UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA EMANUEL DOS SANTOS SOUZA JÚNIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA EMANUEL DOS SANTOS SOUZA JÚNIOR SIMULAÇÃO, EM AMBIENTE COMPUTACIONAL, DO MÉTODO DE WENNER E OBTENÇÃO DA RESISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO USANDO FDTD. DM 8/007 UFPA / ITEC / PPGEE CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ BELÉM-PARÁ-BRASIL 007 ii

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA EMANUEL DOS SANTOS SOUZA JÚNIOR SIMULAÇÃO, EM AMBIENTE COMPUTACIONAL, DO MÉTODO DE WENNER E OBTENÇÃO DA RESISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO USANDO FDTD. Dissertação de Mestrado apresetada ao Programa de Pós-graduação em Egeharia Elétrica da Uiversidade Federal do Pará, como parte dos requisitos ecessários para a obteção do título de Mestre em Egeharia Elétrica. Área de cocetração: Telecomuicações. Orietador: Prof. Dr. Carlos Leoidas da S. S. Sobriho. UFPA / ITEC / PPGEE CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ BELÉM-PARÁ-BRASIL 007 iii

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA SIMULAÇÃO, EM AMBIENTE COMPUTACIONAL, DO MÉTODO DE WENNER E OBTENÇÃO DA RESISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO USANDO FDTD. AUTOR: EMANUEL DOS SANTOS SOUZA JR DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA À AVALIAÇÃO DA BANCA EXAMINADORA APROVADA PELO COLEGIADO DO PROGRAMA DE PÓS- GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ E JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA ELÉTRICA NA ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES. APROVADA EM: /09/007 BANCA EXAMINADORA: Prof. Dr. Carlos Leoidas da S. S. Sobriho (UFPA/DEEC) (Orietador) Prof. Dr Rubem Goçalves Farias (UFPA/DEEC) (Membro) Prof. Dr. Roaldo Oliveira dos Satos (IESAM) (Membro) Prof. Dr. José Felipe Almeida (IESAM) (Membro) Visto: Prof. Dr. Evaldo Goçalves Pelaes Coordeador do PPGEE/CT/UFPA iv

4 Dedico este trabalho a miha esposa, Maísa Vale, pela compreesão, paciêcia acima de tudo, apoio e dedicação oferecidos. A meus irmãos, Adrea e Ricardo, pelo compaheirismo. A meus pais, Emauel e Osmaria, pela cofiaça e total apoio que sempre demostraram ao logo de toda miha vida. v

5 AGRADECIMENTOS Agradecer depois da realiação de uma obra é sempre algo compleo, pois cada obra se realia a partir do trabalho de muitas mãos visíveis, que os auiliam diretamete, e de várias mãos ivisíveis, que, de forma idireta, também ela colaboram. Quero iiciar agradecedo a todas as mãos que ão é possível omear, mas com certea faem parte da teia da vida e se fieram presetes e ecessárias a realiação desta pesquisa. Ao professor Dr. Carlos Leoidas Sobriho, pela ecelêcia a orietação e dedicação dispesadas para a realiação deste trabalho. Além dos esiametos, cotribuições e seguraça trasmitida, fatores fudametais ão só para a realiação desta dissertação, mas também para miha formação profissioal. Aos meus pais, Emauel Soua e Osmaria Soua, por seu amor e sabedoria em miha educação e pela cofiaça as mihas aveturas em busca do cohecimeto. Aos meus irmãos e cuhados, Adrea e Ricardo, Márcio e Welligto, pelo icetivo e compreesão com miha paião pelo cohecimeto, que muitas vees me afasta de todos. Ao LANE (Laboratório de Aálise Numéricas e Eletromagetismo da Uiversidade Federal do Pará), pela dispoibilidade de utiliação de recursos computacioais. Aos amigos do LANE Laboratório de Aálise Numérica e Eletromagetismo (Yuri, Mota, Josivaldo e Tuma), dirijo meus siceros agradecimetos pela ajuda, icetivo e pelos bos mometos que passei com vocês detro e fora do laboratório.. Ao amigo Rodrigo, muito obrigado pelo apoio e pelas valiosas coversas e orietações. A todos os professores, amigos e colegas do curso de pós-graduação que direta ou idiretamete cotribuíram para a realiação desta dissertação. A miha esposa Maísa Vale, pelo cariho, estímulo e preseça costate. A Deus, criador de todas as coisas, pela miha vida, iteligêcia, saúde, cosolo, força e esperaça em todos os mometos, fatores idispesáveis para o sucesso deste trabalho. vi

6 Todo camiho que trilhamos pela primeira ve é muito mais logo e difícil do que o mesmo camiho quado já o cohecemos. Thomas Ma vii

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... ii LISTA DE TABELAS... iv LISTA DE SÍMBOLOS... v LISTA DE ABREVEATURAS E SIGLA... vii RESUMO... viii ABSTRACT... i CAPÍTULO I INTRODUÇÃO... TRABALHOS PUBLICADOS EM CONFERÊNCIAS... 4 REFERÊNCIAS... 5 CAPÍTULO II CONCEITOS GERAIS SOBRE SISTEMAS DE ATERRAMENTO INTRODUÇÃO ATERRAMENTO ELÉTRICO OBJETIVOS DO SISTEMA DE ATERRAMENTO PRINCIPAIS ELEMENTOS DE UM SISTEMAS DE ATERRAMENTO RESISTIVIDADE DO SOLO Composição Geológica Umidade Composição Química (Saliidade) Temperatura....6 ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO MEDIÇÃO BÁSICA DA RESISTIVIDADE DO SOLO Critérios para Medição Método de Weer Escolha do Local a ser Efetuada a Medição Números de Potos a Serem Medidos CRITÉRIOS DE SEGURANÇA PARA UM SISTEMA DE ATERRAMENTO 8.8. Seguraça Pessoal Tesão de Toque Tesão de Passo Resistêcia de Aterrameto (Método Volt-Amperímetro)... 9 viii

8 .9 CONCLUSÕES... 0 REFERÊNCIAS... CAPÍTULO III O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO OU MÉTODO FDTD INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei de Gauss para o Campo Elétrico Lei de Gauss para o Campo Magético Lei de Farada Lei de Ampère Lei de Gauss a Forma Itegral (Para o Campo Elétrico) Lei de Gauss a Forma Itegral (Para o Campo Magético) Lei de Farada a Forma Itegral Lei de Ampère a Forma Itegral CONDIÇÕES DE CONTORNO Elétrica Magética FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA ALGORITMO DE YEE PRECISÃO E ESTABILIDADE CONCLUSÕES REFERÊNCIAS... 4 CAPÍTULO IV CONDIÇÕES DE CONTORNO ABSORVENTES (ABC) INTRODUÇÃO CAMADA PERFEITAMENTE CASADA (PML) CONCLUSÕES REFERÊNCIAS CAPÍTULO V PROCESSAMENTO PARALELO INTRODUÇÃO OBJETIVO E CONCEITO DE PROCESSAMENTO PARALELO O QUE SE PRECISA SABER i

9 5.4 TIPOS DE PROCESSAMENTO PARALELO Processameto Paralelo com Swar (Simd With a Register) Processameto Paralelo com Smp (Smetric Multi Processor) Processameto Paraleo com Cluster Beowulf BIBLIOTECAS PARA DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS UTILIZANDO PROCESSAMENTO PARALELO PROCESSOS THREADS PVM (PARALLEL VIRTUAL MACHINE) MPI (MESSAGE PASSING INTERFACE) PARALELISMO E O MÉTODO FDTD CONCLUSÕES REFERÊNCIAS CAPÍTULO VI RESULTADOS INTRODUÇÃO CONFIGURAÇÃO DO SOFTWARE LANESAGS ANÁLISE DO SOLO DE UMA CAMADA (SOLO HOMOGÊNEO) PELO MÉTODO DE WENNER Simulação da Resistividade do Solo Homogêeo para os Afastametos (a) de,, 4, 8 e 6m etre as Hastes ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO DE DUAS CAMADAS PELO MÉTODO DE WENNER Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de 4m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de 6m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de 8m etre Hastes

10 6.4.6 Simulação da Resistividade do Solo de Duas Camadas para um Afastameto (a) de 6m etre as Hastes Comparação etre os Resultados Obtidos pelo Modelo Aalítico e pelo Método FDTD ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO DE TRÊS CAMADAS PELO MÉTODO DE WENNER Simulação da Resistividade do Solo de Três Camadas para um Afastameto (a) de m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Três Camadas para um Afastameto (a) de m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Três Camadas para um Afastameto (a) de 4m etre as Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Três Camadas para um Afastameto (a) de 8m etre Hastes Simulação da Resistividade do Solo de Três Camadas para um Afastameto (a) de 6m etre as Hastes Comparação etre os Resultados Obtidos pelo Modelo Aalítico e pelo Método FDTD SIMULAÇÃO DO MÉTODO VOLT-AMPERÍMETRO Obteção da Resistêcia de Aterrameto para uma Haste... Vertical OBTENÇÃO DA RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO PARA UMA MALHA TIPO QUADRADO VAZIO CONCLUSÕES... 9 REFERÊNCIAS... 9 i

11 LISTA DE FIGURAS Fig.. Represetação de um sistema de aterrameto simples (um eletrodo)... 7 Fig.. Efeito da umidade a resistividade do solo... Fig..3 Efeito da temperatura a resistividade do solo... Fig..4 Cofiguração das hastes usadas o método de Weer... 5 Fig..5 Imagem do poto e Fig..6 Curva da resistividade de aterrameto... 9 Fig. 3. Codições de cotoro etre dois meios diferetes: a) elétrica b) magética... 3 Fig. 3. Codições de cotoro: a) codutor elétrico b) codutor magético perfeito... 3 Fig. 3.3 Estimativa da derivada de () o poto P, usado difereça fiita à direita, à... esquerda e cetral... 3 Fig. 3.4 Posição das compoetes de campo para uma célula estruturada de Yee Fig. 3.5 Visualiação das compoetes de campo as faces das células primárias e... secudárias de Yee Fig. 4. PML circudado uma malha bidimesioal Fig. 5. Troca de compoetes de campo etre dois subdomíios utiliado a... biblioteca MPI (plao -) Fig. 6. Iterface gráfica do software LANESAGS Fig. 6. Forma de oda do pulso de tesão aplicado (Fote de ecitação) Fig. 6.3 a) Solo homogêeo ou de uma camada, b) estrutura dos eletrodos istalada Fig. 6.4 Estrutura de aálise, utiliado-se do método de Weer, para um solo... homogêeo Fig. 6.5 Curvas das resistividades para diversos afastametos, em um solo homogêeo 7 Fig. 6.6 a) Solo estratificado em duas camadas, b) estrutura dos eletrodos istalada Fig. 6.7 Resistividade ecotrada via simulação para a = m Fig. 6.8 Distribuição vetorial da correte o plao - (a = m) Fig. 6.9 Resistividade ecotrada via simulação para a = m Fig. 6.0 Resultado da simulação do método de Weer para um a = 4m Fig. 6. Resultado da simulação para um a = 6m Fig. 6. Resultado da simulação para um a=8m Fig. 6.3 Resultado da simulação para um a=6m Fig. 6.4 Gráficos de Resistividade: Comparação etre os Métodos FDTD e Aalítico... para um solo de duas camadas Fig. 6.5 a) Solo estratificado em três camadas, b) estrutura dos eletrodos istalada ii

12 Fig. 6.6 Estrutura de aálise, utiliado-se do método de Weer, para um solo de três camadas Fig. 6.7 Resistividade ecotrada via simulação para a = m... 8 Fig. 6.8 Comportameto do campo elétrico o plao - após 3.56 iterações... 8 Fig. 6.9 Comportameto do campo magético o plao - após 3.56 iterações... 8 Fig. 6.0 Resistividade ecotrada via simulação para a = m Fig. 6. Resistividade ecotrada via simulação para a = 4m Fig. 6. Resistividade ecotrada via simulação para a=8m Fig. 6.3 Resultado ecotrado via simulação para a=6m Fig. 6.4 Gráficos de Resistividade: Comparação etre os Métodos FDTD e Aalítico para um solo de três camadas Fig. 6.5 Represetação do método volt-amperímetro Fig. 6.6 Estrutura de aálise para obteção da resistêcia de uma haste vertical Fig. 6.7 Curva da Resistêcia de Aterrameto para uma haste de 3,00 m de comprimeto e 59,0 mm de raio obtida via o método FDTD Fig. 6.8 Curva da Resistêcia de Aterrameto para uma haste de 3,00 m de comprimeto e,7 mm de raio obtida via o método FDTD Fig. 6.9 Estruturas de aálise para obteção da resistêcia de uma malha tipo quadrado vaio Fig Curva da Resistêcia de Aterrameto para uma malha tipo quadrado vaio com 8 hastes, obtida via o método FDTD iii

13 LISTA DE TABELA Tabela. Fatores que afetam a resistividade do solo... 9 Tabela. Resistividade para diferetes solos... 0 Tabela.3 Ifluêcia da composição química a resistividade do solo... 0 Tabela 6. Comparação etre os resultados (solo homogêeo)... 7 Tabela 6. Comparação etre os resultados (solo de duas camadas) Tabela 6.3 Comparação etre os resultados (solo de três camadas) iv

14 LISTA DE SÍMBOLOS ρ a h R dl ds dv ε ε r ε 0 E H ρ v D Resistividade do Solo Afastameto Etre Hastes Profudidade da Haste Resistêcia de Aterrameto Operador Nabla Operador Diferecial Elemeto de Comprimeto Elemeto de Área Elemeto de Volume Permissividade Elétrica do Meio Permissividade Elétrica Relativa do Meio Permissividade Elétrica Absoluta o Vácuo Vetor Itesidade do Campo Elétrico Vetor Itesidade do Campo Magético Desidade Volumétrica Vetor Desidade de Fluo Elétrico µ Permeabilidade Magética do Meio µ Permeabilidade Magética Relativa do Meio r µ Permeabilidade Magética Absoluta o Vácuo 0 J σ t c λ i,j,k s i E Desidade de Correte Elétrica Codutividade Elétrica Icremeto de Tempo Velocidade da Lu o Meio Comprimeto de Oda Espesura da PML Icremetos Espaciais as Direções, e Dimesão da Célula de Yee a Direção Dimesão da Célula de Yee a Direção Dimesão da Célula de Yee a Direção Dimesão Geral da Célula de Yee Compoete Cotravariate do Campo Elétrico v

15 i H E i H i (,, ) / i H i j k Compoete Cotravariate do Campo Magético Compoete Covariate do Campo Elétrico Compoete Covariate do Campo Magético Compoete cotravariate do campo magético o istate atual (,, ) / i H i j k Compoete cotravariate do campo magético o istate passado (,, ) i E i j k (,, ) i E i j k i (,, ) / Compoete cotravariate do campo elétrico o istate atual Compoete cotravariate do campo elétrico o istate passado H i j k Compoete covariate do campo magético o istate atual i (,, ) / H i j k i (,, ) E i j k E( i, j, k) i [ S ] Compoete covariate do campo magético o istate passado Compoete covariate do campo elétrico o istate atual Compoete covariate do campo elétrico o istate passado Tesor uiaial s, s, s Compoetes do Tesor Diagoal vi

16 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MRT FDTD LANESAGS LANE DEEC UFPA U-PML PML PEC OPeGL ABC GID SWAR SMP PVM MPI Moofásico com Retoro Pela Terra Fiite Differece Time Domai Software de Aálise e Sítese de Sistema de Aterrameto Laboratório de Aálise Numérica em Eletromagetismo Departameto de Egeharia Elétrica e da Computação Uiversidade Federal do Pará Uiaial Perfectl Matched Laer Perfectl Matched Laer Perfect Eletrical Coductor Ope Graphic Librar Codição de Cotoro Absorvete Geometr Iterface Data Simd With a Register Smetric Multi Processor Parallel Virtual Machie Message Passig Iterface vii

