O OBJETO DE APRENDIZAGEM O UNIVERSO E SEUS CONTRÁRIOS E SUAS CONTRIBUIÇÕES À FORMAÇÃO CONCEITUAL DOS NÚMEROS INTEIROS

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1 O OBJETO DE APRENDIZAGEM O UNIVERSO E SEUS CONTRÁRIOS E SUAS CONTRIBUIÇÕES À FORMAÇÃO CONCEITUAL DOS NÚMEROS INTEIROS Renata Viviane Raffa Rodrigues Faculdade de Ciências e Tecnologia FCT/UNESP de Presidente Prudente-SP Klaus Schlünzen Junior Faculdade de Ciências e Tecnologia FCT/UNESP de Presidente Prudente-SP Resumo: A partir da prática pedagógica com o Objeto de Aprendizagem (OA), intitulado O Universo e seus Contrários, transcorrida na Sala Ambiente de Informática (SAI) em uma 6ª série do Ensino Fundamental, o presente trabalho apresenta o potencial pedagógico de situações-problema que contribuíram diretamente na apropriação dos princípios de oposição e de equivalência, substanciais à formação do conceito e aos processos de adição e subtração com os números inteiros. Palavras-chave: Objeto de Aprendizagem; Números Inteiros; Princípios de Oposição e de Equivalência. Introdução Tanto no âmbito histórico, quanto na Matemática escolar, o desenvolvimento do conceito números inteiros pode demonstrar como o conhecimento matemático apresenta fatores externos e internos em sua concepção teórica e metodológica, que desempenham importantes papéis na sua formação. O desenvolvimento lógico e histórico do conceito números inteiros retrata as limitações e artifícios da razão humana nas tentativas de resolver problemas cujas respostas encontravam-se em um novo domínio do conhecimento numérico, ainda por ser construído. O modo de organização de seu ensino pelas orientações curriculares governamentais, junto aos estudos de Schubring (2000/2001), Cid (2000) e Prado & Moura (2007) indicam que o problema didático dos números inteiros não está em seu campo teórico, mas em sua abordagem de ensino. 1

2 Muitos matemáticos como D Alembert, por exemplo, já no final do século XVIII ao se deparar com um número negativo como solução de uma equação do tipo: x = 50, onde x = -50, modificava o enunciado da equação de modo que x = 50. Essa equação partia de um problema da realidade concreta. Então como interpretar uma quantidade negativa em contexto real? Isto significa tentar interpretar o número negativo como uma grandeza. De um modo geral, estas propostas, assim como muitos livros didáticos, buscam uma referência material para os números negativos, situações do cotidiano ou do conhecimento do aluno como em saldos bancários e temperaturas para a atribuição direta dos sinais positivo e negativo. Explora-se a casca (DAVYDOV 1 apud SOUSA, 2004) do conceito. O recurso à História da Matemática combinado às Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), pode ser um elemento didático potencial para a construção de um novo modo de pensar o número inteiro, a partir de diversas formas de negatividade. De acordo com Lizcano (1993), os princípios de oposição e de equivalência são a base da primeira e mais desenvolvida forma de negatividade e surgem num espaço bem distinto ao ocidental. Fuertemente arraigados en el imaginario simbólico chino, unos criterios pre-lógicos y pre-conceptuales de oposición y de equivalencia parecen cumplir aqui el papel de organización de la experiencia que en Grecia desempeñan los princípios de nocontradicción, de identidad y de abstracción. [...] (LIZCANO, 1993, p ) 2 Quando era preciso subtrair um número de outro menor, ou do próprio zero os matemáticos Han construíram as regras zheng fu. Tanto zheng quanto fu são nomes, vermelhos ou pretos, determinados de um modo ou de outro, mediante destruições sucessivas. Diferentemente do procedimento normal de adição e subtração, os números são nomeados como resultados simétricos, pela cor, conforme o resultado das destruições (ou reduções) mútuas (LIZCANO, 1993). 1 DAVÍDOV, V. La enseñanza escolar y el desarrollo psiquico. Havana: Editora Progresso, Fortemente arraigados no imaginário simbólico chinês, os critérios pré-lógicos e pré-conceituais de oposição e de equivalência parecem cumprir aqui o papel de organização da experiência que na Grécia desempenham os princípios de não-contradição, de identidade e de abstração. [...] (LIZCANO, 1993, p ) 2

