EEE 335 Eletromagnetismo II

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1 0.6 J 0 J J 2 J Universidade Federal do Rio de Janeiro EEE 335 Eletromagnetismo II Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

2 Sobre as notações Vetores em negrito nos slides! Sistema SI! Coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas! Operador nabla para simplificar notação de rotacional divergente e gradiente

3 Operador Nabla r Não é um vetor mas pode ser tratado como tal em coordenadas cartesianas gradiente r F r F =det 2 4 ˆx F x F y F z 3 divergente 5 rotacional

4 Operador Nabla r Equação de Laplace de um escalar r 2 f Equação de Laplace de um vetor r 2 F F 2 F 2 F 2 em outros sistemas de! coordenadas pode ficar bem estranho rotacional de um rotacional (importante para ondas) r (r F) =r(r F) r 2 F

5 Equações de Maxwell Equações Equações de Maxwell de Maxwell tam Eletricidade e gnetismo! Juntam Eletricidade Juntam Eletricidade e e Magnetismo! Magnetismo! mitiram o desenvolvimento Permitiram Permitiram o desenvolvimento o desenvolvimento de motores, de motores geradores e geradores elétricos e da transmissão elétricos! de energia! motores e geradores ricos! Generaliza Generaliza Leis de Faraday a Lei de e Faraday e Gauss! de Gauss! eraliza a Lei de Faraday e Gauss! Inclui as Inclue correntes as correntes de de deslocamento! deslocamento! lue as correntes de locamento! tem validade tem validade limitada limitada, a acima dimensões de acima 0,1 mmde 0,1 mm validade limitada, acima 0,1 mm

6 Formulações das Eq. Maxwell Equações diferenciais envolvendo rotacional, divergente, gradiente! melhor para meios semi-infinitos! usa transformada de Fourier ou Laplace para a solução! Envolvendo integrais de superfície, linha e volume! melhor quando as dimensões do problema são conhecidas

7 Formulações das Eq. Maxwell Formulações das Equações de Maxwell Tensão induzida por um campo magnético variante no Tensão induzida por um campo magnético variante no tempo tempo Na eletrostática a tensão resultante é nula Tensão

8 Formulações das Equações de Maxwell Formulações das Eq. Maxwell Tensão induzida por um campo magnético variante no tempo! Aplicando o teorema de Stokes = B = µh

9 Lei de Faraday para Sistemas Móveis Gerador elementar Lei de Faraday para Sistemas Móveis I v = E n ZZ B ds Gerador Elementar ` S N S

10 Corrente de Deslocamento Corrente de Deslocamento Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento concreto de elementos de circuitos em Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento das correntes alternadas corrente alternada ANTES DEPOIS Da equação de continuidade da carga r H = Tem comportamento similar às correntes de condução

11 Corrente de Deslocamento Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento das correntes alternadas ANTES DEPOIS r H = Da equação de continuidade da carga Tem comportamento similar às correntes de condução

12 Equações de Maxwell Formulação Diferencial r D = r B =0 r E r H = @t Corrente de Condução J c = E Corrente de Convecção J cv = v Corrente de Deslocamento D = "E

13 Equações de Maxwell no Domínio da Frequência Todas as variações temporais passam a ser representadas a partir de exponenciais complexas! E (x, y, z, t)! E (x, y, z,!) d dt! j! Z! 1 j! E(t) =< [(E r + je i )exp(j!t)] = E r cos!t E i sin!t

14 Equações de Maxwell Domínio da Frequência Equações diferenciais viram equações algébricas r E = " r H =0 r E = j!µh r H = J f +( + j!") E Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo magnético 1 r (r E) =( j!µ + j! ) E r (r E)+r 2 E = j!µ( + j! ) E 0 2

15 Equações de Maxwell Domínio da Frequência Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo elétrico r r H = j!µ( + j! ) H r H =0 r 2 H = 2 H

16 Equações de Maxwell Formulação Integral I ZZZ ZZ D ds = dv B ds =0 I S V ZZ S E n d` = j!µ H ds ` I ZZ S ZZ H n d` = J ds + j!" E ds ` S S Prefere-se a formulação diferencial no domínio da frequência! A gente não gosta tanto assim da matemática!!

17 Domínio da Frequência & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace! Frequência real ou frequência complexa!!

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