CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 1

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1 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 1

2 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE Maceió, julho de

3 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 3 Governador Luis Abilio de Sousa Neto Secretário Executivo de Educação José Marcio Malta Lessa Secretário Adjunto de Educação Roberto Jorge Vasconcelos dos Santos Coordenador de Educação José Neilton Nunes Alves Gerente do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais Maria de Fátima Santos de Lima Representante da UNESCO no Brasil Vicent Defourny Consultores Adna de Almeida Lopes Benedito Carvalho Cleyton Hércules Gontijo Eraldo de Souza Ferraz Eduardo de São Paulo Fátima Lúcia Soares Ribeiro Iracema Campos Cusati Jeanne Amália de Andrade Tavares Julio Jacobo Waiselfisz Maria José de Oliveira Maciel Wellington Rodrigues de Araújo Parceria Secretarias Municipais de Educação

4 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 4 Equipe técnica do PROAEE Ademir da Silva Oliveira Leni Gladis de Carvalho Brito Franco Maria de Fátima Santos de Lima Equipe de Apoio do PROAEE Irailda Santos Albuquerque Lúcia Maria Rocha Sanches Elaboração Cleyton Hércules Gontijo Revisores Ademir da Silva Oliveira Leni Gladis de Carvalho Brito Franco Maria de Fátima Santos de Lima Arte Benedito Carvalho Este Caderno foi produzido no contexto da Cooperação UNESCO/SEE, Projeto 914BRA1096. As opiniões expressas são de responsabilidade dos autores e não refletem, necessariamente, a visão da UNESCO sobre o assunto.

5 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 5 Sumário APRESENTAÇÃO... 8 INTRODUÇÃO A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA A MATRIZ DE REFERÈNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL TEMA I Espaço e Forma D1 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações D2 Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos D3 Reconhecer os quadriláteros por meio de suas propriedades referentes a lados e ângulos D4 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas D5 Resolver problemas envolvendo ângulos como mudança de direção, identificando ângulos retos e não-retos D6 Reconhecer eixos de simetria em figuras planas identificando figuras simétricas e não simétricas D7 Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares) D8 Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas D9 Resolver problemas que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo D10 Reconhecer círculo / circunferência, seus elementos e algumas de suas relações TEMA II Grandezas e Medidas D11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas D12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas D13 Resolver problema envolvendo noções de volume D14 Resolver problema envolvendo diferentes unidades de medida D15 Resolver problema envolvendo as grandezas comprimento, massa, capacidade, tempo, temperatura e suas respectivas unidades de medida fazendo as conversões adequadas entre essas unidades e seus múltiplos e submúltiplos D16 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figura bidimensional que possa ser decomposta em triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios ou uma combinação dessas formas, em uma malha quadriculada (A) TEMA III Números e Operações D17 Identificar a localização de números inteiros na reta numérica D18 Identificar a localização de números racionais na reta numérica D19 Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação) D20 Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação) D21 Resolver problema com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação) D22 Reconhecer as diferentes representações de um número racional D23 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/todo, razão e quociente) D24 Identificar frações equivalentes D25 Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de ordens como décimos, centésimos e milésimos D26 Resolver problema envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais D27 Resolver problema que envolva porcentagem D28 Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica D29 Resolver problema que envolva equação do 1o. grau D30 Identificar uma equação ou inequação do 1o grau que expressa um problema D31 - Resolver problema que envolva equação do 2o grau D32 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1o. grau TEMA IV Tratamento da Informação...57

6 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE D33 Ler e interpretar informações e dados apresentados em tabelas D34 Interpretar, comparar e utilizar dados apresentados em gráficos (coluna, segmento e setores)..58 CONSIDERAÇÕES FINAIS...61 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...64

7 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 7 Aula de Matemática Antonio Carlos Jobim e Marino Pinto (1958) Pra que dividir sem raciocinar Na vida é sempre bom multiplicar E por A mais B Eu quero demonstrar Que gosto imensamente de você Por uma fração infinitesimal, Você criou um caso de cálculo integral E para resolver este problema Eu tenho um teorema banal Quando dois meios se encontram desaparece a fração E se achamos a unidade Está resolvida a questão Prá finalizar, vamos recordar Que menos por menos dá mais amor Se vão as paralelas Ao infinito se encontrar Por que demoram tanto os corações a se integrar? Se infinitamente, incomensuravelmente, Eu estou perdidamente apaixonado por você.

8 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 8 APRESENTAÇÃO A Secretaria Executiva de Educação de Alagoas, por intermédio de sua Coordenadoria de Educação e do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais, decidiu implantar seu sistema de avaliação educacional em Tal sistema tem como finalidade, entre outras, desenhar o perfil da realidade educacional no Estado, produzindo indicadores básicos de qualidade, capazes de direcionar políticas para o fortalecimento de escolas do sistema educacional como um todo. Uma escola fortalecida é aquela que dá conta de todos os alunos que nela entram, permitindo que esses se apropriem de um saber mais elaborado, de um conhecimento que é produzido pela humanidade e materializado nos currículos escolares. Somente de posse desse bem cultural é que esses alunos poderão utilizá-lo como ferramenta fundamental para usufruir os bens produzidos na materialidade da prática social. Na tentativa de construir uma escola desse tipo, esta Secretaria vem desenvolvendo algumas ações direcionadas para atingir o foco principal da reprovação e abandono. Partiu-se, inicialmente, para resolver a questão do aluno fora da escola. Foram construídas 17 e reformadas 256 escolas. Com essa medida, houve um avanço significativo no número de matrículas, com destaque para o Ensino Médio, que cresceu 325% nesses oito anos de governo. Outra ação significativa foi a expansão da avaliação do sistema educacional no Estado, com o intuito de conhecer os principais entraves que vêm causando o baixo desempenho dos alunos na educação básica. Para fortalecer essa ação, foram firmadas parcerias com a Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura UNESCO e com Secretarias Municipais de Educação, na tentativa de realizar um diagnóstico mais abrangente da realidade educacional no Estado, ou seja, dos sistemas educativos estadual e municipais de ensino. Com base nos resultados diagnosticados, é possível planejar ações governamentais e pedagógicas significativas para a melhoria da qualidade do ensino. Entre outras ações resultantes da pesquisa, há de se destacar o programa de formação continuada de professores, planejado com ênfase nos problemas de ensino e aprendizagem detectados na pesquisa. Esses resultados estão sintetizados em relatórios, contendo a realidade educacional de cada município e região, e cadernos pedagógicos, contendo alguns princípios que orientam a prática docente, de modo que a sua leitura possibilite uma reflexão sobre o processo de desenvolvimento cognitivo dos alunos. Eles vêm sendo utilizados pelos professores e educadores em geral com o objetivo de contribuir para que os alunos evoluam do estágio de conhecimento em que se encontram para um estágio mais elevado de conhecimento. É nesse sentido que se considera de relevante importância o uso dos resultados dessa avaliação, pois não basta constatar ou conhecer a realidade como ela é, mas utilizar esses resultados no redimensionamento de práticas que não estão dando certo para outras ações que produzam os resultados desejados.

9 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 9 Trata-se, portanto, de transformar os resultados dessa avaliação em ações significativas de intervenção para que se possam atingir os objetivos da construção de uma escola fortalecida e com qualidade.

