Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências da Terra Departamento de Geomática CARLOS AURÉLIO NADAL ASTRONOMIA DE POSIÇÃO

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1 Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências da Terra Departamento de Geomática ASTRONOMIA DE POSIÇÃO VARIAÇÃO DAS COORDENADAS CELESTES CURITIBA 2002

2 Carlos Aurélio Nadal Engenheiro Civil Mestre em Ciências Geodésicas Doutor em Ciências Geodésicas na Área de Geodésia Aplicada à Engenharia Professor Titular do Departamento de Geomática do Setor de Ciências da Terra da Universidade Federal do Paraná. Catalogação na Fonte Tânia Barros Baggio CRB 9/760 Nadal, Carlos A. Astronomia de Posição - VARIAÇÃO DAS COORDENADAS CELESTES/Carlos A. Nadal. 1 a Ed. Curitiba, Departamento de Geomática-UFPR: p,:il. Inclui bibliografia 1. Variação das coordenadas celestes 2. Astronomia de Campo 3. Astronomia Geodésica I. Título CDD

3 SUMÁRIO TITULO PÁGINA 1. INTRODUÇÃO HISTÓRICO DA VARIAÇÃO DE COORDENADAS EQUATORIAIS MATRIZES DE ROTAÇÃO E REFLEXÃO TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CELESTES UTILIZANDO 11 MATRIZES DE ROTAÇÃO. 4.1 Transformação de coordenadas horizontais em horárias e vice-versa Transformação de coordenadas horárias em equatoriais e vice-versa MOVIMENTO DE PRECESSÃO E NUTAÇÃO DA TERRA5. 14 MOVIMENTO DE PRECESSÃO E NUTAÇÃO DA TERRA 5.1 Precessão Luni-solar Efeitos da precessão luni-solar nas coordenadas equatoriais Movimento de nutação da Terra Precessão planetária Precessão geral Formulação matemática PARALAXE ESTELAR Paralaxe anual Paralaxe diária ABERRAÇÃO ESTELAR Aberração anual Aberração diária MOVIMENTO PRÓPRIO DAS ESTRELAS DEFLEXÃO GRAVITACIONAL DA LUZ MOVIMENTOS DOS PÓLOS CALCULO DAS COORDENADAS APARENTES DE UMA ESTRELA EXERCICIO RESOLVIDO EXERCICIOS PROPOSTOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 3

4 1. INTRODUÇÃO O estudo dos sistemas de coordenadas utilizados na Astronomia Esférica, parte da premissa que os planos fundamentais do sistema de coordenadas equatorial e eclíptico são invariáveis, mas essa suposição somente é válida em função da acuracidade das observações, para um intervalo de tempo de algumas horas. Hoje os objetivos da Geodésia ultrapassam uma visão até pouco suficiente para solução prática de problemas de posicionamento. A UAI (União Astronômica Internacional) e a UGGI (União Geodésica e Geofísica Internacional) trabalham em conjunto como o objetivo de criar um sistema de coordenadas inercial celestes, isto é, um sistema que permaneça invariável no tempo, e com respeito ao qual seja possível o estudo dos movimentos da Terra, do Sistema Solar, de nossa galáxia a Via Láctea, e a detecção de movimentos intrínsecos próprios das estrelas. Este sistema é consistente em sua definição conceitual, mas utópico em sua realização prática,. Pode-se conceituar sistema de coordenadas equatoriais celestes como sendo um sistema definido matematicamente, tridimensional com origem no centro da Terra, com o eixo das abscissas (x) apontando para o ponto vernal, o eixo das cotas (z) apontando para o pólo norte celeste e o eixo das ordenadas (y) formando um terno cartesiano ortogonal dextrógiro. Neste caso o sistema é denominado de geocêntrico. A origem do sistema pode ser transladada para o centro de massa do Sol, sendo o sistema denominado de heliocêntrico, ou ainda transladado para o centro de massa do sistema solar (que se encontra nas proximidades do centro de massa do Sol), sendo neste último caso denominado de baricêntrico. A definição conceitual de um sistema na língua inglesa é transcrita por uma única palavra system. Para se realizar ou materializar esta definição de forma prática, determinam-se as coordenadas equatoriais de estrelas e de objetos celestes muito distantes da Terra, como quazares. Na língua inglesa a realização prática de um sistema de coordenadas é representada por uma única palavra: frame. Nos processos observacionais utilizam-se os mais diversos métodos e instrumentos. Tradicionalmente utilizava-se somente a parte do espectro eletromagnético correspondente a luz visível emanada dos objetos celestes e aquele sistema era determinado com instrumentos de passagem como círculo meridiano (Nadal, 1992), astrolábio Danjon (Clozet, 1982). Na atualidade utilizam-se dados obtidos com o satélite astrométrico HIPPARCUS para materialização do sistema, combinado com posições de radio-fontes distantes. Um problema de difícil solução é devido ao fato que os objetos celestes dificilmente emitem duas radiações diferentes o que torna problemática a junção entre observações em diferentes tipos de radiações. 4

5 Toda observação é eivada de erros, portanto, as coordenadas observadas são inicialmente tratadas para a retirada de erros sistemáticos principalmente os de origem instrumentais, observacionais e naturais como, por exemplo, inclinação do eixo horizontal, colimação óptica, divisão de círculos graduados, refração atmosférica, etc. A seguir são tratados estatisticamente os erros acidentais, resultando nas coordenadas equatoriais com suas respectivas precisões. Este trabalho é realizado por vários observatórios Astronômicos e instituições espalhos pela Terra, e por ultimo compilados e tratados globalmente por organismos filiados a UAI e UGGI, resultando num Catálogo Fundamental, que é uma lista contendo a posição dos objetos celestes, suas magnitudes, tipos espectrais movimentos próprios, paralaxes e velocidades radiais. Espera-se que o Catálogo Fundamental represente integralmente o sistema conceitual o que, infelizmente não é verdadeiro, fazendo com que o mesmo tenha uma vida útil de aproximadamente 10 anos. Nesse período geralmente apresenta uma deteriorização nas posições armazenadas das estrelas. Na atualidade está em uso o catalogo fundamental FK5, e sendo introduzido o FK6. Este fato não é novo, o astrônomo e geógrafo da antiguidade HIPARCO, que viveu cerca de um século e meio antes de nossa era, trabalhando com um sistema eclíptico de referência, mediu a latitude celeste e a longitude celeste de estrelas com instrumentos precários e ajuda das mãos. Conseguiu determinar variações na longitude celeste da estrela SPICA ( Vir) atribuindo-lhe uma causa aceita em nossos dias. A partir da utilização de métodos e técnicas refinadas de observação, de análises globais estatísticas tem-se definido novas causas para os movimentos terrestres e celestes fazendo com que este seja um dos assuntos atuais da astronomia de posição. Há na atualidade uma corrente científica, que não faz distinção entre os fenômenos geométricos e físicos analisados neste trabalho, efetuando tão somente uma analise temporal dos dados tratados nos diversos observatórios da Terra, definindo de forma global equações matemáticas que modelem seus movimentos, sendo esta uma tendência nos próximos anos. Neste trabalho discutiremos os embasamentos teóricos e as formulações práticas para obtenção de coordenadas celestes de estrelas num determinado instante, necessárias ao posicionamento na Terra, de interesse dos Engenheiros Cartógrafos. 2. HISTÓRICO DA VARIAÇÃO DE COORDENADAS EQUATORIAIS As observações na Antigüidade eram conduzidas através da medida de distâncias angulares entre estrelas e o Sol, utilizando-se de um astro intermediário como a Lua ou Vênus nas proximidades do crepúsculo. O sistema de coordenadas eclípticas era o mais utilizado, pois a abstração do pensamento dos antigos astrônomos neste sistema era facilitada, pela diminuta quantidade de 5

