6 a SÉRIE 7 o ANO MATEMÁTICA CADERNO DO ALUNO. ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS Volume 2

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1 6 a SÉRIE 7 o ANO ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS Volume 2 MATEMÁTICA CADERNO DO ALUNO

2 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO ALUNO MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS 6 a SÉRIE/7 o ANO VOLUME 2 Nova edição São Paulo

3 Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretária-Adjunta Cleide Bauab Eid Bochixio Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Dione Whitehurst Di Pietro Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Barjas Negri

4 Caro(a) aluno(a), Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2 o semestre. Ao longo do 1 o semestre, você encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabéns pelo esforço! Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você estudará um dos conceitos matemáticos mais importantes do Ensino Fundamental: a proporcionalidade. Esse conceito é utilizado em diversas situações do cotidiano: na interpretação da escala de um mapa, na adaptação de uma receita culinária para mais pessoas, na tabela de preços de um estacionamento que cobra por quantidade de horas, entre muitas outras. Além disso, o Caderno convida você, aluno, a conhecer um pouco mais a história de Leonardo da Vinci e seus estudos sobre as proporções ideais do corpo humano. Com essa leitura, você realizará atividades que buscam verificar as razões entre as partes do corpo humano descritas por esse grande cientista, uma das figuras mais criativas do século XV. Você terá, ainda, a oportunidade de estudar a ideia de proporcionalidade a partir do duplex, um quebra-cabeça desenvolvido por Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas. O desafio consiste em transformar uma palavra em outra, trocando uma letra por vez e formando, no decorrer da atividade, palavras conhecidas. Usando o mesmo princípio, você poderá resolver problemas matemáticos por meio de tabelas. Você aprenderá também a possível utilização de letras para representar algum valor desconhecido. O uso de letras na Matemática é comum na representação de padrões em sequências e você, a partir da observação, generalização e registro algébrico, poderá desenvolver as atividades propostas com bastante êxito. As fórmulas não aparecem apenas na Geometria, mas estão por toda a parte, como se pode verificar na Física, quando relacionamos a distância aproximada percorrida por um objeto em queda livre e o tempo de queda. Ou, ainda, aparecem também relacionadas à saúde, como o Índice de Massa Corpórea (IMC) que pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa. Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo professor e, com isso, possa aprender cada vez mais. O objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante! Equipe Curricular de Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica CGEB Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

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6 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE VOCÊ APRENDEU? Reconhecendo a proporcionalidade 1. Verifique se as previsões feitas são confiáveis e se há proporcionalidade entre as grandezas envolvidas. Justifique sua resposta. a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais àquela, ele levará 2 horas. b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro tempo (45 minutos), ele terá marcado 6 gols. c) Uma banheira contendo 100 litros de água demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser esvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200 litros de água serão necessários, aproximadamente, 10 minutos. d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo a mesma velocidade, após 3 horas ele terá percorrido 150 km. e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automóvel que ficou estacio - nado 2 horas, foi cobrado do motorista o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6 horas, o valor cobra do seria de R$ 18,00. 5

7 f) Em 20 minutos, uma pessoa gastou R$ 30,00 no supermercado. Se ela ficar 40 minutos, gastará R$ 60,00. g) Ao tomar um táxi para ir da minha casa até a escola, o motorista passou por 4 avenidas diferentes. O valor cobrado pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta, ele passará somente por 2 avenidas, portanto, o valor cobrado será de R$ 5, Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Justifique sua resposta. a) A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade? b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro é diretamente proporcional à quantidade de litros abastecidos? c) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade? d) O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado? e) A distância percorrida por um automóvel em 1 hora de viagem é diretamente proporcional à velocidade média desenvolvida? 6

8 Os limites da proporcionalidade 3. Analise as situações a seguir e avalie se elas são possíveis. a) Um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Após 30 horas, ele terá corrigido 600 provas. b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, após 20 horas, ele terá percorrido 200 km. c) Uma pessoa leu 3 livros na semana passada. Em um ano, ela lerá 156 livros. LIÇÃO DE CASA 4. Verifique se houve variação proporcional nos seguintes casos. a) Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionários. O salário de João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou de R$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcionários? Justifique sua resposta. 7

9 b) Uma empresa de informática resolveu dar um desconto de 25% no preço de toda a sua linha de produtos. O preço de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, e o de uma impressora passou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no desconto dado nos dois produtos? Justifique sua resposta. VOCÊ APRENDEU? Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais 5. Analise as situações a seguir e verifique se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. a) Um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10 m 2. Observe a rela ção entre o tempo gasto, o número de paredes pintadas e o número de pintores representados na tabela a seguir e complete as sentenças. SITUAÇÕES A B C D Número de pintores Número de paredes de 10 m Tempo gasto (horas) proporcional ao número de pintores. proporcional ao número de paredes. 8

