 e pode ser ignorado em relação à unidade no denominador. Nesses casos nós voltamos para as transformações de velocidades obtidas através das Transformações de Galileu, isto é, v x = v x - V. Portanto, para baixas velocidades em relação a c, os resultados das transformações relativísticas e clássicas são os mesmos. 3.4 Efeito Doppler Relativístico O efeito Doppler é bem conhecido para ondas sonoras. Por exemplo, podemos notar a diferença na freqüência do som emitido por uma fonte quando ela está em movimento, se afastando ou se aproximando de um receptor, o caso mais comum a ser lembrado é a ambulância. A freqüência do som depende da velocidade da fonte que emite o som e da velocidade do receptor que recebe o som. O som no ar tem sempre a mesma velocidade e não depende da velocidade da fonte. No caso do som, temos um meio bem definido de propagação o ar e situações fisicamente distintas dependendo se é a fonte ou o observador (ou ambos) que está em movimento em relação ao meio (ar). No caso da luz não há tal distinção, porque a velocidade da luz é c para qualquer observador em qualquer referencial. Consideremos a seguinte situação: temos uma fonte localizada na origem do sistema de referência S e um detector que está em repouso na posição x 0 de S e que S se move com velocidade V em relação a S. Cada pulso emitido pela fonte em S viaja com velocidade c. A cada intervalo de tempo T a fonte emite um pulso e, portanto, a freqüência dessa fonte em S é 1/T. Qual é a freqüência ν medida em S? Consideramos que esse cálculo está acima do que é exigido para o nível médio e apenas apresentaremos o resultado: 1 V 2 V ν' = c ν ou T' = c T ( 7) V V c c Neste caso a freqüência ν é menor que a freqüência ν. 1 S V x 1 x S x 0 x S R Figura 10 Fonte em repouso no referencial S emitindo um pulso com freqüência ν e período T Se S estiver se movendo no sentido de se aproximar de S temos como resultado: 1 V 2 V ν' = c ν ou T ' = c T (8) V V c c 1

187 187 Um fato muito importante envolvendo o efeito Doppler relativístico é o denominado desvio para o vermelho (red shift) de galáxias distantes. A análise espectroscópica da luz (identificação das freqüências de certa radiação desconhecida), recebida de galáxias distantes, mostra que certas linhas espectrais são deslocadas na direção da extremidade vermelha do espectro visível. Esse deslocamento é interpretado como um deslocamento Doppler e atribuído ao fato de que essas galáxias estão se afastando da Terra. Os estudos na área de astrofísica se utilizam desse fato para identificar o movimento das galáxias. Em 1919, Edwin Hubble estabeleceu a existência de uma relação linear entre a velocidade de afastamento e a distância para galáxias muito distantes. Essa relação é conhecida como lei de Hubble. Exemplo: Considere que uma fonte está emitindo luz verde de freqüência ν = 5,66 x Hz. Se o receptor registra a freqüência ν = 5,1 x Hz (se desloca em relação ao vermelho), qual é a velocidade da fonte em relação ao receptor? Solução: como a freqüência registrada é menor que a emitida então sabemos que a fonte está se afastando do receptor. A expressão a ser utilizada é 1 V 2 1 ν' = c ν em que ν é a freqüência emitida pela fonte e ν é a freqüência registrada no V 1 + c aparelho receptor. Fazendo as contas você encontrará que V = 0,1c. Exemplo: Considere que uma fonte na Terra está emitindo pulsos de luz a cada 1 segundo e esses pulsos estão sendo captados por uma nave espacial. (a) Qual a freqüência recebida na nave se ela está em repouso em relação à Terra? Solução: Os pulsos luminosos demoram algum tempo para chegar ao receptor, entretanto chegam ao receptor com velocidade c. Se os pulsos foram emitidos da Terra à taxa de 1 pulso a cada segundo a freqüência emitida é ν = 1/T = 1,0 Hz, o receptor receberá os pulsos de 1,0 em 1,0 segundo. Nesse caso não existe movimento relativo entre a fonte e o receptor. Neste caso a freqüência da fonte ν é igual à freqüência registrada no receptor. (b) Quando a nave se movimenta afastando-se da Terra com velocidade 0,6c, qual a freqüência registrada pelo receptor que está na nave? Quando a nave se movimenta com velocidade V = 0,6c afastando-se da fonte, esta capta os pulsos com uma freqüência menor, isto é, os pulsos serão detectados em intervalos de tempo maiores. Isso pode ser calculado pela relação (7) acima que permite calcular a freqüência detectada quando a fonte e o detector estão em movimento de afastamento. Determine você mesmo quanto vale essa freqüência e o tempo entre dois pulsos consecutivos. (ν = 0,5 ν = 0,5 Hz e T = 2 s) (c) Quando a nave se movimenta se aproximando da Terra com velocidade 0,6c, qual a freqüência registrada pelo receptor que está na nave? Quando a nave se movimenta com velocidade V = 0,6c aproximando-se da fonte, este capta os pulsos com uma freqüência maior, isto é, os pulsos serão detectados em intervalos de tempo menores. Isso pode ser calculado pela relação (8) acima que permite calcular a freqüência detectada, quando a fonte e o detector estão em movimento de aproximação. Determine você mesmo quanto vale essa freqüência e o tempo entre dois pulsos consecutivos (ν = 2,0 ν = 2 Hz e T = 0,5 s).

