Geogebra, uma ferramenta genial

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1 Geogebra, uma ferramenta genial Eduardo Antônio Soares Júnior Jéssica Amorim Mamed Paulo Tarso Farias Teixeira Roberta Layra Faragó Jardim Jaime Batista de Souza Deborah Faragó Jardim 9 de abril de 2013

2 Sumário 1 Introdução 2 2 Funções Plotar funções Limitar o domínio de uma função Comportamento de uma curva Comportamento de um ponto Geometria Plana Triângulos Vericar se dois objetos são iguais Analisando algumas propriedades dos Triângulos Determinar a Área de objetos Estudo da Álgebra Linear Matrizes Vetores Cálculo 20 6 Atividades 21 1

3 Capítulo 1 Introdução O que é Geogebra? O GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica desenvolvido por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University. Isso permite a qualquer pessoa utilizar este software sem custo algum. Criado principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática no ensino básico, o GeoGebra também é utilizado no ensino superior para o ensino superior no estudo de cálculo, álgebra e geometria. Ele permite que se trabalhe com vários objetos distintos como: pontos, retas, vetores, segmentos, grácos de funções, círculos, entre outros, os quais podem ser modicados dinamicamente pelo usuário. Outro ponto interessante do software que ele permite se trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identicar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas á álgebra e ao cálculo. Isto tem a vantagem didática de representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as características geométricas e algébricas de um mesmo objeto. O GeoGebra Conquistou vários prêmios internacionais entre os quais estão: Learnie Award Austrian Educational Software Award for "Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra"(Viena, Áustria). Trophées du Libre Prêmio Internacional de Software Livre, categoria Educação (Soissons,França). etwinning Award Prêmio no "Desao dos Círculos"com GeoGebra (Linz, Áustria). Learnie Award Prêmio Austríaco de Software Educacional (Viena, Áustria). Conheça agora a interface principal do GeoGebra 2

4 Figura 1.1: Interface do Geogebra 2D Observamos que a janela inicial está dividida em duas: á esquerda a parte algébrica e á direita a parte geométrica. Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas de acesso rápido: Barra de Ferramentas Nela cada ícone contém opções interativas e dinâmicas que estão relacionadas com cada imagem. Essa opções são acessadas clicando na seta no canto inferior direito de cada ícone. Conhecer bem a barra de ferramentas é de fundamental importância para se trabalhar com o GeoGebra. 3

5 Vamos agora explorar um pouco de cada ícone da barra de ferramentas do Geogebra : Mover Novo Ponto : Essa opção permite que se crie um novo ponto na janela de visualização.as outras opções de ponto estão relacionadas com a imagem do ícone. 4

6 Reta denida por dois pontos: Permite que se crie uma reta a partir de dois pontos. Basta clicar nela e nos pontos dados para contruí-la. As outras opções de se trabalhar com retas estão ligadas a imagem dos outros ícones. Reta perpendicular: Possibilita a construção de uma reta e um ponto fora dela, clicando na ferramenta obteremos uma reta perpendicular passando por aquele ponto. As outras ferramentas condizem com a imagem do ícone. 5

7 Polígono : Permite a criação de diversos polígonos na janela de visualização. Círculo denido pelo centro e um de seus pontos : Essa ferramenta possibilita a criação de um círculo onde se marca um ponto A e outro B, marca-se então o círculo com centro em A, passando por B. 6

8 Ângulo: Com tal ferramenta podemos traçar ângulo entre três pontos;entre dois segmentos;entre retas,vetores,ou interiores do polígono. As outras possibilidades de manusear ângulos estão ligados a imagem de cada ícone. Reexão com relação a uma reta : 7

9 Seletor Deslocar eixos 8

10 Capítulo 2 Funções 2.1 Plotar funções Para plotar funções no Geogebra e respectivamente fazer sua análise gráca, é necessário apenas introduzir a função no campo de entrada. Exemplo 1 Entrada: f(x) = x x 4 9

11 Exemplo 2 Entrada: g(x) = (sqrt(2)/2) x 10

12 2.2 Limitar o domínio de uma função O domínio de uma função também pode ser limitado a um intervalo no eixo x. Plotaremos a função f(x) = x e logo ápos vamos delimitar o domínio através do seguinte comando [<Função>,<Valor inicial>,<valor nal>] 11

13 2.3 Comportamento de uma curva Para analisarmos o comportamento de uma curva de uma função do 2 grau de acordo com a variação dos seus coecientes numéricos. Primeiros criaremos três seletores a,b,c e logo após plotaremos a seguinte função f(x) = a x 2 + b x + c. Alterando os coecientes dos seletores percebemos uma mudança na curva da função. 12

14 2.4 Comportamento de um ponto No campo de entrada criaremos a função seno, f(x)=sin(x), logo ápos criaremos um seletor a, onde iremos alterar os intervalos [-10,10] e nalmente criaremos um ponto A=(a,f(a)) e vamos poder analisar o comportamento do ponto na função. Já que a função trata-se de uma funçãoo trigonométrica alteraremos a unidade para π e a distância para π/2. 13

15 Capítulo 3 Geometria Plana O Geogebra possibilita desenvolver inúmeras atividades de geometria plana. Vamos abordar o seguinte tópico da Geometria Plana: Triângulos. Antes disso, vejamos as ferramentas para gerar guras geométricas. 3.1 Triângulos Vericar se dois objetos são iguais Após criado dois objetos, na Barra de Ferramentas, relação entre dois objetos, selecionar os dois objetos a serem comparados. 14

