GRAMÁTICA DA FÍSICA: HIDRODINÂMICA OU FLUIDODINÂMICA

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1 PAGANI O túnel de vento cria linhas do fluxo de ar, que contornam o carro, e as torna visíveis por meio de sofisticados recursos ópticos. A resistência do ar ou da água é o principal limitador da velocidade de qualquer veículo que atravesse esses fluidos. Em princípio, se não houvesse a resistência do ar, qualquer carro, mesmo com motor de baixa potência, poderia atingir qualquer velocidade bastaria manter a sua aceleração constante durante tempo suficiente. Mas isso não ocorre porque a intensidade da resistência do ar aumenta com a velocidade do carro. Assim, seja qual for a potência do motor de um carro, ele sempre vai atingir uma velocidade-limite quando a força exercida pelo motor se igualar à intensidade da resistência do ar é essencial, portanto, reduzir ao máximo essa resistência. A vantagem dessa redução não está apenas em aumentar a velocidade máxima do carro, mas também em reduzir a força necessária para manter as velocidades habituais e, assim, diminuir o consumo de combustível. Essa é a finalidade do túnel de vento, extraordinário dispositivo tecnológico que permite ver direta ou indiretamente as linhas de fluxo resultantes do movimento relativo de um carro através do ar. A intensidade da resistência do ar é calculada multiplicando a velocidade do ar ao quadrado por uma constante, que depende da forma do carro: quanto menor a constante, menor a resistência e melhor a aerodinâmica do carro. Como são muitos os fatores que intervêm no valor dessa constante, é quase impossível calculá-la, mesmo com os mais modernos computadores. Além disso, qualquer mudança no design do carro, até da posição ou da forma de um espelho retrovisor externo, pode alterar essa constante, o que obrigaria os engenheiros a refazer o cálculo exaustivamente; daí a vantagem da visualização das linhas de fluxo. A configuração dessas linhas forma, continuidade, linearidade, separação e paralelismo permite aos engenheiros uma avaliação imediata da intensidade da resistência do ar para cada velocidade. A aerodinâmica e o túnel de vento talvez sejam a face mais moderna do estudo da Hidrodinâmica (veja o boxe Gramática da Física: Hidrodinâmica ou Fluidodinâmica), mas a sua origem vem desde a pré-história (veja o boxe História da Hidrodinâmica). GRAMÁTICA DA FÍSICA: HIDRODINÂMICA OU FLUIDODINÂMICA Assim como para hidrostática, palavra de origem grega que significa água em equilíbrio, mas o seu estudo se aplica a outros fluidos em equilíbrio, hidrodinâmica significa água em movimento e o seu estudo também se destina a todos os fluidos em movimento. No entanto, ao contrário da hidrostática, em que essa é a denominação predominante, na hidrodinâmica é cada vez mais nítida a preferência pelo termo fluidodinâmica. É bem provável que a razão para essa preferência venha da aerodinâmica, um dos seus objetos de estudo cuja importância tecnológica é cada vez maior embora a aerodinâmica possa ser aplicada também ao movimento de veículos na água, o estudo dos veículos que se movem no ar é muito mais relevante.

2 HISTÓRIA DA HIDRODINÂMICA Poços de grande profundidade, canais de irrigação, aquedutos e sistemas de distribuição de água existem há milênios e mostram quanto é antiga a preocupação do ser humano em dominar a tecnologia da obtenção e distribuição de água. A formulação de uma ciência da mecânica da água iniciou-se com os filósofos gregos Arquimedes (87- a.c.) formulou seu primeiro conceito básico: o empuxo, mas só muitos séculos depois ela começou a ser de fato construída. No fim do século XV, o gênio italiano Leonardo da Vinci (45-59) realizou um extraordinário estudo sobre hidráulica e a ele se atribui a primeira formulação do Princípio da Continuidade. Mas seu trabalho, difícil de ler (Leonardo escrevia com caracteres invertidos, para serem lidos vistos pelo espelho), não chegou a ser conhecido na época e é pouco conhecido até hoje. Quase um século depois, em 586, o engenheiro hidráulico alemão Simon Stevin (548-60) mostrou que o peso exercido por um líquido no fundo de um vaso depende apenas da sua profundidade. No século XVII, Evangelista Torricelli ( ), discípulo de Galileu Galilei (564-64) e célebre pela medida da pressão atmosférica com um tubo de mercúrio, obteve a expressão da velocidade de escoamento de um líquido de um vaso em função da profundidade do furo de saída, tendo como fundamentação teórica o estudo dos projéteis elaborado por seu mestre. Ainda naquele século o sábio francês Blaise Pascal (6-66) aprofundou os estudos de Torricelli e completou a teoria da Hidrostática. No século XVIII dois amigos e extraordinários matemáticos, o holandês Daniel Bernoulli ( ) e o suíço Leonhard Euler (707-78), construíram praticamente toda a fundamentação teórica da Hidrodinâmica, apresentada no tratado Hydrodynamica, publicado em 78 por Bernoulli. A autoria da obra fez com que fosse atribuída a Bernoulli a equação mais importante da Hidrodinâmica, deduzida, na verdade, por Euler. Desde então a Hidrodinâmica foi se aprimorando, graças principalmente ao trabalho de cientistas franceses, como os físicos barão Augustin Louis de Cauchy ( ) e Simeon Denis Poisson (78-840) e o médico Jean Louis Poiseuille ( ), interessado na dinâmica da circulação sanguínea. Merecem destaque ainda o italiano Giovanni Battista Venturi (746-8), o alemão Gotthilf Ludwig Hagen ( ) e o inglês George Gabriel Stokes (89-90). As bases da moderna mecânica dos fluidos foram estabelecidas pelo engenheiro mecânico alemão Ludwig Prandtl (875-95), que, com alguns dos seus muitos alunos, formulou os princípios básicos dos aerofólios e da propulsão a jato. Iniciamos este assunto com a apresentação das bases para a compreensão da primeira e mais importante propriedade dos fluidos: as suas formas de escoamento.. Escoamento de um fluido A complexidade do estudo dos fluidos em movimento e os recursos matemáticos de que dispomos no nível do ensino médio exigem algumas limitações iniciais: não levar em conta variações de temperatura e considerar os fluidos incompressíveis, de densidade constante, são as duas primeiras. Mas a limitação essencial está relacionada às duas formas principais de escoamento de um fluido: laminar ou lamelar e turbulenta. Veja a imagem a seguir. fluxo laminar fluxo turbulento A foto mostra as linhas de fluxo do ar atravessando o perfil da asa de um avião a fumaça injetada em um compartimento fechado, semelhante a um túnel de vento, torna-as visíveis. Observe que a maior parte das partículas do ar descreve trajetórias praticamente invariáveis as linhas de fluxo mantêm-se contínuas e separadas; esse é o escoamento laminar. Na parte traseira da asa essa regularidade deixa de existir as partículas do fluido descrevem trajetórias irregulares e imprevisíveis; esse é o escoamento turbulento. Com frequência, um fluido passa de um tipo de escoamento para outro e muitas vezes assume uma configuração que não se caracteriza nem como laminar nem como turbulenta. Veja as fotos a seguir.

