4 Três corpos, A, B e C, têm as características indicadas na tabela a. . b) E A = E B = 2E B. . c) E B = 2E A. . d) E C. . e) E A.

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1 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 53 Tópico 7 pesar das traédias ocorridas com os ônibus espaciais norte- -americanos allener e olumbia, que puseram f im à vida de 4 as - tronautas, esses veículos reutilizáveis têm sido fundamentais na exploração do cosmo dmita que um ônibus espacial com massa iual a t esteja em procedimento de re-entrada na atmosfera, apresentando velocidade de intensidade 8 km/ em relação à superfície terrestre Qual a eneria cinética desse veículo? m t 3 k, 5 k v 8 km 8 m 3,6 s 3, 3 m/s m v, E c 5 (3, 3 ) Donde: 4,5 J esposta: 4,5 J (Fuvest-S) equação da velocidade de um móvel de quiloramas é dada por v 3, +,t (SI) odemos af irmar que a eneria cinética desse móvel, no instante t s, vale: a) 45 J c), J e), 3 J b), J d),5 J (I) Em t s: v 3, +, () v 5, m/s (II) m v E c,5 J esposta: d (5,) 3 E Uma partícula tem massa M e desloca-se verticalmente para cima com velocidade de módulo v Uma outra partícula tem massa M e desloca-se orizontalmente para a esquerda com velocidade de módulo v Qual a relação entre as enerias cinéticas das partículas e? Dividindo (I) por (II), obtemos: M v M v 8 4 Três corpos,, e, têm as características indicadas na tabela a seuir Sendo E, E e E, respectivamente, as enerias cinéticas de, e, aponte a alternativa correta: a) E E E b) E E 4E c) E E 4E d) E E 4E e) E E 8E m v orpo : E m v orpo : E M (v) Donde: E m v M v orpo : Donde: M v omparando-se as enerias cinéticas E, E e E, concluímos que: E E 4E esposta: c Massa M M Velocidade escalar v v 5 (Efomm-J) Se o nosso amio da f iura a seuir conseuisse levantar o altere de massa iual a 75 k, a uma altura de, m, em um local onde m s, qual a eneria potencial que ele estaria transferindo para o altere? M v eneria é uma randeza física escalar or isso, não importam as orientações dos movimentos das partículas e eneria cinética de uma partícula é calculada por: m v ara a partícula, temos: M v ara a partícula : v M M v 8 (I) (II) E m E 75, E p,5 3 J esposta:,5 3 J

2 54 TE II DINÂMI 6 No esquema da f iura, a esfera de massa, k é omoênea e flutua na áua com 5% do seu volume submerso: 5 cm (I) E m v,4 () E E 8 J Sabendo que, no local, a aceleração da ravidade vale 9,8 m/s, calcule a eneria potencial de ravidade da esfera: a) em relação à superfície livre da áua; b) em relação ao fundo do recipiente a) eneria potencial da ravidade é iual a zero, pois a altura do centro de massa da esfera em relação à superfície da áua é nula b) E m E, 9,8,5 E p 4,9 J espostas: a) zero ; b) 4,9 J 7 Uma pequena pedra de massa, k aca-se no fundo de um poço de m de profundidade Sabendo que, no local, a aceleração da ravidade tem módulo m/s, indique a alternativa que traz o valor correto da eneria potencial de ravidade da pedra em relação à borda do poço a), J d) J b), J e) Nenuma das anteriores c) J E m E, ( ) E p, J esposta: a 8 Um aroto cuta uma bola de massa 4 que, em determinado instante, tem velocidade de 7 km/ e altura iual a m em relação ao solo dotando m/s e considerando um referencial no solo, aponte a alternativa que traz os valores corretos da eneria cinética e da eneria potencial de ravidade da bola no instante considerado Eneria cinética (joules) Eneria potencial (joules) a) 4 4 b) 8 4 c) 4 8 d) 8 8 e) 6 (II) E m E,4 E p 4 J esposta: b 9 Tracionada com 8 N, certa mola elicoidal sofre distensão elástica de cm Qual a eneria potencial armazenada na mola quando deformada de 4, cm? (I) F k Δx 8 K, (II) E e K 8, 3 N/m E e K (Δx) 8, 3 ( 4, ) E e 6,4 J esposta: 6,4 J Em dado instante, a eneria cinética de um pássaro em voo: a) pode ser neativa b) depende do referencial adotado, sendo proporcional à massa do pássaro e ao quadrado de sua velocidade escalar c) é proporcional à altura do pássaro em relação ao solo d) depende da aceleração da ravidade e) tem a mesma direção e o mesmo sentido da velocidade vetorial do pássaro esposta: b Um corpo de massa m e velocidade v possui eneria cinética E Se o módulo da velocidade aumentar em %, a nova eneria cinética do corpo será: a),56 E b),44 E c),4 E d), E e), E (I) E m v (II) E m (, v) m v E,44 oo: E,44 E esposta: b

3 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 55 massa da Terra vale 6, 4 k, aproximadamente Se sua velocidade orbital tem intensidade média iual a 3 km/s, a ordem de randeza da eneria cinética média do planeta, em joules, é: a) 3 b) 33 c) 35 d) 38 e) 4 m v 6, 4 (3 3 ),7 33 J ordem de randeza desse resultado (potência de que mais se aproxima) é: 33 J esposta: b 3 (Unip-S) Uma partícula de massa, k, em trajetória retilínea, tem eneria cinética ( ) variando com o quadrado do tempo (t ) de acordo com o ráf ico abaixo: 36 O elevador sobe quatro andares e, por isso, sua altura medida a partir do solo sofre um acréscimo Δ 4 3 (m) m; loo: ΔE p m Δ ΔE p, 3 ΔE p,4 5 J ordem de randeza do resultado (potência de que mais se aproxima) é: 5 J esposta: b 5 E Um atleta de massa iual a 6 k realiza um salto com vara, transpondo o sarrafo colocado a 6, m de altura alcule o valor aproximado do acréscimo da eneria potencial de ravidade do atleta nesse salto dote m/s No caso, o atleta é um corpo extenso (dimensões não-desprezíveis) e, por isso, deve-se raciocinar em termos do seu centro de massa, m Sarrafo M 6, m M 6, m força resultante na partícula: a) é variável b) tem intensidade iual a 3, N c) tem intensidade iual a 6, N d) tem intensidade iual a 9, N e) tem intensidade iual a 7 N 4, t (s ) E m v (I) MUV: v v + a t onsiderando que em t, tem-se E e v, vem: v a t (II) (II) em (I): E m (a t) E m a t Do ráf ico, para t 4, s, temos E 36 J oo:, a 36 4, a 3, m/s a ei de Newton: F m a F, 3, (N) F 6, N esposta: c 4 Um elevador, juntamente com sua cara, tem massa de, toneladas Qual é a potência de dez que melor expressa o acréscimo de eneria potencial de ravidade do elevador dado em joules quando este sobe do terceiro ao sétimo andar? a) b) 5 c) 9 d) 3 e) 7 Sendo m 6 k, m/s e a elevação do centro de massa do atleta Δ 5, m, calculemos o acréscimo de eneria potencial de ravidade (ΔE p ) ΔE p m Δ ΔE p 6 5, ΔE p 3, 3 J 6 (Mack-S) Uma bola de borraca de massa, k é abandonada da altura de m eneria perdida por essa bola ao se cocar com o solo é 8 J Supondo m/s, a altura máxima atinida pela bola após o coque com o solo será de: a) 7, m b) 6,8 m c) 5,6 m d) 4, m e),8 m E pi E pf E dis m ( i f ) E dis, ( f ) 8 f 7, m esposta: a 7 deformação em uma mola varia com a intensidade da força que a traciona, conforme o ráf ico abaixo: Deformação (cm) 5 Força (N)

