MATEMÁTICA & RACIOCÍNIO LÓGICO MÓDULO NÍVEL BÁSICO

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1 MATEMÁTICA & RACIOCÍNIO LÓGICO MÓDULO NÍVEL BÁSICO

2 MATEMÁTICA & RACIOCÍNIO LÓGICO Salvador,

3 GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA Jaques Wagner SECRETARIA DA EDUCAÇÃO Osvaldo Barreto Filho SUPERINTENDÊNCIA E AVALIAÇÃO E INFORMAÇÕES EDUCACIONAIS Eni Santana Barreto Basto COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO E INFORMAÇÕES EDUCACIONAIS Marcos Antônio Santos de Pinho SUPERINTENDÊNCIA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO BÁSICA SUDEB Nildon Carlos Santos Pitombo DIRETORIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA Whashington Carlos Ferreira Oliveira COORDENAÇÃO DE INFORMAÇÕES EDUCACIONAIS Ilza Patrícia de Carvalho Silva EQUIPE TÉCNICA DO PBF Maria Marise dos Santos Nielson Santos Souza Mamed Fatal 3

4 AUTORES DILCLÉIA SANTANA OLIVEIRA SOARES MÁRIO GRAÇA LOUZADO TOURINHO RACHEL REGIS DE OLIVEIRA ARANHA ROSANE RODRIGUES SANCHES 4

5 SUMÁRIO PARTE I MATEMÁTICA 1. Números inteiros e racionais...7 O conjunto dos números inteiros (Z) Operações com números inteiros O conjunto dos números racionais (Q)...12 Operações com os números racionais Números e grandezas proporcionais Razão e proporção Divisão proporcional Regra de três simples Porcentagem...33 Juros simples e compostos...40 Descontos Equações e Inequações de 1º 2º graus Equação do 1º grau Equação do 2º grau Inequações de 1º grau Conjunto dos números reais (R) Intervalos numéricos Inequações de 2º grau Sistema Internacional de Medidas (SI) Medidas de comprimento...73 Medidas de superfície Medidas de volume Medidas de capacidade Medidas de tempo PARTE II RACIOCÍNIO LÓGIGO 1. Noções básicas de lógica Conectivos Negação Tautologia e contradições Situações problema envolvendo estrutura lógica

6 APRESENTAÇÃO Caro (a) aluno (a), Sejam bem vindos a mais um desafio! O PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria de Petróleo e Gás) em parceria com a SEC (Secretaria de Educação do Estado da Bahia) objetivando qualificar gratuitamente mão de obra especializada em diversas categorias profissionais oferece esse curso preparatório que visa a seleção às vagas do nível básico II. Para tanto, o propósito deste módulo é a troca de idéias e o estabelecimento de relações entre os conteúdos de matemática. Nós, professores, nos preocupamos em seguir criteriosamente o conteúdo programático estipulado pela coordenação do PROMINP. Nossa proposta metodológica é a resolução de problemas, focados nos conteúdos do concurso. Acreditamos que a matemática é importante porque nos ajuda a compreender o mundo em que vivemos, além de elaborar estratégias pessoais para resolver problemas e persistir na busca de resultados. Assim, sempre que possível, os conteúdos foram organizados e trabalhados com situações do nosso dia a dia. O importante é que você tenha sempre em mente que a matemática é uma ferramenta que o ajudará a pensar com criatividade, viabilizando a sua inserção no mercado de trabalho. Esperamos que você aproveite ao máximo nossos momentos de estudos! NADA É PERMANENTE, A NÃO SER A MUDANÇA Heráclito Esse é o nosso lema! CONTEM CONOSCO! Dilcléia Oliveira, Mario Tourinho, Rachel Aranha e Rosane Sanches 6

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8 Conjunto dos números inteiros (Z) Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos números não positivos e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por: Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...} Todo número natural é inteiro, dizemos que o conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta numérica, conforme mostra o gráfico abaixo: Igual maior ou menor? - 3 < - 2, (lê-se: menos três é menor que menos dois); - 1 > - 2, (lê-se: menos um é maior que menos dois); O oposto de 2 é 2 e vice versa; O oposto de +5 é 5 e vice versa. Por convenção na reta numérica os números são associados em ordem crescente, da esquerda para direita. Um número é menor que qualquer outro representado à sua direita. Um número é maior que qualquer outro representada à sua esquerda. Módulo de um número inteiro é a distancia da representação do número na reta até o zero. Indica-se o módulo de um número pelo símbolo. 2 = 2, (lê-se: módulo de 2 é 2 ), 2 = 2, (lê-se: módulo de 2 é 2 ). 2 é 2 são números diferentes, mas possuem o mesmo módulo, porque estão à mesma distância do zero. Eles são chamados simétricos ou opostos. 8

9 Exemplos: 1. O gráfico mostra o resultado de uma partida de um jogo com 4 participantes. Escreva os nomes dos participantes em ordem crescente de pontos. Números acima de zero são positivos (maiores que zero); Números abaixo de zero são negativos (menores que zero); Zeca, Clara, Marta e João estão na ordem crescente de pontos 2. Desenhe um termômetro e marque ao lado as temperaturas registradas nas seguintes cidades: Paris - 2 C São Paulo 27 C Rio de Janeiro 34 C Nova York - 5 C Campos do Jordão 11 C Sugestão para a resposta: Faça uma linha vertical e coloque os números em ordem crescente de baixo para cima 34 C Associe V para as afirmações verdadeiras, F para as afirmações falsas: a) 4 é maior que seu oposto ( F ), o oposto de 4 é 4, logo 4 < 4; b) 9 é maior que o seu módulo ( F ), 9 = 9, logo 9 < 9; c) 5 é menor que o oposto de 8 ( V ), o oposto de 8 é 8, logo 5 < 8; d) 1500 é maior que o oposto de 2000 ( V ), o oposto de 2000 é 2000, logo 1500 > Represente com um número inteiro as seguintes situações: a) Ganhar 9 reais; +9 b) Perder 20 pontos; - 20 c) Subir 5 degraus; + 5 d) Nascer em 600 anos antes de Cristo; e) Atrasar 25 minutos. 25 9

10 Operações com números inteiros (Z) Soma de números inteiros Regra dos sinais na soma: Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo. (+3) + (+4) = (+7) (-3) + (-4) = (-7) (+8) + (-5) = (+3) (-8) + (+5) = (-3) Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: (a) = 0 (b) = 9 (c) = 4 Exemplo: Clara tem 600 reais em sua conta bancária e faz, sucessivamente, as seguintes movimentações: Retira R$ 73 Deposita R$ 19 Retira R$ 467 Retira R$ 125 O saldo de Clara fica positivo ou negativo depois dessas movimentações? Em quanto? Resposta: as retiradas são representadas por números negativos e os depósitos por números positivos = = = = = = 46 O saldo de Clara fica negativo em R$

11 Multiplicação de números inteiros Regra dos sinais para a multiplicação: O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo. O produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo. Você sabe por que (+). ( - ) = ( - )? Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de Sinais (+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1) Divisão de números inteiros Regra dos sinais para a divisão: A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação. Potenciação de números inteiros A potência a n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. a n = a a a a... a, a é multiplicado por a n vezes Exemplos: (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8, (-5)² = (-5) x (-5) = 25 11

12 Conjunto dos números racionais Por definição, número racional é todo número que pode ser expresso como quociente de dois inteiros, isto é, a Q = x; x =, a Z, b 0 b Os números 4; -3; 2 3 ; ; 0.16; 1, são racionais. Note que todo número 3 5 inteiro é racional, isto é, Z Q. O conjunto Z é subconjunto do conjunto Q Outros subconjuntos de Q: Q * é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q+ * é o conjunto dos números racionais e positivos; Q- * é o conjunto dos números racionais negativos. O número 0 é racional. De fato, zero pode ser escrito como o quociente inteiro zero por um inteiro diferente de zero. 12

13 Operações com números racionais Adição e Subtração Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Quando o produto de duas frações é igual a 1, essas frações são inversas uma da outra. 1 é a inversa de é a inversa de 3 8 Exemplo 1: Qual é a soma: = = = = Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador = Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: = = =

14 Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: = = = = = = = Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Para resolvermos uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem: Expressões sem parênteses 1º Potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem; 2º Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem; 3º Adição e subtração, na ordem em que aparecem; Expressões com parênteses, colchetes ou chaves. 1º Calculamos o que estiver em parênteses; 2º Calculamos o que estiver em colchetes; 3º Calculamos o que estiver entre chaves Atenção: Que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Raiz quadrada de um número inteiro a = b porque 2 b = a, a Z. Todo número ao quadrado é positivo. Logo, não existem raízes quadradas de números negativos pertencentes a Z = 5 porque 5 = 25 14

