Primeiro Trabalho Pesquisa Operacional

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1 Primeiro Trabalho Pesquisa Operacional March 24, Introdução Seguem 14 problemas de otimização para serem escolhidos pelos grupos para serem modelados. Alguns problemas têm dados numéricos, mas esses devem ser encarados apenas como auxílio à interpretação. Todos os problemas devem ter seus modelos formulados sobre parâmetros, não sobre valores fixos. Qualquer dúvida na interpretação, erros tipográficos (ou ortográficos mesmo :-D) e demais informações, favor enviar para moreira@dcc.ufmg.br com o assunto [monitoria] - seu assunto. 2 Xadrez e Dominós Figure 1: Jogo Estranho Considere um tabuleiro de xadrez com 64 casas quadradas organizadas em 8 linhas e 8 colunas. Considere também peças de dominós com o formato exato de 1

2 duas casas do tabuleiro de xadrez adjacentes. É possível cobrir todo o tabuleiro com 32 peças de dominó, de tal forma que todas as casas sejam cobertas, e nenhuma casa seja coberta por mais de uma peça. Considere agora um tabuleiro que tenha algumas casas proibidas, i. e., algumas casas não podem ser cobertas por dominós. O problema é descobrir se é possível cobrir todas as demais casas com peças de dominó, de tal forma que uma peça cubra duas casas adjacentes, e cada casa seja coberta por uma única peça. Caso não seja possível, pede-se o número máximo de peças de dominó que podem ser arranjadas no tabuleiro dessa forma. 1. Formule o problema como um problema de matching de cardinalidade máxima em grafos bipartidos. 2. Suponha que são proibidas num tabuleiro apenas duas casas de quinas extremas do mesmo. As 62 casas restantes podem ser cobertas por 31 peças? Explique. 3 TEX e as quebras de linhas Figure 2: TEX multifuncional O processador de textos TEX (usado na produção dessa lista) se vale de um algoritmo de otimização para decidir em quais palavras irá quebrar as linhas de um parágrafo, para que um texto justificado fique o mais agradável aos olhos possível. 2

3 Um parágrafo é uma sequência de palavras, e o processador calcula a atratividade de cada possível linha a ser gerada. A atratividade da linha que começaria na i-ésima palavra e terminaria na (j-1)-ésima palavra é armazenada na matriz c, na posição c ij. Visando maximizar a atratividade do parágrafo (a soma das atratividades de cada linha do mesmo) crie uma formulação de caminho mínimo para o problema. 4 Problema da Fundição Figure 3: Desconsidere o fole estranho no modelo. Uma fundição precisa produzir 10 toneladas de determinada liga metálica, tendo à disposição lingotes de ferro, grafite e sucata. Dois componentes importantes nessa liga são carbono e silício. A tabela 4 apresenta para cada ingrediente a disponibilidade, custo unitário, e quantidade de carbono e silício. Formule o modelo matemático para produzir a liga metálica, dentro das especificações, com custo mínimo. 3

4 Composição(%) Ingredientes Liga Lingotes Grafite Sucata Composição Composição Mínima Máxima Carbono 0,0050 0,90 0,09 0 0,095 Silício 0,14 0 0,27 0,19 0,20 Custos(R$/ton) Estoque(ton) Table 1: Problema da Fundição 5 Filtros de Areia Figure 4: Talvez não seja o exemplo ideal. Uma estação de tratamento de água precisa construir filtros de areia. Os filtros são construídos com diferentes quantidades de diferentes faixas granulométricas de areia, conforme a tabela 5. Faixa Volume de Granulométrica Areia (m 3 ) A 16 B 16 C 16 D 64 E 40 F 8 Table 2: Filtros A areia pode ser comprada de diferentes portos, cujas areias apresentam 4

5 parcelas diferentes de cada faixa granulométrica. A tabela 5 mostra a proporção de cada faixa na areia de dois portos, e o preço por m 3 de areia em cada um. Faixa Volume de Granulométrica Areia/m 3 Porto 1 Porto 2 A 0,17 0,13 B 0,16 0,11 C 0,18 0,14 D 0,10 0,09 E 0,09 0,12 F 0,05 0,07 custo(r$/m 3 ) 25,00 19,00 Table 3: Portos A areia restante após o refinamento e construção dos filtros pode ser revendida, pelo preços e quantidades por faixa granulométrica da tabela 5. Faixa Quantidade máxima Preço de Granulométrica a revender (m 3 ) Venda (R$/m 3 ) A B C D E F Table 4: Areia: Revenda Formule um modelo para decidir a quantidade de areia comprada de cada porto, a contrução do filtro e a revenda da areia restante, minimizando o custo (maximizando o lucro). 5