10 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 10 INTRODUÇÃO O marco inicial do Sistema de Avaliação Educacional de Alagoas Saveal foi em Numa postura ousada desta Secretaria Executiva de Educação, construímos as Matrizes Curriculares de Referência em Língua Portuguesa e em Matemática. Essas Matrizes são o referencial curricular mínimo a ser avaliado em cada disciplina e série, informando os conhecimentos esperados e as competências e habilidades de cada aluno. Nelas estão contidos os descritores que orientam a elaboração de itens e expressam o desempenho discente. Naquele momento, foram avaliadas as 4ª s séries do Ensino Fundamental das escolas estaduais da capital e da 10ª Coordenadoria Regional de Ensino, compreendendo-se 86 escolas, alunos, 209 professores, 80 diretores, 79 coordenadores pedagógicos e pais de alunos. Em todo o processo de realização da pesquisa, contou-se com a participação efetiva de professores de todas as Coordenadorias Regionais de Ensino - CRE, desde a elaboração das matrizes e dos itens até a discussão pedagógica dos resultados, demonstrando, assim, a postura democrática que esta Secretaria mantém na execução de suas ações. O Saveal cresceu. Em dezembro de 2003, foi firmado um convênio de cooperação técnica com a Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura UNESCO, que permitiu otimizar as ações do Saveal, tendo em vista a equipe multidisciplinar de que ela dispõe para atuar na orientação e supervisão da pesquisa. As atividades principais que caracterizam essa cooperação são o apoio técnico-gerencial que responde satisfatoriamente às demandas da pesquisa, agregando-lhe conhecimento e valor com eficiência e agilidade. Em 2004, as Matrizes Curriculares foram ampliadas para a 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio, dentro dessa mesma postura democrática de participação docente, garantindo-se a transparência do processo de avaliação do Saveal. Todos os descritores de Língua Portuguesa indicam o nível de desempenho dos alunos no que se refere à leitura. Já os de Matemática dividem-se em quatro tópicos: I Espaço e Forma; II Grandezas e Medidas; III Números e Operações; IV Tratamento da informação. A partir dessas Matrizes, foram realizadas várias oficinas para elaboração de itens de Língua Portuguesa e Matemática com o objetivo de aproximar o conteúdo e a linguagem dos testes ao cotidiano da sala de aula, contemplando estágios de construção em níveis crescentes de competências e habilidades. Foram construídos 163 itens de Língua Portuguesa, sendo 64 da 4ª e 75 da 8ª série do Ensino Fundamental e 24 do Ensino Médio, e 251 itens de Matemática, sendo 105 da 4ª e 95 da 8ª série do Ensino Fundamental e 51 da 3ª série do Ensino Médio. A fim de garantir a qualidade dos itens elaborados, procedeu-se a uma análise, observando-se a relevância do conteúdo abordado e a adequação dos mesmos aos critérios utilizados na avaliação em larga escala, além da observação de sua compatibilidade com os descritores e de sua qualidade técnica. Para que fosse garantido o sigilo e que os alunos pesquisados não tivessem acesso, esses itens foram pré-testados em 108 turmas, distribuídos em 17 escolas

11 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 11 das redes estadual e municipal de Pernambuco, envolvendo alunos, cujo objetivo foi a validação dos mesmos. Saliente-se, porém, que os itens da 3ª série do Ensino Médio não foram pré-testados, tendo em vista que não foram produzidos em quantidade suficiente. Os resultados obtidos foram analisados e interpretados à luz de duas teorias: Teoria Clássica do Teste TCT e Teoria de Resposta ao Item TRI. Os modelos que fundamentam as duas análises se apóiam em modelos estatísticos que buscam analisar o desempenho dos alunos resultante da aplicação dos testes considerando-se os níveis de dificuldade, de discriminação e de acerto ao acaso dos itens. A TCT se apóia nas respostas dadas por todos os alunos aos itens do teste, independentemente da habilidade possuída por cada um para responder a um determinado item. A TRI, considerada uma teoria mais moderna, se apóia também nas respostas dadas pelos alunos, mas considerando que o desempenho do aluno em um teste só pode ser explicado por um conjunto de habilidades possuídas por cada um deles. Esta última permite que seja feita a análise comparativa do desempenho dos alunos entre os anos e entre as séries para se avaliar a evolução do desempenho dos alunos. Observando-se, também, que esta teoria apresenta o poder de discriminação e a dificuldade de cada item. Concluído todo o processo de análise estatística dos itens, passou-se à etapa de organização dos mesmos para implantação do Banco de Itens de Alagoas BIAL. Em 2005, o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica Saeb, do Ministério da Educação - MEC, criou a Avaliação Nacional do Rendimento Escolar ANRESC, que avaliou as escolas públicas urbanas de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental, atendendo o critério de possuir mais de trinta alunos por série. Conseqüentemente, para que fosse atingido o universo das escolas públicas de Alagoas, o SAVEAL realizou uma pesquisa complementar à da ANRESC, avaliando 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental das escolas estaduais urbanas com mais de cinco e menos de trinta alunos por série, assim como em todas as escolas rurais. Ampliou-se essa pesquisa para as escolas de 60 municípios cujos secretários de educação aderiram ao SAVEAL, mediante Termo de Adesão, avaliando as escolas que atendessem aos referidos critérios. Foram confeccionados 08 cadernos de teste para a 4ª série, sendo 04 de Língua Portuguesa e 04 de matemática, e 12 cadernos para a 8ª série, sendo 06 de Língua Portuguesa e 06 de Matemática. Em cada um deles havia 25 itens do Banco de Itens de Alagoas BIAL e 05 do Banco Nacional de Itens BNI do SAEB. Concomitante à confecção desses cadernos, foram elaborados itens para questionários socioeducacionais a serem aplicados a alunos, professores, diretores, coordenadores pedagógicos e pais de alunos, destinados a investigar alguns fatores associados ao desempenho dos alunos e às políticas públicas voltadas para a Educação Básica. Para concretização da pesquisa, houve, previamente, treinamento da equipe que trabalharia na aplicação da pesquisa, a fim de que os mesmos operacionalizassem, com eficiência, todos os procedimentos pertinentes à referida pesquisa. Foram criadas as funções de coordenadores estaduais, indicados pelas Coordenadorias Regionais de Ensino CRE, e coordenadores municipais, indicados pelas Secretarias Municipais de Educação dos municípios participantes da pesquisa, todos sob a supervisão do PROAEE. Esses coordenadores estiveram responsáveis pela seleção e treinamento das pessoas que trabalharam na aplicação da pesquisa, intitulados coordenadores de escola e coordenadores de turma.

12 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 12 A avaliação do Sistema Educacional de Alagoas ocorreu no dia 05 de outubro. Foi atingido o quantitativo de alunos, sendo da 4ª série e da 8ª série em 821 escolas. Do total de alunos, 905 são da rede estadual urbana, da estadual rural, da municipal urbana, da municipal rural. Percebe-se, assim, que essa avaliação atingiu, predominantemente, escolas municipais rurais e urbanas de pequeno porte. Já os questionários foram aplicados a alunos, professores, 676 coordenadores pedagógicos, 581 diretores e pais de alunos. A partir deles, foram observadas questões referentes ao nível socioeconômico, esforço acadêmico, apoio familiar, controle da trajetória escolar do aluno; formação inicial e continuada, experiência e condições de trabalho do professor; estilo de gestão, clima organizacional, disciplinar e acadêmico da escola. Para caracterização do sistema educacional de Alagoas, foram utilizados, além dos resultados dos testes e questionários, dados do censo escolar, como o movimento da matrícula e indicadores de eficiência: taxas de aprovação, reprovação, abandono, evasão, distorção idade/série, fluxo escolar e indicadores de produtividade. Foram elaborados Cadernos Pedagógicos de Língua Portuguesa e Matemática, nos quais estão contidas as análises dos descritores das Matrizes Curriculares de Referência para avaliação e análises de itens das provas aplicadas pelo SAVEAL em 2005, seguidas de sugestões pedagógicas para os professores, subsidiarão as escolas na reflexão sobre o ensino das disciplinas avaliadas. As Coordenadorias Regionais de Ensino CREs e os municípios que aderiram ao SAVEAL, receberão relatórios sintético e analítico, onde estão contidos: a os índices de desempenho dos alunos de 1ª a 4ª e de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental; b índices de eficiência, no que se refere à taxa de aprovação (relacionando-se esses índices de desempenho e eficiência às médias das escolas municipais, estaduais e federais); c pontuação da escola com sua representação em relação à média estadual; d percentual de acertos por descritor curricular em Língua Portuguesa e Matemática nas duas séries avaliadas, que servirão de instrumento gerencial aos gestores públicos. Esses instrumentos, resultantes da Avaliação do Sistema Educacional de Alagoas permitem, que os gestores identifiquem as principais dificuldades e desafios para a operacionalização das políticas públicas educacionais com base nos resultados da pesquisa, utilizando-os no planejamento das ações governamentais para a melhoria institucional, como também no planejamento das ações pedagógicas para a melhoria na qualidade do ensino. Todavia, a adoção dessa avaliação por parte desta SEE não significa que haja alguma intenção de julgamento individual de docentes ou discentes. Não são as pessoas que são avaliadas, mas sim as estruturas, as práticas, as relações, os processos, os produtos e os recursos que constituem o saber/fazer da escola, em função dos objetivos desejados. Ela busca, sim, identificar pontos fortes e pontos fracos do sistema de ensino, com vistas respectivamente ao seu aprofundamento ou superação, sempre almejando o incremento da qualidade. Ressalta-se, ainda, que esta avaliação não se reduz ao simples levantamento de dados, sua análise e a produção de um relatório final. Ela é um processo permanente de conhecimento do sistema, a fim de alimentar o planejamento para a melhoria da qualidade. Este processo requer continuidade e regularidade, para que possibilite a comparação de dimensões e indicadores em diferentes momentos e de maneira constante.

