Apostila. Matemática Básica para os cursos de Tecnologia.
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- Carla Aquino Mirandela
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1 0 Apostil pr os cursos de Tecnologi Este mteril contém noções ásics d mtemátic elementr necessáris o conteúdo progrmático de mtemátic pr o ensino superior dos cursos de Tecnologi. 0/8/0
2 Apostil NÚMEROS REAIS. Conjuntos Definição Símolo Eemplo Vzio = Pertinênci Inclusão ou Suconjunto União Intersecção (pertence) (não pertence) (contido) (não contido) A ( pertence A) A ( não pertence A) B A (B está contido em A ou B é suconjunto de A) C A (C não está contido em A ou C não é suconjunto de A) A B = Diferenç. Conjuntos numéricos Conjunto dos números nturis * o sterisco indic que o zero não pertence o conjunto. Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números rcionis Formdo por todos os números que podem ser escritos n form de frção, com denomindor não-nulo. - Deciml finit: (número eto de lgrismos) 0,7 0, 7, 7 0, 0 7
3 Apostil - Deciml infinit periódic ou dízim periódic: (repetição infinit de lgrismos pós vírgul) 7 7 0,... 0,,...,,..., Frção gertriz é frção que dá origem à dízim. Conjunto dos números rcionis Formdo por todos os números que não podem ser escritos n form de frção, são números que n form deciml não são periódicos, nem têm um número finito de css. 0,...,..., Conjunto dos números reis Formdo pel união dos números rcionis com os irrcionis: Representção geométric de A cd ponto de um ret podemos ssocir um único número rel, e cd número rel podemos ssocir um único ponto n ret , Digrm de Venn
4 Apostil Intervlos reis São suconjuntos do conjunto dos números reis ) Intervlo erto de etremos e. e) Intervlos infinitos: ) Intervlo fechdo de etremos e. c) Intervlo erto direit d) Intervlo erto á esquerd. Operções com números reis Adição e sutrção de frções Com denomindores iguis Com denomindores diferentes º) Psso: Clculr o M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) dos denomindores 0,,,,,, O M.M.C. será multiplicção dos números encontrdos, logo, M.M.C. (0,, )==0 º) Psso: Reescrever frção so o m.m.c. encontrdo: [(0 0).] [(0 ). [(0 ).] 0 (.) (.) (.) Multiplicção de frções (Oserve que podemos dividir tnto o denominr qunto o numerdor por )
5 Apostil Divisão de frções.. 0. Epressões numérics Prioriddes ds epressões º) Potencição ou rdicição º) Multiplicção ou divisão º) Adição ou sutrção Eemplo 0 8 º) Prênteses º) Colchetes º) Chves Regr dos sinis Multiplicção Divisão (+) (+) = + (+) (+) =+ (+) ( ) = (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + ( ) ( ) =+ Eemplo Eemplo 0 8. Potencição número rel, m e n inteiros positivos n vezes Bse positiv + epoente pr = potênci positiv Bse negtiv + epoente pr = potênci positiv Bse positiv + epoente ímpr = potênci positiv Bse negtiv + epoente impr = potênci negtiv Eemplos: 8. = (+) = 0 0 8
6 Apostil. Rdicição e números reis, n inteiro positivo n n n n n n n.. m n m n. m n m n Os.: Qundo o índice for o número não precismos escrevê-lo, ele fic suentendido n n n, 0 Eemplos: Porcentgens ou ts percentuis Porcentgem é o resultdo de um rzão cujo denomindor é 00, ou sej, tod rzão 00 é um porcentgem. As porcentgens podem ser epresss de dus mneirs: n form de frção com denomindor 00 (percentul) ou n form deciml. Os: (o símolo % indic que o vlor est sendo dividido por 00) 0% = 0 = 0,0 % = = 0, % = = 0,0 % = =, % = =, 7, % = 7, = 0, Eemplo : Qunto é % de $.000,00? % de $.000,00 = 0000,00 0, Eemplo : Num lote de 0 lâmpds, presentrm defeito. A rzão entre o número de lâmpds defeituoss e o totl de lâmpds é dd por: %, ou sej, se o lote contivesse 00 lâmpds, estrim com defeito O número % é t percentul de lâmpds defeituoss. 00 Eemplo : Um ols é vendid por R$,00. Se seu preço fosse umentdo em 0%, qunto pssri custr?
