ALINE NEVES GOMES. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura

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1 ALINE NEVES GOMES Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de título de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. MSc. Antônio José Barros Neto Belém 2009

2 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA Gomes, Aline Neves Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura / Aline Neves Gomes, orientação de Antônio José Barros Neto. Belém, Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) Universidade do Estado do Pará. Belém, Geometria Estudo e Ensino 2. Matemática I. Título. CDD: 21 ed

3 ALINE NEVES GOMES Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de titulo de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Data da aprovação: 05 de Fevereiro de 2009 Banca Examinadora - Orientador Prof. Antônio José Barros Neto Mestre em Ciência da Computação pelo Centro de Informática (CIn) da UFPE Universidade do Estado do Pará Prof. Pedro Franco de Sá Prof. Weber da Silva Mota

4 Ao meu Deus. Fonte de toda sabedoria e conhecimento. Único digno de louvor, honra e glória.

5 AGRADECIMENTOS Ao Deus de toda terra, amor inexplicável, fui perdoada, estou viva, fui restaurada, liberta, tocada pelo Seu espírito e guiada pela Sua palavra, pelo amor que nunca falha. Por que sei que deu ao mundo o Seu filho único para que conhecêssemos o Seu nome, e vivêssemos o amor do Salvador, Ele tomou o meu lugar, sabendo que seria crucificado, mas me amou mesmo indigna. É a minha força, é a minha esperança, que com Seu poder e misericórdia me levanta, e faz me andar sobre os oceanos mais profundos. Eu dou a minha vida para honrar o amor de Cristo, pois tudo que tenho, tudo que sou e o que vier a ser vem Dele. A minha amada mãe Ivanete, minha amiga e companheira, minha inspiração de vida, meu grande amor. Ao meu pai Adelson, a quem eu amo sinceramente. Aos meus irmãos, Alessandra, Júnior, Felipe, Emmily, Ana e Soyane pelo apoio, incentivo e força. A toda minha família, mesmo os mais distantes, por toda colaboração para a conclusão do meu curso, em especial meus avós Arão, Lourdes e Antônio, minha tia Uilza e Marilene e minhas primas Marisa, Marília, Jene, Suzane e Karina. Aos meus amigos do curso de matemática, pelas madrugadas, pelos trabalhos, pelo apoio, mesmo nas horas mais difíceis me fizeram acreditar que eu conseguiria concluir o curso, e demonstraram que juntos resistimos. Somos mais que vencedores e o nosso diploma é mais do que merecido. Ao Diego Rodrigo e Andrique pela compreensão, pela força e amizade. Aos que não completaram o curso por colaborarem de alguma forma para que eu chegasse ao final. Ao meu orientador professor Antônio José Barros, pela compreensão, por aceitar minhas idéias, por me ouvir e me ajudar. Aos outros amigos da universidade estadual que de alguma forma, contribuíram para a minha formação, seja em projetos, revisando trabalhos ou me ouvindo. A família Hoshino pela amizade e apoio. A família Mello por me ajudarem sempre. A família Dias pelas orações. Aos amigos de arquitetura pelas brincadeiras que me fazem sorrir mesmo nos piores momentos, especialmente ao Daniel, Lucas e Monique, pelas longas conversas e por me agüentarem quando ninguém agüentava. Aos professores de

6 arquitetura pelas orientações que inspiraram este trabalho, especialmente José Bassalo, Thais Sanjad e Juliano Ximenes, exemplo de profissionais e grandes mestres. Aos amigos da Secult, grandes chefes, que me ensinam ser uma profissional competente de forma descontraída, em especial a Myrian Maia, pelas orientações e a Mena Mata, exemplo de vida e alegria e por acreditar no meu potencial. Aos amigos da Igreja Evangélica Assembléia de Deus, por me ajudarem sendo os grandes pilares da minha vida, em especial ao Levy André, meu grande irmão e ao Grupo Adoração Viva. A Universidade do Estado do Pará e aos seus funcionários, destacandose a Eunice, pela compreensão e ajuda em qualquer situação. Aos professores pelo auxilio na formação acadêmica, em especial a Acylena Coelho, Natanael Freitas e Mário Thomás, por colaborarem com este trabalho e pelos conselhos que me fizeram ver que somos os responsáveis pela quebra de paradigmas e assim pelas mudanças na educação. A todos que não lembrei neste momento de colocar aqui, mas que estão guardados nas minhas lembranças.

7 Você precedeu a criação, eternidade em suas mãos, toda a minha vida falou em motivação, minha alma vai resistir. Você agüentou a minha derrota, carregou a cruz por minha vergonha, meu pecado pesou sobre Seus ombros, minha alma vai resistir. E o que posso dizer, o que posso fazer, além de oferecer este coração, inteiramente a Você. Caminharei na salvação, Seu Espírito vivo em mim, a vida a fortalecer Sua promessa, minha vai resistir. E o que posso dizer, o que posso fazer, além de oferecer este coração, inteiramente a Você. Vou resistir, braços ao alto, coração abandonado, em respeito ao Único que tudo deu. Vou resistir, minha alma entregue para Ti Senhor, tudo o que sou é Seu. E o que posso dizer, o que posso fazer, além de oferecer este coração, inteiramente a Você. Hillsong

8 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73 RESUMO GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) Universidade do Estado do Pará, Belém, O trabalho apresenta uma proposta de seqüência didática para o tema de secção áurea a ser executada por meio do software de geometria dinâmica Cabri II Plus utilizando imagens digitais de fachadas de prédios que sofreram alguma intervenção do arquiteto italiano Antônio Landi como área de desenho ou zona de trabalho para as construções geométricas. Para tanto foi estudada a relação entre matemática e arquitetura, em especial a secção áurea, a forma como os livros didáticos e livros de educação matemática abordam esta relação e a utilizam no ensino de determinado domínio da matemática bem como a importância da utilização de geometria dinâmica para promover a construção do conhecimento. Acredita-se que o uso adequado de software educacional tem uma influência direta na formação do senso crítico e investigativo do aluno, e ainda que o uso de temas que fazem parte do cotidiano do aluno pode contribuir substancialmente para o processo de ensino aprendizagem. A proposta envolve aspectos históricos, técnicos e matemáticos, que estimulam o aprendizado com o objetivo de conduzir o aluno a construir a definição de secção áurea e a investigar suas aplicações em alguns exemplos da arquitetura da cidade de Belém, mostrando que é possível aplicar uma seqüência didática que torne a geometria menos abstrata demonstrando a utilidade da secção áurea desde que o professor esteja disposto a utilizar métodos diferentes de ensino e aprendizagem. Palavras-chave: Secção Áurea. Geometria Dinâmica. Educação. Arquitetura. Landi.

