MODELAÇÃO MATEMÁTICA DO TRANSPORTE DE MISTURAS GRANULOMÉTRICAS. Equações de conservação para modelos unidimensionais.

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1 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DO TRANSPORTE DE MISTURAS GRANULOMÉTRICAS. Equações de conservação para modelos unidimensionais. Rui M. L. FERREIRA Assistente, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, Lisboa, Portugal; tel: , João G. A. B. LEAL Assistente, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Universidade da Beira Interior, Edifício II das Engenharias, Calçada Fonte do Lameiro, Covilhã, Portugal; tel: , António H. CARDOSO Professor Associado, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, Lisboa, Portugal; tel: , RESUMO A vasta aplicabilidade dos modelos unidimensionais e seu baio custo computacional, justificam que se proceda ainda a esforços que conduzam ao seu aperfeiçoamento. Em particular importa abordar conjuntamente o transporte selectivo de misturas granulométricas e a evolução morfológica de cursos de água uma vez que, constata-se, são fenómenos indissociáveis. No presente trabalho desenvolve-se um modelo matemático unidimensional consistindo num conjunto de equações de conservação consideradas suficientes para a descrição dos principais processos observáveis. Obtémse um sistema de equações diferencias parciais aberto, i.e., com um número de incógnitas superior ao número de equações. Serão necessárias, portanto, equações de fecho de cariz semi- -empírico. Considerando válidas as hipóteses de Saint-Venant, são apresentados argumentos para a divisão do sistema a modelar em camadas de transporte e acumulação de sedimentos, caracterizados por uma razoável homogeneidade interna no que diz respeito às grandezas velocidade e concentração de sedimentos. Em particular, faz-se uso do conceito de camada de mistura. As fronteiras entre camadas podem ser atravessadas e permitem fluos de matéria. Mostra-se como o modelo permite quantificar a pertinência de termos pouco utilizados nos modelos clássicos, nomeadamente os relacionados com a inércia dos sedimentos e a acumulação de sedimentos na coluna de água. PALAVRAS CHAVE: modelação matemática, misturas granulométricas.

2 INTRODUÇÃO Apesar das compleas interacções entre os fenómenos relativos às fases líquida e sólida que se constatam em escoamentos com superfície livre e leito móvel, eiste uma gama de problemas morfodinâmicos para os quais a modelação unidimensional apresenta uma relação favorável entre esforço computacional e a qualidade das previsões. São eemplos os problemas de ruptura súbita de barragens em vales regulares, i.e., sem alargamentos ou estreitamentos bruscos, ou a evolução, a longo prazo, da granulometria da camada superficial de trechos de rio sem apreciável curvatura. A vasta aplicabilidade dos modelos unidimensionais e seu baio custo computacional, justificariam, por si, que 9 anos após o trabalho pioneiro de de Vries (965) se procedam ainda a esforços que conduzam ao aperfeiçoamento desses modelos (ver trabalhos recentes como o de Cao et al. 200). No entanto, será uma terceira razão aquela que melhor justificará o ainda elevado investimento científico. Os avanços fenomenológicos decorrem de ensaios laboratoriais ou trabalhos de campo em condições controladas e as fórmulas resultantes são parametrizadas em relação às macrovariáveis do escoamento unidimensional como a velocidade, a altura do escoamento ou a tensão arrastamento. Assim, é em modelos unidimensionais que se ensaiam numericamente as fórmulas que serão aplicadas em modelos bidmensionais em planta ou mesmo tridimensionais. Daqui decorre que as propriedades da estrutura global dos modelos deve ser conhecida para que se possam isolar os efeitos e, portanto, a qualidade das equações de cariz semi-empírico. No presente trabalho pretende-se apresentar um sistema de equações de conservação aplicável a escoamentos variáveis com superfície livre e leito móvel, composto de sedimentos não coesivos e de granulometria etensa. O delicado compromisso entre a qualidade dos resultados, a compleidade formal do modelo e a dificuldade computacional conduz a que nem todos os fenómenos sejam passíveis de serem descritos por equações de conservação. O sistema será, assim, aberto, i.e., com um número de incógnitas superior ao número de equações, sendo alguns fenómenos abordados por intermédio de equações de fecho. Estas são apresentadas em Ferreira (2004). Considerando que o conhecimento dos aspectos hidrodinâmicos dos problemas de propagação de cheias é suficientemente detalhado, o ênfase do presente modelo estará na descrição dos processos transitórios morfodinâmicos e relativos à dinâmica do transporte de sedimentos. Sendo a evolução morfológica de um curso de água e o transporte selectivo de misturas granulométricas processos indissociáveis, o modelo será desenhado para que ambos os fenómenos sejam abordados em simultâneo. Outro aspecto eplicitamente abordado é o transporte de sedimentos em situações de não equilíbrio (doravante desequilíbrio) devido, por eemplo, ao ecesso de alimentação ou à privação de alimentação de sedimentos a montante. Em particular, observa-se o efeito do eventual esgotamento de algumas fracções granulométricas, fenómeno conhecido como encouraçamento estático. Os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das principais hipóteses subjacentes ao modelo e à dedução das equações de conservação. Posteriormente, será discutida a pertinência de termos pouco utilizados nos modelos clássicos, nomeadamente os relacionados com a inércia dos sedimentos e a acumulação de sedimentos na coluna de água. Finalmente, serão apresentados alguns eemplos de aplicação. 2 DESCRIÇÃO DO SISTEMA FÍSICO E DAS HIPÓTESES ASSUMIDAS As primeiras tentativas de modelação de escoamentos com superfície livre e leito móvel evitavam a descrição eplícita dos fluos verticais de sedimentos entre o escoamento e o leito, preferindo a inclusão dos seus efeitos por intermédio de uma fórmula de caudal sólido, parametrizada a partir de variáveis do escoamento como a velocidade, a altura do escoamento ou a tensão de arrastamento. O resultado é suficientemente bom se as escalas temporais forem suficientemente 2