15 Exercícios de expressões numéricas 1. Calcule o valor das seguintes expressões: a) 14 (7 6) + (8 5) R: 16 b) 10 ( ) R: 1 c) 18 ( ) 1R:37 2. Calcule o valor das seguintes expressões: a) 20 {- 2 + [1 + (+ 9 5) 2] } R:13 b) 30 {- 4 [- 8 + ( ) + 2]} R: - 28 d) (MACK-SP) A expressão ( 5) 3 ² 2 R: letra d 3150 a) b) é igual a: c) 90 d) Calcule: a) 1,6 + 3,15 R: 4,75 b) 1,6 3,15 R: - 1,55 c) 1,6 3,15R: - 4,75 7. (Cesgranrio) Calcule o valor da 7 2 expressão 0, R: (ESC.TEC.FED-SP) Simplificando a 1 2 expressão : 3 : 1, 5 3 temos:r: letra c 5 a) c) b) 21 d) (FGV-SP) A expressão é igual a:r: letra a a) 40 1 b) 40 c) O valor da expressão + é: a) b) c) d) R: letra a 9. (PUC-SP) O valor da expressão ( 10) + 5 ( 4) é: 9 + ( 2) a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 R:

16 Espaço reservado para seus registros

17 Resolução de problemas 1. Um submarino encontra-se a 228 m de profundidade. Depois de algum tempo está a 184 m. O submarino subiu ou desceu? Escreva uma adição algébrica que resulte na posição atual do submarino. Cálculos 2. (TRT 4ª REGIÃO 2006) Um armário tem 4 prateleiras. Do total de processos que um auxiliar judiciário deveria arquivar nesse armário, sabe-se que: 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era. A. 240 B. 210 C. 204 D. 120 E Uma secretária deveria telefonar para todos os clientes de sua empresa. Pela manhã, ela fez 1/3 dos telefonemas; à tarde, conseguiu fazer 3/5 dos restantes. Que fração do serviço ainda precisa ser feita? 4. Um reservatório é alimentado por duas torneiras A e B: a primeira possui uma vazão de 38 litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A saída da água dá-se através de um orifício que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a saída da água, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual o volume do reservatório? 17

18 5. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? Cálculos 6. O preço de uma corrida de táxi é igual a R$2,50 ("bandeirada"), mais R$0,10 por cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$10,00 no bolso. Logo tenho dinheiro para uma corrida de até: A) 2,5 k B) 5,0 km C) 7,5 km D) 10,0 km E) 12,5 km 7. Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos e no primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado 18

19 8. O gráfico a seguir apresenta informações sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o gráfico mostra a quantidade de água, em litros, e a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produção de 1kg de grãos de soja ou 1kg de milho ou 1kg de açúcar ou 1kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, podese afirmar que: cana-deaçucar água soja milho eucalipto nutrientes A) O eucalipto precisa de cerca de 1/3 da massa de nutrientes necessários de que a cana-deaçúcar precisa para se desenvolver. B) O eucalipto é a que mais seca e empobrece o solo, causando desequilíbrio ambiental. C) O milho precisa do dobro do volume de água de que precisa a soja. Gabarito 1 Subiu 44m 2 A 3 1/ x64 = litros 5 R$ 160,00 6 C 7 R$ 13,00 8 A Espaço reservado para seus registros 19

20 20

21 Razão e proporção Grandeza È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também. Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. Razão A palavra razão tem origem latina latim e tem como significado dividir, divisão. Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um carro de kart com 2 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo: 3 = 1,5 (Nota-se que o carro de corrida é 1,5 x maior que o tamanho do carro 2 de kart). Uma razão pode ser representada a também da seguinte forma, b 0. b Na definição acima os termos são: a = chamado de antecedente b = chamado de conseqüente Exemplo: a razão de 9 para 12 é Importante! 1. Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente. 2. Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c 21

22 9 3 = 12 4 Proporção É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões. 3 6 = 2 4 Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos. Propriedade Fundamental da proporção Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. 3 6 =, 3 4=6 2, lê-se: 3 está para 2 assim como 6 está para Exemplos: 1. A razão entre 0,20 e 2 é : 0, = 0,10 = = (1 está para 10) A razão entre 1 3 e 4 7 é: = = A razão entre 6 e 1 4 é: = 6 =

23 4. Se 7 = x, calcule o valor de x x = x = 280 x = x = A área de um retângulo é de 150m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas. Resolução a = largura, b = comprimento A = a.b (fórmula da área do retângulo) A = a b = 150, a 2 2b =,3a = 2 b, a = b 3 3 ab = 150 2b b = b 2 2 = = 450 b b 2 = b = b = ab = a = a = 15 a = 10 As medidas do retângulo são: base igual a 10 e altura igual a 15. Divisão proporcional 23

24 Grandeza Diretamente Proporcional È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. Exemplos: Kg de carne custa Y, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará 02 y. 2. Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10. Grandeza Inversamente Proporcional Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários. Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. Aplicações de Grandezas Proporcionais 1. Um prêmio de R$ ,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda: Número de acertadores Prêmio 3 R$ ,00 4 R$ ,00 a. Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$ ,00 para o prêmio de R$ ,00? Resposta: 3 4 b. Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? 24

25 Resposta: 4 3 c. O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Resposta: Inversamente proporcionais 2. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. Resposta x y 32 = = x 32 = x = x = x = = y = 18 25

26 Regra de Três Simples REGRA DE TRÊS Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1. Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago = 12 x Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. A quantia a ser paga é de R$234,00. 26

27 2. Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a 60 x velocidade o tempo diminui na razão inversa. Resolução: = 80 4 O tempo a ser gasto é 3 horas. Resolução de problemas 1. (ESAF) Um homem dá um salto de 0,4m para cima, ao mesmo tempo em que uma pulga dá um pulo de 400mm. A razão entre os saltos é: a) 2 b) 1 c) 3 d) ½ e) 4 2. (B.B) Uma empresa possui atualmente funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos? a) 600 b) c) d) e) (FURNAS) A razão entre as idades de um pai e seu filho é de 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, qual é a idade do filho? a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) (ESAF) A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está para 8, assim como a o filho está para 5 e do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente: a) 66, 29 e 10 b) 62, 31 e 12 c) 56, 37 e 12 d) 56, 35 e 14 e) 58, 38 e (B.B) Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o 27

28 maior deles excede o menor em $ ,00, então a soma desses capitais é de: a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,00 e) $ ,00 6. (T.R.F) Em duas caixas d água há litros de água. Determine as capacidades das caixas em litros, sabendo que as suas capacidades estão, entre si, como três está para cinco. a) e b) e c) e d) e (CPTeorema) Determine a quarta proporcional entre os números 4, 7 e (CPTeorema) Com a definição de razão, fração e divisão, pode-se afirmar que: a) razão = fração = divisão b) razão = fração divisão c) razão fração = divisão d) razão fração divisão 9. (T.F.R.) Uma estrada está representada por 15 cm em um mapa de escala 1/ O comprimento real dessa estrada é: a) 3 km b) 30 km c) 300 m d) cm e) dam 10. (UNICAMP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular são 10cm e 8cm. Calcular a área real da sala projetada. a) 40cm 2 b) 20m 2 c) 8m 2 d) 4m Determine os antecedentes de uma proporção cujos conseqüentes são 6 e 8, sabendo que a soma dos quatro termos é A miniatura de um automóvel foi construída na escala de 1 :40. Se a roda do automóvel tem raio de 48 cm, qual o diâmetro de cada roda da miniatura? 13. (CFS) Um segmento de 17,1 m é representado num desenho em escala 1:90. O tamanho do segmento desenhado é: a) 9 m b) 9 cm c) 19 m d) 19 cm e) 19 dm 14. (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em escala por um modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala uma casa de 3,75 m de altura. 15. Em uma maquete de um estádio de futebol, uma torre de iluminação de altura 18 metros é representada por um palito de 3,6 centímetros de comprimento. Qual foi a escala utilizada? 16. Um mapa foi construído na escala de 1: Observando a posição de duas cidades que, no mapa, distam 8 cm, podemos dizer que na realidade a distância entre as duas cidades, em quilômetros, é aproximadamente igual a: a) 8 b) 10 c) 12 28