4 56 TE II DINÂMI Determine: a) a constante elástica da mola, dada em N/m; b) a intensidade da força de tração quando a deformação da mola for de 6, cm; c) a eneria potencial elástica armazenada na mola quando esta estiver deformada de 4, cm 9 (UFE) Duas massas, m, k e m 4, k, são suspensas sucessivamente em uma mesma mola vertical Se U e U são, respectivamente, as enerias elásticas armazenadas na mola quando as massas m e m foram penduradas e U, J, qual o valor de U? a) F K Δx (ei de Hooke) 5 K, K 5, 3 N/m b) F K Δx F 5, 3 6, (N) F 3 N c) E e K (Δx) E e 5, 3 (4, ) E e 4, J espostas: a) 5, 3 N/m; b) 3 N; c) 4, J 8 E Um bloco de peso é dependurado na extremidade livre de uma mola vertical de constante elástica K dmitindo o sistema em equilíbrio, calcule: a) a distensão da mola; b) a eneria potencial elástica armazenada na mola m m No equilíbrio: F e K Δx m Δx m K (I) U K (Δx) (II) Substituindo (I) em (II): U m K a situação: U (4,) K a situação:, (,) K Disso, resulta: U, 4,, U 8, J esposta: 8, J O bloco da f iura oscila preso a uma mola de massa desprezível, executando movimento armônico simples: F e Trilo a) Na situação de equilíbrio, o peso ( ) do bloco é equilibrado pela força elástica exercida pela mola (F e ) F e K Δx massa do bloco é de, k, a constante elástica da mola vale, 3 N/m e o trilo que suporta o sistema é reto e orizontal Se no instante da f iura o bloco tem velocidade de, m/s e a mola está distendida de cm, qual é a eneria mecânica (total) do conjunto bloco-mola em relação ao trilo? Donde: Δx K b) eneria potencial elástica armazenada na mola é, então, determinada por: Donde: E e K E e K (Δx) E e K K E m E + E e E m E m Donde: m v, (,) + K (Δx) + E m J esposta: J, 3 (,)

5 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 57 onsidere um sistema constituído por um omem e seu paraquedas e admita que esse conjunto esteja descendo verticalmente com velocidade de intensidade constante dotando-se um referencial no solo, analise as proposições a seuir: I eneria cinética do sistema mantém-se constante, mas sua eneria potencial de ravidade diminui II O sistema é conservativo III arte da eneria mecânica do sistema é dissipada pelas forças de resistência do ar, transformando-se em eneria térmica ponte a alternativa correta: a) s três proposições estão corretas b) s três proposições estão incorretas c) penas as proposições I e II estão corretas d) penas as proposições I e III estão corretas e) penas as proposições II e III estão corretas I orreta m v permanece constante E p m diminui II Incorreta E m + E p constância de e a diminuição de E p fazem E m diminuir e o sistema não é conservativo III orreta esposta: d E eneria potencial de uma partícula que se desloca sob a ação exclusiva de um sistema de forças conservativas varia em função da sua posição, dada por um eixo orizontal Ox, conforme o ráf ico seuinte: E p 5 3,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x (m) Sabendo que na posição x a partícula estava em repouso, determine: a) sua eneria mecânica nas posições x, m, x 3, m e x 7, m; b) sua eneria cinética nas posições x, m, x 3, m, x 5, m e x 7, m a) omo a partícula estava em repouso na posição x, sua eneria cinética era nula nesse local or isso, em x, a eneria mecânica da partícula resumia-se à potencial: E m E p 5 J onsiderando-se que a partícula está sujeita a um sistema de forças conservativas, podemos dizer que sua eneria mecânica é constante ssim: E m, E m3, E m7, 5 J b) odemos ler diretamente no ráf ico que E p, 5 J, E p3,, E p5, J e E p7, 3 J embrando que E m + E p, seue que:, E m, E p,, 5 J 5 J, 3, E m3, E p3, 3, 5 J 5, E m5, E p5, 3, 5 J 5, 5 J J 5, 3 J 7, E m7, E p7, 7, 5 J ( 3 J) 7, 8 J 3 (U-S) O ráf ico representa a eneria cinética de uma partícula de massa, sujeita somente a forças conservativas, em função da abscissa x eneria mecânica do sistema é de 4 J 4 x (m), 4, 6, 8, a) Qual a eneria potencial para x, m e para x 4, m? b) alcule a velocidade da partícula para x 8, m a) E m + E p E p E m ara x, m: E p, 4 E p, 4 J ara x 4, m: E p4, 4 4 E p4, b) ara x 8, m: 8, 3 v 8, m v 8, v 8,, m/s espostas: a) 4 J e zero; b), m/s

6 58 TE II DINÂMI 4 Um corpo movimenta-se sob a ação exclusiva de forças conservativas Em duas posições, e, de sua trajetória, foram determinados aluns valores de eneria Esses valores se encontram na tabela abaixo: Eneria cinética (joules) Eneria potencial (joules) Eneria mecânica (joules) osição 8 osição 6 Os valores da eneria cinética em e das enerias potencial e mecânica em são, respectivamente: a) J, 8 J e J d) J, J e 4 J b) J, 4 J e J e) Não á dados suf icientes para c) J, J e 8 J os cálculos osição : E m + E p + 8 J osição : E m E m E m J E m + E p 6 + E p E p 4 J esposta: b 5 (UFN) Indique a opção que representa a altura da qual devemos abandonar um corpo de massa m, k para que sua eneria cinética, ao atinir o solo, tena aumentado de 5 J O valor da aceleração da ravidade no local da queda é m/s e a influência do ar é desprezível a) 5 m b) 75 m c) 5 m d) 5 m e) 7,5 m E mi E mf eferencial no solo: E pi f m f, 5 7,5 m esposta: e 6 E Um aroto de massa m parte do repouso no ponto do toboã da f iura a seuir e desce sem sofrer a ação de atritos ou da resistência do ar: Sendo dadas as alturas H e e o valor da aceleração da ravidade (), calcule o módulo da velocidade do aroto: a) no ponto ; b) no ponto O sistema é conservativo, o que nos permite aplicar o rincípio da onservação da Eneria Mecânica a) E m E m E + E E + E m v + m m v + m H Sendo v, calculemos v : b) E m E m + E p + E p v (H ) m v + m m v + m H omo e v, vem: v c H Nota: s velocidades calculadas independem da massa do aroto e do formato da trajetória descrita por ele 7 (esranrio-j) O eac ark, localizado em Fortaleza E, é o maior parque aquático da mérica atina situado na beira do mar Uma de suas principais atrações é um toboáua camado Insano Descendo esse toboáua, uma pessoa atine sua parte mais baixa com velocidade de módulo 8 m/s onsiderando-se a aceleração da ravidade com módulo 9,8 m/s e desprezando-se os atritos, conclui-se que a altura do toboáua, em metros, é de: a) 4 b) 38 c) 37 d) 3 e) 8 O sistema é conservativo; loo: E mi E mf m m v 9,8 (8) 4 m esposta: a 8 (UFF-J) Na f iura, um corpo é abandonado em queda livre de uma altura Nessa situação, o tempo de queda e a velocidade ao cear ao solo são, respectivamente, t e v Na f iura, o mesmo corpo é abandonado sobre um trilo e atine o solo com velocidade v, num tempo de queda iual a t H Solo Solo (Fiura ) (Fiura )

