Introdução à Modelagem. Poluição Ambiental. Maurício Felga Gobbi, Ph.D. Universidade Federal do Paraná

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1 Introdução à Modelagem da Poluição Ambiental Maurício Felga Gobbi, Ph.D. Universidade Federal do Paraná

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3 Prefácio Esta é uma apostila que serve como texto para o curso Dispersão Ambiental de Poluentes. Maurício F. Gobbi. iii

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5 Sumário Prefácio Sumário iii v 1 Introdução O papel da ciência no problema da poluição Ciências básicas Hidrologia Meteorologia Engenharia Ciências sociais e humanas Conservação e Transporte As leis de conservação Teorema do transporte de Reynolds Conservação da massa Conservação da quantidade de movimento Conservação da energia Equação de estado Redução de dimensão e equações integradas Difusão molecular, difusão turbulenta, e dispersão Difusão molecular Difusão turbulenta Dispersão Cargas Sistemas completamente misturados Sistemas unidimensionais Sistemas bidimensionais Sistemas tridimensionais Problemas v

6 vi SUMÁRIO 3 Processos Físicos, Químicos e Biológicos Radiação e balanço de energia Balanço radiativo na superfície Balanço de energia em uma superfície Estratificação vertical Estabilidade e freqüência de Brunt-Väisälä Sedimentação Particionamento de substâncias químicas no sedimento Decantação Ressuspensão Reações químicas Lei de Guldberg e Waage - Ação das Massas Influência da temperatura na taxa de reação Ordem de reações Cinética de enzimas: modelo de Michaelis-Menton Reações em seqüência Reações reversíveis - sistemas complexos Estado de transição, energia livre, e energia de ativação Equilíbrio químico Dissociação da água Potencial hidrogênico - ph Ácido-base Oxidação-redução Influência da temperatura no equilíbrio químico Adsorção Oxigênio dissolvido e DBO Nitrogênio, fósforo, e algas Nitrogênio Fósforo Algas Eutrofização de corpos d água Problemas Soluções Analíticas Problemas Poluição Hídrica Rios e canais Equação do transporte longitudinal Mistura transversal

7 SUMÁRIO vii Mistura vertical Lagos e reservatórios Tempo de residência Estratificação Penetração convectiva Mistura por ação do vento Estuários, baías, e águas oceânicas Mistura por cisalhamento da maré Efeito da maré aprisionada Mistura vertical Mistura transversal Mistura causada pela vazão do rio Águas subterrâneas Hidráulica do meio poroso Equação de transporte em um meio poroso Coeficientes de dispersão Problemas

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9 Capítulo 1 Introdução 1.1 O papel da ciência no problema da poluição Ciências básicas Hidrologia Meteorologia Engenharia Ciências sociais e humanas 1

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11 Capítulo 2 Conservação e Transporte Neste capítulo apresentaremos noções básicas de transporte de grandezas físicas no ambiente através de equações matemáticas que representam leis universais da física. Em geral, trabalharemos com coordenadas cartesianas (x, y, z), representando as três dimensões espaciais, e t representará o tempo. Quase sempre a direção z representará a direção vertical, paralela à aceleração gravitacional g. Como praticamente todo transporte de poluentes se dá no estado fluido e/ou através de escoamentos de fluidos, utilizaremos a seguinte notação: µ será a viscosidade absoluta (ou dinâmica) do fluido em questão, ν será a sua viscosidade cinemática, ρ será a sua densidade (ou massa específica). O vetor velocidade do fluido será u (u, v, w) e p será a pressão no fluido. Usaremos extensivamente o operador vetorial gradiente ( / x, / y, / z) e o laplaciano 2. A quantidade de um soluto (por exemplo, um poluente) num meio fluido será expressada por um escalar representando a concentração, quando quisermos expressara quantidade intensiva do poluente (quantidade de poluente por unidade de massa do fluido), ou por um escalar representando a massa ou volume de poluente contida num volume finito do meio fluido. A concentração pode ser expressa de várias formas: ppm (partes por milhão) ou [M soluto M 1 total ], [M solutol 3 total ], etc (aqui, [M] e [L] são unidade de massa e comprimento, respectivamente). Uma unidade usada por químicos é a concentração molar, com freqüência simbolizada por M, e significando o número de moles 1 da substância por litro de solução. Nesta seção, a menos que seja explicitado o contrário, estaremos expressando concentração em [M soluto M 1 total ]. 1 Um mol possui a massa de 6, moléculas. 3

12 4 2 Conservação e Transporte 2.1 As leis de conservação Nesta seção apresentaremos as leis de conservação que formam a base de toda a modelagem de transporte ambiental em sistemas envolvendo escoamentos de fluidos Teorema do transporte de Reynolds Considere um volume de fluido V = dv arbitrário, porém fixo no espaço V (volume de controle) contendo uma certa propriedade extensiva do fluido (energia, massa de um soluto, etc) Λ e a propriedade intensiva λ associada a Λ. Assim, por definição, Λ = λρdv. (2.1) V O teorema do transporte de Reynolds se refere à variação temporal da quantidade Λ de um volume de fluido no instante em que esse volume ocupa o volume fixo V. Se o fluido estiver em repouso, a taxa de variação temporal da quantidade Λ, será simplesmente calculada como a derivada dλ dt (λρ) dv. Caso o fluido esteja em movimento, devemos contabilizar a V t quantidade Λ que entra e sai do volume V devido ao movimento do fluido. Essa quantidade deverá ser igual ao fluxo advectivo de Λ através da superfície (de controle) S em torno do volume de controle (fluxo advectivo é aquele devido ao transporte por advecção, ou seja pela velocidade macroscópica do fluido). O fluxo de Λ através da superfície de controle é calculado integrandose o fluxo através de cada elemento de área ds (vetor área elementar normal à superfície e apontando para fora de V ) multiplicado pela projeção do vetor velocidade no sentido perpendicular à superfície em cada elemento de área da superfície, u ds, multiplicado ainda pela grandeza intensiva λ e pela densidade ρ. Assim, a taxa de variação temporal de Λ fica: dλ dt = V t (λρ)dv + S λρu ds. (2.2) A equação 2.2 é conhecida como Teorema do Transporte de Reynolds. Esse teorema pode ser generalizado para um volume de controle que se move, mas esse caso não será apresentado aqui Conservação da massa A equação para um volume de controle da conservação da massa de um poluente ou qualquer espécie A com concentração C A presente em um fluido