3 PETER WIENERROITHER De início, a fumaça tem um escoamento laminar, que se estreita e, depois, se torna turbulento. Enquanto o escoamento é laminar, as partículas da fumaça mantêm-se em trajetória ascendente. Quando passa a turbulento, a fumaça espalha-se, e suas partículas passam a descrever trajetórias caóticas muitas descem, em vez de continuarem a subir. FLUIDOS IDEAIS Fluidos incompressíveis têm também densidade constante acrescida a condição de viscosidade nula (o estudo da viscosidade está no tópico 4), eles são chamados de ideais. Os gases têm baixa viscosidade, mas alta compressibilidade e, por isso, densidade variável. Nos líquidos a viscosidade é um pouco maior, mas a sua compressibilidade é baixíssima (veja a figura a seguir). Por isso a sua densidade é praticamente constante. Assim, ao considerar um líquido fluido ideal, estamos mais próximos da realidade, o que não acontece com os gases. 00 kg Uma pequena rotação na fonte que gera o fluido (a fumaça) ou no obstáculo pelo qual ele passa pode originar uma série de vórtices. O efeito da carga de 00 kg ( 000 N) no abaixamento do êmbolo no cilindro é quase imperceptível: ela comprime a água em apenas 0,75 mm! O escoamento turbulento não é passível de estudo, tal a sua irregularidade e imprevisibilidade. O escoamento em vórtices já dispõe de uma teoria bem estabelecida com aplicações à meteorologia e simulações experimentais controladas, como a rua de vórtices, mostrada na foto a seguir, cuja beleza só é superada pela complexidade do seu tratamento matemático.. Equação de Continuidade A trajetória de uma partícula de um fluido em escoamento laminar constitui uma linha de corrente. Essas linhas nunca se cruzam, por isso um feixe delas forma um tubo de corrente. Seções normais às linhas do tubo de corrente são figuras planas. Veja a figura a seguir. Rua de vórtices (do inglês, vortex street), nome dado a essa configuração criada experimentalmente pelo movimento relativo de um fluido através do obstáculo cilíndrico girante (à esquerda). S S Duas seções normais ao tubo de corrente de áreas S e S. Vamos supor que todas as partículas do fluido atravessem a seção de área S com velocidade de módulo v e a seção de área S com velocidade de módulo v. Veja a figura abaixo. v= v= Por essas razões, o estudo da Hidrodinâmica no nível médio só é possível para fluidos incompressíveis em escoamento laminar (veja o boxe Fluidos ideais). S S

4 Nessas condições, podemos demonstrar que é válida a igualdade: v S = v S (veja a primeira dedução na página 0) Essa expressão é conhecida como Equação de Continuidade. Se em um tubo de corrente considerarmos seções normais S, S, S,..., S n, atravessadas por velocidades de módulos v, v, v,..., v n, respectivamente, podemos escrever: v S = v S = v S =... = v n S n = constante Por definição, essa constante é a vazão ( ) desse fluido, que pode ser expressa na forma: = vs O produto da unidade de velocidade (m/s) pela de área (m ) dá a unidade da vazão no SI m /s e torna claro o seu significado físico e a forma mais frequente de defini-la: Vazão ( ) de um fluido em um tubo de corrente é a razão entre o volume (V) desse fluido que atravessa uma seção normal do tubo e o correspondente intervalo de tempo ( t): V = t A Equação de Continuidade implica vazão constante. Assim, em um tubo de corrente, onde a área da seção normal é maior, a velocidade é menor, e vice-versa. Por isso apertar a extremidade de uma mangueira, diminuindo a área de saída da água, faz a velocidade do esguicho aumentar. Para você pensar Enquanto o escoamento da água de uma torneira é laminar, observa-se que o filete de água afina ao cair (veja a foto a seguir). Por quê? EDUARDO SANTALIESTRA Com base na Equação de Continuidade, um colega seu pensa em fazer a experiência descrita na figura a seguir. Ele argumenta que basta apertar a boca da mangueira o suficiente para que isso ocorra. Você acha que vai dar certo? Justifique. Observação: Por enquanto você pode argumentar apenas se baseando no Princípio da Conservação da Energia. Mais adiante terá condições para dar uma resposta mais detalhada (nesse momento esta questão será reapresentada). garrafa PET mangueirinha esguicho de água boca da mangueirinha espremida A água que sai da garrafa sobe e cai novamente dentro da garrafa o sistema vai funcionar continua e eternamente... Exercício resolvido Uma mangueira tem uma extremidade fixada à boca de uma torneira de,0 cm de diâmetro e a outra fixada a uma ponta de esguicho de 0,40 cm de diâmetro. Sabe-se que essa torneira enche um balde de 0 L em 40 s com vazão constante. Nessas condições, determine: a) a vazão da torneira; b) a velocidade da água na boca da torneira; c) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira. Solução a) Podemos calcular a vazão da torneira (Φ T ) pelo tempo gasto para encher o balde. Sendo V = 0 L e Δt = 40 s: V 0 Φ T = Φ T = Φ T = 0,5 L/s t 40 Φ T =,5 0 4 m /s b) Sendo r T =,0 cm =,0 0 m o raio da boca da torneira, a sua área é: S T = πr T S T =,(,0 0 ) S T =, 0 4 m Da definição de vazão, obtemos o módulo da velocidade v =T na saída da água da boca da torneira: Φ T = v T S T,5 0 4 = v T, 0 4 v T = 0,8 m/s 4

5 c) Sendo r E = 0,0 cm =,0 0 m o raio da abertura da ponta do esguicho, a sua área (S E ) é: S E = πr E S E =,(,0 0 ) S E =, 0 5 m Da Equação de Continuidade obtemos o módulo da velocidade v =E na saída da água da boca do esguicho: v S = v S v T S T = v E S E 0,8, 0 4 = v E, 0 5 v E = m/s Observações: I. Utilizamos para π o valor, porque trabalhamos com dois algarismos significativos. II. A resposta ao item c pode ser obtida diretamente por considerações de proporcionalidade. Assim, da Equação de Continuidade conclui-se que a velocidade da água é inversamente proporcional à área da seção de vazão. Como a área de um círculo é diretamente proporcional ao quadrado do raio, a velocidade da água será inversamente proporcional ao quadrado do raio. Logo, se o raio da boca do esguicho é 5 vezes menor que o raio da boca da torneira, a velocidade da água que o atravessa será 5 (5 ) vezes maior. Então, podemos escrever: v E = 5 v T v E = 5 0,8 v E = 0 m/s A diferença entre os valores obtidos deve-se às aproximações decorrentes do uso de dois algarismos significativos. Para você resolver O bico do esguicho de uma mangueira de jardim tem,0 cm de diâmetro, e com ela é possível encher um regador de L em,0 min. Supondo que o fluxo seja ideal e a vazão constante, determine: a) a vazão da água; b) a velocidade da água na boca do esguicho da mangueira; c) a velocidade da água na saída da torneira, onde se engata a mangueira, sabendo que o diâmetro dessa torneira é de,5 cm.. Equação de Bernoulli Suponha que, em um lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é g, um fluido ideal de densidade d se desloca por uma tubulação com vazão constante Φ, como mostra a figura a seguir. S x S x p v= h e Δx com velocidade v= ao nível h, no mesmo intervalo de tempo Δt. Podemos demonstrar que é válida a equação: p p = d(v v ) + dg(h h ) (veja a segunda dedução na página 0) Pela análise dessa expressão podemos explicitar o seu significado físico: Lembrando a expressão da energia cinética E c = mv, podemos dizer que o termo d(v v ) é uma espécie de variação da energia cinética do fluido em que a sua densidade (d) substitui a massa (m); Se o fluido estiver em repouso, v = v = 0, essa expressão assume a forma: p p = dg(h h ) Δp = dgδh que é a Lei de Stevin, da Hidrostática. Se, nessa expressão, substituirmos a densidade (d) do fluido pela massa (m), obtemos a expressão da variação da energia potencial gravitacional entre esses dois níveis. Assim, podemos dizer que a diferença de pressões entre dois níveis de um fluido em movimento é responsável pela variação da sua energia cinética, representadapelotermo d(v v ), e da sua energia potencial gravitacional, representada pelo termo dg(h h ). Os termos da equação acima podem ser rearranjados assim: p + dv + dgh = p + dv + dgh (I) ou, como os níveis e podem ser quaisquer, na forma: p + dv + dgh = constante (II) As equações I e II são as duas formas em que se costuma apresentar a Equação de Bernoulli (quando nos referimos a essa equação, estamos nos referindo a qualquer uma delas). Para você pensar Suponha que um fluido atravesse os tubos da figura abaixo em condições ideais: I II p v= Em decorrência da diferença entre as pressões p e p, o fluido desloca-se Δx com velocidade v= ao nível h h h h h = h h h 5