188 188 (d) Considerando que a nave se afasta na primeira hora (tempo marcado na nave) e se aproxima, na segunda hora (tempo marcado na nave), qual o tempo transcorrido para quem está na Terra? Enquanto a nave se afasta o tempo entre cada pulso é 2,0 s e, portanto em uma hora serão detectados 1800 pulsos. Na viagem de volta, o tempo entre cada pulso é 0,5s e, portanto são detectados 7200 pulsos pela nave. Assim, enquanto a nave foi e voltou foram emitidos 9000 pulsos. Como cada pulso é emitido em 1 s então temos que transcorreram 9000 s na Terra enquanto a nave foi e voltou em duas horas ( marcado na nave). Isto corresponde a 2,5 horas transcorridas na Terra. Enquanto transcorreram 2,0 horas na nave, transcorreram 2,5 horas na Terra. Isto pode ser verificado diretamente pela expressão da dilatação do tempo onde t T = γ t nave. Como V = 0,6c temos que γ = 1,25 que é exatamente a razão entre o (tempo na terra)/(tempo na nave) = 2,5/2 = 1, Dinâmica Relativística A mudança básica dos conceitos de espaço e tempo expressa na TL afetou todos os conhecimentos relacionados com a Mecânica Clássica. As leis clássicas devem ser reexaminadas para verificar se são compatíveis com a TRE. Como apresentado no capítulo I, admite-se como leis físicas, apenas as leis que são idênticas em todos os sistemas de referência inerciais. Mas, em lugar de utilizar a TG para transformar uma lei física de um referencial a outro, usamos agora a TL. Em vez de insistir na invariância das leis da física sob a TG, insistimos agora na sua invariância sob a TL. As leis devem ser idênticas na forma, quer sejam expressas nas variáveis de S, quer nas de S. Assim, quando usamos a TL para transformar de (x, y, z, t) de S para (x, y, z, t ) de S, qualquer lei física deduzida em S é traduzida à linguagem de S e deve permanecer invariável na sua forma Massa, Quantidade de Movimento e Energia As mudanças que a TRE promoveu nos conceitos cinemáticos da mecânica newtoniana também se estendem para os conceitos de dinâmica newtoniana? O conceito de momento linear e de energia também serão modificados na TRE? Como você já deve ter estudado, a física clássica tem como seus principais fundamentos as leis de conservação, ou seja, as leis de conservação são de extrema importância para as estruturas teóricas dos modelos da Física. Com efeito, as leis de conservação da quantidade de movimento (momento linear) e da energia eram bem estabelecidas para a Mecânica Clássica e isso constitui um fator muito difícil de ser alterado. Da Mecânica Clássica temos que a variação do momento linear p = (m.v) (variação da quantidade de movimento) de um determinado objeto é igual ao impulso F t. A Interpretação clássica desse principio é que se você aumentar o impulso exercido sobre o corpo, o seu momento linear aumenta na mesma proporção. Sendo assim, podemos afirmar que na Física Clássica, se o impulso aplicado for infinito o momento linear pode sim aumentar sem limite. Como a massa é finita e constante isso leva à conclusão que a velocidade tende para infinito. Entretanto, na atividade 1 já vimos que a velocidade de um corpo de massa m (nesse caso o elétron) teve como limite a velocidade c.

