Francisco de Assis Corrêa Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE São José dos Campos SP, Brasil fcorrea@directnet.com.br

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1 APLICAÇÃO DE RELAXAÇÃO LAGRANGEANA E DO ALGORITMO GENÉTICO CONSTRUTIVO NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA PROBABILÍSTICO DE LOCALIZAÇÃO- ALOCAÇÃO DE MÁXIMA COBERTURA Francsco de Asss Corrêa Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas - INPE São José dos Campos SP, Brasl correa@drectnet.com.br Luz Antono Noguera Lorena Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas - INPE São José dos Campos SP, Brasl lorena@lac.npe.br Resumo O problema de localzação de máma cobertura (MCLP) procura localzar acldades de orma a mamzar a população atendda consderando uma dada dstânca ou tempo padrão de servço. Váras etensões desse modelo têm sdo propostas para aumentar a sua aplcabldade. Dente elas, estem modelos probablstcos para localzação-alocação de máma cobertura com restrções no tempo de espera ou no comprmento da la para sstemas congestonados, consderando um ou város servdores por acldade. A proposta deste trabalho é a de resolver um modelo para um servdor por acldade por meo da relaação Lagrangeana e do Algortmo Genétco Construtvo. Os resultados dos testes obtdos nessas abordagens são apresentados e comparados. Palavras-Chaves: Problemas de Localzação; Máma Cobertura; Relaação Lagrangeana; Algortmo Genétco Construtvo. Abstract The Mamal Coverng Locaton Problem (MCLP) mamzes the populaton that has a aclty wthn a mamum travel dstance or tme. Numerous etensons have been proposed to enhance ts applcablty, lke probablstc model or the mamum coverng locaton-allocaton wth constrant n watng tme or queue length or congested systems, wth one or more servers per servce center. In ths paper we present two soluton procedures or that probablstc model, consderng one server per center, usng Lagrangan relaaton and Constructve Genetc Algorthm. The results o etensve tests on the soluton procedures are presented. Keywords: Locaton Problems; Mamal Coverng; Lagrangan Relaaton; Constructve Genetc Algorthm. 1. INTRODUÇÃO O Problema de Localzação de Máma Cobertura (MCLP) tem sdo consderavelmente tratado na lteratura desde a sua ormulação eta por Church e ReVelle (1974) [1]. Esse problema busca obter a conguração para localzar acldades que atenda o maor número de ndvíduos de uma população, consderando uma dada dstânca ou tempo padrão do ponto de demanda. Uma consderável revsão desse tema pode ser encontrada em 1

2 Hale e Moberg (2003) [7], Serra e Maranov (2004) [20] e Galvão (2004) [5]. Não se busca com este modelo atender toda a população, porém, o mámo de atendmento consderando os recursos dsponíves. Város modelos aplcados a uma grande aa de problemas são etensões dessa ormulação. Em mutos casos, essa dstânca (ou tempo) entre pontos de demanda e a acldade com a qual eles estão sendo alocados são consderados para a tratar a qualdade dos servços que são prestados a usuáros. Entretanto, quando se proeta uma rede de servços, como sstemas de saúde, bancáros ou de vendas de blhetes dstrbuídos, a localzação dos centros tem uma orte nluênca no congestonamento de cada um, e, conseqüentemente, na qualdade de seus servços. Deste modo, além de a sua localzação permtr que os usuáros cheguem ao centro em um tempo acetável, deve-se cudar também que o tempo de espera para atendmento sea o menor possível, ou que a quantdade de pessoas na la sea mínma, uma vez que estes são parâmetros mportantes na medda da qualdade deseada [13]. O congestonamento é um ator que está ntmamente lgado à qualdade de servços prestados por um determnado sstema, tas como saúde, bancáro e postal. A localzação desses centros deve ser tal que o tempo (dstânca) de deslocamento do usuáro sea acetável e, uma vez dentro do sstema, o usuáro deve permanecer em espera por