6 cálculos necessários ao posicionamento de estrelas. Assim imaginando-se que em seu movimento aparente na esfera celeste o Sol tem latitude celeste igual a zero e sua longitude celeste varia de aproximadamente 1 o por dia, pois o Sol percorre os 360 o da eclíptica em aproximadamente 365 dias; conhecendo-se o número de dias decorridos desde o equinócio vernal até a data desejada, determina-se a longitude do Sol. Além disso, no eclipse da Lua, quando se tem o alinhamento Sol-Terra-Lua, a latitude celeste da Lua vale 0 o e sua longitude celeste difere da longitude celeste do Sol de 180 o. Utilizando-se deste conceito e medindo com as mãos ou com instrumentos rudimentares a distância esférica de estrelas à Lua eclipsada, Hiparco confeccionou um catalogo com coordenadas eclípticas destas. Foi possível também a Hiparco comparar a longitude celeste por ele obtida da estrela Spica no ano 129 a.c. ( = 172 o ), com a medida por Timocaris em 283 a.c. que resultou em = 174 o. Hiparco explicou tal variação de 2 o em 154 anos a um movimento de rotação direta da esfera dos fixos ao redor dos pólos da eclíptica, o que ocasionaria um deslocamento do ponto vernal no sentido retrógrado de aproximadamente 50 /ano. Hiparco catalogou cerca de 1025 estrelas através de suas coordenadas eclípticas. O sistema de coordenadas eclípticas tem como plano fundamental a eclíptica que é o plano da órbita da Terra em seu movimento de translação ao redor do Sol, rebatido na esfera celeste. Na figura 2.1 representa-se este sistema. N Plano da eclíptica S S ponto vernal ou equinócio vernal = latitude celeste = longitude celeste S Figura 2.1 Sistema de coordenadas eclípticas A interpretação hoje admitida devida a Copérnico, é que a direção do eixo de rotação da Terra não é fixa no espaço, seu ângulo com a eclíptica 6

7 permanece constante, descrevendo um cone de revolução em torno do eixo desta cuja latitude celeste é o complemento da obliqüidade. O movimento retrógrado do equinócio a razão de 50 /ano resulta numa volta completa deste na eclíptica em anos, que é também o período de revolução dos pólos celestes ao redor dos pólos da eclíptica. No século XVII suspeitou-se da invariabilidade do plano da eclíptica, os resultados obtidos anteriormente mostravam o decréscimo de seu valor. Euler demonstrou, através da teoria das perturbações exercidas pelos planetas no movimento de translação da Terra, que o plano da eclíptica é móvel e que em conseqüência a obliqüidade decresce da ordem de 46 /século. No século XVIII Bradley demonstrou que o plano do equador sofre deslocamentos periódicos de pequena amplitude, sendo o fenômeno denominado de nutação. Bradley observou a estrela Draconis com o objetivo de determinar sua paralaxe, por ser esta muito pequena não obteve êxito, descobriu a partir das observações os fenômenos da aberração e da nutação. Observou que em nove anos a declinação média da estrela aumentava 18 e diminuía da mesma quantidade nos próximos 9 anos, associou ao fenômeno da nutação a retrogradação dos nodos da Lua. Deveu-se a D Alambert a teoria do movimento de rotação da Terra pela mecânica Newtoniana, mostrando os efeitos da perturbação Luni-solar. Nas últimas décadas teve-se um desenvolvimento acentuado dos instrumentos de observação, dos métodos e dos cálculos, principalmente com a entrada de automação de instrumentos astrométricos que resultaram num incremento nas precisões observacionais. Além disso, a disseminação e o desenvolvimento do sistema de posicionamento global (GPS), tornaram possível o monitoramento dos principais movimentos da Terra, culminando com a criação por parte dos organismos internacionais UAI e UGGI do órgão denominado de IERS (Sistema internacional de rotação da Terra), que tem proporcionado o monitoramento continuado dos movimentos de nosso planeta. 3. MATRIZES DE ROTAÇÃO E REFLEXÃO Tomando-se dois sistemas tridimensionais de coordenadas cartesiana ortogonais com mesma origem porém não coincidentes (figura 3.1). Sejam x p, y p, z p coordenadas cartesianas do ponto P no sistema oxyz e x p, y p, z p no sistema ox Y Z. O problema consiste em: dadas as coordenadas de um ponto no primeiro sistema, deseja-se as coordenadas deste mesmo ponto no segundo sistema de coordenadas. Da Geometria Analítica tem-se que [Hatschbach, 1975]: x p = x p l 11 + y p l 12 + z p l 13 y p = x p l 21 + y p l 22 + z p l 23 z p = x p l 31 + y p l 32 + z p l 33 7

8 Z Z P X z p y p o z p y p X x p x p Y Y Figura 3.1 Sistemas de coordenadas cartesianas tridimensionais ortogonais onde, l ji é o co-seno diretor do ângulo formado entre o eixo respectivo do sistema ox Y Z com o eixo do sistema oxyz, por exemplo que o eixo x i forma com o eixo x i. Sob a forma matricial tem-se que: x p l 11 l 12 l 13 x p y p = l 21 l 22 l 23 y p z p l 31 l 32 l 33 z p ou, de forma simplificada: Y = L X Pode ser provado que dos nove co-senos diretores somente três são linearmente independentes, portanto, conhecidos os três ângulos formados entre os respectivos pares de eixos dos dois sistemas, os quais são denominados de ângulos de Euler, é possível a transformação de coordenadas de um sistema para outro. Seja, na figura 3.2, dois ternos coincidentes na origem e seus eixos ox e ox coincidentes e os outros eixos formando o ângulo entre si: 8