7 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 59 ssim, desprezando o atrito, é correto af irmar que: a) t < t e v < v b) t < t e v v c) t t e v v d) t t e v > v e) t > t e v v 3 (Fuvest-S) Numa montana-russa, um carrino com 3 k de massa é abandonado do repouso de um ponto, que está a 5, m de altura Supondo que os atritos sejam desprezíveis e que m/s, calcule: corpos e : m v m v 5, m 4, m oo: v v corpo : MUV t t corpo : MUV sen θ t t oo: t < t esposta: b sen θ a) o valor da velocidade do carrino no ponto ; b) a eneria cinética do carrino no ponto, que está a 4, m de altura a) E m E m H em : m v m v v 5, (m/s) v m/s 9 Um aroto de massa m 3 k parte do repouso do ponto do escorreador perf ilado na f iura e desce, sem sofrer a ação de atritos ou da resistência do ar, em direção ao ponto : b) E m E m H em : m ( ) 3 (5, 4,) H Sabendo que H m e que m/s, calcule: a) a eneria cinética do aroto ao passar pelo ponto ; b) a intensidade de sua velocidade ao atinir o ponto a) E m E m H em : E p m (H 3 3 4, 3 J 4, kj H 3 H 3 ) b) E E m m H em : E p m v m v (m/s) v c m/s 3, 3 J 3, kj espostas: a) m/s; b) 3, kj 3 (uccamp-s) pista vertical representada é um quadrante de circunferência de, m de raio dotando m/s e considerando desprezíveis as forças dissipativas, um corpo lançado em com velocidade de 6, m/s desliza pela pista, ceando ao ponto com velocidade: a) 6, m/s b) 4, m/s c) 3, m/s d), m/s e) nula E m E m m v + m v v m v v (6,), (m/s) v 4, m/s espostas: a) 4, kj; b) m/s esposta: b

8 6 TE II DINÂMI 3 E No experimento realizado a seuir, uma mola ideal, de constante elástica K, é comprimida por um operador, lançando um bloco de massa m sobre uma mesa orizontal perfeitamente polida Situação 34 (U-S) Um corpo de massa, k é amarrado a um elástico de constante elástica N/m que tem a outra extremidade f ixa ao teto 3 cm do teto e a cm do cão, o corpo permanece em repouso sobre um anteparo, com o elástico em seu comprimento natural, conforme representado na f iura x Situação v 3 cm cm Na situação, a mola está comprimida de um comprimento x e o bloco está em repouso Na situação, a mola está sem deformação e o bloco encontra-se em movimento, com velocidade de intensidade v Desprezando a influência do ar, determine o valor de v omo não á atritos nem influência do ar, o sistema é conservativo, devendo ocorrer conservação da eneria mecânica total Isso sinif ica que a eneria potencial elástica armazenada inicialmente na mola é totalmente transferida para o bloco, que a assimila em forma de eneria cinética E e m v K x Donde: v K m 33 No arranjo experimental da f iura, desprezam-se o atrito e o efeito do ar: O bloco (massa de 4, k), inicialmente em repouso, comprime a mola ideal (constante elástica de 3,6 3 N/m) de cm, estando apenas encostado nela arando-se a mola, esta distende-se impulsionando o bloco, que atine a altura máxima dotando m/s, determine: a) o módulo da velocidade do bloco imediatamente após desliar-se da mola; b) o valor da altura x etirando-se o anteparo, qual será o valor da velocidade do corpo, em m/s, ao atinir o cão? a) b), c), d) 3, e) 4, E m E f m i H no cão: m v + K (Δx), v v + (,) m,, No solo, o corpo inverte o sentido do seu movimento e seue executando um movimento armônico simples esposta: a 35 (UFJF-MG) Um aroto brinca com uma mola elicoidal Ele coloca a mola em pé em uma mesa e apoia sobre ela um pequeno disco de plástico Seurando a borda do disco, ele comprime a mola, contraindo-a de 5 mm pós o aroto soltar os dedos, a mola projeta o disco mm para cima (contados do ponto de lançamento, veja a f iura) mm a) E e m v K (Δx) v K (Δx) m v 6, m/s 3,6 3 (,) 4, b) E p m m v (6,),8 m espostas: a) 6, m/s; b),8 m (m/s) 5 mm onsiderando-se a mola ideal e desprezando-se a resistência do ar, quanto subiria o disco se o aroto contraísse a mola de mm? a) 4 mm c) mm e) 9 mm b) mm d) 8 mm

9 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 6 E p E e m K (Δx) Donde: K (Δx) m é diretamente proporcional ao quadrado de Δx or isso, dobrando- -se Δx, quadruplica, passando de mm para 4 mm esposta: a, m 36 E Um aroto de massa 4 k parte do repouso de uma altura de m, desliza ao lono de um toboã e atine a parte mais baixa com velocidade de 5, m/s: Sabendo que a eneria térmica erada pelo atrito de até equivale a 4,55 4 J, determine o valor da altura m 5, m/s E m E m E dis H E dis (H ) E dis 6,5 3 (, ) 4,55 4 Donde: 3, m esposta: 3, m dmitindo a aceleração da ravidade iual a m/s, calcule a eneria mecânica deradada pelas forças dissipativas, durante a descida do aroto eneria mecânica inicial, associada ao aroto no alto do toboã, era do tipo potencial de ravidade (referencial no solo) E mi E p m E m i 4 (J ) E m i 4, 3 J eneria mecânica f inal com que o aroto atine a parte mais baixa do toboã é do tipo cinética: E m f m v 4 (5,) E m f E m f 5, J eneria mecânica deradada pelas forças dissipativas é E d Essa eneria é calculada por: E d E m i E m f E d 4, 3 J 5, J E d 3,5 3 J 37 O carrino de montana-russa da f iura seuinte pesa 6,5 3 N e está em repouso no ponto, numa posição de equilíbrio instável Em dado instante, começa a descer o trilo, indo atinir o ponto com velocidade nula: 38 nalise as proposições seuintes: I O aumento da eneria potencial de uma partícula implica, necessariamente, a diminuição de sua eneria cinética II Se uma partícula se movimenta com velocidade constante, sua eneria mecânica é constante III ara uma partícula cuja eneria mecânica é constante, a eneria cinética é inversamente proporcional à potencial esponda mediante o códio: a) Todas são corretas d) Somente I é correta b) Todas são incorretas e) Somente I e III são corretas c) Somente II e III são corretas esposta: b 39 Em uma montana-russa, um carrino de massa 6 k tem sua eneria potencial de ravidade variando em função de uma coordenada orizontal de posição x, conforme o ráf ico a seuir: E p ( 3 J) 6, 5, 4, 3,,,,, x (m) dmitindo que para x a velocidade do carrino é nula e supondo a inexistência de atritos: a) calcule a altura do carrino em relação ao nível zero de referência, bem como a intensidade de sua velocidade para x 5 m (adote nos cálculos m/s ); b) esboce o ráf ico da eneria cinética do carrino em função de x