3 A fim de desviar a introdução do conceito números inteiros das vias de herança grega clássica e ultrapassar os limites que rondam a subtração de números negativos, viabilizando o acesso e manipulação das formas de negatividade desenvolvida pelos Han, estas foram configuradas aos recursos tecnológicos de um Objeto de Aprendizagem (OA). Na visão de Prata et al. (2007): Dentre os tantos recursos, os objetos de aprendizagem, no formato de atividades contendo animações e simulações, têm se apresentado como possibilidades de desenvolvimento de processos interativos e cooperativos de ensino e aprendizagem, estimulando o raciocínio, novas habilidades, a criatividade, o pensamento reflexivo, a autonomia e a autoria. (PRATA et al., 2007, p. 107) Os objetos de aprendizagem são utilizados como ferramentas acessíveis e potencializadoras, na criação de ambientes de aprendizagem via Web. Ao se referir a um OA Tarouco et al. (2003, p. 2) utiliza-se do termo objeto educacional (learning object) e interpreta-os como materiais educacionais projetados e construídos em pequenos conjuntos com vistas a maximizar as situações de aprendizagem onde o recurso pode ser utilizado. Os resultados apresentados neste trabalho referem-se às contribuições do OA, intitulado O Universo e seus Contrários 3, à formação do conceito números inteiros, principalmente quanto ao modo de pensar e operar por oposição e equivalência assimilados por um grupo de alunos de uma 6ª série do Ensino Fundamental através da prática pedagógica de determinadas situações-problema do OA, previamente desenvolvido e implementado no Núcleo de Educação Corporativa (NEC) 4 da Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente (FCT/UNESP). Prática pedagógica com o O Universo e seus Contrários Esta prática trata-se da segunda etapa de uma pesquisa de Mestrado (RODRIGUES, 2009) desenvolvida durante os anos de 2007 e 2009, decorrida na Sala Ambiente de 3 O download do referido OA pode ser feito diretamente através do link 4 Maiores informações consulte: 3

4 Informática (SAI) nas aulas de Informática Educacional de uma 6ª série do Ensino Fundamental, cedidas e acompanhadas pela professora dessa disciplina. A SAI, dispondo de 10 computadores funcionando, permitiu a formação de seis trios e quatro duplas com os 26 alunos da turma. A abordagem qualitativa permitiu, a partir do contato direto e apreensão das falas dos alunos via gravadores de áudio, o acompanhamento e a compreensão do trânsito do pensamento, refletido na forma de juízos 5, enquanto eles estavam lidando com o OA. De modo que a reunião desses juízos foi revelando as potencialidades do O Universo e seus Contrários na formação de um novo conhecimento o conceito de números inteiros. Dinâmica do uso do OA Neste item, faz-se uma exposição dos resultados obtidos com a vivência pedagógica de alguns ambientes do O Universo e seus Contrários. Em especial, as situaçõesproblemas que contribuíram diretamente à construção dos princípios de oposição e de equivalência na adição/subtração de números inteiros. No Planeta Terra sugerido como tela de navegação não existe uma sequência prédefinida, o caminho a ser percorrido é estabelecido de acordo com o ponto de partida e objetivos de cada usuário. Os cenários estão destacados sobre a representação do mapamúndi na Figura 1. Estes ambientes foram contextualizados histórico-culturalmente através das dificuldades e artimanhas desenvolvidas pelo homem na evolução do conceito número inteiro ao longo de sua história. 5 São emissões suscitadas a partir de um processo de inquirição sobre os indícios do princípio que rege a atividade ou objeto investigado, por isso não se apresenta [...] como conceito preciso já formado mas como o ato através do qual forma-se o conceito (KOPNIN, 1978, p. 191) 4

5 Figura 1- Tela Planeta Terra com a apresentação de cinco ambientes ao aluno: China (Dinastia Qin), China (Dinastia Han), Grécia, Itália e Laboratório Atomístico (retorno ao Pólo Ártico). Ao se deparar com esta tela, cada grupo clicou no ambiente que lhe causou maior interesse, principalmente o Laboratório Atomístico por seu acesso exigir uma senha. Para entrar nesse laboratório o aluno precisa de uma senha fixa de oito dígitos, conquistados de dois em dois em cada talismã através da resolução das problemáticas enfrentadas nos outros quatro ambientes do OA. Ao escolher um ambiente na tela Planeta Terra automaticamente o usuário visualiza uma Máquina do Tempo (vide Figura 2), na qual precisará digitar corretamente o número que representa a quantidade de anos que deverá voltar no tempo para entrar no ambiente desejado. 5