10 b) Um automóvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com velocidade média de 100 km/h. Observe a relação entre a velocidade média, a distância percorrida e o tempo gasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenças. SITUAÇÕES A B C D Velocidade média (km/h) Distância percorrida Tempo gasto (horas) proporcional à velocidade. proporcional à velocidade. Leitura e análise de texto Duplex Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas, era um matemático que adorava desenvolver quebra-cabeças. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabeça que envolvia a transformação de duas palavras com o mesmo número de letras. O desafio consistia em partir de uma palavra e chegar à outra de mesmo número de letras, trocando uma letra por vez e formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir. O U R O M U R O M U D O M E D O L E D O L I D O L I X O Etapas Trocar o O pelo M Trocar o R pelo D Trocar o U pelo E Trocar o M pelo L Trocar o E pelo I Trocar o D pelo X 9

11 VOCÊ APRENDEU? 6. Agora é sua vez. Resolva os duplex a seguir. TIA POR LISO POETA LUA MAL PENA TANGO Leitura e análise de texto Duplex, tabelas e proporcionalidade Usando o mesmo princípio, podemos resolver problemas matemáticos por meio de tabelas. Em vez de letras, o início e o fim do encadeamento serão números. Por exemplo: Para fazer uma dúzia de pães, um padeiro gasta, aproximadamente, gramas de farinha. Quantos gramas de farinha serão necessários para fazer 18 pães? 1 o passo: colocar as informações em uma tabela. Número de pães Farinha (gramas) ? 2 o passo: verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais, então as grandezas devem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das grandezas for multiplicada por um número, a outra deverá ser dividida por esse mesmo número e vice-versa. 10

12 3 o passo: assim como no duplex, o desafio será transformar o número 12 em 18 por meio de operações de multiplicação ou divisão, mantendo a proporcionalidade (direta ou inversa) entre as grandezas envolvidas. Número de pães Farinha (gramas) Transformações Divisão por Multiplicação por Portanto, serão necessários gramas de farinha para fazer os 18 pães. VOCÊ APRENDEU? 7. Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Contudo, alguns valores não foram preenchidos. Complete a tabela, mantendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido. Quantidade vendida Valor recebido 10 R$ 30,00 5 R$ 3,00 R$ 21,00 14 R$ 420,00 11

13 8. Um clube dispõe de uma quantia fixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os treinamentos. Com o dinheiro disponível, é possível comprar, de um fornecedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada. O gerente pesquisou os preços de outros fabricantes e anotou as informações na tabela a seguir. Complete-a obedecendo ao princípio de proporcionalidade e descubra qual foi o menor preço pesquisado pelo gerente. Preço de uma bola Número de bolas R$ 6,00 24 R$ 12,00 R$ 4,00 72 R$ 24, R$ 72,00 Resposta: 9. Para produzir m de um cabo telefônico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias. Quantos dias serão necessários para produzir m de cabo com 10 operários trabalhando? a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, são direta ou inversamente proporcionais. proporcional ao número de operários. proporcional ao número de operários. proporcional ao tempo de produção. 12

14 b) Preencha a tabela a seguir mantendo a proporcionalidade entre as linhas. Produção de cabos (m) Número de operários Tempo de produção (dias) LIÇÃO DE CASA 10. Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias em uma jornada de 10 horas de trabalho diário. Procurando adequar sua empresa à nova legislação trabalhista, o diretor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais funcionários. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou, e será necessário aumentar a produção. Nesse novo contexto, quantos dias serão necessários para produzir 540 pias de granito, contando com 25 pessoas trabalhando 8 horas por dia? a) Relacione, duas a duas, as grandezas mantidas as demais constantes, e indique o tipo de proporcionalidade envolvida (direta ou inversa). 13

15 b) Preencha a tabela a seguir e encontre a solução do problema. Produção de pias Número de funcionários Tempo de produção (dias) Número de horas trabalhadas por dia Resposta: 14

16 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 RAZÃO E PROPORÇÃO VOCÊ APRENDEU? O conceito de razão 1. O que você entende por razão? 2. Procure no dicionário alguns significados para a palavra razão. 3. Qual é o significado da palavra razão em Matemática? 4. Calcule os resultados das razões a seguir e expresse-os em termos de porcentagem: a) razão 3 : 150 b) razão 24 : 40 c) razão 4 : 50 d) razão 9 : 125 e) razão 165 :

17 Escala 5. O que é escala? Explique por meio de um exemplo. 6. O mapa a seguir foi feito na escala 1 : (lê-se um para trinta milhões ). Essa notação representa a razão de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no desenho é, na realidade, 30 milhões de vezes maior. Utilizando uma régua e a escala fornecida, determine: Conexão Editorial PR Brasília GO SP São Paulo MG Belo Horizonte RJ ES Rio de Janeiro SC Florianópolis OCEANO ATLÂNTICO N O L 1 : S Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para o São Paulo faz escola. a) a distância real entre Brasília e Rio de Janeiro; b) a distância real entre Florianópolis e Brasília. 16