atendmento o menor tempo possível. O congestonamento ocorre quando um centro não é capaz de atender, smultaneamente, a todas as solctações de servços que lhe são etas. Normalmente, os modelos tradconas que tratam desse problema adconam uma restrção de capacdade que orça a demanda por servço (normalmente constante no tempo e gual a uma méda) ser menor do que a máma capacdade do centro. Essa abordagem não consdera a natureza dnâmca do congestonamento e trata o problema de orma determnístca. Isso az com que o modelo, dependendo de como a restrção sea obtda, tenha servdores ocosos ou não tenha a capacdade de atender todas as demandas [13] [14]. Os modelos tradconas de otmzação assumem que as demandas por servços são constantes no tempo e restrtas a serem menores que a capacdade de um centro. Isso gera uma contradção, porque este uma rgorosa restrção que é aplcada a uma méda, que é ecedda 50% das vezes. Maranov e Serra (1998) [13] propuseram modelos baseados no ato de que o número de solctações de servços não é constante no tempo, mas um processo estocástco, cua estocastcdade de demanda é eplctamente consderada no trato das restrções de capacdade, que, ao nvés de lmtar o mámo da capacdade do centro, dene um lmte mínmo para a qualdade dos seus servços. Essa qualdade é reletda nos tens de tempo de espera ou quantdade de pessoas que aguardam por um atendmento. Os modelos propostos por esses pesqusadores tratam de localzar uma certa quantdade de postos de saúde, com um ou város servdores em cada, de modo que a população, à uma dstânca padrão do centro, sea servda adequadamente, sto é, que nnguém que na la por um período maor que um dado tempo lmte ou não a encontre com mas de um certo número de outros clentes, com uma probabldade maor ou gual α, denda a pror. Foram consderados os sstemas de la M/M/1 e M/M/m [11], em que a taa de chegada no centro segue a dstrbução de Posson com taa λ e o tempo de servço no centro é eponencalmente dstrbuído com taa µ, para, respectvamente, um ou város servdores. O modelo de localzação-alocação de máma cobertura consderado neste artgo o denomnado por Maranov e Serra (1998) [13] por The Queueng Mamal Coverng Locaton-Allocaton Model (QM-CLAM) e o dendo como: Localzar p centros e alocar usuáros de orma a mamzar a população coberta, onde a cobertura é denda como: a população coberta é alocada a um centro dentro de um tempo ou dstânca padrão de sua resdênca (ponto de demanda) e se um usuáro é coberto, na sua chegada ao centro, ele va esperar em uma la com no mámo b outras pessoas ou será atenddo no tempo τ, com probabldade, no mínmo, α. O propósto deste artgo é o de eamnar o Problema de Localzação-Alocação de 2

3 Máma Cobertura Probablístco proposto por Maranov e Serra (1998) [13], para um servdor por centro, e apresentar outras duas soluções: a prmera, por meo da relaação Lagrangeana e a segunda, usando o Algortmo Genétco Construtvo (AGC). O prómo capítulo descreve os modelos orgnas propostos. O capítulo 3 apresenta a solução usando a relaação Lagrangeana e AGC. O capítulo 4 mostra os resultados computaconas e o capítulo 5, as conclusões. 2. MODELO QM-CLAM O modelo tradconal de Mamum Coverng Locaton Problem (MCLP) proposto por Church e ReVelle (1974) [1] não pode ser usado para tratar as restrções de congestonamento, pos não contém varáves de alocação, o que mpede de computar as solctações de servços que chegam a um centro, e, conseqüentemente, de determnar quando ocorre um congestonamento. A modelagem matemátca proposta para o QM-CLAM o escrta como um modelo tpo p-medana, modcado para comportar as varáves de localzação e alocação, tendo como obetvo mamzar a população coberta, consderando uma determnada quantdade de centros de atendmento. Formalmente, as alocações são representadas pelas varáves bnáras, tal que ε I e ε N, onde I é o conunto dos pontos de demanda a serem alocados e N é o conunto