Geometria Analítica II

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1 Geometria Analítica II Adriano Pedreira Cattai UNEB Universidade do Estado da Bahia Semestre Transformação de coordenadas no R : translação e rotação 1.1 O Sistema de Coordenadas Cartesianas Deve-se a René Descartes ( ), matemático e filósofo francês, o estabelecer da correspondência biunívoca entre pontos de um plano e pares de números reais, assim como entre pontos do espaço e ternos de números reais. Esse fato deu origem aos que chamamos de Geometria Analítica. Graças a este princípio é que podemos, por eemplo, interpretar o comportamento de uma função através do seu gráfico num sistema de coordenadas cartesianas. Dados dois conjuntos não vazios A e B, se a A e b B, definimos o par ordenado, denotado por (a,b), onde primeiro elemento é a A, e o segundo elemento é b B. O produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos esses pares ordenados e será indicado por A B. Em símbolos, escrevemos: A B = {(a,b); A B}. 1.1 Observação. NADA (i) Dados (a,b),(c,d) A B, temos: (a,b) = (c,d) a = b c = d. Assim por eemplo, (5,) e (,5) são pares ordenados distintos; (ii) Quando A = B, o cartesiano A B é o cartesiano A A e denotamos A ; Podemos fazer a representação gráfica do seguinte modo. Consideremos dois eios O e O perpendiculares em O, os quais determinam um plano. Um horizontal, que será chamada o eio das abscissas (ou eio-), e o outro vertical, o eio das ordenadas (ou eio-). Interpretamos cada uma dessas retas como cópias de uma reta real, de tal forma que as origens de cada uma dessas cópias correspondam ao ponto de interseção dos eios, que será chamado de origem do sistema cartesiano. Os números reais positivos correspondem, na reta vertical, aos pontos da semi-reta superior, e na reta horizontal aos pontos da semi-reta à direita da origem. O Plano Cartesiano é o plano gerado por 1

2 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R essas duas retas perpendiculares, ou seja, o produto cartesiano R R = R. Ele auilia no processo de construção de pontos e de lugares geométricos. Este sistema divide o plano em quatro regiões as quais chamamos de quadrantes. Dado um par ordenado (a,b), localizamos no eio horizontal o ponto que corresponde ao número real a, e no eio vertical o ponto que corresponde ao número real b. Conforme a figura ao lado, localizamos o ponto P de coordenadas a e b. 1. Transformação de coordenadas no R Frequentemente, em Geometria Analítica, somos levados a passar de um sistema de coordenadas adotado inicialmente (antigos eios) para outro mais conveniente (novos eios). Essa maior conveniência pode ser devida a vários fatores, por eemplo: se o primeiro sistema não for ortogonal pode surgir à necessidade de mudar para um sistema ortogonal; outras vezes, o objetivo é simplificar os cálculos algébricos, ou eplorar melhor certas simetrias, etc. O problema central será sempre estabelecer relações entre as antigas e as novas coordenadas. Esse problema se resolve pela dedução de fórmulas, denominadas fórmulas de transformação de coordenadas, que relacionam as coordenadas de um ponto qualquer do plano, referidas ao primeiro sistema, com as coordenadas do mesmo ponto referidas ao segundo sistema. A principal aplicação da transformação de coordenadas é a simplificação das equações pela escolha conveniente dos eios. 1. Definição (Transformação de coordenadas). Uma transformação de coordenadas é uma operação a qual modifica uma epressão, relação ou figura e tem como objetivo simplificar equações. Estudaremos dois casos de transformação de coordenadas: (a) Translação dos Eios Coordenados; (b) Rotação dos Eios Coordenados Translação dos eios coordenados Consideremos uma circunferência de raio r 0 cuja equação é dada na forma padrão ( h) + ( k) = r (1) onde as coordenadas (h,k) do centro O são ambas diferentes de zero. Se esta circunferência é mudada de posição, sendo colocada com seu centro na origem O(0,0), sua equação assume a forma canônica mais simples + = r. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página

3 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Podemos, no entanto, produzir o mesmo efeito sem mover a figura. Em vez disso, podemos mover os eios coordenados paralelamente a si mesmo, respectivamente, no plano coordenado de maneira que a origem O coincida com o centro O (k,h) da circunferência e os eios coordenados tomam as posições paralelas designadas pelos novos eios, conforme a figura ao lado. O O As coordenadas de um ponto P na circunferência são (,) quando referidas aos eios originais, mas evidentemente são diferentes quando referidas aos novos eios, e designaremos por (, ). Então a equação da circunferência referida aos novos eios é dada pela forma canônica + = r. () Vemos, então, que movendo os eios coordenados paralelamente a si mesmo, respectivamente, transformamos as coordenadas (, ) de um ponto qualquer sobre a circunferência nas coordenadas (, ), e como conseqüência, transforma a equação (1) na forma () que claramente é mais simples. Nesse sentindo, estabelecemos a seguinte definição: 1.3 Definição (Translação dos eios coordenados). A operação de mover os eios coordenados no plano coordenado para uma posição diferente de maneira que os novos eios sejam paralelos aos antigos eios, respectivamente e semelhantemente orientados, é denominada translação dos eios coordenados. teorema: A fim de simplificar equações por translação dos eios coordenados necessitaremos do seguinte 1.4 Teorema. Se os eios coordenados são transladados para uma nova origem O (k,h) e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano antes e depois da translação dos eios são (,) e (, ), respectivamente, então as equações de translação das antigas para as novas coordenadas são dadas por: = + k = + h Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 3