17 RESUMO Este trabalho apreseta uma ova metodologia computacioal, para a comprovação das práticas de estratificação do solo, pelo método de Weer e o cálculo da resistêcia de terra pelo método Volt-Amperímetro. Esta metodologia permite ao projetista de sistema de aterrameto avaliar com precisão o seu desempeho e propor soluções que melhor atedam aos requisitos de ecoomia e seguraça. A base de cálculo que relacioam os campos elétricos e magéticos são as equações difereciais de Mawell, que embora cocisas e muito elegates, são de difícil resolução em problemas reais de egeharia. Isso se deve ao fato de, os casos reais, a resolução ser um domíio cotíuo e de geometria complea. O método FDTD trasforma essas equações difereciais, o domíio cotíuo, em equações algébricas através da discretiação do domíio em estudo, essa trasformação em equações algébricas em todo domíio discretiado leva a um sistema matricial de grades dimesões (deeas a ceteas de milhares de lihas e coluas), o qual, uma ve resolvido, codu aos resultados pretedidos as quais são escritas em um sistema de coordeadas gerais e resolvidas umericamete. No método FDTD emprega-se técicas uméricas de mapeameto de campo para a determiação dos campos elétrico e magético, o que permite o cohecimeto da difusão de correte ao logo do volume estudado. A região de ifluêcia do aterrameto (domíio de aálise) é dividida em pequeos elemetos de volume a forma de heaedros, possibilitado o cálculo dos campos em suas faces. Um trabalho de pósprocessameto permite mapear os campos e a distribuição de corretes por todo o domíio. Como resultado são obtidos os valores de tesão, correte e da resistêcia de terra em todo o volume. O código computacioal utiliado para modelar o problema da resistêcia de um sistema de aterrameto e simulação do método de Weer, foi desevolvido em FORTRAN e implemetado para ser eecutado utiliado-se computação paralela em cluster tipo Beowulf de 0 ós ode os resultados foram comparados com os métodos aalíticos que já eiste a literatura e são apresetados o capítulo VI. Palavras-Chave: Weer, resistêcia de aterrameto, computação paralela, FDTD. viii

18 ABSTRACT This work presets a ew computatioal methodolog, for the attestig practices of soil beddig b the method of Weer ad the calculatio of earth resistace b method Volt-ammeter. This methodolog allows the groudig plaer sstem evaluate his actig accuratel ad propose solutios that assist the requiremets of ecoom ad safet. The calculatio base that relates the electric ad magetic fields is the differetial equatios of Mawell, which, although cocise ad ver elegat, are from difficult resolutio i real problems of egieerig. That is due to the fact that, i the real cases, the resolutio is i a cotiuous domai ad of comple geometr. The method FDTD trasforms these differetial equatios, at cotiuous domai, i algebraic equatios through the domai divisio i stud. This trasformatio i algebraic equatios i the whole divided domai takes to a pricipal sstem of great dimesios (does to hudreds of thousads of lies ad colums), which, oce resolved, it leads to the iteded results that are writte i a sstem of geeral coordiates ad resolved umericall. I the method FDTD are used umeric field map techiques for determiatio of electric ad magetic fields, which allows the kowledge of curret diffusio alog the studied regio. The regio of groudig ifluece (aalsis domai) is divided i small cells i the form of heahedros, makig possible the calculatio of the fields i their faces. A powder-processig work allows mappig the fields ad currets distributio for the whole domai. As result, are obtaied tesio, curret ad groudig resistace values i the whole aalsis domai. The code computacioal used to model the resistace problem of a groudig ad simulatio of the method of Weer, was developed i FORTRAN ad implemeted to be eecuted usig parallel computatio i cluster tpe Beowulf 0 kots, where the results were compared with aaltical methods that alread eist i the literature ad are preseted i the chapter VI. Keword - Weer, groudig resistace, parallel computatio, FDTD. i

19 S79s Soua Júior, Emauel dos Satos Simulação, em ambiete computacioal, do método de Weer e obteção da resistêcia de um sistema de aterrameto usado FDTD; orietador, Carlos Leôidas da Silva Soua Sobriho Mestrado (Dissertação) Uiversidade Federal do Pará, Istituto de Tecologia, Programa de Pós-Graduação em Egeharia Elétrica, Belém, 007..Lihas elétricas subterrâeas simulação por computador.. Difereças fiitas. 3. Processameto paralelo (computadores). I. Título. CDD. ed

20 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Aterrameto elétrico, certamete, é um assuto que gera um úmero eorme de dúvidas quato às ormas e procedimetos o que se refere ao ambiete elétrico. Como o assuto é de relativa compleidade, muitas vees, o descohecimeto das técicas para realiar um aterrameto eficiete, ocasioa a queima de equipametos, ou pior, o choque elétrico os operadores desses sistemas. O que se tem observado é que embora os métodos apresetados a literatura foreçam resultados que coicidam com aqueles observados a prática, para quem trabalha com sistemas de proteção, dúvidas são ieretes acerca do assuto []. Estudos específicos se faem ecessários pricipalmete pela istalação, cada ve mais freqüetes, de sistemas de aterrameto detro de áreas urbaas e a utiliação cada ve maior de sistemas rurais moofásicos com retoro pela terra (MRT), ode se eige um sistema de aterrameto mais refiado, portato é salutar o estudo detalhado desse assuto para garatir a seguraça das pessoas, tato dos operadores quato do usuário, como também o bom fucioameto dos equipametos coectados a eles. A escolha de um sistema de aterrameto adequado deve ser baseada em aálises técico-ecoômica globais, em que sejam determiadas as vatages e desvatages de cada tipo de sistema possível de ser costruído, à lu das características específicas da região a ser istalado o sistema de aterrameto. Com isso, quado se pretede buscar um baio valor da resistêcia de aterrameto, podem-se evitar erros primários, como, por eemplo, utiliar hastes profudas em solos com seguda camada de resistividade maior que a primeira []. Nessa situação de solo, um caso mais etremo, tem-se a situação de istalar hastes em solo com uma camada de baia resistividade, o qual melhor seria istalar cabos horiotais. Aalogamete, outro caso comum, é quado do cravameto de muitas hastes curtas um solo ode a camada meos resistiva ecotrase a uma profudidade maior, ode melhor seria partir para o uso de hastes profudas ou em último caso o tratameto do solo com gel. Os sistemas de aterrameto, bem como diversos feômeos físicos que são de iteresse da egeharia, como por eemplo: trasmissão de calor, deformação de

21 estruturas, escoameto de fluidos, etc. são regidos por equações itegro-difereciais, e em particular a egeharia elétrica, as equações difereciais são as equações de Mawell, as quais descrevem o comportameto do campo eletromagético. As equações de Mawell, formuladas em 865 [3], represetam uma uificação fudametal dos campos elétricos e magéticos a solução de problema relacioados ao feômeo de propagação das odas eletromagéticas. Atualmete, egeheiros e cietistas, do mudo iteiro utiliam computadores que variam desde um simples desktop até máquias com capacidade para processameto maciçamete paralelo [4], a fim de obter soluções das equações de Mawell para propósitos de ivestigação eletromagética de guias de oda, radiação e feômeos de espalhameto. A utiliação do método FDTD [5,6] a solução das equações de Mawell o domíio do tempo, é salutar, uma ve que é uma ferrameta que os dá acesso a grades iovações que vão desde a tecologia de telefoes celulares, passado por laser, circuitos lógicos e propagação de corretes em meios codutores, sedo o último, aplicado de forma itesa a elaboração deste trabalho. Por cota da ecessidade dos sistemas de aterrameto e da compleidade dos feômeos relacioados a estes, o método FDTD é importate, pois possibilita obter diversas iformações com apeas uma simulação. Tais iformações podem ser o campo eletromagético em si (em todos os potos do domíio e em todos os istates de tempo), corretes, tesões, visualiação de campo, etc, as quais os possibilitam ter um amplo etedimeto dos feômeos eletromagéticos evolvidos, os quais surgem aturalmete a solução do problema e são fuções das codições de cotoro impostas. Dessa forma, a proposta cetral desta dissertação é a utiliação do ambiete computacioal LANESAGS [7] para realiar simulações eletrodiâmicas do fucioameto de um terrômetro cosiderado-se a situação em que o mesmo opera com quatro termiais, que é o caso do uso do método de Weer [] para a obteção da estratificação do solo e a situação em que o terrômetro opera com três termiais. Neste caso, usa-se a técica do patamar para a determiação da resistêcia de terra de um sistema de aterrameto. O LANESAGS é um ambiete computacioal desevolvido o Laboratório de Aálise Numérica em Eletromagetismo (LANE)-DEEC/UFPA com o patrocíio da Eletroorte. Este ambiete foi desevolvido partido-se da solução umérica das equações difereciais de Mawell o domíio do tempo. O domíio umérico foi trucado usado-se a técica U-PML. Para facilitar a comuicação do

22 usuário com o software desevolveu-se uma iterface a liguagem JAVA, ode todos os dados relativos à etrada e a saída do programa são dispoibiliados através da mesma, e para a costrução do ambiete usou-se o OPeGL. Vale ressaltar que o software apreseta a facilidade de se represetar um dado codutor através da técica de fio fio de Baba [8]. Dados ão usuais, como a resposta trasitória da relação tesão/correte, a distribuição vetorial de correte o solo, a geração de filme mostrado o comportameto do sistema em tempo real, assim como, gráficos da tesão e correte em fução do tempo, foram obtidos. A adaptação do LANESAGS para este fim resultou em um ambiete específico (simulador) para a simulação das técicas acima mecioadas. O trabalho está orgaiado em sete capítulos, os quais são costituídos dos seguites tópicos: CAPÍTULO I Apresetam-se a itrodução e a orgaiação do trabalho; CAPÍTULO II - São apresetados os coceitos básicos sobre aterrameto elétrico; CAPÍTULO III Trata da solução das equações de Mawell através do Método das Difereças Fiitas o Domíio do Tempo (FDTD); CAPÍTULO IV Formulação para a trucagem do método FDTD: a U-PML; CAPÍTULO V Uma visão sucita, sob o poto de vista de aplicação, sobre o processameto paralelo; CAPÍTULO VI São apresetados os resultados obtidos e comparados com aqueles dispoíveis a literatura; 3

23 TRABALHOS PUBLICADOS EM CONFERÊNCIAS [] Soua Jr, E.S., de Oliveira, R.M.S. e Sobriho, C.L.S.S., "Developmet of a computatioal eviromet for simulatig the Weer s method ad froud stratificatio", d Iteratioal Coferece o Lightig Phsic ad Effects, Maceió, Brasil, Nov., 006. [] Soua Jr, E.S., de Oliveira, R.M.S. e Sobriho, C.L.S.S., Desevolvimeto de ambiete Computacioal para simulação do Método de Weer, SBMO Simpósio Brasileiro de Microodas e Optoeletrôica e 7 o CBMAG Cogresso Brasileiro de Eletromagetismo (MOMAG), Belo Horiote, Out.,

24 REFERÊNCIAS [] VISACRO Filho, Silvério, Aterrametos Elétricos: Coceitos básicos, Técicas de Medição e Istrumetação, Filosofias de Aterrameto, 3ª. ed., São Paulo: Artliber, 00. v.. [] KINDERMANN, Geraldo, Aterrameto Elétrico, 4 a. ed., Porto Alegre: Sagra Luatto, 998. v. [3] Mawell, James Clerk, "A Damical Theor of the Electromagetic Field", Philosophical Trasactios of the Roal Societ of Lodo 55, (865). [4] Rocha, Joh M.G., CLUSTER BEOWULF: Aspectos de Projeto e Implemetação, Dissertação de Mestrado - Curso de Mestrado em Egeharia Elétrica, Cetro Tecológico, Uiversidade Federal do Pará, Belém, 003. [5] YEE, Kae S., Numerical Solutio of Iitial Boudar Value Problems Ivolvig Mawell`s Equatios i Isotropic Media, IEEE Tras. Ateas ad Propagatio, Vol. AP-4, No. 3, Ma 966, pp [6] TAFLOVE, Alle, ad Susa C. Hagess. Computatio Electrodamics: the Fiite-Differece Time-Domai Method. Artech House, d ed., 000. [7] [8] Y. Baba, N. Nagaoka, A. Ametai, Modelig of thi wires i a loss medium for FDTD simulatios. IEEE Trasactios o Electromagetics Compatibilit, Vol.47, No.,

25 CAPÍTULO II CONCEITOS GERAIS SOBRE SISTEMAS DE ATERRAMENTO. INTRODUÇÃO Este capítulo destia-se à abordagem de algus coceitos referetes ao aterrameto elétrico, características elétricas do solo, critérios de seguraça, aplicações dos sistemas de aterrameto, resistividade do solo, etc, que são de estrema relevâcia ao etedimeto e dimesioameto desses sistemas. Esses coceitos servem de subsídios para verificar a efetividade desses sistemas, quado submetidos a testes periódicos a fim de verificar possíveis alterações e gerar correções ecessárias, ou para o projeto de proteção para as pessoas e equipametos. Daí a grade importâcia que têm tais coceitos.. ATERRAMENTO ELÉTRICO O termo aterrameto se refere a um equipameto ou sistema elétrico coectado a terra propriamete dita ou a uma grade massa que se utilia em seu lugar. Quado se fala que algo está aterrado, quer-se dier etão que, pelo meos, um de seus elemetos está propositalmete ligado a terra. Em geral, os sistemas elétricos ão precisam estar ligados a terra para fucioarem e, de fato, em todos os sistemas elétricos são aterrados. Mas, os sistemas elétricos, quado se desigam as tesões, geralmete, elas são referidas a terra. Dessa forma, a terra represeta um poto de referêcia (ou um poto de potecial ero), ao qual todas as outras tesões são refereciadas. A terra, portato, é uma boa escolha como poto de referêcia ero, uma ve que ela os circuda em todos os lugares. Quado alguém esta de pé em cotato com o solo, seu corpo está aproimadamete o potecial da terra. Se a estrutura metálica de uma edificação está aterrada, etão todos os seus compoetes metálicos estão aproimadamete o potecial de terra (para baias freqüêcias e pequeas distâcias). 6

26 Ao cojuto de eletrodos, barrametos e codutores de terra iterligados permaetemete, formado uma baia resistêcia em associação com o solo, deomia-se sistema de aterrameto e estes são costituídos basicamete de três compoetes (veja a Figura.): As coeões elétricas que ligam um poto do sistema aos eletrodos; Eletrodos de aterrameto; Terra que evolve os eletrodos. Fig... Represetação de um sistema de aterrameto simples (um eletrodo)..3 OBJETIVOS DO SISTEMA DE ATERRAMENTO Aterrar os sistemas, ou seja, ligar itecioalmete a carcaça de um equipameto, um codutor fase ou o que é mais comum, o eutro a terra, tem por objetivo cotrolar a tesão detro de limites previsíveis. Esse aterrameto também forece um camiho para a circulação de correte que irá permitir a detecção de uma ligação idesejada etre os codutores vivos e a terra. Isso provocará a operação de dispositivos automáticos que removerão a tesão esses codutores. O cotrole dessas tesões, em relação à terra, limita o esforço da tesão a isolação dos codutores, dimiui as iterferêcias eletromagéticas e permite a redução dos perigos de choque para as pessoas que poderiam etrar em cotato com os codutores vivos. Diate do eposto, os sistemas de aterrameto possuem como pricipais fialidades: Limitar as sobretesões em caso de faltas; Permitir a circulação da correte de falta, com valores mais elevados, ocasioado a atuação das proteções de maeira mais rápida e eficiete; Mater os valores de tesão etre estruturas metálicas e terra detro dos valores cosiderados admissíveis sob o poto de vista de seguraça; 7

27 Proporcioar o devido escoameto de eletricidade estática para a terra; Proporcioar o escoameto para a terra das descargas atmosféricas e/ou sobretesões devidas a maobras de equipametos; Prover baia resistêcia de aterrameto (relação tesão/correte o poto de etrada do eletrodo para o solo). A eficiêcia dos sistemas de aterrameto depede fudametalmete do método de distribuição as estruturas, do sistema de eletrodos usado, da resistividade do solo e de eficiêcia em todas as coeões eistete a malha..4 PRINCIPAIS ELEMENTOS DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO. Detre os elemetos utiliados em um sistema de aterrameto, temos: Eletrodos de terra ou eletrodo vertical Podem ser costituídos dos seguites elemetos; - Aço galvaiado: De uso restrito, devido sofrer corrosão ao logo do tempo aumetado a resistêcia de cotato com o solo. - Aço cobreado: Costituído de uma camada de cobre sobre uma haste de aço dificultado a ação da corrosão. Codutor de aterrameto: É quem estabelece a ligação do equipameto (ou barrameto de terra de um quadro) à malha de terra, e, em geral, são dimesioados da seguite maeira: - Para solos de aturea ácida, pode-se utiliar o codutor de seção míima igual a 6 mm. - Para solos de aturea alcalia a seção míima do codutor é de 5 mm. Num sistema de aterrameto, a resistêcia de terra é obtida cosiderado-se as seguites resistêcias: Resistêcias das coeões eistetes etre os eletrodos de terra (hastes e cabos); Resistêcia relacioada ao cotato etre os eletrodos de terra e o solo em que estão os eletrodos (mais importate); Resistêcia relativa ao solo, quado das radiações dos eletrodos. 8