9 Z Z o Y Y X = X Figura 3.2 Rotação em torno do eixo X Neste caso a matriz L assumirá a seguinte forma: L = 0 cos sen = R 1 ( ) 0 -sen cos Similarmente, obter-se-ia a matriz L para uma rotação em torno do eixo y: e, em torno do eixo z: cos 0 -sen L = = R 2 ( ) sen 0 cos cos sen 0 L = -sen cos 0 = R 3 ( )

10 As matrizes R 1 ( ), R 2 ( ) e R 3 ( ) são conhecidas como matrizes de rotação. A convenção adotada neste trabalho para o valor positivo do ângulo de rotação, é a de que os sistemas devam ser dextrógiros e o ângulo correspondente à rotação deve ser medido no sentido anti-horário. Tome-se agora, dois sistemas coincidentes na origem o, com os eixos y e z coincidentes, e com os eixos ox e ox com sentidos opostos (figura 3.3). Z=Z X o Y =Y X Figura 3.3 Reflexão de eixos coordenados. Neste caso a matriz dos co-senos diretores assumirá a seguinte forma, denominada de reflexão do eixo dos x L = = R Para o eixo dos y com orientação contrária tem-se: L = = R e, para o eixo dos z da mesma forma que os anteriores tem-se: L = = R

11 As matrizes R1, R2 e R3 são conhecidas com matrizes de reflexão e permitem a transformação de sistemas dextrógiros em levógiros e vice-versa. 4. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CELESTES UTILIZANDO MATRIZES DE ROTAÇÃO. 4.1 Transformação de coordenadas horizontais em horárias e vice-versa Seja o astro S, referenciado no sistema de coordenadas horizontais (ox 1 x 2 x 3 ), deseja-se transformar estas coordenadas para coordenadas no sistema de coordenadas horárias (oy 1 y 2 y 3 ). Inicialmente, na figura 4.1 mostra-se o problema. y 3 x 3 Z P n S Q y H n H S x 1 Q N P S x 2 = y 2 Figura 4.1 Transformação de coordenadas horizontais em horárias. O vetor posição da estrela no sistema de coordenadas horizontais é dado pelas igualdades de suas componentes [Hatschbachm, 1975]: 11

12 x 1 = cos h cos A x 2 = cos h sen A (4.1.1) x 3 = sen h o vetor posição no sistema de coordenadas horárias é dado por: y 1 = cos cos H y 2 = cos sen H (4.1.2) y 3 = sen Ainda, da figura 4.1 para chegar-se ao sistema de coordenadas horárias, partindo-se do sistema de coordenadas horizontais, necessita-se de uma rotação com sinal negativo, isto se deve ao fato de que os sistemas são levógiros e a rotação anti-horária. A transformação pode ser expressa pela equação matricial: ou, Y = R 2 [ -(90 - )] X Y = R 2 ( -90 ) X (4.1.3) Se, por outro lado, deseja-se obter as coordenadas horizontais a partir das coordenadas horárias, pode-se resolver a equação 4.1.1, explicitando-se X e utilizando-se a propriedade da matriz ortogonal em que a inversa e sua transposta são iguais: X = [R 2 ( -90 )] -1 Y = [R 2 ( -90 )] T Y ou, então: X = R 2 (90 - ) Y (4.1.4) 4.2 Transformação de coordenadas horárias em equatoriais e vice-versa Seja o astro S, referenciado no sistema de coordenadas horárias (oy 1 y 2 y 3 ), deseja-se transformar estas para coordenadas no sistema de coordenadas equatoriais (oz 1 z 2 z 3 ). Na figura 4.2 mostra-se o problema. O vetor posição no sistema de coordenadas horárias é dado por: z 1 = cos cos z 2 = cos sen (4.2.1) z 3 = sen 12

13 y 3 = z 3 P N S y 1 Q Q y1 z 1 W z 2 y 2 Figura 4.2 Transformação de coordenadas horárias em equatoriais e vice-versa. Observa-se que o sistema de coordenadas horárias é levógiro enquanto que o sistema de coordenadas equatoriais é de orientação dextrógira. Inicialmente, aplica-se uma reflexão R1 ao primeiro sistema a fim de transformar sua orientação para dextrógira. Agora se chega ao segundo sistema por uma rotação em torno do eixo (3) do valor angular Q, assim, obtém-se a seguinte equação matricial para a transformação: Z = R 3 (Q ) R1 Y Como Q = 180 o S, onde S é a hora sideral, tem-se: P S Z = R 3 (180 o S) R1 Y

14 A transformação de coordenadas equatoriais para horária será dada por: Y = R 3 (-S) R2 Z MOVIMENTO DE PRECESSÃO E NUTAÇÃO DA TERRA Seja a figura 5.1 a seguir onde A 1 e A 2 representam os planos do equador celeste nas épocas t 1 e t 2 respectivamente, E 1 e E 2 as eclípticas nas mesmas épocas, M o nodo ascendente de A 1 com respeito a A 2, N o nodo ascendente de E 1 com respeito a E 2, 1 e 2 os equinócios nas datas, é o ângulo formado entre os dois equadores e o ângulo formado entre as duas eclípticas. P 2 P 1 A 2 A 1 N 1 E 1 2 Figura 5.1 Representação dos movimentos de planos na esfera celeste Pode-se representar os elementos:,, 1 M, 2 M, 1 N, 2 N em função do tempo numa série de potências do tipo: = at + bt 2 + ct 3 + t 1 (p) - t 2 (p) Similarmente para os outros elementos. Os somatórios representados reúnem os termos periódicos de t. Aos termos seculares, aqueles dependentes das primeiras potencias do tempo denomina-se de precessão e os periódicos de nutação. Em verdade, alguns termos ditos seculares nestas expressões são periódicos de longo período ou pseudo seculares, sendo que o caso da longitude celestes temos um termo secular puro devido a variação de 360 o em anos. Geralmente E 2 M 14

