RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APOSTILA 02

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1 Engenharia da Computação 1 4º / 5 Semestre RESISTÊNCI DOS TERIIS OSTI rof Daniel Hasse Tensões e Deformações Esforços Solicitantes Tensões e Deformações na Fleão Deformações nas igas SÃO JOSÉ DOS COS, S

2 4 TENSÕES E DEFORÇÕES 4.1 Introdução Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eio reto e de seção constante em todo o comprimento). Considere-se uma barra prismática carregada nas etremidades por forças aiais (forças que atuam no eio da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. ara o estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a seu eio. Removendo-se por eemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada (m-m) transformam-se em esforços eternos. Supõe-se que estes esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal. m σ m δ Figura 4.1. ara que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também aial, de intensidade. Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma). ode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da força pela área da seção transversal, ou seja, σ (1) tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de Unidades é o ascal (a) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m, ou seja, a N/m. Como a unidade ascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus múltiplos: a N/mm (a 1 6 ), Ga kn/mm (a 1 9 ), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser epressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm ), libra por polegada quadrada (lb/in ou psi), etc. Quando a barra é alongada pela força, como indica a Figura 4.1, a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão.

3 condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra. O alongamento total de uma barra submetida a uma força aial é designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação: δ ε () onde: ε deformação específica δ alongamento ou encurtamento comprimento total da barra. Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação específica por 1 ou mesmo até ( ) multiplicando-se por Diagrama tensão-deformação s relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga aial, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova. Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 4. ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço. σ σ r σ σ e p escoamento C D E Tensão σ δ Deformação ε ε região elástica p região plástica δ Figura 4.. Diagrama tensão-deformação do aço ε r ε σ r tensão de ruptura σ e tensão de escoamento σ p tensão limite de proporcionalidade Região elástica: de até as tensões são diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a ei de Hooke e o diagrama é linear. ponto é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deia de eistir a

4 proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta, até que em começa o chamado escoamento. O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração. No ponto inicia-se a região plástica. O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máimo ou tensão máima no ponto D, denominado limite máimo de resistência. lém deste ponto, maiores deformações são acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura. ateriais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. or outro lado, os materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por eemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, entre outros. 4. Tensão admissível ara certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em conta algumas sobrecargas etras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança (γ f ), majorando-se a carga calculada. Outra forma de aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou σ adm ), reduzindo a tensão calculada (σ calc ), dividindo-a por um coeficiente de segurança. tensão admissível é normalmente mantida abaio do limite de proporcionalidade, ou seja, na região de deformação elástica do material. ssim, σ σ calc σ adm () γ f 4.4 ei de Hooke Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.

5 relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE em 1678 e é conhecida por EI DE HOOKE, definida como: σ Eε (4) onde σ tensão normal E módulo de elasticidade do material ε deformação específica O ódulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. or este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los. lguns valores de E são mostrados na Tabela abaio. ara a maioria dos materiais, o valor do ódulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. Tabela 4.1 ropriedades mecânicas típicas de alguns materiais aterial eso específico (kn/m ) ódulo de Elasticidade (Ga) ço 78,5 a 1 lumínio 6,9 7 a 8 ronze 8, 98 Cobre 88,8 1 Ferro fundido 77,7 1 adeira,6 a 1, 8 a 1 Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão aial é σ / e a deformação específica é ε δ /. Combinando estes resultados com a ei de HOOKE, tem-se a seguinte epressão para o alongamento da barra: δ (5) E Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto E é conhecido como rigidez aial da barra.

6 4.4.1 Coeficiente de oisson Quando uma barra é tracionada, o alongamento aial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. Figura ilustra essas deformações. Figura 4.. Deformações longitudinal e lateral nas barras relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de oisson (v); definido como: deformação lateral υ (6) deformação longitudinal Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. oisson ( ). ara os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, oisson achou ν,5. Eperiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre,5 e,5. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um eemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente Forma geral da ei de Hooke Considerou-se anteriormente o caso particular da ei de HOOKE, aplicável a eemplos simples de solicitação aial. Se forem consideradas as deformações longitudinal (ε ) e transversal (ε t ), tem-se, respectivamente: σ ε e E υσ ε t νε (7) E No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σ, σ y e σ z, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações ε, ε y e ε z, a ei de HOOKE se escreve:

7 σ y σ z σ [ σ υ( σ σ )] ε 1 y + z. E [ σ υ( σ σ )] ε y 1 y z + (8) E [ σ υ( σ σ )] ε z 1 z + y. E lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos. Eemplos 1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento 5,m, seção transversal circular com diâmetro φ5cm e ódulo de Elasticidade E. kn/cm, submetida a uma força aial de tração kn. kn 5 m πφ 5 π 19, 6 cm 4 4 σ σ 1, 5 kn/cm ou 15, a 19,6 5 δ δ, 8 cm E. 19,6 δ,8 ε ε, 764 ou 1,764 ( ) 5. barra da figura é constituída de trechos: trecho cm e seção transversal com área 1cm ; trecho Ccm e seção transversal com área 15cm e trecho CDcm e seção transversal com área 18cm é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E1. kn/cm. 15kN kn 5kN C D 17kN cm cm cm