6 Em I, o fluido sofre um estreitamento, mas não é elevado. Em II, ele é elevado, mas não sofre estreitamento. a) Como se expressa a Equação de Bernoulli em cada caso? b) Interprete fisicamente cada termo dessa equação em cada situação. 4 Muitos físicos fazem questão de lembrar que a Equação de Bernoulli não traz nada de novo à física, que se trata apenas de uma aplicação do Princípio da Conservação da Energia. Como você justifica essa afirmação? to da água através do estrangulamento do tubo se não houvesse o estrangulamento, as velocidades v= e v= seriam iguais, e essa parcela seria nula; b) a parcela,8 0 4 Pa possibilita a elevação do fluido se não houvesse esse desnível, essa parcela seria nula. II. Podemos supor que a saída S está aberta à pressão atmosférica (p 0 ). Nesse caso, p = p 0. Sendo p 0 =,0 0 5 Pa (pressão atmosférica normal), a pressão em é: p = p 0 + Δp p =, ,9 0 4 p =,5 0 5 Pa Não considerando o fato de o fluido não ser ideal e que o escoamento nem sempre é laminar, a figura a seguir mostra como esse caso pode ocorrer em uma situação real (o trecho dentro do retângulo tracejado corresponde ao caso proposto no exercício). Exercício resolvido Suponha que a tubulação representada na figura a seguir é atravessada por água com vazão constante. No nível, à altura h =,8 m, a área da seção normal é S =, 0 m e o módulo da velocidade da água é v = 8,0 m/s. Em (h = 0), a área da seção normal é S = 6,0 0 m. S v= h =, m h = 0 h =,8 m S p v= h = 0 Supondo o escoamento ideal, determine: a) a vazão da água nesse tubo; b) o módulo (v ) da velocidade da água em ; c) a diferença de pressões (Δp = p p ) necessária para manter esse escoamento constante. Dados: densidade da água: d =,0 0 kg/m ; g = 0 m/s. Solução a) Sendo v = 8,0 m/s, da definição de vazão: Φ = vs Φ= v S Φ= 8,0, 0 Φ = 9,6 0 m /s b) Se o escoamento é ideal, a vazão é constante. Então: Φ = v S 9,6 0 = v 6,0 0 v =,6 m/s c) Da Equação de Bernoulli: p p = d(v v ) + dg(h h ) Δp =,0 0 (8,0,6 ) +,0 0 0(,8 0) Δp =, 0 4 +,8 0 4 Δp = 4,9 0 4 Pa Observações: I. As duas parcelas antes da soma final mostram as duas interpretações físicas das consequências da diferença de pressão Δp: a) a parcela, 0 4 Pa possibilita o movimen- p h Para você resolver A tubulação mostrada na figura a seguir é atravessada por água à vazão constante Φ = 5,0 L/s. Em (h = 0), a área da seção normal do tubo é S =, 0 m ; em, na altura h =,0 m, a boca do tubo, aberta à atmosfera, tem área S =,0 0 m. S p v= h = 0 S Dadas a pressão atmosférica local, p 0 =,0 0 5 Pa, e a densidade da água, d =,0 0 kg/m, e adotando g = 0 m/s, determine: a) o módulo das velocidades v= e v= da água em e ; b) a pressão p da água ao nível do chão. Aplicações da Equação de Bernoulli Equação de Torricelli Suponha que um líquido escoe pelo orifício de um tanque a uma profundidade h, como mostra a figura ao lado. p v= h v 0 = 0 h v= 6

7 Se a área S do orifício é muito menor que a área S 0 da superfície do tanque, a velocidade da água na saída do orifício inferior é dada pela expressão: v = gh (veja a terceira dedução na página 0) Essa expressão é conhecida como Equação de Torricelli. Note que nela não se considera a forma, a abertura, nem a posição do orifício. Assim, se dois orifícios estiverem voltados para cima, podemos concluir da Cinemática que, em condições ideais, o repuxo vai atingir a altura h igual à profundidade do orifício. Veja a figura a seguir. Como essas condições não existem sempre há resistência viscosa no líquido dentro do recipiente e na saída do orifício, além da resistência do ar fora do recipiente, na prática os esguichos nunca vão atingir o mesmo nível da superfície. Para você pensar 5 Agora você pode aprofundar a sua resposta ao Para você pensar e convencer o seu colega de que a ideia dele é inviável. O que mais você pode dizer para reforçar a sua argumentação anterior? Exercício resolvido A figura a seguir representa um recipiente com água vazando por três furos: A, B e C. Os furos são suficientemente pequenos para que a velocidade de abaixamento do nível da superfície possa ser considerada desprezível. A B C 5,0 cm 5,0 cm 5,0 cm 5,0 cm Determine: a) os módulos v A, v B e v C da velocidade de saída da água em cada orifício; b) a que distância do recipiente o jato de água atinge o nível da sua base de apoio. Despreze a resistência do ar e adote g = 0 m/s. Solução a) Nas condições dadas, é válida a Equação de Torricelli (v = gh), em que h é a profundidade de cada furo: para o furo A, à profundidade h A = 0,050 m: v A = g ha v A = 0 0,050 v A =,0 m/s para o furo B, à profundidade h B = 0,0 m: v B = g h B v B = 0 0,0 v B =,4 m/s para o furo C, à profundidade h C = 0,5 m: v C = g h C v C = 0 0,5 v C =,7 m/s b) Um jato de água é um agregado de gotas que, neste caso, se comportam como pequeninos projéteis lançados horizontalmente das alturas y A = 0,5 m, y B = 0,0 m e y C = 0,050 m. Para um referencial em que a origem das alturas está fixada no nível da base de apoio do recipiente (figura a seguir), temos: A B C y (m) 0,0 0,5 0,0 0, ,050 0,0 0,5 0,0 x (m) O tempo de queda das gotas que saem de A, obtido da função da posição y (altura) em relação ao tempo t da queda livre, é: y = y 0 + v 0y t + gt 0 = y A + 0 t A + ( g)t A 0 = 0,5 5,0t A t A = 0,7 s Para as gotas que saem de B: y = y 0 + v 0y t + gt 0 = y B + 0 t B + ( g)t B 0 = 0,0 5,0t B t B = 0,4 s E para as gotas que saem de C: y = y 0 + v 0y t + gt 0 = y C + 0 t C + ( g)t C 0 = 0,050 5,0t C t C = 0,0 s Sendo desprezível a resistência do ar, o movimento de cada gota na direção do eixo x é retilíneo uniforme. Assim, para as gotas saídas de A: x = x 0 + vt x A = x 0 + v A t A x A = 0 +,0 0,7 x A = 0,7 m Para as gotas saídas de B: x = x 0 + vt x B = x 0 + v B t B x B = 0 +,4 0,4 x B = 0,0 m E para as gotas saídas de C: x = x 0 + vt x C = x 0 + v C t C x C = 0 +,7 0,0 x C = 0,7 m 7

8 Observações: I. Ao contrário do que se costuma afirmar, embora saia com velocidade maior, o jato do orifício mais baixo nem sempre tem o maior alcance, pois o seu tempo de queda é sempre menor que o dos jatos dos orifícios superiores. Para que tenha alcance maior, é preciso que ele caia abaixo da base do recipiente. Veja a figura a seguir. Se em uma canalização houver um estrangulamento, nele a área da seção normal é menor. Da Equação de Continuidade (v S = v S ), obtemos: S S v v (II) De I e II concluímos que: A B C 8,0 cm 8,0 cm 8,0 cm 8,0 cm S S p p Portanto, para um fluido ideal em escoamento laminar, a pressão é menor onde a área da seção normal também é menor, e maior onde a área da seção normal é maior é o Efeito Venturi, assim chamado em decorrência dos trabalhos realizados em 79 pelo físico italiano Giovanni Battista Venturi. Tubos com um ou mais estrangulamentos, como os das figuras a seguir, são conhecidos como tubos de Venturi. II. Agora pode ser entendida a razão do desnível de, m e das dimensões tão grandes da caixa-d água da figura dada no fim do exercício resolvido (página 6). A largura da caixa-d água é necessária para que a velocidade de abaixamento de sua superfície seja desprezível, e, nessas condições, esse desnível corresponde à velocidade v = 8,0 m/s. Dispositivo de demonstração do Efeito Venturi: pela mangueirinha amarela injeta-se um fluxo de ar no tubo horizontal com seção normal variável. Observa-se que o nível da água (coluna líquido lilás) sobe mais no tubo vertical ligado à região do tubo horizontal em que a área de seção normal é menor, mostrando que a pressão do ar nessa região também é menor. Para você resolver v= v= Na figura acima, determine o alcance dos jatos de água que saem dos orifícios A, B e C sabendo que o banquinho tem 0,7 m de altura e que a profundidade correspondente a cada furo em relação à superfície é: h A = 0,080 m; h B = 0,6 m; h C = 0,4 m. Despreze a resistência do ar e adote g = 0 m/s. p h p Tubo de Venturi Uma consequência imediata da Equação de Bernoulli é a relação inversa entre velocidade e pressão no interior de um fluido em escoamento laminar. Se h não varia, a Equação de Bernoulli assume a forma: p + dv = p + dv e podemos concluir que a velocidade é maior onde a pressão é menor: v v p p (I) Esquema de um tubo de Venturi utilizado para medir a vazão (Φ) de um fluido por meio da diferença de pressões em uma tubulação. Assim, conhecendo as áreas das seções normais S e S do tubo onde se medem as pressões p e p, podemos demonstrar que: Φ = S S (p p ) d(s S ) (veja a quarta dedução na página ) Com essa expressão é possível calcular a vazão em um tubo de Venturi pela diferença de pressões em duas 8