13 2.1 As leis de conservação 5 diz que a massa total M A da espécie é conservada ao acompanharmos o fluido quando ele ocupa o volume V, ou seja, sua taxa de variação deve ser igual ao somatório de fontes e sumidouros de A: V t (C Aρ) dv + S C A ρu ds = fontes + sumidouros. (2.3) as fontes e sumidouros podem ser divididas entre àquelas no interior do volume e as que atravessam a superfície por processos não-advectivos (por exemplos, processos difusivos): fontes + sumidouros = fdv j ds. (2.4) Na definição 2.4, f é uma função fonte generalizada interna ao volume e j é o vetor fluxo difusivo através da superfície em cada elemento ds. O fluxo difusivo pode ser calculado utilizando-se a lei de Fick para difusão molecular: V S j = ρd C A, (2.5) onde D é o coeficiente de difusividade molecular de massa. Naturalmente se não houver fontes e/ou sumidouros de A, a massa de A permanece constante. Um caso particularmente interessante é o da conservação da massa do fluido em si. Nesse caso, supondo nenhuma fonte e/ou sumidouro, em 2.3 temos simplesmente C A = 1 e a equação fica: ρ t dv + ρu ds = 0. (2.6) V S Voltando ao caso da conservação da massa de um soluto, utilizando o teorema da divergência de Gauss, fdv = f ds, (2.7) V na equação 2.3 com para transformar as integrais de superfície em integrais de volume temos: [ ] t (C Aρ) + (C A ρu) (f + (ρd C A )) dv = 0. (2.8) V Como o volume de controle é arbitrário, o integrando na equação 2.8 deve ser nulo, e obtemos uma equação diferencial parcial que deve ser satisfeita em todos os pontos do domínio: S t (C Aρ) + (C A ρu) (ρd C A ) = f, (2.9)

14 6 2 Conservação e Transporte A equação 2.9 é a equação diferencial da conservação da massa de um soluto no fluido. Para a conservação da massa do fluido como um todo, pode-se obter uma equação similar, apenas fazendo C A = 1 e f = 0 (supondo que não há fontes/sumidouros de massa do fluido): ρ t ou, usando o conceito de derivada material + (ρu) = 0, (2.10) D Dt + u, (2.11) t a equação 2.10 se torna: Dρ + ρ u = 0, (2.12) Dt e, supondo que o fluido tem densidade uniforme a equação 2.9 se torna DC A Dt C A t + (u ) C A = (D C A ) + i f i. (2.13) onde re-definimos as fontes e sumidouros i f i f/ρ. Os termos de fontes e sumidouros i f i referem-se tanto a lançamentos e afluências da espécie em questão no meio fluido, quanto a uma infinidade de processos físicos (decantação, absorção, adsorção, etc), químicos (reações químicas, decaimento, etc), e biológicos (decomposição, consumo, fotossíntese, morte, etc) capazes de de modificar a concentração da espécie. Vários desses processos serão estudados no próximo capítulo. Em casos em que as fontes e sumidouros envolvem mais incógnitas que precisam ser modeladas (por exemplo, outra espécie poluente, ou algum soluto natural contido num corpo d água), devemos ter várias equações no sistema acopladas entre si, que devem se resolvidas simultaneamente. Assim, considerando que temos n espécies simultâneas com concentrações C j, (j = 1, 2,..., n), o sistema de n equações a ser resolvido teria a forma: C j t + (u ) C j = D j 2 C j + i f ij (C 1, C 2,..., C j ), j = 1, 2,..., n (2.14) Conservação da quantidade de movimento A conservação de quantidade de movimento é a equação que rege o escoamento do fluido em questão, juntamente com a conservação da massa 2.10.

15 2.1 As leis de conservação 7 Este texto não tem a pretenção de fornecer ao leitor uma exposição completa de Mecânica dos Fluidos, assunto esse tratado em uma enorme bibliografia disponível. Entretanto, é importante frisar que o conhecimento do campo de velocidade u (u, v, w) é fundamental para que se possa resolver as equações de transporte de uma ou mais espécies poluentes. Assim, via de regra, consideraremos que o campo de velocidade é conhecido, e que nossas incógnitas serão apenas as concentrações das espécies imersas no fluido. Apenas para constar, as equações de conservação da quantidade de movimento, conhecidas como equações de Navier-Stokes, são dadas pela equação vetorial: u t + (u ) u = 1 ρ p + g + ν 2 u. (2.15) Para escoamentos turbulentos, onde nossas velocidades u = (u, v, w) e pressão p são médias espaciais, temporais, ou amostrais, as equações podem ser obtidas tomando-se a média de cada termo da equação 2.15, o que, com a adição de algumas hipóteses e simplificações que estão fora do escopo deste texto, nos fornece o seguinte sistema, conhecido como equações médias de Reynolds: u t + (u ) u = 1 ρ p + g + (ν + ν T) 2 u, (2.16) onde ν T é um coeficiente de viscosidade turbulenta, que é de difícil determinação por ser dependente do escoamento. Esse termo de de viscosidade turbulenta aparece matematicamente por causa das não linearidades das equações de Navier-Stokes. O problema de se encontrar valores para ν T é conhecido como problema de fechamento da turbulência Conservação da energia Nesse texto consideraremos que a energia mecânica e a energia interna (temperatura) de um fluido são desacopladas, ou seja, não há aumento de temperatura devido à dissipação de energia mecânica. Assim, pode-se escrever a equação da conservação de energia interna para a temperatura T do fluido, após algumas simplificações, numa forma análoga à equação para massa do soluto: DT Dt T t + (u ) T = α 2 T + f i. (2.17) i Aqui, α é a difusividade térmica do fluido, e i f i são fontes e sumidouros de calor devido a afluências, reações, etc.

16 8 2 Conservação e Transporte Equação de estado Um fluido contendo n espécies dissolvidas de concentrações C j (j = 1, 2,..., n) tem como equação de estado geral uma relação entre a densidade ρ, a pressão p, a temperatura T, e as concentrações de cada espécie C j : ρ = ρ(p, T, C 1,..., C n ). (2.18) A equação de estado mais conhecida é a de um gás ideal dada pela seguinte relação entre ρ, p, e T: ρ = p RT, (2.19) onde R é uma constante própria do gás. Equações de estado para sistemas mais complexos dever ser obtidas à medida que se fazem necessárias na modelagem. 2.2 Redução de dimensão e equações integradas Em princípio, todos os problemas com os quais lidamos são tridimensionais (3D) no espaço e variam no tempo, e são, portanto, extremamente complexos. Entretanto, é comum em problemas de modelagem de transporte de poluentes simplificarmos o problema buscando uma redução do número de dimensões. No espaço, essa redução pode ser de 3D para 2D, para 1D, e até para 0D (ou seja para um problema pontual). Pode-se também buscar soluções que não variam com o tempo (regimes permanentes). Há entretanto uma certa confusão relacionada a como a redução de dimensionalidade espacial é feita. Vamos tentar elucidar essa questão de forma mais ou menos genérica. Em geral o que queremos fazer é eliminar das equações diferenciais, algumas derivadas parciais, para que a obtenção de soluções seja mais simples. Em vários casos, particularmente em casos em que buscamos soluções analíticas, o que fazemos é simplesmente supor que a nossa variável é constante em uma ou mais direções. Como exemplo trivial podemos supor que num dado reservatório contendo matéria orgânica, a mistura é muito rápida de modo que a concentração c de DBO não é função de qualquer coordenada espacial dentro do reservatório, o que nos possibilita dizer que as derivadas espaciais c/ x, c/ y, c/ z são nulas. A equação 2.13 para a concentração do cloro se torna então: c t = i f i. (2.20)