10 6 TE II DINÂMI a) ara x 5 m, tem-se E p 3, 3 J E p m 3, E p E (constante) E E p 5, m E + E p E m v m/s 6 v + 3, 3 6, 3 y a x (Função do o rau) O ráf ico pedido é uma reta oblíqua descendente esposta: e b) E m E ( 3 J) 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,, espostas: a) 5, m e m/s b) E ( 3 J) 8, E m 7, 6, 5, 4, 3,,, E E Eixo de simetria x (m) E E Eixo de simetria x (m) 4 Uma partícula movimenta-se sob a ação de um campo de forças conservativo, possuindo eneria mecânica E O ráf ico que melor traduz a eneria cinética ( ) da partícula em função de sua eneria potencial (E p ) é: a) d) 4 Uma partícula de massa, k é lançada verticalmente para cima com velocidade de módulo m/s num local em que a resistência do ar é desprezível e m/s dotando o nível orizontal do ponto de lançamento como plano de referência, calcule: a) a eneria mecânica da partícula; b) a altura do ponto em que a eneria cinética é o triplo da potencial de ravidade a) E m m v, () E m, J b) 3 E p + E p E m 4 m E m 4,, 5, m espostas: a), J; b) 5, m 4 Um joador de voleibol, ao dar um saque, comunica à bola uma velocidade inicial de m/s bola, cuja massa é de 4, passa a se mover sob a ação exclusiva do campo ravitacional ( m/s ), descrevendo a trajetória indicada na f iura: 3, m lano de referência Solo b) E E p e) 4 E E E p alcule: a) a eneria mecânica da bola no ponto em relação ao plano de referência indicado; b) o módulo da velocidade da bola ao passar pelo ponto (mais alto da trajetória) E a) E m m v E m J,4 () c) E E E p E E p b) m v + m E m,4 v +,4 3,, v 7, Da qual: v 6, m/s E E p espostas: a) J; b) 6, m/s

11 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação Do ponto, situado no alto de uma plataforma de altura, um canão de dimensões desprezíveis dispara um projétil que, depois de descrever a trajetória indicada na f iura, cai no mar (ponto ): m 3 Mar 3 4 Sendo o valor da aceleração da ravidade e v o módulo da velocidade de lançamento do projétil, calcule o módulo de sua velocidade nos pontos e (I) E + E p E + E p m v + m 3 4 m v + m Da qual: v v + (II) E E + E p m v Donde: v v + m v + m espostas: v v + ; v v + 44 Um pequeno bloco, lançado do ponto com velocidade de intensidade v, desliza sem atrito e sem sofrer influência do ar sobre a superfície Q, contida em um plano vertical 8, m Q v 4,8 m Supõe-se conecida a altura e adota-se para a aceleração da ravidade o valor onsiderando como plano orizontal de referência aquele que passa pelo ponto, determine: a) a eneria potencial de ravidade do carrino no ponto ; b) a relação v /v entre os módulos da velocidade do carrino nos pontos e a) E m b) E + E E + E H em : m v m m 3 v 8 E + E E + E m v m 3 v 6 oo: v v 8 6 v 3 v 3 espostas: a) m ; b) v 3 v 3 46 (UFE) Um pequeno bloco é lançado no ponto do trajeto mostrado na f iura, contido em um plano vertical O módulo da velocidade do bloco em é V 7 m/s v a 4a Sabendo que inverte o sentido do movimento no ponto Q e que m/s, calcule o valor de v E p + E p E Q + E Q H em : m v m ( Q p ) Donde: v 8, m/s esposta: 8, m/s v (8, 4,8) 45 Um carrino de dimensões desprezíveis, com massa iual a m, parte do repouso no ponto e percorre o trilo da f iura, contido em um plano vertical, sem sofrer a ação de forças dissipativas: Sabendo que quando o bloco passa pelo ponto sua velocidade tem módulo V, calcule o módulo da velocidade do bloco no ponto, em m/s Despreze os efeitos do atrito, bem como os da resistência do ar (I) E m E m H em : m v m v + m a Donde: v 8 a 3 (II) E m E m H em : m 4 a + m v m v Donde: v v 8 a (I) (II)

12 64 TE II DINÂMI omparando (I) em (II), vem: v 8 a 8 a 3 Donde: v 3 a 3 De (III) e (I), seue que: v v 3 a a (III) 48 (Mack-S) Uma bolina é abandonada do ponto do trilo liso e atine o solo no ponto Supondo que a velocidade da bolina no ponto seja orizontal, a altura vale: 4, m v v 4 v v v 7 (m/s) v 34 m/s 3, m esposta: 34 m/s 47 E Na montaem experimental esquematizada na f iura, o trilo é perfeitamente liso No local, reina o vácuo e a aceleração da ravidade tem intensidade m H Uma bolina de massa m, abandonada do repouso no ponto, desce o trilo e projeta-se orizontalmente no ponto, atinindo o solo no ponto Supondo conecidas as alturas e H, calcule a distância d entre o pé da vertical baixada do ponto e o ponto I álculo de v : Sistema conservativo: E m E m H em : m v m v II álculo de t : Na vertical, o movimento da bolina de até é uniformemente variado, loo: H v y t + t t H parcela nula III álculo de d: Na orizontal, o movimento da bolina de até é uniforme, loo: H d v t d Donde: d H Nota: d independe de m e de d a),5 m b),75 m c), m d),5 m e),5 m nalisemos o voo balístico da bolina de para : Movimento vertical: MUV Δy v t + α y y t 3, t t 6,4 Movimento na orizontal: MU Δx v t 4, v 6,4 v,5 Treco : E + E E + E H em : m m v esposta: a,5,5 m 49 (UFJ) Um trilo em forma de arco circular, contido em um plano vertical, está f ixado em um ponto de um plano orizontal O centro do arco está em um ponto O desse mesmo plano O arco é de 9 e tem raio, como ilustra a f iura Um pequeno objeto é lançado para cima, verticalmente, a partir da base do trilo e desliza apoiado internamente a ele, sem atrito, até o ponto, onde escapa orizontalmente, caindo no ponto do plano orizontal onde está f ixado o trilo distância do ponto ao ponto é iual a 3 V 3 alcule o módulo da velocidade inicial V com que o corpo foi lançado, em função do raio e do módulo da aceleração da ravidade O

