Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 1 / 19

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 1 / 19

2 Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um número. Exemplos: (i) Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e coroas. Ω = (ii) De um lote de 4 peças das quais 2 são defeituosas, peças são extraídas até as 2 defeituosas sejam retiradas. Ω = (iii) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. Ω = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 2 / 19

3 Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessado na mensuração de algo e no seu registro como um número. Mesmo nos exemplos apresentados acima poderemos atribuir um número real a cada elemento do espaço amostral. Exemplos: (i) Seja X o número de caras. X(kkk) =, X(kkc) = X(ckk) = X(kck) =, X(kcc) = X(ckc) = X(cck) = e X(ccc) =. (ii) Seja X o número de peças retiradas. X(DD) =, X(DPD) = X(PDD) = e X(DPPD) = X(DPDP) =... =. (iii) Seja X o número de meninos. X(MMM) =, X(MMF) = X(MFM) = X(FMM) =, X(MFF) = X(FMF) = X(FFM) = e X(FFF) =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 3 / 19

4 Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos interesse em uma ou mais quantidades. Elas são funções dos resultados que ocorreram e, em muitas situações, a própria função identidade. Nesses casos, os elementos resultantes são as quantidades de interesse. Em geral, antes da realização de um fenômeno aleatório, não sabemos seu resultado. Entretanto, seu espaço de probabilidade pode ser estabelecido de forma a avaliar a probabilidade de qualquer evento de interesse. Podemos também atribuir probabilidades às funções desses eventos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 4 / 19

5 Após a realização do fenômeno teremos uma observação conhecida que, no entanto, não é mais aleatória. Podemos considerar que a observação conhecida do fenômeno aleatório produz um particular valor observado da variável aleatória. Assim, uma outra realização do fenômeno forneceria um outro valor observado da variável, na maioria das vezes, diferente do anterior. Desejamos então atribuir um número real x a cada resultado ω do espaço amostral Ω. x = X(ω) O domínio de X é Ω, e os números na imagem são números reais. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 5 / 19

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8 Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) KK CK KC CC X: número de caras em 2 lances de moeda Ω X(Ω) (imagem) X(CC) = 0 X(KC) = X(CK) = 1 X(KK) = 2 P(X = 0) = P(CC) P(X = 1) = P(KC CK) P(X = 2) = P(KK) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 8 / 19

9 Definição 7.1: (Variável Aleatória) Seja (Ω,,P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω, que associa a cada elemento de ω Ω um número real é uma variável aleatória. Uma variável aleatória é, portanto, uma função do espaço amostral Ω nos reais, para a qual é possível calcular a probabilidade de ocorrência de seus valores. Em geral, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas do fim do alfabeto. IMPORTANTE: A função X deve ser unívoca, isto é, para todo ω Ω deve haver apenas um X(ω) associado. Contudo, diferentes valores de ω podem levar a um mesmo valor de X. O espaço imagem, R X, é composto de todos os possíveis valores de X. O espaço amostral original Ω corresponde ao resultado do experimento. Enquanto que R X é o espaço amostral associado à variável aleatória X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 9 / 19

10 Em geral, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas do fim do alfabeto. IMPORTANTE: A função X deve ser unívoca, isto é, para todo ω Ω deve haver apenas um X(ω) associado. Contudo, diferentes valores de ω podem levar a um mesmo valor de X. O espaço imagem, R X, é composto de todos os possíveis valores de X. O espaço amostral original Ω corresponde ao resultado do experimento. Enquanto que R X é o espaço amostral associado à variável aleatória X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 10 / 19

11 EXEMPLO 7.1: Uma lâmpada é testada até queimar. Ω = {(d,t) d = dia, t = momento} X = tempo em horas Uma vez que ω = (d,t) tenha sido observado, o cálculo de X(ω) não envolve qualquer aleatoriedade. Quando ω é especificado, X(ω) fica completamente determinado. EXEMPLO 7.2: Três moedas são atiradas sobre a mesa. Ω = {kkk,kkc,kck,ckk,kcc,ckc,cck,ccc} X = numero de caras Tão logo as moedas repousem a fase aleatória do experimento terminou. A contagem do número de caras é feita depois que os aspectos aleatórios do experimento tenham terminado. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 11 / 19

12 Os eventos associados a Ω são relacionados a eventos associados com R X, a partir da seguinte definição: Definição 7.2: (Eventos Equivalentes) Seja Ω o espaço amostral de um experimento. Seja X uma variável aleatória definida em Ω com espaço imagem R X. Seja A um evento em Ω e B um evento em R X. os eventos A e B são equivalentes se A = {ω Ω X(ω) B} EXPLICANDO: A será constituído por todos os resultados em Ω, para os quais X(ω) B. EXEMPLO 2.3: Considere o lançamento de duas moedas. Seja X o número de caras obtido. Ω = {kk,kc,ck,cc} Seja B = {1}, temos que A = {kc,ck}. R X = {0,1,2} Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 12 / 19

13 Definição 7.3: Seja A um evento em Ω e B um evento em R X, então definimos a probabilidade de B como Lembrando: A = {ω Ω X(ω) B}. P X (B) = P(A) Observação 7.1: P X será a medida de probabilidade induzida por X no espaço Ω X. Assim, (Ω X,P X ) será o espaço de probabilidade induzido pela variável aleatória X. Observação 7.2: Omitiremos o subscrito para que a notação não fique muito carregada. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 13 / 19

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19 EXEMPLO: Considere o lançamento de dois dados honesto. Seja Y a soma das faces superiores. Eventos (Y ) Eventos Equivalentes em Ω Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias 05/14 19 / 19