6 Figura 2 - Máquina do Tempo. Esta situação-problema desencadeou os primeiros limites conceituais com o conceito números inteiros, manifestados na dificuldade em pensar em mão-dupla (LIMA & MOISÉS, 1998), a partir de uma única vertente, os dois lados da contradição composta na linha do tempo. Com base em Bohm e Peat (1989), existe uma linha tênue que une a abstração das partes ao fenômeno em sua totalidade. À compreensão de um conjunto de fatores, inicialmente, concentra-se sobre um fator particular do sistema, concebendo-o isoladamente do conjunto em que está inserido, mas quando os fatores são plenamente conhecidos um a um, é preciso ampliar-se o contexto de maneira a considerar os efeitos dos outros fatores sobre o fator analisado inicialmente. A vivência pedagógica do ambiente China Dinastia Han evidenciou este processo e por meio de um saber experimental, conduziu os alunos a se desprenderem dos princípios de identidade e de abstração (a consideração dos números-palitos separadamente) e de não-contradição (a exclusão do oposto) para o princípio de equivalência ou de oposição, no qual, a partir da totalidade do movimento quantitativo, o significativo são as concorrências (no caso da Batalha Chinesa, os soldados que se destroem mutuamente 6

7 como exemplificado na Figura 3) e as sincronias (no caso dos pares homem/mulher do Baile de Máscaras vide Figura 4). (LIZCANO, 1993) Figura 3 - Modo como os primeiros Han faziam os cálculos com números/palitos negativos/pretos e positivos/vermelhos. Ademais, a concepção das cores adotada pela problemática Baile de Máscaras (homem palito vermelho e mulher palito preto), elementos originados em um outro contexto cultural, deslocou o referencial que os alunos tinham sobre estas cores, devendo ser concebido sob o ponto vista da cultura chinesa antiga. 7

8 Figura 4 - Colocar/retirar palitos vermelhos/pretos sobre o tapete, dispondo-os em pares para contar os palitos sem par. O grau de envolvimento dos alunos no ambiente China Dinastia Han pode ser atribuído ao espaço de oportunidades de desenvolvimento, através da manipulação dos palitos vermelhos e pretos, disponíveis nas atividades nele inseridas. Essa abertura do OA, quanto à organização dos palitos, permitiu a criação e a aquisição, mesmo que por meio da percepção sensório-concreta, pensar os contrários a partir de uma perspectiva qualitativa e quantitativa. Do mesmo modo, na primeira problemática do Laboratório Atomístico, Acrescentar/retirar unidades positivas/negativas (Figura 5) os princípios equivalência e de oposição foram retomados pelos alunos, motivados em obter uma nova relação quantificada entre os elementos não comuns distribuídos sobre o diagrama. Procedimento que encheu as regras de cálculo com números inteiros de significação. 8

9 Figura 5 - Retirar/acrescentar cargas positivas/negativas no diagrama e digitar na lacuna a qualidade e a quantidade do movimento resultante das cargas. Essa nova forma de conceber os conjuntos de objetos matemáticos possibilitou interpretar a essência do fenômeno, rompendo com a concepção simplificada de subtração e suscitando deduções cada vez mais abstratas e formalizadas acerca da subtração de números inteiros. Em um momento específico, o aluno A3 manipula o OA e conta com o auxílio de A2, os quais manifestam o rompimento com o modo de pensar por abstração e concebem o princípio de oposição. Fato que se evidencia nos argumentos de A2: A2: Oh! Esse matou esse A3. Coloca as que ficaram sem par. Lizcano (2006, p. 6) aponta que, na China Antiga, desse critério básico de pensar por oposição e equivalência germinam conceitos como os do zero equivalente a um par de magnitudes opostas (positiva e negativa), o que possibilita outras maneiras de operar subtrações entre valores contrários. Considerações finais Às principais contribuições das situações-problema, no que se referem à aquisição dos princípios de oposição e equivalência na adição/subtração de números inteiros, até o 9