189 189 Na TRE, para manter o principio da conservação do momento linear um invariante fazendo uso da TL, é preciso redefinir esse conceito. A nova definição para o momento linear relativístico p, onde m = massa newtoniana é, p = m v = m γ(v) v (9) 2 v 1 2 c Isso significa que para altas velocidades um objeto tem um momento linear maior do que estabelece a Mecânica Clássica, isto é, o momento linear relativístico é maior por um fator γ(v) do que o momento linear clássico mv. É bom alertar que o fator γ(v) que aparece nessa definição não é o mesmo γ que aparece nas equações da TL. O fator γ que aparece nas TL é definido a partir da velocidade relativa V entre dois referenciais inerciais. O fator γ(v) que aparece na equação está relacionado com a velocidade da partícula e tem um caráter variável com o tempo. A atenção deve ser redobrada se não os fatores γ(v) e γ(v) são facilmente confundidos e até podem ser compreendido como se fossem fatores iguais. Na TRE, a segunda Lei de Newton para o movimento continua sendo F = p/ t, com o momento linear dado pela expressão acima. Esta é a modificação de Einstein para as leis de Newton. Observa-se que quando v se aproxima de c o momento linear tende para infinito e que quando a velocidade do corpo é muito menor do que c (v <<< c), a definição de momento relativístico é reduzida ao conceito clássico (p = mv), pois γ 1. Isso novamente mostra os limites de aplicação tanto da teoria clássica como da relativística. Fica claro que seria necessária uma força infinita para alcançar a velocidade da luz c. A velocidade da luz é um limite que só pode ser alcançado pelos fótons e por nenhuma partícula material com massa não nula. Na teoria de Einstein a massa tem uma nova e importante interpretação 9. Como apresentado no capítulo 2, a massa e a energia de repouso são equivalentes. E o conceito de energia total de uma partícula livre também será modificado? Na TRE a expressão para a energia total relativística, para uma partícula livre de massa m, é dada por E mc 2 2 = γ m c = 2 (10) v 1 c Essa é a expressão para a energia relativística E de uma partícula livre de massa m, medida em um referencial inercial em relação ao qual a partícula tem velocidade v. Quando a velocidade v = 0 tem-se E 0 = mc 2 que é denominada de energia de repouso. Einstein interpretou essa energia como uma energia intrínseca, fazendo parte da energia total do corpo que poeticamente poderemos chamar de energia de existência. 2 9 A interpretação de existência de uma massa relativística definida por mr = γ m 0 onde m 0 é a massa de repouso (massa newtoniana) tem sido muito utilizada nos livros didáticos, mas está conceitualmente errada. Essa definição de massa relativística tem sido utilizada porque torna mais fácil a interpretação da existência de uma velocidade limite e preserva a forma da expressão clássica para a quantidade de movimento p = m r v. O termo massa de repouso também não deve ser utilizado, pois só existe a massa m introduzida pela mecânica clássica. Enfatizamos que essa terminologia está conceitualmente errada e não será utilizada.

190 190 Normalmente as variações de energia estão associadas a pequenas variações em massa como no caso da atividade 3. Como apresentado no capítulo 2, a equivalência entre massa e energia tem sido verificada por experimentos em que um elétron e um pósitron em repouso (cada um com massa m) quando se juntam, eles se desintegram e surgem dois raios gama cada um com energia de mc 2. Este experimento fornece uma determinação direta da energia associada com a existência da massa de uma partícula. Atenção: não se fala em conversão, mas apenas em equivalência. Em uma bomba atômica de energia equivalente a 20 toneladas de TNT a variação de massa é da ordem de uma grama o que está de acordo com a relação E = m c 2 = 9 x J. Uma expressão envolvendo a energia relativística de uma partícula livre, o momento linear e a massa m (ou por equivalência a energia E 0 de repouso) é : E p c + m c = p c + = E (11) 2 0 Essa relação se aplica tanto para partículas materiais de massa m como para partículas de massa nula como o fóton. Ela confirma resultados anteriores previstos na Teoria de Maxwell em que a energia de uma partícula de massa nula o fóton é dada por E = pc. Basta considerar na expressão acima a massa m = 0. A energia cinética de uma partícula livre que se move com velocidade v, que tinha um papel importante na dinâmica clássica, terá também sua expressão modificada. sendo calculada pela diferença entre a energia total E e a energia de repouso E 0. Assim: E c [ γ 1] 2 = E E = m c ( 12) 0 0 Entretanto E c permanece uma quantidade de importância prática, pois é a medida da energia extra fornecida a uma partícula através do trabalho realizado por forças externas. A expressão 12, no limite para v << c se reduz à expressão clássica E c = ½ mv 2. Dessa forma a expressão relativística se reduz à expressão clássica no limite de baixas velocidades. Considerando a equivalência entre massa e energia, a conservação de energia envolve variações de massa e de energia em um sistema isolado. Assim, a lei clássica de conservação de energia e a lei clássica de conservação da massa passam a se constituir numa única lei de conservação de massa-energia. Agora, podemos retomar a atividade 1 na qual ficou claro que a mecânica clássica não podia explicar o resultado experimental encontrado no acelerador de partículas. A experiência mostrou que por mais energia que se desse ao elétron a sua velocidade não passou de c como um valor limite. Considerando-se a energia de E = 15 MeV para o elétron o resultado experimental é que a velocidade era muito próxima de c. Será que os resultados experimentais apresentados na atividade 1 se enquadram nas previsões da TRE? Utilizando as relações da TRE para energia, isto é, a expressão E = γ m e c 2 onde m e c 2 = 0,51 MeV = energia de repouso do elétron, obtemos que γ = 29,4. A partir da expressão para γ(v) obtemos que o valor da velocidade do elétron é v = 0,9994c, o que está de acordo com o resultado experimental. Concluímos que a expressão relativística para a energia descreve o resultado experimental no acelerador de partículas. A energia e o momento linear aumentam, mas a velocidade não passa do valor limite c. Atualmente a TRE é utilizada