9 regiões das quais se conhece as áreas das seções normais. O uso do tubo em U para fazer a medida dessa diferença, da forma como está representado na figura anterior, só é possível em tubos com gás. Com líquidos, utilizam-se manômetros, instrumentos de medida direta da pressão que não são afetados pela passagem do líquido. Podem-se usar manômetros localizados em diferentes setores da tubulação (figura a seguir) ou manômetros para medir a diferença de pressão entre dois pontos nos quais as áreas das seções normais são conhecidas (foto abaixo). x y b) Para S =,0 0 m : Φ = vs Φ= v S,8 0 = v,0 0 v =,4 m/s Para S = 5,00 0 m : Φ = vs Φ= v S,8 0 = v 5,0 0 v = 5,6 m/s Observação: O tubo de Venturi é muito usado como va- A porizador. Veja a figura ao lado: a velocidade do ar sopra- B do no tubo horizontal torna a pressão na extremidade superior do tubo vertical menor do que a pressão atmosférica, por isso o líquido contido no recipiente sobe e, atingido pelo fluxo de ar, fragmenta-se em gotículas. Daí esse dispositivo ser chamado também de atomizador. Muitos frascos de perfume, como o mostrado na foto a seguir, funcionam dessa maneira. EDUARDO SANTALIESTRA Um atomizador básico se compõe apenas de dois tubos em ângulo reto e assim pode ser encontrado em lojas de produtos para artistas. Veja as imagens. EDUARDO SANTALIESTRA Atomizador básico. EDUARDO SANTALIESTRA Exercício resolvido 4 Suponha que o manômetro do tubo de Venturi mostrado na foto anterior, instalado em uma canalização de água, meça a diferença de pressão Δp =,5 0 4 Pa. As áreas das seções normais desse tubo, correspondentes às pressões p (ramo esquerdo do manômetro) e p (ramo direito do manômetro), são, respectivamente, S =,0 0 m e S = 5,0 0 m. Sendo d água =,0 0 kg/m e adotando g = 0 m/s, determine: a) a vazão (Φ) da água; b) os módulos v e v da velocidade do fluido ao passar por S e S. Solução a) Sendo Δp = p p =,5 0 4 Pa, da expressão do tubo de Venturi: Φ = S S (p p ) d(s S ) Φ=,0 0 5,0 0,5 04,0 0[ (,0 0 ) ( 5,0 0 ) ] Φ =,0 0 4,8 0 Φ=,8 0 m /s Φ= 8 L/s A artista imerge o tubo maior do atomizador na tinta e sopra no bocal do tubo horizontal para aspergi-la na tela. Podemos controlar a quantidade de tinta variando a vazão e a velocidade do ar soprado. 9

10 Para você resolver 4 Suponha que um tubo de Venturi, semelhante ao da foto mostrada na página anterior, está instalado em uma canalização de água cuja vazão é de 0 L/s em fluxo laminar. As áreas correspondentes às pressões p e p são S =,5 0 m e S =,0 0 m, respectivamente. Determine a diferença de pressão medida pelo manômetro. (Dados: densidade da água d água =,0 0 kg/m ; g = 0 m/s.) Observação: De início, convém isolar a diferença de pressões (p p ) da expressão do tubo de Venturi e trabalhar com a expressão assim obtida. A Equação de Continuidade e a Equação de Bernoulli costumam ser a fundamentação teórica para a explicação de outros fenômenos, como a sustentação da asa de um avião ou a flutuação de uma bola em um jato de ar. No entanto, ultimamente, essa fundamentação tem sido contestada e substituída por outra relativamente mais recente, que tem se mostrado mais adequada e correta. Para apresentá-la e torná-la fisicamente compreensível, o estudo da viscosidade é pré-requisito. EDUARDO SANTALIESTRA O mel adere à superfície do vidro e a si próprio. Essas características são explicadas pela existência de forças de adesão de origem eletromagnética (veja o boxe Aprofundamento: A natureza elétrica da matéria). Nos exemplos desta página, essas forças aparecem entre as moléculas do líquido óleo e mel e entre elas e uma superfície rígida o mel e o vidro (veja o boxe Gramática da física: Rígido ou sólido?). Nesta etapa do curso não há como aprofundar essa explicação. Podemos dizer que essas forças são as mesmas que originam a tensão superficial e a capilaridade, já apresentadas no estudo da Hidrostática. EDUARDO SANTALIESTRA 4. Viscosidade As fotos e as ilustrações a seguir mostram algumas características dos líquidos: O mel escorre sem formar gotas. Óleos diferentes fragmentam-se em gotas de tamanhos diferentes. RUBENS CHAVES APROFUNDAMENTO: A NATUREZA ELÉTRICA DA MATÉRIA Embora as moléculas dos líquidos e dos gases sejam eletricamente neutras por causa da soma das cargas de suas partículas, elas podem apresentar uma espécie de ação elétrica decorrente da assimetria na distribuição dessas partículas elétricas nessas moléculas, o que implica uma assimetria na distribuição das cargas elétricas. O exemplo mais notável dessa assimetria é a molécula de água. Veja a figura ao lado. Embora eletricamente neutra, a molécula de água tem regiões positivas e negativas separadas, o que a torna eletricamente ativa os físicos dizem que essa distribuição torna essa molécula eletricamente polarizada: ela é um dipolo elétrico. A polarização elétrica faz as gotas de água grudarem nos vidros das janelas e dos parabrisas dos carros. Embora a estrutura molecular do mel seja muito mais complexa, ele também adere às placas de vidro por causa dessa atração elétrica. + + H H O 0

11 GRAMÁTICA DA FÍSICA: RÍGIDO OU SÓLIDO? S v= F= Preferimos falar em superfície rígida em vez de sólida porque o vidro, a rigor, não é sólido: alguns o consideram um líquido cujo coeficiente de viscosidade tende ao infinito; outros, um sólido amorfo por não ter a estrutura cristalina característica dos sólidos. O fenômeno resultante da adesão elétrica entre as partículas interiores de um fluido (líquido ou gás) e entre elas e uma superfície rígida origina a viscosidade. Como as imagens da abertura deste item ilustram, podemos dizer que essa propriedade torna os fluidos resistentes à fragmentação e ao movimento. A resistência ao movimento se dá apenas entre partículas do próprio fluido, embora, em geral, tenha como causa a interação entre ele e a superfície rígida. A viscosidade é uma propriedade exclusiva dos fluidos. Um fluido não pode raspar em uma superfície rígida, mas ambos superfície e fluido se interpenetram e formam uma película solidária, uma espécie de revestimento temporário (pode ser também de longo prazo; nesse caso, o fluido torna-se uma tinta). Por isso não faz sentido considerar o atrito entre uma superfície rígida e um líquido ou gás. É impossível obter coeficientes de atrito entre o vidro e a água ou entre o vidro e o ar, por exemplo. Mas é possível definir um coeficiente de viscosidade relacionado exclusivamente ao fluido (veja o boxe Gramática da física: Viscosidade ou coeficiente de viscosidade). GRAMÁTICA DA FÍSICA: VISCOSIDADE OU COEFICIENTE DE VISCOSIDADE É muito raro encontrar tabelas com o título Coeficientes de viscosidade de fluidos. Em geral, elas se intitulam apenas Viscosidade de fluidos, o que, a rigor, não é adequado. Viscosidade é característica física, não uma grandeza ou constante que possa ser medida e tabelada. Por isso, assim como no estudo do atrito distinguimos o fenômeno (atrito) dos seus coeficientes, aqui também vamos nos referir sempre a coeficiente de viscosidade, em vez de viscosidade. Veja a figura a seguir. y Suponha que o fluido representado na figura esteja entre duas placas paralelas separadas pela distância y. Quando a placa superior de área S é puxada para a direita com a força F=, ela (e a película fluida a ela aderida) adquire a velocidade v= constante (veja o boxe Aprofundamento: A velocidade de um fluido em um tubo). Nessas condições, define-se o coeficiente de viscosidade (letra grega eta ) desse fluido pela expressão: = Fy Sv A unidade do coeficiente de viscosidade no SI é Pa s (veja o boxe Unidade de viscosidade). A tabela a seguir apresenta os valores do coeficiente de viscosidade para alguns fluidos. Líquidos Coeficiente de viscosidade (Pa s)* Gases Coeficiente de viscosidade (Pa s)* acetona 0,000 ar 0,00008 água 0,000 argônio 0,0000 álcool etílico 0,00 dióxido de carbono 0,0005 gasolina 0,00060 hidrogênio 0, glicerina anidra,4 hélio 0,00009 mercúrio 0,006 metano 0,00000 óleo fino 0, monóxido de carbono 0,0007 óleo grosso 0,66 nitrogênio 0,00008 plasma sanguíneo 0,005 oxigênio 0,00000 sangue 0,0040 vapor de água 0,0000 * Os coeficientes foram medidos a 0 C, exceto o do sangue e o do plasma sanguíneo, medidos a 7 C, e o do vapor de água, medido a 00 C. APROFUNDAMENTO: A VELOCIDADE DE UM FLUIDO EM UM TUBO Se os fluidos aderem às superfícies rígidas, junto às suas paredes todos os fluidos têm velocidade nula. Assim, conclui-se que a velocidade dos