29 d) 16 e) Um mapa rodoviário foi feito utilizando uma escala de 1 : Se neste mapa uma cidade A dista 40 cm de uma outra cidade B, qual a distância real entre essas cidades? 18. Qual a escala em que foi construída a planta de uma casa, sabendo-se que uma porta de altura de 2,4 m é representada por uma de 0,6 cm de altura? 19. (CFS) Na proporção (x 1) : (4x - 1) :: 5 : 2,o valor de x é um número: a) maior que dois b) inteiro menor que dois c) fracionário, não inteiro e maior que dois d) dois e) fracionário, não inteiro e menor que dois 20. (CFS) A idade de um pai, somada com a de seu filho, dá 45 anos. Sabendo-se que a idade do filho está para a idade do pai assim como 1 está para 4, podemos dizer que as idades são: a) 9 anos e 36 anos b) 8 anos e 32 anos c) 8 anos e 37 anos d) 6 anos e 39 anos 21. (CFS) Os preços de duas peças de fazenda estão entre si como 7 para 8. Sabendo-se que o triplo do preço de uma delas menos o dobro do preço da outra vale $ 50,00, os preços dessas peças são: a) $ 60,00 e $ 70,00 b) $ 80,00 e $ 90,00 c) $ 70,00 e $ 80,00 d) $ 30,00 e $ 40,00 e) $ 50,00 e $ 60, (CFC-2007) Para fazer um desenho animado, uma equipe de desenhistas usou aproximadamente 500 km de folha de papel. Sabendo que cada folha era quadrada e tinha 32 cm de comprimento, o número de folhas utilizadas, aproximadamente, em milhão, foi: a) 1,8. b) 1,6. c) 1,2. d) 0, (CFC-2008) A razão entre os lados homólogos de dois triângulos é 5/2. Se os lados do menor medem 3 cm, 5 cm e 6 cm, os do maior triângulo, em cm, medem : a) 7,5; 12,5 e 15. b) 7,5; 10 e 12. c) 7; 12 e 15,5. d) 7; 12,5 e (CFC-2008) Para que os números racionais 2y; 7; 4,2 e 3,5 formem nessa ordem uma proporção, o valor de y deve ser a) 4,2. b) 3,8. c) 3,2 d) 2,8 25. (CFC-2008) A razão entre o complemento e o suplemento de um ângulo é 2/7. Esse ângulo mede a) 28. b) 32. c) 43. d) (CPTeorema) A razão entre o número de vagas para Cabo da Aeronáutica 2009 e o número de candidatos inscritos na especialidade de administração é de 2/29. Sabendo-se que o total 29

30 de inscritos foi de 493, quantas vagas há para o cargo: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) (CFS) Os números 4, 8, 6 e 11 formarão, nesta ordem, uma proporção, se forem somados a um número: a) par b) ímpar c) primo d) divisor de 10 e) múltiplo de (CPTeorema) Determine a terceira proporcional entre os números 7 e 21, sendo 21 a média geométrica. 29. Ao longo dos km do percurso de um rali, um competidor usou os quatro pneus e mais o estepe de seu carro. Se todos os cinco pneus rodaram a mesma quilometragem, o número de quilômetros que cada um deles percorreu foi: a)600 b)750 c)1.200 d)1.500 e) Uma operadora de telefone celular cobra uma tarifa de R$ 0,40 por minuto de ligação e uma de telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso de 4 minutos. Comparando-se os dois valores, conclui- se que a razão entre a tarifa do celular e a do fixo é: a)8 b)10 c)15 d) O produto de três números é 648. Sendo esses números proporcionais a 2, 3 e 4, sua soma é igual a: a)30 b)27 c)18 d) Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 e por Pedro em 18. O número de dias que os três juntos gastariam para executar esse trabalho é: a)4 b)6 c)7 d) Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 segundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas condições, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo tempo, serão necessários: a)20minutos. b)24minutos. c)33minutos. d)50minutos. e) 83 minutos. 34. Roberto é arquiteto recémformado e trabalha no Departamento de Obras e Projetos de uma Prefeitura. Ele construiu uma maquete de uma praça da cidade na escala 1:20. Um sobrado de 7 m de altura, representado na maquete é em cm: a)350 b)200 c)35 d)20 e) 0,20 30

31 35. Se 6 litros de suco forem misturados com água, na proporção de duas partes de suco para quatro de água, a quantidade de refresco obtida, em litros, será igual a: a)18 b)24 c)30 d) Uma verba de R$ ,00 deve ser dividida entre os municípios A, B e C em partes proporcionais ao número de matrículas no Ensino Fundamental de cada um deles. O número de alunos matriculados de A é o dobro do número de alunos matriculados de B que, por sua vez, tem o triplo do número de matrículas de C. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o município A deverá receber, em milhares de reais, uma quantia igual a: a)270 b)810 c)1270 d) O proprietário de um carro bicombustível verificou que percorria a mesma distância gastando 60 litros de álcool ou 42 litros de gasolina. Concluiu, então, que só seria vantajoso abastecer o veículo com gasolina quando a razão entre o preço do litro do álcool e o preço do litro da gasolina fosse: a)menor que 0,4. b)maior que 0,4 e menor que 0,5. c)maior que 0,5 e menor que 0,6. d)maior que 0,6 e menor que 0,7. e) maior que 0, (CFO-93) Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir? a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min d) 3h 20 min e) 3h 18min 39. (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 15 operários deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra? a) 53 b) 54 c) 56 d) (FESP-96) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias d) 36 dias e) 64 dias 41. (Colégio Naval) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia? a) 10 b) 20 c) 15 c) 30 e) (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância? a) 2h30min18s b) 2h37min8s c) 2h37min30s 31

32 d) 2h30min30s e) 2h29min28s O número de tacos necessários para essa substituição foi: 43. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em: a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias d) 6 dias e) 16 dias a) b) c) d) e) (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará: a) 24 min b) 30 min c) 32 min d) 36 min e) 50 min 44. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. Gabarito 1) B 2) C 3) A 4) D 5) E 6) D 7) 21 8) D 9) A 10) B 11) 30 e 40 12) 2,4 cm 13) D 14) 2,5 cm 15) 1:500 16) E 17) 40km 18) 1:400 19) E 20) A 21) C 22) B 23) A 24) A 25) D 26) E 27) A 28) 63 29) E 30) B 31) B 32) A 33) B 34) C 35) A 36) D 37) E 38) D 39) B 40) E 41) C 42) C 43) C 44) D 45) C 46) B 32

33 33

34 Porcentagem No nosso dia a dia nos deparamos com expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Veja algumas situações: A gasolina teve um aumento de 20%. Significa que em cada R$1,00 houve um acréscimo de R$20,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$1,00 foi dado um desconto de R$10,00. Os óleos parafínicos são os que apresentam um teor de resinas e asfaltenos entre 5 e 15 %. Ou seja, em cada 1 ml de óleo há entre 5 e 15 de resina e asfaltenos. Razão centesimal ou percentual Toda a razão que tem como conseqüente ou denominador o número 100 é chamada de razão centesimal ou percentual. Veja abaixo: ,,, Uma razão centesimal também pode ser representada de outras maneiras. Veja abaixo: 34

35 Os resultados 7%, 16% e 125% foram obtidos através da divisão dos numeradores pelos denominadores. As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Você sabe resolver problemas com porcentagem? Vamos ver alguns? Considere o seguinte problema: Os óleos parafínicos são excelentes para a produção de querosene de aviação (QAV), diesel, lubrificantes e parafinas. Apresentam um teor de resinas e asfaltenos 1 entre 5 e 15 % em cada litro. Em um recipiente de 20 litros, qual o valor estimado para 12% de resinas presentes na mistura? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (12%) sobre a quantidade de óleo do recipiente % de 20 =.20 = = 2, litros Portanto, em 20 litros de óleo há 2,4 de resinas, que representam a porcentagem procurada. Logo, porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de % de 300 =. 300 = Os asfaltenos são produtos oriundos do petróleo que apresentam estruturas moleculares complexas que tendem a formar agregados que floculam e precipitam de acordo com as condições físico-químicas do meio que se encontram. 35

36 Calcular 25% de 200 kg % de 200 =. 200 = = Calcular 5% de % de =. = = = 0, Quantos por cento 35 representa de 700? 35 é x% de 700. Mas quanto é x? Precisamos encontrar uma fração equivalente a cujo denominador seja 100. Para isso, basta dividir ambos os termos da fração acima por 7. Ou seja, 35 : 7 5 = = 5% 700 : Exemplos de resoluções de problemas: 1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? SOLUÇÃO: Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? SOLUÇÃO: Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. 36

