Fenômenos de Transporte

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1 Fenômenos de anspote Pof a. Maa Nilza Estanislau Reis º semeste 008

2 Fenômenos de anspote 0/008 Disciplina: Fenômenos de anspote Cusos: Engenhaia de Contole e utomação Engenhaia Elética Pof a.: Maa Nilza Estanislau Reis º semeste 008 Objetivos: - pende os pincípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da ansfeência de Calo; - nalisa as distibuições de pessão em fluidos em epouso; - nalisa as distibuições de foça em copos e supefícies submesas; - Estuda o escoamento ideal e eal no inteio de dutos; - nalisa as maneias atavés das uais o calo é tansmitido. Ementa: Mecânica dos Fluidos: Popiedades Físicas; Euações Geais da Estática, Cinemática e Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pessões Hidostáticas, de Foças sobe Supefícies Submesas e de Peda de Caga; Medição de Viscosidade, Pessão e Velocidade. ansfeência de Calo: Condução, Convecção, Radiação, plicações. ansfeência de Massa: Difusão, Coeficiente de ansfeência de Massa, eoia da Camada Limite, plicações.

3 Fenômenos de anspote 0/008 Índice. Intodução a Mecânica dos Fluidos..... Definição..... Objetivo plicação.... Definição de um Fluido..... Intodução..... Hipótese do Contínuo Pincípio da deência Métodos de nálise Sistema Volume de Contole Dimensões e Unidades Intodução Sistemas de Dimensões Sistemas de Unidades Popiedades Físicas dos Fluidos Peso Específico Volume Específico Densidade Relativa Massa Específica ou Densidade bsoluta Módulo da Elasticidade Volumético Condições Isotémicas Condições diabáticas Coeficiente de Compessibilidade (C) Campo de Velocidade Regime Pemanente e ansiente Regime Pemanente Regime ansiente Campo Unifome de Escoamento Escoamentos Uni, Bi, idimensional Escoamento Unidimensional...

4 Fenômenos de anspote 0/ Escoamento Bidimensional Linhas de empo, ajetóias, Linhas de Emissão e Coente Campos de ensão Viscosidade Viscosidade Dinâmica ou bsoluta: (µ) Viscosidade Cinemática: (ν) Númeo de Reynolds: (Re) ipos de Escoamento Pessão Lei de Pascal Fluidoestática Euação Básica da Estática dos Fluidos Pessão Manomética Pessão bsoluta O Baômeto de Mecúio plicação paa a Manometia ipos de Manômetos Manômetos de líuido Manômetos metálicos Euilíbio dos Copos Flutuantes Pincípio de uimedes Fluidodinâmica Sistema Volume de Contole Relação Ente as Deivadas do Sistema e a Fomulação Paa Volume de Contole Euação da Continuidade (de Consevação da Massa) Paa um Volume de Contole bitáio Casos Especiais Vazão Mássica e Vazão Volumética a Lei da emodinâmica plicada ao Volume de Contole Euação de Benoulli Euação de Benoulli Paa Fluidos Ideais

5 Fenômenos de anspote 0/ Visualização Gáfica da Euação de Benoulli plicações da Euação de Benoulli eoema de oicelli Medidoes de Vazão ubo de Ventui ubo de Pitot Placa de Oifício Pessão de Estagnação Euação de Benoulli Paa Fluidos Reais Peda de Caga Visualização Gáfica da Euação de Benoulli Paa Fluidos Reais ipos de Peda de Caga Pedas de Caga Contínuas Pedas de Caga Localizadas Potência Fonecida po uma Bomba ansfeência de Calo Intodução Modos de ansfeência de Calo Condução Convecção Radiação Leis Básicas da ansfeência de Calo Condução Convecção Radiação Condução Intodução à Condução Popiedades émicas da Matéia Consevação de Enegia em um Volume de Contole Euação da Difusão de Calo Coodenadas Catesianas Coodenadas Cilíndicas Coodenadas Esféicas

6 Fenômenos de anspote 0/ Condições de Contono e Condição Inicial Condução Unidimensional em Regime Pemanente Paede Simples Resistência émica Paede Composta Paede Composta: Séie-Paalelo Resistência de contato Condução Unidimensional em Regime Pemanente Sistemas Radiais Cilindo Distibuição de empeatua Paede Cilíndica Composta Espessua Cítica de Isolamento Condução Unidimensional em Regime Pemanente Sistemas Radiais Esfea Condução com Geação de Enegia émica Condução com Geação de Enegia émica - Paede Plana Condução com Geação de Enegia émica Sistemas Radiais ansfeência de Calo em Supefícies Expandidas letas Intodução ipos de letas Balanço de Enegia paa uma leta letas com áea da seção tansvesal constante Desempenho da leta Condução ansiente Intodução Método da Capacitância Global Convecção Fundamentos da Convecção s Camadas Limites da Convecção Camada Limite Hidodinâmica s Camadas Limites de Concentação

7 Fenômenos de anspote 0/ Escoamento Lamina e ubulento Camada Limite émica EXERCÍCIOS RECOMENDDOS REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS pêndice pêndice B

8 Fenômenos de anspote 0/008 Figuas Figua Elemento Fluido sob a ção de Esfoço angencial Constante. Figua Compotamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a ção de 3 uma Foça de Cisalhamento Constante. Figua 3 O Pefil de Velocidade Linea no Líuido ente Placas Paalelas 3 Figua 4 Conjunto Pistão-Cilindo. 4 Figua 5 Escoamento de um Fluido tavés de um ubo. 4 Figua 6 Deteminação do Campo de Velocidades em um Ponto. 0 Figua 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. Figua 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional. Figua 9 Defomação de um Elemento de Fluido. 8 Figua 0 Exemplo paa o Cálculo do Númeo de Reynolds. 30 Figua - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 3 Figua Exemplo do Cálculo da Pessão na Base de um Recipiente. 33 Figua 3 Fluida em Repouso. 34 Figua 4 Volume de Contole Infinitesimal. 35 Figua 5 Vaiação de Pessão em um Fluido Estático. 37 Figua 6 Exemplo do Cálculo das Pessões bsoluta e Manomética. 38 Figua 7 O Baômeto de Mecúio. 39 Figua 8 Vaiação de Pessão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39 Figua 9 Ilustação do exemplo acima, vasos comunicantes. 40 Figua 0 Manômeto de Líuido. 4 Figua Manômeto de Líuido. 4 Figua Manômeto de Líuido. 4 Figua 3 ubo de Boudon. 43 Figua 4 Manômeto de Diafagma. 43 Figua 5 Copo Imeso em um Fluido Estático. 43 Figua 6 Cálculo do Metacento de um Copo Submeso. 47 Figua 7 Conjunto Pistão-Cilindo. 48 Figua 8 Escoamento de um Fluido atavés de um ubo. 48 Figua 9 Escoamento Unidimensional. 5 Figua 30 Linhas Enegética e Piezomética paa Escoamento 58 7

