Figura 1: Templo de Apolo em Delphi, Grécia. Fonte: Luarvick/Wikimedia Commons/CC-BY- SA 3.0/GFDL.

Transcrição

1 O Probema Deiano Jorge C. Lucero 8 de janeiro de 26 Introdução Conta Eratóstenes [Hea8] que, certa vez na antiga Grécia, os habitantes da iha de Deos perguntaram ao orácuo de Apoo o que fazer para combater uma peste que assoava o povo. A resposta do orácuo foi que o atar de Apoo, de forma cúbica, devia ser dupicado. Assim, teria nascido o probema geométrico da dupicação do cubo, também conhecido como probema deiano, que se tornou um dos probemas cássicos da Antigüidade [Boy96]. Podemos enunciá-o também desta forma: dada a aresta de um cubo, construir a aresta de um segundo cubo cujo voume seja o dobro do primeiro. Os matemáticos gregos ja tinham resovido a questão da dupicação de um quadrado, e parece natura que tenham estendido-a ao caso do cubo. Figura : Tempo de Apoo em Dephi, Grécia. Fonte: Luarvick/Wikimedia Commons/CC-BY- SA 3./GFDL. Seja um segmento de reta de cumprimento a. O cubo que tem ta segmento como aresta terá voume V a = a 3. Queremos, então, obter um segmento de reta de cumprimento b, ta que o cubo associado, de voume V 2 = b 3, satisfaça V b = 2V a. Destas fórmuas obtemos a reação b a = 3 2. Assim, o probema se reduz a cacuar a raiz cúbica de 2 (i.e, obter 2 segmentos de reta cujos comprimentos estejam na reação : 3 2). Numerosas souções foram propostas usando todo tipo de artifícios, já desde o sécuo V a.c., com uma construção tridimensiona devida a Arquitas. Entretanto, o probema se tornaria famoso quando considerado sob a seguinte restrição: deve ser resovido em um número finito de passos usando apenas régua e compasso, onde a régua deve ser utiizada apenas para traçar inhas retas, e não para medir. Todos temos estudado muitos probemas de construção simiares na escoa, os que constituem os fundamentos da geometria eementar. De fato, é possíve definir a geometria eucideana como a ciência daquio que pode ser construído com régua e compasso [DH95] Pubicado, em versão revisada, na Revista do Professor de Matemática (Sociedade Brasieira de Matemática) 62: 25Ű28, 27 (2/6/25) Endereço atua: Departamento de Ciência da Computação, Universidade de Brasíia, e-mai: ucero@unb.br

2 J. C. Lucero: O probema deiano 2 A soução ao probema deiano, com a restrição citada, foi procurada em vão durante sécuos. SóapartirdostrabahosemágebradeRuffini, Abe, egaois, nosécuoxix,demostrou-sequeé impossíve fazer ta construção[cr]. Resuta curioso, então, que seja possíve resovê-o apenas dobrando uma foha de pape. Acaso a dobradura de uma foha é uma ferramenta geométrica mais poderosa que a combinação de régua e compasso? Surpreendentemente, a resposta é afirmativa [Ap]. Aqui veremos uma soução eegante devida a Messer [Lan4, Mes86] Resoução Partimos de uma foha quadrada de pape, de dimensão arbitrária. A soução consta de duas etapas; primeiramente, devemos dividir a foha em três partes iguais. Isso pode ser feito por meio dos seguintes passos: () Marcar o ponto médio na borda direita. (2) Dobrar e abrir. (3) Dobrar e abrir. (4) Dobrar horizontamente, de forma que a borda superior toque a intersecção das inhas de dobrado anteriores, e abrir. (5) Dobrar horizontamente, de forma que a borda inferior toque a inha de dobrado anterior, e abrir. (6) As inhas de dobrado horizontais dividem a foha em três partes iguais. Osseguintespassos,finamente,determinam 3 2. Asinhasdedobradoquenãosãoreevantes foram eiminadas, para maior careza.