17 2.2 Redução de dimensão e equações integradas 9 Suponha agora o caso mais sofisticado de um corpo d água unidimensional (um rio) onde c varia apenas na direção x. Desprezando c/ y, c/ z da equação 2.13, temos: c t + u c x = ( D c ) + f i. (2.21) x x i Em contraste ao exemplo acima, vamos supor que não sabemos como c varia na seção transversal, mas, não obstante, queremos eliminar as direções y e z do problema. O que podemos fazer então é, ao invés de simplesmente desprezar as derivadas espaciais, é integrar a equação na seção transversal de área A (que é função de x em geral). Por conveniência, vamos integrar a equação na forma 2.9 dividida por ρ constante: c t dydz + (cu) x dydz + (cv) y dydz + (cw) dydz = z s s s s ( D c ) ( dydz + D c ) ( dydz + D c ) dydz x x y y z z s s s + f i dydz. (2.22) s i Note que os dois últimos termos do lado esquerdo da equação são nulos pois não há transporte advectivo médio nas direções y e z, além disso, não há transporte difusivo médio nessas direções, portanto os termos difusivos em y e z também são nulos (os dois termos centrais no lado direito). Integrando os termos restantes usando a regra de Leibniz, e usando a a notação = 1 A s dydz temos: (ca) t + (cua) x = ( D c ) x x A + i f i A (2.23) Vamos escrever a velocidade e a concentração como uma média na seção mais os desvios em relação à média: u = U + u e u = C + c. Em geral u e c são correlacionados na seção, de modo que cu CU. Entretanto a correlação entre os dois c u tem no transporte médio um efeito difusivo que chamamos C de dispersão. Definindo D L de forma que D L (CA) t + (CUA) x = ( C D L x x A D c x ) + i x x ( c u ), temos: f i A. (2.24) A menos do fato de que em 2.24 temos valores médios na seção transversal e de termos D L no lugar de D, as equações 2.21 e 2.24 podem ser comparadas, e é fácil mostrar que elas são formalmente iguais apenas no caso da

18 10 2 Conservação e Transporte área da seção transversal ser constante ao longo do canal e no tempo. Em suma, o exemplo acima mostra que quando queremos reduzir a dimensão de um problema, muitas vezes não é correto simplesmente desprezarmos termos da equação diferencial. Devemos fazer uma análise cuidadosa para que efeitos tridimensionais importantes sejam levados em conta, como é o caso da variação da área da seção, no exemplo acima. 2.3 Difusão molecular, difusão turbulenta, e dispersão Na seção anterior vimos o aparecimento do conceito de dispersão. Nesta seção faremos uma breve introdução aos conceitos de difusão molecular, de difusão turbulenta e compararemos com a dispersão, já que, sendo fenômenos com efeitos parecidos, eles freqüentemente provocam confusão Difusão molecular A difusão molecular é a parte do transporte de um soluto em um fluido devido unicamente à agitação (movimento browniano) das moléculas que compõem o fluido. A figura 2.1 ilustra o processo. A aleatoriedade do movimento das moléculas pode ser representada por um processo conhecido como Passeio Aleatório que exemplificamos a seguir. Dado um espaço unidimensional (os casos bi e tridimensionais são análogos), suponha que uma molécula ocupando a posição x em t tem 25% de chance de se deslocar durante um intervalo t para x + x e outros 25% de chance de se deslocar para x x, além de 50% de chance de permanecer em x. Vamos chamar de P [n x, m t] a probabilidade da partícula estar em n x no instante m t. Assim, é fácil ver que: P [n x, (m + 1) t] = + + P [(n 1) x, m t] 4 P [n x, m t] 2 P [(n + 1) x, m t] 4 (2.25) Quando x e t são pequenos, podemos escrever as seguintes séries de Tay-

19 2.3 Difusão molecular, difusão turbulenta, e dispersão 11 t Figura 2.1: Difusão molecular: a concentração de um soluto diminuindo entre dois instantes consecutivos. Círculos escuros representam moléculas de soluto, enquanto que círculos claros são moléculas do fluido puro. lor: P [(n ± 1) x, m t] = P ± P x x P 2 x 2 x2 ± 1 3 P 6 x 3 x3 + O( x 4 ) P [n x, (m + 1) t] = P + P t t + O( t2 ), (2.26) onde, no lado direito das equações 2.26, P e suas derivadas são calculadas no ponto n x, m t. Substituindo 2.26 em 2.25, manipulando algebricamente, e tomando o limite quando x 2, t 0, tem-se: P t = ( x 2 4 t ) 2 P x 2. (2.27) A equação é formalmente a equação da difusão. Isso mostra que a equação da difusão, que rege o transporte espacial difusivo da concentração de uma substância ao longo do tempo, é um processo aleatório análogo ao passeio aleatório que acabamos de mostrar. A concentração de uma substância mum ponto, portanto, pode ser vista como uma medida macroscópica da probabilidade de se encontrar uma molécula dessa substância na vizinhança daquele ponto. Fica a cargo do leitor interpretar o análogo do coeficiente de difusividade no passeio aleatório, x2 4 t Difusão turbulenta Considere a seguinte equação de transporte bidimensional para a concentração a contendo termos advectivos e difusivos (o caso tridimensional é análogo): c t + (cu) x + (cv) y ( ) 2 c = D x + 2 c, (2.28) 2 y 2