9 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73 ABSTRACT GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) Universidade do Estado do Pará, Belém, The work presents a proposal of didactic sequence for the theme of golden section to be executed by means of the software of dynamic geometry Cabri II Plus using digital images of facades of buildings that suffered some intervention of the Italian architect Antônio Landi as drawing area or work zone for the geometric constructions. For so much it was studied the relationship between mathematics and architecture, especially the golden section, the form as the didactic books and books of mathematical education approach this relationship and they use it in the teaching certain domain of the mathematics as well as the importance of the use of dynamic geometry to promote the construction of the knowledge. It is believed that the adapted use of educational software has a direct influence in the formation of the student's critical and investigative sense, and although the use of themes that you/they are part of the daily of the student can contribute substantially to the process of teaching learning. The proposal involves historical aspects, technicians and mathematical, that stimulate the learning with the objective of driving the student to build the definition of golden section and to investigate its applications in some examples of the architecture of the city of Belém, showing that is possible to apply a didactic sequence that turns the less abstract geometry demonstrating the usefulness of the golden section since the teacher is arranged to use methods different from teaching and learning. Key-words: Golden Section. Dynamic geometry. Education. Architecture. Landi.

10 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Imagem 01 - Semelhanças matemáticas na natureza 15 Imagem 02 - Segmentos da definição de secção áurea 17 Imagem 03 - Série de Fibonacci no molusco náutico 18 Imagem 04 - Retângulo áureo 19 Imagem 05 - Desenho do retângulo de ouro ABED 19 Imagem 06 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do Partenon 20 Imagem 07 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de Santa Maria de Novella 21 Imagem 08 - Homem Vitruviano 22 Imagem 09 - Retângulo de ouro na Mona Lisa 22 Imagem 10 - Modulor de Le Corbusier 23 Imagem 11 - Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le Corbusier 24 Imagem 12 - Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier 25 Imagem 13 - Catedral Metropolitana de Belém 26 Imagem 14 - Igreja de Santo Alexandre 27 Imagem 15 - Casa das Onze janelas 28 Imagem 16 - Comparações de elementos da planta baixa com elementos geométricos 30 Imagem 17 - Altura da tesoura de acordo com a largura do vão 31 Imagem 18 - Proporcionalidades no corpo humano 33 Imagem 19 - Construção da espiral logarítmica 33 Imagem 20 - Seqüência de retângulos áureos 36 Imagem 21 - Corpo humano e medidas em razão áurea 37 Imagem 22 - Traçado da circunferência 48 Imagem 23 - Prolongamento dos lados do quadrado 49 Imagem 24 - Reta perpendicular 50 Imagem 25 - Marcação dos vértices do retângulo 50 Imagem 26 - Segmento a serem medidos 51 Imagem 27 - Complexo Feliz Lusitânia 54

11 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 74 Imagem 28 - Fachada inserida em um retângulo 56 Imagem 29 - Identificação dos retângulos áureos 57 Imagem 30 - Traçado de bissetrizes 58 Imagem 31 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 59 Imagem 32 - Identificação dos retângulos áureos 60 Imagem 33 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 62 Imagem 34 - Retângulo áureo 01 da Igreja de Santo Alexandre 63 Imagem 35 - Retângulo áureo 02 da Igreja de Santo Alexandre 63 Imagem 36 - Retângulo áureo 03 da Igreja de Santo Alexandre 64 Imagem 37 - Retângulo áureo 04 da Igreja de Santo Alexandre 64 Imagem 38 - Retângulo áureo 05 da Igreja de Santo Alexandre 65 Imagem 39 - Retângulo áureo 06 da Igreja de Santo Alexandre 65 Imagem 40 - Retângulo áureo 07 da Igreja de Santo Alexandre 66 Imagem 41 - Retângulo áureo 08 da Igreja de Santo Alexandre 66 Imagem 42 - Retângulo áureo 09 da Igreja de Santo Alexandre 67 Imagem 43 - Retângulo áureo 10 da Igreja de Santo Alexandre 67 Imagem 44 - Retângulo áureo 11 da Igreja de Santo Alexandre 68 Imagem 45 - Retângulo áureo 01 da Catedral Metropolitana de Belém 69 Imagem 46 - Retângulo áureo 02 da Catedral Metropolitana de Belém 69 Imagem 47 - Retângulo áureo 03 da Catedral Metropolitana de Belém 70 Imagem 48 - Retângulo áureo 04 da Catedral Metropolitana de Belém 70 Imagem 59 - Retângulo áureo 05 da Catedral Metropolitana de Belém 71 Imagem 50 - Retângulo áureo 06 da Catedral Metropolitana de Belém 71 Imagem 51 - Retângulo áureo 07 da Catedral Metropolitana de Belém 72 Imagem 52 - Retângulo áureo 08 da Catedral Metropolitana de Belém 72 Imagem 57 - Retângulo áureo 09 da Catedral Metropolitana de Belém 73 Imagem 54 - Retângulo áureo 10 da Catedral Metropolitana de Belém 73 Imagem 55 - Retângulo áureo 11 da Catedral Metropolitana de Belém 74 Imagem 56 - Retângulo áureo 12 da Catedral Metropolitana de Belém 74

