RELATÓRIO DO ESTÁGIO SUPERVISIONADO III

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1 NEURACI DIAS AMARAL RELATÓRIO DO ESTÁGIO SUPERVISIONADO III VITÓRIA DA CONQUISTA BAHIA AGOSTO DE

2 NEURACI DIAS AMARAL RELATÓRIO DO ESTÁGIO SUPERVISIONADO III Relatório de estágio apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática como parte da exigência da disciplina Estágio Supervisionado III, sob a orientação da Profª Msc. Roberta D Angela Menduni Bortoloti. VITÓRIA DA CONQUISTA BAHIA AGOSTO DE

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4 FICHA DE CADASTRO 01. NOME: Neuraci Dias Amaral 02. ENDEREÇO: Rua 07 de Setembro, 140, Centro Vitória da Conquista Bahia. 03. INSTITUIÇÃO ONDE REALIZOU O ESTÁGIO: Centro Integrado de Educação Navarro de Brito 04. ENDEREÇO DA INSTITUIÇÃO: Av. Frei Benjamim - Vitória da Conquista - Bahia 05. NOME DA DIRETORA: Nayara Vasconcelos 06. NOME DO PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos 07. INÍCIO DA OBSERVAÇÃO: 22 de março 08. INÍCIO DA COPARTICIPAÇÃO: 04/04/ INÍCIO DA REGÊNCIA: 25/04/ TÉRMINO DO ESTÁGIO: 11/08/2011 ATIVIDADES REALIZADAS NO ESTÁGIO HORAS PREVISTAS HORAS REALIZADAS OBSERVAÇÃO COPARTICIPAÇÃO REGÊNCIA TOTAL DE HORAS

5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente ao meu bom Deus, que se faz presente sempre em minha vida, me abençoando até o momento com saúde, força, persistência e determinação. Agradeço a minha família, em especial a minha mãe (a dona Neuza), por sempre estarem presentes, preocupados comigo e com minha formação intelectual e moral. Agradeço a professora Roberta, orientadora do estágio, que fez o seu trabalho com seriedade, compromisso e dedicação. Agradeço aos meus colegas de disciplina que compartilharam experiências, discutindo trabalhos, que deram certo ou que não deram tão certo, ao longo do estágio. Enfim, agradeço a todos que participaram direto ou indiretamente deste processo desafiante que foi e é o estágio. 5

6 MEMORIAL Inseri-me no contexto escolar aos 6 anos de idade, quando minha mãe me matriculou em uma escolinha pública de minha cidade natal Caraíbas, o Centro Educacional Jesuíno Flores, a única da parte urbana da cidade. Lá, fui alfabetizada, e cursei até a 8ª série do ensino fundamental. Naquela época eu admirava minhas professoras, mas sonhava em ser cantora, mesmo sem ter o menor talento, lembro-me que era o auge dos sucessos de Sandy e Júnior e a escola era meu local preferido, o lugar onde encontrava minhas coleguinhas para cantar, dançar, jogar baleado no horário do recreio e, é claro, para estudar. Aos 15 anos, me matriculei no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães (CELEM) para cursar o ensino médio, onde vivi uma das melhores fases de minha vida. Já estava na adolescência e encarava as coisas de uma forma diferente. Modéstia à parte eu era a CDF da turma, não que eu fosse uma aluna muito inteligente, mas como o nível de meus colegas era baixo, eu acabava me destacando em meio a eles em relação às notas, até então, nunca tinha feito uma recuperação, sempre procurei ser uma aluna compromissada com os estudos. Nesta unidade escolar conheci pessoas que se tornaram inesquecíveis, conheci colegas, tive paqueras (que também faz parte) e professores que se tornaram amigos e me incentivavam sempre a estudar. A equipe de professores do CELEM era admirável, embora se tratasse de ensino público e lá também tivessem professores ruins 1. Lembro-me com carinho de cada um: a professora de português, Adimara: como ela era dedicada ao seu trabalho e adorável como pessoa; o professor de biologia, Jailson, carinhosamente chamado de Jai por todos, ele era muito doido! Com todo respeito, suas aulas eram fantásticas, me lembro de cada mergulho que fazíamos ao estudar biologia e pra descontrair das piadinhas no fim da aula, por que embora estivéssemos num colégio, ninguém é de ferro ; outro que deixou boas recordações foi o professor de física, meu amigo até hoje, o Márcio (o famoso Marcinho rapadura); e, por fim, aquele que mesmo sem 1 Digo ruins por que, a meu ver, se tratavam de professores com metodologias que não me agradava, aulas chatas e monótonas, de difícil compreensão e de predicados pessoais que deixavam a desejar, o que não quer dizer que outras pessoas os achassem ruins também. 6

7 saber, foi o responsável pelo meu interesse pela matemática: Roberto, era o professor de matemática, na época, formado em ciências contábeis, mas apaixonado pela matemática que despertou em mim o interesse pela disciplina. Suas aulas eram ótimas, muita descontração mesmo quando o assunto parecia difícil, ele com sua explicação dava um show na aula, que me fascinava. No ano em que concluí o ensino médio não sabia ao certo para qual das licenciaturas prestar vestibular, pois, na verdade, em especial, eu adorava física, matemática e biologia. Na dúvida acabei optando por biologia. Naquele ano não cheguei a passar, mas não desanimei, pois, era muito nova, tinha 17 anos e me sentia despreparada para deixar minha família e ir para outra cidade. O tempo foi passando e nos anos que vieram acabei me acostumando com a vida que levava. No ano em que concluí trabalhava com minha tia, em uma loja de roupas e acabei dando uma estacionada nos estudos. Alguns anos depois, resolvi voltar a dar uma estudada em meu acervo do ensino médio, foi quando decidi que iria fazer matemática. Estudei bastante para passar e no fim de 2006, prestei vestibular para matemática para UNEB, campus de Caetité e para UESB, campus de Vitória da conquista. Eu tinha certeza que ia passar, pois estava me sentido preparada. E assim aconteceu, fui aprovada nas duas instituições e fiquei muito feliz. Por incrível que pareça quem não gostou da ideia foi minha mãe, pois para ela, vindo de uma cultura totalmente diferente e com uma postura bem antiquada, era o fim de o mundo uma moça sair para morar sem alguém da família em outra cidade. Ela quase enfartou quando arrumei minha mochila para vir morar em uma república em Vitória da Conquista. Graças a Deus, nada de mal lhe aconteceu e hoje, embora ela ainda tenha suas queixas, tudo está bem. No segundo semestre de 2007 daria início ao curso de matemática na UESB, mas devido a uma greve de professores reivindicando melhorias salariais só foi possível no primeiro semestre de Chegando à Universidade, tive uma surpresa: encontrei meu professor de matemática do ensino médio terminando a graduação em Licenciatura em matemática e me fazendo ameaças de trote. Em relação aos professores do ensino superior, percebi que a relação aluno-professor era diferente, existia certo distanciamento entre eles, e as conversas se limitavam a pouquíssimas 7

8 perguntas e dúvidas em sala de aula. Notei que na UESB existem os bons e os ruins professores, aqueles que admiro e aqueles que não gostaria de ser semelhante quanto à postura em sala de aula ao ministrar as aulas. Nem sempre títulos equivalem a conhecimento e mais uma vez, são nos bons que devemos nos espelhar, e mesmo que não consiga ser semelhante à eles, ao menos aprender já é válido. Ao iniciar o curso de licenciatura em matemática tive uma grande decepção, descobri que sabia muito pouco, minhas deficiências eram muitas, cheguei até a pensar em desistir, mas em consideração ao meu orgulho e a vontade de fazer o curso decidi tocar o barco em frente. Estudar as disciplinas que envolvem a álgebra foi um problema, pois estava habituada apenas aplicar os conteúdos. Em 2008 tive minha primeira experiência docente em uma substituição, que durou 15 dias no Colégio Estadual Carlos Santana em Vitória da Conquista. Não tive dificuldades, trabalhei com turmas de Educação de jovens e adultos e foi bastante gratificante. Em 2009 comecei trabalhar com turmas de ensino fundamental II no Centro educacional de Caraíbas que fica em Caraíbas. Nesta experiência trabalhei com crianças principalmente de 5ª série (atual 6º ano) e percebi que o trabalho de um professor vai além do papel de ensinar conteúdos, a indisciplina é um dos fatores mais desgastantes, muitos alunos sequer respeitam pais, direção e professores. Uma luta diária em sala de aula a fim, onde era preciso suprir educação moral que deveria vir de casa e educação voltada para o conhecimento escolar. No segundo semestre de 2009 começei trabalhar no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães, também em Caraíbas, foi a melhor experiência que tive, durou 6 meses. A direção era excelente, a equipe de professores muito unida e competente, e os alunos com uma postura completamente diferente das turmas que tive anteriormente. Tratavam se de jovens, onde a maioria eram interessados, o clima em sala de aula era descontraído, os alunos me respeitaram e me trataram muitíssimo bem. Hoje, continuo a trabalhar no Centro Educacional de Caraíbas, aprendizagem constante, ora com turmas onde dá pra desenvolver um trabalho bacana, colocar aulas diferentes com materiais concretos, jogos e dinâmicas, onde que dá pra perceber que os alunos estão aprendendo, ora com turmas mais difíceis que de certa forma me limitam e me fazem mudar de estratégias de ensino constantemente. Hoje, estou no 8º semestre, após cumprir o estágio 8

9 curricular II (fundamental de 7ª ou 8ª séries), pois o estágio I fui dispensada, me encontro agora finalizando o relatórios deste estágio (Ensino Médio regular) e do estágio IV que se trata da Educação de Jovens e Adultos (EJA). O estágio II foi uma experiência boa, mas eu não diria a melhor, pois o 9º ano que foi a turma que estagiei no Colégio Estadual Abdias Menezes em Vitória da Conquista, se referia à adolescentes, nos quais nem todos estavam com interesse de aprender, tinha alunos que mais parece que ia à aula para incomodar os colegas e ao professor. Já no estágio III, que se refere ao estágio deste relatório, foi com uma turma de 3º ano do Ensino Médio, foi uma experiência excelente, a melhor entre os estágios. Por fim, o estágio IV foi uma experiência com turma de EJA, 6º e 7º anos, foi uma experiência também que veio a somar embora tenha sido bem curta, acredito, inclusive, que deveria haver mudanças em relação à forma como que se desenvolve este estágio no curso. Neste semestre, deveria terminar o curso, mas ainda devo as disciplinas: teoria dos números, análise na reta e variáveis complexas. Espero em minha vida profissional como professora, desenvolver um bom trabalho, não me desanimar com as dificuldades, não apenas ensinar a resolver equações e problemas, mas desenvolver uma postura crítica em meus alunos, discutir problemas sociais quando for conveniente e não causar traumas em ninguém, se possível for, minimizar o assombro dos alunos perante a matemática. 9

10 Trocávamos idéias sobre tudo. Submetíamos nossos trabalhos um ao outro. Juntos reformulávamos nossos valores, e descobrimos o mundo. Fernando Sabino 10

11 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO FASE DE OBSERVAÇÃO ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO FASE DE COPARTICIPAÇÃO REGISTRO DE ATIVIDADES SÍNTESE DA FASE DE COPARTICIPAÇÃO FASE DE REGÊNCIA HORÁRIO DO ESTÁGIO PLANO DE UNIDADE PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS SOMA, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS REGISTRO DAS ATIVIDADES RELATOS DAS AULAS DE REGÊNCIA ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SÓCIO-ECONÔMICO QUADRO DE NOTAS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS

12 INTRODUÇÃO O estágio de licenciatura é uma exigência da lei de diretrizes e bases da educação nacional 2 (nº 9394/96) e o cumprimento de se sua respectiva carga horária é requisito exigido para conclusão de curso. O presente trabalho tem por objetivo relatar as atividades desenvolvidas durante o Estágio Supervisionado III do curso de Licenciatura Plena em Matemática UESB. Neste documento está inserido todo o trajeto do meu estágio que ocorreu entre o período de 22 de Março a 18 de Julho de 2011 no Centro de Integração Educacional Navarro de Brito CIENB, no 3º ano A do Ensino Médio, em Vitória da Conquista Bahia, cujo processo teve início na I unidade, com a observação e a coparticipação, e concluído na II unidade com a regência. Sabe-se que a matemática sempre foi considerada para uma grande maioria de pessoas como um bicho de sete cabeças acarretando uma enorme rejeição pelas pessoas em estudá-la. É algo comum os alunos indagarem: ufa! Passei! Graças a Deus me livrei de matemática! ou odeio matemática! E não é a toa que pensem e falem desse jeito, realmente a maioria delas tem um histórico com esta disciplina que de alguma forma lhe traumatizaram. Muitos alunos enfrentaram ou enfrentam uma matemática desmotivadora, seca, sem significado real em suas vidas, rigorosa e que se limita a técnicas monótonas em suas escolas. Diante de tudo isso é fácil notar porque a matemática ainda é considerada esse bicho papão. Cabe a mim como futura professora de matemática tentar mudar essa realidade dando minha contribuição em todos os locais pelos quais passar. Mas, antes de dar início à profissão é obrigatório o cumprimento dos estágios supervisionados exigidos pelos cursos de formação de professores. É no estágio que começamos a ganhar experiência, estar com os alunos, por em prática os conhecimentos adquiridos, conhecer a realidade de uma sala de aula, saber que o desafio é muito maior do que imaginamos. Desafios como de minimizar a exclusão dos educandos em relação à matemática

13 O estágio é fase de conhecimento, uma primeira experiência no meio escolar. É preparo total? Ensina a ser professor? Com certeza não, pois enfrentaremos situações novas sempre que estivermos atuando em uma sala de aula. Entretanto, o estágio é um preparo prévio, no qual podemos contar com as orientações de nossos professores orientadores, muitas vezes interventores, para que nós como futuros professores tenhamos pelo menos uma ideia do que pode ser feito. 13

14 FASE DE OBSERVAÇÃO 14

15 ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO O Centro Integrado de Educação Navarro de Brito, foi inaugurado em março de Começou a funcionar com 12 salas de aula, mas logo depois o Dr. Rafael Spínola elevou para 42 o número de salas. Nesta época o colégio começou a oferecer os cursos de Magistério de 1º Grau, Técnico de Contabilidade e Auxiliar de Enfermagem, além do ensino de 1º Grau, tornando-se a maior escola de Vitória da Conquista, uma cidadela com mais de quatro mil alunos 3. Hoje, o CIENB, atende cerca de 2700 alunos, possui um quadro de 85 professores, sendo uma escola de grande porte, oferece curso de nível fundamental e Médio, distribuídos nos turnos matutino, vespertino e noturno. A estrutura física da escola tem uma boa qualidade, não apresenta escadas, organizada da seguinte forma: uma sala ampla para professores com banheiros, uma sala de vídeo, uma secretaria, uma sala para reprografia e impressões para uso dos professores, vinte e seis salas de aula, todas equipadas com televisores a pen drive, são utilizados ventiladores, quadro branco e possuem uma boa iluminação. Há também, uma sala para a direção, uma sala de xadrez, cozinha, almoxarifado, pátio interno e externo, banheiros masculino e feminino, laboratório de informática contendo 12 computadores, lanchonete (privada), cantina que oferece merenda escolar apenas aos alunos do ensino fundamental, reprografia para alunos (privada), quadra poli esportiva, auditório amplo, biblioteca com uma quantidade razoável de livros didáticos, revistas, jornais e livros de literatura e estacionamento. No CIENB, são desenvolvidos alguns projetos: Resgatando as Tradições Juninas; CIENB Vida; JÁ-Juventude; Historia e Comunidade; Reciclagem; Ressignificação de Dependência; Programa Mais Educação; Ensino Médio Inovador. Mantendo dessa forma uma Proposta Pedagógica voltada ao construtivismo, no período em que procurei a direção para obter informações sobre as propostas políticas pedagógicas ela me informou não seria possível, pois estava sofrendo algumas mudanças pela equipe responsável; 3 Disponível em: 15