13 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 65 (I) álculo do tempo de voo de para : Movimento vertical: MUV Δy v y t + α y t t t (II) álculo da intensidade da velocidade em : Movimento orizontal: MU Δx v t v v (I) (III) álculo de v : E m E m H em : m v m v + m v v + Substituindo (I) em (II): v + v esposta: v 5 Três pequenos pedaços de iz,, e, irão se movimentar no interior de uma determinada sala de aula a partir de uma mesma altura H sob a ação exclusiva da ravidade O pedaço será abandonado do repouso para despencar verticalmente e os pedaços e serão lançados com velocidades de mesma intensidade V para realizarem voos balísticos, em trajetórias parabólicas velocidade inicial de será orizontal, enquanto a de será oblíqua e diriida para cima, como representa a f iura b) (I) Queda livre de : E mf E mi m v m H v (I) (II) Voos balísticos de e : E mf E mi m v m v + m H Do qual: v v + H (II) omparando (I) e (II), conclui-se que: V < V V espostas: a) T T < T ; b) V < V V 5 (Olimpíada rasileira de Física) N Tower de Toronto, anadá, tem altitude máxima de 85 pés (553,33 m), constituindo-se no maior edifício do mundo 35 metros de altitude, os turistas têm acesso ao andar de observação partir desse andar, objetos de massa m,4 k são lançados com velocidades de mesmo módulo V m/s, seundo direções, e, conforme ilustra a f iura Vertical H V V α α Horizontal Solo epresentando-se respectivamente por T, T e T os tempos astos por, e em seus movimentos até o solo e por V, V e V as correspondentes intensidades das velocidades de impacto desses três pedaços de iz contra o cão, pede-se comparar: a) T, T e T ; b) V, V e V a) Movimentos de e na vertical: MUV Δy v y oo: T T t + α y t H T T H µ omo o iz sobe para depois descer, tem-se: T T < T Dados: cos α,8, sen α,6 e m/s onsiderando-se o solo como altitude zero e a resistência do ar desprezível, pode-se af irmar: a) Nas três situações, o tempo de queda do objeto é o mesmo b) O objeto atine o solo com mais eneria cinética quando lançado conforme a situação c) Os três objetos atinem o solo num ponto cuja distância em relação à vertical que passa pelo ponto de lançamento é de 8,7 m (alcance orizontal) d) Nas três situações, o módulo da velocidade de impacto do objeto com o solo vale 88 km/ e) Os três objetos atinem o solo com a mesma velocidade vetorial f inal

14 66 TE II DINÂMI a) Incorreta O tempo de queda só depende do movimento vertical, que é diferente para os três objetos, pois V y é diferente aos três casos T > T > T b) Incorreta or causa da conservação da eneria mecânica, os três objetos, que têm massas iuais, atinem o solo com a mesma eneria cinética c) Incorreta Os alcances orizontais são diferentes d) orreta Nos três casos: E mf E mi H no solo: m v v v m v + m H v + H () + 35 (m/s) Donde: v 8 m/s 88 km/ e) Incorreta s velocidades de impacto dos objetos contra o solo são diferentes, pois, embora tenam módulos iuais (88 km/), têm direções diferentes esposta: d 5 (Olimpíada rasileira de Física) Um bloco de massa m,6 k, sobre um trilo de atrito desprezível, comprime uma mola de constante elástica k, 3 N/m, conforme a f iura abaixo m O 53 E Na f iura seuinte, uma esfera de massa m 5, k é abandonada do ponto no instante t, caindo livremente e colidindo com o aparador, que está liado a uma mola de constante elástica iual a, 3 N/m s massas da mola e do aparador são desprezíveis, como também o são todas as dissipações de eneria mecânica () 5, m Instante t Instante t onsiderando m/s e supondo que no instante t a mola está sob compressão máxima, calcule: a) a compressão da mola quando a esfera atine sua máxima velocidade; b) a compressão da mola no instante t a) Durante a queda livre, o movimento da esfera é uniformemente acelerado pela ação do peso constante pós a colisão com o aparador, entretanto, além do peso, passa a air na esfera a força elástica F e exercida pela mola, que, pela ei de Hooke, tem intensidade proporcional à deformação Δx ssim, loo após a colisão, como a deformação da mola ainda é pequena, o mesmo ocorre com a intensidade de F e, avendo predominância de Isso faz com que o movimento continue acelerado (não uniformemente) velocidade da esfera tem intensidade máxima no instante em que a força elástica equilibra o peso () onsidere que a eneria potencial ravitacional seja zero na lina tracejada O bloco, ao ser liberado, passa pelo ponto (,6 m), onde 75% de sua eneria mecânica é cinética dote, m/s e despreze o efeito do ar compressão x da mola foi de: a) 9, cm c) 5, cm e), cm b), cm d) 8, cm Δx F e Instante t Instante t E mo E m K x K x m v,75 + m K x + m,5 K x m x 8,6,,6 x (m), 3 x, m, cm esposta: b 8 m K Na posição em que a velocidade é máxima: F e K Δx m, 3 Δx 5, Δx,5 m,5 cm Da posição de máxima velocidade para baixo, a esfera realiza um movimento retardado (não uniformemente) até parar (instante t )

15 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 67 b) v (t ) () 5, m Δx v (t ) 55 (UFU-MG mod) Um bloco de massa m 8 é mantido encostado a uma mola de eixo vertical, não-deformada, de constante elástica K, N/m e massa desprezível, conforme representa a f iura No local, a influência do ar é desprezível e adota-se m/s Em determinado instante, esse bloco é abandonado, adquirindo movimento para baixo H m Instante t Instante t dotando o nível do aparador na situação da mola sob máxima compressão como referência e observando que o sistema é conservativo, podemos dizer que a eneria potencial elástica acumulada na mola no instante t é iual à eneria potencial de ravidade da esfera no instante t K Donde: E e(t E ) p(t ), 3 (Δx ) K (Δx ) m 5, 5, Δx 5, m 5 cm 54 Um corpo de massa, k cai livremente, a partir do repouso, da altura y 6, m sobre uma mola de massa desprezível e eixo vertical, de constante elástica iual a, N/m dotando m/s e desprezando todas as dissipações de eneria mecânica, calcule a máxima deformação x da mola onsidere as proposições: I O valor máximo da velocidade atinida pelo bloco é, m/s II força exercida pelo bloco sobre a mola no instante em que sua velocidade é máxima tem intensidade iual a 8, N III deformação máxima da mola é de 8 cm É (são) correta(s): a) apenas I d) apenas I e II b) apenas II e) I, II e III c) apenas III (I) orreta No ponto em que a velocidade tem intensidade máxima: F e oo: K Δx m, Δx 8 3 y x Δx,4 m E mf E mi H no nível em que a velocidade tem intensidade máxima: m v máx + K (Δx) m Δx 8 3 v máx, (,4) + 8 3,4 v máx, m/s E mf E mi H no nível em que a deformação da mola é máxima: K x m (y + x), x, (6, + x) Donde: 5, x, x 6, esolvendo-se a equação, obtém-se: x, m esposta:, m (II) orreta F e K Δx F e,,4 (N) F e,8 N 8, N (III) orreta E mf E mi H no nível em que a deformação da mola é máxima: K (Δx máx ) m Δx máx, Δx máx 8 3 Δx máx,8 m 8 cm esposta: e