7 Apostil o umento seri 0% de = 0, = R$,0 o novo preço seri +,0 = R$ 8,0. Poderímos fzer simplesmente: vlor (+t ) (+0, ) = (,)= R$ 8,0 Pr umentr Multiplique por 0%, %, %,0 Se, por outro ldo, num liquidção, fosse nuncido um desconto de 0% sore o preço originl, o cálculo seri: vlor ( - t) ( - 0, ) = (0,8) = R$,0 Eemplo : Pr descontr Multiplique por 0% 0,7 % 0,8 % 0, Cert mercdori que custv R$,00 pssou custr R$ 0,00. Pr clculr t percentul de umento fç: (t percentul do umento) Eemplo : Cert mercdori que custv R$ 0,00 pssou custr R$,00. Pr clculr t percentul de desconto fç: (t percentul do umento) 8. Resolução de prolems. Clcule s seguintes epressões numérics: ) 7 ) 8 c) d) e) f) g) h) i) j). Resolv: k) ). 8 ). c) d) (-) ( ) e) 8 f) k) 8 p) 8 q) g) h) 0 i) - j) l) m) n) ((-) ) o) 8 u) 0 v) 7 w) r) s) (-) 0 t) ) l) 0 8 ) ( ) 7
8 Apostil. Clcule: ) % de 0 ) 7% de 000 c) % de 70 d) 0% de +,% de 7 e),% de 8,, % de,7 f) 0,% de +,% de,. Um loj está com um promoção de % de desconto em todos os seus produtos, qul será o vlor que pgremos se comprrmos um cmis mng long ( R$ 7,00), um clç socil ( R$,0) e dus sis long (R$ 7,00).. Os vendedores de um determind loj receem,% de comissão sore o totl de vends, qul o vlor que receerm os seguintes vendedores ) Adrin Totl de vends R$.00,00 ) Mnoel Totl de vends R$ 8.70,00 c) Pulo Totl de vends R$ 7.,00. O preço de um pr de sptos é R$ 8,00. Em um liquidção, ele é vendido com % de desconto. Qunto pssrá custr? 7. Após um umento de % no slário, um estgiário pssou receer R$,80. ) Qul er o seu slário ntigo? ) Qunto o estgiário pssri receer, se o umento fosse de 0%? 8. Um mercdori foi comprd por R$ 0,00 e vendid por R$ 80,00. Determinr t de lucro sore o preço de compr e t de lucro sore o preço de vend.. Um comercinte remrcou em % o preço de sus mercdoris. Qul e o novo preço de um mercdori que er vendid por R$ 7,0? 0. Um funcionário recee um slário se de R$ 80,00. Recee tmém um dicionl por tempo de serviço de % sore o slário se. Alem disso, est respondendo pel chefi d seção, receendo por isso 8% sore o slário se. O empregdor descont 8,% sore seu slário totl pr contriuição previdenciári. Qunto recee esse funcionário?. Um pesso recee R$.00,00 de slário d empres em que trlh. Recee tmém R$ 700,00 do luguel de um prtmento, lem de R$ 800,00 de um plicção em CDB. Qul e prticipção percentul de cd fonte em seu slário totl?. Grito ) ) ;, ). ;88, 7 c) 0. ;, 0 8 d) 8 ; 0,.00 8 e) ;0, 0 f) ;, g)- h) ;0, i),87 j)0,708 k).00 ;, l) 0. ;,.00 ) ) ) c), d)- e) f)8 g)8 h)000 i)0, j)0, k)0, l) m),78 n) o) p),0 q)0,00 r)0, s) t),07 u)0 v)0, w)0, )8 ) ) ),0 ).00 c)0 d), e)0,880 f),8 ) R$ 07,8 ) ).7,0 ), c).77,7 ) R$0,80 7) )R$ 80,00 )$7,00 8) T de juros sore o preço d compr = 0%, T de lucro sore o preço d vend = 7,% ) R$ 78, 0) R$ 878,8 ) 0%,,%,,7% 8
9 Apostil 0. Biliogrfi SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo: Átic, 00. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS. Vlor numérico de epressões lgérics Pr =-. Clcule o vlor d seguinte epressão lgéric: Re solução : Pr =. Clcule o vlor d seguinte epressão lgéric: Re solução :. Epressões Algérics São epressões mtemátics composts por números, letrs e operções lgérics. Epressões lgérics Monômio Binômio Trinômio Eemplos Adição e Sutrção de monômios Atenção: Só é possível somr ou sutrir monômios que possuem etmente mesm prte literl. Polinômio. Operções com epressões lgérics Adição e sutrção Multiplicção e divisão z z
10 Apostil 0 Produtos notáveis Ftorção É epressão mtemátic escrit n form de um multiplicção. 0 Simplificção. Resolução de prolems. Clcule o vlor de pr s epressões io: ) ; ) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 0 ;. Efetue: ) c c ) c) 0 0 d) e) 7c f) g) h) 8 i). Desenvolv os produtos indicdos: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) c c o) p)
11 Apostil. Ftore: ) ) c) e) i) d) f) 0 g) 7 z h) j) k) l). Simplifique: ) e) ) f) c) g) 7 d) h). Grito. ) = 0 ) = c) d) 7 e) f) 8 g) 8 h) 7 i) = 0.) ++c )- + + c) + d) i) e) c f) g) ++ h).) ) 0 c) d) e) f) 0 g) h) i) 8 j) 8 8 k) l) m) n) c o) p).) )(+) c)(=+) d) ( -) e) f)(0-) g)7(+z) h) ( )( ) i)( + )( + )( ) j)( )(+) k)( + )( ) l)-.) ) + c) + d)- e)+ f)- g) 7 h). Biliogrfi SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo: Átic, 00.
