Distribuição de Probabilidade Discreta

Transcrição

1 Departamento de Física Experimental (Gota de Orvalho em Broto de Bambu) de março de 2014

2 Pro logo Distribuic a o Binomial Gota de Orvalho em Broto de Bambu - Ibiuna Distribuic a o de Probabilidade Discreta

3 Sumário

4 São apresentadas a partir desta as distribuições de probabilidade de interesse em Física:, Distribuição de Poisson e Distribuição de Gauss (Gauβ). A distribuição binomial é geralmente aplicada a experimentos onde há um número pequeno de possíveis eventos. A distribuição de Poisson é apropriada para descrever experimentos cujos eventos são contagens onde os dados representam um certo número de eventos observados por unidade de intervalo. A distribuição de Gauss ou normal descreve as observações aleatórias de uma vasta gama de experimentos. Bambu Classificação científica ou taxinomia (sistema de Karl von Linnée ou Carolus Linnaeus) Reino: Plantae, Superdivisão: Spermatophyta, Divisão: Magnoliophyta, Classe: Liliopsida, Subclasse: Commelinidae, Ordem: Poales, Família: Poaceae, Subfamília: Bambusoideae.

5 Sumário

6 A distribuição binomial se aplica a processos em que os eventos possíveis são exclusivos e exaustivos. Por exemplo: os eventos possíveis quando se lança um dado de seis faces são exaustivos ou acontece uma ou ou não acontece essa face e exaustivos as probabilidades de ocorrer cada face somadas se obtem a unidade. A forma mais simples de deduzir a distribuição binomial é considerar um conjunto de N moedas e se pretende lançando todas as moedas obter n (n < N) faces coroa para cima. No processo, se todas as N moedas estão com coroa para cima tem-se n moedas com coroa para cima, se ocorrer N 1 com face para cima também temos n moedas com coroa, assim até quando ocorrer N n + 1. Conclui-se que o número de permutações possíveis para se obter n moedas com coroa para cima ao lançar N moedas é P m (N, n) = N(N 1)(N 2) (N n + 2)(N n + 1)

7 da Ditribuição Binomial Conclui-se que o número de permutações possíveis para se obter n moedas com coroa para cima ao lançar N moedas é P m (N, n) = N(N 1)(N 2) N(N n + 2)(N n + 1) P m (N, n) = N(N 1) (N n + 1)(N n) 2 1 (N n) 2 1 Expressando a permutação em termos de fatoriais P m (N, n) = N! (N n)!

8 Cálculo da Imagine que se tem três moedas distinguíveis nomeadas A, B e C, e se está interessado em que de quantas formas podemos obter duas moedas com coroa para cima ao lançá-las. As possibilidades de obter duas moedas com coroa para cima pode ser obtida com as associações A e B A e C B e C B e A C e A C e B O total de possibilidades é P m (3, 2) = 3! (3 2)! = 6

9 Imagine, agora, que se tem quatro moedas distinguíveis nomeadas A, B, C e D, e se está interessado em que de quantas formas podemos obter duas moedas com coroa para cima ao lançá-las. As possibilidades de obter duas moedas com coroa para cima pode ser obtida com as associações O total de possibilidades é A e B A e C A e D B e C B e D C e D P m (4, 2) = B e A C e A D e A C e B D e B D e C 4! (4 2)! = 12

10 Imagine que se tem três moedas indistinguíveis e se está interessado em que de quantas formas podemos obter duas moedas com coroa. As possibilidades de obter duas moedas com coroa para cima pode ser obtida com as associações O total de possibilidades é A e B A e C Cálculo da B e C C(3, 2) = P m(3, 2) 2! = 4! (3 2)!2! = 3

11 Imagine que as quatro moedas são indistinguíveis e se está interessado em que de quantas formas podemos obter duas moedas com coroa. As possibilidades de obter duas moedas com coroa para cima pode ser obtida com as associações O total de possibilidades é A e B A e C A e D B e C B e D C e D C(4, 2) = P m(4, 2) 2! = 4! (4 2)!2! = 6

12 Pode-se concluir que se forem lançadas N moedas indistinguíveis a possibilidade de acontecer n delas com coroa para cima é C(N, n) = P m(n, n) n! = N! (N n)!n! No caso em que se tenha eventos com probabilidade cada ocorrer de p e q = 1 p, a probabilidade de ocorrer em N tentativas n eventos do primeiro tipo é P N,p (n) = ( ) N p n (1 p) (N n) = n N! (N n)!n! pn (1 p) N n (1)

13 Sumário

14 Vai se demonstrar aqui a propriedade de normalização da distribuição binomial: P N,p (n) = N! (N n)!n! pn (1 p) (N n) = 1 (2) Utilizando a expressão da expansão do binômio r (p + q) r r! = (r z)!z! pz q r z z=0 substituindo q por (1 p), r por N e z por n N! (N n)!n! pn q N n = (p + q) N = [p + (1 p)] N = 1 N = 1