28 .5 RESISTIVIDADE DO SOLO A característica do solo em determiar a sua resistêcia sob corretes de freqüêcia idustrial ou a sua impedâcia sob corretes de raio, é deomiada resistividade do solo, que é defiida como a resistêcia etre as faces opostas de um cubo de aresta uitária costruído de material retirado do solo, cuja uidade é ohm metro (Ω.m). Vários fatores iflueciam o valor da resistêcia do solo, torado-se idispesável à eecução de medições o local ode será implatado o sistema de aterrameto, obtedo assim o dado mais importate para o projeto de sistema de aterrameto: a resistividade do solo. Diversos fatores têm ifluecia direta o valor da resistividade do solo. A saber, os mais comus são: a composição geológica do solo, a umidade, saliidade, temperatura, compactação e acide. Desta forma, a Tabela. mostra a faia de variação da resistividade como fução dos fatores mecioados, ode a composição geológica tem ifluêcia primordial em relação aos demais fatores. Tabela. Fatores que afetam a resistividade do solo [] FATOR Composição geológica Umidade Saliidade Temperatura FAIXA DE RESISTIVIDADE (Ω.m) De 5 a (Ω.m) De 4 a (Ω.m) De a 07 (Ω.m) De 7 a (Ω.m).5. COMPOSIÇÃO GEOLÓGICA A composição geológica do solo, por mais que seja heterogêea, ão se altera aturalmete em curto prao de tempo. De acordo com sua aturea, a sua resistividade apreseta grades variações e tede a dimiuir os solos mais profudos. Outra correlação pode ser feita com a idade geológica das estruturas do solo. Geralmete, regiões geologicamete mais atigas tedem a ter resistividades maiores. Quado ão se dispõe de medições cofiáveis, pode-se usar a Tabela. que forece a resistividade de diferetes tipos de solo. Para cálculos precisos de 9

29 resistividade de solos, devem-se realiar medições com istrumeto tipo Megger de terra (terrômetro). Tabela. Resistividade para diferetes solos [] NATUREZA DO SOLO Lodo/Limo Húmus Argilas compactadas Areia argilosa Solo pedregoso u Calcário fissurado Calcário compacto Graito e Areito Basalto FAIXA DE RESISTIVIDADE (Ω.m) De 0 a 00 (Ω.m) De 0 a 50 (Ω.m) De 00 a 00 (Ω.m) De 50 a 500 (Ω.m) De.500 a (Ω.m) De 500 a.000 (Ω.m) De.000 a (Ω.m) De.500 a (Ω.m) De a (Ω.m).5. UMIDADE A umidade, quado a faia de 0 a %, produ um valor acetuado de resistividade do solo. Para valores de umidade superiores a %, a resistividade começa a dimiuir rapidamete []. Para os solos áridos, às vees, é ecessário a utiliação de hastes profudas com a fialidade de se atigir camadas com umidades adequadas. A costrução de obras as viihaças da malha pode rebaiar o ível do leçol freático dimiuido a percetagem da umidade do solo. Observamos também, variações cíclicas do percetual da umidade com as mudaças climáticas. A preseça de brita as subestações redu a evaporação, matedo a umidade praticamete costate []. A Figura.. mostra o efeito típico da umidade sobre a resistividade de um dado solo. 0

30 ρ (Ω.m) Ídice de Umidade (% do peso) Fig... Efeito da umidade a resistividade do solo..5.3 COMPOSIÇÃO QUÍMICA (SALINIDADE) A alteração da composição química do solo, para algus casos, ocasioa alterações da resistividade. Isto ocorre em situações em que o solo coteha sais que possam ser dissolvidos pelas águas pluviais. Havedo dissolução, o composto será retirado aturalmete e a resistividade do solo aumetará. A Tabela.3. abaio dá um eemplo da ifluêcia da composição química do solo sobre a resistividade []. Tabela.3. Ifluêcia da composição química a resistividade do solo [] % SAIS RESISTIVIDADE (Ω.m) 0, ,.800, ,0 69 0,0 30 0,0 00

31 .5.4 TEMPERATURA A temperatura afeta sobremaeira a resistividade do solo, a qual poderá atigir altos valores para temperaturas etremamete baias. Para evitar tais variações, os eletrodos deverão estar a uma profudidade que apresete pequeas variações de temperatura. De uma maeira geral, a performace de um determiado solo submetido à variação de temperatura pode ser epressa pela curva da Figura.3. A partir do ρ míimo, com o decréscimo da temperatura, e a coseqüete cotração e aglutiação da água, é produida uma dispersão as ligações iôicas etre os grâulos de terra o solo, e que resulta um maior valor da resistividade. Observa-se que o poto de temperatura 0 º C (água), a curva sofre descotiuidade, aumetado o valor da resistividade o poto 0 º C (gelo). Isto é devido ao fato de ocorrer uma mudaça brusca o estado da ligação etre os grâulos que formam a cocetração eletrolítica. Com um maior decréscimo a temperatura há uma cocetração o estado molecular torado o solo mais seco, aumetado assim a sua resistividade. Já o outro etremo, com temperaturas elevadas, próimas a 00º C, o estado de vaporiação deia o solo mais seco, com a formação de bolhas iteras, dificultado a codução da correte, cosequetemete, elevado sua resistividade. Resistividade Gelo Água 0 o C 00 o C Temperatura Fig..3. Efeito da temperatura a resistividade do solo.

32 Vale ressaltar que a compactação tem uma grade ifluêcia o valor da resistividade do solo, pois dela depede a maior ou meor área de cotato etre os grãos que compõem o mesmo. Assim, o solo deverá ser compactado após o preechimeto das valas e orifícios feitos para implatação dos eletrodos de aterrameto, além do cuidado de ão misturar a terra origial com escombros ou britas a operação de reaterro. A ifluêcia da acide pode ser descosiderada, pois vem sempre ligada à umidade, sedo esta de ifluêcia predomiate..6 ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO Quado se projeta um sistema de aterrameto, há a ecessidade de se utiliar um valor de resistividade equivalete que represete a situação do solo ao qual o eletrodo estará coectado, ou seja, por ode o eletrodo fará escoar corretes de falta, de desequilíbrio ou proveietes de surtos. Os solos, em sua maioria, ão são homogêeos e sim formados por diversas camadas de resistividades diferetes, essas camadas são ormalmete horiotais e paralelas à superfície do solo. Eistem casos em que elas se apresetam icliadas e até verticais, devidos à falhas geológicas, porém, os estudos apresetados para a pesquisa do perfil do solo cosideram as camadas aproimadamete horiotais, uma ve que os outros casos são mais raros. A estratificação do solo é eatamete a divisão do solo em camadas, determiado-se suas resistividades e respectivas profudidades. A pesquisa do solo é feita baseado-se as medições prévias de resistividades através do método de Weer. Com os valores obtidos, traça-se a curva de resistividade em fução das distâcias utiliadas etre os eletrodos (ρ a) durate a medição. Etretato, devido a ão homogeeidade do solo, as curvas obtidas deverão ser corrigidas, a fim de que se possa obter a cofiguração do solo mais real possível. Eistem diversos métodos para efetuar uma estratificação do solo, porém, este trabalho será utiliado somete o método de Weer..7 MEDIÇÃO BÁSICA DA RESISTIVIDADE DO SOLO A determiação dos valores da resistividade do solo é de fudametal importâcia a elaboração de um projeto de aterrameto. Esses valores são 3

33 determiados através de medições e são posteriormete utiliadas para se efetuar a estratificação do solo..7. CRITÉRIOS PARA MEDIÇÃO Durate as medições de resistividade algus cuidados devem ser tomados: Os eletrodos deverão ser cravados firmemete o solo (aproimadamete de a vite cetímetros) a uma mesma profudidade (h), até apresetarem resistêcia mecâica de cravação aceitável, que defia uma resistêcia ôhmica de cotato aceitável; Os eletrodos deverão estar sempre alihados; As distâcias etre eletrodos deverão ser sempre iguais; Os eletrodos deverão estar isetos de óidos e gorduras para possibilitar bom cotato elétrico com solo; A codição do solo (seco, úmido, molhado, etc) durate a medição, jutamete com o tipo aproimado de solo deverão ser aotados (o pior caso maiores resistêcias - é usualmete utiliado: solo seco); Devem-se utiliar calçados e luvas de isolação para efetuar as medições; Devem-se evitar a realiação de medidas sob codições atmosféricas adversas, tedo-se em vista a possibilidade da ocorrêcia de descargas atmosféricas; Não tocar os eletrodos durate as medições e evitar que pessoas estrahas e aimais se aproimem dos mesmos; Deve-se ajustar o poteciômetro e o multiplicador do mesmo até que o galvaômetro do aparelho idique ero ; Deverá ser apresetado o croqui de locação dos potos ode forma eecutadas as medições..7. MÉTODO DE WENNER Este método é usado a estratificação do solo (medida da resistividade das diversas camadas do solo) utiliado um terrômetro com dois termiais de correte e dois termiais de tesão. Atualmete os eletrodos usados são de aproimadamete trita 4

34 cetímetros de comprimeto (Figura.4), esses eletrodos devem ser costituídos de material resistete à corrosão e terem resistêcia mecâica suficiete para resistir aos impactos de cravação. Fig..4. Cofiguração das hastes usadas o método de Weer. O método de Weer cosiste em cravar quatro hastes cilídricas o solo, igualmete espaçadas por uma distâcia (a) e dispostas em liha. O diâmetro das hastes ão deve eceder a um décimo de (a) e as profudidades atigidas pelas hastes (h) devem ser iguais []. Pelo termial, ijeta-se uma correte o solo, a qual retora a fote pelo termial 4. Desta forma, a queda de tesão causada pela correte é detectada etre os termiais e 3 (Figura.4). Usado o método das images, gera-se a Figura.5 e obtém-se os poteciais os potos e 3. Fig..5. Imagem do poto e 4. O potecial o poto é: V ρi = 4π a a h ( ) ( ) ( ) h a a (.) 5

35 O potecial o poto 3 é: V 3 = ρi ( ) ( ) ( ) 4π a a h a a h (.) Portato, a difereça de potecial etre os potos e 3 é: V 3 = V V 3 = ρi ( ) ( ) ( ) 4 π a a h a h (.3) Estabelecedo-se a relação etre a tesão e a correte medida, obtém-se o valor da resistêcia (R) o solo para uma profudidade aceitável de peetração da correte. Assim temos: V R = I 3 ρ 4 π a a h ( ) ( ) ( ) h a (.4) Eiste uma relação liear etre o valor da resistividade do solo e a resistêcia medida, dada por []: ρ = K.R, (.5) ode o valor da costate K depede da geometria empregada as medições e é dada por: K = a a 4πa ; a ( h) ( a) ( h) (.6).7.. ESCOLHA DO LOCAL A SER EFETUADA A MEDIÇÃO O local escolhido para medição deverá ser sempre loge (cerca de doe metros) [3] de áreas sujeitas a iterferêcia tais como torres metálicas de trasmissão e respectivos cotrapesos, potos de aterrameto dos sistemas de telecomuicações, solos com codutores ou caaliações metálicas ão blidadas eterrados, cercas aterradas, etc. No caso de costruções futuras de subestações. É iteressate que as medições 6

36 sejam feitas após o terrapleagem, o que elimia a primeira camada, ormalmete de solo vegetal..7.. NÚMEROS DE PONTOS A SEREM MEDIDOS O úmero de potos a serem medidos é determiado cosiderado-se os seguites fatores: Dimesões e importâcia do local; Variação dos valores ecotrados as várias medições. No caso de projeto de aterrameto para lihas de distribuição, é ecessário que se faça uma medição a cada quihetos metros ao logo do traçado da mesma [3]. Para equipametos tais como reguladores de tesão, religadores, seccioadores, chaves à óleo, etc, é ecessário apeas uma medida da resistividade o poto de istalação do equipameto.esta medida será feita variado-se o espaçameto (a) etre os eletrodos. No caso de áreas para costrução de subestação com dimesões de até de mil metros quadrados deverão ser efetuadas pelo meos medidas em seis potos, quatro locados a periferia e duas a região cetral, com prospecção de resistividade até sesseta e quatro metros ou mais de profudidade [3]. Esta idicação é válida para terreos que se supõem com o mesmo tipo de camadas em todas as direções. Assim sedo, caso os valores de resistividade, ecotrados para uma mesma separação etre eletrodos, variem mais que ciqüeta por ceto com relação ao valor médio aritmético, devem ser feitas medições em maior úmero de potos, pois isto é idício de variação de tipo de solo, icliação das camadas, altura diferete do leçol freático, preseça de pedras, etc. No caso de cidades, deverá ser feita uma série de medidas a periferia, aproimadamete uma medição para cada quihetos metros de periferia [3]. Este critério visa a obter um valor médio que possa ser iterpolado para qualquer local da cidade, tedo-se em vista as dificuldades ou impossibilidades ieretes da medição a área cetral da cidade, ou seja: Preseça de elemetos codutores eterrados o solo; Iterferêcia devido a correte circulate o solo; Idispoibilidade de áreas livres para eecução das medidas. 7

37 Em caso de pequeas localidades, recomedam-se pelo meos cico potos de medição para cada quatro quilômetros quadrados. Os potos devem ser escolhidos de modo a abrager toda a área, e as codições, também este caso, devem ser efetuadas de preferêcia a periferia da área em questão a fim de se evitar possíveis iterferêcias. Caso sejam ecotrados algus valores discrepates de resistividade, deverão ser projetados sistemas de aterrameto especiais para esses potos. Coforme a percetagem desses valores o total do levatameto estes valores poderão ser despreados ou um valor médio poderá ser adotado, visado a estabelecer um úico padrão local. No caso de lihas de trasmissão ou cercas, o alihameto dos eletrodos deverá ser perpedicular às mesmas, com o objetivo de dimiuir a ifluêcia das mesmas sobre as medições. Cabe ao projetista a aálise dos valores ecotrados e a defiição de projetos padrão para as áreas delieadas pelos valores de resistividade próimos..8 CRITÉRIOS DE SEGURANÇA PARA UM SISTEMA DE ATERRAMENTO tópicos: Podem-se resumir as fuções de um sistema de aterrameto os seguites.8. SEGURANÇA PESSOAL A coeão dos equipametos elétricos ao sistema de aterrameto deve permitir que, caso ocorra uma falha a isolação dos equipametos, a correte de falta passe através do codutor de aterrameto ao ivés de percorrer o corpo de uma pessoa que evetualmete esteja em cotato com o equipameto..8. TENSÃO DE TOQUE Se uma pessoa toca um equipameto sujeito a uma tesão de cotato, pode ser estabelecida uma tesão etre mãos e pés, chamadas de tesão de toque. Em coseqüêcia, poderemos ter a passagem de uma correte elétrica pelo braço, troco e peras, cuja duração e itesidade poderão provocar fibrilação cardíaca, queimaduras ou outras lesões graves ao orgaismo. 8

38 .8.3 TENSÃO DE PASSO Quado uma correte elétrica é descarregada para o solo, ocorre uma elevação do potecial em toro do eletrodo de aterrameto, formado-se um gradiete (distribuição) de tesão, cujo máimo está juto ao eletrodo e o poto míimo muito afastado dele. Se uma pessoa estiver em pé em qualquer poto detro da região ode há essa distribuição de potecial, etre seus pés haverá uma difereça de potecial, chamada de tesão de passo, a qual é geralmete defiida para uma distâcia etre pés de metro. Coseqüetemete, poderá haver a circulação de uma correte através das peras, geralmete de meor valor do que aquele o caso da tesão de toque, porém aida assim perigosa e que deve ser evitada..8.4 RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO (MÉTODO VOLT- AMPERÍMETRO) A resistêcia de aterrameto é obtida pelo clássico método Volt-Amperímetro mostrado a Figura.6, ode a haste p do voltímetro se desloca etre as duas hastes A e B. Superfície da terra Resistêcia Fig..6. Curva da Resistêcia de aterrameto. Distâcia 9

39 ode, A = Sistema de aterrameto pricipal B = Haste auiliar para possibilitar o retoro da correte I p = Haste de potecial, que se desloca etre A e B. = Distâcia da haste p em relação ao aterrameto pricipal A correte que circula pelo circuito é sempre a mesma, pois a mudaça da haste p ão altera a distribuição de correte. Para cada posição da haste p, é lido o valor da tesão o voltímetro e calculado o valor da resistêcia elétrica [4], dada por: V ( ) R( ) = (.7) I Deslocado-se a haste p em todo o percurso etre A e B, tem-se a curva de resistêcia de aterrameto em relação ao aterrameto pricipal, isto é, da haste A. Figura.6. Na região do patamar, tem-se o valor R a, que é a resistêcia de aterrameto do sistema. No poto B, tem-se a resistêcia de aterrameto acumulada do sistema pricipal e da haste auiliar, isto é, R R. a b Como o objetivo da medição é obter o valor da resistêcia de aterrameto do sistema, deve-se deslocar a haste p até atigir a região do patamar. Neste poto a resistêcia de aterrameto R a é dada por: R a V( patamar ) = (.8) I.9 CONCLUSÕES Os coceitos apresetados esse capítulo, tais como: elemetos de um sistema de aterrameto, características do solo, critérios para medição, etc, são de suma importâcia para que tehamos um bom dimesioameto de um sistema de proteção. Vale ressaltar que uma boa proteção implica em cercar de cuidados ão só os equipametos coectados a esses sistemas, mas também, devem-se ateder aos critérios de seguraça para proteção de pessoas. 0

40 Tem-se observado que para qualquer projetista ou profissioal que trabalhe com sistema de proteção, a aplicação dos coceitos tem-se torado uma premissa básica para o sucesso de qualquer empreedimeto dessa aturea, o que os leva a crer que teoria e prática camiham o mesmo passo.