8 Trecho - 15kN 5kN R15kN cm kn 17kN 15 σ σ 15 kn/cm 1 15 δ δ, 14 cm E 1. 1 δ,14 ε ε 1, 71 ( ) Trecho -C R1kN kn C 5kN R1kN 15kN cm 17kN 1 σ σ 8 kn/cm 15 1 δ δ, 76 cm E δ,76 ε ε 1, 8 ( ) Trecho C-D R17kN kn C D 17kN 15kN 5kN cm 17 σ σ 9, 44 kn/cm δ δ, 899 cm E δ,899 ε ε 1, 45 ( ) longamento total δ,14 +,76 +,899,8 cm

9 4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas Nos eemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. ara essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. Um eemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 4.4. Ra Ra a C C b Rb (a) (b) (c) Figura 4.4 arra estaticamente indeterminada barra está carregada por uma força no ponto C e as etremidades da barra estão presas em suportes rígidos. s reações Ra e Rb aparecem nas etremidades da barra, porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. única equação fornecida pelo equilíbrio estático é R + R (9) a b a qual contém ambas as reações desconhecidas ( incógnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda equação, que considere as deformações da barra. ara a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força sobre a barra se uma de suas etremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da carga deslocando o ponto, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento (para baio) do ponto, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga, é dado por: δ b E

10 Em seguida, analisa-se o efeito da reação R a deslocando do ponto, ilustrado na Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação R a com a etremidade da barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por: R a δ R E Ora, como a etremidade da barra é fia, o deslocamento final (δ), neste ponto, resultante da ação simultânea das forças e R a, é nulo. ogo, δ R δ δ δ R, b Ra ou seja,. E E ogo, R b R b a. Substituindo o R a na equação (9), tem-se: a + R b a R b b ( b) R b R b a Eemplos 1. Uma barra constituída de dois trechos é rigidamente presa nas etremidades. Determinar as reações R 1 e R quando se aplica uma força. Dados: E1. kn/cm ; 5cm ; C 7,5cm ; 6 kn Solução Equação de equilíbrio R 1 + R (1) Equação de compatibilidade das deformações: δ δ C () Nota: s cargas / provocarão um alongamento no trecho, e um encurtamento no trecho C, de valores eatamente iguais. lembrando que δ, tem-se E,4R R 1, R1 E 5 R 1,5 E 7,5,R R 1 R 1, 5R substituindo em (1),4 R + R 6,5R + R 6 1,5 R 6 R 4 kn 1 mas, R logo R kn. 1 C / R1 R 1 / cm 1,5 cm

11 . É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm de diâmetro eterno, com dimensões indicadas na Figura. plicando-se uma força de 4 kn, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro de cobre? Dados: E aço 1. kn/cm ; E cobre 1. kn/cm 5 π aço 19,6 cm cobre cobre, total aço 4 π 8 π 5 cobre,6cm kn (1) cobre + aço δ δ +,5 () aço cobre lembrando que δ E, tem-se aço,5 cobre +, ,6 1.,6,78,817 +,5 aço cobre,817cobre +,5 aço substituindo em (1), tem-se,,78,5 cm cm 5 cm 8 cm 4 kn placa rígida posição final cilindro de aço cilindro de cobre,817cobre +,5,817cobre,5 cobre + 4 kn cobre kn,78,78,78 1,1 + 4, , 66 kn substituindo em (1), tem-se: cobre + cobre cobre aço 4 6,66 7,4kN Eercícios 1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 1m de comprimento, comprimida por uma força de 5 kn. Sabendo-se que a tensão não deve eceder a 14 kn/cm e o encurtamento não deve eceder a mm, pede-se determinar o diâmetro da barra. E1. kn/cm. Resposta: φ1cm. Uma barra prismática está submetida à tração aial. área da seção transversal é cm e o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ,71485cm quando é submetida à força de tração 6kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade do material. Resposta: E1. kn/cm.. Uma barra cilíndrica de 8mm de diâmetro e cm de comprimento sofre a ação de uma força de compressão de kn. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é E9. kn/cm e o coeficiente de oisson, υ,, determinar o aumento de diâmetro da barra. Resposta: δ t,cm.

12 4. barra rígida é articulada em, suspensa em por um fio e apóia-se em C em um suporte de ferro. São dados: comprimento do fio: 1,7m; área da seção transversal do fio: 5cm ; módulo de elasticidade do fio E1. kn/cm ; comprimento do suporte: m; área do suporte: 15cm ; módulo de elasticidade do suporte E1. kn/cm. Determinar as forças no fio, no suporte e na articulação. Respostas: Força no fio: 5kN Força no suporte: 5kN Força na articulação: 5kN. m C 1. m C C 1 kn. m 1 kn 1.7m. m f 4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é capaz de se epandir ou se contrair livremente. or outro lado, a variação de temperatura em estruturas fias, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre uma barra livre em uma das etremidades, com outra barra engastada nas duas etremidades, como mostrado na Figura 4.5. R R T T (a) R (b) (c) Figura 4.5. arra fia nas etremidades, submetida a aumento de temperatura Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra causará o alongamento:

13 δ α T (1) onde: α coeficiente de dilatação térmica comprimento T variação de temperatura (ºC) Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra. Na Tabela 4. estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais. Tabela 4. alores Típicos do coeficiente de dilatação térmica aterial Coeficiente de dilatação térmica α (1-6 ºC -1 ) ço 11,7 lumínio 1,4 a,9 agnésio 6,1 Cobre 16,7 Concreto 7, a 1,6 No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no item precedente. ara a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a etremidade for liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo deslocamento para baio, decorrente da ação da força R, ou seja, R/E. Igualando esses dois deslocamentos vêm: R Eα T (11) Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra pelas epressões: R σ σ Eα T e ε α T E Deste eemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças eternas. Eemplo Uma barra prismática, rigidamente presa nas etremidades é submetida a um aumento de temperatura de ºC, ao mesmo tempo em que recebe uma carga kn. Determinar as reações de apoio. Dados: 1,5 cm ; E. kn/cm ; α11,7 1-6 ºC -1 ; T +ºC 1 cm kn C 5 cm Solução: a) determinação das reações R e R, devido ao aumento de temperatura R Eα T

14 R' 7, R' 7, kn 6 R. 1,5 11,7 1 7, kn R R R b) ao se aplicar a carga kn no ponto C, o trecho C sofrerá um alongamento eatamente igual ao encurtamento no trecho C, portanto, δ δ. ssim, R 1 R 5 E E fazendo o equilíbrio de forças, tem-se: R + R mas R, 5R, logo,,5r + R,5R R 8,57 kn ortanto, R 1, 4 kn kn C C R, 5R R'' 1,4 R'' 8,57 kn Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga : R R + R R 7, + 1,4 14, 41 kn R R + R R 7, + 8,57 15, 59 kn Eercício 1. um tubo de aço se aplica uma carga aial de kn por meio de uma placa rígida. área da seção transversal do cilindro de aço é cm. Determinar o acréscimo de temperatura T para o qual a carga eterna seja equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de aço e cobre. Dados: E aço 1. kn/cm ; α aço 11,7 1-6 ºC -1 Resposta: T 4,7ºC. 5cm kn tubo de aço

15 4.7 Tensão de cisalhamento Denomina-se força cortante (), a componente de uma força, contida no plano da seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. força cortante é uma força que atua no próprio plano da seção transversal. outra componente é a força normal. força tangencial R resultante força normal barra engastada Figura 4.6 força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. dmitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área, tem-se, em cada ponto da seção: τ (1) tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (a). Eemplo Considere-se o parafuso de 1,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaio. força é igual a 15 kn. dmitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m n ou p q? m p n q C m p n Solução Supõe-se que a força solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a força que atua em cada plano é: 15/7,5 kn, sobre a seção de área π 1,5 /4 1, cm. ortanto, 7,5 τ τ 6, 1 kn/cm 1, q m p n q

16 6 ESFORÇOS SOICITNTES 6.1 Introdução Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. eperiência mostra que, quando submetidos a forças eternas, os corpos se deformam, ou seja, variam de dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças eternas são chamados esforços solicitantes. Se as forças eternas produzirem tensões abaio do limite de elasticidade do material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais. Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica. Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, dizse que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade. Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam rapidamente até provocarem ruptura do corpo. força que provoca ruptura do corpo serve para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura. o se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força eterna, as deformações devem também cessar. Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econômico. 6. Classificação dos esforços solicitantes Os esforços solicitantes são classificados em: Força Normal (N) Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão. s forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração ou compressão.

17 Força Cortante () Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano). s tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau). omento Fletor () Um corpo é submetido a esforços de fleão, quando solicitado por forças que tendem a dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eio longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal. omento de Torção (T) componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno de eio longitudinal é chamado omento de Torção. 6. Convenção de sinais Obtidos os valores de N,, e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado. Força normal (N) tração (+) compressão (-) Força cortante () S Força tendendo girar a barra no sentido horário em relação à seção S: positivo (+) S Força tendendo girar a barra no sentido anti-horário em relação à seção S: negativo (-)

18 omentos fletores () omento Fletor: o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras superiores. OS: não confundir omento Fletor com omento aplicado aos corpos rígidos, cuja convenção de sinais é tende a girar no sentido horário ( ) tende a girar no sentido anti-horário ( + ) omentos de Torção(T) omento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal em torno de seu eio longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a gira no sentido horário. Regras para o traçado dos diagramas de esforços solicitantes 1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eio longitudinal, o diagrama de esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força.. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eio longitudinal, o diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da força concentrada.. Nos pontos da viga onde atua um momento eterno, o diagrama de momento fletor apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento eterno. 4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto de máimo. 5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eio longitudinal, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso. 6. s funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais adiante, estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda ordem: d d q. Em outras palavras, a área da figura do diagrama de força cortante é o d d valor da do momento fletor.