6 6 Mineração de Ouro Figure 5: Gold mine Uma mineradora têm duas minas de ouro, A e B. Para que as linhas não parem, pelo menos 3 toneladas de minério devem ser extraídas por dia. O minérios das minas A e B custam $20/ton e $10/ton para serem extraídos, e o custo total diário de processamento não pode exceder $80. Questões legais não permitem que a quantidade de minério extraída da mina B seja mais que o triplo do extraído da mina A. A mina A apresenta 60g de ouro por tonelada de minério, e a mina B apresenta 90g por tonelada de minério. Proponha uma formulação para maximizar a quantidade de ouro extraído por dia, dentro das restrições requeridas. 6

7 7 Laticínios Uma cooperativa de laticínios fabrica 3 produtos: leite pasteurizado, queijo e iogurte. A cooperativa recebe diariamente 100 mil litros de leite, que devem ser processados no mesmo dia. Pelo menos 50 mil litros de leite pasteurizado devem ser produzidos diariamente, para atender as necessidades do mercado, lucrando $0,07/litro. Produzir um quilo de queijo consome 10 litro de leite, lucrando $1,04/kg. Produzir um litro de iogurte consome 2,5 litros de leite, lucrando $0,20/litro de iogurte. O máximo que o mercado assimila de cada produto diariamente é litros de leite, 3500 kg de queijo e litros de iogurte. Para cada quilo de queijo produzido, um litro de iogurte também deve ser produzido. Proponha uma formulação para maximizar o lucro da cooperativa, dentro das restrições propostas, usando os litros de leite diários. 7

8 8 Válvulas Cardíacas Figure 6: O RLY? Um laboratório médico produz válvulas cardíacas artificiais, a partir de válvulas dos corações de porcos. Para diferentes funções, diferentes tamanhos de válvulas são necessários. Esse laboratório adquire as válvulas de três fornecedores, cujas válvulas têm os preços e distribuições mostrados na tabela 8 Fornecedor Preço % Pequenas % Médias % Grandes Table 5: Fornecedores de Válvulas 8

9 A cada mês o laboratório precisa de 500 válvulas grandes, 300 médias e 300 pequenas, e precisa decidir quantas válvulas compra de cada fornecedor. Devido a limitações dos fornecedores, apenas 700 válvulas podem ser compradas de cada um. Proponha uma formulação matemática para o problema, visando minimizar o custo de compra. 9 Usinas Hidrelétricas Figure 7: Sinal de que tudo vai bem. Determinada usina hidrelétrica é constituída de dois reservatórios ligados a dois geradores. O reservatório A está num plano superior e, quando cheio, escoa o excesso para o reservatório B. A água usada para gerar eletricidade no gerador A (vinda do reservatório A) também é escoada para o repositório B. O reservatório B, quando cheio, escoa o excesso rio abaixo, sem produção de energia. A água utilizada no gerador B (vinda do reservatório B) também é escoada rio abaixo. As características dos reservatórios e usinas A e B podem ser vistos na tabela 9 9

10 A B Capacidade Máxima (1000 m 3 ) Limite Mínimo (1000 m 3 ) Águas de Março (1000 m 3 ) Águas de Abril (1000 m 3 ) Nível da Água 1 de Março (1000 m3 ) Geração de energia (MWH/1000 m 3 ) Capacidade de geração (MWH/mês) Table 6: Usinas Hidrelétricas Por mês, até MWH podem ser vendidos a $5, 00/MW H. A partir desse limiar, o MHW é vendido por $3, 50/MW H. A água das chuvas flui para os reservatórios linearmente ao longo do mês, e o excesso escorre naturalmente rio abaixo. Isso significa que Os limites máximos e mínimo de capacidade só precisam ser atendidos ao final de cada mês. Proponha uma formulação para o planejamento dessas usinas, maximizando o lucro de venda da energia elétrica. 10 Planejamento de Show Figure 8: \m/ Para promover um show de rock na cidade, os responsáveis precisam executar as tarefas da tabela 10 10