9 Fenômenos de anspote 0/008 Unidimensional em um Duto. Figua 3 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paedes Delgadas. 59 Figua 3 Escoamento Inteno atavés de um Bocal Genéico mostando o volume de contole usado paa análise. 60 Figua 33 ubo de Ventui. 6 Figua 34 Medição de pessão estática ubo de Pitot. 63 Figua 35 ubo de Pitot com fluido manomético. 64 Figua 36 (a) Geometia de oifício e localização de tomadas de pessão Placa de oifício. (b) Placa de Oifício. 66 Figua 37 Medições simultâneas das pessões de estagnação e estática. 68 Figua 38 Linhas Enegética e Piezomética paa Escoamento de um Fluido Real. 69 Figua 39 - Ábaco de Moody. 7 Figua 40 Deteminação da Rugosidade Relativa. 73 Figua 4 Valoes apoximados de k. 74 Figua 4 Compimentos Euivalentes paa ubulações de Feo fundido e ço. 75 Figua 43- Redução de Áea Bocal. 77 Figua 44 Coeficiente de Peda de Caga paa um Difuso. 78 Figua 45 Válvula de gaveta. 79 Figua 46 Válvula Globo. 80 Figua 47 Válvula de Retenção. 80 Figua 48 Elevação de um Fluido com uma Bomba. 8 Figua 49 Conjunto elevatóio efeente ao exemplo acima. 83 Figua 50 - ansfeência de calo. 86 Figua 5 ssociação da tansfeência de calo po condução à difusão da enegia povocada pela atividade molecula. 87 Figua 5 Pocessos de tansfeência convectiva de calo. (a) Convecção natual. (b) Convecção foçada. 87 Figua 53 oca adiativa ente uma supefície e as suas vizinhanças. 88 Figua 54 oca adiativa ente uma supefície e as suas vizinhanças. 88 Figua 55 ansfeência de Calo em uma Paede Plana. 89 8

10 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 56 ansfeência Convectiva de Calo. 9 Figua 57 oca Radiativa Líuida ente duas Supefícies. 94 Figua 58 Faixas de Condutividade témica paa váios estados da matéia. 97 Figua 59 Volume de Contole Infinitesimal (Coodenadas Catesianas). 0 Figua 60 Volume de Contole Infinitesimal (Coodenadas Cilíndicas). 04 Figua 6 Volume de Contole Infinitesimal (Coodenadas Esféicas). 05 Figua 6 ansfeência de Calo atavés de uma Paede Plana. 08 Figua 63 Cicuito émico. Figua 64 ansfeência de Calo atavés de uma Paede Plana. 3 Figua 65 Cicuito témico euivalente. 4 Figua 66 Paede Composta. 6 Figua 67 Cicuitos émicos Euivalentes numa Paede Composta. 6 Figua 68 - Queda de tempeatua devido à esistência témica de contato. 7 Figua 69 ansfeência de Calo atavés de um Cilindo Oco. 9 Figua 70 ansfeência de Calo tavés de uma Paede Cilíndica Composta. Figua 7 Ilustação do exemplo acima, tubo com paedes delgadas. 4 Figua 7 Paede Cilíndica Composta. 5 Figua 73 Compotamento das Resistências émicas com. 8 Figua 74 ansfeência de Calo atavés de uma Casca Esféica. 9 Figua 75 Condução em uma paede plana com geação unifome de calo. (a) Condições de contono assiméticas. (b) Condições de contono 3 assiméticas. (c) Supefície adiabática no plano intemediáio. Figua 76 ansfeência de Calo em uma supefície expandida. 34 Figua 77 Supefície da ual se ue umenta a axa de ansfeência de Calo. 3 Figua 78 Colocação de letas paa umenta a axa de ansfeência de Calo. 3 Figua 79 ocadoes de Calo com tubos aletados. 33 Figua 80 Configuações de letas. 33 Figua 8 Balanço de Enegia em uma Supefície Expandida. 34 Figua 8 letas com Áea da Seção ansvesal Constante. 39 Figua 83 Eficiência de aletas. 44 9

11 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 84 Montagem Repesentativa das letas a) Retang. b) nulaes. 46 Figua 85 Resfiamento de uma peça metálica uente. 47 Figua 86 Distibuição tansiente de tempeatua coespondente a difeentes númeos de Biot, numa paede plana esfiada simeticamente po 48 convecção. Figua 87 - ansfeência convectiva de Calo. 48 Figua 88 Escoamento sobe uma Placa Plana. 49 Figua 89 - camada limite fluidodinâmica. 5 Figua 90 - Pefil de concentação na camada limite. 5 Figua 9 Camada Limite. 53 Figua 9 Camada Limite émica. 56 Figua Viscosidade bsoluta de lguns Fluidos 66 Figua Viscosidade Cinemática de lguns Fluidos à Pessão tm. 67 0

12 Fenômenos de anspote 0/008 abelas abela Sistemas de Unidades. 5 abela Pincipais pefixos paa unidades de Engenhaia. 6 abela 3 Rugosidade paa ubos de Mateiais comuns de Engenhaia. 7 abela 4 Coeficiente de Peda de Caga paa Entada de ubos. 76 abela 5 Coeficientes de Peda de Caga paa Contação e Expansão. 76 abela 6 Coeficiente de Peda de Caga paa Redução Suave da Seção. 77 abela 7 Compimento Euivalente dimensional paa Válvulas e Conexões 78 abela 8 Valoes de h (W/m².K) 9 abela 9 Euações de axa 96 abela 0 Lei de Fouie paa os tês sistemas de coodenadas 96 abela Resistência témica de contato em (a) Intefaces Metálicas sob condições de vácuo e (b) Inteface de lumínio com difeentes fluidos 8 intefaciais abela Resistência émica de intefaces sólido/sólido epesentativas 8 abela 3 Popiedade de Fluidos Gasosos 63

13 Fenômenos de anspote 0/008. Intodução a Mecânica dos Fluidos.. Definição: é a ciência ue estuda o compotamento físico dos fluidos e as leis ue egem tal compotamento. Estudo do compotamento dos fluidos em epouso (Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica)... Objetivo: conhece, compeende e analisa ualue sistema no ual um fluido é o meio poduto de tabalho..3. plicação: máuinas de fluxo (bombas, ventiladoes, compessoes e tubinas), aeonaves, automóveis, submainos, sistemas de auecimento e ventilação de esidências, edifícios comeciais, sistemas de tubulações, copos flutuantes, medicina, etc.. Definição de um Fluido.. Intodução: É uma sustância ue se defoma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (foça tangencial), não impota sua intensidade (figua ). Os fluidos compeendem as fases líuida e gasosa (ou de vapo) das fomas físicas nas uais a matéia existe. Figua Elemento Fluido sob a ção de Esfoço angencial Constante. distinção ente um fluido e o estado sólido fica claa ao se compaado seu compotamento. o se aplicada uma foça tangencial F (fig.a) sobe um sólido fixado ente as duas placas, o bloco sofe uma defomação e se estabiliza no novo fomato. No egime elástico do mateial, ao cessa a aplicação da foça, o sólido etona à foma oiginal. Repetindo a expeiência paa um fluido, ele se defomaá continuamente, enuanto existi uma foça tangencial atuando sobe ele (fig.b).