16 SALAS DE AULA CARACTERÍSTICAS DA CLASSE A turma é composta por 38 estudantes sendo 27 mulheres e 11 homens. Destes, apenas cerca de 32 alunos costumam frequentar as aulas de matemática. Destes últimos, cerca de 20 alunos são muito interessados em aprender. Eles costumam fazer perguntas relacionadas ao conteúdo, demonstram interesse em fazer as atividades e prestam muita atenção às explicações. ESTRUTURA FÍSICA DA SALA É uma sala grande, bem arejada, com aproximadamente 40 carteiras para os alunos, uma mesa com uma cadeira para o professor, um quadro branco e uma TV pendrive. DOCENTE O professor geralmente não falta ao trabalho, aparenta ser organizado e tem um bom relacionamento com os colegas de trabalho. Em relação aos alunos me parece que o professor tem fama de carrasco. Ministra as aulas de forma expositiva, iniciando-as da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos copiando em seus cadernos, após explicar o conteúdo costuma resolver muitos exercícios para fixação e depois aplica outros para que os alunos os façam. Ele não costuma seguir um único livro, aplicando exercícios de fontes diferentes. AVALIAÇÃO DO DOCENTE A meu ver, quanto ao ensino, o professor é aparentemente organizado, tem domínio ao abordar o conteúdo e é sempre muito firme nas colocações em sala. Mas acredito que ele poderia ser mais flexível quanto à sua relação com os alunos, pois me 16

17 pareceu que existe certa resistência dos alunos quanto à algumas atitudes comportamentais do professor. TÉCNICAS E RECURSOS UTILIZADOS PELO PROFESSOR livro didático. As aulas são expositivas, tradicionais, utilizando: quadro, pincel, apagador e o ATIVIDADES DE ENSINO O professor inicia o conteúdo da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos copiando. Em seguida, explica o conteúdo e faz exercícios para fixação. A avaliação é feita através de um teste e uma prova. CONTEÚDOS Os conteúdos trabalhados nas aulas em que observei e coparticipei foram: Números Complexos e Fatoriais. Ambos os conteúdos foram trabalhados de forma expositiva e sem nenhuma contextualização. Os exercícios se basearam na mecânica de como resolver e não para que serve, ou dentro de qualquer situação contextualizada. Para o primeiro conteúdo os alunos me pareceram ter mais dificuldade. Para o segundo, a compreensão de modo geral foi maior. ASPECTOS EXTERIORES À SALA DE AULA SALA DOS PROFESSORES Na sala de professores tem alguns sofás móveis, uma mesa no centro da sala, usada para colocar os diários de classe, antes e entre as aulas, um bebedouro, uma pequena mesa onde se coloca merenda escolar e garrafas com chá e café. Há também, uma mesa usada pela diretora ou vice-diretora, um sanitário feminino e um masculino. 17

18 A maior concentração de professores nesta sala costuma acontecer no horário de intervalo e entre uma aula e outra. No período em que estagiei, não presenciei nenhuma reunião, mas é nesta sala que estas costumam acontecer. BIBLIOTECA No colégio existe uma biblioteca de pequeno porte na qual existe um sistema de empréstimo para os alunos. Ficando disponível no horário letivo e sempre tendo alunos utilizando-a. segundo os alunos, o professor de matemática não costuma levar os alunos para a biblioteca. LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA A sala de informática possui 12 computadores em funcionamento, com acesso à internet à disposição de alunos e professores. Funciona no horário letivo e para utilizálo é preciso agendar antes. 18

19 OBSERVAÇÃO CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: I FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011 REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS 4 DATA HORÁRIO ATIVIDADES N DE AULAS 22/03/2011 8:10 às 9:50 28/03/2011 7:20 às 8:10 29/03/2011 8:10 às 9:50 30/03/11 8:00 às 10:30 Teste I unidade sobre Números complexos Abordagem do conteúdo Fatorial: Resolução de alguns exemplos sobre o conteúdo Fatorial e aplicação de exercícios. AC dos professores da área de Matemática e suas Tecnologias e reunião entre as duas estagiárias e o professor regente de matemática Os registros assinados pelo regente nas fases de observação, coparticipação e regência estão no anexo 4. 19

20 OBSERVAÇÃO CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: I FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011 SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO A Observação constitui a primeira fase do Estágio Supervisionado. Foi realizado no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito - CIENB, localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista - Bahia, entre 22 e 30 de março, na turma de 3º ano, turma A, sob a regência do professor Enoque Alves de Matos. Minha primeira aula de observação aconteceu no dia 22 de março de Cheguei ao CIENB por volta das 08h00min da manhã para dar início às observações em sala de aula. Antes de entrar em sala o professor havia me informado que naquele dia aconteceria uma avaliação. Ao entrar em sala, o professor apresentou-me à turma, dizendo que eu estaria com eles a partir daquele dia como estagiária da disciplina, informando-os também que a princípio eu estaria observando e coparticipando e a partir da segunda unidade assumiria a turma como regente. Em seguida, o professor entregou a avaliação e uma folha em branco esclarecendo-os que: - A avaliação era composta por 11 questões, das quais os alunos poderiam escolher 5 para responder; - Não seriam aceitas questões rasuradas; - As respostas só seriam válidas acompanhadas com seus respectivos cálculos; - Só seria permitido sair da sala, mesmo que houvesse terminado o teste, após 1 horário (50 minutos); - Havia uma questão desafio ao fim da avaliação que tinha valor extra e, segundo ele, era presente de Natal. Desejou aos alunos bom trabalho e sentou-se. Nesse momento, entreguei lhe o ofício (anexo 1), documento que me encaminhava para estagiar na turma. 20

21 Durante a avaliação predominou o silêncio. Os alunos ficaram muito concentrados e só se manifestaram para perguntar se a ordem das questões poderia ser aleatória, tipo: - posso começar a fazer a 11 e depois voltar para a 2? No entanto, uma aluna rapidamente entregou ao professor a sua avaliação. O professor olhando para mim fez um infeliz comentário: - forte candidata a estar aqui de novo ano que vem... Foi então que a aluna retrucou: - vou queimar sua língua! E o professor novamente falou: - sua prova já está corrigida... Apesar do ocorrido, o andamento da prova foi tranquilo. Por volta das 08h:45min uma professora da instituição apareceu na sala convidando os alunos para uma palestra às 9h:00 min sobre marketing empresarial, que iria ocorrer no auditório da escola. O professor então disse aos alunos que aqueles que fossem terminando o teste poderiam se encaminhar para o auditório. No dia 28 cheguei ao colégio por volta das 7h:20min para uma nova observação. O professor ao chegar deu bom dia e iniciou a aula escrevendo no quadro o conteúdo Fatorial e, logo abaixo, alguns exemplos, como: 5! = 5x4x3x2x1 Falou para os alunos repararem que a partir do número dado em todos os exemplos tinha-se o produto em ordem decrescente até chegar ao número 1, como visto acima. A seguir, aguardou os alunos copiarem e falou a definição em voz alta por duas vezes, dizendo que a seguir seria a vez dos alunos dizerem em coro as palavras que ele havia dito e assim os alunos fizeram. Na sequencia perguntou se os alunos haviam entendido e após confirmação, perguntou novamente: - E qual o fatorial de n? O professor aguardou a resposta por alguns instantes, mas diante o silêncio dos alunos ele começou a dizer que não havia motivos para espanto. O fato de se depararem com uma letra em meio àqueles exercícios indicava que de um modo geral n representava um número qualquer e dessa forma teríamos: 21

22 n! = (n)x(n-1)x(n-2)x...x(1) Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Após ter feito isso, colocou alguns exercícios similares no quadro para que os alunos fizessem em casa, finalizando a aula às 08h10min. Na aula seguinte, dia 29 de março, que teve início às 9h10min, após cumprimentar os alunos dando bom dia, o professor perguntou se haviam feito as atividades em casa e após perceber que a maioria não havia feito, deu um breve sermão ressaltando que os alunos querem que ele passe a avaliar os vistos em caderno mas eles próprios não fazem as atividades. Após corrigi-las, o professor colocou no quadro novos exercícios como: 5!/3! 20!/18! 5!4!/3!2! n!/(n-1)! E disse: façam! Logo após, deu uma circulada pela sala e percebeu que os alunos estavam desenvolvendo cada fatorial por completo para depois fazer a divisão. Então, o professor Enoque os disse que: matemático é preguiçoso e a vida exige praticidade, então seria mais conveniente simplificar o termo maior, independente dele estar no numerador ou denominador, até chegar ao valor do menor e usar o corte isto é, veja como fazer no primeiro exemplo: 5!/3! = (5x4x3!)/3! = 20 Fazendo uma ressalva em relação à fala do professor, eu não creio que os matemáticos sejam preguiçosos, mas sim que desenvolveram certas habilidades que simplificam determinadas ações trabalhosas. Em seguida aplicou mais alguns exercícios para fixação aguardou os alunos fazerem até que estes foram interrompidos pela campainha do colégio que anunciou o fim da aula daquele dia. Na manhã do dia 30 (quarta-feira), dia de AC da Área de Matemática e suas Tecnologias retornei ao colégio para juntamente com a minha colega, de disciplina no curso de matemática e de estágio no CIENB, Maria das Graças, para conversar com o 22

23 professor Enoque. Durante essas atividades complementares são colocados em pauta assuntos referentes ao CIENB e passadas informações diversas. Nesses encontros, os professores costumam também fazer correções de atividades e planejar aulas. O professor Enoque fez alguns comunicados, os quais foram discutidos pelos demais professores: - Está aberta a inscrição para certificação, que pelos comentários se refere à uma prova que testa conhecimentos dos professores, e oferece um pequeno bônus salarial aos aprovados mensalmente; - Tem uma nova lei que está no congresso referente aos professores que tem tempo integral nas escolas; - O Departamento de Ciências Naturais da UESB encaminhou uma lista de estagiários para os respectivos professores do CIENB, citando turno e turma; - Sugeriu que o Colegiado de Matemática ou Departamento de Ciências Exatas- DCE também mandasse uma relação dos estagiários por professor, série e turno; A questão da certificação gerou certa discussão. Uma professora questionou que os únicos funcionários que são avaliados por meio de provas são eles e que isso só acontece porque eles sempre aceitaram de forma passiva. Nem mesmo os alunos hoje em dia são avaliados nas escolas por este instrumento. Outra professora complementou que este dinheiro deveria ser investido em capacitação por que este tipo de coisa não mede as práticas de ninguém. O que deveria era ser feito um relatório de cada professor por parte da coordenação ou direção da escola, por que o que acontece em sala de aula não dá para ser medido em 20 linhas de uma dissertação na qual não se pode usar lápis, nem borracha e nem fazer rascunho. Só é permitido usar uma caneta!. Embora eu não esteja tão informada sobre a certificação, os objetivos desta proposta do governo, concordo com as professoras em relação às suas colocações. Ficou definido que nos ACs seguintes ficariam assim: 1ª hora de reunião para discutir questões institucionais e nas horas seguintes tirar o tempo para estudar para a prova da certificação. Os professores socializaram alguns materiais, dando fim a reunião e prosseguindo cada um com suas particularidades. 23

24 Num momento a seguir, o professor se direcionou a mim e à minha colega Maria das Graças para discutirmos sobre o nosso estágio. A princípio ele disse que o assunto da unidade II que iriamos trabalhar com os alunos de 3º ano seria Polinômios. Posteriormente, entregou-nos o calendário acadêmico, a partir do qual, definimos as datas de inicio e término da regência: início em 18 de Abril e término em 18 de julho 5 com a entrega dos resultados das avaliações aos alunos. Enoque nos disse que entre 11 e 15 de Abril aconteceria a semana de provas e nós daríamos continuidade a nossa coparticipação, aplicando as provas aos alunos conforme escala preparada por professores do CIENB. Falou-nos também em relação à sua avaliação: costuma aplicar duas: um teste e uma prova, cada uma valendo 5 pontos. Segundo ele, não há necessidade de pontuar vistos em cadernos, pois é dever do aluno fazer isso. Ele também não é a favor de pontuar listas de exercícios, pois, segundo ele, um aluno faz e 30 copiam. Em seguida, nos disse que havia esquecido o Plano de unidade e nos acompanhou até a biblioteca para que pegássemos emprestado o livro adotado pelos professores de matemática do CIENB, informando-nos que não costuma usá-lo, pois gosta de preparar suas aulas com exercícios de outros livros. A seguir, acompanhou-nos novamente, desta vez até a sala da vice-diretora, nos apresentou a ela, e disse que em breve as turmas de terceiros anos A e B estariam sob nossa responsabilidade. E encerramos assim nossas atividades no CIENB na manhã desta quarta-feira, encerrando também a fase observação. Durante a fase de observações no CIENB, foi possível notar: como é o relacionamento dos alunos com o professor e do professor com alguns colegas de trabalho, o perfil dos alunos e a forma como o professor aborda os conteúdos e age com os alunos. Pelo que pude perceber, ele é respeitado pelos demais professores e apresenta relacionamento meio distante com grande parte dos alunos da turma. Percebi que a grande maioria dos alunos do 3º A mantém silêncio durante as aulas de matemática ministradas pelo professor e eles respondem as atividades aplicadas. É importante citar que o professor durante as aulas geminadas conversou bastante com os alunos sobre a importância de se ter uma profissão, de se preparar para o vestibular e de passar em uma 5 A definição da data de início e término do meu estágio foi diferente em relação à de minha colega, pois estagio às segundas e terças enquanto ela estagia às terças e quintas. 24

25 instituição pública. Nessas aulas alguns alunos comentaram quais cursos pretendem fazer e em que universidades pretendem prestar vestibular. Achei interessante o fato de o professor apresentar em determinados momentos uma postura mais dura, não dando muita abertura para piadinhas, embora ele tenha o costume de fazê-las em determinados momentos. Em geral, o perfil dos alunos do 3º ano é bem diferente dos alunos de uma 8ª série, (série em que estagiei na disciplina Estágio II). São mais maduros, apresentam uma postura mais séria diante das aulas, prestam mais atenção, entre outras diferenças que pude perceber e que por hora não foram citadas. 25

26 FASE DE COPARTICIPAÇÃO 26

27 COPARTICIPAÇÃO CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: I FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 04 à 19 de abril de 2011 REGISTRO DE ATIVIDADES DATA HORÁRIO ATIVIDADES N DE AULAS 04/04/2011 7:20 às 8:10 Aplicação do conteúdo Fatorial. 1 05/04/2011 8:10 às 9:50 11/04/2011 7:30 às 9:50 12/04/2011 7:30 às 9:50 Correção de atividades propostas na aula anterior. Aplicação da avaliação de Biologia e Sociologia. Aplicação da prova de Português, Inglês e Redação /04/2011 7:20 às 8:10 Correção de atividades. 1 19/04/2011 7:30 às 9:50 Correção da avaliação final da I unidade. 2 27

28 COPARTICIPAÇÃO CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 04 a 19 de abril de 2011 SÍNTESE DA COPARTICIPAÇÃO A coparticipação é a segunda etapa do Estágio Supervisionado. Ocorreu de 04 a 18 de abril, totalizando 10 horas/aula. Foi uma fase importante no meu estágio, assim como as outras, pois neste período tive a oportunidade de participar como auxiliar do professor, realizando, como por exemplo, correções de atividades. Minha primeira aula de coparticipação aconteceu no dia 04 de abril, no primeiro horário, que acontece entre 07h20min e 08h10min. Neste dia, o professor aplicou exercícios sobre o conteúdo explanado na aula anterior: fatorial. Na coparticipação, auxiliei alguns alunos na resolução dos exercícios e pude começar a conhecer melhor o perfil dos alunos, aqueles que tinham maior facilidade para entender o assunto e aqueles que tinham mais dificuldade de aprendizagem quanto aos exercícios. No dia 05 de abril o professor aguardou alguns instantes para que os alunos fizessem as atividades e em seguida fez as devidas correções. Neste dia continuamos a esclarecer algumas dúvidas dos alunos, individualmente de carteira em carteira à aqueles que solicitavam auxílio. Ao corrigir as atividades no quadro, o professor explicou passo-a-passo a mecânica envolvida nos exercícios. Nos dias 11 e 12 de abril estava acontecendo a semana de provas no CIENB. No dia 11 fiscalizei a turma enquanto eles faziam a avaliações de Biologia e Sociologia e no dia 12 enquanto faziam as avaliações de Língua Portuguesa, Inglês e Redação. Durante todas as avaliações (provas escritas) os alunos permaneceram em silencio, contribuindo para o bom andamento das atividades. 28