4 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Demonstração. Consideremos no plano um ponto O (k,h), arbitrário e introduzamos um novo sistema de coordenadas tal que os eios O e O tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eios O e O. Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas em relação ao sistema são e e, em relação ao sistema são e. Desta forma e de acordo com a figura, temos: = OC = OA + AC = + k = OD = OB + BD = + h B O ( 0,0) D P (,) O ( k, h) A C Eemplo 1.1. Por meio de uma translação de eios transforme a equação = 0 em outra mais simples à nova origem (1,). Resolução: Pelo Teorema 1.4, as equações de transformação são = + 1 e = +. Substituindo estes valores na equação, obtemos ( + 1) 3 3( + 1) ( + ) + 3( + 1) + 4( + ) 5 = 0 em que desenvolvendo e simplificando chegamos a 3 = 0 que é claramente uma equação mais simples, e que podemos fazer rapidamente o desenho do seu lugar geométrico em relação aos novos eios. 1.5 Observação. Neste eemplo, a nova origem foi especificada. Usualmente, as coordenadas da nova origem não são dadas, mas devem ser determinada. Vejamos com o seguinte eemplo, como encontrar essa nova origem. Eemplo 1.. Por meio de uma translação de eios transforme a equação = 0 em outra desprovida de termos de 1 o grau. Resolução: Pelo Teorema 1.4, as equações de transformação são = + k e = + h. Substituindo estes valores na equação, obtemos ( + k) 4( + h) + 6( + k) + 8( + h) + 1 = 0 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 4

5 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R que, após desenvolvimentos e redução de termos semelhantes assume a forma 4 + (k + 6) (8h 8) + k 4h + 6k + 8h + 1 = 0. (3) Como devemos encontrar os valores de k e h tal que a equação seja desprovida dos termos de 1 grau, igualaremos a zero os coeficientes de e na última equação. Portanto, k + 6 = 0 8h 8 = 0 k = 3 h = 1 Dessa forma, a nova origem é o ponto ( 3,1) e substituindo esses valores em (3) obtemos a equação procurada O 1 4 = 4-3 O que é uma hipérbole, veja a figura ao lado. 1.6 Observação. Note que nesse último eemplo, a equação foi dada sem o termo, e isso de certa forma facilitou nosso trabalho. No caso que equações do grau desprovidas desse termo, é possível também, em alguns casos, efetuar a transformação pelo método de completar os quadrados. Lembre que podemos obter a partir da epressão + b o trinômio quadrado perfeito + b se adicionarmos o termo b 4. Assim completando quadrado em ( + 6) (4 8) + 1 = 0, temos ( ) 4( + 1) = 0 ou ainda, (+3) 4( 1) = 4. Fazendo as substituições = +3 e = 1, obtemos a equação 4 = 4 e claramente as equações de translação são dadas por = 3 e = + 1, como tínhamos obtido no eemplo anteriormente. Notemos então,que a principal aplicação de Translação dos Eios Coordenados é a remoção dos termos de 1 o grau. Vejamos então, o segundo caso de Transformação de coordenadas. 1.. Rotação dos eios coordenados 1.7 Definição (Rotação dos eios coordenadoss). A operação de mover os eios coordenados no plano coordenado para uma posição diferente de maneira que os novos eios e os antigos eios possuam a mesma origem, é denominado rotação dos eios coordenados. Vejamos como é dada essa rotação a fim de simplificar equações. Consideremos o plano O e seja θ o ângulo de rotação o qual é obtido um novo sistema tal que os eios O e O tenham a mesma unidade de medida de O e O. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 5

6 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas P (,) em relação ao sistema O são e e, em relação aos sistemas O são e. Desta forma e de acordo com a figura, temos: = OA = rcosφ = A P = rsenφ (4) O r A A e = OA = rcos(θ + φ) = rcosθcosφ rsenθsenφ = AP = rsen(θ + φ) = rsenθcosφ + rcosθsenφ (5) Portanto, substituindo-se (4) em (5) temos: = cosθ senθ = senθ + cosθ que são as equações de rotação. Acabamos de provar o seguinte teorema: 1.8 Teorema. Se girarmos os eios coordenados de um ângulo θ em torno de sua origem O e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano antes e depois da rotação dos eios são (,) e (, ), respectivamente, então as equações de rotação das antigas para as novas coordenadas são dadas por: = cosθ senθ = senθ + cosθ Sob forma matricial, temos: ¾ onde é a matriz rotação sob o ângulo θ. ¾ ¾ cosθ senθ = senθ cosθ ¾ cosθ senθ R θ = senθ cosθ 1.9 Observação. As equações de rotação nos dão as antigas coordenadas em função das novas. Se quisermos as novas em função das antigas, basta resolver em relação a e o sistema por elas formado. Ou seja, pela regra de Cramer, temos; = senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ = cosθ + senθ e = cosθ senθ cosθ senθ senθ cosθ = senθ + cosθ Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 6

7 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Essas duas fórmulas querem dizer que, para obter as novas coordenadas em função das antigas, basta substituir nas equações de rotação, por, por e θ por θ. Eemplo 1.3. Determinar as novas coordenadas do ponto (3, 4) quando os eios coordenados são girados 45 o. Resolução: Pelo teorema acima, as equações de transformação são 3 = cos45 o sen45 o e pela observação acima, 4 = sen45 o + cos45 o = 3cos( 45 o ) + 4sen( 45 o ) = 3cos45 o 4sen45 o = = 3sen( 45 o ) 4cos( 45 o ) = 3sen45 o 4cos45 o = 7 Eemplo 1.4. Transformar a equação = 4, por rotação de eios coordenados de um ângulo de 30. Resolução: As equações de transformação são 3 = cos30 o sen30 o = 1 = sen30 o + cos30 o = Substituindo estes valores de e na equação obtemos, = 4 que, após desenvolvimentos e simplificação, obtemos a equação transformada pedida 5 + = 8, que é uma elipse Observação. Note que neste último eemplo, o ângulo de rotação foi dado. Geralmente, entretanto, o ângulo de rotação deve ser determinado a fim de alcançar alguma condição estabelecida. Eemplo 1.5. Por uma rotação de eios coordenados, transformar a equação em outra desprovida do termo misto de grau = 0 Resolução: Substituindo na equação as equações de transformação, temos 3( cosθ senθ) ( cosθ senθ)( senθ + cosθ) + 3( senθ + cosθ) 16 = 0 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 7