191 191 nos projetos de construção de novos aceleradores de partículas que são utilizados para exploração do núcleo atômico. Exemplo: O problema dinâmico mais simples na mecânica clássica é o movimento de um corpo de massa m sob a ação de uma força constante. Vamos ver como esse problema é modificado pela nova dinâmica. Suponha que a força F atua sobre o corpo durante um tempo t e que o movimento é unidimensional e que v 0 = 0 em t 0 = 0. A velocidade final do corpo é v. Assim, m v(t) F t = m γ (v(t)) v(t) = 2 v(t) 1 2 c A partir dessa expressão podemos escrever a velocidade do corpo como uma função do tempo. Assim, v(t) = c m c 1 + F t 2 Esse resultado pode parecer complexo, mas pode ser analisado em dois casos limites: a) F t << m c ou (m c / F t) 2 >> 1 (força de baixa intensidade ou atuando por curto intervalo de tempo) F Neste caso limite podemos desconsiderar o 1 no denominador e com isso v(t) ~ t, m que é o resultado que seria obtido pela aplicação direta da lei de Newton. b) F t >> m c ou (m c/f t) 2 << 1 (força muito intensa ou atuando por longo tempo) Nesse limite, o denominador tende para um e a velocidade v(t) ~ c. Esse resultado só é previsto pela TRE, ou seja, por mais intensa que seja a força ou por mais tempo que ela atue a velocidade da partícula não será maior que c.

192 192 Exercícios 1. (UFRN 1998) A teoria da Relatividade Especial prediz que existem situações nas quais dois eventos que acontecem em instantes diferentes, para um observador em um dado referencial inercial, podem acontecer no mesmo instante, para outro observador que está em outro referencial inercial. Ou seja, a noção de simultaneidade é relativa e não absoluta. A relatividade da simultaneidade é conseqüência do fato de que A) a teoria da Relatividade Especial só é válida para velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz. B) a velocidade de propagação da luz no vácuo depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida. C) a teoria da Relatividade Especial não é válida para sistemas de referência inerciais. D) a velocidade de propagação da luz no vácuo não depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida. 2. A não-simultaneidade ao escutar um trovão depois de ver o correspondente relâmpago e análogo à não-simultaneidade relativística? 3. A simetria entre todos os observadores que usam referenciais inerciais. Considere a seguinte situação: uma pessoa está parada sobre a terra e uma outra pessoa está em uma nave que se move com velocidade constante V = 0,5c em relação à Terra. Antes da nave entrar em órbita foi colocado uma régua de um metro e um relógio dentro da nave e uma outra régua e um outro relógio idênticos ficaram na Terra. Situação 1: Considere o observador na terra (a nave se move com velocidade 0,5c em relação à Terra) e responda: a) para o observador na Terra quanto mede a régua que está na Terra? b) para o observador na Terra quanto mede a régua que está na nave (considere que ela está colocada paralelamente à direção do movimento)? c) Se os relógios na Terra registram que o intervalo de tempo para a nave se deslocar entre dois pontos A e B foi de 0,5 segundos, quanto terá marcado o relógio da nave? Situação 2 : Considere o observador na nave (a Terra se move com velocidade - 0,5c em relação à nave) e responda: d) para o observador na nave quanto mede a régua que está na nave? e) para o observador na nave quanto mede a régua que está na terra (considere que ela está colocada paralelamente à direção do movimento)? f) Se os relógios no sistema de referência ligado à nave registram que o intervalo de tempo para a Terra se deslocar entre os pontos A e B é 0,5 segundos, quanto terá marcado o relógio na Terra. 4. (UFRN 1999 adaptado) Nos dias atuais, há um sistema de navegação de alta precisão que depende de satélites artificiais em órbita em torno da Terra. Para que não haja erros significativos nas posições fornecidas por esses satélites, é necessário corrigir relativisticamente o intervalo de tempo medido pelo relógio a bordo de cada um desses satélites. A teoria da relatividade prevê que, se não for feito esse tipo de correção, um relógio a bordo não marcará o mesmo intervalo de tempo que outro relógio em repouso na superfície da Terra, mesmo sabendo-se que ambos os relógios estão sempre em perfeitas condições de funcionamento e foram sincronizados antes de o satélite ser lançado. Se não for feita a correção relativística para o tempo medido pelo relógio de bordo,