13 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 13 No entanto, a avaliação de sistema somente se converte em instrumento para o planejamento da melhoria da qualidade, se for desenvolvida com competência técnica, correção ética e fidedignidade dos dados e evidências utilizados. E este é o compromisso desta Secretaria e da Unesco. Quanto a este Caderno Pedagógico de Matemática para a 8ª série do Ensino Fundamental, ele está constituído da seguinte forma: (1) a avaliação de matemática realizada pelo Saveal (2) a Matriz de Referência, indicando de forma abrangente seu processo de elaboração e seu papel na elaboração dos itens para a avaliação, (3) apresentação da matriz de referência para a 8ª série com os seus respectivos descritores e alguns itens da avaliação realizada pelo Saveal em Espera-se que este trabalho possa colaborar para o entendimento do que é a avaliação do Saveal em Matemática, bem como possibilitar uma reflexão acerca dos procedimentos utilizados no processo de avaliação realizado e refletir sobre estratégias de ensino que podem favorecer o desenvolvimento adequado das competências matemáticas.

14 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL A avaliação de matemática realizada pelo Saveal tem por objetivo identificar o nível de proficiência dos estudantes nesta área do conhecimento, isto é, avaliar o que eles sabem e o que são capazes de fazer, verificando as competências e as habilidades que construíram ao longo do processo de escolarização. Assim, o Saveal quer avaliar as competências dos estudantes, isto é, a sua capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situações (Perrenoud, 2000, p. 15). Segundo Perrenoud, 1. As competências não são elas mesmas saberes, savoir-faire ou atitudes, mas mobilizam, integram e orquestram tais recursos. 2. Essa mobilização só é pertinente em situação, sendo cada situação singular, mesmo que se possa tratá-la em analogia com outras, já encontradas. 3. O exercício da competência passa por operações mentais complexas, subentendidas por esquemas de pensamento, que permitem determinar (mais ou menos consciente e rapidamente) e realizar (de modo mais ou menos eficaz) uma ação relativamente adaptada à situação. (op. cit. p. 15) Considerando os aspectos acima, podemos dizer que ser matematicamente competente na realização de uma dada tarefa implica não só ter os conhecimentos necessários para realizá-la, mas a capacidade de identificar e mobilizar esses conhecimentos em uma situação concreta, isto é, em situações-problema. Associadas à competência, as habilidades referem-se ao plano da ação, do exercício prático de resolução de problemas, da transposição do pensamento para a prática. Assim, para avaliar competências e habilidades em matemática torna-se necessário estabelecer como eixo norteador da avaliação a proposição de situações-problema, nas quais o aluno deve aplicar os conhecimentos adquiridos, demonstrando em que medida essas competências e habilidades foram construídas. Destaca-se que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução. Esta opção por resolução de situações-problema não exclui a possibilidade da proposição de outros tipos de situações com o objetivo de avaliar se o aluno tem domínio de determinadas técnicas, que servirão para a resolução de problemas. O uso dessas duas estratégias, resolução de situações-problema e aplicação técnicas matemáticas, possibilita investigar as competências que os alunos já desenvolveram e aquelas que ainda precisam ser mais bem trabalhadas no contexto escolar. Ressalta-se que para a avaliação de competências e habilidades matemáticas, as situações propostas devem refletir o universo vivenciado pelos estudantes, isto é, devem ser significativas e corresponder ao contexto social, econômico e cultural dos mesmos, uma vez que aprendizagem da matemática deve contribuir para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional.

15 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA A Matriz de Referência de Matemática é o documento que contém as competências e habilidades matemáticas que serão avaliadas no teste do Saveal. A Matriz de Referência de Matemática contempla 04 temas, que são os mesmos para as 4ª e 8ª séries do Ensino fundamental e para a 3ª série do Ensino Médio, e estão de acordo com as recomendações estabelecidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino de matemática. Os temas variam em complexidade e abrangência de acordo com a realidade de cada série avaliada. Os temas que compõem a Matriz de Referencia em Matemática são: I Espaço e Forma; II Grandezas e Medidas; III Números e Operações; IV Tratamento da informação. Cada tema da matriz é constituído por um conjunto de descritores. Os descritores descrevem competências relacionadas a diferentes operações de natureza cognitiva, e se traduzem basicamente em três tipos habilidades possíveis de serem medidas pelo Saveal. Dessa forma, os descritores foram selecionados de modo que se possa refletir sobre a natureza das operações mentais que caracterizam cada uma das competências e habilidades definidas como relevantes. As habilidades descritas pelos descritores referem-se à: a) Compreensão de conceitos: refere-se a habilidades como identificar, reconhecer e associar conceitos e relações matemáticas em situações diversas. b) Utilização de procedimentos: refere-se às habilidades de fazer cálculos, estimativas, execução de algoritmos e manipulações algébricas. c) Resolução de problemas: refere-se à seleção e ao uso de estratégias e procedimentos matemáticos adequados para resolver situações-problema. Destaca-se que cada descritor descreve apenas uma competência ou habilidade a ser avaliada. Assim, cada item do teste, elaborado a partir de um descritor, avalia uma única competência. A isto denominados unidimensionalidade do item. Os itens propostos na avaliação são construídos observando as competências descritas na matriz de referência de matemática e as normas técnicas para esta construção. As normas técnicas indicam dois tipos de itens. Em um dos tipos, o aluno resolve uma situação problema e identifica a alternativa que contém a resposta certa. No outro tipo, o aluno analisa cada alternativa de acordo com o enunciado e identifica a correta. Dessa forma, o enunciado de cada item poderá ser uma pergunta ou uma frase a ser completada. Outro importante aspecto a ser considerado refere-se à construção das alternativas que compõem cada item. Dentre elas, uma é a correta, denominada de gabarito e as outras, incorretas, são denominadas distratores. Os distratores, preferencialmente, devem ser elaborados de maneira que não apresentem valores arbitrários, devendo cada um deles corresponder ao resultado de uma estratégia possível de ter sido utilizada pelo estudante e que produziu resultado incorreto. Dessa forma, é possível identificar as principais dificuldades encontradas pelos estudantes na resolução dos itens, indicando assim, mudanças que poderão ser implantadas nas salas de aula de modo a propiciar o desenvolvimento das competências avaliadas.

16 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 16 A seguir, apresentaremos a matriz de referência da 8ª série do Ensino Fundamental, mostrando de forma sucinta o que cada tema desta matriz quer avaliar e os descritores relativos a esses temas. Destaca-se que ao tratarmos dos descritores, apresentaremos alguns itens do teste do Saveal aplicado em 2005, analisando os resultados dos estudantes e sugerindo algumas atividades que podem ser desenvolvidas em sala de aula para favorecer o desenvolvimento das competências matemáticas.