8 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Desenvolvendo e pondo, e em evidência, ficamos com: (3cos θ cosθsenθ + 3sen θ) + ( 6cosθsenθ + sen θ cos θ + 6cosθsenθ) + (3sen θ + cosθsenθ + 3cos θ) = 16 e como queremos eliminar o termo dessa última equação, faremos o coeficiente desse termo igual a zero, ou seja: 6cosθsenθ + sen θ cos θ + 6cosθsenθ = 0 e portanto sen θ = cos θ onde θ = 45 o. Usando este ângulo, obtemos + 4 = 16, ou simplesmente + = 8, que, como no eemplo anterior, também é uma elipse. Esses dois últimos eemplos, serviram para ilustrar que a principal aplicação de Rotação dos Eios Coordenados é a remoção do termo misto de o grau. A seguinte figura, ilustra as rotações dos eios, sob 30 o e 45 o, respectivamente, referentes aos eemplos 1.4 e 1.5. Note que, após a rotação, transformamos as equações para uma forma mais simples, de fácil identificação. 30º 45º O O Note ainda, que o Eemplo 1.5 mostrou que em geral, aplicar as equações de rotação para uma dada equação do segundo grau a duas varáveis, é muito trabalhoso e demorado. O seguinte teorema nos diz como obter o ângulo de rotação dos eios coordenados sem precisar fazer todas as contas feitas no Eemplo Teorema. A equação geral do segundo grau nas variáveis e A + B + C + D + E + F = 0 quando B 0 pode ser sempre transformada na equação A + C + D + E + F = 0 onde falta o termo, por rotação dos eios coordenados do ângulo agudo positivo θ tal que B tgθ = se A C A C θ = 45 o se A = C Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 8

9 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Demonstração. Aplicando as equações de rotação, = cosθ senθ e = senθ + cosθ, obtemos A( cosθ senθ) + B( cosθ senθ)( senθ + cosθ) + C( senθ + cosθ) + +D( cosθ senθ) + E( senθ + cosθ) + F = 0 Desenvolvendo as operações indicadas e reduzindo os termos semelhantes nesta última equação, chegamos a A + B + C + D + E + F = 0 (6) onde A = Acos θ + Bsenθcosθ + Csen θ B = (C A)senθcosθ + B(cos θ sen θ) C = Asen θ Bsenθcosθ + Ccos θ D = Dcosθ + Esenθ E = Ecosθ Dsenθ F = F (7) Para que a equação (6) seja desprovida do termo misto de grau, o coeficiente B deve ser nulo, portanto, devemos ter (C A)senθcosθ + B(cos θ sen θ) = 0. Como sen(θ) = senθcosθ e cos(θ) = cos θ sen θ podemos reescrever esta última equação como (C A)sen(θ) + Bcos(θ) = 0. E portanto temos as seguintes relações: (i) tgθ = B A C se A C (ii) cos(θ) = 0 se A = C, visto que B 0. Logo θ = 90 o e portanto θ = 45 o Eemplo 1.6. Por uma rotação de eios coordenados, transformar as equações em outras desprovidas do termo misto de grau. (a) = 4 (b) = 0 (c) = 0 Resolução: (a) Temos A =, B = 3, C = 1 e F = 4, e como A C, pelo Teorema 1.11, 3 tg(θ) = 1 = 3. Logo θ = 30 o. Usando as equações dadas em (7), temos que: A = 5, B = 0, C = 1, D = 0, E = 0, F = 4 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 9

10 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R e portanto = 4, ou ainda, 5 + = 8 (b) Temos A = 3 = C, logo θ = 45 o, e analogamente, temos + = 8. (c) Temos A = 9, B = 4, C = 16, D = 40, E = 30 e F = 0, e como A C, temos tg(θ) = = 4. Neste caso, é impossível eibir um θ sem auílio de uma calculadora ou uma 7 tábua trigonométrica. No entanto, pelas relações métrica num triângulo retângulo, temos sen(θ) = 4 5 e cos(θ) = 7. Pelas seguintes identidades trigonométricas 5 sen θ = 1 cos(θ) e cos θ = 1 + cos(θ) temos senθ = ± 3 5 e cosθ = ±4 5. Considerando 0 < θ < 90o, as equações de rotação são: substituindo na equação, temos = e = e simplificando resulta em??? (FAZER) = Aplicação: simplificação de equações por transformação de coordenadas Dada uma equação do o grau, vimos que a principal aplicação da translação dos eios coordenados é eliminação dos termos de 1 o grau, e que a principal aplicação da rotação dos eios coordenados é eliminação do termo misto do o grau. Ou seja, a principal aplicação da transformação de coordenadas é a simplificação das equações pela escolha conveniente dos eios. É então natural inquirir se uma simplificação ainda maior pode ser alcançada para algumas equações realizando ambas as operações, translação e rotação dos eios coordenados. Com isso, enunciaremos o seguinte teorema; 1.1 Teorema. Se os eios coordenados são submetidos tanto a uma translação como a uma rotação, tomadas em qualquer ordem, e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano referido aos conjuntos de eios original e final são (,) e (, ), respectivamente, então as equações de transformação das antigas para as novas coordenadas finais são dadas por: = cosθ senθ + k = senθ + cosθ + h onde θ é o ângulo de rotação e (k,h) são as coordenadas da nova origem referida aos eios coordenados originais. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 10