15 representa-se a precessão por um polinômio de terceiro grau, e a representação da nutação é mais complexa. O equador real da Terra é perpendicular ao eixo instantâneo de rotação da Terra (eixo principal de inércia), a eclíptica real é a cada instante o plano que contém o raio vetor Terra-Sol e a velocidade orbital da Terra. A aplicação das leis do movimento kepleriano exige o conhecimento do centro de massa dos dois corpos envolvidos, neste caso, porém, o centro de massa do sistema Terra-Lua é que define a eclíptica real. A eclíptica média difere da real pelo efeito da perturbação planetária devido principalmente a Vênus e Júpiter. Denomina-se de coordenadas médias aquelas que diferem da reais pela precessão. As coordenadas reais ou verdadeiras de uma estrela são afetadas pela precessão e nutação, enquanto que as médias somente pela precessão. O ponto vernal real é o nodo ascendente da eclíptica real em relação ao equador real. Na realidade, os termos que se referem às perturbações planetárias não são levados em conta nas efemérides, fazendo com que o ponto vernal real seja o nodo ascendente da eclíptica média em relação ao equador real. 5.1 Precessão Luni-solar A precessão Luni-solar é devida a atração gravitacional do Sol e da Lua sobre as protuberâncias equatoriais. Na figura 5.2 mostra-se o modelo de forças de atração exercida pela Lua sobre o bulbo equatorial da Terra num determinado instante, sendo que a força centrífuga desta em relação à Terra que equilibra o sistema. Neste diagrama nota-se que F 1 a força exercida pela Lua no ponto 1 é maior que a força F c exercida no centro (c ) da Terra, uma vez que pela Lei da da atração gravitacional, a força é diretamente proporcional às massas dos corpos e inversamente proporcional a distância que os separa. Por este mesmo motivo a força exercida no centro F c é maior que a força exercida no ponto 2, F 2. P N Lua C q F 2 F c 2 c C C 1 q F 1 Plano da eclíptica P S 15

16 Figura 5.2 Forças de atração gravitacional (F) e força centrífuga (C ) A força centrifuga C é proporcional a massa e a velocidade, e, portanto é constante nos três pontos analisados. Como resultante tem-se o diagrama mostrado na figura 5.3. Lua N P N Plano da eclíptica R 1V R 1 R 2H q 2 c w 1 q R 1H R 2 R 2V P S S Figura 5.3 Resultantes das forças de atração e centrífuga e suas componentes Na figura 5.3 nota-se que a resultante R 1 está direcionada para fora do bulbo na direção da eclíptica, o mesmo acontece com R 2. Estas resultantes são decompostas em componentes segundo o equador terrestre R 1H e R 2H, segundo uma paralela ao eixo de rotação da Terra R 1V e R 2V. As componentes R 1H e R 2H tendem a deformar a seção transversal da Terra abrindo-a ocasionando o fenômeno denominado de força de maré. As componentes R 1V e R 2V formam um binário cujo braço é o segmento 1-2 que tende a coincidir o plano do equador com o plano da eclíptica, ou em outras palavras, o eixo de rotação da Terra (P N P S ) tende a coincidir com um eixo eclíptico ( N S ), que é perpendicular ao plano da eclíptica. Ocorre, no entanto, que a Terra está animada de um movimento de rotação que a faz comportar-se como um giroscópio. Pelo principio da rigidez giroscópica uma força aplicada em um giroscópio desloca-o no sentido perpendicular a esta força. Assim o que ocorre é que o eixo de rotação da Terra gira em torno do eixo eclíptico num movimento cônico. Na explicação acima nos detivemos na Lua, mas deve-se ter claro que o efeito é uma somatória da atração conjunta com o Sol. 16

17 O movimento relativo dos três astros Sol, Terra e Lua faz com que a força de atração sofra variações complexas. Assim o Sol sofre uma mudança de hemisfério celeste a cada seis meses, enquanto a Lua o faz quinzenalmente, além do que à distância entre os três astros varia continuamente. Esse movimento cônico do eixo de rotação da Terra em torno do eixo eclíptico não é regular. Por aspectos didáticos científicos é desdobrado em uma componente de longo período (parte secular do movimento) e outra de curto período. A parte secular do movimento é denominada de precessão luni-solar, enquanto que a parte de curto período do movimento é denominada de nutação. Designa-se o eixo de rotação quando sujeito a precessão luni-solar por eixo de rotação médio e o equador terrestre por equador médio. 5.2 Efeitos da precessão luni-solar nas coordenadas equatoriais Devido a precessão luni-solar o ponto vernal movimenta-se na esfera celeste de 50,2 /ano, no sentido retrógrado (contrário ao movimento anual aparente do Sol), aumentado o valor da ascensão reta e da longitude celeste de uma estrela. É importante analisar o fato de que a precessão luni-solar não afeta a posição do eixo de rotação em relação à própria Terra, mas sim em relação a sua posição espacial. O equador terrestre neste movimento mantém-se aproximadamente constante, variando tão somente a posição do ponto vernal. Pela própria definição de declinação, nota-se que a mesma varia com a precessão. A precessão luni-solar altera a posição do ponto vernal, o que por sua vez ocasiona um deslocamento direto do perigeu, alterando a duração das estações astronômicas. O pólo médio celeste desloca-se na esfera celeste em torno do pólo eclíptico, completando uma circunferência em anos. O plano dessa circunferência é perpendicular ao eixo eclíptico. A amplitude desse movimento é igual à obliqüidade da eclíptica (w) que vale aproximadamente A figura 5.4 mostra o deslocamento do pólo sul celeste em torno do pólo da eclíptica. Nota-se que o pólo sul celeste se aproxima com o passar do tempo das estrelas cujas latitudes celestes tem valor próximo ao complemento da obliqüidade da eclíptica (66 33 ). Na atualidade a estrela Octantis é a estrela que materializa aproximadamente o pólo sul celeste com precisão de aproximadamente 1 o. A precessão luni-solar, também causa um deslocamento do ponto vernal em relação às constelações zodiacais. O ponto vernal é comum aos signos do zodíaco Aires e Taurus, lembrando que a denominação dos signos foi motivada pela constelação nele contida no tempo de Hiparco. Nos 21 séculos que nos separam o ponto vernal movimentou-se de 2100 x 50,3 = 29,5 o, ou seja, de aproximadamente a largura de um signo do zodíaco. Decorre deste fato que na 17

18 atualidade não há correspondência entre o signo do zodíaco e a constelação de mesmo nome. Assim, por exemplo, o signo de Áries contém a constelação de Peixes. Figura 5.4 Deslocamento do pólo sul celeste devido a precessão luni-solar Fonte: Pode-se ter ainda, como conseqüência da precessão luni-solar a redução do ano trópico, que é definido como o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do Sol pelo ponto vernal. Como o Sol e o ponto vernal se deslocam em sentidos opostos, estes encontrar-se-ão na eclíptica antes que o Sol complete uma volta de 360 o, mas sim o valor de ,7, que pode ser constatada quando compara-se o ano trópico com o ano sideral. Pode-se enfim, resumir que a precessão luni-solar tem como efeitos: a) variação de coordenadas equatoriais; b) variação da duração das estações do ano; c) deslocamento do pólo celeste; 18

