Notas de Aula de Física

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1 Versão preliminr 7 de setembro de ots de ul de ísic 6. ORÇ D TRITO... TRITO... TR TS IJOS... 3 O TRITO O MIROSÓIO... 4 UM ÓRMUL R ORÇ D TRITO... 5 SI O XISTIR ROZMITO... 5 MOVIMTO IRULR UIORM - ORÇ TRÍT... 6 SOLUÇÃO D LGUS ROLMS

2 rof. Romero Tvres d Silv 6. orç de trito Sempre que superfície de um corpo escorreg sobre outro, cd corpo exerce sobre o outro um forç prlel às superfícies. ss forç é inerente o contto entre s superfícies e chmmos de forç de trito. forç de trito sobre cd corpo tem sentido oposto o seu movimento em relção o outro corpo. s forçs de trito que tum entre superfícies em repouso reltivo são chmds de forçs de trito estático, em contrposição às forçs de trito cinético que contece entre superfícies que têm movimento reltivo. xiste trito entre superfícies em repouso qundo contece um tendênci o movimento. r um tijolo em prdo num ldeir, há um tendênci o movimento, ms forç de trito entre s superfícies em contto mntém o tijolo em repouso. forç de trito estático máxim entre dus superfícies será igul à forç mínim necessári pr inicir o movimento reltivo. Inicido o movimento, s forçs de trito que tum entre s superfícies usulmente decrescem, pssndo tur forç de trito cinético, de modo que um forç menor será suficiente pr mnter o movimento. trito lgums leis empírics pr o trito estático máximo entre superfícies form proposts por Leonrdo d Vinci ( 15) tis como: i. Sempre que superfície de um corpo escorreg sobre outro, cd corpo exerce sobre o outro um forç prlel às superfícies. ss forç é inerente o contto entre s superfícies e chmmos de forç de trito. forç de trito sobre cd corpo tem sentido oposto o seu movimento em relção o outro corpo. ii. iii. iv. forç de trito estático máxim entre dus superfícies será igul à forç mínim necessári pr inicir o movimento reltivo. Inicido o movimento, s forçs de trito que tum entre s superfícies usulmente decrescem, pois entr em ção forç de trito cinético, de modo que um forç menor será suficiente pr mnter o movimento. forç de trito independe d áre de contto entre o corpo e superfície que o suport. Qunto mior áre de contto menor pressão que o corpo exerce sobre superfície. sse fto signific que forç necessári pr rrstr um tijolo metálico sobre um mes metálic é mesm, não importndo qul fce do tijolo estej em contto com mes. odemos entender esse resultdo considerndo que áre microscópic de contto será mesm em mbs s situções. v. forç de trito é proporcionl à forç norml que superfície exerce sobre o corpo considerdo. norml é proporcionl quntidde de microsolds que existirão entre s superfícies. p 6

