Caos no Sistema Solar

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Caos no Sistema Solar"

Transcrição

1 Identificação: Nome: Marinho Antunes Lopes Nº mecanográfico: Disciplina: Física Computacional Data: Julho de 2007 Local: Departamento de Física - Universidade de Aveiro Física Computacional Página 1

2 Índice Introdução... 4 Em que consiste o Caos e qual a origem da teoria?... 4 Quais as aplicações da Teoria do Caos?... 5 Quais as condições para a existência de Caos?... 7 Porque é que os meios computacionais são importantes para descrever Caos e quais as suas limitações?... 7 Objectivos do presente trabalho:... 8 Problemas computacionais... 8 Sistema Terra Sol Comentários: Sistema de dois sóis Comentários: Sistema Sol Júpiter Comentários: Caos Sistema de duas estrelas e um planeta Comentários: Sistema Lua Terra Sol Comentários: Sistema Sol Terra Júpiter Comentários: Sistema Sol Júpiter Saturno Física Computacional Página 2

3 Comentários: Conclusão Bibliografia Anexos Física Computacional Página 3

4 Introdução Em que consiste o Caos e qual a origem da teoria? Em 1961, Edward Lorentz estudava um modelo simples de convecção de um fluído (parte de um estudo sobre previsibilidade do tempo meteorológico), no qual descobriu algo que à primeira vista poderia indicar falta de engenho de Lorentz para conseguir chegar a uma resposta mais satisfatória, que não esta: era impossível prever! Obtendo graficamente a representação das variáveis em causa, a figura que se lhe deparou fez-lhe associar o efeito ao agora conhecido nome "efeito borboleta" (o gráfico tinha semelhanças com a "forma" de uma borboleta - ver Figura 1). A definição vulgarizada do efeito borboleta é algo do género: "o bater de asas de uma borboleta aqui, poderá provocar um tufão do outro lado do mundo". Embora pareça uma definição grosseira, a verdade é que é algo de semelhante que acontece num sistema caótico: uma pequena variação nas condições iniciais provoca alterações totais a médio ou longo prazo, dependendo do sistema. Figura 1: Resolução computacional do sistema de Lorentz. Física Computacional Página 4

5 Depois da "desilusão" que os físicos tinham tido com o Princípio da Incerteza, que de certo modo limita o conhecimento, bem como o poder de previsão da Física, uma nova limitação surgia: sistemas caóticos são impossíveis de prever, isto porque a resolução das equações com vista a obter soluções exactas, exige uma precisão infinita, a qual é impossível de obter, visto que a medição de qualquer grandeza física tem sempre associado um erro, quer do instrumento, quer de outra causa qualquer conhecida, ou até imprevista segundo a metodologia adoptada. Apesar da teoria parecer oferecer apenas limitações, tal não é verdade, recorde-se por exemplo o sucesso obtido ainda no âmbito meteorológico, nos Estados Unidos, em que se conseguiu prever com base na teoria, no dia 19 de Fevereiro de 1998, que em vez de haver uma pequena tempestade em Louisiana, como era primeiramente suposto, haveria sim um tornado na Flórida no dia 21, isto devido apenas a umas medições mal executadas de uma pequena variação no deslocamento de massas de ar. Quais as aplicações da Teoria do Caos? Na Física, conceitos como entropia (medida da desordem de um universo) puderam ser desenvolvidos, tendo também havido progressos em Mecânica Quântica, nomeadamente no Princípio da Incerteza de Heisenberg. Na Matemática, esta teoria veio revolucionar o estudo estatístico, bem como os fractais vieram trazer uma nova forma intuitiva de olhar para o conceito abstracto do infinito, (fractais são objectos geométricos que são auto-semelhantes e independentes da escala, têm por isso (teoricamente) um detalhe infinito - Figura 2). Na Astronomia, a Teoria do Caos é usada para prever comportamentos de 3 ou mais corpos que interagem graviticamente entre si. No sistema solar temos o caso de por exemplo a Terra, o Sol e a Lua. Na Biologia tem-se usado esta teoria para fazer previsões em relação à evolução genética que se verificará na Terra. Na Sismologia, embora a Teoria do Caos não ofereça a possibilidade da previsão de sismos, devido a pouca precisão nos instrumentos que se dispõe, tem permitido a cartografia de falhas sísmicas, através do estudo da distribuição caótica da localização e intensidade dos sismos. Física Computacional Página 5

6 Figura 2: Fractal de Mandelbrot observado a vários níveis de ampliação. Na Medicina, com base nesta teoria descobriu-se há pouco tempo que o bater do coração é também um fractal, em que se houver uma pequena fuga ao fractal - deixar de ser perfeitamente periódico, tal deve significar que o paciente deva estar com insuficiência cardíaca. Em Ciências Humanas e Ciências Políticas tem-se usado a teoria para tentar prever o comportamento de multidões. Física Computacional Página 6

