Conceitos de Poroelasticidade Aplicados à Análise do Ensaio de Palheta em Fluxo Transitório.

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1 Coceitos e Poroelasticiae Aplicaos à Aálise o Esaio e Palheta em Fluxo Trasitório. Gracieli Diestma Doutoraa em Geotecia, Uiversiae Feeral o Rio Grae o Sul, Porto Alegre, Brasil, Samir Maghous Proessor Associao, Uiversiae Feeral o Rio Grae o Sul, Porto Alegre, Brasil, Ferao Schai Proessor Associao, Uiversiae Feeral o Rio Grae o Sul, Porto Alegre, Brasil, RESUMO: Os processos que cotrolam o luxo trasitório são uametais à iterpretação e esaios e campo, sobretuo quao executaos em materiais siltosos e permeabiliae itermeiária, como resíuos e mieração e outros geomateriais. Neste cotexto, o presete trabalho etalha o estuo o esaio e palheta em luxo trasitório. A aálise escrita oi esevolvia através a moelagem aalítica e uma geometria equivalete em poroelasticiae ão-liear. Os resultaos obtios pelo moelo esevolvio são comparaas com preições uméricas (sotware ABAQUS), e com resultaos e esaios e palheta em resíuos e zico. PALAVRAS-CHAVE: eeitos e velociae, esaios e campo, palheta, poro-elasticiae, MEF. INTRODUÇÃO A eiição as coições e reagem urate a execução e esaios e campo é um os aspectos uametais à iterpretação os esaios, ecessária à estimativa e parâmetros geotécicos. Etretato, eiir as coições e reagem e esaios executaos em materiais ão covecioais (materiais e comportameto siltoso, siltes, argilas-siltosas, areias-siltosas) aia carece e eiições precisas. Curvas características e reagem - relação etre um tempo ormalizao, ou velociae ormalizaa e esaio e grau e reagem tem sio aotaas para orietar o plaejameto as ivestigações executaas estes materiais (e.g. House et al (), Schai et al (4), Raolph e Hope (4), Bei (6), Chug et al (6), Scheier et al 7, Oliveira et al (), DeJog (), etre outros), porém, muitas estas são obtias por correlações iretas e geralmete empíricas. O presete trabalho procura cotribuir este estuo aalisao o problema e torção e um ciliro rígio e comprimeto iiito e usao os resultaos para iterpretação o esaio e palheta em luxo trasitório. A moelagem aalítica é baseaa em coceitos e poroelasticiae ão-liear. A moelagem o problema em elemetos iitos (sotware ABAQUS) é realizaa para valiação o moelo aalítico. Fialmete a aboragem é usaa em um estuo e caso aplicao a esaios e palheta em resíuos e zico. MODELAGEM ANALÍTICA. Problema poroelástico A teoria poroelástica escrita por Coussy (4) eie que o meio poroso é costituío e uma superposição e uas ases cotíuas, ase sólia e ase luia, seo que o comportameto a ase sólia ou matriz sólia é escrito pelos

2 pricípios a elasticiae, e o luio é tratao como um material viscoso, que escoa seguo uma lei e luxo (Lei e Darcy). A solução e um problema e luxo em poroelasticiae eve veriicar as leis e coservação massa (Equação ), e caracterizar o comportameto o material por uma lei costitutiva. As Equações e Equação 3 caracterizam as equações e estao o meio poroso. m (u - u) t () o m σ σ (K G) trε G ε MB o 3 () o m u u b.trε (3) M o seo m a variação a massa luia, (u-u) a o variação o excesso e poro pressão, é a permeabiliae eiia por = k/w, oe k é o coeiciete e permeabiliae e Darcy e w o peso especíico o luio (água), K o móulo e eormação volumétrica, G o móulo e eormação cisalhate, ε tesor e eormações, B = b oe b é o coeiciete e Biot seguo Equação 4, e M é o móulo e Biot e acoro com Equação 5. K b (4) K s Φ (5) M N Kw seo: b Φ (6) N K s oe é a porosiae iicial e Kw o móulo e compressibiliae o luio (água). Sequecialmete apreseta-se as coições e cotoro o problema proposto. Observa-se, que o presete trabalho o meio poroso é cosierao isotrópico, e a matriz porosa é cosieraa icompressível.. Coições e cotoro Para eiição as coições e cotoro caracterizou-se o torque ecorrete a rotação a geometria equivalete (cilíro iiito) através a aplicação e uma rotação e erêcia (Figura ) em um tempo t. O eslocameto iuzio poe ser represetao iretamete a seção trasversal por uma ução raial o tipo: ξ h(r) e (7) Figura. Detalhe cilíro iiito A partir esta ução raial são escritas as eormações e tesões cisalhates e acoro com as coições e cotoro. Coições e cotoro em eslocameto: =R eslocameto aplicao em r=r, raio a cilíro; = em r=a - eslocameto ulo em uma istâcia a>>>r, oe a raio e iluêcia ou limite e iluêcia. Coições e cotoro em poro pressão: ut(r,t)/r r=r,t= - coição e impermeabiliae a roteira r=r, para too t. ut(a,t) = para too t - em r=a raio e iluêcia ou limite e iluêcia a>>>r. Coição iicial em poro pressão: ut(a r R,) = ui.f(r) - oe ui, poro pressão em R, o tempo t=, e F(r) uma ução e istribuição em r, a ser iscutia posteriormete. Sequecialmete etalham-se as eormações e tesões ecorretes a rotação o ciliro.

