EXERCÍCIOS DE CÁLCULO

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1 Trcisio Prcio Pereir PhD i Mthemtics Exercícios de Cálculo. EXERCÍCIOS DE CÁLCULO Trcisio Prcio-Pereir Dep. de Mtemátic - Uiv. Estdul Vle do Acrú versão 2 Edição eletrôic

2 Copyleft Trcisio Prcio Pereir Este livro pode ser livremete copido pr uso idividul ou ão comercil, desde que o sej em todo, de cp cp, e que est descrição do copyleft sej tmbém mtid. Não fzer ssim represet um crime cotr os direitos do utor. Pr distribuir comercilmete o livro o utor deve ser cotctdo, o edereço Sumário P496c Pereir, Trcisio Prcio Exercícios de Cálculo Sobrl: UVA, p Bibliogrfi ISBN: Cálculo Diferecil e Itegrl Derivds 3 - Itegrl Volumes. I. Título CDD 57.3 I Geometri lític e úmeros x Rets, círculos e prábols.. Gráficos de curvs o plo As fuções Médi ritmétic poderd Ledo iformção obtid Áre sob um curv - itegrl Rets, coeficiete gulr e derivd O coeficiete gulr - derivd Equção do círculo Prábols As côics A hipérbole Elipse A equção d elipse estrutur dos úmeros Números turis, iteiros e estrutur No começo erm os úmeros turis Depois vierm os úmeros iteiros reltivos Estrutur álgebric do relógio O el dos iteiros Números rciois Números reis Sucessões de úmeros rciois Sucessões - exemplos e defiições A itegrl o setido de Riem Limite Limite e comportmeto ssitótico O limite zero Sucessões gerds por soms de Riem Amostrgem esttístic com soms de Riem Um progrm pr executr os testes com soms de Riem iii

3 2.9 Números reis II Derivção e Itegrção uivrids 98 3 Cálculo Numérico d Itegrl A itegrl de Riem Itegrção geométric Soms de Riem Cálculo umérico d itegrl Cálculo de lgums itegris Fuções defiids por um itegrl Primitivs Costrução gráfic de primitivs A fução logritmo Vlor médio Fucão cotíu Cotiuidde e derivd A cotiuidde Exemplos de descotiuidde Motivção pr o estudo de limites Comportmeto ssitótico Sucessões divergetes O teste de Cuchy O freio itero Proprieddes do limite O operdor limite Sucessões, limites e idução fiit Teorems sobre cotiuidde Derivds descotíus Cotiuidde e descotiuidde Operções ritmétics e cotiuidde Sucessão dos quociete de difereçs Derivd e cotiuidde Teorem do Vlor itermediário Fuções cotíus e o limite Cálculo d derivd Coeficiete gulr de rets Coeficiete gulr de prábols Coeficiete gulr isttâeo de outros poliômios Regrs de derivção Cálculo d derivd e d itegrl Técics de derivção Aálise do gráfico de um fução Cálculo de derivds e gráficos de fuções Números complexos e trigoometri Derivd ds fuções trigoométrics A derivd de fuções rciois Diferecil A derivção implícit Ret tgete, plo tgete Diferecil Fuções defiids vi itegrl O vlor médio itegrl Fuções defiids vi Itegrl A fução logritmo turl A fmíli ds fuções logrítmics A fução expoecil Poliômio de Tylor Técics de itegrção O teorem fudmetl do Cálculo A regr d cdei o cálculo itegrl Itegrção por prtes Frções rciois Miscelâe de exercícios de itegrção O teorem fudmetl do Cálculo - primeir versão Cálculo de áres Desigulddes Desigulddes Problems geométricos Iterpretção geométric d derivd Comprimeto de rco rco de um curv Diferecil Itegris elíptics Volume de sólidos de revolução A regr de l Hôpitl Bibliogrfi

4 2. Como um pquímetro, defiição de limite determi oscilção ceitável de um sucessão List de Figurs. O gráfico de um fuco o itervlo [ 6, 6] Número crros por miuto, um poto dum rodovi A divisão de um segmeto um rzão dd Velocidde cotr o tempo, gráfico d velocidde Áre ul, áre álgebric A itegrl correspode à áre dos dois triâgulos Fução escd e Fução Lier Fuco escd ssocid um fução ão lier A rzão fix etre x e y Dus forms d equção ret. A ret ão é prlel o OY Um fução com tgetes em ( 6.5, f( 6.5)) e em ( 4.7, f( 4.7)) Um pedr em rotção que si pel tgete y = m(x ) + b ; m = 2 ; P = (2,3). Com o gráfico d primeir bissetriz pr comprr y = m(x ) + b ; m = ; P = (2,3) Diverss rets com distitos coeficietes gulres, pssdo tods origem Distâci etre dois potos, d(p, Q) Círculo de cetro (, b) e rior r Círculo e elipse Est prábol ão cort OX Est prábol tem rizes reis Est prábol ão cort OY Est prábol cort OY Círculo ou elipse Prábol, seção côic Hipérbole Gráficos de hipérboles Elipses são deformções de círculos Círculo ou elipse Tipos de côics sobre s regiões ou rets Som de Riem pr fução y =.5se(6x) + 9 x 2 com psso de itegrco Gráficos dos retâgulos d som de Riem pr x 2 + 2x + com psso Gráfico d fução y = se(x) Gráfico d fução y = cos(x) Gráfico de um poliômio do primeiro gru Gráfico de um fução do segudo gru Gráfico de um fução do terceiro gru Gráfico de f(x) = x ; x > Gráfico d fução logritmo turl Fução crcterístic de (, b) Sucessões covergetes pr zero e pr sucessão limitd e divergete sucessão divergete A som de quisquer dois ldos de um triâgulo é mior do que o terceiro A derivd de f é descotíu origem: f () ão existe A velocidde é um fução cotíu, com piques s mudçs de mrch O gráfico d derivd de d, (celerção), o cso do motorist brbeiro Quociete de difereçs f com x {, } e f(x) = x3 3x 2 x Quociete de difereçs f com x {, } e f(x) = xse(x) Quociete de difereçs f com x {, } e f(x) = x Sucessões covergido pr zero Supremo e Ifimo de um sub-cojuto d ret; O máximo, qui, coïcide com o supremo Há um triâgulo retâgulo de ldos x, y cuj hipoteus está sobre um secte Sucessão de sectes se proximdo de um tgete Grfico de f e de su tgete o poto (4, f(4)) Curv de ível Um poligol que lig potos o gráfico de f Fzedo o gráfico de f rodr em volt do eixo OX, se tem um sólido de revolução Gráfico de um fução e de su tgete o poto (, f()) vi

5 Itrodução. Este livro se compõe de dus prtes. A primeir é um espécie de psseio turístico sobre os ssutos do Cálculo, derivd e itegrl juto com um revisão d Geometri Alíticidispesável pr desevolver o Cálculo e este psseio turístico visitmos os úmeros. Como todo psseio turístico, este é superficil e recohecemos isto um defeito que id ão sbemos como resolver pesr de os termos dedicdo durte mis de 5 um busc de como fzer isto reuido seriedde do trtmeto com um precupção pedgógic. O que os cosol é que começmos est tettiv qudo tmbém Améric lgus grupos iicivm o que hoje se chm de reform do Cálculo tedo lí se produzido um cism sigifictivo etre os que buscm solução pedgógic e os que preferem cotiur trilhdo o cmiho de sempre. N bibliogrfi você pode ecotrr s pegds do osso cmihr, ver [2], qudo começmos. N segud prte desevolvemos primeiro itegrl e depois derivd, est ordem, pr filmete jutrmos s dus um terceiro cpítulo. Est segud prte tem mis dois cpítulos de problems geéricos: desigulddes e problems geométricos, que são um vle-tudo usdo derivd e itegrção. Este é um livro de exercícios que espermos que sirv dois propósitos. Ao luo que deseje profudr os seus cohecimetos ou estudr soziho, o professor que queir se ispirr em osss tettivs pr crescetr poio computciol às sus uls. O crítico ferio dirá que o livro é cótico, e tem rzão. Ms é que recohecemos pouco o método xiomático e presetção cbd e bem tlhd como um método pedgógico. O predizdo tem muito de cótico e ão vemos porque deixrimos de usr itegrl como um método gerdor de sucessões qudo estivermos fldo de úmeros e de sucessões. Ao mesmo tempo, exposição do luo os coceitos de itegrl, como áre lgébric sob um curv, ou coeficiete gulr isttâeo desde os primeiros mometos, tem ecessrimete que coduzir o luo desmistificr estes coceitos que ele pode domir geométricmete desde o começo. Eu ão defederi o cos como método, e fico berto pr queles que quiserem se jutr mim est empreitd pr produzir um trblho mis rrumdo. Este livro tem os exercícios seu objetivo. Ele é formdo de lists de exercícios etremeds de cometários teóricos. A solução dests lists está plejd pr sir em um segudo volume. Detro dos cpítulos há seções de modo distribuir os exercícios por ssuto. Há pequeos textos teóricos fzedo itrodução de cd cpítulo e té mesmo ds seções. Os cometários, o texto teórico, são de oss cosiderção um mteril importte do livro, ms em sempre o mis fácil porque é resumido e supõe que o estudte já teh estuddo Cálculo e estej pes completdo su hbilidde com exercícios de revisão e profudmeto. Sugiro que o leitor iicilmete dê meos importâci à teori, e se cocetre os exercícios. Tlvez o leitor dev ler teori ordem em que el preç, ms sem lhe dr muit importâci, um primeir leitur. Pr lhe permitir um busc mis curd de iformções, o livro tem um ídice remissivo lfbético, o fil, em que se pretede que todos os coceitos se ecotrm idexdos de form permitir um fácil retoro eles qudo chr ecessário. Os exercícios form escritos pr serem feitos com uxílio de um teori míim. A própri teori deve surgir dos exercícios. Isto ão implic um sugestão de despreso pel teori, el há dics de como se profudr solução dos exercícios. Em sum, quse todos os exercícios podem ser resolvidos em mis de um ível, e você deve resolvê-los o ível que puder, e depois tetr profudr solução. Uso um coveção tipográfic o livro, Texto em itálico, represet mteril que você deve olhr com cuiddo, possivelmete ão está defiido id e estou usdo cocepção ituitiv do termo. Com frequêci, o usr termos em itálico eles podem precer posteriormete o texto defiidos, este cso procure o ídice remissivo lfbético um ocorrêci do termo mis frete o livro. Com texto tipográfico, estou fzedo referêci um termo técico, já defiido teriormete ou cosiderdo bem cohecido como tl. Ao usr letr peque estou lhe queredo dizer que o ssuto é polêmico, que há muito mis cois pr ser dito do que estou coseguido dizer quele mometo. Uso texto sublihdo pr chmr su teção de um detlhe que poderi pssr despercebido, tem o mesmo setido texto em egrito. Chmo em prticulr su teção pr os textos etiquetdos com plvr observção, quse todos estão escritos com letr peque e portto se clssificm, como cim, em ssuto icompleto, que deve ser discutido com mis cuiddo. São um form de brirmos um discussão sobre um tópico que se ecotr o mometo certo de discutir ms cujo desevolvimeto quebrri uidde do texto. Lei s observções pr se iteirr do seu coteúdo sem quebrr o vço do seu trblho e volte els qudo se setir motivdo. Detro do texto existe um ou mis plvrs-chve, listds o ídice remissivo, o fil pr lhe permitir um retoro cômodo o ssuto. Em prticulr fç uso do ídice remissivo qudo quiser procurr um ssuto de iteresse específico. Costruimos este ídice com cuiddo pr tetr listr o mior úmero possível de tópicos, cotidos o livro, trvés de sus plvrs-chve. Um uso importte do ídice remissivo cosiste loclizção d defiição dos termos cotidos o livro. Ites importtes este livro são os progrms de computdor, você os pode coseguir com o utor do livro, vi iteret, trcisioe-mth.ms.org. Possivelmete juto com o livro, o mesmo diretório, você ecotr o rquivo progrm.tgz cotedo todos os progrms usdos o livro. Este livro é distribuido sob liceç do tipo copyleft, estáregistrdo juto à Bibliotec Nciol. Com o copyleft, você tem o direito de fzer cópis do livro e distribuí-lo desde que ão sej pr ter ghos com est distribuição. É iteirmete legl tirr cópis pr todos os luos de um turm ou pr uso pessol, desde que isto sej feito de cp cp e que sej cobrdo pes o custo d cópi. Eu ficri muito grto se iformdo de cópis feits deste livro e do seu uso. Sugestões pr próxims edições são bemvids. Sobrl, 3 de jeiro de 25 Trcisio Prcio-Pereir

6 Cpítulo Rets, círculos e prábols. Prte I Geometri lític e úmeros. Gráficos de curvs o plo.2 As fuções As fuções são um geerlizção dos úmeros: fzemos s qutro operções com fuções, ms sobretudo, fremos dus ovs operções com els: itegrção e diferecição. Ests dus operções são o objetivo do Cálculo. Não lhe iremos esir o que é fução, se você estiver estuddo Cálculo é porque já sbe o que els são, o que fremos é lhe flr dels com outro efoque preprdo-o pr s dus operções ovs que ocuprão segud prte do livro. Nós queremos eteder s fuções como gráficos que evetulmete têm um equção lgébric ms ão precis ecessrimete ser ssim. No gráfico (fig..) você tem um fução rbitrári, y = f(x). Se trt de um fução f : [ 6,6] R que, portto, ssoci cd poto do domíio, um úmero rel. Tis fuções servem pr ssocir qutiddes potos do itervlo. Cálculo é discipli que tem por objeto fuções que devem ser lisds bsicmete por dois métodos: derivd; itegrl; pr, dest form, tirr dels diverss iformções. Este é o ssuto deste livro. x

7 crros/miuto 9 8 Fluxo de crros por miuto dt grfico de y = m(x-) + b - primeir bissetriz - comprr 2 dt hor Figur.: O gráfico de um fuco o itervlo [ 6, 6]. Figur.2: Número crros por miuto, um poto dum rodovi..2. Médi ritmétic poderd Neste exemplo temos um fução que ão tem um equção lgébric e veremos como podemos crir modelos que são proximções de fuções. Exemplo: Resultdos de um sesor... Supoh que o sistemde egehri de tráfico teh colocdo, em um poto de um rodovi, umsesor pr cotr o úmero de crros que por lípsssse cd miuto. A cotgem foi estrtificd pr lgus mometos do di resultdo seguite tbel de ddos hor\qut Ms pr presetr os ddos o público, o diretor do serviço fez um iterpolção lier dos ddos express o gráfico (fig.,.2) pági 3. Est fução ssume os vlores x V(x) 9 9 Iterpolção lier sigific um poligol que ue os potos que represetm os vlores cohecidos ou os ddos colhidos. Com iterpolção tribuimos vlores os potos itermediários, ode o feômeo ão foi medido, médi ritmétic, quer dizer que V (6) é médi etre os vlores V (5) = ; V (8) = 9 (.) 6 [5,8] = V (6) [,9] (.2) V (5), V (8). subordid os pesos s = 3, t = 2 3, vej figur (fig..3). N Geometri Alític predemos dividir um segmeto um rzão dd, e qui vemos o uso dest divisão. Queremos ecotrr dois pesos tl que o poto s, t s(5, V (5)) + t(8, V (8)) se ecotre sobre o segmeto de ret determido pelos potos (5, V (5)),(8, V (8)) A geometri pl os coduz à solução, temos que obter triâgulos semelhtes, vej figur (fig..3) pági 4, e queremos que um dos triâgulos sej determido pelos potos 5,6,(6, V (6)) (5, V (5)),(8, V (8))

8 de modo que (6, V (6)) fique sobre ret que ue os potos (5, V (5)),(8, V (8)) porque desejmos fzer um iterpolção lier dos ddos. Figur.3: A divisão de um segmeto um rzão dd O sistem de equções que temos de resolver prece (fig..3). Os mesmos pesos que vão dividir hipoteus, tmbém dividem o cteto horizotl do triâgulo mior figur. Pr fzer cot com o triâgulo, tirmos primeiro ltur trsformdo o trpésio um triâgulo, e fzemos s cots com o triâgulo o chão. Depois crescetmos bse pr retorr o trpésio e clculr V (6): = 8 3 (.3) V (6) = (.4) V (6) = (.5) V (6) = = (.6) Colocmos o triâgulo o chão desecessárimete. A proproção tmbém vle pr o trpésio: = = (.7) = 3 = = (.8) = (.9) porque bse comum do trpésio ão destrói proporção. Observção: Médi e estimtiv No exemplo cim flmos de iterpolção lier de ddos. A iterpolção lier é um método simplificdo pr estimr ddos etre dois vlores que form relmete coletdos. É um estimtiv rzoável porque é um médi e ós dmitimos que s médis são um bo represetção d relidde prtir dos ddos que cohecemos. Há outrs forms mis sofisticds, e preciss, de iterpolção, ms médi ritmétic poderd é um bom começo. Com iterpolção lier temos V (6) = crros por miuto. Isto pode precer 3 irrel, ão poderim pssr 36 crros e dois terços de crro em um miuto. Ms poderim ter pssdo, em médi, 36 crros e dois terços em um miuto o istte t = 6. Vej que se trt de um vlor médio, um estimtiv: No istte, 5, pssrm crros/m; o istte t = 8 pssrm 9 crros/m; o istte itermediário, t = 6, podemos clculr o fluxo de crros com um médi ritmétic poderd, : pesos: 2 3, 3 (.) V (6) = 2 3 V (5) + V (8) 3 (.) = 3 3 (.2) V (6) = 3 = (.3) como qutidde de crros por miuto. Os pesos form determido pel posição de 6, reltivmete 5 e 8. o istte t = 7 podemos clculr o fluxo de crros com um médi ritmétic poderd: pesos: 3, 2 3 (.4) V (7) = 3 V (5) + 2 V (8) 3 (.5) = 9 3 (.6) V (7) = 9 3 = (.7) como qutidde de crros por miuto. Novmete, os pesos form determido pel posição de 7, reltivmete 5 e 8. Observção: 2 Pesos, modelgem e os ftos. Cotrdição? Você pode coferir os vlores clculdos pr os pesos prtir do gráfico, (fig..3). A escolh dos pesos ão foi rbitrári, el foi cosequêci de um lei d geometri, semelhç de triâgulos. Ms podemos ir um pouco mis fudo est questão e tirr outrs coclusões. No cso de V (6), como 6 está mis próximo de 5 que de 8, o peso 2 foi tribuido 3 V (5) equto que o peso foi tribuido V (8). 3 Quer dizer que geometri os esi que o vlor V (5) é muito mis importte pr o cálculo de V (6) que o vlor V (8) que se ecotr mis loge. É porisso que Terr grvit em toro do Sol que é um estrel de 7 grdez, por estr mis perto, forç de grvidde do Sol termi sedo mis importte que forç de grvidde de um estrel de grdez. No cso de V (7), pels mesms rzões, os pesos form distribuidos o cotrário, um vez que 7 está mis próximo de 8. Experimete iverter os pesos o cálculo de V (6) e de V (7), fç um iterpolção lier com os vlores resulttes, pr que você se coveç de que solução que ós escolhemos é mis lógic.

9 .2.2 Ledo iformção obtid Podemos gor clculr qutidde de crros que pssrm, este itervlo de tempo, o poto em que se ecotr o sesor. Est qutidde vi ser express pel áre do trpésio que o gráfico preset. Novmete geometri os esido crir um modelgem pr turez. No itervlo [5,8] pssrm (cálculo d áre do trpésio): tempo 3h = 8m é bse do trpésio (.8) V (5)+V (8) 2 é ltur médi do trpésio (.9) V (5)+V (8) 2 = +9 2 = 5 crros por miuto (.2) áre lgébric=5 crros/miuto x 8 miutos = (.2) áre lgébric=5 crros/miuto x 8 miutos = (.22) áre lgébric=5 x 8 crros =9 crros (.23) Como foi um durção de três hors o tempo medido, temos que multiplicr est médi por 8 miutos, pr clculr qutos crros terim pssdo por este poto. Dest form, o gráfico reflete o que cotece os potos itermediários de um itervlo lisdo.. O djetivo lier, em iterpolção lier é usdo porque usmos um segmeto de ret pr defiir o que se pss etre os potos extremos, se fosse um curv logrítmic, se chmri iterpolção logrítmic, qudrtic, se usssemos um curv do segudo gru, etc... Exercícios: Fuções e gráficos. Clcule o volume de tráfego que pssou pelo sesor etre 6 e 7 hors prtir dos ddos coletdos o exemplo cim. 2. Um fução f ssume os seguites vlores {(,3),(3,5),(6,),(,)} Cosiderdo fução defiid o itervlo [,], e iterpoldo liermete os vlores ddos cim, fç o gráfico d fução o itervlo [,]. 3. Clcule proximdmete os vloresd fução f, defiid questão terior os potos: x {,2,7,9}. 4. Cosidere f(x) = x+3. Clcule os vloresf(), f(), f(2), f(3), f(4), f(5). Fç o gráfico de f o itervlo [,]. 5. Fç o gráfico de f(x) = x + 3 qudo x [ 5,5]. 6. Fç o gráfico de f(x) = x qudo x [ 5,5]. Qul seri o vlor médio de f este itervlo? 7. Como cosequêcisde lgumsmedids um pesquisdor ecotrouum cert mostr de bcilos os seguites ddos mm 3 qutidde 5 8 mm 3 qutidde Cosiderdo estes vlores de um fução f que forece qutidde de bcilos por milímetro cúbico, iterpole os vlores liermete e fç o gráfico d fução o itervlo [,2]..2.3 Áre sob um curv - itegrl. O exemplo cesor d qutidde crros que pssm por miuto os mostr que áre d região limitd pelo gráfico de um fução e o eixo OX tem um sigificdo importte. Este úmero registr qutidde do feômeo. Um símbolo represet est áre: 8 5 V (t) = 9 crros que se lê: itegrl de V desde 5 té 8. A itegrl é um dos métodos do cálculo que estudremos este livro. Defiição: Primeir defiição d itegrl Dd um fução defiid o itervlo [, b], cosidermos região limitd pelo grfico de f, o eixo OX, e s rets x =, x = b. Se est região tiverum áre, desigmos est áre, que é um úmero com o símbolo b é um áre lgébric o setido que pode ser positiv, egtiv ou mesmo ul. f Ao logo deste livro você irá preder clculr itegris de fuções cujo gráfico ão é feito de segmetos de ret, ms este primeiro cpítulo clculremos itegris pes este cso mis simples usdo s regrs pr clculr áre de trpésios. Aqui podemos ver que itegrl represet qutidde de um certo feômeo, qui qutidde de crros que trfegou pel rodovi etre dois mometos escolhidos. Um outro exemplo deve judá-lo compreedeer o que sigific qutidde do feômeo estuddo.

10 Figur.4: Velocidde cotr o tempo, gráfico d velocidde Exemplo: 2 Distâci percorrid Cosidere o gráfico figur (fig..4) pági 8, (fig.,.4) pági 8, que gor vmos iterpretr como Agor áre sigific: V (t) = velocidde o pototde um movel em Km/h A = h + H km/h + 9Km/h b = 3h = 5Km 2 2 A represet distâci percorrid, ovmete qutidde totl do feômeo. É est iterpretco usul de um itegrl, qudo vriável é o tempo: qutidde do feômeo etre dois mometos ddos. Alisdo o gráfico que descreve o movimeto de um veículo durte três hors, vemos que houve um imprevisto o cmiho qudo velocidde teve que cir pr km/h. Egrrfmeto? problems estrd? A álise, mesmo visul de um gráfico trsmite iformções que devem ser lisds em profudidde pr dels se tirr coclusões. Os métodos do Cálculo permitem est álise em profudidde. Observção: 3 Itegrl d fução tx-vrição Os dois exemplos de fução cujs itegris clculmos, erm fuções que medim tx de vrição Est relção etre tx de vrição e itegrl produz um ov fução que mede qutidde totl do feômeo. Figur.5: Áre ul, áre álgebric Vmos ver um outro exemplo em que um ovo fto se vi presetr. Vej (fig.,.5) pági 9. O gráfico d fução se compõe de dois trigulos. Num deles áre é egtiv, o outro áre é positiv. Exemplo: 3 Vmos verificr estes dois ftos: áre positiv e áre egtiv. As itegris que clculmos té gor represetm s áres sob os gráficos de fuções os csos em que estes gráficos são segmetos de rets. Áres de trâgulos ou trpésios. N figur (fig.,.5), o gráfico se compõe de dois triâgulos. Um triâgulo em que bse vi de 3 té, e ltur é.5 e: Áre: (bse) (ltur) 2 = 3 (.5) 2 outro cuj bse vi de té 6 e ltur é 3. Áre: (bse) (ltur) 2 = (6) 3 2 = 2.25 Quer dizer que qutidde do feômeo etre 3 e é egtig, e qutidde do feômeo etre e 6 é positiv. Portto qutidde totl do feômeo é = 6.75 = 9 Neste cso, qutidde totl sigific áre lgébric.

11 Exercícios: 2 Áre lgébric. Lei o gráfico (fig..4) velocidde do móvel o istte t = Verifique que há um poto t tl que t 3 V (t) = em que V (t) =.5 t é fução cujo gráfico se ecotr figur (fig.,.5). Clcule t. 3. Represete grficmete: 5 3x x x x 4. Clcule s itegris do item terior. 5. pêdulo Vmos descreverde form ituitiv o movimeto de um pêdulo. O exercício cosiste de comphr o texto bixo e coferir su iterpretção com álise do gráfico,(fig..6) pági. Ao fil lgums perguts vão verificr su compreesão do texto e do gráfico. O gráfico, (fig..6), represet curv de velocidde do pédulo, de velocidde cotr o tempo, como é dito os livros de Físic. O pêdulo é solto e iici um movimeto em qued livre o istte t, V (t ) =. Neste istte ele tem eergi potêcil máxim (lguém o crregou té ltur em que ele se ecotr). Su velocidde cresce, sob ção d grvidde, (perdedo eergi potecil e ghdo eergi ciétic, velocidde) té o istte t, V (t ) = M; O pêdulo tige ltur máxim ovmete o istte t 2, V (t 2 ) =, com eergi potecil máxim e eergi ciétic ul. No istte t 3 o pêdulo tigiu, ovmete, o poto mis bixo de su trjetóri. Tem eergi ciétic máxim V (t 3 ) = M e eergi potecil míim e começ subir ovmete, perdedo eergi ciétic e ghdo eergi potecil. No istte t 4 ele tige ovmete ltur máxim com máximo de eergi potecil e eergi ciétic zero V (t 4 ) =. Vmos supor que teh cotecido ssim, sob codições especiis, trito quse ulo o poto de poio e o pêdulo detro de um redom com r muito rrefeito, ltur fil é quse mesm que ltur iicil, qudo o pêdulo foi solto. Figur.6: No istte t 4, etretto, ele voltou o poto iicil (ou quse o poto iicil) logo o movimeto totl do pêdulo foi ulo. Cosequetemete s áres t 2 () etre t e t 2, V (t) t t 4 (b) etre t 3 e t 4, V (t) t 3 têm siis cotrários de modo que som dels sej ul. Quis ds seguites firmções são verddeirs: t 2 t 4 ) V (t) = V (t) t t 2 b) V (t) = V (t) t t 2 t 4 c) V (t) = t d) V (t ) = e) V (t ) = f) V (t 2 ) = g)v (t ) = h) V (t 4 ) = i) V (t 3 ) > j) V (t 3 ) < Algums ds áres clculds os exercícios cim são egtivs, outrs uls. Por isto dizemos que itegrl é um áre lgébric. Você id verá que s itegris podem represetr volumes e outros tipos de medid. t 2 t 4

12 V (t) = 9 (.27) 6 A áre totl será etão = 6.75 Vemos ssim que 6 V = V = Vimos este exemplo seguite propriedde que devemos demostrr posteriormete, (um exemplo pode ão provr d). Figur.7: A itegrl correspode à áre dos dois triâgulos. Vmos deduzir do próximo exemplo um propriedde ds itegris. Est propriedde terá que ser demostrd em lgum mometo posterior. Exemplo: 4 Um propriedde ds itegris. 3 Qul seri o vlor de V (t) em que V é fução cujo gráfico se ecotr 6 represetdo (fig.,.5)? Vej que gor estmos dizedo que bse vi de 6 té 3. quer dizer que ivertemos direção de percurso em que vmos clculr bse. Temos os mesmos dois triâgulos do exemplo terior. A difereç: bse gor é cosiderd em setido reverso. Vej o gráfico.7 pági 2. Um triâgulo em que bse vi de té 3, e ltur é.5 e: Áre: bse = 3 = 3 ; 3 (bse) x (ltur) = 2 V (t) = outro cuj bse vi de 6 té e ltur é 3. Áre: bse = 6 = 6 ; 3 x (.5) 2 = 2.25(.24) = 2.25 (.25) (bse) x (ltur) 2 = ( 6) x 3 2 = 9 (.26) b f = Ivertedo os limites de itegrção troc-se o sil d itegrl. Um outr propriedde se destc deste exemplo: Temos [ 3,6] : Podemos clculr f R e t [ 3,6]. t 3 V (t) 6 Podemos clculr V (t) t Podemos clculr e 6 3 V (t) = t V (t) 6 V (t) + V (t) t Quer dizer que quebrmos o cálculo d itegrl em dus usdo um poto itermediário t. Est propriedde fic ssim, em termos mis geris: Temos V : [, b] R com c [, b]. Podemos clculr Podemos clculr c b c V (t) V (t) b f.

13 e ou b c V (t) = V (t) = c b V (t) + V (t) + b c c b V (t) V (t) O mis iteresste é que o poto c d propriedde cim ão precis ficr detro do itervlo. Veremos o porque disto qudo formlizrmos defiição de itegrl. Estudmos áre delimitd pelo gráfico de um fução e o eixo OX. Clculmos itegrl de fuções lieres. Se soubessemos equção dquels fuções, prte do trblho poderi ter sido mis fácil. Vmos ver como seri isto. Em list futur fremos este trblho de form diferete. N próxim seção vmos estudr geometricmete outro coceito e su iterpretção forml, o coeficiete gulr isttâeo..3 Rets, coeficiete gulr e derivd Vmos estudr um tipo prticulr de fução cujo gráfico é um ret, um tipo prticulr de curv que tem coeficiete gulr costte. As fuções deste tipo têm um derivd simples e vmos usá-ls pr presetr este coceito, de form ituitiv, como fizemos com itegrl..3. O coeficiete gulr - derivd O coeficiete gulr isttâeo, derivd, é outro método de álise que o Cálculo Diferecil e Itegrl oferece pr possmos tirr iformções fis de um gráfico ou de um fução. D mesm form que itegrl, mis frete voltremos discutir derivd colocdo- um cotexto mis formlizdo. Neste mometo é su visão ituitiv que estmos presetdo. O Cálculo Diferecil e Itegrl se dedic álise de gráficos que represetem fuções e ests gurdm iformções que form colhids d relidde que os evolve. N costrução ds técics do Cálculo precismos usr fuções defiids lgébricmete porque com els podemos mis fcilmete discutir s proprieddes d itegrl e d derivd que posteriormete você irá plicr em fuções obtids prtir de ddos como é o cso dos gráficos (fig..2) ou (fig..4). Est é rzão d Geometri Alític, fmiliriá-lo com curvs defiids lgebricmete pr que depois você poss eteder, ou costruir outros tipos de curv pr modelr os feômeos com que estiver trblhdo. Agor vmos discutir s rets e sus equções, e o Uiverso iteiro ão existe um úic ret, ms discussão dels os coduz em ossos primeiros pssos compreeder s curvs que costituem o Uiverso. Rets são curvs que tem coeficiete gulr costte, e clro, porisso mesmo els ão existem, porque os coeficietes gulres mudm todo istte. Vmos mostrr que equção de um ret pode ser d form y = Ax + B, em que A é o coeficiete gulr, e que o gráfico de y = Ax + B é um ret. É preciso slietr que coeficiete gulr é um coceito reltivo. Sempre precismos de referêcis, e qudofixmos lgum referêcil (este Uiverso em reboliço...) podemos etão clculr distêcis, coeficietes gulres, velociddes, etc... Aos poucos você verá que est mobilidde tod pes perturb o iício. Observção: 4 Fução escd de fução ão lier As fuções-escd são proximções de um outr fução por pequeos sltos costtes. Aceite est visão ituitiv como um defiição. Você verá, depois, um defiição mis precis. Vmos comprr os dois gráficos (fig..8) e (fig..9) em busc d iformção que possmos tirr ssocid o coeficiete gulr. São dus curvs, um tem o coeficiete gulr costte, ret, e outr o coeficiete gulr vri todo istte, ão sedo um ret. Nos gráficos (fig..8), pági 6 e (fig..9), pági 7, você tem dois exemplos de fução-escd. Vej o que cotece qudo cosidermos fuco escd ssocid um fução ão lier (fig..9), pági 7. Os ptmres d escd, um cso, vrim de tmho (fução ão lier) e o outro cso os ptmres têm sempre os mesmo tmhos. A difereç etre s dus fuções-escd, (fig..9), pági 7, e (fig..8), pági 6 se explic pelo coeficiete gulr vriável de um fução que ão sej lier. Vmos os fixr gor fução lier fim. Supoh que o gráfico, (fig..8), equção sej y = g(x) = Ax + B A cd deslocmeto x correspode o mesmo créscimo y. Vmos clculr o vlor do créscimo. Observe figur (fig..) pági 8, em que um retâgulo desliz com um ds digois sobre um ret. Em qulquer poto em que o retâgulo se ecotre, rzão etre os ldos x e y é mesm. Os omes que estmos, x e y, usdo fzem prte do jrgão d Mtemátic e sigificm difereç (

14 Figur.8: Fução escd e Fução Lier. Mtemátic) ou deslocmeto ( Físic). No eixo OX sigific difereç equto que o eixo OY, y sigfic créscimo. Defiição: 2 Difereç e créscimo Dd um fução y = g(x) deomimos um vrição o domíio de x e desigmos y = g = g( + x) g() de créscimo de g o poto x =. Se clculrmos difereç y = g(x + x) g(x) = A(x + x) + B (Ax + B) = (.28) = Ax + A x + B Ax B = A x (.29) y tem o vlor costte igul A x. Se est relção for costte o gráfico de g é um ret. Se est relção ão for costte, o gráfico de g ão pode ser um ret. Pr s rets ão import ode o crescimo estej sedo clculdo, ele é obtido por relção costte com o difereç x. Pr s curvs ão rets o vlor do crescimo pode mudr de poto pr poto. Figur.9: Fuco escd ssocid um fução ão lier. Exercícios: 3. Cosidere g(x) = Ax + B. Verifique que se x = 3 y, etão A = Cosidere g(x) = Ax + B. Verifique que y = A x pr qulquer deslocmeto x. 3. Um ret qulquer ão prlel OY () Verifique, por semelhç de triâgulos, que pr qulquer ret que ão sej prlel o eixo OY relção etre y e x é d form y = A x, em que A é um costte típic d ret. (b) Idetifique est costte usdo um triâgulo retâgulo que teh hipoteus sobre ret e os ctetos prlelos os eixos. Observe que A é tgete de um dos âgulos deste triâgulo. 4. Escrev o texto do teorem que ós demostrmos o exercício terior. 5. Deduz que equção de um ret que ão sej prlel o eixo OY é d form y = Ax + B. 6. Cosidere o plo um ret que desigremos por horizotl e chmremos de eixo OX. Cosidere um ret perpediculr à ret horizotl, chme- de eixo OY. Oriete ests rets el mrcdo os úmeros reis cosiderdo o poto de iterseção etre els como sedo o zero comum mbs. Mrque o plo os pres de potos bixo e determie equção ds rets que eles determim:

15 Dem : Se tivermos dois potos (x, y ),(x, y ) determido um ret, bst prtirmos d proporção que é tese o teorem terior: y 2 y = y y y = = y x 2 x x x x x el substituido (x 2, y 2) por (x, y) pr obtermos: dode deduzimos q.e.d. y y = A = y y y = x x x x x y y = A(x x ) y = Ax Ax + y = g(x) = Ax + B Se y = g(x) for um ret o coeficiete gulr é costte, quer dizer que Figur.: A rzão fix etre x e y ) ( 3,2),(4, 3) b) ( 3, 2),(4, 3) c) (3,2),(4, 3) d)(3, 2),(4, 3). O teorem demostrdo um exercício cim é: Teorem: Um ivrite típico ds rets Em um ret qulquer, que ão sej prell o eixo OY, ddos tres potos quisquer (x, y ),(x, y ),(x 2, y 2 ) se tem: y 2 y x 2 x = y x = y y x x = y x est proporção, é o ivrite típico d ret chmdo coeficiete gulr. A recíproc doteorem demostrdo diz que tod ret tem por equção um do tipo y y = A(x x ) exceto um cso, qudo ret for prlel o eixo OY, gurde est exceção em su memóri pr discutirmos depois. Teorem: 2 Equção d ret Num ret qulquer, que ão sej prlel o eixo OY, um poto rbitrário (x, y) stisfz equção: y y = A(x x ) y y = Ax Ax y = Ax Ax + y y = Ax + B ; B = y Ax g(x + x) g(x) x = A. Est expressão vle pr qulquer x e pr qulquer k. Aqui vmos completr oss itrodução sobre s rets e sus equções. Discutimos equção d ret chegdo à coclusão de que Se um fução tiver por equção y = g(x) = Ax + B etão o seu gráfico é um ret com coeficiete gulr A, e, reciprocmete, f se um fução, [, b] : R tiver por gráfico um ret, etão equção dest ret é d form y = g(x) = Ax + B. O coeficiete gulr é um etidde geométric, como áre. O que difere um ret, de um curv qulquer, como o gráfico d fução (fig..), pági 2, é o coeficiete gulr. Defiição: 3 Ret Um ret é um curv que tem coeficiete gulr costte. Ms, podemos flr do coeficiete gulr de um curv como (fig..), pági 2? Vej respost sugerid os gráficos (fig..2), pági 2 e (fig..3) pági 22. Equção d ret O pr de teorem ucidos cim estbelecem que um ret tem por equção um expressão do primeiro gru. Isto ão é tod verdde, um vez que um exceção ficou estbelecid. Vmos rpidmete estbelecer tod verdde. Se um ret ão for prlel o eixo OY os dois teorems dizem tudo, e vmos pes chmr su teção pr o formto ds equções obtids: y y = A(x x ) é um form d equção que sliet que ret pss o poto (x, y ) e tem coeficiete gulr A.

16 A equção terior pode ser trsformd pr ssumir o specto y = Ax + B em que B = y Ax. Neste formto se põe em evidêci o coeficiete gulr A e o coeficiete lier B que é o poto em que ret cort OY. Vej figur (fig..) pági 2, o sigificdo dests dus equções. Figur.2: Um fução com tgetes em ( 6.5, f( 6.5)) e em ( 4.7, f( 4.7)). Figur.: Dus forms d equção ret. A ret ão é prlel o OY Se ret for prlel o eixo OY etão el cort o eixo OX em um poto x =. Est será equção d ret este cso. Mis frete, este cpítulo, voltremos discutir s ret juto com outrs curvs importtes pr o Cálculo. A figur (fig..2), pági 2, mostr o gráfico simultâeo de um fução f e de rets tgetes o gráfico de f os potos ( 6.5, f( 6.5)) e ( 4.7, f( 4.7)). Como já sbemos clculr o coeficiete gulr de um ret, podemos gor clculr o coeficiete gulr isttâeo de um curv um poto escolhido d mesm. Como fzer isto? O sigificdo de ret tgete represet síd pr est questão. Um exemplo bem cohecido os vi deixr isto mis clro: Exemplo: 5 A pedr e o cordão que se quebr. Cosidere umcordão podre com o qulvocê mrr um pedr ão muito pesd. Agor rode pedr pres o cordão e vá umetdo sucessivmete velocidde gulr. Como o cordão está podre, o ser tigid um cert velocidde, forç cetrífug (que horror! que os físicos ão os leim...), o cordão vi se romper e... pedr prte pel tgete. Ver figur.3 pági 22. Que lição podemos tirr dest experiêci? Váris, um delsque é perigoso usr cordões podres... Ms o que os iteress qui é o fto físico. Podemos dizer que pedr memorizou o coeficiete gulr isttâeo que o seumovimeto tih, o se quebrr o cordão, e seguiu seu cmiho o logo de um ret com este coeficiete gulr. Ms, devido à forç d grvidde, el optou seguir por um prábol e ão por um ret. Do exemplo se coclue que podemos clculr o coeficiete gulr isttâeo de um curv usdo ret tgete o poto desejdo. Vejmos um outro exemplo usdo o gráfico (fig..2), pági 2. Exemplo: 6 Fix de irrdição Supoh que curv grf(f) figur (fig..2), represete o cmiho percorrido por um chão de prtículs de lt itesidde eergétic e que o obturdor do chão se bre qudo t = 6.5 e se fech qudo t = 4.7. Qul é áre potecilmete irrdid pelo feixe de prtículs emitido pelo chão durte o tempo em que o obturdor estiver berto? A respost est pergut correspode um região delimitd pels dus semi-rets tgetes os potos ( 6.5, f( 6)),( 4.7, f( 4,7)). Experimete hchurir est região o deseho.

17 2. Trce os gráficos ds equções: f (x) = 3x + f 2 f(x) = 2x + f 3 (x) = x + f 4 (x) = 3x + f 5 (x) = 2x + f 6 f(x) = x + 3. Desehe ret com coeficiete gulr m 4. Clcule 5. Clcule f (s) com f (s) = 3s + f (s) com f (s) = 3s + m { 2,,,,2}. Figur.3: Um pedr em rotção que si pel tgete. Podemos torr o problem id mis iteresste se crescetrmos mis hipóteses. Por exemplo, icluido o rio de periculosidde de ção do feixe de prtículs. Isto correspoderi trçr círculos, cetrdos os potos de tgêci determido s regiões tigids pel emissão com itesidde de um percetul determido. Este exemplo mostr, de um ldo, limitção d álise que um mtemático pode fzer soziho, sem o poio de um especilist em irrdições. Por outro ldo mostr tmbém importâci do trblho iterdisciplir solução de problems. O coeficiete gulr isttâeo é derivd d curv o poto em que ele for clculdo (ou medido). Quer dizer que o coeficiete gulrd ret tgete é derivd d fução tgecid o poto de tgêci. Neste mometo somete sbemos clculr s derivds ds rets que é extmete o coeficiete gulr ivrite que els têm. A derivd é o outro método do Cálculo que estudremos qui este livro. Exercícios: 4 Gráficos e itegris.. N descrição que fizemos cim d região irrdid por um chão de prtículs, vej (fig..2), tem um erro ( figur e descrição). A região irrdid ão est extmete delimitd pels semi-rets tgetes. Corrij o erro descrição idique qul é extmete região irrdid. 6. Clcule 4 f (s) com f (s) = 3s + 7. Verifique propriedde c f(t) = c b f(t) + b f(t) 8. Verifique propriedde b f(t) = f(t) com s fuções defiids cim. 9. Trce o gráfico d prábol y = f(x) = (x 3) 2 4. b () Trce s rets tgeteso gráfico de f os potos (2, 3) e o poto (4, 3). (b) Ests rets se ecotrm um terceiro poto, determie este poto, (use s iformções heurístics que você tiver). (c) Que difereçs você pode ecotrr etre s dus rets? (d) Clcule os coeficietesgulresds dus rets e cofrote com sus coclusões teriores. O osso objetivo qui é presetr s côics de um form semelhte voltd pr os objetivos do Cálculo. Assim, equção d ret, que é um expressão d form Ax + By + C = ós vmos escrevê- sempre o formto B = y b = m(x ) (.3) B = = x = (.3) A primeir form, y b = m(x ) sliet dois spectos esseciis pr ós

18 o poto (, b) por ode ret pss e o coeficiete gulr, m. Logo vmos ver que o coeficiete gulr, m, é derivd d fução defiid por est equção. Você vi ver que tods s côics podem ser escrits com um formto que lembr este, crcterizdo sempre um poto importte pr o gráfico d curv em cosiderção lém de lgum outro specto tmbém sigifictivo. É importte rpidmete sber idetificr ret que correspode um equção y b = m(x ) ssim como sber re-escrever um equção dd o formto Ax + By + C = pr slietr o poto em que ret pss e o seu coeficiete gulr. Os próximos exercícios devem levá-lo à prátic dests trsformções. Exercícios: 5 Ret e coeficiete gulr. coeficiete gulr Escrev s equções seguites evidecido um poto por ode ret pss e seu coeficiete gulr. ) 3x + 2y 9 = 2) 3x + 2y + 9 = 3) 3x 2y 9 = 4) 3x = 2y 9 2. Fç o gráfico de cd um ds rets do item terior 3. Pr cd um ds equções do item, obteh equção o formto y b = m(x 4) e justifique porque qulquer ret dquele tipo pss o poto (, b). Seri possível resolver questão tmbém impodo um vlor pr b? 4. Justifique: se B = em Ax + By + C = etão ão podemos obter um equção d form y b = m(x ) Figur.4: y = m(x ) + b ; m = 2 ; P = (2, 3). Com o gráfico d primeir bissetriz pr comprr 5. Verifique quis dos potos (, b) {(3, 2),( 3,2),(3,2),(3, 5),(.5, 3 ),( 4,7)} pertece ret de equção 2x + 3y =. 6. Verifique quis dos potos (, b) {( 3,2),(3,2),(,2),(3,),( 4,7)} stisfzem à equção 2x 3y = Expresse, usdo s vriáveis g e f frse seguite sob form de equção: sempre que gsoli sobe o preço do feijão o mercdo sobre mesm

19 (b) Escrev equção 3x + 4y + 7 = pr ecotrr o poto (,5) em que est ret psse. (c) Escolh um vlor pr e mipule equção 3x + 4y + 7 = pr ecotrr o poto (, b) em que est ret psse. (d) Justifique por que há um ifiidde de potos (, b) em que ret 3x+4y + 7 = pss, etretto, em todos os csos os prâmetros A, B serão sempre os mesmos. Eucie o xiom d Geometri Eclidi que rege est questão.. Deduz d questão terior qutidde de codições pr determir um ret. 2. Trce o gráficodretque psso poto (2, 3) e que teh coeficiete gulr m, com m { 2,,.5,,.5,,2} Ver figur.6 pági Trce o gráfico de () 3x + 2y 3 = (b) x y 4 = (c) y x 4 = Figur.5: y = m(x ) + b ; m = 2 ; P = (2,3) proporção. Podemos cocluir que feijão e gsoli stisfzem à equção d ret? 8. Mipule equção 3x + 4y + 7 = pr determir o poto (, b) em que est ret pss. Observe que o resultdo é úico porque ret cort o eixo OY em um só poto. 9. Mipule equção 3x + 4y + 7 = pr determir o poto (,) em que est ret pss. O resultdo é úico porque ret cort o eixo OX em um só poto.. Determição de um poto d ret () Escrev equção 3x + 4y + 7 = pr ecotrr o poto (3, b) em que est ret psse. Vmos usr equção d ret form y = m(x ) + b. Vtges: vej que qudo escolhermos x = teremos o vlor y = b e portto est formul é ótim pr o cso em que se pede gráfico d ret que pss o poto (, b) com coeficiete gulr m. A figur (fig..6), pági 28 mostr diverss rets com distitos coeficietes gulres m vrido de 2 2 com psso.5 como se pede o exercicio 2..4 Equção do círculo A defiição de círculo é lugr geométrico dos potos do plo que ficm equidisttes de um poto P chmdo cetro. Quer dizer que círculos ficm crcterizdos por dus iformções o rio r e o poto P, chmdo cetro. tem gete que isiste um difereç etre círculo e circuferêci, Vmos igorr este detlhe liguístico.

