Estudo e proposta de adaptação do algoritmo SIFT em relação ao problema de iluminação em imagens

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1 Estudo e proposta de adaptação do algoritmo SIFT em relação ao problema de iluminação em imagens Machado, W. R. S. 1,2, Louro, A. H. F. 2, Gonzaga, A. 2, Boaventura, M. 3 1 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Av. Padre Francis Cletus Cox, 1661, Poços de Caldas, Brasil 2 Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de São Paulo, São Carlos, Brasil 3 Departamento de Ciências de Computação e Estatística, IBILCE, Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto, Brasil will@pucpcaldas.br, ahfl63@hotmail.com, agonzaga@sc.usp.br, maurilio@ibilce.unesp.br Abstract. In recent years, two promising approaches for salient regions detection in images have received special attention from the scientific community: SIFT (Scale Invariant Feature Transform) and SURF (Speeded Up Robust Features). Based in recent studies that describe some limitations of the SIFT, this work has as objective to prove the deficiency of the algorithm in relation to the illumination problem and to pose an adaptation in original algorithm through an innovative approach that uses a process of not homogeneous suavization to improve the performance of the algorithm SIFT. 1. Introdução Algoritmos baseados em métodos que não detectam apenas pontos de interesse ou as chamadas características locais de regiões nas imagens, tem se mostrado bastante eficientes na resolução de problemas relacionadas á área de reconhecimento de padrões. Algoritmos como o SIFT (Scale-Invariant Feature Transform), proposto por Lowe [1], o SURF (Speeded Up Robust Features), proposto por Bay et al. [2] e suas respectivas variações, como o PCA- SIFT [3], U-SURF [2], SURF-128 [2], são algoritmos completos que englobam diversas metodologias relacionadas aos processos de identificação de pontos de interesse, geração de descritores e correspondência entre os pontos de interesse. Alguns dos fatores que permitiram que esses algoritmos ganhassem popularidade devem-se ao fato dos mesmos agregarem características que os tornam invariantes a transformações como translação, escalamento, rotação e perspectiva, alterações inerentes as condições de iluminação do ambiente onde as imagens são adquiridas e a existência de ruídos gerados no processo de aquisição ou gravação das imagens. Entretanto, dependendo do grau de alteração de algum desses fatores nas imagens, os detectores de características desses algoritmos poderão comprometer a sua eficiência nos processos de identificação dos pontos de interesse, na geração dos descritores baseados nos pontos identificados ou na correspondência desses descritores. Para que se possa definir qual a melhor abordagem a ser adotada como solução em certas aplicações é importante avaliar o desempenho das mesmas analisando quão invariantes elas são em relação às transformações espaciais, mudança de iluminação e presença de ruído nas imagens que serão processadas pelos algoritmos avaliados. Existe uma variedade de outros métodos disponíveis na literatura que possuem o mesmo objetivo que o SIFT e o SURF, mas no trabalho de Mikolajczyk e Schmid (2005) [4] foi realizado um levantamento sobre outros detectores de pontos de interesse e descritores. Neste trabalho foi constatado que o SIFT apresenta um desempenho superior em relação aos demais algoritmos mencionados no artigo em termos de invariância. Os autores do SURF, Bay et al. (2005) [2], afirmam que o seu algoritmo é superior ao SIFT em termos de eficiência de tempo de processamento e que o mesmo apresenta um bom desempenho no processo de reconhecimento de objetos, considerando a qualidade dos pontos de característica. O artigo de Bauer et al. (2007) [5] também realiza um estudo comparativo entre os dois algoritmos e suas variações, descrevendo os aspectos positivos e negativos inerentes a cada um deles. Os experimentos descritos neste trabalho basearam-se no desenvolvimento de um sistema que controla a navegação de um robô em um ambiente aberto, implementado com base nos algoritmos estudados. Baseado nos resultados apresentados nos trabalhos de Mikolajczyk e Schmid (2005) [4], e Bauer et al. (2007) [5], foram realizados alguns experimentos neste trabalho que também nos permitiram avaliar o desempenho do