29 No dia 18 de abril, a aula, como de costume nas segundas feiras, começou com atraso, cerca de 20 minutos. Sendo assim, ao chegar o professor apenas aplicou alguns exercícios na lousa e não deu tempo dos alunos começarem a resolver. No dia 19 de abril, o professor me entregou a avaliação da 1ª unidade para que eu pudesse fazer a correção para a turma. Assim então foi feito, resolvi questão por questão, enquanto isso os alunos permanecerem em silencio. Ao perguntar se eles estavam entendendo, confirmaram que sim, mas disseram que o professor não havia explicado daquela forma não, disseram ainda ser mais fácil da forma que eu havia feito. Bom, eu afirmei que as respostas estavam corretas, mas que uma mesma questão pode ser resolvida de formas diferentes. O professor, como estava em sala, afirmou que havia explicado sim e desta forma foi encerrando o período de coparticipação. Durante a coparticipação pude conhecer um pouco dos alunos, observando as facilidades e dificuldades de alguns. Foi um momento importante também, pois eles começaram a me conhecer como professora e me tratar como tal. 29

30 FASE DE REGÊNCIA 30

31 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO Número de horas/aula semanais: 3h HORÁRIO Horário Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 7:20 Matemática 8:10 Matemática 9:00 Matemática 10:00 10:50 11:40 Dados sobre a turma do estágio: Números de alunos: 38 Sexo masculino: 11 Sexo feminino: 27 Procedência: Escola Pública Estadual 31

32 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho PLANO DE UNIDADE II UNIDADE Este plano de unidade foi solicitado como requisito da disciplina Estágio Supervisionado III pela professora Roberta Bortoloti e será aplicado para alunos de 3º ano do Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista Bahia. Tem como objetivo colocar em prática as teorias e metodologias adquiridas ao longo do curso de Licenciatura Plena em Matemática. OBJETIVOS GERAIS DA UNIDADE: - Contribuir com o desenvolvimento do saber matemático (do aluno); - Compreender o que é um polinômio; - Apresentar situações práticas que levam à ideia de polinômio; - Manipular expressões algébricas envolvendo polinômios; - Mostrar os métodos de resolução das operações com polinômios; - Apresentar situações-problema envolvendo análise combinatória; Conteúdo previsto Número de aulas previstas O que é um polinômio: - Introdução 4 32

33 - Definição - Grau UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB - valor numérico Polinômio identicamente nulo polinômios; e identidade de Adição, subtração e multiplicação de polinômios (incluindo teste); Divisão de polinômios -Método da chave; -Teorema do resto; - Teorema de D Alembert; - Dispositivo prático de Briot-Ruffini As quatro operações com polinômios utilizando o Método dos cartões 6. Oficina: Análise combinatória através de resolução de problemas. Conselho de classe II unidade. 3 Total previsto de aulas da regência PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE PRETENDE UTILIZAR: A metodologia utilizada em sala de aula será baseada em aulas teóricas, que serão de caráter expositivo-participativo, e aulas práticas, utilizando materiais concretos. No primeiro momento serão realizadas aulas expositivo-participativas. Nestas, tentarei mostrar para os alunos algumas situações em que a partir das quais originam equações ou expressões que envolvem polinômios. Depois serão abordadas algumas técnicas, estratégias e opções de como se resolver essas equações ou expressões que envolvam polinômios, ou mesmo as 6 Este método aqui titulado como Método dos cartões trata se um recurso no qual os alunos irão utilizar figuras em formato de retângulos e quadrados feitos com cartolinas coloridas para efetuar as quatro operações com polinômios. 33

34 operações com o conteúdo polinômios. Para isso, mostrarei tanto a parte algébrica quanto a geométrica (quando possível) para que os alunos tenham essas duas visões nos problemas. Nestas aulas vamos utilizar além do recurso lápis-papel, recortes de papel em forma de quadrados e retângulos, para efetuar as operações com polinômios, relacionando com as supostas áreas das figuras. Para fixar as técnicas e torna-los hábeis para responder questões sobre este conteúdo no vestibular, pois muitos deles pretendem fazê-lo, aplicarei questões que caíram nos últimos vestibulares. Na parte final da regência, será realizado um projeto de ensino sobre análise combinatória, utilizando materiais concretos para resolução de problemas, que tem por objetivo facilitar a compreensão do conteúdo permitindo assim inserir metodologias diferentes nas aulas de matemática. RECURSOS UTILIZADOS: - Cartões em cartolina - Quadro - Livro didático - Pincel - EVA - Isopor INSTRUMENTOS AVALIATIVOS QUE PRETENDE APLICAR: A avaliação será sistemática e se dará ao longo de todo o processo de aprendizagem. Levantarei informações sobre o conhecimento prévio do aluno e observarei as dificuldades e as facilidades de cada um. Será avaliada no decorrer das aulas a participação, o comportamento, as atividades extraclasses, teste e prova avaliativa, individual somando 10 pontos. A minha distribuição de notas será a seguinte: 34

35 9 pontos para provas escritas: será realizado um teste de valor 3,0 pontos e uma prova valendo 6,0 pontos; 1 ponto extra pela participação na oficina sobre análise combinatória; 1 pontos pela participação, comportamento e cumprimento das atividades propostas (listas e exercícios em sala). REFERÊNCIAS DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São Paulo, GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo,

36 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO 1. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVOS GERAIS Mostrar a ocorrência de expressões denominadas polinomiais. Apresentar a definição de: polinômio, grau de um polinômio e valor numérico de um polinômio; 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Reconhecer expressões polinomiais na resolução de problemas; Identificar o grau de monômios e consequentemente de polinômios; Determinar o valor numérico de um polinômio. 2. CONTEÚDO Polinômios: - Introdução - Definição - Grau de um polinômio - Valor numérico 36

37 3. PRÉ-REQUSITO - Potenciação; - Números complexos. 4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar as definições de polinômio, grau e valor numérico de um polinômio e sua presença na resolução de problemas. As duas aulas seguintes serão utilizadas para realizar alguns exercícios. Antes de iniciar o conteúdo a ser abordado é importante fazer um breve apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões algébricas e na resolução de problemas é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema, por meio de uma equação oriunda das expressões obtidas. Por exemplo, veja algumas: 1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por x 5. 2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por 3(x + 4). 3) 25% de uma quantia é dado por x/4. Falarei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões algébricas. Instantes depois desenharei as figuras abaixo no quadro e direi para que os alunos imaginem por exemplo que, em determinados problemas, os enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões: 37

38 Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntarei aos alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Após ouvi-los e verificar se a resposta está certa, direi que o perímetro (P) é indicado pela expressão: P(x) = 2(x + 3) + 2x ou P(x) = 4x + 6 A segunda figura é um cubo com arestas de medidas x, cuja área total (A t ) é indicada por: A t = 6x² e cujo volume (v) é dado por: v = x³ A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é dada por: A t = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24 Donde, simplificando, isto é dividindo toda expressão por 6, lembrando que A t = x² + 4x + 4 não é equação, temos: A t = x² + 4x + 4 Todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou simplesmente polinômios, cujo estudo vocês já iniciaram no ensino fundamental e será aprofundado agora. Antes de apresentar a definição de polinômios, é conveniente apresentar a definição de monômios. Logo a seguir, apresentarei as definições de grau de um polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio. FUNÇÃO MONOMIAL Definição 38

39 Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a função f: C em C definida por f(x) = ax n. A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x. O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero natural n é chamado de grau do monômio. Assim, vejamos alguns exemplos: A t (x) = 6x² é um monômio de grau 2. v(x) = x³ é um monômio de grau 3. Em seguida direi para os alunos que: o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x.. São exemplos de polinômios: A t (x)= x² + 4x + 4 é um polinômio de grau 2. P(x) = 4x + 6 é um polinômio de grau 1 FUNÇÃO POLINOMIAL Definição Sejam a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 números complexos e considere a função F(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 +a 1 x + a o x. A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x. Os números complexos a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 são os coeficientes do polinômio. Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável São exemplos de polinômios: f(x) = 3x² + 2x 1, onde a 2 = 3,a 1 = 2 e a 0 = - 1 g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a 3 = -4, a 2 = 0, a 1 = 1 e a 0 = ½ h(x) = -2x³ + x/3, onde a 3 = -2, a 2 = 0,a 1 = 1/3 e a 0 = 0 Observação: não representam polinômios: a) f(x) = x + x¹/² + 2, devido ao expoente fracionário, pois por definição dado monômio, seja ele f(x) = ax n, n é sempre um numero natural, o que não é o caso deste exemplo. b) g(x) = x + x - ³, devido ao expoente negativo, pois -3 não é um numero natural. 39

40 GRAU DE UM POLINÔMIO Definição Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente dominante do polinômio. Exemplo 1 Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso: a) p 1 (x) = 2x³ + x² - 3x 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual a 2. b) p 2 (x) = -3 1/2 x 4 + x³ -x²/2 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante igual a -3 1/2. c) p 3 (x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1. Exemplo 2 Seja o polinômio p(x) = (m 1)x³ + x² - 3x + 1 O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é, desde que tenhamos m 1 0 m 1. VALOR NUMÉRICO Definição Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x) para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Indica-se por p(α). Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x). Exemplo 3 40

41 Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4 p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5 p(4) = 2(16) p(4) = logo, p(4) = 25 Após tirar as eventuais dúvidas, aplicarei inicialmente uma lista de exercícios, que segue abaixo, afim de que os alunos apliquem os conhecimentos acima e desenvolvam habilidades acerca do assunto. CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II 1ª lista da unidade II 1. Identifique o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante: a) p(x) = 4x³ - 6x² + 5 b) g(x) = 2/3x² - x + 5/3 c) f(x) = -8x² + 12x -20 d) h(x) = 2x² - 3x Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique. a) p(x) = x b) q(x) = 5x 4 3x 2 + x c) h(x) = 1/x² + 7x- 3 d) u(x) = 5x³ -2x1/4 + 1 e) f(x) = x² - 6x1/ Sendo p(x) = x³ + 4x 1, calcular: a) P(3) b) P(4) 41

42 c) P(m + 1) d) P(-2) 4. Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x² + x + 3, se n for ímpar, então p(-1) vale: a) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3 6. (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2, P(-1) =3, P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que: (a) b=0 (b) b=1 (c ) b=2 (d) b=3 (e) N.D.A. 7. Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² -x + 5, determinar p(x). 5. RECURSOS - Lousa; - Pincel; - Apagador; 6. AVALIAÇÃO Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no cumprimento das atividades propostas. 7. BIBLIOGRAFIA DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São Paulo, GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,

43 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,

44 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO. SOMA, 1. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVOS GERAIS - Explicar o uso das operações adição, subtração e multiplicação com polinômios; - Mostrar a soma, subtração e multiplicação de polinômios relacionando-os com áreas de figuras geométricas; - Contribuir para que o aluno entenda e resolva as operações com polinômios. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Efetuar a adição, subtração e multiplicação de polinômios; - Operar algebricamente com polinômios relacionando-os com áreas de figuras geométricas. 2. CONTEÚDO Operações com polinômios: - Adição 44

45 - Subtração UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB - Multiplicação 2. PRÉ-REQUSITO - Operações com expressões algébricas; - Área de uma região delimitada por quadrados e retângulos. 4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO As aulas serão expositivo-participativas e utilizaremos recursos manipuláveis. O tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar a soma, subtração e multiplicação algébrica de polinômios e aplicar alguns exercícios em sala de aula. Nas duas aulas seguintes serão utilizadas figuras em cartolina para entender o uso de polinômios no contexto de áreas de figuras (retângulos e quadrados), possibilitando o aluno perceber a álgebra e a geometria ao utilizar este conteúdo na resolução das atividades dadas. Nas primeiras duas aulas lembrarei aos alunos que as operações de soma e subtração de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no ensino fundamental. Por meio de exemplos, vamos retomar essas operações conhecidas, no estudo de expressões algébricas. Em seguida, nas aulas futuras estudaremos a multiplicação e depois de forma mais detalhada estudaremos a divisão de polinômios. Exemplo 1 Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule: a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) c) P(x). Q(x) Solução: Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes: 45

46 P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1) P(x) + Q(x) = x³ + 2x² x² + x + 1 P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x 2 Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e Q(x), que nesse caso é o de P(x). a) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes: P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1) P(x) - Q(x) = x³ + 2x² x² - x - 1 P(x) - Q(x) = x³ + x² - x 4 b) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos resultados: P(x). Q(x) = (x³ + 2x² - 3). (x² + x + 1) P(x). Q(x) = x³. x² + x³. x + x³ x². x² + 2x². x + 2x². 1 + (-3). (x²) + (-3). (x) + (-3). 1 P(x). Q(x) = x 5 + x 4 + x³ + 2x 4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x 3 P(x). Q(x) = x x 4 + 3x³ - x² - 3x - 3 Exemplo 2 Considere p(x) = 4x² - 3x 2 e Q(x) = x² + x -1. Calcular a soma destes polinômios. Solução: P(x) + Q(x) = (4x² - 3x 2) + ( x² + x - 1) Operando com os termos semelhantes, temos: P(x) + Q(x) = 4x² - x² - 3x + x logo, P(x) + Q(x) = 3x² -2x -3 Após explicar os procedimentos acima, aplicarei os exercícios 20 (letras a e c), 21 (letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro Matemática aula por aula (adotado pela escola), que seguem abaixo. Ao terminarem de fazer, farei a correção. 46

47 5. RECURSOS - Lousa; - Pincel; - Apagador; 6. AVALIAÇÃO Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a exposição do conteúdo e na resolução das atividades. 47

48 7. BIBLIOGRAFIA DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São Paulo, GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,

49 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS 1. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVO GERAL - Apresentar as definições sobre identidade de polinômios; 1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO - Reconhecer ou identificar a identidade de polinômios; 2. CONTEÚDO Identidade de polinômios: - Polinômios idênticos; - Polinômio nulo. 3. PRÉ-REQUSITOS - Potenciação; - Números complexos. 49

50 4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o conteúdo é de 100 minutos (2 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar identidade de polinômios e realizar alguns exercícios. A princípio apresentarei aos alunos as definições: Polinômios idênticos Considerando dois polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais. Sendo: P(x) = a 0 + a 1 x +a 2 x a n x n temos: Q(x) = b 0 + b 1 x +b 2 x b n x n P(x) Q(x) a 0 = b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n Exemplo 1 Dados os polinômios idênticos P(x) = ax² + 3x = 8 e Q(x) = 4x² + 3x + b e sendo P(x) Q(x), temos: a = 4 e b = - 8 Exemplo 2 Os polinômios f(x) = ax² + (b 1)x + 3 e g(x) = -2x² + 5x c são idênticos, então: a = -2, b 1 = 5 b = 6 e c = 3 c = -3 Exemplo 3 A igualdade (x + 3)/(x² - 4) = a/(x + 2) + b/(x 2) ocorre quando: 50

51 (x + 3)/(x² - 4) = [a(x + 2) + b(x 2)]/ (x + 2)(x 2) a(x 2) + b(x + 2) x + 3 ax 2ª + bx + 2b x + 3. Agrupando os termos semelhantes, vem: (a + b)x + (-2ª + 2b) = x + 3 Da identidade de polinômios segue que: a + b = 1-2a + 2b = 3a = -1/4 e b = 5/4 Polinômio nulo Polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo é aquele que tem todos os coeficientes são iguais a zero. Indicamos p(x) 0. Exemplo 4 Dado o polinômio p(x) = (a + 3)x² + (3b - 9)x + c, para que seja identicamente nulo temos: igualando cada um de seus coeficientes iguais a zero segue que a = -3, b = 3 e c = 0. Para que os alunos adquiram habilidades acerca das definições dadas serão aplicados os exercícios 11, 12, 14, 15 e 18 da página 185 do livro adotado pela escola, que seguem abaixo: 51