12 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 12 2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA Secção Áurea Antônio Landi 25 3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea 34 4 GEOMETRIA DINÂMICA Informática e Educação Matemática Conceito de Geometria Dinâmica Cabri II Plus 43 5 PROPOSTA DE SEQUENCIA DIDÁTICA Primeira etapa: Conceito de secção áurea Atividade 01: A forma geométrica perfeita Atividade 02: Construção de um retângulo áureo Atividade 03: Análise das proporções no retângulo áureo Observações Resultados esperados Segunda etapa: Análise de fachadas Atividade 04: Visita monitorada Atividade 05: Medindo a fachada da Casa das Onze janelas Atividade 06: Análise da fachada da Casa das Onze Janelas Atividade 07: Medindo uma janela da Casa das Onze Janelas Atividade 08: Análise de uma janela da Casa das Onze Janelas Atividade 09: Análise da fachada da Igreja de Santo Alexandre Atividade 10: Análise da fachada da Catedral Metropolitana de Belém Observações Resultados esperados 75 6 COCLUSÃO 76 REFERÊNCIAS 78

13 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 12 1 INTRODUÇÃO A matemática muitas vezes é vista pelos alunos como uma disciplina muito abstrata, não conseguindo relacioná-la com algo do seu cotidiano. No entanto, pesquisas no campo da educação matemática buscam torná-la mais palpável e acessível aos alunos, facilitando assim a matemática. Um tópico que pode ser extremamente abordado relacionando-o com o cotidiano é a geometria pelas suas aplicações em diversas áreas, como exemplo na arquitetura, pois nesta área desde o processo de concepção até a execução a geometria é explorada. Existem inúmeras relações que envolvem a geometria e a arquitetura, entre elas destaca-se neste trabalho a secção áurea, muito utilizada por arquitetos, matemáticos, escultores e pintores ao longo dos séculos por representar a expressão máxima de beleza. Este trabalho teve como objetivo principal propor uma seqüência didática que envolvesse o conceito de secção áurea tendo como ferramenta principal o software de geometria dinâmica Cabri II Plus e utilizando imagens de fachadas de alguns prédios que sofreram algum tipo de intervenção do arquiteto Giuseppe Antônio Landi. A seqüência didática se destina aos alunos do ensino médio que já tenham estudado números irracionais, sendo assim um exemplo de aplicação de um número irracional, no entanto, com as devidas adaptações pode ser aplicadas a alunos do ensino fundamental para o estudo de proporções. Para tanto foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre informática na educação matemática, o uso de software de geometria dinâmica, a influência da matemática na arquitetura, modelos de proporções arquitetônicas e edifícios que sofreram intervenção de Landi. Depois dessa etapa foi elaborado o projeto de pesquisa que orientou a elaboração deste trabalho final organizando os conceitos e objetivos a serem alcançados, traçando assim as diretrizes da pesquisa. Então foram escolhidos os edifícios a serem usados como modelos para as atividades com secção áurea. Foi feita uma consulta aos livros didáticos recomendados pelo Ministério da Educação, para analisar a forma como é abordado o conceito de secção áurea, além de livros que continham atividades matemáticas que envolvessem arquitetura. Assim foram feitos os experimentos nas imagens das fachadas dos prédios escolhidos utilizando o software de geometria dinâmica Cabri II Plus, desenvolvendo uma seqüência didática para o ensino de secção áurea.

14 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 13 O trabalho está dividido em quatro capítulos começando com um pouco da história da relação entre matemática e arquitetura, destacando a secção áurea e o trabalho e a relevância de Landi para a cidade de Belém, seguido por exemplos e análises de atividades matemáticas que envolvem arquitetura, citando as atividades encontradas em alguns livros didáticos. O capítulo seguinte trata sobre a geometria dinâmica, destacando a importância da informática na educação, definido e caracterizando geometria dinâmica e descrevendo os principais recursos disponibilizados no Cabri II Plus. E por fim, a proposta de seqüência didática para o estudo de secção áurea. O software Cabri II Plus foi escolhido pelo fato de permitir a inserção de imagens digitais como fundo, podendo-se assim trabalhar construções sobre estas imagens, no entanto existem outros softwares de geometria dinâmica que permitem este tipo de manuseio.

15 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 14 2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA A matemática é o magistral edifício imaginado pelo homem para compreender o Universo. Nela encontrase o absoluto e o infinito, o apreensível e o não-apreensível [...]. Le Corbursier 1 Os sistemas matemáticos de proporção são o maior elo entre matemática e a arquitetura. Eles se originaram do conceito pitagoriano que tudo é número, além da crença de que as relações harmônicas do universo são manifestações de relações numéricas. Sobre esta crença Thompson (apud SILVA, 1991, p. 53), afirma que: A definição matemática de uma forma tem uma qualidade de precisão que estava completamente ausente no nosso primitivo estágio de mera descrição; ela e expressa em poucos vocábulos ou em símbolos ainda mais breves, e estes vocábulos ou símbolos estão tão prenhes de significação que o próprio pensamento e economizado; somos trazidos, por meio dela, para a proximidade do aforisma de Galileu (tão antigo quanto Platão, tão antigo quanto Pitágoras, tão antigo quanto a sabedoria dos egípcios), segundo o qual o livro da natureza é escrito com caracteres da Geometria. (apud SILVA, 1991, p.53) O centro de toda educação filosófica estava na matemática e na geometria, pois as verdades matemáticas eram tidas como indiscutíveis, exatas e intemporais. Para Silva (1999, p.57) os teoremas matemáticos descreviam o mundo legítimo [...] sendo as formas geométricas as manifestações por excelência da beleza. Pois a geometria era a mais inequívoca expressão da lógica, a qual não poderia estar alheia a beleza. Na arquitetura a busca pela harmonia no processo projetual vem da idéia de que a beleza pode ser definida como integridade, harmonia e claridade. Como para gregos a matemática podia expressar este tipo de beleza, a arquitetura por meio de suas doutrinas foi conduzida para a matemática. Essa harmonia defendida, veementemente pelos pitagóricos 2, foi expandida para diversas áreas do conhecimento, como a geometria, a mecânica celeste, a biologia e a estética visual. 1 Apud POSSEBON, 2008, p. 60.

