Instituto Politécnico de Beja Escola Superior de Tecnologia e Gestão Engenharia Informática. Simulação Numérica

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1 Instituto Politécnico de Beja Escola Superior de Tecnologia e Gestão Engenharia Informática Simulação Numérica Nuno Gonçalo Varela n.º 4383 Docente: Nuno Sidónio Pereira 2007/2008

2 Índice Abstract 3 0. Introdução 4 1. Tecnologia Sistema Operativo Fortran Linguagem de Programação Force 2.0 Compilador Gnuplot Gráficos Máquina Virtual Virtual Box Solaris 9 2. Testes Force, Fortran e Gnuplot Aplicações Conjunto de Mandelbrot Algoritmo e Pseudocódigo Código Testes com imagens 2D Testes com imagens a cores Conclusão Links 25 Anexos Código Fortran e Scripts Gnuplot para gerar os gráficos 26 2

3 Abstract Estudo do desempenho computacional no cálculo do conjunto de Mandelbrot para posterior impressão gráfica. 3

4 Introdução O termo fractal descreve fenómenos matemáticos que exibem comportamento caótico, como por exemplo, auto-similaridade em várias escalas. Estes fenómenos envolvem a definição de algoritmos ou funções recursivas, e necessitam poder de processamento relativamente grande para serem calculados. Os fractais de Mandelbrot (também chamados conjunto de Mandelbrot) são um conjunto de números complexos, na forma z = x + iy, onde x e y são números reais, e i é um número especial, que representa a raiz quadrada de -1. O número x é a parte real do número complexo, e iy é a parte imaginária. O conjunto de Mandelbrot é um problema trivialmente paralelizável, pois os pontos podem ser divididos igualmente entre os processadores, e não é necessário comunicação entre os processos, até o final do processamento, onde os dados são recolhidos por um dos processadores. Uma questão importante a ser considerada é que não se sabe à partida o número de iterações necessárias para se calcular o valor de cada pixel, logo não se sabe quando um processador irá terminar a sua carga de trabalho. Percebe-se que, resolver o problema estaticamente, não é a maneira ideal, então torna-se interessante utilizar um algoritmo onde um dos processadores distribui trabalho para os restantes (master-slave), desta forma o algoritmo é dinâmico e dificilmente teremos processadores à espera durante um grande intervalo de tempo. 4

5 Tecnologia 1.1 Sistema Operativo Para podermos realizar este trabalho, foram utilizados dois sistemas operativos, o Windows XP Profissional (Service Pack 2) e o Windows Vista, em que ambos os sistemas operativos são desenvolvidos pela Microsoft. 1.2 Fortran Linguagem de Programação A família de linguagens de programação conhecida globalmente como Fortran foi desenvolvida a partir da década de 1950 e continua a ser usada hoje em dia. O nome tem como origens a expressão "FORmula TRANslation" (ou "Translator"), em português, Tradutor de Fórmulas. A linguagem Fortran é principalmente usada em Ciência da Computação e Análise Numérica. A linguagem Fortran foi largamente adoptada por cientistas para a escrita de programas numericamente intensivos, o que encorajou os produtores de compiladores a escrever compiladores que gerassem código mais rápido. A ampla disponibilidade de compiladores para diferentes computadores; a simplicidade da linguagem; facilidade para ensiná-la; sua eficiência e as vantagens introduzidas pelo uso de subrotinas e compilação independente das mesmas; a capacidade de lidar com número complexo; além de muitas outras características ajudaram em sua ampla difusão dentro da comunidade científica. O Fortran permite a criação de programas que primam pela velocidade de execução. Daí reside seu uso em aplicações científicas computacionalmente intensivas como meteorologia, física, astronomia, geofísica, engenharia etc. 5