193 193 A) ele se adiantará em relação ao relógio em terra enquanto ele for acelerado em relação à Terra. B) ele ficará cada vez mais adiantado em relação ao relógio em terra. C) ele se atrasará em relação ao relógio em terra durante metade de sua órbita e se adiantará durante a outra metade da órbita. D) ele ficará cada vez mais atrasado em relação ao relógio em terra. 5. (UFRN-2000) André está parado com relação a um referencial inercial, e Regina está parada com relação a outro referencial inercial, que se move com velocidade (vetorial) constante em relação ao primeiro. O módulo dessa velocidade é v. André e Regina vão medir o intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem no local onde esta se encontra. (Por exemplo, o intervalo de tempo transcorrido entre o instante em que um pulso de luz é emitido por uma lanterna na mão de Regina e o instante em que esse pulso volta à lanterna, após ser refletido por um espelho.) A teoria da relatividade restrita nos diz que, nesse caso, o intervalo de tempo medido por André ( t André ) está relacionado ao intervalo de tempo medido por Regina ( t Regina ) através da expressão: t André = γ t Regina. Nessa relação, a letra gama (γ) denota o fator de Lorentz. O gráfico abaixo representa a relação entre γ ( eixo y) e v/c ( eixo x), na qual c é a velocidade da luz no vácuo. Imagine que, realizadas as medidas e comparados os resultados, fosse constatado que t André = 2 t Regina. Usando essas informações, é possível estimar-se que, para se obter esse resultado, a velocidade teria de ser aproximadamente: A) 50% da velocidade da luz no vácuo. B) 87% da velocidade da luz no vácuo. C) 105% da velocidade da luz no vácuo. D) 20% da velocidade da luz no vácuo. 6. (UFCE-2004) O múon (ou méson - µ ) é produzido por raios cósmicos nas altas camadas da atmosfera da Terra ou em aceleradores. Verificou-se, experimentalmente, que seu tempo de vida médio é de apenas t = 2 x 10 6 s (2 microssegundos). Depois de seu tempo de vida, o múon desaparece, decaindo em um elétron e um neutrino. Nesse tempo t, a luz (cuja velocidade é c = 3 x 10 8 m/s) percorre 600 metros. No entanto, um múon formado em grande altitude consegue chegar ao solo e ser detectado antes de decair, apesar de ter velocidade menor que a luz. a) Explique, com base na TRE, por que isso é possível.

194 194 b) Considere um múon cujo tempo de vida é 2 x 10-6 s que é formado a uma altitude de 6000 metros e cai na direção do solo com velocidade 0,998 c, onde c é a velocidade da luz. Mostre que esse múon pode percorrer essa distância antes de decair. 7. Considere que um corpo se move com velocidade v x = 0,001c em relação à S e que S se move com velocidade V = 0,01c em relação a S. Faça uma figura para representar a situação. Qual será a velocidade do corpo em relação à S? Calcule v x através da transformação relativística e da transformação clássica e compare. Qual a conclusão que você pode chegar a partir desses resultados? 8. Em relação à transformação de velocidades responda: i) Um observador em S emite um pulso de luz na direção x e no sentido positivo. Considere que a velocidade de S em relação à S é V = 0,5c. Qual a velocidade do pulso de luz em relação à S? ii) Um observador em S emite um pulso de luz na direção x e no sentido positivo. Considere que a velocidade de S em relação à S é V = c. Qual a velocidade do pulso de luz em relação à S? 9. De acordo com a teoria da relatividade, de Einstein, a energia total de uma partícula satisfaz a equação E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, onde p é a quantidade de movimento linear da partícula, m é sua massa e c é a velocidade da luz no vácuo. Ainda de acordo com Einstein, uma luz de freqüência ν pode ser tratada como sendo constituída de fótons, partículas com massa nula (essas partículas não existem em repouso) e com energia E = hν, onde h é a constante de Planck. Com base nessas informações, você pode concluir que a quantidade de movimento linear p de um fóton é: A) p = hc B) p = hc/ν C) p = 1/hc D) p = hν/c E) p = cν/h 10. Conforme sabemos, Einstein enunciou uma lei que relaciona massa com energia. Dessa maneira, é possível dizer que a energia pode ser armazenada sob forma de massa. O núcleo do elemento químico Hélio ( também conhecido como partícula alfa) consiste em 2 prótons e 2 nêutrons e tem massa 4,0015 u,onde u é a unidade de massa atômica. As massas das partículas isoladas são: massa do próton = 1,0073 u; massa do nêutron = 1,0088 u, onde 1 u =1, kg). Explicar essa diferença de massa com base na equivalência massa energia. 11. Um processo de aniquilação de matéria ocorre na interação entre um elétron (de massa m e carga - e) e um pósitron (de mesma massa m e carga +e). Como conseqüência desse processo, o elétron e o pósitron são aniquilados, e, em seu lugar, são criados dois fótons gama (γ), que se deslocam em sentidos opostos. O processo de aniquilação descrito pode ser representado por e - + e + = γ + γ. Analisar esse fato com base no principio de conservação de massa energia. 12. Considere o texto: "É bem possível que não exista um movimento perfeitamente igual que possa servir de medida exata do tempo, pois todo movimento pode ser acelerado ou retardado, mas o fluxo do tempo absoluto não é passível de nenhuma mudança. A duração ou perseverança da existência das coisas permanece a mesma, sejam os movimentos rápidos, sejam eles lentos ou mesmo quando não há qualquer movimento. Portanto, cumpre distinguir o tempo daquilo que são apenas suas medidas sensíveis." (NEWTON, Isaac. Princípios matemáticos de filosofia natural, 1687) Nesse trecho, Newton afirma que o tempo A) tem as suas medidas sensíveis.