14 Fenômenos de anspote 0/008 Figua Compotamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a ção de uma Foça de Cisalhamento Constante. a Situação: Figua a Mantida a F t constante o sólido defoma-se-á até alcança uma posição de euilíbio estático. a Situação: Figua b Sob a ação da F t defoma-se continuamente, não se alcançando uma posição de euilíbio estático... Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio ente as moléculas ue compõem o fluido é bastante infeio às dimensões físicas dos poblemas estudados, considea-se o fluido como uma substância ue pode se dividida ao infinito..3. Pincípio da deência: Os pontos de um fluido em contato com uma supefície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os uais estão em contato; não há deslizamento nauelas fonteias. (fig.3) Figua 3 O Pefil de Velocidade Linea no Líuido ente Placas Paalelas Infinitas. 3

15 Fenômenos de anspote 0/ Métodos de análise 3.. Sistema: uantidade de massa fixa e identificável; as fonteias do sistema sepaam-no do ambiente à volta; não há tansfeência de massa atavés das mesmas, calo e tabalho podeão cuza as fonteias, confome mostado na fig. 4. Figua 4 Conjunto Pistão-Cilindo. 3.. Volume de contole: volume do espaço atavés do ual o fluido escoa (abitáio), a fonteia geomética é chamada supefície de contole, confome mostado na fig. 5. Figua 5 Escoamento de um Fluido tavés de um ubo. 4. Dimensões e unidades 4.. Intodução Dimensões: são gandezas mensuáveis (uantidades físicas: podem se pimáias (básicas) e secundáias (deivadas)). Unidades: são nomes abitáios dados às dimensões. 4.. Sistemas de Dimensões Lei da Homogeneidade dimensional: odos os temos de uma expessão matemática, ue, taduz um fenômeno físico, devem possui a mesma dimensão. Exemplo: x x 0 V0 at ( L ) ( L) ( L ) ( L t ) t t t 4

16 Fenômenos de anspote 0/ Sistema de Unidades Pode-se tabalha com difeentes unidades paa as gandezas (massa, compimento, etc.). Países difeentes podem utiliza sistemas de unidades difeentes. Em 960, instituiu-se o Sistema Intenacional (SI), como uma tentativa de padonização. Foam definidas 7 gandezas básicas (massa, compimento, tempo, tempeatua, coente elética, uantidade de matéia e intensidade luminosa) e padonizadas as suas unidades. pati delas, podem se deivadas as unidades das outas gandezas (excetuando-se as gandezas eléticas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Bitânico, as gandezas básicas são foça, compimento, tempeatua e tempo. massa passa a se, potanto, uma gandeza secundáia. SI absoluto: M(massa), L(compimento), t(tempo), (tempeatua), I(coente elética), uantidade de matéia e intensidade luminosa. écnico inglês: F(foça), L(compimento), t(tempo), (tempeatua). abela Sistemas de Unidades. SISEM DE UNIDDES MSS COMPRI- MENO EMPO EMPE- RUR CORRENE ELÉRIC QE DE MÉRI INENSI- DDE LUMINOS SI Kg m s K mol cd BSOLUO g cm s K ÉCNICO utm m s K INGLÊS slug ft s R INGLÊS ÉCNICO lbm ft s R Foça: m N kg s Foça: cm dina g s Massa s slug lbf ft No pêndice B são apesentados os fatoes de convesão ente os sistemas paa as difeentes gandezas. 5

17 Fenômenos de anspote 0/008 ab. apesenta pefixos utilizados em engenhaia paa esceve valoes muitos peuenos ou muito gandes de uma maneia mais concisa. abela Pincipais pefixos paa unidades de Engenhaia. Fato Pefixo Símbolo Multiplicativo 0 9 Giga G 0 6 Mega M 0 3 Kilo k 0 - Deci d 0 - Centi c 0-3 Mili m 0-6 Mico µ 0-9 Nano n 0 - Pico p 5. Popiedades físicas dos fluidos 5.. Peso especifico: (γ) É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. γ: Peso específico [F/L 3 ] γ W W: Peso da substância [F] 3 : Volume do fluido[l ] mg m γ g ρg Unidades: (N/m 3 ; kgf / m 3 ; lbf / ft 3 ) DIM: [F / L 3 ] 6

18 Fenômenos de anspote 0/ Volume específico: (ν) Inveso da massa específica. υ: Volume específico [L 3 /M] υ ρ: Massa específica ou densidade m ρ absoluta [M/L 3 ] Unidades: (m 3 / kg; cm 3 / g; ft 3 / slug; ft 3 / lbm) DIM: [L 3 / M] 5.3. Densidade elativa: (δ,d ou SG) Razão ente a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de efeência. Paa líuidos, o fluido de efeência é a água e, paa os gases, o a. Quando se tabalha com densidades elativas de sólidos, é comum ue a substância de efeência seja a água. ef δ: Densidade elativa [adimensional] ρ δ d SG ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L 3 ] ρ ρfluido δd SG ρfluido padão ρ ef.: Massa específica ou densidade absoluta da substância de efeência [M/L 3 ] γfluido γfluido padaão DIM: [] 7

19 Fenômenos de anspote 0/ Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) ambém conhecida como densidade absoluta, é a uantidade de massa do fluido contida em uma unidade de volume. ρ: Massa específica [M/L 3 ] ρ m m: Massa do fluido [M] 3 : Volume do fluido[l ] Unidades: (kg / m 3 ; g / cm 3 ; slug / ft 3 ) DIM: [M / L 3 ] densidade dos gases vaiam bastante uando são alteadas sua pessão, e/ou sua tempeatua. o contáio, a densidade dos líuidos apesenta peuenas vaiações com alteações de pessão e tempeatua, são, em sua maioia, consideados incompessíveis. Na ab.. (pêndice ), são apesentados valoes de massa específica paa alguns fluidos, a 0 C e atm. s ab.s. e.3 apesentam, espectivamente, a vaiação da massa específica da água e do a com a tempeatua, paa a pessão de atm Módulo da Elasticidade Volumético: (β) Razão ente uma vaiação de pessão e a coespondente vaiação de volume po unidade de volume. β: Módulo de elasticidade volumético P β P: Vaiação de pessão [F/L ] / : Vaiação de Volume[L : Volume[L O sinal negativo indica ue um aumento de pessão coesponde a uma edução de volume. Unidades: (N/m ; kgf / m ; lbf / ft ) 3 ] 3 ] DIM: [F / L ] 8