11 Tarefa Descrição Dias para concluir Depende de A Encontrar o local 3 - B Contr. técnicos 2 A C Contr. Banda de Abertura 6 A D Campanha publicitária 2 C E Ingressos 3 A F Preparar o equipamento 3 B G Publicidade Impressa 5 C H Transporte 1 C I Ensaios 1,5 F,H J Últimos Detalhes 2 I Table 7: Preparatórios para o show As atividades que dependem de outras só podem começar uma vez que as dependências tenham terminado. Quantos dias, no mínimo, os responsáveis precisam para preparar tudo? Proponha uma formulação matemática para resolver o problema. 11

12 11 Perus Claros e Escuros Figure 9: Imagem desambiguadora. Um restaurante vende dois tipo de pratos de carne de peru, que consistem de carne clara e carne escura. Os pratos do tipo 1 são vendidos por $8,00/kg, e consistem de ao menos 70% de carne clara. Os pratos tipo 2 consistem de ao menos 60% de carne clara, e são vendidos a $6,00/kg. A demanda desse restaurante para certo período é de no máximo 50kg do prato 1 e 30kg do prato 2. O restaurante compra perus de uma fazenda que fornece dois tipos de animal. O primeiro tipo custa $10,00, fornecendo 5kgs de carne clara e 3kgs de carne escura. Os animais do tipo 2 custam $8,00 e fornecem 3kgs de cada carne. Proponha uma formulação que maximize o lucro desse restaurante, no tocante a esses pratos. 12

13 12 Plantação Figure 10: Make your choice. Um fazendeiro tem duas fazendas a sua disposição para arrendar, e precisa plantar mandiocas e batatas. Ele precisa produzir 20000kgs de mandiocas e 30000kgs de batatas em determinado período. As especificações de cada fazenda estão na tabela 12 Fazenda A Fazenda B Tamanho (acres) Prod. Mandioca (kg/acre) Prod. Batata (kg/acre) Custo por acre de mandioca Custo por acre de batata Table 8: Fazendas Proponha uma formulação para minimizar o custo de produzir os vegetais requeridos. 13

14 13 Negociador Intermediário Figure 11: Imagem não relacionada ao tópico. Imagine um mercado com I fornecedores, J compradores e K (tipo de) produtos à venda. Um fornecedor i fornece no máximo S ik unidades do produto k, por um preço $A ik por unidade. Um comprador j pode comprar no máximo D jk unidades do produto k, pagando até B ij por unidade comprada. Você é responsável por fechar contratos entre ambos, e pela realização do transporte dos produtos dos fornecedores aos compradores. Cada produto k tem um peso W k em kgs. Cada rota fornecedor-i comprador-j tem uma capacidade máxima de U ij kgs de produtos transportados, e um custo por unidade de qualquer produto transportado C ij. Todas os custos de transporte são por sua conta, mas você lucra nas diferenças entre os valores de compra e venda. Proponha uma formulação matemática para o problema baseada em fluxos. 14

15 14 Escala de profissionais Figure 12: Trabalho Indispensável A tabela 9 mostra a quantidade mínima de trabalhadores necessários para prestar um serviço muito importante por dia da semana. Dias Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom Número de funcionários Table 9: Trabalhadores por dia Todos os trabalhadores recebem o mesmo salário, e fazem uma jornada de cinco dias consecutivos por semana. Trabalhadores podem fazer um dia de hora extra, recebendo 50% a mais por hora nesse dia. Pergunta-se o número de funcionários necessário e o escalonamento dos mesmos, que minimize o custo com salários, atendendo à quantidade diária de trabalhadores necessária. Proponha uma formulação linear que resolva o problema. 15 Avião Cargueiro (imagem muito grande, segue link: 15

16 Um avião de carga tem três compartimentos de carga, com as capacidades de peso e volume mostrados na tabela 10 Compartimento Capacidade em Capacidade em peso (toneladas) volume (m 3 ) Frontal Central Traseiro Table 10: Compartimentos de Carga Esses compartimentos vão ser preenchidos com as cargas da tabela 11. Essas cargas não são unitárias, i. e., a quantidade de carga embarcada em cada compartimento pode ser quebrada (número real), e o lucro proporcional será igualmente quebrado. Carga Peso Densidade Lucro (toneladas) (m 3 /tonelada) (R$/tonelada) C C C C Table 11: Cargas Disponíveis Além de atender às capacidades, a proporção entre a carga embarcada e a capacidade em cada compartimento deve ser a mesma, para manter o equilíbrio da aeronave. Por exemplo, se metade da capacidade do compartimento frontal é usada, os demais compartimentos devem ter exatamente a metade da capacidade em carga. Qual a quantidade de cada carga a ser colocada em cada compartimento, visando maximizar o lucro? Proponha uma formulação linear que resolva o problema. 16