12 fluidos tem de variar no interior dos tubos, o que, em escoamentos laminares, ocorre como a figura abaixo mostra. Uma antiga reivindicação francesa pretende dar ao Pa s o nome poiseuille, com o símbolo Pl, para homenagear Jean Poiseuille. No entanto, até hoje ela não foi acolhida. velocidade nula velocidade máxima Variação da velocidade no interior de um fluido laminar em um tubo: a curva em azul é o lugar geométrico da extremidade dos vetores velocidade. Por isso, quando nos referimos à velocidade v= de um fluido no interior de um tubo, estamos considerando como tal o vetor cujo módulo é a média dos módulos das velocidades no interior do fluido. O módulo v da velocidade em um ponto P de um fluido em escoamento laminar pode ser obtido aproximadamente pela expressão a seguir, em que r é o raio do tubo, d a distância do ponto ao eixo desse tubo e C uma constante que depende do tubo: v = C(r d ) Essa expressão é conhecida como Lei de Poiseuille, pois foi estabelecida por Jean Poiseuille. UNIDADE DE VISCOSIDADE A unidade de viscosidade do SI pode ser obtida da sua definição. Se o módulo da força (F) é medido em newtons (N), a distância (y) em metros (m), a área (S) em metros quadrados (m ), a velocidade (v) em metros por segundo (m/s) e a pressão N em pascal [Pa = ], temos: m Fy [N m] η = η= Sv 5m m 6 s N s η = 5 m 6 η= [Pa s] Há uma antiga unidade prática ainda em uso, denominada poise, cujos símbolos podem ser P, Ps ou Po. A relação entre ela e Pa s é: poise = 0, Pa s Atrito e viscosidade são fenômenos análogos e de mesma origem, mas com características diferentes, que podem ser delimitadas com clareza pela análise de características que diferenciam seus coeficientes. O coeficiente de atrito é um número puro (adimensional), depende do par de materiais em contato, não caracteriza nenhuma substância e varia pouco com a temperatura. O coeficiente de viscosidade tem unidade, caracteriza determinado fluido e varia drasticamente com a temperatura. Veja o gráfico a seguir.,0 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,0 0,0 0,0 ( 0 Pa s) Gráfico coeficiente de viscosidade da água versus temperatura. t ( C) Se um fluido é arrastado por uma lâmina rígida, como na figura a seguir, podemos concluir que a lâmina e a película fluida nela aderida exercem sobre o restante do fluido uma força resultante F=. Pelo Princípio da Ação e Reação aparece na placa uma força de resistência viscosa F= aplicada pelo restante do fluido à placa em movimento. F= F= Da definição do coeficiente de viscosidade podemos expressar o módulo de F= assim: S F = y v v=

13 Sendo o fator S y constante, essa expressão pode ser generalizada na forma: F = cv em que c é uma constante que depende do fluido e da geometria do corpo que arrasta ou atravessa esse fluido. Essa expressão só é válida se o fluido não sofrer turbulência, o que implica velocidades de valores pequenos, determinados experimentalmente: para esferas em movimento, esse valor é de até m/s no ar e 0,0 m/s na água. Se uma esfera de raio r atravessa um fluido de viscosidade, a constante c vale 6π r e a expressão da força viscosa fica assim: F = 6π rv Essa expressão é conhecida como Lei de Stokes, em homenagem a George Stokes, que a formulou pela primeira vez. Embora todas as gotas em movimento retilíneo uniforme tenham forma praticamente esférica (veja o boxe Discussão: A forma de uma gota), só as gotas de dimensões microscópicas têm velocidades pequenas, e o estudo do seu movimento pode ser feito com a Lei de Stokes. Em líquidos de alta viscosidade, como a glicerina ou óleos automotivos, ela pode ser aplicada a esferas de dimensões um pouco maiores (veja o exercício resolvido 7). DISCUSSÃO: A FORMA DE UMA GOTA A forma como uma gota de água costuma ser desenhada, sobretudo informalmente (figura ao lado), só é correta quando ela está prestes a desprender-se do restante do líquido o alongamento vertical e o bico superior, característicos nessas figuras, desaparecem logo em seguida. Representação usual de uma gota. Assim que adquire velocidade constante, o que ocorre muito rapidamente, a gota torna-se praticamente esférica, pois a resultante das forças que atuam sobre ela é nula (sequência de fotos abaixo). E, como comentamos no estudo da Hidrostática, se a resultante das forças externas sobre um líquido é nula, ele assume a forma esférica. DEUTSCHE PHYSIKALISCHE GESELLSCHAFT/INSTITUTE OF PHYSICS Foto múltipla da formação de uma gota da mistura água e glicerina. Logo depois de desprender-se, a gota torna-se praticamente esférica. Para você pensar 6 No estudo do atrito definimos dois coeficientes: um para o atrito estático; outro para o atrito dinâmico. Por que isso não foi feito para o coeficiente de viscosidade? (Observação: Note que a expressão do coeficiente de viscosidade depende da velocidade da placa em relação ao fluido.) Exercícios resolvidos 5 A figura a seguir representa uma placa metálica plana de área 0,00 m, que desliza sobre um plano horizontal rígido, apoiada em uma película de óleo de espessura contínua e uniforme de 0,5 mm, com velocidade constante de 0,00 m/s. O bloco B, de massa m B = 40 g, traciona a placa por meio de um fio inextensível. O atrito na roldana e a massa do fio e a da roldana são desprezíveis. Determine a viscosidade do óleo. Adote g = 0 m/s. Solução Como a velocidade é constante, a aceleração é nula, e o módulo da tração T= exercida pelo fio sobre a placa é igual ao módulo P B do peso do bloco B, pendurado. Então, sendo m B = 0,040 kg: T = P B T = m B g T = 0,040 0 T = 0,40 N Esse é também o módulo F da força viscosa que atua sobre a placa. Veja a figura a seguir. F= T= A espessura da película de óleo equivale à distância y entre as placas (reveja a figura da página ): y = 0,5 mm =,5 0 4 m. Da definição de viscosidade: 0,40,5 0 Fy 4 η = η= 0,00 0,00 η= 0,50 Pa s Sv Observações: I. Em uma situação real, no início a placa acelera até atingir a velocidade em que a força viscosa e a tração no fio se equilibram. Nesse início, a massa da placa deve ser considerada, o que não foi necessário aqui, pois já consideramos o con- P B = B