19 7 IGS 7.1 Introdução igas são elementos de barras, submetidas a cargas transversais em relação a seu eio e destinadas a vencer vão. s cargas podem ser classificadas em relação à área em que são aplicadas em concentradas e distribuídas. s cargas concentradas são aquelas cuja superfície de contato com o corpo que lhe resiste é desprezível comparada com a área do corpo. s cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao longo de um comprimento ou sobre uma superfície, podendo ser uniforme ou não uniforme. ÃO () Fig. 7.1 iga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vão 7. Tipos de cargas 7..1 Cargas distribuídas s cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada equivalente (R), cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade (CG). Carga uniformemente distribuída carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m, kn/m) R carga equivalente, definida como Rq.a (área do retângulo) O ponto de aplicação da carga equivalente é o centro a de gravidade do retângulo, ou seja, a R q

20 Carga distribuída variável a. Triangular O valor da carga equivalente é a área da triângulo, ou q.a seja, R e é aplicada no centro de gravidade:. a a centro de gravidade: ' e '' R " a q b. Trapezoidal R O valor da carga equivalente é a área do trapézio, ou p + q seja, R a p q e é aplicada no centro de gravidade a p + q p + q a 7. poios ou vínculos poios ou vínculos são elementos que restringem movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: poio móvel Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; ermite movimento na direção paralela ao plano do apoio; ou poio fio ermite rotação. Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; ermite rotação. Engastamento Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; Impede rotação.

21 EXEOS 1. iga simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada. S1 S H C b / R a b R a / b / + _ () a / () + ba / a) Cálculo das reações F F H H R + R + R.. a H R + R a R R + a R a R a R ( a) mas a b R b b) Cálculo dos esforços solicitantes (internos) Seção S1 entre e C a (forças à esquerda) Força cortante: 1 + R omento fletor 1. b 1 + R.. a ba

22 Seção S entre C e Força cortante: + R b l ( ) b b omento fletor: + R. a ( ) b. + pa b. + R, como a a (forças à esquerda) p /, tem se : ( b + a + ) p( b + a) Obs.: O sinal de + R. é positivo porque traciona a face inferior da viga e o sinal de a é negativo porque traciona a face superior da viga, em relação à seção S. ( ) Quando a b tem-se R R má 4. iga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuída carga equivalente R q. q (kn/m) / S / H R q/ R q/ q/ + / - (kn) -q/ (kn.m) + q /8

23 a) Cálculo das reações F F H H R + R q. + R. q.. R + R q. q. R R q. b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S (forças à esquerda) Força cortante + R q. q. + q. equação do primeiro grau q q Obs.: Quando a força cortante for mínima, o momento fletor é máimo. ortanto, deve-se igualar a zero a equação da força cortante para determinar o local do diagrama onde o momento fletor é máimo. ssim, q. q. q. q. omento fletor R / carga equivalente q. S q R. q.. q. q.. q 4 q Obs.: área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como d se verá mais adiante,. Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se: d q./ + / O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro eemplo. q. 1 q... 8 nalogamente, do lado direito: q. 1 q... 8

24 . iga em balanço submetida a carga concentrada na etremidade livre H R S a. Cálculo das reações FH H F R b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: R força tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) + Notar que a força cortante é constante, portanto, não depende de. omento fletor Seção S Diagrama de esforços solicitantes O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é linear e depende de. medida distância inicia-se na etremidade livre da viga. R S + - _

25 4. iga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída a. Cálculo das reações F F H H R q R q H S carga equivalente R q q R b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: força tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) +q q Notar que a força cortante é uma função linear que depende de. omento fletor Seção S q q q S carga equivalente R q. / / O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância inicia na etremidade livre da viga. Diagrama de esforços solicitantes S Rq. q q. -q. / + _

26 5. iga simplesmente apoiada, submetida a momento eterno no vão. C c S a - a Rc / R-c / a) Cálculo das reações F R + R R R b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante c + omento fletor + R + c No trecho C o momento eterno traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é positivo. c a c a No trecho C, o momento eterno traciona a face superior da viga logo, o c C momento fletor neste trecho é negativo. a ortanto, em a, tem-se: Rc / R-c / + ca c + + ca c c ( a) c - c (-a) + _ c a - c Diagrama de esforços solicitantes

27 6. iga simplesmente apoiada, submetida a momento eterno na etremidade. a / a - / a a) Cálculo das reações F R + R R R b) Cálculo dos esforços solicitantes a Força cortante: omento fletor a + (constante) a (constante) É negativo porque traciona a face superior da / a / a + - / a viga - a _ Diagrama de esforços solicitantes EXERCÍCIOS 1. ontar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaio: 6 kn H R S m a. Cálculo das reações F F H H R 6 R 6kN

28 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: força tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) + 6kN Notar que a força cortante é constante, portanto, não depende de. omento fletor Seção S 18 6 kn Diagrama de esforços solicitantes O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. S Notar que a equação que define o momento fletor é linear e depende de. R6 kn m 6 + (kn) -18 _ (kn.m. ontar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaio: carga equivalente R4 8 kn H q4 kn/m S R m