18 LIÇÃO DE CASA Velocidade Leitura e análise de texto Em Física, a velocidade é a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posição. Em nosso cotidiano, a palavra velocidade geralmente significa velocidade média, que é a razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento. Dessa forma, quando nos referimos à velocidade de um carro (80 km/h), ou de um corredor (4 m/s), estamos nos referindo à sua velocidade média. O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situações análogas. Por exemplo: a pulsação ou frequência de batimentos cardíacos exprime a rapidez com que o coração bate, ou seja, o número de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa é ter uma pulsação entre 60 e 100 batimentos por minuto. 7. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, resolva as seguintes questões. a) Qual foi a velocidade média de um automóvel que percorreu 530 km em 6 horas? Resposta: b) Qual é a pulsação (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo coração bate 12 vezes a cada 10 segundos? Resposta: c) Qual é a velocidade de transmissão de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo), de um computador que leva 30 segundos para baixar um arquivo de 12 megabytes? (Dica: 1 megabyte quilobytes.) Resposta: 17

19 PESQUISA INDIVIDUAL 8. Pesquise o significado das expressões densidade de um material e densidade demográfica. VOCÊ APRENDEU? 9. Com base na pesquisa anterior, resolva as questões a seguir. a) Sabendo que 300 g de uma substância ocupam um volume de 450 cm 3, determine a densidade dessa substância. Resposta: b) A população estimada do Estado de São Paulo, em 1 o de julho do ano de 2013, era de, aproximadamente a, habitantes. Sabendo que a área do Estado é de, aproximadamente, km 2, calcule sua densidade demográfica. Resposta: a Fonte: Fundação Seade. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/produtos/projpop/index.php>. Acesso em: 20 nov

20 PIB per capita É a razão entre o valor de todos os bens e serviços produzidos em um país em 1 ano e o total da população. 10. Resolva as questões a seguir. a) O PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2012, medido em dólares, foi de aproximadamente US$ 2,253 trilhões para uma população estimada em 198,7 milhões de pessoas. Determine o PIB per capita brasileiro nesse ano. Resposta: b) O PIB da Índia em 2006 foi de US$ 903 bilhões para uma população estimada em 1 bilhão e 150 milhões de habitantes. Determine o PIB per capita da Índia em Resposta: 11. Seu professor vai propor que você discuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita brasileiro obtido na atividade anterior representa, de fato, a condição econômica da popu - lação brasileira. Escreva um parágrafo sobre suas conclusões. 19

21 Leitura e análise de texto Probabilidade A probabilidade é um tipo especial de razão, na qual se compara o número de possibilidades de ocorrência de um evento particular com o número total de possibilidades relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a probabilidade de obter a face cara é de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1, ou, ainda, 2 50%. É a razão entre o número de possibilidades de obter cara (1) e o número total de possibilidades, cara ou coroa (2). No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de obter o número 5 é de uma em seis, ou 1, ou 16,7%. 6 VOCÊ APRENDEU? 12. Com base nas informações apresentadas na seção Leitura e análise de texto, resolva as questões a seguir. a) No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, qual é a probabilidade de obter um número par? E um número maior que 4? Resposta: b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual é a probabilidade de obter duas coroas? Resposta: 20

22 c) Uma urna contém 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta? Resposta: d) Um baralho contém 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual é a probabilidade de se obter uma carta de copas? E de se obter um valete? Resposta: LIÇÃO DE CASA 13. Para cada situação, preencha a tabela e calcule a razão entre as grandezas envolvidas. Em seguida, verifique se há proporcionalidade entre elas. a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, então 7 bolas custarão R$ 140,00. Número de bolas Valor pago em reais Razão (preço por bola) Resposta: 21

23 b) Um automóvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele terá percorrido 160 km. Distância percorrida em km Tempo em horas Razão (velocidade) Resposta: c) Um supermercado vende 4 rolos de papel higiênico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$ 8,00. Número de rolos Valor pago em reais Razão (preço por rolo) Resposta: d) Em uma receita de milk-shake, recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para 2 xícaras e meia de leite (1 xícara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar 7 bolas de sorvete. Bolas de sorvete Número de xícaras de leite Razão (bolas por xícara) Resposta: 22

24 e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00. Quantidade de dólares Valor em reais Razão (reais por dólar) Resposta: Leitura e análise de texto O Homem vitruviano e as razões no corpo humano Leonardo da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itália, no século XV, e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como a Mona Lisa, A última ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas áreas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ninguém, aproximar a ciência da arte. Leonardo também produziu um estudo sobre as proporções do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, que, no século I a C., havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo um padrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotação. No meio dessas anotações, desenhou a figura de um homem dentro de um círculo e de um quadrado. Essa figura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. O desenho de Da Vinci evidenciou a retomada e a valorização de princípios da tradição greco-latina, tais como beleza, harmonia, equilíbrio e proporção. Essa obra atualmente faz parte da coleção das Gallerie dell Accademia (Galerias da Academia), em Veneza, na Itália. Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gravura do Homem vitruviano. [...] O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até o ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. [...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o fundo do queixo e o nariz, e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma, e é, como a orelha, um terço da cara. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm>. Acesso em: 20 nov