14 junto em movimento retilíneo uniforme. Não levamos em conta o trecho inicial porque nele a aceleração é variável e no nível deste estudo não temos recursos de cálculo para examinar essa situação. Além disso, a definição de viscosidade e a expressão da força viscosa só podem ser aplicadas em movimentos retilíneos com velocidade constante. II. Note que não nos referimos ao atrito entre a placa e o líquido, pois não existe atrito entre uma superfície rígida e um fluido. A tração é exercida na placa rígida, mas a força de reação viscosa do fluido é exercida na placa por intermédio da película de fluido que a reveste e com ela se move solidariamente. III. Essa é uma situação experimental muito difícil de realizar, principalmente pela impossibilidade de manter uniforme a espessura da película de óleo. Por isso, apesar de seu formato, este é um exercício teórico. Uma situação experimental de fácil realização é apresentada no exercício resolvido a seguir. 6 Uma esfera maciça de aço de,0 mm de raio cai verticalmente com velocidade constante dentro de um tubo largo com óleo. Verifica-se que ela desce 0 cm em 0 s. Dadas a densidade do aço, d aço = kg/m, e a do óleo, d óleo = 800 kg/m, determine o coeficiente de viscosidade do óleo. Admita g = 0 m/s. Solução Na figura a seguir estão representadas as forças que atuam sobre a esfera: o peso P=, o empuxo E= exercido pelo óleo sobre a esfera e a força F= de resistência viscosa do óleo: F= Como a velocidade é constante, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemos escrever: F + E = P F = P E (I) m Da definição de densidade [d = V ], m = dv. Sendo P = mg, o peso da esfera de aço pode ser expresso por: P = d aço V esfera g (II) Da expressão do empuxo (E = d fluido V fluido deslocado g), da Hidrostática, podemos escrever: E = d óleo V esfera g (III) Substituindo III e II em I: F = d aço V esfera g d óleo V esfera g F = (d aço d óleo )V esfera g (IV) E= P= 4 Sendo V esfera = πr, r =,0 mm =,0 0 m, utilizando π =,, temos: 4 V esfera =,(,0 0 ) V esfera = 4, 0 9 m Substituindo o valor de V esfera em IV, obtemos o módulo F da força de resistência viscosa: F = ( )4, F =,9 0 4 N (V) Para determinar o coeficiente de viscosidade do óleo aplicando a Lei de Stokes, precisamos saber qual é a velocidade de queda da esfera. Como ela é constante, Δx = 0 cm = 0,0 m e Δt = 0 s: Δx 0,0 v = v = v = 0,00 m/s Δt 0 Então: F = 6πηrv,9 0 4 = 6,η,0 0 0,00 η = 0,5 Pa s Observações: I. Este exercício descreve uma atividade experimental relativamente simples para determinar a viscosidade de um líquido. A validade dessa determinação pode ser verificada comparando o resultado obtido com valores tabelados (veja a tabela da página ). Para analisar corretamente os resultados, três fatores devem ser considerados: a) os estreitos limites de validade da Lei de Stokes; por isso devem ser utilizados líquidos de alto coeficiente de viscosidade para que a queda da esfera ocorra a baixa velocidade (não encontramos esses dados em relação à velocidade-limite no óleo; estamos admitindo que o valor obtido aqui é viável por analogia ao da água); b) a largura do tubo deve ser bem maior que o diâmetro da esfera; se o tubo for estreito, as suas paredes vão interferir na resistência viscosa do líquido, o que pode causar turbilhonamento e invalidar os resultados; c) a temperatura do líquido deve ser anotada, pois, como mostra o gráfico da página, o coeficiente de viscosidade de um líquido varia significativamente com a temperatura. II. Quando a velocidade é nula, a força de resistência viscosa também é nula; por isso o movimento de queda é acelerado no início e, à medida que a velocidade aumenta, a força de resistência viscosa também aumenta, até que a resultante das forças sobre a esfera se anule e o movimento passe a ser retilíneo uniforme essa é a velocidade-limite. Por essa razão, as medidas das distâncias e dos tempos correspondentes para a obtenção da velocidade da esfera só devem ser feitas depois que ela já caiu por alguns segundos. III. Assim como se pode determinar a viscosidade de um fluido conhecendo a velocidade-limite do corpo que o atravessa, é possível determinar a velocidade-limite de um corpo movendo-se através de um fluido conhecendo o coeficiente de viscosidade desse fluido. Foi a partir daí que o físico experimental norte-americano Robert Millikan ( ) pôde, em 909, determinar a carga elétrica elementar e ganhar o prêmio Nobel de Física de 9. O exercício resolvido a seguir mostra uma etapa dessa experiência. 4

15 7 Uma gota microscópica de óleo, de raio rgota = 4,0 μm, é abandonada no interior de uma câmara onde o ar está em repouso. Sabendo que esse óleo tem densidade dóleo = 800 kg/m e que o coeficiente de viscosidade do ar é ηar =,8 0 5 Pa s, determine a velocidade-limite atingida por essa gota. Despreze o empuxo do ar e admita g = 0 m/s. Um orifício de entrada para a câmara seleciona as gotas de raio compatível com os limites da Lei de Stokes. Eletrizadas por uma fonte externa ou na travessia do orifício, as gotas são observadas por meio da ocular de um microscópio. Escolhe-se uma gota de cada vez para análise. Por recursos teóricos relativamente simples, mas ainda não completamente estudados, determina-se a carga adquirida por essa gota. A experiência é repetida dezenas ou centenas de vezes para outras tantas gotas. Obtêm-se, então, dezenas ou centenas de valores da carga elétrica, mas todos os valores obtidos são múltiplos de um mesmo valor. Millikan concluiu que esse é o valor da carga elétrica elementar a carga do elétron, menor carga elétrica existente na natureza. Solução F= Se o ar está em repouso e o empuxo por ele exercido sobre a gota é desprezível, podemos afirmar que sobre ela atuam duas forças: o seu peso P= e a força de resistência viscosa F= exercida pelo ar. Quando a velocidade-limite é atingida, essas duas forças se equilibram, e a gota passa a cair com movimento retilíneo uniforme. Então, da Segunda Lei de Newton em módulo, podemos escrever: P= P F = 0 F = P (I) Se a gota é esférica e não há turbulência, podemos aplicar a Lei de Stokes: F = 6πηarrgotav (II) De I e II: Para você resolver 5 A placa metálica plana representada na figura a seguir tem área de 0,040 m e desliza sobre um plano horizontal rígido apoiada em uma película de óleo de viscosidade η = 0,75 Pa s. Supõe-se que essa película seja contínua e uniforme e tenha espessura y = 0,0 mm. O fio, inextensível e de massa desprezível, é tracionado pelo bloco B, de massa 60 g, e o atrito na roldana e a sua massa são desprezíveis. Observa-se que o sistema, ao ser posto em movimento, atinge rapidamente uma velocidade-limite. Qual é essa velocidade? (Observação: Ao atingir a velocidade-limite, o sistema passa a se mover com velocidade constante.) Adote g = 0 m/s. P = 6πηarrgotav mgotag = 6πηarrgotav (III) m Da definição de densidade [d = V ] e da expressão do 4 volume da esfera [V = πr], a massa da gota pode ser ex pressa na forma: 4 πrgota (IV) mgota = dóleovgota mgota = dóleo Substituindo IV em III: 4 4 dóleo πrgota g = 6πηarrgotav dóleo rgota g = 6ηarv Sendo rgota = 4,0 μm = 4,0 0 6 m e substituindo os demais dados na expressão acima: (4,0 0 6)0 = 6,8 0 5v v =,5 0 m/s B Observações: I. O valor obtido está dentro do limite para o movimento de uma esfera sem turbulência no ar: v = m/s. Se o resultado ultrapassa esse valor, há turbulência e não podemos aplicar a Lei de Stokes. Seria o caso de uma gota de óleo de,0 mm de raio; obteríamos v = 00 m/s, valor que extrapola em muito o limite de validade da Lei de Stokes para o ar. 6 Uma esfera maciça de alumínio, de,0 mm de raio, cai verticalmente em um tubo com glicerina. Depois de atingir velocidade constante, verifica-se que ela desce 8 cm em 0 s. Dadas a densidade do alumínio, dal = 700 kg/m, e a da glicerina, dglicerina = 00 kg/m, e admitindo g = 0 m/s, determine: a) a força de resistência viscosa exercida pela glicerina; b) o coeficiente de viscosidade da glicerina. II. Na experiência de Millikan borrifa-se óleo com um vaporizador em uma câmara limitada por duas placas eletrizadas e onde o ar está em repouso. Veja a figura a seguir. borrifo de pequenas gotas de óleo (+) orifício raios X para produzir carga na gota de óleo 7 Sabendo que a velocidade-limite para a aplicação da Lei de Stokes no ar é,0 m/s, qual deve ser o valor limite do raio de uma gota de óleo para que ela possa cair sem turbulência no ar em repouso? (Dados: dóleo = 800 kg/m; ηar =,8 0 5 Pa s; g = 0 m/s; considere o empuxo do ar desprezível.) placas eletrizadas ocular ( ) gota de óleo carregada sob análise 5