11 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R Demonstração. Consideremos primeiramente o caso em que uma translação dos eios coordenados a uma nova origem O (k,h) é seguida por uma rotação dos eios transladados em torno de O de um ângulo θ, conforme a figura. Se P é um ponto qualquer no plano coordenado, sejam (,), (, ) e (, ) suas coordenadas quando referido, respectivamente, aos eios originais, aos transladados e aos girados. Então, pelo Teoremas 1.4 e 1.8 temos = + k = + h (8) P (,) A = cosθ senθ = senθ + cosθ (9) A O Substituindo os valores de e dados em (9) em (8), obtemos as equações de transformação procurada. Fica como eercício a prova da situação invertida, ou seja, quando uma rotação é seguida por uma translação. Eemplo 1.7. Por transformação de coordenadas simplificar a equação = Eercícios Propostos I. Translação Nos eercícios de 1 a 5, transformar a equação dada por translação dos eios coordenados para a mova origem, O (k,h), indicada = 0 O ( 1,3) R. + = = 0 O (,1) R. 3 + = = 0 O (1, 5) R. 4 = = 0 O (, 1) R. 3 = = 0 O ( 4,3) R. = 1 Nos eercícios de 6 a 10, por uma translação dos eios coordenados, transformar a equação dada em outra desprovida de termos de primeiro grau. Determine a nova origem O (k,h) usando as equações de translação. Nos eercícios de 11 a 15, use o método do completamento dos quadrados = 0 R. + = 4 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 11

12 UNEB Geometria Analítica II Transformação de coordenadas no R = 0 R. 3 + = = 0 R. 3 = = 0 R. = = 0 R. 3 = = 0 R. + = = 0 R. + 5 = = 0 R. 3 = = 0 R. + 3 = = 0 R. 3 = 1 Nos eercícios de 16 a 0, simplificar a equação dada por uma translação dos eios coordenados = 0 R. 3 = = 0 R. + = = 0 R. + = = 0 R. 6 = = 0 R. = II. Rotação 1. Determinar as novas coordenadas do ponto (3, 4) quando os eios coordenados são girados de um ângulo de 30 o. R. ( 3 3, 3 3). Determinar as novas coordenadas dos pontos (1,0) e (0,1) quando os eios coordenados são girados de um ângulo de 90 o. R. (0, 1) e (1, 0) Nos eercícios de 3 a 8 transformar a equação dada por rotação dos eios coordenados do ângulo θ indicado = 0, θ = arctg,5 R. 9 3 = = 0, θ = 45 o R. 4 + = = 0, θ = 60 o R = = 0, θ = arcsen( ) R = = 0, θ = arctg(0,75) R. 4 4 = = 0, θ = 45 o R = Por rotação dos eios coordenados transformar a equação = 0 em outra desprovida do termo. R. 5 + = Por rotação dos eios coordenados transformar a equação + = 0 em outra desprovida do termo. R. 5 = 0 Nos eercícios de 31 a 36, por uma rotação dos eios coordenados, transformar a equação dada em outra desprovida do termo = 0 R = 0 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 1

13 UNEB Geometria Analítica II = 0 R = = 0 R. 6 + = = 0 R. 3 = 0 e + 3 = = 0 R. = ± = 0 R = A equação de uma circunferência de raio r é + = r. Mostre que a forma desta equação permanece sem modificação quando referida aos eios coordenados que foram girados de qualquer ângulo θ. Diz-se então que esta equação é invariante quanto à rotação. 39. Deduzir as equações de rotação do Teorema 1.8, quando o ângulo θ é tomado com valor obtuso. 40. Pela rotação dos eios coordenados de um ângulo de 45 uma certa equação é transformada na equação 4 9 = 36. Encontre a equação original. R = 0 III. Simplificação por Transformação de Coordenadas Nos eercícios 39 a 4, simplificar a equação dada por transformação de coordenadas = 0, R. 3 6 = = 0, R = = 0, R. 4 = = 0, R = Mostre, por transformação de coordenadas, que equação geral de uma linha reta, A+B+C = 0, pode ser transformada em = 0, que é a equação do eio X, ou transformada em = 0, que é a equação do eio Y. 46. Determinar as coordenadas da nova origem se os eios coordenados são transladados até transformar a equação A + B + C + D+E + F = 0 em outra equação desprovida de termos de primeiro grau. R. CD BE B 4AC, AE BD B 4AC, B 4AC Determinar as novas coordenadas do ponto ( 1, 3) quando os eios coordenados são, primeiramente, transladados à nova origem (4,5) e, então, girados de um ângulo de 60 o. R. 5 3, Determinar as novas coordenadas do ponto (, ) quando os eios coordenados são, primeiramente, girados de um ângulo de 45 o e, então, transladados à nova origem ( 1,1). R. (, ) 49. Por translação de eios coordenados à nova origem (3, 3), seguida pela rotação de eios de um ângulo de 30 o, as coordenadas de um certo ponto P são transformadas em (7,6). Determinar as coordenadas de P em relação aos eios originais. R. 7 3, Teto composto em L A TEXε, APC, 008 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 13