16 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 15 Silva (1991) defende que a matemática pregada por Pitágoras 3 é muito diferente da que se conhece hoje, os números sobrepujavam as relações e transcrições quantitativas, sendo suas aplicações mais amplas do que as que se entende atualmente. Os números eram estudados em sua essência qualitativa e Pitágoras e outros filósofos da antiguidade estudaram e pesquisaram a natureza e seus fenômenos minuciosamente com a finalidade de entender e explicar suas leis morfogenéticas 4, que para eles tinham como base a matemática e a geometria (imagem 01). Imagem 01: Semelhanças matemáticas na natureza Fonte: DIAS, 2008 p.11. No entanto, esse espírito de investigação da matemática e suas relações com a natureza parecem esquecidos pelos pesquisadores atuais, não somente na área da matemática, como também na arquitetura. Doczi (apud SILVA, 1991, p. 54) afirma estar preocupado com esta falta de interesse: Por que será que as flores da macieira apresentam sempre cinco pétalas? Por que usamos tantos números quantos podemos contar em nossos dedos? Perguntas como estas, só as crianças fazem, os adultos dão pouca importância a elas, simplesmente aceitam, sem buscar a razão. Quando examinamos profundamente o padrão de uma flor de macieira, uma concha ou o balanço de um pêndulo, descobrimos há uma perfeição, uma ordenação incrível que desperta em nós o maravilhoso que experimentávamos quando crianças. Algo infinitamente maior do que nos se revela e, ainda sim, e parte de nós mesmos, o ilimitado emerge dos limites. (apud SILVA, 1991, p.54) 2 Fundaram a teoria dos números, estabeleceram os métodos de argumento geométrico e desenvolveram a teoria da proporcionalidade. 3 Nasceu em 530 a.c., foi considerado o pai da música e procurava explicar o universo através da proporcionalidade harmônica, pregando segundo Biembengut (1999, p.31) que [...] suas diferenças qualitativas poderiam ser reduzidas a diferenças quantitativas. Para o renascimento ele representou a perfeição do saber matemático e místico. 4 Leis relacionadas ao estudo da formação e da estrutura de acordo com sua herança genética.

17 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 16 O que se observava era o interesse dos arquitetos de diferentes gerações, gregos 5, renascentistas 6 e modernistas 7, em utilizar no processo projetual sistemas de proporcionalidade, tendo como objetivo gerar uma compreensão de ordem e harmonia no que diz respeito aos elementos da sua composição visual. O papel dos sistemas de proporcionalidade vai além do caráter técnico e funcional, pois eles estabelecem um fundamento lógico na estética de uma obra arquitetônica, conferindo beleza as suas dimensões, unificando visualmente os elementos do projeto. De acordo com Ching (2005, p.285) os sistemas de proporcionalidade Podem conferir um sentido de ordem a uma seqüência de espaços e elevar o continuidade dela. Podem estabelecer relações entre os elementos externos e internos de um edifício. p.284) afirma que: 2.1 Secção Áurea Sobre os sistemas de proporcionalidade, Euclides 8 (apud CHING, 2005, [...] um sistema de proporcionalidade estabelece um conjunto coerente de relações visuais entre as partes de um edifício, assim como entre as partes e o todo. Embora tais relações possam não ser imediatamente percebidas pelo observador casual, a ordem visual que criam pode ser percebida, aceita ou mesmo reconhecida através de uma série de experiências repetitivas. Após um certo período de tempo podemos começar a ver o todo na parte, e aparte no todo. (apud CHING, 2005, p. 284) Existem diversas teorias de proporção criadas ao longo da história da arquitetura, entre elas destaca-se a secção áurea, devido sua característica vanguardista sendo, ainda hoje, extremante contemporânea. 5 A arquitetura grega (146 d.c.) é conhecida pelas suas regras de formas e proporção, essas regras influenciaram muitas gerações de arquitetos. 6 A arquitetura renascentista (séculos XVI e XVII) é caracterizada pela grande importância dada à simetria e as relações matemáticas exatas entre as partes da obra arquitetônica, havendo ênfase nos modelos clássicos. 7 A arquitetura modernista (século XX) tem caráter inovador, havendo uma ruptura filosófica e prática com o passado. 8 Nasceu em 300 a.c., organizou de forma lógica os descobrimentos geométricos de seus antecedentes. Segundo Biembengut (1999) A beleza, a exatidão e o raciocínio geométrico apresentado nos Elementos constituem um modelo clássico de organização formal da matemática, encontrados ainda hoje no método axiomático.

18 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 17 A secção áurea é utilizada desde a antiguidade como forma de buscar a perfeição. Tida como o número que atinge a excelência dos números por arquitetos, pintores, escultores e até por biólogos. Segundo Ching (2005, p.286), a secção áurea pode ser definida como [...] a razão entre duas secções de uma reta, e ou duas dimensões de uma figura plana, em que a menor das duas está para maior assim como a maior está para a soma das ambas. Assim se um ponto divide um segmento de reta em média e extrema razão, este está dividindo-o em secção áurea, e a divisão da menor parte do segmento pela maior denomina-se razão áurea (EVES, 2004). Essa definição pode ser expressa algebricamente da seguinte forma: a b = b a + b Onde a e b são segmentos de retas com onde b > a, conforme ilustra a imagem 02. Imagem 02: Segmentos da definição de secção áurea. Fonte: Autor. Essas proporções são encontradas em formas da natureza e no corpo humano, e assim foram utilizadas em pinturas, construções e esculturas ao longo dos tempos por diferentes gerações de artistas, servindo de base desde os renascentistas até os modernistas. Ching (2005, p. 286) afirma que Os arquitetos renascentistas exploraram a secção áurea em suas obras. Em tempos mais recentes, Le Corbusier baseou seu sistema Modulor na secção áurea. Seu uso na arquitetura pendura mesmo nos dias atuais. A secção áurea é tratada como uma forma de regular e imprimir em criações uma ordem que lhe confira qualidade indiscutível. A secção áurea se aproxima da Série de Fibonacci 9 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...), na qual cada termo a partir do terceiro é alcançado pela soma dos dois termos 9 Também conhecido como Leonardo de Pisa, viveu de 1175 a 1250, e foi o mais talentoso matemático da idade média (EVES, 2004). Publicou a obra intitulada Liber abaci, onde defende a notação indu-arábica