7 Na Economia, a Teoria do Caos permite estudar o desenvolvimento na bolsa: enquanto que a longo prazo as taxas possam parecer que evoluam de um modo totalmente aleatório, tal não é verdade; por outro lado, analisando detalhadamente a curto prazo, é possível vislumbrar indícios de fractais na evolução da bolsa. (Em 1997, dois americanos receberam o Prémio Nobel da Economia por terem conseguido desenvolver uma fórmula que permite prever aplicações financeiras, com base, claro está, na Teoria do Caos.) Caos. Na Linguística, a evolução dos dialectos tem sido estudada com base na Teoria do Na Arte, as influências estéticas são ainda difíceis de determinar, tal é a ruptura com os padrões clássicos que estas descobertas potenciam. A geometria fractal revolucionou o realismo visual, sendo usada na criação de imagens espectaculares e de mundos bizarros para jogos, animações e filmes, com detalhe variável de acordo com a escala, evitando a pixelização. E é impossível determinar os avanços que os meios computacionais cada vez mais potentes auguram. Este realismo sem precedentes inspira artistas de todas as áreas, introduzindo novos símbolos que acompanham as novas mentalidades. Quais as condições para a existência de Caos? Os sistemas caóticos são caracterizados matematicamente como sendo sistemas de equações não lineares, que segundo o Teorema de Poincaré-Bendixson não podem ser sistemas autónomos bidimensionais (daí não se verificar Caos para apenas a interacção gravítica entre dois corpos, como mais adiante se verá), ou melhor, têm que pelo menos ser representados por três ou mais equações diferencias autónomas não lineares. Notar que estas condições são necessárias, mas não suficientes para se ter Caos. Porquê que os meios computacionais são importantes para descrever Caos e quais as suas limitações? Os meios computacionais são fundamentais para descrever Caos, pois normalmente as equações que definem um sistema caótico ou são muito difíceis de resolver à mão, ou mesmo impossíveis. Mas os métodos computacionais apresentam limitações, que no caso de sistemas caóticos têm ainda uma maior importância dadas as características antes enunciadas. As limitações estão no erro de truncatura: erro derivado do facto da utilização de métodos numéricos aproximados. Recordemos que estes se resumem a somatórios infinitos, ora como o infinito é impossível de ser representado ou calculado, têm que se fazer aproximações, as quais podem ser desprezáveis para cálculos menos rigorosos, mas não quando se trabalha em sistemas caóticos, em que estes são muito sensíveis a pequenas Física Computacional Página 7

8 diferenças. Por outro lado, o computador apresenta ainda outro problema que é o erro de arredondamento, isto porque o computador não pode representar dízimas infinitas (como também números infinitos, como por exemplo tan(pi/2)), ou até finitas, mas com um número de dígitos que ultrapasse a memória da variável, como tal o computador procede a arredondamentos, os quais introduzem um erro não desprezável e que limita ainda mais o poder de previsão da simulação. Objectivos do presente trabalho: O principal objectivo deste trabalho é compreender um pouco melhor o que é o Caos e em que condições este é verificado, descrevendo-o em casos concretos da Astronomia, mais especificamente para conjuntos de corpos celestes no Sistema Solar. Nota: O desenvolvimento do trabalho será feito com base nas questões propostas no livro indicado na bibliografia (livro de apoio à cadeira em causa). Problemas computacionais Sistema Terra Sol 1 Resolvendo as equações dinâmicas de Newton da força, igualando-a à força gravítica, convertendo o sistema analítico para numérico e usando este no Matlab (com o Método de Euler-Cromer), obtiveram-se os seguintes gráficos: 1 Página 4 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Física Computacional Página 8

9 Figura 3: Órbita da Terra em torno do Sol, com e sem a aproximação deste ter uma posição fixa. Figura 4: Órbita que o Sol descreve em relação ao centro de massa, devido à presença da Terra. Física Computacional Página 9

10 Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo I. Na Figura 3 pode-se observar que a consideração do Sol com uma posição fixa é uma boa aproximação, visto que as duas órbitas descritas pela Terra considerando o Sol fixo e com o Sol movendo-se devido à presença da Terra são praticamente coincidentes. Este facto justifica-se com a Figura 4, na qual se observa que o movimento do Sol em torno do Centro de Massa do sistema Sol mais Terra tem um raio de cerca de 3x10-6 AU, o que significa que o Centro de Massa deste sistema se encontra localizado dentro do Sol, visto que este possui de raio aproximadamente AU, ou seja, a acção gravítica da Terra sobre o Sol é irrisória. Sistema de dois sóis 2 2 Página 4 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 5: Órbitas que dois sóis descrevem devido à atracção gravítica executada um no outro. Física Computacional Página 10

11 Figura 6: Órbitas que dois sóis descrevem devido à atracção gravítica executada um no outro. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo II. Na Figura 5 obteve-se que cada estrela iria desenhar uma trajectória circular, isto porque se usou um passo temporal bastante reduzido, pois se tal não fosse o caso iria verificar-se que as estrelas começariam a desenhar elipses que se afastavam das circunferências iniciais o que é claramente um erro do método caso se use um passo temporal demasiado elevado, isto porque tendo cada uma das estrelas uma posição e velocidade simétrica em relação à outra, é de esperar que o Centro de Massa se mantenha inalterável. Isto já não acontece na Figura 6, porque neste caso usaram-se velocidades não simétricas iniciais para cada uma das estrelas têm velocidades segundo diferentes direcções, como se poderá deduzir pela observação da figura. Neste caso um diminuir do passo temporal não irá fazer a solução convergir, isto porque não é essa a solução! Física Computacional Página 11

12 Sistema Sol Júpiter 3 3 Página 5 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 7: Gráfico da amplitude máxima do movimento do Sol devido à presença de Júpiter (com massa até 100 vezes maior que a real). Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo III. Como se pode observar pela Figura 7, quanto maior for a massa de Júpiter, maior será a amplitude máxima do movimento do Sol devido à atracção gravítica de Júpiter, o que é natural, visto que uma maior massa implica uma maior força gravítica em módulo. Ainda pelo gráfico se parece poder concluir que a relação deverá ser linear, embora com apenas 3 pontos seja arriscado fazer tal previsão. Física Computacional Página 12

13 Caos Em nenhum dos problemas antes tratados se obtiveram soluções caóticas, isto porque eram apenas sistemas de apenas dois corpos, o que como foi visto na Introdução, pelo Teorema de Poincaré-Bendixson nunca tem soluções caóticas, visto que apenas sistemas de três ou mais equações não lineares autónomas é que poderão ter soluções caóticas. Nos problemas antes abordados, os sistemas poderiam ser descritos apenas por duas equações autónomas: δr/δt=v e δv/δt= (G.m)/r 2 Sistema de duas estrelas e um planeta 4 4 Página 8 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 8: Trajectória desenhada por um planeta em torno de duas estrelas. Física Computacional Página 13