17 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE A MATRIZ DE REFERÈNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL TEMA I Espaço e Forma Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a Matriz indica para a avaliação, em relação ao tema Espaço e Forma, competências como a capacidade de reconhecimento de figuras geométricas planas e espaciais por meio de suas definições e da identificação de algumas propriedades, bem como a resolução de problemas utilizando propriedades dos polígonos; o reconhecimento de ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não retos; utilização das relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos. A matriz prevê, ainda, a avaliação de competências relativas à interpretação de informações dadas em coordenadas cartesianas e do reconhecimento de elementos e algumas relações do círculo e da circunferência D1 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno quantificar as faces, as arestas e os vértices dos poliedros e reconhecer planificações dos sólidos geométricos. Essas habilidades podem ser avaliadas por meio de situações-problema contextualizadas, que envolvam a composição e decomposição de figuras espaciais, identificando suas semelhanças e diferenças. A seguir apresentamos um item da avaliação de 2005 que teve por finalidade avaliar essa competência. 20. Fábio é muito curioso. Ele resolveu desmontar esta caixa de creme dental. Que figura encontrou? Creme Dental (A) Creme Dental (C) Creme Dental (B) Creme Dental (D) Creme Dental

18 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 18 Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D A Não respondeu 58,0 9,0 21,6 8,5 2,9 Esse item solicita ao aluno que reconheça qual é a planificação de uma caixa retangular que representa a embalagem de um creme dental. Nesse caso, é dada a figura de um tetraedro regular e, como alternativas de respostas são dadas quatro planificações, sendo apenas uma a verdadeira, de modo que seja possível julgar se o aluno reconhece ou não as características do tetraedro. Observamos que a maioria dos alunos (58%) respondeu corretamente ao item, escolhendo a alternativa A. Quanto aos que escolheram as alternativas B e C, representando respectivamente 9% e 21,6% dos respondentes do teste, podemos concluir que estes alunos não desenvolveram a percepção espacial, pois não reconheceram que uma caixa possui seis faces, sendo formada, no caso desse item, por quatro retângulos com as mesmas dimensões e dois quadrados também de mesmas dimensões. Esse fato está bastante claro, pois escolheram planificações formadas por apenas três retângulos. Os alunos que escolheram a alternativa D (8,5%) demonstraram reconhecer o número de faces do tetraedro apresentado, porém possivelmente se distraíram, fixando a sua atenção na face na qual estava escrita a expressão Creme Dental, imaginando que essa inscrição só poderia estar no segundo retângulo da planificação. Com relação à aprendizagem das formas geométricas, as primeiras atividades serão de observação e reconhecimento dessas formas nos objetos do ambiente. A partir daí, pode-se explorar algumas características das figuras geométricas, tanto das figuras planas como dos sólidos geométricos (formas bidimensionais e tridimensionais), estabelecendo semelhanças e diferenças entre essas formas. É importante que os alunos reconheçam alguns elementos que compõem as figuras, tais como faces, arestas, vértices, lados e ângulos. Para desenvolver habilidades relacionadas ao trabalho com figuras planas e espaciais, o professor pode realizar, dentre outras, as seguintes atividades: a) Propor aos alunos que identifiquem as características das formas geométricas que estão presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem, podendo explorar as formas existentes no próprio espaço da sala de aula. b) Propor aos alunos a composição e a decomposição de sólidos geométricos e figuras planas, identificando diferentes possibilidades. Por exemplo, explorar o cubo e o quadrado, estabelecendo relações entre eles a partir da planificação de caixas, por meio da qual se pode evidenciar que o quadrado é uma face do cubo. c) Realizar com os alunos a planificação de alguns sólidos geométricos, identificando a relação entre faces e figuras planas. d) Propor aos alunos a confecção de maquetes a partir da montagem de sólidos geométricos.

19 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE D2 Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno explorar as propriedades dos triângulos segundo seus ângulos e segundo seus lados. É importante que ao trabalhar com triângulos, o professor destaque os seus principais elementos constitutivos: lados, vértices e ângulos internos. Deve-se também destacar a classificação dos triângulos quanto à medida dos lados (eqüilátero, isóscele e escaleno) e quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo). Outra propriedade que deve ser destacada refere-se à soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, que é constante e igual a 180º. Outro aspecto fundamental que deve ser trabalhado com os alunos refere-se à semelhança de triângulos. Nesse sentido, o aluno deve ser capaz de identificar que triângulos com lados correspondentes proporcionais e triângulos que têm ângulos correspondentes iguais são semelhantes. O professor pode explorar os casos de semelhanças entre triângulos com os seus alunos, destacando: a) Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos respectivamente congruentes (caso ângulo, ângulo). b) Dois triângulos são semelhantes quando têm todos os lados homólogos proporcionais (caso lado, lado, lado). c) Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados homólogos proporcionais e os ângulos determinados por eles são congruentes (caso lado, ângulo, lado). Sugere-se que seja apresentado para os alunos situações em que possam estabelecer comparações entre triângulos, identificando suas propriedades. Essa atividade será mais significativa se essas situações forem contextualizadas, podendo, para isso, apresentar elementos de natureza artística ou arquitetônica D3 Reconhecer os quadriláteros por meio de suas propriedades referentes a lados e ângulos Esse descritor tem por finalidade avaliar se o aluno desenvolveu a habilidade de identificar todos os tipos de quadriláteros (trapézios, paralelogramos, e trapezóides) e as inclusões entre eles, bem como as propriedades das suas diagonais. Assim, o professor deve estimular os alunos para uma atitude reflexiva em relação ao estudo dos quadriláteros, pois, normalmente, cria-se uma imagem do que venha a ser cada quadrilátero sem se preocupar com as definições de cada um. É relevante que conheçam essas definições: a) Paralelogramo: é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns paralelogramos têm características especiais. São eles: a. Retângulo: é um paralelogramo que tem quatro ângulos retos e diagonais de medidas iguais. b. Losango: é um paralelogramo que tem quatro lados de medidas iguais e diagonais perpendiculares.

20 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 20 c. Quadrado: é um paralelogramo que reúne características do retângulo e do losango. Dessa forma, apresenta quatro ângulos retos, quatro lados de medidas iguais, diagonais de medidas iguais e perpendiculares. b) Trapézio: é um quadrilátero que têm apenas dois lados paralelos. Encontramos três tipos de trapézios: a. Trapézio escaleno: possui lados transversais de medidas diferentes. b. Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos. c. Trapézio isóscele: possui lados transversais de medidas iguais. c) Trapezóides: é um quadrilátero cuja forma lembra um trapézio, sendo formado por 3 segmentos retilíneos dos quais dois são paralelos entre si e de uma quarta linha de forma qualquer. Um exemplo de situação-problema para avaliar as habilidades dos alunos em relação aos quadriláteros é apresentado a seguir. Conhecidas as seguintes características de um quadrilátero: lado AB perpendicular ao lado AD; lado AB paralelo ao lado CD; ângulo interno Bˆ de medida igual a 30º; pergunta-se, que tipo de quadrilátero é esse? Essa situação-problema está solicitando ao aluno que ele reconheça o tipo de quadrilátero que possui as características citadas. Nesse caso seria um trapézio D4 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas É muito comum, quando tratamos do planejamento de construções de casas e prédios, ou quando nos referimos a situações que envolvem a ampliação de desenhos, recorrermos inicialmente à elaboração de um pequeno modelo que visa representar a idéia que temos em mente. Uma vez feita esta pequena representação, podemos testar o que poderá acontecer no plano real se modificarmos as medidas que utilizamos, alterando o perímetro e a área daquilo que queremos elaborar. Assim, este descritor quer avaliar a habilidade de o aluno, usando figuras planas desenhadas em uma malha quadriculada, reconhecer um polígono em que cada lado é ampliado (ou reduzido) por um fator k, e, dessa forma, o perímetro é multiplicado por k e a área é multiplicada por k 2. Como se trata de um tipo de atividade comum de encontrarmos no nosso cotidiano, essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas em que o aluno é solicitado a ampliar e reduzir figuras planas desenhadas em uma malha quadriculada. A seguir, apresentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para avaliar essa habilidade.