20 Figur.7: Distâci etre dois potos, d(p, Q) O círculo C((, b), r) Figur.6: Diverss rets com distitos coeficietes gulres, pssdo tods origem. Notção: C(P, r) vi desigr este livro o círculo de cetro o poto P e rio r. Por exemplo Por exemplo, ((2, 3),4) desig o círculo com cetro o poto P = (2,3) e rio r = 4. Se um poto qulquer do círculo tiver coordeds (x, y) e o cetro for desigdo por P = (, b) distâci r se clcul com Teorem de Pitágors: r 2 = (x ) 2 + (y b) 2. Vej figur (fig..7) pági 29. Destformtemos equçãodo círculoevidecidoorior e ocetro (, b). Se expdirmos est equção vmos ecotrr s seguites vrites pr el: (x ) 2 + (y b) 2 r 2 = (.32) x 2 2x y 2 2bx + b 2 r 2 = (.33) x 2 2x + y 2 2by + [ 2 + b 2 r 2 ] = (.34) x 2 + y 2 + Ax + By + C = (.35) com A = 2 ; B = 2b ; C = [ 2 + b 2 r 2 ] (.36) (.37) Vej figur (fig..8) pági 3, o gráfico do C((, b), r). Muitos exercícios ou problems evolvem hbilidde de prtir d últim equção pr chegr primeir: x 2 + y 2 + Ax + By + C = (x ) 2 + (y b) 2 = r 2 qul se tem evidecidos cetro e rio. Outro problem comum cosiste em verificr se equção x 2 + y 2 + Ax + By + C = é equção de um círculo testdo A, B, C. Portto cosidere como um exercício eteder sequêci de cots feits cim e compreder que letr C compct o vlor ( 2 + b 2 r 2 ), que A = 2, B = 2b :

21 2. Escrev s equções do círculos idicdos bixo C((,),)), C((, ),)), C((, ),)). C(( 2,),2)), C((2,2), 3)), C((3, ),4)). 3. Trce o gráfico dos círculos ddos pel equções: () x 2 6x y 2 + 2y + 4 = 6 (b) x 2 4x + y 2 + 2y = 4. Verifique se s equções bixo represetm círculos: () 3x 2 + 2x 7 + 5y 2 + 3y 7 = (b) x 2 6x + 4y + 5 = (c) x 2 4x + 6y + 9 = 5. Trce um círculo de rio 3 e de cetro o poto (-2,4), C(( 2,4),3)). Escrev su equção. Figur.8: Círculo de cetro (, b) e rior r. Observção: 5 Testdo equção.37. Observe que um equção, pr represetr círculo, tem que ter os coeficietes de x 2 e de y 2 idêticos. Tmbém o úmero C ( 2 + b 2 ) = r 2 ver equção.37, tem que ser egtivo pois vle Como r 2. r 2 etão um outr form de testr se um expressão do tipo x 2 + y 2 + Ax + By + C = é equção de um círculo, cosiste em: Determir, b prtir de A, B; C 2 b 2 C 2 + b 2 Exercícios: 6 Equção do Círculo. Ecotre s codições sobre A, B, C pr que equção sej equção de um círculo. x 2 + y 2 + Ax + By + C = 6. Ecotre s equção ds rets que pssm o cetro do círculo C(( 2,4),3)) e pels iterseções deste círculo com o eixo OY. 7. Ecotre os potos de iterseção dos círculos C(( 2,3),4)) e C((2,3),2)). Hchurie região do plo delimitd pelos dois círculos e ecotre um meio pr clculr su áre. 8. Determie equção d ret que pss iterseção dos círculos C((2,3),2)) e C(( 2,3),4)). 9. Equção dos círculos: C((, ),)), C((,),)), C((, ),)). Trce o gráfico de (se houver lgum impossibilidde, justifique-). () 3x 2y 5 = (b) 3x + 2y 5 = (c) 3x + 2y 5 = (d) 2x 2 2x y 2 + 4y + 8 = 6 (e) 3x 2 2x + 3y 2 + 3y+ = 3. fmíli de círculos () Fç os gráficos de lguscírculos d fmíli: círculos de rio3 com cetro ret que determid pelo potos ( 2,4)e(2,4). Clcule equção de um elemeto geérico dest fmíli.

22 .5 Prábols. As prábols tem um defiição geométric importte pr s comuicções: os siis dos stélites de comuicção chegm o solo quse um mesm direção reltivmete um grde áre ode se ecotrm s tes prbólics, poristo els estão quse tods com um mesmo direciometo: com o eixo cetrl colocdo prlelmete direção de emissão dos siis. Figur.9: Círculo e elipse (b) Fç os gráficos de lgus círculos d fmíli: círculos de rio r e cetro ret que pss em ( 2, 4) 3 (2,4). Clcule equção de um elemeto geérico dest fmíli. (c) Fç os gráficos de lgus círculos d fmíli: círculos de rio e de cetro o potos d ret que pss em ( 2,4)e(2,4). Clcule equção de um elemeto geérico dest fmíli. (d) Fç os gráficos de lgus círculos d fmíli: círculos de rio e de cetro o potos d prábol que pss em ( 2,4),(, 2),(2,4). Clcule equção de um elemeto geérico dest fmíli. Observção: 6 Visão geométric o coe de dus folhs Qudo um plo cort um coe de dus folhs com um iclição tl que itercept dus gertrizes o resultdo do corte é um elipse ou um círculo. Será um círculo se cortr perpediculrmete à diretriz. Vej figur (fig..9) pági 32 um coe de dus folhs cortdo por um plo que itercept s dus gertrizes. Clro, fz bem pesr que os siis de comuicções chegm como feixes de rets prlels..., ão é verdde, ms dá certo, porque o erro é pequeo. Aqui temos um exemplo de proximção que é um idéi com que estremos o tempo liddo este livro. Tete comphr com um gráfico. As tes são colocds com o eixo direção dos stélites de modo que emissão veh prlelmete o eixo e se choque com prede d te. Por um lei de reflexão d Físic, o âgulo de reflexão do sil com tgete à prábol, (lei te), é igul o âgulo de refrção, (o âgulo tes e depois d colisão é o mesmo). Qudo estudrmos derivds poderemos resolver ests questões recuperdo o sigificdo geométrico ds prábols. Agor um prábol será um equção d form y b = A(x ) 2. Como dissemos teriormete, estmos descrevedo s côics de form semelhte. Sempre irá precer um poto P = (, b) represetdo um crcterístic fudmetl de cd côic. Observe que, x = = y = b e portto o poto P = (, b) pertece o gráfico d prábol. Dest form, como o cso do círculo ou d ret, o poto P = (, b) represet um trslção com que podemos obter o gráfico d prábol prtir de um prábol pdrão. Prábol pdrão y = x 2 é um trslção o eixo OX e b é um trslção o eixo OY. A equção y b = (x ) 2 represet um curv que pss o poto (, b). Experimete fzedo x := pr ver que y = b.

23 Figur.2: Est prábol ão cort OX. Figur.2: Est prábol tem rizes reis. Tomdo y := est expressão cimos um equção do segudo gru: (x ) 2 = b x = ± b; (.38) x = + b; (.39) x 2 = b (.4) e portto se b for positivo teremos dus rizes reis. N figur (fig..2), pági 34, você pode ver o cso em que b é egtivo e prábol ão cort o eixo OX, quer dizer que equção do segudo gru correspodete ão tem rizes reis. N figur (fig..2), pági 35, você pode ver o cso em que b é positivo e prábol cort o eixo OX em dois potos diferetes. Clro, se itercmbirmos x, y id teremos prábols: x = (y b) 2 vej os gráficos (fig..22),(fig..23) respectivmete às págis 36 e 37 No osso método, prtimos de dois tipos de prábol-pdrão: y b = (x ) 2 ou x = (y b) 2 pr eteder tods s demis. Em mbos os cso temos um equção de um curv que pss pelo poto (, b). Verifique isto. Como s prábols que se podem deduzir de x = (y b) 2 são pes itercâmbio ds vriáveis, vmos despresreste cso o restte d discussão. Exemplo: 7 A técic d completção do qudrdo Cosideremos um equção como f(x) = Ax 2 + Bx + C cujo gráfico desejmos desehr. Vmos mostrr como podemos reduzir est questão às técics descrits cim, isto é colocr est equção o formto y b = A(x ) 2 Um exemplo umérico pode preceder os cálculos formis: Formlmete os cálculos serim: f(x) = x 2 + 3x + 6 (.4) f(x) = x x (.42) f(x) = (x ) (.43) y 5 4 = (x )2 (.44) y = Ax 2 + Bx + C y A = x2 + B A x + C A (.45) y A = x2 + 2 B 2A x + ( B 2A )2 ( B 2A )2 + C A = (.46)

24 Figur.22: Est prábol ão cort OY. Figur.23: Est prábol cort OY. y A = (x + ( B 2A ))2 + [ C A ( B 2A )2 ] (.47) y A = (x + ( B 2A ))2 + [ C A ( B 2A )2 ] (.48) y = A(x + ( B 2A ))2 + C B2 4A (.49) Se cosiderrmos y = últim lih, poderemos recuperr chmd fórmul de Bscr: Exercícios: 7 Prábols e sus equções y = A(x + ( B 2A ))2 + C B2 4A = (.5) A(x + ( B 2A ))2 = B2 4A C = B2 4AC 4A (.5) (x + ( B 2A ))2 = B2 4AC 4A 2 (.52) x + ( B 2A ) = ±sqrt B2 4AC 4A 2 (.53) x + ( B 2A ) = ± B 2 4AC 2A (.54) x = B 2A + ± B 2 4AC 2A (.55) x = B± B 2 4AC 2A (.56). Observe s simétris e o sil d equção y = x 2, e trce o seu gráfico. 2. Deduz por trslções dequds os gráficos ds prábols: () Trce o gráfico d prábol y = (x 3) 2. (b) Trce o gráfico d prábol y = (x + 4) 2. (c) Trce o gráfico d prábol y 2 = (x + 4) Observe s simétris e o sil d equção x = y 2, e trce o seu gráfico. 4. Deduz por trslções dequds os gráficos ds prábols: () Trce o gráfico d prábol x = (y 3) 2. (b) Trce o gráfico d prábol x = (y + 4) 2. (c) Trce o gráfico d prábol x 2 = (y + 4) Completdo os qudrdos reduz s equções seguiteso formto y b = (x ) 2 e trce seus gráficos. Ver o exemplo 7, pági 35. () Trce o gráfico d prábol y = x 2 + 4x + 4. (b) Trce o gráfico d prábol y = x 2 + 4x + 6. (c) Trce o gráfico d prábol y = x 2 4x 6. (d) Trce o gráfico d prábol y = x 2 + 4x + 2. (e) Trce o gráfico d prábol y = x 2 + 4x + 6. (f) Trce o gráfico d prábol y = x 2 4x 6.

25 6. Completdo os qudrdos reduz s equções seguiteso formto x = (y b) 2 e trce seus gráficos. () Trce o gráfico d prábol x = y 2 + 4y 4. (b) Trce o gráfico d prábol x = y 2 + 4y + 6. (c) Trce o gráfico d prábol x = y 2 4y 6. (d) Trce o gráfico d prábol x = y 2 + 4y Completdo os qudrdos reduz s equções seguiteso formto x = (y b) 2 e trce seus gráficos. () Trce o gráfico d prábol 2y = x 2 + 4x 4. (b) Trce o gráfico d prábol 3x = y 2 + 4y + 6. (c) Trce o gráfico d prábol y/2 = x 2 4x 6. (d) Trce o gráfico d prábol 4x = y 2 + 4y Ecotre os potos de iterseção dos gráficos ds prábols y = x 2 +4x+2 e 3y = x 2 4x Hchurie região delimitd pels prábols do itemterior. Est região tem áre? Se tiver ecotre um vlor proximdo pr mesm..6 As côics Já estmos fldo de côics há lgum tempo: rets e círculos. Agor vmos flr d origem geométric dests curvs. As côics tem um vlor histórico: s órbits dos plets são pretemete elíptics. Els tem tmbém um outro vlor turl, por um cpricho d Nturez, círculos e esfers represetm o equilíbrio ds forçs e s rets, que são círculos degeerdos, tmbém represetm este equilíbrio. For do equilíbrio tudo é elipse, prábol ou hipébole, depededo de peques vrições sobre s codições. E o que ão for ret, círculo, elipse, prábol ou hipérbole pode ser proximdo por um desss curvs... Cotiudo Nturez em seus cprichos, s côics surgem como s seções pls de um coe de dus folhs, como s figurs fiis deste cpítulo pretedem mostrr. Vmos ver como trsformr côics em outrs côics e s coseqüêcis desss trsformções sobre s equções. Ms o osso objetivo qui é modesto, queremos pes costruir os métodos ecessários o Cálculo. As curvs que estmos estuddo este cpítulo, s côics, têm um origem geométric iteresste. For ligção dests curvs com os feômeos d turez, existe um ligção dels com um objeto geométrico, o coe de dus folhs. Você pode costruir um coe de dus folhs, formdo de dois coes semelhtes que se opõem pelo vértice. Outr form de obter coes pode ser descrit pelo seguite lgoritmo :. cosiderr dois triâgulos isósceles semelhtes e opostos pelos vértices; Figur.24: Círculo ou elipse 2. exteder mbos os triâgulos idefiidmete direção d bissetriz r do âgulo formdo pelos ldos iguis, obtedo ssim região P formd de dus regiões gulres oposts pelo vértice ; 3. cosiderr bissetriz r como um eixo de rotção e rodr região P em toro de r gerdo ssim um superfície pel revolução dos ldos d região gulrp Vej, por exemplo, (fig..25) pági 4, e cortr-lo com plos, os resultdos serão círculos, elipses, prábols ou hipérboles depededo de como seção for feit: círculos se o plo for perpediculr o eixo do coe. Ver (fig..24) pági 39. elipses se o plo ão for perpediculr o eixo do coe, ms teh iclição meor do que s diretrizes do coe. Ver (fig..24) pági 39. prábol se o plo tiver extmete iclição de um ds diretrizes. Ver (fig..25) pági 4. hipérbole se o plo tiver um iclição que fique etre s iclições de dus diretrizes oposts. Ver (fig..26) pági 4. Você pode costruir coes de dus folhs com ppel e experimetr estes qutro csos pr ver o resultdo geométricmete. Não é d fácil fzer isto...

26 Figur.25: Prábol, seção côic Figur.26: Hipérbole Meos óbvi é pssgem do geométrico pr o lgébrico e vice-vers. O cso mis simples é o do círculo, porque os coes são costruidos por rotção de um ret em toro de um eixo, logo, se os cortrmos, perpediculrmete o eixo, por um plo, o resultdo será um círculo. Pr eteder os outros três csos é preciso mis trblho e ão discutiremos este tópico geométrico qui. Nos limitremos est observção..6. A hipérbole Vmos cotiur o plo e defiir, lgébricmete, como fizemos os outros csos, o que é um hipérbole. Cosidere equção do círculo e trsformção: (y b) 2 + (x ) 2 = r 2 (y b) 2 (x ) 2 = r 2 um troc de sil o termo em x 2. Se explicitrmos vriável y teremos: dus fuções, (y b) 2 = r 2 + (x ) 2 y = ± r 2 + (x ) 2 + b y = f (x) = b + r 2 + (x ) 2 ; y = f 2 (x) = b r 2 + (x ) 2 Observe que ão híteresse em cosiderrmos r um vez que sempre o vmos cosiderr r o qudrdo. Vmos simplificr discussão cosiderdo r. O domíio, reltivmete o eixo OX dest equção é ret iteir porque sempre r 2 + (x ) 2 etão o gráfico se compõe de dus fuções defiids pr todos os vlores de x R. Dizemos que o gráfico se compões de dois rmos, o gráfico de cd um ds fuções é um dos rmos. y = f (x) = b + r 2 + (x ) 2 (.57) y = f 2 (x) = b r 2 + (x ) 2 (.58) 2. O poto x = é um poto de simetri. Os vlores de f, f 2 se repetem à direit e à esquerd de x =. No poto x = temos 3. Tem setido cosiderrmos r = este cso y = f () = b + r (.59) y = f 2 () = b r (.6) y = b + (x ) 2 = b + x (.6) y = b (x ) 2 = b x (.62) o gráfico se compõe de y = b ± x. Fç o gráfico pr comphr o rciocíio. Este gráfico será importte o resto d discusssão. As dus que você deve ter obtido se chmm ssítots d hipérbole.

27 4. s ssítots Do exposto cim há dus rets que é importte desehr pr costrução deste gráfico: y = b ;x = primeir sepr os dois rmos d hipérbole e outr é o eixo de simetri d hipérbole. Vej o gráfico feito à mão figur (fig..27) pági 42, Fç o seu gráfico. Correspode cortr o coe de dus folhs pssdo um plo pel origem e prlelo um ds diretrizes. A figur mostr dois rmos de módulo simétricos reltivmete à ret x =. Exercícios: 8 Costrução geométric de um hipérbole Mteril ecessário: régu e compsso. Acomphe com um gráfico o rciocíio que fremos que o coduzirá à costrução geométric d hipérbole.. Tome um poto rbitrário em um dests rets e determie su projeção (x,) sobre OX. 2. Vej que que r 2 + (x ) 2 é distâci dest projeção té o poto (, r) ou té (, r). 3. Coclu que se, com um compsso, trsferirmos distâci r2 + (x ) 2 pr o poto (x,) levtdo lí um segmeto de ret perpediculr o OX com este comprimeto, vmos ecotrr o poto (x, y) sobre hipérbole. 4. O poto correspodete sobre o outro rmo d hipérbole será obtido se dirigirmos o segmeto de ret perpediculrmete o OX o outro setido. 5. O cso em que b. Se b etão os dois rmos do gráfico pssm os potos (, r + b),(, r + b). Coclu que gráfico todo, costruido o item terior, deverá ser trsltdo, prlelmete o eixo OY de b. 5. O efeito de b: Figur.27: Se b = deduzimos, pr cd vlor de x, correspodem dois vlores simétricos de y, temos, pois, um gráfico formdo por dus curvs simétrics em relção o eixo OX. Se b Os dois potos (, b + r), (, b r) pertecem o gráfico e determim cd um dos dois rmos d hipérbole. Como os rmos são simétricos, bst os preocuprmos com determição de um deles, deduzido o outro por simétri. O gráfico ds ssítots dirige costrução gerl do gráfico, como ão podi deixr de ser, é o sigficdo dests rets, qudo r = y = ± (x ) 2 = ± x. 6. Fç lgus exemplos com r {,.,.2,.5,} pr cocluir que, quto mior for r meos bicudos ficrão os dois rmos em cim d ret de simétri x =. Posteriormete, com derivds, se pode mostrr que se r os rmos tem um ret tgete o poto (, r). Vej os gráficos correspodetes figur.28 pági 44. Defiição: 4 Vértices e diretriz d hipérbole Os dois potos (, ±r) se chmm vértices d hipébole e ret de simétri, x = se chm diretriz d hipérbole. idexhipérbole!diretriz 7. Se fizermos um rotção de π 2 o gráfico de (y b) (x )2 = r 2 isto equivle Cosiderr ov diretriz y =. Os vértices pssm ser (, ±r). A equção, cosequetemete será (x b) 2 (y ) 2 = r 2

28 Figur.28: Gráficos de hipérboles Figur.29: Elipses são deformções de círculos A coclusão do último exercício é que s equções (x b) 2 (y ) 2 = r 2 ; (y b) 2 (x ) 2 = r 2 são equções de hipéboles. Desejmos ver o cso gerl pr s equções ds hipérboles, ms isto se reduz estudr de modo gerl qulquer ds cóics que será o osso próximo objetivo..6.2 Elipse Como você pode ver o deseho (fig..24), pági 39, um elipse é um círculo deformdo. Els podem ter dois tipos de deformção, vej tmbém (fig..29), pági 45, ode você pode ver dus elipses e dois círculos. A elipse (2) pode ser vist como deformção tto do círculo mior como do círculo meor e os coeficietes de deformção estão idicdos os eixos. Quer dizer que se usrmos coeficietes de deformção diferetes pr o eixo OX e pr o eixo OY o resultdo é um elipse: ( x )2 + ( y b )2 = r 2 é um elipse com coeficietes de deformção, b. Observe que podemos ver est elipse como um círculo de cetro origem deformdo o logo do eixo OX por e deformdo o logo do eixo OY por b. Deformmos o círculo: x 2 + y 2 = r 2 Vej este ov equção: ( (x x ) ) 2 + ( (y y ) ) 2 = r 2 b que podemos dizer que foi um deformção círculo (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2 que é o círculo de cetro o poto (x, y ). Observção: 7 Coeficietes de deformção Vej, filmete que estmos cometedo um erro: esquecemos de levr em cot o rio e com isto flmos de coeficietes de deformção bsolutos. Se o rio for mior ou meor deformção será diferete etão os coeficietes de deformção são: r ; b r Exercícios: 9 Círculos e elipses. Trce o círculo de rio 2 e cetro origem e s qutro elipses com coeficietes de deformção {(.5,),(,.5),(,2),(2,)}, reltivmete o círculo. 2. distâci focl

29 () Outr form de ver elipses cosiste em cosiderr dois potos chmdos focos e um úmero r positivos tl que 2r sej mior do que distâci etre os focos. Prededo s pots de um cordão de comprimeto 2r os focos os potos cujs distâcis os dois focos somem 2r será um elipse, fç o deseho. (b) Verifique que se os dois focos coïcidirem, se tem um círculo de rio r 2. (c) Verifique que o segmeto de ret que ue os dois focos é um elipse. Um elipse degeerd. (d) Verifique que pr qulquer ds distorções, b de um elipse, ver (fig..29), pági 45, vlem s equções: 2 + p 2 = r 2 ;b 2 + p 2 = r 2 em que p é metde distâci etre os focos e r é o úmero defiido cim. (e) Coclu que s costtes que defiem um elipse são: i. A distâci focl, 2p, (distâci etre os focos). ii. Um ds distorções. Sugestão, mostre que outr distorção se deduz d primeir e d distâci focl. (f) Um elipse tem por focos os potos (p, ),( p, ) sedo som ds distâcis de um poto qulquer os focos igul 2r. Mostre que equção dest elipse é: Figur.3: Círculo ou elipse (x p) 2 + (x + p) 2 + 2y 2 = r 2 2x 2 + y 2 = r 2p 2 e que r 2p 2 >..6.3 A equção d elipse Vmos clculr equção d elipse e próxim subseção fremos um estudo gráfico de tods s secções côics mostrdo s seções côics precedo como segmetos de ret reltivmete à projeção do coe o plo. Costruco ds côics Acomphe leitur e compre com os exercicios visulisdo figur (fig..3), pági 47. Há 5 tipos de legeds, o, p,l,pl,e que sigificm respectivmete: o, vértice do coe, p, perpediculr o eixo, l, lteris do coe, pl, prlel um ds lteris do coe, e, eixo do coe. A figur (fig..3), pági 47, represet secções do coe pelo plo XOY cotedo, portto, o eixo do coe. A figur (fig..3), pági 47 Figur.3: Tipos de côics sobre s regiões ou rets.

30 los cohecidos como poto de prtid. Fremos o mesmo.. Quis são s proprieddes que você pode listr pr o seguite objeto (N,+). Cpítulo 2 Números e estrutur. Aqui começ o Cálculo! Cálculo Diferecil e Itegrl é o estudo ds fuções sob o poto de vist de diferecibilidde e itegrbilidde. Quer dizer que, com dus ferrmets, derivd e itegrl, se procur tirr iformções ds fuções que represetm os feômeos do mudo rel prtir de lgum form de simulção. Ms s fuções, um determido setido, são um geerlizção dos úmeros, e é pelos úmero que vmos começr, digmos ssim, vmos trtr do subterrêo do Cálculo, Com os úmeros, que são os objetos escodidos por trás dos verddeirs objetos, s fuções às quis se plicm s ferrmets de que flmos cim, s derivds e s itegris. Pr costruir os úmeros precismos do limite. O difícil dest mtéri se ecotr o fto de que os úmeros reis, se cofudem com o método de su costrução que é o limite, isto será visto s últims seção deste cpítulo. 2. Números turis, iteiros e estrutur. No Cálculo estmos permetemete liddo com dois objetos básicos: úmeros, fuções. Est list de exercícios tem o objetivo de trblhr com o coceito de úmero turl e úmero iteiro e s estruturs lgébrics que estes úmeros têm. Observe que este ssuto soziho é um discipli, Álgebr, e portto qui seu espço tem que ser reduzido como um breve itrodução. Os úmeros turis ficm defiidos hbitulmete pelos xioms de Peo. N verdde ão é um defiição de úmero turl e sim de um estrutur que os úmeros turis tmbém têm. A costrução de Peo é idêtic o método de demostrção por idução fiit, quer dizer que os úmeros turis são o cojuto turl de idexão de um processo idutivo. Ests plvrs de fto ficm vzis se todos estes coceitos ão forem efetivmete trblhdos, ms ós o fremos qui, de form precári e iformtiv, deixdo pes lembrç deles pr que o leitor iteressdo os procurem em um livro de Álgebr. 2.. No começo erm os úmeros turis. A costrução lógic dos úmeros turis é tão árdu que muitos utores preferem cosiderá- 2. Quis são s proprieddes que você pode listr pr o seguite objeto (N, ). 3. Quis são s proprieddes que do objeto (N,,+). 4. Quis são s proprieddes que de (N,, ). 5. Quis são s proprieddes que de (N,+,, ) Depois vierm os úmeros iteiros reltivos. Podemos defiir o cojuto N como os dos objetos que completm N de forms que equção x + = sempre teh solução, pr todo N, e defiir Z = N N. Os dois cojutos se pssm chmr, N é o cojuto dos úmeros iteiros positivos, e N é o cojuto dos úmeros iteiros egtivos. Dois djetivos pes... Depois devemos esteder Z os métodos existetes em N, que são s qutro operções, e relção de ordem. Cbe repetir observção já feit tes, estes tópicos pertecem Álgebr, qui eles pes estão sedo registrdos. Exercícios: Estesão Z dos métodos de N.. Ested dição e multiplicção existetes em N o ovo cojuto Z = N N. 2. Ested relção de ordem o cojuto Z. 3. Quis são s proprieddes que você pode listr pr o seguite objeto (Z, ). 4. Quis são s proprieddes que do objeto (Z,, +). 5. Quis são s proprieddes que de (Z,, ) Estrutur álgebric do relógio. Este ssuto tem mis seriedde do que est list de exercícios pode preteder oferecer detro do cotexto em que estmos os propodo trblhr. Se você quiser eteder o que cotece de fto com o relógio, um grupo fiito, procure um texto de Álgebr ode este ssuto é tomdo com tod seriedde que ele merece. Exercícios: Aritmétic o relógio 48

31 . Cosidere o cojuto H = {,, 2,3,...,} ds hors. Quis são s proprieddes que você pode listr pr (H,+)? 2. Resolvedo equções em (H,+). Resolv s seguites equções em (H,+). () 3 + x = 2 (b) 7 + x = 5 3. Resolvedo equções em (H,+). Tem setido equção 3x + 7 = em (H,+)? 4. Resolvedo equções em (H,+). Tem setido equção x + 27 = em (H,+)? 2..4 O el dos iteiros. Exercícios: 2 Equções iteirs. Quis são s proprieddes que você pode listr pr o objeto (Z,+, )? 2. Resolv s seguites equções em (Z,+, ), se for possível. Se ão for possível, idique porque. () x + 7 = 4 (b) 3x = 2 (c) 3x + 4 = 9 (d) x - 5 = 2 3. Quis são s proprieddes que você pode listr pr o objeto (Z,+,, )? 4. Resolv s seguites desigulddes e fç um represetção geométric d cd um dels: () x + 7 4y (b) 3x 2y (c) 3x + 4y 9 (d) x 5y 2 5. Resolv s seguites desigulddes: { { x + 7 4y 3x + 4y 9 ) b) 3x 2y x 5y Números rciois. Os úmeros rciois, form obtidos dos úmeros iteiros por um simples complemetção lgébric: se crirm os iversos multiplictivos de todos úmeros, com exceção do zero. Comprdo com o que fizemos com os iteiros, ivetmos o cojuto Z que cotém os iversos multiplictivos de todos os iteiros, excetudo o zero, quer dizer que em ZU Z equção x = tem solução pr todo ; ZU Z. Com isto s dus estruturs (Q, +),(Q, ) ficrm complets formdo o que chmmos o corpo dos rciois: Q ZU Z. Observe que ão escrevemos Q = ZU Z, porque há úmeros rciois, como 3 que ão 2 se ecotrm o cojuto à direit. A expressão corpo dos úmeros rciois resume um cojuto de mis de ove proprieddes, ou leis, que os permitem por exemplo resolver equções, vej um exemplo. Exemplo: 8 Solução de um equção 3x + 7 = 9 (2.) (3x + 7) + ( 7) = 9 + ( 7) existêci do iverso ditivo (2.2) 3x + (7 + ( 7)) = 2 propriedde ssocitiv d dição (2.3) 3x = 2 (2.4) 3 (3x) = 2 existêci do iverso multiplictivo 3 (2.5) ( 3 3)x = 2 propriedde ssocitiv d multiplicção 3 (2.6) x = 2 3 (2.7) Observe que prátic lgums desss pssges são omitids, por exemplo, est resolução usulmete fic ssim: 3x + 7 = 9 (2.8) 3x+ = 2 (2.9) x = 2 3 (2.) e ão há ehum defeito em resolver equções de form resumido, desde que se eted o que se está fzedo, e é por est rzão que presetmos qui os ftos e s rzões dos mesmos. O processo de costrução Z Q se ssemelh em muito o processo com que simos de N pr coseguir Z. O resultdo dest costrução é (Q, +, ). Os úmeros rciois tem proprieddes comus com os úmeros reis. Vmos usr s proprieddes geométrics dos rciois e voltremos flr dels mis em detlhe qudo trtrmos dos úmeros reis. Um propriedde geométric dos rciois é seguite: Teorem: 3 Propriedde d médi Ddos, b Q ; c Q ; c b.

32 Um vlor possível pr c é +b. A rzão de chmrmos est propriedde de geométric 2 é que el vle pr um ret geometri euclidi com extmete mesm redção. Veremos mis sobre isto dite, com os úmeros reis. Vmos termir est itrodução com um simbologi dequd. O cojuto dos potos que ficm etre e b é chmdo de segmeto ou itervlo, e desigdo por [, b] que se lê itervlo b. Exemplo: 9 E 7 como fic em deciml? As clculdors escrevemos úmeros emformto diferete deste que cbmos de ucir. Um úmero, clculdor, prece como um sucessão de lgrismos: Como tudo em osso processo culturl há qui um código que serve pr decifrr o sigificdo dest expressão. O código é otção deciml, este cso. Um úmero em deciml é um espécie de poliômio: = ou etão, como estmos fldo de frções Qulquerfrção pode ser express est form. Algums com mior fcilidde, outrs com um pouco mis de trblho. Por exemplo, s frções cujo deomidor sej um potêci de tem um expressão fácil: 45 = = = =.45 A regr cosiste em ir descobrido, rteslmete, que pedciho do tipo x pode ser diciodo pr melhor proximr um frção. Vejmos o cso 7. Primeiro extrimos os iteirosd frção, o cso é zero:. Opoto divide prte iteir d frção própri. Depois vmos verificr quts vezes está cotido o que sobrr que id é porque id ão tirmos d. Isto sigific divisão: 7 7 = 7 =, resto = 3. e você deve ir motdo o lgoritmo d divisão pr comphr o que estmos dizedo. Vmos gor verificr quts vezes está cotido o que sobrou: Deomição imprópri, est de frção própri... o que sobrou: ov divisão: 7 = = = 3 7 = 3 7 trdução lgoritmic: e vemos que o lgoritmo trduz, crescetmos um zero o resto e o voltmos dividir por 7, chdo gor 4 e resto 2. Em sum: = = e como o último resto obtido foi, o processo gor vi se repetir voltdo precer os restos,3,2,6,4,5,,3,2,6,4,5,...sucessivmete. Qudo isto ocorre dizemos que temos um dízim periódic: =.(42857)... = em que podemos recohecer um progress~o geométric de rzão cujo primeiro termo é A som dos termos de um progressão geométric é dd por um fórmul que se origi d seguite idetidde: ( r)( + r + r r ) = r + que, dividid por r qudo r os dá: + r + r r = r+ r Est série coverge, o segudo membro coverge pr zero sedo seu limite o limite do segudo membro, r. Como existe um primeiro termo r fórmul cim fic: No cso de 7 temos: r ( + r + r r ) = r r + 7 = r r = = r r = r r =

33 == = = O úmero é ideficdo como sedo prte ão periódic seguid de um periódo, o umerdor. No deomidor ttos 9 qutos forem os lgrismos do periódo. Em gerl, se tivermos r...r.s...s m (... p )... um dízim periódic formd de um prte ão periódic r...r.s...s m tedo por periódo (... p ) equivle progressão geométric r r.s s m p ( + p + + ( p + )2 + em que temos: prte iteir, r r } {{ } prte deciml ão periódic, s s } {{ m } ; e o período p } {{ } Est progressão geométric é igul em que r r.s s m p ( r ) r = p = p p = p. 9 9 p } {{ } p O termo iicil tem p + m css decimis. Se multiplicrmos o umerdor e o deomidor de p } 9 {{ 9 por m est frção o se lter e temos: } p p+m r r.s s m p } 9 {{ 9 }} {{ } p m Qudo multiplicrmos o termo iicil pel últim frção, potêci de o umerdor vi fzer desprecer prte deciml do termo iicil ficdo: r...r s...s m... p } 9 {{ 9 }} {{ } p m cuj leitur é: o umerdor temos prte ão periódic seguid de um período, e o deomidor ttos 9 qutos forem os lgrismos do período seguidos de ttos zeros qutos forem os lgrismos d prte deciml ão periódic. Exercícios: 3 Álgebr dos úmeros rciois. Resolv s equções bixo em (Q,+, ). 3x 4 = x 3 2 = Trce um ret orietd e el mrque os úmeros iteiros reltivos. Mrque tmbém os seguites úmeros rciois: Desehe o itervlo [,] e ele mrque os potos: Desehe um ret orietd. A prtir d origem trce o segmeto d ret OP que fç com ret orietd o âgulo π 6. Subdivid OP em 7 pedços iguis mrcdo os potos P, P 2,...,P 7 = P. U P o úmero d ret orietd por um semeto de ret e trce segmetos de ret prlelos P pssdo por cd um dos potos P i. Verifique qul é o úmero rciol represetdo pelo poto que cd um dos segmetos de ret ssim trçdos, determi ret orietd. 2.3 Costrução dos úmeros reis Costrução geométric dos reis A costrução geométric dos úmeros reis R, mostr que pssgem pr estes ovos úmeros evolve um modificção qulittiv, foi qui que os gregos tropeçrm os úmeros irrciois, que chmrm de icomesuráveis. Um úmero rel será um sucessão covergete de úmeros rciois. Vmos explorr qui o processo geométrico de costrução dos úmeros reis. Em outr list de exercícios futur, fremos um outro tipo de costrução mis lgébric. Um form rápid de descrever os úmeros reis cosiste em dizer que els são formdos ds dízims periódics, (os úmeros rciois), e s dízims ão peritódics, (os úmeros irrciois). As dízims periódics são s frções, s ão periódics podem ser proximds por frções, é o que se fz com um rredodmeto. Nest list de exercícicios vmos ver os úmeros reis trvés de sus proprieddes. A desiguldde, por exemplo, tem s seguites leis ( listgem ão é exustiv): Hipótese: Proprieddes d desiguldde tricotomi Ddos dois úmeros reis, b vle pes um ds seguites relções: 4 3.3

34 . < b. 2. = b. 3. > b. Ddos dois úmeros sempre tem outro úmero etre eles. Ddos dois úmeros sempre tem um terceiro mior do que os dois primeiros e um qurto meor do que eles. Ests proprieddes permitem que compremos os úmeros reis com um ret. Est teori pode ser desevolvid de form muito perfeit, iclusive usdo est represetção geométric dos úmeros pr fzer estesão d dição dos rciois pr os potos d ret, de modo que vmos cosiderr um ret qulquer como um exemplo do cojuto dos úmeros reis, R. As operções, dição e multiplicção, podem ser costruids geométricmete e podemos mostrr que els são s mesms defiids pr os rciois e os iteiros, logo um estesão. Não fremos isto, ms lhe vmos sugerir o cmiho os exercícios. Defiição: 5 Ret dos úmeros Um ret qulquer qul se teh escolhido um poto pr represetr o zero, e um poto pr represetr o elemeto eutro d multiplicção, será cosiderdo um exemplo do cojuto dos úmeros reis, R. Ests escolhs defiem qul é o cojutos dos úmeros reis positivos e dos egtivos. Um ret ode form feits ests escolhs se chm ret orietd. Como o cso dos úmeros iteiros e rciois, vmos usr ituitivmete est teori que pode ser desevolvid cuiddosmete ms cujo desevolvimeto ão cbe este projeto. Os exercícios dest seção sugerem um pouco do desevolvimeto que poderi ser feito. Exercícios: 4 A ret dos úmeros reis. Trduz s proprieddes d desiguldde cim pr os potos de um ret. 2. Use dois exemplres d ret orietd pr defiir som de úmeros reis. 3. Use dois exemplresd ret orietd cocorreteso zero, pr defiir o produto b, b R. Observção: é ecessário usr semelhç de trigulos e o úmero de um ds rets. 4. Desehe um ret orietd. A prtir d origem trce um segmeto de ret OP que fç com ret orietd um âgulo de π 4. Mrque o poto P = (,). Clcule distâci de P origem. Com um compsso trsfir est distâci pr prte positiv d ret orietd mtedo um ds pots do compsso o poto O. Qul o poto d ret orietd que ficou ssim determido? 5. Trce um prell à ret orietd pssdo pelo poto (,). Trce um perpediculr à ret orietd pssdo pelo poto 2 e determie ssim o poto P sobre prlel trçd teriormete. Trce o segmeto de ret OP e clcule o seu comprimeto, distâci de P à origem. Com um compsso trsfir este comprimeto pr ret orietd e verifique qul é o úmero ssim determido el. 6. Fç umesboço d demostrção ds proprieddes de cd umdos objetos: (R,+) ; (R, ) ; (R,+, ) ; (R,+,, ) 7. Tete demostrr lgums ds proprieddes listds cim, geometricmete. 8. equções sobre R. () Resolv s equções bixo em (R,+, ) x + 5 = 2 x 2 = (b) Ecotre vlores proximdos pr s soluções ds equções teriores e expresse um estimtiv do erro. 9. Mrque ret orietd os seguites sub-cojutos:. Resolv s desigulddes: {x ; x < 3} ; {x ; x < } ; {x ; x 3} 3x x Represete geometricmete, ret orietd, s soluções ds desigulddes teriores. 2.4 Sucessões de úmeros rciois Nest seção vmos iicir o estudo ds sucessões de form bem elemetr ms com o objetivo fmilirizá-lo com o coceito direção que desejmos dr este texto: um úmero rel pode ser visto como um sucessão. Nest form de ver vi se repetir um problem que já ecotrmos com os rciois, diversidde de represetção. Há váris sucessões que represetm o mesmo úmero. A solução pr este problem é um clssificção como se fz s frções. Primeiro vmos expor s idéis, depois virão s técics, o limite é um dels. As sucessões são um tipo de ddos (lei um clsse de objetos) em Mtemátic, que tem diverss utilizções, citemos lgums: Idexr um cojuto, um cojuto de sucessões. Por exemplo qudo você eumer os objetos de um cojuto, usdo sucessão dos úmeros turis ou um subsucessão fiit de úmeros turis. Crir um modelo discreto pr um feômeo, qudo você coloc um sesor que de tempos em tempos mede o tl feômeo. Modelr um úmero rel, por exemplo qudo você diz que os úmeros,.4,.44,.442,.442,.4423, são um sucessão fiit de proximções por flt de 2. Vej listgem bixo dos qudrdos dos elemetos do cojuto terior.