14 UNEB Geometria Analítica II Introdução Considere e e g duas retas concorrentes, não perpendiculares, cuja intersecção é um ponto O. Mantenha fia uma das retas, por eemplo e (eio), e façamos girar 360 em torno desta, mediante um ângulo constante, a outra reta g (geratriz). O objeto gerado é chamado de superfície cônica formada por duas folhas ou, simplesmente, superfície cônica, e separadas pelo vértice O. O conjunto de pontos obtidos pela intersecção de um plano π com a superfície cônica é chamada de seção cônica, ou simplesmente cônica. Ao seccionarmos uma superfície cônica por um plano arbitrário π, que não contém o vértice O, obteremos uma cônica dita não degenerada, e, à medida que variamos a posição do plano de corte π, obtemos as seguintes cônicas não degeneradas: Parábola: o plano π é paralelo a uma geratriz da superfície cônica. Elipse: o plano π é não paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície cônica; Circunferência: o plano π é perpendicular ao eio e. Hipérbole: o plano π é não paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície cônica. Quando o plano π contém o vértice O da superfície, as cônica se degeneraram em: um ponto: se o plano π intercepta somente o vértice; uma reta: se o plano π contém somente uma geratriz; duas retas: se o plano π contém o eio e. As cônicas possuem equações, chamadas reduzidas ou canônicas, que se tornam mais úteis, visto que, através destas, podemos determinar certos elementos que as melhor caracterizam-nas. Entretanto, para chegarmos a estas equações definiremos em termos de lugares geométricos cada cônica..1 A Parábola.1 Definição (Parábola). Considere um plano π determinado por uma reta d e um ponto F não pertencente a esta reta. A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano π que eqüidistam de F e de d. Segue da definição que dado um ponto fio F e uma reta d, um ponto P do plano está eqüidistante destes se, e somente se, pertence a uma parábola, ou seja, d(p,f) = d(p,d) P Parábola. (10) Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 14

15 UNEB Geometria Analítica II Os Principais Elementos da Parábola EN Como elementos da parábola temos: O foco F: ponto fio da parábola; A diretriz d: reta fia da parábola; O eio focal EF: reta que passa pelo foco F e é perpendicular a diretriz d; d F V p p P(,) P (, p) O vértice V : é o ponto de intersecção da parábola com seu eio. Situado entre a diretriz e o foco eatamente no meio; A corda: é obtida ligando quaisquer dois pontos distintos da parábola, por eemplo AC; A corda focal: uma corda que passa pelo foco; O lactus rectum: corda focal perpendicular ao eio focal; O raio focal: é o segmento de reta de etremos no foco e num ponto da parábola. Observe que devemos considerar o fato de que F d, pois, caso contrário, a parábola se degeneraria numa reta. Outro fato é que denominamos o número p de parâmetro da parábola..1. As Equações Padrões de uma Parábola Dizemos que uma equação é padrão, também denominada canônica ou reduzida, quando a utilizamos para descrever um conjunto de curvas com alguma característica em comum. A parábola possui quatro tipos de equação padrão, onde a determinação de somente uma delas será demonstrada, pois as outras são obtidas de forma semelhante. A Equação Padrão da Parábola com o Vértice na Origem e Eio de Simetria sobre um dos Eios Coordenados Sejam P(,) um ponto qualquer da parábola de vértice V na origem dos eios coordenados e de foco F(0,p). Observe que qualquer ponto da diretriz d é dado por P (, p). Pela definição de parábola P(,) parábola d(p,f) = d(p,d), de acordo com a fórmula de distância entre pontos e a figura acima, temos: + ( p) = (p + ). Desenvolvendo a igualdade acima, obtemos = 4p, a equação reduzida da parábola para este caso. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 15

16 UNEB Geometria Analítica II De forma análoga, podemos obter as equações reduzidas das parábolas com vértice em (0, 0) para os demais casos, onde os focos estão sobre os semi-eios ainda não analisados. Portanto, = ±4p ou = ±4p. (11) d:= p d:=p F(0,p) V d:= p F(0, p) V d:=p V F(p,0) F( p,0) V = 4p = 4p = 4p = 4p Da análise das equações em (11), tendo em vista ser (resp. ) sempre positivo ou nulo e que p > 0, podemos concluir que: Se o sinal no membro é positivo, então a parábola tem concavidade voltada para cima (resp. direita); Se o sinal no membro é negativo, então a parábola tem concavidade voltada para baio (resp. esquerda). Eemplo.1. Obter a equação da parábola que satisfaça as condições em cada caso. (a) Vértice na origem e foco em (0,1); (b) Foco em (0, 3) e diretriz = 3; (c) Vértice na origem, concavidade voltada para cima e passando pelo ponto P(,5). Resolução: (a) V (0,0) e F(0,1). Logo, p = 1 e de = 4p, obtemos: = 4. (b) F(0, 3) e d : = 3. Portanto, V (0,0) e p = 3. A equação é = 4p = 1. (c) V (0,0) e equação da forma = 4p. Como (,5) é ponto da parábola, temos ( ) = 4p5 p = 1. Portanto, a equação 5 é = 4 5. Eemplo.. Determinar, para cada uma das parábolas, o foco e uma equação da diretriz. (a) 16 = 0 (b) = 1 4 Resolução: (a) = 16 p = 4. Portanto, F(0,4) e d : = 4. (b) = 1 4 = 4. Donde p = 1. Logo, o foco é F( 1,0) e d : = 1. Eemplo.3. Determinar o comprimento do latus rectum de uma parábola. Resolução: Consideremos as equações = 4p e = p, respectivamente, a da parábola de vértice na origem e eio focal coincidindo com o eio das ordenadas, e a da reta perpendicular ao eio dos passando por (0,p). Observe que a interseção dos gráficos da parábola e da reta são as etremidades L e R do latus rectum da parábola. Resolvendo-se o sistema encontraremos = ±p e = p. Logo, LR = 4p. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 16