10 momento indicadas neste texto, confere-se à fusão de dois fatores relevantes: a consideração da composição lógica e histórica do conceito números inteiros e a exploração do potencial interativo da mídia digital. A associação destes fatores permitiu o estabelecimento de um diálogo entre as práticas e abstrações das formas de negatividades chinesas, e os alunos. O modo como estas problemáticas ficaram organizadas as tornaram um espaço de navegação, aberto ao uso e flexível aos procedimentos escolhidos pelos alunos. A prática pedagógica dessas situações-problemas oportunizou aos alunos conhecer, experimentar e expressar as concorrências e sincronismos do princípio de equivalência, concebendo o número como meio simbólico de descrever situações relativas. O ambiente Laboratório Atomístico favoreceu a comunicação e o intercâmbio dos juízos e deduções desenvolvidos nas atividades anteriores e, portanto, a sistematização de ideias mais abstratas acerca da adição e subtração dos números inteiros. Portanto, em sua totalidade, segundo um movimento dialético de elaboração de juízos e deduções provocados no enfrentamento de conflitos com as limitações que o real impõe a uma aritmética prática, onde nem sempre o zero é o vazio, ou não se pode visualizar a falta, que dirá retirar algo dela. O acúmulo de experiências pontuais e diversificadas sobre situações relativas, baseadas em distintas vertentes culturais e racionais, com diferentes conteúdos e significados dispostos no O Universo e seus Contrários, podem propiciar o rompimento com as concepções elementares dos alunos acerca dos números, levando-os a pensá-los e operá-los qualitativa e quantitativamente, em seu movimento e contradição, com as cores vermelha e preta ou sinais + e como um estado provisório e segundo o princípio de equivalência. Referências CID, E. Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos, Actas de las XV Jornadas del Seminario Interuniversitario de Investigación en Didáctica de las Matemáticas, Boletín del SI-IDM, Disponível em <http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/boletin10.htm> Acesso em 05 de ago LIMA, L. C e MOISÉS, R. P. O número inteiro: numerando movimentos contrários. São Paulo: CETEAC,

11 LIZCANO, E. Imaginario Colectivo y Creación Matemática (La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y Grecia), Barcelona: Gedisa, LIZCANO, E. Metáforas que nos piensan, Sobre ciencia, democracia y otras Poderosas ficciones, Disponível em <http://www.bajocero.org/ediciones/pdf/lizcano_web.pdf.> Acesso em 25 out PRADO, E. P. de A. ; MOURA, A. R. L. de. O conceito números inteiros nos textos impressos de orientações curriculares de matemática de 1975 a In: Anais do II Encontro Iberoamericano de Educação II EIDE, de setembro de 2007, Araraquara- SP, PRATA, C. L. et. al. Políticas para fomento de produção e uso de objetos de aprendizagem. In: PRATA, C. L. ; NASCIMENTO, A. C. A. de A. (Org.): Objetos de aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Ministério da Educação (MEC) Secretaria de Educação a Distância (SEED), p , Disponível em <http://www.oei.es/tic/livro.pdf >. Acesso em 02 de jan RODRIGUES, R. V. R. A construção e utilização de um objeto de aprendizagem através da perspectiva lógico-histórica na formação do conceito números inteiros f. Dissertação (Mestrado em Educação) Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual Paulista, Presidente Prudente. SCHUBRING, G. Rupturas no Estatuto Matemático dos números negativos. Trad. Rosa M. Mazo Reis. Boletim GEPEM. Nº 37, p Rupturas no Estatuto Matemático dos números negativos. (continuação do artigo, de mesmo título, publicado no Boletim do GEPEM nº 37). Trad. José Paulo Q. Carneiro e Rosa M. Mazo Reis. Boletim GEPEM. Nº 38, p SOUSA, M. do C. O ensino de álgebra numa perspectiva lógico-histórica: um estudo das elaborações correlatas de professores do ensino fundamental f. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas. TAROUCO, L. M. R. et. al. Reusabilidade de objetos educacionais. Novas Tecnologias na Educação UFRGS/CINTED, v.1 nº1, p. 1-11, fev., Disponível em <http://www.cinted.ufrgs.br/renote/fev2003/artigos/marie_reusabilidade.pdf>. Acesso em 07 de abr

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