3 .3 Caracterização as tesões e eormações Aotaa a hipótese e pequeas eormações (Equação 8), as eormações e tesões mobilizaas pela rotação o cilíro iiito são caracterizaas pelas Equações 9, e. e ε ξ t ξ (8) h(r) ε (h'(r) )(er eθ eθ er ) r (9) h(r) σ rθ σ r σ θr σ θr Gh' (r) r () σ σ σ σ σ b(u u ) () σrr rr θθ θθ zz zz Para obteção a ução h(r) aplica-se a equação e equilíbrio ( ivσ ), mais as coições e cotoro em eslocameto. Observa-se que evio à isotropia o meio, o eeito o excesso e poro pressões geraas (u u ) se esevolve somete as ireções pricipais (Equação ), o que trasorma o problema e luxo a rotação e um cilíro iiito um problema e luxo esacoplao. A solução o problema e luxo é escrita como elástica ão-liear, aotaa como aproximação ao comportameto plástico o material..4 Elasticiae ão-liear Para a estruturação o moelo oi eiia uma lei e eormação ictícia seguo Equação, oe o móulo elástico G é cosierao variável em ução o ível e eormações (). σ σ Kε G(ε )ε () v Supõe-se que toa a plasticiae o material é pereita e regia por um critério e Vo Mises, e acoro com: ( cis σ) σ k (3) oe o escalar kcis esiga o limite e cisalhameto simples o material (ou seja a ãolieariae o sistema coverge a solução para o critério e plastiicação e Vo Mises). Como as eormações evem estar cotias o omíio eiio pela Equação 3, propõemse uma ução assitótica o tipo: k cis ε G(ε ) (4) ε ε oe ε e ε são as eormações e erêcia e característica a tesão esvio atuate, eveo satisazer a seguite relação: lim ε/ε G(ε )ε k cis (5) Maiores etalhes a eiição a ução assitótica (Equação 4) e valiação o moelo poem ser ecotraos em Maghous et al (9). A ução h(r) passa a ser escrita por: ε r h(r) r l Dr C k cisr (6) oe as costates C e D (Equações 7 e 8) são eiias pelas coições e cotoro. Logo: α ε k cisr e C (7) α ε e D (8) l k cis.5 Acoplameto as tesões cisalhates ao luxo trasitório Com o objetivo e acoplameto etre tesões cisalhates e luxo raial, esacoplaos o moelo origial, é proposto um ajuste a tesão e cisalhameto (kcis). Este ajuste tora a tesão e cisalhameto kcis um valor que varia e acoro com a variação o ível e tesões pricipais eetivas (Equação 9). Mcs k cis σ' m. (9)

4 oe Mcs é icliação a liha o estao crítico Para a rotação e um cilíro iiito o solo as tesões méias eetivas poem ser escritas como: σ' m σ u( b) b.u () m.6 Solução o problema e luxo A solução o problema e iusão é obtia pela correlação as relações tesão-eormação (Equações e 3 equações e estao o meio poroso), com a equação e coservação e massa Equação. É ecessário observar que o luxo ecorrete o esaio poe ser caracterizao por um luxo puramete raial, com base em uma zoa cilírica e iluêcia. Desta hipótese e as correlações chega-se a Equação. cotoro ). Seguo Raolph e Hope 979, Burs a Maye a aoção e 5 a primeiras soluções são suicietes para garatir a precisão o problema. No presete trabalho aotou-se uma somatória e termos. J (α a) ωy (α a) (5).7 Distribuição e poro pressão iicial e região e iluêcia A Equação 6 eie a istribuição iicial e poro pressão F(r) aotaa o presete trabalho. Observa-se que esta oi eiia através a observação e casos e literatura (e,g. Vesic 97, Raolph e Hope 979, Poulos e Davis 98), que eiem istribuições o tipo logaritmo, poliomial ou expoecial. (u u b.trε M t ) (u u c b.trε M ) () ui u (r,) (6) i r R seo c o coeiciete e iusão o luio, que para o problema e cisalhameto puro ão esevolve eormações volumétricas ( tr =). Este coeiciete é eiio como: k.m c () o A solução a Equação é obtia com base as coições e cotoro e iiciais escritas ateriormete. A Equação 3 caracteriza a solução obtia para variação e poro pressão com o tempo. u t (r,t) seo: C * * c.