19 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 18 imediatamente anteriores, sendo que a razão entre dois termos consecutivos obtémse o chamado número de ouro, conhecido pelo símbolo Ф (lê-se phi), em homenagem a Phideas φ= = 1, Boyer (1987, p. 186) ao discorrer sobre a seqüência de Fibonacci afirma que [...] verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades belas e significativas. [...] A seqüência se aplica também a questões de filotaxia e crescimento orgânico. No molusco náutico é possível observar que os lados dos quadrados que dão forma a ele seguem a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... correspondente a série de Fibonacci (imagem 03) Imagem 03: Série de Fibonacci no molusco náutico. Fonte: DIAS, 2008 p.11. O chamando retângulo áureo ou retângulo de ouro (imagem 04), é considerado perfeito devido à razão entre o lado maior e o lado menor ser o número de ouro, sendo a sua proporção considerada a mais agradável ao observador. 10 Escultor grego que viveu no século V a.c.

20 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 19 Imagem 04: Retângulo áureo, a razão de entre a e b é igual a Ф. Fonte: Autor. Este retângulo pode ser obtido através de qualquer quadrado, trançando partir de seu ponto médio de qualquer um de seus lados, um segmento de reta até um dos vértices de seu lado oposto, e utilizando o compasso, traçasse um arco que cruze o prolongamento do lado inicial. Obtendo-se então, o lado maior do retângulo (imagem 05). Imagem 05: Desenho do retângulo de ouro ABED, onde ACFD é um quadrado e M é o ponto médio Assim MF é igual a 5 AC 2 de AC. Fonte: Autor. e AB é igual a 1+ 5 AC 2 Na Grécia o retângulo de ouro foi utilizado em grande escala em construções arquitetônicas. A maioria das grandes obras arquitetônicas gregas são templos, que deveriam ser a expressão da beleza e perfeição para poderem ser dedicados a deuses, por isso em seus projetos era usada a secção áurea, tida como

21 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 20 o número que expressava a divina proporção (CHING, 2005). Um exemplo famoso de utilização em obras gregas é o Partenon 11, cuja fachada é uma composição de retângulos de ouro (imagem 06). Imagem 06: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do Partenon. Fonte: CHING, 2005, p.288. No renascimento com a valorização da cultura clássica, a secção áurea volta a ser utilizada como padrão do estético perfeito. Os renascentistas estudavam a natureza matematizando-a, pois a matemática era tida como uma ciência objetiva e infalível. Eles acreditavam que suas obras deveriam pertencer aos padrões mais elevados e se lançaram em uma intensa pesquisa em busca de uma regra de proporção perfeita que relacionasse corretamente as larguras dos ambientes e dos vão e sua relação com a altura estabelecendo assim dimensionamentos harmônicos, então eles se depararam com os moldes gregos de proporção, que tinham como 11 Considerado uma das mais famosas estruturas do mundo, foi construído em Atenas no século V a.c. (BARISON, 2008).

22 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 21 base a secção áurea, conhecida como a divina proporção (SILVA, 1991). Assim a as decisões de projeto passam a ser regidas por fórmulas baseadas tanto na secção áurea quanto em suas aproximações, como a seqüência de Fibonacci. No entanto, diferentemente da antiguidade clássica, arquitetura no renascimento não era vista como algo sagrado, mas como uma ciência que envolve conhecimentos da matemática, da proporção e da harmonia. Para os renascentistas a arquitetura era a matemática expressada em unidades especiais, sendo esta unidade a secção áurea (CHING, 2005). A Fachada de Santa Maria de Novella, projetada por Leon Baptista Alberti 12 em 1456, tem este sistema de proporcionalidade (imagem 07). Imagem 07: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de Santa Maria de Novella. Fonte: Autor. No corpo humano o número de ouro está presente e foi estudado neste sentido principalmente por Leonardo Da Vinci 13. No estudo do Homem Vitruviano (imagem 08), ele demonstra a relação do corpo humano com a secção áurea e segundo Dias (2008) ele tenta ilustrar a tese de Pitágoras de que o homem é a medida das coisas. Para entender melhor a ocorrência do número Ф no corpo humano, basta observar algumas medidas: 12 Viveu entre 1404 e 1472, era arquiteto, pintor, escultor, compositor, autor, poeta, dramaturgo, matemático e filósofo. Utilizava em suas obras ordens clássicas, e representou o primeiro exemplo de o homem universal do Renascimento. 13 Viveu entre 1445 e 1517, era pintor, escultor e arquiteto. Estudou a anatomia humana e dissecava cadáveres para depois pintar a figura humana com precisão nos detalhes, buscando assim o realismo e a glorificação do homens.

23 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 22 [...] a perna inteira dividida pelo tamanho do joelho ao chão; o braço inteiro dividido pela medida do cotovelo ao dedo; a medida da cintura até a cabeça, dividido pelo tamanho do tórax; a altura do crânio dividida pelo tamanho da mandíbula até o alto da cabeça; o tamanho da base do queixo pela base do nariz... tudo isso resulta em Phi. Além disso o umbigo divide o corpo adulto em média e extrema razão; a linha dos ombros divide a distância que vai do umbigo até o alto da cabeça, em média e extrema razão; o comprimento do rosto é dividido em média e extrema razão pela linha dos olhos. (NINA; CARVALHO, 2008, p.2) Imagem 08: Homem Vitruviano. Fonte: NEUFERT, 1998, p.18. Em uma das obras mais famosas de Da Vinci pode-se observar a ocorrência do retângulo áureo, a Mona Lisa que foi pintada em 1505 (DIAS, 2008). Se for desenhado um retângulo ao redor da face o mesmo será um retângulo áureo, e se desenhar outro que seja limitado pela linha dos olhos, mãos e ombros ele será áureo (imagem 09). Imagem 09: Retângulo de ouro na Mona Lisa. Fonte: Autor.