35 power(.4,2).96 < 2 power(.4,2).988 < 2 power(.44,2) < 2 power(.442,2) < 2 power(.442,2) < 2 power(.4423,2) < 2 power(.44235,2) < 2 Nós, qui, diremos que s = (,.4,.44,.442,.442,.4423,.44235, ) é o úmero rel 2, ms observe s reticêcis que torm segud expressão um sucessão ão fiit. Exemplo: Dus sucessões que represetm 2 Abixo você os qudrdos dos elemetos d sucessão t t = (.5,.42,.45,.443,.4422,.4424, ) power(.5,2) 2.25 > 2 power(.42,2) 2.64 > 2 power(.45,2) < 2 power(.443,2) < 2 power(.4422,2) < 2 power(.4424,2) < 2 power(.44236,2) < 2 A sucessão t tmbém represet 2 e lgums vezes dizemos que seus termos são um proximção por excesso de 2. Est meir de flr, pesr de corret, iduz em precoceitos. Vmos repetir frse cim: t é o úmero rel 2. Voce vé ssim que o úmero 2, como qulquer outro úmero rel, tem diverss represetções. Fizemos teriormete um esboço d costrução geométric dos úmeros reis R. El é um modelo de costrução icomptível com o uso mis importte que podemos fzer dos úmeros reis, por exemplo, é difícil, tlvez impossível, usrmos costrução geométric dos reis um progrm de computção. Mesmo ssim tem gete que gost usr est costrução, por exemplo os que flm em ritmétic itervlr usm est idéi e covivem com est dificuldde de form esquisit... Nós julgmos que um outro modelo é mis coveiete, porque é mis lgébrico, s sucessões. Como s costruções que fizemos teriormete, está será resumid e você deve procurr subsídios litertur pr completr os seus cohecimetos se ão os quiser costruir com sus própris mãos. Um ditdo de computção firm, qudo se descobre estrutur de ddos dequd, o problem fic resolvido. Temos que ecotrr um estrutur dequd pr os úmeros. Aqui vmos fzer um costrução ituitiv bsed semelhç que os úmeros reis tem com ret como os gregos etedim ret. Mis frete usremos sequêcis pr represetá-los, quer dizer, um úmero é um sequêci covergete. Em gerl ficmos pes com lgus termos dests sucessões, quer dizer, fzemos proximções. Clro, estmos covecidos de que o modelo sucessões é perfeito pr os úmeros reis. Com o objetivo de reforçr importâci do uso ds sucessões, detro do espirito de discretizção de um feômeo, vmos clculr lgums itegris pr s quis o método geométrico desevolvido o primeiro cpítulo é ieficiete. Usremos sucessões pr discretizáls, como se estivemos usdo um sesor pr lisr seus vlores. É o mesmo método que usrimos pr clculr 2 experimetdo com os lgrismos. Observção: 8 Apretemete existem poucos úmeros reis Não podemos dr um setido fácil expressão qutidde de úmeros pr flr de todos que existem... plvr qutidde, usd ligugem comum, está ssocid à cotgem. Nós ão podemos cotr os úmeros. Este texto, como ttos outros, corre o risco de sugerir que existem us poucos úmeros reis esquisitos, π, 2, 3... Esquisitos porque ão podemos lidr com eles extmete, sempre temos que flr deles usdo plvr proximção. É só somr ou subtrir e multiplicr que você vi ver que eles existem em grdes qutidde : 3 + π, 2 + π, 2 + π, π π, 2 Ms bst mostrr como podemos represetr 2 pr ilustrr idéi. 2.5 Sucessões - exemplos e defiições. Vmos fzer cots com sucessões, pr os hbiturmos com idéi de que els represetm úmeros. Defiição: 6 Sucessão. Sucessão é um fução defiid o cojuto N. geométric. Por exemplo, um progress~o ritmétic, um progress~o geométric. Exercícios: 5 Sucessão e úmero rel. Costru dois exemplos de sucess~o fiit com 5 termos. progress~o 2. Decid qul dos exemplos de sucessão bixo é positiv e descrescete = (,,,,...) 2 = ( 2, 3, 4, 5, 6,...) 3 = (,2,3,4,5,6,7,...) 4 = (,,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,9,,,,...) 5 = (,8,6,4,2, 2, 4, 6,...) 3. Pr s sucessões defiids cim vmos estbelecer otção i,k pr desigr o termo de ordem k d sucessão i. Escrev,,,2,,3 2,, 2,2, 2,3 5,, 5,2, 5,3, 5,4, 5,6 4. Decid qul dos exemplos de sucessão cim é positiv e crescete. 5. Costru ovo exemplo de sucessão positiv que decresç pr zero (diferete do que se ecotr cim).

36 6. Tete descobrir, pr cd um ds sucessões, 2, 3, 4, 5 lei de formção dos seus termos (o termo gerl) i,k 7. Cosidere sucessão 2 defiid cim. Clcule o seu qudrdo, e chme est ov sucessão de 6 Decid se é verdde que 6 decresce idefiidmete pr zero. 8. Clcule o produto 2 3. Seri verdde que ests sucessões são iversos multiplictivos um d outr? 9. As sucessões seguites se clssificm em dus clsses, procure idetificr que clsse els pertecem 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,... 4.,3.5,3.33,3.25,3.2,3.66,3.42,3.25,3.(), ,3.66,3.42, 3.25,3.(), 3.,3.9, 3.83,3.76, ,3.(),3., 3.(9),3.833, 3.76,3.7,3.66,3.62, , 2.(8), 2.9, 2.(99), 2.96, 2.923, 2.928, 2.933, 2.937,... 2.(6), 2.75, 2.8, 2.8(3), 2.857, 2.875, 2.(8), 2.9, 2.(99),... 2., 2.5, 2.(6), 2.75, 2.8, 2.8(3), 2.(8574), 2.(875), 2.(8), ,3.(3),3.25, 3.2,3.(6),3.(42857),3.25,3.(),3.,.... As sucessões bixo pertecem tods um mesm clsse, tete idefiticr qul é clsse.5,.(3),.25,.2,.(6),.(42857),.25,.(),.,....,.5,.(3),.25,.2,.(6),.(42857),.25,.(),....,.25,.(),.625,.4,.2(7), , ,.( ),....(9),.8(3),.(76923),.7(42857),.(6),.625,.58823,.(5),.5263,...,,,,,,,,,.... Ecotre o iverso ditivo ds sucessões, 2, 3, 4, 5 2. Decid se é verdde que 5 decresce idefiidmete pr zero. 3. Clcule o produto ds sucessões.5,.3,.25,.2,.6,.4,.2,.,.5,... 2.,.5,.33,.25,.2,.6,.4,.2,., Dê tres exemplos de sucessões. 5. Ecotre um sucessão fiit que sej um proximção por excesso de Costru dois exemplos de sucessões umérics tirds d vid rel. 7. Número rciol () Escrev defiição de úmero rciol. (b) Como são s sucessões que defiem úmeros rciois? (c) Decid qul ds firmções é verddeir: i. Um úmero rciol é um dízim periódic ii. As dízims ão periódics podem ter gertrizes iii. As dízims ão periódics represetm úmeros irrciois 8. Escrev um dízim periódic equivlete cd um dos úmeros rciois bixo: 2 ; 3 ; 2 3 ; 3 7 ; 9 ; Pode hver mis de um dízim ssocid com um úmero rciol? Mostre exemplos. 9. De exemplo de um dízim ão periódic. 2. Ecotre gertriz d dízim, primeiro observdo que el é som dos termos de um progressão geométric. 2. Mostre que é som dos termos de um progressão geométric e ecotre gertriz dest dízim. 22. Escrev s dízims que precerm os exercícios teriores como sucessões. 23. Notção Vmos usr seguite otção : Dd um sucessão s vmos desigr por s o seu termo gerl. Por exemplo, sucessão d = ( 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... ; tem, por termo gerl: s = Descubr o termo gerl ds sucessões: () c = (, 2, 3, 4, 5, 6,... ; (b) d = ( 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... ; (c) f = (, 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ; (d) h = ( 2 2, 4 3, 6 4, 8 5, 6,... ; ; {,,2,3, } = N + Descubr qul é o termo gerl ds soms e dos produtos feitos teriomete.

37 24. Cd um ds sucessões bixo represet um úmero rel (pode ser rciol), d mesm form como cim temos exemplos de sucessões que represetm 2. Descubr, usdo ituitivmete o coceito de proximção, quis são os úmeros que els represetm. () c = (, 2, 3, 4, 5, 6,... ; (b) d = ( 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... ; (c) f = (, 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ; (d) h = ( 2 2, 4 3, 6 4, 8 5, 6,... ; 25. operções com sucessões; Som de sucessões. Some, dus dus, s sucessões bixo: () c = (, 2, 3, 4, 5, 6,... ; (b) d = ( 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... ; (c) f = (, 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ; (d) h = ( 2 2, 4 3, 6 4, 8 5, 6,... ; 26. operções com sucessões; Produto de sucessões. Fç o produto, dus dus, ds sucessões bixo: () c = (, 2, 3, 4, 5, 6,... (b) d = ( 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... (c) f = (, 2, 2 3, 3 4, 4 5,... (d) h = ( 2 2, 4 3, 6 4, 8 5, 6,... () Cd um ds sucessões do exercício (ex. 24), se s represetr o úmero S e t represetr o úmero T etão s+t reprset o úmero S + T. Trduz est frse usdo o operdor limite. (b) Cd um ds sucessões do exercício (ex. 24), se s represet o úmero S e t represet o úmero T etão st reprset o úmero ST. Trduz est frse usdo o operdor limite. 27. Iscrev um círculo um qudrdo. Depois um petágoo, depois um hexágoo. Clcule o perímetro de cd um ds figurs iscrits e chme este úmeros de P 4, P 5, P 6. Qul seri o vlor de P 7, P 8, P 9? 28. Pr cd um dos elemetos d sucessão (P ) defiid o exercício terior, clcule p =. Escrev o vlor dos termos d sucessão p. P 2 rio 29. Defi sucessão A = (A ) ;A = áre de um polío regulr covexo iscrito um círculo de rio r. Escrev os vlores de A pr. 3. Escrev os primeiros termos d sucessão!. Clcule tmbém s soms sucessivs destes termos: S = s k ; s k = ( 3 )k k= Solução: rode o progrm limite.clc clc < limite2.clc 3. Alisdo o resultdo do progrm limite.clc justifique firmção seguite: ão vle rodr o progrm pr > 2 porque já se terá chegdo o limite de precisão d máqui. 32. Escrev os primeiros termos d sucessão (progressão geométric) ds potêcis de 3. Clcule tmbém s soms sucessivs destes termos: S = s k ; s k = ( 3 )k k= Solução: rode o progrm limite2.clc clc < limite2.clc 2.6 A itegrl o setido de Riem. A defiição que demos de itegrl o cpítulo diz que b é áre lgébric limitd pelo gráfico de f e o eixo OX, desde x = té x = b. Vmos explorr um pouco mis este ssuto qui. f b O cálculo de um itegrl se fz fcilmete se o gráfico de f for formdo de segmetos de lih ret. Ms se o gráfico de f for formdo por segmetos de curvs em sempre ós vmos sber clculr est áre com extidão. Mis dite você verá que lgus csos isto é possível, etretto é o cálculo proximdo que sempre prevlece, é este o coteúdo dest seção: vmos mostrr que itegrl é um istrumeto pr costruir sucessões, logo úmeros reis. Quer dizer que, qui, o osso iteresse pels itegris se resume vê-ls como um método de costrução de sucessões. O istrumeto uiversl pr clculr itegris é som de Riem que vmos estudr qui. Você verá mis frete que em lgus csos se podem deduzir, ds soms de Riem, fórmuls pr o cálculo forml d itegrl. As soms de Riem proximm áres de regiões cujs froteirs ão são retilies, com áres de retâgulos. Olhe s figurs (fig. 3.), pági, (fig. 3.2), pági 6 pr cocretizr te seus olhos como se podem proximr áre com retâgulos. Vmos costruir, qui, sucessões prtir ds soms de Riem.

38 Exercícios: 6 Discretizdo s itegris. Som de Riem Trce o gráfico d prábol y = f(x) e represete grficmete s itegris idicds: ) f(x) = x 2 ; c) f(x) = (x )(x + 2); 2 2. Cáculo d itegrl por proximção f b) f(x) = x 2 ; f d) f(x) = ( x)(x + 2); () proximção por flt Pr cd um ds itegris do exercício, divid o domíio de itegrção em 4 subitervlos iguis. Clcule proximdmete b f, por flt, usdo retâgulos, tedo cd um dos sub-itervlos por bse. Ver figur (fig. 3.), pági ). (b) proximção por excesso Pr cd um ds itegris do exercício, divid o domíio de itegrção em 4 subitervlos iguis. Clcule proximdmete um dos sub-itervlos por bse. b f, por excesso, usdo retâgulos, tedo cd (c) Pr cd um ds itegris do exercício, divid o domíio de itegrção em subitervlosiguis e clcule um proximção pr b f, por excesso, usdo retâgulos, tedo cd umdos sub-itervlos por bse. (d) Pr cd um ds itegris do exercício, divid o domíio de itegrção em subitervlosiguis e clcule um proximção pr b f, por flt, usdo retâgulos, tedo cd um dos sub-itervlos por bse. 3. Som de Riem - gerdo sucessões Geerlize o que foi feito suite de exercicios 2, escrevedo um som geéric pr clculr proximdmete b usdo o fto de que o itervlo [, b] foi dividido em subitervlos iguis. Coloque expressão sob form de um somtório. Sugestão, vej o próximo exercício. f f f () Mostre (costruido um sucessão) que s soms de Riem são um processo gerdor de sucessões: Escolh um fução f, um itervlo [, b], costru lgus termos de um sucessão s = (s, s 2, s 3,,s ) ; s = f(x i ) x i usdo soms de Riem (se ispire os exercícios teriores). (b) Justifique por que: pelo meos um sucessão, podi hver outrs? (c) Costru os primeiros termos de dus sucessões diferetes ssocids cd um ds itegris do exercício. Ests soms de Riem se dizem de ordem, porque são soms de retâgulos. (d) Cosidere itegrl x 2 escrev expressão d som de Riem de ordem pr est itegrl e clcule extmete o vlor d referid som de Riem. 5. Cálculo proximdo de π () Verifique que áre de um políogo regulr de ldos, iscrito o círculo uitário, é um proximção de π. (b) Costru um sucessão s = (s, s 2,......) que represete π usdo polígoos regulres iscritos o círculo uitário. (c) Verifique que áre de um políogo regulr de ldos, circuscrito o círculo uitário, é um proximção de π, por excesso. (d) Costru um sucessão t = (t, t 2,......) que represete π usdo polígoos regulres circuscritos o círculo uitário. 6. Regiões sem áre () Represete geométricmete itegrl (b) Justifique porque itegrl cim ão represet áre de um figur. (Use o símbolo em su explicção e decid se isto pode ser um úmero.) (c) Tete escrever um som de Riem pr itegrl cim, descrev s dificulddes ecotrds e tete justificr porque itegrl ão existe. x soms de Riem como gerdors de sucessões.

39 2.7 Limite Nest seção vmos flr de limite que um ds forms de estbelecer qul é o comportmeto ssitótico de um sucessão. Limite é um operdor, se você preferir, um operção que plicd em um sucessão uméric respode com um ds seguites ltertivs: A sucessão defie um úmero rel; A sucessão ão defie ehum úmero rel. Etretto, é você que tem que sber clculr o vlor do limite plicdo à sucessão. Ifelizmete id ão temos máquis com est operção utomtizd. Ms ão se ssuste, há muitos limites que sbemos clculr e felizmete outros que id cotium os desfido, tmbém Limite e comportmeto ssitótico Observção: 9 comportmeto ssitótico Comportmeto ssitótico é um ds idéis básics d Mtemátic. El ão pode ser express prtir de outrs, isto sigific que el é clr por si própri. Os úmeros são represetdos por sucessões. Qudo descobrirmos qul é o úmero que um sucessão represet, descobrimos o seu comportmeto ssitótico. Um exemplo básico é ( )> que represet o zero. Temos lgums meirs equivletes de fzermos referêci est idéi: (s ) = ( ) represet o zero; lim s = lim = coverge pr zero. É um sucessão ul. é ssitótic zero. Ests frses descrevem o comportmeto ssitótico de (s ) = ( ) Vej que s coiss ão são tão simples 2, compre com sucessão: () =,, 2,3, 4,, de todos úmeros turis. A sucessão de todos os úmeros turis tem um ligção com terior: s = (s ) >) = ( )> (2.) t = (t ) >; t = (2.2) s = t (2.3) Clro, s represet um úmero, o zero, equto que t ão represet úmero ehum, do cotrário o zero teri iverso. Asucessãottemumcomportmetossitóticoqueédifícil dedescreverestemometo, ms o certo é que ão defie ehum úmero. Podemos dizer que el é crescete, ilimitd, ão tem limite (cosequetemete el ão defie ehum úmero), el é divergete. Diremos que é covergete, diremos tmbém que sucessão dos úmeros turis é divergete. Vmos costruir lgus exemplos ilustrdo o coceito, os exercícios devem termir por torá-l (torá-lo) ítimo d idéi. Pr termir est itrodução, o comportmeo ssitótico é um clssificção, um etiquet. Clssificmos com um determido comportmeto ssitótico fuções, sucessões etc... Cosidere, por exemplo, s dus sucessões: s = (, 2, 3, 4, 5, ) 2 Est frse será repetid muits vezes, você ão deve se ssustr com el, seu objetivo é de dizer que Mtemátic exige cuiddo e reflexão pr tigirmos profudidde dos seus coceitos. t = (, 2, 3, 4, 5,...) Ambs defiem o úmero zero, estão portto um mesm clsse, são equivletes, têm o mesmo comportmeto ssitótico. Um outro exemplo, tto 4 3 como π tem um úmero ifiito 3 de css decimis. Etretto, você pode firmr sempre qul é próxim cs deciml de 4 o psso que próxim 3 cs deciml de π, for s cohecids, é imprevisível. Ambs defiem úmeros, este cso úmeros diferetes, portto ão estão um mesm clsse, ão são equivletes, ão têm o mesmo comportmeto ssitótico. As css decimis de 4 tem um comportmeto ssitótico previsível o psso que s 3 cs decimis de π ão formm um sucessão com comportmeto ssitótico imprevisível, pelo meos o estágio de cohecimeto que em que estmos. 4 é um úmero rciol e su represetção deciml é um dízim periódic. 3 π é um úmero irrciol, su represetção deciml é umdízim ão periódic. Quer dizer, próxim cs deciml de π pode ser qulquer um dos lgrismos. Observe que estmos os referido às css decimis de π. Os exercícios devem coduzí-lo domir o ssuto. Exercícios: 7 Comportmeto ssitótico Sucessões que covergem pr zero É verdde que comportmeto ssitótico é um coceito difícil que terá de ser bsorvido por você o logo de um prátic miucios. Etretto ós podemos torr técic defiição de covergêci pr zero: Defiição: 7 Sucessões com limite zero Diremos que um sucessão s tem limite zero se e somete se ǫ > ; N ; > s < ǫ N figur (fig. 2.) pági 68, você pode ver um istrumeto usdo por mecâicos, o pquímetro que jud compreeder idei de limite. Os termos de um sucessão podem oscilr, ms prtir de um certo ídice, m oscilção fic limitd pel bertur ǫ do pquímetro. Os termos d sucessão se ecotrm um vizihç de rio ǫ d ret que mrc ltur em que se ecotr o úmero rel s que sucessão represet. Se você cosiderr ret que mrc ltur zero, e colocdo o pquímetro berto com bertur ǫ volt dest ret, prtir do ídice todos os potos d sucessão vo pssr por est bertur o que se trduz lgebricmete com e temos ssim defiição de lim s =. s s < ǫ Defiição: 8 Sucessões com limite Diremos que um sucessão s tem limite se e somete se ǫ > ; N ; > s < ǫ

40 f(x) I x 2 [,] x 2 (,) x 2 [, ) f(x) I x [,] /x (,) /x [, ) f(x) I /x 2 (,] /x 2 [, ) /x 2 (,] 4. Clssifique s fuções reltivmete às sus soms de Riem, em dus clsses, lisdo qudo umprocesso ssitótico previsível se ecotr defiido prtir ds soms de Riem. Idique que clsse pertece cd um ds fuções defiids os exercícios teriores. Observe que o domíio de itegrção é peç essecil est clssificção. 5. De cordo com su defiição, quis ds fuções do exercício 3 é itegrável o domíio idicdo. Exercícios: 9 Sucessões e covergetes ou divergetes. Abixo você tem o termo gerl de lgums sucessões. Clssifique-s segudo s seguites coceitos que trduzem um tipo de comportmeto ssitótico: Figur 2.: Como um pquímetro, defiição de limite determi oscilção ceitável de um sucessão. Em lgus exercícios você pode gerr um respost utomátic usdo máqui de clculr clc em LiuX. Os rquivos ecessários podem ser obtidos com o utor. Exercícios: 8 Comportmeto ssitótico. As sucessões bixo tods temlimite, descubr o vlor do limite e escrev defiição de limite dptd o vlor ecotrdo: ) 2+ + b) + 2+ c) d) (+) 2 2. Dê exemplosde lgums fuçõespr cujs itegriss soms de Riem ão tehmumprocesso ssitótico defiido, por exemplo elscrcteriz um região sem áre. Escrev detlhdmete os exemplos. 3. Pr s equções y = f(x) bixo, e o domíio idicdo, verifique se f defie sucessões com comportmeto ssitótico previsível ou ão, I (experimete), I é domíio de itegrção. 3 Meir de flr iceitável, úmero ifiito... ão existem úmeros ifiitos. crescete decrescete oscilte limitd ilimitd Observe que mis de um coceito se pode plicr um mesm sucessão, como oscilte-ilimitd. 2. sucessão decrescete ! se(π) cos(π) + +! 5 2! cos(π) ( ) + (+)cos(π) se( (2+)π 2 ) se( (2+)π 2 ) () Verifique que s dus sucessões s = 2 e t =! são decrescetes. Prove que firmção é verddeir. k= (b) Verifique que se s = e t 2 =! etão existe um ídice prtir do qul s > t. Prove que firmção é verddeir. Sugestão Rode clc < sucesso.clc (c) Defi S = s k e clcule os qutro primeiros termos dest sucessão. Sugestão: Troque o rquivo sucesso.clc s por S e t por T, ode está idicdo, e rode clc < sucesso.clc. (d) Defi T = t k e clcule os qutro primeiros termos dest su- k= cessão. Sugestão clc < sucesso.clc

41 k= (e) Defi S = s k e clcule os qutro primeiros termos dest sucessão. Sugestão clc < sucesso.clc (f) Verifique que existe um ídice prtir do qul S < T. Prove que firmção é verddeir. Sugestão: Rode lih de comdo do LiuX clc < sucesso.clc em quesucesso.clc é um progrm que está o rquivoprogrm.tgz, ver ídice remissivo. 3. Prove s seguites idetiddes: ) k= c) k= k = ( ) 2 b) k= k 3 = ( ( ) 2 ) 2 d) k= k 2 = ( )(2 ) 6 k 4 = ( ) 3 4. Cálculo de soms Em questão terior form demostrdos resultdos, (qutro exemplos), ssocidos um tipo especil de serie. Vmos descobrir qui um teorem ssocido estes exemplos. () Prove que se P for um poliômio do gru etão é um poliômio do gru. Q(x) = P(x) = P(x + ) P(x) (b) Prove que existe um poliômio do gru tl que x = P(x) = P(x + ) P(x) Mostre que se P for um tl poliômio, etão R(x) = P(x)+k tmbém é solução d idetidde terior. (c) Bsedo os qutro exemplos referidos, quis ds firmções seguites precem verddeirs: i. Ddo um poliômio de gru Q de gru m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P ii. Ddo um poliômio de gru Q de gru m+, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P iii. Ddo um poliômio de gru Q de gru m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P iv. Sej Q for o poliômio Q(x) = x m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P (d) Expd som bixo usdo expressão obtid teriomete e verifique que k p = P() P() k= (e) Eucie um teorem respeito ds soms de potêcis bsedo os qutro exemplos cim evolvedo gru de poliômios. (f) Demostre o teorem. 5. Escrev um som de Riem pr 6. Verifique que x 2 e verifique que x 2 3 ( )(2 ) 63 x ( Coclu que, como 3, 2 são represettes do zero, etão e, em prticulr, x 2 = 3 3 x 2 = 3. A últim questão se ecotr iteirmete resolvido mis frete, procure o ídice remissivo sob chve áre.. sucessão decrescete () Verifique que s dus sucessões s = 2 e t =! são decrescetes. Prove que firmção é verddeir. Solução: Um sucessão é decrescete se s + < s s + = 2 < + 2 = s (2.4) t = (+)! < t =! (2.5) provdo que s dus sucessões são decrescetes. (b) Verifique que se s = 2 e t =! etão existe um ídice prtir do qul s > t. Prove que firmção é verddeir.

42 Solução: 2 Demostrção por idução fiit O progrm (escrito em clc) defie ft() {if (==) retur ; retur *ft(-);} defie ivft() retur./ft() defie ivpot() retur./power(2,); defie list(,k) {k=; pritf( %s %2s %2s, k /2, k, /k! ); while (k ) { pritf( %d %2.f %2.f, k, ivpot(k), ivft(k)); k++ } } list(,) quit produz o resultdo, (coveietemete editdo): k 2 k k! vemos que, pretemete, prtir de k = 4 se tem s > t Cosideremos est firmção um hipótese. Seguido o método d idução fiit, teremos que verificr o ecdemete lógico P() = P( + ) em que supomos que P() é verddeir pr > 4 =. > 4 == + > 4 + = 5 P() : 2 < ()! 2 < 4 < 5 < = 2 2 < < ( + )2 ( + )2 < ( + )! = ( + )! P( + ) : 2 + < ( + )! Logo P() = P(+) porque usmos P() um sucessão de trsformções lgébrics, tods legis, chegdo em P( + ), isto é, P( + ) é um cosequete lógico de P(). Etão, pelo teorem d idução fiit, > 3 ; (2 < ()!) == s > t (c) Defi S = s k e clcule os qutro primeiros termos dest sucessão. k= Solução: 3 É som de um ds colus de tbel feit cim. S = = k= S = = 2 k= S 2 = 2 = 2.5 k= S 3 = 3 = 2.75 k= S 4 = 4 = k= (d) Defi T = t k e clcule os qutro primeiros termos dest sucessão. k= Solução: 4 É som de um ds colus de tbel feit cim. T = = k= T = = 2 k=

43 T 2 = 2 = 2.5 k= T 3 = 3 = 2.6(6) k= T 4 = 4 = 2.78(3) k= k= (e) Defi S = s k e clcule os qutro primeiros termos dest sucessão. Sugestão clc < sucesso.clc Solução: 5 (f) Estimtiv do úmero e Mostre que i. Se k S(k) T(k) (6) (3) (6) (5) s k = 2 k ; S = s k ; T = k! k= k= Mostre que que existe T =< S ii. Se s k = 3 k ; S = s k ; T = k= k! k= Solução: 6 A demostrção d existêci dos úmeros i é semelhte que fizemos pr s potêcis de 2, por idução, depois de descoberto quem é i. Apes pr ghr tempo vmos ecotrr estes úmeros com um progrm de computdor: cso 2 k, foi feito cim, 2 = 4 cso 3 k, usdo o mesmo progrm k 3 k k! = 7 cso 4 k, usdo o mesmo progrm k 4 k k! = 9 cso 5 k, usdo o mesmo progrm Mostre que que existe T =< S iii. Se s k = 4 k ; S = s k ; T = k= 2 k! k= 2 Mostre que que existe 2 T =< S iv. Use um som dequd pr ecotrr um estimtiv pr o úmero e = k! k=

44 k 5 k k! = 2 estimtiv do úmero e Não temos ehum técic pr clculr s soms prciis k= ms temos um meio idireto pr obter um estimtiv do seu vlor. Vimos que s distits potêcis dos úmeros turis erm miores que o ftoril té certo poto e podemos usr isto pr clculr um proximção pr série k! k= k!. Vej seguite sucessão de cálculos que sugere como se pode fzer estimtiv: > 5 4! + 5!... (2.6) > 8 7! + 8!... (2.7) > 9! +!... (2.8) > 3 2! + 3!... (2.9) (2.2) Ests observções permitem ecotrr um mjorte bstte preciso pr série dos iversos dos ftoriis um vez temos séries geométrics cujos limites são cohecids pr servir de mjorte. Substituiremos série dos iversos dos ftoriis pel série geométric de rzão 5 prtir de k = 2 porque prtir dest poto série geométric é mior do série dos iversos dos ftoriis. e k= k! + (2.2) 5 k k=2 2. Prove s seguites idetiddes: e (2.22) e (2.23) e (2.24) ) k= b) k= c) k= d) k= k = ( ) 2 k 2 = ( )(2 ) 6 k 3 = ( ( ) 2 ) 2 k 4 = ( ) 3 Solução: 7 O método em todos os csos é o d idução fiit, fremos últim. A firmção que desejmos demostrr é P() k 4 = ( ) 3 k= Aplicdo hipótese de idução fiit k= k 4 = ( ) 3 Se, id, vler hipótese de idução fiit poderemos escreveri usdo expressão de P( + ) J = k= = I k 4 = (6( + )4 5( + ) 3 + ( + ) 2 )( + ) 3 Desejmos mostrr que I = J. Desevolvedo J. Vmos omitir o deomidor comum, 3, os cálculos, quer dizer que iremos ecotrr 3 I em vez de I. 6 ( ) -5 ( 3 3 ) 6 ( ) ( 2 ) -5 ( 3 3 ) ( - ) ( 2 ) ( ) 3 I)

45 3 I = (2.25) I = ( ) 3 (2.26) 3. Cálculo de soms Em questão terior form demostrdos resultdos, (qutro exemplos), ssocidos um tipo especil de serie. Vmos descobrir qui um teorem ssocido estes exemplos. () Prove que se P for um poliômio do gru etão é um poliômio do gru. Q(x) = P(x) = P(x + ) P(x) (b) Prove que existe um poliômio do gru tl que x = P(x) = P(x + ) P(x) Mostre que se P for um tl poliômio, etão R(x) = P(x)+k tmbém é solução d idetidde terior. (c) Bsedo os qutro exemplos referidos, quis ds firmções seguites precem verddeirs: i. Ddo um poliômio de gru Q de gru m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P ii. Ddo um poliômio de gru Q de gru m+, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P iii. Ddo um poliômio de gru Q de gru m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P iv. Sej Q for o poliômio Q(x) = x m, existe um poliômio P de gru m tl que Q = P (d) Expd som bixo usdo expressão obtid teriomete e verifique que k p = P() P() k= (e) Eucie um teorem respeito ds soms de potêcis bsedo os qutro exemplos cim evolvedo gru de poliômios. (f) Demostre o teorem. Solução: 8 () Um poliômio de gru é um expressão d form P(x) = x + + x + D álgebr de poliômios, sbemos que som de dois poliômios é um poliômio cujo gru é o máximo o mior dos grus dos poliômios evolvidos, portto P(x) = P(x + ) P(x) é um poliômio de gru o máximo = gru(p), veremos logo que gru( P(x). Do exposto vemos que os coeficietesde meor gru serão de pequeo iteresse, (ou ulo), pr demostrr o que precismos e podemos ssim cosiderr P(x) = x tomdo como ulos todos os coeficietes de gru iferior. Clculdo P(x) = P(x + ) P(x) = (x + ) x P(x) = Cx k k x k= P(x) = (C x + C kx k ) x k= P(x) = (x + C kx k ) x k= P(x) = x + x ( C kx k ) x k= P(x) = x ( Cx k k ) e portto P(x) é um poliômio de gru como querimos. Se tivessemos cosiderdo os demis termos form origil de P, o máximo terimos um expressão lgébric mis complicd pr um poliômio de gru meor ou igul. (b) Ddo um úmero iteiro, queremos provr que existe um poliômio P tl que P(x) = x. Do item terior sbemos que gru(p) = P(x) = x + + x + Coquto ão sej fácil escrever-se um fórmul pr resolver est questão, podemos rpidmete chegrumlgoritmo prático bsedo o triâgulo de Pscl. Observe que difereç tor o termo qulquer, porque ele vi ser cceldo, podemos cosiderr = k= P(x + ) = (x + ) + + (x + ) tem como mtriz todos s lihs do triâgulo de Pscl desde lih de ordem té lih de ordem, cd um dels multiplicd

46 pelo coeficiete do gru correspodete ordem. Vej o exemplo o cso d termição de P pr clculr s quit potˆcis. P vi ser um poliômio do gru 6, vej que, o efeturmos difereç P = P(x + ) P(x), todos os coeficietes de P serão subtridos d expsão de P(x + ) o que sigfic que os úmeros líderes de cd lih do triâgulo de Pscl, Ck k, serão cceldos: 6 ( ) 5 (5 5 ) 4 (4 6 4 ) 3 (3 3 ) 2 (2 ) () ( ) Com bse este esquem fcilmete podemos resolver o sistem de equções, clculdo, sucessivmete, prtir do vlor de 6 : e cosequetemete 6 6 = = 6 = = = 5 5 = 5 2 = 5 = = = 4 4 = = 4 = = = = = 3 = = = = 2 = 2 = ( ) = P(x) = 2x6 6x 5 +5x 4 x 2 2 k 5 = P( + ) P() = P( + ) k= Com um ligugem de progrmção, como clc 4, teremos Som ds quit-potêcis de té : Clculdo com o somtório : k 5 = Execute em Liux clc < list.clc, se list.clc estiver o disco. Ele deve comphr este livro k= Usdo expressão poliomil:p( + ) = O progrm: defie f() { retur (2*power(,6) - 6*power(,5) + 5*power(,4) - power(, } defie S(,som,k) { k = ;som = ; while (k <= ) { som = som + power(k,5); k++; } retur som; } pritf( Som ds quits potecis de teh ); pritf( Clculdo com o somtorio : ); S(,,); pritf( Usdo expressão poliomil: ); f(); quit A solução gerl, solicitd pel questão, é difícil de ser formlizd. Ds experiêcis que fizemos cim podemos propor o seguite lgoritmo pr determição d som ds potêcis p dos úmeros turis de té : A difereç P(x) = P(x + ) P(x) é um poliômio de gru imeditmete iferior o de P e el desprecem os termos de mior gru dos desevolvimetos de (x + ) k portto, P(x) = k x k = P(x) = [ k (x + ) k k x k ] k= Como (x + ) k tem por coeficietes s lihs de ordem k do triâgulo de Pscl, escrevemos o triâgulo té ordem, omitido os termos d form C k k que são os coeficietes de kx k e lih de ordem zero que correspode o. A últim lih do esquem são os coeficietes do poliômio que desejmos somr (ão precis ser extmete s potêcis p dos úmeros turis... ms ão vle pe est geerlizção porque ele se deduz d presete solução). Cd lih deve ser multiplicd por k em que k é ordem d lih e o esquem ssim obtido deve ser somdo colu por colu pr igulr com o correspodete elemeto d ultim lih k=

47 formdo ssim um sistem de equções pr determir s icógits,,..., 2, A mtriz deste sistem é triâgulrsuperiorestdo digol os úmeros C =, C 2 =,...,C 2 = 2, C = portto o determite é! e ssim o sistem tem solução úic. Se cosiderssemos o coeficiete o sistem ficri idetermido, cd vlor escolhido pr seri um ov solução possível. (c) São verddeirs s dus últims firmções. (d) Como, pr cd vlor de k tem-se k p = P(p + ) P(p) o somrmos restrá pes P( + ) P(). Exemplo: Som de um poliômio qulquer A geerlizção do problem cim é iútil, como veremos este exemplo. Supohmos que se deseje clculr Q(k) k= em que Q é um poliômio de gru p. Ms como Q é um poliômio, este problem se subdivide em p + soms tods do tipo estuddo cim. 4. Escrev um som de Riem pr x 2 e verifique que Solução: 9 x 2 3 ( )(2 ) 63 x 2 S = x ( + k x) 2 ; x = k= S = x (k x) 2 ) = x 3 k= k 2 k= S = 3 3 ( )(2 ) 6 = ( )(2 ) S 3 3 últim lih foi obtid pel equivlêci do comportmeto ssitótico de S. 5. Solução: Resolvido o item terior. 2.8 Sucessões gerds por soms de Riem Em vários potos deste livro fzemos referêci à soms de Riem como um método pr costruirsucessões. Este fto seráusdo mis frete obteção de fórmuls de itegrção. Vmos qui registrr lgus testes feitos por progrms de computção que podem servir pr su álise, flt de um computdor pr fzer s experiêcis, ou podem servir de gui pr que você repit s experiêcis com o progrm que se ecotr o fil dest seção Amostrgem esttístic com soms de Riem. x 2 =================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR.385 deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR

48 ================================== x 2 ================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,2] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 2 Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR 2.47 deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR x 2 Fução f(x) = x 2 Itervlo [,] ================================== O iício do itervlo de itegrção - O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR.77 deltx =. vlor d SR.6667 deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR x 2 ================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,] ================================== O iício do itervlo de itegrção

49 O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR x ================================== Fução f(x) = x Itervlo (,] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. 6. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR Os vlores ds soms de Riem ssocids itegrl o itervlo (,) ãoprecem covergir, pretemete crescem como um progressão ritmétic de rzão 2. Estes ddos ão são coclusivos, é um mostrgem muito peque. Teremos que provr que isto é verdde. 2 x = l(2) ================================== Fução f(x) = x Itervlo [,2] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 2 Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. x

50 7. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR Vlor pr comprção obtido com um máqui de clculr: l(2) = x = l(3) ================================== Fução f(x) = x Itervlo [,3] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 3 Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR l(3) = x = l(4) ================================== Fução f(x) = x Itervlo [,4] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 4 Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR

51 9. deltx = e-6 vlor d SR l(4) = x = l() =================================== Fução f(x) = x Itervlo [,] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR l() = x 2 ================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR.9555 deltx = e-6 vlor d SR.955 Coclusão: pretemete s soms de Riem ssocids est itegrl produzem umsucessãocovergete. O vlord itegrlé olimite dests sucessões. 2 x 2 ================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,2]

52 2. ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 2 Iício dos testes ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR Coclusão: pretemete s soms de Riem ssocids est itegrl produzem umsucessãocovergete. O vlord itegrlé olimite dests sucessões. 5 x 2 ================================== Fução f(x) = x 2 Itervlo [,5] ================================== O iício do itervlo de itegrção O fim do itervlo de itegrção 5 Iício dos testes 3. ================================== deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx =. vlor d SR deltx = e-5 vlor d SR deltx = e-6 vlor d SR Coclusão: pretemete s soms de Riem ssocids est itegrl produzem umsucessãocovergete. O vlord itegrlé olimite dests sucessões. Mis, s itegris x 2, 2 x 2, pretm covergir pr o mesmo vlor. Isto é verdde e tem que ser demostrdo. A verdde é mis forte: itegrl dest fução, semiret [, ) coverge pr um vlor precido com este limite que está sedo sugerido: Isto precis ser demostrdo: x 2 5 x 2 = x 2 ==================================

53 Fução f(x) = x 2 Itervlo [-,] ================================== O iício do itervlo de itegrção - O fim do itervlo de itegrção Iicio dos testes ================================== deltx =. vlor d SR e+3 deltx =. vlor d SR e+28 deltx =. vlor d SR e+27 deltx =. vlor d SR e+22 deltx = e-5 vlor d SR e+8 deltx = e-6 vlor d SR e+6 Coclusão: pretemete s soms de Riem ssocids est itegrl NÃO produzem um sucessão covergete. A itegrl ão coverge, ou simplesmete, itegrl ão existe Isto precis ser demostrdo e será feito mis frete. Observção: Iferêci esttístic e demostrção Aqui temos, de um ldo, difereç etre Mtemátic e s ciêcis experimetis. Um biólogo, um físico, um químico, fz experiêcis o lbortório e demostr os resultdos usdo os métodos d esttístic. É lgo precido com um pesquis de opiião os processos eleitoris se for coduzid com seriedde. Amostrgem é um método d Esttístic pr iferir um firmção verddeir de um populção. populção é o ome técico de um região (geometri), de um tipo de prtículs (fi sic), de um tipo de mteril químico (químic), de um tipo de céluls, virus, bctéris... (biologi). Em Mtemátic tmbém podemos usr estes métodos pr descobrir um teorem. Depois temos que lhe plicr s regrs lógics e mostrr que ele é verddeiro prtir de outros teorems d teori em que ele vi se equdrr. Um exemplo disto é um pesquis que vem sedo relizdo há lgus os por mtemáticos d áre de Teori dos úmeros. Eles estão usdo um redede computdores pr gerrúmeros primos eestãoprocurdo umlei de formção pr (eles esperm) lgums cdéis de úmeros primos. Até gor descobrirm lgums relções e prece que lgums dels já form demostrds Um progrm pr executr os testes com soms de Riem Abixo você tem um folh de trblho ligugem Pytho. Se você copir o texto pr o rquivo riem.py poderá executá-lo com pytho riem.py um shell do Liux. O resultdo será semelhte os testes presetdos cim. Além disto você poderá itroduzir modificções folh de trblho, trocdo s defiições ds fuções ou precisão do deltx, pr produzir outros testes. Você pode se dirigir o utor, e pedir um cópi dos progrms deste livro. Se você copir os progrms mulmete, observe tbulção que ligugem Pytho é sesível à tbulção. ## Clcul soms de Riem def riem(f, iicio, fim,deltx): som = ; while iicio < fim: som = som + f(iicio) iicio = iicio + deltx som = som*deltx retur som def f (x): retur x*x def f3(x): retur x def f4(x): retur def iv(x): if x==: y= else: y =./x

54 retur y ### re de comdos (scripts). ### N lih ### prit vlor d SR, riem(f2,iicio,fim, deltx) ### troque f2 pelo ome d fuco cuj som de Riem voce ### testr iicio = iput( O iicio do itervlo de itegrco ) fim = iput( O fim do itervlo de itegrco ) prit Iicio dos testes prit ==================================== deltx =. ### ### Clcul soms de Riem té que deltx ### sej meor que.. em lgus potos, ms ão tiverem um comportmeto ssitótico ulo, deixrão de ulr prtir de um certo poto. Este comportmeto ssitótico é o que chmmos de limite. Isto resolve o problem dos divisores de zero, quer dizer que C(N)/ o cojuto ds clsses de equivl^eci módulo-relç~o de equivl^eci é um el semdivisore de zero o qul todos os elemetos tem iversos, logo um corpo, isto é R. Mostre isto em todos os detlhes, (escrev um livro...). while deltx >.: prit deltx =, deltx prit vlor d SR, riem(f2,iicio,fim, deltx) prit - deltx = deltx/ 2.9 Costrução dos úmeros reis pelo método de Cuchy. Este é um projeto que extrpol o progrm d discipli Cálculo Diferecil e Itegrl. Nós vmos qui pes delier o projeto idicdo s etps. No livro cotedo solução dos exercícios, você poderá ecotrr o projeto desevolvido resumidmete.. um clssificção ds sucessões. Costru um clssificção ds sucessões, escolh um método qulquer e crie um clssificção. 2. use os coceitos crescete, moóto, decrescete, oscilte, limitd, ~o limitd pr crir um clssificção pr s sucessões. Tete defiir o coceitocomportmeto ssitótico. Recostru su clssificção. 3. sucessão de Cuchy, defi este coceito. Verifique que lgums ds clsses defids teriormete cem clsse ds sucessões de Cuchy. 4. O cojuto C(N) ds sucessões de Cuchy é um el com divisores de zero. 5. Solução pr o problem dos divisores de zero é cosiderr equivletes s sucessões que tehm mesmo limite. Porque quels que se ulrem

55 Cpítulo 3 Itrodução à Itegrção. Prte II Derivção e Itegrção uivrids 3. A itegrl de Riem Neste cpítulo vmos discutir itegrl que foi presetd, té gor, de form ituitiv e geométric. Vmos descrever, com lgum simplicidde, o método de itegrção, tribuido o mtemático lemão, Berrd Riem, s soms de Riem, como proximção pr o cálculo d itegrl. Aqui defiiremos itegrl como se costum estudr os cursos de Cálculo Diferecil e Itegrl e fremos lgus cálculos úmericos de itegris. Em cpítulo mis frete voltremos o ssuto ssocido itegrl e derivd qudo mis lgus resultdos poderão etão ser deduzidos iclusive um teorem deomido TeoremFudmetl docálculo cotedo um fórmul pr cálculo de itegris. Neste cpítulo vmos profudr o sigificdo de x 2 = 3 3 eucido ssim, um primeir versão do Teorem Fudmetl do Cálculo. 3.2 Itegrção geométric. Vmos começr clculdo proximdmete váris itegris pr torr mecâico o uso d som de Riem como método de proximção de itegris. Neste livro itegrl represet áre lgébric delimitd pelo gráfico de um fução f etre dois potos ddos de seu domíio, est é form de se iterpretr itegrl o Cálculo: b o símbolo f represet est áre limitd pelo gráfico de f e o eixo OX desde x = té x = b. Exercícios: 2 Cálculo proximdo d itegrl. Represete geométricmete s seguites itegris: 98 99

56 ) d) g) j) m) b) 4 c) 4 4x e) 4x + 3 h) x + 4 k) 3 2 4x f) 4x 3 i) 3 x 4 l) 3 3 4x x 4 x 3 x 2 + 2x + ) x 2 o) x Clcule s itegris idicds questão terior que você souber clculr. 3. Clcule proximdmete s itegris: ) x 2 + 2x + b) x 2 c) 4 x 2 3 Fç, por exemplo, um proximção ds áres com retâgulos,trpésios ou triâgulos, coforme for coveiete. 4. Como 3 3 b Pr clculr proximdmete f podemos subdividir região em triâgulos, retâgulos ou trpésios, coforme coveiêci ou de cordo com s possibiliddes geométrics d figur. Etretto ão se gh muito com este detlhe, muito mis se gh qutidde de subdivisões, e, turlmete com o uso de um progrm de computdor. A expressão forml que se prest fcilmete pr se utilizr um progrm é um som de Riem. Experimete s fuções riem(), riem grfu() o rquivo riem.py. Digite pytho riem.py depois de editr o rquivo. Vejs s últims lihs do mesmo. As soms de Riem usm exclusivmete retâgulos. Pr obter estes retâgulos, se sub-divide o itervlo [, b] em sub-itervlos o o s subdivisões stisfzem um progressão ritmétic de rzo x = b. Este vlor x é tmbém o tmho, (medid), d bse de cd um dos sub-itervlos. Os potos que mrcm s sub-divisões são:, + x, + 2 x, + 3 x, + k x,, + ( ) x = b x N figur (fig. 3.) pági, você pode ver os retâgulos de bse.5 proximção d itegrl. Vej tmbém um proximção mis fi (ou mis precis) (fig. 3.2) pági 6 b f(x) = x 2 + 2x + = h(x) + g(x) + r(x) ; h(x) = x 2 ;g(x) = 2x; r(x) = etão se coveç, com uxílio de gráfico, que b b b b x 2 + 2x + = x 2 + 2x Expressão forml do cálculo d itegrl Nós id ão sbemos clculr s tres itegris x 2 + 2x + x 2 4 x São regiões limitds por cotoros ão retilíeos. Neste mometo tudo que podemos fzer é clculr ests áres proximdmete. Isto será ilustrd em detlhe mis bixo e será discutido com mis profudidde em outro cpítulo. Um simples observção pode etretto os dr subsídios pr um psso mis lém. Vej que f(x) = x 2 + 2x + = g(x) + h(x) + r(x) ; g(x) = x 2 ; h(x) = 2x ; r(x) = Um som de fuções, logo áre etre f e o eixo OX vi ser som ds áres de g, h, r limitds pelos respectivos gráficos e o eixo OX. Simbolicmete: x 2 + 2x + = Pelo meos dus desss itegris são fáceis de clculr, ssim dividimos dificuldde em pedços... x 2 + 2x +. Figur 3.: Som de Riem pr fução y =.5se(6x)+9 x 2 com psso de itegrco.2 Observe que o último ó ão é b, ms sim b. Pr cd um desss bses, cosiderremos ltur f( + k x) em que k vri desde té : f(),f( + x), f( + 2 x), f( + k x),, f( + ( ) x).