15 Vai-se mostrar que o valor médio da distribuição binomial é µ = Np (3) O valor médio da distribuição binomial é obtido a partir de : µ = N! n (N n)!n! pn (1 p) (N n) (4) como para n = 0 a parcela correspondente da soma é zero escreve-se a soma a partir de n = 1 µ = N! n (N n)!n! pn (1 p) (N n) (5) n=1

16 Fazendo a seguinte substituição no cálculo de µ, equação 5 n n! = 1 (n 1)! e N = (r + 1) (6) µ = r+1 n=1 (r + 1)! (n 1)![r (n 1)]! pp(n 1) (1 p) [r (n 1)] (7)

17 µ = Np (1) Repetindo a equação 7 r+1 (r + 1)! µ = p (n 1)![r (n 1)]! p(n 1) (1 p) [r (n 1)] (5) n=1 substituindo agora (n 1) por z e r! por (r + 1)r! nessa equação, obtêm-se r r! µ = p(r + 1) (r z)!z! pz (1 p) (r z) (8) z=0 = p(r + 1) r z=0 r! (r z)!z! pz (1 p) (r z) = p(r + 1)[p + (1 p)] r = p(r + 1) = Np

18 Agora calculando a variância da distribuição binomial = σ 2 = σ 2 = Np(1 p) (9) (n µ) 2 N! (N n)!n! pn (1 p) N n (10) (n 2 2nµ + µ 2 N! ) (N n)!n! pn (1 p) N n = n 2 N! (N n)!n! pn (1 p) N n (11) N! 2nµ (N n)!n! pn (1 p) N n + µ 2 N! (N n)!n! pn (1 p) N n

19 Calculando o primeiro termo da equação 11 n 2 N! (N n)!n! pn (1 p) N n (12) substituindo n 2 por (n 1 + 1)n na equação 12 = N! (n 1 + 1)n (N n)!n! pn (1 p) N n N! (n 1)n (N n)!n! pn (1 p) N n N! + n (N n)!n! pn (1 p) N n (13)

20 tomando o primeiro termo da equação 13 N! (n 1)n (N n)!n! pn (1 p) N n (14) lembrando que as parcelas para n = 0 e n = 1 pode-se escrever que N! = (n 1)n (N n)!n! pn (1 p) N n (15) n=2 usando agora o fato de que n=2 (n 1)n n! reescrevendo a equação Paulo R. 17Pascholati = 1 (n 2)! (16) N! (n 2)!(N n)! pn (1 p) N n (17)

21 reescrevendo a equação 17 n=2 N! (n 2)![(N 2) (n 2)]! pn (1 p) N n (19) substituindo n 2 por z e N por s + 2 na equação 19 s (s + 2)! z!(s z)! pz+2 (1 p) (s+2) (z+2) (20) z=0 = s z=0 (s + 2)(s + 1)s! p z+2 (1 p) s z z!(s z)! = (s + 2)(s + 1)p 2 s z=0 s! z!(s z)! pz (1 p) s z (21)

22 Usando a propriedade de normalização, equação 2, na equação 21 = (s + 2)(s + 1)p 2 = N 2 p 2 Np 2 o primeiro termo da equação 13 resulta em N! (n 1)n (N n)!n! pn (1 p) N n = N 2 p 2 Np 2 (13 )

23 O segundo termo da equação 13 é a média da distribuição binomial µ = N! n (N n)!n! pn (1 p) n = Np (22) assim a equação 13 se torna N! (n 1)n (N n)!n! pn (1 p) n + N! n (N n)!n! pn (1 p) n = N 2 p 2 Np 2 + Np (12 )

24 Calculando o segundo termo da equação 11 N! 2nµ (N n)!n! pn (1 p) n (23) = 2µ N! n (N n)!n! pn (1 p) n = 2µNp = 2NpNp N! 2nµ (N n)!n! pn (1 p) n = 2(Np) 2 (24)

25 Calculando o terceiro termo da equação 11 µ 2 N! (N n)!n! pn (1 p) n = µ 2 = (Np) 2 (25)

26 Finalmente, a equação 11 se torna σ 2 = (n 2 2nµ + µ 2 N! ) (N n)!n! pn (1 p) n (9) = N 2 p 2 Np 2 + Np 2(Np) 2 + (Np) 2 = Np 2 + Np A variância é e o desvio padrão é σ 2 = Np(1 p) (26) σ = Np(1 p) (27)

27 Sumário

28 Distribuição binomial ( N P N,p (n) = n ) p n (1 p) (N n) = N! (N n)!n! pn (1 p) N n (1) da distribuição binomial N! P N,p (n) = (N n)!n! pn (1 p) (N n) = 1 (2) da distribuição binomial N! µ = n (N n)!n! pn (1 p) (N n) = Np (3 ) da distribuição binomial σ 2 = Np(1 p) (9) Desvio padrão da distribuição binomial σ = Np(1 p)