19 d) deslocamento do ponto vernal em relação às constelações zodiacais; e) redução da duração do ano trópico. 5.3 Movimento de nutação da Terra. A parte periódica de curto período do movimento de precessão é denominada de nutação ou nutação astronômica da Terra. É modelada por séries trigonométricas cujos coeficientes são determinados por observações astronômicas. A série atual utilizada como modelo foi determinada por Seidelmann [Seidelmann, 1982] e é composta por 106 termos associados a períodos. O período de 18,6 anos é assumido como um ciclo total da nutação. Os principais termos de nutação são: um termo de período igual a 18.6 anos (período de precessão da órbita da Lua), um termo de dias (meio ano), um outro de 13.7 dias (meio mês) e um de 9.3 anos (período de rotação do perigeu lunar). No estudo da nutação é usual sua decomposição em duas componentes: nutação em obliqüidade e nutação em longitude. A componente é devida a elipticidade das órbitas da Terra e da Lua, enquanto é devida a variação e a inclinação da órbita da Lua em relação à eclíptica e à retrogradação dos nodos lunares. Os planos da órbita lunar e da eclíptica formam entre si um ângulo de aproximadamente 5 o. A Lua também apresenta um movimento de precessão que obriga a linha dos nodos (reta de intersecção do plano da órbita da Lua com a eclíptica) a girar, e completam um giro em 18,6 anos. Supõe-se que a eclíptica permaneça imóvel durante o movimento de nutação, porem o equador e o ponto vernal variam e com eles a obliqüidade da eclíptica e as coordenadas equatoriais das estrelas. Na figura 5.5 mostra-se os movimentos de precessão, de nutação e sua resultante. precessão Precessão + nutação N P N P N nutação T 19

20 Figura 5.5 Movimentos do pólo celeste em torno do pólo da eclíptica A nutação pode ser calculada pela matriz nutação definida por Muller (1969) como: N = R 1 (- - ) R 3 ( ) R 1 ( ) O cálculo de será discutido no item 2.4. Os coeficientes utilizados no cálculo da nutação pode ser encontrado em Sieldmann (1992) paginas 112 a 115. Para o cálculo da nutação com precisão da ordem de 1", utilizam-se as expressões: =(cos( )+sen( )*sen( )*tan( ))* -cos( )*tan( )* =sen( )*cos( )* + sen( )* onde e devem ser adicionadas às coordenadas médias (corrigidas da precessão), e que resultarão nas coordenadas aparentes (ou verdadeiras) da estrela. Os valores de e são encontrados em anuários como o Astronomical Almanac, ou podem ser calculados de forma aproximada pelas expressões: = º*sen(125º *d) º*sen(200,9º º*d) = o *cos(125 o *d) o *cos(200.9 o o *d) onde d = Data Juliana , os argumentos do seno e do cosseno sendo expressos em graus, e d e d em segundos de arco. 5.4 Precessão planetária O movimento de um planeta segue aproximadamente a 1 a Lei de Kepler, onde o planeta descreve uma elipse com o Sol ocupando um dos focos. Esta idealização realizar-se-ia se somente existisse os dois corpos no espaço. A presença de um terceiro corpo perturba a órbita elíptica. Designa-se por precessão planetária a força perturbadora a órbita da Terra (elíptica) efetivada pelos outros planetas, principalmente Vênus, Marte e Júpiter, e traduz-se num balanço da eclíptica que determina um deslocamento do ponto vernal no sentido direto sobre o equador. Ainda em conseqüência da precessão planetária a obliqüidade da elíptica varia de 48 por século. A obliqüidade da eclíptica oscila 20

21 entre um máximo de 21 o 59 e um mínimo de 31 o 59 num período de vinte milênios. A obliqüidade fornecida como constante pelo IAU (1976) para a data J2000,0 tem o seguinte valor: 2000 = ,448 A expressão polinomial que permite o cálculo da obliqüidade da eclíptica numa data especifica é fornecida pela expressão: = ,448-46,8150 T 0,00059 T +0, T sendo T o número de séculos julianos decorridos de J2000,0 até a data da observação: JD ,0 T = Assim, por exemplo, para se calcular a obliqüidade da eclíptica para o dia 21 de setembro de 2002, onde a Data Juliana (JD) é igual a: sendo, resulta em: JD = T =0, ,72 = , Precessão geral Formulação matemática A precessão geral surge quando são considerados simultaneamente os efeitos da precessão Luni-solar e da precessão planetária. Devido à precessão geral o ponto vernal sofre um movimento secular, e como este é origem de contagem da abscissa esférica do sistema de coordenadas equatoriais, conclui-se que a ascensão reta sofre variações no tempo. Como os meridianos celestes são afetados por esta variação também a declinação sofre variações no tempo. Representa-se na esfera celeste (figura 5.6) os pólos na época t o e t, denominando-os de P o e P t, e seus correspondentes equadores celestes Q o Q o e Q t Q t. Representa-se também os sistemas de coordenadas equatoriais tridimensionais para as duas épocas. Como o nodo N é comum aos dois equadores, o círculo máximo que contém P o P t e A é polar do ponto N. Tem-se que o arco de equador NA = 90 o, analogamente NB = 90 o. Denomina-se o arco P o P t de. O ângulo formado pelo prolongamento deste lado e o meridiano que contém P t e t é chamado de z e o ângulo formado por este lado e o meridiano que contém P o e o é denominado de. 21

22 Esses elementos são chamados de constantes precessionais e as fórmulas que os fornecem são dadas por: = ( T T )t+( t)t t z =( T T )t+( t)t t =( T T )t+( t)t t onde, T é o numero de séculos julianos decorridos desde uma época fundamental até J2000,0 e t é o número de séculos julianos decorridos entre uma data e uma época fundamental. Na figura tem-se ainda que, o N = 90 o - e t N = 90 o + z. Assim, a partir do sistema de coordenadas médias numa época (com índice o ) chega-se ao sistema de coordenadas médias na época t pela aplicação das seguintes rotações: P = R 3 (-z) R 2 ( ) R 3 ( ) que é conhecida como matriz precessão, a qual deve ser pré-multiplicada pelo vetor posição da estrela no instante referente à época fundamental: Onde: X t = P X o cos o cos o X o = cos o sen o sen o Z o P o Z t Y t P t z Q t Q o Y o A Q t B o t N Q o X t X o 22