3 elevadas. O modelo aplicável a escoamentos variáveis analisado por de Vries (965) parte desse mesmo princípio. As equações de conservação compreendem as equações de Saint-Venant para água limpa e uma equação de conservação da massa de sedimentos no leito, denominada por Yalin (992, p. 25) por equação de Ener-Polya. Este sistema pode escrever-se h uh + = 0 () u u h η τb + u + g + g = (2) hρw η q ( p) + s = 0 () em que h é a altura do escoamento, u é a velocidade média, η é a cota do leito, τ b é a tensão de arrastamento, q s é o caudal sólido em volume, p é a porosidade do leito, ρ w é a massa volúmica da água e g a aceleração da gravidade. O sistema é fechado por equações que dizem respeito à resistência ao escoamento e ao transporte de sedimentos em equilíbrio. Com alguma perda de generalidade, estas relacionam o caudal sólido e a tensão de arrastamento com h e u e com um conjunto de parâmetros do fluido (viscosidade, massa volúmica,...) e dos sedimentos (diâmetro mediano, massa volúmica, coeficiente de graduação,...), i.e., qs = qs ( h, u; ) e τ b = τ b ( hu, ; ). Veja-se Yalin (992), Capítulo, quanto à forma completa das parametrizações de τ b e de q s. Implícitas no sistema () a () estão as hipóteses de Saint-Venant, nomeadamente a distribuição hidrostática de pressões implicada pela pequena curvatura das linhas de corrente e o pequeno declive do canal. Outras hipóteses compreendem: i) a baia concentração de sedimentos; ii) quantidade de movimento associada aos sedimentos negligenciável; iii) transporte sólido em equilíbrio iv) sedimentos caracterizáveis por um diâmetro médio; e v) escalas temporais dos fenómenos da fase líquida e da fase sólida distintas, assumindo que os fenómenos da fase sólida são consideravelmente mais lentos que os da fase sólida. Esta última hipótese está implícita na escolha das equações. Decorre da ausência de termos que procedam ao acoplamento eplícito das equações. Repare-se que o acoplamento entre os processos morfodinâmicos e hidrodinâmicos está consignado somente na dependência simultânea da tensão de arrastamento e do caudal sólido das variáveis h e u. Repare-se ainda que a conhecida interdependência entre a resistência ao escoamento e o transporte sólido só é eplicitamente considerada num conjunto limitado de formulações. Com base nas hipóteses i) a v), acima listadas, notoriamente a hipótese da separação de escalas, o modelo () pode ser ulteriormente simplificado. Em particular, se o escoamento for permanente, vários são os modelos que consagram a separação de escalas em separação procedimental quanto ao cálculo dos processos relativos às fases líquida e sólida (cf. Thomas & Prashun 977). Assim, a curva de regolfo num dado curso de água é calculada, num primeiro momento, com base nas equações da hidráulica de escoamentos com superfície livre e, num segundo b momento, a evolução morfológica é calculada a partir da Eq. (). Se, por eemplo, qs = au, esta equação pode ser escrita como t u bqs η (, t) =η0( t0, ) dτ (4) u( p) t0 em que o tempo t 0 é um tempo de referência, no qual se conhecem as variáveis do sistema, nomeadamente, h 0, u 0, η 0, as suas derivadas e q s0. Uma lista não eaustiva de casos em que o modelo acima é inaplicável abarca: a) o transporte de sedimentos em desequilíbrio, b) o transporte selectivo de misturas granulométricas c) os escoamentos em que as concentrações são elevadas como o debris e sheet-flow. Como se eplicou