37 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 3) No almoxarifado de uma loja de calçados, 32% do estoque são de sapatos infantil. Os outros 1700 pares restantes, são sandálias de adulto.quantos calçados há no almoxarifado dessa loja. SOLUÇÃO: O total de calçados corresponde a 100%, ou seja, 32% infantil e x% adulto. Assim, 100% - 32% = 68%. Portanto, os 1700 pares de calçados correspondem a 68% do total. Logo, aplicando os conhecimentos de regra de três simples, temos: % Y 100% Y = = pares de calçados Um outro exemplo é quando, há um acréscimo de 10% a ser dado em um determinado valor. Nesse caso, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 37

38 Veja a tabela Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10. 0,90 = R$ 9,00 Resolução de problemas 1. Quanto é 30% de R$ 420,00? 2. Na lanchonete, um sanduíche que custava R$ 2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar: 3. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos têm a escola? é quanto por cento de 550? 7. Se 35% de todo o meu dinheiro correspondem a R$ 105, quanto possuo no total? 8. O preço de um artigo em promoção sofreu um desconto de 20%. Terminada a promoção, foi aumentado em 20%. Seu preço atual é: A) igual ao inicial B) 98% do inicial C) 96% do inicial D) 92% do inicial 5. Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850 eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos nulos ou em branco? E) 90% do inicial 9. Assinale a sentença verdadeira: A) 6% = 0,6 6. O cafezinho vendido na rede Café Expresso aumentou de R$ 1,60 para R$ 1,70. Esse aumento, em termos percentuais, foi de aproximadamente: B) 13% = 1,3 C) 140% = 1,4 D) 20,5% = 0,

39 E) R$ 4.194, Uma TV LCD foi comprada por R$ 6.000,00 e vendida meses depois por R$ 5.160,00. Determine a porcentagem de prejuízo nessa venda. 11. Em um concurso havia homens e mulheres. Sabe-se que 55% dos homens e 60% das mulheres foram aprovados. Do total de candidatos, quanto por cento foram reprovados? 12. Qual o valor de uma fatura pela qual se pagou R$ 1.900,00, sabendose que o vendedor concordou em fazer um abatimento de 5%? 13. ( Cesgranrio/BB 1999) Um automóvel foi comprado por R$ ,00 e sofreu desvalorização de 20% ao ano. O seu valor, em reais, após 3 anos será: A) R$ ,00 B) R$ 8.192,00 C) R$ 6.553, Rosane digitou 1 das páginas de 5 um material para estudos e Dilcléia digitou 1 4 do número de páginas restantes. A porcentagem de X páginas que deixaram de ser digitadas é de : A) 20% B) 25% C) 45% D) 50% E) 60% Gabarito C 2 R$3,50 9 C % 4 22% 11 42% 5 20% 12 R$ ,25% 13 A E D) R$ 5.242,88 39

40 Juros simples e compostos JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos. A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é: J = c. i. t Sendo que: J = juros c = capital i = taxa de juros t =número de períodos ATENÇÃO: a taxa deve ser sempre compatível com a unidade de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para um prazo de 60 dias adotaremos t = 2 (2 meses). 40

41 Exemplos: 1- Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: C = R$1.000,00 J = c. i. t i = 8% a m = 0,08 J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 t = 2 m J = R$ 160,00 2- Qual é o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, à taxa de 55% ao ano, durante 3 anos? C =? J = c. i. t J = = C. 0,55. 3 i = 55% a.a = 0,55 1,65 c = t = 3 anos C = ,65 = C = R$ 3.800,00 Portanto, em 3 anos o capital de R$ 3.800,00 rende de juros R$ 6.270, Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 12 5 de um capital aplicado a uma taxa de 20% ao mês? DICA Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5. J = c. i. t = 5.. t = t 100 t = 12 meses 4- Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao mês (a.m). Quanto ele pagará de juros? Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos: 1º) Em um mês, os juros são de: 5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00 41

42 2º) Como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar: J = 3 x 30,00 = 90,00 Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar: 600, ,00 = 690,00 O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante. Ao somarmos os juros ao valor principal (capital) temos o MONTANTE. MONTANTE = CAPITAL + JUROS MONTANTE = CAPITAL + (capital x taxa de juros x tempo) M = C + J M = C. ( 1 + i.t) 5- Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: Devemos expressar a taxa i e o período t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Dividimos 145 dias por 360 dias, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. M = (1 + M = ( M = C. ( 1 + i. t ) 10, ) = ( ) ) = ( + ) = M = = M= M = R$ ,42 = ,42 42

43 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. SOLUÇÃO: A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.(dia) Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = c.i.t J = , = 5.000,00 J = R$ 5.000, Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros simples em 75 dias? SOLUÇÃO: Observe que expressamos a taxa i e o período t em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Sabemos que: J = c.i.t ou seja: = c. (1,2/100).(75/30) = c. 0,012. 2, = 0,03 c c = ,03 = R$ ,67 43

44 3 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? SOLUÇÃO: O objetivo é dobrar o capital, então: M = 2.C t = i = 150/100 = 1,5 a.a M = c. (1 + i.t) 2c = c. (1 + 1,5.t) 2 = 1 + 1,5 t 1 1,5 = 10 2 = = 0, ano 15 3 t = 0, meses = 8 meses t = 8 meses 4- Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.? SOLUÇÃO: J = C.i.t = (4,5/100).t = ,045.t t = ,5 = 3,36 t = 3,36 meses = 3 meses + 0,6 de um mês = 3 meses + 3/5 de um mês t = 3 meses e 18 dias 44

45 JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal (capital) para o cálculo dos juros do período seguinte. Da capitalização simples, já sabemos que o rendimento se dá de forma proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte. Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4, e assim sucessivamente. VEJA O EXEMPLO ABAIXO: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 1º período: % R$ M M = R$ 1.020,00 (nova base de cálculo para o período seguinte) PERÍODOS CAPITAL MONTANTE 2º R$ 1.020,00 1,02 = R$ 1.040,40 3º: R$ 1.040,40 1,02 = R$ 1.061,21 4º R$ 1.061,21 1,02 = R$ 1.082,43 5º R$ 1.082,43 1,02 = R$ 1.104,08 Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 45

46 No cálculo, fizemos o seguinte: R$ ,02 1,02 1,02 1,02 1,02 = R$ (1,02) 5 = R$ ,10408 = R$ 1.104,08 Observamos o fator (1,02) 5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras. O cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e t é a quantidade de capitalizações. M = C. (1 + i) t Comparando o cálculo composto com o cálculo simples, observe: CAPITAL JUROS SIMPLES MONTANTE R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.020,00 R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.040,00 R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.060,00 R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.080,00 R$1.000,00 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.100,00 Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples. 46

47 Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - C LEMBRE que a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo t, ou seja, taxa de juros ao mês para t meses. EXEMPLOS: 1- Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 4% ao mês. SOLUÇÃO: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 6.000,00 i = 4% = 0,04 t = 12 Usando a fórmula M = C.(1+i) t, obtemos: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 2- O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? SOLUÇÃO: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C (1 + i) t M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738, J = R$ 238,73 J = M - C 47

48 3- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? SOLUÇÃO: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C (1 + i) t 477,62 = C (1,03) 6 477,62 C = 1,19405 C = R$ 400,00 4- Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 12 meses, o montante será de quanto? SOLUÇÃO: Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano. Se a capitalização é semestral o capital rende juros ao final do semestre. Se a capitalização é mensal o capital rende juros ao final do mês. Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula: M = C (1 + i) t Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e t = prazo. Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo. Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07) t Observe que o prazo t = 12 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir ao mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos considerar o período trimestral. 48

49 Período trimestral Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se: 12 meses t trimestres 3 meses 1 trimestre logo t = 4 trimestres. Assim, temos que : M = (1+0,07) 4 = R$ 2.621,60 M = R$ 2.621,60 Agora é com você!! Resolução de Problemas 1. Qual o montante acumulado a partir da aplicação de R$2.895,00 a 3,5% ao mês durante 3 anos e meio? 2. Investindo-se mensalmente $150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado ao final do período? 3. Um capital de R$ ,00 foi investido num regime de juros compostos, durante 18 meses, numa aplicação que rende 2% ao mês. Calcule o montante no final do período. ano, para se obter um montante de R$ ,00 ao final do período? 5. Quanto deveremos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% ao trimestre, para termos R$ ,00 ao final de 105 meses? 6. Uma dívida de R$ 1.000,00 deve ser quitada em 12 parcelas mensais, à taxa de juros de 3% ao mês. Determine o valor de cada prestação. 7. Investindo-se mensalmente R$ 150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado ao final desse período? Resposta: 4. Qual o capital que precisa ser investido durante 5 anos, à uma taxa de juros compostos de 10% ao 49