20 Fenômenos de anspote 0/008 Expessa a compessibilidade do fluido. compessibilidade de uma substância é a medida da vaiação elativa de volume decoente de aplicação de pessão. O módulo de compessibilidade de líuidos costuma se obtido expeimentalmente. No caso de gases, o seu valo depende do tipo de pocesso ue esulta da compessão Condições isotémicas: constante P.V. constante P V P V V P V P P.dV V.dP 0 P.dV - V.dP dv dp V P β P Condições adiabáticas: P.V k constante k C p / C v P. V k k P. V V k.dp V k- P.k.dV 0 P.k.dV V.dP 0 dv dp V kp β kp 5.6. Coeficiente de Compessibilidade: (C) Inveso do módulo de elasticidade volumético. C C: Coeficiente de compessibilidade [L /F] β [F/L ] β: Módulo de elasticidade volumético Unidades: (m /N; m /kgf; ft /lbf) DIM: [L /F] 9

21 Fenômenos de anspote 0/ Campo de velocidade Ente as popiedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume de fluido mostado na Fig. 6. Figua 6 Deteminação do Campo de Velocidades em um Ponto. velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal δ ue passa pelo ponto C no instante de tempo em uestão. O campo de velocidade, V, é função das coodenadas x, y e z e do tempo t. completa epesentação do campo de velocidades é dada po: V V x, y, z, t ( ) O veto velocidade, V, pode se expesso em temos de suas tês componentes escalaes. Chamando estas componentes nas dieções x, y e z de, espectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode se escito como: V uiˆ vj ˆ wkˆ, onde: u u( x, y,z,t), v v( x, y,z,t) e w w( x, y,z,t) Exemplo: Dados os campos de velocidade listados abaixo, detemine: (a) s dimensões de cada campo de velocidade (b) Se está em egime pemanente ou não bx () V [ ae ]i ˆ () V ax ˆ i bxˆj 0

22 Fenômenos de anspote 0/008 (3) V axiˆ bxˆj V ax t i by ˆ (4) ( ) j (5) V a( x y ) ( )k ˆ 3 z ˆ Resolução: () Unidimensional ( V V ( x) ), egime pemanente V V ( t). () Unidimensional ( V V ( x) ), egime pemanente V V ( t). (3) Bidimensional V V ( x, y), egime pemanente V V ( t). (4) Bidimensional V V ( x, y), egime não pemanente V V ( t) (5) idimensional ( ). V V x, y, z, egime não pemanente V V () t. 7. Regime pemanente e tansiente 7.. Regime Pemanente: s popiedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não vaiam com o tempo. definição matemática do movimento pemanente é: η 0, onde η epesenta uma popiedade ualue do fluido. t 7.. Regime ansiente: s popiedades do fluido vaiam com o tempo Campo Unifome de Escoamento: Escoamento no ual o módulo e o sentido do veto velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coodenadas espaciais, atavés de toda a extensão do campo. 8. Escoamentos uni, bi, tidimensional. Os escoamentos podem se classificados em uni-, bi- e tidimensionais de acodo com o númeo de coodenadas necessáias paa se defini seu campo de velocidades. 8.. Escoamento unidimensional: Exemplo: Suponha o escoamento em egime pemanente no inteio de um duto de seção tansvesal constante mostado na Fig. 7.

23 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. pati de uma ceta distância da entada do duto, a velocidade pode se descita pela euação: u u max R Como o campo de velocidades depende apenas da distância adial, o escoamento é unidimensional. 8.. Escoamento bidimensional: Seja agoa o escoamento ente placas divegentes, de lagua infinita (Fig. 8). Como o canal é consideado infinito na dieção do eixo dos z, o campo das velocidades seá idêntico em todos os planos pependiculaes a este eixo. Conseüentemente, o campo de velocidades é função somente das coodenadas x e y. O campo do escoamento é, potanto, bidimensional. Figua 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional.

24 Fenômenos de anspote 0/ Linhas de tempo, tajetóias, linhas de emissão e linhas de coente: Na análise de poblemas de mecânica dos fluidos, feüentemente é vantajoso obte uma epesentação visual de campo de escoamento. al epesentação é povida de linhas de tempo, de tajeto, de emissão e de coente. Se num campo de escoamento uma uantidade de patículas fluidas adjacentes foem macadas num dado instante, elas fomaão uma linha no fluido nauele instante, esta linha é chamada de linha de tempo. Uma linha de tajeto é o caminho ou tajetóia taçada po uma patícula fluida em movimento. Paa toná-la visível, temos ue identifica uma patícula fluida, num dado instante, po exemplo, pelo empego de um coante; em seguida, tiamos uma fotogafia de exposição polongada do seu movimento subseüente. linha taçada pela patícula é uma tajetóia. Po outo lado, podeíamos pefei concenta a atenção em um luga fixo do espaço e identifica, novamente pelo empego do coante, todas as patículas fluidas ue passam po auele ponto. pós um cuto peíodo, teíamos uma ceta uantidade de patículas fluidas identificáveis no escoamento. odas elas, em algum momento, teiam passado po um local fixo no espaço. linha em ue une as patículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão. s linhas de coente são auelas desenhadas no campo de escoamento, de foma ue, num dado instante, são tangentes à dieção do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de coente são tangentes ao veto velocidade em cada ponto do campo, não pode have escoamento atavés delas. No escoamento pemanente, a velocidade em cada ponto do campo pemanece constante com o tempo e, em conseüência, as linhas de coente não vaiam de um instante a outo. Isto implica ue uma patícula localizada numa deteminada linha de coente pemaneceá sobe a mesma. lém disso, patículas consecutivas passando atavés de um ponto fixo do espaço estaão sobe a mesma linha de coente e, subseüentemente pemaneceão nela. Então num escoamento pemanente, tajetóias e linhas de emissão e de coente são linhas idênticas no campo de escoamento. foma das linhas de coente pode vaia de instante a instante se o escoamento fo tansiente. Neste caso, as tajetóias, as linhas de emissão e as linhas de coente não coincidem. 3

25 Fenômenos de anspote 0/008 Exemplo: Considee o campo de escoamento V axt i b j, onde a 0, s - e b 3 m/s. s coodenadas são medidas em metos. Paa a patícula ue passa pelo ponto (x, y) (3,) no instante t 0, tace a tajetóia duante o intevalo de tempo de t 0 a t 3 s. Compae esta tajetóia com as linhas de coente ue passam pelo mesmo ponto nos instantes t 0, e 3 segundos. Resolução: Patindo do pincípio dx u e dt dx dx u axt, dt at. dt x x x0 t 0 dy v, então: dt ln x x at 0 e at 0e x 3 x x e 0,t e também, y t dy v b, dt dy bdt, y y0 bt y 3t y0 0 0,t x 3e Região a se plotada no plano xy. y 3t emos ue dy dx s dy b Logo:. dx axt v. u plicando euações difeenciais temos: y dy y 0 x x 0 b dx at x ou b x y y 0 ln. at x 0 Substituindo os valoes de a, b, x 0 e y 0, x Paa t y 5ln 3 t x y 7,5ln 3 t3 x y 5ln 3 5 x y ln. t 3 4