41 REFERÊNCIAS [] VISACRO Filho, Silvério, Aterrametos Elétricos: Coceitos básicos, Técicas de Medição e Istrumetação, Filosofias de Aterrameto, 3ª. ed. São Paulo: Artliber, 00. v.. [] Soua Jr, E.S., de Oliveira, R.M.S. e Sobriho, C.L.S.S., "Developmet of a computatioal eviromet for simulatig the Weer s method ad froud stratificatio", d Iteratioal Coferece o Lightig Phsic ad Effects, Maceió, Brasil, Nov., 006. [3] Satos Júior, Guaraci F., Yaaguibashi, Regia H., Nascimato, Wladmir B., Dimesioameto e projeto de um sistema de aterrameto composto por hastes verticais, Trabalho de Coclusão de Curso em Egeharia Elétrica, Cetro Tecológico, Uiversidade Federal do Pará, Belém, 993. [4] KINDERMANN, Geraldo, Aterrameto Elétrico, 4 a. ed. Porto Alegre: Sagra Luatto, 998. v.

42 CAPÍTULO III O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO OU MÉTODO FDTD 3. INTRODUÇÃO Neste capítulo, apresetam-se as leis que fudametam a teoria eletromagética o domíio do tempo e as formas diferecial e itegral, as codições de cotoro cosiderado-se iterfaces elétricas e magéticas e fialmete um resumo sobre o método das Difereças Fiitas o Domíio do Tempo ou método FDTD (Fiite Differece Time Domai []). Este método foi iicialmete desevolvido para o cálculo de campos eletromagéticos [-] a partir de equações difereciais depedetes do espaço e do tempo. A base de cálculos são as equações difereciais de Mawell que relacioam os campos elétrico e magético variates o tempo. O método FDTD é ormalmete utiliado para a solução de problemas eletromagéticos, em sua maioria compleos, ode soluções aalíticas são iviáveis e o uso de um método umérico de cálculo é ecessário. Esses problemas podem icluir regiões ode eistam: codições de cotoro mistas, meios ão homogêeos, aisotrópicos, ão lieares e dispersivos. Como eemplos de tais problemas podem-se citar a aálise de: Sistemas de aterrameto; Ateas; Odas refletidas em superfícies compleas; Iteração de odas eletromagéticas com tecidos biológicos; Circuitos eletrôicos de alta velocidade com compoetes ativos e ão lieares; Dispositivos fotôicos (que trabalham com a lu). Vale ressaltar que eistem várias raões que faem do FDTD ser um dos métodos mais difudidos e utiliados pela comuidade cietífica, detre os quais podem-se destacar [3]: Facilidade de eteder e programar (ampla bibliografia); 3

43 O método FDTD ão precisa faer uso da álgebra liear, evitado com isso a limitação do tamaho das equações o domíio da freqüêcia e modelos eletromagéticos de elemetos fiitos; O método trata os feômeos trasitórios e os depedetes da freqüêcia de forma atural. Sedo uma técica o domíio do tempo, calcula diretamete a resposta trasitória de um sistema eletromagético, podedo forecer formas de odas temporais de bada ultralarga ou respostas seoidais de regime em qualquer freqüêcia detro do espectro de freqüêcias; É um método eplicito, ou seja, ão requer a iversão de matries; Robuste: as fotes de erro o FDTD são bem cohecidas e podem ser limitadas para permitir modelos precisos em uma grade variedade de problemas eletromagéticos; Trata ão liearidades aturalmete: sedo uma técica o domíio de tempo calcula diretamete a resposta ão liear de um sistema eletromagético; Aproimação sistemática: especificar uma ova estrutura requer somete a geração de uma ova malha; Capacidade de memória dos computadores vem crescedo rapidamete, tededo positivamete para o avaço das técicas uméricas; Capacidade de visualiação dos programas computacioais também vem crescedo rapidamete, com vatages para o método FDTD que gera vetores, com valores de campos obtidos as iterações computacioais, em úmero suficiete, para uso em aimações gráficas coloridas permitido a ilustração das diâmicas dos campos eletromagéticos. O método FDTD surgiu em 966 com Yee [] para solucioar as equações rotacioais de Mawell diretamete o domíio do tempo em um espaço discretiado. Em 975 Taflove e Brodwi [4] obtiveram o correto critério de estabilidade do algarismo de Yee apresetado mais iformações para o desevolvimeto do método. O termo FDTD foi utiliado pela primeira ve em 980 por Alle Taflove [5]. Em 98 Mur [6] publicou a primeira codição de cotoro absorvete (ABC) umericamete estável e com seguda ordem de precisão para a malha de Yee. Na década de 80 o FDTD foi utiliado para os problemas de espalhameto com o desevolvimeto em sua formulação da trasformação campo próimo - campo distate [7]: desevolvimeto de técicas para modelagem de superfícies curvas [8] e utiliação a solução de vários 4

44 problemas, como a modelagem de microfitas ou microtiras [9]. Da década de 90 até o mometo atual o método tem sido refiado e aumetaram suas aplicações. Detre estes progressos pode-se destacar: o uso de permissividade elétrica variável com a freqüêcia [0], a cosideração de meios dispersivos ão lieares a fabricação de dispositivos ode se tem propagação de pulso óptico [], a modelagem de compoetes eletrôicos [-5], a criação da codição de cotoro absorvete altamete efetiva (camadas perfeitamete casada PML) e o método FDTD com estabilidade umérica idepedete do passo de tempo (ADI FDTD) [6]. Além do método FDTD, eistem outros métodos de cálculos uméricos aplicados a solução de problemas em eletromagetismo, detre os quais, podem-se destacar: Método dos Elemetos Fiitos (FEM) [7-9]; Método dos Mometos (MOM) [0]; Método Variacioal (VM) []; Método das Lihas de Trasmissão (TLM) [-3] Método de Mote Carlo (MCM) [4]. Cada método possui características próprias, que os toram adequados a solução de determiados problemas, cada um com suas vatages e desvatages. Depededo do problema, pode-se utiliar a associação de dois métodos (vatages mútuas), gerado um método híbrido. A comparação etre os métodos [5] ão é trivial. Na realidade o que fa um método melhor que o outro é o domíio de seu cohecimeto, a dispoibilidade de hardware, software, tempo de processameto, o problema a aalisar e a precisão desejada os resultados. 3. EQUAÇÕES DE MAXWELL As equações que regem os feômeos eletromagéticos foram cocebidas por James Clerk Mawell (83 979). As leis estão relacioadas à variação dos campos (elétrico e magético) proveietes de cargas e corretes elétricas, eglobado todas as relações eistetes etre as gradeas elétricas e magéticas, eplicado iclusive a propagação de odas [3] [5-6]. 5

45 3.. LEI DE GAUSS PARA O CAMPO ELÉTRICO A equação (3.) mostra a lei de Gauss a forma diferecial, a qual estabelece que o fluo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica cotida o iterior da superfície..(εe) = ρ v, (3.) ode, ε é a permissividade elétrica do meio (ou capacidade idutiva elétrica [7]) [F/m], E é o vetor itesidade de campo elétrico [V/m], e ρ v é a desidade volumétrica de carga [C/m 3 ], εe é defiido como sedo o vetor desidade de fluo elétrico (D). 3.. LEI DE GAUSS PARA O CAMPO MAGNÉTICO Esta lei é defiida pela equação (3.), a qual estabelece que o campo magético é soleoidal, ou seja, o fluo magético através de uma superfície fechada é sempre ulo..(µh) = 0, (3.) ode, µ é a permeabilidade magética (ou capacidade idutiva magética [7] ) [H/m], H é o vetor itesidade de campo magético [A/m], e µh é defiido como o vetor desidade de fluo magético (B) LEI DE FARADAY A equação (3.3) demostra que um campo magético H variável o tempo produ um campo elétrico E que é rotacioal a ele. O sial egativo eprime a lei de Le, que estabelece que o rotacioal do campo elétrico iduido tede a opor-se às variações do campo magético. E = µ ( H/ t) (3.3) 6

46 3..4 LEI DE AMPÈRE A equação (3.4) tradu a lei de Ampère, ode σ E é o vetor desidade de correte elétrica J [A/m ], com σ sedo a codutividade elétrica do meio [S/m]. Esta equação demostra que um campo elétrico E variável o tempo com ou sem elemetos de correte J geram um campo magético H rotacioal as fotes geradoras. O termo ε ( E/ t), cohecido como vetor desidade de correte de deslocameto, foi itroduido por Mawell, dado suporte às odas eletromagéticas o espaço. H = σ Eε ( E/ t) (3.4) Uma oda eletromagética pode ser represetada pelas equações (3.3) e (3.4), que idicam que um campo magético variate o tempo dá origem a um campo elétrico e vice-versa. Uma ve que eista a variação, os campos sempre coeistirão. As equações de Mawell a sua forma itegral, para meios isotrópicos, são represetadas matematicamete as subseções seguites LEI DE GAUSS NA FORMA INTEGRAL (para o campo elétrico) A equação (3.5) é obtida através da itegral volumétrica da equação (3.) (Teorema da Divergêcia ou de Gauss), o que demostra que o fluo elétrico total em uma superfície fechada é igual à carga total eglobada pela superfície. D.dS = s ρ v dv (3.5) 3..6 LEI DE GAUSS NA FORMA INTEGRAL (para o campo magético) A equação (3.6) é obtida através da itegral volumétrica da equação (3.) (Teorema da Divergêcia ou de Gauss), o que demostra que o fluo magético total através de uma superfície fechada é ulo, ou seja, as lihas de campo magético são sempre fechadas. B.dS = 0 (3.6) 7

47 3..7 LEI DE FARADAY NA FORMA INTEGRAL A equação (3.7) é obtida mediate a itegral de superfície da equação (3.3) (Teorema de Stokes), o que demostra que uma força eletromotri iduida (f.e.m) em um circuito fechado é dada pela circulação do vetor campo elétrico o circuito, sedo igual ao simétrico da taa de variação o tempo do fluo magético o circuito. E.dl = ( / t) s B.dS (3.7) 3..8 LEI DE AMPÈRE NA FORMA INTEGRAL A equação (3.8) é obtida mediate a itegral de superfície da equação (3.4) (Teorema de Stokes). Esta equação demostra que a correte total através de um circuito fechado depede da circulação do vetor itesidade de campo magético ao logo do circuito, e é igual a correte de codução (se eistete) mais a correte de deslocameto (se eistir). H.dl = [σe ( D/ t)].ds (3.8) As equações de Mawell de iteresse especial este trabalho são as equações (3.3) e (3.4), pois descrevem o comportameto de uma oda eletromagética sob forma diferecial, associado os campos elétrico e magético, próprio à forma de cálculo do método (as equações (3.7) e (3.8) poderiam ser utiliadas). Assim, é iteressate apresetá-las a sua totalidade em um sistema de coordeadas retagulares (,,). A partir da defiição do operador rotacioal [8], aplicada às referidas equações, chega-se às equações escalares (por compoete): H = t µ Ε Ε ( - ) (3.9) H = µ t Ε Ε ( - ) (3.0) 8

48 H = t µ Ε Ε ( - ) (3.) Ε = t ε H H ( - - σ Ε ) (3.) Ε = ε t H H ( - - σ Ε ) (3.3) Ε = t ε H H ( - - σ Ε ) (3.4) As equações acima descrevem qualquer oda eletromagética em três dimesões. Muitas vees, por simplicidade, deseja-se aalisar problemas eletromagéticos em duas dimesões. Para tal, é preciso defiir a forma de propagação da oda eletromagética. Baseado a formulação desevolvida para guia de odas [6] [8], a oda pode propagar-se basicamete em dois modos: o trasverso elétrico (TE) e o trasverso magético (TM). No primeiro, os campos elétricos são ormais à direção de propagação da oda e o campo magético é paralelo a essa direção. No segudo, os campos magéticos são ormais à direção de propagação da oda e o campo elétrico é paralelo. Escolhedo a direção de propagação ao logo do eio, e assumido simetria traslacioal, a depedêcia de campo em pode ser removida [9]. Isto cosidera uma oda propagado-se a direção. Assim, para o modo TE são ecessárias somete as compoetes H, E e E e para o modo TM, meio com codutividade ula: E, H e H, resultado para um Modo TE H = t µ Ε Ε ( - ) (3.5) Ε = t ε H (3.6) Ε = - ε t H (3.7) 9

49 Modo TM Ε = t ε H ( - H ) (3.8) H = - t µ Ε (3.9) H = µ t Ε (3.0) 3.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO As codições que um campo eletromagético deve satisfaer as viihaças da iterface etre dois meios diferetes são deomiadas Codições de Cotoro [8], e são obtidas a partir das equações de Mawell escritas a forma itegral [6]. Na resolução de um problema eletromagético, as codições de cotoro são idispesáveis para a delimitação da região de aálise, iserido iformações ecessárias para a solução do problema. As codições de cotoro elétrica e magética defiidas para dois meios diferetes são: 3.3. ELÉTRICA Supodo dois meios (0 e ) com permissividade dielétricas diferetes, coforme Figura 3. a, tem-se: - Campos Tageciais: Os campos tageciais são cotíuos a superfície dos meios: Ε t0 = Ε t - Campos Normais: Supodo ou ão eistêcia de cargas elétricas etre a superfície dos meios, os campos ormais são descotíuos. Para superfícies sem cargas: ε Ε = ε Ε. 0 0 Supodo que um dos meios seja um codutor perfeito (PEC, σ = ): - Campo Tagecial: Nulo: ( E = 0) - Campo Normal: t Igual à desidade superficial de cargas: Ε ε oε r = ρ s 30

50 3.3. MAGNÉTICA Supodo dois meios (0 e ) com permeabilidade magéticas diferetes, coforme Figura 3. b, tem-se: - Campos Tageciais: Os campos tageciais podem ou ão ser descotíuos a superfície dos meios. Se eistir uma desidade superficial de correte caso cotrário H t0 = H t. - Campos Normais: Os campos ormais são descotíuos: µ 0 H 0 = µ H. K [A/m], etão, H 0 - H = s t t K s, Supodo que um dos meios seja codutor: - Campo Tagecial: Igual à desidade superficial de correte: - Campo Normal: Nulo: ( H = 0) H t = K s ε 0 µ 0 Ε 0 Ε 0 Η 0 Η 0 Ε 0 t Η 0 t Ε t ε Η t µ Ε Η Ε Η (a) (b) Fig. 3. Codições de cotoro etre dois meios diferetes: a) elétrica b) magética. No método FDTD, as codições de cotoro são muito utiliadas para caracteriar a iterface etre um meio qualquer e um codutor elétrico. Desta forma, é comum, por eemplo, o uso de metal e ar. Nas simulações, pode-se também utiliar um meio codutor magético como ferrameta a solução de um determiado problema. Para facilitar a compreesão das codições de cotoro etre um material codutor perfeito e um outro meio qualquer, a Figura 3. mostra o que acotece com os campos quado se passa de um meio para outro, cosiderado-se codutores elétrico (Figura 3..a) e para um codutor magético (Figura 3..b) perfeitos. 3