50 8. (FCC/CEF/1998) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão de: R$ 98,00 R$ 101,00 R$ 110,00 R$ 114,00 R$ 121,00 9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/199 9)Desconsiderando-se os aspectos tributários, uma aplicação financeira de R$ ,00, com rendimento mensal contratado de 2% ao mês, no sistema de juros compostos com capitalização mensal, terá, depois de três meses, o valor final para resgate igual a: R$ 8.360, João tomou emprestado R$20.000,00 de Carlos para pagálo após 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a.. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dívida, João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a.? 12. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ ,00 por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês (5,6% a.m.). 13. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.). R$ ,00 R$ ,00 R$ ,80 R$ ,00 R$ , Um capital C aplicado a juros compostos à taxa de 5% ao mês durante 3 meses resultou um montante de R$ 9.261,00. Encontre o valor desse capital. R$ 8.000,00 R$ 5.500,00 R$ 6.000,00 R$ 7.000, Obteve-se um empréstimo de R$ ,00, para ser liquidado por R$ ,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? 15. Um capital C foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu R$ ,38. Qual o valor C do capital aplicado? 16. Um capital de R$ 5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 1.839,96 de juros simples ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples? 50

51 17. Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de R$ ,00? 18. A que taxa mensal o capital de R$ ,00 produzirá o montante de R$ ,00 em 10 anos? 19. Por quanto tempo um capital de R$ ,00 foi aplicado para que rendesse R$ 1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.? 20. Um empréstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros de R$ 2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do empréstimo? Gabarito 1) R$ ,70 2) R$ ,00 3) R$ ,92 4) R$ 6.209,21 5) R$ 203,00 6) R$ 100,50 7) R$ ,00 8) B 9) C 10) A 11) R$ ,44 12) R$ ,00 13) ,00 14) 66% a.a 15) R$ 7.304,00 16) 9,5% a.m 17) ,02 18) 8,5% a.a 19) 3 meses e 10 dias 20) 4,5% a.m 51

52 Descontos Operação de Desconto: o que é? Suponhamos que eu tenho uma dívida, no valor de R$ 5.000,00, que tem que ser paga daqui a três meses, mas pretendo antecipar o pagamento dessa dívida e pagá-la hoje. É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa hoje um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos agora retroceder no tempo com determinado valor monetário, e descobrir o quanto este valerá no dia de hoje, ou numa outra data anterior àquela do seu vencimento. Observemos que, como estamos retrocedendo no tempo, ou seja, como estamos recuando na linha do tempo, o valor de desconhecido será, necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. E por que o valor desconhecido (x) será um valor menor que o da dívida? Porque estará sofrendo uma operação financeira a qual chamaremos de DESCONTO. Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor monetário de uma data futura para uma data anterior. Elementos de uma Operação de Desconto: Valor Nominal (N): Significa o nosso valor monetário, devido numa data futura. Normalmente, o valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação (uma dívida, ou coisa parecida) que tem que ser paga numa data posterior à de hoje. 52

53 Valor Atual (A): Também chamado de Valor Líquido ou Valor Descontado. Significa o quanto representa o Valor Nominal, quando projetado para uma data anterior! É o quanto pagaremos hoje por aquele nosso título! Por isso recebe esse nome de Valor Atual. Porque atual é hoje!. O Valor Atual será necessariamente menor que o Valor Nominal, uma vez que, na linha do tempo, está sempre numa data anterior. Desconto (d): Se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo antecipar o pagamento desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor do que o que era devido. Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o que chamaremos de Desconto. Utilizaremos a d = N A fórmula: Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes: N = d + A e A = N d Tempo de Antecipação (t): Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade projetando um valor monetário para uma data anterior. Então, t será, numa questão de desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data futura, e pretendemos pagá-la hoje, então t será o tempo de antecipação do pagamento daquela obrigação. Simplesmente isso! Taxa (i): Este elemento já é nosso velho conhecido. É ela, a Taxa, a responsável por realizar a mágica da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! E é também ela que faz com que uma quantia vencível (devida) numa data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data anterior. Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no Desconto teremos taxas no Regime Simples. 53

54 Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em qual dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operação de desconto! Se a taxa é simples, estaremos numa questão de Desconto Simples. Se é composta, estaremos numa questão de Desconto Composto, caso este, que não veremos nesse curso. Quando se lê uma questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução, temos, impreterivelmente, que descobrir duas coisas: Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou Composto? Ou seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de Desconto Composto( não veremos esse caso)? Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação de desconto? É o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora? Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos aptos a iniciar a resolução da questão. Nunca antes! Aprenderemos a identificar e a resolver as questões de Desconto Simples, nas duas modalidades (por dentro e por fora). Uma forma de memorizar isso é pensando numa garrafa Sabemos que o Valor Atual é sinônimo de Valor Líquido. E o líquido fica onde? Fica dentro da garrafa. Logo, o líquido fica dentro! E líquido é o Atual. E o nome da garrafa, fica onde? Por fora! Assim, por fora é o Valor Nominal. Veja o resumo no esquema: DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL 100% É O VALOR LÍQUIDO DESCONTO POR FORA OU COMERCIAL 100% É O VALOR NOMINAL 54

55 O Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada é: Dc = N. i. t Onde: Dc = Desconto comercial; N = valor nominal; i = Taxa de desconto [i 100], t = prazo. Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente... = 1. Exemplos: 1. Um título no valor de R$ ,00 foi descontado num banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. a) Calcule o desconto; b) Calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual VA] SOLUÇÃO: a) Dc = N. i. t A = N - d Dc = [(3,5/100). 3] b) Ac = N - dc N: Dc = [0,035. 3] Ac = i: 3,5% a.m. Dc = ,105 Ac = ,00 t: 3 meses. Dc = 1.470,00 55

56 2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a R$ ,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. a) Qual o desconto comercial; b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual VA] A = N - d SOLUÇÃO: Dc = N. i. t Dc = x {[(30/100)/360] x 40} Ac = N - dc N: Dc = x {[0,30/360] x 40} Ac = i: 30% a.a. Dc = x 0, x 40 Ac = ,00 t: 40 dias. Dc = x 0, Dc = 3.000,00 3. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 8.000,00, foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,50% a.m.. a) Qual o desconto comercial; b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual VA] SOLUÇÃO: A = N - d Dc = N. i. t Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] b) Ac = N - dc N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} Ac = i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 Ac = 7.600,00 t: 2 meses. Dc = 400,00 56

57 4. Uma dívida de R$ ,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?. SOLUÇÃO: N: t: 3 meses i: 30% a.a. Dr =? , = = 1 1 0, , ,0 = = 1 0, , , , 0 = = 1 0,0 1,0 = 4 1, 4 R$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. Resolução de problemas: 1- Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, adotando-se o ano comercial. Valor Nominal Taxa de Juros Prazo de Antecipação a) R$ ,00 27,30% a.a. 7 meses b) R$ 4.200,00 18,0% a.a. 120 dias c) R$ 7.400,00 33,0% a.a. 34 dias d) R $ 3.700,00 21,0% a.a. 5 meses e 20 dias RESPOSTAS: a) Dr = 1.648,48 b) Dr = 237,74 c) Dr = 223,66 d) Dr = 333,81 2- Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$1304,35 57

58 3- Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$1500,00 4- (Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2.000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. O valor líquido a recebido é de: R. A A) R$ 1.800,00 B) R$ 1.600,00 C) R$ 1.300,00 D) R$ 1.200,00 E) R$ 1.500,00 5- (AFRF ) Um título sofre um desconto comercial de R$9810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês.indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. R. E a) R$ 9810,00 b) R$ 9521,34 c) R$ 9500,00 d) R$ 9200,00 e) R$ 9000,00 6- Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado. Resposta: desconto = R$ 300,00 e valor descontado ou valor líquido = R$ 4.700,00 7- Determine o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00. R. R$ 800,00 8- Qual o prazo de antecipação de um título que descontado racionalmente, à taxa de juros de 8% a. m. produziu um desconto equivalente a 1/6 do seu valor nominal? R. 2 meses e 15 dias 9- Calcule o desconto por dentro sofrido por uma duplicata de R$ 8.320,00, descontada à taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu vencimento. R. R$ 320, A que taxa anual, um título de R$ 2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de desconto por fora? R. 40% a.a. Espaço reservado para observações 58