21 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 21 Um pintor quer destacar uma parede com azulejos coloridos. Ele fez um teste com o desenho menor e depois ampliou o desenho. Seu patrão aprovou o maior desenho. A ampliação do desenho maior foi de quantas vezes? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 Observamos que 37,5% dos GABARITO Percentual de respostas às alternativas A B C D Não respondeu C 17,9 17,7 37,5 24,3 2,6 alunos acertaram ao item, escolhendo a alternativa C. Para chegar à solução do problema, os alunos poderiam ter utilizado diferentes estratégias, desde a contagem dos quadrinhos em cada uma das figuras e estabelecendo relações entre elas até aplicar as relações que expusemos acima. Assim, o aluno poderia ter contado os quadrinhos na figura menor, encontrando 12 unidades de área e contando os quadrinhos da figura maior, encontrando 48 unidades de área. A partir daí, ele pode observar que a figura maior representou um aumento de 4 vezes a área da figura menor. Isso ocorreu tanto em relação à área colorida de vermelho com em relação à área colorida de azul. O aluno também poderia ter utilizado a seguinte relação: como um dos lados foi ampliando por um fator k, no caso o dobro, isto é multiplicado por 2, a nova área seria obtida multiplicando a área de figura menor por k 2, isto é 2 2 (4). Assim, a nova área seria encontrada realizando a operação 12 x 4, obtendo 48 unidades de área. Quanto aos alunos que escolheram as alternativas A, B e D e que representam respectivamente, 17,9%, 17,7% e 24,3%, podemos inferir que: a) No caso dos que escolheram a alternativa A, observaram que ambas as dimensões foram ampliadas pelo dobro de suas medidas, afirmando assim que o desenho maior foi ampliado em 2 vezes. b) Em relação aos que escolheram a alternativa B, possivelmente observaram que uma das dimensões foi aumentada em três unidades, logo imaginaram que a figura foi ampliada em três vezes.

22 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 22 c) No caso daqueles que escolheram a alternativa C, provavelmente fizeram uma escolha aleatória, não buscando nos elementos do problema, dados que pudessem justificar sua escolha. O desenvolvimento dessa habilidade implica que o aluno realize ampliações ou reduções de uma figura poligonal fechada ou a sua transferência de um lugar a outro, sua modificação ou, ainda, a realização de um giro da posição do polígono. É importante que o aluno utilize o recurso da malha quadriculada para construir essa competência. O professor poderá sugerir que o aluno faça desenhos de figuras geométricas em cadernos quadriculados e os reproduza em tamanhos diferenciados, fazendo-o desenvolver a noção de proporcionalidade. Uma estratégia interessante poderia ser a troca dos desenhos das figuras pelos colegas na sala de aula e a reprodução em tamanhos diferenciados, trabalhando-se a ampliação ou redução, conservando-se ou modificando-se os lados, os perímetros ou as áreas D5 Resolver problemas envolvendo ângulos como mudança de direção, identificando ângulos retos e não-retos Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas nos quais um elemento (pessoa, objeto etc.) muda de direção, formando um novo ângulo a partir do percurso que estava desenvolvendo. Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, solicitando ao aluno que observe as mudanças de direção, por exemplo, de navios e de aviões, que alteram suas rotas ao longo do percurso entre sua partida e sua chegada. A seguir temos um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa habilidade. Um navio partiu de uma cidade A, num ângulo de 30 com o norte. Após alguns quilômetros, fez um giro de 90 para a direita. Esses ângulos são, respectivamente, (A) (B) (C) (D) agudo e reto. agudo e raso. obtuso e reto. obtuso e raso. Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu A 33,6 25,0 26,7 12,9 1,8 As respostas dos alunos nos mostram que apenas 33,6% acertaram ao item escolhendo a alternativa correta A. Observa-se que para responder corretamente ao item, bastava que o aluno tivesse o domínio dos conceitos de ângulo agudo (de medida menor que 90º) e de ângulo reto (de medida igual a 90º). Sabendo desses conceitos, a resposta ao item seria imediata. Os demais alunos que não responderam corretamente ao item, provavelmente não têm o domínio dos conceitos nele envolvidos. Destaca-se que

23 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 23 esses alunos representam 64,6% dos respondentes. Esse fato deve ser considerado grave, pois esses conceitos deveriam ser trabalhados com os alunos desde os anos iniciais do ensino fundamental, de modo que ao chegarem à última série desse nível de ensino, não deveriam apresentar dificuldades em relação a esses conceitos. Esse item trata do domínio de algumas habilidades envolvendo ângulos como mudança de direção, identificando ângulos retos e não-retos. Para isso, os alunos devem ter noções claras sobre mudanças de direção, por exemplo, se forem usadas expressões como direita, esquerda, à frente ou atrás, norte, sul, leste e oeste, ele deve lembrar que, quando o norte está à sua frente, o oeste está à sua esquerda, o leste, à direita e o sul, atrás. Isso favorecerá representar por meio de desenhos ou gráficos as mudanças de direção ocorridas. Os alunos também devem demonstrar domínio em relação aos conceitos de ângulos retos e não retos, de modo que sai bam representar corretamente um ângulo reto (que possui medida de 90º) e saibam que ângulos não retos podem ter medidas maiores que 90º (ângulos obtusos) ou menores que 90º (ângulos agudos). O item apresentado solicita ainda que os alunos saibam que um ângulo raso é aquele que mede 180º D6 Reconhecer eixos de simetria em figuras planas identificando figuras simétricas e não simétricas Observe as figuras desenhadas neste quadro: Podemos afirmar que: (A) (B) (C) (D) Todas as figuras são simétricas pois a linha tracejada representa o eixo simetria. Todas as figuras são simétricas pois qualquer linha representará o eixo simetria. Existem três figuras simétricas nas quais a linha tracejada marca o eixo simetria. Existem quatro figuras não simétricas no quadro, porém, elas têm eixos simetria. Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu C 23,5 18,3 31,1 25,2 1,9 de de de de

24 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 24 Os alunos que acertaram ao item representam 31,1% dos respondentes. Esses alunos escolheram a alternativa C, que apresenta a afirmação de que existem três figuras simétricas nas quais a linha tracejada marca o eixo de simetria. Esses alunos reconheceram que as figuras 2, 3 e 4 estão simetricamente divididas. Quanto aos alunos que escolheram a alternativa A (23,5%), afirmando que todas as figuras são simétricas e que a linha tracejada representa o eixo de simetria, possivelmente confundiram dividir ao meio como divisão simétrica, pois a linha tracejada na figura 1 corresponde à divisão da mesma em duas partes, porém não simétricas. Os alunos que optaram pela alternativa B (18,3%) demonstram não ter clareza sobre o conceito de simetria, uma vez que afirmaram que todas as figuras são simétricas, pois qualquer linha representará o eixo de simetria. Os alunos que escolheram a alternativa D (25,2%) também evidenciaram não ter domínio do conceito de simetria, uma vez que afirmaram existir quatro figuras não simétricas no quadro, apesar de 3 delas serem simétricas. O eixo de simetria pode ser representado por um ponto, reta ou plano, que divide uma estrutura ou uma figura em partes semelhantes em forma, grandeza e posição, relativamente a esse ponto, reta ou plano. Encontramos dois tipos de simetrias: simetria axial e simetria central. O primeiro tipo refere-se a uma transformação no plano, que a cada ponto faz corresponder o seu simétrico, em relação a uma reta que é o eixo de simetria. A simetria central refere-se a transformações no plano que a cada ponto faz corresponder o seu simétrico, com relação a um centro fixo, podendo ser uma translação, uma rotação ou uma reflexão nesse ponto. À primeira vista, as transformações podem parecer um assunto que não tem relação com o dia-a-dia, mas, refletindo e observando um pouco, nota-se, por exemplo, que as simetrias estão muito presentes no cotidiano. Em inúmeros objetos físicos ocorrem aproximações de planos de simetria de reflexão. Em representações planas desses objetos, tais planos de simetria reduzem-se a eixos de simetria. No corpo humano pode-se observar (aproximadamente) um plano de simetria. Assim, também a imagem de um objeto no espelho é simétrica a ele. Há eixos de simetria em diversas criações do homem, como desenhos de aeronaves, edifícios e móveis (Brasil, 1998, p. 124). Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para as séries finais do ensino fundamental destacam que as simetrias centrais e de rotação também surgem em diversas situações: desenhos de flores, logotipos de empresas, desenhos de peças mecânicas que giram, copos, pratos, bordados etc. Os exemplos de translação também são fáceis de encontrar: grades de janelas, cercas de jardins, frisos decorativos em paredes, azulejos decorados etc. (Idem, 1998 p. 124) Os exemplos citados acima são uma ótima forma de explorar o tema simetria em sala de aula com os alunos.