3 rof. Romero Tvres d Silv ntre tps e beijos ísic, idéi de contto está relciond à interção que surge qundo objetos se tocm. odemos entender ess idéi se pensrmos em nosso próprio corpo. le está equipdo pr sentir ests interções, que podem se mnifestr sob s mis diferentes forms, produzindo um grnde vriedde de sensções em noss pele. Um bo bofetd, por exemplo, corresponde um interção entre mão de quem bte e fce de quem recebe, ssim como um crinho. Do ponto de vist d ísic esss dus interções são de mesm nturez. Um diferenç básic entre els é intensidde d forç plicd: um tp, em gerl, signific um forç muito mis intens do que um crinho. orém há outr diferenç importnte entre o tp e o crinho: direção d forç plicd. m um tp, forç é n direção perpendiculr à fce d vítim e no crinho, em gerl, ess forç ocorre num direção prlel à pele. ss distinção tmbém ocorre em outrs situções em que existe o contto entre os objetos. m btids, chutes, pncds, beijos, espetds, ou mesmo simplesmente qundo um objeto se pói sobre outro, temos forçs que gem n direção perpendiculr ou norml à superfície dos objetos por isso são denominds forçs normis. m outros csos, forç prece n direção prlel à superfície. É o que ocorre em situções como rrnhões, rspds, esfregds, deslizmentos, etc. m gerl, esss forçs recebem o nome de forçs de trito. ortnto, os efeitos ds forçs de contto entre objetos dependem d mneir como são plicds, prlel ou perpendiculr à superfície. Ms não é só isso que influi. Tmbém são importntes: intensidde d forç, s crcterístics dos objetos e de sus superfícies, e o tempo em que eles permnecem em contto. Um forç muito norml omo vimos, s forçs normis de contto precem qundo um corpo toc outro. Um chute em um bol, um cutucão, um pedr tingindo um vidrç são exemplos de interções ns quis ocorre esse tipo de forç. m todos esses exemplos é fácil perceber presenç d forç, pelos efeitos evidentes que el produz. Ms s forçs normis de contto tmbém precem em situções onde su presenç não é tão visível. Qundo lgum objeto ou pesso, se pói sobre um superfície, el forç est superfície pr bixo. or outro ldo, superfície sustent pesso plicndo em seus pés um forç pr cim: ess é forç norml. s forçs sempre cusm lgum deformção nos objetos, que dependendo de sus crcterístics podem sem temporáris ou permnentes. Vmos discutir ess crcterístics prtir de dois fenômenos físicos bstnte conhecidos, ms que em gerl são confundidos: pisd n bol e pisd no tomte. s diferençs observds entre s dus pisds revelm s diferentes crcterístics de cd mteril. s forçs plicds provocm deformções n bol e no tomte. bol volt o norml pós pisd, e o tomte não. O mteril d bol é reltivmente elástico, ou sej, s deformções sofrids por el no momento d pisd são temporáris. Qundo s forçs cessm, su tendênci é retornr à form originl. Qunto o tomte, podemos dizer que é quse completmente inelástico, um vez que deformção por ele sofrid é permnente. ense em outros exemplos de mteriis elásticos e inelásticos. p 6 3

4 rof. Romero Tvres d Silv em sempre é fácil dizer o que é ou não é elástico. relidde, não há um objeto que sej totlmente elástico ou inelástico. lgums bols sofrem deformções permnentes depois de muits pisds, perdendo su form. or outro ldo, mesmo um tomte tem su elsticidde: um pertdinh bem leve lhe provoc um pequen deformção, que desprece ssim que o soltmos. O trito o microscópio O trito está presente em diverss situções do nosso di--di. le surge sempre que tentmos deslizr um superfície sobre outr. o pssr mão n cbeç de um cchorro, o pgr um bobgem escrit n prov ou o lixr um prede, forç de trito é persongem principl. Qunto mis áspers s superfícies, mior o trito entre els: rrstr um móvel sobre um crpete é bem diferente do que sobre um piso de cerâmic. m determinds situções é fundmentl que o trito sej o menor possível, como no cso d ptinção no gelo, onde os movimentos ocorrem grçs o reduzido trito entre s lâmins dos ptins e superfície do gelo. O peso do ptindor, concentrdo todo ns lâmins, exerce um pressão sobre o gelo derretendo-o e formndo um pequen cmd de águ entre s lâmins e superfície do gelo. Dess form o trito torn-se muito pequeno, fcilitndo o movimento do ptindor. Ms se em muitos csos o trito trplh, em outrs situções pode ser totlmente indispensável. É ele que grnte que o empurrrmos o chão pr trás seremos impulsiondos pr frente. Sem trito, ficrímos deslizndo sobre o mesmo lugr. tirinh bixo ilustr bem um situção onde o trito fz flt. Mesmo objetos prentemente lisos, como um vidro, um mes envernizd ou superfície de um utomóvel, possuem muits sliêncis e "burcos" no nível microscópico. Qundo um objeto é colocdo sobre um superfície (um tijolo sobre mes, por exemplo), ele tem n verdde, somente lguns pontos de contto com el, devido esss sliêncis. Um teori que explic existênci do trito firm que nos pontos onde s sliêncis se justpõem, ocorrem fortes desões superficiis, semelhnte um espécie de sold entre os dois mteriis. Desse modo forç de trito está ssocid à dificuldde em romper esss solds qundo um corpo é rrstdo sobre o outro. Durnte o movimento, s solds se refzem continumente, em novos pontos de contto, de form que durnte o rrstmento existe sempre um forç de resistênci o movimento: é forç de trito. r ter um idéi de como esss solds ocorrem imgine o que contece qundo você sent no bnco de um ônibus. O trito entre su clç e o bnco, poderi ser representdo, nível microscópico, d seguinte form: ss teori ds solds nos permite entender o efeito dos lubrificntes que têm função de diminuir o trito, o preencher s reentrâncis existentes entre s superfícies e dificultr formção ds solds. Vists de perto, s superfícies mis liss são cheis de imperfeições O trito o microscópio p 6 4