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60 Equação do 1º Grau Forma: ax + b = 0, onde a e b são números reais com a 0 Importante: Quando a equação resultar em 0x = b Onde b é um número real, diferente de zero, a equação não tem solução. 0x = 0 Quando a equação resultar em Qualquer valor de x real satisfaz a equação. Contextualizando: Os táxis da cidade onde João Vitor reside, cobram R$ 1,20 por quilômetro rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida bandeirada. João Vitor foi de táxi da sua casa até a escola e pagou um total de R$ 8,30. A distância que o táxi percorreu de sua casa até a escola foi de: Formulação Matemática: 1,20 x + 3,50 = 8,30 Exemplos de problemas: 1. A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o produto desses três números. 2. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a capacidade total desse reservatório? 3. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: 4. (EMBRAPA 94) Conta-se que, certa vez, um bêbado entrou em uma igreja e prometeu contribuir com R$ 300,00 para os pobres se Santo Antônio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O milagre aconteceu e o bêbado colocou R$ 300,00 na caixa de esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 300,00 se o Santo, outra vez, multiplicasse por dois o dinheiro que ele tinha no bolso. Novamente o milagre aconteceu, mas quando o bêbado 60

61 colocou os R$ 300,00 na caixa de esmolas, percebeu que ficara sem dinheiro algum. O dinheiro que o bêbado entrou na igreja foi: 5. (TRE 2002 CE) Do total de X funcionários de uma repartição pública que fazem a condução de veículos automotivos, sabe-se que 1/5 efetuam o transporte de materiais e equipamentos e 2/3 do número restante, o transporte de pessoas. Se os demais 12 funcionários estão temporariamente afastados de suas funções, então X é igual a. a) 90 b) 75 c) 60 d) 50 e) 45 Equação do 2º Grau Forma: ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com a 0. Para resolvê-la usaremos a formula de Báskara. b ± 2a 2 2 ax + bx + c = 0 x = onde = b 4ac Conforme o valor do discriminante existem três possibilidades quanto á natureza da equação dada. > 0 Existem duas raizes reais e desiguais = 0 Existem duas raizes reais e iguais < 0 Existem duas raizes complexas da formaα ± β 1 Quando ocorre a última possibilidade é costume dizer-se que não existem raízes reais, pois, de fato, elas não são reais já que não existe, no conjunto dos números reais, a quando a < 0. 61

62 Atenção! Na resolução das equações podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução no mesmo universo. Vejamos algumas destas propriedades. 1. Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira. a = b a + c = b + c ou a = b a c = b c Conseqüência. Observemos a equação: X + 2 = 3 Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos: X + 2 = 3 x = 3 2, assim: X+2 = 3 x=1 2. Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira. a = b a c = b c ou a b a = b = c c Conseqüência. Observemos a equação: -2x = 6 Dividindo por -2 os dois membros da igualdade, temos: 2x 6 2x = 6 = 2 2, assim: 2x = 6 x = 3 62

63 Resolução de problemas 1. As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente? 2. Sabendo-se que o número x representa o valor de 2-(-3+5 )- [-1+ (-3+4 ) -(-2-6), quanto vale: a. o dobro do número x? b. o quadrado do número x? 3. Duas pessoas, A e B, disputam 100 partidas de um certo jogo.cada vez que A vence uma partida recebe 20 reais de B e cada vez que B vence, recebe 30 reais de A. se A vencer 51 partidas, ele terá lucro ou prejuízo? De quantos reais? 4. Qual é o valor numérico da expressão a³ - 3a²x², quando a = 10 e x = 2? 5. A cada quilômetro rodado, um carro consome 0,12 litros de combustível. Quantos litros esse carro vai consumir, se percorrer 82,5 km? 6. Em um terreno retangular, o comprimento tem 10 metros a mais que a largura. Se representarmos pela letra x o número de metros da largura, o comprimento será representado por x+10. Se o triplo da largura é igual ao dobro do comprimento, escreva uma equação que represente esse fato. 7. O campeonato de Fórmula 1 terminou com o campeão levando 7 pontos de vantagem sobre o vice-campeão.se os dois juntos, campeão e vice,somaram 173 pontos no final da temporada, quantos pontos cada um marcou nessa temporada? 8. Com 22 livros de 3 cm e 7 cm de espessura formou-se uma pilha de 106 cm de altura.quantos livros de cada espessura foram colocados? 9. (OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA-SP) Uma classe quis dar a uma professora um presente que custava R$ 720,00. Calculou-se a quantia que cada aluno deveria dar. Porém, cinco alunos de outra classe quiseram participar da compra do presente, e com isso, coube a cada um R$ 2,00 a menos na quantia anteriormente combinada. Quantos alunos havia na classe? 10. (PUC-SP) Um terreno retangular de área 875m² tem o comprimento excedendo em 10 metros a largura. Quais são as dimensões do terreno? Assinale a equação que representa o problema acima: a. x² + 10x-875 = 0 b) x² +10x+875 = 0 c) x² - 10x+875 = 0 d) x² + 875x-10 = 0 63

64 11. (U.C. SALVADOR-BA) Um professor dispunha de 144 doces para dividir igualmente entre os alunos de sua classe. Como no dia da distribuição faltaram 12 alunos, ele dividiu os 144 doces igualmente entre os presentes, cabendo a cada aluno 1 doce a mais. O número de alunos presentes no dia da distribuição era: a) 36 b) 40 c) 42 d) Um norte-americano, fazendo turismo numa pequena cidade da Amazônia, entrou numa loja e comprou alguns pacotes de guaraná em pó, gastando R$ 90,00. No dia seguinte, ele voltou a loja, mas cada pacote já custava R$ 2,00 a mais que no dia anterior. Dessa vez ele gastou R$ 70,00. No total o americano comprou 80 pacotes de guaraná. Quantos ele comprou no primeiro dia? E no segundo? Inequação do 1º Grau Uma inequação do 1 grau na incógnita x é qualquer expressão do 1 grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b 0; ax + b 0. Onde a, b são números reais com a 0. Exemplos: -2x + 7 > 0 x x x < 0 Resolvendo uma inequação de 1 grau Uma maneira simples de resolver uma equação do 1 g rau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos: Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0. Solução: -2x > -7 Multiplicando por (-1) 2x < 7 x < 7/2 64

65 Portanto a solução da inequação é x < 7/2. Exemplo 2: Resolva a inequação 2x - 6 < 0. Solução: 2x < 6 x < 6/2 x < 3 Portanto a solução da inequação e x < 3 Pode-se resolver qualquer inequação do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1 grau, com o seguinte procedimen to: 1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme o caso. Exemplo 1: -2x + 7 > 0-2x + 7 = 0 x = 7/2 Exemplo 2: 2x 6 < 0 2x - 6 = 0 x = 3 Exemplo 2: Quais os valores de x na desigualdade x 3 2x +5 < x +1 responder 65

66 Conjunto dos números reais (IR) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como: IR=Q {irracionais} = {x x é racional ou x é irracional} O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: Vamos relembrar os números reais e intervalos para entendermos inequações do 2º grau? Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR + = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,

67 Intervalos reais Intervalos finitos Com as convenções seguintes podemos definir os conceitos de intervalo. (a,b) = {x R: a < x < b} [a,b] = {x R: a < x < b} (a,b] = {x R: a < x < b} [a,b) = {x R: a < x < b} Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade. Intervalos infinitos Consideremos inf = infinito. Define-se o intervalo (a,+inf) como o conjunto de todos os números reais maiores do que a, isto é: (a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a) = {x R: x < a} e também os intervalos: [a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a] = {x R: x < a} e uma notação comum é: R = (-inf, +inf) 67

68 Inequações do 2º grau Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: >, >, <, <. Exemplos: 1) x 2 3x + 2 > 0 Resolução: x 2 3x + 2 > 0 x' = 1, x'' = 2 Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre. Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2 Resposta: { x R x<1 ou x>2} 68