2 SIFT em relação a variação das condições de iluminação nas imagens processadas pelo algoritmo, comprovar sua deficiência e propor uma abordagem para melhorar o desempenho do algoritmo tornando-o menos suscetível a este tipo de alteração. Um dos objetivos deste trabalho foi avaliar se a substituição da metodologia de suavização linear utilizada no processo de detecção de pontos chave por outra metodologia baseada no processo de suavização seletiva, usando o modelo de Barcelos, Boaventura e Silva Jr. [6], proporcionaria ao algoritmo SIFT um ganho de desempenho em relação a imagens que foram obtidas em diferentes condições de iluminação. Em um dos estudos realizados foi constatado que o brilho próximo a regiões de borda exerce importante influência no processo de detecção de pontos chaves usando a metodologia de suavização linear utilizada pelo SIFT. Como a iluminação do ambiente influência significativamente nas regiões de brilho de objetos presentes na imagem, a adoção de uma metodologia baseada na aplicação de diferentes níveis de suavização, de acordo com certas características de regiões, como homogeneidade e fronteira, nos pareceu ser um caminho interessante para minimizar os problemas relacionados a este problema. 2. SIFT O SIFT tem sua origem na necessidade de lidar com o reconhecimento de objetos em cenas reais repletas com objetos de todos os tipos onde o perigo de oclusões é grande e na recente pesquisa sobre o uso de características locais densas. O SIFT transforma essas cenas reais em um conjunto denso de vetores de feições locais (descritores). Cada um desses vetores é invariante a translação, rotação e escala e parcialmente invariante a iluminação e a projeções 3D ou afim. Essas feições são eficientemente identificadas usando um processo de filtragem em estágios. O primeiro estágio identifica as posições chave no espaço-escala através da busca por posições de máximo ou mínimo de uma função diferença de Gaussianas (DoG), a qual é uma aproximação do Laplaciano da Gaussiana (LoG). Cada ponto detectado é usado para gerar um vetor de feições que descreve uma região local da imagem amostrada em relação aos eixos de coordenadas espaço-escala, isto é, os pontos têm uma localização tanto nas coordenadas espaciais (x,y) quanto no eixo das escalas () e o vetor de características descreve a vizinhança em torno desses pontos em relação a cada escala utilizada do espaço-escala. Com essa descrição em várias escalas obtém-se a invariância a escala. Os trabalhos de Bauer et al. (2007) [5] e Ballesta et al. (2007) [7] basearam-se na avaliação do desempenho de alguns dos principais métodos de detecção e descrição de regiões salientes, comparando a proposta da implementação original do SIFT, SIFT++, LTI-Lib SIFT, Harris, SUSAN (Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus), SURF e o SURF-d. No trabalho de Bauer et al. (2007) [5] os algoritmos foram submetidos a um conjunto de testes com o objetivo de avaliar suas invariâncias em relação a rotação, mudança de escala, ruído, mudança das condições de iluminação e mudança de perspectiva. Ballesta et al. (2007) [7] avaliou a compatibilidade dos detectores quando usados como extratores de pontos de referência em sistemas de visão baseados simultaneamente em localização e mapeamento, também conhecidos como visual SLAM. Esta análise foi realizada com base na repetibilidade dos pontos em relação às mudanças de perspectiva de visualização e escala no espaço 2D e 3D. 3. Suavização em imagens Existem diversas metodologias e técnicas na literatura que podem ser aplicadas para eliminar ou reduzir ruídos presentes nas imagens. As abordagens destinadas a este fim são comumente conhecidas como processos de suavização, que podem ser classificados como lineares e não lineares. Nos últimos anos, a aplicação de equações diferenciais parciais (EDP) em problemas relacionados a área de processamento de imagens e sinais tem atraído a atenção de alguns pesquisadores ligados a matemática e a computação. As EDPs têm sido estudadas e utilizadas em diversos tipos de aplicações, como análise e remoção de ruído, estimação do fluxo óptico, retoque digital, segmentação, registro, técnicas de construção e restauração de imagens, entre outras. A grande vantagem em se substituir métodos tradicionais