14 Figura 9: Trajectória desenhada por um planeta em torno de duas estrelas. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo IV. Neste sistema de três corpos já se pôde observar caos na Figura 9. Na Figura 8 obteve-se uma órbita quase estável. Estas duas figuras que foram obtidas para os mesmos corpos, mas com condições iniciais diferentes, lembram-nos que o facto de se ter um sistema de três corpos pode resultar em soluções caóticas, mas tal não é uma garantia! Para a resolução deste problema usou-se a aproximação de que as estrelas teriam posições fixas, isto é válido porque o planeta tendo uma massa muito inferior à das estrelas, descreverá a sua órbita muito mais depressa do que as estrelas. Física Computacional Página 14

15 Sistema Lua Terra Sol 55 Página 9 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Caos no Sistema Solar Figura 10: Órbita da Terra e da Lua em torno do Sol. Figura 11: Órbita da Lua em torno da Terra. Física Computacional Página 15

16 Figura 12: Órbita da Lua em torno da Terra fixa, considerando a presença do Sol. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo V. Como se pode ver na Figura 11, a Lua descreve uma elipse em torno da Terra, enquanto ambos descrevem uma outra elipse em torno do Sol. De reparar que tendo em conta a Figura 11, se concluí que na Figura 10 será a trajectória da Lua que cruza a da Terra e não o contrário, por outras palavras, a Terra descreverá uma trajectória mais semelhante com uma elipse, do que a Lua, pois a desta será como que uma elipse ligeiramente ondulada. Como é evidente, não se pode proceder à aproximação da Terra estar fixa, pois tal irá significar que a Lua irá descrever uma elipse em torno do Sol, e nunca em torno da Terra, visto que esta apesar de estar mais próxima como condição inicial, irá ficando cada vez mais distante, por não acompanhar a revolução da Lua em torno do Sol. Claramente Física Computacional Página 16

17 não é isto que acontece, pelo que esta aproximação não tem sentido físico. Sistema Sol Terra Júpiter 6 6 Página 12 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 13: Órbitas da Terra e Júpiter em torno do Sol, para várias massas diferentes de Júpiter. Física Computacional Página 17

18 Figura 14: Ampliação de parte da Figura 13. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo VI. Antes de mais convém salientar um pormenor que se nota logo na Figura 13: Júpiter tem um período orbital muito superior ao da Terra, o que significa que a sua acção gravítica sobre a Terra varia ao longo do tempo. Deste modo o que se observa na Figura 14 é que a órbita da Terra com a acção de Júpiter com a massa natural, é interior à órbita que desenha no caso de não haver Júpiter, ou deste ter uma massa cem vezes superior à que realmente tem. Como Júpiter tem um período orbital muito inferior ao da Terra, tal significa que por vezes está a atraí-lo de modo a afastar-se do Sol (isto acontecerá se a Terra e Júpiter estiverem do mesmo lado) e noutras terá a sua força no mesmo sentido que o Sol (isto acontecerá quando a Terra estiver no lado oposto ao de Júpiter em relação ao Sol). Mas quando se aumenta a massa de Júpiter, este passa a ter um período orbital inferior, como Física Computacional Página 18

19 tal, a relação anterior já será um pouco diferente, pois neste caso específico a massa de Júpiter terá aumentado o suficiente para que o seu período orbital seja semelhante ao da Terra * e por isso a sua acção sobre esta é sempre a mesma, ou seja, tende sempre a afastar a Terra do Sol e nunca o contrário, mas como ainda assim Júpiter está muito mais afastado da Terra do que o Sol e a sua massa continua a ser muito inferior à do Sol, este afastamento não vai ser significativo, o que se pode comprovar pela Figura 14, em que a órbita da Terra com a acção de Júpiter de massa cem vezes superior ao real é quase coincidente com a órbita descrita pela Terra sem a consideração de Júpiter. * O período orbital é dado por T = 2pi.(r 3 /(G.m)) 1/2, pelo que se m variar para 100m, o período irá diminuir 10 vezes, logo sendo o período orbital de Júpiter perto de 12 anos, ao diminuir 10 vezes, vai ficar próximo do da Terra. Sistema Sol Júpiter Saturno 7 7 Página 12 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 15: Órbitas descritas por Júpiter e Saturno (com e sem Júpiter). Física Computacional Página 19

20 Figura 16: Ampliação da Figura 15. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo VII. Como se pode observar na Figura 15 e 16, a presença de Júpiter aproxima ligeiramente Saturno do Sol, o que é natural, visto que estando Júpiter situado no interior à órbita descrita por Saturno, irá sempre contribuir com uma força de igual sentido que o Sol. Física Computacional Página 20

21 Conclusão Tendo em conta que consegui explicar todos os resultados obtidos e que estes coincidiram com o que eu esperava, concluo que o trabalho foi positivo, pois permitiu que eu desenvolvesse os meus conhecimentos sobre Caos e compreendesse melhor os sistemas de dois e três corpos. Bibliografia TORRES, Vítor; Física Computacional Simulação Computacional de Sistemas Físicos; Universidade de Aveiro; 2004; capítulo 9 e Para obtenção de constantes relacionadas com os problemas: Anexos Os anexos encontram-se em M-files à parte. Cada M-file tem o nome do Anexo correspondente. Física Computacional Página 21

Unidade IX: Gravitação Universal

Unidade IX: Gravitação Universal Página 1 de 5 Unidade IX: Gravitação Universal 9.1 Introdução: Até o século XV, o homem concebia o Universo como um conjunto de esferas de cristal, com a Terra no centro. Essa concepção do Universo, denominada

Leia mais

Unidade IX: Gravitação Universal

Unidade IX: Gravitação Universal Colégio Santa Catarina Unidade IX: Gravitação Universal 143 Unidade IX: Gravitação Universal 9.1 Introdução: Até o século XV, o homem concebia o Universo como um conjunto de esferas de cristal, com a Terra

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Exercícios de Física Gravitação Universal

Exercícios de Física Gravitação Universal Exercícios de Física Gravitação Universal 1-A lei da gravitação universal de Newton diz que: a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta do quadrado de suas distâncias. b)