26 Fenômenos de anspote 0/008 Exemplo: O campo de velocidade V ax i by j, onde a b s -, pode se intepetado como epesentando o escoamento numa cuva em ângulo eto. Obtenha uma euação paa as linhas de coente do escoamento. ace divesas linhas de coente no pimeio uadante, incluindo auela ue passa pelo ponto (x,y) (0,0). Resolução: inclinação das linhas de coente no plano xy é dado po: dy v dx u Paa V ax i by j, façamos u ax e v -by, logo: dy v b. y dx u a. x Paa esolvemos esta euação difeencial, sepaamos as vaiáveis e integamos: dy y b dx a x b ln y ln x c c constante a ln y ln x b a ln c ln c constante 5

27 Fenômenos de anspote 0/008 Potanto: y cx b a Paa o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. s linhas de coente são obtidas definindo valoes difeentes paa a constante de integação c. Como a b sec - a, então, e a euação das linhas de coente é dada po: b y cx c x ou c x y Paa c 0, y 0 paa todo valo de x e x 0 paa todo valo de y. euação c y é a euação da hipébole. x s cuvas estão mostadas paa difeentes valoes de c Campo de ensão anto foças de supefície uanto foças de campo são encontadas no estudo da mecânica dos meios contínuos. s foças de supefícies atuam nas fonteias de um meio atavés de um contato dieto. s foças desenvolvidas sem contato físico e distibuídas po todo o volume do fluido são denominadas foças de campo. s foças gavitacionais e eletomagnéticas são exemplos de foças de campo. foça gavitacional atuando sobe um elemento de volume, dv, é dada po ρ gdv, onde ρ é a massa específica (massa po unidade de volume) e g é a aceleação local da gavidade. Segue-se ue a foça de campo gavitacional é g po unidade de massa. ρ g po unidade de volume e O conceito de tensão nos dá uma foma conveniente de desceve o modo pela ual as foças atuantes na fonteias do meio são tansmitidas atavés deles. Então campo de 6

28 Fenômenos de anspote 0/008 tensões seia a egião atavés da ual as foças atuantes seiam tansmitidas atavés de toda extensão do mateial. Como a foça e a áea são ambas uantidades vetoiais, podemos peve ue o campo de tensão não seá vetoial. O campo de tensões nomalmente é chamado de campo tensoial devido ao campo possui nove componentes ue se compotam como um tenso de ª odem. Dividindo a magnitude de cada componente da foça pela a áea, δ x, e tomando o limite uando δ x se apoxima de zeo, definimos as tês componentes da tensão mostadas abaixo: τ xx δf lim δ x τ xy x δf lim δ y τ xy x δf lim δ δx 0 δx 0 δx 0 z x Utilizamos o índice duplo paa designa tensões. O pimeio índice (neste caso x) indica o plano no ual a tensão atua (neste caso a supefície pependicula ao eixo x). O segundo índice indica a dieção na ual a tensão atua. ambém é necessáio adota uma convenção de sinais paa a tensão. Uma componente da tensão é positiva uando o seu sentido e o plano no ual atua são ambos positivos ou ambos negativos. 9. Viscosidade 9.. Viscosidade Dinâmica ou bsoluta: (µ) Popiedade ue detemina o gau de esistência do fluido à foça de cisalhamento, ou seja, a dificuldade do fluido em escoa. Seja o compotamento de um elemento fluido ente placas infinitas. placa supeio move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma foça aplicada δ F x. 7

29 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 9 Defomação de um Elemento de Fluido. tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada po: τ δfx δy yx lim δy 0 dfx dy taxa de defomação é igual a: δα lim δt 0 δt dα dt distância ente os pontos M e M é dada po: δ l δvδt (a) Paa peuenos ângulos, δl δyδα (b) Igualando-se (a) e (b), δα δu dα du δt δy dt dy Paa fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é popocional à taxa de defomação, ou: du du τ yx τ yx µ. dy dy constante de popocionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. DIM: [F.t / L M/L.t] Unidades: (N.s/m ; kgf.s /m ; lbf.s /ft ) Os fluidos mais comuns, como a água, o a e a gasolina, são newtonianos em condições nomais. 8

30 Fenômenos de anspote 0/008 Se consideamos as defomações de dois difeentes fluidos newtonianos, po exemplo, gliceina e água, veificaemos ue eles ião se defoma as taxas difeentes sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada. gliceina apesenta uma esistência à defomação muito maio do ue a água. Dizemos, então, ue ela é muito mais viscosa. ab..8 apesenta valoes de viscosidade absoluta paa alguns fluidos. O compotamento da viscosidade paa alguns fluidos Newtonianos é apesentado na Fig.. e... Pode-se nota ue, paa os gases, a viscosidade aumenta com a tempeatua, enuanto ue os líuidos apesentam compotamento inveso. 9.. Viscosidade Cinemática: (ν) Razão ente a viscosidade dinâmica e a massa específica. ν: Viscosidade cinemática [L /t] µ υ µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L ] ρ DIM: [L /t] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L 3 ] Unidades: (m /s; cm /s; ft /s) Uma unidade comum paa a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo Stokes cm /s Númeo de Reynolds: (Re) Númeo adimensional, obtido pela azão ente as foças de inécia e as foças viscosas. Caacteiza o compotamento global do escoamento de um fluido. Re: Númeo de Reynolds [adimensional] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L 3 ] * * ρv L Re V*: Velocidade do fluido [L/t] µ L*: Compimento caacteístico [L] 9

31 Fenômenos de anspote 0/008 DIM: [] µ Viscosidade dinâmica [F.t/L ] O númeo de Reynolds é o adimensional mais impotante da Mecânica dos Fluidos. Ele detemina a natueza do escoamento (lamina ou tubulento). Paa escoamentos no inteio de tubos, o valo aceito paa se caacteiza a tansição do escoamento lamina paa tubulento é 300. Paa escoamento sobe uma placa plana, o valo é 5x0 5. Devese essalta ue V* e L* coespondem, espectivamente, à velocidade e ao compimento caacteístico do escoamento. Paa escoamentos no inteio de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no inteio do tubo e L*, o seu diâmeto. Paa escoamentos sobe placas planas, V* é a velocidade da coente live e L*, o compimento da placa. Figua 0 Exemplo paa o Cálculo do Númeo de Reynolds. Como a viscosidade absoluta da gliceina é 500 vezes supeio à viscosidade da água, paa ue os fluidos, escoando no inteio de tubos com o mesmo diâmeto, tenham compotamentos semelhantes (mesmo númeo de Reynolds), a velocidade da gliceina deve se 74 vezes maio do ue a velocidade da água ipos de escoamento: - Escoamento lamina ( em tubulações Re 300 ) - Escoamento tubulento (Re > 4000) 30