20 12 2 Conservação e Transporte c c C tempo Figura 2.2: Processo turbulento: a concentração de um soluto flutua em torno de uma média. onde, por conveniência, utilizamos a equação da continuidade do fluido incompressível u + v c = 0 para escrever: u + v c = (cu) + (cv). x y x y x y Suponha que o nosso escoamento é turbulento, e que queremos estudar o comportamento médio (amostral, temporal, ou espacial) da concentração. Usando letras maiúsculas para a média, temos que os valores instantâneos, pontuais de u, v, a, podem ser escritos como uma média somada à flutuação em torno da média: c = C + c, u = U + u, v = V + v. (2.29) A figura 2.2 ilustra o processo para uma variável (concentração c) em função do tempo. O mesmo ocorre para as velocidades e em todas as direções espaciais, além do tempo. Obviamente o motivo de estudarmos o escoamento médio é a nossa incapacidade de determinarmos o escoamento instantâneo (as flutuações) em todos os pontos. Substituindo 2.29 em 2.28 e tomando a média da equação, temos: ( C + c ) t + = D [ ] (C + c )(U + u ) + x [ 2 (C + c ) + 2 (C + c ) x 2 y 2 [ (C + c )(V + v ) y ]. (2.30) Obviamente, C = C, CU = CU, CV = CV, Cu = Cv = c U = c V = 0. U A equação da continuidade média fica: + V = 0, e a equação para a x y ]

21 2.3 Difusão molecular, difusão turbulenta, e dispersão 13 média do transporte turbulento fica: C t + U C x + V C ( ) 2 y = D C x + 2 C ( c u ) ( c v ) 2 y 2 x y (2.31) Infelizmente, a determinação dos termos de correlações de flutuações turbulentas, ( c u ) / x + ( c v ) / y, é extremamente complexa e está no cerne das mais avançadas pesquisas em escoamentos turbulentos. Sabe-se, porém, que esses termos têm um papel similar ao da difusão laminar. Assim, é comum se definirmos o parâmetro D t (coeficiente de difusão turbulenta) a ser determinado através de modelos, ou de medições, de forma que ( ) ( ) 2 C D t x + 2 C 2 C D 2 y 2 x + 2 C ( c u ) 2 y 2 x ( c v ). (2.32) y A equação diferencial para de transporte turbulento médio da grandeza A fica: C t + U C x + V C ( ) 2 y = D C t x + 2 C. (2.33) 2 y 2 Na dedução da equação acima, supusemos que D t é constante no espaço. No caso mais geral, entretanto, ele varia. Assim, é mais comum o termo de difusão turbulenta aparecer na forma abaixo, onde escrevemos a equação para o transporte médio turbulento com notação vetorial (que pode ser tridimensional): C t + (U ) C = (D t C). (2.34) Muitas vezes a difusão turbulenta pode ser anisotrópica, ou seja ela pode ter coeficientes de difusão nas diferentes direções. Se este for o caso, podemos generalizar a equação 2.34 para: C t + (U ) C = ( ) C D tx x, D C ty y, D C tz. (2.35) z Quando o escoamento é turbulento, ocorre difusão por efeitos similares à dispersão por cisalhamento (veja a próxima seção), porém, os gradientes de velocidade são muito mais erráticos e caóticos. Assim a análise de dispersão por cisalhamento que faremos na próxima seção não se aplica a escoamentos turbulentos, e temos que usar um método mais empírico. O escoamento turbulento se caracteriza pela presença de infindáveis vórtices aos quais pode-se associar uma velocidade característica (velocidade orbital) u e um comprimento característico (tamanho do vórtice) d. Por

22 14 2 Conservação e Transporte análise dimensional, é fácil ver que se supusermos que a a difusão turbulenta D t ([L 2 T 1 ]) é apenas função de u e d, temos: D t u d = βu d, (2.36) onde β e um coeficiente empírico adimensional, normalmente por volta de 0,1. Por um argumento similar, o tempo característico para ocorrência da mistura por difusão turbulenta é: τ d u. (2.37) Dispersão O termo dispersão, apesar do seu uso mais ou menos corriqueiro para situações diversas, possui um significado bastante específico em modelagem de problemas de mecânica dos fluidos. Na seção 2.2 vimos o aparecimento do conceito de coeficiente dispersão (naquele caso chamado de dispersão longitudinal). A figura 2.3 ilustra o funcionamento da dispersão longitudinal. Ao integrarmos uma equação numa dada direção (nessa seção chamemos a direção vertical de y), o cisalhamento de velocidade tende a fazer com que a concentração seja advectada com diferentes velocidades em diferentes pontos y, assim, na solução integrada em y esse efeito aparece como se fosse uma difusão molecular ou turbulenta. O nome do efeito, entretanto, é dispersão, e só existe em problemas onde se integra a(s) equação(ões) em uma ou mais direções. Para justificar a expressão matemática da dispersão longitudinal análoga C à da difusão molecular, ou seja que o fluxo devido à dispersão é D L, x considere um canal bidimensional com velocidade apenas na longo do canal x, porém variando na vertical u(y, t) e com concentração c(y, t). Para facilitar, considere a profundidade constante h. A velocidade e concentração podem ser escritas como: u(y, t) = U(t) + u (y, t), c(y, t) = C(t) + c (y, t), onde U e C são médias na seção: U = 1 h udy e C = 1 h cdy. A equação do h 0 h 0 transporte laminar de c para (x, y), c t + u c x + v c ( ) 2 y = D c x + 2 c, (2.38) 2 y 2 fica C t + c t + U C x + U c x + u C x + u c x = D 2 c y 2, (2.39)

23 2.3 Difusão molecular, difusão turbulenta, e dispersão 15 Perfil lateral do canal Planta do canal (integral em y) tempo t u(y) Poluente Poluente x = 0 t x = 0 U t concentração integrada alta tempo t + t u(y) Poluente Poluente x = 0 x = 0 concentração integrada baixa Figura 2.3: Dispersão longitudinal. No painel superior a concentração do poluente está localizada e uniforme na vertical. Algum tempo depois, o cisalhamento na advecção pelo corpo d água com maior velocidade na parte superior que na parte inferior, além de advectar o poluente canal abaixo, provoca um efeito que, aos olhos do sistema integrado na vertical, se assemelha a uma difusão. Esse efeito, que é puramente devido ao fato de que o sistema foi integrado em y, é chamado de dispersão.