17 UNEB Geometria Analítica II A Equação Padrão da Parábola com o Vértice Fora da Origem e Eio de Simetria Paralelo a um dos Eios Coordenados Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da parábola com vértice V (h, k) fora da origem do sistema O e cujo eio de simetria é paralelo a um dos eios coordenados. Para isso basta transladarmos o sistema O para uma nova origem coincidindo com o vértice V, obtendo-se um novo sistema O. Assim, as equações destas parábolas se restringirão a um dos casos a seguir: = ±4p ou = ±4p. = h Porém, pelas equações de translação dadas no Teorema 1.4 (pág. 3), temos que = k. Logo, ( h) = ±4p( k) ou ( k) = ±4p( h). (1) Eemplo.4. Determine a equação reduzida da parábola de vértice V (3, ), eio focal paralelo ao eio das abscissas e parâmetro p = 1. Resolução: Pelo enunciado da questão podemos concluir que a equação reduzida é = ±4p. Como p = 1 e V (3,), ou seja, = 3 e =, temos ( ) = ±4( 3). Eemplo.5. Dada a equação = 0, determine sua equação reduzida, o vértice, o foco e uma equação da sua diretriz e do eio focal. Resolução: Completando-se o quadrado da variável na equação dada, temos: ( + 3) = 8( 1). Portanto, o vértice é V ( 3,1), o foco é F( 3,3), a equação da diretriz é d : = 1 e o eio focal = 3.. Observação. Quando o eio de simetria da parábola não é paralelo a nenhum dos eios coordenados, a equação é mais complicada, mas também se enquadra na forma geral da equação do grau a duas incógnitas a + b + c + d + e + f = 0 e, por uma rotação dos eios coordenados, podemos reduzí-la a a + c + d + e + f = 0; que facilmente é identificada..3 Observação (Ecentricidade da Parábola). Chamamos de ecentricidade (e) da parábola a razão entre as distâncias de um ponto arbitrário P da curva ao foco e de P à diretriz. Neste caso, teremos sempre e = 1. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 17

18 UNEB Geometria Analítica II A Elipse.4 Definição (Elipse). Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fios F 1 e F (focos) é constante e maior do que a distância entre esses pontos fios. Segue da definição que dados dois pontos fios F 1 e F pertencentes a um plano π, um ponto P deste plano pertence a elipse E se, e somente se, d(p,f 1 ) + d(p,f ) = K, K > d(f 1,F ). Em símbolos temos: E = {P π; d(p,f 1 ) + d(p,f ) = K, K > d(f 1,F )}. (13)..1 Os Principais Elementos da Elipse Como elementos de uma elipse temos: Os focos F 1 e F : os pontos fios; P(,) EN B 1 O eio focal EF: reta que passa pelos focos; A O centro O: Ponto médio de F 1 F ; O eio normal EN: Reta perpendicular ao eio focal passando pelo centro; A l l 1 A 1 F O F 1 C B B EF Os vértices A 1 e A : pontos de intersecção da elipse com o eio focal; Os vértices B 1 e B : pontos de intersecção da elipse com o eio normal; Eio maior EM: segmento de reta que une os vértices A 1 e A (A 1 A ); Eio menor Em: segmento de reta que une os vértices B 1 e B (B 1 B ); Corda: segmento de reta arbitrário cujas etremidades são dois pontos distintos da elipse, por eemplo AC; Corda focal: uma corda que passa pelo foco; O lactus rectum: corda focal perpendicular ao eio focal (l 1 e l ); Raio focal: segmento de reta de etremos em um dos focos e num ponto da elipse... As Equações Padrões de uma Elipse Desenvolveremos as duas equações padrões da elipse. A primeira equação padrão a elipse é tomada com centro coincidindo com o centro O(0,0) do sistema de coordenadas O e eio focal coincidente a um dos eios coordenados; e a segunda quando o centro não coincide com o centro do sistema e o eio focal concide ou é paralelo a um dos eios coordenados. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 18

19 UNEB Geometria Analítica II Primeira Equação Padrão da Elipse.5 Proposição. Seja E uma elipse de centro na origem do sistema coordenado O e cujo comprimento do eio maior A 1 A e do segmento de etremos em cada um de seus focos F 1 e F são, respectivamente, a, b e c. Então, para todo ponto P(,) E, temos: (a) PF 1 + PF = a. (b) Sua equação cujos focos são F 1 = ( c;0) e F = (c;0) é a + b = 1, em que b = a c. (c) Sua equação cujos focos são F 1 = (0; c) e F = (0;c) é a + b = 1, em que b = a c. (d) O comprimento do eio menor B 1 B é b. Demonstração. Mostremos os itens (a) e (b), deiamos para o leitor, como eercício, a demonstração dos itens (c) e (d). Inicialmente, considere P sobre o eio-, suponha P = A 1. Deste modo, pela definição de elipse temos: K = A 1 F 1 + A 1 F = (a c) + (a + c) = a. Como K é uma constante, será igual a a para todo P(,) E. Provaremos então (b). Por definição e pelo intem (a), temos que d(f 1 P) + d(f P) = a, ou seja, que neste caso é ou F 1 P + F P = a, ( + c) + + ( c) + = a ( + c) + = a ( c) +. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos a ( c) + = a c. Elevando novamente ao quadrado e simplifcando, obtemos (a c ) + a = a (a c ). Como a > c, então a c > 0 e assim, podemos definir b = a c, donde a = b + c e reescrever a equação acima como b + a = a b. Dividindo esta últimoa equação por a b 0, obtemos a equação reduzida da elipse para este caso. a + = 1, (14) b Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 19