4 anteriormente o modelo que aqui se apresenta procura, fundamentalmente, simular conjuntamente a evolução morfológica de cursos de água e o transporte selectivo de misturas granulométricas, não esquecendo os fenómenos associados do encouraçamento estático e dinâmico (cf. Jain 2000). De facto, uma das características geomorfológicas mais vincadas em rios e em canais longos com leito móvel é a variação da composição granulométrica do leito, que se observa nas direcções longitudinal e lateral e, também, em profundidade. Por eemplo, verificam-se alterações na estrutura vertical da composição granulométrica do leito relacionadas com a procura de estados locais de equilíbrio morfológico, no sentido espacial e temporal. A composição superficial de leitos em equilíbrio é frequentemente mais grosseira que a do substrato, indiciando que o declive de equilíbrio não foi atingido por um simples basculamento do leito mas sim pela remoção selectiva das fracções granulométricas mais finas. No limite, se o aporte de sedimentos numa fronteira de montante for muito reduzido, todas as fracções granulométricas finas terão sido removidas ou estarão protegidas pelas fracções grosseiras e o leito atingirá um estado de equilíbrio dinâmico instável: a capacidade de transporte é maior que a quantidade de sedimentos transportados apenas porque a camada superficial do leito protege as fracções potencialmente móveis. O trabalho de Hirano (97) condicionou durante mais de 2 décadas a investigação sobre a modelação dos fenómenos relativos ao transporte de misturas granulométricas e é, ainda hoje, uma das abordagens conceptualmente mais bem fundamentadas. O conceito de camada de mistura, situada entre a camada de transporte de sedimentos e o leito, permitiu organizar a informação empírica quanto aos fluos verticais entre o leito e a camada de transporte de sedimentos. Trabalhos como os de Armanini e Di Silvio (988) ajudaram a estabelecer o paradigma no qual se inserem os chamados modelos de camada múltiplas. Nestes modelos procura-se manter a simplicidade computacional dos modelos unidimensionais enquanto se abordam eplicitamente os fluos verticais de sedimentos. Em particular, as trocas entre o leito e a camada de transporte é condicionada pela dinâmica da camada de mistura. Esta age fundamentalmente como um filtro, condicionando a entrada das fracções no leito e escolhendo as fracções que, em função das condições hidrodinâmicas, podem entrar em movimento. Obviamente, este comportamento será regulado por epressões apropriadas de cariz semi-empírico. Em geral, o conceito de camada é entendido, em sentido lato, como uma porção dos escoamento em que a dimensão longitudinal é muito superior à dimensão normal ao sentido do escoamento e no qual as variáveis fundamentais são aproimadamente constantes na direcção normal ao escoamento (uniformes na parcela da secção que diz respeito a essa camada). As fronteiras são linhas virtuais, por eemplo, linhas de corrente médias no tempo. As variáveis são, assim, velocidades, concentrações ou quantidades de movimento médias, quer no tempo quer em profundidade. Por eemplo, a velocidade média numa dada camada é u m y + h 0 = u( ξ)dξ h y em que h é a espessura da camada e y0 a cota da sua base. No presente modelo considerem-se as camadas constantes na figura.. A primeira camada, camada [], identifica-se com a coluna de água, na qual são transportados sedimentos finos em suspensão. Na camada [2] processa-se o transporte por arrastamento. Um traço fundamental do modelo fica consagrado nesta distinção: a sua aplicabilidade restringe-se aos casos em que a distinção conceptual transporte em suspensão/transporte por arrastamento é aplicável. Esta distinção implica que: i) a espessura da camada de transporte por arrastamento seja muito menor que a profundidade do escoamento e é da ordem de grandeza das fracções mais grosseiras transportadas por arrastamento; ii) não eista segregação entre os sedimentos em suspensão e o escoamento médio, i.e., a velocidade média dos sedimentos suspensos seja igual à velocidade média da mistura; iii) eista segregação entre 0 4

5 os sedimentos transportados por arrastamento e o escoamento líquido na respectiva camada de transporte, i.e., a velocidade média de transporte de uma dada fracção granulométrica seja menor que a velocidade média da mistura e iv) a distinção entre sedimentos finos e grosseiros seja feita com base na velocidade relativa do fluido circundante e não na natureza dos fluos verticais de sedimentos. Repare-se, no entanto, que a definição de [2] radica na eistência de sedimentos grosseiros. Assim, em [] encontram-se apenas sedimentos finos mas em [2] coeistem finos e grosseiros []; [ ] [ 2 ] [ ] [ 4 ] Figura Idealização do sistema físico para os modelos de camadas múltiplas. A camada [] é a camada de mistura, na qual se processam as trocas entre os sedimentos, finos ou grosseiros, entre a camada [2] e o leito. Este último corresponde à camada [4] e define-se por uma camada passiva onde os sedimentos são acumulados. Nas últimas duas camadas a velocidade longitudinal dos sedimentos é nula. Refira-se, por último que se admite que os sedimentos em qualquer das camadas possuem a mesma densidade s = ρg ρ w em que ρ g é a massa volúmica dos sedimentos. De seguida, deduzir-se-ão as equações de conservação do modelo com base na aplicação dos princípios fundamentais da Mecânica dos Fluidos às correspondentes grandezas de cada uma das camadas apresentadas na figura. APRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO. Aplicação dos princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento Nesta secção mostra-se como se aplicaram os princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento a fim de obter as equações fundamentais do modelo. Antes de proceder à dedução das equações de conservação da massa devem precisar-se alguns termos relativos à concentração e à massa volúmica de uma dada fracção granulométrica. Assim, refira-se que a concentração mássica e a concentração volumétrica são equivalentes dado que todas as fracções granulométricas têm a mesma massa volúmica. A concentração volumétrica na camada [] é C ˆ () () () sw Cf f = em que em que () () f é o volume de sedimentos finos contidos no volume de controlo da camada [] e é o volume total. Esta concepção estática de concentração é válida porque se admite que não eiste segregação entre os sedimentos suspensos e o escoamento líquido circundante. De igual modo, a concentração de sedimentos finos na camada [2] é definida por C ˆ (2) (2) (2) sb Cf f = em que os volumes envolvidos são definidos como os da camada [2]. A 5