24 16 2 Conservação e Transporte onde usamos v = 0 e desprezamos a difusão molecular em x, D 2 c x 2, por ela ser desprezível em comparação à advecção em x. Considere agora um observador se movendo com a velocidade média U do fluido, o seu sistema de coordenadas é: τ = t e ξ = x Ut, e a equação, nesse sistema é C τ + c τ + u C ξ + u c ξ = D 2 c y 2. (2.40) Note que agora as derivadas em ξ são relacionados ao transporte dispersivo apenas. Se tomarmos a média em y da equação 2.40, temos Subtraindo 2.41 de 2.40: C τ + u c ξ = 0, (2.41) c τ + u C ξ + u c ξ u c ξ = D 2 c y 2. (2.42) Vamos agora fazer uma análise de escalas. Admitindo uma escala de tempo a ser determinada T, que a velocidade u é da ordem da velocidade U, que o desvio da concentração c é pequeno, ou seja, c = ǫ 1, e que y é da ordem de h, os respectivos termos da equação 2.42 ficam com as seguintes ordens de grandeza (a equação abaixo está escrita de forma esquemática e os termos são ordens de grandeza): ǫ T + 1 T + ǫ T ǫ T = Dǫ h 2, (2.43) Multiplicando por T, vemos que segundo termo é de ordem 1 enquanto que os outros termos do lado esquerdo são 1, portanto o balanço deverá ser entre o segundo termo do lado esquerdo e o termo do lado direito: Supondo que 1 D em y e: C ξ u C ξ = D 2 c y 2. (2.44) é constante a equação 2.44 pode ser integrada duas vezes c (y) = 1 D C ξ y y 0 0 u dydy (2.45) O fluxo dispersivo de massa (como a difusão turbulenta) está relacionado com o fluxo de massa causado pelos desvios (flutuações ) de velocidades associadas com desvios (flutuações) de concentração: Ṁ disp = 1 D C ξ h 0 u y 0 y 0 u dydydy, (2.46)

25 2.4 Cargas 17 onde supomos que c = 0 em y = 0 e usamos h y 0 u c (0)dy = 0. Note que podemos então escrever o fluxo de forma análoga a uma difusão: Ṁ disp = hd L C ξ, (2.47) o que nos leva à seguinte equação de dispersão longitudinal: C τ = D 2 C L ξ, D 2 L = 1 hd ou, voltando para as variáveis x e t: h 0 u y 0 y 0 u dydydy (2.48) C t + U C x = D 2 C L x. (2.49) 2 Concluindo, a dispersão, a difusão molecular (laminar), e a difusão turbulenta são fenômenos diferentes mas que matematicamente, aparecem nas equações de forma similar. Por isso, muitas vezes os coeficientes são combinados em um único. Via de regra, a difusão molecular é desprezada por ser várias ordens de grandeza menor que a turbulenta e que a dispersão. Oportunamente, quando estivermos lidando com problemas de sistemas particulares (rios, lagos, atmosfera, etc), faremos considerações à cerca dos tamanhos da dispersão e da difusão turbulenta. 2.4 Cargas O tipo de termo fonte mais elementar que pode haver é uma carga. Lançamentos de esgoto em um rio ou lago, ou lançamento de gases por uma chaminé, são exemplos comuns. Aqui apresentamos as idéias básicas para inclusão de cargas em equações diferenciais tridimensionais como a equação 2.14, e também para problemas uni e bidimensionais integrados. Mas primeiramente tomemos um problema em um volume completamente misturado Sistemas completamente misturados Se o problema for posto em termos de uma concentração C de um soluto, dentro do volume V, temos: dc dt = f(t). (2.50) No caso geral o termo fonte f é uma função do tempo, e deverá ter unidades de concentração [C] por tempo [T]. Se o lançamento F(t) em sua origem for

26 18 2 Conservação e Transporte fornecido em unidades de massa [M] por [T], então, temos que transformá-lo em unidade [CT 1 ]. Se a concentração for dada em [ML 3 ], basta fazermos, Se a concentração for dada em [MM 1 ], fazemos, f(t) = F(t) V. (2.51) f(t) = F(t) ρv, (2.52) onde ρ é a densidade do fluido no volume. Naturalmente, f(t) pode ser qualquer função do tempo, inclusive descontínua. Há um caso, porém que merece uma observação, que é o de um lançamento de carga instantâneo (obviamente isso é uma idealização matemática). Suponha que o lançamento ocorreu instantâneamente em t = t c, e que a carga lançada foi de exatamente F 0 em [M] (kg por exemplo). Nesse caso devemos incluir o lançamento na forma de uma função delta de Dirac, δ(t t c ) (lembrando que a função δ(t t c ) tem unidade de [T 1 ]): f(t) = F 0 ρv δ(t t c), (2.53) Exemplo Em um reservatório de água (densidade ρ = 998 kg/m 3 ) com volume constante onde entra água limpa com vazão Q = 2 m 3 /dia, é feito um lançamento de carga de um material inerte a taxa de F = 25 g/hora. A água sai do reservatório com concentração C. Qual é a concentração C (em kg soluto /kg H2O) de equilíbrio no reservatório? Solução: Como o material está em equilíbrio, dc/dt = 0, e a carga lançada deverá estar saindo do reservatório. a vazão de saída deverá ser igual à de entrada Q, já que o volume permanece constante. A massa de material saindo do reservatório por unidade de tempo é ρcq e deverá equilibrar o lançamento F. Portanto, ρcq = F C = F ρq = kg (1/3.600 s) 998 kg/m 3 2 1/ m 3 /s = kg soluto /kg H2O Sistemas unidimensionais Para um sistema unidimensional (variando em x; os casos de sistemas variando em y e z são análogos) como um rio ou um lago lateralmente misturado

27 2.4 Cargas 19 (normalmente para lagos usamos a variável z), digamos que temos a equação (tiramos a difusão por brevidade) para concentração C(x, t) de um poluente A (em [MM 1 ]): C t + U C x = f(x, t). (2.54) Se a equação envolver variação de (CA) (ou seja, (CA)/ t +...), deveremos multiplicar todas as cargas abaixo pela área A. Se o lançamento F(t) for pontual em x = x c, onde a seção transversal perpendicular a x possui área A, e for dado em [MT 1 ], o termo lançamento da carga f(x, t) que deverá ter unidade [CT 1 ] pode ser escrito como: f(x, t) = F(t) ρa δ(x x c). (2.55) Se além de pontual em x = x c, o lançamento for instantâneo em t = t c e corresponder a uma carga F 0 (em [M]), o termo f(x, t) fica: f(x, t) = F 0 ρa δ(x x c, t t c ), (2.56) onde δ(x x c, t t c ) = δ(x x c )δ(t t c ) é a delta de Dirac bidimensional em (x c, t c ). Caso o lançamento da carga F(x, t) não seja pontual, e sim, ao longo de todo ou de uma parte do domínio x, e também ocorra ao longo do tempo, em geral, esse lançamento é dado em unidades de massa por unidade de tempo por comprimento, [MT 1 L 1 ], e o termo fica: f(x, t) = F(x, t) A. (2.57) Nos casos unidimensionais acima, se a carga for dada em unidades de concentração C em ([MM 1 ]) associada a uma vazão Q ([L 3 T 1 ]), vazão por unidade de comprimento q ([L 3 T 1 L 1 ]), ou volume V ([L 3 ]) lançado, teríamos: em 2.55, F(t) = ρcq; em 2.56, F 0 = ρcv ; e em 2.57, F(x, t) = ρcq. A figura 2.4 ilustra o caso de um lançamento pontual F(t) em um local de um rio.