195 195 B))não depende de referenciais. C) dos movimentos acelerados pode ser medido. D) deve ser medido por movimentos. E) absoluto pode ser medido. 13. (Exame Nacional de Cursos) Segundo se conta, desde a adolescência Einstein refletia sobre algumas questões para as quais as respostas dadas pela física da sua época não o satisfaziam. Uma delas, conhecida como "o espelho de Einstein", era a seguinte: se uma pessoa pudesse viajar com a velocidade da luz, segurando um espelho a sua frente, não poderia ver a sua imagem, pois a luz que emergisse da pessoa nunca atingiria o espelho. Para Einstein, essa era uma situação tão estranha que deveria haver algum princípio ou lei física ainda desconhecido que a "impedisse" de ocorrer. Mais tarde, a Teoria da Relatividade Restrita formulada pelo próprio Einstein mostrou que essa situação (não se ver no espelho) seria A) impossível, porque a velocidade da luz que emerge da pessoa e se reflete no espelho não depende da velocidade da pessoa, nem da velocidade do espelho. B) impossível, porque a luz refletida pelo espelho, jamais poderia retornar ao observador, estando no mesmo referencial. C) impossível, porque estando à velocidade da luz, a distância entre a pessoa e o espelho se reduziria a zero, tornando os dois corpos indistinguíveis entre si. D) possível, porque a pessoa e o espelho estariam num mesmo referencial e, nesse caso, seriam válidas as leis da física clássica que admitem essa situação. E) possível, porque a luz é composta de partículas, os fótons, que nesse caso permanecem em repouso em relação à pessoa e, portanto, nunca poderiam atingir o espelho.

196 196 Apêndice 1: A Questão da Causalidade Uma das coisas muito importantes na natureza é a ordem em que dois eventos podem ocorrer quando se compara medidas feitas em dois sistemas de referências inerciais diferentes. Vamos considerar os seguintes dados possíveis: a) No sistema S dois eventos são registrados, evento 1 tem coordenadas x 1 = 12 x 10 8 m e t 1 = 7 s, evento 2 tem as coordenadas x 2 = 30 x 10 8 m e t 2 = 11 s. b) O sistema S, está se movendo em relação a S com velocidade V = 4c/5. Utilizando as transformações de Lorentz obtemos que esses eventos são detectados nas seguintes coordenadas: evento 1 x 1 = - 8 x 10 8 m e t 1 = 19/3 s evento 2 x 2 = 6 x 10 8 m e t 2 = 15/3 s. Comparando-se os resultados verificamos que o evento 2 ocorre antes do evento 1 como detectado em S, ou seja, a ordem temporal de ocorrência dos eventos foi invertida. Isto nos leva a pensar em alguns fatos que podem ser intrigantes. Suponha que o evento 1 seja um jogador de futebol chutando a bola em direção ao gol e o evento dois seja a bola dentro do gol. Será que alguém poderá detectar o gol antes de detectar o chute da bola como aconteceu no exemplo acima (detectar primeiro o evento 2 e depois o evento 1)? Será que o efeito pode vir antes da causa? A TRE garante que essa situação nunca pode acontecer. Retomemos a situação acima. Observamos que, no referencial S, a distância entre os dois eventos x 2 x 1 = 18 x 10 8 m é maior que a distância percorrida pela luz no intervalo de tempo que separa os dois eventos que é c(t 2 t 1 ) = 12 x 10 8 m. Assim, x 2 x 1 > c (t 2 t 1 ) Como nada viaja mais rápido que a luz, não é possível, em nenhum dos dois referenciais S e S, que esses dois eventos sejam conectados por nenhum tipo de sinal. Para haver conexão entre esses dois eventos o sinal precisaria ter velocidade de propagação maior que c. Portanto, no caso acima, o evento 1 não pode ser a causa do evento 2 em qualquer que seja o referencial inercial. Esses eventos são totalmente independentes. Se, por outro lado, a separação do evento 1 e do evento 2 for tal que x 2 x 1 < c(t 2 t 1 ) temos que existe um sinal com velocidade igual a c ou abaixo de c conectando tais eventos. Neste caso o evento 1 pode ser causa do evento 2. Utilizando a TL podemos mostrar que o evento 1 precederá o evento 2 em todos os sistemas de referência. A causa sempre deve preceder o efeito e a TRE sempre preserva a ordem temporal de ocorrência dos eventos. Em resumo o fato da velocidade da luz ser a velocidade limite da natureza faz com que a nossa realidade seja ordenada, definindo um passado e um futuro, ou seja, por trás do postulado da constância da velocidade da luz está o princípio da causalidade que diz que a causa sempre precede o efeito. Para entender melhor esta correlação, devemos notar que a percepção da realidade (de um acontecimento) baseia-se na troca de informação, informação eletromagnética. Se um artefato mecânico que está enviando imagens da superfície de Marte for atingido por um meteorito num dado instante, somente alguns minutos depois é que saberíamos, pois a informação viajando a velocidade da luz levaria alguns minutos para chegar às antenas terrestres.