Leia mais

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010 CAPÍTULO 7 ÓRBITA DOS PLANETAS. LEIS DE KEPLER E DE NEWTON. Movimento dos Planetas. O Modelo Geocêntrico. O Modelo Heliocêntrico. Leis de Kepler. Isaac Newton e Suas Leis. Recapitulando as aulas anteriores:

Leia mais

Exercícios de Física Gravitação Universal

Exercícios de Física Gravitação Universal Exercícios de Física Gravitação Universal 1-A lei da gravitação universal de Newton diz que: a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta do quadrado de suas distâncias. b)

Leia mais

Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe

Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe Disciplina: Física Geral e Experimental III Curso: Engenharia de Produção Assunto: Gravitação Prof. Dr. Marcos A. P. Chagas 1. Introdução Na gravitação

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Na cauda do cometa. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Motivar o estudo das cônicas para a astronomia;

Na cauda do cometa. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Motivar o estudo das cônicas para a astronomia; Na cauda do cometa Série Matemática na Escola Objetivos 1. Motivar o estudo das cônicas para a astronomia; Na cauda do cometa Série Matemática na Escola Conteúdos Geometria analítica, cônicas, elipse,

Leia mais

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto

Leia mais

Introdução à Astrofísica. As Leis de Kepler. eclipse.txt. Rogemar A. Riffel

Introdução à Astrofísica. As Leis de Kepler. eclipse.txt. Rogemar A. Riffel Introdução à Astrofísica As Leis de Kepler Rogemar A. Riffel Teoria heliocêntrica A Teoria Heliocêntrica conseguiu dar explicações mais simples e naturais para os fenômenos observados Movimento retrógrado

Leia mais

Movimentos da Terra PPGCC FCT/UNESP. Aulas EGL 2016 João Francisco Galera Monico unesp

Movimentos da Terra PPGCC FCT/UNESP. Aulas EGL 2016 João Francisco Galera Monico unesp Movimentos da Terra PPGCC FCT/UNESP Aulas EGL 2016 João Francisco Galera Monico Terra Movimentos da Terra Cientificamente falando, a Terra possui um único movimento. Dependendo de suas causas, pode ser

Leia mais

COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação 2012

COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação 2012 COLÉGIO XIX DE MARÇO excelência em educação 2012 1ª PROVA SUBSTITUTIVA DE GEOGRAFIA Aluno(a): Nº Ano: 6º Turma: Data: Nota: Professor(a): Élida Valor da Prova: 65 pontos Orientações gerais: 1) Número de

Leia mais

Glossário de Dinâmica Não-Linear

Glossário de Dinâmica Não-Linear Glossário de Dinâmica Não-Linear Dr. Fernando Portela Câmara, MD, PhD Coordenador do Depto. Informática da ABP (2004-2007) Atrator O estado no qual um sistema dinâmico eventualmente se estabiliza. Um atrator

Leia mais

GRAVITAÇÃO. 1. (Ufmg 2012) Nesta figura, está representada, de forma esquemática, a órbita de um cometa em torno do Sol:

GRAVITAÇÃO. 1. (Ufmg 2012) Nesta figura, está representada, de forma esquemática, a órbita de um cometa em torno do Sol: GRAVIAÇÃO 1. (Ufmg 01) Nesta figura, está representada, de forma esquemática, a órbita de um cometa em torno do Sol: Nesse esquema, estão assinalados quatro pontos P, Q, R ou S da órbita do cometa. a)

Leia mais

Galileu e as primeiras descobertas com um telescópio. Guião para Stellarium

Galileu e as primeiras descobertas com um telescópio. Guião para Stellarium Galileu e as primeiras descobertas com um telescópio Guião para Stellarium Carlos Brás 14-11-2011 Galileu e as primeiras descobertas com um telescópio Esta é uma actividade com recurso ao Stellarium. Deve

Leia mais

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA. Integradora II T.02 SOBRE A ANÁLISE DINÂMICA MIEM. Integradora II. Elaborado por Paulo Flores - 2015

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA. Integradora II T.02 SOBRE A ANÁLISE DINÂMICA MIEM. Integradora II. Elaborado por Paulo Flores - 2015 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA Elaborado por Paulo Flores - 2015 Departamento de Engenharia Mecânica Campus de Azurém 4804-533 Guimarães - PT Tel: +351 253 510 220 Fax: +351 253 516 007 E-mail:

Leia mais

GRAVITAÇÃO QUÂNTICA ATRATIVA, REPULSIVA E NEUTRA

GRAVITAÇÃO QUÂNTICA ATRATIVA, REPULSIVA E NEUTRA GRAVITAÇÃO QUÂNTICA ATRATIVA, REPULSIVA E NEUTRA Hindemburg Melão Jr. Introdução Quando Newton formulou a Teoria da Gravitação Universal, ele estabeleceu uma relação entre gravidade e massa e também postulou

Leia mais

Medindo a massa da Lua com um pêndulo

Medindo a massa da Lua com um pêndulo Medindo a massa da Lua com um pêndulo Por Hindemburg Melão Jr. [31/3/2009] Numa comunidade de Astronomia, há poucos dias um pós-doutorado pela UFRGS especialista em buracos negros declarou que seria possível

Leia mais

International Space Station - ISS

International Space Station - ISS International Space Station - ISS International Space Station - ISS Agenda O que é a Estação Espacial Internacional (ISS)? O kit da ISS: Propostas de integração no currículo do 3.º ciclo - Algumas questões

Leia mais

As cônicas. c, a 2 elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação:

As cônicas. c, a 2 elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação: As cônicas As cônicas podem ser definidas a partir de certas relações que caracterizam seus pontos. A partir delas podemos obter suas equações analíticas e, a partir delas, suas propriedades.. A elipse