28 20 2 Conservação e Transporte x = x c A F(t) x f(x,t) F(t) ρa δ(x x c) x c x Figura 2.4: Carga lançada pontualmente num rio em x c. A função f(x, t) que tem largura infinitesimal e altura infinita, está representada esquematicamente no painel inferior. Exemplo Considere um sistema unidimensional com água (ρ = 990 kg m 3 ) (um canal em x com área da seção igual a A = 2 m 2 ) e um despejo instantâneo em t = 0 s de F = 50 g de HCl feito no ponto x = 0 m. Sabendo que a equação da difusão pura é C t = D 2 C x, 2 e que o coeficiente de difusão molecular é D = 1, m 2 s 1 : (i) determine a concentração C 1 no ponto x = 0 em t = 1 dia; (ii) determine em quanto tempo a concentração em x = 0 m irá cair para 0,1C 1 ; (iii) determine se é possível que a concentração atinja C 1 /2 no ponto x = 2 m. Use a concentração em kg m 3 ou kg/kg, especificando. Solução: Tomando a transformada de Fourier em x da equação, temos: dĉ dt = Dω2 Ĉ Dω Ĉ(ω, t) = Ĉ0(ω)e 2t. Aplicando a transformada de Fourier na condição inicial: C(x, 0) = F A δ(x) Ĉ(ω, 0) = F A. Então Ĉ = F A, e Ĉ(ω, t) = F ρa e Dω2t. A transformada inversa dá C(x, t) = ) F ( 2A πdt exp x2. 4Dt Baseado na solução acima: (i) C(x = 0, t = 86400) = 0,6654 kg m 3. (ii) t = F A 2 0,1 2 C 2 1 πd = 8, s (100 dias!!). (iii) Não é possível, pois o valor máximo que a função C atinge no ponto x = 2 m é 0,03 kg m 3 (esta determinação fica como exercício).

29 2.4 Cargas Sistemas bidimensionais Vários sistemas se encaixam nessa categoria, como rios e estuários integrados lateralmente, ou lagos, oceanos e até a atmosfera, integrados verticalmente. Para nossa análise vamos supor um problema nas direções (x, y) e integrado em z (os outros casos são análogos). Vamos supor novamente a equação para C(x, y, t) (em [MM 1 ]) sem os termos difusivos (por brevidade) na forma: C t + U C x + V C y = f(x, y, t). (2.58) Em alguns casos, a equação aparece multiplicada pelo tamanho h do domínio em z: Ch +..., nesse caso, os termos fontes abaixo devem ser multiplicados t por h. Vamos supor que o lançamento da carga seja pontual em (x c, y c ) e instantâneo em t c, e seja dado por F 0 em unidade de massa [M]. O termo fonte na equação deve então ser: f(x, y, t) = F 0 ρh δ(x x c, y y c, t t c ), (2.59) onde δ(x x c, y y c, t t c ) = δ(x x c )δ(y y c )δ(t t c ) é a delta de Dirac tridimensional em (x c, y c, t c ). Se o lançamento for pontual, porém ao longo do tempo, e a carga for F(t) ([MT 1 ]): f(x, y, t) = F(t) ρh δ(x x c, y y c ). (2.60) Se o lançamento for em uma área e for função de (x, y, t), com carga igual a F(x, y, t) ([ML 2 T 1 ]): f(x, y, t) = F(x, y, t). (2.61) ρh Finalmente, se o lançamento for ao longo de uma linha definida por [x(s), y(s)] (onde s é o comprimento acompanhando a linha), com carga igual a F(s, t) ([ML 1 T 1 ]): F(x(s), y(s), t) f(x, y, t) = δ(n), (2.62) ρh onde n é a direção normal à linha em cada ponto [x(s), y(s)]. A figura 2.5 ilustra em um reservatório esse caso de um lançamento de carga F(x(s), y(s), t) ao longo de uma linha [x(s), y(s)], onde s é o comprimento da linha até o ponto em questão e a função δ(n) está localizada no eixo n perpendicular a s.

30 22 2 Conservação e Transporte z y x(s),y(s) x s corte n s Linha onde foi lançada a carga f(x,y, t) F(x(s),y(s),t) ρh δ(n) direção do corte n Figura 2.5: Carga lançada ao longo de uma linha num lago em y = y(x). Um corte da função f(x, y, t) que tem largura infinitesimal e altura infinita, está representada esquematicamente no painel inferior. Exemplo Uma carga tóxica solúvel em água é lançada em um reservatório hídrico (densidade ρ = kg/m 3 ) cilíndrico (profundidade h = 2 m e raio R = 200 m) ao longo de uma linha passando pelo centro e cruzando diametralmente o tanque. A carga saiu a uma taxa de F = 0,02 kg m 1 hora 1 durante 2 dias inteiros, e parou. A longo prazo, considerando que a carga se misturou e se dissolveu na água completamente, determine a concentração da substância em kg/kg e em kg m 3 Solução: A carga em kg total ao longo do diâmetro em 2 dias é: M = F L t = F(2R) t = 0, /3.600 = 384 kg. O volume do reservatório é V = πhr 2 = m 3. A concentração é M/V = 1, kg/m 3, ou M/ρV = 1, kg/kg Sistemas tridimensionais Qualquer problema complexo de dispersão em água, atmosfera, e solo, em que se queira detalhes do transporte em todas as direções, terá que ser governado por uma equação para a concentração C(x, y, z, t) (em [MM 1 ]) do

31 2.4 Cargas 23 tipo (novamente, pela brevidade retiramos a difusão): C t + u C x + v C y + w C z = f(x, y, z, t). (2.63) Nesses casos, se a carga F 0 (em [MT 1 ]) for lançada pontual e instantâneamente em (x c, y c, z c, t c ) o termo fonte será: f(x, y, z, t) = F 0 ρ δ(x x c, y y c, z z c, t t c ), (2.64) onde δ(x x c, y y c, z z c, t t c ) = δ(x x c )δ(y y c )δ(z z c )δ(t t c ) é a delta de Dirac quadridimensional em (x c, y c, z c, t c ). Se o lançamento da carga for disperso no espaço e no tempo F(x, y, z, t) ([ML 3 T 1 ]), teremos simplesmente: f(x, y, z, t) = F(x, y, z, t). (2.65) Se o lançamento da carga for ao longo de uma linha definida por (x(s), y(s), z(s), t), com carga igual a F(x(s), y(s), z(s), t) = F(s, t) ([ML 1 T 1 ]): f(x, y, z, t) = F(x(s), y(s), z(s), t) δ(n 1, n 2 ), (2.66) ρ onde (n 1, n 2 ) são as coordenadas de um plano sempre perpendicular a s. Finalmente, se o lançamento da carga for ao longo de uma superfície definida por (x(r, s), y(r, s), z(r, s), t), com carga igual a F(x(r, s), y(r, s), z(r, s), t) = F(r, s, t) ([ML 2 T 1 ]): f(x, y, z, t) = F(x(r, s), y(r, s), z(r, s), t) δ(n), (2.67) ρ onde n é a direção normal à superfície. Em muitos casos, principalmente para soluções numéricas, podemos substituir a função δ(x x c, y y c,...) por uma distribuição com um certo espalhamento. Por exemplo, podemos substituir δ(x x c ) por uma gausseana com média x c e variância σ 2 (σ deve ser apropriado para cada caso, dependendo do quanto se quer que a fonte seja espalhada em torno de x c ). Tomando o cuidado de que a integral sob a função deve ser unitária: δ(x x c ) 1 2πσ e (x xc)2 /(2σ 2). (2.68) No caso geral, chamando de x o vetor de coordenadas centralizadas na fonte (x 1, x 2,...) e de A a matriz de covariâncias, que dará o espalhamento

