Caos no Sistema Solar

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1 Identificação: Nome: Marinho Antunes Lopes Nº mecanográfico: Disciplina: Física Computacional Data: Julho de 2007 Local: Departamento de Física - Universidade de Aveiro Física Computacional Página 1

2 Índice Introdução... 4 Em que consiste o Caos e qual a origem da teoria?... 4 Quais as aplicações da Teoria do Caos?... 5 Quais as condições para a existência de Caos?... 7 Porque é que os meios computacionais são importantes para descrever Caos e quais as suas limitações?... 7 Objectivos do presente trabalho:... 8 Problemas computacionais... 8 Sistema Terra Sol Comentários: Sistema de dois sóis Comentários: Sistema Sol Júpiter Comentários: Caos Sistema de duas estrelas e um planeta Comentários: Sistema Lua Terra Sol Comentários: Sistema Sol Terra Júpiter Comentários: Sistema Sol Júpiter Saturno Física Computacional Página 2

3 Comentários: Conclusão Bibliografia Anexos Física Computacional Página 3

4 Introdução Em que consiste o Caos e qual a origem da teoria? Em 1961, Edward Lorentz estudava um modelo simples de convecção de um fluído (parte de um estudo sobre previsibilidade do tempo meteorológico), no qual descobriu algo que à primeira vista poderia indicar falta de engenho de Lorentz para conseguir chegar a uma resposta mais satisfatória, que não esta: era impossível prever! Obtendo graficamente a representação das variáveis em causa, a figura que se lhe deparou fez-lhe associar o efeito ao agora conhecido nome "efeito borboleta" (o gráfico tinha semelhanças com a "forma" de uma borboleta - ver Figura 1). A definição vulgarizada do efeito borboleta é algo do género: "o bater de asas de uma borboleta aqui, poderá provocar um tufão do outro lado do mundo". Embora pareça uma definição grosseira, a verdade é que é algo de semelhante que acontece num sistema caótico: uma pequena variação nas condições iniciais provoca alterações totais a médio ou longo prazo, dependendo do sistema. Figura 1: Resolução computacional do sistema de Lorentz. Física Computacional Página 4

5 Depois da "desilusão" que os físicos tinham tido com o Princípio da Incerteza, que de certo modo limita o conhecimento, bem como o poder de previsão da Física, uma nova limitação surgia: sistemas caóticos são impossíveis de prever, isto porque a resolução das equações com vista a obter soluções exactas, exige uma precisão infinita, a qual é impossível de obter, visto que a medição de qualquer grandeza física tem sempre associado um erro, quer do instrumento, quer de outra causa qualquer conhecida, ou até imprevista segundo a metodologia adoptada. Apesar da teoria parecer oferecer apenas limitações, tal não é verdade, recorde-se por exemplo o sucesso obtido ainda no âmbito meteorológico, nos Estados Unidos, em que se conseguiu prever com base na teoria, no dia 19 de Fevereiro de 1998, que em vez de haver uma pequena tempestade em Louisiana, como era primeiramente suposto, haveria sim um tornado na Flórida no dia 21, isto devido apenas a umas medições mal executadas de uma pequena variação no deslocamento de massas de ar. Quais as aplicações da Teoria do Caos? Na Física, conceitos como entropia (medida da desordem de um universo) puderam ser desenvolvidos, tendo também havido progressos em Mecânica Quântica, nomeadamente no Princípio da Incerteza de Heisenberg. Na Matemática, esta teoria veio revolucionar o estudo estatístico, bem como os fractais vieram trazer uma nova forma intuitiva de olhar para o conceito abstracto do infinito, (fractais são objectos geométricos que são auto-semelhantes e independentes da escala, têm por isso (teoricamente) um detalhe infinito - Figura 2). Na Astronomia, a Teoria do Caos é usada para prever comportamentos de 3 ou mais corpos que interagem graviticamente entre si. No sistema solar temos o caso de por exemplo a Terra, o Sol e a Lua. Na Biologia tem-se usado esta teoria para fazer previsões em relação à evolução genética que se verificará na Terra. Na Sismologia, embora a Teoria do Caos não ofereça a possibilidade da previsão de sismos, devido a pouca precisão nos instrumentos que se dispõe, tem permitido a cartografia de falhas sísmicas, através do estudo da distribuição caótica da localização e intensidade dos sismos. Física Computacional Página 5