e filtros discretos pelas EDPs em processamento de imagens é a possibilidade de se fazer a análise de imagens em um domínio contínuo. Outra grande vantagem é a possibilidade de se obter estabilidade e exatidão no processo numérico, utilizando os recursos disponíveis da análise numérica e escolhendo algoritmos adequados para resolver as EDPs [6]. Como exemplo de um processo de suavização linear, podemos citar o uso de uma função Gaussiana para filtrar altas freqüências através da convolução da função a ser filtrada com a função Gaussiana. Devido ao fato do produto de convolução ser um operador linear e invariante, a suavização obtida através da aplicação deste operador é considerada um processo de suavização linear

3 [6]. A convolução com a máscara gaussiana de desviopadrão σ pode ser vista como a solução da equação de condução de calor, onde o valor da imagem original Q num ponto (x, y) é a temperatura inicial nesse ponto, o 2 tempo decorrido é t = σ / 2, e a imagem Q na escala σ representa as temperaturas no instante t. Assim, a convolução gaussiana é um processo de difusão isotrópica e a solução de uma EDP ou equação de calor bidimensional pode ser expressa como uma convolução com gaussianas bidimensionais Suavização não linear Processos de difusão anisotrópica, ou não linear, têm sido usados recentemente para melhorar a tarefa de detecção de bordas e eliminar ruídos de imagens em várias áreas. Com imagens médicas, Chung e Sapiro [8] usaram o modelo de difusão para detector as bordas de lesões de pele em imagens digitais clínicas de pele [9]. Demirkaya aplica as equações diferenciais parciais (EDP) do modelo de difusão para atenuar problemas de ruído em imagens médicas de tomografia do tipo positron emission tomography (PET). Os resultados mostraram uma significativa melhora na qualidade das imagens filtradas com perda mínima de resolução. Gibou et al. [10] fazem uso das EDP em imagens clínicas de pacientes obtidas pelos métodos de radioterapia conformal 3D e de terapia de radiação moduladas por intensidade [9]. Para realizar o processo de restauração de imagens Alvarez et al. [11] adotou o modelo de difusão anisotrópica conseguindo eliminar ruídos, minimizar o efeito de suavização e realçar bordas. Variantes do modelo de difusão anisotrópica aparecem em outros trabalhos encontrados na literatura, usando multireticulado, um método de relaxamento hierárquico, que apresenta suavização intra-região rápida e reduz ruídos devido à eliminação de erros de baixa-freqüência; e Gilboa et al. apresentam duas modificações no processo de difusão anisotrópico que convergem para soluções não triviais, eliminando a necessidade de impor um tempo arbitrário de parada para a difusão nas EDP [9]. Nesta linha evolutiva de modelos não lineares, o trabalho de Barcelos et al. [6] propôs um modelo de difusão que apresenta uma excelente ponderação entre suavização e preservação de bordas e quinas, uma evolução em relação a outros modelos anteriores que não preservam a localização dessas regiões nas imagens suavizadas O modelo de BBS Observando-se a deficiência de modelos como o Alvarez, Lions e Morel (ALM) [11], que apresenta forte tendência em deformar bordas e quinas, e metodologias como a sugerida por Nordstrom [12], que preserva bordas e fronteiras, mas não apresenta uma eliminação satisfatória do ruído presente nas imagens, o modelo de Barcelos, Boaventura e Silva Jr. (BBS) [6] propõe um balanceamento da atuação da difusão e do termo forçante, proporcionando suavização completa em regiões homogêneas e superficial sobre as arestas. u u t g( G * u ) u div = σ λ(1 g) ( u I) u A equação 1 descreve o modelo BBS, onde u(x, y, 0) = I(x,y) representa a imagem original com ruído, u(x, y, t) é a versão da imagem I(x, y) suavizada na escala t, G σ é uma função gaussiana que representa o núcleo da convolução, g( G σ u ) é uma função monótona não crescente definida de forma análoga aos modelos anteriores, σ e λ são parâmetros. A primeira parcela do segundo membro da equação representa o modelo ALM [11]. A segunda parcela, ainda no segundo membro, é composta pelo termo forçante sugerido por Nordstrom multiplicado pelo termo regularizador (1 g), o qual é denominado por seletor de moderação e ainda na segunda parcela há uma constante λ que age como peso para esse termo. Neste