32 24 2 Conservação e Transporte da fonte em torno do ponto x = 0 (ou seja, A é a generalização da variância em distribuições multivariadas), δ(x) onde A 1 é a matriz inversa. [ A 1 ]1 [ 2 exp (2π) n 1 ] 2 xt A 1 x, (2.69) 2.5 Problemas 1. Mostre que, em geral, se um problema de concentração de soluto (de uma dada espécie) é permanente (C não muda com o tempo), esse mesmo problema para a mesma espécie pode deixar de ser permanente se trocarmos a unidade de concentração de: (i) ppm para mg l 1 ; (ii) mg l 1 para ml m Faça uma pesquisa e descubra em que unidades normalmente se apresentam concentrações de: (i) H 2 S na atmosfera, (ii) O 2 na água, (iii) O 2 na atmosfera, (iv) vapor d água na atmosfera, (v) água líquida na atmosfera (nuvens). 3. Use o Teorema do Transporte de Reynolds para obter a seguinte expressão para a derivada material (taxa de variação temporal da partícula de fluido que está num dado instante instante passando pelo ponto x, y, z) da concentração C de um soluto em um fluido com densidade ρ constante e uniforme: DC/Dt C/ t+u C/ x+v C/ y +w C/ z. 4. Partindo da equação do Teorema do Transporte de Reynolds, mostre que a conservação da massa do fluido como um todo é 2.13 (considere que não há fontes ou sumidouros). 5. Partindo da equação 2.9, deduza a equação Faça uma pesquisa e descubra uma equação do gás ideal para o ar úmido, ou seja, considerando a concentração de vapor d água q v (kg/kg), encontre a relação ρ = ρ(p, T, q v ). 7. Mostre que na equação 2.24 os dois últimos termos do lado esquerdo e os dois termos centrais do lado direito se anulam. 8. Mostre que a equação 2.24 se reduz à equação 2.21 quando a área da seção é constante, usando u = U, c = C, e D L = D.

33 2.5 Problemas 25 ( 9. Na equação do passeio aleatório, o coeficiente de difusão é x 2 4 t Sabemos que a difusão molecular é uma propriedade molecular da mistura fluido-soluto. Pergunta-se: como poderia então o coeficiente na forma dada conter informação física (molecular) da mistura se ele contém apenas x e t? Ou seja, como você interpreta esse coeficiente na forma apresentada? 10. A partir da equação 2.30, encontre a equação Considere um sistema unidimensional com água (ρ = 990 kg) (um canal em x com área da seção igual a A = 2 m 2 ) e um despejo instantâneo em t = 0 s de F = 50 g de HCl feito no ponto x = 0 m. Sabendo que a equação da difusão pura é C = D 2 C, e que o coeficiente de difusão é t x 2 turbulento D = 0,5 m 2 s 1 : (i) determine a concentração C 1 no ponto x = 0 em t = 1 dia; (ii) determine em quanto tempo a concentração em x = 0 m irá cair para 0,1C 1 ; (iii) determine se é possível que a concentração atinja C 1 /2 no ponto x = 2 m. Use a concentração em kg m 3 ou kg/kg, especificando; (iv) compare as respostas com o exemplo resolvido para o caso laminar. 12. Desenvolva a álgebra que levou da equação 2.39 à equação Na seção estudamos o caso bidimensional de um escoamento em canal (x, y). Você seria capaz de estender a análise para um canal tridimensional onde x seria a dimensão longitudinal, e (y, z) as dimensões na seção transversal? Tente. 14. Sabendo que a equação para dispersão para um poluente seguindo a velocidade média de um rio é (usar para a água ρ = 1000 kg/m 3 ): C τ = D 2 C L ξ, D 2 L = 1 h y y u u dydydy, hd Se o perfil de velocidade do rio é o dado na figura 2.6: (i) Calcule D L em função de D, e depois calcule D L para D = 0,0001 m 2 /s e D = 2 m 2 /s; (ii) Determine se D L pode ser menor que D, e interprete fisicamente seu resultado. 15. Utilizando o valor de D L do problema anterior: (i) faça a conversão da equação de ξ para as variáveis independentes x e t (lembrando ξ = x Ut onde U é a velocidade média); (ii) Encontre a solução permanente ( = 0) com condições C(x = 0) = 10 g t soluto/kg, dc (x = 0) = 0. dx ).

34 26 2 Conservação e Transporte 0,5 m/s 2 m y x Poluente com difusividade D(m 2 /s) Figura 2.6: Perfil de velocidade. 16. Uma medição num lago de área A = 100 km 2 e profuncidade aproximadamente constante de h = 1,5 m, registrou concentração média de um poluente no valor de C = 6 g/kg H2 O. Se o poluente foi lançado instantaneamente no tempo t = t 0 em um ponto (x 0, y 0 ), desenvolva o termo fonte para essa carga que entraria na equação da evolução da DC concentração C do poluente: = f(x, y, t). Note que o problema Dt seria bi-dimensional na horizontal (x, y). 17. Resolva 2.52 para C(t) com: (i) f(t) = 0,02t, C(0) = 0; (ii) f(t) = e 0,05t, C(0) = 20; (ii) f(t) = 2,5 cos t, C(0) = 2, Resolva 2.54 para C(x, t): (i) f(x, t) = 2δ(x), C(0) = 0; (ii) f(x, t) = 0 exceto para 1 < x < 1 onde f(x, t) = 10, C(0) = Em referência à equação 2.62, encontre uma parametrização x(s) e y(s) para o caso de uma carga que é lançada em uma linha circular em torno do ponto (0, 0) com raio de 5 km. 20. Um trecho de rio (densidade da água = 999 kg/m 3 ) com 2 km recebe uma carga total de 40 kg de um poluente. A carga é uniforme (constante) ao longo do seu comprimento e foi lançada instantaneamente em t = 10 dias. O rio tem seção transversal de 2 metros e profundidade e largura 70 m. A equação para a concentração C (kg/m 3 ) do poluente no rio é do tipo DC/Dt = f onde f é a função forçante representando o despejo. Escreva a função f para esta situação. 21. Uma carga é lançada em uma seção de um rio com profundidade h = 2 m, e largura B = 25 m. A equação para a concentração C do poluente (em unidade mg de poluente por Litros de água) em questão nesse rio é fornecida para você, e ela contém o termo de lançamento do poluente no lado direito: C t + 1,7 C x D 2 C L = 17δ(x 2470, t 950) x2