197 197 Apêndice 2: O Diagrama Espaço-Tempo de Minkowski Quais as dimensões do universo em que você vive? Talvez de todos os termos que TRE carrega consigo, a quarta dimensão tem sido o mais citado e simultaneamente também um dos mais mal compreendidos, abrindo portas até para explicações místicas no início do século XX. Para entender melhor a construção desse conhecimento voltemos aos gregos. A geometria até o início do século XIX era essencialmente a geometria euclidiana com cerca de 2000 anos. Essa geometria parte do pressuposto que o nosso universo é plano e aceitando os seus axiomas, as idéias conseqüentes se desenvolvem por lógica. Um ponto importante dessa geometria é a afirmação de que a menor distância entre dois pontos é uma reta. A Mecânica de Newton foi formulada em cima dos fundamentos da geometria euclidiana? Sim, o Principia de Newton em suas demonstrações tem forte dependência da geometria euclidiana. Newton construiu uma imagem do mundo em que espaço existia independente do passar do tempo e que esse fluía independente da posição no espaço. O espaço da Física clássica é um contínuo tridimensional que é representado em três dimensões espaciais - as coordenadas (x, y, z). O espaço é considerado contínuo porque qualquer ponto, sempre será representado por uma tríade de coordenadas cartesianas. Com efeito, não existe nenhum ponto nesse espaço que não pode ser representado, ou seja, não existe descontinuidade no espaço tridimensional. Da mesma forma que o espaço, o tempo também é considerado um contínuo, independente de qualquer outra grandeza. Nesse espaço tridimensional a distância de um ponto a outro pode ser 2 2 representado por l = ( x) + ( y) + ( z) dois pontos num espaço euclidiano é dado por: Y X l 2. Em duas dimensões o comprimento l entre l= l l ( x 2 x1 ) + ( y 2 y1 ) 2 2 = ( x) + ( y) Genralizando = para ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) dimensões Chamamos a equação acima de invariante, já que o valor de l é o mesmo em qualquer referencial inercial mesmo que os valores das coordenadas (x, y, z) se modifiquem. A formação do invariante l está na base do conceito newtoniano de espaço absoluto. Na TRE esse invariante l trás o seguinte problema: dois referenciais inerciais que se movem com velocidade relativa o comprimento l medido não é o mesmo. Como o espaço e o tempo não são invariantes, quem será o invariante na TRE? Você lembra? A teoria de Einstein resolve esse problema mostrando que espaço e tempo guardam entre si uma relação profunda. Na TRE o invariante será chamado de intervalo s 2 que envolve a quarta dimensão, o tempo. Esse intervalo s 2 pode ser escrito acrescentando um novo termo a equação de l. s ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 c. ( ) 2 2 = t Vemos na equação acima que espaço e tempo estão relacionados de forma bem clara. Nesse contexto não podemos falar do espaço sem falar do tempo. Observe o simples exemplo a seguir: Um carro possui suas três dimensões do espaço (largura, altura,

198 198 comprimento), mas nem sempre ele foi um carro, ele só é considerado um carro a partir de um instante t em que ele foi criado. Nem sempre ele será um carro. Chegará o instante em que ele será destruído. As descrições das três dimensões espaciais do carro só valem durante certo intervalo de tempo em que ele existe. Os eventos do universo são descritos por dimensões espaciais e por uma dimensão temporal. Com o desenvolvimento pela TRE os dois contínuos independentes do universo espaço e o tempo - sofrem uma fusão e se tornam um ente só. Nesse sentido não existe um espaço independente do tempo e sim há um espaço-tempo onde os eventos ocorrem. Em suma, todos os eventos, sem exceção, desde um pequeno grão de areia rolando ao vento até a aceleração da mais colossal galáxia existem no que os físicos chamam de continuun do espaço-tempo. O matemático Hermann Minkowski ( ) foi quem, em 1908, geometrizou o contínuo do espaço-tempo. No espaço-tempo de Minkowski o ponto no espaço da geometria euclidiana, será substituído pelo evento ocorrido num ponto desse espaçotempo. Os eventos nessa geometria são representados por quatro dimensões, as três espaciais e uma