24 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 23 Le Corbusier 14 no século XX criou uma teoria de proporcionalidade denominada Modulor 15, sendo um sistema matemático, devido às dimensões estéticas da secção áurea e a série da Fibonacci, e anatômico, devido as proporções funcionais baseadas no corpo humano (imagem 10). Imagem 10: Modulor de Le Corbusier. Fonte: BARISON, 2008, p Viveu entre 1887 e 1965, foi um dos maiores arquitetos modernistas, era ligado à filosofia e tinha um racionalismo idealista, sendo profundo admirador da arte clássica grega. 15 Module: unidade de medida, d or: secção de ouro.

25 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 24 O modulor segundo Possebon (2008, p.60) pode ser definido como [...] um sistema de proporcionamento do espaço arquitetônico baseado neste critério geométrico, e oferece toda uma gama de dimensões. A estrutura básica é baseada em três medidas de acordo com a secção áurea, são elas 113, 70 e 43 centímetros. Onde: = = = 226 (2 x 133) Assim os resultados definem o espaço ocupado pela figura humana, como mostra a imagem 11. Imagem 11: Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le Corbusier. Fonte: CHING, 2005, p.302. O modulor foi muito utilizado no modernismo (imagem 12) e ainda hoje é utilizado como base para projetos de arquitetura, uma das mais recomendadas e tradicionais literaturas para quem quer ter noções de como projetar, o livro Arte de Projetar em Arquitetura de Ernest Neufert, tem como fundamento para seu sistema de medidas o modulor, no qual ele alega que Le Corbusier consegui uma divisão harmônica do corpo humano e que a combinação das duas séries do modulor, a vermelha e a azul, resultam em medidas que definem a ocupação do homem no espaço (NEUFERT, 1998).

26 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 25 Imagem 12: Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier. Fonte: CHING, 2005, p Antônio Landi Giuseppe Antônio Landi nasceu em 30 de outubro de 1713 em Bolonha na Itália, teve formação em arquitetura na Academia Clementina de Bolonha e foi professor no Instituto de Ciências e Artes de Bolonha. Assim como os outros arquitetos do setecentos, buscou na obra de Palladio 16 informações sobre os moldes da antiguidade clássica (PARÁ, 2000). Chegou a Belém em 1753 envolvido na Comissão Demarcadora de Limites 17 e trabalhou no norte do Brasil por trinta e oito anos. Foi o responsável por uma intensa modificação na paisagem arquitetônica de Belém na segunda metade do século XVIII e por causa de seu trabalho e personalidade forte e perseverante recebeu do governador Mendonça Furtado o título de arquiteto régio do Grão Pará, sendo assim reconhecido como um dos mais importantes arquitetos da cidade. 16 Viveu de 1508 a 1580, preocupou-se coma pesquisa das proporções harmônicas relacionando-as com a composição musical, considerando-a o segredo da harmonia universal. 17 Esta comissão era chefiado por Mendonça Furtado e tem como objetivo de demarcar as terras da América por determinação do Tratado de Madri.

27 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 26 Giuseppe Antonio Landi não é, para a cidade de Belém, apenas uma referencia histórica. Muito mais do que isso, ele é a presença viva e constante com a qual os belenenses cruzam diariamente, quando vão ao centro histórico da capital do Pará, que Landi ajudou a embelezar, há mais de dois séculos. (PARÁ, 2000, p.3) Seu estilo pode ser caracterizado como barroco tardio italiano e com ênfase nas correntes clássicas. Existem em Belém onze igrejas e três obras de arquitetura civil que foram projetados ou sofreram intervenção de Landi, pode-se citar como exemplo a capela de São João, a Igreja de Santa Ana, A igreja de Santo Alexandre, a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja das Mercês, a Igreja de Nossa Senhora do Carmo, a Igreja de Nossa senhora do Rosário dos Homens Pretos, a Casa das Onze Janelas e a Capela do Murutucu (CRUZ, 1973). No Complexo Feliz Lusitânia, que busca valorizar os referenciais sociais, históricos e econômicos da ocupação da Amazônia e do Pará por meio da revitalização urbanística, paisagística e arquitetônica de espaços criados durante os séculos XVII e XVIII, localiza-se algumas das principais obras que sofreram intervenção de Landi, são elas a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja de Santo Alexandre e a Casa das Onze Janelas. A Catedral Metropolitana de Belém (imagem 13), conhecida como Igreja da Sé, construída entre 1748 e 1774, teve sua fachada concluída por Landi, assim como uma parte da decoração interna. Imagem 13: Catedral Metropolitana de Belém. Fonte: Autor.

28 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 27 Sua porta central possui dimensões igual a 4,10m por 6,60m formando assim um retângulo áureo e na composição de sua fachada podemos encontrar outros retângulos áureos, como o formado pela parte central da fachada e a marcação do abaixo do relógio (23,13m por 14,20m) e o formado pela altura da parte central e a distancia entre os pináculos (31,10m por 19,30m). A Igreja de Santo Alexandre (imagem 14), onde atualmente funciona juntamente com o arcebispado o Museu de Arte Sacra de Belém, tem traços de Landi em sua capela mor que foi decorada em Imagem 14: Igreja de Santo Alexandre. Fonte: Autor. Sendo sua porta central possui medidas iguais a 2,20m por 3,60m que formam assim um retângulo áureo, e na sua fachada podem ser identificados diversos retângulos áureos, como o formado pela parte central superior da fachada (9,40m por 15,35m) e o formado por toda parte central da fachada (15,50m por 25,30m). A Casa das Onze janelas (imagem 15), antigo Hospital Real que funcionou até 1938, foi construída no inicio do século XVIII e teve seus desenhos assinados por Landi, que decidiu manter uma fachada mais simples, como dos sobrados portugueses.

29 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 28 Imagem 15: Casa das Onze janelas. Fonte: Autor. A fachada é formada por janelas que juntamente com suas molduras medem 3,42m por 2,16m, que formam um retângulo áureo e sua fachada é composta por dois retângulos áureos que medem 23,30m por 14,20m cada um. O que é necessário destacar é o fato que todas essas obras tiveram como base de seu processo projetual os moldes clássicos, apresentando características estéticas deste período, entre elas a presença da secção áurea no dimensionamento de seus elementos.