Leia mais

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas

Leia mais

Boa tarde a todos!! Sejam bem vindos a aula de Física!! Professor Luiz Fernando

Boa tarde a todos!! Sejam bem vindos a aula de Física!! Professor Luiz Fernando Boa tarde a todos!! Sejam bem vindos a aula de Física!! Professor Luiz Fernando Minha História Nome: Luiz Fernando Casado 24 anos Naturalidade: São José dos Campos Professor de Física e Matemática Formação:

Leia mais

A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM OCEANOGRAFIA

A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM OCEANOGRAFIA A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM OCEANOGRAFIA Escrever a equação do movimento corresponde a escrever a 2ª Lei de Newton (F = ma) numa forma que possa ser aplicada à oceanografia. Esta Lei diz-nos que como resultado

Leia mais

A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1

A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1 A MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR POLICIAL 1 A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA O desenvolvimento das sociedades tem sido também materializado por um progresso acentuado no plano científico e nos diversos domínios

Leia mais

Erros. Cálculo Numérico

Erros. Cálculo Numérico Cálculo Numérico Erros Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Erros - Roteiro Eistência Tipos

Leia mais

Astronomia/Kepler. As hipóteses de Kepler [editar] Colaborações com Tycho Brahe [editar]

Astronomia/Kepler. As hipóteses de Kepler [editar] Colaborações com Tycho Brahe [editar] Astronomia/Kepler < Astronomia Astronomia Uma das importantes personagens da Astronomia foi Johannes Kepler.. Como muitos astrônomos de sua época, Kepler era também um astrólogo e uma de suas crenças fundamentais

Leia mais

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA Av. Gal. Rodrigo Otávio Jordão Ramos, 3000 Japiim CEP: 69077-000 - Manaus-AM, Fone/Fax (0xx92) 644-2006 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Leia mais

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa de Física 12.º ano homologado em 21/10/2004 ENSINO SECUNDÁRIO FÍSICA 12.º ANO TEMAS/DOMÍNIOS

Leia mais

Podemos considerar a elipse como uma circunferência achatada. Para indicar o maior ou menor achatamento, definimos a excentricidade:

Podemos considerar a elipse como uma circunferência achatada. Para indicar o maior ou menor achatamento, definimos a excentricidade: Leis de Kepler Considerando um referencial fixo no Sol, por efeito da lei da gravitação universal, o movimento dos planetas ao redor do Sol acontece segundo as três leis de Kepler. Na verdade, as leis

Leia mais

Física e Química A. Actividade Prático-Laboratorial 1.3 Salto para a piscina

Física e Química A. Actividade Prático-Laboratorial 1.3 Salto para a piscina Física e Química A Actividade Prático-Laboratorial 1.3 Salto para a piscina Ano lectivo de 2009/2010 Índice Sumário 3 I Relatório 1.1. Objectivos.. 4 1.2. Planeamento 5 1.3. Execução. 6 1.4. Resultados

Leia mais

Programação Recursiva versão 1.02

Programação Recursiva versão 1.02 Programação Recursiva versão 1.0 4 de Maio de 009 Este guião deve ser entregue, no mooshak e no moodle, até às 3h55 de 4 de Maio. AVISO: O mooshak é um sistema de avaliação e não deve ser utilizado como

Leia mais

Escola E. B. 2º e 3º ciclos do Paul. Trabalho elaborado por: Diana Vicente nº 9-7ºB No âmbito da disciplina de Ciências Naturais

Escola E. B. 2º e 3º ciclos do Paul. Trabalho elaborado por: Diana Vicente nº 9-7ºB No âmbito da disciplina de Ciências Naturais Escola E. B. 2º e 3º ciclos do Paul Trabalho elaborado por: Diana Vicente nº 9-7ºB No âmbito da disciplina de Ciências Naturais Introdução Formação do sistema solar Constituição * Sol * Os planetas * Os

Leia mais

Figura 1 - O movimento da Lua em torno da Terra e as diferentes fases da Lua

Figura 1 - O movimento da Lua em torno da Terra e as diferentes fases da Lua Estudo do Meio Físico e Natural I Movimentos reais e aparentes dos astros J. L. G. Sobrinho Centro de Ciências Exactas e da Engenharia Universidade da Madeira A Lua e a Terra A Lua está a sempre visível

Leia mais

Curso Técnico Superior Profissional em Desenvolvimento Web

Curso Técnico Superior Profissional em Desenvolvimento Web Curso Técnico Superior Profissional em Desenvolvimento Web PROVA DE AVALIAÇÃO DE CAPACIDADE REFERENCIAL DE CONHECIMENTOS E APTIDÕES Áreas relevantes para o curso de acordo com o n.º 4 do art.º 11.º do

Leia mais

Capítulo I GENERALIDADES

Capítulo I GENERALIDADES Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 1 Capítulo I GENERALIDADES 1. Conceitos Fundamentais Definição: a palavra Topografia deriva das palavras gregas topos (lugar) e graphen (descrever), que significa

Leia mais

Relatório do trabalho sobre medição de temperatura com PT100

Relatório do trabalho sobre medição de temperatura com PT100 Relatório do trabalho sobre medição de temperatura com PT100 Alunos: António Azevedo António Silva Docente: Paulo Portugal Objectivos Este trabalho prático tem como finalidade implementar uma montagem

Leia mais

Conhecer melhor os números

Conhecer melhor os números A partir do Currículo Nacional de Matemática do 7º ano de escolaridade desenvolvem-se actividades com recurso ao computador utilizando essencialmente Excel e Geogebra Conhecer melhor os números Esta unidade

Leia mais

Leis de Newton e Forças Gravitacionais

Leis de Newton e Forças Gravitacionais Introdução à Astronomia Leis de Newton e Forças Gravitacionais Rogério Riffel Leis de Newton http://www.astro.ufrgs.br/bib/newton.htm Newton era adepto das ideias de Galileo. Galileo: Um corpo que se move,

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

Lista 13: Gravitação. Lista 13: Gravitação

Lista 13: Gravitação. Lista 13: Gravitação Lista 13: Gravitação NOME: Matrícula: Turma: Prof. : Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão

Leia mais

O que são satélites? Existem 2 tipos de satélite, são os satélites naturais e satélites artificiais.