16 68 TE II DINÂMI 56 (Unicamp-S) unee-jump é um esporte radical, muito conecido oje em dia, em que uma pessoa salta de uma rande altura, presa a um cabo elástico onsidere o salto de uma pessoa de 8 k No instante em que a força elástica do cabo vai começar a air, o módulo da velocidade da pessoa é de m/s O cabo adquire o dobro de seu comprimento natural quando a pessoa atine o ponto mais baixo de sua trajetória ara resolver as questões abaixo, despreze a resistência do ar e considere m/s a) alcule o comprimento normal do cabo b) Determine a constante elástica do cabo a) E m E m H em : m v m (V ) 57 E O pêndulo da f iura oscila para ambos os lados, formando um ânulo máximo de 6 com a vertical: 6 6 O comprimento do f io é de 9 cm e, no local, o módulo da aceleração da ravidade vale m/s Supondo condições ideais, determine: a) o módulo da velocidade da esfera no ponto mais baixo de sua trajetória; b) a intensidade da força que traciona o f io quando este se encontra na vertical (adotar, para a massa da esfera, o valor 5 ) Vamos analisar, inicialmente, os aspectos eométricos do problema: 6 onsiderando o triânulo retânulo destacado na f iura, temos: Daí: cos 6 9 cm (H) 45 cm a) omo a única força que realiza trabalo é a da ravidade, o sistema é conservativo, permitindo-nos aplicar o rincípio da onservação da Eneria Mecânica: E m E m (V ) + E p + E p v m () (m) ocas m v + m m v + m Sendo e v, calculamos v : v,45 (m/s) v 3, m/s b) No ponto, aem na esfera seu peso ( ) e a força aplicada pelo f io (T ): b) E m E m H em : K m K 4 m 4 8 K 6 N/m espostas: a) m; b) 6 N/m (N/m) resultante entre e T deve ser centrípeta Então, temos: T F cp T 5 3 T T m v + 3, + T, N,9

17 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação (UFMG) f iura mostra um treco de uma montana-russa de formato circular de raio Um carro de massa M k parte do repouso de uma altura (ponto ) O 59 (UFE) Uma pequena conta de vidro de massa iual a desliza sem atrito ao lono de um arame circular de raio, m, como indicado na f iura 6 onsidere o instante em que o carro passa pelo ponto mais baixo da trajetória (ponto ) Despreze as forças de atrito e use m/s a) Faça uma f iura representando as forças que atuam sobre o carro nesse instante b) alcule a intensidade da força que a pista faz sobre ele nesse instante a) força da ravidade (peso) F n força de contato aplicada pela pista da montana-russa b) E m E m M v M v (I) Se a conta partiu do repouso na posição, determine o valor de sua eneria cinética ao passar pelo ponto O arame está posicionado verticalmente em um local em que m/s (I) y 6, m No ponto : F n F cp F n M M v (II) F n y, cos 6 y,5 m, y,,5,5 m (II) H em : E E p E m E 3,5 E 5, J Substituindo (I) em (II): F n M M F n M F n (N) F n 4, 3 N 4, kn espostas: a) esposta: 5, J 6 (UFU-MG) mola da f iura abaixo possui uma constante elástica K 8 N/m e está inicialmente comprimida de cm: D, m F n força da ravidade (peso) F n força de contato aplicada pela pista da montana-russa b) 4, kn Uma bola com massa de encontra-se encostada na mola no instante em que esta é abandonada onsiderando m/s e que todas as superfícies são perfeitamente lisas, determine: a) o valor da velocidade da bola no ponto D; b) o valor da força que o trilo exerce na bola no ponto D; c) o valor da aceleração tanencial da bola quando ela passa pelo ponto

18 7 TE II DINÂMI a) E md E m m v D + m K (Δx) 3 Donde: v D 8 (,) +, v D m/s O b) onto D: F n + F cp F n + m m v D F n 3 F n,8 N (N), c) omo não á atritos, a força de contato que o trilo exerce sobre a bola é radial à trajetória e diriida para o centro em cada instante or isso, no ponto, a única força tanencial é o peso e, por isso: F t m a t m a t oo: a t m/s espostas: a) m/s; b),8 N; c) m/s No local, a influência do ar é desprezível e adota-se m/s Supondo que nos instantes em que a esfera passa no ponto, o mais alto do aro, a balança indique zero, determine: a) a intensidade da velocidade da esfera no ponto, o mais baixo do aro; b) a indicação da balança nos instantes da passaem da esfera no ponto a) ara que a balança indique zero nos instantes em que a esfera passa no ponto, a força de contato trocada entre ela e o aro nesse ponto deve ser vertical e de intensidade iual ao peso do aro m 6 (Fatec-S) f iura representa uma pista no plano vertical, por onde uma partícula desliza sem atrito bandonada do repouso no ponto, a partícula passa por, tendo nesse ponto aceleração (iual ao dobro da aceleração ravitacional) Sendo o raio da circunferência descrita, a altura de em relação à base é: F n aro M F n 3, (N) onto : F n + F cp F na F na F n 3 N ase a) b) c) 3 d) 4 e) 5 onto : a cp v v E m E m m m v + m (II) Substituindo (I) em (II): + 3 esposta: c 6 onsidere a situação esquematizada na f iura em que um aro circular de raio 5 cm e massa M 3, k, disposto verticalmente, é apoiado sobre uma balança raduada em newtons Uma pequena esfera de massa m será lançada por um operador de modo a percorrer a parte interna do aro, sem perder o contato com a trajetória e sem sofrer a ação de forças de atrito (I) F n + m m v 3 +,, v,5 Donde: v 8 m/s Sistema conservativo: m v m v + m v 8 +,5 v m/s b) onto : F n + F cp F n m m v, () F n,,5 F n 4 N F n

19 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 7 indicação da balança nos instantes da passaem da esfera no ponto, (I), corresponde à intensidade da força vertical total transmitida ao aparelo onsidere m s e a massa específ ica da áua iual a, 3 k m 3 Despreze as dissipações de eneria Qual a potência da bomba em kw? aro ot τ m + m v Δt Δt ot µ V Δt + µ V v Δt ot µ Z + v ot, 3, 9, + 4, ot, k W (W) F n I aro + F n I M + F n I 3, + 4 (N) I 7 N esposta:, k W 65 Demonstre que, num sistema sujeito exclusivamente à ação de forças conservativas, o trabalo total é iual à variação da eneria potencial com o sinal trocado espostas: a) m/s; b) 7 N 63 No esquema da f iura, o bloco tem massa 3, k e encontra-se inicialmente em repouso num ponto da rampa, situado à altura de, m:, m Situação inicial: E m E i + E pi Situação f inal: E m E f + E pf (II) (I), vem: E f E i + E pf E pi Mas: τ total E f E i (I) (II) oo: τ total + E pf E pi Uma vez abandonado, o bloco desce atinindo a mola de constante elástica iual a, 3 N/m, que sofre uma compressão máxima de cm dotando m/s, calcule a eneria mecânica dissipada no processo τ total (E pf E pi ) Δ Ep esposta: Ver demonstração O sistema não é conservativo E dis E mi E mf E dis m K (Δx) E dis 3,,, 3 (,) E dis J esposta: J 66 (IT-S) Um pêndulo de comprimento é abandonado da posição indicada na f iura e, quando passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória, tanencia a superfície de um líquido, perdendo, em cada uma dessas passaens, 3% da eneria cinética que possui pós uma oscilação completa, qual será, aproximadamente, o ânulo que o f io do pêndulo fará com a vertical? π m 64 (Mack-S) Uma bomba () recalca áua, à taxa de, m 3 por seundo, de um depósito () para uma caixa () no topo de uma casa altura de recalque é de 9, m e a velocidade da áua na extremidade do tubo de descara (D) é de 4, m s D 9, m a) 75 b) 6 c) 55 d) 45 e) 3 E i,7 E i,3 (,7 E i ) E i,49 E i m ( cos θ),49 m cos θ,5 θ 6 esposta: b