6 concentração de sedimentos grosseiros na camada [2] terá que ser definida a partir do fluo de partículas numa dada secção, ou seja, ˆ (2) (2) (2) Ccb Cc = c. Assim, o caudal sólido unitário total na camada [2] define-se por δ (2) qb ( ) = ur nds B δt B (5) em que δδé t o operador da derivada convectiva num referencial Euleriano e B é a largura do canal. Da mesma forma, o caudal sólido unitário de sedimentos grosseiros em [], é (2) δ c q cb (6) B δt Note-se que o caudal sólido em (6) é aquele medido eperimentalmente pelo método volumétrico. É diferente, todavia, do caudal estimado a partir de uma imagem lateral do escoamento em que a concentração estática é multiplicada pelo caudal total médio. A concentração de sedimentos grosseiros na camada [2] define-se, assim, por Ccb = qcb qb. Quanto às velocidades nota-se que (2) q = δ b ( ) B δt = qcb + qwb = ucbccbhb + uwb ( Ccb ) hb (7) em que hb δ é a espessura da camada [2], qwb é o caudal de líquido e sedimentos suspensos na camada [2], u cb é a velocidade dos sedimentos grosseiros em [2] e u wb é a velocidade do fluido na mesma camada, a qual é, relembre-se, por causa da segregação dos sedimentos grosseiros, maior que u cb. A partir de (5) e de (7) verifica-se que a velocidade média, u b, na camada [2] é uh b b = ucbccbhb + uwb ( Ccb ) hb ub = ucbccb + uwb ( Ccb) (8) ou seja, é uma média ponderada das velocidades de cada fracção granulométrica e da velocidade média do fluido circundante. Quanto aos caudais sólidos das fracções transportadas em suspensão verifica-se que, porque não se admite segregação, q ws = u s h s C ws e qsb = uwbhbcwbem que q ws, u s, h s ec ws são, respectivamente, o caudal sólido de sedimentos suspensos, a velocidade média, a espessura e a concentração de sedimentos suspensos em [] e q sb, u wb e C wb são as quantidades homologas na camada [2]. Desta discussão releva que a modelação do transporte das misturas grosseiras necessita da definição das concentrações mas também das velocidades médias dos sedimentos transportados por arrastamento. Tendo as definições acima presentes, o teorema do transporte de Reynolds pode ser aplicado para obter as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento. Por eemplo quanto aos sedimentos grosseiros na camada [2] tem-se dm dt (2) c ( sist) c d 0 d = ρ = dt sist d dt (2) (2) ρ d + ρ nds = 0 (2) (2) (2) c c ur Integrando no tempo e atendendo a que a velocidade e massa volúmica são constantes na secção transversal da camada, obtém-se t2 2 t2 d ˆ(2) ˆ(2) ˆ(2) bρ cbdd + b cb cb b cb cb dt ρ + ρ t t ( ) ( ) l h t l h u l h u dt 2 t 2 2 t () (,2 g c,2 ) ( 2, s cb 2, ) + l ρ C ˆ φ + l ρ C φ dd t = 0 6