16 A natureza do escoamento determina a velocidade-limite de um corpo atravessando um fluido. Se o escoamento é laminar, a velocidade-limite do corpo é maior, condição do estudo feito até aqui. Quando o escoamento é turbulento, essa velocidade se reduz, e a teoria aqui apresentada deixa de ter validade. Veja a figura a seguir: toda sua parede lateral, a sua importância só foi explicitada em 9 pelo engenheiro aeronáutico romeno Henri-Marie Coanda (885-97). Desde então, esse fenômeno passou a denominar-se Efeito Coanda e na última década do século XX adquiriu maior importância quando passou a substituir a Equação de Bernoulli na maior parte das explicações de fenômenos de sustentação de corpos em movimento através de fluidos, provocando uma pequena revolução no estudo da aerodinâmica. v= 5. Efeito Coanda Veja as fotos a seguir: EDUARDO SANTALIESTRA EDUARDO SANTALIESTRA v= Para o mesmo chute (impulso inicial), a velocidade v= da bola de cima será sempre maior que a velocidade v= da segunda bola, pois o escoamento é laminar na primeira e turbulento na segunda. O mesmo corpo na mesma travessia pode provocar um escoamento laminar e turbulento (veja a foto a seguir). escoamento turbulento escoamento laminar Ao encostar a face convexa da colher no filete de água, observa-se que ele adere à colher e tem o seu curso desviado, e a colher é puxada para ele. Esse fenômeno simples descreve o Efeito Coanda, cuja causa é a mesma da viscosidade: a interação eletromagnética entre as moléculas do fluido (a água) e os átomos ou as moléculas da superfície rígida (o material de que é feita a colher). Assim, podemos dizer que a superfície da colher atrai a água do filete e faz com que ele acompanhe a sua curvatura, e, pelo Princípio da Ação e Reação, a água atrai a colher, que avança para o interior do filete. Veja a figura a seguir. Na região frontal do submarino, o escoamento é laminar. Logo atrás, torna-se turbulento. Como ocorre a adesão do fluido à superfície rígida de um corpo quando eles (fluido e corpo) se atravessam é muito complexo e pode ter consequências extraordinárias. Embora a adesão dos fluidos aos corpos rígidos esteja muito presente em nossa vida cotidiana a água que transborda de um copo não cai sem antes percorrer 6 F= (ação da água sobre a colher) F= (reação da colher sobre a água)

17 Um corpo só pode realizar uma trajetória curva se estiver sob a ação de uma força resultante centrípeta, o que nos permite aprofundar um pouco mais esta explicação. Considere um pequeno cubo imaginário de água do filete movendo-se em trajetória curva junto da superfície convexa da colher. Veja a figura abaixo. superfície da colher F= cp O EDUARDO SANTALIESTRA EDUARDO SANTALIESTRA F= cp filete de água O cubo descreve essa trajetória curva porque sobre ele atua a força resultante centrípeta, F= cp, de origem eletromagnética. Em consequência, aparece na colher a força de reação F= cp, que empurra a colher para o filete de água. Uma situação análoga é ilustrada na foto a seguir: enquanto gira a esfera, a arremessadora exerce sobre ela a força de tração centrípeta T= através da corrente. Da mesma forma, a esfera exerce sobre a atleta a força T= a atleta só não se desloca se os seus pés estiverem bem presos ao chão, por atrito. KAZUHIRO NOGI/AFP/GETTY IMAGES Uma tira de papel é dobrada e modelada como o perfil da asa de um avião. O sopro por cima faz com que a asa suba. Para compreender o que ocorre é preciso perceber que, em ambos os casos, o papel só se eleva quando o fluxo de ar atinge a sua superfície, ou seja, o papel é elevado pela ação direta e viscosa do ar sobre a sua superfície. Essa força resultante para cima atua também no perfil curvo da asa do avião, da mesma forma que a água atua sobre a superfície da colher na descrição anterior. Veja as figuras a seguir. fluxo de ar tira de papel O Efeito Coanda vale para qualquer fluido e, no caso do ar, permite entender a origem de uma das forças responsáveis pela sustentação da asa do avião. Veja as fotos a seguir. EDUARDO SANTALIESTRA Como o fluxo de ar não atinge a tira de papel, nada acontece. fluxo de ar tira de papel A moça faz a tira de papel subir soprando acima dela, horizontalmente. Ao atingir o ponto mais alto da curvatura do papel, o fluxo de ar arrasta a tira para cima, como prevê o Efeito Coanda. 7

18 Mas há ainda um efeito adicional. Suponha que o fluxo de ar acompanhe a tira de papel, que, em seguida, é forçada a curvar-se e a adquirir o formato aproximado da asa de um avião. Veja as figuras a seguir. fluxo de ar forças viscosas atuando sobre partículas de ar tira de papel tira de papel Na primeira figura, a região sombreada representa o espaço que essa curvatura abre para o fluxo de ar. Se esse espaço não fosse ocupado pelo fluxo de ar, essa região ficaria vazia; haveria vácuo nela. Mas isso não ocorre. A adesão viscosa do ar à superfície do papel faz com que as partículas de ar sejam puxadas para essa região (segunda figura) elas são aceleradas no sentido da superfície encurvada por ação da força viscosa que aparece no ar nessa região. Assim, ao atravessar uma superfície curva, o fluxo de ar tende a acompanhá-la e sofre uma diminuição de pressão; com isso, sua velocidade aumenta (reveja a foto da página : ela mostra como o fluxo de ar para essa região de baixa pressão pode até tornar-se turbulento). Mas não é o aumento da velocidade do fluxo que provoca a redução da pressão; é esta que provoca aquele. Por essa razão, dependendo do perfil inferior da asa de um avião, a velocidade do ar em cima pode ser maior que embaixo. Nesse caso, essa diferença origina uma força adicional resultante da diferença de pressões e de velocidades, que pode ser calculada pela Equação de Bernoulli. Veja a figura a seguir: sobre a asa atuam as forças F=C, devida à ação viscosa do ar (Efeito Coanda), e F=B, devida à diferença de pressões entre o ar em movimento na parte superior da tira e o ar praticamente em repouso na parte inferior (Equação de Bernoulli). É difícil saber qual a contribuição de cada uma dessas forças, mas não há dúvida de que a origem primeira de ambas é o Efeito Coanda. F= C F= B Essa é uma explicação relativamente nova desse fenômeno e vem sendo mais bem aceita do que a antiga baseada nas equações de Continuidade e de Bernoulli (veja o boxe Discussão: A nova explicação do efeito da asa de um avião). DISCUSSÃO: A NOVA EXPLICAÇÃO DO EFEITO DA ASA DE UM AVIÃO A história da ciência apresenta momentos marcantes em que a interpretação de alguns fenômenos se modifica em razão da mudança de uma fundamentação teórica as hipóteses para explicar a natureza da luz são um exemplo dessa mudança. Mas o que se observa agora é diferente. Não se trata de revisão teórica; tampouco as equações de Continuidade e de Bernoulli perderam a validade. Elas continuam aceitas e corretas. O que mudou foi a percepção de que elas não podem ser aplicadas à explicação da sustentação da asa do avião nem à de alguns experimentos criados até explicitamente para ilustrá-las. É difícil saber por que um equívoco como esse aparece e sobrevive durante tanto tempo. Uma explicação óbvia é a dificuldade inerente à interpretação física dos fenômenos da natureza ou mesmo das próprias criações humanas nada, nenhuma explicação, é trivial. Uma das ideias hoje comprovadamente errada, mas ainda apresentada como certa em muitas enciclopédias, sites e textos didáticos, é que, como consequência da Equação de Continuidade, as partículas do ar levam o mesmo tempo para percorrer a parte inferior e a superior da asa de um avião. Por isso, se o perfil curvo superior da asa é maior que o inferior, o ar passa em cima da asa com velocidade maior do que embaixo. Veja a figura a seguir. maior velocidade menor velocidade menor pressão força resultante maior pressão Por causa dessa diferença de velocidades, de acordo com a Equação de Bernoulli, aparece uma diferença de pressões, que resulta na força de sustentação do avião. Essa explicação é contestada por várias razões. As principais são: a) Nem todas as asas têm esse perfil. Muitas são planas ou têm um perfil perfeitamente simétrico, o que invalida a hipótese da necessidade de o ar ter velocidade maior em cima. b) Os aviões de acrobacia voam de cabeça para baixo, o que seria impossível se essa explicação fosse verdadeira. 8