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26 VOCÊ APRENDEU? 14. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, preencha a tabela a seguir com as razões entre as partes do corpo humano descritas no texto de Leonardo da Vinci. Razão entre Fração Decimal % Longitude dos braços e altura 1 1 1,0 100 Altura da cabeça e altura Largura dos ombros e altura Distância do cotovelo às axilas e altura Comprimento da mão e altura Comprimento do pé e altura Distância do queixo ao nariz e face Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face 15. Agora, vamos verificar se as razões descritas por Leonardo da Vinci no texto anterior realmente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, você deverá medir o comprimento de cada parte do corpo do Homem vitruviano, usando uma régua milimetrada. Em seguida, calcule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face. Registre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem. 25

27 Partes do corpo Medidas em cm Em relação à altura Em relação à face Altura do homem Longitude dos braços Altura da cabeça Largura dos ombros Do cotovelo às axilas Comprimento da mão Comprimento do pé Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos) Do queixo ao nariz Da sobrancelha à raiz dos cabelos LIÇÃO DE CASA 16. Compare as razões obtidas por meio das medidas (atividade 15) com aquelas descritas no texto de Da Vinci (atividade 14). Os resultados ficaram próximos? Houve diferenças? O que poderia explicar as diferenças observadas (se houver)? 26

28 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RAZÕES NA GEOMETRIA VOCÊ APRENDEU? Ampliação de figuras 1. A figura a seguir mostra o desenho de uma caravela representado em uma malha quadriculada. Conexão Editorial a) Considerando como unidade de medida os lados dos quadrados, determine o comprimento e a altura da caravela. Resposta: b) Qual das figuras a seguir corresponde a uma ampliação proporcional da caravela original? I. II. Conexão Editorial Conexão Editorial III. Conexão Editorial IV. Conexão Editorial 27

29 c) Qual foi a razão de ampliação utilizada? Resposta: Proporcionalidade no quadrado 2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm, respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vértices opostos. Meça com uma régua o comprimento das diagonais obtidas e registre os valores na tabela. Em seguida, calcule a razão entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado. Quadrado Lado ( ) em cm Diagonal (d) em cm Razão d Q 1 2 Q 2 3 Q 3 6 a) Duplicando a medida do lado, a medida da diagonal também duplica? 28

30 b) E triplicando a medida do lado, a medida da diagonal também triplica? c) Há proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado? d) A razão obtida entre as medidas da diagonal e do lado desses quadrados se aproxima de qual dos números: 2, 3 ou 5? (Observação: você pode utilizar a calculadora para obter uma aproximação.) LIÇÃO DE CASA 3. Tomando como base a atividade 2, apresentada na seção Você aprendeu?, preencha a seguinte tabela e responda às questões: Quadrado Lado (cm) Perímetro P (cm) Área A (cm 2 ) Razão P Razão A Q 1 Q 2 Q 3 a) Há proporcionalidade entre a medida do lado e o perímetro do quadrado? b) E entre a medida do lado do quadrado e sua área? c) O que acontece com a área do quadrado quando duplicamos seu lado? d) E quando triplicamos? 29

31 VOCÊ APRENDEU? Ângulos e triângulos 4. Na figura a seguir, cada um dos ângulos do triângulo retângulo foi associado a seu lado oposto. Esse lado é o cateto oposto ao ângulo indicado. Por exemplo, o ângulo de 30 o tem como cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ângulos assinalados e os catetos opostos correspondentes. a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela. D Ângulos Catetos (cm) 15 o 30 o 60 o C 60 o B 30 o O 15 o A b) Duplicando o ângulo de 30 º, o cateto oposto aumenta na mesma proporção? Verifique tomando por base os dados da tabela. c) Triplicando o ângulo de 30 º, o que acontece com a medida do cateto oposto? d) As medidas dos ângulos são diretamente proporcionais às medidas dos catetos opostos a eles? 30

32 Atividade para investigação! Proporcionalidade na circunferência Uma das características mais importantes de uma circunferência é a equidistância de seus pontos em relação ao centro. Por essa razão, ela é considerada a figura geométrica mais perfeita em termos de simetria. Além disso, qualquer que seja a circunferência, sua forma é sempre a mesma. Uma circunferência maior é uma ampliação perfeita de uma menor. Será, então, que há proporcionalidade entre suas partes? É o que vamos verificar a seguir. Material necessário: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite condensado, uma moeda etc.; fita métrica; régua; compasso; folha de papel sulfite. Etapas: I. Meça o comprimento da circunferência do objeto usando a fita métrica. II. Coloque o objeto sobre o papel sulfite e desenhe o seu contorno (circunferência). Exemplo: Conexão Editorial III. Marque três pontos quaisquer, A, B e C, na circunferência. B C A 31