5 rof. Romero Tvres d Silv Um fórmul pr forç de trito últim fest junin ocorrid n su escol, o professor de ísic, meio lterdo pós o árduo trblho n brrquinh do quentão, decide comprovr lgums teoris físics pr um pltéi estrrecid. Su fçnh: subir no pu-de-sebo. r diminuir o vexme, que sugestões você dri pr umentr forç de trito e fcilitr escld do mestre? m primeiro lugr, provvelmente você irá sugerir o professor que grre bem forte no pu de sebo. om isso você estrá grntindo que forç norml sej grnde, o que irá cusr mior trito. Ms tmbém é possível tentr lterr um pouco os mteriis em interção, tlvez pssndo rei n roup e n mão. Ou sej, estmos sugerindo um coeficiente de trito mior. Um mneir mtemátic de expressr esss possibiliddes é trvés d seguinte fórmul: trito µ norml letr greg µ indic o coeficiente de trito entre s superfícies (quel históri d rei) e norml indic o vlor d forç norml entre s dus superfícies, quer dizer, grrd forte que o professor deve dr. el fórmul, você pode ver que qunto mior forem esses mior será o trito. Leiturs de ísic - MÂI - pítulo 16 GR - Grupo de Reelborção do nsino de ísic Instituto de ísic d US - junho de 1998 Si no xistier Rozmiento Y hemos visto lo diverss e inesperds que son ls forms en que se mnifiest el rozmiento nuestro lrededor. l rozmiento tom prte muy importnte incluso llí donde nosotros ni lo sospechmos. Si el rozmiento desprecier repentinmente, muchos de los fenómenos ordinrios se desrrollrín de forms completmente distints. l ppel del rozmiento fue descrito de un mner muy pintoresc por el físico frncés Guillume: "Todos hemos tenido ocsión de slir l clle cundo h heldo. uánto trbjo nos h costdo evitr ls cíds uántos movimientos cómicos tuvimos que hcer pr poder seguir en pie sto nos oblig reconocer que, de ordinrio, l tierr por que ndmos posee un propiedd muy estimble, grcis l cul podemos conservr el equilibrio sin grn esfuerzo. st mism ide se nos ocurre cundo vmos en biciclet por un pvimento resbldizo o cundo un cbllo se escurre en el sflto y se ce. studindo estos fenómenos llegmos descubrir ls consecuencis que nos conduce el rozmiento. Los ingenieros procurn evitr el rozmiento en ls máquins, y hcen bien. n l Mecánic plicd se hbl del rozmiento como de un fenómeno muy pernicioso, y esto es cierto, pero solmente dentro de los límites de un estrecho cmpo especil. n todos los demás csos debemos estr grdecidos l rozmiento. l nos d l posibilidd de ndr, de estr sentdos y de trbjr sin temor que los libros o el p 6 5