25 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE D7 Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares) Esse descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas utilizando propriedades dos polígonos. Essa avaliação pode ser realizada por meio de situações-problema contextualizadas que explicitem o conhecimento específico. Por exemplo: apresentar um lugar no qual será organizada uma festa junina. Pode-se dizer que, para iluminar a área da festa, foram instalados 5 postes, dispostos de tal forma que cada um representa o vértice de um pentágono. Pergunta-se: quantos segmentos de fios elétricos serão necessários para ligar um poste aos demais, sabendo que esses fios devem cruzar a área central da festa? Neste caso, os alunos poderão inicialmente realizar ilustração e então encontrar o número de segmentos necessários, que representam as diagonais do pentágono. n(n-3) Para responder é usada a fórmula D =, onde D é o número de diagonais e n é 2 o número de lados. Essa fórmula é muito simples de ser explicada. Lembre-se de que o número de diagonais que se pode traçar de cada um dos n vértices de um polígono de n lados é (n-3), porque não conta o próprio vértice e seus dois vértices adjacentes. E a diagonal que liga um vértice V 1 ao vértice V 2 é a mesma que liga V 2 a V 1, portanto são n vértices a considerar. Respondendo corretamente a essa questão fica claro 2 que o aluno aprendeu a calcular as diagonais de um polígono, caso contrário, não aprendeu D8 Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas Esse descritor tem por finalidade propor situações-problema para verificar se o aluno consegue interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas. Destacamos, por curiosidade, que o sistema de coordenadas cartesianas tem esse nome por causa de Descartes ( ), que assinava, em latim, Cartesius. Essa habilidade pode ser avaliada por meio de uma diversidade de situações-problema contextualizadas. Assim, podemos propor: a) Dado um conjunto de pares ordenados, por exemplo, o aluno deve identificar o gráfico que contenha esses pontos (pares). b) Dado um gráfico representado por uma reta, o aluno deve identificar o ponto que representa, por exemplo, a intersecção dessa reta com o eixo das abscissas. c) Apresentado um mapa desenhado em uma malha quadriculada, informar que essa malha representa um plano cartesiano. Assim, pode-se solicitar aos alunos que identifique o par ordenado que representa a localização de uma determinada região.

26 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 26 d) Utilizando um contexto lúdico, por exemplo, o jogo de batalha naval, que é um campo representado em um retângulo quadriculado organizado em linhas (representadas por números) e colunas (representadas por letras). Pode-se solicitar aos alunos que indiquem o par ordenado (número, letra) correspondente à localização do inimigo. e) Pode-se ainda, usar o contexto de um teatro, no qual as fileiras estão organizadas por letras em ordem alfabética e as cadeiras estão numeradas em ordem crescente. Dessa forma, solicita-se ao aluno que identifique a posição de uma determinada cadeira. f) Apresentar uma equação do 1º ou do 2º grau com duas variáveis e solicitar que o aluno identifique o par ordenado que possa ser a solução da equação D9 Resolver problemas que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo. No ensino fundamental, podemos, no caso do Teorema de Pitágoras, mostrar duas formas de resolução: algébricas (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos), geométricas (baseadas em comparações de áreas). Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas que exijam que o aluno selecione as relações que devem ser utilizadas no problema, especialmente em se tratando do teorema de Pitágoras. A propósito, o Teorema de Pitágoras nos diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Vejamos uma situaçãoproblema que pode ser resolvida aplicando-se esse teorema. Um eletricista foi chamado para fazer uma ligação de energia elétrica na casa do Sr. Antônio. Após observar em volta da casa, o eletricista disse que poderia fazer a ligação a partir de uma caixa que estava localizada a 16 metros poste. O Sr. Antônio perguntou qual a quantidade de fio que ele gastaria e o eletricista disse que, para dar essa informação, precisaria saber, antes, a altura do poste. Os dois, então, realizaram a medição do poste, descobrindo que ele tem 12 metros de altura. Sr. Antônio voltou a perguntar: qual a quantidade de fio que será necessária? Para resolver essa situação-problema, o professor deve estimular os alunos a fazerem uma ilustração, a fim de melhor visualizarem a situação apresentada para então, realizarem os cálculos necessários. Reproduzimos abaixo um poema escrito em homenagem ao Teorema de Pitágoras: Teorema em Matemática é algo de grande valor, pois ele resolve problema sem um pingo de dor. Foi por isso que o mestre Pitágoras grande tempo dedicou jogou tudo na panela e só o triângulo sobrou.

27 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 27 Pegou a tal hipotenusa e ao quadrado elevou o mesmo fez com os catetos e muito surpreso ficou. Descobriu que o triângulo precisa de três lados mas só com dois conhecidos o terceiro é calculado. (Hailton D. M. Rodrigues) D10 Reconhecer círculo / circunferência, seus elementos e algumas de suas relações Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno reconhecer os elementos de uma circunferência: raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulos exteriores, secantes, tangentes, e os elementos de um círculo: setor circular, segmento circular e anel circular, bem como algumas relações entre eles. Essa habilidade é avaliada por meio de situações em que o aluno reconheça, por exemplo, que o diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio; que o diâmetro é sempre maior que qualquer corda; que ângulos centrais congruentes correspondem a arcos congruentes etc. A seguir, apresentaremos um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa habilidade. Considere os pontos A, B e C na circunferência de centro 0 e raio r = 4 cm (raio é o segmento de reta que parte do centro O até a circunferência). A B O C O diâmetro AC dessa circunferência mede (A) (B) (C) (D) 4 cm 5 cm 8 cm 9 cm Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu

28 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 28 C 31,0 17,8 41,5 7,6 2,1 O quadro de respostas nos mostra que apenas 41,5% dos alunos acertaram o item, escolhendo a alternativa C. Para solucionar o problema, os alunos poderiam ter recorrido ao conceito de diâmetro (d = 2r, isto é, d = 2x4 = 8) ou ainda poderiam ter considerado o diâmetro AC como a soma dos raios AO com OC (4 + 4 = 8). Dentre as alternativas incorretas, a alternativa A, escolhida por 31% dos respondentes, mostra-nos que os alunos que a escolheram não dominam o conceito de diâmetro, pois escolheram um dado apresentado no enunciado como resposta para o problema. Os demais alunos, que escolheram as alternativas B e D provavelmente fizeram suas escolhas de forma aleatória, pois os resultados apresentados nessas alternativas não evidenciam cálculos incorretos nem mesmo possibilidades de solução. Os termos circunferência, círculo, raio, diâmetro e corda são utilizados para descrever as características de peças mecânicas, instrumentos musicais, estabelecer regras para construção de quadras poliesportivas etc. Algumas áreas do conhecimento como a Física, a Geografia, a Biologia, a Literatura e a Arte se utilizam desses termos com o significado que a matemática lhes atribui, justificando, assim, a importância desse conhecimento pelos alunos. As habilidades para trabalhar com esses elementos podem ser desenvolvidas favorecendo aos alunos o contato com manuais que trazem especificações técnicas de produtos, discutindo o significado dos termos que aparecem na descrição das peças. Por exemplo,... polia com 60 mm de diâmetro ; tambor com 150 mm de raio etc. Solicite aos alunos que observem à sua volta e procurem encontrar círculos e circunferências. Eles estão presentes em quase todo tipo de máquina: automóveis, aviões, radares, relógios etc. Destaque para os seus alunos que os paralelos e meridianos utilizados para demarcar o nosso planeta também são representações desses elementos. Essas habilidades também podem ser desenvolvidas por meio da exploração de obras de arte e peças de artesanato solicitando que os alunos as analisem, identificando círculos e circunferências. 3.2 TEMA II Grandezas e Medidas Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a Matriz de Referência quer avaliar competências que dizem respeito à compreensão das medidas convencionais ou, dos sistemas convencionais para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações entre as diferentes unidades de medida D11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas que envolvam polígonos regulares e irregulares, desenhados ou não em