de localzações canddatas que estão dentro de uma dstânca padrão do nó. [ ] é a matrz de alocações, com = 1, se o ponto de demanda or alocado ao centro, = 0, caso contráro. As localzações são representadas pelas varáves bnáras y, com y = 1, se o centro or seleconado, = 0, caso contráro. O parâmetro a dene a população total no ponto de demanda. Todo ponto de demanda é um potencal centro de atendmento. O QM-CLAM possu a ormulação descrta abao: Problema QM-CLAM Ma Sueto a, a y 1 P[ centro P[ tempo de espera no centro τ ] α y y, = p ter = 0,1, b pessoas na la] α N, (1) (2) (3) (4) (4a) (5) (6) A unção obetvo (1) mamza a população alocada a um centro. As restrções (2) denem que somente é possível alocar um ponto de demanda a um centro se houver um centro em. As restrções (3) mpõem que cada ponto de demanda sea alocado a, no mámo, um centro. Usam-se as restrções (4) ou (4a) para, respectvamente, tratar de quantdade de pessoas na la ou o tempo de espera. As prmeras, restrções (4), orçam que cada centro tenha no mámo b pessoas na la, com a probabldade, no mínmo, α. As segundas, restrções (4a), determnam que o tempo de espera na la em cada centro sea, no mámo, τ, com a probabldade, no mínmo, α. A restrção (5) dene a quantdade de centros a serem abertos. As restrções (6) denem as condções de ntegraldade. Para escrever a restrção (4) em uma orma tratável, assume-se que as solctações de servços de cada nó de demanda acontecem de acordo com um processo de Posson com taa. A taa λ atrbuída a um centro é denda como uma superposção de processos de Posson: 3

4 λ = I o que sgnca que se a varável or 1, o nó será alocado ao centro, e a sua correspondente taa será ncluída no cálculo de λ. Assume-se também que o tempo de servço tem uma dstrbução eponencal, com a méda µ, onde µ λ, de orma a manter o equlíbro do sstema. Utlzando-se as equações dendas para um sstema de las M/M/1 [21] e denndo o estado k como o número de usuáros no sstema (sendo atenddo e na la), o dagrama de transção de estados é mostrado na gura 1. Fgura 1 Dagrama de transção de estados A partr do sstema M/M/1, obtem-se a equação (7), que trata do mámo número de pessoas no sstema, equvalente à restrção (4), cuo desenvolvmento pode ser vsto em Maranov e Serra (1998) [13]. I µ 1 (7) b+ 2 α Da mesma reerênca, a restrção (4a), que trata do tempo mámo de espera por atendmento, é convertda na equação (8). 1 µ + ln(1 α ) (7a) I τ Com sto, pode-se obter a ormulação nal para o modelo deseado: Problema QM-CLAM v(qm-clam) = Ma a Sueto a λ λ λ λ µ µ µ µ, (1) y (2) 1 (3) I ou I b+2 µ 1 α, (para a quantdade de pessoas na la) (7) 1 µ + ln(1 α ), (para o tempo de espera) (7a) τ y = p (5) y, = 0,1, N (6), O lado dreto das equações 7 e 7a são valores constantes, calculados para µ, α, b e 4

5 τ, dendos a pror, onde µ é o tempo de servço no centro, b é a quantdade máma de pessoas na la, τ é o tempo mámo de espera na la e α é a probabldade de encontrar, no mámo, b pessoas na la ou de esperar, no mámo, um tempo τ para ser atenddo. Para eeto de smplcação serão substtuídos, respectvamente, por K µ b α e por K µτα O problema QM-CLAM pertence à classe dos problemas NP-Completos [19]. Sotwares comercas podem resolver algumas pequenas nstâncas desse problema. Entretanto, o tempo de computação se torna nvável para problemas de tamanhos razoáves. Por sso, buscam-se soluções alternatvas ecentes para ormulações desse tpo. No prómo capítulo duas abordagens são apresentadas: uma baseada na aplcação da relaação Lagrangeana com o algortmo de otmzação por subgradentes, e outra, por meo do Algortmo Genétco Construtvo. 