(II) Vazão: Z = ΔV ou Z = A v v = Resposta: d. 4 (UFPA) Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma. Resolução: Z B = Z A

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1 pêndice 38 pêndice E.R. Uma manueira tem em sua extremidade um esuicho de boca circular cujo diâmetro pode ser ajustado. dmita que essa manueira, operando com vazão constante, consia encher um balde de 30 L em min 30s. a) Se a área da boca do esuicho for ajustada em,0 cm, com que velocidade a áua sairá da manueira? b) Reduzindo-se o diâmetro da boca do esuicho à metade, com que velocidade a áua sairá da manueira nessa nova situação? a) vazão (Z) através da boca do esuicho é calculada por: Z v ΔV Sendo,0 cm,0 0 4 m ; ΔV 30 L m 3 e,5 min 50 s, calculemos a velocidade v de escoamento da áua.,0 0 4 v v,0 m/s b) Como a área do círculo é diretamente proporcional ao quadrado do seu raio, ou do seu diâmetro π R π D, se reduzirmos 4 o diâmetro à metade, a área será reduzida à quarta parte. ssim, aplicando-se a Equação da Continuidade, vem: Da qual: v v v,0 4 v 8,0 m/s (UFPE) velocidade do sanue na artéria aorta de um adulto, que possui em média 5,4 litros de sanue, tem módulo aproximadamente iual a 30 cm/s. área transversal da artéria é cerca de,5 cm. Qual o intervalo de tempo, em seundos, necessário para a aorta transportar o volume de sanue de um adulto? Z v ou Z ΔV Loo: v ΔV ΔV Δv 5,4 03,5 30 (s) 7 s Resposta: 7 s 3 (Unama-M) Uma piscina, cujas dimensões são 8 m 0 m m, está vazia. O tempo necessário para enchê-la é 0 h, através de um conduto de seção 5 cm. velocidade da áua, admitida constante, ao sair do conduto, terá módulo iual a: a) m/s c) 3 cm/min e) 5 km/s b) km/s d) 4 m/s (I) Capacidade da piscina: ΔV a b c ΔV 8 0 (m 3 ) ΔV 360 m 3 (II) Vazão: Z ΔV ou Z v Loo: v ΔV v Resposta: d v 4 m/s 4 (UFP) Considere duas reiões distintas do leito de um rio: uma lara, com área de seção transversal de 00 m, e outra estreita B, com 40 m de área de seção transversal. velocidade das áuas do rio na reião tem módulo iual a,0 m/s. De acordo com a Equação da Continuidade aplicada ao f luxo de áua, podemos concluir que a velocidade das áuas do rio na reião B tem módulo iual a: a),0 m/s c) 3,0 m/s e) 5,0 m/s b),0 m/s d) 4,0 m/s Z B Z B v B v 40 v B 00,0 v B 5,0 m/s Resposta: e 5 (UFJF-MG) Um fazendeiro decide medir a vazão de um riacho que passa em sua propriedade e, para isso, escolhe um trecho retilíneo de 30,0 m de canal. Ele observa que objetos f lutuantes astam em média 60,0 s para percorrer esse trecho. No mesmo luar, observa que a profundidade média é de 0,30 m e a larura média,,50 m. vazão do riacho, em litros de áua por seundo, é: a),35 c) 5 e) 450 b) 3,65 d) 365 (I) Cálculo da intensidade da velocidade da áua no canal: v Δs v 30,0 m 60,0 s v 0,50 m/s (II) Cálculo da vazão: Z v Z L p v Z,50 0,30 0,50 (m 3 /s) Z 0,5 m 3 /s 5 L/s Resposta: c

2 38 PRTE III ESTÁTIC 6 E.R. O aneurisma é uma dilatação anormal verif icada em um trecho de uma artéria pela distensão parcial de suas paredes. Essa patoloia, de oriem conênita ou adquirida, pode provocar o rompimento do duto sanuíneo com escape de sanue, o que em muitos casos é fatal. Trata-se do que popularmente se denomina derrame. dmita que uma pessoa tenha um aneurisma de aorta, de modo que a área da seção reta de sua artéria dobre. Considere o sanue um f luido ideal, de massa específ ica, /cm 3, escoando inicialmente com velocidade de 0 cm/s. Devido ao aneurisma, qual a variação da pressão estática do sanue no local da lesão, expressa em unidades do SI? I. Pela Equação da Continuidade: Z Z v v v 0 ssim: II. v 0 cm/s 0,0 m/s Pelo Teorema de Bernoulli aplicado a um mesmo ponto do interior da artéria, tem-se: p + µ v C (Constante) p + µ v p + µ v Δp p p µ (v v ), 03 (0,0 0,0 ) (Pa) Δp 8 Pa 7 (IT-SP) Durante uma tempestade, Maria fecha as janelas do seu apartamento e ouve o zumbido do vento lá fora. Subitamente o vidro de uma janela se quebra. Considerando-se que o vidro tenha soprado tanencialmente à janela, o acidente pode ser mais bem explicado pelo(a): a) princípio de conservação da massa. d) princípio de Pascal. b) princípio de Bernoulli. e) princípio de Stevin. c) princípio de rquimedes. Em virtude de o vento aumentar a velocidade da massa de ar, a pressão externa à janela diminui, de acordo com o princípio de Bernoulli. diferença entre a pressão interna (maior) e a externa (menor) quebra a janela, fazendo com que os framentos de vidro sejam joados para fora. Resposta: b 8 O ar de um furacão sopra sobre o telhado de uma casa com velocidade de módulo iual a 08 km/h. densidade do ar vale, k/m 3. diferença entre a pressão do lado interno e do lado externo do telhado vale: a) zero b) 500 Pa c) 50 Pa d) 540 Pa e) 560 Pa v 08 km/h 30 m/s p Trata-se de uma aplicação direta do Teorema de Bernoulli para pontos no mesmo nível horizontal. p + µ v p + µ v Sendo v 0 (o ar dentro da casa está praticamente em repouso) vem: p p µ v Δp 540 Pa Resposta: d Δp, (30) (Pa) 9 (Unicamp-SP) Tornado destrói telhado de inásio da Unicamp. Um tornado com ventos de 80 km/h destruiu o telhado do inásio de esportes da Unicamp [...] Seundo enenheiros da universidade, a estrutura destruída pesa aproximadamente 50 toneladas. (Folha de S.Paulo, 9//95) Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição de pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento ideal de ar, essa redução de pressão é dada por : ρ v, em que ρ, k/m3 é a densidade do ar e v é a intensidade da velocidade do vento. Considere que o telhado do inásio tem 5400 m de área e que estava simplesmente apoiado sobre as paredes. dote 0 m/s. a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento. b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento? c) Qual a menor intensidade da velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado? a) Deve-se utilizar a expressão dada, que nada mais é que o Teorema de Bernoulli. b) Δp ρ v Sendo ρ, k/m 3 e v 80 km h 80 m 3,6 s 50 m s, vem:, (50) Δp (N/m ) Δp,5 0 3 N/m F Δp M Δp M ,5 03 M k 80 toneladas c) (I) Δp F M Δp Δp (N/m 5400 ) Δp (N/m ) (II) ρ v Δp, v p V 0 v 7,78 m/s v 7,78 3,6 (km/h) v 00 km/h Respostas: a),5 0 3 N/m ; b) 80 toneladas; c) 00 km/h

3 pêndice (UFB) Um fenômeno bastante curioso, associado ao voo dos pássaros e do avião, pode ser visualizado através de um experimento simples, no qual se utiliza um carretel de linha para empinar pipas, um preo e um pedaço circular de cartolina. O preo é colocado no centro da cartolina e inserido no buraco do carretel, conforme a f iura. Soprando de cima para baixo pelo buraco superior do carretel, verif ica-se que o conjunto cartolina-preo não cai. (II) Teorema de Bernoulli: p + µ v p + µ v + µ (h h ) p +,0 03 (8,0) p 4, 0 5 Pa 5, ,0 03 (,0) +, ( 5,0) Resposta: 4, 0 5 Pa,0 cm Considere a massa do conjunto cartolina-preo iual a 0, o raio do disco iual a,0 cm e a aceleração da ravidade local com módulo iual a 0 m/s. partir dessas informações, apresente a lei física associada a esse fenômeno e calcule a diferença de pressão média mínima, entre as faces da cartolina, necessária para impedir que o conjunto caia. (I) lei física associada ao fenômeno é o Princípio de Bernoulli. Devido ao jato de ar que sopra de cima para baixo ao lono do eixo do carretel, reduz-se a pressão sobre a face de cima do disco de cartolina. Com isso, ele f ica sujeito a um esforço resultante de pressão diriido de baixo para cima que o mantém suspenso, sem cair. (II) F ar P Δp m Δp m m π R Δp π (,0 0 ) (N/m ) Δp 79,6 N/m Resposta: 79,6 N/m (IT-SP) Considere uma tubulação de áua que consiste de um tubo de,0 cm de diâmetro por onde a áua entra com velocidade de módulo,0 m/s sob uma pressão de 5,0 0 5 Pa. Outro tubo de,0 cm de diâmetro encontra-se a 5,0 m de altura, conectado ao tubo de entrada. Considerando-se a densidade da áua iual,0 0 3 k/m 3 e desprezando-se as perdas, calcule a pressão da áua no tubo de saída. dote 0 m/s. (I) Equação da Continuidade: (UFSM-RS) s f iuras representam secções de canalizações por onde f lui, da esquerda para a direita, sem atrito e em reime estacionário, um líquido incompressível. lém disso, cada secção apresenta duas saídas verticais para a atmosfera, ocupadas pelo líquido até as alturas indicadas. I. II. s f iuras em acordo com a realidade física são: a) II e III. c) II e IV. e) I e III. b) I e IV. d) III e IV. Nos trechos de maior diâmetro (tubos mais rossos ), a intensidade da velocidade de escoamento do líquido é menor e a pressão estática é maior. Por isso, nesses trechos, o líquido atine alturas maiores nos tubos verticais (tubos de Venturi), como ocorre nas situações das f iuras II e III. Tal fato pode ser explicado pelo Teorema de Bernoulli. Resposta: a 3 E.R. Considere a tubulação hidráulica esquematizada abaixo por onde escoa áua em reime permanente. Os pontos e indicados, pertencentes a uma mesma horizontal, estão situados sob dois tubos verticais abertos em que se observa no líquido um desnível de altura h. No local, a aceleração da ravidade tem intensidade. III. IV. h Z Z v v π R v π R v v R R v 8,0 m/s v v,0 0,50,0 (m/s) S S Supondo conhecidas as áreas e as seções retas S e S, respectivamente, e considerando a áua um f luido ideal, determine a intensidade da velocidade do líquido no ponto.

4 384 PRTE III ESTÁTIC I. Equação da Continuidade: Z Z v v ssim: v v (I) II. Teorema de Bernoulli: p + µ v p + µ v µ h + P atm + µ v µ h + P + µ v atm Da qual: (h h ) + v v (II) P P atm µ h + µ (v v ) P ef, ,50 + P ef, 0 4 N/m Resposta:, 0 4 N/m,0 03 (4,0,0 ) (N/m ) 5 E.R. Em uma caixa-d áua cilíndrica de eixo vertical a superfície livre de áua atine uma altura. Faz-se um pequeno furo na parede lateral da caixa, a uma altura h, por onde a áua extravasa, projetando-se horizontalmente, conforme ilustra a f iura. No local, a resistência do ar é desprezível e a aceleração da ravidade tem intensidade. Observando-se que h h h e substituindo-se (I) em (II), vem: h + v v h v h ssim: D v h Sendo D o alcance horizontal atinido pela áua, determine: a) o máximo valor de D; b) os valores de h para os quais se obtêm alcances horizontais iuais. 4 Na tubulação horizontal esquematizada na f iura a seuir, o líquido escoa com vazão de 400 cm 3 /s e atine a altura de 0,50 m no tubo vertical. massa específ ica do líquido, admitido ideal, é,0 /cm 3.,0 cm,0 cm 0,50 m dotando-se 0m/s e supondo-se o escoamento em reime permanente, pede-se para calcular a pressão efetiva no ponto, que é a diferença entre a pressão estática nesse ponto e a pressão atmosférica. (I) Cálculo de v e v : v Z,0 v 400 v Z,0 v 400 (II) Cálculo de P ef P P atm : Teorema de Bernoulli: P + µ v P + µ v v 00 cm/s,0 m/s v 400 cm/s 4,0 m/s P + µ v µ h + P + µ v atm a) intensidade da velocidade de escoamento da áua através do furo é v, dada pela Equação de Torricelli: v ( h) (I) O movimento das otas d áua a partir do furo é uniformemente variado na vertical; loo: Δ v 0 t + α t h t q Da qual: t q h (II) O movimento das otas d áua a partir do furo é uniforme na horizontal; loo: Δx v t D v t q (III) Substituindo-se (I) e (II) em (III), seue que: ssim: D ( h) D ( h) h Chamemos de o radicando ( h) h. ( h) h h

5 pêndice 385 função f (h) é do Seundo rau e sua representação ráf ica é um arco de parábola com concavidade voltada para baixo, conforme aparece a seuir: 6 Na f iura a seuir está esquematizado um rande tanque aberto cheio de áua até uma altura apoiado sobre uma superfície horizontal. máx v h 0 h Observando-se que 0 para h 0 e h, tem-se: Para h D máx máx Loo: D máx D máx b) lcances horizontais iuais são obtidos para um mesmo valor de, isto é, quando. nalisando-se o ráf ico anterior, vem: a 0 h h h Nesse caso: a D D h a e h + a Faz-se um pequeno furo na parede lateral do reservatório, a uma altura h em relação à sua base, por onde jorra um f ilete d áua com velocidade horizontal de intensidade v. No local, a resistência do ar é desprezível e a acelereção da ravidade tem módulo iual a. Sendo D o alcance horizontal da áua, determine em função de, h e : a) o valor de v; b) o valor de D. a) O desnível d entre a superfície livre de áua e o orifício é d h. plicando-se a equação de Torricelli, vem: v d v ( h) b) (I) Cálculo do tempo de queda (t q ) da áua: Na vertical: MUV Δ v 0 t + α t h t q t q h (II) Cálculo do alcance horizontal da áua: Na horizontal: MU Δx v t D v t q Substituindo-se os valores de v e de t q, vem: D ( h) h Do qual: D ( h) h D com 0 a f iura a seuir ilustra o exposto. v Nota: D independe de. Respostas: a) ( h); b) D ( h) h 7 (Unirio-RJ) Um menino deve rear o jardim de sua mãe e pretende fazer isso da varanda de sua residência, seurando uma manueira na posição horizontal, conforme a f iura abaixo. + a a v D D

6 386 PRTE III ESTÁTIC Durante toda a tarefa, a altura da manueira, em relação ao jardim, permanecerá constante. Inicialmente, a vazão de áua, que pode ser def inida como o volume de áua que atravessa a área transversal da manueira na unidade de tempo, é ϕ 0. Para que a áua da manueira atinja a planta mais distante no jardim, ele percebe que o alcance inicial deve ser quadruplicado. manueira tem em sua extremidade um dispositivo com orifício circular de raio variável. Para que consia molhar todas as plantas do jardim sem molhar o resto do terreno, ele deve: a) reduzir o raio do orifício em 50% e quadruplicar a vazão de áua. b) manter a vazão constante e diminuir a área do orifício em 50%. c) manter a vazão constante e diminuir o raio do orifício em 50%. d) manter constante a área do orifício e dobrar a vazão de áua. e) reduzir o raio do orifício em 50% e dobrar a vazão de áua. (I) Vasão: ϕ 0 Δv v Loo: v ϕ 0 (II) Tempo de queda da áua: MUV: Δ v 0 t + x t t q t q (III) lcance horizontal da áua: MU: D v t q 3 (IV) e em 3 : D ϕ 0 D ϕ 0 R Sendo e constantes, pode-se quadruplicar D mantendo-se ϕ 0 constante e reduzindo-se R à metade (redução de 50%). a) máx ( ) ; b) máx ( ) ; 4 c) máx ( ) ; 3 d) máx ( ) ; 6 e) máx ( ) ; 5 (I) Equação de Torricelli: v h Sendo h, vem: v ( ) (I) (II) Tempo de queda da áua: MUV: Δ v 0 t + α t t t q q (III) lcance horizontal: MU: máx v t q (II) (III) Substituindo (I) e (II) em (III), vem: máx ( ) máx ( ) (IV) nalisemos a função z ( ) O ráf ico z f() é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Z Z máx Resposta: c 8 (Unirio-RJ) Uma bomba-d áua enche o reservatório representado na f iura a seuir até a altura. ssim que a áua atine esse nível, a tampa T de um escoadouro é aberta. tampa está a uma altura do fundo do reservatório e sua vazão é iual à da bomba, que permanece liada o tempo todo. Sabendo que a áua sai horizontalmente pela tampa, determine a expressão para o alcance máximo, máx, atinido pela áua e a altura do escoadouro. Loo, para Resposta: a 0 Z máx máx T O Bomba-d áua Despreze os atritos.