29 a. Cálculo das reações F F H H R 4 8kN b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: força tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) +q 8 Notar que a força cortante é uma função linear que depende de. omento fletor Seção S 8 O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau. q4 kn/m Diagrama de esforços solicitantes S R6 kn m 8 + (kn) -8 _ (kn.m

30 . Dado a viga abaio, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de força cortante e momento fletor. NOT: Quando a força cortante é kn mínima, o momento fletor é máimo. S 1 S C H Como d, ou seja, a integral da d m 5m m força cortante é o momento fletor, R8 kn R1 kn então, a área do diagrama de corresponde a. 8 + _ (kn) -1 (kn.m) 8 4 e 1 4 kn m 4 a) cálculo das reações FH F H R + R + R 5 R + R kn R + R R R 6 R 8 kn R 1 kn elas fórmulas deduzidas: b a R 8 kn R 1 kn 5 5 b) cálculo dos esforços solicitantes Convenção de sinais para força cortante: S - tende girar a viga no sentido horário em relação à seção S S + tende girar a viga no sentido anti-horário em relação à seção S

31 Força cortante Seção S 1 S 1 + R kn 1 R8 kn X reação R tende a cortar a viga na seção S 1 no sentido horário (+) Seção S kn S R8 kn m X (-) + R 8 1 kn Notar que 1 e não dependem de. ortanto, 1 e serão constantes no diagrama de força cortante. omento fletor Seção S ( + ) R 8 omento fletor (+) por tracionar a face inferior. Seção S + R 8 ( ) ( ) Notar que as equações que definem o momento fletor dependem de e são lineares.

32 4. Calcular os esforços, trocar os diagramas de e e dimensionar a viga abaio.,5 m / carga equivalente kn q 1 kn / m S H R 5 kn 5 m R 5 kn 5 + (kn),5 m / - 5 (kn. m) + 1,5 a) Cálculo das reações F F H H R + R + R 5 ( 1 5) R + R 5 kn ( 1 5,5) 5R 15 R 5 kn R 5 kn elas fórmulas deduzidas: a) Cálculo dos esforços solicitantes carga equivalente / q. S q 1 5 R R 5 kn Força Cortante q + R q 5 1 R 5 kn reação R tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) e a força (q. ), carga equivalente, tende a cortar a viga na seção S no sentido anti-horário (-); No caso de carregamento distribuído, a equação da força cortante depende de, portanto, trata-se de uma função linear;

33 Sabe-se que, quando a força cortante é mínima, o momento fletor é máimo, portanto, necessita-se saber a que distância do apoio,. Então, 5 1. Diagrama de Força Cortante 5 +,5 m 1 5, 5 m, ou seja, função linear - (kn) 5 5,5 5-5 Obs.: área da figura resultante do diagrama de força cortante é o momento fletor. Do lado esquerdo,5 5 1,5 omento fletor kn m Do lado direito:,5 5 1,5 kn m R / carga equivalente q. S q + R q Notar que a reação R gera um momento fletor na seção S que traciona a face inferior (+) e a força equivalente (q. ). Gera um momento que traciona a fibra superior (-); No caso de carregamento distribuído, a equação do momento fletor depende de ( ), portanto, trata-se de uma função quadrática que resulta numa parábola do º grau. Diagrama de omento Fletor,5 m + 1,5 5 5 (kn. m),5 1,5 5 elas fórmulas deduzidas: má q 1 5 1, 5 kn m 8 8

34 7.4 Equações diferenciais de equilíbrio Os esforços solicitantes são obtidos a partir das equações de equilíbrio que regem o comportamento das vigas. Seja a viga em balanço submetida a um carregamento genérico (q), como ilustrado na Figura abaio. q d Figura 7.. iga em balanço O equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga está ilustrado na Figura abaio. dmite-se que o carregamento neste elemento de comprimento infinitesimal seja constante. q + d + d d Figura 7.. Esforços atuantes em um elemento infinitesimal Conforme a figura acima, as equações diferenciais de equilíbrio são dadas por: Equilíbrio de Forças na direção vertical F y Fy qd d d ( + d ) d qd d ( ) q portanto q( ) d

35 Equilíbrio de omentos em relação ao Equilíbrio de Forças em y ponto d d + qd + ( + d ) d d d d q mas q parcela de segundo grau pode ser desprezada d d ( ) d d ( ) d d Equações diferenciais de equilíbrio d ( ) q( ) d d ( ) ( ) d d ( ) d q( ) Notar que a epressão da força cortante () possui um grau a mais que a epressão do carregamento q() e a epressão do momento fletor () possui um grau a mais que a epressão da força cortante. Dado um carregamento q() qualquer, os esforços () e () são obtidos pela integração das equações diferenciais de equilíbrio, impondo condições de contorno. No caso da viga em balanço tem-se: ( ) q q ( ) d d q d d 1 qd q + C q + ( q + C1 ) d + C1 C

36 condições de contorno para, a força cortante é nula: q ( ) C 1 para, o momento fletor é nulo: ( ) C d logo, ( ) q q ( ) + _ Figura 7.4. Diagrama de esforços solicitantes Notar que: q() grau zero constante () primeiro grau linear () segundo grau parabólico