temporal (x, y, z, ict). A geometria do espaço-tempo pode ser visualizada através do cone de luz. Na TRE a maior velocidade é da luz no vácuo e o registro de eventos se dá sempre através de sinais eletromagnéticos. Quanto maior o tempo t transcorrido mais distante o sinal chegará. Para facilitar a representação gráfica consideramos uma situação bidimensional. Em certo instante de tempo uma fonte emite um pulso de luz que se expande horizontalmente no plano (x, y). O pulso ao se expandir descreve uma circunferência dada por x 2 + y 2 = c 2 t 2, cujo raio máximo é ct, como mostra a Figura abaixo. Se o sinal se propagar com velocidade v < c esses eventos estarão dentro do raio máximo ct. Se considerarmos o tempo como uma dimensão extra perpendicular (ct para com a dimensão de espaço) a x e y, veremos que se formará um cone com a justaposição dos círculos a cada tempo segundo o eixo ct. (Ver Figura 1) O intervalo de universo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2, pode fornecer importantes informações. Quando s 2 > 0, ou seja, x 2 + y 2 + z 2 > c 2 t 2, s é real e os eventos são causalmente desconexos (ver o apêndice 1). ict x z = 0 y x z = 0 y Figura 1 Representação, em diferentes instantes de tempo, de um pulso de luz produzido em (x = 0, y = 0, t = 0). A sobreposição dessas diferentes circunferências forma um cone Quando s 2 < 0, ou seja, x 2 + y 2 + z 2 < c 2 t 2, s resulta em um número imaginário e os eventos são causalmente conexos. Quando s 2 = 0, ou seja, x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2, s é zero e representa a superfície do cone de luz, isto é, as regiões do espaço-tempo que estão sobre o cone de luz só podem receber informações por meio de radiações eletromagnéticas, ou de outras partículas (não massivas) que viagem à velocidade da luz. A Figura 2 ilustra o cone de luz para um evento que ocorreu no ponto (x = 0, y = 0, ict = 0), isto é, a representação de eventos em um mundo bidimensional. A representação visual para a quarta dimensão, incluindo o eixo z, não é possível embora tenha sido colocado x z = 0 ct y x z = 0 y

199 199 na Figura 2. Qualquer outro evento relacionado com este tem necessariamente que estar dentro do cone de luz. Nenhum evento na relação causa e efeito pode acontecer fora do cone de luz, pois isso implicaria em ter propagação maior do que a velocidade da luz. Chama-se de linha de mundo do ente (corpo) à linha continua nesse espaçotempo que representa a história desse ente, isto é, a sucessão contínua de eventos desse ente. Figura 2 Cone de luz para duas dimensões espaciais é definido pela relação x 2 + y 2 = c 2 t 2 : a) instante t = 0 é o presente, b) t > 0 é o futuro absoluto e c) t < 0 é o passado absoluto. d) linha de mundo Em resumo, concluímos que somente temos acesso às informações no interior e sobre o nosso cone de luz. Por outro lado, os pontos fora do cone de luz são inacessíveis ao observador O, pois seria necessária uma velocidade maior que a da luz para observá-los, mas isto não significa que eventos fora do cone de luz não existam. Como já foi citado, se algo ocorresse agora em Marte, t = 0 para um observador na Terra, este evento estaria fora do seu cone de luz, mas com o passar do tempo, como este evento não se desloca em suas coordenadas espaciais, depois de alguns minutos ele estará dentro do cone do observador O e poderá ser observado. Apêndice 3: Relatividade Geral A TRE não foi a única contribuição de Einstein para a compreensão do espaçotempo. Em 1916, ele formulou a Teoria Geral da Relatividade TGR, da qual a TRE se tornou um caso especial. A TRE trata somente de processos físicos que são observados a partir de sistemas inerciais de referência. Isto claramente representa uma restrição em relação a todas as outras situações possíveis, pois o mundo natural está cheio de situações nos quais os objetos estão submetidos a acelerações. Por que deveria o princípio da relatividade se aplicar apenas ao movimento uniforme em que a velocidade é constante? Poderia um observador fixo em um referencial acelerado fazer uso do princípio da relatividade? Einstein entendeu que sim.

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