16 3.1.2 Analisando algumas propriedades dos Triângulos A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual á soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Exemplo 1: Criar os pontos A=(-3,1), B=(2,3) e C=(3,1); Na Barra de Ferramentas, criar Polígono com os pontos A, B e C; Criar uma reta denida pelos pontos A e C; Criar um ponto na reta AC (apenas para a medição do ângulo); Medir os ângulos CÂB, A BC e D CB (com auxílio da ferramenta ângulo); Digitar no campo de entrada X = α + β + γ ( para somar os ângulos não-adjacentes); Pode-se observar que a soma X dos ângulos internos não-adjacentes é igual ao ângulo interno?. A soma das medidas dos 3 ângulos internos de um triângulo é

17 Exemplo 2: Crie um triângulo com auxílio da ferramenta Polígono; Determine os ângulos α, β, γ com auxílio da ferramenta ângulo; No campo de Entrada digite X = α + β + γ?; É possível vericar que a soma X dos três ângulos internos é igual a

18 3.1.3 Determinar a Área de objetos Exemplo 3: Crie um triângulo com a ajuda da ferramenta "Polígono"? Determine a área com auxílio da ferramenta "Área"? 17

19 Capítulo 4 Estudo da Álgebra Linear 4.1 Matrizes Para inserir a Matriz, basta digitar: M=a,b,c,d Matriz Transposta Comando: Matriz Transposta[M] Matriz Identidade Comando: Matriz Identidade[Numero de linhas ou Colunas] Matriz Inversa Comando: Matriz Inversa[M] Determinante de Matriz det = Determinante[M] Para fazer o cálculo, por exemplo, de determinantes de diferentes Matrizes, sem ter que digitá-la todas as vezes: Criar a mesma quantidade de seletores que a quantidade de termos da matriz desejada. Criar uma matriz, por exemplo, em termos de a, b, c, d ( M=a,b,c,d ). Movimentar os seletores e observá-los. Calcular o determinante, movimentar os seletores e observar que os valores do determinante mudam á medida em que os termos da matriz são alterados. 18

20 4.2 Vetores Os Vetores podem ser inseridos de três formas: Através da barra de ferramentas; Vetor denido por dois pontos (O ponto deve ser criado anteriormente). Digitando no Campo de Entrada: a = (x, y); permite criar um vetor na posição inicial (0,0). Digitando no Campo de Entrada: Vetor[(a, b), (c, d)]. 19

21 Capítulo 5 Cálculo Pontos de Extremo Para calcular os extremos de uma função: digite no campo de entrada, a função a ser trabalhada: (<Função>); digitar o comando: Extremo[<Função>]. Pontos de Inexão Para calcular os pontos de inexão digite no campo de entrada: Ponto- DeInexao[<Função>]. Limite Para calcular o limite digite no campo de entrada: Limite[<Função>,<Número>]. Derivada Comando: Derivada[f] OU g(x)=f'(x); para calcular a segunda derivada: Derivada[f,2]. Integral Comando: Integral[f(x)]; Integral denida: Integral[f, x inicial, x nal]; Integral entre duas curvas: IntegralEntre[f(x), g(x), x inicial, x nal]. 20

22 Capítulo 6 Atividades 1-Analisando a função linear. Crie dois seletores a e b. Plote a função f(x)=a*x+b. 2-Analisando a função seno. Crie um seletor a variando de (-5,5) com incremento de 0,5. Crie a função seno seno f(x)=sin(a+x). Perceba a variação da curva com a mudança numérica do seletor. Agora altere a função seno para as seguintes funções: a)f(x)=sin(a*x) b)f(x)=a+sin(x) c)f(x)=a*sin(x) Alterando o seletor perceba as diferenças sofridas pelas funções. 3-Construa o gráco da seguinte função f(x) = x. 4-Construção do Teorema de Pitágoras. Construa um segmento de reta passando por dois pontos,a e B. Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando por A. 21

23 Construa um segmento de reta AC sobre a reta. E em seguida trace um segmento BC. Selecione a ferramenta exibir/esconder objeto,e esconda a reta perpendicular traçada anteriormente,clicando sobre ela. Em seguida clique em mover, assim a reta cará escondido. Clique com o botão direito do mouse sobre os lados do triãngulo e renomeios de a,b e c de conforme convenção para triãngulos retângulos. Agora marque o ângulo CÂB, clicando primeiro sobre o segmento de reta AB e em seguida sobre o segmento de reta AC. Selelcione a ferramenta polígono regular e clique sobre os vértices do triângulo, dois a dois, sempre no sentido horário. Agora mostre a área do quadrado maior que é igual a soma das áreas dos quadrados menores. Selecione a ferramenta área, e clique sobre os quadrados um de cada vez. 5-Construção do Teorema de Tales Crie uma reta r. Crie outras duas retas s e t paralelas a r. Crie duas retas paralelas u e v transversais ao feixe de paralelasr,s,t. Determine os pontos A,B,C de interseção de u com r,s,t respectivamente. Determine os pontos A',B',C' de interseção de v com r,s e t, respectivamente. Calcule as razões:ab/cd =A'B'/C'D'. Movimente as retas u e v e movimente também as retas r,s e t. Observe que as razões sempre são iguais. 22

24 6- Construa o gráco da função f(x) = log(x)/log(2) e os pontos (4, f(4))e(8, f(8)). 7- Construa o gráco da função f(x) = x 2 5 x + 6, e encontre as raízes desta função. 23