O que são satélites? Existem 2 tipos de satélite, são os satélites naturais e satélites artificiais. O que são satélites? Existem 2 tipos de satélite, são os satélites naturais e satélites artificiais. Satélites naturais são: a Lua que gravita em torno da Terra. Satélites artificiais são: dispositivos,

Leia mais

O Mundo. Matemático. Os Números Primos A Quarta Dimensão O Enigma de Fermat O Número Teoria dos Jogos...

O Mundo. Matemático. Os Números Primos A Quarta Dimensão O Enigma de Fermat O Número Teoria dos Jogos... O Mundo é Matemático Os Números Primos A Quarta Dimensão O Enigma de Fermat O Número Teoria dos Jogos... Sabia que a matemática está em tudo o que nos rodeia? Sem a matemática, tudo aquilo que vemos à

Leia mais

Universidade Federal de Minas Gerais ICEx / DCC

Universidade Federal de Minas Gerais ICEx / DCC Universidade Federal de Minas Gerais ICEx / DCC Belo Horizonte, 15 de dezembro de 2006 Relatório sobre aplicação de Mineração de Dados Mineração de Dados em Bases de Dados de Vestibulares da UFMG Professor:

Leia mais

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? &DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas

Leia mais

Fenômenos de Transporte

Fenômenos de Transporte Fenômenos de Transporte Prof. Leandro Alexandre da Silva Processos metalúrgicos 2012/2 Fenômenos de Transporte Prof. Leandro Alexandre da Silva Motivação O que é transporte? De maneira geral, transporte

Leia mais

Jardim de Números. Série Matemática na Escola

Jardim de Números. Série Matemática na Escola Jardim de Números Série Matemática na Escola Objetivos 1. Introduzir plano cartesiano; 2. Marcar pontos e traçar objetos geométricos simples em um plano cartesiano. Jardim de Números Série Matemática na

Leia mais

Introdução: Mas, todas estas lentes podem ser na verdade convergentes ou divergentes, dependendo do que acontece com a luz quando esta passa por ela.

Introdução: Mas, todas estas lentes podem ser na verdade convergentes ou divergentes, dependendo do que acontece com a luz quando esta passa por ela. Introdução: Com este trabalho experimental pretende-se observar o comportamento de feixes ao atravessar lentes e, ao mesmo tempo, verificar o comportamento dos feixes ao incidir em espelhos. Os conceitos

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA Pesquisa Operacional Tópico 4 Simulação Rosana Cavalcante de Oliveira, Msc rosanacavalcante@gmail.com

Leia mais

A MODELAÇÃO DE LEIS E TEORIAS CIENTÍFICAS

A MODELAÇÃO DE LEIS E TEORIAS CIENTÍFICAS A MODELAÇÃO DE LEIS E TEORIAS CIENTÍFICAS O ESPÍRITO HUMANO PROCURA LEIS E TEORIAS CIENTÍFICAS AO MENOS POR DOIS MOTIVOS Porque lhe dão um certo tipo de compreensão do real Porque lhe oferecem esquemas

Leia mais

Notas sobre a população a propósito da evolução recente do número de nascimentos

Notas sobre a população a propósito da evolução recente do número de nascimentos Maria João Valente Rosa* Análise Social, vol. xxxiii (145), 1998 (1. ), 183-188 Notas sobre a população a propósito da evolução recente do número de nascimentos O número de nascimentos em Portugal tem

Leia mais

www.enemdescomplicado.com.br

www.enemdescomplicado.com.br Exercícios de Física Gravitação Universal 1-A lei da gravitação universal de Newton diz que: a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta do quadrado de suas distâncias. b)

Leia mais

PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE

PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE PARA A CIÊNCIA PARA A TECNOLOGIA PARA A SOCIEDADE Essas são atividades de grande influência no desenvolvimento humano. Procura entender os fenômenos e criar teorias adequadas que possam explicar os acontecimentos.

Leia mais

Computabilidade em sistemas dinâmicos

Computabilidade em sistemas dinâmicos 1 Computabilidade em sistemas dinâmicos Daniel da Silva Graça 1,2 1 DM/FCT, Universidade do Algarve, Portugal 2 SQIG, Instituto de Telecomunicações, Portugal 30 de Julho de 2009 2 Introdução Informalmente

Leia mais

A classificação final da prova será calculada de acordo com os seguintes critérios:

A classificação final da prova será calculada de acordo com os seguintes critérios: ANEXO II Estrutura e Referenciais da Prova de Ingresso Curso Técnico Superior Profissional em Climatização e Refrigeração da Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Viseu 1. Introdução Relativamente

Leia mais

As leis da procura e oferta são fundamentais para o entendimento correcto do funcionamento do sistema de mercado.

As leis da procura e oferta são fundamentais para o entendimento correcto do funcionamento do sistema de mercado. CAPÍTULO 3 PROCURA, OFERTA E PREÇOS Introdução As leis da procura e oferta são fundamentais para o entendimento correcto do funcionamento do sistema de mercado. O conhecimento destas leis requer que, em

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Departamento de Astronomia. Fundamentos de Astronomia e Astrofísica: FIS02010

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Departamento de Astronomia. Fundamentos de Astronomia e Astrofísica: FIS02010 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Departamento de Astronomia Fundamentos de Astronomia e Astrofísica: FIS02010 Prof. Tibério B. Vale Como se calcula o comprimento da sombra?