57 Quer dizer que os retâgulos tem por áre: f() x, f( + x) x, f( + 2 x) x, f( + ( ) x) x A som dests áres é o vlor proximdo d itegrl: Defiição: 9 Som de Riem. f( + k x) x. k= 6. Verifique experimetlmete (soms de Riem) que riem() i riem.py. 7. som de RiemProve desiguldde: k 2 < 3 x 2 < k= k= k 2 x 2 = 3. Use N proxim seção lgus cálculos feitos com um progrm em Pytho vão ilustrr umericmete e grficmete o sigificdo d som de Riem Exercícios: 2 Expressão forml do cálculo d itegrl. Escrev soms de Riem, com sub-itervlos, pr proximr cd um ds itegris bixo: ) 3 3 x 2 + 2x + b) 3 x 2 c) x Re-escrev s soms de Riem umetdo precisão, de modo que os sub-itervlos teh medid. Use um clculdor ou computdor e clcule ests itegris. 3. Descubr experimetlmete um poto e R tl que e x = 4. Verifique que ds dus soms de Riem bixo, um forece um proximção por flt e outr por excesso d itegrl x 2 ; k 2 2 ; k 2 2 idetifique quem é quem. Use riem() i riem.py. 5. Verifique que ds dus soms de Riem bixo, um forece um proximção por flt e outr por excesso d itegrl x p ; p N ; p > ; k p p ; k p p 8. som de RiemProve desiguldde: k 3 < 4 k= 9. som de RiemProve desiguldde: 3 4 k 3 < k=. som de RiemProve desiguldde: k p < p+ k=. som de RiemProve desiguldde: 4 4 k 3 < k= 2. som de RiemProve desiguldde: p+ p+ k p < k= x 3 < k= x 3 < 3 4 x p < x 3 < 4 4 k 3 k= k= k= x p < p+ p+ 3. Expresse como um som de áres de triâgulosisósceles, (ou de retâgulos um proximção pr áre do círculo de rio. k 3 k p k 3 k= k 3 idetifique quem é quem. Use riem() i riem.py.

58 3.4 Cálculo umérico d itegrl Vmos clculr s áres dos retâgulos f(x) = x 2 + 2x + Os ddos tbels bixo mostrm sid de ddos de um progrm em Pytho pr o cálculo d itegrl do exercício 3, com x =.2. O gráfico 3.2, pági 6, mostr os retâgulos cujs áres se ecotrm clculds bixo. O gráfico foi feito com uxílio do Guplot. x = -3 f(x)*delt =.8 som cumuld =.8 x = -2.8 f(x)*delt =.648 som cumuld =.448 x = -2.6 f(x)*delt =.52 som cumuld =.96 x = -2.4 f(x)*delt =.392 som cumuld = x = -2.2 f(x)*delt =.288 som cumuld = 2.64 x = -2. f(x)*delt =.2 som cumuld = 2.84 x = -.8 f(x)*delt =.28 som cumuld = x = -.6 f(x)*delt =.72 som cumuld = 3.4 x = -.4 f(x)*delt =.32 som cumuld = 3.72 x = -.2 f(x)*delt =.8 som cumuld = 3.8 x = -. f(x)*delt =. som cumuld = 3.8 x = -.8 f(x)*delt =.8 som cumuld = 3.88 x = -.6 f(x)*delt =.32 som cumuld = 3.2 x = -.4 f(x)*delt =.72 som cumuld = 3.92 x = -.2 f(x)*delt =.28 som cumuld = 3.32 x =.3 f(x)*delt =.2 som cumuld = 3.52 x =.2 f(x)*delt =.288 som cumuld = 3.88 x =.4 f(x)*delt =.392 som cumuld = 4.2 x =.6 f(x)*delt =.52 som cumuld = 4.72 x =.8 f(x)*delt =.648 som cumuld = 5.36 x =. f(x)*delt =.8 som cumuld = 6.6 x =.2 f(x)*delt =.968 som cumuld = 7.28 x =.4 f(x)*delt =.52 som cumuld = 8.28 x =.6 f(x)*delt =.352 som cumuld = x =.8 f(x)*delt =.568 som cumuld =.2 x = 2. f(x)*delt =.8 som cumuld = 3. x = 2.2 f(x)*delt = 2.48 som cumuld = 5.48 x = 2.4 f(x)*delt = 2.32 som cumuld = 7.36 x = 2.6 f(x)*delt = som cumuld = x = 2.8 f(x)*delt = som cumuld = deltx =.2\idex{itegrl!proxim\cedi\~o} Vlor proximdo d itegrl Repetido os cálculos com vlores meores pr o x temos o seguite: bse de cd retgulo eh deltx =.2 o vlor d itegrl proximdo eh = \idex{itegrl!proxim\cedi\~o} bse de cd retgulo eh deltx =.6 o vlor d itegrl proximdo eh = \idex{itegrl!proxim\cedi\~o} bse de cd retgulo eh deltx =.6 o vlor d itegrl proximdo eh = O vlor exto dest itegrl é: 24, e um progrm empytho pr clculá-l, proximdmete, é: Exemplo: 2 Um progrm em Pytho pr clculr itegris ## iicio do rquivo itegrl.py def f(x): retur x*x ## fução f ser itegrd. def itegrl(f,iicio,fim): iicio = iput( iicio do itervlo [, b] > = ) fim = iput( fim do itervlo [, b] > b = ) som = deltx =. ## precisão do cálculo. while (iicio < fim): som = som + f(iicio) iicio = iicio + deltx som = som*deltx retur som iicio = fim = prit itegrl(f,iicio,fim) ## fim do rquivo itegrl.py Rode este progrm ssim. N lih de comdos do LiuX digite: $ pytho itegrl.py Você pode lterr defiição de f, vej o progrm ode está def f(x), equção e ssim clculr outrs itegris. O progrm pede os extremos do itervlo de itegrção. Observção: Cometdo o progrm Não cosidere como poto de hor eteder um progrm de computção gor. O utor deste livro levou quse 5 os pr coseguir eteder os progrms de computção... Use os progrms, e os poucos eles pssrão fzer prte de su vid. Existe um regr quse sem exceção, em Uix (LiuX é Uix). O símbolo # represet cometário e o progrm igor o que vier depois deste sil té o fil d lih. Assim podemos iserir os progrms cometários pr o outros que forem usr os progrms. No progrm você pode ecotrr o cometário precisão do cálculo o ldo d vriável deltx. Est é medid d bse dos retâgulos com itegrl está sedo clculd. Troque por vlor meor se quiser ter mis precisão, ms verá que logo deix de vler pe, porque precisão máxim d máqui será tigid.

59 Observe que o progrm bixo o se ecotr o rquivo riem.py. Voce dever digit -lo e grv -lo em su re de trblho. ## iicio do rquivo itegrl.py def f(x): retur x*x ## fuc o f ser itegrd. soms de Riem 9 dt Figur 3.2: Gr ficos dos ret gulos d som de Riem pr R3 x2 + 2x + com psso.2. 3 Etretto se voce iicir os c culos com vlores miores pr deltx, o substituir vlores meores, ver que c lculo se tor mis preciso. Experimete iicir com def itegrl(f,iicio,fim): fim = som = deltx =.; ## precis o icil do c lculo. while deltx >.: som = x = deltx while (x < f im): som = som + f(x) x = x + deltx som = som*deltx prit som deltx = deltx/2 retur som prit itegrl(f,iicio,fim) ## fim do rquivo itegrl.py deltx =. e depois o substitu sucessivmete por.,.,.. Se voce tiver executdo experie ci, lhe ter precido te os olhos sucess o:.385,.32835, , , , correspodetes R x2 clculd com este progrm em que usmos deltx {.,.,.,.,.,.} Se voce for le m mis um pouquiho ter desgrd vel surprez de ver que m qui comec se perder... ms e bom que isto cotec pr que voce desmistifique m qui. No s, e o s m quis, sbemos com cotorr est dificuldde pr obter preciso es id miores, mis isto o cbe ser discutido qui. N pro xim list de exercı cios o s vmos usr o que o progrm os ofereceu, (supodo que voce teh usdo o progrm, turlmete). Observe que sucess o ds soms de Riem prece produzir um sucess o de u meros com um comportmeto ssito tico presı vel. Pr uso o exercı cio bixo, use seguite vers o do progrm itegrl.py Mis dite vmos lhe presetr um outr ltertiv computciol usdo um m qui de clculr bem poderos que pode estr istld os computdores que voce tiver cesso. Os progrms usdos este livro podem ser coseguidos vi e-mil com o utor. Est vers o difere d terior os seguites potos, gor iicio vle deltx e fim=, quer dizer que ele clcul Z f (x). Ale m disto, o pro prio progrm si dividido sucessivmete deltx por dois, voce tem pes que setr-se e olhr o resultdo... Pr rodr este progrm fc o seguite: Primeiro copie o texto do progrm pr um rquivo chmdo itegrl.py. Altertiv, rrume um disco com os progrms com o utor do livro. Digite, um shell do LiuX, pytho /home/seu-ome/clculo/itegrl.py porque estmos supodo que voce est trblhdo um diretorio chmdo clculo em su re de trblho.

60 Qulquerdúvid, cotcte trcisioe-mth.ms.orgdescrevedo cuiddosmete dificuldde ecotrd. Jute cópi de evetuis mesges de erro. Exercícios: 22 Cálculo umérico d itegrl. Rode o progrm itegrl.py com s itegris bixo e decid em que csos prece hver um comportmeto ssitótico. ) x 3 b) e) x 4 f) x c) x+ x g) x + 3 d) x x+ h) x 2 x+ x+2 2. Existem extmete três csos em que o comportmeto ssitótico d sucessão de Soms de Riem fic idefiido. Tete ecotrr um explicção. 3. Verifique que se, um som de Riem pr b f, os sub-itervlos tiverem todos o mesmo tmho b etão som de Riem é um multiplo de b por um médi de vlores de f, explicite que médi é est. 4. Usdo o resultdo do exercício terior, prove que se explicitdo o vlor de M. b f = M(b ) b f existir, etão 5. prtição do itervlo A metodologi usd pelo progrm itegrl.py cosiste em, sucessivmete, dividir os itervlos metde pr obter um ov coleção de sub-itervlos pr som de Riem seguite. Cosidere som de Riem f( + k x) x k= e escrev expressão d som de Riem em que x é metde de x = b. 6. Supoh que os vlores V, V,,V são os resultdos ds medids d velocidde de umcrro tomds itervlos regulres (iguis) do tempo t [, b]. () Qul velocidde médi V m? (b) Qul distâci percorrid pelo veículo? (c) Expresse este vlores um fórmul usdo expressão d itegrl. 7. Descubr, geometricmete, s soluções d equção: x 3 t = x 6 t 3 8. Trsforme um equção lgébric equção: x 3 t = x 6 t 3 9. Verifique quis ds itegris bixo é positiv: 2π 2 ) x + se(x) b) x cos(x) Observção: 2 Prtição de um itervlo Prtição, refimeto d prtição, sucessões, fução escd. 3.5 Cálculo de lgums itegris. Vmos mostrr, com um exemplo, que em lgus csos é possível clculr com precisão (extmete) itegrl de um fução cujo gráfico ão é costituido de rets. Não vmos isistir ests idéis o presete cpítulo porque há um cpítulo mis frete em que retomremos o cálculo ds itegris qudo etão você será coduzido às fórmuls de itegrção. Neste mometo o objetivo está bem idicdo o título, cálculo umérico ds itegris. Etretto, bse do que fremos o futuro está qui, estes csos prticulres que estmos estuddo. Exemplo: 3 Áre sob prábols Vmos clculr áre x 2 ; >. Se dividirmos em sub-itervlos o itervlo de itegrção [, ] isto quer dizer que seleciomos potos itermediários que chmremos ós etre e. Isto pode ser feito de muits meirs 2, por exemplo, podemos subdividir o itervlo em sub-itervlos de mesmo comprimeto:. Neste cso os ós serão: Dizemos id que fizemos um prtição o itervlo. = x,, 2, 3,, = ; > 3 Podemos cosiderr retâgulos que tehm por bse cd um destes sub-itervlos e f( k ) como ltur, ver (fig. 3.) pági. 2 Vej qui um exemplo d multiplicidde de represetção dos úmeros, um itegrl é um úmero.

61 Cd retâgulo terá por áre: k f( ) em que k vri desde té. Temos ssim: A k = k f( ) = k (3.) A k = k2 3 3 = k (3.2) s = A k = k (3.3) k= k= s = 3 3 k 2 (3.4) k= Exemplo: 4 Cálculo computciol Com um máqui de clculr dotd de memóri, você pode descobrir um vlor proximdo pr x 2 pr o vlor escolhido pr, e um vlor tmbém escolhido de, (precisão escolhid). Vmos usr = temos: s = 3 ( ) == = Mis cocreto,.395. Com uxílio do computdor s coiss id podem ficr mis clrs. Vmos ver um ltertiv os progrms em Pytho que lhe presetmos cim. Aqui vmos usr um máqui de clculr clc que pode estr istld os computdores que você tiver cesso. Se ão estiver, reclme. Escolh o que lhe precer mis fácil de usr. Se você tiver cesso um estção LiuX digite o seguite progrm o rquivo deomido 3 itegrl.clc som =. for (=; <= ; ++) { for (k=; k<=; k++) { som = som + k*k; } som = som/(**); pritf("%f/", som); } e depois, um áre de trblho, e o mesmo diretório em que estiver o rquivo itegrl.clc, digite: clc < itegrl.clc e você vi ver precer, te os seus olhos, um list de úmeros o ultimo sedo Se você trocr, segud lih, por ( = ; <= ; + +) ( = ; <= ; + +) você poderá observr os primeiros lgrismos se comoddo os poucos 4 em cim de 3 porque tedêci, ou o comportmeto ssitótico deste processo, cosiste em que todos os lgrismos se torem 3, quer dizer ou x x 2 = 3 e observe que segud equção escrevemos = e ão. No exemplo, dissemos que prtição do itervlo [, b] pode ser feit de muits meirs. Usmos um meir em que os sub-itervlos todos tem mesm medid. Qudo se fz ssim, se diz que prtição é uiforme. Este é um cso prticulr de prticiometo de itervlos, qudo fzemos demostrções usmos um formto mis gerl que ão discutiremos este livro. Exercícios: 23 Sucessões de soms de Riem. Escrev um sucessão de soms de Riem, ssocids prtições uiformes do itervlo [,] pr cd um ds fuções bixo e deduz um lei. () fuções costtes. (b) f(x) = x (c) f(x) = x ; Escrev um sucessão de soms de Riem, ssocids prtições uiformes do itervlo [, ] pr cd um ds fuções bixo e deduz um lei. () fuções costtes. (b) f(x) = x (c) f(x) = x ; Fuções defiids por um itegrl. Podemos, com uxílio d itegrl, defiir ovs fuções se deixrmos um dos limites de itegrção livre. Cosidere um fução f itegrável em um itervlo I d ret. Podemos defiir ov fução com seguite fórmul: 4 Se ão fucior é porque estção LiuX ão tem clc istldo, ele é grtuito, peç que o istlem 3 Um progrm em C.

62 Defiição: Fução defiid vi itegrl em que, x I. F(x) = x f(t) Defiição: Primitiv de um fução itegrável Se f for itegrável em um itervlo I d ret, etão fução F(x) = se chm primitiv de f com vlor iicil. x f; ;, x I Outrs proprieddes ds primitivs serão estudds mis frete juto com s proprieddes d derivção. Aqui veremos s mis simples e imedits Algums primitivs Exercícios: 24 Fuções defiids vi itegrl. fução defiid vi itegrl. Defi um ov fução, prtir de f(t) = t + 3 d seguite form: () Clcule F(); (b) Clcule F() (c) Clcule F(-2) (d) Clcule F(-3) F(x) = (e) Ecotre fórmul lgébric de y = F(x). 2. Primitivs Clcule s primitivs com o vlor iicil idicdo, pr s seguites fuções: fução vlor iicil fução vlor iicil ) f(x) = 3 = b) f(x) = 3 = 3 c) f(x) = 3 = 3 d) f(x) = = 3 e) f(x) = x = f) f(x) = x = 3 g) f(x) = x = 3 h) f(x) = x = i) f(x) = x 2 = j) f(x) = x 2 = 3 l) f(x) = x 2 = 3 k) f(x) = x 2 = x f; Costrução gráfic de primitivs Descobrir um primitiv F de um fução dd, é um tref muito difícil, iclusive com possibiliddes muito grdes de resultdos egtivos: simplesmete, há itegris que ão sbemos clculr. Mesmo quels que sbemos, o sbemos por um herç que devemos gurdr com criho dos que os tecederm costrução d ciêci que temos. Form descoberts csuis de quem muito estudou. Nós vmos, os exercícios dest seção, descobrir lgums primitivs com uxílio de gráficos. Muitos destes cálculos serão retomdos mis frete com outros métodos, usdo derivd. Um progrm de computdor, o fil dest seção, lhe permitir visulizr costrução feit. Exercícios: 25 Primitivs de lgums fuções. O sigificdo dos coeficietes ret Objetivo do exercício: idetificr o sigificdo dos coeficietes fução do primeiro gru o clculrem-se primitivs. () Cosidere f(t) = t. De um vlor positivo pr e clcule F(x) = Altere o sil de e verifique que existe um relção etre o sil de e o positiciometo d prábol y = F(x). Estbeleç um regr. (b) Observe que questão terior, idepedete do vlor de, F tem pes um riz. Qul? (c) Clcule gor primitiv F(x) = x c x f f ; c ; verificdo gor que F tem dus rizes, quis? (d) Cosidere gor f(x) = x + b e clcule equção d primitiv Quts rizes tem f? (e) Verifique quts rizes tem F(x) = F(x) = x c x b f. f ; c b lisdo os dois csos que se pode escolher pr c.

63 (f) Escrev um Teori Gerl ds primitivs pr s fuções do primeiro gru. 2. Verifique que região em que f(t) > etão F(x) = cresce. Observe que ão iteress o vlor iicil α pr este fto. 3. Verifique que x α F(x) = b + pss o poto (, b) Este poto é chmdo de codiç~o iicil. 4. codição iicilpr cd um ds fuçõesbixo e codição iicil dd, ecotre correspodete primitiv: f cod. iicil f cod. iicil f cod. iicil )y = x + 3 ; (,) b) y = x + 3 ; (,) c)y = x + 3 ; (, ) d)y = x 3 ; (,) e) y = x 33 ; (,) f)y = x 3 ; (, ) g)y = 2x + 3 ; (,) h) y = 2x + 3 ; (,) i)y = 2x + 3 ; (, ) j)y = 2x + 3 ; (,) k) y = 2x 3 ; (,) l)y = 2x 3 ; (, ) 5. Problem iverso () Fç o gráfico de F(x) = 2x + 5 e deduz, lisdo ode F cresce ou decresce, um fução f de quem F é primitiv. (b) Fç o gráfico de F(x) = 2x 5 e deduz, lisdo ode F cresce ou decresce, um fução f de quem F é primitiv. (c) Deduz, do experimeto feito, um Lei Gerl se referido uicidde ds primtivs (existêci ou iexistêci d uicidde). 6. Problem iverso () Fç o gráfico de F(x) = 2x 2 + 5x + e deduz, lisdo ode F cresce ou decresce, um fução f de quem F é primitiv. (b) Fç o gráfico de F(x) = 2x 5 e deduz, lisdo ode F cresce ou decresce, um fução f de quem F é primitiv. (c) Formule, prtirdos experimetosfeitos, um Lei Gerlse referido uicidde ds primtivs preseç de um codição iicil. f x f () Prove que se f(x) = x 2 + bx + c etão F(x) = x α f = x α t 2 + b x α t + c (b) Prove que F é um fução poliomil do terceiro gru. 8. Admit que que o gráfico ds fuções se, cos correspodem o que lhes é tribuido figur (fig. 3.3), (fig. 3.4) s págis 6, 7. () Verifique geometricmete que itegrl de dus bolhs sucessivs é zero. (b) Admit que áre de qulquer bolh é 2. Observção: 3 Verifique que π se = 2 Você pode verificr que itegrl de um bolh é 2, uméricmete, usdo o progrm itegrl.py modificdo. Vej o rquivo itegrl se.py, observe defiição de seo(x) ode está lih: from mth import si sem qul o progrm ão etederi lih seguite: retur si(x). Alterdo últim lih prit itegrl(seo,, pi), grve o rquivo e depois digite pytho itegrl se.py e você vi ver tel que é proximção de 2 correspodete o vlor que deltx tem o progrm. x i. Verifique que se(x) = cos. x ii. Verifique que cos(x) = se. Observe o sil itegrl e vlor iicil. 9. Verifique que fução do terceiro gru, (fig. 3.7) pági 2, é primitiv d fução do segudo gru (fig. 3.6) pági 9. E que fução do segudo gru é itegrl d fução do primeiro gru, (fig. 3.5) pági 8. π 2 x α. 7. Primitiv d fução do segudo gru

64 seo dt grfico do coseo dt Figur 3.3: Gráfico d fução y = se(x) Figur 3.4: Gráfico d fução y = cos(x) A fução logritmo A fução seguite tem um ome: Defiição: 2 Logritmo turl. L(x) = x t ; x >. É muito possível que você coheç o ome dest fução e su defiição com o uso de outros métodos. Nós vmos usr o método d itegrl pr defií-l Você verá mis frete, qudo voltrmos estudr de form mis profudd s proprieddes do logritmo, que s dus defiições coïcidem. Vej o pr de figurs (fig. 3.9), pági 22 e (fig. 3.8), pági 2 pr comphr o sigificdo d defiição e ds proprieddes do logritmo que vmos estudr qui. Exercícios: 26 O logritmo turl. Fução logritmo turl x Sej F(x) = f(t) com f(t) = t. Prove que o domíio dest fução é R ++, o cojuto dos úmeros reis estritmete positivos. 2. Escrev um som de Riem uiforme pr f(x) = x o itervlo [, b] ;, b >. Prove, com uxílio d som de Riem, que b b/ t = t = 3. Verifique que est propriedde, é típic d fução f(t) = t. 4. Deduz que F(b) = F() + F(b). A fução b t = trsform produto em som. b t + t /b t. x F(x) t ; x > 5. A fução logritmo turl Verifique que se x log(x) = t ; x >. etão log tem s seguites proprieddes: = F() + F(b). Isto é, F(b) =

65 primeiro_gru fuco do segudo gru 5 6 dt dt Figur 3.5: Gr fico de um polio mio do primeiro gru () x > log(x) > 6. A fuc o logritmo turl Verifique geometricmete s proprieddes seguites: () Mostre que curv grf ( x ) e sime tric em toro d ret y = x. (b) Deduz disto que o coeficiete gulr istt eo do grf ( x ) o poto (, ) e. re 2, sugest o, prove que existe um tri gulo de R2 cotido regi o idetificd pelo sı mgolo t. Observc o: 4 Figur 3.6: Gr fico de um fuc o do segudo gru x y = x+y. (c) x (, ) log(x) <. 2 O me todo que se usou pr descobrir est fuc o foi o d propriedde ditiv ds pote cis reltivmete multiplicc o de pote cis de mesm bse: (b) log() =. (c) Mostre que log(2) < -2 Assutos de Museu Os logritmos form m qui de clculr dos ossos tepssdos. Est propriedde, trsformr produtos em som foi um propriedde fudmetl, se culos tr s, permitido costruir um ds primeirs m quis de clculr lo gico-lge bric de que Humidde tem registro. O logritmos form descoberto possivelmete por Joh Npier o fil se culo 4. H outrs, como o tri gulo de Pscl que os chieses cohecerim milhres de os tes de Pscl. O ome que se deu fuc o F, que trsform produtos em soms, foi logritmo. Vej um peque tbel de logrimos decimis que, (fc um busc o ı dice remissivo, procure tbel ), e prtique um pouco um c lculo que foi importte te metde do se culo 2, qudo os poucos s m quis ele trics destrorm o logritmo depois de quse seiscetos os de reido bsoluto. Os museus s o locis sgrdos em que oss cultur, ssim cultur que ossos tepssdos os legrm, est gurdd e e permete posto em ligc o com o presete s m os de pessol especilizdo. N o fosse cegueir de um clsse domite esdru xul e igorte, os museus estri bem coservdos e bem mtidos pr exercer o seu ppel complemetr juto escolridde regulr. H muitos ssutos d escolridde regulr que devem seguidmete pssr pr s prteleirs e esttes dos museus e iclusive lgus devem ir l ser buscdos pr justificr lgus ftos do presete. Prte do que Escol id fz com os logritmos e ssuto de museu. Hoje id tem gete que pes que logritmos servem pr fzer cots... e id tem escols que repssm est ide i trzd e ridı cul pr os luos. Sim, e um ide i ridı cul for do seu cotexto dequdo. Logritmo como mqui de clculr e item de Museu. E os Museus s o cois se ri. Ao mesmo tempo, s Escols devem ir os Museus pr que os luos tomem cohecimeto dos pssos sofridos com que Humidde costruiu o cohecimeto que domimos hoje. Agor, Escol o e Museu! embor lgus te desejem que o ssuto escol vire to pico de Museu, pr possivelmete queimr os Museus, s Escols e Histo ri, tudo de um so vez.

66 fuco do terceiro gru 6 dt Grfico de y = /x ; x >.5 2 dt Figur 3.7: Gráfico de um fução do terceiro gru Figur 3.8: Gráfico de f(x) = x ; x > Ms os logritmos dquirirm outr fução muito importte, sobretudo o logritmo turl, porque fução f(t) = está evolvid com diversos feômeos críticos, como t rditividde. Dremos exemplos disto o cpítulo em que itegrção e derivção serão estudos em cojuto. Ver logritmo o ídice remissivo. 3.7 Vlor médio. Nest seção vmos geerlizr, usdo itegrl I = b um resultdo cohecido que forece áre de um trpésio. Um trpésio é um troco de triâgulo obtido pelo corte de um triâgulo por um ret prlel à bse. Como cosequêci dest cotrução podemos ecotrr um bse médi de modo que áre será bse médi vezes ltur. Isto pode ser tmbém iterpretdo como sedo lur médi vezes bse. Vmos cosiderr est segud iterpretção e o resultdo ode desejmos chegr é que o vlor de um itegrl pode ser obtido usdo-se um ltur médi (vlor médio de f) vezes bse (b ). I = b Etre s utilizções dos cálculos que vmos fzer qui se ecotr o próprio vlor médio de um fução. f, f = V l Med(f)(b ) Exercícios: 27 Vlor médio de um fução. Um móvel prte do repouso e, com velocidde costte de 5Km/h, (supoh que isto sej possível), trfeg por h. () Trce o gráfico d velocidde cotr tempo: y = v(t). (b) Trce o gráfico d distâci cotr tempo: y = s(t). (c) Iterprete itegrl h v(t)dt. (d) Iterprete expressão h s(t)dt. h 2. Um pedr é rremessd com velocidde v o o logo de um direçào que fz âgulo de 45 o com horizotl. Pel segud lei de Newto, el ci por terr lgus metros mis frete e pr em seguid devido o trito com o solo. Simule, grficmete, sem grdes detlhes, cosidere o vlor do tempo em que pedr prou: () O gráfico d velocidde cotr tempo: y = v(t). (b) O gráfico d distâci cotr tempo: y = s(t). (c) Iterprete itegrl v(t)dt.

67 5. Eucie um teorem reltivmete expressão b 6. Verifique que o vlor d itegrl f(t)dt t t 2 t ão está defiid se f for fução defiid por t f(x) = x > f(x) = x com t < < t. Escolh lgus vlores pr t, t. Justifique porque. Observção: 5 Médi ritmétic poderd A comum médi ritmétic, que se escreve b f. Figur 3.9: Gráfico d fução logritmo turl (d) Iterprete expressão h s(t)dt. 3. Escrev um som de Riem pr expressão b b sob hipótese de que itegrl existe. f(t) 4. médi ritmétic poderd Sob hipótese de que som de Riem pr expressão e prove que M é d form t M = f(t)dtt, t 2 [, b] t t 2 t M = p i f(x i ) ; k= b p i = k= f exist, escrev um um médi ritmétic poderd de um mostrgem dos vlores de f o itervlo [t, t 2 ]. M = Médi ritmétic de,b = + b 2 tmbém se poderi escrever M = b slietdo que os úmeros e b estão sedo multiplicdos pelos pesos 2, 2. Clro, pesos iguis. Vemos ssim que médi ritmétic d mis é que um cso prticulr d médi rtimétic poderd qudo os pesos são iguis. A médi poderd é um cso mis gerl de médi que se descreve ssim: Defiição: 3 Médi poderd Ddos úmeros p,,p e vlores ddos,,, podemos clculr médi ritmétic poderd destes vlores com expressão: p + + p p + + p. Os úmeros p,,p chmm-se pesos. Existe um outr defiição de peso que é seguite: Defiição: 4 pesos úmeros p,,p são chmdos pesos se forem positivos e p + +p =. Um exercício de ritmétic cosiste em mostrr que est defiição pode ser escrit ssim:

68 Teorem: 4 Médi ritmétic poderd Ddos pesos p,,p, médi ritmétic poderd dos úmeros,, reltivmete estes pesos é M = p + + p Obvimete, smédisritméticspoderdspodem serchmdsde médis ritmétics vicids por um coleção escolhid de pesos. O djetivo vicid pode ser tomdo o setido que você bem desejr Fucão cotíu Este ssuto será estuddo em cpítulo mis frete. Aqui vmos fzer uso do coceito de form ituitiv. A fução defiid pelo pr de codições f(x) = x > f(x) = x dá um slto origem. É est impossibilidde que se ecotr meciod em exercício sobre velocidde. Se iterpretrmos f como velocidde de um corpo, pr x < velocidde é ul, portto o corpo está em repouso. De repete, pr x > velocidde do corpo é. Houve um slto de velocidde 5. As fuções que dão sltos são chmds descotíus e, cotrrimete, s fuções que ão dão sltos são chmds cotíus. A rzão porque f(t)dt t t 2 t ão está defiid se f for fução defiid por t f(x) = x > f(x) = x com t < < t. é porque f ão é cotíu o poto e est itegrl represet o vlor médio o itervlo [t, t ]. Foi isto que sus experiêcis detectrm, os vlores d itegrl depedem dos extremos de itegrção. Em prticulr se t = t o vlor d itegrl será 2. Nós podemos defiir fução cotíu prtir destes ftos: Defiição: 5 Fução cotíu f Um fução [, b] rightrrow R é cotíu se pr quisquer subtitervlo [t, t ] [, b] o vlor Exercícios: 28 Vlor médio e cotiuidde. Verifique que expressão 2. Verifique que expressão t f(t)dt t t 2 t está defiid pr fução módulo, ms depede dos vlores dos extremos d itegrl. Verifique o que cotece se t < < t 2 ; t = 2 t 2. Depois verifique o cotece se t < < t 2 ; 2 t = t Iterprete os resultdos teriores sob luz d firmção seguite: itegrl represet o vlor médio d fução o poto. 4. O que seri vlor médio isttâeo? 5. Clcule o vlor vlor médio isttâeo d fução Defiição: 6 Tx de vrição médi. A tx de vrição isttâe de f, se houver, é dd por lim x= 2ǫ x+ǫ x ǫ f(t). x Se F(t) = f(t) etão tx de vrição isttâe de F o poto s, x [, b] seráf(s). f é chmd de derivd de F. t f(t)dt t t 2 t está defiid pr s fuções poliomiis em qulquer itervlo. 5 Segudo o químico frcês, Lvoisier, Ntur o fcit sltus, ou su correção, moder, Ntur fcit sltus, sed miusculus, com químic quâtic.

69 A fução f é cotíu o itervlo (, b) se qulquer sucessão s que defi x (, b), f(s) defie o úmero f(x) : s (lim(s) = x lim(f(s)) = f(x)) Cpítulo 4 Limite, cotiuidde e derivd Derivção e Limite. Est cpítulo itroduz defiição forml de derivd que exige o coceito de limite. Você os poucos vi eteder que derivd, como é usd o Cálculo, é um especilizção d cotiuidde, etão este cpítulo vi presetr cotiuidde como tecedete d derivd e ssim vmos dividir o trblho s seguites etps: Motivção pr o estudo do limite. Limite de sucessões. O operdor limite plicdo em fuções. Defiição de derivd e de cotiuidde. Técics de derivção. 4. A cotiuidde Cotiuidde é um dos coceitos mis ituitivos do Cálculo, ms um dos meos plicáveis curto przo, té mesmo porque os primeiros exemplos de fuções descotíus, que podem ser presetdos de form turl, só irão surgir em situções mis vçds.quer dizer, cotiuidde é tão turl que do poto de vist pedgógico fic difícil itroduzir o coceito: como tudo é cotíuo, pr que discutir cotiuidde? Ituitivmete cotiuidde de um fução uméric f é propriedde grtido que f( + x) f() se x for pequeo. f( + x) f() se x for pequeo. Est ligugem ituitiv é de uso técico ulo, ão dá pr fzer um progrm de computdor usdo est defiição. Vmos trsformr est frse em símbolos, um expressão simbólic, que poderá etão se iserid um progrm de computção, por exemplo. Posto em termos de sucessões, quer dizer que imgem de um sucessão que defi x, defie f(x), ou id s fuções cotíus preservm covergêci ds sucessões. Defiição: 7 Fução cotíu f. Vej semelhç com o coceito ituitivo iicil: se s estiver próximo de x etão f(s ) estrá próximo de f(x). Est defiição é crcterizd como cotiuidde seqüecil porque há espços em que el é isuficiete. A cotiuidde id sigific, geometricmete, que se (, b) f R for cotíu etão f ão dá sltos em ehum poto do itervlo (, b). Se f der um slto em lgum poto de itervlo (, b), diremos, pelo cotrário, que f é descotíu este domíio. Vmos começr os exercícios extmete pel álise d descotiuidde. N figur (fig. 4.), pági 28 você pode ver o gráfico d fução f = χ (,b). chmd fução crcterístic do itervlo (, b). As fuções crcterístics tem diversos usos precem detro ds soms de Riem pr permitir um proximção d itegrl; Servem como modelo teórico dos siis que são s uiddes eergétics do osso sistem de comuicções; São os átomos de qulquer sistem de discretizção de ddos, em prticulr o cso dos siis; Pr filizr, são o lfbeto d oss teori d iformção, quilo que o código Morse foi, els são hoje. E são descotíus em gerl Exemplos de descotiuidde. Exercícios: 29 Descotiuidde. fução crcterístic Cosidere um itervlo [, b] e defi fução { x [, b] χ [,b] (x) = ; R χ [,b] R Ver (fig. 4.), pági 28. x [, b] () Fç o gráfico de χ [,], χ [,], χ [,). (b) Fç o gráfico de χ [,b] pr lgus vlores, b escolhidos por você. Verifique em que potos χ [,b] é descotíu. (c) Fç o gráfico de f = χ [,] + χ [,2] + χ [3,4], g = χ [,] + χ [ 2,2] + χ [ 3,3], h = χ [,) + χ [,2]. cotiuidde é defiid geericmete por um topologi, que é um tipo de estrutur mtemátic, em lgums topologis preservr covergêci é isuficiete pr se ter cotiuidde. No Cálculo isto ão ocorre etretto. 26

70 Justifique por que, os extremos do itervlo [, b], fução crcterístic f = χ [,b] deix idefiidos os vlores f(), f(b). Deix de preservr covergêci. (g) fução crcterístic de itervlo berto Fç os gráficos de χ (,] ; χ [,) ; χ (,). Figur 4.: Fução crcterístic de (, b). e ecotre os potos de descotiuidde de cd um ds fuções f, g, h. (d) Fç o gráfico de f = χ [,2] + χ [5,5] + χ [,3] + χ [,2] E determie os potos de descotiuidde de f. (e) Fç o gráfico de f = χ [,2] χ [3,7] χ [4,5] + χ [,5] + χ [2,4]. Em que subcojuto do domíio f é cotíu? (f) Cojuto em que χ [,b] é cotíu Verifique que se um sucessão c crescer pr etão χ [,b] (c) represet. Verifique que se um sucessão d decrescer pr etão χ [,b] (d) represet. A fução crcterístic χ [,b] ão preserv covergêci ds sucessões em extmete dois potos, quis? Determie o subcojuto Ω R em que el é cotíu, por um restrição coveiete de su defiição. Dizemos improprimete que fução foi tord cotíu. Observe que f está defiid em R. (h) fução crcterístic de itervlo berto Cosidere χ (,b) fução crcterístic do itervlo berto (, b). Se sucessão c crescer pr, qul é o úmero que sucessão χ (,b) (c) represet? Se sucessão d decrescer pr, qul é o úmero que sucessão χ (,b) (d) represet? Observe que o resultdo coïcide com o do exercício em que usmos χ [,b], por que? A fução crcterístic χ (,b) ão preserv covergêci ds sucessões em extmete dois potos, quis? Determie o cojuto Ω R em que el é cotíu, por um restrição coveiete de su defiição. Observe que χ (,b) está defiid em R. Justifique por que, os extremos do itervlo (, b), fução crcterístic f = χ (,b) deix idefiidos os vlores f(), f(b). 2. exemplo de fução cotíu. Mostre que fução idetidde, f(x) = x preserv covergêci de qulquer sucessão, logo el é cotíu. 3. Fç o gráfico de h(x) = x + χ [,]. Mostre que h ão é cotíu, (em que potos?). 4. Um teorem sobre cotiuidde () Mostre que se f(x) = x etão f + χ [,b] será descotíu em {, b}. Justifique por que deix de preservr covergêci estes dois potos. (b) Mostre que se f(x) = x 2 etão f + χ [,b] será descotíu em qulquer cojuto que coteh {, b}. Verifique tmbém que f + g será cotíu em cojuto cotido o complemetr de {, b}. (c) As dus questões teriores sugerem um teorem cuj redção poderi ser som de um fução cotíu com outr que ão sej cotíu produz um fução.... Redij o teorem e fç su demostrção. 5. estoque de fuções cotíus. () Mostre, formlmete, que um fução costte é um fução cotíu. x f(x) = c

71 Descrev com coceitução ituitiv dr slto cotiuidde ds fuções costtes. Mostre que f(x) = x + c é cotíu. (b) som de fuções. Mostre que som de dus fuções cotíus, é um fução cotíu: Se f, g forem cotíus f + g é cotíu. Mostre que f(x) = x + x = 2x é cotíu. Mostre que f(x) = 2x + x = 3x é cotíu. Mostre que f(x) = 2x + c é cotíu. (c) produto de fuções. Mostre que o produto de dus fuções cotíus, é um fução cotíu. Em prticulr, (por que), mostre se que f for cotíu e α um úmero, (um costte), etão, αf é cotíu. Mostre que os poliômios do primeiro grusão fuçõescotíus. 6. Motdo um fução descotíu Mostre que fução f(x) = x defiid em R {} é cotíu. Verifique que se f(x) = x estiver defiid em R etão está ml defiid...(justifique) Verifique que, se { f(x) = x x f() = etão f é um fução descotíu. (4.) 7. Mostre que fução f(x) = x defiid em R++, cojuto dos reis estritmete positivos, é cotíu. 8. Mostre que fução f(x) = x defiid em R, cojuto dos reis estritmete egtivos, é cotíu. Observção: 6 Descotiuidde ão é um coceito egtivo Há fuções descotíus de grde importâci, como fução f(x) =, ou s x fuções crcterístics que represetm íveis de eergi costtes durte um lpso de tempo, um sil. São dois tipos de descotiuidde. Fuções como f(x) = x, g(x) = x 2 servem pr modelr proximção de um fote de lt eergi, perto ds quis lógic d eergi fiit colps: perto do Sol, perto de um burco egro. Vej que o Sol ão tem eergi ifiit, ms que fução modelo f(x) = x 2 diz que sim. Os modelos são proximção d relidde e precismos de su expressão lgébric pr usá-ls em progrms de computção, ou té mesmo um presetção orl, em um cogresso. Por exemplo, qudo você pss de crro, perto de um destes ml educdos que usm lto-fltes de lt potêci pr escutr su musiquih prticulr, ot que, medid com que você se fstr, rpidmete o som decresce. A dispersão soor obedece um modelo semelhte o de um fução como f(x) =, há que cosiderr x direção em que o veto sopr pois o som é ifluecido pels corretes de veto, som é od mecâic. 9. Mostre que fução f(x) = ; f() = ; x2 é descotíu, em R (ão preserv cotiuidde) o poto x =.. Mostre que se P(x) for um poliômio com rízes reis, etão f(x) = P(x) ão preserv covergêci os potos que sejm rízes de P. Observe que, lém de ão preservr covergêci, tmbém f ão está defiid estes potos.. Um exemplo grotesco Cosidere f defiid por { f(x) = x 2 3x+2 x 2 x 2 f(2) = (4.2) Defi f o progrm grfu.py ssim: def (x): if (x == 2): retur else: retur (x x 3 x + 2)/(x-2) usdo tbulção como está idicdo. Apgue lgum outr fução chmd f o rquivo, ou use outro ome pr fução. N últim lih do rquivo digite: grfu(f) Depois de grvr o rquivo, rode: pytho grfu.py. O progrm vi lhe pergutr pelos extremos do itervlo reltivmete o qul você desejr ver o gráfico e você verá que o gráfico dest fução é um ret. Verifique que f é cotíu. Redefi f ssim: { f(x) = x 2 3x+2 x 2 f(2) = x 2 (4.3) e prove que f gor é um fução descotíu. Fç o gráfico dest últim fução.

72 4.3 Motivção pr o estudo de limites. Usmos est seção o coceito geométrico de derivd que já foi presetdo o primeiro cpítulo: se um fução f tiver derivd o poto x =, este poto el tem um ret tgete que memoriz o coeficiete gulr istâeo de f. Um exemplo bem cocreto é o que ocorre com um pedr roddo pres um cordão, se o cordão se romper, pedr segue direção d tgete o círculo quele poto do tempo. A tgete memorizou o coeficiete gulr isttâeo d pedr o mometo em que o cordão se rompeu, ver figur.3 pági 22. A meir forml de defiir derivd us o coceito de limite que é o poto cetrl dest list de exercícios. Comecemos com um otção, lim s, que se lê: limite, reltivmete de s. O limite é um operdor, plicdo em um sucessão s, pr revelr o seu comportmeto ssitótico, outrs forms de escrever isto é lim s ; lim s ; lim s. Nos usremos,este texto pes s dus primeirs forms, e sempre que possível, primeir, se ão houver dúvid de que s é um sucessão. Se sucessão tiver limite, o limite é defie o comportmeto ssitótico d um sucessão. Se sucessão ão tiver limite, el se diz divergete. O resultdo dest plicção, este livro, é um úmero rel e portto este operdor serve pr costruir os úmeros reis prtir de sucessões de úmeros rciois. Os primeiros exemplos se bseim o estudo d derivd de um fução, como limite do quociete de difereçs. A defiição geométric que demos pr derivd, o cpítulo, se opõe um tigo hábito que cosisti em defiir derivds, desde o iício, usdo limite. Etretto ão podemos viver sem formlismo, e defiição ituitiv tem vid curt. Est list seção lid com sucessões de úmeros rciois, els têm váris utiliddes, vmos eumerr lgums: Defiem os úmeros reis, qudo forem covergetes. Servem pr fzer testes de comportmeto ssitótico. São o istrumeto pr discretizr qutizção dos feômeos e ssim represetálos em progrms de computdor Comportmeto ssitótico. Não queremos drum defiição de comportmeto ssitótico, preferimos trtr este coceito como um coceito básico pr o qul ão se oferece um defiição. Os exercícios destseçãopretedem ilustrr ococeitodo quldiremos pes que o comportmeto ssitótico de um sucessão, é um propriedde que pode ser idetificd prtir de um ídice d sucessão. Obvimete est frse ão é um defiição dequd, ms os exercícios devem torá-l clr. Exercícios: 3. Escrev lgus termos ds sucessões bixo, e observe que tods els tem propriedde s < erro prtir de um determido ídice, e idefique qul é o ídice, pr cd um, completdo tbel: (s ) erro. ( ). ( ). ( ). ( ) 2. ( ) 2. ( ) 2. Observção: 7 Limite (s ) erro. ( + ). ( + ). ( + ). ( ( ) ). ( ( ) ). ( ( ) ). Dizemos que s sucessões cim tem zero como limite, e que seu comportmeto ssitótico se crcteriz por decrescer idefiidmete, em módulo, pr zero.. Se frse cim tirrmos em módulo frse ficri fls. 2. Detre s sucessões d list cim, determie: descrescem pr zero; crescem pr zero; oscilm em toro de zero, ms decrescedo em módulo pr zero. 3. Escrev lgus termos ds sucessões bixo e observe que els tem propriedde s < erro prtir de um determido ídice, e idefique qul é o ídice, pr cd um, completdo tbel: (s ) erro. ( + ). ( + ). ( + ). ( (+)2 ) 2. ( (+)2 ) 2. ( (+)2 ) 2. ( (+3)2 ) 2. Observção: 8 Limite (s ) erro. ( +2 ). ( +2 ). ( +2 ). ( +2 ). ( +( ) ). ( +( ) ). ( +( ) ). Nos exercícios cim ecotrmos dois csos prticulres de limite: sucessões covergido pr um e sucessões covergido pr zero. Dizemos que s sucessões cim tem um como limite, e que seu comportmeto ssitótico se crcteriz por se proximr idefiidmete de. Há extmete um excessão, (qul? e qul é o limite este cso?). Vej o gráfico (fig. 4.2) o erro. represetdo por dus rets prlels o eixo OX que cercm o limite d sucessão, mostrdo que prtir do ídice, sucessão permece fix de lrgur 2erro.