12 Apostil EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO º GRAU 7. Equções do º gru Eemplos: 0 8. Inequções do º gru Eemplos: Eemplos de plicções ) Um pgmento foi crescido de 0% de seu vlor, resultndo em um totl ser pgo de R$ 00,00. Qul o vlor d dívid originl? dívid originl: vlor de créscimo: 0% de ou 0, dívid originl somd o vlor de créscimo: + 0, = 00 Resolvendo equção: + 0, = 00, = 00 Respost: O vlor d dívid originl er de R$ 00, , ) Um pesso si de cs com R$ 00,00 e pretende dquirir por R$0,00 um pssgem de id e volt pr um lneário, credit que gstrá mis R$,00 por di com outrs despess no locl. Qunto tempo ele pode ficr hospeddo nesse lneário, se reservr R$ 0,00 pr um emergênci qulquer?
13 Apostil Número de dis que ess pesso poderá ficr hospeddo no lneário: Vlor máimo que pesso possui: R$ 00,00 Pssgem + despess diáris: 0 + Reserv: 0 Totl: = 00 + Portnto temos seguinte inequção: Respost: A pesso poderá hospedr-se no lneário no máimo dis. 0. Resolução de prolems 7. Resolver s seguintes equções: ) = ) - = 8 c) = -7 d) e) 7 f) 8 i) j) 8. Resolver s seguintes inequções: 0, g) 0,, 0 k) h) l) 0 ) 0 ) 0 00 c) 8 d) e) f) i) g) 0, 0, h) 0. Um produto teve seu preço umentdo em 0% pr pgmento przo, resultndo um totl de R$00,00. Qul er o preço vist do produto? 0. Dus pessos têm juntdo R$,00. Qunto possui cd um dels, sendo-se que um possui o doro d outr?. Um produto é nuncido em um loj com pgmento em dus vezes sem juros, ou vist com desconto de 0%. Se um pesso pgou vist R$ 00,00 pelo produto, qul o vlor ds prestções pr compr przo?. Um pesso fez um cordo com um dministrdor pr pgr o sldo de seu crtão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pgmento corresponde à metde d dívid e o segundo pgmento, R$00,00. Qul o vlor d dívid, se o último pgmento er de 0% d dívid originl?. A relção entre o preço de vend e quntidde vendid de um produto é dd pel equção q = 00-p. Determinr os vlores de p pr os quis quntidde vendid é de no mínimo 0 uniddes.. Um pesso economizou R$ 00,00 pr pgr prestções de dois crnês em trso. O primeiro crnê tem prestções fis de R$ 0,00 e o segundo tem prestções fis de R$ 80,00. Qul o número máimo de prestções que ele poderá pgr do segundo crnê, se for origdo quitr pelo menos dus prestções do primeiro crnê?. No prolem nterior, se o primeiro crnê tem pens qutro prestções pgr, qul o número mínimo e máimo de prestções que ele pode pgr no segundo crnê?
14 Apostil. Grito ) ) = ) = - c) i) = j) 0 7 d) 8 k) = l) = ) ) ) 0 c) d) e) f) ) R$ 00,00 ) R$,00 e R$ 0,00 ) R$ 0,00 cd um ) R$.000,00 7) p 0 8) Resp. ) No mínimo dus e no máimo três prestções.. Biliogrfi e) f) = g) = - h) = -7 g) h) i) SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo: Átic, 00.