69 Inequações simultâneas Exemplo: Calcule o conjunto solução da inequação 2 1 < x 2x +1 < 0 Resolução: i x 2 ) 2x + 1 > 1 ii x 2 ) 2x + 1 < 0 resolvendo( i) : x x x + 1 > 1 2x > 0 x ' = 0, x '' = 2 resolvendo( ii) : x 2x + 1 < 0 x ' = x '' = 1 Determinado x e x, fazer o estudo do sinal para cada função. i) x<0 ou x>2 ii) x diferente de 1. Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2. Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado. 69

70 Resposta: { x R x < 0 ou x > 2} Resolução de exercícios 1. ( CESGRANRIO ) O conjunto solução da inequação x 2-3x - 10 < 0 é: a. (-, - 2) b. (-, - 2) (5, ) c. (- 2, 5) X d. (0, 3) e. (3, 10) 2. (PUC - MG) - A solução da inequação x 2 x é o intervalo real: a. (-, - 11] b. [- 1, ) c. [-1, 0 ] d. [-1, 1 ] e. [ 0, 1 ) X a. ( 0, 2 ) X b. (- ºº, 0 ) c. (2, ºº ) d. (- ºº, 0 ) (2, ºº ) e. ( 0, ºº ) 5. (UNESP) - O conjunto-solução da inequação (x - 2) 2 < 2x - 1, considerando como universo o conjunto IR, está definido por: a) 1 < x < 5 X b) 3 < x < 5 c) 2 < x < 4 d) 1 < x < 4 e) 2 < x < 5 3. (UEL - PR) - O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x 2 - x < 1, é: a. {x IR /-1/2 < x < 1} X b. {x IR / x > 1 ou x < -1/2 } c. {x IR / x < 1 } d. {x IR / 1/2 < x < 1} e. {x IR / x < -1/2 } 6. (UFSE) - O trinômio y = x 2 + 2kx + 4k admitirá duas raízes reais e distintas se, e somente se: a. k > 4 b. k > 0 e k 4 c. k < 0 ou k > 4 X d. k 0 e k 4 e. 0 < k < 4 4.( CESGRANRIO ) - As soluções de x 2-2x < 0 são os valores de x pertencentes ao conjunto: 7. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x 2-2x - 35 < 0 é: 70

71 a. -5 b. -4 X c. -3 d. -2 e. -1 a. m 1 e m 2; X b. 1 m 2; c. m 1; d. m 2; e. m = 2 8. ( UFSC ) A equação 2x 2 - px + 8 = 0 tem raízes reais e distintas para p satisfazendo as condições: 10. ( FATEC - SP ) Os valores de k, k Z, para que os quais a equação kx = kx -3 não admite solução real, pertence ao intervalo: a. p 8 ou p -8 b. -8 p 8 c. p 8 ou p > 8 d. p < -8 ou p 8 e. p < -8 ou p > 8 X a. (-ºº, -10 ) b. ( -10, -5 ) c. ( -2, 0 ) d. ( 0, 48 ) X e. ( 48, 100 ) 9. ( PUC - SP ) Os valores de m R, para os quais o trinômio y = ( m - 1 ) x 2 + mx + 1 tem dois zeros reais e distintos, são: Espaço reservado para observações 71

72 72

73 Medidas de comprimento Sistema Métrico Decimal A história nos mostra que desde tempos muito antigos os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidadespadrão. Com o desenvolvimento do comércio foi ficando cada vez mais difícil a troca de informações e as negociações entre os povos, devido a tantas medidas diferentes. Foi necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. À época da Revolução francesa, em 1791, representantes de vários países reuniram-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgiu então o sistema métrico decimal. Metro A origem da palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Inicialmente foi estabelecido que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9, km 73

74 O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as conversões abaixo: Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = m Milha marítima = m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés LEITURA DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO Com a ajuda do quadro de unidades, podemos efetuar a leitura das medidas de comprimento. Acompanhe a seqüência para lermos a seguinte medida: 15,048 m. 1º) Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva medida. km hm dam m dm cm mm º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. Portanto, lemos: 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros". 0,003 m lê-se "três milímetros". 74

75 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Observe as seguintes transformações: Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja, 16,584hm = 1.658,4m Medidas e comprimento PERÍMETRO DE UM POLÍGONO Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. Perímetro do retângulo b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) 75

76 Perímetro dos polígonos regulares Triângulo eqüilátero P = l+ l + l P = 3 l Quadrado P = l + l + l+ l P = 4 l Pentágono P = l + l + l + l + l P = 5 Hexágono P = l + l + l + l + l + l P = 6 l Para um polígono de n lados, temos: l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular P = n l Dividindo-se o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontra-se sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Este número, 3, Corresponde em matemática à letra grega (que se lê "pi"), Costuma-se considerar = 3,14. 76

77 Medidas de superfície Introdução As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de salão? Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado e O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2 O dam 2, o hm 2 e km 2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm 2, o cm 2 e o mm 2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 12, 56 Lê-se 12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , 30 Lê-se 178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados 77

78 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0, Lê-se decímetros quadrados. Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária Equivalência de valor hectare (ha) are (a) centiare (ca) 100a 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm 2 1a = 1 dam 2 1ca = 1m 2 Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: transformar 2,36 m 2 em mm 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos multiplicar por (100x100x100). 2,36 x = mm 2 transformar 580,2 dam 2 em km 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar dam 2 em km 2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por (100x100). 580,2 : = 0,05802 km 2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 78

79 1) Transforme 8,37 dm 2 em mm 2 (R: mm 2 ) 2) Transforme 3,1416 m 2 em cm 2 (R: cm 2 ) 3) Transforme 2,14 m 2 em dam 2 (R: 0,0214 dam 2 ) 4) Calcule 40m x 25m (R: m 2 ) Medidas de volume Introdução Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m m m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 3 0, m 3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar, porém, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos. Leia a seguinte medida: 75,84m 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 75, 840 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". 79

80 Leia a medida: 0,0064dm 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0, Lê-se "6400 centímetros cúbicos". Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm 3 Múltiplos e submúltiplos do litro Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Leitura das medidas de capacidade Relações 1l = 1dm 3 1ml = 1cm 3 1kl = 1m 3 Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal kl hl dal l dl cl ml 2, Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 80

81 Transformação de unidades Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: transformar 3,19 l para ml. kl hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por (10x10x10). 3,19 x = ml Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: dl) 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m dal + 1hl (R: 800 l) Medidas de tempo Unidade Símbolo Equivalência Segundo s Minuto min 1 min = 60s Hora h 1h = 3600s 81

82 Resoluções de Problemas 1. Calcule quantos metros estão contidos em: a)108km 3 b)10 cm a)75kg b)0,8mg c)10 5 kg c)3000mm d)10 2 mm 2. Transforme em quilômetros: a)36000m b)3600m 6. Calcule o número de segundos de: a) 1 minuto b) 1 hora c) 1 dia d) 1 mês c) cm d) mm 3. A espessura de uma folha de papel é de 0,05mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram empilhadas até atingirem uma altura. Calcule em metros essa altura. 4. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de km, aproximadamente, e que entre a Terra e o Sol é de km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância está contida na segunda? 5. Calcule quantos gramas estão contidos em: 7. Qual é duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h 20min 10s e termina às 22h 12min 15s? 8. Uma dona de casa curiosa teve a idéia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando uma balança descobriu que a massa de 1000 grãos era de 0,57 kg. Descreva de que maneira, com esses dados, ela pode obter a massa do grão de feijão em miligramas. 9. (Fuvest-SP) No estádio do Morumbi torcedores assistem a um jogo.através de cada uma das 6 saídas disponíveis podem passar 1000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para esvaziar o estádio? 82

83 10. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segundos, é de: a)3,0 10 b)3,0 10 c)3, d)6,0 10 e)7, (Vunesp-SP) O intervalo de tempo de 2,4 min equivale, no Sistema Internacional de Unidades (SI), a: a) 24s b) 124s c) 144sX d) 160s e) 240s 12. Um fenômeno tem início no instante t1= 9h 14min 30s e termina no instante t2 = 11h 35min 20s. Determine a duração do intervalo de tempo em que ocorreu o fenômeno. 13. Quantos centímetros há em 2Km? a) b) c) X d) Um intervalo de tempo de 0,7h corresponde a : a) 7 minutos b) 42minutos X c) 70 minutos 15. Determine a sentença falsa : a) 2,5m = 250cm b) 2,5m = 2 500mm c) 3,45Km = 345m X d) 3,45Km = cm 16. Cada bolacha recheada pesa 0,01 Kg. Essas bolachas são embaladas em pacotes de 20, que são agrupadas em caixas com 100 pacotes. Quantos quilos têm cada caixa? a) 2 b) 8 c) 10 d) 20 X 17. Uma cesta pequena de morango pesa 0,35 Kg. Um feirante leva, para vender, 800 dessas cestas. A quantos quilogramas isso corresponde? a) 280 X b) 70 c) 28 d) Uma área de 2 m 2 eqüivale a quantos centímetros quadrados? a) 20 cm 2 b) 200 cm 2 c) cm 2 d) cm 2 X d) 1 hora e 10 minutos 83