6 1.3 Force 2.0 Compilador O Force é um ambiente integrado de desenvolvimento, ou Integrated Development Environment (IDE), para programas escritos na linguagem de programação Fortran. É uma ferramenta de domínio público e que pode ser executada em sistemas operacionais da família Microsoft Windows. O ambiente de desenvolvimento é composto por: - editor de texto, com ressalta para a sintaxe do Fortran; - compilador Fortran; - depurador (debugger), para a verificação do programa; - janela de gerenciador de projeto com os arquivos fontes; - janela de mensagens (avisos e erros). 1.4 Gnuplot Gráficos O Gnuplot é um programa de linha de comando que pode plotar os gráficos de funções matemáticas em duas ou três dimensões, e outros conjuntos de dados. O programa pode ser executado na grande maioria dos computadores e em diversos sistemas operativos (Linux, UNIX, Windows, Mac OS X...). O Gnuplot pode gerar saídas directamente no ecran, ou em muitos formatos de arquivos gráficos, incluindo PNG, EPS, SVG, GIF, JPEG e muitos outros. Ele também é capaz de produzir código LaTeX que possa ser incluído directamente nos documentos LaTeX, fazendo uso de fontes LaTeX e poderosas habilidades com fórmulas. O programa pode ser usado tanto interactivamente como através de scripts em lote (batch mode). Para um script de exemplo e sua saída, veja esta espiral logarítmica. O programa é bem suportado e documentado. Ajuda extensiva pode ser encontrada na internet gnuplot é usado como a engine de plotagem do GNU Octave, Maxima e gretl, e ele pode ser usado a partir de várias linguagens de scripts, incluindo Perl (via CPAN), Python (via Gnuplot-py e SAGE), Ruby (via rgnuplot) e Smalltalk (Squeak e GNU Smalltalk). gnuplot é programado em C. 6

7 1.5 Máquina Virtual Na ciência da computação, máquina virtual é o nome dado a uma máquina, implementada através de software, que executa programas como um computador real. Uma máquina virtual (Virtual Machine VM) pode ser definida como uma duplicata eficiente e isolada de uma máquina real. A IBM define uma máquina virtual como uma cópia isolada de um sistema físico, e esta cópia está totalmente protegida. O termo máquina virtual foi descrito na década de 60 utilizando um termo de sistema operativo: uma abstracção de software que consegue ver um sistema físico (máquina real). Com o passar dos anos, o termo englobou um grande número de abstracções por exemplo, Java Virtual Machine JVM que não virtualiza um sistema real. Ao invés de ser uma máquina real, isto é, um computador real, feito de hardware e executando um sistema operativo específico, uma máquina virtual é um computador fictício criado por um programa de simulação. A sua memória, processador e outros recursos são virtualizados. A virtualização é a interposição do software (máquina virtual) em várias camadas do sistema. É uma forma de dividir os recursos de um computador em múltiplos ambientes de execução. Os emuladores são máquinas virtuais que simulam computadores reais. São bastante conhecidos os emuladores de vídeo games antigos e os emuladores de microcomputadores, como o VMware e o Bochs. Linguagem de máquina nada mais é do que a linguagem que se usa para programar, ou seja números binários. Os tipos de máquinas virtuais podem ser divididos em dois tipos: Tipo 1: Sistema em que o monitor é implementado entre o hardware e os sistemas convidados (guest system). Tipo 2: Nele o monitor é implementado como um processo de um sistema operativo real, denominado sistema anfitrião (host system). Tipos Híbridos: Os monitores de tipo 1 e 2 raramente são usados em sua forma conceitual em implementações reais. Na prática, várias optimizações são 7