3. SOLUÇÕES PROPOSTAS 3.1. RELAXAÇÃO LAGRANGEANA A relaação Lagrangeana tem sdo aplcada na solução de város problemas de otmzação combnatóra, nclundo o problema do caero vaante, problemas de localzação, o problema de atrbução generalzado, de recobrmento e partconamento de conuntos e problemas de roteamento [3]. Essa relaação é obtda multplcando um conunto de restrções por um vetor λ de multplcadores de Lagrange, adconando-se o produto à unção obetvo. O desenvolvmento dessa relaação para o Problema de Localzação de Máma Cobertura pode ser vsto em Daskn (1995) [2]. Para o problema (QM-CLAM), relaando as restrções (3), tem-se: V(L λ QM-CLAM) = Ma a λ 1, que desenvolvdo, obtém-se: Problema L λ QM-CLAM: V(L λ QM-CLAM) = Ma ( a λ ) + Sueto a (2), (5), (6) e (7) ou (7a). Consderando mplctamente a restrção (5), o problema (L λ QM-CLAM) pode ser resolvdo decompondo-o em m problemas da mochla 0-1 [12] [19]. As restrções (2) podem ser ncorporadas nas restrções de capacdade (7) e (7a) [16], cando: I I 5 λ Kµ α y, (9) b Kµτα y (9a) Assm, o problema orgnal pode ser reescrto com um conunto de subproblemas: Para = 1, 2,, I, v(knap ) = Ma ( a λ ) (8) Sueto a: ou I I I Kµ bα, (9) Kµτα (9a) = 0,1, N (10),

6 Cada problema é resolvdo usando o códgo Horowtz e Sahn [15]. Esse códgo oereceu bons resultados, embora tenha sdo desenvolvdo para problemas nteros de mochla. Sea J o conunto dos p maores v(knap ), I. O valor da relaação Lagrangeana é dado por: v(l λ QM-CLAM) = v( Knap ) + J I λ A otmzação do dual Lagrangeano é obtda por meo do algortmo de subgradentes [12] [19]. Dado um vetor de multplcadores (λ) 0, a seqüênca de multplcadores é obtda por: λ k ( 0, λ + θk ( 1 ) = Ma, k + 1 λ onde λ é a solução ótma do problema L λ QM-CLAM com multplcadores (λ) k e θ k é um escalar postvo dendo por: θ π ( v( QM CLAM ) lb), 2 1 = λ onde v(qm-clam) é o melhor valor do lmtante superor, lb é o melhor valor do lmtante neror (solução vável de QM-CLAM) e π é o parâmetro de controle dendo por Held e Karp (1970) [8]. O valor de π ncal é 2 e é dvddo à metade se o valor de v(qm-clam) não dmnu por 30 terações sucessvas. Os crtéros de parada mas utlzados na lteratura e aplcados na resolução dos problemas deste artgo são: a) π 0,0005 b) v(qm-clam) - lb < 1 λ c) 1 2 = 0 d) Quantdade de terações = 500. As soluções λ obtdas não são necessaramente váves, porém o conunto J ndca as acldades que podem ser usadas para se obter soluções váves. Essas soluções prmas oram obtdas por meo do algortmo MTHG, de Martello e Toth (1990) [15], e melhoradas pelo algortmo descrto em Perera e Lorena (2001) [18]. O melhor valor vável a cada teração do método subgradentes é usado em θ como lb ALGORITMO GENÉTICO CONSTRUTIVO O algortmo genétco o concebdo por Holland, em 1960, e apereçoado nas décadas de 1960 e 1970, por ele própro e por seus colegas da Unversdade de Mchgan. Város renamentos do método surgram nas décadas seguntes. Alguns deles e normações báscas podem ser vstas em Goldberg (1989) [6] e em Lacerda (1999) [10]. O Algortmo Genétco Construtvo (AGC) [4] trabalha com uma população ncal composta por esquemas, sto é, uma população de soluções canddatas parcas ou ncompletas, que servrão de base para a construção de uma população com soluções melhores completas (chamadas estruturas), ao longo do processo evolutvo. O AGC possu os operadores tradconas de seleção, cruzamento e mutação, e dere dos algortmos tradconas na orma de avalar os esquemas (avalação-g), no tratamento de uma população de tamanho varável e na possbldade de usar heurístcas para denr a unção de avalação da aptdão dos ndvíduos [17]. 6