32 Fenômenos de anspote 0/008 Mecânica dos Fluidos Fluido não viscoso µ 0 Fluido viscoso µ 0 Compessível Incompessível Ma < 0,3 Lamina Re 300 ubulento Re > 4000 Figua Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. O escoamento compessível ou incompessível é definido a pati de um paâmeto chamado númeo de Mach, ue é definido como sendo a azão da velocidade do escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio. V Ma S Exemplo: Um eixo com diâmeto exteno de 8 mm gia a 0 otações po segundo dento de um mancal de sustentação estacionáio de 60 mm de compimento. Uma película de óleo com espessua de 0, mm peenche a folga anula ente o eixo e o mancal. O toue necessáio paa gia o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo ue se enconta na folga anula, em (Pa.s) Resolução: Paa calcula a viscosidade do óleo devemos utiliza a fómula de tensão de cisalhamento: du τ µ. dy Pimeiamente devemos convete a velocidade paa uma unidade na ual possamos tabalha: 3

33 Fenômenos de anspote 0/008 W 0ps ot. π. 0ot 0.. π. 5,6ad / s m umax ω,3 s ou u u u max max max ω π. n d 30 π. d. n 60 Devemos calcula agoa a áea de contato ente o fluido e o mateial: Pelo toue, podemos tia a foça: π. D. L π8.0 3, τ F m τ F 0,0036 F F 0,4N ssim podemos calcula o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à foça: µ F dy du 3 0,4.0,.0 µ, onde 3 3,39.0.,3 N. s µ 0,008 m du dy 3 u y max 0. Pessão Foça execida em uma unidade de áea. P: Pessão [F/L ] F P F: Foça [F] : Áea [L ] Unidades: (N/ m Pa; atm; lbf / ft ; m.c.a; lbf / ft psi; mmhg) DIM: [F / L ] 3

34 Fenômenos de anspote 0/008 pessão é uma vaiável dinâmica muito impotante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento só é possível se houve um gadiente de pessão. Paa gases ideais, a pessão pode se elacionada à densidade e à tempeatua atavés da seguinte expessão: P nr Onde: n: uantidade de matéia [mol] R : constante univesal dos gases 8,344 kj/kmol.k F. L DIM: mol. k. : tempeatua absoluta do gás [] Se, ao invés do númeo de moles, fo consideada a massa m do gás, a euação pode se eescita na foma: P mr Onde R é a constante específica de cada gás, elacionada à constante univesal dos gases atavés da massa molecula do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Intenacional. ab..4 apesenta as massas moleculaes de alguns gases comuns. R R MM ab..9 mosta as popiedades temodinâmicas de gases comuns na condição padão ou standad. pessão atuando na base de um ecipiente contendo um fluido em epouso pode se calculada da maneia mostada a segui: Figua Exemplo do Cálculo da Pessão na Base de um Recipiente. 33

35 Fenômenos de anspote 0/008 pessão na supefície do fluido é igual a P 0. foça na supefície do fluido é dada po P 0 foça execida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: F fluido ( h) g ρgh mg ρ g ρ foça na base do ecipiente é, então, obtida como a soma da foça na supefície do fluido e do peso da coluna de fluido: F Fsup efície F F P ρgh 0 fluido pessão na base do ecipiente é dada pela azão ente a foça e a áea da base: P F F supefície F fluido P0 ρgh P P0 ρgh Paa condições pé-fixadas, P 0, ρ e g são constantes. ssim, a pessão é função apenas da altua da coluna de líuido h. 0.. Lei de Pascal: No inteio de um fluido em epouso, a pessão é constante em cada ponto. Figua 3 Fluido em Repouso.. Fluidoestática É a pate da Mecânica dos Fluidos ue estuda o compotamento dos fluidos em epouso. condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidostática. Em um poblema de hidostática, o objetivo pincipal é, em geal, a deteminação da distibuição de foças ou pessões em um elemento fluido. 34

36 Fenômenos de anspote 0/008.. euação básica da estática dos fluidos: Dois tipos genéicos de foças podem se aplicados a um fluido: foças de copo e foças de supefície. s foças de copo, também chamadas de foças de campo, são as foças desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distibuídas po todo o seu volume. É o caso das foças gavitacionais e eletomagnéticas. De uma maneia geal, a única foça de copo ue deve se consideada na maioia dos poblemas de Mecânica dos Fluidos é a foça gavitacional, ou o peso. s foças de supefície são auelas ue atuam nas fonteias de um meio, atavés do contato dieto. Se um fluido estive em epouso, só podeão esta pesentes foças nomais à supefície (po definição, o fluido é a substância incapaz de esisti a foças de cisalhamento sem se defoma). única foça de supefície a se consideada é, potanto, a foça de pessão. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostado na Fig. 4. z dz x y Figua 4 Volume de Contole Infinitesimal. dy dx foça total atuando no elemento é dada po: df df df dm. g df C S S foça líuida de pessão é dada pela soma da foça de pessão em cada uma das faces do elemento. foça de pessão atuando na face esueda do elemento é: df L P dy p dx. dzj ˆ y foça de pessão na face dieita é dada po: df R P dy p dx. dz y ( ˆj ) 35

37 Fenômenos de anspote 0/ foça líuida de pessão é dada pela soma das foças de pessão em todas as faces do elemento, ( ) j dx dz dy y P p i dy dz dx x P p dy dzi dx x P p F d S ˆ. ˆ. ˆ. ( ) ( ) k dx dy dz z P p dx dyk dz z P p j dx dz dy y P p ˆ. ˆ. ˆ. dx dy dz k z P j y P i x P F d S.. ˆ ˆ ˆ foça total é dada, potanto, po: dx dy dz k z P j y P i x P dm g df dm g F d S.. ˆ ˆ ˆ.. Como dx dy dz d dm... ρ. ρ, ( ) d P g dx dy dz k z P j y P i x P g dx dy dz df... ˆ ˆ ˆ..... ρ ρ ª Lei de Newton estabelece ue: dm a df. Paa um elemento fluido em epouso, a aceleação deve se nula e o somatóio de todas as foças deve se zeo. ssim, ( ) 0. P g ρ Esta é uma euação vetoial, ue pode se decomposta em tês euações escalaes, 0 x g x P ρ 0 y g y P ρ 0 z g z P ρ Paa simplifica a euação, é conveniente adota um sistema de eixos no ual o veto gavitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema fo escolhido com o eixo z apontado paa cima ) ˆ ( k g g, as euações podem se eescitas como: 0 x P 0 y P 0 z P Se o fluido pude se consideado incompessível, a difeença de pessão ente dois pontos do fluido seá dietamente popocional à difeença de altua ente eles (Fig.5).