29 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 29 malhas quadriculadas, solicitando que calculem o perímetro dos mesmos. Destacase que figuras circulares também podem ser exploradas nesse descritor. A seguir apresentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para avaliar essa habilidade. Uma pista para caminhada foi construída ao redor do pátio da escola, como mostra a figura quadriculada. Cada quadrado mede 10m de lado. O perímetro da figura, que representa o comprimento da pista é (A) (B) (C) (D) 506m 340m 530m 560m Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu D 15,4 34,3 21,9 26,8 1,5 A alternativa correta é a D, escolhida por 26,8% dos alunos. Para resolver o problema, bastava contar o número de laterais dos quadradinhos que representavam a pista para caminhada que foi construída no pátio da escola e multiplicar esse número por 10 (pois cada lado dos quadradinhos tem medida igual a 10 unidades). Dentre as respostas incorretas desse item, destacamos a alternativa B que apresentou o maior percentual de respostas (34,3%). Observamos que os alunos que escolheram essa alternativa consideraram apenas os contornos que estavam mais externos à figura, não levando em consideração toda a linha poligonal que representa o contorno da mesma. Isso evidencia que os alunos não têm o domínio do conceito de perímetro, que é a soma de todos os lados da figura, independentemente do número de lados que ela possa apresentar. Quanto aos que responderam ao item escolhendo a alternativa A (15,4%), podemos supor que fizeram a contagem correta do número de laterais que representam a pista para caminhada, mas provavelmente, cometeram um erro ao multiplicar 56 x 10, encontrando 506. Quanto aos que escolheram a alternativa C (21,9%), é provável que o fizeram de forma aleatória, sem realizar procedimentos de cálculo para solucionar o problema.

30 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 30 O cálculo do perímetro de figuras planas é um conhecimento significativo pela sua aplicabilidade em situações reais. Habilidades como comparar perímetros de várias regiões, identificar que regiões diferentes podem ter o mesmo perímetro e que figuras de mesmo perímetro podem ter áreas diferentes e vice-versa, identificar em um conjunto de figuras isoperimétricas (mesmo perímetro) a que possui a maior área, etc., são atividades que podem ser trabalhadas com os alunos. Figuras com tais características podem ser encontradas em obras de artesanatos, logomarcas, trabalhos artísticos etc. Outras atividades que também podem ser desenvolvidas são: a) Atividades no geoplano onde o aluno constrói, por exemplo, figuras isoperimétricas e verifica o que acontece com ás áreas dessas regiões; figuras de mesma área e compara os perímetros etc. b) Utilização de problemas envolvendo o cálculo do perímetro de lagos, cidades, percursos reais a partir de suas representações em mapas, croquis em escala. c) Atividades onde o aluno calcula o perímetro de molduras de quadros e a quantidade de fios para fazer iluminações de decorações natalinas. d) Atividades que levam o aluno a perceber que a decomposição de uma figura e a composição (sem superposição) em uma nova figura, não altera a área, mas pode alterar o perímetro D12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas Esse descritor tem por finalidade descrever competências e habilidades relacionadas à resolução de problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas, tanto de polígonos regulares como de polígonos irregulares e figuras circulares. O cálculo de áreas de figuras planas é um conhecimento significativo pela sua aplicabilidade em situações reais, os problemas que serão apresentados devem ser contextualizados, explorando situações familiares às vividas pelos alunos, podendo solicitar o cálculo, por exemplo, da área de uma casa que é composta por diferentes polígonos ou por polígonos iguais, porém com dimensões diferentes. Situações como essas exigem do aluno a decomposição de uma figura, em muitas outras, para então poder realizar os cálculos necessários para a solução do problema. Destacase que o descritor envolve diferentes figuras planas, podendo, assim, requer o cálculo da área de triângulos, quadriláteros e círculos, dentre outros. A seguir apresentaremos um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa habilidade. A planta da casa de Dora está representada nessa figura. Como cada quadrado representa 1m 2 de área, podemos concluir que a área total é de

31 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 31 (A) 59m 2 (B) 69m 2 (C) 74m 2 (D) 77m 2 Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu C 27,8 21,0 38,0 11,3 2,0 Este item é um problema considerado simples para o contexto da 8ª série do Ensino Fundamental, pois refere-se ao cálculo de área de figuras planas desenhadas em malha quadriculada. Essa característica do item possibilita ao aluno resolver o problema realizando apenas a contagem do número de quadradinhos que compõe a figura que representa a planta de uma casa, não exigindo o uso de fórmulas ou de decomposição da figura. Entretanto, apesar da facilidade do item, apenas 38% dos alunos o acertaram, escolhendo a alternativa C. Os alunos que erraram ao item correspondem a 60,1% dos respondentes. Isso é muito preocupante, pois, nessa etapa de escolarização, situações, como a apresentada no problema, não deveriam representar dificuldades para os alunos. Quanto às alternativas escolhidas por esses alunos, podemos supor que fizeram suas escolhas de forma aleatória, decorrente do não domínio do conceito de área ou pela falta de disposição em contar os quadradinhos da figura. Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas é uma habilidade muito requisitada cotidianamente. Situações referentes à construção civil e à confecção de roupas, dentre outras, envolvem o cálculo de áreas. No primeiro caso, é comum buscarmos saber a área das casas, a área de campos de futebol, a área de um piso ou parede em que será revestida com cerâmica ou que será pintada. Quanto às situações que envolvem confecções, é uma preocupação constante para aqueles que costumam encomendar a fabricação de roupas saber quantos metros quadrados de tecido terão que comprar. Esses exemplos servem para ilustrar que a principal estratégia para desenvolver essa habilidade é por meio da abordagem de situações-problema, extraídas dos contextos práticos em que esses cálculos podem ser requisitados.

32 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE D13 Resolver problema envolvendo noções de volume. O objetivo desse descritor é avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas envolvendo noções de volume. Assim, podem ser exploradas situações que requeiram o cálculo de volumes de objetos representados sob a forma de cubos, paralelepípedos, prismas e pirâmides. Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas que, preferencialmente, apresentem os desenhos dos sólidos geométricos. A seguir, apresentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que buscou avaliar se os estudantes sabem resolver problemas envolvendo noções de volume. Ritinha precisa de 600 ml de leite para fazer uma torta. A sua vasilha de medida mesmo bem cheia não comporta 600 ml. Ela procurou medir de outra maneira. Observe que ela deixou apenas 300 ml na vasilha. Podemos concluir que Ritinha iria (A) medir duas vezes 300 ml. (B) medir uma vez 300 ml. (C) desistir de usar a medida. (D) medir três vezes 200 ml. Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu A 63,9 14,8 7,4 12,5 1,4 Esse item apresentou uma situação-problema relativamente simples. Contudo, apenas 63,9% dos alunos acertaram a resposta, escolhendo a alternativa A, indicando que Ritinha iria medir duas vezes 300 ml. Aqueles que escolheram a alternativa B (14,8% dos alunos), possivelmente se distraíram ao interpretar o problema e devem ter considerado, ao observar a ilustração, que Ritinha já havia medido 300ml, necessitando, portanto, medir mais uma vez 300ml (não consideraram que ela ainda estava pensando em como proceder a medição). Os alunos que escolheram a alternativa C (7,4%) demonstraram pouco envolvimento com a tarefa, não buscando analisar a situação apresentada para encontrar uma solução. Quanto aos que escolheram a alternativa D (12,5%) podemos dizer que encontraram uma forma de resolver a situação, pois medir três vezes 200ml também solucionaria o problema de Ritinha. Contudo, eles deveriam escolher uma solução