73 8. Pr cd sucessão bixo ecotre, sucessoes covergetes e fix de covergeci 4 dt Figur 4.2: Sucessões covergetes pr zero e pr. 4. Alise o gráfico (fig. 4.2), pági 34, e clcule formlmete prtir de qudo sucessão etr fix de diâmetro.2. Discut termiologi diâmetro d fix. Poderimos flr de rio d fix? qul seri o rio este cso. 5. Alise o gráfico (fig. 4.2), e clcule formlmete prtir de qudo sucessão etr fix de diâmetro., (ou rio.5). 6. Prove que s sucessões do exercício, tods, tem propriedde s < ǫ prtir de um determido ídice, clcule qul é o ídice, pr ǫ ddo, modificdo tbel. Defiição: 8 Limite zero Qudo um sucessão s tem est propriedde, dizemos que tem llimite zero. Em outrs plvrs, id, dizemos que s é um represetção do zero. 7. Prove que s sucessões do exercício 3, tods tem propriedde s < ǫ prtir de um determido ídice, clcule qul é o ídice, pr ǫ ddo, modificdo tbel. qul é o limite, pr o erro ddo, ǫ, clcule prtir de que ídice sucessão etr fix de erro: (s ) ǫ lim ( 2 + ). ( 3+ ). ( 2 4+ ). ( 2(+)2 ) 2. ( (+)2 2 ) 2. ( 3(+)2 2 ) 2. ( ). (s ) ǫ lim ( ). ( ). ( ). ( +( ) ). ( 2+( ) 3 ). ( 5+( ) 3 ). ( 5+( ) 3 ). Podemos presetr um defiição de limite de sucessões, gor: Defiição: 9 Limite de um sucessão Diremos que um sucessão s tem limite L se, e somete se, pr todo erro, ǫ, ddo, podermos idetificr um ídice N tl que > N s L < ǫ. Qudo um sucessão tiver limite, diremos que seu comportmeto ssitótico é de covergêci, ou id, simplesmete, diremos que sucessão é covergete. Observção: 9 Defeito d defiição de limite Ms est defiição tem um defeito itríseco grve: como poderemos verificr su vlidde, se ão cohecermos o úmero L? N verdde este defeito está ssocido um rzão mis importte: s sucessões covergetes servem pr defiir os úmeros reis. Como muitos úmeros reis ão tem um formulção d form p q tor-se impossível escrever expressão s L < ǫ pr grde miori d sucessões covergetes. Por exemplo, qudo escrevermos: s 2 < ǫ estmos pes usdo um símbolo, que poderi ser um letr, pr represetr o úmero 2. Não seri possível colocr est expressão, diretmete, um progrm de computdor... Um solução pr este problem é o teste de Cuchy. Vmos estudr o teste de Cuchy em outr list de exercícios, você pode ecotrá-l gor usdo o ídice remissivo.

74 4.3.2 Sucessões divergetes Divergete é siôimo de ão covergete. Isto é existem sucessões cujo comportmeto ssitóticoé o iversode covergete. Els ão defiem úmeros reis, ão tem limite. As sucessões divergetes ão são iúteis, servem pr fzer lgus testes. Há dois tipos de sucessões divergetes, vej os gráficos (fig. 4.3) 36, (fig. 4.4) 37. divergetes limitds; 5 sucesso divergete ilimitd dt sucesso limitd e divergete dt Figur 4.4: sucessão divergete divergetes ilimitds. Figur 4.3: sucessão limitd e divergete Os exercícios dest secção tem o objetivo de exemplificr estes dois tipos de sucessões. Começremos com o segudo tipo, ms tes vejmos lgums defiições: Defiição: 2 Cot superior Um cot superior pr um sucessão, é um úmero que é mior do que todos os elemetos de um sucessão. Vej que se K for um cot superior, tmbém K + o será. Defiição: 2 Cot iferior Um cot iferior pr um sucessão, é um úmero que é meor do que todos os elemetos de um sucessão. Vej que se K for um cot iferior, tmbém K o será. Observção: 2 Sucessão ilimitd Não existe um cot superior pr sucessão dos úmeros turis. Ms existe um cot iferior que é zero. Não somete, todo úmero egtivo é tmbém um cot iferior pr o cojuto N. Exemplo: 5 Sucessão ilimitd Não existe um cot superior pr sucessão cim, em mesmo um cot iferior. El é ilimitd superior e iferiormete. Nos próximos exercícios vmos usr os coceitos cot superior e cot iferior.. Verifique que é verdde que pr sucessão s = ( ) K N ; s > K 2. Verifique que, pr sucessão dos úmeros turis, é verdde que K N ; > K

75 3. Expresse em plvrs, (sem símbolos), propriedde terior. 4. Verifique quis ds sucessões bixo é ilimitd e idefique se superiomete, iferiormete ou mbos os csos: (s ) cot superior cot iferior ( 2 + ) ( (+) 2 ) ( 2 + ) ( (+)2 2 ) ( (+)2 2 + ) ( (2 +) 2 ) 5. Dê três exemplos de sucessões que sejm cotds superiormete. 6. Dê três exemplos de sucessões que sejm cotds iferiormete. 7. Dê três exemplos de sucessões que sejm cotds tto iferiormete como superiormete. 8. Dê três exemplos de sucessões que ão sejm cotds em iferiormete e em superiormete. Exemplo: 6 Números reis Se pode deduzir do d discussão terior que s sucessões se dividem em dois tipos: Aquels que covergem, e cosequetemete defiem um úmero rel. Ests são limitds, ecessrimete. Aquels que ão covergem, s sucessões divergetes. divergetes limitds; divergetes ilimitds. Assim temos um defiição de úmero rel: Defiição: 22 Número rel Um úmero rel é um sucessão covergete. Est defiição será refeit mis dite, um vez que este mometo ão temos um defiição dequd de sucessão covergete. A dificuldde do coceito de limite está ligd à própri defiição de úmeros reis que eles provêm. N próxim list de exercícios vmos presetr sucessões que ão covergem e que são limitds. Como ão covergem, ão defiem úmeros reis. Exercícios: 3 Sucessões limitds. Verifique quis ds sucessões bixo são limitds: (s ) cot superior cot iferior ( ) ( 3 (+) 2 ) ( ) ( (+)2 (+3) ) 2 (+) 2 ((+) 2 + ) ( (+4)2 + ) (+3) 2 ( (+A)2 + ) (+B) 2 ( (+A)2 + (+B) ) 3 ( (+A)3 + (+B) ) 2 ( (+4)p + (+3) ) q ( se() (+3) ) 2 ( (+4)2 + cos() ) 2. Fç gráficos ilustrdo cd um dos csos cim. 3. Observe s seguites pssges, trsformção de um expressão lgébric etiquetds como Lógic, Aritmétic. Justifique etiquet:. () (b) 4. regr do sduíche / +2 lógic A 2 B 2 +C +A B+C/ +A B B + A B B lgébric lgébric lógic lgébric lógic lógic (4.4) (4.5)

76 () Mostre que se dus sucessões s,t forem positivs, etão, s < t lim(s) < lim(t) (b) Cosidere três sucessões s, t, r tis que s < t < r. Prove que se lim(s) = lim(r) etão existe lim(t) e lim(s) = lim(t) = lim(r). Vmos resolver o último exercício. Lembre-se de como começmos est list de exercícios. Querimos estudr o comportmeto ssitótico de sucessões, e é este o setido ds pssges lgébrics ou lógics o exercício que vmos resolver. No primeiro cso temos A pssgem de pr etiquetmos como lgébric porque é o resultdo de um operção lgébric legl, divisão do úmerdor e do deomidor pelo mesmo úmero 2. A pssgem de + 3 está etiquetd como lógic porque s dus +2 expressões ão são lgébricmete equivletes, ms são ssitóticmete equivletes. Ambs covergem pr zero: +2 pr + lim 3 +2 = (4.6) lim +2 = (4.7) A últim pssgem é lógic porque s dus sucessões represetm o mesmo úmero rel, zero. No segudo exemplo s justifictivs são s mesms, lise s pssges à luz ds cosiderções que fizemos o primeiro cso. Aid qui se escode o fto de que s sucessões covergetes defiem os úmeros reis e d mesm form como temos frções equivletes, , defiido o mesmo úmero rciol, tmbém temos sucessões equivletes, defiido o mesmo úmero rel. Quer dizer: são dus sucessões que defiem o zero, o que se ecotr expresso otção lim = = lim + 2 Defiição: 23 Limite O símbolo lim s = sigific que sucessão s = (s ) represet o úmero rel. A grde miori dos utores us otção lim s =. que sigific crescedo idefiidmete. Como ão pode ser de outr form, simplificmos otção. Exercícios: 32 Limite e úmeros reis. Trsforme com operções lgébrics e lógics e clcule o limite de lim ( ). 2. comprção de sucessões Prove que se s = k etão lim s ão existe. 3. comprção de sucessões Deduz do terior que se t = k 2 etão lim t ão existe. 4. som dos termos de um p.g. () Mostre que k= k= ( x)( + x + + x ) = x + x <, e disto deduz que + r + r r = r r. (b) Mostre som dos termos de um p.g. de rzão r coverge pes se pr rzão r tivermos r <, rzão for meor do que. (c) Clcule lim ( + r + r r ). 5. Cosidere s = Clcule lim f(s ) qudo () f(x) = x 2 ; (b) f(x) = x ; (c) f(x) = x; (d)f(x) = ; x 2 (e) f(x) = x2 ; +x 2 (f) f(x) = x +x ; 6. Sedo s = f ; f(x) = verifique se o limite lim s existe ou prove que ele é equivlete um outr sucessão cujo limite ão existe.

77 7. Prove que s = t < t = 8. Trsforme com operções lgébrics e lógics e clcule o limite, cots superior e iferior ds sucessões, se existirem: Observção: 2 Logritmo Use seguite iguldde os exercícios bixo: x log(x) = t Vej o ídice remissivo logritmo turl um discussão mis logd sobre o ssuto. Cosidere este exercício, presete defiição como um fórmul que você vi mipulr. (s ) cot superior cot iferior limite ( 2 se() ) ( se() (+) ) 2 ( log() 3 + ) ( (+)2 log() (+3) ) 2 (+) ( 2 (+) 2 + ) 9. gertriz de dízims periótics Cosidere um dízim periódic x =.(d d 2...d ) quer dizer que o cojuto de lgrismos d i se repete, idefiidmete, mesm ordem. Mostre que gertriz é som de um progressão ritmétic. Cosidere lgus csos prticulres té ficr clro o método. Escrev, prtir do resultdo, o lgoritmo clásico pr obteção ds gertrizes de um dízim periódic qulquer. 4.4 O teste de Cuchy Qudo presetmos defiição de limite dissemos que el er deficiete um vez fzi uso do úmero rel L pr o qul possivelmete ão tihmos ehum formulção dequd. É cso se o limite d sucessão for um úmero irrciol. Veremos qui um form bsolut de testr se um sucessão é covergete. As sucessões covergetes têm um freio itero que o teste de Cuchy detect. Não ficremos sbedo qul é o limite, pes sberemos se são covergetes ou divergetes o que é turl. Existem váris sucessões covergetes cujo limite é 3. Vej os dois exemplos bixo, um coverge por flt, outr coverge por excesso: Exemplo: 7 Progrm RAIZQ.py - pytho - LiuX Cálculo de 3. ======================================== erro = e-7 por flt por excesso ================= riz do pytho= ================= Procure eteder: tudo que sbemos sobre 3 é que existem sucessões covergetes que defiem este úmero; em outrs plvrs, 3 é um sucessão covergete. Se pudessemos escrever expressão do limite usd cim pr expressr covergêci de um sucessão que defi 3 etão terimos um expressão rtimétic, usdo rciois, defiido este úmero o que etr em cotrdição com que ele sej irrciol. O progrm cim test sucessivmete úmeros que crescem ou decrescem com icremetos que vão dimiuido, té que bs(umero umero 3) < erro. Obvimete um progrm de computdor vi gerr pes sucessões com um úmero fiito de termos, (pleoástico, úmero somete pode ser fiito...). Os úmeros irrciois, ou mesmo os rciois são sucessões covergetes. A difereç cosiste em que podemos escrever, pr o rciois, expressão > N s L < ǫ. em que L = p, e isto ão é possivel fzer com os irrciois. q 4.4. O freio itero Se um sucessão s for covergete etão difereç etre dois termos sucessivos, s, s +, prtir de determido ídice, tede dimiuir: s + s < s +2 s +. Est propriedde pode ter lgums excessões, ms será verddeir em um bo qutidde de csos. Mesmo ssim é isuficiete pr grtir covergeci de s. É preciso um comprção mis forte. Se prtirmos d defiição de limite, vmos obter o freio itero meciodo cim. Etão escrevmos ǫ N N; > N s L < ǫ, em que L é o úmero rel defiido pel sucessão s. Se tomrmos dois úmeros turis, m > N etão s L < ǫ, s m L < ǫ e usdo fmos desiguldde trigulr d geometri, ver (fig. 4.5), como dois úmeros quisquer sempre podem ser ldos de um triâgulo, etão

78 . Escrev expressão do teste de Cuchy pr cd um ds sucessões defiids bixo: ) s = + b) s = 2 + c) s = 3(+)2 2 2 d) s = e rejeite s dus que ão stisfzem o teste. 2. Pr ǫ =. verifique qul ds sucessões bixo stisfz à codição isuficiete do teste de Cuchy s + s ǫ ) s = + b) s = 2 + c) s = 3(+)2 2 d) s 2 = e rejeite s du que ão stisfzem o teste isuficiete de Cuchy. 3. Aplique o teste de Cuchy às sucessões bixo e s clssifique como () de Cuchy, se o teste for stisfeito, e (2) divergete se o teste ão for stisfeito: Figur 4.5: A som de quisquer dois ldos de um triâgulo é mior do que o terceiro. ) s = + b) s = 2 c) s = d) s = + b = s L + s m L < 2ǫ (4.8) c = s L + s m L = s L + L s m = s s m (4.9) c = s s m < 2ǫ (4.) e vemos ssim que difereç etre os termos de um sucessão covergete vi se reduzido, quisquer dois termos pr lém do ídice N tem difereç meor do que 2ǫ. Isto id sigific que, se prrmos em um ídice mior do que N, > N, estremos com um vlor s d sucessão que se ecotr próximo do limite com um erro meor do que 2ǫ. Assim, usremos expressão: ǫ N N;, m > N s s m < 2ǫ como defiição de sucessão covergete de úmeros rciois. Observção: 22 A meor precisão prete do teste de Cuchy O teste de Cuchy prece ser meos preciso que defiição de limite iicil, porque grte que difereç em módulo s s m < 2ǫ, com erro 2ǫ e ão ǫ. É um deficiêci pes prete, bst usrmos ǫ em ossos cálculos que iremos 2 ecotrr o ídice N tl que Exercícios: 33 O teste de Cuchy, m > N s s m < ǫ. 4. difícil, pr motivr próxim seção Aplique o teste de Cuchy à sucessão s = ( + ) Proprieddes do limite Um dos exercícios d list precedete tih como objetivo mostrr que plicção diret do teste de Cuchy um sucessão pode ser um trblho gigtesco. É muit difícil provr diretmete que s = ( + ) é de Cuchy. O cojuto de tods s sucessões covergetes, (ou de sucessões de Cuchy), são um represetção dos úmeros reis. Est represetção ão tem uicidde, um vez que váris, (um ifiidde dels), represetm o mesmo úmero, como cotece com os úmeros rciois. D mesm form como podemos somr os úmeros reis, tmbém podemos somr s sucessões e cosequetemete Teorem: 5 Som de limites A som dos limites é o limite d som: lim (s + t ) = lim s + lim t Nós já usmos este teorem os exercícios teriores o fzer modificções lgébrico-lógics em expressões cujo limite desejvmos clculr. D mesm form, porque sucessões covergetes represetm úmeros reis, temos Teorem: 6 Produto de limites O produto dos limites é o limite do produto: lim (s )(t ) = (lim s )(lim t )

79 De form tmbém álog vle um resultdo pr divisão, com restrição de que o deomido ão teh zero por limite: Teorem: 7 Quociete de limites O quociete dos limites é o limite do quociete se o deomidor ão tiver limite zero: se lim t. lim (s /t ) = (lim s )/(lim t ) Ms em lgus csos, mesmo o limite do quociete sedo zero, podemos clculr o limite do quociete, sem usr este teorem, etretto, é cso do quociete de difereçs: Teorem: 8 Limite do quociete de difereçs Se f for um fução derivável, etão f( + x) f() lim = f () x= x Há um clsse fuções que preserv o limite: f(lim s ) = lim f(s ). Quer dizer que tto fz, primeiro clculr lim s e depois plicr f, ou primeiro clculr f(s ) e depois clculr o limite lim f(s ). O resuldo é o mesmo. Tis fuções se chmm cotíus. A som, multiplicção e divisão, são exemplos de fuções cotíus. Vmos explorr em list de exercício seprd este coceito. Exercícios: 34 Proprieddes do limite. Decompoh sucessão s emsoms ou produtos de outrs mis simples e clcule lim(s), ou justifique por que lim(s) ão existe. s = s = s = s = ) (+) 2 b) + ; > c)(+)2 + d) Objetivo, s vezes é fácil clculr-se o limite de s ms ão o de s. Use fução f(x) = x, cotíu pr x > pr clculr o limite de s : lim(f(s)) = f(lim(s)). f(s ) f(s ) f(s ) f(s ) ) 2 (+) 2 + b) + ; > c) (+) d) ; > 3. Teori Prove que se s, t forem sucessões de Cuchy, etão s + t tmbé o será. Em outrs plvrs: se s, t represetrem úmeros reis, etão s + t represet som destes úmeros. Use este teorem diretmete o cálculo dos limites ) (+)2 2 b) + ; > c)(+)2 3 ; > d) 3+2 ; > 4. Sucessão decrescete pr zero Prove que se r < etão r é decrescete. Prove que se r < etão lim r =. 5. Som de Progressão geométric Verifique que + r + + r = r+ r Prove que + r + + r = r k coverge pr r k= 6. Teori Cosidere um sucessão crescete s. Prove (por bsurdo) que se s tiver cot superior S etão lim(s) S. Sucessões geométrics Prove que k! < e ecotre um cot 2 k k= k= superior S pr sucessão s = k= k!. Respost: S = Observção: 23 Existêci do limite O último exercício ilustr um estudo de limite dos mis difíceis. O exercício somete prov que o limite lim k! k= existe, ms ão oferece ehum pist sobre o seu vlor ão ser que ele é limitdo pelo úmero 3. A seguite suite de exercicios vi lhe mostrr como podemos melhorr est estimtiv sem, cotudo, coseguir determir o limite extmete. O úmero em questão, o limite dest som, é um úmero irrciol O úmero e Prove que k=k k! < k=k 3 k prtir de um ídice k, e determie este ídice. Respost: k = 5 ; S = ++/2+/6+/24+/(2 27) Verifique que > 8 etão! > 4 e dí coclu que k=k 9 k! < k=k 9 4 k > 9

80 Prove que k= k! < ! Observção: 24 Biomio de Newto e o úmero e O vlor proximdo do úmero e, que o progrm clc tem memóri, com dígitos precisos, é É este o símbolo, e, pr desigr o úmero irrciol represetdo pel sucessão k= k!. Muito mis trblhoso é mostrr que s dus sucessões k= k! e ( + ) e tem o mesmo limite. Voce pode ecotrr est demostrção miori dos livros de Cálculo. Vmos preferir fzê-l usdo o mteril d últim seção, Poliômio de Tylor. 8. Cosidere dois úmeros reis, b, defi x = b 2 + b 2, x 2 = x 2 + b 2, x = () Mostre que existe um úmero rel α; α ; x = bα x 2 + b 2 Sugestão, fç um represetção geométric de x, x 2,... (b) Verifique que se α = etão (c) Prove que x. ; x = 9. Cosidere um sucessão de úmeros rciois x; (x ) ; x. Mostre que se f(x) = x 2 +3x+2 etão sucessão y = f(x ) é covergete e y ( + 2)( + ) O operdor limite Limite é um operdor que formliz os cálculos que fizemos terioremete. Ele d mis é que sítese do trblho. Vej o que estmos dizedo, o seguite exemplo: Exemplo: 8 Cálculo do limite de um sucessão Cosidere sucessão s = (s ) > = ( + )>. Aálise lógic s é um sucessão decrescete porque (s + < s ). Aálise lgébric Podemos decompor frção + + = + = + em dus outrs: Aálise lógic A sucessão represet o zero, logo som + represet. Coclusão + lim = O exemplo lisdo id os forece técic pr o cálculo do limite. Por outro ldo vemos dificuldde itrísec do cálculo de limites clrmete expost álise lgébrico-lógic que fizemos cim. Ode prece plvr represet temos defiição de úmero rel que se cofude com o vlor do operdor lim. Algo ssim como qudo o prefeito vi à televisão e diz que limpou cidde, qudo quem limpou form os gris... Dissesmos que o coceito de limite é difícil. Não estmos sós, segudo Court, um dos rros mtemáticos que reuiu um profud cpcidde de pesquis lid um otável hbilidde pedgógic, limite é o limir d Mtemátic Superior. O fto de testrmos que qui existe um dificuldde ão sigific que estejmos sugerido que o leitor dev se setir iquildo ou impotete. A Mtemátic é um ligugem bstrt que serve pr modelr o osso rciocíio. Como o estudr um ligu estrgeir, um erro seri fzê-lo com trduçòes pr su ligu tiv. Lembre-se, se for possível, como foi que predeu su ligu mter, ão foi por comprções com outr... Est comprção vle pr o predizdo de Mtemátic. O exemplo cim lhe mostr como cálculr limites, etremedo comprções lógics e simplificções ritmétics. Aqui fremos uso de dois spectos seus: N defiição de úmero rel, prtido dos úmeros rciois. N defiição forml de itegrl e derivd Sucessões, limites e idução fiit Um método de uso muito comum é idução fiit. Este método se cofude com o cojuto dos úmeros turis. O que é o cojuto N? Difícil de respoder, Kroecker, dizi que Deus os der o cojuto N, o resto ós costruimos. Ms podemos cosiderr os Axioms de Peo como um defiição d sucessão dos úmeros turis: Defiição: 24 Axioms de Peo Existe um primeiro úmero turl, zero.

81 Em N existe um operção chmd, de sucessor de() que ssoci cd úmero turl um outro, de tl modo que todo úmero turl tem um sucessor; zero ão é sucessor de ehum úmero turl. O método d idução fiit é um réplic destes xioms dizedo que um firmção P() é verddeir se, e somete se, P( ) for verdder pr um úmero turl iicil. Se implicção P() P( + ) for verddeir pr >. Teorem: 9 A som dos qudrdos A som dos qudrdos dos primeiros úmeros turis é: P() = ( + )(2 + ). 6 Dem : Pr demostrá-lo vmos usr o método d idução fiit: P() = é som do qudrdo do primeiro úmero turl. Supohmos verddeir que somdos primeiros úmeros turis sejdd pel expressão (+)(2+) e vmos verificr qul seri expressão d som dos + 6 primeiros qudrdos. Se som dos primeiros qudrdos é (+)(2+) 6, verddeiro por hipótese, (pr podermos verificr implicção), etão vejmos qul será expressão P(+) obtid o somrmos (+)(2+) 6 o próximo qudrdo ( + ) 2. q.e.d. (+)(2+) 6 + ( + ) 2 = = (+)(2+) 6 + 6(+)2 6 = (+)(2+)+6(+) 2 6 = (+)[(2+)+6(+)] 6 = (+)[ ] = (+)[ ] = 6 6 (+)[(2+3)(+2)] = (+)[2(+)+](++)] 6 6 Or, últim expressão é o vlor de P( + ) e isto prov que P() P( + ). Exercícios: 35 Sucessões e idução fiit. Mostre que ão existe um supremo pr sucessão dos úmeros turis. 2. Prove que som dos primeiros úmeros turis ão ulos é P() = 3. Prove que (2 ) 2 = Prove que k 3 = ( ) 2. k= ( + ) Prove que 6. Prove que k 4 = 6x5 5x 4 + x 3 x 3 k= k 5 = 2x6 6x 5 + 5x 4 x 2 2 k= 7. Algoritmo d divisão euclidi Ddo um úmero turl d prove que, pr todo úmero turl existem dois úmeros turis q, r tl que = dq + r ; r < d. 8. Descubr fláci seguite demostrção por idução: Todos os cvlos têm mesm cor. Dem : P() é verddeiro, porque se só tivermos um cvlo, só podemos ter um cor. Supoh verddeiro, hipótese de idução, que em qulquer cojuto formdo por k cvlos, todos os cvlos terão mesm cor. Cosidere gor um cojuto formdo por k + cvlos. Tirdo um cvlo, rbitrrimete do cojuto, sobrm k cvlos, e pel hipótese de idução todos terão mesm cor. Retire mis um cvlo deste cojuto e repoh o terior, logo teremos um cojuto com k cvlos, e portto todos de mesm cor, logo o cvlo tirdo iicilmete tih mesm cor que os demis e ssim o cojuto com k + cvlos er formdo de cvlos todos com mesm cor. Assim, P(k) P(k + ) e fic ssim provdo que todos os cvlos tem mesm cor. q.e.d. 9. Prove que! > 2 prtir de um úmero iteiro positivo que você deve determir.. Prove que! > 3 prtir de um úmero iteiro positivo que você deve determir.. Prove que! > 5 prtir de um úmero iteiro positivo que você deve determir. 2. Prove que! é mior do que qulquer potêci de qulquer úmero iteiro positivo, prtir de um determido úmero iteiro positivo que você deve determir. 3. O que se ecotr por trz ds soms de potêcis () Prove que, se P for um poliômio do gru etão é um poliômio do gru. x (P) = P(x + x) P(x)

82 (b) Se P for um poliômio do gru etão Q(x) = P(x + ) P(x) é um poliômio do gru. (c) Um espécie de recíproc Cosidere Q(x) = x. Mostre que existe um poliômio do P gru + tl que Q() = P( + ) P() (d) Um corolário d recíproc Cosidere Q(x) = x. Mostre que existe um poliômio do P gru + tl que (e) Determie P tl que (f) Determie P tl que N k= N k= N k= Q(k) = P(N) P() k 3 = P(N) P() k 4 = P(N) P() 4. Biômio de Newto Prove, por idução fiit, que ( k) k b k = ( + b) k= 4.5 Teorems sobre cotiuidde Veremos mis lgums relções evolvedo cotiuidde de um fução, por exemplo, su derivbilidde. Como já fizemos o iício do cpítulo, estudr cotiuidde evolve discutir s fuções descotíus. Vejmos exemplos de fuções descotíus, pr comprção: Exemplo: 9 A derivd d fução módulo A (fig. 4.6 ), pági 53 mostr o gráfico d fução módulo, f(x) = x. Nele vemos que f ão está defiid o poto x = e que os vlores d derivd à esquerd e à direit ão coïcidem: f ( ) = ; f ( + ) =. Quer dizer que o úmero f () ão está defiido, ou id que, dd um sucessão qulquer s que represete, d grte que f (s) represete lgum úmero, vej próxim list de exercícios. Cosequetemete f(x) = x ão tem derivd origem. Apesr de derivd ão existir origem, f() existe e está bem defiido: f está defiid origem, ms ão tem um coeficiete gulr isttâeo em. O gráfico sugere rzão pr isto, ele é formdo por dus semirets que o poto (, f()) determim um âgulo, portto em (, f()) ão pode hver ret tgete, em coeficiete gulr isttâeo. Esteexemplotmbémilustrscosiderções iiciis, foi preciso estudrmosderivd de f pr ecotrrmos um exemplo de descotiuidde Fuco modulo e su derivd dt Figur 4.6: A derivd de f é descotíu origem: f () ão existe Derivds descotíus Exercícios: 36 Cálculo de lgums derivds extmete. Derivd de y = f(x) = x Cosidere defiição de x : { x x = x y = f(x) = x < x = x Cosidere um 2 deslocmeto x >. (4.) clcule y x pr x > Respost:. clcule y x pr x < x Respost: -. clcule y x pr x x < Respost: equção do segmeto de ret, ligdo os potos ( x,),(,). Trce o gráfico de y = y x (x) e compre com (fig. 4.8). 2 Observe que, pesr d otção, x d tem o que vem com x. Tem o que ver com o eixo horizotl OX.

83 Figur 4.7: A velocidde é um fução cotíu, com piques s mudçs de mrch. Figur 4.8: O gráfico d derivd de d, (celerção), o cso do motorist brbeiro. Outro exemplo semelhte o d fução módulo, com mis potos de descotiuidde d derivd. Exemplo: 2 Motorist brbeiro e velocidde do crro O gráfico d fução, (fig. 4.7), represet curv d velocidde de um crro dirigido por um motorist prediz. Iicilmete, o itervlo [, c ], o crro está em repouso e repetimete o motorist pss mrch sem se lembrr d existêci d embregem. O crro se movimet violetmete, ms de form cotíu, porém celerção dá um slto de km/h 2 pr 2 km/h2 té o mometo t = c 2 qudo ov pssgem de mrch sem uxílio d embregem lev o crro pr um ov celerção de km/h 2. No mometo t = c 3, o motorist, vedo um obstáculo, frei violetmete, sem usr embregem, fzedo o crro estcr e prr violetmete depois de um breve itervlo com celerção egtiv (efeito do freio). Compre s figurs, (fig. 4.7), pági 54 e (fig. 4.8), pági 55. A derivd (celerção) é descotíu em qutro potos: {c, c 2, c 3, b} este potos temos: d (c ) = ;d (c + ) = 2 ; (4.2) d (c 2 ) = 2 ;d (c + 2 ) = ; (4.3) d (c 3 ) = ;d (c + 3 ) = ; (4.4) d (b ) = ;d (b + ) = (4.5) A derivd de d (celerção) é descotíu os potos c, c 2, c 3 quer dizer que estes potos d ão existe, ão está defiid. Ver (fig. 4.8) pági 55. Observção: 25 A otção d( + ), d( ) No exemplo (fig. 4.8), pági 55, fução derivd, (celerção), ão tem vlores bem defiidos em qutro potos c, c 2, c 3, b porque tem vlores diferetes à direit ou à esquerd, estes potos. A otção d ( ) se refere o limite à esquerd o poto, de form álog, d ( + ) se refere o limite à direit, o mesmo poto. Estes vlores são chmdos limites lteris de d e como são diferetes sigific que d tem um slto este poto, sedo portto descotíu.

84 Pr um fução f qulquer, se f( ) f( + ) etão o poto é um poto de descotiuidde de f, ou um poto de slto. Se um fução f for cotíu, etão em todo poto Dom f ; f( ) = f( + ). Filmete, temum meir ituitiv de se referir às fuções descotíus. Se um fução for descotíu, pr fzer-lhe o gráfico temos que retirr o lápis do ppel, em lgum mometo. Com s fuções cotíus pr trçr-lhes os gráficos ão precismos tirr o lápis do ppel do começo o fimdo gráfico. Vej que este último prágrfo cotém um idéi ituitiv que em sempre pode ser usd pr coectr este coceito com outros, (fzer um demostrção). Vmos à defiição forml do coceito de cotiuidde. Defiição: 25 Fução seqüecilmete cotíu f. Um fução f é seqüecilmete cotíu em um região Ω R se Limite defie topologi O coceito de covergêci defie estrutur topológic de R, cotiuidde é um coceito topológico logo s fuções cotíus têm que respeitr covergêci. Limite, álgebr e topologi A álgebr e topologi se ecotrm iterligds, cosequetemete s fuções lgébrics, dição e produto tem que ser cotíus. Não meciomos divisão, porque divisão ão é extmete lgébric... Muito do que foi dito cim foge do cotexto do Cálculo, ms tem que ser usdo detro do Cálculo, é isto que tor s coiss difíceis. Ms, lembre-se, difícil ão é impossível, é pes difícil. Exercícios: 37 Estoque de fuções cotíus. otção 4 Ddo um úmero desigremos por c um sucessão qulquer crescete que represete o úmero, e desigremos por d um sucessão qulquer descrescete que determie o mesmo úmero. Use sucessão ( ) > pr Ω f( ) f(). costruir um sucessão crescete que represete 3 costruir um sucessão decrescete que represete 3 Em sum, f está bem 3 defiid pr tod represetção de Ω = Dom f. Geometricmete isto id sigific que f ão dá sltos em ehum poto de Ω; se f der um slto em lgum poto de Ω, diremos, pelo cotrário, que f é descotíu este poto do domíio Ω. Observção: 26 Cotiuidde e comptibilidde com estrutur lgébrico topológic Outr form de descrever cotiuidde, como já dissemos tes, é: s fuções cotíus preservm covergêci ds sucessões. Tem mis cois por trz disto, fique com s iformções gor, depois você irá compreedê-ls melhor: clsses de equivlêci de úmeros reis O cojuto ds sucessões de úmeros rciois covergetes defiem R. Ms els formm clsses de equivlêci que defiem o mesmo úmero, como cotece tmbém com os rciois. Vej o exemplo do úmero e com dus sucessões diferetes que o defiem (dus que cohecemos...) cotiuidde e comptibilidde com s clsses de úmeros reis As fuções cotíus idetificm s clsses de equivlêci respodedo com o mesmo vlor pr todos os elemetos d clsse. É isto que chmmos de respeitr covergêci. Limite defie s clsses O operdor lim é ferrmet pr idetificr qudo dus sucessões se ecotrm mesm clsse de equivlêci. Porisso sempre cofudimos s, (s ) N, = lim s qudo este último existir. Não existe difereç etre eles. Cofusão ão é um plvr egtiv... 3 cotiuidde é defiid geericmete por um topologi, que é um tipo de estrutur mtemátic, em lgums topologis preservr covergêci é isuficiete pr se ter cotiuidde. No Cálculo isto ão ocorre, portto, cotiuidde sequecil equivle cotiuidde. 2. Cosidere sucessão s = ( ( ) ) >. Escrev os primeiros elemetos dest sucessão. Justifique por que s represet o zero. Escrev os primeiros elemetos d sucessão s + 3. Qul o úmero que 3 + s represet? 3 + s é decrescete? crescete? 3. Cosidere derivd d fução módulo,f, ( derivd existe pr todos os potos diferetes de zero). Clcule f () ;, usdo s regrs de derivção que você cohecer. () Verifique que, se um sucessão c covergir crescedo pr, etão f ( c ) tem limite e clcule este limite. (b) Verifique que se um sucessão d for decrescete, e tiver limite etão f ( d ) tem limite e clcule este limite. 4. Se v represet celerção com que o motorist prediz dirige o exemplo (fig. 4.8), pági 55, clcule os limites lteris v (+), v (c + ), v (c ), v (b ). Existem os limites lteris v ( ), v (b+)? justifique. 4 Estmos usdo um otção que ão é pdroizd, ivete outr, se preferir: chmmos de c um sucessão crescete que defie o úmero. Chmmos de d um sucessão decrescete que defie o úmero.

85 5. Clcule b v em que v é velocidde do crro defiido o exemplo (fig. 4.7), pági 54. Iterprete o resultdo. 6. cotiuidde d fução costte Prove que f(x) = k, em que k é um úmero rel, é cotíu. 7. cotiuidde d idetidde Prove que fução f(x) = Ax é cotíu. 8. cotiuidde d fução qudrátic Prove que fução f(x) = Ax 2 é cotíu. 9. cotiuidde d fução qudrátic Prove que fução f(x) = Ax 2 +Bx+ C é cotíu.. cotiuidde d fução de gru Prove que fução f(x) = x é cotíu.. cotiuidde d fução de gru Prove que fução f(x) = Ax +Bx é cotíu. 2. cotiuidde do produto por um costte Prove que se f for um fução cotíu, etão fução g defiid por g(x) = kf(x);k R, é cotíu. 3. cotiuidde d primitiv Tome por hipótese que itegrl de f exist em qulquer sub-itervlo de [, b], e que f é limitd. Prove que fução Aceite, por cotrdição que itegrl existe em qulquer sub-itervlo é um fução cotíu. F(x) = 4. Prove que todo poliômio é um fução cotíu. 5. cotiuidde d trslção () Mostre que se f for um fução cotíu etão g(x) = f(x ), um trslção de f, é tmbém um fução cotíu. (b) Mostre que se se for cotíu, etão cos é tmbém um fução cotíu. (c) Deduz que se cos for cotíu, etão se tmbémo é. Mostre tmbem que se se for um fução cotíu, tmbém 5 cos será. 5 Clro, tudo que temos que fzer gor é demostrr que um ds dus é cotíu... x f Cotiuidde e descotiuidde Exercícios: 38. Dê exemplo de um sucessão crescete cujo limite sej zero. um sucessão decrescete cujo limite sej zero. um sucessão crescete cujo limite sej. um sucessão decrescete cujo limite sej. um sucessão crescete cujo limite sej. um sucessão decrescete cujo limite sej. Sucessõesque ão sejmem crescetesemdecrescetes, pr cd cso cim, (sucessões osciltes) 2. Justifique, usdo sucessões osciltes, por exemplo ( ( ) ; >, que os extremos do itervlo [, b] fução crcterístic χ [,b] deix idefiidos os vlores χ [,b] (), χ [,b] (b). 3. estoque de fuções cotíus. () operção produto Mostre que fução é um fução cotíu. f k (x) = kx ; k R ddo (b) Mostre que se f for cotíu e α um úmero, etão, αf é cotíu. (c) produto de fuções cotíus Mostre que se f, g forem dus fuções cotíus etão fução fg será um fução cotíu. (d) som de fuçõescotíus Mostre que se f, g forem dus fuções cotíus etão fução f + g será um fução cotíu. (e) operção som Mostre que fução f k (x) = k + x ; k R ddo é um fução cotíu. Em prticulr, (porque), mostre que se f for cotíu e α um úmero, etão, α + f é cotíu. (f) trslção Mostre que fução é um fução cotíu. f k (x) = f(x k) ; k R ddo (g) idução fiit Mostre que tod fução poliomil é cotíu, use os resultdos teriores pr costruir justificção..

86 4. Fç o gráfico de f + χ [ 3,5] com f(x) = x. 5. Mostre que se P for um poliômio e f = χ [,b] etão fução g = P + f será descotíu em extmete dois potos, quis? Fç um gráfico usdo um poliômio do segudo gru. 6. Sltos quâticos de eergi () Defi f(x) = x χ [,2] Fç seu gráfico e justifique porque f é cotíu. Ecotre equção de f. (b) Defi f(x) = x χ [,] Fç seu gráfico e justifique porque f é cotíu. Ecotre equção de f. (c) Defi f(x) = x χ [,] Fç seu gráfico e justifique porque f é cotíu. Ecotre equção de f. (d) Itervlo berto Defi f(x) = x χ (,) Fç seu gráfico e justifique porque f é cotíu. Verifique que pr itegrção, um poto tem mss despresível ão lterdo cotiuidde. Ecotre equção de f. (e) Clcule derivd de f em cd um dos csos cim. Alise, pr derivd, importâci de um poto. 7. Defi f(x) = x α χ [,b] Ecotre equção de f e demostre que el é cotíu. Qul é derivd de f. x 8. Cosidere f(x) = x. Clcule G(x) = f + χ [,]. Observção: 27 Descotiuidde ão é um coceito egtivo Há fuções descotíus de grde importâci, como fução ou s fuções crcterístics f(x) = x, g(x) = χ [,b), que represetm íveis de eergi costtes durte um lpso de tempo, um sil. São dois tipos de cotiuidde. Fuções como f(x) = x, g(x) = x 2 servem pr modelr proximção de um fote de lt eergi, perto ds quis lógic d eergi fiit colps: perto do Sol, perto de um burco egro. Por exemplo, qudo você pss de crro, perto de um destes ml educdos que usm lto-fltes de lt potêci pr escutr su musiquih prticulr, ot que, medid com que você se fstr, rpidmete o som descresce. A dispersão soor obedece um modelo semelhte o de um fução como f(x) =, há que cosiderr direção em que o x veto sopr pois o som é ifluecido pels corretes de veto, som é od mecâic Operções ritmétics e cotiuidde Nest seção vmos mostrr que existe um grde estoque de fuções cotius e estudr relção etre s operções ritmétics e cotiuidde. Exercícios: 39 Cotiuidde e ritmétic. Mostre que, se dus fuçõesf, g forem cotius, etão som, h = f+g é um fução cotíu. 2. Mostre que, se dus fuçõesf, g forem cotius, etão o produto, h = fg é um fução cotíu. 3. corolário Mostre que todo polimômio defie um fução cotíu. 4. Mostre que t é um fução cotíu exceto em lgus potos. Descrev os potos de descotiuidde de t. 5. Mostre que se P(x) for um poliômio com rizes reis, etão f(x) = P(x) é cotíu em qulquer itervlo etre dus rizes cosecutivs, (coloque s rizes em ordem, etre dus rizes cosecutivs ão há outr riz). 6. Sej f(x) = P(x) Q(x) um fução rciol, quer dizer que P, Q são poliômios. Mostre que existem itervlos bertos d ret em que f é cotíu, e explcite quem é o úmero.