6 rof. Romero Tvres d Silv tintero se cign l suelo o de que l mes resble hst toprse con lgún rincón o l plum se nos escurr de entre los dedos. l rozmiento es un fenómeno tn difundido que, slvo rrs excepciones, no hy que pedirle yud; él mismo nos l ofrece. l rozmiento d estbilidd. Los lbñiles niveln el suelo de mner que ls mess y ls sills se quedn llí donde ls ponemos. Si sobre un mes colocmos pltos, vsos, etc., podemos estr trnquilos de que no se moverán de sus sitios, no ser que esto ocurr en un brco cundo hy oleje. Imginémonos que el rozmiento se puede eliminr por completo. n ests condiciones, los cuerpos, tengn ls dimensiones de un peñ o ls de un pequeño grnito de ren, no podrán poyrse unos en otros: todos empezrán resblr o rodr y sí continurán hst que se encuentren un mismo nivel. Si no hubier rozmiento, l Tierr serí un esfer sin rugosiddes, lo mismo que un got de gu." esto podemos ñdir, que si no existier el rozmie nto los clvos y los tornillos se sldrín de ls predes, no podrímos sujetr nd con ls mnos, los torbellinos no cesrín nunc, los sonidos no dejrín de oírse jmás y producirín ecos sin fin, que se reflejrín en ls predes sin debilitrse. Ls helds nos dn siempre buens lecciones de l grn importnci que tiene el rozmiento. n cunto nos sorprenden en l clle nos sentimos incpces de dr un pso sin temor cernos. omo muestr instructiv reproducimos ls noticis que publicb un periódico en un ocsión (en diciembre de 197): "Londres, 1. Debido l fuerte held, el tráfico urbno y trnvirio se h hecho muy difícil en Londres. erc de 1 4 persons hn ingresdo en los hospitles con frcturs de brzos y pierns". "erc del Hyde rk chocron tres utomóviles y dos vgones del trnví. Los utomóviles resultron totlmente destruidos por l explosión de l gsolin..." "rís, 1. L held h ocsiondo en rís y sus lrededores numerosos ccidentes..." Y sin embrgo, el hecho de que el hielo ofrezc poco rozmiento puede ser útil pr fines técnicos. Un ejemplo son los trineos ordinrios. Otr demostrción un más convincente son los llmdos cminos de hielo, que se hcín pr trnsportr los leños desde el lugr de l tl hst el ferrocrril o hst el punto de lnzmiento un río pr su trnsporte por flotción. or estos cminos (fig. 3), que tienen un especie de ríles lisos heldos, un pr de cbllos puede rrstrr un trineo crgdo con 7 tonelds de troncos. ísic Recretiv II Ykov erelmn pitulo Segundo Movimento circulr e uniforme - orç centrípet Os corpos que se deslocm com movimento circulr e uniforme têm em comum um celerção d mesm form - mesm equção, independente d forç que cus este tipo de movimento. Se o corpo tiver um mss m e desenvolver um velocidde v em um círculo de rio r, su celerção centrípet será: p 6 6

7 rof. Romero Tvres d Silv c v r e forç ssocid à ess celerção terá form: m c v m r forç centrípet não tem origem físic, ms é um crcterístic dos corpos que se movimentm em trjetóris curvs. Se forç de interção grvitcionl mntiver um corpo de mss m 1 girndo em torno de um outro corpo de mss m com velocidde v em um círculo de rio r, teremos: e forç centrípet m m G G c 1 r v m1 r Ms como forç grvitcionl é quem mntém o movimento circulr e uniforme, temos que: v m1m G c m1 G r r O mesmo poderi ser dito pr o movimento de um prtícul de mss m e crg Q que gir em torno de outr prtícul de mss m e crg Q, com velocidde V em um círculo de rio R sob ção d forç elétric de interção entre esss crgs, ou forç de oulomb: e forç centrípet c QQ k R m V R que: Ms como forç elétric é quem mntém o movimento circulr e uniforme, temos V R c m QQ k R p 6 7

8 rof. Romero Tvres d Silv Solução de lguns problems pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 11 Um forç horizontl 1 comprime um bloco pesndo 5 contr um prede verticl. O coeficiente de trito estático entre prede e o bloco é µ e,6 e o coeficiente de trito cinético é µ c,4. Suponh que inicilmente o bloco estej em repouso. y ) O bloco se moverá? y O bloco está em repouso n direção horizontl, logo: x x 1ewtons forç de trito estático máxim é dd por: µ e,6. 1 7, omo o peso do bloco é 5, menor que forç de trito estático máxim, o bloco não se moverá. b) Qul forç exercid pel prede sobre o bloco, em notção de vetores unitários? forç resultnte exercid pel prede sobre o bloco será som d forç norml com forç de trito. Ms 1iˆ, logo teremos que 1iˆ. omo o bloco não se move forç de trito é igul, em módulo, o peso do bloco, ou sej: 1 iˆ 5 jˆ pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição R 16 Um luno desej determinr os coeficientes de trito estático e cinético entre um cix e um prnch. le coloc cix sobre prnch e lentmente vi levntndo um ds extremiddes d prnch. Qundo o ângulo de inclinção fz 3 com horizontl, cix começ deslizr, descendo pel prnch cerc de,5m em 4s. Quis são os coeficientes de trito determindos? " y " x p 6 8