84 19. Uma área de 3 Km 2 eqüivale a quantos metros quadrados? a) m 2 X b) m 2 c) m 2 a) 1 L = 10 cm 3 b) 1 L = 1 dm 3 X c) 1 L = 100cm 3 d) 1 L = 3dm 3 d) m Um sítio é retangular e tem 600 m de comprimento e 200 m de largura. Sabendo que l hectare é igual a m 2, conclui-se que a área do sítio é de : a) 1,2 hectare b) 120 hectares c) 12 hectares X d) hectares 23. Uma garrafa contém 450 ml de suco. Juntando esse suco com 1l de água, obtivemos 12 copos de refresco. Quantos mililitros de refresco contêm cada copo, aproximadamente? a) 150 ml b) 140 ml c) 130 ml d) 120 ml X 21. Uma caixa da água com a forma de bloco retangular, com dimensões de 1 m pôr 1,20 m pôr 0,80 m, tem uma capacidade de: a) 9,6 L b) 96 L c) 960 L X d) L e) L 24. Um aquário tem a forma de um bloco retangular, com 30 cm de comprimento, 20 cm de largura e 20 cm de altura. Estando cheio até a boca, quantos litros de água o aquário vai conter? a) 6 L b) 9 L c) 12 L X d) 14 L 22. Você já sabe 1 L é a quantidade de líquido que cabe numa caneca como a que está na figura. Daí, devemos concluir que: 84

85 Espaço reservado para seus registros 85

86 86

87 Noções básicas de lógica A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês ( ), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais Os dois princípios fundamentais Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Proposição Proposição ou sentença é toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou falsa Toda proposição é uma frase, mas nem toda frase é uma proposição, uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V). 1. Frases que não são proposições o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. Frases que são proposições o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 87

88 Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r,... Símbolos utilizados na Lógica Matemática não e ou se... então se e somente se tal que implica equivalente existe existe um e somente um qualquer que seja Conectivos Operações lógicas As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p q, p q 88

89 (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: Conjunção (ou implicação): p q (lê-se "p e q " ) Disjunção: p q (lê-se "p ou q ") Condicional: p q (lê-se "se p então q " ) Bi-condicional (ou equivalência): p q ( "p se e somente se q") TABELA VERDADE. p q p q p q p q p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. Ex.: Dadas as proposições simples: p: O Sol não é uma estrela (F) q: = 8 (V ) Temos: p q tem valor lógico F p q tem valor lógico V p q tem valor lógico V p q tem valor lógico F Assim, a proposição composta 89

90 "Se o Sol não é uma estrela então = 8" É logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V valor lógico falso = 0 ou F Condicional (ou implicação) Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja: a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. Quanto à condicional "se p então q", vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas: p q p q V V V V F F F V V F F V O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p q é verdadeira. Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p q é verdadeira. 2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de, partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p q é falsa. 3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: Sejam as proposições: 90

91 p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 15 = 15 (valor lógico V) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q é verdadeira 4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos: Sejam as proposições: p: 10 = 5 (valor lógico F) q: 19 = 9 (valor lógico F) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p q é verdadeira (V). Exemplos: 1. Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (p q) q? Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V, q = F e ~q = V. r: (V V) F, logo, pelas tabelas acima vem: r: V F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou Qual das afirmações abaixo é falsa? a) se Marte é um planeta então 3 = 7-4. b) a soma de dois números pares é um número par e 7 2 = 49. c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. d) se 10 2 = 100 então todo número inteiro é natural. e) 2 = ou a Terra é plana. Solução:Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 10 2 = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural). Portanto, temos V F, que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima). 91

92 O Modificador Negação Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p.(lê-se não p " ). Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V ) ~p: Três pontos não determinam um único plano ( F ) Leis complementares ~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação) p ~p = (F) p ~p = (V) ~(V) = (F) ~(F) =(V) Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p Negação da condicional ~(p q) = p ~q Tabela1: Tabela 2: p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F 92

93 Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2, percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q. Exemplos: 1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? Resposta. "Eu não estudo ou não aprendo". 2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo"? "Eu estudo e não aprendo" Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p q) (p q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta (valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira. Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. 93

94 Exemplo.: A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos: p ~p p ~p V F F F V F NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q) r Teremos: p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verificá-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 1) (p q) p 2) p (p q) 3) [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4) [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") 94

95 Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. Situações Problema de raciocínio lógico 1. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposições: a)2 1 = = 3 4 b 2 2 )2 = 4 ( 2) = 4 c) = = 9 d) e) < 3 7 = (UFBA) A proposição p q q r é verdadeira, se: a) p e q são verdadeiras e r, falsa b) p e q são falsas e r, verdadeira c) p e r são falsas e q, verdadeira d) p, q e r são verdadeiras x e) p, q e r são falsas 3. Quando João estava passeando com seu cachorro, encontrou o filho do marido da filha única de sua sogra. Qual é o parentesco dele com João? 4. Que número falta nesta seqüência? Qual dos provérbios abaixo se liga melhor com o significado da frase "Nem tudo que reluz é ouro"? a. De grão em grão a galinha enche o papo b. Deus ajuda quem cedo madruga c. Quem vê cara não vê coração d. Há uma luz no fundo do túnel e. Mais vale um pássaro na mão que dois voando 6. Outro dia, encontrei uma pessoa amiga minha que eu não via havia cinco anos e que é piloto de provas; entrementes tinha se casado e acabara de realizar uma volta ao mundo em balão. Junto estava uma garotinha de uns 2 anos de idade. "Como é o nome dela?", perguntei-lhe. "É o mesmo da mãe dela", falou a pessoa. "Oi, Suzana", eu disse 95

96 à garota. Como foi que descobri o nome dela? 7. Quantos blocos há nesta construção? 12. Por quantos noves você passa quando conta de 1 a 100? 13. Complete a analogia com uma das palavras abaixo: o rabanete está para a batata assim como o pêssego está para Abaixo estão as letras misturadas do nome de um objeto comum. Que objeto é esse? R R R R F G I A E E O D 9. Se Dora tem 10 anos, Margarida tem 20 e Tim e Zé têm ambos 5, mas Marta tem 10, quantos anos tem Rosinha? 10. Se hoje é segunda-feira, qual é o dia depois do dia antes do dia antes de amanhã? 11. Qual das seguintes palavras é menos parecida com as demais? a. Casa b. Palácio c. Caverna d. Mansão e. Estábulo f. Canil a. O morango b. A maçã c. O amendoim d. O tomate e. A uva 14. Ana tem o mesmo número de irmãs que tem de irmãos, mas seu irmão Carlos tem duas vezes mais irmãs que irmãos. Quantos meninos e quantas meninas existem nessa família? 15. Que letra se seguiria logicamente a esta série? J, F, M, A, M, J,? a. M b. J c. E d. R 16. Qual é a árvore que contém todas as vogais, A E I O U (não nessa ordem)? 96

97 17. Abaixo se vê um triângulo dobrado. Qual dos diagramas mostra o triângulo como ele seria caso fosse desdobrado? MOVIMENTAÇÃO ALIADOS, DEVIDO REBENTAMENTO UMA GRANADA. AVISE DORITA AGORA 20. Todas as vogais foram retiradas desta frase e as letras restantes, agrupadas em grupos de três. Que frase é esta? QMN RRS CNP TSC 21. Uma certa regra foi seguida nos quadrados numéricos abaixo. Descubra qual é e preencha o ponto de interrogação com o número correto (a regra aplica-se vertical e horizontalmente) 18. A seguinte frase é um provérbio bastante comum, escrito de uma forma complicada. Diga qual é ele "As pessoas que residem dentro de construções vítreas fariam muito bem se evitassem atirar objetos pesados" ? Qual dos desenhos marcados com letra completa melhor a seqüência abaixo? 19. O espião foi facilmente capturado. A sua mensagem era tão simples que o capitão imediatamente se deu conta de sua importância. Aqui está ela. Na verdade, o que diz? ALICE: TITO ALERTA CÉLULAS ACERCA RAZÃO DE ENORME 97

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