8 inseridas nas arquitecturas apresentadas, com o objectivo principal de melhorar o desempenho das aplicações nos sistemas convidados. Como os pontos cruciais do desempenho dos sistemas de máquinas virtuais são as operações de E/S, as principais optimizações utilizadas em sistemas de produção dizem respeito a essas operações. Outra importante categoria das máquinas virtuais, são as máquinas virtuais para computadores fictícios projectados para uma finalidade específica. Actualmente a mais importante máquina virtual desta família é a JVM (máquina virtual Java). Existem simuladores para ela em quase todos os computadores actuais, desde computadores de grande porte até telefones celulares, o que torna as aplicações Java extremamente portáveis. Uma importante vantagem sem duvida de se escrever código para uma máquina virtual é a de se poder compilar o código sem que seja perdida a portabilidade, melhorando-se a velocidade em relação à programação interpretada, que também é portátil, porém mais lenta, já que neste caso cada linha será traduzida e executada em tempo de execução, e no caso da máquina virtual cada mnemónico da máquina virtual é convertido no equivalente em linguagem de máquina (ou assembly) da máquina real Virtual Box O VirtualBox é um software/máquina virtual que, como o VMware Workstation, visa criar ambientes para instalação de sistemas distintos. Nela é permitida a instalação e utilização de vários sistemas operativos dentro de outro dando suporte real a diferentes softwares de outros sistemas. O VirtualBox, desenvolvido pela Sun Microsystems, Inc., é de forma geral um virtualizador completo para hardware x86. Foi concebido para ser servidor, desktop, é agora como solução de virtualização de qualidade profissional, também é um Software Open Source. Modularidade. O VirtualBox tem um desenho extremamente modular com interfaces de programação interna bem definidas e um desenho cliente/servidor. Isso torna fácil o controlo de várias interfaces de uma só vez. 8

9 Por exemplo: pode-se iniciar uma máquina virtual numa máquina típica virtual de interface gráfica e, de seguida, controlar essa máquina a partir da uma linha de comando, ou possivelmente remotamente Solaris O Solaris é um Sistema Operativo UNIX desenvolvido pela Sun Microsystems. As primeiras versões do Solaris (baseadas no código do BSD) foram chamadas SunOS, sendo o seu nome alterado para Solaris 2 quando passou a ser baseado no System V. O Solaris é conhecido pela sua acessibilidade, em especial nos sistemas de SPARC, também por dar origem a muitas características inovadoras tais como DTrace e ZFS. O Solaris suporta SPARC baseado em x86 estações de trabalho e usuários baseados do Sun e de outros vendedores, com esforços mover fabricar às plataformas adicionais. O Solaris é certificado de encontro à única especificação de Unix. Embora seja desenvolvido historicamente como o software proprietário, uma maioria de seu código de base é agora software aberto da fonte como OpenSolaris. Na sua versão 10, lançada no início de 2005, o Solaris oferece os seguintes recursos avançados: - DTrace: análise e resolução de problemas de performance, em tempo real; - Solaris Containers: consolidação de aplicações em servidores de maior porte, através da criação de ambientes isolados e independentes; - Predictive Self Healing: capacidade de antecipar-se à ocorrência de falhas que possam causar bloqueios críticos, isolando-as e auto-recuperando-se; - Smarter Updating: actualizações automáticas e inteligentes através do Sun Update Connection; - Integrated Open Source Applications: disponibilidade de centenas de aplicações já integradas ao sistema; - ZFS: um novo tipo de sistema de arquivos de administração simplificada, semântica transaccional, integridade de dados end-to-end e grande escalabilidade. 9

10 Testes 2.1 Force, Fortran e Gnuplot Para que o conhecimento sobre a linguagem de programação Fortran fosse desenvolvido e assim concretizar o objectivo do nosso trabalho, foram testados pequenos programas de cálculo numérico e alguns deles testadas também a sua representação gráfica no Gnuplot. Deste modo começamos por programar o cálculo da função Factorial entre dois números introduzidos pelo utilizador e também a aplicação da Fórmula Resolvente. Programámos também o cálculo da função Integral de um trapézio, em que são introduzidos três valores, obtendo depois o resultado. Programámos também a Equação Diferencial do Arrefecimento de Newton, a resolução do Método de Euler de Resolução de Equações Diferenciais e a resolução do método da Equação Diferencial de Runge Kutta. O código fonte das aplicações encontra-se escrito na parte dos anexos por ordem de apresentação. Na janela da aplicação da função Factorial, vamos calcular o factorial dos números entre, por exemplo, 1 e 10, números estes introduzidos pelo utilizador, e a aplicação devolvemos o Factorial de cada número entre 1 e