33 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 33 que estivesse diretamente relacionada aos dados apresentados, especialmente considerar que Ritinha havia deixado 300 ml na vasilha, sendo essa a quantidade que orientaria o processo de solução D14 Resolver problema envolvendo diferentes unidades de medida Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas que explorem as relações entre diferentes unidades de comprimento, tais como metro e centímetro, quilômetro e metro, metro e milímetro, centímetro e milímetro; unidades de massa, tais como quilograma e grama; unidades de área, tais como metro quadrado, quilômetro quadrado, hectare; unidades de capacidade, tais como litro e mililitro, e de volume, tais como metro cúbico e decímetro cúbico, e as relações entre essas unidades. Esse descritor tem por finalidade verificar a habilidade de o aluno realizar transformações entre unidades de medidas. A seguir, apresentamos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005 que avaliam essa habilidade. O primeiro item requer que o aluno saiba fazer a leitura de números decimais; no caso, relacionados ao contexto de medida de massa, reconhecendo dentre as alternativas apresentadas, aquela que corresponde à menor quantidade de massa, expressa em quilogramas. Marta foi comprar um pedaço de queijo. No supermercado ela encontrou 4 pedaços de queijo com as seguintes etiquetas: 0,545 kg 0,6 kg 0,38 kg 0,375 kg (A) (B) (C) (D) Qual desses pedaços de queijo tem o menor peso? (A) (B) (C) (D) A B C D Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu D 10,5 73,7 8,8 5,6 1,4 Esse item demonstra que os alunos têm grande dificuldade em fazer leitura de números decimais, não compreendendo a magnitude desses números em função das posições que seus algarismos se encontram no sistema de numeração decimal. Observa-se que um percentual significativo de alunos, 73,7%, escolheu a alternativa B como resposta em função de que a mesma apresenta apenas um dígito após a vírgula. A resposta correta, representada pela alternativa D, foi a que obteve o menor percentual de escolha, apenas 5,6% dos alunos a assinalaram. Para esta etapa de escolaridade, isto é muito grave, pois os alunos não têm a compreensão de que 6 décimos representa uma quantidade maior do 375 milésimos.

34 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 34 O próximo item que vamos comentar testou a habilidade de os alunos efetuarem transformações entre unidades de medida de capacidade, no qual deveriam transformar litros em mililitros para obter a quantidade de copos de refrigerante que poderão ser servidos em uma festa. Simone vai fazer uma festinha para suas amigas e pretende comprar 4 litros de refrigerante. Os refrigerantes serão servidos em copos com capacidade de 200 ml. Quantos copos de refrigerante poderão ser servidos para as meninas? (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50 Percentual de respostas às alternativas Não GABARITO A B C D respondeu A 39,5 8,2 18,5 32,3 1,5 Observamos que apenas 39,5% dos alunos acertaram ao item, escolhendo a alternativa A. Esses alunos possivelmente fizeram a conversão de 4l para 4000 ml, e dividiram esse valor por 200, encontrando 20 como resposta. Também poderiam ter levado em consideração que 1l tem 1000ml, logo, com 1l, poderiam servir 5 copos. Como dispõem de 4l, poderiam, então, servir 20 copos. Destacamos que os demais alunos, que escolheram as alternativas B, C e D, representam 59% dos respondentes. Considerando os valores apresentados nessas alternativas, podemos concluir que esses alunos não desenvolveram as habilidades necessárias para efetuarem transformações entre unidades de medida de capacidade, ou, realizaram suas escolhas de forma aleatória. Considerando que estamos analisando o desempenho de alunos que são concluintes do Ensino fundamental, devemos nos preocupar com a falta de habilidade apresentada nos dois itens comentados, pois situações-problema como as que constituem esses itens são freqüentes no cotidiano, devendo os alunos terem condições de respondê-las com segurança nesse estágio escolar em que se encontram D15 Resolver problema envolvendo as grandezas comprimento, massa, capacidade, tempo, temperatura e suas respectivas unidades de medida fazendo as conversões adequadas entre essas unidades e seus múltiplos e submúltiplos Esse descritor envolve habilidades semelhantes às comentadas no descritor anterior, porém, neste caso, o aluno deve demonstrar saber fazer conversões entre unidades de diferentes grandezas.

35 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 35 Suzana fez um suco e colocou numa jarra que comportava 1 dm 3. Ela encheu a 3 jarra. Sabendo-se que 1 m = dm = 1000 l, então, podemos concluir que ela fez que quantidade de suco? (A) (B) (C) (D) 0,5 litro 1 litro 1,5 litros 2 litros Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu B 6,6 35,2 27,4 28,8 2,1 Esse item, como dito anteriormente, envolve habilidades mais complexas que as exigidas nos itens comentados no descritor 14. Porém, observamos que os alunos demonstraram um desempenho superior em relação a esses outros itens. Podemos supor que esse desempenho deve-se à contextualização do problema, que apresentou as relações envolvidas entre as diferentes unidades de medida que fazem parte do enunciado da situação proposta. Assim, tornou-se simples para os alunos que escolheram a alternativa B (35,2% dos respondentes) que a relação 1000dm 3 = 1000l guarda uma relação de 1 para 1, assim, 1dm 3 = 1l. Entretanto, apesar da correspondência apresentada entre estas unidades de medida, 62,8% dos respondentes não acertaram ao item. Isso pode estar relacionado tanto à dificuldade em realizar transformações entre unidades de medida como estar relacionadas à dificuldade de leitura e interpretação de problemas, visto que as informações necessárias para responder ao item se encontravam no próprio enunciado do mesmo D16 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figura bidimensional que possa ser decomposta em triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios ou uma combinação dessas formas, em uma malha quadriculada Esse descritor guarda estreita relação com o descritor 12, acrescentando que tem por finalidade avaliar a capacidade de os alunos resolverem problemas envolvendo o cálculo de área de figura bidimensional, que possa ser decomposta em vários polígonos regulares, desenhados em malhas quadriculadas. A seguir, apresentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que avaliou essa habilidade. A área da figura abaixo é

36 CADERNO PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 8ª SÉRIE 36 (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 18 Percentual de respostas às alternativas GABARITO A B C D Não respondeu C 12,8 9,2 35,9 40,0 2,1 Nota-se que o item possui um grau de complexidade baixo. Todavia, apenas 35,9% dos alunos responderam corretamente, escolhendo a alternativa C. Para solucionar o item, bastava que o aluno fizesse a contagem do número de quadradinhos que compõem a parte destacada na malha quadriculada, considerando, nessa contagem, que as partes que representam metade de um quadradinho deveriam ser agrupadas para formarem quadradinhos completos. Os alunos que escolheram a alternativa A, consideraram apenas o número de quadradinhos completos, não levando em contas os que estavam preenchidos pela metade, enquanto os que escolheram a alternativa D, contaram todos os quadradinhos envolvidos na figura, independentemente de que 4 deles representavam apenas a metade de um quadradinho. Destaca-se que esta alternativa foi a que obteve o maior percentual de respostas, 40%. Quanto aos que escolheram a alternativa B, possivelmente o fizeram de forma aleatória. As sugestões apresentadas no descritor 12 também podem ser utilizadas para desenvolver as habilidades relacionadas a esse descritor. 3.3 TEMA III Números e Operações Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a matriz busca avaliar competências relacionadas à resolução de situações-problema envolvendo a localização de inteiros e racionais na reta numérica; o reconhecimento das diferentes representações dos números racionais; a realização de cálculos com números naturais, inteiros e racionais, a resolução de problemas envolvendo porcentagens; a resolução de cálculos algébricos; a identificação de expressões algébricas que representam os valores de uma seqüência numérica; a identificação de equações e desigualdades do 1º grau em problemas significativos; a identificação de um sistema