20 UNEB Geometria Analítica II Da análise destas deduções, temos os comprimentos do semi eio maior e do semi eio menor, medindo respectivamente EM = a e Em = b. As figuras abaio apresentam um resumo das principais características da elipse quando o eio focal coincide com um dos eios coordenados. b a c a O c O b a + b = 1 a + b = 1.6 Observação (Ecentricidade da Elipse). Chamamos de ecentricidade (e) da elipse a razão entre os comprimentos do segmento F 1 F e do segmento A 1 A. Neste caso, temos e = c a. Como, 0 < c < a, a ecentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor do que 1. Observe que se F 1 = F, temos c = 0, então a elipse reduz-se a uma circunferência de raio a = b. Além disso, como c = 0, então e = 0. Assim, uma circunferência é uma elipse de ecentricidade nula. 15 Eemplo.6. Determine os comprimentos dos raios focais do ponto P 1, sobre a elipse = 0. Resolução: Como a = 5 e b = 4, segue que 5 = 4 + c, ou seja, c = 1. Desta forma F 1 (1,0) e F ( 1,0). Logo, d(p,f 1 ) = (1 1) + = e d(p,f ) = (1 + 1) + = 31. Eemplo.7. Prove que o comprimento do latus rectum é b a. Resolução: Consideremos as equações a + = 1 e = c, respectivamente, a da elipse de b centro na origem e comprimentos do eio maior a e menor b, com eio focal coincidindo com o eio das abscissas, e a da reta perpendicular ao eio dos passando por c. Observe que a interseção dos gráficos da elipse e da reta são as etremidades L e R do latus rectum da elipse. Resolvendo-se o sistema encontraremos = c e = ± b b. Logo, LR = a a. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 0

21 UNEB Geometria Analítica II Segunda Equação Padrão da Elipse Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da elipse com centro O (h,k) fora da origem do sistema O e cujo eio focal é paralelo a um dos eios cartesianos. Para isso basta transladarmos o sistema O para uma nova origem coincidindo com o centro O, obtendo-se um novo sistema O. Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir: a + b = 1 ou b + a = 1. Porém, pelas equações de translação dadas no Teorema 1.4 temos que = h = k. Logo, ( h) ( k) a + b = 1 ou ( h) ( k) b + a = 1. (15) Eemplo.8. Determine a equação reduzida da elipse de centro O ( 3,), eio focal paralelo ao eio das ordenadas e comprimentos dos eios maior e menor iguais a 6 e 4, respectivamente. Resolução: Como o eio focal é paralelo ao eio das ordenadas, a equação é b + a = 1. O centro é O ( 3,). Segue que = + 3 e =. a = 6 e b = 4, ou seja, a = 3 e b =. Logo, ( + 3) ( ) a equação reduzida procurada é + = A Hipérbole.7 Definição. Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferença das distâncias a dois pontos fios F 1 e F (focos) é constante e menor que a distância entre esses pontos fios. Observa-se que a hipérbole é uma curva constituída de dois ramos distintos. Segue da definição que dados dois pontos fios F 1 e F pertencentes a um plano π, um ponto P deste plano pertence a uma hipérbole H se, e somente se, d(p,f 1 ) d(p,f ) = K < d(f 1,F ). Q T EN B 1 A A 1 F O B F 1 S EF Assim, H = {P π; d(p,f 1 ) d(p,f ) = K, K < d(f 1,F )}. (16) Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 1

22 UNEB Geometria Analítica II Os Principais Elementos da Hipérbole Como elementos da hipérbole temos: Os focos: são os pontos fios F 1 e F, onde d(f 1,F ) = c; O eio focal EF: reta que passa pelos focos; O centro C: Ponto médio de F 1 F ; O eio normal EN: Reta perpendicular ao eio focal passando pelo centro; Os vértices A 1 e A : pontos de intersecção da hipérbole com o eio focal; Eio real ou transverso ET: segmento de reta que une os vértices A 1 e A (A 1 A ); Eio imaginário ou conjugado EC: segmento de reta perpendicular ao eio focal passando pelo centro e cujo comprimento é obtido conhecendo-se os valores de K e de c; Os pontos B 1 e B : etremidades do eio imaginário (B 1 B ); que une os pontos B 1 e B e tendo o centro como ponto médio; seu comprimento veremos mais adiante; Corda: segmento de reta arbitrário cujas etremidades são dois pontos distintos da hipérbole que podem estar no mesmo ramo ou em ramos distintos, por eemplo ST; Corda focal: uma corda que passa pelo foco, por eemplo QT; O lactus rectum: corda focal perpendicular ao eio focal (l 1 e l ); Raio focal: segmento de reta de etremos em um dos focos e num ponto da hipérbole, por eemplo (F T)..3. As Equações Padrões de uma Hipérbole Conforme fizemos para a elipse, desenvolveremos as duas equações padrões da hipérbole. A primeira equação padrão a hipérbole é tomada com centro coincidindo com o centro O(0, 0) do sistema de coordenadas O e eio focal coincidente a um dos eios coordenados; e a segunda quando o centro não coincide com o centro do sistema e o eio focal concide ou é paralelo a um dos eios coordenados. Primeira Equação Padrão da Hipérbole.8 Proposição. Seja H uma hipérbole de centro na origem do sistema coordenado O e cujo comprimento do eio transverso A 1 A e do segmento de etremos em cada um de seus focos F 1 e F são, respectivamente, a e c. Então, para todo ponto P(,) H, temos: (a) PF 1 PF = a. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página

23 UNEB Geometria Analítica II (b) Sua equação cujos focos são F 1 = ( c;0) e F = (c;0) é a b = 1, e das assíntotas (retas para onde a curva se aproima, quando ± ) são em que b = c a. = ± b a (c) Sua equação cujos focos são F 1 = (0; c) e F = (0;c) é a b = 1, e das assíntotas (retas para onde a curva se aproima, quando ± ) são em que b = c a. (d) O comprimento do eio conjugado B 1 B é b. = ± a b, Demonstração. A demonstração do item (a) é análogo ao caso da elipse dado na proposição.5. Mostremos os itens (b) e (d), deiamos para o leitor, como eercício, a demonstração dos itens (a) e (c). Inicialmente provaremos (b). Por definição e pelo item (a), temos que d(f 1 P) d(f P) = a, ou seja, ou ( + c) + ( c) + = ±a ( + c) + = ±a ( c) +. Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos ±a ( c) + = a c. Elevando novamente ao quadrado e simplifcando, obtemos (a c ) + a = a (a c ). Como c > a, então c a > 0 e assim, podemos definir b = c a, donde c = a + b e reescrever a equação acima como b + a = a b. Dividindo esta últimoa equação por a b 0, obtemos a equação reduzida da elipse para este caso. a = 1, (17) b Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 3