37 Eercícios 1. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga da figura. H m carga equivalente 84 kn q8 (kn/m) 16 kn C S1 S 4 m m a. Cálculo das reações F F H H R + R R (8 4) R R R + R 48kN R 4 kn R 8kN b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 1 4 Força cortante: + R q Determinação do local onde a força cortente é nula m omento fletor: + R q q. / q8 (kn/m) S1 R8 kn 4 m 84 kn - Seção S 4 6 q8 (kn/m) Força cortante: kn constante S1 4 m -4 S R8 kn R4 kn

38 omento fletor: + R ( ) + R ( 4) Diagrama de esforços solicitantes 16 kn H 8 (kn/m) C 4 m m R8 kn R4kN m _ (kn) _ (kn.m). Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaio. H 14 kn q kn/m,5 m 5 m,5 m a. Cálculo das reações F H F H R + R 5 14 R + R 5 14,5 1,5 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 1,5 R R + R 4 kn R 1 kn R 1 kn / q. Força cortante: + R q + 1,5 1 7 R1kN S1

39 omento fletor: + R q + 1 4,75 Seção S,5 5 Força cortante: + R q , /,5 m q. 14 kn (-,5) S omento fletor: + R q ,5 + 5 (,5) ( ) R1kN,5 5,75 Diagrama de esforços solicitantes 51 kn H 14 kn q kn/m,5 m,5 m 5 m R1kN R1kN _ (kn) -1 (kn.m) +,75

40 . Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaio. 4 kn 41 kn 1 m m qkn/m qkn/m HC C m 4 m R RC a. Cálculo das reações F F H HC R + RC 4 + RC R + RC 16 kn RC 5kN R 11kN b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 1 / q. Força cortante: q 4 S1 omento fletor q 4 Seção S 4 Força cortante: ( ) + 11 q , qkn/m (+1) 4 kn 1 m / q. m qkn/m S Determinação do local onde a força cortente é nula: R11kN , m

41 omento fletor: 4 ( + 1) , , 4,17 4 Diagrama de esforços solicitantes 4 kn 41 kn qkn/m qkn/m HC m 4 m C R11kN RC5kN 7, 1,67 (kn) (kn.m) 4,17 4. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaio. 1 kn 1 kn R 1,5 m m 1,5 m R H a. Cálculo das reações F F H H R + R R 6 1 1,5 1 4,5 R + R kn R 1kN R 1kN

42 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 1 1,5 Força cortante: +R + 1kN constante, pois não depende de. S1 R1kN omento fletor + R + 1 1,5 15 Seção S 1,5 4,5 1 kn Força cortante: constante omento fletor: ( 1,5 ) R1kN 1,5 m (-1,5) S kn.m constante Seção S 4,5 6 1 kn 1 kn Força cortante: kn constante, pois não depende de. 1,5 m m S (-4,5) omento fletor ( + 4,5) 1( 4,5) R1kN ,5 6 15

43 8 TENSÕES E DEFORÇÕES N FEXÃO Considere-se a viga a simplesmente apoiada, submetidas a duas forças concentradas no mesmo plano y que contém o eio da barra, como ilustra a Figura abaio. a a y - a Figura 8.1 Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eio da viga dando origem a tensões internas. parte central da viga está sujeita somente ao momento fletor.a, sem esforço cortante. Neste trecho diz-se que a solicitação é de fleão pura. Nas seções da viga onde atuam simultaneamente momento fletor e força cortante diz-se que há fleão simples. 8.1 Hipóteses admitidas Na dedução das epressões das tensões normais decorrentes da fleão, admitem-se as seguintes hipóteses: as seções planas permanecem planas após a deformação (hipótese simplificadora atribuída a ernouille); supõem-se vigas prismáticas, ou seja, barra de eio reto e de mesma seção transversal; admite-se que o material obedeça à lei de Hooke e que os módulos de elasticidade à tração e à compressão sejam iguais. Figura 8.

44 ara o estudo da distribuição das tensões normais decorrentes da fleão pura devem-se considerar as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o carregamento. 8. Tensões normais na fleão ação do omento Fletor faz com que o eio da viga se curve, permanecendo as seções transversais mm e pq planas e normais ao eio longitudinal. simetria do carregamento eige que todos os elementos da viga se deformem identicamente, o que só será possível se as seções transversais permanecerem planas. s fibras inferiores serão alongadas, ficando sujeitas a esforços de tração e as fibras superiores serão encurtadas, ficando sujeitas a esforços de compressão. Essas deformações originam internamente na viga tensões de tração e de compressão. Há uma superfície na qual as fibras longitudinais não sofrem variação de comprimento, chamada superfície neutra da viga. Nesta superfície não atuam tensões. O ponto é o centro da r d θ curvatura do eio longitudinal. O raio de curvatura é indicado por r. Da geometria vem: inha Neutra 1 r dθ d m p cima do eio neutro, também n y d q chamado de inha Neutra, as deformações são de compressão e as y Figura 8. abaio, de tração. or hipótese, as deformações são suficientemente pequenas de tal modo que em um ponto qualquer pertencente ao eio neutro, um ângulo inicialmente reto antes da deformação (formado por uma fibra longitudinal e a seção transversal) continua sendo reto depois da deformação.