52 5. RECURSOS - Lousa; - Pincel; - Apagador. 6. AVALIAÇÃO Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no cumprimento das atividades propostas. 7. BIBLIOGRAFIA DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São Paulo, GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,

53 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS 1. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVOS GERAIS - Desenvolver estratégias de divisão de polinômios através de diferentes técnicas; - Mostrar as técnicas de divisão com polinômios; - Apresentar a divisão de polinômios relacionada com figuras geométricas; - Contribuir para que o aluno entenda e resolva a divisão com polinômios, pelo método que achar conveniente. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Aplicar a divisão de polinômios relacionando-a com áreas de figuras geométricas; - Escolher a técnica que lhe for conveniente para resolver a divisão de polinômios. 2. CONTEÚDO Operações com polinômios: Divisão - Método da chave; - Teorema do resto; - Teorema de D Alembert; 53

54 - Dispositivo prático de Briot-Ruffini. 3. PRÉ-REQUISITOS - Área de uma região quadrada e retangular; - Multiplicação de polinômios. 4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO As aulas serão expositivo-participativas e o tempo estimado para abordar o conteúdo é de 350 minutos (7 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar as técnicas de divisão de polinômios, aplicar alguns exercícios em sala de aula e realizar um teste. Divisão de polinômios Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b 0) consiste em encontrar dois inteiros q e r, com o r < d, tal que: Donde, a = dividendo b = divisor q = quociente r = resto Por exemplo: a = q. b + r 54

55 Da mesma forma, efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) 0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: A(x) = Q(x). B(x) + R(x) em que: A(x) = dividendo B(x) = divisor Q(x) = quociente R(x) = resto Indicando na chave, temos: Observe que: - O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x). Exemplo: Neste caso, grau de A(x) = 2, grau de B(x) = 1, logo grau de Q(x) = 2 1 = 1. 55

56 - O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor B(x). Exemplo: Nesse caso, grau do resto = grau de 1.x 0 = 0 e grau do divisor B(x) = 1, isto é grau de R(x) é menor que o grau de B(x). Método da chave Para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: 1. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero. 2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente. 3. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo. - Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui. - Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo. 56

57 Exemplo 1: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x 6 por B(x) = x + 2. Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto: Gr(Q) = gr(a) gr(b) = 2 Como gr(r) < gr(b) = 1, então gr(r) = 0 ou R(x) = 0. x³ + 4x² + x 6 x + 2 -x³- 2x² + x - 6 x² + 2x - 3 quociente: Q(x) 2x² + x - 6-2x² - 4x -3x x + 6 Resto:R(x) = 0 Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x): x³ + 4x² + x 6 (x + 2)(x² + 2x 3) + 0 Exemplo 2: o polinômio A(x) = x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Calcular os valores de p e q. Solução: Note que gr(q) = 3 2 = 1 e R(x) 0, Utilizando o método da chave: O resto deve ser um polinômio identicamente nulo, logo: 57

58 P 1 = 0 e q + 10 = 0 P = 1 e q = -10 Observe que: x³ + x 10 = (x² + 2x + 5)( x 2) Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x a) é o próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a). De acordo com a definição de divisão, temos: P(x) = (x a). Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1 P(a) = (a a). Q(a) + k P(a) = K Logo: R(x) = P(a) Exemplo 1 Podemos determinar o resto da divisão de f(x) = 3x 4 x³ + 2 por g(x) = x 1 sem efetuar a divisão. Basta notar que: - raiz do divisor é x 1 = 0 x = 1. - Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = ³ + 2 = 4. Exemplo 2 Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) = x 5 x por h(x) = x + 3, fazemos: - A raiz de h(x) é x + 3 = 0 x = Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3) 5 (-3) = -243 (-27) + 2 =

59 Teorema de D Alembert A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x a) é exata se, e somente se, P(a) =0. Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a). Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0. Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata. Exemplo 1 A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x 2) é exata, pois: P(2) = 2³ + 2² P(2) = P(2) = 0 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a de um polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. É o chamado dispositivo de Briot- Ruffini. Para utilizarmos o Dispositivo Prático De Briot-Ruffini, temos duas restrições, quais sejam: 1ª restrição: o divisor tem que ser de grau 1; 2ª restrição: o coeficiente do divisor deverá ser igual a 1. Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x³ 5x² + x 2 por x 2. 1º) Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem decrescente dos expoentes de x, no seguinte dispositivo: 59

60 raiz do divisor coeficientes do dividendo º) Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste (-5) = 1 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e adicionamos o produto com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente (-2) = = 3 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente Coeficientes do quociente resto Logo, Q(x) = 3x² + x + 3 e R = 4 60

61 Exemplo 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4x + 2 por (3x 1). 1/ /3 11/9 (1/3). (-7/3) + 2 = 11/9-7/3= (1/3). 5 4 Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então, a divisão de P(X) por (x 1/3) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os coeficientes obtidos no dispositivo prático por 3. Q(x) = (5/3)x 7/9 e R = 11/9 Exemplo 2 Verifique se o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² - 8x é divisível por (x - 3)(x + 1). Dividindo P(x) por (x 3) Q 1 (x)......r 1... Dividindo Q 1 (x) por (x + 1): Q 2 (x)......r 2... Como R 1 = 0 e R 2 = 0 podemos afirmar que P(x) é divisível pelo produto (x 3)(x + 1). A seguir, aplicarei os exercícios propostos sobre polinômios que estão no livro adotado pela escola: exercícios 26, 28 e 29: 61

62 . Página 191: exercícios 32 e 33: Página 194: exercícios 34 (letras a e b) e 36: 62

63 Página 197: exercício 42 (letras a e b): Página 198: exercícios 50, 51, 52 e 54: 63

64 64

65 Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na atividade na aula seguinte como forma de incentivo. 5. RECURSOS - Lousa; - Pincel; - Apagador; - Livro didático; 6. AVALIAÇÃO Os alunos serão avaliados sobre a divisão mediante uma prova no fim da unidade. A seguir este conteúdo foi feita a aplicação de um teste sobre os conteúdos abordados com exceção da divisão, que segue na página posterior á esta. 7. BIBLIOGRAFIA DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São Paulo, GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo,

66 CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II Teste da unidade II - 06/06/2011 Atenção: Cada questão tem valor 0,6 somando ao todo 3,0 pontos; Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais fácil; Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos; Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marca r e deixe os cálculos ao lado; As respostas finais devem ser colocadas a caneta; Não serão aceitas questões rasuradas; Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos. 1. (F. Porto Alegrense-RS) Dado o polinômio p(x) = x 4-5x² + 6, o valor de p( 2 ) é: a) 4 b) 0 c) 2 d) e) (FABRAI-MG) Se p(x) = x³ + x² + x + 1, então o valor de p(m 1) é: a) m³ + 4m² - 4m b) m³ - 2m² - 4m +2 c) m³ - 2m² + 2 d) m³ + 4m² + 6m + 2 e) m³ - 2m² + 2m 3. Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a b)x² + (2a 3b +2)x + 2 seja igual a zero. 4. Sejam os polinômios f(x) = 2x 3, g(x) = -4 x e h(x) = x² - x + 1, determine P(x) = f(x). g(x) + h(x). 66

67 5. (UNIFOR-CE) se os polinômios f = x³ + (a b)x² + (a b 2)x + 4 e g = x³ + 2ax² + (3a b) são idênticos, então: a) a b = 3 b) a = 3b c) b = 3a d) a/b = 1 e) a.b = -1 67

68 REGÊNCIA CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho de 2011 PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES (OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS) 1. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVOS GERAIS - Mostrar as operações com polinômios em figuras geométricas; - Contribuir para que o aluno entenda a relação entre a álgebra e a geometria utilizando áreas ao fazer uma operação polinomial; 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Aplicar as operações com polinômios relacionando-as com áreas de figuras geométricas; - Efetuar as operações com polinômios através de cartões; 2. CONTEÚDO - Operações com polinômios; 3. PRÉ-REQUSITO 68

69 - Polinômios. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB 4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO Após ter explicado as quatro operações com polinômios nas aulas anteriores, irei apresentar estas operações no contexto de áreas de figuras como retângulos e quadrados em cartolina. O tempo previsto para realizar esta atividade é de 4 aulas. Nas atividades a seguir, resolveremos questões que envolvam soma, subtração, multiplicação e divisão de áreas representadas por polinômios. A atividade com cartões de polinômios que segue abaixo foi apresentada em um artigo na revista Nova Escola (n. 85, 1995, p ), na qual fizemos algumas adaptações. A aula será iniciada da seguinte forma: Levarei os alunos para a biblioteca, onde a turma será dividida em grupos de 4 pessoas, cada grupo irá receber o seguinte material didático: 5 quadrados grandes azuis, com medidas 10 x 10; 5 quadrados grandes vermelhos, 10 x10; 5 retângulos azuis, com medidas 10 x 3; 5 retângulos vermelhos, 10 x 3; 10 quadrados pequenos azuis, com medidas 3 x 3; 10 quadrados pequenos vermelhos, 3 x 3. Apresentarei algumas regras relacionadas às atividades aos alunos para que haja um bom desenvolvimento da atividade, para isso serão estabelecidas as seguintes considerações: Peças Dimensões Área Quadrado grande X.X X² Retângulo 1.X X Quadrado pequeno As peças de mesma área representam termos semelhantes. As peças de mesma área e cores diferentes são opostas e se anulam. 69

70 Convencionamos que as figuras vermelhas são negativas (-) e as azuis são positivas (+). Em seguida, mostrarei exemplos em que os alunos irão resolver situações com o material concreto envolvendo as operações adição e subtração de polinômios e a transformação geométrica em álgebra e vice-versa: 1 Soma de polinômios Sabendo que o polinômio p(x) = 2x² - 3x - 4 representa a área de uma região, e o polinômio Q(x) = x² + x -1 representa a área de outra região, veja como se resolve a soma destas regiões usando as figuras que você tem em mãos: P(x) + Q(x) = (2x² - 3x 4) + (-x² + x 1) Somando as figuras semelhantes temos: 2x² +(-x²) é dado por: + (-4) + (-1) equivale a: e -3x + x é dado por: 70

71 Donde se conclui que: 2 Oposto de um polinômio: Exemplo 2: Dado o polinômio x² - x + 2 Seu oposto será: 3 Subtração de polinômios: Exemplo 1: (2x² - 3x 4) (-x² + x 1) =? 4 Multiplicação de polinômios: 71

72 Exemplo 1: Multiplicar 2x por (2x - 3) Exemplo 2: Multiplicar (-x + 1) por (2x 1) 5 - Divisão de polinômios Com o material utilizado nas aulas de soma, subtração e multiplicação de polinômios irei agora mostrar como se dá a divisão de polinômios com as figuras 72

73 geométricas. É importante lembrar que nem sempre podemos dispor deste recurso, assim é de fundamental importância conhecê-lo, entendê-lo, mas conhecer as outras técnicas existentes, pois através delas poderemos resolver a divisão entre polinômios. Exemplo 1: Vamos fazer a divisão de (x² - x) : (-x) Conclusão: (x² - x) : (-x) = -x + 1 Exemplo 2: Dividir (x² - 7x + 10) por (x - 2) 73

74 Com os procedimentos acima explicados aplicarei as seguintes atividades: 1. Represente utilizando as figuras, o perímetro (soma das medidas de todos os lados de uma figura) de um terreno de lados respectivamente iguais a 4x e 2x. Se x valer 4 metros, qual o perímetro do terreno? 2. Escreva o oposto de: -x² Determine a expressão polinomial que representa o perímetro de um retângulo de lados 3x + 1 e x 4 e a expressão que representa a área. 4. Resolva: a) (6x² + 3x) + (2x² - 4x -1) b) (-4x² + 2x + 8) (-x² +2x +6) c) (3x² + 2x) : (x) d) (4x² - x) : (-x) Durante o processo de resolução caso haja dúvidas tentarei esclarecê-las e ao fim da aula farei as devidas correções. 5. RECURSOS 74

75 - Retângulos e quadrados em papel duplex; 6. AVALIAÇÃO Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a exposição do conteúdo e na resolução das atividades. Como este foi o último plano de aula, na aula seguinte será aplicada a prova da unidade, que segue na próxima página. 7. BIBLIOGRAFIA: NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p

76 CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II Atenção: Avaliação final da unidade II - 13/07/2011 Cada questão tem valor 1,2 somando ao todo 6,0 pontos; Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais fácil; Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos; Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os cálculos ao lado; As respostas finais devem ser colocadas à caneta; Não serão aceitas questões rasuradas; Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos. Utilize o método da chave para resolver a questão 1. 1) (Unificado) O resto da divisão do polinômio p(x) = x³ - x + 1 pelo polinômio d(x) = x² + x + 1 é igual a: a) 0 b) x + 2 c) x 2 d) x + 2 e) x 2 Use o teorema do resto para resolver a questão 2. 2) (FABRAI-MG) O resto da divisão de P(x) = x 4 +x³ - 3x² + 2x 1 por q(x) = x 2 é: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 3) Através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de f(x) = x 5 3x³ + 2x² + 4 por g(x) = x ) Dado o polinômio p(x) = 2x 4-5x² + 6, o valor de p(-2) é: 76

77 a) 18 b) -3 c) -6 d) -18 e) Nenhuma das anteriores 5) Use o método que a char conveniente para encontrar o resto da divisão de p(x) = x³ + x² + x + 1 por x² - x ) Questão extra-valor 0,5 ponto: quantos são os anagramas da palavra CIENB? 77

78 INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA 78

79 LUCIENE DA COSTA SANTOS MARIA DAS GRAÇAS MASCARENHAS NEURACI DIAS AMARAL INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Trabalho desenvolvido no Colégio Centro Integrado de Educação Navarro de Brito como forma de avaliação para a disciplina Estágio Supervisionado III do Curso de Licenciatura Plena em Matemática por Luciene da Costa, Maria das Graças Mascarenhas e Neuraci Dias Amaral à professora Msc. Roberta Bortoloti, orientadora da disciplina, no I semestre de

80 Quando alguém encontra seu caminho precisa ter coragem suficiente para dar passos errados. As decepções, as derrotas, o desânimo são ferramentas que Deus utiliza para mostrar a estrada. Paulo Freire 80

81 SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO ABORDAGEM HISTÓRICA ABORDAGEM TEÓRICA PROPOSTA DA ATIVIDADE OBJETIVOS DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS MATERIAIS DIDÁTICO E AMBIENTE PARA ENSINO DESENVOLVIMENTO RESULTADOS ESPERADOS REFERÊNCIAS

82 1. INTRODUÇÃO Quando se fala em matemática a primeira ideia que vem à cabeça das pessoas é algo do tipo: muitos números, fórmulas, um negócio de x, de y, que é uma matéria difícil, um bicho de sete cabeças. E quando a pergunta é a seguinte: onde você encontra matemática? O que elas dizem também não foge desse raciocínio da resposta anterior. Geralmente respondem: nas contas, no supermercado, na escola, para contar dinheiro, etc. Geralmente a grande maioria da população não se dá conta de que respiramos matemática. usamo-la em situações diversas. Mas, afinal de contas dá para se resolver determinados problemas de matemática sem decorar algoritmos? Sem fórmulas prontas? Análise a seguinte situação problema: No antigo sistema de emplacamento de veículos as placas eram construídas de uma sequência de duas letras distintas e de três algarismos. Devido o aumento considerável do número de veículos, atualmente as placas de licenciamento de automóveis constam de 7 símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguida de 4 algarismos. Qual o número máximo de placas possíveis no antigo e no novo sistema de emplacamento? Muita pessoas sequer tem ideia que a organização da identificação da placa de seus automóveis foi pensada com base em um assunto de matemática: a análise combinatória. Este, entre outros problemas, envolve o cálculo do número de agrupamentos dos elementos de determinado conjunto sob certas condições. Nosso objetivo neste trabalho é focalizar o ensino da análise combinatória através da resolução de problemas, com a aplicação do Princípio Multiplicativo, usando estratégias diferentes, manuseando materiais concretos e visualizando as possibilidades de organização de agrupamentos, sem deixar de citar as a possibilidade de se resolver problemas de análise combinatória através das técnicas de contagem: Arranjos, Permutações e Combinações. Para abordar o conteúdo no primeiro momento fizemos uma pesquisa bibliográfica sobre a história da combinatória e sobre a metodologia de resolução de problemas. 82