15 Apostil EQUAÇÕES DO º GRAU. Equções do º gru A equção dmite rízes reis e diferentes A equção dmite rízes reis e iguis A equção não dmite rízes reis Eemplos: A equção não tem rízes reis. Eemplo de plicção Dois números presentm som 0 e produto. Quis são esses números? Solução: Dois números: e som: + = 0 produto:. = + = 0 = 0. =. (0 ) =. (0 ) = = 0 ( equção do º gru)
16 Apostil Respost: os números são 7 e. Resolução de prolems. Resolver s seguintes equções: ) 0 ) c) 0 d) 0 0 e) 0 f) 0 g) 0 h) i) 0 j) k) l) 0 m) n) 0 o) 0 p) q) r) 8 s) t) 7. Determinr dois números positivos com som e produto. 8. Determinr s dimensões de um retângulo com áre de 80m, sendo-se que um ldo tem m mis que o outro.. A rzão entre dois números é e seu produto é. Quis são esses números?. Grito. ) ) c) d) e) f) g) h) Não possui solução rel i) Não possui solução rel j) k) l) Não possui solução rel o) p) q) r) s) t) m) n). e. 8m e 0m. e ou - e - 7. Biliogrfi SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo: Átic, 00. REYNOLDS, H., Mtemátic Aplicd Administrção, Economi e Ciêncis Sociis e Biológics. 7ª Edição. São Pulo: McGrowHill, 00
17 Apostil FUNÇÃO DO º GRAU 8. Definição e eemplos (Revisão) Função é um relção entre dois conjuntos A e B definid por um lei de formção f (ou regr), onde cd elemento de A está relciondo com pens um elemento de B. Função f: A B Digrm de flechs A B O conjunto A é o conjunto de prtid e o conjunto B é o de chegd Domínio é o conjunto de prtid (A) Contrdomínio é o conjunto de chegd (B) Conjunto imgem é um suconjunto do contrdomínio, composto pelos elementos que possuem um relção com os elementos de A. Digrm crtesino ( eio ds ordends ou eio verticl) P = (,) Produto crtesino (A B) Se tiver dois conjuntos não vzios A e B, chmmos de produto crtesino de A por B o conjunto de todos os pres ordendos de modo que pertenç o conjunto A e o conjunto B. A B = {(;) A e B} O produto crtesino pode ser representdo por digrm de flechs ou por digrm crtesino origem ( eio ds scisss ou eio horizontl) Eemplos:. Ddo os conjuntos A = {; ; ;} e B = {0;;;;8;0 }, onde relção de f: A B é definid pel função f() =, com. (que tmém pode ser representd por =) Pr ordendo (,) (,) (,) (,) (,8) Domínio: D(f) = {; ; ;} Contrdomínio: C(f) = {0;;;;8;0 } Imgem: Im(f) = {;;;8} A B
18 Apostil. Ddo os conjuntos A = {0;; ; ;;} e B = {;;;7;;}, onde relção de f: A B é definid pel função f() = +, com. ( que tmém pode ser representd por =+) Pr ordendo (,) (0,) (,) (,) (,7) (,) (,) Domínio: D(f) = {0;; ; ;;} Contrdomínio: C(f) = {;;;7;;} Imgem: Im(f) = {;;;7;;} A 0 B 7 0. Ddo os conjuntos A = {; ; 7} e B = {;;;7;;}, onde relção de f: A B é definid pel função f() = +, com. (que tmém pode ser representd por = +) Pr ordendo (,) (,) (,) (,) Domínio: D(f) = {;;7} Contrdomínio: C(f) = {;;;7;;} Imgem: Im(f) = {;;}\ A 7 B
19 Apostil. Função do º gru (função liner ou fim) Denomin-se função do o gru tod função. O gráfico d função do º gru é um ret. definid pel regr Eemplo : Função crescente ( > 0) qundo mior o vlor de mior será o vlor de o psso: clculr o vlor de pr =0 o psso: clculr o vlor de pr =0 (Riz ou Zero d função) p o psso: inserir os dois pontos no digrm crtesino e trçr um ret que psse por eles Atenção!!! - O gráfico d função intercept o eio horizontl no - e o eio verticl no - A função é crescente pois =>0 Eemplo : Função decrescente ( < 0) - qundo mior o vlor de menor será o vlor de o psso: clculr o vlor de pr =0 o psso: clculr o vlor de pr =0 (Riz ou Zero d função) o psso: inserir os dois pontos no digrm crtesino e trçr um ret que psse por eles Atenção!!! - O gráfico d função intercept o eio horizontl no número e o eio verticl no número. - A função é decrescente, pois = - < 0