trabalho foi considerada a função 1 g( G * u ) = [6]. σ Ks Analisando a equação 1, pode-se observar que, nas regiões homogêneas da imagem, tem-se g( G σ u ) pequeno, o que implica g 1. Logo, tem-se (1 g) 0 e o termo forçante (u I) age de forma praticamente insignificante. Consequentemente, o processo de difusão efetuado pela primeira parcela da equação é intenso, isto é, o modelo ALM será incisivo nessas regiões. Por outro lado, para as regiões de contorno onde G σ u é grande, tem-se g 0, o que implica em (1 g) 1. Isso faz com que o termo (u I) retenha fortemente as características iniciais da imagem contida em I(x, y) e, dessa forma, reforce mais as fronteiras originais na imagem [6]. 4. Experimentos Embora já existam alguns trabalhos que se propõem a avaliar as características de invariância do algoritmo SIFT, foram realizados neste trabalho alguns experimentos complementares para avaliar melhor a robustez do método em relação ao problema de alteração das condições de iluminação do ambiente onde as imagens são adquiridas. Esses experimentos visam identificar os motivos que levam o algoritmo a ter uma

4 queda de desempenho e propor uma abordagem alternativa para que esta queda não ocorra em relação á problemática estudada Avaliação da invariância a iluminação Para avaliar o quão invariante o método SIFT é em relação à alteração das condições de iluminação foi utilizado o banco de imagens ALOI (Amsterdam Library of Object Images), que apresenta um conjunto de imagens de objetos obtidos em diferentes circunstâncias, totalizando imagens geradas para diferentes fins. Figura 1 Imagens utilizadas para avaliar a robustez do método SIFT em relação às mudanças de iluminação. Para analisar a influência do brilho e a característica do método SIFT em imagens de objetos que apresentam bordas não lineares, foram escolhidas as imagens de uma lâmpada, obtidas em diferentes níveis de intensidade de iluminação, conforme ilustrado na figura 1 As características inerentes a variação das condições de iluminação são descritas por Geusebroek et al. [13], as imagens foram obtidas através do uso de iluminação natural, variando-se o tempo de aquisição das mesmas de acordo com a iluminação emitida pelo por do sol. (a) (c) (d) Figura 2 Correspondência entre pontos chaves, comparando a imagem 1 com (a) imagem 1, (b) imagem 4, (c) imagem 8 e (d) imagem 12. Este experimento baseou-se no processo de comparação entre a imagem 1 e as demais imagens, sendo a imagem 1 tendo sido obtida com um maior nível de iluminação e as demais foram obtidas com o nível de iluminação sendo reduzido gradativamente. (b) Analisando as correspondências dos pontos chaves, ilustrados na figura 2, podemos observar que, aparentemente, ocorrem poucos erros classificação, mesmo na comparação envolvendo a imagem da lâmpada obtida com mais iluminação, primeira lâmpada ilustrada na figura 1, e a imagem da lâmpada obtida com menos iluminação, última lâmpada ilustrada na figura 1. Tabela 1 Resultados das classificações entre as imagens ilustradas na figura 1. Corres -pond. Erros Corres -pond. Erros Através da realização de uma análise quantitativa das comparações entre a imagem 1 com as demais imagens, cujos resultados foram descritos na tabela 1, podemos constatar que a quantidade de pontos chaves não classificados somada a quantidade de classificações incorretas é relativamente alto. Considerando que foram detectados 93 pontos chaves na imagem 1, os percentuais de classificações corretas do algoritmo na comparação da imagem 1 com a imagem 4, imagem 1 com a imagem 8, e a imagem 1 com a 12, são de 53,8%, 77,4% e 68,9% Adaptação da detecção de pontos chaves no SIFT Baseado nos fatos dos modelos para processamento de imagens via EDPs fornecerem resultados extremamente satisfatórios, não somente no que diz respeito à suavização de imagens no aspecto visual, ou seja, remoção de ruídos, mas também por gerar segmentações com alto grau de nitidez [6], este experimento propõe a substituição do processo de simples suavização das imagens para obter as DoGs através da simples aplicação de gaussianas, por um processo de suavização mais moderno e eficiente, como o modelo de BBS. Este modelo pode ser considerado mais inovador e adequado pelo simples fato do processo de suavização não ser aplicado de forma homogênea nas imagens. Para determinar o mecanismo de como esta adaptação do algoritmo poderia ser feita foram realizados estudos preliminares para avaliar a melhor forma de extração dos pontos candidatos a pontos chaves, de forma a proporcionar a obtenção de resultados melhores do que os