83 2. ABORDAGEM HISTORICA 7 Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Dela faz parte a Análise Combinatória que, aliás, esteve na sua origem e que trata essencialmente de: demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado, satisfazendo certas condições, e contar ou classificar esses subconjuntos, sem que seja necessário enumerar os seus elementos. Aparentemente, a Análise Combinatória teve origem no tempo de Arquimedes (287 a. C. 212 a. C.). Estudos de velhos pergaminhos e manuscritos feitos pelo historiador de Matemática, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia parecem confirmar que Arquimedes terá sido pioneiro nessa área da Matemática. Os pergaminhos passaram pelas mãos de vários povos durante a Idade Média e, para além de quase terem sido destruídos pelo mofo, foram usados por monges que, por cima dos textos originais, neles escreviam as suas orações. Vieram a ser reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador, foi possível obter a escrita original, transcrição do trabalho de Arquimedes, designado por Stomachion 8 que, segundo Reviel Netz, é um autêntico tratado sobre Análise Combinatória. O Stomachion é, aparentemente, um jogo, semelhante ao Tangran (um jogo chinês de 7 peças bastante conhecido), mas constituído por 14 peças que devem ser encaixadas de maneira a formarem um quadrado. Os estudos de Arquimedes pretendiam determinar de quantas maneiras as peças se podiam colocar, de forma a construir o quadrado. Não se sabe ao certo se Arquimedes conseguiu resolver esse problema, mas estudos recentes mostraram que existem ou 268 soluções considerando ou não, respectivamente, as soluções simétricas 9. 7 Texto adaptado de Fernanda Maria de Souza Viera. 8 Não se sabe o significado preciso desta palavra apenas que tem a mesma raiz que a palavra grega para estômago soluções podem ser vistas em: 83

84 Figura 1 - Stomachion O desenvolvimento da Análise Combinatória deve-se, em grande parte, necessidade de resolver problemas de contagem, originados na teoria das probabilidades. A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota ligada à instituição dos seguros usados já pelas civilizações mais antigas, nomeadamente pelos fenícios, a fim de protegerem a sua actividade comercial marítima. Esta prática foi continuada pelos gregos e pelos romanos, tendo chegado até a civilização cristã medieval através dos comerciantes marítimos italianos. Pouco se sabe das técnicas então utilizadas pelos seguradores mas, parece que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades de acidentes, para estipularem as taxas e os prêmios correspondentes. No fim da Idade Média com o crescimento dos centros urbanos, surge um novo tipo de seguro, o seguro de vida. O primeiro estudo matemático sobre este seguro devese a Girolano Cardan ( ), em 1570, apresentado no seu livro De proportionibus Libri V) mas parece ter-se revelado muito teórico e pouco prático. Foi Halley quem, em 1693, no seu trabalho, Degree of Mortality of Mankind, mostrou como calcular o valor da anuidade do seguro em função da expectativa de vida e da probabilidade da pessoa sobreviver por um ou mais anos. A consolidação da aplicação da matemática nos seguros surge com o trabalho de Daniel Bernoulli ( ). Calculou o número esperado de sobreviventes após n anos a partir do número de nascimentos e inovou na criação de novos tipos de seguros, calculando, por exemplo, a 84

85 mortalidade causada pela varíola em pessoas de determinada idade. É nesta altura que surgem as primeiras grandes companhias de seguros. Outro fator que contribuiu para o desenvolvimento da Análise Combinatória foram os problemas originados nos chamados jogos de azar. É curioso que se designem por jogos de azar muitos daqueles que dependem apenas do acaso, tais como o de dados, a roleta, certos jogos de cartas, etc. Todos envolvem um fenômeno de acaso cujo resultado só muito raramente é favorável ao jogador. Daí ser, de fato, apropriado chamar-lhes jogos de azar. A palavra azar é proveniente do árabe az-zahar, por sua vez proveniente do persa az-zar, significando jogos de dados. Os jogos de azar são, provavelmente, tão antigos como a Humanidade. As mais antigas ligações destes jogos com a matemática reduzem-se à enumeração das possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, sem referência ao cálculo da probabilidade de se obter esse resultado. Os jogadores queriam encontrar formas seguras de ganhar em jogos de cartas, dados ou moedas. É no século XVI que os matemáticos italianos Luca Paccioli ( ), Cardan e Niccoló Tartaglia ( ) apresentam as primeiras considerações matemáticas sobre os jogos de azar. É de Cardan a primeira obra sobre jogos de azar, De ludo Aleae publicado apenas em No entanto, o contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi dado através da correspondência entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre Fermat acerca de problemas surgidos nos jogos de azar. O Conde de Méré, nobre francês e jogador assíduo, colocaram a Pascal vários problemas dos quais se apresenta o seguinte: Eu e um amigo meu estávamos a jogar quando recebemos uma mensagem e tivemos de interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 32 pistolas 10 cada um. Ganharia as 64 pistolas o que primeiro obtivesse 3 pontos, isto é, 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido eu já tinha obtido o 6 duas vezes. O meu amigo escolheu o 1 e, quando interrompemos o jogo, tinha obtido o 1 uma vez. Como dividir as 64 pistolas? 10 Moeda de ouro utilizada em vários países europeus até ao século XIX. 85

86 Vejamos uma resolução possível: No próximo lançamento válido, ou sai o 6 e ganha o Conde, sendo a probabilidade de isso acontecer ½, ou sai o 1 (também com probabilidade ½) e o jogo tem de continuar. No lançamento seguinte, se sair o 6, ganha o Conde, neste caso com probabilidade ¼ = ½, se sair o 1 ganha o amigo, também com probabilidade de ¼. Assim, a probabilidade de o Conde ganhar o jogo é de ¾ = ½ + ¼, logo deve receber ¾ das 64 pistolas, ou seja, 48 pistolas. Pascal interessou-se por este problema da divisão das apostas, que anteriormente já tinha motivado outros matemáticos, como Paccioli, Cardan e Tartaglia, mas estes não tinham conseguido obter a solução correta. Sobre o assunto, Pascal trocou idéias com o seu amigo Fermat e chegou a várias conclusões, ainda hoje válidas. Uma dessas conclusões constitui o seguinte teorema: Teorema: Suponha-se que um jogo é interrompido quando faltam r jogos ao primeiro jogador para vencer, enquanto que ao segundo jogador faltam s jogos, sendo r e s superiores a zero. O montante das apostas deve ser dividido de maneira que o primeiro jogador fique com a proporção de para n 2, onde n = r + s - 1 (número máximo de jogos que faltam efetuar). 11 Aplicando este teorema ao problema anterior, temos que r =1, visto que o Conde já tem dois pontos e só lhe falta 1 para ganhar e s = 2, visto que o amigo precisa de mais dois pontos para ganhar. Então a proporção da aposta que o Conde deve receber é: / 2 n = / 2 2 = 1+2/4 = ¾ Além dos matemáticos já referidos, pelo seu contributo no desenvolvimento da Análise Combinatória, devemos salientar, também, os trabalhos realizados nessa área por Leibniz ( ), Jacques Bernoulli ( ), Moivre ( ), Newton ( ), Euler ( ), entre outros. 11 A demonstração deste teorema pode ser analisada no site: 86

87 Leibniz escreveu, em 1666, Dissertatio de Arte Combinatória, resultado dos seus estudos na Universidade de Leipzig em diferentes áreas, Filosofia, História, Matemática e Direito. Nesse trabalho, apresenta as suas idéias fundamentais sobre combinatória e reduz todo o raciocínio, toda a descoberta, a uma combinação de elementos básicos tais como números, letras, sons ou cores. Eis o tipo de idéia característico de Leibniz. Tentar reduzir problemas matemáticos a uma forma simples e básica, que não só permitisse o seu entendimento, como também a sua rápida resolução. 87

88 4. ABORDAGEM TEÓRICA Desde os primórdios da humanidade o homem se depara com problemas matemáticos. Tais questões eram para resolver situações do seu cotidiano. Ainda hoje nos deparamos a todo o momento com problema, que exige respostas rápidas. Segundo Newell e Simon (1972, p. 3), um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação. A utilização da metodologia de resolução de problema em matemática ajuda no desenvolvimento do raciocínio crítico dos alunos e faz com que a matemática saia de todo o formalismo existente na sala de aula e vai para a vida cotidiana. O problema passa a ser um ponto de partida e os professores, através da resolução do problema, devem fazer conexões com outras ciências e entre os diferentes ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2003). Este ponto de partida permite que os alunos resolvam problemas utilizando todo o conhecimento adquirido durante sua vida, não focalizando apenas em um conteúdo especifico, mas em todo o conjunto de saber matemático adquirido com o tempo. A dificuldade encontrada para planejar uma aula com resolução de problemas é grande, pois tem que estar procurando problemas que tenham sentido real. O professor tem que estar procurando estratégias para que a resolução do problema seja apresentada para o aluno de uma forma prática e fácil, mostrando uma matemática dinâmica e móvel que é afetada por uma contínua expansão de seus conceitos. O professor tem que planejar as questões-chave, para conduzir os alunos na análise dos resultados apresentados e na busca de um consenso sobre os resultados obtidos; preparar a melhor formalização dos novos conceitos e novos conteúdos construídos a partir do problema dado. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2006). Segundo Ramos (et. al., 2001, p. 5), os problemas matemáticos podem ser organizados em quatro tipos: 88

89 1. Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito; 2. Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo conceito; 3. Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos já aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem; 4. e problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e aprofundar alguns conceitos. Aplicando este tipo de metodologia o professor poderá estar partindo de problemas práticos para o abstrato. Ajudando desta forma que o aluno entenda que a matemática esta relacionada diretamente com a sua vida. E desta forma desconstruindo a ideia que a matemática é imóvel e homogênea e que ela não poderá ajudar na sua vida. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de 5ª à 8ª série (BRASIL, 1998, p.42): Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução. Percebe-se que a resolução de problemas vai mais além da apropriação do conteúdo. Pois não basta decorar a fórmula para determinada questão tem que compreender o processo de resolução do problema. Dos conteúdos de matemática, a peça-chave para trabalhar resolução de problemas é a Análise Combinatória. É um dos conteúdos mais fáceis para aplicar a metodologia resolução de problemas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) a resolução de problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios (BRASIL, 1998, p. 112). A Combinatória, embora possa não ser percebida, contribui decisivamente, cada vez mais, para a resolução dos problemas da vida moderna. Podendo ser apresentada de uma forma em que motive o aluno a buscar resultados, a fazer questionamentos, em que 89

90 eles possam estar constatando de forma investigativa os padrões existentes entre alguns problemas propostos. Infelizmente a análise combinatória é um conteúdo desprivilegiado do ensino médio. Que é apresentado ao aluno de uma forma pronta e acabada não permitindo que este como autor de seu próprio conhecimento utilize sua criatividade para resolver este problema. De acordo com (Almeida e Ferreira, 2009, p. 4): Outro aspecto importante é a dinâmica de sala de aula. Estimular o trabalho em conjunto proporciona muitos benefícios aos alunos. Eles aprendem a questionar, trocam idéias uns com os outros e aprendem a trabalhar coletivamente. A experiência coletiva contribui para a individual e favorece a cooperação entre indivíduos. Mas é necessário tornar os alunos aptos a este tipo de trabalho, pois alguns alunos deixam as tarefas por conta do grupo e não permanecem ativos nas atividades, não assimilando o conteúdo. O estudo individual também é importante para que o aluno tenha a capacidade de trabalhar por si só. Problemas de análise combinatória podem ser olhado pelo aspecto da multiplicidade de opções para resolução de um problema. O mesmo problema pode ser resolvido de vários modos, mas para isso precisa estar interpretando o problema, podendo ainda muitas vezes estar relacionando com aspectos do dia-a-dia. 90

91 4. PROPOSTA DA ATIVIDADE 4.1. OBJETIVOS GERAIS - Contribuir com o desenvolvimento da capacidade de raciocinar logicamente. - Ajudar no desenvolvimento da capacidade de relacionar análise combinatória com problemas práticos. - Desenvolver espírito crítico e criativo. - Familiarizar-se com problemas que envolvam contagem; - Entender o princípio multiplicativo. - Proporcionar a oportunidade de discussão em grupo dos problemas sugeridos. - Desenvolver a capacidade de argumentação e socialização de ideias. - Detectar possíveis erros cometidos na resolução de problemas. - Ajudar a encontrar melhores estratégias para resolução dos problemas OBJETIVOS ESPECIFICOS Que o aluno/a seja capaz de: - Criar estratégias e esquemas práticos para a solução dos problemas. - Manusear materiais concretos para visualizarem as estratégias a serem tomadas para resolução de problemas. - Resolver problemas de multiplicação que envolvam relações de análise combinatória. - Analisar situações problemas e refletir qual a melhor maneira de resolvê-las; - Calcular as possibilidades de agrupamento de um determinado conjunto. - Permutar os elementos de determinados conjuntos. - Calcular as combinações possíveis para determinadas situações. - Registrar os problemas propostos. - Diferenciar Combinação, Arranjo e Permutação através de exemplos do cotidiano e da utilização de materiais concretos. 91

92 4.3. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS ARRAJO SIMPLES Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda sequência de p elementos distintos de E. ANAGRAMA É um código formado pela transposição (troca) de todas as letras de uma palavra, podendo ou não esta palavra ter significado na língua de origem. PERMUTAÇÃO SIMPLES Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento (sequência) de n elementos distintos de E. COMBINAÇÃO SIMPLES Chama-se combinação simples dos n elementos de E, p a p, todo subconjunto de E com p elementos MATERIAIS DIDÁTICOS E AMBIENTES PARA O ENSINO Para esse trabalho serão utilizados materiais concretos para visualização dos problemas propostos, emborrachados, letras do alfabeto e os algarismos cortados em emborrachados, folha de atividades, livros, quadro branco e pincel. O projeto será desenvolvido na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, no Laboratório de Matemática. DESENVOLVIMENTO Este projeto será dividido em duas etapas para que seja desenvolvido. Primeiramente a sala será organizada em grupos de 5 pessoas. PRIMEIRA ETAPA: No primeiro momento serão realizados vários problemas propostos em conjunto. 92

93 PROBLEMA 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Para encontrarmos a solução, irei convidar os próprios alunos, sendo eles 5 meninos e 5 meninas, para vir até o centro da sala e começaremos a fazer a contagem. Para eles visualizarem as possibilidades de formação de casais faremos o seguinte: Para cada menina entregarei 5 cordões, os quais elas entregará um a cada um dos meninos. Após este procedimento, perguntarei novamente de quantos modos podemos formar um casal com 5 homens e 5 mulheres. Isto é, quantas ligações podem ser feitas utilizando aqueles cordões? Após obter a resposta vinda dos alunos, irei explicar da seguinte forma: A primeira menina tem opção de ser a parceira de 5 meninos. A segunda, a terceira, a quarta e a quinta menina também têm a mesma Assim, temos: quantidade de opções. 5 meninas com cada uma tendo 5 opções, isto é 5 x 5 = 25. Após resolver este problema juntamente com os alunos, lançaremos um novo problema, o qual iremos resolver, passo-a-passo, com eles novamente. PROBLEMA 2: De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? Os objetivos dos problemas I e II são para que os alunos possam perceber a importância do princípio multiplicativo. Em seguida, recordarei para eles novamente o principio da contagem, pois em aulas anteriores eles já tinham visto a definição. Dizendo para eles que: se há x modos de tomar uma decisão D 1, há y modos de tomar uma decisão D 2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D 1 e D 2 é xy. (ELON, p. 85, 1998). Após relembrar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), em alguns casos conhecido como Teorema Fundamental da Contagem (TFC), falarei para os alunos que segundo (IEZZI, 1998,p. 426): Todo problema de contagem pode ser resolvido, pelo menos teoricamente pelo TFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar muito complicada. Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de 93