6 Figura 2: Fractal de Mandelbrot observado a vários níveis de ampliação. Na Medicina, com base nesta teoria descobriu-se há pouco tempo que o bater do coração é também um fractal, em que se houver uma pequena fuga ao fractal - deixar de ser perfeitamente periódico, tal deve significar que o paciente deva estar com insuficiência cardíaca. Em Ciências Humanas e Ciências Políticas tem-se usado a teoria para tentar prever o comportamento de multidões. Física Computacional Página 6

7 Na Economia, a Teoria do Caos permite estudar o desenvolvimento na bolsa: enquanto que a longo prazo as taxas possam parecer que evoluam de um modo totalmente aleatório, tal não é verdade; por outro lado, analisando detalhadamente a curto prazo, é possível vislumbrar indícios de fractais na evolução da bolsa. (Em 1997, dois americanos receberam o Prémio Nobel da Economia por terem conseguido desenvolver uma fórmula que permite prever aplicações financeiras, com base, claro está, na Teoria do Caos.) Caos. Na Linguística, a evolução dos dialectos tem sido estudada com base na Teoria do Na Arte, as influências estéticas são ainda difíceis de determinar, tal é a ruptura com os padrões clássicos que estas descobertas potenciam. A geometria fractal revolucionou o realismo visual, sendo usada na criação de imagens espectaculares e de mundos bizarros para jogos, animações e filmes, com detalhe variável de acordo com a escala, evitando a pixelização. E é impossível determinar os avanços que os meios computacionais cada vez mais potentes auguram. Este realismo sem precedentes inspira artistas de todas as áreas, introduzindo novos símbolos que acompanham as novas mentalidades. Quais as condições para a existência de Caos? Os sistemas caóticos são caracterizados matematicamente como sendo sistemas de equações não lineares, que segundo o Teorema de Poincaré-Bendixson não podem ser sistemas autónomos bidimensionais (daí não se verificar Caos para apenas a interacção gravítica entre dois corpos, como mais adiante se verá), ou melhor, têm que pelo menos ser representados por três ou mais equações diferencias autónomas não lineares. Notar que estas condições são necessárias, mas não suficientes para se ter Caos. Porquê que os meios computacionais são importantes para descrever Caos e quais as suas limitações? Os meios computacionais são fundamentais para descrever Caos, pois normalmente as equações que definem um sistema caótico ou são muito difíceis de resolver à mão, ou mesmo impossíveis. Mas os métodos computacionais apresentam limitações, que no caso de sistemas caóticos têm ainda uma maior importância dadas as características antes enunciadas. As limitações estão no erro de truncatura: erro derivado do facto da utilização de métodos numéricos aproximados. Recordemos que estes se resumem a somatórios infinitos, ora como o infinito é impossível de ser representado ou calculado, têm que se fazer aproximações, as quais podem ser desprezáveis para cálculos menos rigorosos, mas não quando se trabalha em sistemas caóticos, em que estes são muito sensíveis a pequenas Física Computacional Página 7

8 diferenças. Por outro lado, o computador apresenta ainda outro problema que é o erro de arredondamento, isto porque o computador não pode representar dízimas infinitas (como também números infinitos, como por exemplo tan(pi/2)), ou até finitas, mas com um número de dígitos que ultrapasse a memória da variável, como tal o computador procede a arredondamentos, os quais introduzem um erro não desprezável e que limita ainda mais o poder de previsão da simulação. Objectivos do presente trabalho: O principal objectivo deste trabalho é compreender um pouco melhor o que é o Caos e em que condições este é verificado, descrevendo-o em casos concretos da Astronomia, mais especificamente para conjuntos de corpos celestes no Sistema Solar. Nota: O desenvolvimento do trabalho será feito com base nas questões propostas no livro indicado na bibliografia (livro de apoio à cadeira em causa). Problemas computacionais Sistema Terra Sol 1 Resolvendo as equações dinâmicas de Newton da força, igualando-a à força gravítica, convertendo o sistema analítico para numérico e usando este no Matlab (com o Método de Euler-Cromer), obtiveram-se os seguintes gráficos: 1 Página 4 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Física Computacional Página 8