11 Na aplicação da Fórmula Resolvente o utilizador introduz três algarismos, por exemplo, -1, 4 e 3, e o programa devolve os zeros dessa mesma função e o erro de cálculo de arredondamento. No programa que calcula a função Integral de um trapézio, o utilizador tem que introduzir os valores respeitantes a a, a b, e a n. E deste modo temos o valor do Integral. 11

12 O programa que calcula a Equação Diferencial da Lei do Arrefecimento de Newton Foram gerados 4 ficheiros com resultados para comparar as suas diferentes evoluções, variando apenas a Temperatura Inicial T 0 e o valor de K, que nos diferentes ficheiros temos os seguintes valores: Temperatura Inicial Tempo maximo Constante Temperatura Ambiente T 0 t max k A ficheiro ficheiro ficheiro ficheiro

13 13

14 14

15 15

16 Método de Euler de Resolução de Equações Diferenciais 16

17 Método de Runge-Kutta de Resolução de Equações Diferenciais 17

18 Aplicações 3.1 Conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal Outra vista do conjunto de Mandelbrot Algoritmo e Pseudocódigo O conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou, um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica complexa. Fatou estudou processos recursivos como. Começando com um ponto qualquer z0 no plano complexo, podem-se gerar pontos sucessivos aplicando-se repetidamente esta fórmula. A sequência de pontos obtida é chamada órbita de z0 sob a transformação. 18

19 Na matemática, o conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sucessão está definida iterativamente: não tende ao infinito. Para cada ponto c do plano complexo, a sequência se expande como: e assim por diante. Para determinar se o ponto Z 0 pertence ao conjunto de Mandelbrot (tradicionalmente representado em preto) ou se está fora do conjunto (colorido de acordo com sua velocidade de escape), a distância de Z i deve ser calculada a cada iteração: Se, então. De notar que uma das muitas optimizações possíveis no cálculo de mandelbrots pode-se aplicar aqui. Em vez de testar se, podemos simplesmente testar se operação de cálculo da raiz quadrada. evitando, desse modo, a E quando escrito em pseudocódigo, o algoritmo fica com este aspecto: For each pixel on the screen do: { x = x0 = x co-ordinate of pixel y = y0 = y co-ordinate of pixel iteration = 0 19

20 max_iteration = 1000 while ( x*x + y*y <= (2*2) AND iteration < max_iteration ) { xtemp = x*x - y*y + x0 y = 2*x*y + y0 x = xtemp iteration = iteration + 1 } if ( iteration == max_iteration ) then colour = black else colour = iteration plot(x0,y0,colour) } onde, relativos a pseudocode a and : z = x + iy z2 = x2 + i2xy y2 c = x0 + iy0 e assim, como pode ser visto no pseudocode na computação de x e y: x = Re(z2 + c) = x2 y2 + x0 and y = Im(z2 + c) = 2xy + y0 Para obter o conjunto de imagens coloridas, a atribuição de uma cor para cada valor do número de iterações executadas podem ser feitas usando uma de uma variedade de funções (linear, exponencial, etc). Se a tabela tem cor, por exemplo, 500 registos, então pode-se usar n mod 500, onde n é o número de iterações, para seleccionar a cor para o uso. Pode-se inicializar a cor da paleta matriz de várias formas, dependendo de que recurso especial se utiliza no comportamento da cor para se gerar o gráfico. 20