9 rof. Romero Tvres d Silv nqunto cix está em repouso temos em ção o trito estático, e ele vi umentndo à medid que o ângulo de inclinção d tábu ument. o limir, qundo el está prestes começr o movimento, forç de trito estático máxim que é igul µ. el segund Lei de ewton Decompondo s forçs segundo os eixos crtesinos, encontrmos sen - - cos sen µ µ tn cos omo 3 : 1 µ 3 Qundo o movimento se inici o coeficiente de trito diminui e pss de estático pr cinético. cix pss descer celerd. el segund Lei de ewton: m Decompondo s forçs segundo os eixos crtesinos, encontrmos - cos sen - m Usndo primeir equção, forç de trito pode ser express como: µ µ cos Usndo esse resultdo n segund equção: ou sej: r esse problem: v d,5m t 4s d t sen - µ cos m g ( sen - µ cos ) d g t ( sen µ cos ) 1 d µ sen,54 cos gt p 6 9

10 rof. Romero Tvres d Silv pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 1 Um bloco desliz pr bixo com velocidde constnte sobre um plno com inclinção. m seguid, é lnçdo pr cim sobre o mesmo plno com um velocidde esclr inicil v. ) Que ltur do plno lcnçrá ntes de prr? loco descendo loco subindo y y x x Qundo está descendo o bloco tem velocidde constnte, logo celerção nul, portnto: Qundo está subindo o bloco tem velocidde vriável, logo celerção não nul, portnto: m Decompondo segundo os eixos crtesinos: sen cos Ms µ µ cos, logo Decompondo segundo os eixos crtesinos: sen m cos m sen µ cos logo sen µ cos µ tn m sen tn cos g sen omo descelerção do bloco n subid será g sen : v v v v d d d 4g sen v h d sen h 4g b) le deslizrá pr bixo novmente? Justifique su respost. ão omo ele estv deslizndo com velocidde constnte n descid, inclinção do plno er suficiente pens pr "compensr" o trito cinético. Ms o trito estático máximo é mior que o trito cinético, logo o prr (n subid) ele permnecerá prdo. p 6 1

11 rof. Romero Tvres d Silv pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição Um cix de 68kg é puxd pelo chão por um cord que fz um ângulo de 15 cim d horizontl. ) Se o coeficiente de trito estático for µ e,5, qul tensão mínim necessári pr inicir o movimento d cix? Vmos considerr que forç de trito estático tingiu o seu máximo, resultnte ds forçs que tum no corpo ind é nul. esse cso: onsiderndo o eixo y: sen - ou sej: - sen onsiderndo o eixo x: cos - ou sej: µ e cos logo: e finlmente cos sen µ e µ e 34,19 cos µ sen e y x b) Se o coeficiente de trito cinético for µ c,35, qul su celerção inicil? Usndo segund Lei de ewton: onsiderndo o eixo y: ou sej: onsiderndo o eixo x: onde logo: m sen - - sen cos - m µ c µ c - µ c sen m cos µ c sen - µ c ( cos µ c sen ) µ cg 1,9m/s m p 6 11

12 rof. Romero Tvres d Silv pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 4 figur seguir, e são blocos com pesos de 44 e, respectivmente. ) Determine o menor peso (bloco ) que deve ser colocdo sobre o bloco pr impedi-lo de deslizr, sbendo-se que µ entre o bloco e mes é,. T T r que não exist movimento, resultnte de forçs que tum nos blocos devem ser nuls, e o trito estático entre o bloco e mes deve ser máximo: T T [ T T omo cord que lig os blocos e tem mss desprezível, temos que T T. Desse modo: or outro ldo: T µ µ ( ) T T T µ ( ) ou sej: 66 µ p 6 1