17 16 Aluguel de Máquinas na Demolidora Figure 13: Em todos esses anos trabalhando nesta indústria vital, essa é a primeira vez que isso me acontece! Uma empresa de demolição aluga os marteletes necessários em seus trabalhos. Para os próximos meses, ela estima precisar da quantidade de marteletes mostrada na tabela 12. Mês Abril Maio Junho Julho Número de Marteletes Table 12: Marteletes por mês Para cada máquina, se a empresa realizar contratos de vários meses, o custo de aluguel mensal diminui. A empresa de aluguel das máquinas trabalha com os valores da tabela 13. Duração do Contrato (meses) Aluguel Mensal Table 13: Custo do aluguel Qual o planejamento de quando alugar cada máquina, e por quantos meses, que minimiza o custo dos aluguéis, atendendo à demanda das máquinas? Proponha uma formulação matemática para o problema. 17

18 17 Tratamento de Lixo Duas cidades têm um convênio de tratamento de lixo. Ambas compartilham duas usinas incineradoras, e dois depósitos para as cinzas do lixo produzido em ambas. Os custos relacionados ao processo são igualmente divididos. Os dados relacionados às cidades estão na tabela 17. Lixo diário Distância (km) para o incinerador (toneladas) A B Cidade Cidade Table 14: Cidades O lixo é transportado para os incineradores, queimado, e as cinzas são transportadas para os depósitos. A capacidade das usinas de incineração e as distâncias das mesmas para os depósitos estão na tabela 17. Capacidade Custo de Incineração Distância (km) para o depósito (toneladas/dia) (por tonelada) A B Incinerador A Incinerador B Table 15: Incineradores e Depósitos Após queimado, o lixo reduz sua massa para 20% da original. O transporte, tanto de lixo quanto de cinzas, custa $3,00/tonelada/km. Proponha uma formulação matemática linear que minimize o custo de transportar o lixo até os incineradores, incinerar e transportar as cinzas para os depósitos. 18 Bombas D água A caixa d água de um bairro é cheia por duas bombas elétricas. A caixa d água tem 1000m 3 de capacidade, e cada bomba consegue bombear 80m 3 /h. Funcionando juntas, 150m 3 /h (e não 160m 3 /h). O dia é separado em três períodos de oito horas. Durante os dois primeiros períodos, o funcionamento das bombas custa $9,00/h se uma estiver ligada, ou $18,75/h se as duas estiverem ligadas. Durante o terceiro período, os custos caem para $6,00 e $12,50 respectivamente. O consumo de água do bairro nos três períodos é de 105, 6875m 3 /h, 102, 1250m 3 /h, e 29, 6875m 3 /h, respectivamente. Na virada do dia, a caixa deve estar pelo menos 95% cheia. A caixa nunca pode transbordar. A caixa nunca pode ter menos de 500m 3 de água. Qual o escalonamento de funcionamento das bombas que atende a todos esses requisitos, com custo mínimo? Proponha uma formulação linear para o problema. 18

19 Dica: Supondo que o consumo e o funcionamento das bombas é linear, considere as restrições apenas nos instantes de virada de período. Assim o tempo do dia é discretizado para apenas 3 eventos. 19 Viagens Olímpicas Complicadas Três equipes olímpicas e seus treinadores vão fazer um longo vôo de uma cidade a outra num avião que comporta 100 passageiros. As equipes são natação, ginástica e ciclismo. Natação tem 42 atletas e 12 treinadores. Ginástica 22 atletas e 14 treinadores. Ciclismo, 34 atletas e 16 treinadores. Para cada três atletas nadadores no vôo, pelo menos um treinador de natação precisa estar como acompanhante. Para cada dois atletas ginastas, ao menos um treinador de ginástica deve estar no avião. Os ciclistas não têm exigência da companhia de treinadores. O vôo é pago pelas equipes de natação e ciclismo. Elas exigem que pelo menos 70% dos passageiros sejam de suas equipes, sejam atletas ou treinadores. Além disso, o número de integrantes de ambas equipes, sejam atletas ou treinadores, deve ser o mesmo. Minimize o número de integrantes que ficarão de fora do vôo. Proponha um modelo linear que resolva o problema. 19