21 3.1.2 Código Program Mandelbrot Real a, a1, b, x, y, z, h, xmin, xmax, ymin, ymax integer k, k_max xmin = -2. ymin = -1. xmax = 2. ymax = 1. h = k_max = 200 open (unit=1, file='mandel_brot.txt') x = xmin y = ymin do while (x.le.xmax) y = ymin do while (y.le.ymax) a = 0. b = 0. k = 1 do while(k.le.k_max) a1 = a a = a * a - b * b + x b = 2. * a1 * b + y k = k + 1 end do z = a * a + b * b if(z.lt.4.) then z=sqrt(z) write (1,*) x, ' ', y, ' ', z end if y = y + h end do x = x + h end do close (unit = 1) pause end Program 21

22 3.1.3 Teste com imagens a 2D Cálculo realizado nos intervalos -2 < y < 1, -2 < x < 0, 5 e h = 0,005 22

23 3.1.4 Teste com imagens a cores Cálculo realizado nos intervalos -2 < y < 1, -2 < x < 0,5 e h = 0,005 Cálculo realizado nos intervalos 0,6 < y < 0,9, -0,25 < x < 0 e h = 0,

24 Conclusão Com este trabalho tive oportunidade, com o apoio do docente da cadeira, de conhecer a linguagem de programação Fortran através da programação, embora simples, de funções matemáticas, e a sua impressão gráfica, com o gerador de gráficos Gnuplot. Este trabalho também foi oportuno, para poder alargar os meus conhecimentos, tanto no nível de cálculo numérico como na programação do mesmo, e também na tradução dos resultados numéricos obtidos, em imagens gráficas para melhor interpretação dos valores obtidos. 24

25 Links Páginas visitadas em

26 Anexos Código Fortran A1 Program FACTORIAL Double Precision fact Integer k, n1, n2 write(*,*)'primeiro Numero' read (*,*), n1 write(*,*)'ultimo Numero' read (*,*), n2 do k=n1, n2 write(*,*)k, fact(k) end do write(*,*)'calculo efectuado' end program double precision function fact(n) integer n, k fact=1.d0 do k=2, n fact = fact * k end do end function A2 Program FResolvente Double Precision a, b, c, x1, x2 read (*,*)a,b,c call resolve2(a,b,c, x1,x2) write (*,*)x1, x2 26

27 write (*,*) Equacao(a,b,c, x1),equacao(a,b,c, x2) write (*,10) 1.d0 + 1.d format (e22.16) end program subroutine resolve2(a,b,c, x1,x2) Double Precision a, b, c, x1, x2 if ((b*b-4*a*c).ge.0) then x1 = (-b + sqrt(b*b-4*a*c)) / 2*a x2 = (-b - sqrt(b*b-4*a*c)) / 2*a else write(*,*) 'Erro' stop end if end subroutine Double Precision function Equacao (a,b,c,x) Double Precision a,b,c,x Equacao = (a*x+b) * x+c end function A3 Program trapezios double precision a, b, h, int, f, x integer n, k write(*,*) 'a, b, n' read(*,*) a, b, n h = (b-a)/dble(n) int = 0D0 x = a + h do k=1, n-1 int = int + f(x) x = x + h end do int = h * (f(a) + f(b) + 2.D0 * int) / 2.D0 27

28 write (*,*) 'Integral = ', int end program double precision function f(x) double precision x f = dexp(x) end function A4 Program LANewton Double Precision x, y, h, F, xmax, K, A Common/parametros/K,A x = 0.D0! Condi Æo inicial c y = 1.D0! Condi Æo inicial h = 0.001D0! Passo de integra Æo c xmax = 1.D0! Val. max. de variavel independente write (*,*) 'Temperatura Inicial To=' read (*,*) y write (*,*) 'Tempo Maximo tmax=' read (*,*) xmax write(*,*) 'Constante k=' read(*,*) K write(*,*) 'Temperatura Ambiente A=' read(*,*) A open (unit=1, file='result_lanewton1.txt') do while (x.le.xmax) y = y + h * (1.D0/3.D0*f(x,y)+2.D0/3.D0* & f(x+3.d0/4.d0*h, y+3.d0/4.d0*h*f(x,y))) x = x + h write (1,10) x,y! Escreve na unidade 1 end do 10 format (2(2x, E21.15))! Formato de escrita close (unit = 1) pause end program double precision function F(x,y) double precision x,y,k,a Common/parametros/K,A F = K*(A-y)! 2 membro da eq. diferencial 28