30 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 29 3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA Uma das maiores causas do baixo rendimento no ensino da matemática e do desinteresse dos alunos pela matéria deve-se ao grande abismo que separa a matemática da escola da matemática da realidade. Ubirabatan D Ambrosio 18 No processo projetual e construtivo da arquitetura existem situações que podem ser usadas para o ensino da matemática. Temas como a criação da forma, a escala, as áreas, os níveis do terreno, as modulações utilizadas, o dimensionamento de pilares e vigas, podem ser trabalhados afim de que o aluno possa ver como a matemática está presente na construção civil. 3.1 Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura Explorar situações do cotidiano no ensino da matemática tem o papel de fazer com que a matemática saia do campo abstrato para o concreto, especialmente no estudo das formas e do espaço, isto se torna primordial. Os Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental afirmam que diversas profissões exigem o pensamento geométrico, e que as situações presentes nessas profissões devem ser utilizadas para o ensino da matemática, entre as profissões está a arquitetura. Outro aspecto da arquitetura que pode ser abordado em situações problemas da matemática é a questão dos sistemas de medida e a necessidade de padronização (BRASIL, 1998). Biembengut (1999) descreve uma atividade de modelagem matemática e construção civil que está dividida em duas etapas. A primeira tem como foco a planta da casa e a segunda a sua maquete. A modelagem é a ação de construção de um modelo. Para Granger (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19): [...] o modelo é uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já conhecido, efetuando deduções. Nesse sentido, a modelagem, arte de modelar, é um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida como forma de 18 Apud BIEMBENGUT, 1999.

31 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 30 constituição e de expressão do conhecimento. (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19) O que é interessante na atividade que Biembengut (1999) propõe, é a forma como os temas matemáticos são abordados, sempre valorizando a investigação e construção do conhecimento pelo aluno, fazendo com que temas da construção civil gerem questionamentos que serão resolvidos matematicamente, através de modelos, que é objetivo da modelagem matemática. Cada etapa é precedida de uma explicação técnica que faz com que o aluno se situe no tema que será abordado. Na primeira parte da atividade quando aborda sobre o esboço da planta baixa de uma casa, a autora insere conceitos elementares de geometria plana, associando os encontros das paredes com pontos, as paredes com retas e os ambientes com planos (imagem 16), discutindo assim posições relativas das retas e a forma correta de inseri-las em uma planta. Ela associa as aberturas das portas com ângulos, estudando assim as classificações de ângulos, além de fazer referência a uma porta giratória ao abordar o tema circunferência e círculo e aos espaços dos ambientes para abordar quadriláteros e suas classificações. Imagem 16: Comparações de elementos da planta baixa com elementos geométricos. Fonte: BIEMBENGUT, Seguindo a atividade de modelagem o tamanho da casa gera o tema sistemas de medidas lineares, estudando assim o sistema métrico decimal. As medidas da casa incidem no tema representação decimal dos números racionais, na qual são estudadas as operações com números decimais sempre tendo como situação problema a planta da casa. As medidas de superfícies e a proporcionalidade são abordadas por meio de análise da planta baixa.

32 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 31 A segunda etapa tem como tem principal a construção de uma maquete da casa que simboliza a construção da casa. Ao se questionar a forma de fazer as paredes são abordados a questão dos sólidos geométricos, seus elementos e suas classificações, além de suas áreas serem utilizadas na atividade para calcular a área da parede. O conceito de isometria vem atrelado aos tipos de revestimentos, na qual o aluno além de aprender sobre os tipos de isometria aprende um pouco sobre ornamentação. Os telhados e suas formas são utilizados com uma forma de inserir o conceito de triângulo e suas classificações (imagem 17). Os reservatórios d água como forma de abordar sistemas de medidas de volume, capacidade e massa. Por último é estudado a forma fracionária dos números racionais e suas operações por meio da discussão sobre de instalações hidráulicas e elétricas e a melhor representação de suas bitolas. Imagem 17: Altura da tesoura de acordo com a largura do vão. Fonte: BIEMBENGUT, É importante ressaltar que todos os temas matemáticos abordados são antecedidos por questionamentos práticos da construção civil, a modelagem é usada como uma forma de auxiliar a resolver esses questionamentos e é sempre incentivada a aplicação de atividades complementares para o aprofundamento e consolidação do conhecimento. É apresentada ao aluno uma matemática ligada a situações reais que o desafiam a construção de modelos da realidade aprendendo através deles (D Ambrosio apud BIEMBENGUT, 1999). 3.2 Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea

33 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 32 Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2006, p.93) citam como tema complementar o estudo do número de ouro sendo visto como uma forma de valorizar a matemática, podendo ser utilizado para o aprendizado de proporções geométricas demonstrando o aspecto estético da matemática. Destaca ainda a importância dos alunos conhecerem a história da matemática, afirmando que a história pode contribuir para a formação de conceitos e ser uma ferramenta para o ensino da matemática. A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática. (BRASIL, 2006, p.86) Uma atividade interessante envolvendo secção áurea é proposta por Biembengut e Hein (2007). Os autores propõem uma seqüência de atividades com modelagem para discutir o conceito de beleza e razão áurea. A atividade se inicia com o questionamento se é possível avaliar a beleza física por meio de uma fórmula matemática e segue com a explicação das proporcionalidades que regem a estética no corpo humano e uma atividade de pesquisa que consiste na avaliação se as proporções do corpo dos alunos seguem os padrões da estética, montando assim uma tabela de medidas. O próximo item da seqüência de atividades diz a respeito da explicação sobre o número de ouro por meio de um segmento e suas divisões em razão áurea, questionando o aluno de que forma pode-se dividir o segmento, demonstrando algebricamente a origem do número Ф e definindo o que é secção áurea. Assim os autores recomendam que o professor discuta a origem e as aplicações da secção áurea pelos gregos tanto na arquitetura como nas esculturas de Phideas e a retomem os questionamentos sobre beleza desta vez explicando que uma das leis de proporcionalidade que rege a estética é a secção áurea, mostrando a figura das proporcionalidades que se assemelham no corpo humano (imagem 18).