5 resultados obtidos através da aplicação do método tradicional. Para isso, aplicamos o modelo BBS sobre a imagem da primeira lâmpada, gerando a quantidade empírica de 50 imagens suavizadas através de um processo iterativo. A partir dessas imagens, usando a mesma metodologia que define a quantidade de níveis em uma mesma escala que a pirâmide gaussiana deve ter, com base na proposta do SIFT original, propusemos duas formas para extrair os pontos candidatos através do processo de subtração dessas imagens. Uma das formas foi subtrair a imagem suavizada f (n+1) pela imagem anterior f n, e a outra forma foi subtrair a imagem suavizada f (n+1) pela primeira imagem suavizada f 1, variando a suavização das imagens utilizadas neste processo. Após a obtenção das subtrações das imagens suavizadas, manteve-se a aplicação do algoritmo original, selecionando os pontos de máximo e mínimo em uma vizinhança 3x3 entre as imagens subtraídas adjacentes como candidatos a pontos chaves, mantendo o mesmo processo de refinamento, geração de descritores e busca de correspondências. Tabela 2 Quantidade de pontos chaves detectados usando duas abordagens diferentes no processo de subtração de imagens suavizadas f (n+1) Imagens suavizadas f n f (n+1) f 1 F 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f f 1, f 3, f 5, f 7, f 9, f f 1, f 4, f 7, f 10, f 13, f f 1, f 5, f 9, f 13, f 17, f f 1, f 6, f 11, f 16, f 21, f f 1, f 9, f 17, f 25, f 33, f Para comparar o desempenho com o algoritmo original, aplicamos o modelo BBS sobre as imagens 1, 4, 8, 12 e fizemos a mesma comparação entre as imagens descritas na seção anterior, tabela 1. Utilizando as 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª, 11ª imagens suavizadas através da aplicação do modelo BBS sobre as imagens 1, 4, 8 e 12, foram obtidos 26, 17, 14 e 8 pontos chaves referentes a essas imagens. Já utilizando as 1ª, 4ª, 7ª, 10ª, 13ª, 16ª imagens suavizadas através da aplicação do modelo BBS sobre as imagens 1, 4, 8 e 12, foram obtidos 68, 67, 64 e 38 pontos chaves referentes a essas imagens. Tabela 3 Resultados das classificações de pontos chaves localizados na imagem 1 em relação das demais. Imagens suavizada s Er - ros Er - ros Er - ros f 1, f 3, f 5, f 7, f 9, f 11 f 1, f 4, f 7, f 10, f 13, f Utilizando as 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª, 11ª imagens suavizadas através da aplicação do modelo BBS sobre as imagens 1, 4, 8 e 12, foram obtidos 26, 17, 14 e 8 pontos chaves referentes a essas imagens. Já utilizando as 1ª, 4ª, 7ª, 10ª, 13ª, 16ª imagens suavizadas através da aplicação do modelo BBS sobre as imagens 1, 4, 8 e 12, foram obtidos 68, 67, 64 e 38 pontos chaves referentes a essas imagens. A tabela 2 descreve as quantidades de pontos chaves gerados através do modelo BBS em uma única oitava, utilizando duas abordagens diferentes no processo de detecção desses pontos. Observando as informações descritas nesta tabela, constatamos que a abordagem de subtração da imagem suavizada f (n+1) pela imagem anterior f n, mesmo aumentando a suavização entre as mesmas, gera poucos pontos chaves neste processo. Sendo assim, para realizar os estudos subseqüentes foi utilizada a abordagem f (n+1) - f 1, com n = 2, utilizando as 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª, 11ª imagens suavizadas, e com n = 3, utilizando as 1ª, 4ª, 7ª, 10ª, 13ª, 16ª imagens suavizadas. Esses intervalos entre as imagens suavizadas foram escolhidos devido à quantidade de pontos chaves gerados ser considerada uma quantidade razoável de pontos detectados em uma única oitava, 26 e 68 pontos chaves usando n = 2 e n = 3, respectivamente. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3 Correspondência entre pontos chaves comparando a imagem 1 com a imagem 4 (a) e (d), com a imagem 8 (b) e (e), e com a imagem 12 (c) e (f). (a) (b) e (c) foram obtidas com intervalo de suavização n=2 e (d) (e) e (f) com intervalo de suavização n=3. Como todas as comparações realizadas neste experimento foram realizadas com base na comparação da imagem 1 em relação as demais, o percentual de acerto foi medido através da quantidade total de pontos