29 end function A5 Program Euler Double Precision x, y, h, F, xmax x = 0.D0! Condi Æo inicial y = 1.D0! Condi Æo inicial h = 0.05D0! Passo de integra Æo xmax = 10.D0! Val. max. de variavel independente open (unit=1, file='result_euler.txt') do while (x.le.xmax) y = y + h * F(x,y)! Eq. it. Euler x = x + h write (1,10) x,y! Escreve na unidade 1 end do 10 format (2(2x, E21.15))! Formato de escrita close (unit = 1) pause end program double precision function F(x,y) double precision x, y F = y! 2 membro da eq. diferencial end function A6 Program RungeKutta Double Precision x, y, h, F, xmax x = 0.D0! Condi Æo inicial y = 1.D0! Condi Æo inicial h = 0.001D0! Passo de integra Æo xmax = 1.D0! Val. max. de variavel independente open (unit=1, file='result_rungekutta2.txt') do while (x.le.xmax) c y = y + h * (1.D0/3.D0*f(x,y)+2.D0/3.D0* c & f(x+3.d0/4.d0*h, y+3.d0/4.d0*h*f(x,y)))! Eq. it. Euler 29

30 y=y+h*f(x,y) x = x + h write (1,10) x,y! Escreve na unidade 1 end do 10 format (2(2x, E21.15))! Formato de escrita close (unit = 1) pause end program double precision function F(x,y) double precision x,y F = y! 2 membro da eq. diferencial end function 30

31 Scripts Gnuplot para gerar os gráficos B1 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=10" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[10:30] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton1.txt" t "k=0.2" w l,\ "result_lanewton1.txt" t "k=0.4" w l set term gif set out "grafico_lanewton_1.gif" rep set term win set out B2 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=80" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[30:80] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton3.txt" t "k=0.2" w l,\ "result_lanewton3.txt" t "k=0.2" w l set term gif set out "grafico_lanewton_2.gif" rep set term win 31

32 set out B3 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=10" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[10:30] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton1.txt" t "k=0.2" w l set term gif set out "grafico_lanewton_1.gif" rep set term win set out B4 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=10" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[10:30] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton2.txt" t "k=0.4" w l set term gif set out "grafico_lanewton_2.gif" rep set term win 32

33 set out B5 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=80" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[30:80] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton3.txt" t "k=0.2" w l set term gif set out "grafico_lanewton_3.gif" rep set term win set out B6 set title "Lei do Arrefecimento de Newton - To=30, A=80" set xlabel "tempo" set ylabel "Temperatura" set xrange[0:10] set yrange[30:80] set key set ytics nomirror plot "result_lanewton4.txt" t "k=0.4" w l set term gif set out "grafico_lanewton_4.gif" rep set term win 33

34 set out B7 set title "Exemplo com o Metodo de Euler" set xlabel "x" set ylabel "y" set key 3, set yrange[0:25000] set y2tics set ytics nomirror plot "result_euler.txt" t "solucao euler", exp(x) t "solucao exacta",\ "result_euler.txt" us 1:(log(abs($2-exp($1)))) axes x1y2 t "erro" set term gif set out "grafico_euler1.gif" rep set term win set out B8 set title "Exemplo com o metodo de Runge-Kutta2" set xlabel "x" set ylabel "y" set key set ytics nomirror plot "result_rungekutta2.txt" t "solucao Runge-Kutta" w l, exp(x) t "solucao exacta",\ "result_rungekutta2.txt" us 1:((abs($2-exp($1))/$2)) axes x1y2 t "erro" w l set term gif set out "grafico_rungekutta2.gif" rep set term win set out 34