13 rof. Romero Tvres d Silv p 6 13 b) Se o bloco for repentinmente retirdo, qul será celerção do bloco, sbendo-se que µ entre e mes é,15? [ m T m T m T m T omo cord que lig os blocos e é inextensível,, e desse modo: m T m T µ Somndo esss dus equções, encontrmos: - µ ( m m ) g µ,8m/s pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 6 figur seguir um trblhdor cuiddoso plic um forç o longo do cbo de um esfregão. O cbo fz um ângulo com verticl, sendo µ e µ os respectivos coeficientes de trito estático e cinético entre o esfregão e o chão. Despreze mss do cbo e suponh que tod mss m estej no esfregão. ) Qul o vlor de, se o esfregão se move pelo chão com velocidde constnte? y x omo o esfregão se move com celerção nul: µ sen cos sen cos

14 rof. Romero Tvres d Silv logo: µ ( cos ) sen µ sen µ cos b) Mostre que se é menor que um determindo vlor então (ind plicd o longo do cbo) é incpz de mover o esfregão. Determine. Suponhmos que o plicr um forç no cbo do esfregão, pssemos vrir (umentr) o ângulo té que forç de trito impeç o movimento. ste ângulo será chmdo. or mior que sej forç extern se < não existirá movimento. s equções serão equivlentes às nteriores, considerndo gor o coeficiente de trito estático: cos sen µ sen µ cos cos µ sen sse ângulo será quele tl que o denomindor cim será nulo, de modo que mesmo com um forç extern muito grnde o esfregão ind permnecerá em repouso. Temos então que: sen µ cos tn µ rc tn µ pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 31 O corpo n figur pes 1 e o corpo pes 3. Os coeficientes de trito entre o bloco e o plno inclindo são µ e,56 e µ c,5. ) Determine celerção do sistem se estiver inicilmente em repouso µ e,56 µ c,5 m m T T T y Y T X p 6 14

15 rof. Romero Tvres d Silv Qundo o sistem estiver prdo, ms com tendênci pr que o bloco se mov pr bixo. T T T O bloco só poderá mover-se o longo do plno inclindo, logo é nul resultnte ds forçs perpendiculres esse plno que tum nesse bloco. Ou sej: Ms - cos cos µ µ cos for forç de trito, existem outrs forçs que tum prlelmente o plno inclindo. Vmos chmr resultnte desss forçs de, portnto: sen - T sen - ess forç puxrá o bloco pr bixo, e ele mover-se-á qundo for mior ou igul forç de trito estático máxim: Se µ contecerá movimento Usndo os vlores ddos no enuncido, encontrmos que: 35,56 e µ 43,75 onclusão: Se o conjunto, estiver prdo, vi permnecer desse modo. b) Determine celerção do sistem se estiver movendo-se pr cim no plno inclindo. T T y T Y T X plicndo segund Lei de ewton pr os dois corpos, teremos: T T m m omo os dois blocos estão conectdos por um cord inextensível, qundo um deles se deslocr de um distânci s num intervlo de tempo t o outro se deslocrá d mesm distânci no mesmo intervlo de tempo, logo s sus celerções serão s mesms, em módulo. Ou sej: p 6 15

16 rof. Romero Tvres d Silv omo cord tem mss desprezível, podemos mostrr que s tensões são iguis, ou sej: T T T Vmos supor que o primeiro bloco irá descer. so ess suposição não sej verddeir celerção terá o sinl negtivo. r o primeiro bloco, temos s seguintes equções: - cos T - sen - m onde µ c µ c cos, e pr o segundo corpo: - T m Somndo s dus últims equções, encontrmos: ou sej: - sen - µ c cos (m m ) m m ( sen µ c cos ) g m m - 3,88m/s O resultdo do cálculo d celerção ser negtivo indic que suposição do corpo subir é inconsistente, em outrs plvrs: ele não subirá. c) Determine celerção do sistem se estiver movendo-se pr bixo no plno inclindo. T T y T Y T X sse problem é bsicmente igul o do item nterior, com diferenç que forç de trito pont no sentido contrário. s equções vetoriis são s mesms T m T m s componentes são: - cos sen - - T m p 6 16