35 2.5 Problemas 27 δ é a função delta de Dirac. Olhando apenas para esses dados e para a equação, determine quanto (em kg) foi despejado de poluente. Explique como foi esse lançamento: instantâneo?? Pontual??? Ao longo te todo o rio??? Ao longo do tempo??? Em suma: explique!!!

36

37 Capítulo 3 Processos Físicos, Químicos e Biológicos No capítulo 2 vimos várias propriedades que dizem respeito ao transporte mecânico de qualquer espécie presente em um fluido. Tratamos principalmente da lei da conservação da massa (equações de transporte de massa), onde apareceram termos de fontes e sumidouros. Esses termos podem provocar aumento ou redução da espécie no sistema e eles se referem a processos físicos (por exemplo decantação de particulados ou evaporação), químicos (por exemplo reações químicas em geral), e biológicos (por exemplo crescimento e morte de algas). Neste capítulo vamos estudar como esses processos podem ser modelados. Essencialmente, estaremos buscando formas matemáticas de incluir esses processos nas equações de transporte do capítulo 2 através dos termos de fonte e sumidouro. 3.1 Radiação e balanço de energia Corpos d água e a superfície da terra em geral têm como fonte de energia a radiação solar, e a radiação atmosférica. Freqüentemente são necessárias informações sobre energia disponível para certos processos ocorrerem. Por exemplo, o crescimento de phytoplankton depende da fotossíntese, que por sua vez, depende da radiação solar. A evaporação da água ou de óleo numa superfície também depende, entre outros fatores da energia vinda radiação incidente na superfície. A própria temperatura de um fluido com superfície livre tem como principal fonte de energia a radiação solar. Vejamos, portanto algumas considerações sobre a radiação que se fazem necessárias na modelagem de vários sistemas. 29

38 30 3 Processos Físicos, Químicos e Biológicos Balanço radiativo na superfície O balanço energético de radiação (em Wm 2) numa superfície livre (em contato com a atmosfera) é o seguinte: R n = (R s + R l )(1 α) R e, (3.1) onde R n é a radiação líquida (energia disponível na superfície), R s é a radiação solar incidente, R l é a radiação de onda longa incidente (radiação atmosférica), α é o albedo da superfície (que é uma propriedade física da superfície em questão), tal que α (R s + R l ) é a radiação refletida de volta para a atmosfera, R e é a radiação emitida pela superfície, calculada por: R e = ǫσt 4 s, (3.2) onde ǫ é a emissividade da superfície em questão, σ é a constante de Stefan- Boltzman (5, Wm 2 K 4 ) e T s é a temperatura (K) da superfície. Em casos em que se queira trabalhar com com uma função linear da temperatura (por exemplo, para se obter soluções T s analíticas para equações envolvendo R e ), pode-se usar a seguinte linearização: R e 73,6 + 1,17T s. (3.3) Vejamos como o conceito de radiação pode ser usado em um modelo simples de temperatura da água num tanque exposto à radiação constante. Supondo, para simplificar, que não há trocas de calor sensível nem de calor latente (evaporação) entre a água e a atmosfera, toda a radiação líquida será usada para esquentar a água do tanque. A energia necessária para esquentar 1 kg de água de 1 K mantendo a pressão (ou volume) constante é a propriedade termodinâmica chamada de calor específico a pressão (ou volume) constante, c p (ou c v ). Vamos supor c v = c p (J kg 1 K 1 ) para este caso, e finalmente vamos supor que a temperatura no tanque é homogênea (uniforme). Assim, a taxa de variação de temperatura no tanque pode ser calculada como: dt dt = A c v ρv [(R s + R l ) ((1 α) (73,6 + 1,17T)], (3.4) onde V é o volume do tanque, A é sua área horizontal, e ρ é a densidade da água. A equação 3.4 é linear, podendo ser re-escrita na forma: dt dt + K 1T + K 2 = 0, (3.5) e resolvida de forma trivial (ver problemas). O lado direito de 3.4 contém exatamente todos os termos fontes e sumidouros de temperatura deste problema simplificado.

39 3.1 Radiação e balanço de energia 31 Em casos em que não há medições de radiação para alimentar os modelos, utiliza-se formulações analíticas e/ou empíricas para o cálculo da radiação solar R s e radiação de onda longa R l 1. Radiação de onda longa - R l A radiação de onda longa R l pode ser modelada de forma simplificada como função da temperatura do ar no nível do solo T a (em Kelvin) e da fração de nuvens N (0 N 1) por 2 : onde R l = ǫ l σt 4 a (1 N) + NσT 4 a, (3.6) ǫ l = 0,643 e e a é a pressão de vapor do ar em Pa. ( ea T a Exemplo ) 1/7, (3.7) Calcular a radiação de onda longa emitida por uma atmosfera com temperatura do ar no solo de T a = 24 C, umidade específica q v = 0,016 kg/kg, pressão de Pa e nebulosidade de 60%. Solução: De hidro-meteorologia: q v = 0,622ea p, então e a = Pa. Usando R l = ǫ l σta 4 (1 N) + NσTa, 4 temos: R l = 420 W m 2. Radiação solar - R s A radiação solar é função da latitude φ (π/2 φ π/2), da época do ano medida pela declinação do sol δ, e do horário medido pelo ângulo horário ω ( π ω π, 15 por hora, zero ao meio dia, manhãs positivas). Essas dependências geram o ângulo de zênite θ z, tal que: cos θ z = sen δ sen φ + cosδ cos φ cosω. (3.8) O ângulo de declinação solar δ (radianos) é função do dia do ano n (n = 1 em 01/01 e n = 365 em 31/12), e pode ser aproximado pela fórmula (usando 1 M. Iqbal, An Introduction to Solar Radiation, Academic Press, 1983; ou K. N. Liou, An Introduction to Atmospheric Radiation, International Geophysics Series, Vol. 84, 2nd Ed., Academic Press, Ver Brutsaert.

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