33 IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pontos B e C. B C A V. A interseção das duas mediatrizes é o centro da circunferência. Desenhe o diâmetro da circunferência e meça seu comprimento com a régua. 32

34 5. Registre as medidas do comprimento da circunferência (C) e do diâmetro (D) do objeto circular na tabela. Em seguida, calcule a razão entre C e D. Registre também as medidas e as razões obtidas por quatro colegas que tenham escolhido um objeto diferente do seu. Objeto circular Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C D Média a) A medida do comprimento e do diâmetro das circunferências variou de objeto para objeto? b) E o valor da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência? c) Calcule a média das razões obtidas e registre-a na tabela anterior. d) Para uma circunferência perfeita, o valor da razão entre seu comprimento e seu diâmetro se aproxima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razão foi dado o nome de pi, representado pela letra do alfabeto grego π. O valor da média que você calculou ficou acima, igual ou abaixo do valor de π? Se não foi igual, a que você atribuiria essa diferença? LIÇÃO DE CASA 6. Na malha quadriculada a seguir, desenhe três circunferências de raios iguais a 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente, e trace seus diâmetros. Com o auxílio de uma fita métrica ou um barbante e uma régua, meça o comprimento C de cada circunferência e de seu diâmetro D. Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razão entre C e D. 33

35 Considere que cada unidade da malha possui 1 cm de lado. Circunferência Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C D C 1 C 2 C 3 34

36 a) O que acontece quando duplicamos a medida do diâmetro da circunferência de 2 cm para 4 cm? b) E quando triplicamos o diâmetro da circunferência de 2 cm para 6 cm? c) Calcule a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada circunferência. d) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro? VOCÊ APRENDEU? 7. Se a razão entre o comprimento da circunferência (C) e seu diâmetro (D) é constante e vale, aproximadamente, 3,1, isso significa que podemos calcular C multiplicando D por esse valor. Ou seja, C = 3,1 D. Da mesma forma, conhecendo o comprimento C de uma circunferência, podemos obter seu diâmetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias, resolva os seguintes problemas. a) Uma pista de corrida foi construída na forma de um círculo. Sabendo-se que o diâme - tro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira. b) Para fazer uma circunferência, Marcos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio). Quanto mede o comprimento dessa circunferência? 35

37 c) Usando um barbante, mediu-se o comprimento da circunferência de uma lata cilíndrica. O resultado dessa medida foi 62 cm. Qual é o diâmetro dessa lata? d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu é de aproximadamente 3 cm. Qual é o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual é a distância que essa bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas? e) O diâmetro de uma circunferência mede 10 cm. Qual é o comprimento aproximado dessa circunferência? 36

38 Leitura e análise de texto A razão áurea Na Matemática, existem alguns números que são especiais e, por isso, recebem um nome próprio. É o caso do número pi (π), que vale aproximadamente 3, e representa a razão constante existente entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Dessa forma, em qualquer cálculo que envolva circunferências, a razão π está presente. Um aspecto surpreendente desse número é o fato de que ele possui infinitas casas decimais, sem nenhum padrão aparente de repetição. Por essa razão, π é classificado como um número irracional, isto é, que não pode ser gerado por uma divisão entre inteiros. Outro número especial na Matemática, embora menos conhecido, é o fi, representado pela letra grega. Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o π, também é irracional. O decorre de uma razão muito especial, que pode ser encontrada nas mais diferentes situações, tanto na natureza (no formato de uma concha, na espiral de uma margarida, no crescimento dos galhos de uma árvore) como nas construções humanas e suas artes (o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo da Vinci etc.). Por isso, essa razão também foi chamada de razão áurea ou proporção divina. Gavin Kingcome/SPL/Latinstock Concha Nautilus. Lado maior a Lado maior b 37

39 Gianni Dagli Orti/Corbis/Latinstock Leonardo da Vinci, Mona Lisa, , óleo sobre madeira, Museu do Louvre. A palavra proporção pode ser entendida de diferentes maneiras. No uso comum, proporção pode significar a relação comparativa entre duas quantidades, como no caso da receita de um suco concentrado (uma parte de suco para três partes de água). Também pode significar uma relação harmoniosa ou agradável entre diferentes partes. Por exemplo, no caso de um arranjo de flores benfeito ou em uma construção de uma casa. Na Matemática, o termo proporção refere-se à igualdade entre duas razões: oito está para seis assim como quatro está para três. A razão áurea é especial porque mistura, de alguma forma, essas três ocorrências. Podemos definir a razão áurea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) em duas partes, uma maior (b) e outra menor (a b), a razão entre o segmento inteiro (a) e a maior parte (b) deve ser igual à razão entre esta maior parte (b) e a menor parte (a b). Todo (a) todo maior menor maior a b b a b Maior parte (b) Menor parte (a b) Essa proporção só acontece quando as razões valem, aproximadamente, 1,618, ou seja, o valor de fi. 38

40 PARA SABER MAIS Donald no país da matemágica. Fábulas, v. 3 [DVD]. EUA: Walt Disney O poder dos limites: harmonias e proporções na natureza, arte e arquitetura. São Paulo: Mercuryo, Razão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, O número de ouro. Série Arte & Matemática [DVD2]. São Paulo: TV Escola/MEC-TV Cultura VOCÊ APRENDEU? 8. A figura a seguir é chamada de retângulo áureo, pois a razão entre seus lados vale, aproximadamente, 1,618. Se tirarmos desse retângulo um quadrado de lado igual ao lado menor do retângulo, obteremos outro retângulo áureo, cujos lados também estão na razão áurea. Isso pode ser feito continuamente, como mostram as figuras a seguir: 1 o ) 2 o ) 3 o ) 4 o ) 39

41 Tire as medidas dos lados dos quatro retângulos assinalados nas figuras e registre-as na tabela. Em seguida, resolva as questões propostas. a) Calcule a razão aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada retângulo. b) Calcule a média entre as razões obtidas. Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão 1 o 2 o 3 o 4 o Média c) A média ficou próxima do valor da razão áurea? Resposta: d) Há proporcionalidade entre os retângulos destacados na cor vermelha? Resposta: Construção geométrica 9. A espiral áurea ou logarítmica é uma espiral que cresce segundo a razão áurea. O formato da concha Nautilus (apresentada na seção Leitura e análise de texto) aproxima-se de uma espiral desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razão de 1,618, aproximadamente. Essa espiral pode ser construída com base no retângulo áureo, como veremos a seguir. Etapas: centro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado. B, de modo a dar continuidade ao arco anterior. espiral áurea. 40

42 D C G E F B A 41

43 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 GRÁFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE VOCÊ APRENDEU? 1. As circunferências a seguir foram divididas em 24 arcos de 1 cm cada. Em cada uma delas, foi marcado um determinado ângulo central: 30 o, 45 o, 90 o e 150 o o o o o

44 a) Registre na tabela a medida dos ângulos centrais e as medidas dos arcos correspondentes. Ângulo central Medida dos arcos (cm) b) Há proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ângulos correspondentes? c) Qual deve ser a medida do arco correspondente ao ângulo de 55 o? d) Calcule o ângulo central que corresponde ao arco de comprimento 7,5 cm. O relógio e a proporcionalidade 2. O relógio da figura a seguir está marcando 1 hora. Com base em seus conhecimentos sobre ângulos e proporcionalidade, determine: Conexão Editorial a) Quantos graus o ponteiro das horas se deslocou do meio-dia até 1 hora? Resposta: 43

45 b) Houve deslocamento do ponteiro dos minutos? Se sim, de quantos graus? Resposta: Agora, consideremos que o relógio marca 4 horas. Passados 10 minutos, ambos os ponteiros terão se deslocado do local original. Pergunta-se: c) Quantos graus o ponteiro dos minutos se deslocou? Resposta: d) E o das horas? Resposta: e) Desenhe, nos relógios a seguir, os ponteiros das horas e dos minutos nos seguintes horários: (Observação: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de forma proporcional ao tempo decorrido.) I. 12:30 II. 12: III. 2:00 IV. 2:

46 f) Preencha a tabela com os graus correspondentes aos horários marcados nos relógios, tendo como referência os ponteiros das horas e dos minutos às 12 horas em ponto. Horário Tempo decorrido 1:00 60 minutos 12:30 30 minutos 12:10 10 minutos 2: minutos 2: minutos Ângulo em relação às 12 horas Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos g) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto? E o das horas? LIÇÃO DE CASA 3. Represente os horários nos relógios e calcule a medida dos ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos em relação às 12:00. a) 4:30 b) 3: Ponteiro das horas: Ponteiro dos minutos: Ponteiro das horas: Ponteiro dos minutos: 45

47 c) 1:40 d) 5: Ponteiro das horas: Ponteiro dos minutos: Ponteiro das horas: Ponteiro dos minutos: VOCÊ APRENDEU? 4. Uma pesquisa foi feita com 420 pessoas para saber qual esporte elas mais praticavam. Os resultados encontram-se na tabela a seguir. Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total Futebol 210 Vôlei 105 Basquete 63 Corrida 42 Total a) Calcule a porcentagem de cada esporte escolhido em relação ao total de entrevistados. b) Qual dos gráficos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justifique sua resposta. Gráfico 1 Gráfico 2 46

48 Gráfico 3 Gráfico 4 c) Que cor corresponde a cada um dos esportes? 5. O resultado de uma pesquisa feita com 80 pessoas sobre a preferência de um local de viagem gerou o seguinte gráfico: Outros Cidades históricas Praia Montanha a) usando um transferidor, meça os ângulos centrais de cada setor circular representado no gráfico e anote-os na tabela. b) calcule as porcentagens que representam a razão entre cada ângulo e 360 o. Anote-as na tabela. c) calcule o número de pessoas que escolheram cada tipo de viagem. Anote-o na tabela. Local Ângulo central % Número de pessoas Praia Montanha Cidades históricas Outros Total 100,

49 6. Para saber qual era o programa cultural mais apreciado pelos habitantes de uma cidade, foi feita uma pesquisa, cujos resultados (em porcentagem) estão representados na tabela a seguir. Programa preferido % Ângulo central Cinema 37,5 Música 25,0 Teatro 16,7 Dança 12,5 Outros 8,3 Total 100,0 a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela. b) Usando a circunferência a seguir, que foi dividida em 24 setores de 15 o cada um, represente os resultados da pesquisa por meio de um gráfico de setores. (Dica: faça as aproximações dos ângulos centrais para valores inteiros.) 48

50 LIÇÃO DE CASA 7. Uma agência de viagens fez uma pesquisa sobre a nacionalidade das pessoas que viajaram pela América Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classificados por nacionalidade. a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela. Nacionalidade % Ângulo central Brasileiros 45 Argentinos 25 Chilenos 20 Outros 10 Total 100 b) Usando compasso e transferidor, represente as porcentagens da tabela em um gráfico de setores. 49

51 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA VOCÊ APRENDEU? 1. Observe com atenção a sequência a seguir: Qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão? I. II. III. IV. V. a) O símbolo I. b) O símbolo II. c) Os símbolos II ou III. d) Os símbolos I ou IV. e) Os símbolos II ou IV. 2. Por que é possível escolher mais de um símbolo para continuar o padrão da sequência? 3. Desenhe uma sequência usando como padrão o símbolo da figura III, apresentado na atividade Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequência apresentada na atividade 1, numerando-os conforme sua posição. 50

52 a) Qual símbolo deve ser colocado na 20 a posição da sequência? E na posição 573? b) Escreva uma regra que permita identificar exatamente o símbolo correspondente a cada uma das posições da sequência. LIÇÃO DE CASA 5. Escreva uma regra de identificação dos símbolos para cada uma das sequências a seguir. a) Sequência 1 b) Sequência 2 c) Sequência 3 51

53 d) Sequência 4 6. Tendo como base as sequências apresentadas na atividade anterior, desenhe: a) a figura que ocupa a 20 a posição na Sequência 1; b) a figura que ocupa a 73 a posição na Sequência 2; c) a figura que ocupa a 123 a posição na Sequência 3; d) a figura que ocupa a 344 a posição na Sequência 4. 52

54 VOCÊ APRENDEU? 7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas a) Qual é a próxima figura da sequência? b) Como podemos descrever com palavras as posições em que encontramos a figura? c) Como podemos descrever em palavras as posições onde encontramos as figuras, e? d) Qual é a figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? 8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega: 2 a feira 3 a feira 4 a feira 5 a feira 6 a feira Sábado Região 1 Região 2 Região 3 Região 4 Região 5 Região 6 Região 7 Região 8 Região 9 Região 10 Região 11 Região

55 a) Cite cinco regiões da cidade que recebem gás às sextas-feiras. b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados? c) Em que dia da semana a região 180 tem entrega de gás? E a região 129? d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões nas quais a entrega de gás acontece às quintas-feiras? 9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repetição do algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem? b) Explique por que esse padrão acontece. c) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números terminados em 1? 54

56 d) Para quais expoentes da potência de 7 os resultados serão números terminados em 7? e) Qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7 179? Desafio! 10. Qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica ? Resposta: VOCÊ APRENDEU? 11. Observe a sequência de bolinhas e responda às perguntas a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar as posições 5 e 6. b) Preencha a tabela, associando o número de bolinhas com a posição da figura. Posição Número de bolinhas 55

57 c) Quantas bolinhas terá a figura que ocupa a 10 a posição? d) E a figura que ocupa a 45 a posição? e) Descreva, em palavras, o padrão de formação dessa sequência. 12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por bolinhas coloridas a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas? b) Qual é a única bolinha que não forma par e está presente em todas as figuras? c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5? d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor haverá na figura 18? E na figura 31? e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas bolinhas essa figura possui no total? 56

58 f) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que determine o número N de bolinhas de cada figura. LIÇÃO DE CASA 13. Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede. I. Desenhe a próxima figura da sequência. II. Calcule o número de bolinhas das figuras que ocupam a 5 a e a 20 a posição. III. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que ocupa a figura na sequência. Sequência 1 II. 5 a : / 20 a : III. N = Sequência 2 II. 5 a : / 20 a : III. N =

59 Sequência 3 II. 5 a : / 20 a : III. N = Sequência 4 II. 5 a : / 20 a : III. N = Sequência 5 II. 5 a : / 20 a : III. N = Sequência 6 II. 5 a : / 20 a : III. N = 58

60 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 EQUAÇÕES E FÓRMULAS PESQUISA INDIVIDUAL 1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço a seguir e escreva um parágrafo sobre o que você sabe a respeito delas (para que são usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm etc.). Dicas de pesquisa: você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Fórmula 1: Fórmula 2: VOCÊ APRENDEU? Fórmulas na Geometria 2. Vamos partir de uma situação concreta de cálculo do perímetro de um retângulo. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença matemática correspondente a essa operação. 6 cm 4 cm 59 P = =