7 () ˆc em que C é a concentração de sedimentos grosseiros na camada de mistura, φij, são fluos de fluido de i para j e as grandezas l são larguras do canal. Aplicando a regra de Leibnitz, obtém-se t t ( ˆ(2) (2) ) dd ( ˆ bρ cb + bρcb cb ) l h t l h u dd t t t t 2 2 t () (,2 g c,2 ) ( 2, s cb 2, ) + l ρ Cˆ φ + l ρ C φ dd t = 0 Definindo os fluos de sedimentos como φ ci, j = Cc φ i, j, agrupando os mesmos, e (2) considerando que canal é prismático, i.e., ˆl = l,2 = l2, = B, obtém-se, finalmente, a equação de conservação da massa de sedimentos grosseiros na camada [] na forma integral t t (2) ( bρ c ) + ( bρcb b) t t t 2 2 s c,2 dd t 0 (9) t h ˆ dd t h u dd t + ρφ = Sendo o elemento de integração de dimensão arbitrária, é o integrando de (9) que se anula. Considerando que ρ cb =ρ g Ccb, obtém-se ( hc b cb) + ( C cb u cb h b) φc,2 = 0 (0) A Eq. (0) é a equação de conservação da massa de sedimentos grosseiros na camada [2]. Se se aplicar a técnica acima descrita às restantes fracções granulométricas e ao fluido nas restantes camadas obtêm-se as equações de conservação da massa. Quanto às equações de quantidade de movimento, obtêm-se da 2ª lei de Newton dp ( ) v dt = d = ( sist) et c ud F dt ρ () sist A equação de quantidade de movimento do fluido nas camadas [] e [2] pode encontrar-se na bibliografia, por eemplo, em Jain (200), Capítulo. Neste teto importa decidir se a quantidade de movimento associada aos grãos transportados por arrastamento é ou não negligenciável. Para tanto observe-se a figura 2 em que se mostra uma vista em planta de um dos ensaios laboratorial descritos em Ferreira et al. (2002). Trata-se de um ensaio de transporte selectivo de misturas granulométricas no qual as fracções mais grosseiras permanecem imóveis. As setas brancas correspondem ao movimento instantâneo de algumas partículas. Na direcção paralela ao escoamento, a quantidade de movimento do conjunto de partículas cujos centros de massa se encontram numa tira de comprimento d, arbitrariamente pequena, é N dps = ρg piupi (2) i= em que u pi e pi são, respectivamente, a velocidade e o volume de cada uma das partículas em movimento e N é o número destas partículas. Note-se que, para garantir a compatibilidade com a Eq. (), a Eq. (2) garante a conceptualização Eulereana da quantidade de movimento associada às partículas em movimento. O volume das partículas deve ser epresso em função do diâmetro médio, D, e de um coeficiente de forma, α D, estimado para cada classe. O problema seguinte é a tradução da Eq. (2) numa função contínua por intervalos. É fácil compreender a necessidade da descrição 7

8 contínua da quantidade de movimento: considerando que o número de partículas em movimento é finito, o sub-conjunto de d para o qual a quantidade de movimento não é zero é de medida nula. O correspondente integral seria, portanto, nulo. P si (MLT - ) d - (L) Figura 2 vista em planta de um escoamento no qual se processa o transporte selectivo de misturas granulométricas. As setas brancas são proporcionais à quantidade de movimento das partículas, o qual é quantificado no sistema de eios à esquerda. O ensaio caracteriza-se por τ* 50 = Pelo contrário, se a quantidade de movimento correspondente a cada evento de movimento for distribuída por um comprimento finito, δ s, pode obter-se uma função integrável. Este argumento está ilustrado na figura. P si (MLT - ) p s (MT - ) - (L) δ s (L) - (L) lim δ 0 s Figura Quantidade de movimento num segmento d. Esquerda: distribuição discreta; direita: distribuição contínua equivalente. A transformação subjacente é tal que p si s si P si = p δ e si s lim δ = 0 se i e p si s δ 0 δ = P se = i. Note-se que a função δs tende para a função de Kronecer à medida que d tende para zero. A quantidade de movimento em d = 2 é, assim, s 2 () δ s Ps π Ps =ρg αdidi upi d B 6 B É desejável que a taa de variação quantidade de movimento das partículas, representada pola Eq. (), seja epressa na forma diferencial para que se possa comparar com a conservação da quantidade de movimento da mistura de água e de sedimentos suspensos. Para tanto é necessário, para além de derivar a Eq. (), encontrar uma epressão funcional para δ s e converter a função contínua por intervalos p si numa função contínua diferenciável. Esta última tarefa é de fácil realização 8

9 se considerar que em cada instante p si é uma soma de Darbou de uma função contínua e diferenciável. Tomando uma série temporal suficientemente longa, podem-se calcular a média e os momentos considerados necessários para a correcta descrição contínua de p si. Em particular, pode separar-se em valor médio e flutuação, tal como a decomposição das grandezas turbulentas. Este processo está ilustrado na figura 4. p s (MT - ) t = t (T) p s (MT - ) t = t 2 (T) p s (MT - ) t = t n (T) α DD u p δs (L T - ) ( α D ) D ' u p ' δs (L T - ) Figure 4 Conversão de p si numa parcela média, contínua e diferenciável e numa parcela flutuante, igualmente contínua e diferenciável Quanto à função δ s, pode demonstrar-se que esta pode ser escrita que χ é a concentração média medida em área, definida por s N ( τ) s 4 DD B s δ = πα χ em 4 π αdi Di dτ t t i= 4π αd D χ s = N db db A manipulação do integral na Eq. () eige, como se pode demonstrar (ver Ferreira 2004), o conhecimento de cada um dos termos de D = α D + ( α D )' α D D D e u p = u p + u p ', o produto das sua médias e covariância da distribuição de conjunta do volume e da velocidade das partículas. Quanto ao produto α Du, verifica-se que a sua variação temporal é da ordem de grandeza da D p variação do caudal sólido total. Deste resultado decorre que esta quantidade é função das variáveis macroscópicas do escoamento, nomeadamente da tensão de arrastamento. Quanto à covariância ( DD ) ' α u ', dados recentes obtidos da análise de imagens como as da figura 2 (ver Ferreira 2004) p parecem indicar que as partículas maiores tendem a apresentar maiores desvios em relação à média, e, reciprocamente, as menores partículas tendem a mostrar desvios padrão menores. Mostra-se na figura 5 um eemplo dos resultados eperimentais obtidos que permitem estimar ( α DD ) ' u p '. Aquela particular organização dos dados permite verificar que a maior parte dos eventos movimento ocorre nos primeiro e terceiro quadrantes, a que correspondem velocidades e 9