87 4.5.4 Sucessão dos quociete de difereçs Existe um difereç qulittiv etre est seção e terior. N seção terior s sucessões são úmerics, quer dizer que os elemetos ds sucessões, seus compoetes, são úmeros rciois. Agor vmos dr exemplos de sucessões de fuções, quer dizer, os compoetes ds sucessões são fuções. Vej os gráficos (fig. 4.9), (fig.,4.) e (fig.,4.), s págis 62,63 e 64, respectivmete. Eles cotém, pr três fuções diferetes, os gráficos ds fuções quociete de difereçs com dois vlores pr x; x {, }. 5 f, delt f, delt =., dt Fucoes quociete de diferecs dt Figur 4.: Quociete de difereçs f com x {,} e f(x) = xse(x) Figur 4.9: Quociete de difereçs f com x {,} e f(x) = x3 3x 2 x. O quociete de difereçs, y é feito com um vlor fixo pr x, vej os exemplos (fig. x 4.9), (fig.,4.) e (fig.,4.), s págis 62,63 e 64,em que x {,.}. Podemos ivetr um otção:.(f) = y (4.6) x x=. sigificdo quociete de difereçs de f qudo x =.. O quociete de difereçs é usdo em progrms de computção pr clculr proximdmete derivd de um fução. Nos vmos usr otção (eq. 4.6) os exercícios bixo. Exercícios: 4 Quociete de difereçs. Quociete de difereçs e ret tgete Clcule o quociete de difereçs de f(x) = x 2 4,. (f) qudo x =.. Simplifique expressão. Clcule o úmero m =. (f)(2). Trce um mesmo sistem de eixos o gráfico de f e d ret (r) y = m(x 2). Comete firmção: A ret r pretemete é tgete o gráfico de f. Você cocord com est firmção ou el deveri usr plvr proximção? 2. Clcule o quociete de difereçs de um poliômio do gru 3. Comete: este cálculo prov que o quociete de difereçs de um poliômio do gru 3, é um poliômio do gru Clcule o quociete de difereçs de um poliômio do gru 4. Comete: este cálculo prov que o quociete de difereçs de um poliômio do gru 4, é um poliômio do gru Gru de um quociete de difereçs Demostre que o quociete de difereçs de um poliômio do gru, é um poliômio do gru. 5. Clcule x (f) com f(x) = x e simplifique lgebricmete s expressões obtids. () Fç o gráfico d fução pr um vlor rbitrário de x. y = x (f)(x)

88 (b) Fç o gráfico d fução y =.2 (f)(x) (c) Fç o gráfico d fução y = (f)(x) Observção: 28 Iexistêci d derivd um poto O terceiro exemplo gráfico, d list que estudmos cim, (fig.,4.), pági 64, tem um lição prticulr pr os dr: Qudo x = o gráfico mostr um slto o poto x = etre dus rets. A álise d fução f(x) = x este poto justific o que ocorre. No poto x =, fução vlor bsoluto troc isttâemete de coeficiete gulr, de pr e cosequetemete ão tem coeficiete gulr isttâeo este poto ode el tão pouco pode ter um ret tgete sucessoes covergido pr zero dt bs, delt bs, delt=., dt Figur 4.2: Sucessões covergido pr zero. em que h = x. Pr cd vlor do prâmetro h. Os três gráficos que obtivemos, em cojuto os dão um ov lição. Em dois csos s fuções quociete de difereçs precem como deslocmetos um d outr. Se difereç x dimiuir, um vi sobrepor outr. Tis experimetos são iteresstes, ms Mtemátic ão é um ciêci experimetl, os ftos observdos devem ser demostrdos formlmete. A frse Se difereç x dimiuir, um vi sobrepor outr. fz referêci um coceito ovo, comportmeto ssitótico, que os próximos exercícios vão exemplificr Figur 4.: Quociete de difereçs f com x {, } e f(x) = x. A fução derivd existe, ms ão está defiid o poto x = : { f (x) = x > f (x) = x < (4.7) Os gráficos (fig. 4.2),(fig. 4.2) págis 65, 34, respectivmete, exemplificm mesm situção, do poto de vist de sucessões umérics. Observe que os gráficos (fig. 4.9), (fig.,4.) e (fig.,4.), s págis 62,63 e 64, tmbém presetm sucessões muito resumidmete, pes dus... se trtm de sucessões de fuções. Podemos ssim ssocir à f um fmíli de ovs fuções defiids por f f( + h) f() h = h (f)(x) Derivd e cotiuidde Um dos pricipis objetivos dest seção, etre outros, é de trsmitir-lhe idéi de que derivd é um gru mis vcdo de cotiuidde, ou sej: Teorem: Derivbilidde e cotiuidde Se f for um fução derivável 6 etão f é cotíu, ms, reciprocmete, f pode ser cotíu, sem ser derivável. Em outrs plvrs: derivbilidde cotiuidde; (4.8) cotiuidde ão derivbilidde; (4.9) f é difereciável f écotíu (4.2) 6 Se seus estudos vçrem em Mtemátic, você vi ecotrr um form geerlizd de derivr em que este teorem se tor flso... teori ds distribuições.

89 o Cálculo. Vmos trblhr com mis lgus coceitos cuj defiição se ecotrm seguir. Defiição: 26 Supremo e ífimo Supremo Se um cojuto A se A possuir cot superior, meor ds cots superiores se chm supremo de A ou brevidmete Sup(A). ífimo Se um cojuto A se A possuir cot iferior, mior ds cots superiores se chm ífimo de A, brevidmete if(a). Máximo Pode cotecer que Sup(A) A, este cso o chmremos de Máximo de A, brevidmete Mx(A). Míimo Pode cotecer que if(a) A, este cso o chmremos de Míimo de A, brevidmete mi(a). Exemplo: 2 A = se() N Est sucessão tem um comportmeto ssitótico cótico. Ms A é limitd superiormete e iferiormete, quer dizer que tem cots superiores, cots iferiores. Mis do que isto, existe meor cot superior de A que é e existe mior cot iferior de A que é. Quer dizer que = Sup(A) ; = if(a). Etretto A logo ão é Mx(A), em A logo ão é mi(a). Exemplo: 22 Máximo, míimo Com máximo, ms sem míimo A sucessão s = ( + como podemos verificr: s + /s = ( + )( + 2) ( + ) = + 2 ) N > s + > s, é decrescete quer dizer que > ; s > s. s é um cot superior pr s. Mis do que isto, s é meor ds cots superiores, portto s é o supremo de s. Como, lém disto, s s etão s = Mx(s). dizemos que supremo é melhor ds cots superiores Etretto s ão tem míimo. Por outro ldo, qulquer úmero egtivo é cot iferior pr s. Melhor do que isto, como s = + é um frção imprópri, etão < s e vemos ssim que é um cot iferior pr s. Ms é mior ds cots iferiores, ou id melhor cot iferior. Vimos que = if(s) ms s logo ão o míimo de s. Figur 4.3: Supremo e Ifimo de um sub-cojuto d ret; O máximo, qui, coïcide com o supremo. Com míimo, sem máximo Podemos repetir clculos semelhtes os terior pr mostrr que t = ( + ) N tem míimo, t. Como t é crescete etão seu limite = sup(t) t portto tem um supremo,, ms ão tem máximo. = lim(t) porque sucessão t represet o úmero. Com máximo, sem míimo É o cso d sucessão s = ( ) N. É um sucessão decrescete e limitd iferiormete, (tem ífimo) por que tmbém é o seu limite. Vmos ver um defiição técic de ífimo e supremo. Por defiição, o supremo é mior ds cots superiores de um cojuto, (de um sucessão). Cosidere um sucessão s, se S = sup(s) que dizer que S é meor ds cots superiores, portto S ǫ ; ǫ > tem que ser meor que lgum cot superior, seão seri o próprio supremo. Ver o gráfico (fig. 4.3), pági 67 Um método técico, pr testr existêci do supremo e do ífimo estáo próximo teorem:

90 Teorem: Teste do Supremo e do ífimo Ddo um cojuto s, S = Sup(s) se, e somete se, ǫ > S + ǫ é um cot superior de s ;S + ǫ s, e S ǫ é meor do lgum elemeto de s. m = if(s) se, e somete se, ǫ > m ǫ é um cot iferior de s;m ǫ s e m + ǫ é mior do que lgum elemeto de s. A demostrção fic como exercício, se trt de uso direto de desigulddes e ds defiições Teorem do Vlor itermediário Exercícios: 4 Cotiuidde, derivd e desigulddes.. Teorem do vlor itermediário () Se f for um fução cotíu, o itervlo [, b] prove que f é costte ou; f ssume os vlores m, M ; m < M etão Supoh que f() = m ; f(b) = M ; < b ; y [m, M] Mostre que existe c [, b] ; y = f(c). Supoh que f() = M ; f(b) = m ; < b ; y [m, M] Mostre que existe c [, b] ; y = f(c). 2. Eucie o Teorem do Vlor itermediário, demostrdo o exercício terior. 3. fuções limitds () Justifique porque, se f : [, b] R for cotíu, etão existem dus rets prlels o eixo OX tl que grfico(f) se ecotr cotido etre ests dus prlels. Chme de m, M s ordeds que defiem ests rets, mostre que são cots iferior e superior do cojuto {y;y = f(x); x [, b]} (b) Mostre que s dus cots idicds cim podem ser ótims, quer dizer meor possível, o cso d cot superior, e mior possível o cso d ifererior. (c) Mostre que se f for cotíu em [, b] etão f tem um poto de máximo e um poto de míimo em [, b]. 4. Mostre que se f for derivável, etão f é cotíu 5. derivd do produto Cosidere dus fuções deriváveis, f, g, e defi () Clcule m x m(x) = f(x)g(x). (b) Acrescete o umerdor de m x = m(x + x) m(x) x expressão ul f(x + x)g(x) f(x + x)g(x) e com seu uxílio ftore o umerdor pr coseguir f g(x) + f(x + x) g x x e deduz dí expressão d derivd de m. (c) Ecotre expressão d derivd de f(x)g(x)h(x), derivd do produto de tres fuções difereciáveis. (d) Geerlize pr ecotrr expressão d derivd do produto de fuções difereciáveis (e) Clcule derivd de f(x) = x. f (x)f 2 (x) f (x). (f) Clcule derivd ds fuções: f(x) f (x) f(x) f (x) xse(x) se 2 (x) cos 2 (x) se(x)cos(x) x 2 se(x) x 2 se(x) 6. Derivd do quociete () Defi q(x) = q os potos em que g ão se ul. Clcule g(x) x e deduz o vlor de q (x). (b) Se q(x) = f(x) q, clcule g(x) x e deduz q (x). (c) Clcule derivd ds fuções idicdo o domíio de vlidde d expressão ecotrd: f(x) f (x) f(x) f (x) x se(x) cos(x) se(x) x+2 x+4 se(x) x se(x) cos(x) x 2 +

91 7. Cosidere fução y = 2x 2 4x x + + x 3 () Mostre que y = f(x) é cotíu em R ms su derivd ão existe em dois potos, (quis?). (b) Nos potos, em que derivd ão existir, clcule f (+), f ( ). (c) Verifique ret x = é um eixo de simétri de f. Defi formlmete o que sigific est simetri. (d) Prove que pr grdes vlores de x o comportmeto ssitótico de f é o de um ret. Ecotre equção dest ret. (e) Fç o gráfico de y = f(x). 8. compost de fuções cotíus Mostre que se f, g forem cotíus, etão s fuções f(g(x)), g(f(x)) tmbém serão cotíus qudo puderem ser defiids. 9. derivd d compost-regr d cdéi Supoh que f, g sejm deriváveis e que fução compost c(x) = f(g(x)) estej defiid. () Clcule c x (b) Vej que seguite equção crcteriz composição de fuções: z = h(x) = f(y) = f(g(x)) ;x g y f z. Isir, gor, o úmerdor e o deomidor de h x o mesmo ftor y e mostre que c (x) = f (g(x))g (x).. Clcule derivd ds fuções idicdo o domíio de vlidde d expressão ecotrd. Admit seguite tbel de derivds: pr usr os cálculos bixo. (se) = cos; (cos) = se f(x) f (x) f(x) f (x) se(x 2 ) se(cos(x)) se 2 (x) cos(se(x)) se(x) cos(x) se(x/) cos(x/) se(x) cos(x) cos(x) x cos(x) xcos(x) cos 2 (x) + se 2 (x) cos(x) se(x) se(x) x se(x) xse(x) x 2 se(x) 4.6 Fuções cotíus e o limite Se f for um fução cotíu, f : I R I é um itervlo de R, por defiição, f preserv covergêci, isto sigific: Pr qulquer sucessão s que represete o poto, f(s) será um sucessão e irá represetr um úmero o cojuto de vlores de f; lim f(s ) = f(lim). s As dus expressões cim são equivletes, e você deve se covecer disto (ou formlmete se recusr...). A segud expressão pode ser prfrsed com seteção: Se f for cotíu, etão podemos permutr f e o operdor lim Vmos explorr s forms de expressr cotiuidde est seção e chegr lgums cosequêcis técics deste coceito. Apred tmbém pssr livremete d seteç s respreset o úmero rel pr seteç lim s =. porque els sigificm mesm cois. Algus dos exercícios dest seção repetem ftos já vistos teriormete, porém com outr form de ver s coiss. Por exemplo, já vimos em list de exercício terior que os poliômios são fuções cotíus. Agor este resultdo volt se presetr como cosequêci dos dois primeiros resultdos d próxim list. É preciso que você se coscietize disto. Exercícios: 42. A dição é um fução cotíu Mostre que se s represetr o úmero rel S e t represetr o úmero rel T etão s + t represet o úmero rel S + T. 2. A multiplicção é um fução cotíu Mostre que se s represetr o úmero rel S e t represetr o úmero rel T etão st represet o úmero rel ST. 3. Costrução de fuções cotíus Mostre que se I f F e F f G, I, F, G sedo tres itervlos de R, se f, g forem cotíus, etão f + g é um ov fução cotíu. Mostre que se I f F e F f G, I, F, G sedo tres itervlos de R, se f, g forem cotíus, etão fg é um ov fução cotíu. Mostre que os poliômios são fuções cotíus. 4. Som de limites Se f, g forem dus fuções cotíus defiids o itervlo I = Dom f = Dom g ; se s represet S I; Etão lim(f(s) + g(s)) = f(s) + g(s).

92 5. questão equivlete um outr Se lim s = S e se f, g forem cotíus, etão lim f(s ) + g(s ) = A + B com A = f(s);b = g(s). 6. Produto de limites Se lim s = S e se f, g forem cotíus, etão lim f(s )g(s ) = AB com A = f(s);b = g(s). 7. Quociete de limites Se lim s = S e se f, g forem cotíus, etão lim f(s )/g(s ) = A/B com A = f(s);b = g(s). 8. A derivd é um propriedde especilizd de f () Se f for cotíu, etão (b) Se f for cotíu, etão lim f( + x) f() = x= f( + x) f() lim = A x= x sedo o úmero A o coeficiete gulr istâeo de f o poto. Defiição: 27 Fução difereciável Se o limite terior existir em todos os potos Dom f, diremos que f é difereciável. 9. Verifique se s fuções seguites são difereciáveis e clcule sus derivds. Hvedo potos problems, idetifique-os ) f(x) = (x + 3)(x + 2) b) f(x) = x 2 c) f(x) = x+3 x. Determie os limites idicdos e justifique como fzer, (se você ão coseguir clculr extmete, pelo meos simplifique expressão fil té o limite possível). ) lim(x + 3)(x + 2) x=5 b) lim x 2 x= c) lim x+3 d) lim x= x x e) lim 4 x=2 x 2 g) lim 2 x 2 i) lim (x+h) h= h x j) lim 2 9 x= x 2 2x+9 m) lim se(x) x= cos(x) p) lim x= se( x) x cos( x) s) lim x= x h) lim x= (t+ x) 2 t 2 x se(x+t) se(x) k) lim t= t se(x) se() ) lim x= x se(x) q) lim x= x e t) lim x+h e x h= h x 3 x= x 2 + 2x f) lim 2 5x+2 x= x (y+ρ) 2 y 2 ρ= ρ se(x+ x) se(x) x se(+ x) se() x= x cos(+ x) cos() x l) lim x= o) lim r) lim x= u) lim x= e x+ x e x x 4.7 Coeficiete gulr isttâeo A técic básic que vmos empregr é mipulção ds dus difereçs, x, y. Cbe fzer lgums defiições: Defiição: 28 Quociete de difereçs x É um deslocmeto cosiderdo prlelmete o eixo OX. y Dd um fução y = f(x), podemos clculr difereç y = f(+ x) f(). A figur (fig. 4.4), pági 74 mostr o sigificdo geométrico de y e de x. y é um deslocmeto clculdo o logo do eixo OY, em fução de x. y e x são os ctetos oposto e djcete do âgulo gudo que hipóteus fz com um prlel o eixo OX. Ver (fig. 4.4). O quociete y é o coeficiete gulr d hipoteus do triâgulo retâgulo meciodo cim, ver (fig. 4.4). Como est hipoteus está sobre ret secte o gráfico x y de y = f(x) pssdo os potos (, f()),( + x, f( + x)), x é o coeficiete gulr dest ret. Este coeficiete gulr é um proximção do coeficiete gulr isttâeo, derivd f (). A derivd, f (), é o coeficiete gulr d ret tgete o poto (, f()). É usdo limite que coseguiremos clculr derivd formlmete. Vej tods ests etiddes figur (fig. 4.4), pági 74. Vej tmbém os dois gráficos, (fig. 4.5) pági 75 e (fig. 4.6) pági 76. No primeiro um sucessão de sectes se proxim d tgete. No outro podemos ver pes tgete o gráfico o poto (, f()). Relei est itrodução diverss vezes té que ests idéis se torem clrs pr você. Não duvide que els são difíceis, ms bsolutmete ão são pr gêios Coeficiete gulr de rets Exercícios: 43 Coeficiete gulr de rets. ret y = 2(x 3) + 4. () Fç o gráfico d ret y = 2(x 3) + 4. (b) Cosidere umdeslocmeto o eixo OX, prtir do poto, chme-o x. Clcule f( + x), com f(x) = 2(x 3) + 4. Clcule y = f( + x) f(). Represete grficmete seus cálculos. Costru, iclusive, o triâgulo retâgulo com ctetos x, y cuj hipoteus coïcid com o segmeto (, f()),( + x, f( + x)). (c) Clcule o quociete y x. 2. ret f(x) = m(x ) + b.

93 Clcule y = f( + x) f(). Represete grficmete seus cálculos. Clcule y x e simplifique expressão. (c) Cosidere x = k. Observe que medid que k cresç, x descresce se proximdo de zero, portto x represet zero. Tire disto um coclusão sobre o coeficiete gulr isttâeo d prábol o poto. Ver o gráfico (fig. 4.5), pági 75. (d) Verifique o gráfico que s seguites firmções procedem, e idetifique ode (o gráfico): i. O coeficiete gulr isttâeo depede do poto. ii. O coeficiete gulr isttâeo pode ser zero. iii. O coeficiete gulr isttâeo pode ser egtivo. Ode será egtivo? Ode será positivo? Figur 4.4: Há um triâgulo retâgulo de ldos x, y cuj hipoteus está sobre um secte. () Cosidere umdeslocmeto o eixo OX, prtir do poto, chme-o x. Clcule f( + x), com f(x) = m(x ) + b. Clcule y = f( + x) f(). Represete grficmete seus cálculos. (b) Clcule o quociete y x, com s expressões clculds questão terior. (c) Observdo que o poto foi tomdo rbitrrimete, verifique que coclusão é: s rets tem coeficiete gulr costte Coeficiete gulr de prábols. Exercícios: 44. Sej y = f(x) = x 2 2x + 4. () Cosidere prábol Fç o seu gráfico. f(x) = x 2 2x + 4. (b) Cosidere umdeslocmeto o eixo OX, prtir do poto, chme-o x. Clcule f( + x) Sucesso de rets sectes dt Figur 4.5: Sucessão de sectes se proximdo de um tgete. 2. Fç com cuiddo os gráficos ds fuções f(x) = x 2 2x + 4 e g(x) = 2x 2 um mesmo sistem de eixos. Verifique experimetlmete que g(x) forece o coeficiete gulr isttâeo de f em cd poto: g = f. Compre com expressão ecotrd questão terior, pr y x.

94 Observção: 29 A fução derivd. A fução g d últim questão se chm de derivdd de f. g = f. Notção: O gráfico de f(x) = x 2 2x+4 e de um tgete este gráfico o poto x = 4 pode ser visto o gráfico (fig., 4.6), pági 76. Progrms utilizdos form ligugemde progrmção Pytho e o Guplot roddo detro de um mbiete LiuX. Clcule y; y x, simplifique expressão ecotrd. Represete grficmete seus cálculos. Não se esqueç de colocr 4 em evidêci pr eteder o que está cotecedo. Cosidere gor x =, um represetção de zero, e experimete com grdes vlores de k pr deduzir o vlor de f k (). 2. Coeficiete gulr isttâeo de f(x) = 5x 2. () Cosidere f(x) = 5x 2. Fç o seu gráfico. (b) Cosidere um deslocmeto o eixo OX, chme-o x. Clcule f(+ x). Clcule y = f( + x) f(). Represete grficmete seus cálculos. Não se esqueç de colocr 5 em evidêci pr eteder o que está cotecedo. 3. Coeficiete gulr isttâeo de f(x) = x A ret tgete o poto (4,f(4)) dt Figur 4.6: Grfico de f e de su tgete o poto (4, f(4)). 3. Repit o estudo cim com f(x) = x 2 pr ecotrr fução derivd g = f. Fç os gráficos de mbs s fuções um mesmo sistem de eixos Coeficiete gulr isttâeo de outros poliômios. Exercícios: 45 Derivd de outros poliômios. f(x) = 4x 2. () Fç o seu gráfico de y = f(x). (b) Cosidere um deslocmeto o eixo OX, prtir do poto, chme-o x. Idique o gráfico. Clcule f( + x). 7 do livro de G. Stmpchi - A itroductio do Vritiol Iequlities d its pplictios () Cosidere f(x) = x 3. Fç o seu gráfico. (b) Cosidere um deslocmeto o eixo OX, chme-o x. Clcule f(+ x). Clcule y = f( + x) f(). Represete grficmete seus cálculos. (c) Clcule y x, e simplifique expressão ecotrd. Cosidere x = k, e tire um coclusão sobre o coeficiete gulr isttâeo de f o poto qudo k tiver um vlor muito grde. 4. Verifique o gráfico que s seguites firmções procedem, e idetifique ode (o gráfico): () O coeficiete gulr isttâeo depede do poto. (b) O coeficiete gulr isttâeo pode ser zero. (c) O coeficiete gulr isttâeo pode ser egtivo. Ode será egtivo? Ode será positivo? 5. desiguldde vriciol Supoh que y = f(x) sej um fução difereciável, defiid o itervlo [, b] Mostre que f (x )(x x ) implic em extmete um ds relções e reciprocmete 7. < x < b f (x ) = (4.2) x = f () > (4.22) x = b f (b) < (4.23)

95 Solução: < x < b etão x x pode ser positivo ou egtivo etão pr que sempre f (x )(x x ) úic síd é que f (x ) =. Reciprocmete, se f (x ) = etão f (x )(x x ) Se x = etão x x etão f ()(x ) implic que f () >. Reciprocmete, se f (x ) > etão f (x )(x x ) x x pr todo vlor de x o que implic que x =. Se x = b etão x x etão f (b)(x b) implic que f (b) <. Reciprocmete, se f (x ) < etão f (x )(x x ) implic que x x < x < x pr todo x logo x = b Regrs de derivção. Vmos descobrir lgums regrs de derivção usdo os resultdos obtidos os exercícios cim. Exercícios: 46 Regrs de derivção. Formule, prtir ds experiêcis feits cim, qul seri o coeficiete gulr isttâeo de f(x) = x. 2. Complete tbel de derivds bixo usdo os resultdos lcçdos s questões teriores. f f 2x x 3x 3x Ax x 2 + 2x x 2 + 2x + 4 2x + 2 f f Ax 2 + Bx + C x 3 x 4 x 5 x 6 x 4x 3 f f 6x 4 24x 3 2x 5 7x 6 2x 3 6x 2 3x 4 x 4 4 Ax Ax Cpítulo 5 A Derivd e Itegrl. Neste cpítulo começremos oficilmete o estudo ds derivds de um form sistemtic que difere do que fizemos tes qudo derivd foi presetd iformlmete. Em pssdo recete, os cursos de Cálculo, se presetv derivd como um método essecil pr se obter o gráfico de um fução. Hoje os gráficos de fuções se podem obter com progrms de computdor, com muito mis eficiêci. Etretto tis gráficos perdem sesibilidde em lgus potos o que os obrigdo estudos qulittivos pr detectr o comportmeto dos gráfico eles. A derivd represet um desses estudos qulittivos, o mis importte, que se trduz pel álise do coeficiete gulr isttâeo do gráfico de um poto e de outrs proprieddes geométrics, como curvturs ou mudçs de curvtur que um progrm de computdor muits vezes ão cosegue ressltr. Ms este seri pes um specto do uso d derivd. Mis importte é su utilizção proximção de fuções em que el se ecotr o porão dos métodos mis vçdos. O exemplo d pedr roddo pres um cordão cotém os rudimetos utilizdos o lçmeto de um ve espcil que dev levr um stélite pr etrr em órbit. De ferrmet imedit pr costruir gráficos, derivd evoluiu pr se torr um form mis fi de lisr o comportmeto de um fução, ou pr costrução de um trjetóri prtir de iformções colhids por sesores, cso do stélite ser colocdo em órbit. Tmbém já ressltmos que derivd hoje é vist como um ordem de cotiuidde: se f for derivável etão f é cotíu. Vmos estudr técics de derivção juto com lgums plicções d Derivd. A derivd, por defiição, é o coeficiete gulr d ret tgete o gráfico de f o poto (, f()), portto é o limite do coeficietes gulr ds sectes: f( + x) f() lim = lim x= x x= Est form de defiir, etretto, é muito custos sedo ecessário ir em busc de regrs lgébrics que torem o cálculo d derivd mis rápido. Notção: Vmos usr um otção pr simplificr o trblho. Como estmos todo mometo trblhdo com o quociete f x em que x = escrevermos f x estremos sempre pesdo em y x f lim x= x = lim f( + ) f(). é um represetção do zero, etão qudo qui há um prticulrizção, deverimos dizer + s em que s = (s ) N fosse um represetção qulquer do zero. Fic o lert se você desejr ser mis preciso. 79

96 5. Técics de derivção. Estoque de derivds Resumo. Se soubermos derivd de f e de g podemos deduzir qul é derivd de f + g ; fg ; f ; h(x) = f(g(x)) g qudo ests fuções estiverem defiids. É este o ssuto d presete suite de exercícios etituld regrs de derivção. Exercícios: 47 Algums regrs de derivção. derivd d fução costte. Verifique que se f(x) = c, um costte, etão o quociete f x sempre será zero, logo f (x) =. Solução: 2 Se for um fução costte, digmos x ; f(x) = c etão f(x + x) = c ; f(x) = c f = f(x + x) f(x) = f x = Observe que últim equção ão fizemos o cometário x. Não tem setido flr em x =. Quer dizer que f = pr qulquer que sej x logo x f lim x= x = Observe id que expressão, x =, o operdor lim, sigific que x é um sucessão qulquerque represet zero, e ão, ecessrimete o zero. Pode ser sucessão costte zero, iclusive. São liguges diferetes derivd d fução f(x) = Ax + B. () Clcule f x pr f(x) = Ax + B e coclu que f (x) = A e que grf(f) é um ret. (b) Como s rets tem coeficiete gulr costte, se o gráfico de f, grf(f) for um ret, mostre que f x = f(+ x) f() x = A, um costte, idepedetemete do poto em que foi clculd difereç e idepedemete do vlor de x. Se ret for prlel o eixo OX, quer dizer que f é um fução costte, etão A =. (c) Deduz, usdo fórmul d equção d ret, que y y = f x x x = A y = f(x) = Ax + B explicitdo o vlor de B e verificdo que ele ão depede pes do poto x e ão do vlor de x. Você ssim demotrou o teorem: Teorem: 2 Derivds ds fuções do primeiro gru As fuçõesdo primeiro gru, f(x) = Ax+B tempor derivd costte A e, reciprocmete, se o gráfico de f for um ret, su equção é d form f(x) = Ax+B em que A, B são costtes. Se ret for prlel o eixo OX etão A =. Solução: 3 () Se f(x) = Ax + B etão f = f(x + x) f(x) = A(x + x) + B (Ax + B) f = Ax + A x + B Ax B = A x f x = A x x = A Logo f = A é um costte, vle A pr qulquer vlor de x x logo f lim x= x = A quer dizer que f (x) = A. Isto id pode ser iterpretdo, geometricmete ssim: em qulquer poto do grf(f) o coeficiete gulr isttâeo é o úmero A. Como s úics curvs que tem coeficiete gulr costte são s rets, etão grf(f) é um ret. (b) Se o gráfico de f, grf(f) for um ret, etão, em qulquer poto seu coeficiete gulr isttâeo será o mesmo: f x = A Se ret for prlel o eixo OX etão f = logo A =. Se ret for prlel o eixo OY ão é fução d vriável x e diremos que est ret ão tem coeficiete gulr.

97 (c) Aplicdo fórmul d equção d ret, observemos que portto se f x = A etão x = x x ; f = y = y y f x = y y = A x x y y = A(x x ) y = Ax + y Ax = Ax + B O vlor de B = y Ax depede do poto ode pss o gráfico de f pes. 3. Som de fuções. Cosidere dus fuções f, g deriváveis e som ds mesms, h(x) = f(x) + g(x), que é um ov fução. () Cálcule h x. Verifique que result um som de quocietes de difereçs, escrev explicitmete est som de quocietes de difereçs. (b) Cálcule lim portto: x= h x. Verifique que result um som de limites e que, Teorem: 3 D derivd d som h (x) = [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x). A derivd d som é som ds derivds. Solução: 4 () h = h(x+ x) h(x) = f(x+ x) + g(x+ x) f(x) g(x) h = f(x+ x) f(x) + g(x+ x) g(x) = f + g h x = f+ g x = f x + g x (b) Se x for um sucessão qulquer que represete o zero (teh limite zero), teremos à direit e à esquerd d iguldde, cim, dus sucessões iguis, portto, se um tiver limite, outr tmbém tem, o limite sedo o mesmo. Como à direit há um som de sucessões covergetes (s fuções são deriváveispor hipótese) etão temos sucessões defiido úmeros reis (vle portto que som dos limites é o limite d som) e temos à direit f (x) + g (x). Como s sucessões são iguis, à direit e à esquerd iguldde, o limite à esquerd existe e por defiição é derivd de h, h (x) = f (x) + g (x). 4. Cálcule s derivds ds fuções defiids bixo, use (se(x)) = cos(x) ; (cos(x)) = se(x). ) f(x) = se(x) + x 2 b) f(x) = se(x) + cos(x) c) f(x) = x 2 + x 4 d) f(x) = x ; x e) f(x) = x + x ; x f) f(x) = x + x ; x 5. Produto de fuções. Cosidere dus fuções f, g deriváveis e o produto ds mesms, h(x) = f(x)g(x), que é um ov fução. Assum que x é um sucessão qulquer que represet o zero, por exemplo: () Verifique que x = ( ) N ; ; lim x = lim f(x + x)g(x) = f(x)g(x) x= (b) Verifique que o limite seguite é zero h f(x + x)g(x) + f(x + x)g(x) se pes f, g forem cotíus o 2 poto x. (c) Verifique que s expressões seqüêci bixo são lgebricmete equivletes (quer dizer que você pss de um pr outr efetudo operções lgébrics legis). h = f(x + x)g(x) f(x + x)g(x) + f(x + x)g(x + x) f(x)g(x) h = f(x + x)(g(x + x) g(x)) + (f(x + x) f(x))g(x) h g x = f(x + x) x + f x g(x) Coclu, por iguldde de sucessões que, um tedo limite etão outr tmbém tem, sedo derivd do produto de dus fuções difereciávei: h (x) = (f(x)g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x) Teorem: 4 Derivd do produto Se f, b forem fuções difereciáveis, etão (f(x)g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x) 2 crece de setido cotiuidde um úico poto, ms se us est ligugem...

98 6. Sbedo que derivd de f(x) = se(x) é f (x) = cos(x) clcule, (idicdo o domíio de vlidde dos cálculos) f(x) = f (x) = xse(x) x 2 se(x) cos 2 x + se 2 (x) se(x)cos(x) f(x) = f (x) = se 2 (x) (3 + 2x)se(x) cos 2 (x) se(x) x 7. Clcule derivd de h(x) = x 2 (x+4) 2, primeiro use fórmul do teorem produto de derivds, depois desevolv o produto e clcule derivd do poliômio resultte, pr comprr os resultdos. 8. derivd d fução f(x) = x 2. Est fução é o produto de g(x) = x por el mesm. Use regr do produto pr cocluir que f (x) = 2x. 9. derivd d fução f(x) = Ax 2. Prove que f (x) = 2Ax.. derivd d fução f(x) = Ax 2 + Bx + C. Prove que [Ax 2 + Bx + C] = 2Ax + B.. A derivd de poliômios. Como poliômios são soms de moômios, verifique que sus derivds serão soms d form: 2. Derivd de g(x) g(x) P(x) = k x k P (x) = k= k k x k k=. Cosidere fução g derivável e o quociete, h(x) =, um ov fução que está defiid sempre que g(x). () Clcule h x (b) Verifique que h (x) = g (x) g(x) 2 Est fórmul vle os potos em que g(x) =. Ms vle em qulquer poto em que g(x). 3. Quociete de fuções. Cosidere dus fuções f, g deriváveis e o quociete ds mesms, h(x) = f(x) g(x), que é um ov fução que está defiid sempre que g(x). Verifique h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x) Est fórmul vle os potos em que g(x) =. Ms vle em qulquer poto em que g(x). 4. Outro método pr o quociete Observe que se g(x) etão h(x) = g(x) g(x) = é o produto de dus fuções: h(x) = g(x) g(x). Use o fto de que h (x) = pr deduzir o vlor de ( g(x) ), derivd do quociete. Est fórmul vle os potos em que g(x) =. Ms vle em qulquer poto em que g(x). 5. Clcule s derivds: () h(x) = tg(x) = se(x) cos(x). (b) h(x) = x +x Estude o comportmeto de h(x) = ( x +x 2 ) isto é, lise ode h tem sil costte (positivo, egtivo). quis são s rizes de h (x) = e que o cotece estes potos. e deduz o gráfico de h(x) = 7. Preech tbel de derivds: x +x 2. f f 3x 2 + 2x + 3 2x 4x 2 x 5x 3 7x 4 2x 3 x 28x 3 6x 2 8. Clcule s derivds ds seguites fuções. ) h(x) = x x+3 b) h(x) = x 2 (x+3)(x+) f f 7x 2 3x 3 2x 2 2x 3 Ax + Bx + Cx 2 Ax se(x) c) h(x) = se(x) x+3 d) h(x) = x+3 e) h(x) = x 2 (x + 3)(x + ) f) h(x) = x g) h(x) = x x h) h(x) = (x+3)(x+) i) h(x) = x 2 j)h(x) = x2 + k)h(x) = se(x)(x + 3) l) h(x) = x 3 x m) h(x) = cos(x) se(x) )h(x) = x 2 (x 2) (x+5)(x+3)(x+) o) h(x) = s2 x 9. Pr cd um ds fuções do item terior, preech um tbel 3 o formto 3 há potos sugeridos est tbel que ão servem pr pr lgums ds fuções defiids questão terior, decid quis, substitu por outros, e justifique rzão de su escolh.

99 x vlor de f(x) vlor de f (x) e pr cd item d tbel mrque um poto o plo idicdo com um pequeo segmeto de ret, qul é tedêci do comportmeto de f vizihç do poto. 2. Pr cd um ds fuções defiids bixo ) h(x) = x 3 x+3 b) h(x) = se(x) cos(x) c) h(x) = se(x) x+3 d) h(x) = x+ x+3 e) h(x) = se(x 2 )(x + ) f) h(x) = x se(x) g) h(x) = x 3 x+2 h) h(x) = se(x) (x+3)(x+) i) h(x) = se(x) cos(x 2 ) j)h(x) = x2 + x 3 k)h(x) = se(x)cos(x) l) h(x) = se(x) m) h(x) = cos(x+) se(x 2) preech um tbel o formto: x f(x) f (x) )h(x) = se(x 2)cos(x) (x+5)(x+3)(x+) itervlos do domíio e potos críticos sil de f e vlor os potos críticos sil de f, zeros de f, vlor os potos críticos o) h(x) = se2 (x) cos(x 2 ) 2. Use iformção cotid s tbels teriores pr esboçr os gráficos ds fuções defiids questão (exercício 2). 22. Derivd d compost - A regr d cdéi () Produto de difereciis Cosidere dus fuções f, g, cuj compost exist. Notção: z = h(x) = f(y) = f(g(x)) Justifique lgebricmete seqüêci de idetiddes: h(x + x) h(x) = f(g(x + x)) f(g(x)) h(x + x) h(x) = f(g(x) + y) f(g(x)) h x = f(y+ y) f(y) x h x = [f(y+ y) f(y)] y y x h x = f g y x (b) Derivd d fução compost Acrescete os cálculoscim hipótese: As dus fuções f, g são difereciáveis e justifique etão que 23. Derivd d fução compost () Se f(x) = si(x 2 ), clcule f (x). h (x) = f (g(x))g (x) (b) Um gz é bombedo pr um blão esférico um fluxo costte (velocidde) de 5cm 3 /segudo. Supoh que o blão se mtém proximdmete esférico, clcule velocidde com que o rio do blão está crescedo qudo r = 5cm. (c) Derivd de f(x) = x α Use derivd h(x) = l(x) ;h (x) = x pr clculr derivd de l(x α ) ;α e dí deduz (x α ) = αx α ;α (d) Derivd d riz qudrd Clcule derivd de f(x) = x = x.5 (e) Se x 2 + y 2 = etão ecotre o coeficiete gulr isttâeo, o círculo, o poto ( 2, 2 ). 24. comprdo crescimeto () Cosidere dus fuções, f, g tis que f() = g() = b os dois gráficos pssm em (, b). f () g () declividde de f é meor que de g o poto (, b). x > f (x) g (x). Fç pelo meos um gráfico que correspod est descrição. Prove que x x > f(x) g(x). (b) Um plicção Prove que: se dus criçs A e B scerem o mesmo di, e se criç A tiver miorcomprimeto que criç B o scer, etão, provvelmete, idde dult A terá mior comprimeto que B. (c) Outr plicção No item teriortroque mior comprimeto por melhorescodições sociis e eucie o resultdo que ssim se pode obter. 25. Prove s desiguldde seguites e, em cd cso, fç os gráficos ds fuções f, g. () 3(x 2) 4(x 2) x > 2.

100 (b) x 2 x 3 x >. (c) se(x) x x >. (d) cos 2 (x) x x >. Sugestão, use o (exercício, 24). 26. Prove que cdéi de desigulddes seguites vle: cos2 (x) cos2 (x) = se(x) se(x) x x x x se < x. Sugestão: se ispire em exercício terior. 5.2 Aálise do gráfico de um fução. Resumo. Já sbemos, prátic, que o gráfico de um prábol é um curv com bertur voltdo pr cim ou pr bixo. A seguite suite de exercícios coduz à demostrção deste resultdo. Vmos mis lém qui, desembocremos o Teorem Fudmetl d Álgebr, sem demotrá-lo, que determi o úmero máximo de soluções de um equção poliomil. Neste exercícios estmos lisdo, de form fi, gráficos feitos por computdor os cpítulos teriores. Exercícios: 48 Gráficos de prábols. Prove que derivd de f(x) = Ax 2 + Bx + C se ul em úico poto x = B 2A. 2. Verifique que o poto extremo d prábol é o poto médio ds rizes (mesmo que els ão existm como úmeros reis): x + x 2 = B 2A. 3. Pr cd um ds fuções bixo ) y = x 2 + 3x + 7 b) y = 5 3x 8x 2 c) y = x 2 () clcule sus derivds e determie o poto em que derivd se ul em cd cso; (b) clcule o poto de míimo sem usr s rizes; (c) use ests iformções pr fzer um esboço gráfico de cd um ds fuções. 4. crescimeto e derivd Como derivd de f(x) = Ax 2 + Bx + C é um ret, verifique que () Se A > etão f primeiro decresce té o poto x = B 2A e depois cresce prtir deste poto. (b) Se A < etão f primeiro cresce té o poto x = B 2A e depois decresce prtir deste poto. e coclu que, Se A > prábol y = f(x) tem bertur pr cim; Cosequetemete prábol pss por um míimo o poto x = B 2A. Se A < prábol y = f(x) tem bertur pr bixo; Cosequetemete prábol pss por um máximo o poto x = B 2A. Aplique est álise cd um ds fuções bixo

101 ) y = x 2 + 3x + 7 b) y = 5 3x 8x 2 c) y = 4 x 2 5. Pr cd um ds fuções cim, determie os dois itervlos de R em que el cresce ou decresce, e com est iformção fç os gráficos ds fuções. 6. miimx Eucie um teorem ssocido os potos de máximo ou de míimo de um fução com os zeros d derivd. 7. Fç os gráficos de )y = x 2 3x 7 b) y = 5 3x 8x 2 c) y = 4 x 2 8. Se f(x) = Ax 2 +Bx+C, prove que o poto x, tl que f (x) =, é o poto médio ds rizes, (quer els sejm reis ou complexs...). 9. Clcule o poto médio ds rizes ds prábols bixo e cofirme os gráficos feitos. Derivd e primitiv )y = x 2 9 b) y = 6 5x + x 2 c) y = 4x x 2 () Clcule derivd de f(x) = Ax 2 + Bx + C. (b) Clcule o poto médio ds rizes de (c) Clcule equção de Ax 2 + Bx + C = G(x) = x B A 2Ax + B usdo itegrção geométric (observe qul é o sigificdo geométrico do poto B A ). (d) Deduz um fórmul ssocido f, f vi itegrl.. Fução do terceiro gru Sej f(x) = Ax 3 +Bx 2 +Cx+D. Determie o úmero máximo de potos tl que f (x) =. () Especifique este resultdo os seguites csos: )y = x 3 + 3x + 7 b) y = 5x 3x 2 8x 3 c) y = 8 x 3 (b) Pr cd um ds fuções cim, idetifique se os potos em que derivd se ul é um poto de máximo ou um poto de míimo. (c) Determie em que cso pr y = f(x) defiid cim, qudo fução é crescete ou decrescete, ode el tem máximo ou míimo reltivos e use ests iformções pr fzer os seus gráficos. 2. Teorem Fudmetl d Álgebr Dd um fução poliômil f, álise dos zeros de su derivd f pode coduzir à determição dos zeros de f. Cosiderdo que, se f () = etão o gráfico de f tem um tgete horizotl o poto (, f()), este fto geométrico permite um esboço do gráfico de f, loclmete se pudermos determir em cso: poto de máximo, poto de míimo, poto de iflexão, se clssific o poto (, f()). () Cosidere um fução poliômil, f, do terceiro gru. Supoh que su derivd se ule os potos x =, x = b. Observe que x = = b é um desses csos. Ecotre tods s possibiliddes de relção que existm etre, b, f(), f(b), f (), f (b) (cosiderdo desiguldde e sil) e pr cd um dels esboce o gráfico de f. Por exemplo, bixo se ecotr um possiblidde ilegl < b;f() < f(b). Justifique por que é ilegl e determie tods s possibliddes legis e os correspodetes esboços gráficos. Respost: existem 2 clsses de gráficos, com 3 ou possibiliddes de rizes. (b) Cosidere um fução poliômil, f, do qurto gru. Determie tods s possibiliddes de gráficos prtir d lise dos zeros de su derivd. Respost: existem 3 clsses de gráficos com 3, 2 possibilidde de rizes. (c) Teorem Fudmetl d Álgebr Eucie hipótese de idução que ficou delied os ites teriores, pr um fução poliomil do gru. Eucie o Teorem que fic sugerido pel sequêci de questões que estbelece o úmero de rizes de um equção poliomil de gru. 3. Gráfico de um fução Sej f um fução difereciávelem um sub-itervlo d ret. Justifique s firmções seguites:

102 () A rizes d derivd f idicm os potos em que f tem um tgete horizotl. (b) Os zeros d segud derivd de f idicm os potos em que f, lter de crescimeto pr decrescimeto ou vice-vers. Isto é, se f () = se f er crescete em x < etão f pssr decrescete em x > ; se f er decrescete em x < etão f pssr crescete em x > ; (c) Trce miuciosmete, (à mão!) o gráfico d fução f(x) = 24 x 5x 2 + x 4 primeiro clculdo f, f e fzedo s álise ds rizes ds derivds. Determie os itervlos ode f, f crescem ou decrescem pr deduzir o gráfico de f. Cofir o resultdo defiido f em Guplot e executdo guplot > f(x) = 24 x 5 x 2 + x 4 > set poitsize. > plot f(x), > puse -2 > <eter> > quit Guplot é um progrm de domíio público voltdo pr fzer gráficos de fuções (e ddos) ui e multi vrido. Existe té mesmo um versão do Guplot pr DOS ou Widows ms ão podemos grtir que ests versões fucioem bem. Usmos Guplot sob LiuX. 5.3 Cálculo de derivds e gráficos de fuções.. Clcule s derivds ds seguites fuções. ) h(x) = x x b) h(x) = 2 x+3 (x+3)(x+) d) h(x) = c) h(x) = se(x) x+3 x+3 e) h(x) = x 2 (x + 3)(x + ) f) h(x) = se(x)(x + 3) g) h(x) = x g) h(x) = (x+3)(x+) i) h(x) = x 2 j) h(x) = x k) h(x) = x x l) h(x) = x m) h(x) = cos(x) se(x) ) h(x) = x2 + x 3 o) h(x) = s2 x 2. Pr cd um ds fuções do item terior, preech um tbel 4 o formto 4 há potos sugeridos est tbel que ão servem pr pr lgums ds fuções defiids questão terior, decid quis, substitu por outros, e justifique rzão de su escolh. x vlor de f(x) vlor de f (x) e pr cd item d tbel mrque um poto o plo idicdo com um pequeo segmeto de ret, qul é tedeci do comportmeto de f vizihç do poto. 3. Pr cd um ds fuções defiids primeir questão, preech um tbel o formto x itervlos do domíio e potos críticos h(x) sil de f e vlor os potos críticos h (x) = sil de f, zeros de f, vlor os potos críticos ) h(x) = x x+3 g) h(x) = x j) h(x) = cos(x) si(x) 4. Use iformção cotid s tbels teriores pr esboçr os gráficos ds fuções defiids primeir questão. 5. comprdo crescimeto Cosidere dus fuções, f, g tis que f() = g() = b os dois gráficos pssm em (, b). f () g () declividde de f é meor que de g o poto (, b). x > f (x) g (x). Fç pelo meos um gráfico que correspod est descrição. Prove que Teorem: 5 Desiguldde e derivds. x x > f(x) g(x). 6. Prove s desiguldde seguites e cd cso fç os gráficos ds fuções f, g. () 3(x 2) 4(x 2) x > 2. (b) x 2 x 3 x >. (c) se(x) x x >. (d) cos 2 (x) x x >.