3 J. C. Lucero: O probema deiano B A (7) Dobrar de forma que o ponto A fique sobre a borda direita, e o ponto B sobre a inha horizonta indicada. (8) Resutado fina. Demonstração Demonstremos primeiro que a seqüência de passos ()-(6) divide a foha de pape em 3 partes iguais. O seguinte diagrama reproduz o resutado no passo (6). Temos coocado um par de eixos cartesianos x y, com origem no canto inferior esquerdo da foha de pape. Como indicado, o cumprimento dos ados da foha é. C D s α O ponto C está a mesmas distância das bordas inferior e direita da foha, que chamaremos de s, por tanto suas coordenadas são (x C,y C ) = ( s,s). As coordenadas do ponto D são (x D,y D ) = (,/2). Podemos então dizer que Iguaando ambas equações, obtemos tgα = y C x C = s s s s = y D x D = 2 = 2 s = 3 Peos passos (4) e (5), a distância entre ambas inhas de dobrado horizontais, e entre a inha superior e a borda superior da foha, também deve ser /3. Demostremos agora que a dobra do passo (7) determina 3 2 sobre a borda direita da foha. Para isso, coocamos novamente um par de eixos cartesianos x y, com origem no canto inferior esquerdo da foha de pape (figura na página seguinte).

4 J. C. Lucero: O probema deiano 4 Os pontos A e B são os indicados no passo (7) anterior, e têm coordenadas (x A,y A ) = (,) e (x B,y B ) = (,/3), respectivamente. Nesse mesmo passo, reaizamos a dobra sobre a inha m, e os pontos A e B passam a ocupar as posições A e B, respectivamente, de coordenadas (x A,y A ) = (,) e (x B,y B ) = (a,2/3), onde a designa a abcissa do ponto B. O pontos A e B, sobre a inha de dobrado, são os pontos medios dos segmentos AA e BB, respectivamente, e têm coordenadas (x A,y A ) = (/2,/2) e (x B,y B ) = (a/2,/2). m B t B B A A A Pea geometria da figura, os três ânguos designados por, com vêrtice em A, B, e B, são iguais. Cacuemos o vaor de tg em cada caso: tgα = y A y A = x A x A = y B y B = /3 x B x B a = x A x B = a y A y B () (2) (3) Iguaando as equações () e (2) obtemos Simiarmente, iguaando () e (3) = 3a a = 2 3 = a Substituindo o vaor de a nesta útima equação e operando, resuta em que pode ser reescrita na foram Finamente, substituindo t =, obtemos o que prova a soução do probema deiano = ( ) 3 2 = t 3 2 = t = 3 2

5 J. C. Lucero: O probema deiano 5 Comentário fina A raiz cúbica de 2 é a soução da equação x 3 2 =. Com dobraduras de uma foha de pape, é possíve resover quaquer equação cúbica ax 3 + bx 2 + cx + d =, o que é impossíve de ser feito com régua e compasso. Isso permite resover outros probemas geométricos de construção que possam ser reduzidos a uma equação cúbica, como a trisseção de um ânguo, e a construção de um heptágono reguar. Referências [Ap] Roger C. Aperin. A mathematica theory of origami constructions and numbers. New York Journa of Mathematics, 6:9 33, 2. [Boy96] Car B. Boyer. História da Matemática. Editora Edgar Bücher Ltda., São Pauo, 996. Traduzido por Eza F. Gomide do origina em ingês: A History of Mathematics, John Wiey & Sons, Nova Iorque, 99. [CR] Richard Courant e Herbert Robbins. O Que é Matemática? Editora Ciência Moderna Ltda., Rio de Janeiro, 2. Traduzido por Adaberto da Siva Brito do origina em ingês: What is Mathematics?, 94. [DH95] Phiip J. Davis e Reuben Hersch. A Experiência Matemática. Gradiva, Lisboa, 995. Traduzido por Fernando Migue Louro e Ruy Migue Ribeiro do origina em ingês: The Mathematica Experience, Birkhäuser, Boston, 98. [Hea8] Thomas Heath. History of Greek Mathematics. Courier Dover Pubications, Mineoa, NY, (EUA), 98. [Lan4] Robert J. Lang. Origami: Compexity in creases (again). Engineering and Science, LXVII():8 9, 24. [Mes86] Peter Messer. Probem 54. Crux Mathematicorum, 2(): , 986.