20 7 TE II DINÂMI 67 Uma esfera de massa m, liada a um ponto f ixo O, deverá realizar voltas circulares contidas em um plano vertical No local, a aceleração da ravidade vale e a influência do ar é desprezível No ponto, o mais baixo da trajetória, a velocidade da esfera tem a mínima intensidade de modo que permita a realização de uma volta completa 68 (Vunesp-UFTM-MG) f iura, fora de escala, mostra um pêndulo simples abandonado à altura do ponto mais baixo da trajetória Na vertical que passa pelo ponto de sustentação, um pino faz o f io curvar-se e o pêndulo passa a descrever uma trajetória circular de raio r e centro O r onsiderando a esfera no ponto, calcule a intensidade da força de tração no elemento que a conecta ao ponto O nos seuintes casos: a) o elemento de conexão é um f io inextensível, flexível e de massa desprezível; b) o elemento de conexão é uma aste ríida de massa desprezível a) No ponto, a força de tração no f io terá intensidade nula e o peso da esfera fará o papel de resultante centrípeta onto : F cp m m v v (I) E m E m E E + E p m v m v + m v v + (II) Substituindo (I) em (II): v + v 5 (III) onto : T F cp T m m v (III) em (IV): T m m 5 Donde: T 6 m (IV) b) No ponto, a velocidade da esfera será praticamente nula E m E m E E m v m v 4 (I) onto : T F cp T m m v (II) Substituindo (I) em (II): T m m 4 Donde: T 5 m espostas: a) 6 m ; b) 5 m O menor valor de para que a esfera pendular descreva uma circunferência completa é iual a: a), r d),5 r b),5 r e) 3, r c), r (I) No ponto : F cp m v m v r r (I) (II) Sistema conservativo: E m E m (II) H em : m ( r) m v r v Substituindo (I) em (II): r r Donde: 5 r,5 r esposta: d 69 (IT-S) Uma aste ríida de peso desprezível e comprimento carrea uma massa m em sua extremidade Outra aste, idêntica, suporta uma massa m em seu ponto médio e outra massa m em sua extremidade s astes podem irar ao redor do ponto f ixo, conforme as f iuras (II) r

21 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 73 m m m v v Qual a velocidade orizontal mínima que deve ser comunicada às suas extremidades para que cada aste deflita até atinir a orizontal? onsidere conecida a intensidade da aceleração da ravidade: a situação: m v m v a situação: massa colocada no ponto médio do f io terá a metade da velocidade linear da massa colocada na extremidade do f io, isto é, v v m m v + + m 5 8 v 3 m a) E m E m E + M 5 M E 4 M M v b) + M 5 M v 8 (I) onto (mais alto da trajetória): T + F cp T + M M v (I) em (II): T + M M 8 T 7 M omo em o f io encontra-se tracionado, conclui-se, conforme o enunciado, que a esfera se encaixará no copino espostas: a) 4 M ; b) 7 M, sim 7 (IT-S) Uma pequena esfera penetra com velocidade V em um tubo oco, recurvado e colocado em um plano vertical, como mostra a f iura, num local onde a aceleração da ravidade tem módulo iual a Supondo que a esfera percorra a reião interior do tubo sem atrito e acabe saindo orizontalmente pela extremidade, perunta-se: que distância x, orizontal, ela percorrerá até tocar o solo? V (II) Da qual: v,4 espostas: v e v,4 3 7 (UFJ) Um brinquedo muito popular entre as crianças é a minicatapulta Ela consiste de uma f ina tira de madeira que pode ser flexionada a f im de impulsionar uma pequena esfera de massa M, presa a um dos extremos de um f io ideal de comprimento (o outro extremo está f ixo no ponto O), para que esta se encaixe em um copino no extremo oposto do brinquedo, como ilustra a f iura a seuir ara que o arremesso seja bem-sucedido, é necessário que no ponto mais alto da trajetória da esfera o f io esteja esticado v t M O opino Supona que no momento do lançamento (t ) o f io encontre-se esticado e que a eneria mecânica total da esfera nesse instante seja 5M, tomando como nível zero de eneria potencial o nível do ponto O dmita que a eneria mecânica da esfera permaneça constante a) alcule a eneria cinética da esfera no ponto mais alto de sua trajetória b) alcule a força de tração no f io no ponto mais alto da trajetória da esfera e responda se esta se encaixará ou não no copino E msaída E mentrada (referencial no ponto de saída) m V S m V + m x V s V + (I) Movimento balístico: Na vertical: MUV Δy v y t + α y t 3 t t 3 q q Na orizontal: MU Δx v H Δt x V s t q Substituindo (I) e (II) em (III): x V + 3 Do qual: x esposta: 3 3 (V + ) (V + ) (II) (III)

22 74 TE II DINÂMI 7 (Fuvest-S) Um corpo de massa m é lançado com velocidade inicial V na parte orizontal de uma rampa, como indicado na f iura o atinir o ponto, ele abandona a rampa, com uma velocidade V (V x, V y ), seue uma trajetória que passa pelo ponto de máxima altura e retorna à rampa no ponto Despreze o atrito Sejam, e as alturas dos pontos, e, respectivamente, V (V x, V y ) a velocidade do corpo no ponto e V (V x, V y ) a velocidade do corpo no ponto V onsidere as af irmações: I V V x V V x II V x V V x III m V m V m ( ) IV m V m V m V m ( ) y São corretas as af irmações: a) todas d) somente II, III, IV e V b) somente I e II e) somente II, III e V c) somente II, III e IV y (I) e (II): velocidade orizontal do corpo mantém-se constante apenas no voo balístico (treco ) V X V V X (III) E m E m (referencial em ): m V + m ( ) m V m V m V m ( ) (IV) E mo E m (referencial em O): m V O m V + m (V) E m E m (referencial em ): m (V + V x y m V + m ( ) m V + x m V y m V + m ( x ) m V m ( y ) esposta: e x 73 (Unip-S) No esquema da f iura, uma pequena esfera desliza em uma trajetória sem atrito de para e, em seuida, f ica sob a ação exclusiva da ravidade, descrevendo um arco de parábola de vértice O referencial para medir as enerias é o solo e a trajetória parabólica não está na escala correta H V V H 6 Solo orizontal esfera foi lançada, a partir do ponto, com velocidade de intensidade V e, ao abandonar o trilo em, sua velocidade V forma ânulo de 6 com a orizontal Sabendo que no ponto a eneria mecânica da esfera vale 7 J e a eneria cinética vale J, podemos concluir que a altura do ponto : a) é iual a H b) é menor que H c) é maior que H d) vale 3 4 H e) não pode ser obtida em função de H com os dados apresentados Um recurso didático bastante ef icaz para esse tipo de exercício é construir uma tabela com valores das enerias cinética, potencial de ravidade e mecânica nos diversos pontos da trajetória E E p E m (I) De para, a altura reduz-se à metade, o mesmo ocorrendo com a eneria potencial da ravidade (II) Em, a velocidade é a metade da de (V V cos 6,5 V ) oo, a eneria cinética em é um quarto da de (III) eneria potencial de ravidade em é iual à de oo: H esposta: a 74 Um atleta de massa iual a 64, k prepara-se para realizar um salto a distância ara isso, ele começa a correr numa pista orizontal, destacando-se do solo com uma velocidade oblíqua V que tem componente orizontal de intensidade,5 m/s Nesse instante, o centro de massa do atleta encontra-se a uma altura de 8, cm em relação ao solo No local, a aceleração da ravidade tem intensidade m/s e a influência do ar é desprezível Tendo-se verif icado que o centro de massa do atleta sofreu uma elevação máxima de 45, cm durante o voo e que ao encerrar-se o salto este ponto termina praticamente ao nível do cão, determine: a) a eneria cinética do atleta no instante em que se destaca do solo; b) o intervalo de tempo transcorrido durante o voo; c) a marca obtida pelo atleta em seu salto, isto é, a distância percorrida por ele durante o voo, paralelamente à pista