6 chaves detectados na imagem 1. Sendo assim, observando-se as colunas de acerto descritas na tabela 3 e que foram detectados 26 pontos chaves utilizando o intervalo de suavização n = 2, os percentuais de acerto das comparações entre a imagem 1 e a imagem 4, imagem 1 e a imagem 8, e a imagem 1 e a imagem 12, são de 65,4%, 53,8% e 7,7%, respectivamente. Considerando-se a utilização do intervalo de suavização n = 3 e que foram detectados 68 pontos chaves usando esta abordagem, os percentuais de acerto das comparações entre a imagem 1 e a imagem 4, imagem 1 e a imagem 8, e a iamgem 1 e a imagem 12, são de 94,1%, 89,7% e 5,9%, respectivamente. 5. Conclusão Com base nas deficiências do algoritmo SIFT descritas nos trabalhos de pesquisadores relacionados a esta linha de pesquisa e no experimento descrito na seção 4.1 deste trabalho, podemos constatar que o algoritmo original proposto por Lowe é um método que apresenta sensibilidade em relação ao problema de alteração das condições de iluminação no ambiente onde as imagens são adquiridas. Além desta constatação, este trabalho apresentou uma alternativa para deixar o algoritmo mais robusto em relação ao problema estudado, através da adaptação do processo de detecção de pontos chaves do algoritmo original. Os resultados obtidos através da utilização do modelo BBS no processo de suavização, apresentou um desempenho satisfatório e superior ao desempenho obtido através da aplicação do algoritmo original comparando a imagem 1 com a imagem 4, e a imagem 1 com a imagem 8. Nesses casos, o ganho de desempenho foi muito significativo, aumento a eficiência do algoritmo em 40,3% e 12,3%, respectivamente. Entretanto, no caso da comparação da imagem 1 com a imagem 12, o desempenho foi muito inferior comparando-se com a aplicação do algoritmo original. Além disso, a técnica precisa ser aperfeiçoada, se fazendo necessário adaptar também o processo de refinamento e melhorando ainda mais o desempenho do algoritmo quando a iluminação do ambiente é muito baixa. 6. Referências [1] Lowe, D. G., Distinctive image features from scaleinvariant keypoints, International Journal of Computer Vision, 2:91 110, [2] Bay, H., Tuytelaars, T., and Gool, L. V., SURF: Speeded up robust features. In European Conference on Computer Vision, [3] Ke, Y. and Sukthankar, R., PCA-SIFT: A more distinctive representation for local image descriptors. In IEEE Conf. on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), vol. 2, pages , [4] Mikolajczyk, K. e Schmid, C. A Performance Evaluation of Local Descriptors, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Volume 27, Issue 10, Pages: , [5] Bauer, J., S underhauf, N., e Protzel, P., Comparing Several Implementations of Two Recently Published Feature Detectors. In Proc. of the International Conference on Intelligent and Autonomous Systems, IAV, Toulouse, France, [6] Barcelos, C. A. Z., Boaventura, M. e Silva Jr., E. C., A well-balanced flow equation for noise removal and edge detection. IEEE Trans. on Image Processing, vol. 12, nro. 7, [7] Ballesta, M., Gil, A., Reinoso, O. and Mozos, O. M., Evaluation of interest point detectors for visual SLAM, International Sar, Recent Advances in Control Systems Robotics and Automation, 2º ed., pp , [8] Chung, D. H.; Sapiro, G. Segmenting skin lesions with partial differential equations based image processing algorithm. IEEE Transactions on Medical Imaging, v. 19, n. 7, p , [9] Miranda, J. I., e Neto, J. C., Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, abril 2007, INPE, p , [10] Gibou, F., Levy D, Liu, P. and Boyer, A. L., Partial differential equations-based segmentation for radiotherapy treatment planning. Mathemat. Biosciences and Engineering, v. 2, n. 2, p , [11] Alvares, L., Lions, P. L., e Morel, J. M., Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM J. Numer, Anal. 29, (1992) pp [12] Nordstrom, K. N., Biased anisotropic diffusion: a unified regularization and diffusion approach to edge detection, Image and Vision Computing, (8), (1990) pp [13] Geusebroek, J. M., Burghouts, G. J., Smeulders, A. W. M., The Amsterdam Library of Object Images, International Journal of Computer Vision, vol. 61, 2005.

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