103 7. Prove que cdéi de desigulddes seguites vle: cos2 (x) cos2 (x) = se(x) se(x) x x x x se < x. 5.4 Números complexos e trigoometri. As fuções trigoométrics oferecem um dificuldde especil que é preciso ão despresr: els tem um defiição geométric e ós precismos trblhr com sus proprieddes lgébrics. As potes pr sltr sobre este fosso são muito exígus e depedem de um rte seculr... Um pouco de úmeros complexos jud crir um método pr redescobrir, qudo ecessário, s fórmuls dos rcos-som, fremos isto primeir seção que você pode sltr se julgr desecessário.. Efetue e represete geometricmete o plo: ) (2 + 3i) + (3 + 2i) b) ( + bi) + (c + di) c) (2 + 3i)(3 + 2i) d) (2 + 3i)(2 3i) e) (2 + 3i) f) (cos(θ) + ise(θ) g) ( + bi) + ( bi) h) (cos(θ) + ise(θ)(cos(α) + ise(α)) 2. Notção de Euler: Prove geometricmete que cos(θ) + ise(θ) = e iθ e iθ e iα = (cos(θ) + ise(θ))(cos(α) + ise(α)) = (5.) cos(θ + α) + ise(θ + α) = e i(θ+α) ; (5.2) use distâci etre dois potos e semelhç de triâgulos o represetr e iθ, e iα, e i(θ+α) o plo. 5.5 Derivd ds fuções trigoométrics. Acomphe leitur escrevedo s mrges 5 idictivos de como form feits cd um ds pssges, fz prte do exercício fzê-lo. Queremos clculr o limite do quociete de difereçs e sbemos 6 que se( + h) se() lim h= h se( + h) = cos()se(h) + cos(h)se() 5 como se diz que Fermt fez um di, de form icomplet, por flt de espço... 6 ão se deixe itimidr por frses utoritáris como est, sbemos..., se você ão souber, pergute, e depois escrev qui o texto como foi feito... portto: cos()se(h) + cos(h)se() se() lim h= h est frção se pode dividir em dus: cos()se(h) lim + h= h Se coseguissemos provr que existem, etão o limite será som 7 : cos(h)se() se(). h lim cos()se(h), lim se() cos(h). h= h h= h cos()se(h) cos(h)se() se() lim + lim. h= h h= h Este é objetivo dos exercícios seguites. O teorem seguite será usdo. Teorem: 6 teorem do sduiche Se tivermos tres expressões e soubermos que: f (h) f 2 (h) f 3 (h) lim h= f (h) = lim h= f 3 (h) etão lim h= f 2 = lim h= f = lim h= f 3. f (h), f 2 (h), f 3 (h). Represete o círculo trigoométrico o rco h e se(h) e prove que: () se(h) h h h = (b) hcos(h) se(h) (sugestão compre s derivds o poto h = e os vlores ds fuções este poto.) (c) cos(h) se(h) h (d) Cosidere h = ( ) e coclu que lim h = cos(h) = se(h) h = e portto, pelo teorem 8 do sduiche, lim h= se(h) h =. cos(h) 2. Queremos mostrr que lim h= h =. Dus opções: 7 pelo teorem d som de limites 8 crescete o gráfico o rco do círculo de rio cos(θ)

104 comprção ds derivds prtir do poto h =, 5 pági 93. Use fórmul fudmetl cos 2 (h) = se 2 (h), pr ecotrr um ftorção do úmerdor Com f(x) = se(x), clcule f = f( + x) f(). Usdo fórmul do rco-som, ftore f e mostre que f lim x= x = cos(). Observção: 3 Derivd do seo. Os exercícioscim demostrrm: Teorem: 7 d derivd do se. Se f(x) = se(x) etão f (x) = (se(x)) = cos(x). 4. Como se, cos sãofuções periódics, com mesmoperíodo e mesmos vlores pes defsds, mostre, geometricmete, que umé um trslção d outr: se(x) = cos(x π 2 ) cos(x) = se(x + π 2 ) Observção: 3 Derivd d fução compost. Vemos que cos(x) = f(g(x)) = se(g(x)) ;g(x) = x + π 2, isto sugere pesrmos um método de derivção pr o cso d fução compost, e ele existe, e é fácil de explicá-lo simbolicmete: Chme h(x) = f(g(x)). Queremos clculr o limite lim s seguites cots sugerem: x= h x. Vej o que h = h(+ x) h() = f(g(+ x)) f(g()) = f (5.3) g( + x) g() = g hipótese (5.4) h x = f g g x (5.5) g lim x= x existe ; hipótese 2 (5.6) Como queremos ecotrr um regr de derivção pr fução h(x) = f(g(x)), os bsedo o fto de que s dus fuções f, g são deriváveis, etão hipótese 2 cim é stisfeit e podemos usr sugestão ds cots cim pr clculr: h lim x= x = lim x= h lim x= g= g h g g x (5.7) lim x= g x (5.8) (5.9) Teorem: 8 Regr d cdéi. Se f, g forem fuçõesderiváveis, etão fução compost h(x) = f(g(x)) será tmbém derivável e temos: h () = f (g())g () 5. derivd do coseo Deduz do terior que (cos(x)) = (se(g(x)) = cos(g(x))g (x) = cos(x + π 2 ) = se(x) 6. Clcule s derivds ds seguites fuções: ) h(x) = se(x)cos(x) b) h(x) = se(x) cos(x) c)h(x) = cos(x) se(x) d) h(x) = xse(x) e) h(x) = x 2 se(x) f) h(x) = x 2 cos(x) g) h(x) = x se(x) h) h(x) = se(x) xcos(x) i) h(x) = se(x) x 2 cos(x) j) h(x) = se(cos(x)) k) h(x) = se(x 2 ) l) h(x) = cos(x 2 ) m) h(x) = cos 2 (x) ) h(x) = cos 3 (x) o) h(x) = cos (x) p) h(x) = se 2 (x) q) h(x) = se 3 (x) r) h(x) = se (x) 7. itegrção geométric Prove geométricmete: () (b) (c) (d) π 2 π 2 π π se(x) = se(x) = π se(x) = π 2 π 2 cos(x) π π se 2 (x) = cos 2 (x) 8. Deduz d relção fudmetl cos 2 (x) + se 2 (x) = que π π π ) se 2 (x) + cos 2 (x) = π b) se 2 (x) = π 2 c) cos 2 (x) = π 2 9. Clcule tmbém, (represete geométricmete) s áres clculds): ) d) 2π 2π 2π se 2 (x) + cos 2 (x) b) se 2 (x) + cos 2 (x) e) 2π 2π 2π se 2 (x) c) se 2 (x) f) 2π 2π 2π cos 2 (x) cos 2 (x) estes limites d últim equção, são s derivds de f e de g, ecdeds demostrdo o teorem: 9 multiplique úmerdor e deomidor por (cos(h) + ).

105 5.6 A derivd de fuções rciois. Cosidere fução y = f(x) = x. Pr um vlor r- Exercícios: 49 bitrário de x clcule y, y x. y Cosiderdo lim x= x, deduz que equção d fução derivd de f é: 2. Equção d ret tgete f (x) = x 2. () Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x o poto ( 2, f( 2 )). (b) Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x o poto (, f()). (c) Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = o poto x (, f( )). (d) Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x o poto (2, f(2)). (e) Fç o gráfico d fução y = f(x) = x o mesmo gráfico os ds rets tgete cujs equções form ecotrd cim. (f) Cosidere f(x) = x = x. Coclu que que pr est fução vle regr d derivção poliomil que já ecotrmos teriormete. 3. Derivd de f(x) = x 2 () Pr um vlor rbitrário de x clcule Cosiderdo lim é: x= y, y x. y, deduz que equção d fução derivd de f x f (x) = 2 x 3. (b) Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x 2 o poto (, f( )). (c) Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x 2 o poto (2, f(2)). (d) Cosidere f(x) = x 2 = x 2. Coclu que que pr est fução vle regr d derivção poliomil. 4. Ested regr de derivção poliomil pr f(x) = x m ; m Z. 5. Cosidere dois úmeros iteiros p, q e s fuções f(x) = x p ;g(x) = x q. () Clcule derivd de h(x) = g(f(x)). (b) Determie qudo f é fução ivers de g. 6. Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f(x) = x 3 x 2 + x o poto (, f()). Fç o gráfico d tgete e deduz dí um segmeto do gráfico de f s vizihçs do poto de tgêci. 7. Fç um tbel de derivds cotedo os pres de fuções f, f cujs derivds você já coheç. 5.7 Diferecição e equções prmétrics Vmos qui itroduzir, e depois pssr usr, otção de Leibiz pr derivds. Com uxílio dest otção vmos defiir um processo de derivção mis flexível que se plic fórmuls ão fuciois, derivção implícit. Vmos discutir o coceito diferecil, tmbém. Vmos cosiderr equção do cículo, x 2 + y 2 = r 2, e se explicitrmos y est equção, vmos ter: y = ± r 2 x 2 em que, pr cd vlor de x correspodem dois vlores de y destruido uicidde d imgem o coceito de fução. Houve um tempo em que isto er tomdo como turl, s fuções se podi ter mis de um imgem pr cd vlor do domíio, erm chmds lgums vezes de fuções plurívocs. Depois se cocebeu o coceito de fuções uívocs e s fuções plurívocs pssrm ser chmds de relções. Ms podemos sempre trsformr qulquer fução plurívoc em um fução de verdde, e vmos fzé-lo com equção do círculo como exemplo. As fuções plurívocs são pes fuções ml defiids. Por exemplo o círculo, o seu comjuto de chegd, turl, é o plo, o R 2. E o seu prâmetro turl, é âgulo que cd poto fz com o eixo do OX. Cd poto sobre o círculo rs determi com origem um segmeto de ret e este determi um âgulo positivo ( meos de um volt complet), com o eixo OX. As projeções deste semetos os eixos OX, OY são: x = rcos(θ) ; y = rse(θ). O modelo bstrto do que fizemos é: Equções prmétrics. Verificmos que relção represet um fução plurívoc em um espço de dimesão, o presete exemplo = 2. Clro que ligugem está geométricmete icorret, poto ão determi âgulo. No presete cso sim...

106 2. Costruimos um coleção de fuções x = f (θ) ; x = f (θ) 3. Algums vezes precisremos de mis de um vriável pr descrever os potos do domíio, ms ão trtremos dest questão este livro. 5.8 A derivção implícit Iiciremos com equção do círculo cmihdo o setido d derivd. Com o cículo defiido por um equção como x 2 + y 2 = r 2 o coceito de derivd que estmos usdo desde o cpítulo, fic for d prátic. Num determido poto x [ r, r] temos sempre dois coeficietes gulres isttâeos o que é bsurdo, porque expressão x 2 + y 2 = r 2 ão é fuciol. Isto mostr que o prâmetro dequdo pr pesr o círculo ão é um poto x [ r, r], que é projeção do círculo sobre OX ms sim o âgulo: se estivermos roddo um pedr em um cordão, queremos sber com que âgulo devemos soltr o cordão pr que pedr se ecixe perto de um ccho de mgs ver pedr que prte pel tgete, figur.3 pági 22. O âgulo fz referêci às dus coordeds: θ (x, y) = (rcos(θ), rse(θ)) e gor, sim, cd âgulo correspode um úico poto em cim círculo. A relção θ = (rcos(θ), rse(θ)) = (x(θ), y(θ)) é um fução. Um método de derivção, chmdo de derivção implícit se serve muito bem pr equções como equção implícit do círculo pr liberr derivd. Derivmos tudo, tods s vriáveis: derivção implícit x 2 + y 2 = r 2 2xdx + 2ydy = e qui surge um símbolo que os tigos usvm pr substituir frse em relção. Quer dizer que 2xdx deve ser lido é derivd de x 2 em relção à vriável x. Depois, com o pssrdo tempo, otção dx termiou se icorpordo em outros coceitos e hoje ós podemos eteder, um cocepção mis gerl, que os poucos irá ficr mis clr. Ms este mometo eted- como frse cim. Primeir regr, dx x, ou dito com mis êfse: ds d tem o que ver com x, é um outr vriável e tem utores que iclusive escrevem expressão d derivd d derivd implícit ssim: x 2 + y 2 = r 2 2xh + 2yk = ; h OX, k OY Tem gete que complic tto s coiss que iclusive diz que temos dois espços em questão, (que ão deix de ser verddeiro), ms este mometo tudo se pss como se dx idicsse reltivmete quem estmos derivdo. Agor, cd poto (, b) do círculo, cosidere, b como costtes dds, stisfzedo equção do círculo de cetro origem e rio r, podemos obter equção dum ret: e podemos iterpretr dx e dy como s difereçs 2h + 2bk = (5.) ou equivletemete (5.) 2dx + 2bdy = (5.2) 2(x ) + 2b(y b) = (5.3) dx x ; dy y b pr obter equção de um ret prtir d derivção implícit. Temos ssim um ov iterpretção pr os mágicosdx, dy de Leibitz. Podemos gor explicitr dy pr ter dy = x dx (5.4) y e se ós clculrmos derivd de y = f(x) = r 2 x 2 usdo regr d cdéi vmos ter f 2x (x) = 2 r 2 x = x 2 y observdo que y = r 2 x 2. Quer dizer que equção (eq. 5.4) temos: o que motivou Leibitz escrever: dy = f (x)dx f (x) = dy dx. que é um frção perfeit o setido de quociete de limites. Chegmos ssim mesm expressão por dois cmihos.

107 Se tivermos um expressão geéric, z = f(x, y) pode ser impossívelescrever y como fução de x ms pode ser fácil escrever dy = f dx de ode podemos x clculr dy dx = f x derivd de f reltivmete x, ou id derivd de um curv, detro d imgem de f relciodo x, y fuciolmete. 5.9 Ret tgete, plo tgete Podemos plicr derivção pr obter objetos tgetes os gráficos de curvs e superfícies. Cosidere [, b] : F R um fução difereciável, o que sigific que o grf(f) tem um ret tgete em cd um dos seus potos y = f(c) + f (c)(x c) y f(c) = f (c)(x c) em que você pode recohecer expressão, estudd Geometri Alític, d equção de um ret Exercícios: 5 Ret tgete que pss o poto (c, d)d = f(c) (5.5) que tem coeficiete gulr m = f (c) (5.6) y b = m(x ) (5.7). Escrev equção d ret tgete o gráfico de f(x) = xse(x) + 2 se(x) + 3 o poto (, f()) qudo = 3.45 e obteh o gráfico. Solução: 5 Com guplot guplot> f(x) = x*si(x) + 2*si(x) + 3 guplot> = 3.45 guplot> df(x) = si(x) + x*cos(x) + 2*cos(x) guplot> c = 3.45 guplot> ret(x) = f(c) + df(c)*(x -c ) guplot> plot f(x), ret(x), 2. Derive implicitmete x 2 +y 2 = r 2 e ecotre equção d ret tgete o poto (, b) o círculo de rio r e cetro origem. Escolh o poto (, b). Solução: 6 Escolhedo vlores =, r = 2 = r = 2 + b 2 = 4 b = ± 3 b = 3 2xdx + 2ydy ; (, b) = (, 3) 2(x ) + 2b(y b) 2(x ) + 2 3(y 3) y = (x ) + b b Com guplot guplot> f(x) = (4 - x**2)**.5 guplot> ret(x) = b - (/b)*(x - ) guplot> = 2 guplot> b = f() guplot> plot f(x), ret(x), guplot> =.5 guplot> b = f() guplot> plot f(x), ret(x), 3. Cosidere F(x, y) = x 2 + 3xy + xy 3 = 4 () Derive implicitmete est expressão e ecotre equção d ret tgete o poto (, b). Escolh o poto (, b), com b = ; (b) Cosidere um mlh de orm.5 região [ 5,5] x [ 5,5] e desehe em cd ó dest mlh um segmeto de ret de comprimeto.5 com o coeficiete gulr d ret tgete F(x, y) = 4. Solução: 7 () Não é possivel explicitr y est expressão. Ms derivd implícit vi os coduzir um equção lier: y = x 2 + 3xy + xy 3 = x 2 + 3x + x = x 2 + 4x = 4(5.22) x = 2 ± 2 (5.23) (, b) {( 2 + 2,),( 2 2,) (5.24) F x = 2x + 3y + y3 F ; y = 3x + 3xy2 (5.25) F F x dx + y dy = (2x + 3y + y3 )dx + (3x + 3xy 2 )dy = (5.26) (2 + 3b + b 3 )(x ) + (3 + 3b 2 )(y b) = (5.27) 2 2(x ) + 6( 2 + 2)(y b) = (5.28) 2 2(x + 2 2) + 6( 2 + 2)(y ) = (5.29) y = b + F x F (x ) (5.3) y y = 2 2 6( 2+ 2) (x + 2 2) (5.3) y = 3( 2+) (x + 2 2) (5.32)

108 (b) O seguite progrm em Pytho resolve questões deste tipo. As equções tem ser tulizds o progrm #! /usr/bi/pytho ## try - leitur de ddos - ddos pdro - ddos defult ## Com try: except: (empty except) podemos ler ddos defult from posix import pope import sys ### Atulizr os DADOS AQUI ##### ## Troque qui s equcoes de f e f = df def f(x,y): retur x**2 + 3*x*y + x*y**3 def fx(x,y): from mth import * x = flot(x); y = flot(y) retur 2*x + 3*y + y**3 ### Atulizr os DADOS AQUI ##### ## Clcule derivd lgoritmicmete! o use proximco def fy(x,y): from mth import * x = flot(x); y = flot(y) retur 3*x + 3*x*y**2 from mth import si, cos, t prit("============= Etrd de ddos ===================\") prit(" pes <eter> pr ler os ddos pdro \") try: ppel = iput("video, (ppel = ); Ppel, (ppel = ) --> ppel except: ppel = try: titulo = rw_iput("titulo do grfico, equco, formto texto ") except: titulo = " " try: tituloltex = rw_iput("titulo do grfico, equco, formto LTeX ") except: tituloltex = "Gr\\ fico de curvs de \\ ivel" ## etiquet = rw_iput("etiquet refereci-grfico - prt ## rquivo_grfico = rw_iput("umero do rquivo, pes p ### Atulizr os DADOS AQUI ##### ## Troque qui s equcoes de f e f = df ##titulo = "/x*x" ##tituloltex = "\\frc{}{x^{2}} " ##etiquet = "Nove" ## rquivo_grfico = "9" ## ####################### ## rquivo_grfico = "clculo4..2.res.9."+str(rquivo_ prit("escolh do retgulo de trblho [,b] x [c,d] \" try: = iput("no eixo OX forec-me o itervlo [,b] ---> = except : = -5 try: b= iput("no eixo OX forec-me o itervlo [,b] ---> b = except : b = 5 try: c= iput("no eixo OY forec-me o itervlo [c,d] ---> c = except : c = -5 try: d= iput("no eixo OY forec-me o itervlo [c,d] ---> d = except : d = 5 prit(" O ivel do corte - f(x,y) = C ") try: ivel = iput("nivel do corte d superficie > C except : ivel = 4 prit(" ============ preciso ====================== try: delt = iput(" Preciso d mlh ----> delt = ") except : delt =.5 try: psso = iput(" Preciso do grfico ---> psso = ") except : psso =. dt = ope("eixos","w") dt.write(str()+" " +str()+"\") dt.write(str(b)+" " +str()+"\") dt.write("\") dt.write("\")

109 dt.write(str()+" " +str(c)+"\") dt.write(str()+" " +str(d)+"\") dt.write("\") dt.write("\") dt.close() x = flot() dt = ope("dt","w") while x < b: y = c while y < d: if bs(f(x,y)-ivel) <.2: try: thet = -t(fx(x,y)/fy(x,y)) s = while s < delt: x = x + s*cos(thet) y = y + s*si(thet) dt.write(str(x)+" " +str(y)+"\") s = s + psso except ZeroDivisioError: y = y + delt dt.write("\") dt.write("\") y = y + delt else: y = y + delt x = x + delt dt.close() trs = ope("trsfere","w") if ppel == : trs.write("set term postscript portrit moochrome \") trs.write("set output "+str(rquivo_grfico)+".eps"+" \") trs.write("set title "+str(titulo)+" \") trs.write("set poitsize.\") trs.write("set size.7,.5 \") trs.write("plot dt with poits, eixos with lies \") if ppel == : trs.write("puse"+" "+str(-2)+"\") ## chm um processo extero, Guplot com o prmetro trs.close() pope("guplot trsfere ") A síd de ddos, deste progrm, pr o ível 4 pode ser vist figur (fig. 5.), pági 27. Figur 5.:.Curv de ível 4. Sej f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2. Clcule derivd de y como fução de x est expressão. Clcule tmbém derivd de x como fução de y est expressão. 5. Ecotre equção d ret tgete o círculo (x 3) 2 + (y 4) 2 = 4 o poto (2,4 + 3) Diferecil Retordo Exercícios: 5 Diferecil. 2.

110 5. Fuções defiids vi itegrl. Um ds plicções d itegrl é de represetr eergi cumuld de um feômeo, por b exemplo, se v(t) represetr velocidde de um corpo o istte t, etão v(t) represet distâci percorrid. Trblho é outr grdez físic defiid vi itegrl. Aqui vmos exercitr o uso d itegrl tmbém pr clculr médis e filmete pr defiir ovs fuções com um codição iicil dd. Seri iteresste fzer os exercícios 24 d pági 2, se você id ão os tiver feito, como preprção, tes de prosseguir est list. Revej tmbém os gráficos dquel seção. Nest list de exercícios vmos trblhr com o coceito de vlor médio itegrl profudto o que já vimos em cpítulo terior e com ele chegdo o cálculo forml d itegrl que culmi o Teorem Fudmetl do Cálculo Defiição: 29 Fução itegrável Sej f um fução [, b] f R. Dizemos que f é itegrável se qulquer sucessão de soms de Riem ssocids às b prtições uiformes do itervlo [, b] represet um mesmo úmero, chmdo f. Est defiição é isuficiete, ms fucio com grde miori de fuções itegráveis que você poderá ecotrr um curso de Cálculo. Defiição: 3 Vlor médio itegrl Sej f um fução itegrável. b O úmero f é o vlor médio itegrl de f reltivmete o itervlo [, b]. b Observe que cálculos teriormete feitos com s soms de Riem de b b f sugerim que o vlor médio itegrl tih o que ver com médi ritmétic poderd. Ele ão tem o que ver, ele é um médi ritmétic poderd. O istrumeto teórico básico pr est seção é o seguite teorem chmdo teorem do vlor médio itegrl Teorem: 9 vlor médio itegrl Sej f : [, b] R um fução itegrável. Existe um úmero m, chmdo médi de f em [, b] tl que b f = m(b ) m = b Este teorem é um geerlizção d regr pr clculr áre de trpésios. 5.. O vlor médio itegrl. Exercícios: 52. vlor médio itegrl Clcule o vlor médio itegrl ds fuções bixo o itervlo idicdo. b f f [, b] )f(x) = x + 3 x [ 3,] c)f(x) = x 2 x [,] e)f(x) = x 2 x [,] g)f(x) = x x [,] i)f(x) = x 3 x [,] k)f(x) = x x [,] f [, b] b) f(x) = x 2 + 3x x [,] d) f(x) = 4 x [ 4,4] f) f(x) = 4 x [,4] h)f(x) = x 2 x [,] j)f(x) = x 3 x [,] l)f(x) = si(x) x [,] 2. Fç um progrm (ou use um progrm) que clcule médi de um fução com mostrs, o itervlo [, b]. 3. médi ritmétic poderd Por defiição, médi ritmétic poderd dos úmeros,, é Mostre que MP = p + + p k= MP = k= p k k= k= t k k ; t k =. e idetifique o vlor dos pesos t k reltivmete expressão terior de MP. 4. Vlor médio itegrl k= () Escrev expressão d som de Riem pr b ser uiforme 2. (b) Verifique que s soms de Riem de b soms do tipo N t i f(x i ) k= em que os úmeros t i são positivos, b b f, ão precis f qudo < b são N t i =, quer dizer pesos em um médi ritmétic poderd, portto s soms de Riem do vlor médio itegrl são médis ritmétics poderds. Observção: 32 Supremo e ífimo. Vej por exemplo o itervlo berto I = (3,5]. I tem um máximo, que é 5 e um ífimo que é 3. O que fz com que 3 sej um ífimo, e ão míimo é que 3 I. Os seguites coceitos estão relciodos: i= observe que defiição de médi está ssocid um itervlo, critique isto. 2 som de Riem uiforme é qudo os sub-itervlos são todos de mesm medid.

111 Máximo, Supremo, Cot Superior. Míimo, ifimo, Cot Iferior. Qulquer úmero que sej meor do que todos os elemetos de I é umcot Iferior. O ífimo é mior dests cots iferiores. Se o ífimo pertecer o cojuto ele é o míimio. D mesm form, qulquer úmero que sej mior que todos os elemetos de I é um cot superior, o suppremo é meor ds cots superiores. Se o supremo pertecer o cojuto I ele se chm máximo. 5. Clcule Sup(f), if(f) o itervlo [, b], os csos bixo, se existirem (idique qudo e porque o cso de ão existirem): ) [,2π] f(x) = se 2 (x) + cos 2 (x) c) [ 2π, 2π] f(x) = se 2 (x) e) [ 3,4] f(x) = x 2 g) [ 3,4] f(x) = x + 3 i) (, ) f(x) = x k) (, ) f(x) = cos 2 (x) em cd cso cim decid se Se Sup = Mx ; se if = mi. 6. Prove que, pr qulquer som de Riem, if(f) b b b) [,2π] f(x) = cos 2 (x) d) [ 2π,2π] f(x) = se 2 (x) + f) [ 3,4] f(x) = +x 2 h) [ 3,4] f(x) = x+3 j) [, ) f(x) = x l) [, ) f(x) = +cos 2 (x) f Sup(f) em que if(f) é o ífimo de f e Sup(f) é o supremo de f. 7. Um crro foi dirigido por dus hors um velocidde costte de 7km/h primeir hor depois do que velocidde foi decido uiformemete té chegr em km/h o fil do percurso, o cetro d cidde. () Fç um gráfico do tempo cotr velocidde do movimeto do crro. (b) Qul foi distâci percorrid. (c) Qul foi velocidde médi com que o percurso foi feito. (d) Qul foi velocidde máxim? qul foi velocidde míim? 8. itegrl e vlor médio Eucie fórmul d áre de trpésio. Você poderi escrever fórmul semelhte que dê áre sob o gráfico de um fução, b f? 9. itegrl e supremo Modifique fórmul d itegrl e do vlor médio, questão 8, usdo supremo de f o lugr d médi.. itegrl e ífimo Modifique fórmul d itegrl e do vlor médio, questão 8, usdo ífimo de f o lugr d médi.. derivd e itegrl Cosidere f um fução itegrável o itervlo [, b] que coteh c como poto iterior 3. x () Defi F(x) = f(t). Verifique que (b) Quto vle o limite: c+ x lim ( c+ x f). x= x 5..2 Fuções defiids vi Itegrl. c c f = F. A idéi qui é: se f for um fução itegrável o itervlo I ; c I etão um ov fução se defie por meio d fórmul F(x) = b + x c f(t) ; x I. Vmos ivestigr s relções etre f, F. D seção terior já tirmos um coclusão: F = f. x A ov fução F(x) = f(t) se chm primitiv de f com codiç~o iicil (c, b). c Defiição: 3 Primitiv com codição iicil dd. Se f for um fução itegrável o itervlo I; c I diremos que x F(x) = b + c é primitiv de f com codição iicil (c, b) dd. Observe que F(c) = b, quer dizer que o gráfico de F pss o poto (c, b). Exercícios: 53 Primitiv de um fução f(t). codição iicil Ecotre s equções e fç os gráficos de x x x x x x ) b) c) d) 2 e) 2 f) 3 g) x t h) x x x x x t i) t j) 2t k) 2t l) 3t 2. Cosidere f(t) = t + 3, g(t) = t + 4. Defi F(t) = x f(t) ;G(t) = Prove que F(x) G(x) pr todo x >. 3 c é poto iterior de [, b] se, e somete se, c (, b) x g(t)

112 3. Verifique que se f for um fução poliomil do primeiro gru, etão x F(x) = f(t) é um fução do segudo gru. 4. Verifique que se f for um fução poliomil do segudo gru, etão x F(x) = f(t) é um fução do terceiro gru. 5. Verifique que se f for um fução poliomil do gru, etão F(x) = x f(t) é um fução do + gru. 6. problems com codição iicil Ecotre um 4 fução cujo gráfico psse o poto (, b) com coeficiete gulr m: ) (, b) = (,);m = 3 b) (, b) = (,);m = 2 c) (, b) = (,);m = x 7. Ecotre um codição iicil (, b) tl que F(t) = b + cos(t) = se(x). 8. Cálculo de primitivs com codição iicl x () Ecotre primitiv F(x) = f(t) pr f(t) = t t, t e f() = Em prticulr clcule o vlor F(). Fç o gráfico de y = F(x). x (b) Ecotre primitiv F(x) = t. Fç o gráfico de y = F(x). (c) Ecotre s primitivs ds seguites fuçõesreltivmete à codição iicil (c, b) = (,) : f(t) = t f(t) = t f(t) = t 2 f(t) = f(t) = t 2 f(t) = t 3 f(t) = 2 f(t) = 3t 2 f(t) = 2 + 2t f(t) = t + t2 f(t) = se(t) f(t) = cos(t) f(t)=-se(t) f(t) = t2 3 f(t) = 2 t + t Preech um tbel o formto: f(x) f (x) pr tods s fuções cuj derivd ou primitiv você já cohecer. 4 observe que cd item tem mis de um solução, procure geerlizr solução. 5. A fução logritmo turl. Vej o ídice remissivo outrs iformções, este livro, sobre os logritmos. A fução logritmo tem um log e hord históri, etretto lgus dos seus spectos id presetes Escol Secudári e té em lgus cursos uiversitários, são ssutos de museu 5 e portto ão deverim estr mis lí presetes. Veremos, os exercícios um propriedde fudmetl de qulquer fução logritmic f é: f(xy) = f(x) + f(y). Els trsformm produto em som. Est propriedde foi fudmetl desde su descobert o fil do século 4, por Johh Npier, té os os 7 do século 2, portto o logo de seiscetos os. Durte todo este tempo os logritmos form um dos pricipis métodos pr costruir tbels que tivemos. Hoje su importâci cresceu sobre outros spectos. Vmos qui estbelecer um pote etre o método como os logritmos form descobertos e o que usmos hoje. Npier e seus cotemporâeos observrm que s potêcis de mesm bse tih seguite propriedde ditiv: x y = x+y e portto se fosse feit um tbel ssocido x x est tbel poderi ser usd pr deduzir o vlor de xy o se cosultr tbel de form ivers. Por exemplo, vej tbel 5., pági 26 que cotem s potêcis de. Em um dos exercícios você será coduzido fzer um multiplicção históric, de por O método pr costruir est tbels er muito complicdo e cosumi muito tempo. Nturlmete, s tbels que existim erm re-impresss e usds por muito tempo. Nos exercícios dest seção você verá outrs plicções dos logritmos. Exercícios: 54 Logritmo. Cosidere fução Vej o gráfico (fig. 3.9), pági 22. x f(x) = t. () Pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, qul é derivd de f? Você pode disto deduzir que f é crescete, decrescete, tem lgum poto de máximo ou tem lgum poto de míimo? (b) Clcule f(), f(.5), f(2), f(2.5), f(2.7). (c) Descubr, usdo soms de Riem e um progrm de computdor, solução d equção: x t =. Use o progrm riem.py por exemplo. (d) Escrev um som de Riem uiforme 6 pr b b/ t = t = /b t b. Prove que t 5 Vej museu o ídice remissivo 6 os sub-itervlos são todos iguis

113 isto é: podemos ccelr um dos limites de itegrção multiplictivmete itegrl 7. (e) Expresse em termos d um itegrl cuj codição iicil sej t =, s seguites itegris: ) 2 t b) 6 t c) (f) ditividde 8 Mostre que: i. ii. b b b t = b t = b t + t b t + x 2. Mostre que se f(x) = produtos em dições. 3. Prove s seguites proprieddes de y = f(x) : t t () Se x > etão f(x) >. 5 t (b) Se < x < etão f(x) <. etão f(b) = f() + f(b), isto é f trsform (c) f ão está defiid pr x <. Em outrs plvrs, o domíio de f é R ++. (d) Existe um úmero rel e tl que f(e) = t =. Situe proximdmete este úmero. (e) f( ) = f(). (f) f( b ) = f() f(b). x 4. Com f(x) = t, preech9 tbel seguite: x f(x) f (x) e x f(x) f (x) 2.5 e e 2 Use iformção cotid tbel pr esboçr o gráfico de y = f(x). Ates discut qul o domíio d fução, quer dizer, qul é o itervlo ode existe gráfico. 5. Museu: multiplicção usdo logritmos () Vej tbel 5. quis são e dicioe estes vlores. log(6.7884), log( ) (b) O resultdo d dição cim é 2.6 e gor vej qul é solução d equção log(x) = 2.6 Este úmero é, proximdmete, o produto de por (c) Ms se quisermos multiplicr 6.78 x 23.7 i. Iterpole ritmeticmete os vlores dos logritmos log(6.7884), log( ) (clcule médi ritmétic destes vlores). ii. Iterpole ritmeticmete os logritmos log( ), log( ) cosiderdo estesos vloresrespectivosde log(6.78), log(23.7). Some estes vlores que ser o logritmo do resultdo. Respost: log(x) = N tbel você vir ecotrr que tem um erro de leitur de um cs deximl, portto o vlor proximdo d multiplicção desej será Se você fizer os cálculos com um mqui de clculr, vi poder lisr o erro que ossos tepssdos tihm que evitr com iterpolções mis curds... Não er fácil, mesmo ssim eles previm pssgem dos plets e fizerm cledários Verifique que s equções l(x) x = l(2) 2 ; x 2 = 2 x são equivletes e ecotre tods s solução positivs d primeir. 7. Prove que l( x ) = l(x) ; x >. 7 Observe que est é um propriedde privtiv d itegrl de f(x) = x. 9 se você puder use um progrm de computdor pr clculr proximdmete s itegris, se ão puder fzê-lo, deixe represetdo sob form de itegrl.

114 x log x x log x x log x x log x Tbel 5.: Tbel de Logritmos decimis 5.. A fmíli ds fuções logrítmics. Se k for um costte, positiv ou egtiv, ms diferete de zero, tods proprieddes que x discutimos pr f(x) = cotium válids pr ov fução t x k g(x) = f k (x) = kf(x) = t. Ests fuções tmbém são logritmics e vmos ver difereç etre els.. Cosidere k um úmero rel qulquer, diferete de zero e defi Prove que: x k f k (x) = kf(x) = t ; x >. f k (b) = f k () + f k (b) f k () = f k (x) = k x f k ( ) = f k() f k ( b ) = f k() f k (b) f k ( ) = f k () 2. Fç o gráfico de f k (x) = kf(x) qudo k=-5 k=-3 k=- k=2 k =.5 k=.3 3. bse do logritmo O que crcteriz o logritmo turl é o úmero e solução d seguite equção: e = l(e) =. t O úmero e é bse dos logritmos turis. () Clcule com soms de Riem um proximção pr e. (b) Clcule k tl que ) k x = b) 2 k x = 5.2 A fução expoecil.. logritmo e su ivers x () Verifique que f(x) = l(x) = (b) Defi ivers exp(x) = f (x). Prove: i. Dom(exp) = R; 3 /3 c) k x = d) /2 k x = e) k x = t é um fução bijetiv; f : R+ R.

115 ii. exp() exp(b) = exp( + b); iii. exp() = ; iv. exp(x) >. v. exp( ) = vi. vii. exp() exp(b) d exp(x) dx exp() = exp( b) = exp(x) (c) Trce o gráfico de f(x) = l(x) e dele deduz o gráfico de g(x) = f (x) = exp(x). (d) expoecil e bse Clcule um vlor proximdo pr exp(). 2. Deduz d fórmul fudmetl dos logrtimos, 3. Deduz fórmul básic d expoecil x = exp(x l()) = e x l(). 4. Escrev tods s proprieddes que vocêcohece d fução f(x) = e x. 5. seo e coseo hiperbólicos Descrev o domíio, verifique se é pr ou impr, potos críticos, (se houver), clcule derivd de cd um ds fuções bixo: ) h(x) = ex +e x 2 b) h(x) = ex e x 2 c) h(x) = 2 e x +e x 2 Fç os gráficos dests fuções. 6. Fç os gráficos de h(x) = x com ) = b) = 2 c) = 2 d) = 7 e) = 5 Em cd cso clcule h (x) e verifique se os gráficos obtidos coferem com vrição idicd pel derivd. 7. Escrev tods s proprieddes que você cohecer d fução f(x) = x ; >. 8. Gráficos ds fuções: ) h(x) = l( x+3 x ) x+3 b) h(x) = l( x ) c) h(x) = ese(x) d) h(x) = Arcsi(x) e) h(x) = Arccos(x) f) h(x) = se(e x ) 9. Clcule s itegris: ) e t b) e t c) cos(t)se(t) d) e t e). Determie o domíio ds fuções seguites: ) f(x) = l(x 2 + 3x + 2) b) f(x) = l(9 x 2 ) c) f(x) e x d)f(x) = l(x 2 +3x+2) e) f(x) = l(x). Clcule s derivds ds fuções bixo: x ) f(x) = l(x 2 +3x+2) b) f(x) = xl( x 2 ) c) f(x) = x2 e x d)f(x) = e) f(x) = xl(x) x2 +2x+ l(x 2 +3x+2) 2. Clcule s derivds seguds ds fuções defiids o item terior. e t 5.3 Poliômio de Tylor D mesm form como podemos ecotrr um ret tgete o gráfico de um fução tmbém é possível ecotrrem-se poliômios, de diversos grus, tgetes o gráfico de um fução. Em tempos idos se cosiderv este método como proximção de fuções. Hoje sbemos que este é um método uxilir costrução d proximção de fuções. Os exercícios dest seção vão explorr própri fórmul de Tylor como iiciá-lo em lgums técics que podem coduzir você às étps posteriores... Os poliômios tem diversos grus que represetm s sus derivds de diverss ordes, se um fução tiver derivds de váris ordes, podemos, usdo o coceito de derivd, descobrir os tis poliômios tgetes. Veremos que que eles são mis do que pes tgetes, eles memorizm proprieddes vçds ds fuções. Exercícios: 55 Fórmul de Tylor. Derivds sucessivs de um poliômio. () Clcule tods s derivds do poliômio P(x) = + (x ) + 2 (x ) (x ) 3. (b) Com o poliômio defiido o item terior, escrev os vlores de ) P() b) P () c) P () d) P () e) P (4) () f) P (5) (). 2. Derivds sucessivs de um fução; Poliômio de Tylor () Ecotre um poliômio do primeiro gru tgete à fução f(x) = l(x) o poto (,). Use fórmul d ret tgete. (b) Ecotre um poliômio do segudo gru tgete à mesm fução, o mesmo poto e tedo mesm curvtur que fução o poto ddo. (c) Ecotre um poliômio do terceiro gru que coicid com à mesm fução, té terceir derivd. (d) Fç os gráficos referetes os ites teriores. 3. fução expoecil () Ecotre o poliômio de Tylor do terceiro gru d fução f(x) = exp(x) o poto =. (b) Ecotre o poliômio de Tylor do qurto gru d fução f(x) = exp(x) o poto =. (c) Fç os gráficos dos poliômios de Tylor ecotrdos. 4. fuções se e cos () Ecotre o poliômio de Tylor do sétimo gru d fução f(x) = se(x) o poto =.

116 (b) Ecotre o poliômio de Tylor do oitvo gru d fução f(x) = cos(x) o poto =. (c) Fç os gráficos dos poliômios de Tylor ecotrdos. 5. Colgem difereciável de fuções () Cosidere fução poliomil f(x) = (x + 3)(x 3) defiid o itervlo [ 3,3]. Ecotre um fução poliomil g(x) = + x + 2 x 2 tl que g(3) = f(3); mesmo vlor o poto g (3) = f (3); mesmo coeficiete gulr o poto g (3) = f (3). curvtur ivertid o poto. (b) Cosidere fução [ 3,7] h R que o itervlo [ 3,3] coïcide com f e que o itervlo [3,7] coïcide com g. Fç o gráfico de h 6. Colgem difereciável de fuções () Cosidere fução poliomil f(x) = (x + 3)(x 3) defiid o itervlo [ 3,3]. Ecotre um fução poliomil g(x) = + x + 2 x 2 tl que g(3) = f(3); mesmo vlor o poto g (3) = f (3); mesmo coeficiete gulr o poto g (3) = 3f (3). curvtur ivertid e umetd o poto. (b) Cosidere fução [ 3,7] h R que o itervlo [ 3,3] coïcide com f e que o itervlo [3,7] coïcide com g. Fç o gráfico de h 7. Colgemdifereciávelde fuções Ecotre um fução poliomil f que coïcid com se o poto π teh mesmo coeficiete gulr istâeo 2 que se o poto π 2 ms que o poto π 2 derivd segud de f ( π 2 ) = se ( π ). Fç o gráfico de f o itervlo [,4] Técics de itegrção Herdmos dos mtemáticos que viverm os séculos 8 e 9 um ric herç costruíd miuciosmete de fórmuls de diversos tipos. Em prticulr quels com podemos clculr b Hoje sbemos que este belo trblho rtesl só respode às questões triviis ficdo um vstíssim clsse de fuções pr s quis ão há fórmuls que permitm o cálculo exto d itegrl. For isto, grde miori ds plicções, o cálculo d itegrl se fz umericmete de form utomátic detro de progrms que cotrolm os processos ode itegrl represet qutidde de um certo feôomeo. Nós sugerimos que s soms de Riem er o método dequdo. El é o úico método seguro pr clculrmos itegris, etretto existem outros métodos, modificções d som de Riem, que permitem mior velocidde este cálculo. Tis métodos ão serão cotempldos este volume. A miori ds técics de itegrção que podemos ecotrr os livros de Cálculo se torrm peç s de museu. Em lgus csos els servem pes como istrumeto teórico. Vmos discutí-ls e repetir est crític potulmete O teorem fudmetl do Cálculo Só sbemos clculr itegrl ligd à f pel relção b f. f se coseguirmos idetificr um fução F F = f e ests dus fuções são desigds com os omes primitiv e derivd depededo em que direção você olhe. Se coseguirmos ideficr um primitiv pr f etão b f = F(b) F() sedo est expressão do Teorem Fudmetl do Cálculo Itegrl. Existem vários truques lgébricos pr coseguir, em lgus poucos csos, estbelecer um relção deste tipo. O trblho mtemático por trz destes cálculos é boito, ms é preciso que dizer que ele é um rtesto d cietífico. A úic meir segur de cálculr itegris é uméric. É preciso potur, etretto, que tes de se lç r um cálculo umérico de um itegrl, é preciso sber se el existe, e í está importâci d rte que vmos qui descrever. Se tor importte porque, se el ão forecer o cmiho pr o cálculo d itegrl, el sempre oferece um respost precis sobre existêci d itegrl, sedo est su grde importâci.