51 C o d u t o r E l é t r i c o Η 0 Ε = 0 t t C o d u t o r M a g é t i c o Ε 0 t Η = 0 t p e r f e i t o Η = 0 Ε 0 Ε = 0 (a) (b) Fig. 3. Codições de cotoro: a) codutor elétrico perfeito. b) codutor magético perfeito. p e r f e i t o Η FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA O pricípio do FDTD é baseado o método das difereças fiitas (FDM), desevolvido por A. Thom em 90 [30]. O FDM é uma técica de aproimações trasformado equações difereciais em difereças fiitas (discretiadas). Essas aproimações são feitas algebricamete em uma região discretiada, que relacioa os valores das variáveis com potos detro da região de aalise, chamados ós [3]. A solução de problemas pelo FDM evolve, basicamete, quatro passos: Discretiação da região de aálise; Aproimação umérica da equação diferecial de iteresse em uma equação por difereças fiitas equivaletes, relacioado as variáveis idepedetes e depedetes com os ós a região; 3 Imposição das codições de cotoro; 4 Resolução das equações discretiadas, cosiderado-se o item 3. Dada uma fução ƒ () como mostrado a Figura 3.3, sua derivada o poto P pode ser aproimada de diversas maeiras como segue: f ( ) f ( 0 ) f ( 0 ) P B f ( 0 ) A Fig. 3.3 Estimativa da derivada de ƒ () o poto P, usado difereça fiita à direita, à esquerda e cetral [3]. 3

52 Difereça à Direita (Derivada à direita) Neste caso, a aproimação é feita cosiderado-se os potos P e B, ode a reta que passa por esses potos tem um âgulo de icliação α com o eio das abscissas. Tomado-se a tagete de α, resulta a equação (3.). ƒ '( 0 ) _~ tg(α) = ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) (3.) Vale ressaltar que por defiição, tem-se que: ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) ƒ '( 0 ) = lim (3.a) 0 e quado 0, a igualdade abaio tora-se verdadeira ƒ '( 0 ) = tgα (3.b) ode α é o âgulo de icliação da reta PB com o eio das abscissas. Difereça à Esquerda (Derivada à esquerda) Seguido-se a mesma liha de raciocíio e cosiderado-se os potos A e P, tedo a reta que passa por esses potos icliação β, obtém-se: ƒ ' ( o ) _~ tg(β) = ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) (3.) Por defiição, ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) ƒ '( 0 ) = lim (3.a) 0 33

53 e quado 0, a igualdade abaio tora-se verdadeira f ( o ) = tg(β) (3.b) ode β é o âgulo de icliação da reta AP com o eio das abscissas. Difereça Cetral (Derivada cetrada) Aqui, a derivada o poto P é aproimada pela tagete do âgulo γ de icliação da reta que passa pelos potos A e B, resultado: ƒ ' ( o ) _~ tg(γ) = ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) (3.3) Como, por defiição, ƒ ( 0 ) ƒ ( 0 ) ƒ '( 0 ) = lim (3.3a) 0 quado 0, a igualdade abaio tora-se verdadeira f ( o ) = tg(γ) (3.3b) ode γ é o âgulo de icliação da reta ABcom o eio das abscissas. As equações (3.), (3.) e (3.3) acima são claramete uma aproimação para a derivada um poto de uma fução qualquer. Estas equações utiliam um com valor diferete ero e a defiição de derivada implicaria um tededo a ero. Assim, as referidas equações represetam uma forma discreta da defiição real de derivada. Neste trabalho, a equação (3.3) serve de base para o método FDTD, ou seja, o método será aplicado com base a aproimação da derivada cetral em um poto. Esta 34

54 equação apreseta precisão de seguda ordem em (o erro da aproimação decresce com ) [4]. 3.5 ALGORITMO DE YEE Yee [] itroduiu um cojuto de equações difereciais fiitas para resolver as equações (3.9) - (3.4), ou seja, ele discretiou as equações que descrevem a propagação de uma oda eletromagética em um sistema de coordeadas retagulares tridimesioais (,, ). Assim, um poto o espaço é defiido como: (,,) (i, j, k ) (3.4) e qualquer fução depedete do espaço e do tempo, F (i, j, k) = F (i, j, k, t) (3.5) ode, este trabalho cosidera-se, = = = é o icremeto espacial, t é o icremeto temporal, e i, j, k e são úmeros iteiros. Usado difereças fiitas cetrais para as derivadas espaço-tempo de seguda ordem em e t [4], resulta: F ( i, j, k) F (i, j,k) F (i, j,k) = Εr ( ) (3.6) F ( i, j, k) t F = (i, j,k) F t (i, j,k) Εr ( t ) (3.7) ode Ε r é o erro de seguda ordem para e t, itroduido pela discretiação. Para facilitar o etedimeto da solução das equações de Mawell por difereças fiitas o domíio do tempo e realiar todas as derivadas de (3.9) - (3.4). Yee posicioou as compoetes dos campos E e H etoro de uma célula, como mostrado a Figura

55 Fig.3.4 Posição das compoetes de campo para uma célula estruturada de Yee Para coseguir a precisão de (3.7), as compoetes de E e H são calculadas alteradamete a cada meio passo de tempo. Essas cosiderações para as equações (3.9) (3.4) resultam um sistema de equações de difereças fiitas defiidas por: t H (i, j, k ) = H (i, j, k ) µ (i, j, k ) ( i, j,k ) ( i j,k), [ Ε Ε (3.8) Ε ( i, j,k ) Ε ( i, j,k )] H (i, j, k ) = H (i, j, k ) ( i, j, k ) ( i, j k ), [ Ε Ε t µ (i, j, k ) (3.9) Ε ( i, j,k) Ε ( i, j,k )] H (i, j, k) = H (i, j, k) t µ (i, j, k) ( i, j,k) ( i j,k), [ Ε Ε Ε ( i, j, k) Ε ( i, j, k)] (3.30) 36

56 37 k) j (i,, Ε ( ) = j,k, i t j,k), (i ε σ ( ) ( ) j,k, i t j,k, i ε Ε ( ) ( ),k j i,k j i,, [ H H ( ) ( )],, j,k i j,k i H H (3.3) k) j (i,, Ε ( ) =,k j i t,k) j (i,, ε σ ( ) ( ),k j i t,k j i,, ε Ε ( ) ( ) k j i k j i,,,, [ H H ( ) ( )],,, k j i,k j i H H (3.3) ),, k j (i Ε ( ) = k j i t ) k j (i,,,, ε σ ( ) ( ) k j i t k j i,,,, ε Ε ( ) ( ) k j i k j i,,,, [ H H ( ) ( )],,,, k j i k j i H H (3.33) Segudo a otação de Yee, cada ó correspode a um vetor de campo, possuido propriedades elétricas σ e ε para o E e µ para o H. Portato, a geração da malha, essas propriedades são atribuídas às células. Logo, meios ão-homogêeos são levados em cota aturalmete. Na froteira etre dois ou mais meios é comum utiliar o valor médio das propriedades. Da equação (3.8) até (3.33) utiliam = = para simplificações a formulação (célula cúbica). Diferetes valores de, e poderiam ser usados, o que acarretaria uma pequea mudaça as equações, o que é simples de ser feito. Como se calculam as compoetes de campo defasadas de meia célula, primeiro, por eemplo, calculam-se todas as compoetes do campo magético e depois todas as compoetes de campo elétrico, ode o valor atual de campo magético (elétrico) a ser calculado depede do seu valor aterior e dos valores de campo elétrico (magético) ateriores.

57 As compoetes dos campos, a célula de Yee, estão defasadas de meia célula ( /), além de permitir o uso de difereças fiitas cetradas as equações rotacioais de Mawell (3.3) e (3.4), permitem aturalmete, dada à geometria, a implemetação da forma itegral das Leis de Farada e Ampère as faces da célula. O uso da itegração permite uma modelagem simples e efetiva de superfícies curvas e com dimesões iferiores à da célula [3]. Na Figura 3.5 é eemplificada a geometria para itegração. k i j k Ε i Ε j Ε Ε Η Ε Ε Η Ε Ε Η Ε j k i k Ε (i,k) k Ε Ε (a) (b) (c) (k,j) j i (j,i) i j k Η i Η i Η Η Ε Η Η Ε Η Η Ε Η j k i Η (k,j) j Η (i,k) k Η (j,i) k (d) (e) (f) Fig. 3.5 Visualiação das compoetes de campo as faces das células primária e secudária de Yee. Como em matries e vetores ão eistem ídices ão iteiros, as equações de Yee são alteradas para programação. Na Figura 3.5 são apresetados os campos as faces das células primária e secudária de Yee de maeira a facilitar a programação computacioal. A compoete o cetro da face será calculada usado-se as compoetes adjacetes a seguite ordem: compoete superior meos a iferior mais a compoete lateral à esquerda meos a da direita. Por eemplo, para o cálculo de em um istate de tempo : H ( j,k) = H ( i, j,k) Β[ Ε ( i, j, k ) Ε ( i, j,k) Ε ( i, j,k) Ε ( i, j, K)] H i, (3.34) ode Β = t / ( ( i, j, k) ) µ e os ídices dos arras represetam a posição das compoetes dos campos por célula, diferetemete do acotece as equações (3.8)- 38

58 (3.33). O H à direita é calculado o istate de tempo, assim como Ε e Ε campos elétricos foram atualiados ates do magético o mesmo laço de tempo. Como. Os as matries de campo são idepedetes, a posição (i,j,k) para o H ão é a mesma para o Ε por eemplo. Pela equação 3.34, as compoetes de campo ocupam apeas uma posição de memória associada ao tempo. Para aalisar as compoetes de campo durate todo o processo de cálculo, estas compoetes precisam ser armaeados a cada iteração. 3.6 PRECISÃO E ESTABILIDADE Para obter precisão evitado erros de magitude e fase os campos aalisados, os icremetos espaciais (,, ) usados o método FDTD devem ser pelo meos 0 vees meores que o meor comprimeto de oda (λ) presete o sistema ( λ / 0) [33]. Se forem utiliados diferetes valores de delta, o maior deve ser limitado por esse critério. Erros de precisão precisam ser miimiados, pois implicam em dispersão umérica, porque acarretam difereças a velocidade de fase da oda eletromagética, resultado em oscilações espúrias detro do modelo. Para que o FDTD seja estável, o icremeto temporal ( t), deve satisfaer ao seguite critério [4] (codição de Courat): t υ ma (3.35) ode υ ma é a máima velocidade de fase da oda esperada o modelo. Usado uma célula cúbica, a equação (3.4) tora-se: t υ ma N (3.36) ode, N é um úmero correspodete à dimesão espacial usada o modelo (D =, D = ou 3D = 3) [3]. Quato maior for N, meor será o tempo de simulação o modelo 39

59 para a obteção de uma resposta. Em cotrapartida, para uma melhor resolução em freqüêcia o icremeto espacial deve ser o meor possível. Pela equação 3.4, é claro que uma dimiuição o (uma malha mais fia), implica uma dimiuição do t. A freqüêcia de amostragem (úmero de amostras obtidas por segudo) do modelo será igual ao iverso do icremeto temporal, ou seja, f = / t [34]. Essa iformação é útil a determiação do espectro de freqüêcia dos siais obtidos o FDTD. Por fim, é importate mecioar que atualmete já eiste uma variação do método FDTD com estabilidade umérica icodicioal em relação ao icremeto temporal (deomiado de método ADI-FDTD) [35-36]. 3.7 CONCLUSÕES O método das Difereças Fiitas o Domíio do Tempo (FDTD) foi uma ferrameta largamete utiliada a elaboração deste trabalho, uma ve que, os feômeos aqui tratados são de aturea eletromagética, de soluções aalíticas compleas, os quais torariam as soluções iviáveis, laçado-se mão, portato desse método. O método FDTD ão precisa faer uso da álgebra liear, evitado com isso a limitação do tamaho das equações o domíio da freqüêcia. Embora essa ferrameta possua algus óbices, como fote de erros, por eemplo, o fato é que esses erros são bem compreedidos e podem ser miimiados, faedo com que as respostas sejam bem próimas da aalítica. 40

60 REFERÊNCIAS [] YEE, K. S., Numerical Solutio of Iitial Boudar Value Problems Ivolvig Mawell`s Equatios i Isotropic Media, IEEE Tras. Ateas ad Propagatio, Vol. AP-4, No. 3, Ma 966, pp [] WEXLER, A., Computatio of Electromagetic Fields, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. MTT-7, No. 8, Aug. 969, pp [3] TAFLOVE, A. ad Susa C. H., Computatio Electrodamics: the Fiite- Differece Time-Domai Method, Artech House, d ed., 000. [4] TAFLOVE, A. ad Morris E.B., Numerical Solutio of Stead-State Electromagetic Scatterig Problems Usig the Time-Depedet Mawell`s Equatios, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. MTT-3, No. 8, Aug. 975, pp [5] TAFLOVE, A., Applicatio of the Fiite-Differece Time-Domai Method to Siusoidal Stead-State Electromagetic-Peetratio Problems, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. EMC-, No. 3, Aug. 980, pp [6] MUR, G., Absorbig Boudar Coditios for Fiite-Differece Approimatio of the Time-Domai Electromagetic-Field Equatios, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. EMC-3, No. 4, Nov. 98, pp [7] UMASHANKAR, K. ad Taflove, A., A Novel Method to Aale Electromagetic Scatterig of Comple Objects, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. EMC-4, No. 4, Nov. 98, pp [8] UMASHANKAR, K., Taflove, A. ad Becker, B., Calculatio ad Eperimetal Validatio of Iduced Currets o Coupled Wire i a Arbitrar Shaped Cavit, IEEE Tras. Ateas ad Propagatio, Vol. 35, 987, pp [9] ZHANG, X., J. Fag, K. K. Mei, ad Y. Liu, Calculatio of the Dispersive Characteristics of Microstrips b Time-Domai Fiite-Differece Method, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. 36, 988, pp

61 [0] LUEBBER, R., F. Husberger, K. Ku., R. Stadler, ad M. Scheider, A Frequec-Depedet Fiite-Differece Time-Domai Formulatio for Dispersive Materials, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. 3, No. 3, Aug. 990, pp. -7. [] GOORJIAN, P. M. ad A. Taflove, Direct Time Itegratio of Mawell`s Equatio i Noliear Dispersive Media for Propagatio ad Scatterig of Fetosecod Electromagetic Solutios, Optics Letters, Vol. 7, 99, pp [] SUI, W., D. A. Christese, ad C.H. Dure, Etedig the Two-dimesioal FDTD Method to Hbrid Electromagetic Sstems with Active ad Passive Lumped Elemets, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. 40, 99, pp [3] TOLAND, B., B. Houshmad, ad T. Itoh, Modelig of Noliear Active Regios With the FDTD Method, IEEE Microwave ad Guided Wave Letters, Vol. 3, 993, pp [4] THOMAS, V. A., M. E. Joes, M. J. Piket-Ma, A. Taflove, ad E. Harriga, The Use of SPICE Lumped Circuits as Sub-Grid Models for FDTD High-Speed Electroic Circuit Desig, IEEE Microwave ad Guided Wave Letters, Vol. 4, 994, pp [5] GEDNEY, S., ad F. Lasig, A Parallel Plaar Geeralied Yee Algorithm for the Aalsis of Microwave Circuit Devices, It`l. J. for Numerical Modelig (Electroic Networks, Devices, ad Fields), Vol. 8, Ma-Aug. 995, pp [6] ZHENG, F., Z. Che, ad J. Zhag, Three-Dimesioal Ucoditioall Stable Fiite-Differece Time-Domai Method, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. 48, 000. [7] CHARI, M. V. K. ad P.P. Silvester, Fiite Elemets i Electric ad Magetic Field Problems, Joh Wile & Sos, New York, 980. [8] NATHAN, Ida, ad João P. A. Bastos, Electromagetics ad Calculatio of Fields, Spriger-Verlag, d ed.,

62 [9] CARPES, Walter Pereira Jr., Modélisatio Tridimesioelle Par Elémets Fiis Destiée Au Aalses de Propagatio D`ode set de Compatibilité Electromagétique, Thèse, Uiv. de Paris-Sud (Paris XI) U. F. R. Scietifique D`Orsa, Ju (i Frech). [0] HARRINGTON, R. F., Field Computatio b Momet Methods, Macmilla, New York, 968. [] CAIRO, L., ad T. Kaha, Varatioal Techiques i Electromagetics, Gordo & Breach, New York, 965. [] JOHNS, P. B. ad B. L. Beurle, Numerical Solutio of Dimesioal Scatterig Problems Usig a Trasmissio-Lie-Matri, Proc. IEE, Vol. 8, No. 9, Sep. 97, pp [3] ALMAGUER, Hugo Armado Domigue, Cotribuição ao Método da Modelagem por Lihas de Trasmissão (TML) e sua Aplicação aos Estudos em Bioeletromagetismo, Tese, Uiv. Fed. De Sata Cataria, Brasil, Dept. de Eg. Elétrica, Mar [4] ROYER, G. M., A Mote Carlo Procedure for Potetial Theor of Problems, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. MTT-9, No. 0, Oct. 97, pp [5] SADIKU, Matthew N. O., ad Adrew F. Peterso, A Compariso of Numerical Methods for Computatig Electromagetic Fields, IEEE Proc Southeast, Sessio B, pp [6] BALANIS, Costatie A., Advaced Egieerig Electromagetics, Joh Wile & Sos Ic., st ed., 989. [7] SILVER, Samuel, Microwave Ateas Theor ad Desig, McGraw-Hill Book Compa Ic., Lodo, 949. [8] SADIKU, Matthew N. O., Elemets of Electromagetics, Oford Uiv. Press. Ic., New York, 3rd ed., 00. [9] NAVAROO, E. A., ad V. Such, Stud of TE ad TM Modes i Waveguides of Arbitrar Cross-Sectio Usig a FD-TD Formulatio, IEE Proc.-H, Vol. 39, No. 6, Dec. 99, pp [30] THON, A., ad C. J. Apelt, Field Computatios i Egieerig ad Phsics, D. Va Nostrad, Lodo,

63 [3] SADIKU, Matthew N. O., Numerical Techiques i Electromagetics, CRC Press. Ic., 99. [3] TAFLOVE, Ale, ad Korada R. Umashakar, Fiite-Differece Time-Domai (FD-TD) Modelig of Electromagetic Wave Scatterig ad Iteractio Problems, IEEE Ateas ad Propagatio Soc. Newsletter, Apr. 988, pp [33] TAFLOVE, Ale, ad Korada R. Umashakar, The Fiite-Differece Time- Domai (FD-TD)Method for Numerical Modelig of Electromagetic Scatterig, IEEE Tras. Magetics, Vol. 5, No. 4, Jul. 989, pp [34] OPPENHEIM, Ala V., Roald W. Shafer, ad Joh R. Buck, Discret-Time Sigal Processig, Pretice Hall, New Jerse, d ed., 999. [35] ZHENG, F., Z. Che, ad J. Zhag, Three-Dimesioal Ucoditioall Stable Fiite-Differece Time-Domai Method, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. 48, 000. [36] NAKAHATA, Mateus Teruuki, Estudo da Precisão do Método ADI-FDTD a Simulação da Propagação de Odas Guiadas, Dissertação de Mestrado. Uiv. Fed. Do Paraá, Brasil, Abr

64 CAPÍTULO IV CONDIÇÕES DE CONTORNO ABSORVENTES (ABC) 4. INTRODUÇÃO Tradicioalmete, os métodos FDTD (método difereças fiitas o domíio do tempo), o FEM (método dos elemetos fiitos), MOM (método dos mometos) e outros, apresetam dificuldades quado da implemetação computacioal, quado tratam de problemas de região aberta, devedo, portato, a região de aálise ser trucada, para mater as eigêcias de recursos computacioais raoáveis. Estas codições ão podem ser derivadas diretamete das equações de Mawell e assim, codições de radiação auiliares devem ser usadas [], as quais ão devem causar refleões espúrias das odas que icidam as paredes absorvetes. O objetivo é torar essas paredes ivisíveis para qualquer oda eletromagética detro da região de aálise. Vários métodos foram propostos para tratar do trucameto da região de aálise, como, por eemplo: a codição simples apresetada por Taflove e Brodwi [], a codição absorvete de MUR de primeira e seguda ordem de precisão [3], Higdo [4], Liao [5], método de operação complemetar (COM) [6], U-PML (PML uiaial) [7], codições de limite absorvetes de Egquist-Majda (ABC s) [8], que é baseada a equação de oda de setido úico. Combiado também o método FEM com o método dos mometos (MOM) temos um esquema híbrido [9]. Neste método híbrido, o método FEM é aplicado detro da região de aálise e o método MOM é aplicado o cotoro. As camadas absorvetes de espessura fiita também foram estudadas recetemete, por Bereger [0], o qual itroduiu esse método eficiete chamado de método de camadas perfeitamete casadas (PML). Este forece uma relação etre os campos a região de aálise e aqueles as camadas de PML para todos os âgulos de icidêcia e freqüêcia dos campos, de modo que depois de peetrar a PML as odas são ateuadas sigificativamete ão havedo refleão de volta à região de aálise. Bereger formulou esta técica para uso o método FDTD. Neste trabalho foram cosideradas ABC s para meios isotrópicos, homogêeos, lieares, ão dispersivos e sem perdas []. A aplicação para meios ão-homogêeos segue a dedução das ABC s, associada à 45

65 mudaça de meio e de velocidade de propagação da oda. Para problemas muito compleos às vees é melhor aumetar a malha de estudo e adaptar as codições absorvetes ao problema. 4. CAMADAS PERFEITAMENTE CASADAS - PML A técica PML [] é uma codição absorvete cosiderada perfeitamete casada porque odas eletromagéticas podem passar de uma camada para outra sem refleão a iterface etre as mesmas, para qualquer âgulo de icidêcia e freqüêcia. Isto é coseguido itroduido um meio especialmete projetado para o fim de absorção. A PML é formada por camadas absorvetes colocadas em toro do domíio de estudo, podedo ser colocada bem próima à estrutura a ser estudada. Suas características são escolhidas de acordo com o problema que se deseja solucioar [3]. Após o desevolvimeto da PML foi possível desevolver a simulação de câmaras aecóicas com ateuação superior a 60dB [4]. Este foi um dos grades passos dados para em beefício ao método FDTD a década de 90. Cosidere-se um problema eletromagético D que possui as compoetes Ε, Ε e H (modo TE ). No meio PML as equações de Mawell podem ser escritas como: Ε H Z ε σε = (4.) t Ε H ε σε = (4.) t H Ε * Ε µ σ H = (4.3) t ode, * σ é a codutividade magética do meio. Para que ão haja refleão, a seguite codição deve ser satisfeita []: * σ σ = ε µ 0 0 (4.4) 46

66 Etão, para o Modo TE, as seguites equações substituem as de Mawell a PML: ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.5) t ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.6) t H Ε * µ σ H = (4.7) t H * Ε µ σ H = (4.8) t ode, H =. H H H Como a compoete e H H H H é decomposta em duas sub-compoetes,, para o cálculo do campo elétrico etre o vácuo e a PML usa-se H =. A Figura 4. ilustra a PML em dimesões. A PML termia em um codutor perfeito, aplicado-se aí as adequadas codições de cotoro. Iterface Meio-PML Codutor Perfeito P M L PML P M L PML P M L P M L Região de Aálise PML P M L P M L Ε Ε Η Η Η L = 0 ½ 8 8/ 9 9/ 0 Fig. 4. PML circudado uma malha bidimesioal. 47

67 Para o caso TM, as equações a PML são dadas por: ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.9) t H * ( Ε Ε ) µ σ H = (4.0) t Ε H ε σ Ε = (4.) t Ε H ε σ Ε = (4.) t ode, Ε =. Ε Ε As codutividades iclusas a PML promovem a absorção da eergia eletromagética, dissipado-a. Eistem diferetes codutividades para cotemplar todas as possíveis direções de propagação das odas eletromagéticas em cotato com a camada absorvete. O pricipio da PML é relativamete simples e é obtido pela modificação das equações clássicas para o casameto etre meios de tal forma a ão haver refleão idepedete do âgulo de icidêcia e freqüêcia da oda eletromagética. A subdivisão das compoetes dos campos é estedida para o caso tridimesioal [5], ode cada uma das compoetes de campo, que aparecem as equações de Mawell, são divididas em duas compoetes cada. Assim, para a PML 3D os campos elétrico e magético são divididos, resultado em doe sub-compoetes, Ε,,. Logo, as equações de Ε, Ε, Ε, Ε, Ε, H, H, H, H, H H Mawell são escritas como: ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.3) t 48

68 ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.4) t ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.5) t ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.6) t ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.7) t ( H H ) Ε ε σ Ε = (4.8) t ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.9) t ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.0) t ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.) t H * ( Ε Ε ) µ σ H = (4.) t ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.3) t ( Ε Ε ) H * µ σ H = (4.4) t ode, H = H H, H = H H, H = H H Ε = Ε Ε, Ε = Ε Ε, Ε = Ε Ε 49

69 Os campos a froteira etre o domíio de estudo e a PML devem ser calculados usado-se as relações acima. Para a implemetação da PML falta determiar as codutividades (que itroduem a aisotropia o meio) e o úmero de camadas absorvetes que se deseja, de acordo com o grau de refleão a se obter. Em pricipio, o fator de refleão pode ser tão pequeo quato se queira, bastado aumetar a espessura da PML ( δ ) e (ou) a codutividade σ ( ρ) acotece depededo de δ e σ ( ρ) codutividades são:. Na prática, uma certa refleão umérica []. Os passos ecessários para o cálculo das Escolha da espessura da PML, ou seja, δ. Valores comus: N=[6,0], camadas ( N = δ ). A refleão desejada R, ormalmete meor que %, este trabalho foi utiliado R = 0,000 ou 0,0%. Escolha da variação da codutividade: liear, parabólica ou geométrica. Para o cálculo das codutividades liear ou parabólica usa-se:. Cálculo da codutividade da camada mais etera: = para liear e = para parabólica: l( R) ( ) ε σ m = ( / )δ 0 c (4.5). Cálculo da codutividade da primeira camada L = 0, usado o cálculo dos campos elétricos. σ m σ ( 0 ) = (4.6) N ( ) 3. Cálculo das codutividades para L > 0 e itero, usado o cálculo dos campos elétricos. [ ] ( L) = σ ( 0) ( L ) ( L ) σ (4.7) 50

70 4. Cálculo das codutividades para L > 0 e fracioário, usado o cálculo dos campos magético. ( ) ( L) σ µ ε * 0 σ L = (4.8) 0 O fator de crescimeto geométrico da codutividade é represetado por g (valores maiores que são usuais [3]). Para o cálculo dessa codutividade usa-se:. Cálculo da codutividade auiliar a iterface região de aálise-pml: ( g) ε0c l σ 0 = l ( R) (4.9) N ( g ). Cálculo da codutividade da primeira camada L = 0, usado o cálculo dos campos elétricos. g L σ 0 =σ 0 g (4.30) g l ( g) 3. Cálculo das codutividades para L > 0 e itero, usado o cálculo dos campos elétricos g L σ ( L) =σ 0 g (4.3) g l ( g) 4. Cálculo das codutividades para L > 0 e fracioário, usado o cálculo dos campos magético. σ ( ) ( L) σ µ ε 0 L = (4.3) 0 Como as compoetes de campo elétrico e magético estão defasadas de meio, as codutividades elétrica e magética também o estão. Assim, o casameto de impedâcia, que sigifica igual adsorção para os campos elétrico e magético, ão é 5

71 perfeitamete alcaçado pelo processo umérico o FDTD. Desta forma, a teoria a PML é perfeitamete absorvete, mais a prática eiste uma pequea fração de refleão. Para garatir a estabilidade dos resultados, duas codições devem ser satisfeitas. Uma di respeito à codutividade da primeira camada e é dada por: ( ) ode Τ t é o tempo total de simulação. π ε < Τ 0 σ 0 (4.33) t A seguda di que a raão da variação das sucessivas codutividades deve ser meor que um determiado valor, deomiado S. ( L / ) σ ( L) ( L = 0, /, 3/,...) σ S (4.34) O parâmetro S depede do problema a ser solucioado e é estimado empiricamete [3]. Geralmete testa-se a PML para ver se os parâmetros estão corretos. A variação da codutividade satisfa automaticamete à equação (4.34), sedo g = S. A PML 3D ão é simples de programar face aos vários detalhes que precisam ser cosiderados, tais como: diferetes codutividades e depedêcia com as coordeadas e ; resolução de equações FDTD; cuidados especiais devem ser tomados a relação etre as equações a serem usadas a região de aálise e a PML e a locação de matries para cobrir a malha toda. Portato, muitas vees é preferível utiliar uma ABC mais simples e fácil de programar, aida que se aumetem as refleões uméricas. Em 996, Gede [] propõe uma iterpretação física para a PML de Bereger, itroduido a aisotropia uiaial de forma a elimiar as compoetes de campo auiliares (split field) usadas por Bereger. Esta formulação deomiou-se U-PML (Uiaial-Perffectl Matched Laers) [, 4-7] e foi desevolvida como segue: No domíio da freqüêcia, as equações de Mawell podem ser epressas por: e Ε = - jωµ Η (4.35) 5

72 53 = Ε Η ωε j (4.36) as quais os termos em egrito represetam a versão fasorial dos campos eletromagéticos. A idéia é iserir tesores para promover a aisotropia uiaial a U- PML, da seguite maeira (icluido as perdas elétricas): [ ] = Η Ε µ jω - (4.37) e [ ] = J Ε Η ε ω j (4.38) Os tesores das equações (4.35) e (4.36) são epressos, respectivamete, por [ε]=ε[s] e [µ]=µ[s], ode [S] é dado por: [ ] = S S S S S S S S S S (4.39) a qual os termos S α são úmeros compleos dados por: ο α α α ωε σ j S K = (4.40) ode, α =,,. Para se evitar covoluções, quado as equações forem passadas para o domíio do tempo, as seguites variáveis são defiidas. ; S ; S ; S ; ; ' S S S S S S Ρ = = = = = = ' ' Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ε Ρ Ε Ρ Ε Ρ (4.4)

73 54 Realiado a substituição das variáveis, passado para o domíio do tempo e utiliado difereças cetradas para substituir as derivadas, chega-se, para atualiar a compoete E. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = -,, -,, - -,, -,, -,,,, k j i k j i k j i k j i t t t k j i k j i ' ' Η Η Η Η Ρ Ρ σ ε σ ε σ ε (4.4) ( ) ( ) ( ) o o o t t t k j i k j i ' ' Ρ Ρ Ρ Ρ - -,,,, Κ Κ Κ = ε σ ε σ ε σ (4.43) ( ) ( ) - -,,,, Κ Κ Κ Κ Κ = o o o o o t t t t t k j i k j i ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ Ρ Ρ Ε Ε (4.44) Vale ressaltar que estas equações devem ser atualiadas esta seqüêcia. Para as demais compoetes de campo, icluido as do campo magético, o mesmo procedimeto é adotado para obter-se as equações em difereças fiitas. 4.3 CONCLUSÕES Na elaboração deste trabalho, a aplicação dos coceitos das codições de cotoro absorvete (ABC), foi fudametal, uma ve que quado trabalhamos com o FDTD, esbarramos o problema da implemetação computacioal, ode temos que trucar a região de aálise. Neste trabalho foi utiliado como ferrameta, a PML (Camadas Perfeitamete Casadas) que atede ao fim que se destia, dado que, as odas

74 eletromagéticas são ateuadas para todos os âgulos de icidêcia dos campos, evitado com isso a refleão, o que ão seria iteressate para os resultados das simulações. 55

75 REFERÊNCIAS [] TAFLOVE, Alle, Applicatio of the Fiite-Differece Time-Domai Method to Siusoidal Stead-State Electromagetic-Peetratio Problems, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. EMC-, No. 3, Aug. 980, pp [] TAFLOVE, Alle, ad Morris E. Brodwi, Numerical Solutio of Stead-State Electromagetic Scatterig Problems Usig the Time-Depedet Mawell`s Equatios, IEEE Tras. Microwave Theor ad Techiques, Vol. MTT-3, No. 8, Aug. 975, pp [3] MUR, Gerrit, Absorbig Boudar Coditios for Fiite-Differece Approimatio of the Time-Domai Electromagetic-Field Equatios, IEEE Tras. Electromagetic Compatibilit, Vol. EMC-3, No. 4, Nov. 98, pp [4] HIGDON, R. L., Absorbig Boudar Coditio for Differece Approimatios to the Multidimesioal Wave Equatio, Math. Of Computatio, Vol. 47, 986, pp [5] LIAO, Z., Wog H., Yag B., ad Yua Y., A Trasmittig Boudar for Trasiet Wave Aalses, Sci, Siica (series A), XXVII, 984, pp [6] RAMAHI, O.M., The Complemetar Operators Method i FDTD Simulatios, IEEE Ateas ad Propagatio Magaie, Vol. 39, No. 6, Dec. 997, pp [7] ZIOLKOWSKI, R. W., Time-Derivative Loret Materials ad Their Utiliatio as Electromagetic Absorbers, Phsical Review E, Vol. 55, pt. B., 997, pp [8] B. Egquist e A. Majda, "Codições de limite absorvetes para a simulação umérica das odas", math. Comput., vol. 3, pp , 977. [9] M. W. Ali, T. H. Hubig e J. L. Drewiak, "Uma técica híbrida FEM/MoM para dispersar eletromagético e radiação dos objetos dielétricos com fios uidos," trasporte de IEEE a compatibilidade eletromagética, ovembro 997. [0] J. P. Bereger, "Uma camada perfeitamete combiada para a absorção de odas eletromagéticas, ", J. Comp(s). Ph, vol. 4, pp , outubro

76 [] GEDNEY, Stephe D., A Aisotropic Perfectl Matched Laer-Absorbig Medium for the Trucatio of FDTD Lattices, IEEE Tras. O Ateas ad Propagatio, Vol. 44, No., Dec. 996, pp [] BERENGER, J.P., A Perfectl Matched Laer for the Absorptio of Electromagetic Waves, J. Computatioal Phsics, Vol. 4, 994, pp [3] BERENGER, J.P., A Perfectl Matched Laer for the FDTD Solutio of Wave- Structure Iteractio Problems, IEEE Tras. Ateas ad Propagatio, Vol. 44, No., Ja. 996, pp [4] HOCKANSON, David M., Perfectl Matched Laers Used as Absorbig Boudaries i a Three-dimesioal FDTD Code, Techical Report, UMR EMC Laborator. [5] BERENGER, J.P., Three-dimesioal Perfectl Matched Laer for the Aborptio of Electromagetic Waves, J. Computatioal Phsiscs, Vol. 7, 996, pp [6] Almeida, J. F., dos Satos R. O. e Sobriho, C. L. da S. S., Técica Computacioal para Implemetação de Codições de Froteira Absorvete UPML - por FDTD: Abordagem Completa, IEEE Lati America Trasactios, vol. 3, o. 5, pp , Dec [7] Tuma, Eduardo T., Proposta de um ovo modelo para aálise dos comportametos trasitório e estacioário de sistemas de aterrameto, utiliado-se o método FDTD, Tese (Doutorado em Egeharia Elétrica), Cetro Tecológico, Uiversidade Federal do Pará, Belém,

77 CAPÍTULO V PROCESSAMENTO PARALELO 5. INTRODUÇÃO Diversas aplicações procuram laçar mão de muilti-processameto para obter um melhor desempeho, a começar pelos próprios sistemas operacioais ou serviço de busca a iteret. Em computação paralela os programas são eecutados em processadores paralelos para alcaçar altas taas de desempeho e, geralmete, eistem tatos processos quatos processadores, tetado resolver um problema de forma mais rápida ou um problema maior o mesmo itervalo de tempo. 5. OBJETIVO E CONCEITO DE PROCESSAMENTO PARALELO Um cluster é um cojuto de computadores (heterogêeos ou ão) coectados em rede para o desevolvimeto de processameto em paralelo. Ou seja, as máquias são coectadas via rede para formarem um úico computador []. O processameto paralelo cosiste em dividir uma tarefa em suas partes idepedetes e a eecução de cada uma destas partes em diferetes processadores. 5.3 O QUE SE PRECISA SABER Para que possamos desevolver programas usado processameto paralelo em um cluster de computadores, precisamos ter o domíio de um cojuto de coceitos, que evolvem: Os diferetes tipos de processameto paralelo; As bibliotecas utiliadas para distribuição do processameto, processos, threads, PVM e MPI. Como desevolver algoritmos e códigos utiliado processameto paralelo. Isto é, como desevolver as rotias dos programas usado processameto paralelo. Para maiores detalhes cosulte a bibliografia [-]. 58

78 5.4 TIPOS DE PROCESSAMENTO PARALELO Descrevem-se a seguir os diferetes tipos de estruturas utiliadas para implatar o processameto paralelo PROCESSAMENTO PARALELO COM SWAR (SIMD WITHN A REGISTER) Cosiste em utiliar as istruções MMX dispoibiliadas pelos processadores (Petium MMX), para realiar tarefas em paralelo. Requer programação em baio ível. Observe que com swar você pode faer processameto paralelo em uma máquia com um úico processador PROCESSAMENTO PARALELO COM SMP (SYMETRIC MULTI PROCESSOR) SMP é uma sigla que desiga computadores com mais de um processador com as mesmas características, daí o termo Smetric Multi Processor. Os processadores compartilham o mesmo BUS e a mesma memória. Requisitos Os programas devem ser desevolvidos com uso de múltiplas threads (multi- threadigs) ou múltiplos processos (multi processig). Vatages Relatividade fácil de programar. Desvatages Requer máquias com dois ou mais processadores (são máquias caras) PROCESSAMENTO PARALEO COM CLUSTER BEOWULF Beowulf é uma tecologia de cluster que agrupa computadores rodado GNU / Liu para formar um supercomputador virtual via processameto paralelo (distribuído).veja maiores detalhes em [9, 3-7]. Requisitos Cojuto de computadores (sem teclado, sem moitor e sem mouse) coectados em rede para processameto paralelo (uso eclusivo). Requer o uso de uma biblioteca de mesages como PVM ou MPI, ou o uso de múltiplos processos com o Mosi. 59

79 Vatages Mauteção facilitada, redução do umero de problemas ocasioados pela istalação de pacotes desecessários. Meor custo das máquias e de mauteção. Desvatages As máquias tem seu uso limitado ao processameto defiido pelo servidor. 5.5 BIBLIOTECAS PARA DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS UTILIZANDO PROCESSAMENTO PARALELO Os programas podem ser desevolvidos utiliado-se processos, threads, ou sistemas de troca de mesages PVM, MPI. Os dois grades padrões para troca de mesages em clusters, são o Parallel Virtual Machie (PVM) e o Message Passig Iterface (MPI). O PVM é o padrão mais atigo, é realmete o ome de uma biblioteca. O MPI é a ovidade a área, é um padrão com varias implemetações criadas pricipalmete por uiversidades e algumas suportadas comercialmete por empresas (adaptado de []). 5.6 PROCESSOS De um modo geral, os computadores com sistemas operacioais multitarefa dispoibiliam um cojuto de fuções para divisão e compartilhameto do processador e da memória. Estes sistemas costumam dispoibiliar demadas o Kerel que possibilitam a criação de múltiplos processos. Se a máquia tem mais de um processador, o sistema operacioal distribui os processos pelos processadores. No GNU/Liu e as variates do Ui, um processo pode ser cloado com a fução fork. A comuicação etre os processos é feita de forma simplificada com o uso de pipes. Requisitos Requer o aprediado do uso das istruções fork (para cloar processos) e pipe (para comuicação etre os processos). Vatages Pode ser utiliado com Mosi, ão sedo ecessário acrescetar mecaismo de distribuição dos processos. Desvatages O Mosi só é dispoível a plataforma GNU/LINUX. 60

80 5.7 THREADS Threads são múltiplos camihos de eecução que rodam cocorretamete a memória compartilhada e que compartilham os mesmos recursos e siais do processo pai. Uma thread é um processo simplificado, mais leve ou light, custa pouco para o sistema operacioal, sedo fácil de criar, mater e gereciar. Requisitos Requer o cohecimeto da biblioteca de programação com threads (também cohecida como Pthreads). Vatages Em poucas palavras é o pacote defiitivo para o desevolvimeto de programação em larga escala o Liu, [3]. Relativamete fácil de programar. O GNU/Liu em total suporte ao Pthreads. Desvatages Não pode ser utiliado com MOSIX. 5.8 PVM (PARALLEL VIRTUAL MACHINE) É a biblioteca mais utiliada para processameto distribuído. É o padrão de fato da idústria de software. O PVM se baseia em duas primitivas básicas: i) evie mesagem e ii) receba mesagem. É de fácil utiliação, mas ão é tão poderoso quado comparado com o MPI. O usuário deve cofigurar as máquias para que sejam as mais idêticas possíveis, facilitado a mauteção e estabelecedo uma relação de cofiaça etre elas. Usar rhosts e rsh é a forma mais simples de coseguir isso. O usuário roda o gereciameto do PVM, adicioa máquias ao cluster e depois simplesmete eecutar o programa feito usado as bibliotecas PVM. Veja mais detalhes em [3, 5, 9, 8]. Requisitos Para o desevolvimeto dos programas é ecessário cohecer a biblioteca PVM. É um sistema eplicito, ou seja, cabe ao programador dividir as tarefas através da troca de mesages. Vatages Possibilita o uso do processameto distribuído. É o mais utiliado. Algus programas de egeharia e matemática geram código automaticamete para o PVM. Desvatages Não é mais o padrão. O desevolvimeto dos programas fica bem mais complicado quado comparados com threads. 6

81 5.9 MPI (MESSAGE PASSING INTERFACE) É um método que iclui coceitos ovos como rak (cada processo tem uma idetificação úica, crescete), group (cojuto ordeado de processos) e commuicator (uma coleção de grupos), que permitem um gereciameto mais compleo (e iteligete) do uso de cada máquia do cluster. O MPI tem opções mais avaçadas (que o PVM), como evio de mesages broadcast (para todas as máquias do cluster) e multicast (para um grupo específico de máquias), assim como um melhor cotrole sobre o tratameto que cada mesagem terá ao ser recebida por outro poto do cluster. A cofiguração da MPI depede da implemetação utiliada e algumas delas chegam a istalar frot-eds para compiladores em C e FORTAN, mas a forma geral de uso é semelhate. Requisitos Requer o cohecimeto de um sistema bastate compleo de troca de mesages, o MPI. É um método eplicito. Usa o serviço rsh. Vatages É o ovo padrão para processameto distribuído, embora aida seja meos utiliado que o PVM, é mais simples. Desvatages Na prática sigifica apresetar uma ova liguagem de programação. É um padrão da idústria com varias implemetações idividuais (icompatíveis) PARALELISMO E O MÉTODO FDTD Em [9] é possível ecotrar uma abordagem detalhada sobre a paraleliação do método FDTD. Para tato, basta eviar as compoetes de campo tageciais ao plao de iterface etre as máquias viihas. As compoetes do campo elétrico são eviadas sempre para trás e as do campo magético para frete. A Fig. 5. ilustra a troca de compoetes de campo etre dois subdomíios (plao -). 6

82 Fig. 5. Troca de compoetes de campo etre dois subdomíios utiliado a biblioteca MPI (plao -). 5. CONCLUSÕES O uso do processameto paralelo em um cluster é uma ferrameta etremamete poderosa, possibilitado o desevolvimeto de simulações avaçadas em sistemas de baio custo. Como visto, os computadores podem ser utiliados para processametos comus de dia e para processametos pesados à oite e os fiais de semaa, aproveitado melhor o parque de máquias istaladas. Os programadores precisam apreder os coceitos básicos de processameto paralelo e as diferetes formas de distribuição do processameto (processos, threads, PVM, MPI), além de ter um profudo cohecimeto da teoria evolvida o objeto de paraleliação (método FDTD, este caso). 63

83 REFERÊNCIAS [] GUILHERME, W. M., Super-Computador a Preço de Baaa, Revista do Liu, Vol.., 999. [] DAVID, R. B., Programmig with POSIX (R) Threads, Addiso-Wesle, 987. [3] HANK, D., Liu Parallel Processig HOWTO, [4] AL, G., ADAN, B., ad JACK, D., PVM: Parallel Virtual Machie, MIT Press, 994. [5] CAMERON, H., ad TRACEY, H., Object Orieted Multithreadig usig C : architectures ad compoets, Vol.. Joh Wile Sos, ed., 997. [6] BRIAN, M., Itrodutcio to multi-thread programmig, Liu Joural, april 999. [7] PETER, P., Parallel Programmig With MPI, Morga Kaufma Publishers, 996. [8] Liu Threads Programmig. Matteo dell omodarme. [9] JACEK, R., ad DOUGLAS, E., Beowulf HOWTO, [0] BRYAN, S., Faq-threads, bos/threads-faq/, 996. [] TOM, W., ad DOM, T., Gettig started with posi threads, Uiversit of Massachusetts at Amherst, jul 995. [] BARRY, W., ad C. Michael Alle, Parallel Programmig: Techiques ad Applicatios Usig Workstatio ad Parallel Computers, Pretice Hall, 999. [3] DANIEL, R., DANIEL, S., DONALD, B., CHANCE, R., THOMAS, S., ad PHILLIP, M., A desig stud of alterative etwork topologies for the Beowulf parallel workstatio, Fifth IEEE Iteratioal Smposium o High Performace Distributed Computig, 996. [4] PHILLIP, M., THOMAS, S., BECKER, D. R., DONALD, B., ad PHILLIP, M., Haressig the power of parallelism i a pile-of-pcs, IEEE Aerospace, 997. [5] DANIEL, S., BRUCE, F., KELVIN, O., DONALD, J. Becker., ad THOMAS, S. Commuicatio overhead for space sciece applicatios o the Beowulf parallel workstatio, High Performace ad Distributed Computig,

84 [6] DANIEL, S., JOHN, E., DORBAND, U. A., RANAWAK, C. V., DONALD, J. Becker., ad THOMAS, S., Beowulf: A parallel workstatio for scietific computatio, Iteratioal Coferece o Paralllel Processig, 995. [7] DANIEL, S., MICHEL, R., THOMAS, S., DONALD, J. Becker., ad CHANCE, R., Achievig a balaced low-cost architecture for mass storage maagemet through multiple fast etheeet chaels o the Beowulf parallel workstatio, Iteratioal Parallel Processig Smposium, 996. [8] KURT, W., Liu Programmig Uleashed, Vol.. SAMS, ed., 00. [9] Oliveira, Rodrigo M. e S. de, Estudo Tridimesioal da Propagação Eletromagética em Caais Outdoor Através do Método de Implemetação B- FDTD com Processameto Paralelo. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Egeharia Elétrica, Cetro Tecológico, Uiversidade Federal do Pará, Belém,

85 CAPÍTULO VI RESULTADOS 6. INTRODUÇÃO Neste capítulo apresetam-se: o ambiete computacioal (LANESAGS) usado as simulações, assim como os resultados obtidos para a estratificação do solo utiliado-se do método de Weer, e para a determiação da resistêcia de terra de um sistema de aterrameto. Os resultados aqui obtidos mostram-se perfeitamete coeretes com a teoria relacioada, ratificado a versatilidade, a precisão e a facilidade de uso do LANESAGS, a solução de problema evolvedo a teoria eletromagética. 6. CONFIGURAÇÃO DO SOFTWARE LANESAGS Fig. 6. Iterface gráfica do software LANESAGS. 66

86 Para as simulações realiadas este trabalho, foi utiliado o software LANESAGS []. Com este software, é possível costruir ambietes e cofigurações de aterrameto simples e compleos a partir da etrada de dados em uma iterface gráfica para usuários (Graphical User Iterface GUI), cuja jaela pricipal pode ser vista a Figura 6.. Para realiar uma simulação, os seguites dados devem ser iseridos o software, via iterface gráfica (Figura 6.): DISCRETIZAÇÃO DO PROBLEMA () Dimesão da célula cúbica de Yee Número de células em cada direção (, e ) aqui levam-se em cota as células utiliadas pela região absorvete U- PML CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DO SOLO () Célula da superfície do solo Codutividade elétrica Permissividade elétrica FONTE DE CORRENTE (3) Posição (célula) Direção (, ou ) Amplitude (A) HASTES FINAS (4) Direção e Coordeadas Raio do codutor cilídrico CÁLCULOS AUXILIARES (5) Tesões etre potos desejados (5.) Correte em um poto desejado (5.) defiir a direção INCLUSÃO DAS CAMADAS NO SOLO (6) Superfície das camadas Codutividade das camadas TEMPO DE SIMULAÇÃO (7) Especificar o tempo em µs. INICIAR A SIMULAÇÃO (8) 67

87 Para efeito de simulação do método de Weer os solos apresetado este trabalho, bem como, a obteção da resistêcia de aterrameto, foi utiliado como fote de ecitação o pulso de tesão mostrado a Figura 6. [], que é epresso por: para t,5t f V = ω (6.) αt α t S ( t) Vma ( e e ) se ( 0t) / A0 para t >,5T f V αt αt S ( t) Vma ( e e ) / A0 = (6.) ode, α =,9347/T f, =,55847 /Tt ω = π α 0, ( 3T f ), A 0 α t, αt0 αt0 = e e, 0 = l /( α α ) α as quais, V s (t) = é a tesão istatâea V ma = é a voltagem de pico T f = é o tempo de frete de oda (0.063µs) T t =é o tempo de cauda (500µs). Fig. 6.. Forma de oda do pulso de tesão aplicado (Fote de ecitação). 68

88 6.3 ANÁLISE DO SOLO DE UMA CAMADA (SOLO HOMOGÊNEO) PELO MÉTODO DE WENNER Neste primeiro eemplo apresetam-se os resultados relacioados à aálise do solo homogêeo usado-se a metodologia de Weer o ambiete LANESAGS. Para tal, cosidere um solo de uma camada, como mostrado a Figura 6.3a. Nesta figura, o solo é cosiderado como tedo apeas uma resistividade e de espessura ifiita com resistividade elétrica de Ω.m. Superfície da terra ρ = Ω.m (a) a a a 3 4 (b) Fig. 6.3: a) Solo homogêeo ou de uma camada e b) estrutura dos eletrodos istalada. Para a aálise deste solo, a estrutura da Figura.4, reproduida a Figura 6.3b, foi costruída o ambiete LANESAGS. Desta forma, um domíio de aálise com as seguites dimesões, foi gerado: Direção variado etre 08 células e 336 células, coforme o afastameto (a) etre as hastes; Direção 50 células; Direção 40 células. Depois da iserção dos dados o ambiete gráfico do software LANESAGS, foi gerado a estrutura de aálise apresetado a Figura

89 Fig. 6.4 Estrutura de aálise, utiliado-se do método de Weer, para um solo homogêeo. Para efeito de simulação do método de Weer, assumiu-se o afastameto (a) etre as hastes igual a,, 4, 8 e 6m. As hastes,, 3 e 4 da Figura 6.3b, assim como o cabo de coecção etre as hastes e 4, têm raio de 0mm de seção trasversal. As hastes tiveram 0,8m de seus comprimetos eterrado o solo. As hastes e 4 têm comprimeto total de 0,768m, equato que as hastes e 3 têm comprimeto de 0,56m. O cabo de coecção etre as hastes e 4 tem comprimeto horiotal equivalete à 3a, abatedo-se deste valor o comprimeto da aresta de uma célula que correspode ao comprimeto da fote, estado este posicioado a 0,64m (cico células) acima da superfície do solo. Neste codutor foi posicioado um gerador de correte, o qual é costituído de uma fote de tesão em série com uma resistêcia de 435 ohms [3], posicioados etre as hastes e 3. A fote foi ajustada de forma a produir um tempo de frete de oda de 0,063 microsegudo, tempo de cauda de 500 microsegudo e tesão de pico de 55 Volts. A simulação foi realiada cosiderado-se a região de aálise discretiada em células, ode = = 0,5m e = 0,8m. Os codutores usados em todas as simulações foram cosiderados perfeitos. A permissividade elétrica relativa da terra foi cosiderada igual a 0 e sua permeabilidade magética relativa foi cosiderada uitária. Para efeito de cálculo da tesão etre os etremos das hastes e 3, a seguite equação foi usada. 3 i Edl i= i 3 i V = E (6.3) 3 ode, Ε = é o vetor itesidade de campo elétrico (v/m), Ε = é a compoete, a direção, do vetor Ε. 70

90 A seguir mostram-se os resultados obtidos, curva resistividade tempo, para os diversos valores de (a) mecioada acima. Os resultados das simulações o que tage a resistividade do solo, jutamete com aqueles ecotrados a literatura [4] para diversos valores de (a), mostram uma ecelete aproimação etre os mesmos. Esses resultados comprovam a potecialidade do LANESAGS que foi implemetado para aalisar tatos solos homogêeos (apeas uma camada) como solos estratificados a partir do método de Weer, permitido, com isso, faer ovas aálises, com vista à solução de problemas de sistema de aterrameto SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO HOMOGÊNEO PARA OS AFASTAMENTOS (a) DE,, 4, 8 e 6m ENTRE AS HASTES. A resistêcia elétrica obtida umericamete pela raão etre a tesão os etremos das hastes e 3 e a correte da haste 4 para a é substituída a equação., combiada com a equação.. Resultado as curvas das resistividades do solo em fução do tempo (Figura 6.5), ode os valores destas em estado estacioário, tedem para o valor da resistividade do solo em questão, que possui uma resistividade de Ω.m, temos, portato difereças aceitáveis etre os valores simulados e o valor real. Resistividade (Ohm.m) Curvas das resistividades Afastameto de m Afastameto de m Afastameto de 4m Afastameto de 8m Afastameto de 6m Resistividade (Ohm.m) Tempo em (µs) Fig. 6.5 Curvas das resistividades para diversos afastametos, em um solo homogêeo. Pelo que se pode observar a Figura 6.5, as curvas das resistividades para os diversos afastametos (a), gravitam em toro do valor real da resistividade do solo que é de Ω.m, demostrado com isso, a potecialidade do método. 7

91 Observa-se que para os afastametos maiores, isto é, 4, 8 e 6m as curvas de resistividades, apresetam um valor de pico muito elevado, isso se deve ao fato de que a amplitude dessas curvas depede basicamete da permissividade elétrica do solo, e cosequetemete da capacitâcia que é gerada por cota das hastes. As hastes paralelas fucioam como as placas de um capacitor, e o solo que se ecotram etre elas fa às vees do dielétrico. Como é sabido, a capacitâcia varia em fução da distâcia etre as placas e da permissividade do dielétrico, portato quado variam-se os afastametos etre as hastes e a permissividade do solo, tem-se as respectivas capacitâcias iflueciado a amplitude do sial. Na Tabela 6. é feito um resumo dos resultados obtidos através das duas técicas, a apresetada em [4] e a apresetada este trabalho, assim como a difereça etre os resultados (desvio relativo em %). Tabela 6. Comparação etre os resultados (solo homogêeo) Afastameto Resitividade do solo Resitividade (Ω.m) Desvio (m) (Ω.m) FDTD (%) ,57 0, ,96 7, ,33 5, ,0 9, ,4 6,7 6.4 ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO DE DUAS CAMADAS PELO MÉTODO DE WENNER Nesta seção, apresetam-se agora os resultados relacioados à estratificação do solo usado-se a metodologia de Weer o ambiete LANESAGS. Para tal eperimeto, cosidera-se um solo de duas camadas, como mostrado a Figura 6.6a. Nesta figura, o solo é cosiderado como tedo duas camadas, sedo a mais próima da superfície da terra com espessura de,5m e resistividade elétrica de 700 Ω.m e a outra cosiderada de espessura ifiita e resistividade de 66,36 Ω.m. Para a aálise deste solo, a estrutura da Figura.4, reproduida a Figura 6.6b, foi costruída o ambiete LANESAGS, ode, um domíio de aálise com as seguites dimesões, foi gerado: 7

92 Direção variado etre 4 células e 44 células, coforme o afastameto (a) etre as hastes; Direção 4 células; Direção 60 células. Para efeito de simulação do método de Weer, assumiu-se o afastameto (a) etre as hastes igual a,, 4, 6, 8 e 6m. Superfície da terra h =,5m ρ = 700 Ω.m h = ρ = 66,36 Ω.m (a) a a a 3 4 (b) Fig. 6.6: a) Solo estratificado em duas camadas e b) estrutura dos eletrodos istalada. As hastes,, 3 e 4 da Figura 6.6b, assim como o cabo de coecção etre as hastes e 4, têm raio de 0mm de seção trasversal. As hastes tiveram,5m de seus comprimetos eterrado o solo. As hastes e 4 têm comprimeto total de,75m, equato que as hastes e 3 têm comprimeto de,5m. O cabo de coecção etre as hastes e 4 tem comprimeto horiotal equivalete à 3a, abatedo-se deste valor o comprimeto da aresta de uma célula que correspode ao comprimeto da fote, estado este posicioado a 0,5m (duas células) acima da superfície do solo. Neste codutor foi posicioado um gerador de correte, o qual é costituído de uma fote de tesão em série com uma resistêcia de 435 ohms [3], posicioados etre as hastes e 3. A fote utiliada para ecitação foi a mesma do eperimeto aterior, isto é, com um 73

93 tempo de frete de oda de 0,063 microsegudo, tempo de cauda de 500 microsegudo e tesão de pico de 55 Volts. A simulação foi realiada, cosiderado-se a região de aálise discretiada em células cúbicas de Yee, ode = = = 0,5m. Com o ituito de satisfaer a codição de Courat, utiliou-se um itervalo de tempo t = 48,45 aosegudo. Os codutores usados em todas as simulações foram cosiderados perfeitos. A permissividade elétrica relativa da terra foi cosiderada igual a 0 e sua permeabilidade magética relativa foi cosiderada uitária. Para efeito de cálculo da tesão etre os etremos das hastes e 3, foi utiliado a equação 6.3. A seguir, mostram-se os resultados obtidos, curva resistividade tempo, para os diversos valores de (a) mecioada acima SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE m ENTRE AS HASTES. A resistêcia elétrica obtida umericamete pela raão etre a tesão os etremos das hastes e 3 e a correte da haste 4 para a é substituída a equação., combiada com a equação.. Resultado a curva da resistividade do solo em fução do tempo (Figura 6.7), ode o valor desta para o estado estacioário é de 740,74 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 684 Ω.m, implicado em uma difereça de 8,8% etre as duas técicas. Curva da resistividade (a=m) Resistividade (Ohm.m) ,0 0,5,0,5,0 Tempo em (µs) Fig Resistividade ecotrada via simulação para a = m. 74

94 Aida com relação a este caso (a = m), a Figura 6.8 mostra a distribuição da correte o plao -, após 7000 iterações. Observa-se a Figura 6.8 que a correte o solo (setas) está circulado como esperado, ido do eletrodo de correte 4 para o de úmero desviado sua trajetória as proimidades dos eletrodos de tesão. Deve-se observar que para este tipo de problema, a U-PML deve ter um afastameto míimo das hastes de correte, pois, caso cotrário, a mesma absorve parte da correte que deve voltar pelo outro eletrodo, iflueciado os resultados. Fig Distribuição vetorial da correte o plao - (a = m) SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE m ENTRE AS HASTES. Para um afastameto de dois metros etre as hastes, obteve-se o seguite gráfico para a resistividade (Figura 6.9). Sedo o seu valor o estado estacioário de 648,95 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 6 Ω.m, implicado em uma difereça de 6,05% etre as duas técicas. 75

95 Curva da resistividade (a=m) Resistividade (Ohm.m) ,0 0,5,0,5,0 Tempo em (µs) Fig. 6.9 Resistividade ecotrada via simulação para a = m SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE 4m ENTRE AS HASTES. Neste caso, obteve-se o gráfico da Figura 6.0, ode o valor da resistividade estacioária foi de 407,74 Ω.m.. O resultado obtido quado se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 45 Ω.m, implicado em uma difereça de,9% etre as duas técicas. Curva da resistividade (a=4m) Resistividade (Ohm.m) ,5 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Tempo em (µs) Fig. 6.0 Resultado da simulação do método de Weer para um a = 4m SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE 6m ENTRE AS HASTES. O gráfico da Figura 6. mostra o comportameto da resistividade em fução do tempo, sedo o valor o estado estacioário de 306,7 Ω.m. O resultado obtido quado 76

96 se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 94 Ω.m, implicado em uma difereça de 4,08% etre as duas técicas. Curva da resistividade (a=6m) 000 Resistividade (Ohm.m) Tempo em (µs) Fig. 6. Resultado da simulação para um a = 6m SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE 8m ENTRE HASTES. A Figura 6. mostra o comportameto da resistividade, sedo o seu valor estacioário de,08 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 37 Ω.m, implicado em uma difereça de 0,9% etre as duas técicas Curva da resistividade (a=8m) 500 Resistividade (Ohm.m) Tempo em (µs) Fig. 6. Resultado da simulação para um a=8m SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE DUAS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE 6m ENTRE AS HASTES. A Figura 6.3 mostra o comportameto da resistividade, sedo o seu valor estacioário de 8,00 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de duas camadas, usado curvas [4], resulta o valor 89 Ω.m, implicado em uma difereça de 4,3% etre as duas técicas. 77

97 Curva da resistividade (a=6m) Resistividade (Ohm.m) Tempo em (µs) Fig. 6.3 Resultado da simulação para um a=6m COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELO MODELO ANALÍTICO E PELO MÉTODO FDTD. Na Tabela 6. é feito um resumo dos resultados obtidos através das duas Técicas, a apresetada em [4] e a apresetada este trabalho, assim como a difereça etre os resultados (desvio relativo em %). Na Figura 6.4 é feita uma comparação gráfica etre esses resultados, de forma que se observa mais claramete a boa cocordâcia etre os métodos. Tabela 6. Comparação etre os resultados (solo de duas camadas) Afastameto Resitividade do solo Resitividade (Ω.m) Desvio (m) (Ω.m) FDTD (%) , , , , , ,3 78

98 800 Curva da resistividade afatameto Resistividade (Ohm.m) kiderma FDTD Afastameto (m) 6.5 ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO DE TRÊS CAMADAS PELO MÉTODO DE WENNER Fig. 6.4 Gráficos de Resistividade: Comparação etre os Métodos FDTD e Aalítico para um solo de duas camadas. Como os dois casos ateriores, são apresetados agora os resultados relacioados à simulação realiada o ambiete LANESAGS. Para o eperimeto em tela, cosideramos este caso um solo de três camadas, como mostrado a Figura 6.5a. Nesta figura, o solo é cosiderado como tedo três camadas, sedo a mais próima da superfície da terra com espessura de 0,64m e resistividade elétrica de Ω.m, a seguda camada com espessura de 5,64m e resistividade de.575 Ω.m e a última cosiderada de espessura ifiita e resistividade de 3.03 Ω.m. Superfície da terra h = 0,64m h = 5,64m ρ = Ω.m ρ =.575 Ω.m h 3 = ρ 3 = 3.03 Ω.m (a) 79

99 a a a 3 4 (b) Fig. 6.5: a) Solo estratificado em três camadas e b) estrutura dos eletrodos istalada. Para a aálise deste solo, a estrutura da Figura.4, reproduida a Figura 6.5b, foi costruída o ambiete LANESAGS. Desta forma, um domíio de aálise com as seguites dimesões, foi gerado: Direção variado etre 08 células e 336 células, coforme o afastameto (a) etre as hastes; Direção 50 células; Direção 40 células. Para efeito de simulação do método de Weer, assumiu-se o afastameto (a) etre as hastes igual a,, 4, 8 e 6m. Depois dos dados iseridos o ambiete gráfico do software LANESAGS, foi gerado a estrutura de aálise apresetado a Figura 6.6. Fig. 6.6 Estrutura de aálise, utiliado-se do método de Weer, para um solo de três camadas. As hastes,, 3 e 4 da Figura 6.5b, assim como o cabo de coecção etre as hastes e 4, têm raio de 0mm de seção trasversal. As hastes tiveram 0,56m de seus comprimetos eterrado o solo. As hastes e 4 têm comprimeto total de 0,896m, 80

100 equato que as hastes e 3 têm comprimeto de 0,384m. O cabo de coecção etre as hastes e 4 tem comprimeto horiotal equivalete à 3a, abatedo-se deste valor o comprimeto da aresta de uma célula que correspode ao comprimeto da fote, estado este posicioado a 0,64m (cico células) acima da superfície do solo. A fote de correte utiliada esta simulação foi a mesma dos dois eemplos ateriores. A simulação foi realiada cosiderado-se a região de aálise discretiada em células, ode = = 0,5m e = 0,8m. Os codutores usados em todas as simulações foram cosiderados perfeitos. A permissividade elétrica relativa da terra foi cosiderada igual a 0 e sua permeabilidade magética relativa foi cosiderada uitária. Para efeito de cálculo da tesão etre os etremos das hastes e 3, foi utiliada a equação 6.3. A seguir mostram-se os resultados obtidos, curva resistividade tempo, para os diversos valores de a mecioada acima SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE TRÊS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE m ENTRE AS HASTES. A resistêcia elétrica obtida umericamete pela raão etre a tesão os etremos das hastes e 3 e a correte da haste 4 para a é substituída a equação., combiada com a equação.. Resultado a curva da resistividade do solo em fução do tempo (Figura 6.7), ode o valor desta para o estado estacioário é de.809,39 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de três camadas, usado curvas [4], resulta o valor.938 Ω.m, implicado em uma difereça de 7,9% etre as duas técicas Curva da resistividade (a=m) Resistividade (Ohm.m) Tempo em (µs) Fig Resistividade ecotrada via simulação para a = m. 8

101 Aida com relação a este caso (a = m), as Figura 6.8 e 6.9 mostram o comportameto dos campos elétricos e magéticos, respectivamete, o plao -, após 3.56 iterações. Fig Comportameto do campo elétrico o plao - após 3.56 iterações. Fig Comportameto do campo magético o plao - após 3.56 iterações SIMULAÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO DE TRÊS CAMADAS PARA UM AFASTAMENTO (a) DE m ENTRE AS HASTES. Para um afastameto de dois metros etre as hastes, obteve-se o seguite gráfico para a resistividade (Figura 6.0). Sedo o seu valor o estado estacioário de 6.77,8 Ω.m. O resultado obtido quado se usa o método de três camadas, usado curvas [4], resulta o valor Ω.m, implicado em uma difereça de 6,35% etre as duas técicas 8

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