10 volumes respectivamente, superiores e inferiores, às respectivas médias. Portanto, é de esperar que as partículas maiores que a média atinjam velocidades maiores que a média e que partículas menores que a média possuam velocidades menores que a média. u p '/u * V p '/D m Figure 5 Distribuição conjunta das flutuações da velocidade e do diâmetro das partículas. Os mesmos dados permitem ainda verificar que a distribuição da velocidade para um dado volume, f p ( u p p ), é insensível ao valor da tensão de arrastamento, pelo que também o será em ordem ao tempo, já que u p só varia no tempo se τ b variar. Nas condições acime descritas mostra-se que a soma das variações locais e convectiva da quantidade de movimento é σg Ccb ρg gc f ( αvσ gd uccb) + ( αdd )' u p ' 6 2 α D D ( ) ( ) σg Ccb Fp + gc fu αvσ gdu Ccb + gc f u α DD ' u p ' = (4) 2 α h DD em que Fp representa as forças eteriores que resultam da interacção entre as partículas e o fluido, C f é o coeficiente de resistência da fórmula de Chézy, σ g é o desvio padrão geométrico de uma dada classe granulométrica, e α V é um coeficiente relacionado com o º momento da distribuição do volume das partículas. Valores típicos das grandezas intervenientes na Eq. (4) foram estimados por Ferreira (2004). Assim, para D = 0.00 m, α D = 0.8, σ g = 2.6 tem-se α V = 7.5 e ( D ) ' ' D u p α = 0 8. Considerando C f = 0.00, a conservação da quantidade de movimento das partículas fica u Ccb h Ccb h Ccb u Ccb 80 Ccb u u.00 t + u h h u F 4 u Ccb Ccb h 4 Ccb u Ccb h p + 50 u Ccb u u 2.00 u + u = h u h (5) hρw Como se pode observar na Eq. (5), os termos relativos à derivada material da quantidade de movimento são multiplicados por coeficientes da ordem de 0 (derivada local) ou 0 4 (derivada convectiva). Na maior parte das aplicações práticas, estes valores são suficientemente baios para que a contribuição dos sedimentos transportados por arrastamento seja desprezada. Quanto à sensibilidade destes valores, verifica-se que são afectados primordialmente pela distribuição de volumes e pela distribuição conjunta dos volumes e velocidades das partículas. Em todo o caso a variação não ecederá uma ordem de grandeza, pelo que se pode, em geral, prescindir destes termos na equação de conservação da quantidade de movimento. 0

11 Retomando a apresentação do modelo, apresentam-se de seguida as equações de conservação que resultam da aplicação do teorema do transporte de Reynolds às camadas da figura..2 Equações de conservação do modelo Na camada [] as equações de conservação são hs ushs + φ cs = 0 (6) 2 ( ) ( ) 2 ρ suh s s + ρ sus hs + g 2 ( ρ shs ) = uiφbs ρsh η s τbs (7) ( Cs h ) ( ) s + Cs u shs φ Sbs = 0 (8) em que u φ é um fluo vertical de quantidade de movimento associado ao fluo vertical de massa φbs I cs entre as camadas [] e [2]. A velocidade característica u I é a velocidade no interface entre ambas as camadas e pode ser considerada igual à velocidade média. A massa volúmica da mistura envolve uma média entre os constituintes sólido e líquido e define-se como ρ s =ρ w( + ( s ) Cs). Na camada [2] as equações de conservação são hb ubhb + +φbs φ mb = 0 (9) 2 2 ( ) ( ) η ρ suwbhb + ρ suwb hb + g 2 ( 2ρ shs hb + ρ shb ) = ui φbs ρ shb +τbs τb (20) ( Cc h ) ( ) b + Cc u cb h b +φsbs φ Smb = 0 (2) Repare-se que na equação de quantidade de movimento, Eq. (20), está incluída a hipótese de que a quantidade de movimento relativa ao movimentos dos sedimentos grosseiros seja negligenciável. No leito têm-se as seguintes equações de conservação da massa ( Y ) +φ = 0 e p ( Y ) t b mb ( ) t b +φ Smb = 0 (2)(a)(b) Na camada de mistura, a aplicação do princípio de conservação da massa permite obter Yb LaF ( p) fi + ( p) +φ 0 Smb = (24) em que La A é a espessura da camada de mistura, tipicamente da ordem de grandeza de D 90 se o leito for plano, ou da amplitude das formas de fundo, se estas eistirem. A fracção granulométrica fi é a que ocorre no interface entre o leito imóvel e a camada de mistura e a fracção granulométrica F é a que ocorre na camada de mistura. Verifica-se ser computacionalmente mais cómodo escrever a Eq. (24) como Ha + ( Cc u ) cb h b + Cs u s h s = fi φ Smb (25) em que H = ( p) L F + C h + C h. Note-se que uma das fracções granulométricas é a a c b s s obtida com base na conservação das restantes e na conservação da massa total no leito. Sem perda de detalhe fenomenológico, as equações acima podem ser agrupadas da seguinte forma