17 rof. Romero Tvres d Silv onde µ c µ c cos, e pr o segundo corpo: T - m Somndo s dus últims equções, encontrmos: ou sej: sen - µ c cos - (m m ) m ( sen µ cos ) m c m m g 1,m/s pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 35 Dois blocos de msss m 1 1,65kg e m 3,3kg, deslizm pr bixo sobre um plno inclindo, conectds por um bstão de mss desprezível com m 1 seguindo m. O ângulo de inclinção é 3. O coeficiente de trito entre m 1 e o plno é µ 1,6 e entre m e o plno é µ,113. lcule: ) celerção conjunt ds dus msss. m m T 1 T T orpo m11 T orpo m omo o bstão é inextensível s celerções dos blocos são iguis, e como esse bstão tem mss desprezível s forçs T e T têm mesmo módulo. desse modo: T 1 sen - 1 m 1 -T sen - m 1-1 cos - cos T 1 sen - µ 1 1 cos m 1 -T sen - µ cos m Somndo esss dus equções, encontrmos ( 1 ) sen - ( µ 1 1 µ ) cos ( m 1 m ) ou sej: p 6 17

18 b) tensão no bstão. rof. Romero Tvres d Silv ( m m ) sen ( µ m µ m ) cos g 3,6m/s m m 1 Temos que: T m 1-1 sen µ 1 1 cos e usndo o resultdo do cálculo d celerção, encontrmos: T m1m ( µ µ ) cos 1 g 1,5 m m 1 c) omo ficrim s resposts e b se s msss fossem invertids? Se nos resultdo d celerção trocrmos 1 por equção não se modificrá, e portnto não irá lterr o movimento com ess mudnç. o entnto tensão irá trocr de sinl, e isso signific que o bloco que empurrv irá puxr e vice-vers. pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 36 Um bloco de mss m 4kg é colocdo em cim de outro de mss m 1 5kg. r fzer o bloco de cim deslizr sobre o de bixo, que é mntido fixo, um forç horizontl de pelo menos T 1 deve ser plicd o de cim. O conjunto dos blocos é gor colocdo sobre um mes horizontl sem trito. Determine: ) forç horizontl máxim que pode ser plicd o bloco inferior pr que ind se movimentem juntos. m m 1 1 á 1 omo foi menciondo, qundo mntemos o bloco de bixo fixo, um forç horizontl de pelo menos T 1 deve ser plicd o de cim, pr que ele inicie um movimento. Isso signific que forç de trito estático máxim entre os dois blocos tem esse vlor. Qundo um forç menor que limite, tur no bloco de bixo, o conjunto se moverá com celerdo, logo: ( m 1 m ) p 6 18

19 rof. Romero Tvres d Silv Os dois blocos intergem trvés d forç de trito, de modo que ess é únic forç horizontl que tu no bloco de cim, e portnto: logo: m m m m m m T m m b) celerção resultnte dos blocos. 3m/s m pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 37 Um tábu de 4kg está em repouso sobre um ssolho sem trito, e um bloco de 1kg está colocdo em cim d tábu. O coeficiente de trito estático µ entre o bloco e tábu é,6, enqunto o de trito cinético µ é,4. O bloco de 1kg é puxdo por um forç horizontl de 1. ) Qul celerção resultnte do bloco? b forç de trito estático máxim é: µ µ b 58,8 b omo forç extern 1 forç de trito estático não será suficiente pr mnter o bloco e tábu sem movimento reltivo. À medid que o bloco começ se mover, o trito enter ele e tábu pss ser cinético: µ µ b 39, resultnte ds forçs que tum no bloco é: b b m b b b m b b b p 6 19

20 rof. Romero Tvres d Silv µ mb b) Qul celerção resultnte d tábu? b b 6,8m/s únic forç horizontl que tu n tábu é que é reção à forç de trito que tu no bloco, logo: µ b mtt t,98m/s m pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 39 Um cix desliz pr bixo trvés de um clh de perfil de 9, que está inclind de um ângulo em relção à horizontl, conforme mostr figur. O coeficiente de trito cinético entre els é µ. Qul celerção d cix em função de µ, e g? e d t e d omo é de 9 o ângulo entre os vetores e e d módulo: or outro ldo: e d e, e como eles têm o mesmo e d µ µ e d e d µ µ ( ) e d µ e µ om ess últim equção, temos um problem em três dimensões trnsformdo em um outro problem equivlente em dus dimensões. Usndo figur cim d direit: cos m sen m m mg sen mg sen g µ mg sen ( sen µ cos ) µ mg cos p 6