α.t C [J(α r).y (α r)].e. (3) a R u F(r).[J (α r) Y (α r)]rr i a R [J (α r) Y (α r)] rr (4) oe J e Y, são as uções e Bessel e primeira e segua espécie e orem zero, =J(R) /(Y(R), oe J e Y, uções e Bessel e primeira espécie e orem, e α as possíveis soluções a Equação 5 (coição e Para o ajuste a poro pressão iicial (ui) buscou-se a caracterização a máxima poro pressão geraa (umax), urate o cisalhameto puro e um material isotrópico, ormalmete aesao, com comportameto caracterizao pela teoria o estao crítico. Nestas coições o valor máximo e poro pressão geraa quao a trajetória e tesões coverge para a superície e cisalhameto é ao por umax= p /, seo p a pressão e cosoliação iicial. Deiio um valor máximo e poro pressão (umax) buscou-se a caracterização a variação e poro pressão iicial e acoro com uma relação e velociaes e esaio, seguo Equação 7. Esta relação e velociaes tem o ituito e eiir uma poro pressão iicial, ui, para uma etermiaa velociae e rotação, vi, em ução e uma relação e velociae aplicaa e velociae ão-reaa. Observa-se que a Equação 7 é uma aaptação a equação proposta por Biscoti e Pestaa (), Eiav e Raolph (5) etre outros, a qual é baseaa em um cojuto e aos experimetais e esaios e palheta e triaxiais (Sheaha et al 996).

5 u u i max v β.l v * i (7) seo vi h( R), uma aa velociae em R, ace o ciliro, v uma velociae e erêcia a qual caracteriza um comportameto ão reao, oe a poro pressão geraa é umax, máxima poro pressão eiia como umax= p /, e um coeiciete que epee as características o material e eie a taxa e variação e tesões. No presete trabalho o valor e oi aotao como um valor e erêcia e,5. Já a velociae e erêcia oi eiia como a meor velociae e esaio que garata uma coição ão-reaa. Para eiição esta coição e reagem, aotou-se um critério e issipação relativa máxima e. -3, seguo Equação 8, oe u ti ( R, ti ) é a poro pressão calculaa seguo Equação 5, em R, ace o equipameto, para uma aa velociae, vi, seo ti=. R u u u /vi. ti ( R, ti ) 3. (8) Quato à observação e uma zoa e iluêcia eiia por um raio e iluêcia a, o presete trabalho aotou-se um valor suicietemete grae, a/r=, para garatir as coições e cotoro relativas às poro pressões. 3 MODELAGEM NUMÉRICA A moelagem umérica oi eita o sotware ABAQUS. O moelo represeta a rotação e um ciliro rígio, e comprimeto iiito. A rotação oi moelaa iretamete pela aplicação e um eslocameto a ace o moelo, seguo Figura. Como imesões o moelo, este oi caracterizao por uma zoa e iluêcia máxima e vezes o raio (ver Figura 3). Foram aotaos elemetos iitos o tipo CPE8RP, e malha com um total e 8 elemetos. Para a caracterização o material aotou-se o moelo costitutivo Cam-Clay Moiicao, que tem como parâmetros e etraa a compressibiliae o material, Íice e compressibiliae (), Íice e re-compressão (), Íice e vazios iicial (e) e parâmetro o estao crítico cs. cosoliação moelaa pelo programa segue os mesmos pricípios e Biot (94) escritos o moelo aalítico, e tem como parâmetros e etraa a permeabiliae o meio (k), móulo e Bulk os grãos costituites (Ks), móulo e Bulk a água (Kw), peso especíico a água. Figura. Detalhe moelagem umérica Os parâmetros, coeiciete e Biot e coeiciete e cosoliação para o moelo umérico poem ser obtios através as seguites relações: ( e ).p ' K (9) κ c Froteira Fixa.R k.