Nível B3 PROPORCIONALIDADE INVERSA

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1 Nível B PROPORCIONALIDADE INVERSA Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas e y são inversamente proporcionais se o produto dos valores correspondentes é constante e diferentes de zero. Essa constante chama-se constante de proporcionalidade e representa-se por K. Simbolicamente, y = K y = K Eemplos: 1. A tabela seguinte traduz a relação entre o tempo gasto e a velocidade num percurso de automóvel. Tempo (horas) Velocidade (Km/h) Justificar que as grandezas sºao inversamente proporcionais e escrever a epressão que as relaciona. As duas grandezas são inversamente proporcionais porque o produto dos valores correspondentes é constante: 4 60 = 240 ; 80 = 240 e = 240 A constante se proporcionalidade é 240. Logo, a epressão que relaciona T e V é V T = Determina a e b sabendo que as grandezas A e B são inversamente proporcionais. A a 6 B b Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 1

2 Se as grandezas são inversamente proporcionais, o produto dos valores correspondentes é constante. Em particular, 16 = 48. Logo, a 12 = 48 e 6 b = Então, a = a = 4 e b = b = Uma torneira que debita 00 litros de água por hora enche uma piscina em 4 horas. Quanto deveria a torneira debitar por hora para encher a piscina em horas? Quanto maior for o caudal da torneira, menos tempo (T) demora a encher a piscina. As grandezas são inversamente proporcionais, sendo 00 4 = 1200 a constante de proporcionalidade. Como C T = 1200, então C = , isto é, C =, ou seja, C = 400. O caudal da torneira deveria de ser 400 litros por hora. 4. Considerando todos os rectângulos de área 24 cm 2, determinar a altura, se a base medir 6 cm, e a se a altura medir cm. 24 cm 2 Altura Base Como a área é de 24 cm 2, b a = 24, ou seja, a = b Sendo b = 6, a = = 4. A altura mede 4 cm Da mesma maneira b a = 24. Sendo a =, b = = 8. A base mede 8 cm. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 2

3 . Para visitar Londres, o Rui foi ao banco trocar euros por libras e comprou 900 libras a 1, euros cada. No dia seguinte, o preço da libra baiou cêntimos. Com a mesma quantia, quantas libras poderia o Rui comprar? Quanto mais baio é o preço da moeda a comprar, mais quantidade se recebe. O Rui gastou 900 1, = 19 na compra de libras. No dia seguinte, o preço baiou para 1,0 por libra. Então, o Rui 19 compraria = 90 libras. 1,0 Representação gráfica Representação gráfica de uma proporcionalidade inversa Duas grandezas e y são inversamente proporcionais se y = K, ou seja, y = K. Eemplos: 1. Representa graficamente a função y = 6. Para representar graficamente a função y = 6 deve elaborar-se uma tabela auiliar y -2-2 O gráfico correspondente chama-se hipérbole. Recorda: Representação gráfica de uma proporcionalidade directa Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas

4 Como te lembras, os pontos que pertencem ao gráfico de uma proporcionalidade directa estão alinhados e a recta que os contém passa pela origem do referencial. 2. Representa graficamente a tabela de proporcionalidade directa: y e indica a constante de proporcionalidade. Marcando num sistema de eios os pontos da tabela obtém-se o gráfico. Relembra que a constante de proporcionalidade é a ordenada do ponto de abcissa 1. De facto, 1 2 = 1 2 = 2 4 = 2; logo 2 é a constante de proporcionalidade. Outro tipo de gráficos Analisar e interpretar convenientemente gráficos para compreender situações da vida real. Um automobilista sai da cidade A, durante horas à velocidade de 60 Km/h e pára durante 1 hora na cidade B. Em seguida, desloca-se para a cidade C, que está a 70 Km de B, e demora 1 hora a lá chegar. Finalmente, regressa à cidade A a uma velocidade de 12 Km/h. Esta situação pode ser traduzida através do gráfico: Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 4

5 APLICA O QUE APRENDESTE 1. Duas grandezas e y são inversamente proporcionais, sendo = quando y = 20. A relação entre e y é: 20 a) y = b) = 4 c) 1 = y 4 y d) y = A grandeza y é directamente proporcional à grandeza sendo 7 a constante de proporcionalidade: Se y = 6, então tem o valor: a) 0,9 b) 1, c) 44,1 d) 0,7. As epressões analíticas das funções representadas a seguir são: Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas

6 a) f() = ; g() = ; h() = ; j() = 16 b) f() = ; g() = -; h() = ; j() = 4 c) f() = ; g() = ; h() = ; j() = d) f() = ; g() = -; h() = ; j() = O Sr. João precisa de embalar a sua produção de maçã. Se utilizar caias de 12 unidades, necessita de 12 caias Completa a tabela Indica o valor da constante de proporcionalidade e indica o seu significado no âmbito do problema. Número de caias Número de maçãs por caia Um agricultor vai envasilhar a sua produção de azeite em 1000 vasilhas de 1, l cada..1. Se utilizar vasilhas de 70 ml, quantas são necessárias?.2. Qual a quantidade total de azeite produzido? 6. O Manuel recebeu dinheiro para gastar na compra de livros. O gráfico seguinte traduz a relação entre o número de livros que pode comprar e o preço de cada um. Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 6

7 6.1. qual a quantia de que o Manuel dispunha? 6.2. Se cada livro custar 2, quantos pode comprar? 6.. O gráfico traduz uma situação de proporcionalidade. Indica o tipo e a constante de proporcionalidade. 7. Um grupo de alunos efectuou uma visita de estudo às pinturas rupestres de Foz Côa e elaborou o seguinte gráfico Indica uma possível eplicação para o aspecto do gráfico entre as 10 e as 11 horas Qual o número total de quilómetros percorridos pelos alunos? 7.. Qual a velocidade média do percurso de regresso? Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 7