Leia mais

Aula 04: Leis de Newton e Gravitação Tópico 05: Gravitação

Aula 04: Leis de Newton e Gravitação Tópico 05: Gravitação Aula 04: Leis de Newton e Gravitação Tópico 05: Gravitação Lei da Gravitação http://www.geocities.com/capecanaveral/hangar/6777/newton.html Era um tarde quente, no final do verão de 1666. Um homem jovem,

Leia mais

Observatórios Virtuais

Observatórios Virtuais UNIVASF: UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE SÃO FRANCISCO TRABALHO DE ASTROFÍSICA ALUNO: PEDRO DAVID PEDROSA PROFESSOR: MILITÃO CURSO: MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA Observatórios Virtuais

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos

Leia mais

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JOSÉ BELCHIOR VIEGAS PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE FÍSICA 12º ANO Ano lectivo 2015/2016 Competências Gerais Conteúdos programáticos /Temas Objectivos Gerais Aulas Previstas (blocos

Leia mais

EXOPLANETAS EIXO PRINCIPAL

EXOPLANETAS EIXO PRINCIPAL EXOPLANETAS Antes mesmo de eles serem detectados, poucos astrônomos duvidavam da existência de outros sistemas planetários além do Solar. Mas como detectar planetas fora do Sistema Solar? Às suas grandes

Leia mais

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação

BC-0005 Bases Computacionais da Ciência. Modelagem e simulação BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 8 Modelagem e simulação Santo André, julho de 2010 Roteiro da Aula Modelagem O que é um modelo? Tipos de modelos Simulação O que é? Como pode ser feita? Exercício:

Leia mais

Movimento da Lua. Atividade de Aprendizagem 22. Eixo(s) temático(s) Terra e Universo. Tema. Sistema Solar

Movimento da Lua. Atividade de Aprendizagem 22. Eixo(s) temático(s) Terra e Universo. Tema. Sistema Solar Movimento da Lua Eixo(s) temático(s) Terra e Universo Tema Sistema Solar Conteúdos Movimentos da Terra e da Lua / movimento aparente dos corpos celestes / referencial Usos / objetivos Ampliação e avaliação

Leia mais

Escola Secundária de Lousada. Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 2013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e

Escola Secundária de Lousada. Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 2013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e Escola Secundária de Lousada Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 3º Teste de Avaliação de

Leia mais

Questão discursiva número 4 do Provão 2000 do MEC para a Licenciatura em Física

Questão discursiva número 4 do Provão 2000 do MEC para a Licenciatura em Física Questão discursiva número 4 do Provão000 do MEC para a Licenciatura em Física Fernando Lang da Silveira Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS Instituto de Física Caixa Postal 15051 91501-970

Leia mais

INSTITUTO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, I.P. Centro de Emprego e Formação Profissional da Guarda Curso: Técnico de Informática Sistemas

INSTITUTO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, I.P. Centro de Emprego e Formação Profissional da Guarda Curso: Técnico de Informática Sistemas INSTITUTO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, I.P. Centro de Emprego e Formação Profissional da Guarda Curso: Técnico de Informática Sistemas (EFA-S4A)-NS Formando: Igor Daniel Santos Saraiva Covilhã,

Leia mais

Eu não nasci de óculos!

Eu não nasci de óculos! A U A UL LA Eu não nasci de óculos! Enquanto Roberto conversa com Gaspar, Ernesto coloca os óculos de Roberto e exclama: - Puxa, estou enxergando tudo embaralhado. Tudo meio turvo! - É como você tivesse

Leia mais

Lista Gravitação. Lista de Física

Lista Gravitação. Lista de Física ALUNO(A): COLÉGIO PEDRO II UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III Lista Gravitação SÉRIE: 1ª TURMAS COORDENADOR: Eduardo Gama PROFESSOR(A): Lista de Física 1) Um satélite artificial S descreve uma órbita elíptica

Leia mais

Aula 2 Órbitas e Gravidade. Alex C. Carciofi

Aula 2 Órbitas e Gravidade. Alex C. Carciofi Aula 2 Órbitas e Gravidade. Alex C. Carciofi Geocentrismo: um modelo amplamente aceito A Terra parece firme e estável. As estrelas parecem descrever circunferências no céu, em torno dos pólos celestes.

Leia mais

Introdução Processamento Paralelo

Introdução Processamento Paralelo Introdução Processamento Paralelo Esbel Tomás Valero Orellana Bacharelado em Ciência da Computação Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Universidade Estadual de Santa Cruz evalero@uesc.br 23

Leia mais

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo 1 Trabalho. Potencial Escalar Uma das noções mais importantes

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES Caros concurseiros, Como havia prometido, seguem comentários sobre a prova de estatística do ICMS RS. Em cada questão vou fazer breves comentários, bem como indicar eventual possibilidade de recurso. Não

Leia mais

Autor: (C) Ángel Franco García. Ptolomeu e Copérnico. Os planetas do Sistema Solar. Os satélites. Atividades

Autor: (C) Ángel Franco García. Ptolomeu e Copérnico. Os planetas do Sistema Solar. Os satélites. Atividades Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é: Autor: (C) Ángel Franco García O Sistema

Leia mais

O QUE ACONTECEU COM PLUTÃO?

O QUE ACONTECEU COM PLUTÃO? Telescópios na Escola 1 O QUE ACONTECEU COM PLUTÃO? Preâmbulo Um dos grandes desafios em ciência é encontrar a semelhança de coisas que são aparentemente diferentes e estabelecer a diferença entre coisas

Leia mais

SESSÃO 5: DECLINAÇÃO SOLAR AO LONGO DO ANO

SESSÃO 5: DECLINAÇÃO SOLAR AO LONGO DO ANO SESSÃO 5: DECLINAÇÃO SOLAR AO LONGO DO ANO Respostas breves: 1.1) 9,063 N 1.2) norte, pois é positiva. 1.3) São José (Costa Rica). 2) Não, porque Santa Maria não está localizada sobre ou entre os dois

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA

22 SÉCULOS A MEDIR ÁREA SÉCULOS A MEDIR ÁREA MIGUEL ABREU E ANA CANNAS DA SILVA. O teorema favorito de Arquimedes Das geniais descobertas e invenções de Arquimedes (87- AC), conta-se que a sua favorita terá sido a de que a superfície