12 ( h+ Yb ) + ( uh) = 0 (26) 2 2 ( ) ( ) η ρ suh + ρ su h + g 2 ( ρ sh ) = ρsh τb (27) ( Cs h ) ( ) s + Cs u shs =φscs (28) ( Cc h ) ( ) c + Cc u c h c = φsbc φ Scs (29) ( Ha ) + ( C ) c u c h c = fi φ Sbc (0) Yb ( p) +φ Sbc = 0 () O sistema composto pelas equações (27) a () está escrito na forma conservativa e a solução numérica correspondente a um esquema de discretização adequado pode conter descontinuidades, na forma de gradientes muito pronunciados. Trata-se de um sistema de +(n-) equações em que n é o número de fracções granulométricas. As incógnitas são h, u, η, C s, C c e F, =...n. Necessita de um maior número de equações de fecho mas pode ser utilizado em situações de transporte em desequilíbrio. Obviamente, a qualidade da resposta dependerá da qualidade das formulações semiempíricas de fecho. Se o transporte de sedimentos for pouco intenso, se não se verificarem gradientes muito pronunciados e se os sedimentos forem passíveis de serem descritos por um único diâmetro representativo, as equações (26) a (), podem escrever-se na forma não conservativa, sem os termos de fonte que dão conta dos fluos verticais de sedimentos e sem a equação de conservação da camada de mistura. O sistema resultante, de equações para as incógnitas h, u e η, escreve-se h +α η h u + u + h = 0 (2) u u η α2 ( α + M (( p) C) + M ( C Cs )) h 2 Cs 2 u C h + M ( u + gh 2 ) M h+ ( C Cs ) + g h h h Cs 2 C u η τb + M ( u + gh 2 ) um u + ( C Cs ) + u g u u + = () ρsh η Cs h Cs u C h C u ( p) + Cs h h C h u C u h 0 t + h = (4) u h u em que M = ( s ) ( + ( s ) Cs ) e α, e α 2 devem tomar o valor para que se obtenha o máimo efeito de acoplamento entre os fenómenos da fase líquida e o da fase sólida. Repare-se que o modelo de de Vries preconiza, α = 0, α 2 = 0, M = 0 e C s = 0. O parâmetro M permite considerar, na equação de conservação da quantidade de movimento, a inércia dos sedimentos transportados em suspensão. Se se calcularem as características, λ i, do sistema hiperbólico representado pelas Eqs. (2) a (4), podem avaliar-se os efeitos de se considerar, como é comum em modelos unidimensionais, α = 0, α 2 = 0 e C s = C. Os resultados podem ser vistos na figura 6. Observando a figura 6 verifica-se que, para números de Froude elevados, as diferenças nos resultados dos modelos completo e simplificados podem ser tão altas quanto 5%. Um modelo simples como o representado pelas Eqs. () a () dever se utilizado só para Fr < 0., de acordo com a figura 6. 2

13 R / R (-) λ λ 2 λ C Fr ( ) C, Cs (-) R / R (-) λ λ 2 λ C Fr ( ) C, Cs (-) Figura 6 Características, λ i, do sistema composto pelas Eqs. (2) a (4). Esquerda: variação relativa devido a se considerar C s = C ( ) e α = 0 ( ). Direita: idem se considerar α = 0. 4 APLICAÇÕES Os resultados do modelo constituído pelas Eqs. (2) a (4), complementado pela Eq. (0), podem ser vistos nas figuras 7 e 8. Na figura 7 mostram-se uma comparação entre observação e resultados do modelo matemático composto por (2), (), (4) e (0). η (m) t (min) h (m) Bed elevation, Multi-Layer Bed elevation, Diffusive η (m) t (min) Water depth, Multi-Layer Water depth, Diffusive Figura 7 Evolução temporal da cota do fundo e da superfície livre. Dados laboratoriais e resultados do modelo em equilíbrio. Esquerda: erosão generalizada culminando em encouraçamento estático; direita: deposição generalizada. Figura retirada de Ferreira et al. (2000). Verifica-se que o modelo reproduz sem dificuldade o estado de equilíbrio correspondente ao encouraçamento estático. Da mesma forma, os níveis correspondentes à deposição generalizada são adequadamente modelados. Na figura 8 mostra-se a variação em profundidade da granulometria do fundo após as situações de deposição generalizada e erosão generalizada culminando em encouraçamento. Note-se que em ambos os casos a camada superficial é mais grosseira que os substratos. Se no caso do encouraçamento, o modelo não tem dificuldade em captar a tendência, no caso da deposição os resultados não reproduzem adequadamente as observações. Na figura 9 mostram-se os resultados do modelo composto pelas equações (26) a (). A utilização do modelo completo e na forma conservativa impôs-se porque o teste, conceptual, contempla h (m)