7 A avalação-g trata de uma dupla avalação de cada ndvíduo S k e, no caso da mamzação, o valor de relete a unção obetvo, e o valor de g é calculado a partr de uma heurístca tal que g(s k ) (S k ). Essa avalação é aplcada da mesma orma para qualquer tpo de ndvíduo S k, assm consderados os esquemas e estruturas. Um problema a ser modelado em ACG deve ser tratado como um problema de otmzação b-obetvo (PBO): mn { g( Sk ) ( Sk )} ma { ( Sk )} Sueto a g( Sk ) ( Sk ) Para qualquer problema de otmzação, o PBO é ormulado da mesma orma: mamzar a unção obetvo e mnmzar o ntervalo (-g). O processo evolutvo consdera um lmar de reeção adaptatvo que contempla ambos os obetvos do PBO, que é calculado a partr de um rankng δ atrbuído a cada ndvíduo da população, dado pela órmula: d. G δ = ma d. [ g( S k ) ( S k )] [ G g( S )] ma k onde d [0, 1] e Gma é um lmtante superor, cuo valor é 10% acma da soma da população de todos os pontos de demanda. É dendo, anda, o parâmetro α, que está relaconado com o tempo de evolução da população e serve para elmnar os ndvíduos mal adaptados (δ(s k ) α). Consderando-se que os bons esquemas precsam ser preservados para serem recombnados, α é ncado com o valor 0 (zero) e é lentamente ncrementado, de geração em geração. Desde que são crados, os esquemas e estruturas recebem os seus correspondentes valores de rankng (δ), que são comparados com o parâmetro α. Todo ndvíduo com δ(s k ) α é consderado mal adaptado e é elmnado da população. Conseqüentemente, os ndvíduos com maores δ são os melhores em relação ao PBO, sobrevvem por mas gerações e se reproduzem mas. Com sso, a população no tempo de evolução α (P α ) possu tamanho dnâmco de acordo com o valor de α, podendo ser esvazada durante o processo. Sempre o melhor ndvíduo de cada geração é guardado e dene a melhor solução encontrada. O operador de seleção escolhe duas estruturas para o cruzamento. A prmera, denomnada base, é obtda dos 20% melhores ndvíduos da população. A segunda, denomnada gua, é seleconada na população total. O operador de cruzamento compara essas duas estruturas em posções correspondentes, gerando uma nova estrutura lha. Na mplementação do AGC, oram utlzados os operadores de seleção e de cruzamento sugerdos em Furtado (1998) [4] para o problema das p-medanas. O operador de mutação az uma troca de um centro com um vznho que não tem a sua demanda atendda por alguém. Isso aumenta a chance de todos os pontos de demanda serem centros. As restrções apresentadas na ormulação do problema oram tratadas na avalação da unção obetvo ou na própra denção do ndvíduo, que utlza o dígto 1 para o vértce que representa um centro (no mámo p centros), 2 para o vértce que representa um ponto de demanda e 3 para o vértce curnga. Este últmo é um ponto anda não dendo para o problema, que poderá tornar-se um centro ou um ponto de demanda durante a evolução do processo. A gura 2 mostra um possível ndvíduo para um problema com quatro centros e trnta nós Fgura 2 Possível ndvíduo para um problema com quatro centros e trnta nós 7

8 4. EXPERIÊNCIA COMPUTACIONAL A heurístca Lagrangena e o AGC oram testados na rede de 30 vértces, ornecda em Maranov e Serra (1998) [13], e em uma de 324 vértces, obtdos de uma base de dados geográcos da cdade de São José dos Campos-SP, acrescda da população ctíca em cada ponto de demanda. Esta últma está dsponível em Város problemas oram montados, varando-se os parâmetros p, b, µ, α e τ. Os resultados dessas duas abordagens oram comparados aos obtdos pelo uso do sotware comercal CPLEX 7.5 [9]. Os valores apresentados no artgo de Maranov e Serra (1998) [13] oram obtdos pelo uso do mesmo sotware comercal, porém na versão 3.0. A nova versão, 7.5, mostrou melhores resultados. Para a mplementação do problema de máma cobertura, os centros de servços oram consderados postos de saúde, com um médco em cada centro. Cada ponto de demanda é um potencal centro de atendmento e as dstâncas são eucldanas. Para os problemas com 30 pontos oram consderados: rao de cobertura gual a 1,5 mlhas, tempo de atendmento gual a 20 mn; taa de chamada gual a 0,015 população do ponto de demanda para as restrções do comprmento da la e 0,006 população do ponto de demanda para as restrções do tempo de espera na la. Para os problemas com 324 pontos consderou-se: rao de cobertura gual a 250m, tempo de atendmento gual a 15 mn; taa de chamada gual a 0,010 população do ponto de demanda, tanto para as restrções do comprmento da la, como para as