38 Fenômenos de anspote 0/008 Conclusões:. Não há vaiação de pessão na dieção hoizontal, ou seja, dois pontos uaisue, situados a uma mesma altua e no mesmo fluido em epouso, estão submetidos à mesma pessão;. pessão vaia na dieção vetical, sendo esta vaiação devida ao peso da coluna fluida (Euação Fundamental da Hidostática); 3. No limite paa z infinitamente peueno (elemento tendendo a um ponto), P z P n P x, ou seja, a pessão em um ponto de um fluido estático é independente da oientação (Lei de Pascal). Se o fluido pude se consideado incompessível, a difeença de pessão ente dois pontos do fluido seá dietamente popocional à difeença de altua ente eles - Euação Fundamental da Hidostática (Fig.5). Figua 5 Vaiação de Pessão em um Fluido Estático. P P B C ρgh Os valoes de pessão devem se estabelecidos em elação a um nível de efeência. s maneias de se expessa a pessão vaiam, potanto, com o nível de efeência adotado. Quando o nível de efeência é zeo (vácuo), as pessões são denominadas absolutas. Quando o nível de efeência é a pessão atmosféica local, as pessões são denominadas pessões manométicas ou efetivas... Pessão Manomética: Pessão medida tomando-se como efeência o valo da pessão atmosféica (P atm ). P atm atm 0,35 kpa,033x0 4 kgf/m,033 kgf/cm 0,33 m.c.a. 760 mmhg 37

39 Fenômenos de anspote 0/008 pessão manomética pode assumi valoes positivos, negativos ou nulos. Se P>P atm, P man > 0 Se P<P atm, P man < 0 Se PP atm, P man 0.3. Pessão bsoluta: Pessão medida a pati do zeo absoluto. P P P ou P abs man atm P abs P man atm pessão a se utilizada em cálculos envolvendo euações de gás ideal ou outas euações de estado é a pessão absoluta. Figua 6 Exemplo do Cálculo das Pessões bsoluta e Manomética..4. O Baômeto de Mecúio: aplicação mais simples da lei da hidostática é o baômeto, ue é um medido de pessão atmosféica. Neste dispositivo, um tubo é peenchido com um fluido de alto peso específico (gealmente o mecúio), invetido e megulhado em um esevatóio contendo o mesmo fluido. No pocesso de invesão do tubo, o mecúio desce, ciando vácuo na pate supeio do tubo, como mostado na Fig

40 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 7 O Baômeto de Mecúio. P P P P P ' E P P P PE ρgh 0 vácuo ρgh atm atm pontos isobáos(mesma altua no mesmofluido em epouso) ρgh γh Potanto, a pessão atmosféica pode se medida a pati da altua de uma coluna líuida de mecúio. h 760 mmhg atm 760mmHg.5. plicação paa a Manometia: P P ρg z z ( z z ) P P ρg P P γ Uma vaiação na elevação é euivalente a uma vaiação de pessão. Figua 8 Vaiação de Pessão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39

41 Fenômenos de anspote 0/008 ) P P ρ mg( z ) z5 ) P P ρ g g( z ) z 4 3) P P ρ ag( z ) 3 z3 4) P P ρ og( z ) z gupando as euações acima temos: P ( z z ) ρ g( z z ) ρ g( z z ) ρ g( z ) 5 P ρ og a 3 g 3 4 m 4 z5 Exemplo: ) Detemine a pessão manomética no ponto a, se o líuido tem densidade elativa d 0,75, e o líuido B, d B,0. O líuido em volta do ponto a é água e o tanue à esueda está abeto paa a atmosfea. P atm d 0,75 36pol P P3 d B,0 P Figua 9 Ilustação do exemplo acima, vasos comunicantes. Resolução: Paa calcula a pessão no ponto a, devemos calcula a difeença de pessão do ponto em abeto (P atm ), até chega em a. Pimeiamente faemos algumas tansfomações paa simplifica os cálculos: pol 5,4 mm 36 pol 0,94 m 5 pol 0,38 m 0 pol 0,54 m 5 pol 0,7 m 40

42 Fenômenos de anspote 0/008 Calculamos as difeenças de pessão: P P atm P ρ ρ. g. h f. padão 3 B atm. SG. g. h B atm P.0.,0.9,8.0, ,60Pa P P ρ. g. h P P ρ B f. padão. SG. g. h B 3 P 0.759,60.0.,0.9,8.0, ,47Pa P P3 ρ. g. h P3 P ρ f. padão 3. SG. g. h 3 3 P3 6.74,47.0.0,75.9,8.0, ,07Pa Pa P3 ρh o. g. h 43 Pa ρ. g. h P3 ho 3 43 Pa.0.9,8.0, , ,8Pa emos então como pessão no ponto a : Pa 7.83, 8Pa.6. ipos de Manômetos:.6.. Manômetos de líuido: São tubos tanspaentes e cuvos, gealmente em foma de U, ue contêm o líuido manomético. Paa medição de altas pessões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mecúio. No caso de menoes pessões, utilizam-se fluidos com menoes pesos específicos, como água ou óleo. Figua 0 Manômeto de Líuido. 4

43 Fenômenos de anspote 0/008 4 B B atm B atm B p p gh p p gh p p h h ρ ρ Figua Manômeto de Líuido. B b atm B a atm B gh p p gh p p p p ρ ρ Figua Manômeto de Líuido. a B b man C B b atm B a C B gh gh p gh p p gh p p p p ρ ρ ρ ρ,

44 Fenômenos de anspote 0/ Manômetos metálicos: São instumentos usados paa medi as pessões dos fluidos atavés de um tubo metálico cuvo (ubo de Boudon) ou de um diafagma, ue cobe um ecipiente metálico. São os manômetos mais utilizados em aplicações industiais. Figua 3 ubo de Boudon. Figua 4 Manômeto de Diafagma.. Euilíbio dos Copos Flutuantes Um copo flutuante ou submeso em um fluido sofe um empuxo de baixo paa cima de uma foça igual ao peso do volume do fluido deslocado. s densidades dos líuidos podem se deteminadas obsevando-se a pofundidade de flutuação de um densímeto. Se um copo está imeso ou flutua em um fluido, a foça ue nele atua denomina-se empuxo de flutuação. Seja o objeto mostado na Fig. 5, imeso em um fluido em epouso. Figua 5 Copo Imeso em um Fluido Estático. O empuxo vetical no cilindo elementa de volume d é dado po: 43

45 Fenômenos de anspote 0/008 df P d Pd df df ( Patm ρgh ) d ( Patm ρgh ) ρg( h h ) d ρgd d O empuxo total é obtido integando-se df, ou seja, F df ρ gd ρg.. Pincípio de uimedes: odo copo imeso em um fluido em euilíbio ecebe, po pate do fluido, um empuxo vetical de baixo paa cima, numeicamente igual ao peso do volume deslocado pelo copo. O copo pode esta, no entanto, imeso ou flutuando no fluido. Copo Imeso: E peso do volume de fluido deslocado E ρ W ρ fluido copo copo copo g g Copo Flutuante: E peso do volume de fluido deslocado E ρ W ρ fluido copo deslocado copo g g 44

46 Fenômenos de anspote 0/008 Situações Possíveis: Copo Pemanece otalmente Imeso e em Euilíbio: E W ρ ρ fluido copo Copo funda W > E ρ > ρ copo fluido Copo Fica Pacialmente Imeso E > W ρ > ρ fluido copo O ponto de aplicação do empuxo é chamado Cento de Flutuação ou de Caena (C). Coesponde ao cento de gavidade do volume de fluido deslocado. 45