45 Semelhança de triângulos ds s ds y y r s r r Sabe-se, contudo, que a deformação específica é definida como: y y o s Figura 8.4 N ds ds ε, logo s ε Esta equação mostra que as deformações longitudinais (ε ) são diretamente proporcionais à curvatura e à distância y da inha Neutra. y r Deve-se notar que esta equação foi deduzida apenas por considerações geométricas, independentes das propriedades do material, sendo válida para qualquer tipo material da viga. Quando a viga é de material elástico linear, com diagrama tensão deformação linear (material que obedece à ei de Hooke), tem-se, normais na viga são: σ Eε. ortanto, as tensões y σ E (1) r Observa-se que a tensão σ é proporcional à distância da inha Neutra (hipótese de Navier). s tensões variam linearmente com a distância y do eio neutro, como é mostrado na Figura abaio. σ t b.n. y s h y i y z σ c corte - y d Figura 8.5 Seja d uma área elementar na seção transversal e distante y do eio neutro. força elementar que atua sobre esta área é σ d. Como não há força normal atuando na seção, a integral de σ d sobre a área total da seção transversal deve anular-se, o que dá:

46 y σ r () d E d Como a curvatura e o módulo de elasticidade (E) são constantes,vem: para vigas sob fleão pura. E σ r logo yd d yd Do estudo das características geométricas de figuras planas sabe-se que a parcela yd é definida como omento Estático utilizado para o cálculo do Centro de Gravidade de figuras. Se o omento Estático S yd, como se vê nas epressões acima, significa que o eio neutro passa pelo Centro de Gravidade da seção transversal. Os eios y e z também tem origem no CG da seção transversal. O momento da força elementar σ d em relação ao eio neutro é σ yd. integral de todos esses momentos elementares sobre a área da seção transversal deve ser igual ao momento fletor, ou seja: E σ yd y r d () mas I y d é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eio z, que é o eio neutro, ou inha Neutra. ssim, equação acima pode tomar a seguinte forma: 1 EI r 1 r EI (4) conclui-se, então, que a curvatura do eio longitudinal da viga é diretamente proporcional ao momento fletor e inversamente proporcional à quantidade EI, conhecida como rigidez ou módulo de rigidez à fleão da viga. viga. Combinando as epressões (1) e (4), obtém-se a equação das tensões normais da σ y (5) I

47 Nesta equação, é positivo quando produz compressão na viga e y é positivo quando o sentido é para baio. s tensões máimas de tração e de compressão ocorrerão nos pontos mais afastados do eio neutro. Designando os afastamentos das fibras etremas por y inf e y sup, respectivamente, tem-se: I σ, má y inf, mín ysup σ (6) I Dimensionamento Do estudo das características geométricas de seções planas, define-se ódulo Resistente (W) por Combinando as equações (5) e (7), chega-se à : I W (7) y σ (8) W Se for utilizado o método das tensões admissíveis, ou seja, σ σ é possível adm dimensionar barras submetidas à fleão: σ adm (9) W Quando a viga tiver seção retangular, com largura b e altura h, o omento de Inércia e o ódulo Resistente, são, respectivamente bh I e 1 bh W 6 ara seção circular de diâmetro d, tem-se: I 4 πd e 64 W πd

48 Eemplos 1. O momento fletor da viga da figura é kn S 1 S C H 4 kn.m. Sabendo-se que a tensão m m admissível do material utilizado na viga é 5m σ adm 5 kn cm e que se trata de um perfil retangular com b 5 cm (largura), determinar a altura (h) do perfil. 8 R8 kn + _ R1 kn (kn) -1 (kn.m) y h / b h / h Retângulo W omento Resistente I omento de Inércia I W onde y 4 y h ara retângulos tem-se: omento de Inércia I b h 1 b h 1 y ódulo Resistente W [ ] Sendo a tensão definida b h 1 h O ódulo Resistente pode também ser epresso por b h 6 σ W W σ b h 6 Ou seja, h 6 σ bσ ogo, determina-se a altura h da viga 6 6 4( kn. cm) h 4 cm h 4 cm bσ 5( cm) 5( kn / cm )

49 . O momento fletor da viga da figura é 1,5 kn.m. Sabendo-se que a tensão admissível do material utilizado,5 m / carga equivalente kn S q 1 kn / m H na viga é σ adm 5, 8 kn cm e que se trata de um perfil retangular com b 5 cm (largura), determinar a altura (h) do perfil. R 5 kn 5 +,5 m / 5 m + - R 5 kn (kn) 5 (kn. m) 1,5 omento resistente do retângulo: σ W W σ W b h 6 b h 6 6 h h 6 σ b σ b σ 6 15 ( kn.cm ) h 5, 4 cm 5( cm ) 5, 8( kn / cm ) Notar: 1,5 kn m 15 kn cm h 5,4 cm 1' Em polegadas: ( 1 ) 1,54 cm b 5 cm '

50 8. Tensões de cisalhamento na fleão Considere-se um elemento de viga como ilustrado na Figura abaio, de comprimento infinitesimal d, submetido a um carregamento genérico p, sem esforço normal. p p d + d + d d Figura 8.6 arra submetida a cargas transversais p O equilíbrio desse elemento de viga é dado por: d d d p ou seja, p d d d Devido aos efeitos da fleão, esse elemento de viga é solicitado por tensões normais, paralelas ao eio. Essas tensões normais que atuam nas faces do elemento hachurado abcd, de comprimento d, variam linearmente a partir da linha neutra e, em qualquer ponto, a uma distância y da linha neutra são definidas nas faces ab e cd, respectivamente, como (TIOSHENKO, 1989): + d σ y e σ + dσ y I I onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra.

51 y σ b c σ + dσ F F + df h y o z a τ d y o + d τ bd b d Figura 8.7 Tensões normais em um elemento de viga de comprimento d s resultantes dessas tensões normais são dadas por: F h / y o I yd (a) e F + df h / y o + d yd I (b) Se for feito um corte longitudinal nesse elemento de viga, o equilíbrio interno na direção do eio indica que deve haver uma tensão tangencial τ. dmitindo-se que a largura b seja suficientemente pequena para se considerar constante a tensão de cisalhamento ao longo da largura, a força de cisalhamento horizontal que atua na face inferior do elemento é dada por: τ b d (c) s forças representadas pelas epressões (a), (b) e (c), devem estar em equilíbrio. ssim, o equilíbrio do elemento hachurado abcd da Figura acima fornece a equação: F + τ bd F + df ou seja: donde: τ bd h / yo + d yd I h / yo I yd

52 τ 1 I b d d h / y o yd mas h / d e d yd s y o é o momento estático da parte da hachurada seção transversal em relação ao eio z. ogo, a tensão de cisalhamento fica definida por: s τ b I tensão de cisalhamento varia em função de y o. No caso das seções retangulares, tem-se: y o. h τ y o I 4 epressão acima indica que a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com Como regra geral, a máima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de gravidade da seção transversal. y σ c F c τ τ o F t z h CG N σt b Figura 8.8 Tensão máima de cisalhamento τ o (NGENDONCK, 1956) ( o Sabendo-se que o braço de alavanca dos esforços internos (z) pode ser epresso por z I / s ) tem-se, para y o, a epressão da tensão máima de cisalhamento:

53 τ o b z s tensões de cisalhamento são sempre tangentes ao contorno da seção transversal. Na Figura abaio estão ilustradas as direções e sentidos das tensões de cisalhamento em algumas seções transversais. y y y y bb f b T CG CG bb w CG b CG b b Figura 8.9 Direção e sentido das tensões de cisalhamento (FUSCO, 1981) Tensão de cisalhamento para peças de seção retangular tensão de cisalhamento máima ocorre no Centro de Gravidade da seção. τ s b I h/ h/ CG h/4 z τma b diagrama de tensões tangenciais omento Estático: h h bh s ycg b omento de Inércia 4 8 bh I 1 Substituindo o omento Estático e o omento de Inércia na epressão da tensão de cisalhamento, tem-se: bh τ 8 bh b 1 bh τ 1,5 Total

54 Tensão de cisalhamento para peças de seção circular tensão de cisalhamento máima ocorre no Centro de Gravidade da s seção. τ b I r 4r π CG z τma omento Estático: d diagrama de tensões tangenciais πd 4 d d s ycg 4 π 1 omento de Inércia I πd 64 4 Substituindo o omento Estático e o omento de Inércia na epressão da tensão de cisalhamento, tem-se: τ d 1 πd d πd τ Total Eemplo 1. O diagrama de esforços cortantes de uma determinada viga de seção retangular, com altura de 6 cm registra ma 8kN. Sabendo-se que a tensão admissível de cisalhamento do material é τ adm 1, kn/cm, determinar a largura (b) da viga. τ ma 1,5 Total Sendo τ adm 1, kn/cm, no limite τ adm τ ma logo, 15, 8 1 b cm 6 b

55 9 DEFORÇÕES NS IGS s cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu eio longitudinal. Quando se projeta uma viga é freqüentemente necessário calcular as deformações que ocorrerão em vários pontos ao longo do eio. or eemplo, nas vigas estaticamente indeterminadas, o cálculo das deformações é essencial para sua resolução. Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga (v), o deslocamento perpendicular a seu eio, provocado pela aplicação de uma carga. curva na qual se transforma o eio da viga, inicialmente reto, recebe o nome de linha elástica. s especificações para o cálculo ou dimensionamento das vigas, impõem, freqüentemente, limites para as flechas, tal como ocorre com as tensões. y v linha elástica Figura 9.1 inha elástica de uma viga simplesmente apoiada ara dedução da equação da linha elástica, considere-se um trecho da viga, como ilustrado, com o eio y no sentido indicado. d d y tangente θ tg θ~ θ θ dydv Figura 9. Seja d um elemento infinitesimal do comprimento da viga. Se no início deste comprimento d forem traçadas uma tangente à curva resultante da deformação da viga e uma reta paralela ao eio, o ângulo θ então formado entre a tangente e a reta, é denominado deformação angular da viga.