21 rof. Romero Tvres d Silv pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 41 Um cix de rei inicilmente em repouso, é puxd pelo chão por um cord onde tensão não pode ultrpssr 11. O coeficiente de trito estático entre o chão e cix é,35. ) Qul deverá ser o ângulo d cord em relção à horizontl, de form permitir puxr mior quntidde de rei possível? y mior dificuldde será colocr cix em movimento. Devemos encontrr o ângulo dequdo pr que forç extern sej suficiente pr equilibrr forç de trito estático máximo Qundo cix estiver prestes se mover, forç resultnte ind será nul: T T cos T sen µ T cos T sen µ ( - T sen ) T cos ( ) T ( cos µ sen )/µ d d T µ ( sen µ cos ) tn µ rc tn µ 19,9 b) Qul o peso d cix de rei ness situção? ( ) T M ( cos µ sen )/µ 339,77 Gráfico do peso máximo possível de ser rrstdo pel cord, em função do ângulo de plicção d forç extern. p 6 1

22 rof. Romero Tvres d Silv pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 47 Se o coeficiente de trito estático dos pneus num rodovi é,5, com que velocidde máxim um crro pode fzer um curv pln de 47,5m de rio, sem derrpr? resultnte ds forçs que tum no corpo é: m m forç resultnte é forç de trito, pois n direção verticl existe um equilíbrio entre s forçs que tum no crro. é ess forç resultnte que possibilit o corpo descrever um trjetóri circulr com velocidde constnte. Desse modo forç de trito será forç centrípet. mv m µ mg v µ Rg 1,78m/s 38,8km/h R pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 51 Um curv circulr de um uto-estrd é projetd pr velociddes de 6km/h. ) Se o rio d curv é de 15m, qul deve ser o ângulo de inclinção d rodovi? R Vmos considerr um situção que envolv os dois itens, estrd é inclind e tem trito. O desenho d direit mostr forç resultnte, e como já foi dito é conhecid como forç centrípet. Usndo segund Lei de ewton: cos sen m sen cos m D primeir equção d direit, encontrmos que: cos µ sen p 6

23 rof. Romero Tvres d Silv e usndo esse vlor n segund equção: ou sej: ou ind: cos µ sen µ sen cos µ sen µ cos µ cos m sen cos µ tn g g sen 1 µ tn µ g tn g µ Qundo µ, que é o cso do primeiro item, qundo não existe trito: v tn,188 1,7 g Rg b) Se curv não fosse inclind, qul deveri ser o coeficiente de trito mínimo, entre os pneus e rodovi, pr permitir o tráfego ess velocidde, sem derrpgem? este cso e portnto encontrmos que: µ g,188 pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 54 Um pêndulo cônico é formdo por um mss de 5g pres um cordão de 1,m. mss gir formndo um círculo horizontl de 5cm de rio. ) Qul su celerção? m 5g,5kg l 1,m r 5cm,5m T Usndo segund Lei de ewton: R T cos T sen T m T cos T sen m m mg p 6 3

24 rof. Romero Tvres d Silv ou sej: r g tn g,8m/s l r b) Qul su velocidde? v v r,7m/s r c) Qul tensão no cordão? m l T m,499 sen r pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 57 Um dublê dirige um crro sobre o lto de um montnh cuj seção ret é proximdmente um círculo de 5m de rio, conforme figur seguir. Qul mior velocidde que pode dirigir o crro sem sir d estrd, no lto d montnh? Qundo um crro perde o contto com o solo únic forç que permnece tundo nele é o seu peso. Ms qundo ele está prestes perder o contto forç norml já é nul. este problem trjetóri é circulr e ness situção limite descrit pelo enuncido forç centrípet é o seu peso: v m mg m v r rg 49,49m/s 178,19km/h pítulo 6 - Hllidy, Resnick e Wlker - 4. edição 6 Um estudnte de 68kg, num rod gignte com velocidde constnte, tem um peso prente de 56kg no ponto mis lto. ) Qul o seu peso prente no ponto mis bixo? p 6 4

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