117 Aqui, portto, você ão vi preder clculr tods s itegris, ms vi ficr domido umtécic segur pr sberse itegrl existe. Um exemplo simples, que já foi objeto de estudo págis trás, é itegrl que ão existe. Seri um cálculo umérico sem futuro o dest itegrl, e muito pior, um idivíduo igorte d teori poderi se lç r o cálculo de um itegrl como que, sem o devido cuiddo, um progrm de computdor poderi clculr e forecer o vlor zero, qudo el simplesmete ão existe. Est sej importâci dest seção etiquetd como de técics de itegrção As outrs técics de itegrção depedem fortemete de um hbilidde em recohecer umprimitivpr umfução, porisso listde exercícios que segue é importte. Nos livros de Cálculo se ecotr trás, sob o título, tbel de itegris, solução de todos os exercícios dest seção. Por est rzão ós vmos omitir este texto um tbel de itegrção que seri plágio puro. A prtir de gor vmos escrever s itegris d seguite form, t t f(x)dx e o covidmos pr ler seção mudç de vriáveis, imeditmete, pr eteder de ode vem o dx itegrl que té gor foi omitido, cotrrido otção cosgrd em todos os livros. De gor em dites vmos os cofir detro do hbitul. Exercícios: 56 Exercícios usdo o teorem fudmetl x. Clcule equção de f(x) = χ [,3] e prove que f(x). 2. Clcule s itegris ) x 2 dx b) e) t 2 dt f) i) π tdt j) t 3 dt c) 2 2π x 3 dx g) 2tdt k) t 2 dt d) 5 xdx x 4 dx h) 5 x 4 dx π π + t 2 + t3 3 dt l) t /2 dt 3. Clcule s itegris ) e) i) x+3 2 dx b) 4 x t 2 dt f) tdt j) 4. Clcule s itegris 2π t 2π t dt 5 c) 2 t dt d) x 2π l) cos(t)dt x 3 dx g) x 4 dx h) 5 x 2 dx 2π 2tdt k) π π t + t 3 + t3 3 dt π π ) (x + se(x))dx b) (t 3 + cos(t))dt c) e) se(t)dt f) 2π i) cos(t)dt j) 5. Clcule e clcule os zeros de f. 3 2π π π t /2 dt se(t) dt d) 3 π x 2 (x 2 )dx g) cos(t)dt h) 2π f(λ) = λ 6. fução crcterístic Clcule f(t) = y = f(x). se(t)dt k) π + 2x + 3x 2 + 4x 3 dx t se(t)dt l) 5 4 2π 2π π π x dx cos(t)d cos(t)dt χ [,5] + χ [7,]. Fç o gráfico de 7. fução crcterístic O gráfico d velocidde cotr tempo de um crro é ddo pel fução χ [,] +χ [3,7] +χ [5,6]. Clcule distâci percorrid pelo crro. 8. fução defiid vi itegrl () Clcule f(x) = (b) Clcule g(x) = x+ x+ ( + t + t 2 )dt ( + t + t 2 )dt (c) Há lgum relção etre s fuções f, g? 9. Desevolv f(x) = x ( + t + t 2 )dt e clcule f( 3), f(3). x 2π. Clcule (se(t) + cos(t))dt

118 π. Clcule (se(t) + cos(t))dt 2. Sej f = χ [,] + χ [2,] + χ [4,] + χ [6,]. Ecotre equção de F(x) = x f(t)dt e fç os gráficos de f, F um mesmo sistem de eixos. 3. Clcule os vlores médios ds seguites fuções o itervlo [,] f f f )y = x + 3 b) y = x c) y = x d)y = x 2 e)y = x 3 f) y = x + g)y = x 2 h) y = x i)y = + t + t 3 4. A fução velocidde dos móveis A e B durte o itervlo [, t] é dd, respectivmete, pels equções: A(x) = se(x) + ; B(x) = 2se(x) +. Qul dos dois móveis chegou mis loge? Observe que velocidde egtiv sigific que o motorist dou o setido cotrário do movimeto iicil, lgums vezes, (mrch ré... por exemplo) A regr d cdei o cálculo itegrl Este texto é complemetdo pel seção diferecil, vej o ídice remissivo. Niguém us est termiologi de regr d cdei pr o método de itegrção que vmos qui descrever. Você verá etretto que tem setido o ome. A regr d cdei pr s derivds diz: Se h(x) = f(g(x)), compost de dus fuções difereciáveis, etão: h (x) = f (g(x))g (x) Se z = h(x) = f(y); y = g(x) etão expressão de Leibiz pr derivd jog mis luz est fórmul: dh dx = df dy dy dx Se explicitrmos melhor os domíios ode ests fuções estiverem defiids temos: Ω h W ; Ω g O f W Agor se expressrmos itegrl de h, supodo que tods s fuções são itegráveis, teremos: Ω h = x Ω f(g(x)) = em que trduzimos expressão d itegrl pr imgem de f sobre o domíio itermediário O, e estmos idicdo, o pé d itegrl vriável reltivmete à qul itegrl deve ser clculd. Um hábito clássico, que trvessou os tempos coduzido mitos, um deles cocetrdo um plvrih que gerou muits e muits discussões, ifiitesiml, estbeleceu um otção y O f(y) diferete d que usmos cim pr crcterizr qul é vriável com respeito se está itegrdo: h(x)dx = f(g(x))dx = f(y)dy Ω Ω O e ssim o osso texto retom um otção que é comum em qulquer livro de cálculo s expressões ds itegris. O que é mis curioso é otção dest ligugem mgific, Mtemátic, motd muits vez o bojo de precoceitos e mitos, muits vezes crid um processo coopertivo em que s froteirs ciois são igords, termi por fucior como se tudo tivesse crido por um comité, e este comité siimplesmete ão existe. Algums vezes, e tlvez este specto sej o mis boito, otção surge ôim detro do processo socil de que Mtemátic, como tod ciêci fz prte, e comuidde dos mtemátics ct cotrução e comumete melhor. Existe um respeito sempre muito sério pelo que foi costruido o pssdo. A otção de Leibiz pr derivds se refere um frção que ós cuiddosmete sempre observmos que ão é um frção ms que fucio extmete como se fosse.... Vemos este fto iteresste e típico ds otções d Mtemátic, costruid o logo de os, por povos distitos, ms bem itegrd. Existe um fução, que chmremos de H, que é primitiv de h com um determid codição iicil que ão vem o cso. Quer dizer que H = h. Ou id, dh = h(t) em que t dt é um símbolo que represet os elemetos do domíio Ω. Poderimos ter escrito dh = h(x), fil ão existe mesmo ehum vriável s dx fuções... Se escrevermos dh = h(x)dx. Vmos recohecer o que est escrito sequêci de itegris cim, e, o que é melhor, temos equivletemete, regr d cdei: dh = h(x)dx = f(y)dy = f(g(x))g (x)dx em que os ossos tigos, em meio mitos e precoceitos, coseguirm escrever um otção que trduz o se pss etre itegrl e derivd sempre sem sber o que sigific o dx que eles cogomivm de ifiitésimo e os professores de Mtemátic por os ssustvm os luos com est idéi precoceituos e ssustdor. No fudo um belíssim otção que ficou clríssimo somete o logo do século 2 pelo esforç o de diversos mtemáticos busc de eteder o que seri mesmo o ifiitésimo... A respost é simples, ifiitésimos ão existem... embor id hj gete procur de explicá-los, tl é o peso dos mitos. Se escrevermos Ω h = x Ω usdo otção de itervlos, cosiderdo f(g(x)) = y O f(y) [, b] h [c, d] ; [, b] g [α, β] f [c, d] vmos ver obter um dos métodos clássicos pr cálculo de itegris: b h(x)dx = b f(g(x))g (x)dx = α em que α = g() ; β = g(b) ou, o que é muito mis importte prátic, qudo queremos clculr itegris em que temos expressão β α f(y)dy β f(y)dy

119 iicilmete, e que, com sorte 2, descobrimos que h(x) = f(g(x)) ( id com mis sorte) itegrl b β β f(g(x))g (x)dx = é fácil de clculr, etão escrevemos: β α f(y)dy = b α f(g)dg = f(g(x))g (x)dx = α g (β) g (α) f(y)dy h(y)dy e, devido sobretudo troc de limites de itegrção, est formulção se chm de fórmul de itegrç~o por mudç de vriáveis. O ome é um ifelicidde como muits que existem em Mtemátic, como dizer que 2 é um úmero irrciol ou que 3 + 2i é um úmero complexo. Defeitos que bsorvemos detro d oss cultur mtemátic sem preteder lterr. Exercícios: 57 Cálculo de itegris com mudç de vriável. Clcule s itegris ds fução listds bixo, o itervlo [,]. ) y = se(2t) b) y = t(t) c) y = 2t +t 2 d) y = 3t +t 2 e) y = f) y = 3se(2t) cos(2t) g)y = e 2t h) y = e t i) y = Ase(Bt) j) y = se(2t) + cos(3t) k) y = se(t) l) y = se(t)e cos(t) 2. Clcule itegrl +cos(t) π se(x)dx f(λ) = 2λcos(x) + λ 2 Resp f(λ) = 2 λ se λ > e f(λ) = 2 λ. 3. Clcule s itegris bixo: x ) d) t x se 2 (t)cos(t)dt b) cos 2 (t)se(t)dt c) se 2 (x)cos(x)dx se 3 (x)cos(x)dx e) t x x g) e 3t dt h) e 2t dt i) 4. Clcule s itegris seguites 2 fil estmos fldo de um rte... 2 se 2 (x)dx f) x t 2 e t3 dt 2 t t 2 cos 2 (x)dx π π π ) se 3 (t)dt b) cos 3 (t)dt c) se (x)cos(x)dx π π π d) cos (x)se(x)dx e) se(3x)cos(3x)dx f) cos(2x)se(2x)dx π x g) se(x)cos(x)dx h) e t dt i) 5. Clcule s itegris seguites π ) x t(x)dx π π sex(t)e cos(t) dt b) cos(t)e se(t) dt c) se(2x)e cos(2x) dx π d) 3cos(2x)e se(2x) dx e) π x g) e 3x dx h) e t b dt 6. Prove que 2π se 2 (x)dx = i) 2π cos 2 (x)dx use etão um idetidde fudmetl pr obter o vlor de 7. Prove que Prove que 2π 2π dx +e x f) x x 2 e 4x3 dx x 2 e x3 dx 2π se 2 (x)dx. se(x)dx = cos(x)dx = 2π 2π se(x)dx cos(x)dx Fç um álise do sigificdo geométrico dests itegris. Obteh um fórmul pr f(x)dx se f for itegrável o itervlo [, ]. Observe que se g(x) = x etão dg = dx Itegrção por prtes Este método produz um belíssim fórmul que ecotrou um utilizção detro d teori d distribuições, sedo lí muito mis importte que seu objetivo primário: clculr itegris. Aliás, pr clculr itegris el em gerl é muito demord coduzido cots em que fcilmete se cometem erros.

120 Agor vmos os guir pelo objetivo primário porque est ltur seri difícil expor seu rel vlor, ms que fique pr você idéi de que somete um vç o em profudidde Mtemátic é vi coduzir um visão ext d importâci dest fórmul. El prte de um coïcidêci simples. Cosidere dus fuções difereciáveis, fg, sedo h = fg o produto dels. Já vimos que podemos clculr derivd de h h = f g + fg e portto, se clculrmos primitiv dest expressão temos dus possibiiddes iteresstes pr escolher (se por sorte vler pe): que escrits detro de um itegrl ficm: gf = h fg ; fg = h gf b b b g(x)f (x)dx = h (x)dx f(x)g (x)dx = (5.33) b b = h(b) h() f(x)g (x)dx == f(b)g(g) f()g() f(x)g (x)dx ; (5.34) b b b b f(x)g (x)dx = h (x)dx g(x)f (x)dx = h(b) h() g(x)f (x)dx = (5.35) b = f(b)g(b) f()g() g(x)f (x)dx (5.36) (5.37) Como dissemos, com sorte, lgum desss dus lihs pode represetr um cálculo possível de ser feito, e este cso, vmos supor que sej segud lih, pr fixrmos s idéis: b f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() Fimete o método: Se tivermos itegrl b f(x)g (x)dx b g(x)f (x)dx pr clculr, e se soubermos qul é primitiv de g e se segud itegrl for fácil de ser clculd, etão podemos clculr o vlor d primeir com fómul cim. b Est fórmul é muito útil pr se coseguir resultdos com itegris do tipo P(x)se(x)dx em que P é um poliômio, porque, qudo plicd fórmul, irá precer o coseo e o poliômio P ci um gru. Quer dizer, iterdo-se est fórmul chegremos um expressão evolvedo pes cos, se com bo probbilidde de ser um expressão que sibmos itegrr, ms o trblho pode ser logo. Se o que precisrmos é um vlor proximdo d itegrl, possivelmete um progrm de computdor resolve questão de form mis precis e mis rápid. Exercícios: 58 Itegrção por prtes. Clcule itegrl de f o itervlo idicdo: f(x) = [, b] )x 2 se(x) [ 3,] c)x 2 cos(x) [,] e)x 3 se(x) [,] 2. Cosidere f(x) = l(x) e clcule f(x) = [, b] b) x 2 e x [,] d) x 3 e x [ 4,4] f) x 3 e 3x [ 4,4] l(x)dx 3. Clcule itegrl de f o itervlo idicdo: 4. Clcule J,p = 5. Prove que f(x) = [, b] )x 2 ( + x) 4 [ 3,] c)x 2 cos(4x) [,] e)x 3 se(4x) [,] x Frções rciois x ( x) p dx Respost J,p = f(x) = [, b] b) x 2 ( + 2x) 4 [,] d) x 3 cos( x) [ 4,4] f) x 3 se( 3x) [ 4, 4] p!! (+p+)! tdt ch(t) < 2 pr qulquer que sej x R++ Chmm-se frções rciois àquels d form f(x) = P(x) Q(x) em que P, Q são poliômios. Aqui há váris chces possíveis, vmos discutir lgums. Se gr(p) = gr(q) existe um chce muito grde de que um trsformção lgébric leve um expressão do tipo b b β Q (x) Q(x) dx = Q (x)dx Q(x) α observe que últim expressão estmos usdo mudç de vriáveis. Nest últim itegrl podemos recohecer o logritmo resultdo últim expressão escrit cim. Clro, há muit cot pr ser feit té possivelmete chegrmos à últim expressão. Um outr possibilidde cosiste em ftorções dos poliômios evolvidos coduzido expressões mis simples que possm ser desmembrds por equivlêci lgébric e filmete cir em um outro cso. Não há ehum fórmul pr exibir qui. De prticulr importâci pr o cso terior, são dois tipos de expressões lgébrics que vmos descrever gor. b Adx que qudo obtid ci diretmete o primeiro cso. x b Adx x que podem ser clculds com regr d potêci. = du u = l(β) l(α)

121 Exercícios: 59 Frções rciois. Observe que Clcule 5 2 (5x+3)dx x 2 +2x 3 ; 5x + 3 x 2 + 2x 3 = 2 x + 3 x + 3 Verifique em que domíios est itegrl pode ser clculd. x 2. Decompoh 3 +3x x 2 +2x 3 em som de frções tis que o gru do umerdor sej meor que o gru do deomidor e clcule 3. Clcule 5 2 (2x 2 +5x )dx x 3 +x 2 2x. 5 2 (x 3 + 3x)dx x 2 + 2x 3 4. Decompoh x 2 +2x+3 (x )(x+) 2 um som de tres frções com deomidores x, x +,(x + ) 2 tedo o umerdor costtes, e clcule 5 2 (x 2 + 2x + 3)dx (x )(x + ) 2 5. Decompoh y = f(x) em som de frçõesrciois e clcule s itegris ds fuções listds bixo, o itervlo idicdo. f(x) = [, b] ) 3x2 +2x 2 x 3 [2,5] 2x+3 c) x 2 +3x [,] e) x4 +2x 6 x 3 +x 2 2x [,] f(x) = [, b] b) x 3 x [.5,.5] d) x 2 x 2 +x 6 [,] x+ f) x 2 2x+ [2,3] Miscelâe de exercícios de itegrção Um último segredo: um prátic ites d qul vmos oferecer qui um pouco. O resto você deve procurr litertur. Clculr itegris é um rte difícil, ms muito boit, e quem soube clculr itegris tem que ter um cohecimeto iteso de um grde vriedde de fórmuls. Um mtemático orueguês, Abel, que morreu os 28 os, de tuberculos, sbi muito disto e seu ome ficou históri d Mtemátic pr sempre, ligdo est su hbilidde, devido às muits fórmuls que ele descobriu. Equto em vid, ele foi igordo. Est é drástic recompes d Históri, os medíocres mtem um corte festejá-los em vid, depois que morrerem serão de proto esquecidos. De Abel id se flrá por séculos. Exercícios: 6 Exercícios geris de itegrção Pr todos os exercícios fzemos um sugestão: Use tmbém um progrm como itegrl.py e comprre os resultdos sob dois spectos: tempo e precisão. O cálculo d itegrl, proximdmete, com um progrm de computdor, tmbém, represet um teste pr os seus cálculos.. Clcule s itegris bixo: f(x) = [, b] ) x+2 x 2 +x [ 3, 2] c) l(x) [.5,2] e) x 2 + 3x + 2 [ 4,6] 2. Clcule s itegris bixo: 5 f(x) = [, b] b) [,] +x 2 2x d) +x [ 4,4] 2 [ 4,4] f) 2 si 2 x+b 2 cos x dt ) l(t)dt b) l(t)dt c) d) l t dt t e e) l t dt f) t dt t g) log(e se(x) )dx h) te t dt x 3. Sej G(x) = exp(t) t dt. Verifique G() = log(). Verifique G () >. Coclu que G(x) > log(x) x > e que G(x) < log(x) x (,]. 4. Clcule f, sbedo que f 2 (x) = 5. Costru um fução f tl que f(3) = f (3) = x f(x) > x 2 pr todo x ; x > 3. f(t)cos(t)dt. fç o gráfico o mesmo sistem de eixos de y = f(x) e de y = x 2. Mostre um método pr costruir um ifiidde de fuções stisfzedo s codições do problem.

122 5.5 O teorem fudmetl do Cálculo - primeir versão. b O objetivo dest seção é descobrir um relção etre f e f Est relção é expressão do Teorem Fudmetl do Cálculo. Exercícios: 6. Primeir experiêci. () Fç o gráfico de f(x) = x + 2 e clcule (c) Ecotre um fórmul pr t g(t) = 2 2x 4 qudo t for um úmero rel qulquer. Verifique relção: g (t) = f(t) = 2x 4. (d) Teorem Fudmetl do Cálculo Verifique que 3 x x x + 2 b f = g(b) g() 2 4 (b) Clcule x x + 2 x + 2 Verificmos relção b g (t) = g(b) g() (5.38) 2 (c) Ecotre um fórmul pr g(t) = 2 t 2 x + 2 qudo t for um úmero rel qulquer. Verifique relção: g (t) = f(t) = x + 2. (d) Teorem Fudmetl do Cálculo Verifique que 2. Segud experiêci. b 2 f = g(b) g() qudo g for um fução do primeiro gru, este cso g será um fução do segudo gru. N próxim seção vmos explorr este fto, mesmo sem comprovção, com fuções poliomiis de gru mior. Num próxim list costruiremos demostrção pr um fução poliomil qulquer. 5.6 Cálculo de áres. Use o Teorem Fudmetl do Cálculo: b f = F(b) F() F = f (5.39) mesmo sem um demotrção, pr clculr s itegris bixo: Exercícios: 62 Teorem Fudmetl do Cáculo () Fç o gráfico de f(x) = 2x 4 e clcule 4 4 2x 4 2x 4 3 2x 4. Clcule 3 x 2 3 3x (b) Clcule 2x 4 2x 4 2 2x 4 2. Verifique que x 2 + 3x + 2 = x 2 + 3x

123 3. Clcule s itegris seguites: ) x 3. b) x 3. c) x 3. d) x 4. e) x 4. f) x Cpítulo 6 Sucessões, séries e Desigulddes. Neste cpítulo vmos estudr lgums desigulddes fudmetis e ver exemplos de plicções ds mesms determição de limites de sucessões. Dus desigulddes fudmetis vão ser usds qui:. Ddos dois úmeros reis positivos, b etão médi geométric = b + b 2 2. geerlizção d desiguldde ds médis. = médi ritmétic. médi geométric = = médi ritmétic. 3. Desiguldde de Cuchy-Schwrz: ddos dois vetores x, y chme θo âgulo gudo etre eles, etão: < x, y > x y porque o produto esclr, defiido geométricmete, é: < x, y >= x y cos(θ). 4. geerlizção d desiguldde de Cuchy-Schwrz x k y k x 2 y k k 2 k= 6. Desigulddes k= Exercícios: 63 A desiguldde de Cuchy-Schwrz. Mostre que ddos dois vetores o plo, x, y eles determim um âgulo meor ou igul 9 o, θ e que x y cos(θ) x y k= 235

124 2. Cosidere dois vetores, x,y, o círculo trigoométrico. Mostre que x y + x 2y 2 = cos(θ), em que θ é o âgulo gudo, ( pior ds hipóteses retâgulo), etre os dois vetores. 3. Geerlize desiguldde terior cosiderdo dois vetores x, y quisquer do plo: x y + x 2y 2 = x y cos(θ), sedo θ o âgulo gudo etre os dois vetores. x y + x 2y 2 = x y cos(θ), (6.) 4. Verifique que é verddeir seguite formulção: Se x S em que S represet o círculo trigoométrico, etão existe um pr de âgulos complemetres, (cuj som é π 2 ), tl que x = (cosθ, cosθ 2 ). Defiição: 32 Coseos diretores de um ret. Os úmeros cosθ,cosθ 2 se chmm coseos diretores d ret que pss origem e pelo poto (cos θ,cosθ 2 ). Reformule expressão 6. defiido coseos diretores propridos. 5. Prove que x S 2, em que S 2 represet esfer uitári do R 3, se, e somete se, θ, θ 2 ; θ + θ 2 = π (6.2) α ; α π ; (6.3) x = (cosαcos θ, seαcosθ,cos θ 2 ). (6.4) Idetifique geométricmete o âgulo α. Mostre existe um pr de âgulos complemetres θ, θ 2 tl que x = (cosθ cos θ, cosθ 2 cos θ,cosθ 2 ). 6. Prove que x S 2, em que S 2 represet esfer uitári do R 3, se, e somete se, θ, θ 2 ; θ + θ 2 = π α π ; x = (cosαcosθ, seαcosθ,cos(6.5) θ 2 ). θ, θ 2, θ, θ 2, θ, θ 2 ; tres pres de âgulos complemetres ;(6.6) x = (cosθ cos θ cos θ,cosθ 2 cos θ cosθ,cos θ 2 cosθ,cosθ 2 (6.7) ). Idetifique geométricmete o âgulo α. Mostre existe um pr de âgulos complemetres θ, θ 2 tl que x = (cosθ cos θ, cosθ 2 cos θ, cosθ 2 ). 7. Prove que x S 3, em que S 3 represet esfer uitári do R 4, se, e somete se, θ, θ 2, θ, θ 2, θ, θ2; tres pres de âgulos complemetres(6.8) ; x = (cos θ cosθ cos θ, cos θ 2 cosθ,cos θ ),cosθ 2 cos θ,cosθ 2 (6.9) ). Idetifique geométricmete os pres de âgulos θ X, θ X2. 8. Geerlize desiguldde terior cosiderdo dois vetores x, y R quisquer do espço de dimesão. x y x y = x y cos(θ), sedo θ o âgulo gudo etre os dois vetores. 9. Deduz do terior que, ddos os úmeros reis, 2, b, b 2 etão ( b + 2b 2) 2 ( )(b 2 + b 2 2). Mostre que ddos 2 úmeros reis, 2,...,, b, b 2,..., b se tem ( ib i) 2 ( 2 i)( b 2 i) k=. médi geométric-médi ritméticmostre que se, b forem dois úmeros positivos, etão b + b 2 Exercícios: 64 Séries e idução. k= k=. Verifique que se = etão =. Prove est sserção usdo idução fiit Prove que lim = lim Exercícios: 65 Fução cotíu e limite. + =. Mostre que se fução f for cotíu, etão dd um sucessão L tmbém se tem f( ) L. 2. Mostre que se L. lim = lim L = 3. Mostre que se for limitd superiormete e iferiormete por costtes estritmete positivs, etão lim =.

125 Exercícios: 66 Desigulddes.. Prove que ddos os úmeros reis x, y etão x 2 + 2xy + y Mostre que se x, y > etão x 2 + xy + y Mostre que se x, y < etão Solução: 9 Pelo item terior é covergete, bst verificr, usdo defiição de limite, que coverge pr L. 3. Mostre que se for um sucessão de úmeros positivos limitd superiormete pelo úmero positivo L etão coverge pr um úmero l ; l L. x 2 + xy + y Mostre que se x, y tiverem siis cotrários, etão x 2 + xy + y 2 = (x + y) 2 xy é um som de úmeros positivos logo x 2 + xy + y Deduz diretmete d desiguldde 5, pági 23, que x 2 + xy + y 2. Exercícios: 67 Covergêci em médi ritmétic.. Mostre que se = for um sucessão limitd, etão é covergete Solução: 8 Chme s = e clcule diferreç s s m em que, m são dois úmeros turis rbitrrimete grdes. Pr simplificr supoh que < m;m = + k. Etão s s m k +k = (6.) = k+... k+k k (+k) (6.) k+ka (+k) = k( +A) (+k) (6.2) 2. Mostre que se = for um sucessão covergido pr L, etão coverge pr L tmbém.

126 Cpítulo 7 Arcos, volumes, superfícies Este cpítulo vi trtr de problems geométricos e gráficos em que derivd e itegrl tum como istrumeto pr costruir soluco. Os tipos de problems que vmos estudr icluem uso d derivd determição de tgetes, regr de l Hôpitl, derivd e mudç de cocvidde, cálculo do comprimeto de rcos, lgus tipos de volumes e superfícies. 7. Iterpretção geométric d derivd. Derivd e coeficiete gulr. Se um curv tiver tgete em um determido poto P, o coeficiete gulr dest tgete memoriz o coeficiete gulristtâeod curv quele poto, é o que cotece com pedr roddo pres um cordão, qudo o cordão se rompe: pedr si pel tgete que represet o último estdo do movimeto d pedr pres o cordão, ver figur (fig..3), pági 22. Aqui vmos icluir tecologi idéi que estvmos usdo ituitivmete. Exercícios: 68 Derivd, tgete e coeficiete gulr. () Trce o gráfico d fução f(x) = x 2 x 6; (b) Clcule y = f (x) e preech tbel tbel bixo com os vlores propridos: x f(x) f (x) x f(x) f (x) x f(x) f (x) (c) Em um gráfico seprdo, desehe pequeos segmetos de ret pssdo o poto (x, f(x)) em que x é o poto em que derivd foi clculd. Observe que o cojuto destes segmetos de ret oferecem um idéi do comportmeto d fução. Comete este últim frse. (d) Tmbem em gráfico seprdo, trce segmetos de ret pssdo origem tedo por coeficiete gulr os vlores tbuldos pr f (x). Vej que o cojuto destes segmetos de ret oferece um outr idéi diferete do cso terior: eles descrevem vrição máxim e míim do coeficiete gulr de f o logo de um certo itervlo de tempo. (e) Repit os ites teriores com um tbulção mis fi e costru ssim, com precisão, o gráfico de f. 2. Cosidere gor fução g(x) = x 2 +. () Costru tbel bixo completdo os vlores x f(x) f (x) x f(x) f (x) x f(x) f (x) (b) Em um gráfico seprdo, desehe pequeos segmetos de ret pssdo o poto (x, f(x)) em que x é o poto em que derivd foi clculd. Observe que o cojuto destes segmetos de ret oferecem um idéi do comportmeto d fução. Comete este últim frse. (c) Tmbem em gráfico seprdo, trce segmetos de ret pssdo origem tedo por coeficiete gulr os vlores tbuldos pr f (x). Vej que o cojuto destes segmetos de ret oferece um outr idéi diferete do cso terior: eles descrevem vrição máxim e míim do coeficiete gulr de f o logo de um certo itervlo de tempo. É um espécie de relógio d vrição de f. (d) Repit os ites teriores com um tbulção mis fi e costru ssim, com precisão, o gráfico de f. 3. Clcule segud derivd ds fuções () f(x) = x 2 2x (b) f(x) = se(x) (c) f(x) = x 2 se(x) (d) f(x) = x 2 + 3xse(x) 4. Sigificdo d derivd álise de curvs () Pr cd um ds fuções bixo 24

127 () f(x) = x 2 2x (b) f(x) = se(x) (c) f(x) = x 2 se(x) (d) f(x) = x 2 + 3xse(x) costru um tbel o formto x f(x) f (x) f (x) com x [ 4,4] e.5 (b) Observdo o gráfico de f, em cd cso, álise o sigificdo d segud derivd reltivmete o crescimeto d fução. (c) Verifique que um prábol, y = f(x) = Ax 2 +Bx+C, podemos determir o poto médio ds rizes usdo derivd f (x). Ecotre como, ecotre fórmul do poto médio ds rizes. Verifique que o poto médio ds rizes de um prábol idepede do fto de s rizes serem reis ou complexs <. 5. Clcule s derivds té terceir ordem d fução f(x) = x 3 + 3x 2 2x + 5 e fç, sucessivmete, est ordem, os gráficos de f, f, f, f usdo s iformções d derivd pr costruir o gráfico de cd um ds fuções pr filmete obter o gráfico de f. Determie em que itervlos f tem máximos e míimos reltivos, em que itervlos f tem rizes, em que itervlos f é crescete, em que itervlos f é decrescete, em que itervlos f mud de cocvidde 2. Use tods ests iformções pr fzer o gráfico de f com grde precisão. 6. Ecotre fmíli: círculos de cetro em (,4) tgetes à prábol determid pelos potos ( 2,),(, 2),(2,). Determie s equções destes círculos. Costru o gráfico com um progrm de computdor, ou mão... 2 Observe que pedimos o itervlo e ão o poto em que os evetos ocorrem, porque? 7.2 Comprimeto de rco Vimos que região limitd pelo gráfico de um fução, pelo eixo OX e dois potos x =, x = b o domíio de f pode ter um áre represetd pelo símbolo b f(t)dt. Há váris forms de geerlizr o sigificdo deste símbolo. Um ds meirs de fzê-lo evolue prtir do método de itegrção mudç de vriável que ós vmos retomr qui pr coseguir um ov visão d itegrl e pr mostrr um utilizção mis efetiv deste método de itegrção. Nosso objetivo imedito: clculo de comprimetos de rcos, vmos preder qui clculr, por exemplo, medid d froteir de um região complemetdo o que predemos tes, clculr medid de regiões pls. A idei é bem simples e figur (fig. 7.) pági 244, mostr o seu coteúdo geométrico: substituimos o grf(f) por um poligol subdividido o domíio d curv em prtes. Agor vmos clculr o comprimeto de cd ldo d poligol e somr estes comprimetos. Como o cso ds soms de Riem, à medid que refirmos prtição do itervlo, vmos obter um poligol que mis e mis se proxim do grf(f) e cosequetemete o comprimeto dest poligol se proxim do comprimeto de rco de grf(f). É o mesmo que se fz com polígoos regulres covexos iscritos em um círculo pr obter o perímetro do círculo por meor, (ou por mior, com polígoos circuscritos). Vmos os cálculos. Cd ldo d poligol vi medir: d(( k, f( k )), ( k+, f( k+ ))) em que ( k, f( k )) represet um poto sobre grf(f). I k = d(( k, f( k )),( k+, f( k+ ))) = (7.) ( k+ k ) 2 + (f(( k+ ) f( k )) 2 ) = (7.2) ( k+ k ) ( k+ k ) 2 ( k+ k ) 2 + (f(( k+) f( k )) 2 ) ( k+ k ) 2 = (7.3) + (f(( k+) f( k )) 2 ) ( k+ k ) 2 ( k+ k ) = I k (7.4) Observe que ests equções são idêtics pois form obtids por um sucessão de equivlêcis lgébrics. Se, últim equção substituirmos: vmos ter: x = ( k+ k ) ; y = f(( k+ ) f( k )) + y2 x 2 x que podemos ideficr como: + y2 x 2 x é um prcel de um som de Riem I k = + y2 x 2 x, k= k= e

128 Um quociete de difereçs o qudrdo em y2 x 2 portto o limite dest expressão vi ser um itegrl e detro d itegrl vi estr derivd de f qudrdo somd o úmero, detro de um riz qudrd, eis itegrl: C(grf(f)) [,b] = b + (f (x)) 2 dx. f [, b] )f(x) = x + 3 [ 3,] c)f(x) = x 2 [,] e)f(x) = x 2 [,] f [, b] b) f(x) = x 2 + 3x [,] d) f(x) = se(x) [ π, π] f) f(x) = cos(x) [ π, π] 7.3 Primeir geerlizção do comprimeto de rco Um dos exercícios d seção terior cosisti do cálculo do semi-perímetro do círculo. Porque o semi-perímetro e ão o perímetro? A respost est pergut vem seguite observção: O semi-perímetro é medid do rco de um fução d vriável x como trdiciolmete vemos equção do círculo. O perímetro ão correspoderi o gráfico de um fução. Ms se mudrmos vriável, seguido sugestão do exercício, podemos ver o círculo represetdo pelo pr de equções: equções prmétrics do círculo { x = rcos(θ) p(θ) = y = rse(θ) Este sistem de equções d mis é que um ovo tipo de fução: (7.5) [, 2π] p R 2 ; θ (rcos(θ),rse(θ)), e gor codição pr ser fução, cd poto do domíio correspode um úico vlor é plemete tedid. Vmos dptr fórmul do comprimeto do rco às equções prmétrics do círculo. Como estes cálculos podem servir diversos outros fis, vmos seprá-los em um secção específic Diferecição e equções prmétrics Figur 7.: Um poligol que lig potos o gráfico de f. Exercícios: 69 Comprimeto de rcos. Verifique que meio círculo é ddo pelo gráfico d fução y = f(x) = r 2 x 2 ; x [ r, r]. Clcule o semi-perímetro deste círculo e o perímetro. Sugestão, use mudç de vriáveis: x = rcos(θ) ; y = rse(θ) ; θ [, π] 2. Clcule o comprimeto de rco dos gráficos ds fuções seguites (os itervlos idicdos): Cso uivrido Se y = f(x) for um fução derivável, em qulquer poto (, f()) do gráfico existe um ret tgete que memoriz o coeficiete gulr isttâeo de f quele poto, m = f () quer dizer que equção d ret é: y f() = m(x ) = f ()(x ). Se gor cosiderrmos x muito próximo de e represetrmos dx = x ; dy = y f() etão o coeficiete gulr m = dy dx. Est otção, f () = dy, se deve Leibiz e o comportmeto dest expressão como dx frção é um cosequêci do teorem sobre limite do quociete. Retirmos, ssim, um regr: Teorem: 2 Equção d ret tgete Se f for difereciável vizihç de um poto etão equção d ret tgete o gráfico de f o poto (, f()) é y f() = f ()(x ) y = f() + f ()(x ).

129 Cso bivrido Podemos usr derivção implícit e geerlizr est expressão pr fuções multivrids. Alise os cálculos seguites: ρ(θ) = (rcos(θ), rse(θ)) (7.6) ( ) rse(θ)dθ + cos(θ)dr dρ = (7.7) rcos(θ)dθ + se(θ)dr ( )( ) rse(θ) cos(θ) dθ dρ = = (7.8) rcos(θ) se(θ) dr ( ) dθ dρ = J(ρ) (7.9) dr Você deve recohecer últim equção expressão idêtic que obtivemos teriormete pr o cso uivrido: ( ) dy = f dθ ()dx dρ = J(ρ) dr Nestes cálculos fizemos uso de diversos métodos usdos em vários potos do texto, como derivção implícit, diferecil, derivção prcil. A últim expressão, J(ρ) recebe um ome complicdo 3 pr derivd de um fução de dus vriáveis. É jcobi de ρ. Qudo um fução for multivrid, su derivd se compõe ds derivds prciis de tods s fuções prciis evolvids clculds reltivmete tods s vriáveis evolvids. Cd um desss derivds se chm derivd prcil. O cojuto dests derivds prciis formm mtriz chmd mtriz jcobi d fução que d mis do que derivd d fução que recebeu este ome devido à flt de compreesão que os ossos tepssdos tihm sobre derivd. A otção dr, dθ serviu o pssdo pr idicr em relção quem foi clculd derivd prcil. Este foi o seu uso iicil. Com o tempo se verificou que o formlismo evolvido herd tods s proprieddes lgébrics d multiplicção e dição. No cso multivrido ests operções precem detro ds multiplicções mtriciis. Os símbolos dr, dθ, que form usdos iicilmete pes como idicdores de qul vriável se usv pr derivr, dquirm ssim vid própri e um misticismo que criou dificulddes específics fzedo que com eles recebessem o ome de diferecil. Hoje compreedemos bem o que sigfic o diferecil, d mis é que um ov vriável que permite um cálculo mtricil (o cso multivrido) e um represetção proximd lier pr um fução derivável. Vej últim equção série de cálculos cim, el os diz que existe um mtriz, J(ρ) que represet um fução lier que serve pr proximr ρ. Nos exercícios que seguem ests idéis serão cocretizds. Exercícios: 7 Diferecil. equção d ret tgete () Eted dx := x pr vloresde x muito próximos de. Eted dy := f(x) f(). Substitu estes vlores expressão: dy = f ()dx e verifique que o resultdo é equção d ret tgete o gráfico de f o poto (, f()). 3 e cheio de precoceitos (b) Pr y = f(x) = x 2 3x clcule equção d ret tgete o gráfico de f os potos (5, ),( 2,) e fç os correspodetes gráficos. 2. teorem d fução implícit () Cosidere f(x, y) = x 2 + y 2 4. Supoh que pr um poto (, b) do plo se teh um idetidde cim 4. Derive implicitmete f e clcule equção d ret tgete o gráfico d curv x 2 + y 2 4 o poto (, b). Observe que estmos usdo expressão f(x, y) =. (b) Verifique que o poto (, b) = (2,) trsform equção f(x, y) = um idetidde, clcule equção ret tgete o gráfico do círculo x 2 + y 2 = 4 este poto. (c) Ecotre y tl que f(, y) =. Clcule s equções ds rets tgetes o círculo x 2 + y 2 = 4 os potos ecotrdos. 3. teorem d fução implícit () Cosidere f(x, y) = x 2 +y 2 4. Supoh que pr um poto (, b) do plo se teh idetidde: f(, b) = c. Derive implicitmete f e clcule equção d ret tgete o gráfico d curv x 2 +y 2 4 = c o poto (, b). Observe que estmos usdo expressão f(x, y) = c. (b) Verifique que o poto (, b) = (2,2) trsform equção f(x, y) = 4 um idetidde, clcule equção ret tgete o gráfico do círculo x 2 + y 2 = 2 este poto. (c) Verifique que o círculo x 2 + y 2 = 2 é imgem o plo (projeção) d iterseção de z = f(x, y) com o plo z = 8, portto questão terior foi ecotrd equção d ret tgete um poto dest projeção. (d) Ecotre equção d projeção d iterseção de z = f(x, y) com o plo z = 2. Clcule equção d ret tgete est projeção o poto (3,4). 4. teorem d fução implícit () Cosidere z = f(x, y) expressã de z como fução ds vriáveisx, y. Usdo os símbolos z x e z y pr represetr s derivds prciis de f com respeito x e y, escrev derivd ímplicit d expressão z = f(x, y). (b) Cosidere os tres úmeros, b, c que torem z = f(x, y) um idetidde: c = f(, b). Verifique que existe um curv pl, f(x, y) = c que é projeção d iterseção do grf(f) com o plo z = c e mostre que equção d ret tgete o gráfico f(x, y) = c o poto (, b) é d form: f y (y b) = f (x ) x 4 em outrs plvrs o poto (, b) stisfz est equção

130 (c) Coclu que um ds seguites possibiliddes ocorre Se pudessemos explicitr y como fução de x expressão f(x, y) = c, etão terimos, um vizihç do poto (, b), o plo, fução y = g(x). Determie g () em termos ds derivds prciis de f. Se pudessemos explicitr x como fução de y expressão f(x, y) = c, etão terimos, um vizihç do poto (, b), o plo, fução x = h(y). Determie h (b) em termos ds derivds prciis de f. 5. teorem d fução implícit Eucie o Teorem d Fução explicit e depois cosulte um livro de Cálculo pr verificr correção do seu eucido. 6. Cálculo d derivd usdo T. d fução implícit () Sbedo que um curv y = f(x) tem s equções prmétrics clcule dx, dy, ef (x). x = h(t) ; y = g(t), (b) Clcule derivd um poto qulquer do círculo { x = rcos(t) H(t) = y = rse(t) idicdo em que itervlos é que se tem y = f(x) ou x = g(y). (c) Cosiderdo expressão d derivd o círculo, ecotre um expressão equivlete pr: + f (x) 2 dx que sej válid em qulquer itervlo. (d) Clcule o perímetro do círculo Itegris elíptics Vmos ver um tipo de itegrl que ão podemos clculr por meios formis (usdo os trdiciois métodos de itegrção). Exemplo: 23 O perímetro d elipse Neste exemplo vmos mostrr que peques modificções em um equção podem torá-l um expressão iteirmete diferete d primitiv o setido de que um método tes utilizdo expressão primitiv já ão sej mis efetivo com ov expressão. Este exemplo mostr tmbém importâci do cálculo umérico de itegris que ão sofre dest flt de estbilidde. Elipses são círculos deformdos, equção d elipse com coeficietes de deformção o eixo OX e coeficiete de deformção b o eixo OY é: x y2 b 2 = r2 Est equção pode ser obtid como um trsformção feit equção círculo. As equções prmétrics d elipse são: x = r cos(t) ; y = br se(t) e podemos derivr implicitmete ests equções pr obter dx = rse(t)dt ; dy = brcos(t)dt o que os permite clculr derivd um poto qulquer d elipse, or cosiderdo y = f(x) ou x = g(y), como foi feito o cso do círculo. Como os cálculos são equivletes, vmos os fixr um deles pes. Nos itervlos d form (, π ) + kπ teremos y = f(x) com 2 e x = r cos(t) ;y = br se(t); f (x) = dy dx = b2 x 2 y = b cos(t) se(t) Podemos gor, como o cso do círculo, escreverum expressão equivlete pr: + f (x) 2 dx resultdo em + b2 cos 2 (t) 2 se 2 (t) rse(t)dt = r 2 se 2 (t) + b 2 cos 2 (t)dt = r 2 se 2 (t) + b 2 ( se 2 (t))dt r 2 se 2 (t) + b 2 b 2 se 2 (t)dt r ( 2 b 2 )se 2 (t)) + b 2 dt rb + ( 2 b 2 )se b 2 (t)dt 2 Agor, como queremos clculr o perímetro d elipse e este é 4 vezes qurt prte do perímetro, temos etão: 4rb π 4 + ( 2 b 2 b 2 )se 2 (t)dt

131 Se b como sempre podemos supor, mbos positivos, etão o rdicdo temos + (( b )2 ) = ( ( b )2 ) = k 2 > ;k 2 = b2 2 b 2 < será positivo. Ms ão podemos plicr o mesmo método que usmos o cálculo do perímetro do círculo. Cimos um tipo de itegrl chmd itegrl elíptic de segudo tipo que são s itegris d form E(k) = π 4 k2 se 2 (t)dt ;k (,) Ests itegris ão podem serclculds formlmete, (com uxílio do Teorem Fudmetl do Cálculo), ms podem ser fcilmete clculds com soms de Riem ou com um progrm pr cálculo umérico de itegris. Pel importâci que est itegrl tem em cálculos stroômicos, form crids tbels pr o úmero E(k) pr vários vlores de k. Exercícios: 7 Comprimeto de rco. Fç um tbulção dos úmero E(k), ds itegris elíptics de segudo tipo, com k [.,.9], psso.. 2. Clcule o perímetro d elipse x2 3 + y2 4 = Clcule os comprimetos dos rcos ds curvs bixo: ρ(t) t [, b] )(t, t, t 2 ) t [ 3,] c)(cos(t), se(t), t) t [, π] e)(t, t, t) t [,] ρ(t) t [, b] b) (t 2, t 3 ) t [,] d) (e t cos(t), e t se(t)) t [,4] f) (2cos(t),3se(t), t) t [,2π] 4. sem fzer cots... Cosidere, o círculo uitário S, dois potos A, B determido o rco AB. Prove que o comprimeto deste rco é o dobro d áre do setor do círculo que ele compreede. 7.4 Volume de sólidos de revolução Se plicrmos um rotção o gráfico de f em volt do eixo OX, vej figur (fig. 7.2) pági 25, vmos costruir um sólido de revolução que se ssemelh muito um cilidro. Vmos usr o método de cálculo de volumes dos cílidros pr obter o volume deste sólido. Figur 7.2: Fzedo o gráfico de f rodr em volt do eixo OX, se tem um sólido de revolução Cosidere grf(f), o gráfico de [, b] : f R b Se fução f for itegrável um expressão do tipo f(x k ) x k coverge pr f(x)dx. k= b Reciprocmete, expressões do tipo f(x k ) x k sugerem o limite g(x)dx. Temos que verificr se fução [, b] : R é itegrável e clculr os limites de itegrção usdo os k= f vlores k = ; b = + x = + x k. k= Vmos plicr isto roddo os retâgulos de um som de Riem. O resultdo será um coleção de cilidros e som dos volumes destes cilidros vi os dr um proximção do volume de um sólido de revolução que tem como como froteir prede exter gerd pelo gráfico de f em rotção. Cd cilidro tem por volume: V k = πf(x k ) 2 x k = πrk 2 h k que é áre d bse (πf(x k ) 2 ) multiplicd pel ltur ( x k ). Etão som dos volumes destes cilidros é: πf(x k ) 2 x k = π g(x k ) x k k= k= b cujo limite, se cosiderssemos um sucessão de prtições uiformes de orm seri π g(x)dx

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