23 Figura 5.6 Precessão geral. As equações simplificadas para o cálculo da precessão, com precisão da ordem de 1", sobre as coordenadas equatoriais são fornecidas a seguir, tem validade para qualquer data dentro de um intervalo de uns 20 anos, em relação ao ano 2000 [Seidelmann, 1992]:. d d / dt = m + n sen tan onde m= s/ano e n= "/ano ou s/ano. Tem-se que: = o + d = o + d sendo o e o as coordenadas médias de catálogo para a época fundamental J2000,0. 6. PARALAXE ESTELAR A paralaxe pode ser definida como a mudança relativa da posição de um objeto devido a mudança de posição do observador. Por motivos didáticos divide-se a paralaxe em anual (devido ao movimento de translação da Terra em torno do Sol) e diária (divido ao movimento de rotação da Terra). 6.1 Paralaxe anual Devido ao movimento de translação da Terra em torno do Sol cada estrela parece descrever uma pequena elipse em torno de sua projeção sobre a esfera celeste, considerando-se o Sol, como centro de projeção. Esta elipse é denominada de elipse paralática e será tanto maior quanto menor for a latitude celeste do astro, até degenerar num segmento no caso de uma estrela situada no plano da elíptica (figura 6.1). Define-se como paralaxe anual ao ângulo segundo o qual de uma estrela subtende-se o raio da órbita da Terra, variável em função da distância astro- Terra. 23

24 estrela elipse paralática D R = raio da órbita da Terra D = distância estrela-terra = paralaxe anual eclíptica R Sol Terra Figura 6.1 Paralaxe anual de uma estrela Nos séculos XVII e XVIII houveram muitas tentativas no sentido de se medir a paralaxe anual de estrelas por Hooke, Roemer, Bradley e Herschell, esbarravam, no entanto, em problemas de resolução e precisão dos instrumentos disponíveis na astrometria. Bradley utilizando a estrela Dra descobriu como veremos a seguir o fenômeno denominado de aberração da luz. Somente em 1838 Bessel admitindo que as estrelas de maior movimento próprio deveriam ser as mais próximas da Terra, concentrou seu trabalho na estrela 61 Cygni, que se desloca com movimento da ordem de 5 /ano, chegou a conclusão que sua paralaxe era de 0,31 (atualmente 0,32 ). Struve neste mesmo ano fez outra hipótese, a de que as estrelas mais brilhantes deveriam ser as mais próximas, trabalhou com a estrela LYR (Vega), e por mero acaso, já que está estrela satisfaz tal hipótese determinou um valor de 0,25 (atualmente 0,12 ). A paralaxe anual constitui-se da prova física do movimento de translação da Terra em torno do Sol, por ser um valor pequeno mesmo para as estrelas mais próximas é ainda na atualidade de difícil mensuração. O Catálogo estelar de Paralaxe contém poucas estrelas do catálogo fundamental com observações confiáveis estatisticamente. No quadro 1 a seguir mostra-se as estrelas mais próximas e suas paralaxes. 24

25 Quadro 1. Estrelas mais próximas da Terra. estrela magnitude paralaxe ( ) mov. próprio ( /ano) distância (anos-luz) Próxima de Centauro 11,0 0,77 3,85 4,2 Cen 0,3 0,76 3,68 4,3 Flecha de Barnard 9,6 0,53 10,29 6,1 Lalande ,4 0,41 4,78 7,9 CMa (Sirius) ,37 1,32 8,7 =11h12min =57 o S 12,0 0,34 2,69 9,5 Córdoba 243 8,3 0,32 8,75 10,2 Cet 3,6 0,32 1,92 10,2 Eri 3,8 0,32 0,97 10,2 61 Cygni 5,6 0,32 5,25 10,2 CMi (Procion) 0,5 0,31 1,24 10,4 O cálculo da paralaxe é simples e rigoroso tanto no que diz respeito a paralaxe anual como a paralaxe diária [Seildemann, 1992]. O vetor posição do corpo celeste r E num sistema geocêntrico para a paralaxe diária e num sistema heliocêntrico ou baricentrico para a paralaxe anual, com respeito a origem E é dado por: r E = u B E B onde u B e E B são os vetores posição da nova origem e do corpo respectivamente, com respeito a origem antiga e referidos ao mesmo sistema de referência. 6.2 Paralaxe diária Uma direção observada a partir de um ponto situado na superfície da Terra a um astro modifica-se constantemente devido ao movimento de rotação terrestre. Para se minimizar este efeito deve-se reduzir estas direções ao centro da Terra, ou seja, deve-se transformar o sistema topocêntrico em sistema geocêntrico. Na figura 6.2 imagina-se um observador situado no ponto A na superfície da Terra, este observará a estrela S no ponto S 1 da esfera celeste. A distância zenital topocêntrica da estrela será Z 1. Se este observador se encontrasse no centro da Terra o, veria esta mesma estrela em S 2, com distância zenital 25

26 geocêntrica Z 2. Denomina-se de paralaxe diária p distâncias zenitais: a diferença entre as p = Z 1 Z 2 Z S 2 A Z 1 S S 1 o Z 2 B Figura 6.2 Paralaxe diária A partir de o traça-se à reta OB paralela a AS 1, verificando-se que o ângulo AôB é igual a Z 1, e SôB é igual a p. Pode-se agora definir a paralaxe diária como sendo o ângulo segundo o qual o raio terrestre passante pelo observador seria visto do astro. Tomando-se o triângulo Aso, nele aplicando-se a lei dos senos tem-se: Ao os = sen p sen (180 o Z 1 ) sendo Ao o raio da Terra que será representado por R e OE a distância geocêntrica do astro, representada por D, pode-se escrever: R sen p = sen Z 1 D Quando o astro se encontra no horizonte tem-se que Z 1 = 90 o obtém-se sen p R = 26

27 D Sendo a paralaxe diária neste caso denominada de paralaxe horizontal. O efeito da paralaxe diária nas coordenadas equatoriais é dado pelas expressões [Hatschbach, 1975]: = - p sen H cosec Z 2 cos sec = - p (cosec Z 2 sen sec - tg cotg Z 2 ) No caso das estrelas a paralaxe diária é negligenciada devida a suas grandes distâncias geocêntricas, porém para o Sol e os planetas deve ser considerada. Para o caso da Lua não poderia ser usada esta expressão pois a mesma foi deduzida supondo-se a Terra esférica, deveria ser considerada a forma elipsoidal da Terra devido a proximidade dos dois corpos celestes. 7. ABERRAÇÃO ESTELAR As investigações do astrônomo Bradley em 1725 sobre a declinação da estrela Dra não indicavam um movimento da estrela sobre a elipse paralática procurada; assim, por exemplo, esperava valores iguais para a declinação nos equinócios e elas resultaram diferentes de cerca de 40, esperava encontrar discrepâncias máximas nos solstícios e encontrou praticamente os mesmos valores. Três anos de investigações, em 1728, possibilitou a Bradley uma explicação para o fenômeno, que mais tarde foi denominado de Aberração estelar. A variação da posição da estrela estaria ligada à relação entre a velocidade da luz e a velocidade do observador. Esta descoberta também faria parte da prova física do movimento de translação da Terra ao redor do Sol. Para ser entendida a aberração estelar pode-se utilizar como exemplo um móvel atingido por um projétil. Se o mesmo estivesse parado (figura 7.1.a) o projétil perfurá-lo-ia nos pontos a e b alinhados com o local de disparo. Em conseqüência do movimento do móvel (figura 7.1.b), considerando-se o tempo que o projétil leva para atravessa-lo resultará numa perfuração no ponto c. Quanto maior for a velocidade do móvel e menor a do projétil maior à distância bc. Ainda no primeiro caso, quando se liga o ponto a ao ponto b e por prolongamento, materializa-se o local de disparo (D), no segundo caso a posição aparente de disparo (D ) forma com a real um ângulo que é denominado de ângulo de aberração. 27