9 Figura 3: Órbita da Terra em torno do Sol, com e sem a aproximação deste ter uma posição fixa. Figura 4: Órbita que o Sol descreve em relação ao centro de massa, devido à presença da Terra. Física Computacional Página 9

10 Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo I. Na Figura 3 pode-se observar que a consideração do Sol com uma posição fixa é uma boa aproximação, visto que as duas órbitas descritas pela Terra considerando o Sol fixo e com o Sol movendo-se devido à presença da Terra são praticamente coincidentes. Este facto justifica-se com a Figura 4, na qual se observa que o movimento do Sol em torno do Centro de Massa do sistema Sol mais Terra tem um raio de cerca de 3x10-6 AU, o que significa que o Centro de Massa deste sistema se encontra localizado dentro do Sol, visto que este possui de raio aproximadamente AU, ou seja, a acção gravítica da Terra sobre o Sol é irrisória. Sistema de dois sóis 2 2 Página 4 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 5: Órbitas que dois sóis descrevem devido à atracção gravítica executada um no outro. Física Computacional Página 10

11 Figura 6: Órbitas que dois sóis descrevem devido à atracção gravítica executada um no outro. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo II. Na Figura 5 obteve-se que cada estrela iria desenhar uma trajectória circular, isto porque se usou um passo temporal bastante reduzido, pois se tal não fosse o caso iria verificar-se que as estrelas começariam a desenhar elipses que se afastavam das circunferências iniciais o que é claramente um erro do método caso se use um passo temporal demasiado elevado, isto porque tendo cada uma das estrelas uma posição e velocidade simétrica em relação à outra, é de esperar que o Centro de Massa se mantenha inalterável. Isto já não acontece na Figura 6, porque neste caso usaram-se velocidades não simétricas iniciais para cada uma das estrelas têm velocidades segundo diferentes direcções, como se poderá deduzir pela observação da figura. Neste caso um diminuir do passo temporal não irá fazer a solução convergir, isto porque não é essa a solução! Física Computacional Página 11

12 Sistema Sol Júpiter 3 3 Página 5 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 7: Gráfico da amplitude máxima do movimento do Sol devido à presença de Júpiter (com massa até 100 vezes maior que a real). Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo III. Como se pode observar pela Figura 7, quanto maior for a massa de Júpiter, maior será a amplitude máxima do movimento do Sol devido à atracção gravítica de Júpiter, o que é natural, visto que uma maior massa implica uma maior força gravítica em módulo. Ainda pelo gráfico se parece poder concluir que a relação deverá ser linear, embora com apenas 3 pontos seja arriscado fazer tal previsão. Física Computacional Página 12

13 Caos Em nenhum dos problemas antes tratados se obtiveram soluções caóticas, isto porque eram apenas sistemas de apenas dois corpos, o que como foi visto na Introdução, pelo Teorema de Poincaré-Bendixson nunca tem soluções caóticas, visto que apenas sistemas de três ou mais equações não lineares autónomas é que poderão ter soluções caóticas. Nos problemas antes abordados, os sistemas poderiam ser descritos apenas por duas equações autónomas: δr/δt=v e δv/δt= (G.m)/r 2 Sistema de duas estrelas e um planeta 4 4 Página 8 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 8: Trajectória desenhada por um planeta em torno de duas estrelas. Física Computacional Página 13

14 Figura 9: Trajectória desenhada por um planeta em torno de duas estrelas. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo IV. Neste sistema de três corpos já se pôde observar caos na Figura 9. Na Figura 8 obteve-se uma órbita quase estável. Estas duas figuras que foram obtidas para os mesmos corpos, mas com condições iniciais diferentes, lembram-nos que o facto de se ter um sistema de três corpos pode resultar em soluções caóticas, mas tal não é uma garantia! Para a resolução deste problema usou-se a aproximação de que as estrelas teriam posições fixas, isto é válido porque o planeta tendo uma massa muito inferior à das estrelas, descreverá a sua órbita muito mais depressa do que as estrelas. Física Computacional Página 14

15 Sistema Lua Terra Sol 55 Página 9 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Caos no Sistema Solar Figura 10: Órbita da Terra e da Lua em torno do Sol. Figura 11: Órbita da Lua em torno da Terra. Física Computacional Página 15