34 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 33 Imagem 18: Proporcionalidades no corpo humano. Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, Os próximos tópicos da atividade se referem aos polígonos de ouro, triângulo, retângulo e pentágono, demonstrando suas propriedades e aplicações e propondo aos alunos pesquisarem da utilização do retângulo na arquitetura e nas obras de arte explicando que os retângulos áureos estão presentes nas obras gregas, nas obras de Leonardo da Vinci, Albrescht Durer, Salvador Dalí, dentre outros (BIEMBENGUT; HEIN, 2007, p.89), e citando como exemplo mais antigo de utilização o Partenon. Os autores apresentam os passos para construção do pentágono de ouro e demonstram que os triângulos formados pelas diagonais possuem a proporção áurea. Imagem 19: Construção da espiral logarítmica. Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, A última atividade se refere à espiral logarítmica mostrando sua construção a partir do retângulo áureo (imagem 19) e demonstrando algebricamente suas seqüências em função do número Ф. É explicado que as relações áureas são encontradas na natureza tanto em plantas como em amimais, e que o número Ф é apenas uma modelo que manifesta harmonia e beleza, mas não é uma regra fechada e única.

35 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea A secção áurea é citada na maioria dos livros didáticos indicados pelo Ministério da Educação (MEC) por meio do Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM), juntamente com o conteúdo de seqüências, no qual, normalmente em notas históricas, é abordada a seqüência de Fibonacci. No livro de Silva e Barreto Filho (2003), intitulado Matemática Aula por Aula, no inicio do conteúdo de progressões é citado Fibonacci e razão de ouro que segundo os autores exerceu grande influência na arquitetura e na arte. Neste livro é mostrada uma figura do Parthenon de Atenas como exemplo de utilização do retângulo áureo que seria a [...] forma geométrica aprazível aos olhos humanos [...] (SILVA; BARRETO FILHO, 2003, p.9). No livro Matemática de Paiva (2008), o retângulo de ouro é novamente citado juntamente com a seqüência de Fibonacci no final do conteúdo de seqüências na secção Ciência, Informação e Tecnologia. Desta vez é utilizada como exemplo a concha do náutico, um molusco dos oceanos Pacífico e Indico, que tem seu crescimento em espiral que obedecem uma seqüência de retângulos áureos, com a largura igual a 0,6118 do comprimento. Para o autor outros exemplos da série de Fibonacci mostram sua presença na arte, na musica e na física (PAIVA, 2008, p.217). Os autores Smole, Vieira e Kiyukawa (2003) em seu livro Matemática Ensino Médio no final do conteúdo de números irracionais, ao citar o número áureo como um famoso número irracional, descreve sua construção a partir do quadrado e sua importância para os gregos na arquitetura e para os renascentistas em obras clássicas, tendo como exemplo a Mona Lisa, além de demonstrar como obter o número de áureo através da construção de um retângulo partindo de um quadrado de lado 2. Na secção Flash Matemático no final do conteúdo de seqüências, a secção áurea é retomada, desta vez com a seqüência de Fibonacci, pois ao falar do número Ф, associam-no com a razão áurea, pois é o valor da razão entre dois números que estejam em razão áurea. Assim [...] a razão entre termos consecutivos da seqüência de Fibonacci se aproxima da razão áurea [...] (SMOLE; VIEIRA; KIYUKAMA, 2003, p. 165). No livro Matemática de Dante (2008), outra vez no conteúdo de seqüências há uma secção sobre a seqüência de Fibonacci onde é falado sobre o

36 GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 35 crescimento dos coelhos e é citado o número de ouro dos gregos como o resultado da divisão de [...] cada terno da seqüência, a partir do 21, pelos eu precedente [...] (DANTE, 2008, p. 248). Nestes livros a secção áurea é tida somente somo um assunto complementar, de nenhum modo é dado algum destaque ao tema, ficando somente em pequenos tópicos ou notas históricas. Não é explorada qualquer atividade de ensino que tenha como base a secção áurea, muito menos é utilizada como forma de construir o conhecimento do conteúdo de seqüências, visto que é mencionada somente no final do conteúdo, quando tanto a teoria, quanto as atividades de fixação já foram ministradas. A história da matemática deve ser utilizada na sala de aula, mas com o objetivo de construção de conhecimento por meio da investigação dos aspectos históricos da matemática, para que o aluno possa vivenciar experiências de redescoberta, as quais possam despertar sua curiosidade científica para o desenvolvimento de habilidades matemáticas (MENDES, 2006). Um exemplo muito interessante de utilização de secção áurea, não como nota histórica, mas como atividade de ensino, pode ser encontrada no livro de Dante (2008) da oitava série, que tem como titulo Tudo é Matemática. Nele o autor em uma secção intitulada A divina proporção: o número de ouro recorre a uma seqüência de atividades que tem como objetivo levar o aluno a compreender o que é secção áurea, suas propriedades e sua utilidade na biologia, na arquitetura, nas artes e no corpo humano. A atividade se inicia com os questionamentos sobre a existência um número com propriedades mágicas, e que teria sido utilizado por matemáticos, cientistas e artistas e sua presença na natureza, seguida por uma atividade de análise de proporções de uma reta e os segmentos contidos nela que levam a um resultado que é o número irracional 1,618034, o número de ouro ou razão áurea. As atividades seguintes dizem respeito a utilização da secção áurea, começando com uma rápida explicação sobre os gregos e a harmonia, equilíbrio e beleza, Fibonacci e o número de ouro na natureza, o Renascimento e o número de ouro na pintura. Mostrando, então, imagens de uma estrela do mar, um girassol e um boi, como exemplos de secção áurea na natureza. O retângulo de ouro é analisado por meio de imagens de retângulos para serem medidos e calculada a razão entre seus lados, que resultará na secção áurea, pois os lados dos retângulos seguem a seqüência de Fibonacci. E como exemplo do