24 UNEB Geometria Analítica II Se a equação (17) é resolvida em obtemos = ± b a como = ± b a 1 a. a que, para > 0, pode ser escrita Se tende a +, então o radical no segundo membro se aproima de 1 e a equação tende a = ± b a. O mesmo ocorre para < 0, quando tende a (verifique!). Finalmente, para provar (d), perceba que ± b a é a inclinação das assíntotas, ou seja, se α é o ângulo de inclinação que a reta = b faz com o eio-, temos: a tg(α) = b a = B 1B A 1 A = B 1B, a donde concluímos que B 1 B = b. A nálogo para a reta = b a. Da análise destas deduções, temos que o comprimento do semi eio transverso e o comprimento do seni eio conjugado são respectivamente iguais a ET = A 1A = a e EC = B 1B = b. Estas informações são úteis na construção do esboço de uma hipérbole. Eemplo.9. Determine uma equação da hipérbole de focos F(±,0) e vértices A(±1,0). Resolução: Como F(±,0), o centro é O(0,0) e c =. Podemos concluir também que a equação é do tipo a + b = 1. Façamos F 1(,0) e A 1 (1,0), donde c a = 1. Segue que a = 1. Como c = a + b, temos b = 3. Portanto, a equação da hipérbole procurada é: + 3 = 1. As figuras abaio apresentam um resumo das principais características da hipérbole quando o eio focal é paralelo a um dos eios coordenados. EN EF b a c EF a b c EN a b = 1 a b = 1 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 4

25 UNEB Geometria Analítica II Segunda Equação Padrão da Elipse Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da hipérbole com centro O (h,k) fora da origem do sistema O e cujo eio focal é paralelo a um dos eios cartesianos. Para isso, basta transladarmos o sistema O para uma nova origem coincidindo com o centro O, obtendo-se um novo sistema O. Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir: a b = 1 ou a + b = 1. Porém, pelas equações de translação dadas no Teorema (1.8) temos que = h = k. Logo, ( h) ( k) a b = 1 ou ( k) ( h) a b = 1. (18) Eemplo.10. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a diferença de suas distâncias aos pontos P 1 ( 6, 4) e P (, 4) seja igual a 6, por duas formas: (a) utilizando a definição da hipérbole como lugar geométrico, e (b) utilizando as equações padrões. Resolução: (a) Pela definição, podemos deduzir que este lugar geométrico plano trata de uma hipérbole e que os pontos P 1 e P são os seus focos. Portanto, sendo P(,) um ponto genérico da hipérbole, temos que d(p,p 1 ) d(p,p ) = 6. Segue que, d(p,p 1 ) d(p,p ) = 6 ou d(p,p 1 ) d(p,p ) = 6. Vamos desenvolver a primeira destas equações. Acompanhe o raciocínio! 6 = d(p,p 1 ) d(p,p ) 6 = ( ( 6)) + ( ( 4)) ( ) + ( ( 4)) ( + 6) + ( + 4) = ( ) + ( + 4) = = = = = (4 1) = = 9( ) = = 0 Como eercício, desenvolva a segunda equação por um raciocínio análogo e verifique que equação você encontrou. (b) Eercícío. Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 5

26 UNEB Geometria Analítica II Observação (Ecentricidade da Hipérbole). Definimos a ecentricidade (e) da hipérbole a razão entre os comprimentos dos segmentos F 1 F e A 1 A. Neste caso, temos e = c a > 1 Eemplo.11. Determine a ecentricidade da hipérbole cujos comprimentos dos eios transverso e conjugado são iguais a 4 e 6, respectivamente. Resolução: Temos que a = 4 e b = 6. Assim, a = e b = 3. Como c = a + b, segue que, c = 13 e e = c a = A Etimologia das Palavras que Definem as Seções Arquimedes e os pitagóricos foram os primeiros a empregar as palavras Parábola, Elipse e Hipérbole, porém, com outra acepção da atual: seções a uma superfície cônica, que se deve a Apolônio. Traduzida do grego παραβoλη a palavra parábola significa: comparação; igualdade. Deve-se ao fato da igualdade = l em que l é a medida do comprimento do latus rectum. Esta é obtida considerando a Parábola de vértice na origem e foco sobre o eio das abscissas. A equação reduzida é, então, = 4p. Como o comprimento do V F(0,p) latus rectum de uma parábola é l = 4p, temos, portanto, = l. ǫλλǫιψιζ a palavra elipse significa: falta; omissão. Deve-se ao fato da desigualdade < l em que l é a medida do comprimento do latus rectum. Esta é obtida considerando a Elipse de centro no ponto (a,0) e a e b os comprimentos, respectivos, do eio maior e menor da elipse de eio focal coincidindo com ( a) o eio das abscissas. A equação reduzida é, então, a + = 1. Isolando b, obtemos = b a b. Como o comprimento do latus rectum de uma a elipse é l = b a, temos, portanto, = l b < l.. Donde, podemos concluir que a a p a a+p νπǫρβoλη a palavra hipérbole significa: ecesso; eagero. Deve-se ao fato da desigualdade > l em que l é a medida do comprimento do latus rectum. Esta é obtida considerando a Hipérbole de centro no ponto ( a,0) e a e b os comprimentos, respectivos, do eio real e imaginário da Hipérbole de eio focal ( + a) coincidindo com o eio das abscissas. A equação reduzida é, então, a b = 1. Seguindo o mesmo raciocínio adotado anteriormente para a Elipse, com as a+c a a c devidas alterações, podemos concluir que > l. Teto composto em L A TEXε, APC, 008 Adriano Pedreira Cattai didisurf@gmail.com Página 6