94 determinados agrupamentos baseadas no TFC as quais simplificarão a resolução de muitos problemas. Depois irei apresentar para cada grupo um novo problema para que eles tentem resolver. Para realizar estas atividades confeccionarei materiais que permitam visualizar em miniatura o problema dado. Enquanto os alunos estiverem tentando encontrar a solução dos problemas irei auxiliá-los PROBLEMA 3: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra AMOR? PROBLEMA 4: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra AMORA? PROBLEMA 5: Uma bandeira deve ser pintada com 3 cores diferentes de forma que não é permitido colorir as listras da região de fronteira com a mesma cor. Desse modo, calcule o número de maneiras diferentes que pode ser pintada essa bandeira, sabendo que ela é composta por 6 listras. PROBLEMA 6: Contar a quantidade de números formados por 2 algarismos distintos pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. PROBLEMA 7: Otávio, João, Mário, e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados? PROBLEMA 8: Fruta na alimentação: Segundo a classificação de alimento mais aceita atualmente, as frutas estão no grupo dos alimentos reguladores, pois atuam no equilíbrio de diversas funções do organismo, como digestão, o funcionamento do intestino e a absorção de nutrientes. Além disso, contribui para melhorar a resistência contra infecções. Por isso, em uma cesta contendo 10 frutas: 6 maçãs e 4 peras. Daniela quer retirar, uma a uma, as 10 frutas dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las? 94

95 SEGUNDA ETAPA: Para iniciar esta etapa será passado um vídeo do Novo Telecurso aula 51- para os alunos estarem aprendendo combinações, outra técnica de agrupamento, em problemas que envolvem, por exemplo, o esporte. A seguir, será entregue, um problema para cada grupo, no qual quando solucionado será revezado entre os grupos até que todos sejam resolvidos por cada grupo. O objetivo é que os alunos aprendam a resolver problemas de análise combinatória sem utilizar mecanicamente as fórmulas. E quando usá-las consciente da lógica contida na problemática de determinada questão. PROBLEMA 9: Para ir ao cinema, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de 3 camisetas, quatro bermudas e dois pares de tênis, de quantas maneiras distintas ele poderá se vestir? PROBLEMA 10: Quatro homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de quatro lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher? PROBLEMA 11: Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna? PROBLEMA 12: De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão com 8 jogadores? (no jogo só pode ter 6 jogadores) 95

96 6. RESULTADOS ESPERADOS Através deste trabalho de ensino pretendemos ensinar de uma forma diferente o conteúdo Análise Combinatória. Para que os alunos possam estar vendo a matemática envolta dele, analisando a necessidade em estar aprendendo este conteúdo e percebendo que a matemática ajuda no desenvolvimento do raciocínio lógico e também o crítico. 96

97 7. REFERENCIAS ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. A resolução de problemas e o uso do computador na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de Educação Matemática, São Paulo, n.8, p ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do Ensino Médio em uma escola pública de Itabirito (MG). Itabirito, MG [s. n.] Disponível em: <d.yimg.com/kq/groups/ / /.../ccadrianaalmeida.do> Acesso em: 22 maio BRASIL - Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, Fundação Roberto Marinho; FIESP. Telecurso Ensino médio Matemática. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=yqm0asbzl_a > Acessado em: 20 de maio de GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 2.ed. São Paulo: FTD,2005. LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP Disponível em: Acesso: 22 maio VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de contagem Tese (Mestre em Matemática) Universidade Portucalense, Porto, Disponível em: Acessado em: 22 de maio

98 CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho CUMPRIMENTO DAS ATIVIDADES DE REGÊNCIA DATA HORÁRIO ATIVIDADES N DE AULAS 25/04/ h20min às 08h10min 26/04/ h10min às 09h50min 02/05/ /05/ h10min às 09h50min Apresentei-me à turma e introduzi o conteúdo Polinômios. Definições: - O que é um polinômio - Grau de um polinômio - Valor numérico de um polinômio. Não houve aula Conselho de classe I unidade. Visto na lista e início a correção. 1 2 Não participei. 2 09/05/ h20min às 08h10min Continuação correção da lista. da 1 10/05/ h10min às 09h50min Soma, subtração e multiplicação de polinômios. 2 16/05/ h20min às 08h10min Verificação de atividades e correção. 1 17/05/ h10min às 09h50min Identidade polinômios aplicação questionário de e do 2 98

99 socioeconômico. 23/05/ h20min às 08h10min 24/05/ h10min às 09h50min 30/05/ h20min às 08h10min 31/05/ h10min às 09h50min 06/06/ h20min às 9h10min (professor de Química cedeu uma aula) 07/06/ h10min às 09h50min 13/06/ h20min às 08h10min 14/06/ h10min às 09h50min 15/06/ h20min às 11h30min 04 e 05/07/ h10min às 09h50min Correção atividades. de Divisão de polinômios: método da chave, teorema do resto e teorema de D Alembert. Divisão de polinômios: Dispositivo prático de Briott-Ruffini. Paralisação estadual nas escolas da rede estadual na Bahia. Teste. 2 Atividades e correção sobre divisão de polinômios. Correção atividades. Atividades divisão polinômios. de sobre de Oficina sobre Análise combinatória Vestibular da UESB Não houve aula na escola /07/2011 Semana de provas /07/2011 Das 8h:00min as 10h:00min Avaliação de Inglês, Português e Redação. 2 18/07/2011 Das 9h:00min as 10h:00min Entrega das avaliações II unidade e registro de notas no diário de classe. 2 99

100 11/08/2011 Das 8h:20min às 10: 30 Conselho de classe II unidade. 3 Total de aulas

101 CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO CIENB PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril à 12 de julho RELATO DAS AULAS DA REGÊNCIA A regência é a terceira etapa do Estágio Supervisionado. Assim como as etapas anteriores, foi realizada no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista Bahia, entre 25 de abril e 11 de Agosto, na turma do 3º ano A, sob a regência do professor Enoque Alves de Matos. Minha primeira aula de regência aconteceu no dia 25 de abril de Teve início por volta das 8h10min da manhã. Neste dia me apresentei à turma e os comuniquei que estaria como professora deles por toda a II unidade. Para iniciar os trabalhos, falei um pouco sobre o conteúdo que iríamos estudar: polinômios, a forma de avaliação que iria utilizar: pontuando as atividades deixadas para fazer em casa, um teste, aplicação de projeto de ensino e por fim uma prova. Minutos após o início da aula, o professor regente, chegou à sala, cumprimentou á todos e sentou-se no fundo sala, o qual permaneceu assistindo a aula até o fim da mesma. Para introduzir o conteúdo, comecei fazendo um breve apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões algébricas. Na resolução de problemas é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema, por meio de uma equação oriunda das expressões obtidas. Após ter feito esse breve comentário copiei no quadro os três exemplos abaixo: 4) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por: x

102 5) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por: 3(x + 4). 6) 25% de uma quantia é dado por: x/4. Falei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões algébricas. Instante depois, desenhei as figuras abaixo no quadro e disse para eles que imaginassem, por exemplo, que em determinados problemas os enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões: Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntei aos alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Neste momento, não houve nenhum palpite, então reformulei a pergunta: alguém, aqui, sabe como se calcula o perímetro e a área de um retângulo, de um quadrado ou... de qualquer figura? Após aguardar mais um momento de silêncio, disse que: o perímetro de uma determinada figura, objeto, região, seja de que formato for, sejam eles por exemplo da forma: quadrado ou retângulo, é dado pela soma das medidas de todos os lados, isto é: Na primeira figura, representando perímetro por P, como se trata de um retângulo, e por definição seus lados paralelos tem a mesma medida, segue que, P = x + x + (x + 3) + (x + 3) ou P = 2. x + 2. (x + 3) = 4x + 6 Assim, como em relação ao perímetro, expliquei aos alunos como se calculava a área de uma região no formato de um quadrado ou de um retângulo, que esta é dada pelo produto da medida de um lado, a quem chamamos de base pelo outro, a quem chamamos de altura. Assim, num quadrado como os lados tem medidas iguais, representando lado por l e área por A, segue que A = l². Na primeira figura a área do retângulo é dada por A = (x). (x + 3) 102

103 Em seguida, os expliquei que na segunda figura se tratava de um cubo com arestas de medidas x, ou seja, cada face tem forma de um quadrado e como o cubo é composto por 6 faces, a área total (A t ) é indicada por: A t = 6x² Disse aos alunos ainda que poderíamos calcular o volume (v), que, no caso do cubo é dado pelo produto da largura pelo comprimento e pela altura, isto é: x. x. x, donde aplicando as propriedades de potencia que conhecemos, ou pelo menos deveríamos conhecer, desde a 6ª série (atual 7º ano), temos: V = x³ A seguir, perguntei novamente a eles: agora, quero que vocês me respondam: qual a área total representada na terceira figura? então, eles me disseram que seria preciso calcular a área de um quadrado e depois multiplicar por 6, como de fato ocorre. Percebi que eles haviam entendido, e então segui o procedimento citado: A t = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24 Falei aos alunos que poderíamos simplificar, isto é, dividindo toda expressão por 6, lembrando que A t = x² + 4x + 4 não é equação, e sim uma expressão, temos: A t = x² + 4x + 4 Para concluir, disse que: todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou simplesmente polinômios, cujo estudo eles iniciaram no ensino fundamental e seria aprofundado agora. Em seguida, com o fim do tempo, a aula foi finalizada às 8h10min. No dia 26 de maio, a aula teve início as 8h10min. Ao chegar à sala, os cumprimentei como sempre, e antes de mostrar a definição de polinômios, desenhei no quadro novamente as figuras da aula anterior com as expressões da área e do perímetro obtidas e a seguir apresentei a definição de monômios. Logo depois, apresentei as definições de grau de um polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio, conforme plano de aula. Em seguida, perguntei a eles se as expressões obtidas se enquadravam na definição de polinômios. Eles me confirmaram que sim. Em seguida disse para os alunos que: o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x. Deste modo, as expressões: 103

104 A t (x)= x² + 4x + 4. P(x) = 4x + 6 São classificadas como polinômios, quer dizer: - A primeira das expressões acima tem 3 termos e é chamada de trinômio; - A segunda delas tem 2 termos e é chamada de binômio, pois bi implica em dois; Mas, generalizando, chamamos de polinômios a soma de monômios. Expliquei-os que poli é sinônimo de muitos. Após esta fala um aluno me questionou se o números 4 e 6 eram monômios, e então o expliquei que: O 4 poderia ser escrito como: 4.x 0, da mesmo forma que o 6 pode ser escrito como 6.x 0, pois todo numero elevado a zero dá 1. Assim, 4 e 6 se enquadram na definição de monômios, pois zero é um expoente pertencente ao conjunto dos números naturais. Nesta aula brinquei ainda com ele: mostre aqui para a turma por que um numero elevado a zero dá 1, que te dou 1 ponto! Extra!!! Ele disse que não queria, em tom risonho. Então achei interessante mostrar a eles: Vejam: 2 0 pode ser escrito como 2 a-a, que equivale a 2ª/2ª, como todo valor dividido por ele mesmo dá 1, temos: 2 0 = 1. polinomial. Após a prova acima, eu os disse e escrevi no quadro a definição de função FUNÇÃO POLINOMIAL Definição Sejam a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 números complexos e considere a função F(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 +a 1 x + a o A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x. Os números complexos a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 são os coeficientes do polinômio. Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x. São exemplos de polinômios: f(x) = 3x² + 2x 1, onde a 2 = 3,a 1 = 2 e a 0 = - 1 g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a 3 = -4, a 2 = 0, a 1 = 1 e a 0 = ½ 104

105 h(x) = -2x³ + x/3, onde a 3 = -2, a 2 = 0,a 1 = 1/3 e a 0 = 0 Em seguida perguntei aos alunos se os itens a e b representam polinômios: a) f(x) = x + x¹/² + 2 c) g(x) = x + x - ³ Alguns disseram que a opção a representava, depois pararam e mudaram de ideia, dizendo que não era polinômio pois em um dos termos o expoente é fracionário. Complementando eu disse à turma que o colega tinha razão, pois por definição, dado monômio, seja ele f(x) = ax n, n é sempre um numero natural, o que não é o caso deste exemplo, em n = 1/2. Na opção b eu disse que também não se tratava de um polinômio devido ao expoente negativo, pois -3 não é um número natural. GRAU DE UM POLINÔMIO Definição Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente dominante do polinômio. Exemplo 1 Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso: d) P1(x) = 2x³ + x² - 3x 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual a 2. e) p 2 (x) = -3 1/2 x 4 + x³ -x²/2 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante igual a -3 1/2. f) p 3 (x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1. Exemplo 2 Seja o polinômio p(x) = (m 1)x³ + x² - 3x

106 O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é, desde que tenhamos m 1 0 m 1. VALOR NUMÉRICO Definição Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x) para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Indica-se por p(α). Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x). Exemplo 3 Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4 p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5 p(4) = 2(16) p(4) = Logo, p(4) = 25 Em relação a estas definições não houve grandes dúvidas, pelo menos nenhuma que eu me recorde. Ao fim desta aula entreguei uma lista de exercícios, (anexada no plano de aula) afim de que os alunos aplicassem os conhecimentos acima e desenvolvessem habilidades acerca do assunto. A aula teve fim, na sequência, às 09h50min. No dia 02 de maio retornei ao colégio para dar continuidade às atividades, mas não houve aula, pois estava acontecendo um conselho de classe referente a I unidade, então, como não me competia estar presente, não participei. No dia 03 de maio, a aula teve início às 8h10min. Ao dar chegar à sala, cumprimentei os alunos e comecei a verificar se haviam respondido a lista de exercícios, passando de carteira em carteira dando o visto na atividade. Pude perceber que a maioria deles havia feito. Eles me perguntaram quantos pontos valeria a lista e eu os respondi que contava como uma atividade, e como havíamos conversado no primeiro 106

107 dia de aula eu pontuaria as atividades. Assim, ao fim da unidade se eles tivessem todos os vistos ganhariam 1 ponto, se não tivessem todos receberiam o referente ao total que houvesse em seus cadernos. Posteriormente, comecei a fazer a correção, pois houve algumas questões em que os alunos não conseguiram responder. - Em relação à atividade 1, que solicitava identificar o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante, os alunos fizeram tranquilamente, não apresentando nenhuma dificuldade. - No exercício 2: Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique os alunos também responderam corretamente, dizendo que apenas o item b não representava um polinômio, pois x -1 não é um monômio, devido o expoente -1 não ser um número natural. - No exercício 3: Sendo p(x) = x³ + 4x 1, calcular: a) P(3) b) P (4) c) P(m + 1) d) P(-2) Os alunos apresentaram dificuldades em relação à opção c, então disse que se tratava do mesmo procedimento: no lugar do x no polinômio dado era só substituir por (m + 1). Feito isso, teríamos: P(m + 1) = (m + 1)³ + 4(m + 1) 1 Perguntei à eles como desenvolver o primeiro termo do polinômio, mas eles não responderam, suponho que não sabiam. Assim, expliquei que uma das formas de resolver (m + 1)³ é aplicando as propriedades de potenciação: (m + 1)³ = (m+1)².(m+1) Daí então ficaria mais simples de se desenvolver os termos. Mas neste momento ao desenvolver o termo (m+1)², percebi que eles também não sabiam desenvolvê-lo. Então eu disse que poderíamos desmembrar, mais uma vez, obtendo (m + 1). (m + 1), que equivale a; m² + 2m + 1. Outra forma de resolver seria: 107