16 Figura 12: Órbita da Lua em torno da Terra fixa, considerando a presença do Sol. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo V. Como se pode ver na Figura 11, a Lua descreve uma elipse em torno da Terra, enquanto ambos descrevem uma outra elipse em torno do Sol. De reparar que tendo em conta a Figura 11, se concluí que na Figura 10 será a trajectória da Lua que cruza a da Terra e não o contrário, por outras palavras, a Terra descreverá uma trajectória mais semelhante com uma elipse, do que a Lua, pois a desta será como que uma elipse ligeiramente ondulada. Como é evidente, não se pode proceder à aproximação da Terra estar fixa, pois tal irá significar que a Lua irá descrever uma elipse em torno do Sol, e nunca em torno da Terra, visto que esta apesar de estar mais próxima como condição inicial, irá ficando cada vez mais distante, por não acompanhar a revolução da Lua em torno do Sol. Claramente Física Computacional Página 16

17 não é isto que acontece, pelo que esta aproximação não tem sentido físico. Sistema Sol Terra Júpiter 6 6 Página 12 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 13: Órbitas da Terra e Júpiter em torno do Sol, para várias massas diferentes de Júpiter. Física Computacional Página 17

18 Figura 14: Ampliação de parte da Figura 13. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo VI. Antes de mais convém salientar um pormenor que se nota logo na Figura 13: Júpiter tem um período orbital muito superior ao da Terra, o que significa que a sua acção gravítica sobre a Terra varia ao longo do tempo. Deste modo o que se observa na Figura 14 é que a órbita da Terra com a acção de Júpiter com a massa natural, é interior à órbita que desenha no caso de não haver Júpiter, ou deste ter uma massa cem vezes superior à que realmente tem. Como Júpiter tem um período orbital muito inferior ao da Terra, tal significa que por vezes está a atraí-lo de modo a afastar-se do Sol (isto acontecerá se a Terra e Júpiter estiverem do mesmo lado) e noutras terá a sua força no mesmo sentido que o Sol (isto acontecerá quando a Terra estiver no lado oposto ao de Júpiter em relação ao Sol). Mas quando se aumenta a massa de Júpiter, este passa a ter um período orbital inferior, como Física Computacional Página 18

19 tal, a relação anterior já será um pouco diferente, pois neste caso específico a massa de Júpiter terá aumentado o suficiente para que o seu período orbital seja semelhante ao da Terra * e por isso a sua acção sobre esta é sempre a mesma, ou seja, tende sempre a afastar a Terra do Sol e nunca o contrário, mas como ainda assim Júpiter está muito mais afastado da Terra do que o Sol e a sua massa continua a ser muito inferior à do Sol, este afastamento não vai ser significativo, o que se pode comprovar pela Figura 14, em que a órbita da Terra com a acção de Júpiter de massa cem vezes superior ao real é quase coincidente com a órbita descrita pela Terra sem a consideração de Júpiter. * O período orbital é dado por T = 2pi.(r 3 /(G.m)) 1/2, pelo que se m variar para 100m, o período irá diminuir 10 vezes, logo sendo o período orbital de Júpiter perto de 12 anos, ao diminuir 10 vezes, vai ficar próximo do da Terra. Sistema Sol Júpiter Saturno 7 7 Página 12 do capítulo 10 do livro indicado na Bibliografia. Figura 15: Órbitas descritas por Júpiter e Saturno (com e sem Júpiter). Física Computacional Página 19

20 Figura 16: Ampliação da Figura 15. Comentários: O código usado pode ser consultado no Anexo VII. Como se pode observar na Figura 15 e 16, a presença de Júpiter aproxima ligeiramente Saturno do Sol, o que é natural, visto que estando Júpiter situado no interior à órbita descrita por Saturno, irá sempre contribuir com uma força de igual sentido que o Sol. Física Computacional Página 20

21 Conclusão Tendo em conta que consegui explicar todos os resultados obtidos e que estes coincidiram com o que eu esperava, concluo que o trabalho foi positivo, pois permitiu que eu desenvolvesse os meus conhecimentos sobre Caos e compreendesse melhor os sistemas de dois e três corpos. Bibliografia TORRES, Vítor; Física Computacional Simulação Computacional de Sistemas Físicos; Universidade de Aveiro; 2004; capítulo 9 e Para obtenção de constantes relacionadas com os problemas: Anexos Os anexos encontram-se em M-files à parte. Cada M-file tem o nome do Anexo correspondente. Física Computacional Página 21