61 b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm? P = = c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo. P = = d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo. Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a tem 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm. e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22 m, descubra qual é o seu comprimento. f) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm. LIÇÃO DE CASA 3. A fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer é A = l h, onde A representa a medida 2 da área; l, a medida de um lado; e h, a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, representado ao lado. B c a A b C 60

62 a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para um triângulo retângulo de lados a, b e c? b) Utilizando a fórmula do item anterior, calcule a área de um triângulo retângulo, cujos catetos medem, respectivamente, 3 cm e 4 cm c) Use a fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm. d) A área de um triângulo retângulo é conhecida e igual a 144 cm 2. Use a fórmula A = a b para 2 descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo. I. 12 cm e 25 cm. II. 14 cm e 24 cm. III. 16 cm e 18 cm. IV. 17 cm e 17 cm. e) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm² e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto. 61

63 VOCÊ APRENDEU? Fórmulas de média aritmética 4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática. a) Calcule a média aritmética das notas obtidas. b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M (a, b) de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b. c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M (a, b, c) de três valores quaisquer, representados pelas letras a, b e c. d) Use a fórmula e calcule a média aritmética dos números 19, 24 e 35. e) Um aluno obteve notas 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que a média aritmética das três provas seja igual a 6? 62

64 Fórmulas na Economia PESQUISA INDIVIDUAL 5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de Renda, tendo como base as seguintes perguntas: O que são os impostos? Quem os arrecada? Para onde vai o dinheiro arrecadado? O que é o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir. Leitura e análise de texto Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? A mordida do leão dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do Adolescente. CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época. Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com/revista/epoca/ 0,,ERT ,00.html>. Acesso em: 4 dez

65 O surgimento do Leão No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas, mesmo assim, a campanha foi lançada. Dorling Kindersley/Getty Images A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características: 1. É o rei dos animais, mas não ataca sem avisar; 2. É justo; 3. É leal; 4. É manso, mas não é bobo. A campanha resultou em uma identificação pela opinião pública do leão com a Receita Federal e, em especial, com o Imposto de Renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/memoria/irpf/curiosidades/ curiosidades.asp#surgimentoleao>. Acesso em: 20 nov Explique o significado da expressão mordida do leão, que aparece na matéria apresentada na seção Leitura e análise de texto. VOCÊ APRENDEU? A fórmula do Imposto de Renda 7. A tabela a seguir mostra o cálculo que foi realizado para a cobrança do Imposto de Renda no Brasil (em 2013). Ela informa a porcentagem cobrada de cada faixa de rendimento (salários, aluguéis e outras remunerações). Veja que até determinado valor o contribuinte é isento, isto é, não precisa pagar o Imposto de Renda. Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado. 64

66 Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2014, ano-calendário de 2013 Base de cálculo mensal em R$ Alíquota % Parcela a deduzir do imposto em R$ Até 1710,78 De 1710,79 até 2563,91 7,5 128,31 De 2563,92 até 3418,59 15,0 320,60 De 3418,60 até 4271,59 22,5 577,00 Acima de 4271,59 27,5 790,58 Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/contribfont2012a2015.htm>. Acesso em: 9 dez a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 2 100,00 de rendimento mensal. b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 7,5%. Represente o imposto a ser pago pela letra I e a remuneração pela letra R. c) Faça o mesmo para a alíquota de 15%. 65

67 d) Faça o mesmo para a alíquota de 22,5%. e) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%. f) Calcule o valor do Imposto de Renda a ser pago para as seguintes remunerações: I. R$ 2 500,00 II. R$ 4 300,00 III. R$ 6 000,00 8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior. a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso: Remuneração = R$ 2 500,00 Imposto = R$ Remuneração = R$ 4 300,00 Imposto = R$ Remuneração = R$ 6 000,00 Imposto = R$ b) O que você pode concluir com base nesses resultados? Imposto Remuneração = % Imposto Remuneração = % Imposto Remuneração = % 66

68 c) As remunerações de R$ 4 300,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alíquota de imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual é a razão para essa diferença? Leitura e análise de texto Fórmula relacionada à saúde O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilogramas de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela Organização Mundial da Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção saudável entre massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo- -se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula: I = p a, onde p é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metros. 2 A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o valor do IMC. Classificação IMC (kg/m²) Magreza severa Menor que 16 Abaixo do peso Menor que 18,5 Peso normal Entre 18,5 e 24,99 Sobrepeso/pré-obesidade Entre 25,0 e 29,99 Obesidade Entre 30,0 e 39,99 Obesidade de alto grau Maior que 40 Fonte dos dados: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 20 nov Observação! Usamos comumente a palavra peso para nos referir à massa de uma pessoa, embora, na Física, tais termos possuam significados distintos. 67

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