20 Apostil Eemplo : Função constnte ( = 0) pr qulquer vlor de o vlor de será sempre o mesmo o psso: clculr o vlor de pr =0 o psso: clculr o vlor de pr = o psso: inserir os dois pontos no digrm crtesino e trçr um ret que psse por eles Atenção!!! - O gráfico d função não intercept o eio horizontl e o eio verticl no número. - A função é constnte, pois =0 Eemplo : Função especil ( = 0) o gráfico sempre pss pel origem (0,0) o psso: clculr o vlor de pr =0 o psso: clculr o vlor de pr = o psso: inserir os dois pontos no digrm crtesino e trçr um ret que psse por eles Atenção!!! - O gráfico d função intercept tnto o eio horizontl e o eio verticl no 0, ou sej, pss pel origem (0,0) 0
21 Apostil 0. Resolução de prolems 0. Representr grficmente s funções, determinr se função é crescente, decrescente ou constnte: ), pr,,,,,,,7,8,,0 ), pr, 0 c), pr, d) 0, pr, 0 e), R f), R. Determinr o ponto de intersecção ds rets e representr num mesmo sistem de coordends: ) ) c) d). Biliogrfi SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo:Átic,
22 Apostil FUNÇÃO DO º GRAU. Função do º gru (ou qudrátic) Denomin-se função do o gru tod função. definid pel regr O gráfico de um função qudrátic é um curv denomind práol. Gráfico d função qudrátic o psso: nálise do coeficiente Se >0, o gráfico é um práol com concvidde voltd pr cim. Se <0, o gráfico é um práol com concvidde voltd pr io. o psso: Clculr os zeros ou rízes d função A função dmite rízes reis e diferentes A função dmite rízes reis e iguis A função não dmite rízes reis A práol intercept o eio horizontl (eio ) em dois pontos diferentes ( e ) A práol intercept o eio horizontl (eio ) em um único ponto ( = ) A práol NUNCA intercept o eio horizontl (eio )
23 Apostil o psso: Clculr o vértice d práol v V v, o psso: Clculr o ponto que intercept o eio verticl (eio ), pr isso clcule o vlor de pr =0: Eemplo : Construir o gráfico d função o psso: nálise do coeficiente Como, o gráfico é um práol com concvidde voltd pr cim. o psso: Clculr os zeros ou rízes d função A função dmite rízes reis e diferentes A práol intercept o eio horizontl (eio ) em dois pontos diferentes (- e ) o psso: Clculr o vértice d práol v V, v ( ) v v.. V, o psso: Clculr o ponto que intercept o eio verticl (eio ), pr isso clcule o vlor de pr =0:
24 Apostil o psso: Colocr todos os pontos no digrm crtesino e trçr o gráfico: Eemplo : Construir o gráfico d função o psso: nálise do coeficiente Como, o gráfico é um práol com concvidde voltd pr io. o psso: Clculr os zeros ou rízes d função A função dmite rízes reis e iguis A práol intercept o eio horizontl (eio ) no ponto. A práol intercept o eio horizontl (eio ) no ponto.
25 Apostil o psso: Clculr o vértice d práol v V, v v.( ) 0 0 v 0.( ) V,0 o psso: Clculr o ponto que intercept o eio verticl (eio ), pr isso clcule o vlor de pr =0: o psso: Colocr todos os pontos no digrm crtesino e trçr o gráfico:. Resolução de prolems Constru representção gráfic ds seguintes funções qudrátics: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)
26 Apostil. Biliogrfi SILVA, S. M., Mtemátic: pr os cursos de economi, dministrção, ciêncis contáeis. Vol. São Pulo: Atls,. SILVA, S. M., pr Cursos Superiores. São Pulo: Atls, 00. IEZZI, G., DOLCE, O., Mtemátic Ciênci e Aplicção. ª Edição. São Pulo: Atul, 00. DANTE, L. R., Mtemátic. ª Edição. São Pulo: Átic, Sugestões Pr os lunos que necessitm de um softwre didático pr visulizr os gráficos sugeridos como eercícios de fição recomend-se o softwre Grph que pode ser ido grtuitmente no site O mteril qui eposto tem unicmente função de oferecer elementos ásicos d mtemátic elementr pr dr suporte às uls ministrds, não dispensndo o luno totlmente de uscr leitur complementr nos livros sugeridos pel iliogrfi propost pelo professor em sl de ul.
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