108 (m + 1)² = quadrado do primeiro termo (m²), mais o expoente 2 vezes o produto dos dois termos, isto é: 2 x m x 1, mais o quadrado do segundo termo (1²), obtendo o mesmo resultado: m² + 2m + 1. Retomando, (m + 1)³ = (m+1)².(m+1) (m + 1)³ = (m² + 2m + 1)(m + 1) Fazendo o produto de cada termo de (m² + 2m + 1) por cada termo de (m + 1), segue que: (m + 1)³ = m³ + m² + 2m² + 2m + m + 1. A partir daí basta somar aqueles termos semelhantes, que obtemos: (m + 1)³ = m³ + 3m² + 3m + 1. Feito isso, P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m (m + 1) 1 P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m m +4 1 P(m + 1) = m³ + 3m² + 7m + 4 Confesso que não foi uma boa escolha ter colocado este exemplo antes de ter dado a multiplicação de polinômios. Os alunos acharam coisa de doido este exercício. Mas neste exercício percebi também que existem outras deficiências (como citadas anteriormente, no decorrer da resolução de um exercício que envolvia produtos notáveis, conteúdo estudado na 7ª série) e foi de suma importância abordá-las. Sei que nem todos, em relação ao explicado, conseguirão eliminar essas dificuldades, mas espero que aos poucos ao menos parte deles tenha entendido e consigam resolver algo do tipo numa futura situação matemática. Na questão 4: Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6, eu os disse que para verificar se 2 é raiz do polinômio dado, bastava calcular o valor numérico do polinômio, quando x = 2. Se o resultado obtido for zero, isso significa que 2 é raiz do polinômio. Na questão 5: (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = x n + x n x² + x + 3, se n for ímpar, então p(-1) vale: b) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3 108

109 Para resolver esta questão com os alunos, pois a maioria não fez, comecei dizendo que uma das maneiras de se resolver seria: se n é ímpar, poderíamos substituir no polinômio dado qualquer valor ímpar para n. Seja, por exemplo, n = 5. Assim, teríamos: (-1) 5 +(-1) 4 + (-1) 3 + (-1) 2 + (-1) + 3 = = = 2 Se substituirmos n = 7, ou outro valor qualquer, veremos que dará P(-1) = 2, alternativa c. A aula teve fim, por volta das 9h:50min e as questões 6 e 7 foram resolvidas na aula seguinte. No dia 09 de maio, a aula que deveria começar às 7h:20min, mas que começa sempre depois das 7h: 30min, foi feita a correção das questões 6 e 7 da lista. Questão 6: (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2, P(-1) =3, P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que: (a) b=0 (b) b=1 (c ) b=2 (d) b=3 (e) N.D.A. A princípio eu disse aos alunos que: utilizando os dados oferecidos pela questão tínhamos: P(-2) = -2 a(-2)³ + b(-2)² + c(-2) + d = -2-8a³ + 4b - 2c + d = -2, chamaremos esta equação de I. P(2) = 2 a(2)³ +b(2)² + c(2) + d = 2 8a³ + 4b + 2c + d = 2, chamaremos esta equação de II. P(-1) = a(-1)³ + b(-1)² + c(-1) + d = 3 -a + b - c + d = 3, chamaremos esta equação de III. P(1) = a(1)³ + b(1)² + c(-1) + d = -3 a + b + c + d = -3, chamaremos esta equação de IV. Em seguida, chamei a atenção dos alunos para notar que obtemos um sistema: -8a³ + 4b - 2c + d = -2 (I) 8a³ + 4b + 2c + d = 2 (II) -a + b - c + d = 3 (III) a + b + c + d = -3 (IV) 109

110 Somando I com III temos 8b + 2d = 0 8b = -2d d = -8b/2 = -4b, chamaremos esta equação de V. Somando III com IV, temos: 2b + 2d = 0, chamaremos esta equação de VI. Substituindo o valor encontrado para d em (V), em VI, temos: 2b + 2(-4b) = 0 2b 8b = 0-6b = 0 b = -0/6 = 0. Logo alternativa (a). Os alunos disseram ter visto este tipo de sistema no ano anterior, mas que não se lembravam como se resolvia dizendo que eu não deveria colocar uma questão assim na prova, pois então só daria tempo de fazer uma única questão. Na questão 7: Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² - x + 5, determinar p(x). Eu disse assim: temos p(x + 1), então o termo anterior é o p(x-1) +1) = 3(x 1)² - (x 1) + 5 p(x) = 3(x² - 2x + 1) x = 3x² - 6x + 3 x + 6 p(x) = 3x² - 7x + 9. A aula foi finalizada a seguir, pois o sinal sonoro tocou logo após a correção. No dia 10 de maio de 2011, expliquei aos alunos como se dão as operações: soma, subtração e multiplicação de polinômios. Comecei introduzindo o assunto dizendo que na sétima série, atual oitavo ano, muito provável, eles estudaram expressões algébricas, polinômios, e fizeram exercícios contendo estas operações: soma, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. Em seguida disse que na aula daquele dia, iríamos relembrar, se fosse o caso, ou aprender como se dão as operações citadas com polinômios. Para dar início escrevi na lousa os procedimentos para cada caso: soma, subtração e divisão. Em seguida, anotei também dois polinômios e exemplifiquei para cada caso, conforme abaixo: Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule: a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) c) P(x). Q(x) c) Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes: P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1) P(x) + Q(x) = x³ + 2x² x² + x

111 P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x 2 Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e Q(x), que nesse caso é o de P(x). d) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes: P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1) P(x) - Q(x) = x³ + 2x² x² - x - 1 P(x) - Q(x) = x³ + x² - x 4 e) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos resultados: P(x). Q(x) = (x³ + 2x² - 3). (x² + x + 1) P(x). Q(x) = x³. x² + x³. x + x³ x². x² + 2x². x + 2x². 1 + (-3). (x²) + (-3). (x) + (-3). 1 P(x). Q(x) = x 5 + x 4 + x³ + 2x 4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x 3 P(x). Q(x) = x x 4 + 3x³ - x² - 3x - 3 Após mostrar os exemplos acima, apliquei alguns exercícios, anotados também na lousa, para que eles pudessem praticar as operações explicadas: questões 20 (a e c), 21 (letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro Matemática aula por aula (adotado pela escola). Em seguida auxiliei alguns alunos em suas carteiras, tirando algumas dúvidas. A professora orientadora do estágio, que também estava presente na sala, também os auxiliou. Na resolução das questões, a atividade 21 os alunos entenderam tranquilamente, pois deveriam apenas identificar o grau maior após resolver as operações pedidas. A questão 22 foi um pouco mais trabalhosa e os alunos não conseguiram resolver à princípio. Então expliquei aos alunos que na questão 22 eles deveriam resolver as operações iniciais, depois agrupar os termos semelhantes, para em seguida estabelecer a correspondência entre os termos que estão acompanhados com o mesmo termo semelhante de um lado da igualdade com o termo que tiver do outro lado o mesmo termo semelhante. Ao resolver no quadro para que eles pudessem entender melhor foram feitos os seguintes procedimentos: 111

112 A questão 24 foi bem semelhante com 21, na qual após fazer as operações devidas deveriam identificar o grau, não apresentando grandes dificuldades. As correções destes exercícios foram feitas na aula seguinte, que aconteceu no dia 16 de maio de Ao iniciar a aula dei o visto nas atividades, enquanto isso eles abriam os cadernos. A seguir, fiz a correção das atividades na lousa. Em relação à aula prevista em plano utilizando recortes, houve uma mudança e pretendo realiza-la futuramente juntamente com a divisão com os recortes, caso o calendário permita. No dia 17 de maio a aula teve início por volta das 7h:30min. Neste dia, durante o primeiro horário apliquei um questionário socioeconômico (em anexo nas páginas 140, 141 e 142) a fim de conhecer um pouco mais sobre o perfil dos alunos, com os quais estamos preparando nossas aulas. A princípio, como de costume, por ser o primeiro horário, nem todos estavam presentes, mas com o passar do tempo foram chegando e começando a responder o questionário. Ao recebê-lo, alguns deles questionaram se seria preciso se identificar. Outra dúvida foi: se nenhuma das opções ali contidas para cada questão não se enquadrasse em suas respostas, o que fazer? Então eu 112

113 lhes disse que se eles se sentissem à vontade para se identificar, seria bom, mas, se não fosse o caso, deixassem sem preencher. Em relação à outra dúvida mencionada, eu disse que poderiam escrever a opção que não estivesse ali, por exemplo: se seus pais têm nível superior completo e a opção não estiver aí, coloque logo abaixo. Enquanto respondiam as questões os alunos tem o hábito de comentar as respostas entre eles, um deles, por exemplo, disse não ter o costume de ler livros, outro aluno comentou que em relação ao acesso à internet, só Google e Orkut. Pouco depois do fim do segundo horário, quando todos já haviam me devolvido o questionário socioeconômico, abordei o conteúdo Identidade de polinômios. A princípio, utilizando a lousa, fiz as devidas anotações e apresentei aos alunos sob quais condições um polinômio era dito nulo, seguido de exemplos, e sob quais condições dois polinômios são considerados idênticos, mostrando também alguns exemplos, seguindo a risca o plano de aula. Os alunos aparentaram entender o conteúdo, não demonstrando dificuldades. Para complementar a aula e verificar se, de fato, os alunos entenderam como se dá a identidade de polinômios, apliquei os exercícios 11, 12, 14, e 18 da página 185 do livro adotado pela escola, fazendo as correções antes do fim da aula, que veio ocorrer as 9h00min. No dia 23 de maio, cheguei ao colégio por volta das 7h20min. Ao entrar na sala percebi que a maioria dos alunos ainda não havia chegado, talvez devido ao frio e à garoa que estava fazendo nesta manhã. Aguardei alguns instantes para ver se chegavam mais alguns alunos, que aos poucos foram chegando. Minutos depois, tivemos a visita também de minha orientadora do Estágio Supervisionado II, professora Roberta Bortoloti. Para dar início à aula perguntei a eles se haviam feito as atividades deixadas na aula anterior como dever de casa. Infelizmente minoria havia feito, então dei o visto, como de costume, nos cadernos dos que fizeram o solicitado. Neste momento, a professora Roberta se pronunciou com uma breve conversa com os alunos, os chamando a atenção para a série que estava nesta semana sendo apresentada no Jornal Nacional que retrata a situação da nossa educação no Brasil, citando que no balanço das reportagens o especialista em educação apontou o não cumprimento do dever de casa 113

114 como um dos fatores que influencia diretamente no rendimento do aluno. Entre outras coisas, a professora citou ainda que é preciso estudar para ter uma condição de vida melhor, dando o seu depoimento, falando um pouco de sua história de vida, vindo também de uma escola pública, lutou, conseguiu passar no vestibular, se graduou, pós graduou, sempre com muito esforço, trabalhando inclusive durante este processo, e hoje como exemplo, se encontra em uma condição de vida melhor que alguns colegas de sua cidade natal. E que desta forma os alunos deveriam começar por fazer a diferença pensando no dia de amanhã. Após estas palavras, os alunos permaneceram em silêncio, pois sabiam que estavam errados, então dei mais alguns minutos para que tentassem fazer as atividades e em seguida fiz as seguintes correções das questões 11, 14 e 18, conforme abaixo: 11- Determine a, b e c para que o polinômio P(x) = (a 8)x³ + (5b 15)x² + cx, seja identicamente nulo. Solução: expliquei-os que para que um polinômio seja nulo, temos que: a 8 = 0 a = 8, 5b 15 = 0 5b = 15 b= 15/5 b = 3 e c = 0 logo a = 8, b = 3 e c = Calcule a e b, de modo que os polinômios P(x) =(2a 6)x³ + (3b 4)x² e Q(x) = x³ +3x² sejam idênticos. Solução: inicialmente os relembres que; se um polinômio é idêntico ao outro então, cada termo correspondente, isto é os termos semelhantes entre os monômios de P(x) e os monômios de Q(x) são equivalentes, isto é: 2a 6 = 1 2a = 7 a = 7/2 e 3b 4 = 3 3b = 7 b = 7/ (OSEC-SP) Sejam os polinômios F(x) = ax² - 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x³ + bx² - 3x + c, os valores de a, b e c, tais que f.g = h são, respectivamente: 114

115 a) -1; 2 e 0 b) 0; 1 e 2 c) 1; -1 e 2 d) 1; 0 e 2 e) 2; -1 e 0 Solução: para iniciar, eu disse aos alunos que a questão nos dá o seguinte dado: f. g = h, donde segue que: (ax² - 2x + 1). (x + 2) = (x³ + bx² - 3x + c) Logo, ax³ + 2ax² - 2x² - 4x + x + 2 = x³ + bx² - 3x + c Operando entre os termos semelhantes, temos: ax³ + (2a - 2)x² - 3x + 2 = x³ + bx² - 3x + c, donde fazendo a correspondência entre os termos semelhantes resulta, que: a = 1, 2a 2 = b, como a =1, isso implica que b = 0 e c = 2 Assim, a alternativa correta é a opção (d). A aula teve fim com esta correção por volta das 8h:10min. No dia 24 de maio, dei início à divisão de polinômios. Inicialmente, como previsto em plano de aula, os relembrei como se dá a divisão entre números inteiros: Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b 0) consiste em encontrar dois inteiros q e r, com o r < d, tal que: a = q. b + r Donde, a = dividendo, b = divisor, q = quociente e r = resto. Em seguida mostrei um exemplo prático, uma vez que os alunos questionaram estar entendendo, mas que a visualização é melhor quando se tem um exemplo numérico, pois, segundo eles, quando coloca letra complica tudo. Veja: 115

116 Segue então, que: 7 = A partir deste exemplo, expliquei aos alunos que com polinômios podemos realizar também a divisão seguindo um procedimento bem similar através do MÉTODO DA CHAVE, expondo-o: Efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) 0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: A(x) = Q(x). B(x) + R(x) em que: A(x) = dividendo, B(x) = divisor, Q(x) = quociente e R(x) = resto Indicando na chave, temos: Em seguida, mudando um pouco o previsto em plano de aula, comecei mostrando a divisão de A(x) por B(x) através de um exemplo: Sendo A(x) = 6x³ - 2x + 1 e B(x) = x² + x, temos: 116

117 Vale lembrar que, ao explicar os procedimentos acima, os alunos sentiram dificuldades em acompanhar a mecânica deste método, tendo repetido e explicado cerca de duas ou três vezes os passos. Fazendo durante a explicação algumas observações: - O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x). - O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor B(x). - Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x). 117

118 Repetindo, falei novamente que para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: 4. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero. 5. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente. 6. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo. - Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui. - Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo. A seguir eles pediram que eu fizesse mais alguns exemplos para que eles pudessem entender melhor. Assim, fiz mais um exemplo para eles: Exemplo: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x 6 por B(x) = x + 2. Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto: Gr(Q) = gr(a) gr(b) = 2 Como gr(r) < gr(b) = 1, então gr(r) = 0 ou R(x) = 0. x³ + 4x² + x 6 x + 2 -x³- 2x² + x - 6 x² + 2x - 3 quociente: Q(x) 2x² + x - 6-2x² - 4x -3x x + 6 Resto:R(x) = 0 Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x): x³ + 4x² + x 6 (x + 2)(x² + 2x 3)

119 Após explicar os procedimentos de divisão entre polinômios através do Método da Chave, apresentei aos alunos o Teorema do resto e o Teorema de D Alembert. E explicando que, em alguns casos, a depender de qual elemento de um polinômio queiramos encontrar, convém utilizar destes métodos, caso se desconheça ou por motivos quaisquer não se queira utilizar outro método. Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x a) é o próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a). De acordo com a definição de divisão, temos: P(x) = (x a). Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1 P(a) = (a a). Q(a) + k P(a) = K Logo: R(x) = P(a) Exemplo 1 Podemos determinar o resto da divisão de f(x) = 3x 4 x³ + 2 por g(x) = x 1 sem efetuar a divisão. Basta notar que: - A raiz do divisor é x 1 = 0 x = 1. - Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = ³ + 2 =