19 c) Quanto maior o percurso do ar em cima da asa em relação ao percurso de baixo, mais eficiente ela seria, o que é comprovadamente falso. d) As partículas de ar que passam por cima da asa não têm nenhum vínculo com as partículas de baixo, ou seja, elas não têm como saber se estão ou não acompanhando as de baixo. e) Simulações feitas em computador ou em túneis de vento mostram que as partículas de cima têm velocidade maior que a das suas hipotéticas parceiras de baixo (veja a figura a seguir). Veja as imagens abaixo. ALAN RODRIGO MARRETTO A B C D F= C F = C Enquanto o ar não atravessa a asa, os blocos de linhas de fluxo A e B têm a mesma velocidade, mas, por causa do Efeito Coanda, a passagem pela asa faz com que os blocos C e D se adiantem. As partículas de ar de cima não acompanham as partículas de ar de baixo, como a antiga explicação da sustentação da asa afirmava. Esta última observação valida o uso da Equação de Bernoulli como origem de uma força de sustentação, mas não é causa dela, como se explica nas duas primeiras figuras da página anterior. Além disso, a força resultante para cima, decorrente dessa diferença de pressões, não é suficiente para a sustentação da asa e muito menos do avião. Para aqueles que (como este autor) por muito tempo acreditaram e difundiram essa explicação, talvez sirva de consolo saber que Einstein, durante a Primeira Guerra Mundial, sugeriu que se construísse uma asa com perfil orientado pelas equações de Continuidade e de Bernoulli e, como hoje seria de esperar, sua sugestão foi um retumbante fracasso. Veja na figura abaixo o perfil da asa proposto por Einstein. Por fim, é importante destacar que o Efeito Coanda isoladamente não explica o voo ou a sustentação do avião. Apenas é causa parcial da força de sustentação exercida pela asa. Veja a figura a seguir. D B C Um avião em voo está sob a ação de quatro forças: A: força resultante de sustentação exercida pela asa (uma pequena parcela deve-se ao Efeito Coanda); B: força de tração exercida pela hélice ou turbina; C: peso, exercido pela Terra; D: força viscosa exercida pelo ar. A Na primeira, um sopro dirigido frontalmente para a garrafa apaga a vela colocada logo atrás. Essa experiência simples mostra que o ar também adere à superfície curva da garrafa e a acompanha, como a água, ou seja, ela comprova que o Efeito Coanda também ocorre com o ar. A foto mostra uma experiência muito conhecida. Uma bolinha de isopor flutua presa a um jato de ar. A terceira imagem ilustra a nova explicação para essa experiência baseada no Efeito Coanda: a adesão do ar à curvatura da bolinha faz com que ela se mantenha presa ao jato de ar, como a colher se prende ao filete de água. Note que há duas forças resultantes decorrentes desse efeito F= C e F= C, mas a de maior intensidade atua no sentido do fluxo de ar mais curvo e mais intenso; por isso a bolinha sempre é puxada para o meio do fluxo de ar. A sustentação da bolinha continua sendo explicada como antes: ela se deve à ação direta do ar sobre a bolinha. Para você pensar 7 Muitos recipientes têm um bico para que se possa verter o líquido neles contido sem que escorra pelas paredes. Justifique esse recurso com base no Efeito Coanda. 8 No boxe Discussão: A forma de uma gota (página ) afirmamos que, ao adquirir velocidade constante, a gota se torna praticamente esférica. Por que não perfeitamente esférica? O que pode impedir a gota de adquirir uma esfericidade perfeita? (Observação: Pense no que aconteceria com a bolinha flutuante da última figura acima se ela fosse deformável como uma esfera de água.) 9

20 Deduções a ) Equação de Continuidade Reveja a última figura da página. Os trechos hachurados correspondem ao deslocamento de um fluido ideal no mesmo intervalo de tempo t. Se o fluxo (Φ) é constante e esse intervalo é suficientemente pequeno, esses trechos podem ser considerados cilindros de áreas S e S. Nessas condições, vamos aplicar a esses dois cilindros as definições de fluxo (Φ = vs) e de x velocidade média [v = ], nesse caso também constante, pois Φ e S são constantes. Para o cilindro de base S : t x Φ = t S Como x S = V (volume do cilindro de altura x ): V Φ = t (I) Por raciocínio análogo, para o cilindro de base S : V Φ = (II) t Como Φ é constante e t é o mesmo, podemos concluir de I e II que V = V. Então, aplicando de novo a expressão do volume do cilindro e lembrando que x = v t: V = V S x = S x S v t = S v t S v = S v ou v S = v S - a ) Equação de Bernoulli Para esta dedução é preciso recordar as seguintes expressões: densidade: d = m V e m = dv F pressão: p = e F = ps (I) S trabalho: τ = FΔx cos α (II) energia cinética: E c = mv energia potencial gravitacional: E pg = mg(h h 0 ) Pela dedução anterior, sabemos que os dois cilindros em cinza da primeira figura da página 5 têm o mesmo volume: V = V. Como, tratando-se de um fluido ideal, a densidade é constante, ambos têm a mesma massa m de fluido. Ao deslocar-se pelo tubo do nível h, com velocidade de módulo v, para o nível h, com velocidade de módulo v, podemos afirmar que a massa de fluido contida nesses cilindros sofre: a) um acréscimo ΔE c de energia cinética: ΔE c = m(v v ) ΔE c = dv(v v ) Como V = V = Δx S = v ΔtS (ou V = V = v ΔtS ): ΔE c = dv ΔtS (v v ) (III) b) um acréscimo ΔE p de energia potencial gravitacional: ΔE p = mg(h h ) ΔE p = dv ΔtS g(h h ) (IV) Esses acréscimos de energia se devem ao trabalho realizado por duas forças, uma decorrente da pressão p, de módulo F = p S, atuando em S no sentido do movimento do fluido, e outra decorrente da pressão p, de módulo F = p S, atuando em S no sentido oposto. Então, podemos escrever: τ F= + τ F= = ΔE c + ΔE p (V) Da expressão da força em função da pressão e da superfície (I), da definição de trabalho (II), lembrando que em cada caso Δx = vδt, e das expressões III e IV substituídas em V, temos: p S v Δt cos 0 + p S v Δt cos 80 = dv ΔtS (v v ) + dv ΔtS g(h h ) (p p )S v Δt = dv ΔtS (v v ) + dv ΔtS g(h h ) p p = = d(v v ) + dg(h h ) 0 a ) Equação de Torricelli Reveja a primeira figura da página 7. Vamos supor que a área S do orifício seja muito menor que a área S 0 da superfície do tanque. Nesse caso, da Equação de Continuidade, podemos escrever: v 0 S 0 = vs v 0 = v E concluir que v=0 também é muito menor que v=, ou seja, que, em relação ao módulo de v=, podemos supor v 0 = 0. Vamos admitir ainda que a pressão atmosférica, p 0, é a mesma na superfície do líquido e no orifício de saída e que por ele o escoamento seja laminar. Nessas condições, aplicando a Equação de Bernoulli à superfície (nível ) e ao orifício (nível ) e colocando o referencial para as alturas no nível do orifício, temos: p + dv + dgh = p + dv + dgh p 0 + dv 0 + dgh 0 = p 0 + dv + dgh p 0 + d(0) + dgh = p 0 + dv + dg(0) dgh = S S 0 dv v = gh