23 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 75 E mf E mi y V V H em :,45 m,8 m V y V x D x m v 5, v Da qual: + K (Δx ) + 5, (,) v,4 m/s m + K (Δx ) 5,,6 + 5, (,4) Sistema conservativo: E m E m esposta:,4 m/s E m v oo: E E 3 86, J + m Δ; V V x,5 m/s 64, (,5) + 64,,,45 b) Movimento vertical de para : MUV V y V y + α y Δy V y + (,),45 V y 3, m/s Movimento vertical de para : MUV Δy V y t + α y t,8 3, t V, 5, t 3, t,8 V V esolvendo a equação, temos: t V,8 s c) Movimento orizontal de para : MU Δx V X t D,5,8 (m) D 8,4 m espostas: a) 3 86, J; b),8 s; c) 8,4 m t V 76 (IT-S) Um bunee-jumper de, m de altura e k de massa pula de uma ponte usando uma bunee-cord de 8 m de comprimento quando não alonada, constante elástica de N/m e massa desprezível, amarrada aos seus pés Na sua descida, a partir da superfície da ponte, a corda atine a extensão máxima, sem que ele toque nas rocas embaixo Das opções abaixo, a menor distância entre a superfície da ponte e as rocas é: (dotar m/s ) a) 6 m b) 3 m c) 36 m d) 4 m e) 46 m Seja d a distância pedida e x a máxima deformação da corda d 8 + x +, (em metros) d + x (em metros) E mf E mi (referencial na posição mais baixa do centro de massa do bunee-jumper): K x m x x x M ( + x), m 75 Na f iura, tem-se um cilindro de massa 5, k, dotado de um furo, tal que, acoplado à barra vertical indicada, pode deslizar sem atrito ao lono dela iada ao cilindro, existe uma mola de constante elástica iual a 5, N/m e comprimento natural de 8, cm, cuja outra extremidade está f ixada no ponto O Inicialmente, o sistema encontra-se em repouso (posição ) quando o cilindro é larado, descendo pela barra e alonando a mola alcule o módulo da velocidade do cilindro depois de ter descido 6 cm (posição ) dote nos cálculos m/s 8 + x cm O 6 cm M, m, m ocas

24 76 TE II DINÂMI esolvendo-se a equação: x ± + 8 Donde: x m oo: d + (em metros) esposta: d d 4 m Substituindo (I) em (II): d ( d) d 4 4 d 5 d 4 Donde: d 4 5 esposta: d Uma pedra Q, de massa iual a, k, está presa a um f io elástico que possui constante elástica K, N/m pedra é projetada com velocidade v Q de módulo m/s, formando um ânulo de 6 com a orizontal No instante do lançamento, o f io elástico estava esticado de, m Desprezando a influência do ar e considerando m/s, calcule o módulo da velocidade da pedra, em m/s, no instante em que ela atine a posição 79 Na f iura, e D são tubos contidos em um mesmo plano vertical Os sementos,, D e D têm todos o mesmo comprimento, estando D e posicionados verticalmente α Q v Q 6, m 3, m D α E mp E mq K (Δx ) + m v K (Δx Q ) + m v Q (,) +, v (,) +, 4 + v 4, + 4 Da qual: v p, m/s esposta:, m/s 78 Uma partícula, saindo do repouso do ponto, percorre a uia representada no esquema, disposta em um plano vertical: Solo Sendo a altura do ponto em relação ao solo e d o diâmetro do arco de circunferência indicado, calcule o máximo valor admissível à relação d/ para que a partícula consia cear ao ponto sem perder o contato com a uia Despreze os atritos e a resistência do ar onto O: F cp m m v d E mo E m (referencial em O): m v m ( d) v d O d (I) v ( d) (II) Uma esfera I parte do repouso de, percorre o tubo e atine com velocidade de intensidade v I, astando um intervalo de tempo Δt I Uma outra esfera II também parte do repouso de, percorre o tubo D e atine com velocidade de intensidade v II, astando um intervalo de tempo Δt II Despreze todos os atritos e as possíveis dissipações de eneria mecânica nas colisões das esferas com as paredes internas dos tubos Supondo conecidos o ânulo α e a intensidade da aceleração da ravidade, pede-se: a) calcular v I e v II ; b) comparar Δt I com Δt II a) Seja o desnível entre e ou entre D e sen α ara os dois casos: E m E m m V m ( + ) V ( + sen α) oo: V V I V II ( + sen α) b) v m Δs Δt v m v + v + V Δt V + V Δt Então: (MUV) Δt I + V V + V Δs Δt v + v Δt V Δt V + V

25 Tópico 7 Eneria mecânica e sua conservação 77 + V D Δt D V + V D Δt D Então: Δt D V D Δt D Δt II + V D V D + V V D + V Nos trecos e D, as distâncias percorridas pelas bolinas são iuais a Sendo a sen α e a D, pode-se inferir pela Equação de Torricelli que V D > V oo: Δt II < Δt I onto : m m cos θ m v ( cos θ) v Substituindo (III) em (IV): ( cos θ) cos θ cos θ cos θ cos θ 3 Donde: θ 7,5 esposta: a 8 (UFJ) Uma bolina de ude de dimensões desprezíveis é abandonada, a partir do repouso, na borda de um emisfério oco e passa a deslizar, sem atrito, em seu interior (IV) espostas: a) V V I V II ( + sen α) ; b) Δt II < Δt I 8 O pêndulo esquematizado na f iura é constituído de uma pequena esfera de massa m e de um f io leve e inextensível que pode suportar uma tração máxima de intensidade m, em que é o módulo da aceleração da ravidade local θ f osição de onde foi abandonada a bolina Nas posições e, o f io apresenta-se, respectivamente, na orizontal e na vertical dmita que o pêndulo parta do repouso da posição Desprezando o efeito do ar, você poderá af irmar que: a) o f io se romperá entre as posições e ; b) o f io se romperá na posição ; c) o f io se romperá entre as posições e ; d) o f io se romperá na posição ; e) o pêndulo permanecerá oscilando indef inidamente 45 Seja o ponto em que o f io se rompe: cos θ cos θ (I) E mp E m (referencial em ): m cos θ θ T máx m θ θ alcule o ânulo θ (expresso por uma função trionométrica) entre o vetor-posição da bolina em relação ao centro e a vertical para o qual a força resultante f sobre a bolina é orizontal (I) componente f na direção radial ao emisfério é a resultante centrípeta sen θ F cp f m v f sen θ sen θ m v f (I) Sistema conservativo: E m E m m v m Mas cos θ; loo: m v m cos θ (II) omparando (I) e (II): f sen θ m cos θ f t θ m (III) (III) θ θ f θ θ F n F cp m f m v m v (II) Substituindo (I) em (II): v cos θ (III) Donde: t θ f t θ f m