120 Exemplo 2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) = x 5 x por h(x) = x + 3, fazemos: - A raiz de h(x) é x + 3 = 0 x = Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3) 5 (-3) = -243 (-27) + 2 = Teorema de D Alembert A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x a) é exata se, e somente se, P(a) =0. Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a). Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0. Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata. Exemplo 1 A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x 2) é exata, pois: P(2) = 2³ + 2² P(2) = P(2) = 0 Ao fim da segunda aula de matemática da manhã do dia 24 de maio, o professor regente Enoque Alves de Matos, apareceu na turma para entregar as avaliações e resultado final, referente à unidade I. Ao começar a entrega, percebi que a expressão no rosto de grande parte dos alunos não foi das melhores. Uma aluna comentou: é... tenho que aproveitar para tirar 10 agora com você professora por que III e IV unidades é Ele de novo!, vale ressaltar, que este comentário partiu daquela aluna que durante minhas observações, relatado anteriormente na fase de observação, teve um desentendimento com o professor. Ao concluir a entrega, o professor deixou as avaliações dos alunos que 120

121 não estavam presentes com o líder da turma, e assim, foi concluída a aula do dia 24, às 9h50min. A meu ver, no dia em que se entrega um resultado de uma avaliação para a turma é interessante que o professor faça um breve comentário sobre o desempenho dos alunos na avaliação, sucedida pela correção da prova na lousa. No dia 30 de maio de 2011, dei continuidade aos métodos utilizados para divisão de polinômios, explicando como funciona o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini e fazendo os dois exercícios sobre este método, conforme plano de aula. Em seguida, apliquei os exercícios previstos, também em plano, e disse, que: de nada adiantaria eles terem observado e anotado os procedimentos apresentados no caderno se ao chegar em suas casas não fizessem as atividades. Pois, o conhecimento, a aprendizagem, é algo que se constrói individualmente. O professor é apenas um intermediador, que tenta facilitar a escrita dos livros, prepara uma aula mais acessível e tenta contribuir para que a aprendizagem ocorra. É preciso que o aluno exercite, fazendo as atividades propostas, tentando resolver problemas, quando possível, para que as teorias possam ser colocadas em prática. No dia 31 de maio de 2011 não houve aula, pois houve paralisação das atividades na Bahia por parte dos professores da rede pública. Assim o teste que havíamos marcado para este dia ficou adiado para a aula seguinte, que aconteceu no dia 06 de junho de 2011, no primeiro horário. Como o tempo era pouco, a pedido dos próprios alunos, e em seguida por mim, o professor da aula seguinte (Professor de Química), concordou em ceder o horário, que teve fim às 9h00min. No decorrer da avaliação os alunos fizeram algumas perguntas sobre algumas questões, as quais fiz a leitura e expliquei o que era para fazer em cada questão. No dia 07 de junho foi feita a correção dos exercícios que haviam ficado por fazer na aula do dia 30 de maio. Não foram resolvidos todos, pois eram 12 exercícios, então nos exercícios que tinham letras a e b ou c, corrigi apenas uma de cada. Dizer que não houve dificuldades creio que seria omitir os fatos, pois sempre têm na turma aqueles que entendem quando o professor explica, mas na hora de fazer sentem dificuldades. Segue abaixo, algumas das correções: 121

122 Questão 28: Esta questão foi resolvida de forma clara e é semelhante às questões 50, 51 e 52 (nesta porém, após achar os valores finais, a questão pede a soma desses valores). Em todas envolvem a questão da divisibilidade, cujo resto de um polinômio divisível por outro deixa resto igual à zero. Questão 33: 122

123 Questão 34: Na questão 54 era só pra resolver utilizando o método conveniente, e encontrar o resto. De modo geral os alunos resolveram os exercícios, apresentando facilidade em resolver alguns, mais dificuldades em resolver outros. Enfim, finalizamos a aula do dia 07 de junho, com o fim do horário da aula. Foi uma aula produtiva, pois ao resolver os exercícios os alunos vão amadurecendo as ideias, adquirindo habilidades, conhecendo as estratégias de resolução dos exercícios, fixando melhor o conteúdo e tirando as eventuais dúvidas. Nos dias 13 e 14 de junho, a pedido dos alunos fiz uma breve revisão sobre os métodos utilizados para divisão de polinômios. No dia 14, entreguei também o teste que eles haviam feito, fazendo sua respectiva correção no quadro. No geral, a maior dos dificuldade dos alunos foi em relação à questão 3. A maioria não conseguiu encontrar os valores pedidos, para que o grau do polinômio fosse zero. No mais, tiveram um 123

124 desempenho melhor nas outras questões (1, 2, 4 e 5). Os resultados não foram excelentes, mas a maioria obteve uma pontuação acima de 50% em relação às notas, o que já considero satisfatório. No dia 15 de junho aconteceu uma oficina sobre Análise Combinatória. Foi realizada no laboratório de matemática na UESB, um ambiente tranquilo, ideal para os alunos desenvolverem as atividades e também uma oportunidade dos alunos estarem conhecendo um pouco da estrutura física da Universidade. A oficina teve início por volta das 8h:20min e terminou por volta das 11h:30min. Estava presente a minha professora orientadora do estágio Roberta e a minha colega Maria das Graças, que me ajudaram na realização da oficina. Para dar início às atividades da oficina, convidei para ir até o centro da sala três meninos e três meninas, pois não havia muitos homens na sala, então fizemos uma adaptação para realizar o problema 1. Em seguida, pedi que três deles permanecessem para realizar o problema 2. Ao realizar as atividades os alunos participaram, se sentiram à vontade e, ao que percebi, entenderam os problemas abordados. Logo depois, solicitei que os alunos se organizassem em grupos de 4 ou 5 pessoas para que pudéssemos resolver os demais problemas (ver fotos no anexo 2). Em seguida entreguei um roteiro de problemas (são os problemas contidos no projeto de ensino, primeira etapa: do 1 ao 8, visto anteriormente) para que eles pudessem resolver. Os alunos se mostraram muito empenhados em encontrar as soluções de cada problema. Para o problema 3 entregamos as letras da palavra amor em material emborrachado para que eles encontrassem as possibilidades diferentes de arrumações dessas letras. A princípio eles começaram fazendo de uma em uma, contando cada arrumação diferente. Em seguida falei para eles se lembrarem dos problemas anteriores, que seria mais fácil usar o princípio multiplicativo. Desta forma eles fizeram: poderíamos começar as arrumações com: 4 possibilidades para a segunda letra, ficaria 3 possibilidades para a terceira letra, 2 possibilidades para a terceira letra e para a quarta letra apenas 1 possibilidade, desta forma utilizando o princípio multiplicativo: 4 x 3x 2 x 1 = 24 formas diferente de arrumações das letras da palavra AMOR. 124

125 Após os alunos entenderem a forma de resolução desta palavra entregamos mais uma letra: a letra A. assim, eles construíram a apalavra AMORA. Ao tentar resolver eles perceberam que tinha duas letras A e que elas sendo iguais ao trocar uma pela outra não alterava o sentido da palavra. Então explicamos que quando há letras iguais a estratégia é contar essas possibilidades, mas depois eliminá-las. Isto é, seguindo o procedimento anterior: como são 5 letras, 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! Como duas letras se repetem: 2 x 1 = 2! Assim os alunos devem fazer 5! / 2! = 120/2 = 60 formas diferentes de arrumar as letras da palavra amora. Para resolver o problema 5 entregamos uma bandeira e as faixas em cores diferentes conforme as fotos 3,4 e 5 em no anexo 2. Os alunos demoraram bastante para tentar resolver o problema, quebraram a cabeça e os grupos não conseguiram resolver. Com algumas dicas e sugestões acabamos explicando que era a mesma estratégia das outras questões: como não poderia repetir cor o procedimento foi o seguinte: - primeira listra: 3 opções de cores; - segunda listra: não poderia repetir a cor escolhida para a primeira listra, então 2 opções de cores; - terceira listra: não poderia repetir a cor escolhida para a segunda listra, então 2 opções de cores; - Quarta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a terceira listra, então 2 opções de cores; - Quinta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quarta listra, então 2 opções de cores; - sexta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quinta listra, então 2 opções de cores; Usando o princípio multiplicativo, 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 96 possibilidades diferentes de pintar a bandeira. Para o problema 6 entregamos os algarismos e uma placa conforme foto 1 do anexo 2. Para o problema 7 entregamos os carrinhos e a pista, conforme foto 8 no anexo 2 e para o problema 8 foram entregues frutas para um dos grupos que já haviam terminado as outras atividades, eles não conseguiram resolver o problema 8. Como a estratégia fugia um pouco da estratégia de resolução das outras atividades, achamos 125

126 melhor não entrega-la aos outros grupos, pois a questão não foi muito bem trabalhada a meu ver. Achei melhor não entrega-la aos outros grupos. Por volta das 10h:00min fizemos uma pausa pra um breve lanche. Nesse momento os alunos aproveitaram para dar uma circulada pela UESB e conhecer um pouco mais a Universidade. Por volta das 10h:30min retomamos as atividades, e realizamos a 2ª etapa da oficina, composta pelas perguntas de 9 a 12, conforme previsto em projeto de ensino. Antes, porém, apresentamos uma vídeo-aula de número 51 do novo telecurso para os alunos estarem aprendendo outras técnicas de agrupamento. Para cada problema da segunda etapa, assim como anteriormente, foi entregue os materiais para os alunos estarem tentando resolver os problemas. Ao fim da oficina houve uma conversa com os alunos, deixei minhas considerações acerca da experiência na sala deles e os sugeri que estudassem, pois nós só nos veríamos novamente na semana de provas. A professora orientadora do estágio os perguntou se a experiência manipulando aqueles materiais tinha sido válida, eles confirmaram que sim, que tinha sido muito bom. Para mm foi uma experiência interessante, acho que dá para melhorar um pouco mais em relação aos problemas da segunda etapa. A oficina de analise combinatória através de resolução de situações-problemas representou um momento diferente, para eles e para mim, no qual foi bem proveitoso. Após ter feito esta oficina, aproveitei este material inclusive, adaptando para trabalhar com meus alunos de 6ª série com probleminhas mais simples. Eles adoraram, ficaram super felizes ao resolver os probleminhas em sala de aula. Pude perceber que a resolução de problemas utilizando materiais concretos pelos alunos, foi atrativo, dinâmico, despertou a curiosidade e vontade de descobrir a forma de resolver e achar a resposta certa, despertando o gosto pela matemática, dinamizando a aula e promovendo de forma prazerosa o aprendizado. Entre 11 e 15 de julho aconteceu a semana de provas do CIENB, referente a segunda unidade, no dia 12 estive na Instituição entre as 8h:00min e 10h:00min fiscalizando as avaliações de Inglês, Redação e Língua portuguesa, que foi tranquilo, sem maiores transtornos. Quanto a avaliação de matemática foi aplicada no dia 13 sob a fiscalização de outro professor. 126

127 No dia 18 de julho, por volta das antes de entregar ás avaliações ao professor, 10h:00min cheguei ao CIENB para entregar as avaliações aos alunos. Antes, porém, fiquei na sala dos professores passando as notas do teste e da prova para a caderneta, com o respectivo fechamento de notas da unidade. gostaria de ter feito uma análise com notas da unidade II em relação as notas da unidade I, no entanto não foi possível pois o professor ainda não as tinha passado para a caderneta de notas. Ficou de me mandar por , no entanto também não o fez. A seguir, como os alunos estavam em aula de outra disciplina, entreguei as avaliações ao professor regente, com quem conversei sobre os resultados. A maioria (19) atingiu nota satisfatória. Acredito que o resultado poderia ter sido melhor, mas como os alunos passaram cerca de um mês em recesso e retornaram já para fazer as provas, arrisco um palpite de que eles não estudaram tanto nas férias. No dia 11 de agosto aconteceu o conselho de classe da segunda unidade. Por volta das 8h:20min os professores se reuniram por turmas para dar início as atividades. Alguns professores que trabalhavam em mais de uma série ficaram alternando entre salas. Na reunião estavam presentes também os líderes de classe do 3º ano, turmas B e C, infelizmente não estavam presentes os líderes dos demais terceiros anos. A princípio foi discutido sobre o comportamento dos alunos. Um dos líderes fez um depoimento sobre a turma reconhecendo que o 3º B é uma turma difícil. Instantes depois, quando os líderes já haviam se retirado da sala, foram citados alguns nomes de alunos para que fossem chamados à atenção e houvesse uma conversa futuramente. Foi discutido de modo geral, sobre o desempenho de todas as turmas, que foi considerado como bom. O conselho de classe é sempre um momento em que o que mais se discute são sobre os alunos que apresentaram problemas. Ao citar os nomes de alunos e os supostos motivos que levaram eles a baixar o nível de desempenho, os professores demonstraram conhecer bastante de seus alunos. Foi um momento interessante, no qual ficou definido, inclusive, que os professores iriam chamar estes alunos para uma conversa particular. Logo depois do conselho de classe, que teve fim por volta das 10h:30min, aconteceu um chá de fraldas na sala dos professores. O motivo é que um dos professores da instituição será papai em breve, e os colegas de trabalho fizeram uma rápida entrega de fraldas, com direito a comes e bebes. 127

128 ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIO-ECONÔMICO Para conhecer um pouco mais do perfil dos alunos do 3º A do CIENB, foi aplicado no dia 17 de maio um questionário socioeconômico. Lembrando que eu já estava regendo desde o dia 25 de abril de De acordo com os dados obtidos, apresentaremos aqui uma análise geral da turma. 1 - IDENTIFICAÇÃO No momento da aplicação do questionário socioeconômico, estavam presentes na sala 25 alunos: 18 do sexo feminino e 7 do sexo masculino. Estes alunos tem em média 17 anos, com exceção de uma aluna que tem 29 anos, a única que também é casada, tem 1 filho e não mora com os pais. Conforme gráfico 1 observa-se que a maioria dos alunos que responderam ao questionário não mora no bairro Brasil, local onde está situado o CIENB, talvez este seja um dos motivos para o atraso em relação ao primeiro horário de aula na segunda feira (aula de matemática). Gráfico 1: Números de alunos por bairro. 128

129 2 - ESCOLARIDADE DOS PAIS No gráfico 2 podemos observar o grau de escolaridade dos pais desses alunos. Gráfico 2: grau de escolaridade dos pais. GRAU DE ESCOLARIDADE DOS PAIS ESCOLARIDADE DO PAI ESCOLARIDADE DA MÃE Nota-se que em relação a escolaridade do pai, a maioria deles não concluiu o ensino fundamental até a 8ª série (antigo 1º grau). Em relação ao grau de escolaridade da mãe, percebe-se que a maioria delas possui o ensino fundamental até a 8ª série (antigo 1º grau) completo. Sabe-se que a baixa escolaridade pode implicar diretamente na renda salarial das pessoas. De acordo com o gráfico a seguir, podemos notar que a maioria das famílias sobrevivem com valores entre 1 e 2 salários mínimos. Uma das possíveis causas desse 129

130 fato pode estar relacionada com a baixa escolaridade dos pais desses alunos, conforme visto no gráfico 2. Gráfico 3: renda mensal da família. Quanto os alunos que trabalham, vejamos algumas informações sobre eles no quadro 1: Quadro 1: Atividade desenvolvida pelos alunos que trabalham Aluno 1 Trabalha como gerente comercial, 6 hs diárias, tem carteira assinada e contribui com as despesas do lar. Aluno 2 Trabalha como atendente, 4 horas diárias, não possui carteira assinada e não contribui com as despesas do lar. Aluno 3 Trabalha com ornamentação de festas, não tem uma carga horária prédefinida, não possui carteira assinada e contribui com as despesas do lar. Aluno 4 Trabalha como auxiliar de escritório (estagiária), num período de 4 horas diárias, possui carteira de trabalho assinada e não contribui com as despesas do lar. remunerada. Percebe-se que é um número pequeno de alunos que exerce alguma atividade 130

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