47 Fenômenos de anspote 0/008 Copo Pemanece otalmente Imeso e em Euilíbio: O cento de flutuação coincide com o cento de gavidade do copo. Copo funda O cento de flutuação coincide com o cento de gavidade do copo. Copo Fica Pacialmente Imeso O cento de flutuação está localizado abaixo do cento de gavidade do copo. Quando o copo está em euilíbio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o copo fo afastado da condição de euilíbio, pode ocoe uma das seguintes situações: Copo imeso 46

48 Fenômenos de anspote 0/008 Se fo aplicado um afastamento θ do euilíbio no copo, ele pemaneceá na nova posição. ssim, E e W estaão sempe na mesma linha de ação. Nesta situação, o copo está em euilíbio indifeente. Copo flutuante Figua 6 Cálculo do Metacento de um Copo Submeso. Se o copo fo inclinado de um peueno ângulo θ (Fig. 6b), o volume da pate de fluido deslocado iá se altea, povocando uma mudança na posição do cento de flutuação do copo, ue muda de B paa B'. linha vetical passando po B' iá intecepta a linha de simetia do copo no ponto M, chamado Metacento. Se o metacento estive localizado acima do CG do copo, haveá um momento estauado, ue tendeá a etona o copo paa a sua posição de euilíbio inicial. Neste caso, o copo se enconta em euilíbio estável. Se o metacento estive localizado abaixo do CG do copo, o momento tendeá a afasta o copo ainda mais da posição de euilíbio inicial. Neste caso, o copo está em euilíbio instável. 3. Fluidodinâmica Os fluidos podem se analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de contole, figuas 7 e Sistema: Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem se fixos ou móveis, mas não se veifica tanspote de massa atavés deles. 47

49 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 7 Conjunto Pistão-Cilindo. 3.. Volume de Contole: Volume abitáio do espaço, atavés do ual o fluido escoa. O contono geomético do volume de contole é denominado Supefície de Contole. supefície de contole pode se eal ou imagináia, e pode esta em epouso ou em movimento. Figua 8 Escoamento de um Fluido atavés de um ubo elação ente as deivadas do sistema e a fomulação paa volume de contole: s leis da Mecânica são escitas paa um sistema. Elas estabelecem o ue ocoe uando há uma inteação ente o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos poblemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos poblemas utilizandose a fomulação de volume de contole. O teoema de anspote de Reynolds pemite ue as leis da Mecânica sejam escitas paa um volume de contole. Se N fo uma popiedade extensiva abitáia ualue, o eoema de anspote de Reynolds estabelece ue: Nsistema η dm massa( sistema) ( sistema) ηρd (N) é uma popiedade extensiva (vaia dietamente com a massa). Exemplo: massa. (η) é uma popiedade intensiva (independente da massa). Exemplo: tempeatua. 48

50 Fenômenos de anspote 0/008 dn dt Onde: sistema t C ηρ d SC ηρv d dn dt sist. : é a taxa de vaiação total de ualue popiedade extensiva abitáia do sistema. t C ηρ d : é a taxa de vaiação com o tempo, da popiedade extensiva abitáia, (N), dento do volume de contole. η: é a popiedade intensiva coespondente a N (ηn po unidade de massa). ρ d : é um elemento de massa contido no volume de contole. C ηρ d : é a uantidade total da popiedade extensiva, N, contida no volume de contole. SC ηρ V d : é a vazão líuida em massa, da popiedade extensiva, N, saindo pela supefície de contole. ρ V d : é a vazão em massa atavés do elemento de áea d. ηρ V d : é a vazão em massa da popiedade extensiva, N, atavés da áea d. V n : é o poduto escala ente o veto velocidade e o veto nomal à áea Euação da continuidade (de consevação da massa) paa um volume de contole abitáio: Se este teoema fo aplicado à euação de consevação da massa, dm N sistema M η dm dm dt sistema t C ρ d SC ρ( V n) d Como a massa não vaia no inteio do sistema, dm dt sistema 0 49

51 Fenômenos de anspote 0/008 t C ρ d SC Onde: V n u cosθ ρ ( V n) d 0 Deve se essaltado ue o poduto escala ente o veto velocidade e o elemento de áea é dado po: V. d V d cosθ, onde θ é o ângulo ente o veto velocidade e o veto nomal à áea. Como o veto nomal à áea é sempe pependicula a ela, apontando paa foa, uma entada de tubulação tem θ 80 e uma saída de tubulação tem θ 0 Na entada de uma tubulação, V n u, e, na saída, V n u Paa um volume de contole fixo, ρ V n d ρu ρu SC ( ) saída entada Como o volume de contole é fixo, C ou C dρ d dt dρ d dt saída saída ρu m& entada entada ρu 0 m& Casos especiais: Em algumas situações, é possível simplifica a euação de consevação da massa. Paa escoamento em egime pemanente, não há vaiação das popiedades do escoamento com o tempo. ssim, a euação é escita como: SC ρ V d 0 Ou, paa um escoamento com um númeo finito de entadas e saídas, esta euação é dada po: 50

52 Fenômenos de anspote 0/008 saída m & m& 0, lembando ue o poduto escala dento da integal é positivo paa entada saídas e negativo paa entadas. Paa um fluido incompessível, a massa específica não vaia com o tempo ou com a posição. ssim, a euação de consevação da massa pode se escita como: ρ t C d ρ ( V n) d 0 SC ρ entada ρ saída integal de d em todo o volume de contole é simplesmente o volume. Como ele não vaia ao longo do tempo, a euação de consevação da massa paa fluidos incompessíveis é dada po: SC V d 0 Definindo-se a vazão volumética Q po: Q V d SC a euação de consevação da massa pode se escita, paa um númeo finito de entadas e saídas, como: saída Q Q 0 entada velocidade do escoamento vaia em uma dada seção. Define-se a magnitude da velocidade média em uma seção como sendo a azão ente a vazão volumética e a áea da seção, ou: V Q V d SC Vazão Mássica e Vazão Volumética: Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento ue pode se descito po apenas uma coodenada espacial s, função do tempo, ou seja, po s(t). 5

53 Fenômenos de anspote 0/008 Figua 9 Escoamento Unidimensional. Seja m a massa fluida ocupando a áea no instante de tempo t: m& ρ vazão mássica, definida como sendo a taxa de vaiação da massa com o tempo, é dada po: dm d( ρ ) m& dt dt plicando-se a ega da cadeia, dm d( ρ ) m& dt dt Mas: d d ds ( s) u dt dt dt ssim: dρ m& ρu dt DIM: [M/t] dρ Paa escoamento incompessível, 0. dt m& ρu vazão volumética, ou a taxa de vaiação do volume com o tempo, é dada po: d Q u dt DIM: [L 3 /t] vazão mássica e a vazão volumética podem se elacionadas pela expessão: m& ρq 5

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