Leia mais

MODELAGEM COMPUTACIONAL DE MECANISMOS CLÁSSICOS

MODELAGEM COMPUTACIONAL DE MECANISMOS CLÁSSICOS MODELAGEM COMPUTACIONAL DE MECANISMOS CLÁSSICOS Lucas F. Cóser, Diego L. Souza, Ricardo F. Morais e Franco G. Dedini Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Projeto

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

Neste ano estudaremos a Mecânica, que divide-se em dois tópicos:

Neste ano estudaremos a Mecânica, que divide-se em dois tópicos: CINEMÁTICA ESCALAR A Física objetiva o estudo dos fenômenos físicos por meio de observação, medição e experimentação, permite aos cientistas identificar os princípios e leis que regem estes fenômenos e

Leia mais

Docente: Prof. Doutor Ricardo Cunha Teixeira Discentes: Carlos Silva Sara Teixeira Vera Pimentel

Docente: Prof. Doutor Ricardo Cunha Teixeira Discentes: Carlos Silva Sara Teixeira Vera Pimentel Docente: Prof. Doutor Ricardo Cunha Teixeira Discentes: Carlos Silva Sara Teixeira Vera Pimentel Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente

Leia mais

Problemas de Mecânica e Ondas 11

Problemas de Mecânica e Ondas 11 Problemas de Mecânica e Ondas 11 P. 11.1 ( Exercícios de Física, A. Noronha, P. Brogueira) Dois carros com igual massa movem-se sem atrito sobre uma mesa horizontal (ver figura). Estão ligados por uma

Leia mais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA ENSINO MÉDIO ÁREA CURRICULAR: CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS DISCIPLINA: MATEMÁTICA I SÉRIE 1.ª CH 68 ANO 2012 COMPETÊNCIAS:.

Leia mais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais

Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados Eng. Química

Leia mais

A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga

A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga Geraldo Ávila Qual é o mais distante: o Sol ou a Lua? Quais os tamanhos da Terra, Sol e Lua? A busca das respostas à essas perguntas intrigantes

Leia mais

Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando os Softwares Graph e WxMaxima

Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando os Softwares Graph e WxMaxima Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando os Softwares Graph e WxMaxima Claudia Piva Depto de Física, Estatística e Matemática DeFEM, UNIJUÍ 98700-000, Ijuí, RS E-mail: claudiap@unijui.edu.br

Leia mais

Força atrito. Forças. dissipativas

Força atrito. Forças. dissipativas Veículo motorizado 1 Trabalho Ocorrem variações predominantes de Por ex: Forças constantes Sistema Termodinâmico Onde atuam Força atrito É simultaneamente Onde atuam Sistema Mecânico Resistente Ocorrem

Leia mais

3.2. ORBITAIS E NÚMEROS QUÂNTICOS 3.3. CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS. Aline Lamenha

3.2. ORBITAIS E NÚMEROS QUÂNTICOS 3.3. CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS. Aline Lamenha 3.2. ORBITAIS E NÚMEROS QUÂNTICOS 3.3. CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS Aline Lamenha OBJETIVOS Referir os contributos de vários cientistas e das suas propostas de modelo atómico, para a criação do modelo atómico

Leia mais

Software comercial para planeamento da distribuição

Software comercial para planeamento da distribuição Software comercial para planeamento da distribuição Existe uma grande variedade de software comercial para planeamento e análise de sistemas eléctricos de distribuição (ver tabela). Muitas das empresas

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta.

Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Teste Intermédio de Ciências Físico-Químicas Teste Intermédio Ciências Físico-Químicas Caderno 2 Duração do Teste: 40 min (Caderno 1) + 10 min (pausa) + 40 min (Caderno 2) 19.05.2011 9.º Ano de Escolaridade

Leia mais

Apostila de Física 28 Gravitação Universal

Apostila de Física 28 Gravitação Universal Apostila de Física 28 Gravitação Universal 1.0 História Astrônomo grego Cláudio Ptolomeu (87-150): Sistema planetário geocêntrico A Terra é o centro do universo. A Lua e o Sol descreveriam órbitas circulares

Leia mais

5 as Olimpíadas Nacionais de Astronomia

5 as Olimpíadas Nacionais de Astronomia 5 as Olimpíadas Nacionais de Astronomia Prova da eliminatória regional 14 de Abril de 2009 15:00 Duração máxima 120 minutos Nota: Ler atentamente todas as questões. Existe uma tabela com dados no final

Leia mais

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD. 346 779 COD. 152 870

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD. 346 779 COD. 152 870 CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO ( Aprovados em Conselho Pedagógico de 21 de Outubro de 2014) No caso específico da disciplina de FÍsica, do 12ºano de escolaridade, a avaliação incidirá ainda ao nível

Leia mais

Descobrindo o Sistema Solar Denis E. Peixoto NASE, Brasil

Descobrindo o Sistema Solar Denis E. Peixoto NASE, Brasil Introdução Descobrindo o Sistema Solar Denis E. Peixoto NASE, Brasil Comumente, quando estudamos o Sistema Solar, nos deparamos com questões interessantes, tais como: quais os limites do nosso sistema

Leia mais

Considerações Finais. Capítulo 8. 8.1- Principais conclusões

Considerações Finais. Capítulo 8. 8.1- Principais conclusões Considerações Finais Capítulo 8 Capítulo 8 Considerações Finais 8.1- Principais conclusões Durante esta tese foram analisados diversos aspectos relativos à implementação, análise e optimização de sistema

Leia mais

MEDIÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCTRICAS UTILIZAÇÃO DO OSCILOSCÓPIO E DO MULTÍMETRO

MEDIÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCTRICAS UTILIZAÇÃO DO OSCILOSCÓPIO E DO MULTÍMETRO TRABALHO PRÁTICO MEDIÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCTRICAS UTILIZAÇÃO DO OSCILOSCÓPIO E DO MULTÍMETRO Objectivo Este trabalho tem como objectivo a familiarização com alguns dos equipamentos e técnicas de medida

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais