Modelagem Matemática das Pistas de Skate

Transcrição

1 Modelgem Mtemátic ds Pists de Skte Dnilo A. Mrques 1 Rfel H. A. de Oliveir Rosn S. M. Jfelice 3 Fculdde de Mtemátic - FAMAT Universidde Federl de Uberlândi - UFU 388-1, Uberlândi - MG Dezembro 7 Introdução O objetivo deste trblho é encontrr um curv, pr se construir um pist de skte, que possu o menor tempo de descid, fzendo com que o sktist tenh mis tempo pr relizr mis mnobrs durnte competição. A modlidde verticl (vert é prticd em um pist com curvs (trnsições, com 3,m ou mis de ltur, três metros de rio e qurent centímetros de verticlizção, gerlmente possuem extensões [1]. Existem váris modliddes de skte verticl: Skte Verticl Hlf Pipe - É prticdo em rmps de metros de ltur em formto de "U" (Figur 1. As mnobrs podem ser de éreos, onde o sktist reliz um vôo e retorn n própri pist, ou pode ser de bord, onde se desliz por cim de um bord metálic. Skte Verticl Mini Rmp - O skte verticl mini rmp é prticdo em rmps de té metros de ltur. Ness versão menor do skte hlf pipe, s mnobrs podem ser de éreos, onde o sktist reliz vôos mis bixos do que no hlf. Vle lembrr que miori ds mnobrs são de bord. Skte Verticl Bowl - O Skte Verticl Bowl consiste em um pist em formto de piscin, gerlmente cim de 3 metros de profundidde e termin em prede de 9º, onde o sktist concentr velocidde lido às mnobrs. 1 E-mil: dnilomrques@hoo.com.br E-mil: rfel_mt_ufu@hoo.com.br 3 Professor d disciplin Modelgem Mtemátic E-mil: rmott@ufu.br

2 Skte Verticl Bnks - Tem formto de piscin, com o fundo mis rso do que o bowl e não cheg ter 9º ns bords. O sktist se concentr em linhs de velocidde e de mnobrs corrids de bord. Se pist tiver cotovelo, tmbém se plicm mnobrs de skte éreo. Figur 1: Pist de Skte Verticl Hlf Pipe. Ns competições de verticl, os sktists são vlidos segundo critérios de critividde e gru de dificuldde ds mnobrs, que devem ser executds em um intervlo de tempo pré-estbelecido. Dess form, qunto menos tempo o sktist gst percorrendo extensão d rmp de um ldo pr o outro, mis tempo lhe sobrrá pr executr s mnobrs éres verticis que contm pontos. Dd importânci em fzer o percurso d rmp no menor tempo possível, poderímos nos perguntr se circunferênci que compõe lterl d rmp (Figur é, de fto, curv de tempo mínimo de descid. Em outro contexto semelhnte, poderímos nos perguntr: qul deve ser form do escorregdor de um prque infntil pr que o tempo de descid sej o menor possível? Descobrir qul é curv que possui o tempo de descid mis curto é o mesmo que resolver o problem d brquistócron.

3 Figur : Esboço d Pist Hlf Pipe. Abordgem Históric Johnn Bernoulli em 1696 propôs o Problem d Brquistócron, [5], que consiste em encontrr um curv que un dois pontos A e B situdos num mesmo plno verticl com propriedde de que um prtícul inicilmente em repouso deslize sobre ess curv levndo o menor tempo possível pr ir, sob ção d grvidde, de A té B. O ponto A é suposto estr cim do ponto B ms não n mesm verticl (Figur 3. Figur 3: Problem d Brquistócron. A origem d plvr vem do grego brkhisto (o mis curto e chronos (tempo. O problem começou por ser publicdo Act Eruditorum um revist mtemátic fundd por Leipzig, de Junho de 1696, onde Johnn Bernoulli nunciv possuir um solução e desfiv os cientists pr, num przo de seis meses fzerem o mesmo.

4 Que quele que consig solucionr este problem conquiste o prêmio que prometemos. Este prêmio não é ouro nem prt (... ms ntes s honrs, os elogios e os plusos; (... exltremos, públic e privdmente, por plvr e por crt, perspicáci do nosso grnde Apollo. Johnn Bernoulli - proclmção de 1697 Em Jneiro de 1697 public um nov proclmção nuncindo que pens Leibniz lhe comunicr ter chegdo à solução, ms pedi um dimento do przo té à Pásco pr um mior divulgção d questão junto do meio científico, o que terá sido ceite. Acbrim por ser presentds cinco soluções ns Acts de 1697, []: do próprio Johnn Bernoulli, do seu irmão mis velho Jcob Bernoulli, de Leibniz, de L Hôpitl e um sob nonimto (que seri de Newton, como este veio reconhecer mis trde. Ao contrário do que noss intuição poss sugerir, o percurso mis rápido de um esfer (por exemplo o longo de um clh que un dois pontos diferentes lturs, não é um linh ret. A curv que resolve o problem d brquistócron é chmd Ciclóide, nome ddo por Glileu, que hvi se interessdo por outrs de sus proprieddes no início de 16. Ess é, relção desse problem com o nosso problem. A resolução: Apresentmos dus resoluções pr o problem. A primeir é simples [6], segund (um pouco mis engenhos é resolução do cridor do problem (Johnn [5]. Primeir Resolução Admitmos que os pontos P e P 1 estão, respectivmente n origem e em (x 1, 1 do primeiro qudrnte, como n Figur :

5 Figur : Formulção Geométric do Problem. Usndo lei d conservção d energi, teremos que, no ponto P, energi potencil será igul à energi cinétic. Assim, denotndo por v o módulo d velocidde (velocidde esclr d prtícul no ponto P, por o seu deslocmento verticl, por g forç d grvidde e por m su mss, temos portnto: mv ² mg e, ds v g dt Ess expressão pode ser escrit como ds dx d 1 ( d / dx dx dt. g g g O tempo totl T exigido pr mss deslizr pelo fio de P P 1 dependerá d form do fio, especificd por su equção f(x, esse tempo é ddo por: T dt x 1 1 ( ' g dx. (1 O problem d brquistócron é, então, o seguinte: determinr curv prticulr f(x que pss por P e P 1 e minimiz o vlor d integrl (1.

6 Testndo curvs rbitráris, concluímos que o menor vlor d integrl será qundo curv escolhid for ciclóide. Segund Resolução A seguir, presentmos como Johnn Bernoulli resolveu o problem [5]: Consideremos inicilmente um problem de ótic. A Figur 5 mostr um situção em que um rio de luz vi de A P com velocidde constnte v 1 e depois, entrndo num meio mis denso, vi de P B com um velocidde menor v. Figur 5: Lei de Refrção de Snell. Pel lei d Refrção de Snell, segue que: sen v α 1 1 senα v Se começrmos umentr s cmds por onde luz pss, temos um situção como n Figur 6: Figur 6: Luz trvessndo inúmers cmds.

7 Qundo o rio de luz descendente pss de cmd cmd, é refrtdo mis e mis em direção à verticl. Aplicndo Lei de Snell ns fronteirs entre s cmds, obtemos: senα1 v 1 senα v senα v 3 3 senα v Considerndo, gor, que s cmds se tornm mis fins e mis numeross, então no limite velocidde d luz decresce continumente qundo o rio de luz desce, concluímos ssim, que: senα constnte. v Deixndo ótic de ldo, e voltndo o nosso problem, podemos construir um situção precid com que trblhmos cim. Dess form, n Figur 7, podemos usr lei de Snell e concluir que: senα constnte. ( v Figur 7: Construção geométric do problem. Usndo lei d conservção d energi, nlogmente à primeir resolução, temos que: v g (3

8 Finlmente, pel geometri d Figur 7, temos tmbém: senα cos β ( sec β 1 tg β 1 ( ' Assim, combinndo s equções (, (3 e (, obtemos: [1 ( ' ] c, (5 que é equção diferencil d brquistócron, onde c é um constnte. Agor, substituindo-se por d/dx e seprndo s vriáveis n equção (5, chegmos à seguinte equção: dx d, c logo, x c d. Clculmos integrl usndo substituição lgébric u² /(c-: cu cu e d du. 1 u (1 u Então, nov integrl é: cu x (1 u du.

9 Agor utilizndo substituição trigonométric u tgφ, du sec φ d φ, obtemos: ctg φ sec φ x dφ (1 tg φ tg φ c dφ c sen φdφ sec φ 1 c ( 1 cos φ dφ c(φ senφ. Dess form, o vlor de é: ctg φ 1 csen φ c(1 cos φ. sec φ Escrevendo, gor, 1 c e θ φ, chegmos finlmente : x ( θ senθ, ( 1 cosθ, são s equções prmétrics d ciclóide. A Ciclóide A ciclóide [], é trjetóri descrit por um ponto de um circunferênci de rio R qundo ess rod, sem deslizr, sobre um ret (Figur 8. Figur 8: Construção d Ciclóide.

10 Em um circunferênci de Rio R, que rol sem escorregr sobre o eixo ds bscisss, mrcmos um ponto P, cuj trjetóri será um ciclóide. A Figur 9 indic situção descrit, sendo (OA, OE s coordends do ponto P. Figur 9: Prmetrizção d Ciclóide. Admitindo que, n situção inicil, P coincide com origem do sistem de eixos, medid do rco PB é igul θ R e coincide com medid do segmento OB. Do triângulo retângulo CDP, temos que PC Rsenθ e DC R cosθ. Sendo OA θr Rsenθ e OE R R cosθ, s coordends de P(x,, em função do prâmetro θ, são: ( θ senθ ( cosθ x R R 1 Um ciclo completo d trjetóri de P inici com s coordends (,, tinge ordend máxim em ( R, R e termin com coordends ( R,. Voltndo à rmp de skte d Figur, se substituirmos os rcos de circunferênci por rcos de ciclóide, teremos um rmp de tempo mínimo ligndo um ponto de ltur 1,6 metro e outro zero metro, melhorndo eficiênci d rmp pr s competições de verticl []. Equcionndo nov plnt de rmp em um sistem de coordends, com θ (em rdinos no eixo ds bscisss, temos:

11 Figur 1: Os rcos nos intervlos [ ;,8 ] e [,8 ;1,6 ] representm semircos de um ciclóide. Prtindo de um ciclóide, obtemos curv de Figur 1 d seguinte form:. dotndo R.8, equção prmétric d ciclóide será: ( θ θ e.8( 1 cosθ x.8 sen b. fzendo um reflexão dess curv pelo eixo ds bscisss, obtemos um nov curv de equção: ( θ θ e.8( 1 cosθ x.8 sen c. trnsldndo nov curv 1.6 uniddes pr cim, obtemos um curv de equção: ( θ θ e 1.6.8( 1 cosθ x.8 sen d. pelo eixo verticl de simetri d nov curv, trnsld-se pens o semi-rco do ldo direito uniddes pr direit. Em resumo, rmp indicd n Figur 1 é modeld pel equção prmétric: Pr θ no intervlo [ ;.8 ] x Pr θ no intervlo [.8 ;.8 ] { ( θ senθ.8( 1 cosθ

12 Pr θ no intervlo [.8 ;1.6 ] x ( θ senθ ( cosθ Curiosiddes sobre Ciclóide Interessdo em investigr áre compreendid entre um rco de ciclóide e ret sobre qul rod circunferênci, Glileu clculou rzão entre mss de um molde no formto de um ciclóide e de um molde do círculo gerdor. O resultdo encontrdo foi de proximdmente 3, o que o fez conjecturr que rzão entre esss áres tlvez pudesse ser igul. Em 163, o mtemático frncês Robervl prov que áre d região limitd pel ciclóide e pelo eixo horizontl é extmente o triplo d áre do círculo gerdor. A publicção de um demonstrção desse resultdo só foi feit em 16 por Torricelli, discípulo de Glileu. Em 1658, o strônomo, mtemático e rquiteto inglês Cristopher Wren (construtor d ctedrl de Sint Pul em 1666 public demonstrção de que o comprimento de um rco de ciclóide é 8 vezes o rio do círculo gerdor. A ciclóide é tmbém solução de um outro problem interessnte, o Problem d Tutócron, ou Tempo Igul. Se soltrmos dus esfers simultnemente de dus lturs distints em um rmp cicloidl, mbs chegrão no ponto mis bixo d rmp o mesmo tempo. Abordgens Tecnológics e Experimentis Tendo modeldo o problem d rmp de skte trvés de equções, utilizmos um progrm de computdor pr construir o gráfico d curv e, com isso, gerr um plnt pr construção de modelos experimentis d rmp [3]. Alguns progrms que podem ser usdos com ess finlidde são: Winplot Grphmtic (mbos com distribuição grtuit, Cbri-Géomètre (distribuição comercil.

13 Utilizndo o Winplot, vmos modelr curvs no formto de circunferênci, ret, prábol e ciclóide pr construção de rmps, em modelos de mdeir (Figur 11, que permitm investigção experimentl d brquistócron e d tutócron n ciclóide. Figur 11: Modelos de Rmps de Mdeirs. A propost é modelr rmps de ltur uniddes, propost é modelr, em um sistem de coordends, curvs com s seguintes crcterístics:. Ciclóide: gerd pel circunferênci de rio 1, com máximo em (, e mínimo em (,; b. Ret: pssndo pelos pontos (, e (,; c. Prábol: com vértice em (, e pssndo por (,; d. Circunferênci: com centro C (, e pssndo pelos pontos (, Q (,. P e Assim, temos: Ciclóide: x ( θ senθ ( 1 cosθ x z Ret: det 1 x 1

14 Prábol: Sej, c bx x,, prábol procurd. Como prábol pss pelo ponto (,, temos que c e como o vértice d prábol é o ponto (,, temos: ( ( ( Δ Δ 6 8 5,,, b b b b b P V Substituindo (5 em (6, temos: ( ( ou Como, temos que: e b E, portnto x x é prábol procurd. Circunferênci: Sej ( ( r x x, onde c, ( x é o centro e r o rio dest circunferênci. Como distânci do centro (c qulquer ponto d circunferênci é igul, temos: ( ( ( (,, d d Q C P C Clculndo o rio: ( ( r r r Portnto, temos seguinte circunferênci: ( x

15 O gráfico desss curvs feits no Winplot, mostr que ciclóide é curv de mior comprimento entre s qutro comprds, o que reforç ind mis curiosidde por um verificção experimentl de que el, ind ssim, sej curv do tempo mínimo. A ciclóide, representd pel cor zul n Figur 1, é de fto curv com mior comprimento, entre s seguintes curvs: ret, prábol e circunferênci. Figur 1: Esboço do gráfico ds curvs estudds. Apresentmos ns Figurs 13, 1, 15 e 16 um seqüênci de gráficos que mostr experimentlmente descid de um bol, podemos observr que ciclóide é um curv que tem tempo mínimo de descid em relção às outrs curvs dds. É interessnte destcr que ret pesr de ser curv de menor comprimento é de mior tempo de descid.

16 Figur 13 Figur 1 Figur 15 Figur 16 Conclusão Neste trblho, verificmos nliticmente, geometricmente e experimentlmente que ciclóide mesmo sendo curv de mior comprimento dentre s estudds (ret, prábol, circunferênci é curv de menor tempo de descid possível, ou sej, rmp de skte idel pr s competições deveri ser construíd no formto de um ciclóide.

17 Bibliogrfi [1] [] [3] [] Revist do Professor de Mtemátic nº 59, 6. [5] Simmons, G. F. Cálculo com Geometri Anlític, Volume 1, Editor McGrw- Hill, [6] Simmons, G. F. Cálculo com Geometri Anlític, Volume, Editor McGrw- Hill,1987.

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