14 a entrada súbita pela fronteira de montante de uma cheia que conduz ao desenvolvimento de gradientes muito pronunciados. D 80 D 90 D 80 D 90 D 50 D 70 D 50 D 70 D 0 D 20 D 0 D 0 D 20 D η (mm) η (mm) Figura 8 Distribuições granulométricas no leito correspondentes aos testes da figura 7. h (m) (m) u (m) (m) t = 0 s z (m) , Y, Ys (m) (m) (m) Figure 9 Resultados do modelo completo em desequilíbrio, Eqs. (26) a (). Repare-se que o número de Froude é, no início, da ordem de Verifica-se que, para as equações de fecho empregues, a resposta do modelo é satisfatória, apresentando o perfil do fundo a configuração esperada durante uma cheia. 4

15 5 CONCLUSÕES Com o presente trabalho pretendeu-se eplicar o procedimentos necessários à construção de um modelo conceptual para a simulação de escoamentos com superfície livre e leito móvel composto de sedimentos não coesivos e de granulometria etensa. O modelo é formado por equações de conservação, na forma de um sistema hiperbólico de equações diferenciais parciais, e de equações de fecho. Procurou-se persuadir o leitor de que, apesar de os traços fundamentais da modelação unidimensional de escoamentos fluviais terem sido estabelecidos por de Vries em 965, estes modelos são ainda úteis e passíveis de serem melhorados. Mostrou-se que a compleidade dos fenómenos fluviais, nomeadamente a profunda interacção entre as fases líquida e sólida e a interacção entre os processos do transporte em desequilíbrio e do transporte selectivo de misturas granulométricas, obriga a que, em várias situações práticas, se utilizem modelos tão compleos como aquele epresso nas Eqs. (26) a (). Em particular, nos casos em que podem ocorrer fortes gradientes, por eemplo uma cheia decorrente da ruptura de uma barragem, não é possível obter bons resultados com modelos mais simples que este. Procurou-se ainda mostrar que termos são verdadeiramente importantes na equação de conservação da quantidade de movimento e qual o efeito de desprezar termos computacionalmente incómodos ou, simplesmente, tradicionalmente ignorados. Por eemplo, a inércia dos sedimentos e a acumulação de sedimentos na coluna de água. Apresentaram-se alguns eemplos de aplicação nos quais ficou patente que a estrutura do modelo é adequada à simulação dos processos fluviais. Quantitativamente, é um truísmo relembrar que os resultados serão tanto melhores quanto mais aplicáveis forem as equações de fecho. AGRADECIMENTOS Agradece-se o apoio financeiro dado pela Comissão Europeia através do projecto IMPACT no âmbito do quinto programa ( ), Environment and Sustainable Development programme. BIBLIOGRAFIA ARMANINI, A. & DI SILVIO, G. A one-dimensional model for the transport of a sediment miture in non-equilibrium conditions. J. Hydraul. Res., 26 (),988, pp CAO, Z., DAY, R. & EGASHIRA, S. Coupled and decoupled numerical modeling of flow and morphological evolution in alluvial rivers. J. Hydraul. Eng., 28, 200 pp DE VRIES, M. Considerations about non-steady bed-load transport tin open-channels. Proc. XI IAHR Congress, Leningrad, URSS, 965. FERREIRA, R. M. L Sediment movement in rivers and associated morphodynamics. One-dimensional conceptual model and numerical solutions. PhD Thesis, Instituto Superior Técnico, FERREIRA, R.M.L. & CARDOSO, A.H. Modelling the morphologic evolution of graded sediment beds using multiple bed layers and diffusive flu concepts, Proc. 4th International Conference on Hydroscience and Engineering, Sept , Seoul, Korea, 2000 (CD ROM). FERREIRA, R.M.L.; LEAL, J.G.A.B. & CARDOSO, A.H. On the interaction between turbulent flow structures and sediment transport in open-channels. Proc. River Flow 2002, Louvain, Bélgica, Sept HIRANO, M. River bed degradation with armouring. Trans. of the JSCE,, Part 2, 97. JAIN, S. C. Open-channel flow, John Wiley & Sons, THOMAS, W. A. & PRASUHN, A. L. "Mathematical Modeling of Scour and Deposition," J. Hydraul. Div., ASCE, 0 HY8, 977, pp YALIN, M. S. River Mechanics. Pergamon Press,

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