28 b c b v a a D a) móvel em repouso b) móvel em movimento Figura 7.1 Ângulo de aberração Ao se observar uma estrela o fenômeno ocorre de forma análoga, sendo necessária a consideração da velocidade da luz emanada e a velocidade de tangencial de translação da Terra. Denomina-se de aberração estelar a consideração somente do movimento da Terra, pois os movimentos próprios das estrelas são muito reduzidos. No caso de considerar-se a Terra imóvel e o astro se deslocando denomina-se de correção para o tempo de deslocamento da luz, e no caso de planetas, cometas, satélites naturais ou artificiais onde os corpos tem movimentos sensíveis em relação à Terra denomina-se o fenômeno de aberração planetária. Interessa ao cartógrafo principalmente a aberração estelar. Suponha-se na figura 7.2 que o observador encontra-se em repouso, a estrela S seria vista em S 1 e sua direção formaria com a direção do deslocamento um ângulo um ângulo. Como a Terra encontra-se em movimento a luz emanada da estrela leva um certo tempo para ir da objetiva à ocular da luneta [Hatschbach, 1975], o que faz com que a estrela seja vista na posição S 2. O ângulo é o ângulo de aberração. Dos triângulos E E 1 E 2 pode-se escrever que: D D S 1 S 2 S S 2 = sen sen ( 180 o - ) sendo v a velocidade de deslocamento da Terra e c a velocidade da luz tem-se: S 1 S 2 = v t S S 2 = c t 28

29 S S S 2 S 1 S 2 S 1 v Figura 7.2 Aberração estelar. Tem-se então que: ou, v t c t = sen sen v sen = sen c como a aberração apresenta valores pequenos pode ser expressa na forma; v = sen c sen 1 a aberração será máxima quando = 90 o, ou seja, a direção do raio luminoso for perpendicular a direção de deslocamento do observador, neste caso aparece a denominada constante de aberração k ou, max = k 29

30 = k sen. Dependendo dos movimentos da Terra pode-se dividir a aberração em secular, anual e diária. A aberração secular devida ao movimento do sistema solar em torno do centro de nossa galáxia é praticamente constante para todas as estrelas, sendo ignorada nos cálculos. 7.1 Aberração anual Ao se fazer a velocidade do observador igual a velocidade de translação da Terra ao redor do Sol, resultará para v o valor aproximado v = 30 km/s adotando-se para luz a velocidade aproximada de c= km/s, resultará para a constante de aberração o valor: k = 20,626 o valor adotado pela IAU 1976, é: k = 20, Aberração diária A aberração diária é causada pelo movimento de rotação da terra em torno de seu eixo de rotação. A velocidade tangencial de rotação depende da latitude do observador, sendo a velocidade máxima obtida para um observador situado no equador, resulta em aproximadamente v e = 0,465 Km/s. Obtém-se para a constante de aberração diária o valor de: [Hatschbach, 1975]: K d = 0,213s cos A correção da aberração se faz com rigor interpondo-se nela o efeito relativístico especial, onde a velocidade da luz é constante em movimento num referencial estacionário, utiliza-se a formula de Lorentz para adição de velocidades. [Seildemann, 1992]. 8. MOVIMENTO PRÓPRIO DAS ESTRELAS O movimento próprio intrínseco das estrelas é de difícil determinação, pois exige que todas as correções discutidas anteriormente sejam aplicadas a uma estrela neste processo. Assim se a posição catalogada de uma estrela numa determinada época e comparada com uma observada e corrigida em outra, a diferença de posição pelos dois processos é admitida como sendo oriunda de 30

31 movimentos da estrela. Este movimento pode ser atribuído a deslocamentos desta estrela em relação a outras do universo, e ao movimento do sistema solar em relação às estrelas. O movimento próprio é geralmente decomposto em duas componentes uma radial, isto é, na direção observador estrela e outra transversal que é normal a aquela direção. A componente radial pode ser determinada pelo efeito Doppler, enquanto que a tangencial é mais usada na astrometria para a posição da estrela num sistema de coordenadas. A componente tangencial é decomposta em duas componentes uma em ascensão reta e outra em declinação. A unidade de medida da velocidade radial em ascensão reta no FK5 é s/sec (segundos de tempo por século) e da velocidade radial em declinação /sec ( segundos de arco por século). A velocidade radial com que uma estrela se desloca é também tabelada no FK5, denominada de velocidade radial. 9. DEFLEXÃO GRAVITACIONAL DA LUZ Este fato foi previsto por Einstein e confirmado pela primeira vez fotograficamente no eclipse de 1919 pelas expedições de Greenwich e Cambridge. Foi medida muitas vezes e com alta precisão na atualidade com radio interferometria que podem observar fontes muito próximas do Sol. A deflexão aumenta a medida que o raio visual proveniente da estrela se aproxime do Sol. O algoritmo para o cálculo da deflexão gravitacional da luz é fornecido pelo Astronomical Almanac (1984). No caso de estrelas somente o efeito gravitacional causado pelo Sol é considerado, desprezando-se o mesmo efeito causado pelos demais planetas do sistema solar. Detalhes sobre a dedução das expressões utilizadas neste trabalho podem ser obtidos em Seidelmann (1992). 10. MOVIMENTOS DOS PÓLOS A rotação da Terra é representada pelo movimento diurno em torno de um eixo de referência o qual apresenta movimentos com respeito a um sistema inercial que é representado pelas teorias da precessão e nutação. Em outras palavras o eixo de rotação além de apresentar um movimento em relação às estrelas já estudado anteriormente, apresenta outro em relação ao próprio corpo da Terra. O eixo de rotação não coincide com o eixo de figura da Terra (eixo principal de inércia), mas move-se lentamente com respeito a um sistema terrestre de referência, movimento este conhecido como movimento dos pólos. A amplitude máxima desse movimento é da ordem de 0,3, o que corresponde a um deslocamento sobre a superfície da Terra da ordem de 9m, seus principais períodos são: 365 dias e 428 dias. O movimento é afetado por forças geofísicas não previsíveis e são determinadas por observações estelares, radio fontes, VLBI e laser. 31