( e ).σ ' rr h (3) λγw 4 VALIDAÇÃO 4. Caso geral Diâmetro o ciliro equivalete =.R Rotação a ace/ Froteira Impermeável A valiação os moelos oi eita através a moelagem e um material e erêcia com proprieaes escritas a Tabela. Observa-se que oi aotao um valor e íice e compressibiliae obtio pela relação Cc/(+e) e que o íice e recompressão eiio como, O valor e,é obtio por calibração iicial a relação tesão eormação prevista pelos moelos aalítico e umérico, que orece uma boa aproximação e curvas previstas o caso reao. Paralela a esta avaliação oram eiios limites e rotações máximas aplicaas,

6 observao que as eormações ossem suicietes para a caracterização e torques máximos. Já para o moelo umérico, as rotações máximas aplicaas oram limitaas pela trajetória e tesões o espaço p x q como seo o primeiro poto a trajetória e tesões que caracteriza a evoltória e ruptura. Por im, observa-se que oi eito um ajuste o coeiciete e cosoliação aalitico c, para que este osse a mesma orem e magitue o coeiciete e cosoliação umérico ch. Desta orma o ajuste aotao oi eito pela multiplicação e c origial por.e-3, caracterizao assim coeicietes e cosoliação c e ch a orem.e-6 m /s. Tabela. Parâmetros utilizaos as simulações Parâmetros utilizaos as simulações p ' (kpa) 5 w (kpa) k (m/s),e-8,5, e, K s (GPa), K w (GPa), M cs,8,3,e-3 R (cm),5 a (cm).r () R () () Moelo Aalítico () Moelo Numérico 4.. Resultaos caso geral Na Figura 3 apresetam-se os resultaos e istribuições e poro pressões em ução a istâcia raial a ace o ciliro rotate. Boa cocorâcia é observaa etre moelos aalítico e umérico em termos e valores máximos, porém as regiões e iluêcia são ligeiramete istitas, cacterizao uma zoa e pertubarção em toro e,5r para o moelo umérico e e 7,5R para o moelo aalítico. Já as istribuições e tesões cisalhates caracterizaas a Figura 4, eiem regiões e iluêcia para uma relação e 7,5R em ambos os moelos. Quato à previsão os valores máximos e tesões cisalhates, observa-se que são previstos limites máximos similares para o caso reao, q/p a orem e,7 e limites istitos para os valores míimos (caso ãoreao) como q/p =,35 moelo aalítico, e,47 moelo umérico. Esta istição etre previsões ão reaas também é observaa a Figura 5, a qual caracteriza a relação etre tesões e eormações, e é justiicaa pelos ajustes aotaos o moelo aalítico, os quais servem para calibrar as tesões máximas pelos limites máximos reaos. Já a istição as previsões ão reaas poe ser justiicaa pelo eeito ireto o parâmetro e Biot (b) sobre as previsões aalíticas (Equação 9), que prouz uma ampliicação o excesso e poro pressões o cálculo as tesões méias, e também pela própria limitação as eormações aotaas. u/p' r/r Figura 3. Distribuição e poro pressão ao logo a istâcia raial q/p' r/r Figura 4. Distribuição e tesões cisalhates ao logo a istâcia raial q/p' Rotação ( ) Figura 5. Relação tesão eormação 4.3 Resíuo e zico Numérico- v>mm/s-4 /mi Numérico- v=,mm/s-4 /mi Numérico- v=,mm/s-,4 /mi Numérico- v<,mm/s-,4 /mi Aalítico- v>mm/s -4 /mi Aalítico- v=,mm/s-,4 /mi Aalítico- v=,mm/s-,4 /mi Aalítico- v<,mm/s-,4 /mi Numérico- v>mm/s-4 /mi Numérico- v=,mm/s-4 /mi Numérico- v=,mm/s-,4 /mi Numérico- v<,mm/s-,4 /mi Aalítico- v>mm/s-4 /mi Aalítico- v=,mm/s-4 /mi Aalítico- v=,mm/s-,4 /mi Aalítico- v<,mm/s-,4 /mi Numérico- v>mm/s- 4 /mi Numérico- v<,mm/s-,4 /mi Aalítico- v>mm/s- 4 /mi Aalítico- v<,mm/s-,4 /mi Como aplicação os moelos propostos ao

7 estuo o luxo trasitório, urate a execução o esaio e palheta, oi realizaa a moelagem o resíuo e zico com parâmetros estabelecios por Hleka (). A aixa e variação os parâmetros utilizaos as moelages é mostraa a Tabela. Como emais parâmetros utilizou-se um peso especíico a água e knm 3, prouiae e simulação o esaio a 4m e Kw e Ks semelhates aos eiios a simulação o material e erêcia. A eormação e erêcia e magitue as eormações máximas aplicaas o moelo aalítico oi eiia pela calibração os resultaos os esaios mostraos a Figura 6. Valores característicos e e, a,5 e eormação máxima etre 5 e oram estabelecios como represetativos. Tabela. Parâmetros resíuo e zico Parâmetros Faixa e Faixa e variação variação (Simulações) (Esaios) (kn/m 3 ),7 a 4,9 4 Cc,56 a,75,375;,65;,95 Cr,7 a,3,.cc e 4,5 a 6, 4,5 Cc/(+e ), a,38,5;,3;,35 b -,98;,983;,986 k (cm/s) - 7x -5 Ch (cm /s) x - a x - 3,3x - ; 3,9x - ; 3,8x (*) (*) Quille a O Kelly. Na Figura 7 são apresetaos os resultaos o espaço e velociaes ormalizaas v. por grau e reagem V ui U u c h. Para o resíuo e zico a trasição o estao reao para parcialmete-reao ocorre em uma velociae ormalizaa V e,, para os moelos aalítico e umérico. As meias experimetais iicam que esta trasição é a orem e,. Moelos aalítico e umérico caracterizam o estao ão-reao com valores e V acima e. Daos e campo eiem o mesmo estao para valores a orem e. Diereças etre valores meios e previstos poem ser atribuíos a vários atores, pricipalmete aos eeitos tri-imesioais o esaio e palheta. Porém estaca-se que o objetivo a aálise ão é etermiístico, buscao-se a ietiicação e parões e comportameto e parâmetros e cotrole. q/p' Aalítico UND-=, rotação (graus) Figura 6. Relação tesão eormação resíuo e zico U=-u t /u Numérico.... V=v./c h Figura 7. Relação velociae ormalizaa versus grau e reagem resíuo e zico 5 CONCLUSÕES Numérico-UND-Cc/(+e)=,3 Numérico-DR-Cc/(+e)=,3 Aalítico DR-Cc/(+e)=,3 Aalítico UND-Cc/(+e)=,3 Esaio e campo v=gpm Esaio e campo-v=6gpm Esaio e campo-v=6gpm Aalítico DR-=,5 Aalitical-e=,5 Numérico-Cc/(+e)=,35 Numérico-Cc/(+e)=,3 Numérico-Cc/(+e)=,5 Aalitical-e=, Daos e campo O moelo aalítico esevolvio com base os coceitos e poroelasticiae permite avaliar coições e reagem urate a rotação e um ciliro rígio, e comprimeto iiito, em material e reagem itermeiária. Previsões e comportameto caracterizam tesões, poro pressões e regiões e iluêcia semelhates às previstas por moelo umérico equivalete. Trasições etre coições reaas, parcialmete-reaas e ão-reaas são estabelecias e comparaas a meias em esaios e palheta. Este tipo e aboragem permite estabelecer recomeações para execução e esaios e campo, evitao a ocorrêcia e reagem parcial urate o esaio, e miimizao os erros associaos à estimativa e parâmetros e projeto.