32 Assim o pólo e o meridiano origem (Greenwich) são definidos num sistema de coordenadas terrestre realizado pela adoção de um conjunto de coordenadas fornecidas por instrumentos que são utilizados para determinar o movimento dos pólos e o tempo universal (TU) a partir de observações astronômicas. O pólo neste sistema é denominado de CIO (origem internacional convencional). O IERS (Serviço Internacional de Rotação da Terra), publica mensalmente as coordenadas x e y do denominado pólo das efemérides celestes num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com origem no CIO e com eixos x ao longo da tangente ao mediano de Greenwich e o eixo y ao longo da tangente ao meridiano 270 o (90 o W) e são fornecidas na unidade de segundos de arco. O movimento dos pólos causa variações na distância zenital, no azimute, na latitude e na longitude terrestres determinadas por observações astronômicas. As variações da latitude e da longitude causadas pelo movimento dos pólos é fornecida pelas expressões: e, = x cos m -y sen m = (x sen m + y cos m) tg m e o índice m representando valores médios. 11. CALCULO DAS COORDENADAS APARENTES DE UMA ESTRELA Os procedimentos para calcular a posição aparente de uma estrela do Catalogo Fundamental é explicitada por Lederle et al (1984), sugerido e adotado pela IAU a partir de A partir do artigo descrito, foram efetivados programas que permite a partir do conhecimento das denominadas coordenadas equatoriais médias de uma estrela, isto é, a ascensão reta e a declinação determinadas por observações astrométricas para o dia 01 de janeiro de 2000 as 12h TU (J2000,0), que seja possível por cálculo a obtenção das coordenadas equatoriais corrigidas dos efeitos discutidos neste trabalho e alguns de menor efeito para o instante da observação denominadas de coordenadas equatoriais aparentes de uma estrela. As principais recomendações da União Astronômica Internacional a partir de 1984, são as seguintes [Lederle, et al., 1984]: a) O FK5 representa o sistema fundamental realizado em uso a partir desta data; b) O ponto vernal, origem da contagem das ascensões retas será definido em função de correções a serem introduzidas nas expressões para o cálculo da hora sideral à 0h TU1; 32

33 c) O Sistema de constantes astronômicas a ser adotado será o IAU 1976, em particular os novos valores para as constantes de precessão, aberração e obliqüidade da eclíptica; d) adotar-se-á a teoria da nutação de IAU 1980; e) a aberração estelar deverá ser calculada a partir da velocidade total da Terra, referida ao baricentro do sistema solar; f) as reduções às posições aparentes de uma estrela deverão ser calculadas de forma rigorosa (incluindo efeitos relativísticos) e direta sem passagens intermediárias de cálculo. Como exemplo de redução estelar, isto é, a obtenção de coordenadas aparentes de estrelas, adotar-se-á neste trabalho o explicitado no The Astronomical Almanac [1996], como formulários e métodos páginas B39 e B40. 1) Adota-se o tempo dinâmico baricêntrico igual ao tempo dinâmico terrestre [Nadal, 1998]; 2) Obtém-se as posições baricêntricas da Terra E B em unidades astronômicas e a velocidade baricêntrica da Terra V B em unidades astronômicas por dia, para o instante t, correspondente ao instante TDT. A direção baricêntrica de uma estrela é dada na época J2000, referida ao equador padrão e o ponto vernal J2000,0 pela expressão das coordenadas do vetor: cos o cos o q = sen o cos o sen o onde o e o são a ascensão reta e a declinação para o equador e o ponto vernal correspondentes a J2000,0 (catalogadas no FK5). O vetor m denominado de movimento-espaço das estrelas é espresso em radianos por século pela expressão: - sen o cos o - cos o sen o + v cos o cos o m = - cos o cos o - sen o sen o + v sen o cos o - cos o + v sen o onde, a velocidade radial (v) é expressa em unidades astronômicas por ano (1km/s = 21,095 ua/sec), medida positivamente a partir da Terra. As componentes do movimento próprio da estrela em ascensão reta e em declinação são expressas em radianos por século e a paralaxe expressa em radianos. O vetor posição geocêntrico da estrela para uma determinada época é fornecido pela expressão matricial: P = q + Tm - V B 33

34 É necessário o cálculo da posição heliocêntrica da Terra dada pela expressão vetorial: E = E B - S B onde S B é o vetor posição baricêntrica do Sol no instante t. 3) A posição geocêntrica (p) da estrela, corrigida da deflexão da luz num sistema natural é dada por: p 1 = p + (2 /c 2 E )(e (p.e)p)/(1 + p.e) onde p é um vetor unitário obtido por: p = P/ P já o vetor unitário e é dado por: e = E/ E na expressão de p 1 o ponto indica produto escalar, /c 2 = 9,87 x 10-9 unidades astronômicas. 4) Para o cálculo da direção própria p 2, num sistema inercial geocêntrico, que se move com a velocidade instantânea da Terra (V), tem-se: p 2 = { -1 p 1 + [1 + (p 1.V)/(1+ -1 )]V}/ (1 + p 1.V) onde ou, e, V = V B /c V= 0, V B = (1 V 2 ) 1/2 a velocidade V é expressa em unidades da velocidade da luz. 5) Deve-se na seqüência aplicar o efeito da precessão e da nutação na forma: p 3 = P.N p 2 6) Finalmente deve-se converter coordenadas tridimensionais em coordenadas esféricas pelas expressões: 34

35 p x p 3 = p y p z e, = arctg (p x / p y ) = arcsen (p z ) o quadrante de é determinado pelos sinais de p x e p y. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] BAKOULINE, P., KONONOVITCH E., MOROZ Y. Astromomie Generale,Editions Mir. Moscou., [2] BOCZKO, R. Conceitos de Astronomia. Editora E. Blücher Ltda. São Paulo, [3] CHAUVENET, W. Manual of Spherical and Practical Astronomy. Philaelphia: J.B. Lippincott & Co. London: Trübner & Co. vol. I., CLAUZET, L.B.F. Contribuição ao sistema fundamental de referência catálogos Astrolábio de Valhinhos. Tese de Doutorado, IAG, USP p. [4] GEMAEL C. Introdução à Astronomia Esférica II. Cadernos Técnicos. DAST, UFPr, [5] NADAL, C.A. Determinação da Longitude do Lugar pelo Método de Mayer. Tese de Concurso para Professor Titular. UFPR, [6] NADAL, C. A. Determinação do azimute de uma direção pelo Método das distâncias zenitais absolutas com observações ao Sol. UFPR, p. 35