8 AGRADECIMENTOS Ao programa e Pós-Grauação em Egeharia Civil a UFRGS, PPGEC. Aos órgãos e ometo (CAPES e CNPQ). REFERÊNCIAS Bei, J. Iterpretação e esaio e piezocoe em resíuos e bauxita. 5p Dissertação (Mestrao em Egeharia) Programa e Pós Grauação em Egeharia Civil, UFRGS, Porto Alegre - 6. Biot, M.A. (94). Geeral theory o three-imesioal cosoliatio, Joural o Applie Physics, Vol., pp Biscoti, G. e Pestaa, J.M. () Iluece o Peripheral Velocity o Vae Shear Stregth o a Artiicial Clay. Geotechical Testig Joural. ASTM Vol 4 4 p Burs, S.E. a Maye, P.W. () Aalytical Cavity Expasio Critical State Moel or Dissipatio i Fie-Graie Soils. Soils a Fuatio. Vol 4 N pp Carter, J.P., Raolph, M.F. a Wroth, C.P. (979). Stress a pore pressure chages i clay urig a ater the expasio o a cylirical cavity. Iteratioal Joural or Aalytical a Numerical Methos i Geoemechaics. 3(4):35- Chug, S. F., Raolph, M. F., a Scheier, J. A. (6). Eect o peetratio rate o peetrometer resistace i clay. Joural o Geotechical a Geoevirometal Egieerig, 3(9), Coussy, O. (4). Poro Mechaics. Wiley, UK DeJog, J.T. Jaeger, R.A, Bouloger, R.W. RANDOLPH, M.F. e Wahl, D.A.J (). Variable peetratio rate coe testig or characterizatio o itermeiate soils. Geotechical a Geophysical Site Characterizatio 4. Eiav, I., Raolph, M.F. Combiig upper bou a strai path methos or evaluatig peetratio resistace. It J Numer Methos Eg 5;63:99 6. HLENKA, L. Estuo os Eeitos a Velociae e Carregameto a Estimativa e Parâmetros Geotécicos em Resíuos e Mieração.. Dissertação (Mestrao em Egeharia) Programa e Pós-Grauação em Egeharia Civil, UFRGS, Porto Alegre. House, A.R., Oliveira, J.R.M.S. a Raolph, M.F. (). Evaluatig the coeiciet o cosoliatio usig peetratio tests. Iteratioal Joural o Physical Moellig i Geotechics, (3): 7-5. Maghous, S., Dormieux, L., Barthelemy,J. Micromechaical approach to the stregth properties o rictioal geomaterials. Europea Joural o Mechaics. A, Solis, v. 8, p , 9. Oliveira, J.M.S., Almeia, M.S.S, Motta, H.P.G. a Almeia, M.C.F. () Iluece o Peetratio Rate o Peetrometer Resistace. Joural o Geotechical a Geoevirometal Egieerig, Vol. 37, No. 7, July, pp Poulos, H. G. a Davis, E. H. (98). Pile Fouatios Aalysis a Desig, Joh Wiley a Sos, Ic., USA. Raolph, M.F. a Hope, S.N. (4). Eect o coe velocity o coe resistace a excess pore pressure. I: Proc. Egieerig practice a perormace o sot eposits, Osaka, pp Raolph, MF a Wroth, C.P. (979). A aalytical solutio or the cosoliatio arou a rive pile, Iteratioal Joural o Numerical a Aalytical Methos i Geomechaics., 3(): 7-9. Sheaha, T. C., La, C. C., a Germaie, J. T., 996, Rate-Depeet Uraie Shear Behavior o Saturate Clay, Joural o Geotechical Egeerig., ASCE, Vol., No., pp Scheier, J.A, Lehae, B.M. e Schai, F. 7. Velocity eect o piezocoe measuremets i ormaly a overcosoliatio clay. Iteratioal Joural o Physical Moellig i Geotechics V, p Schai, F., Lehae, B. M., a Fahey, M. (4). I situ test characterizatio o uusual geomaterials. Proc., It. Co. o Site Characterizatio, Vol., Millpress, Rotteram, Netherlas, Selvaurai, A.P.S., 7. The aalytical metho i geomechaics. Applie Mechaics. Reviews 6 (3), Silva, M.F., White, D.J. a Bolto, M.D. (5). A aalytical stuy o the eect o peetratio rate o piezocoe tests i clays. Iteratioal Joural or Aalytical a Numerical Methos i Geomechaics. pp Terzaghi, K. e Peck, R.B.; Soil Mechaics i Egieerig Practice. Joh Wiley, New York, 967. Vésic, A.S. (97). Expasio o cavities i iiite soil mass, Joural o the Soil Mechaics a Fouatios Divisio (JSMFD), Proceeigs o the America Society o Civil Egieers(ASCE), Vol. 98, No. SM, pp Wag, H. (). Theory o Liear Poroelasticity with Applicatios to Geomechaics. Priceto Uiversity Press, pp 87. Quille M.E. a O'Kelly B.C., Geotechical properties o zic/lea mie tailigs rom Tara Mies, Irela, Proceeigs ASCE Geo Shaghai Geoevirometal Egieerig a Geotechics: Progress i Moelig a Applicatios, Shaghai, Chia,, - 7

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