restrções do tempo de espera. As tabelas 1 e 2 mostram os resultados obtdos na avalação da unção obetvo por todos os métodos. Os valores de Gap Cple e Gap Lag guas a zero denem que o valor ótmo o obtdo para o respectvo método. Esses valores são calculados por: 100*(Lmte Superor Lmte Ineror)/(Lmte Ineror), e ornece, em porcentagem, o gap entre esses lmtantes. Os nomes dos problemas oram codcados do segunte modo: quantdade de pontos, quantdade de centros, tpo de restrção (0 para a quantdade de pessoas na la e 1 para o tempo de espera), quantdade de pessoas na la ou tempo de espera, e probabldade. Eemplo: 324_20_0_2_95, que sgnca 324 pontos, 20 centros, restrção para a quantdade de pessoas na la, mámo de 2 pessoas na la com probabldade, no mínmo, de 95%. Os problemas com 324 pontos oram resolvdos em um computador Pentum IV 3GHz com 1GB RAM, e os de 30 pontos, em uma máquna Pentum III 800MHz com 384 MB RAM. Os programas para o aconamento do CPLEX e para a relaação Lagrangeana oram codcados em C++ e o AGC, em Obect Pascal. As soluções encontradas para o AGC são uma méda de 05 (cnco) eecuções. O tempo para a obtenção das soluções do CPLEX o lmtado em 2 horas (7200s). Os valores do campo Desvo reletem o erro relatvo da solução méda do AGC em relação à melhor solução prmal encontrada e é calculada pela órmula: Desvo = ( Ma( SoluçãoCple, Lb da relaação Lagrangeana) Solução méda do AGC) Ma( SoluçãoCple, Lb da relaação Lagrangeana) Portanto, os valores negatvos do desvo ndcam que a solução méda do AGC o melhor do que as demas. A tabela 1 compara os métodos utlzados em 24 problemas em uma rede de 324 pontos. As colunas são dvdadas em quatro classes: o nome do problema, a solução do CPLEX, a solução da relaação Lagrangeana e a do AGC. Na coluna reerente ao CPLEX são ornecdos: a solução ntera vável e o gap obtdos do CPLEX, com o tempo de todos os problemas lmtados em 7200s, eceto para os problemas marcados com um *, que dene uma parada na eecução por alta de memóra. Na coluna reerente à relaação Lagrangeana são ornecdos os lmtantes neror (Lb) e superor (Ub) com o gap entre eles e o tempo de eecução. Os resultados do AGC são apresentados com a melhor solução, o valor médo para 8

9 cnco eecuções de cada problema e o desvo. Para cada problema, o valor em negrto mostra a melhor solução. De modo geral, a relaação Lagrangeana apresentou melhores resultados do que o CPLEX em um tempo computaconalmente menor. O AGC orneceu melhores resultados em 18 problemas, 75%, em tempos bastante compettvos em relação às demas soluções. Problema CPLEX Relaação Lagrangeana AGC Solução Gap Cple (%) Lb Ub Gap Lag (%) Tempo (s) Melhor solução Solução méda 9 Tempo (s) Desvo % 324_10_0_0_ , , ,61 0,23 324_10_0_1_ * 0, , ,22 0,13 324_10_0_2_ , , ,12 0,46 324_10_0_0_ , , ,85 0,28 324_10_0_1_ , , ,82-0,03 324_10_0_2_ , , ,11 0,09 324_20_0_0_ , , ,72-0,75 324_20_0_1_ , , ,19 0,22 324_20_0_2_ , , ,18-0,24 324_20_0_0_ , , ,48 0,02 324_20_0_1_ , , ,27 0,44 324_20_0_2_ * 6, , ,65 0,14 324_10_1_40_ , , ,58 0,26 324_10_1_41_ * 2, , ,62-0,01 324_10_1_42_ , , ,45 0,19 324_10_1_48_ , , ,14 0,20 324_10_1_49_ , , ,21 0,42 324_10_1_50_ , , ,43 0,21 324_20_1_40_ * 4, , ,82 0,28 324_20_1_41_ * 5, , ,35 0,16 324_20_1_42_ * 1, , ,87-0,92 324_20_1_48_ , , ,71 0,51 324_20_1_49_ * 4, , ,10-0,28 324_20_1_50_ , , ,63 0,28 Tabela 1 Comparação entre os resultados para a rede de 324 nós A tabela 2 compara os métodos utlzados para uma rede de 30 pontos em 55 problemas. As colunas também são dvddas nas mesmas quatro classes, porém a prmera contém um tem a mas, que mostra o tempo de eecução do CPLEX, anda lmtado em 7200s. Város valores ótmos oram encontrados em todos os métodos. Em 36 casos, cerca de 65%, todos os métodos encontraram os mesmos valores para a solução. Apesar de problemas pequenos, com poucos pontos, em 27 casos, cerca de 49%, o CPLEX não encontrou o valor ótmo no tempo lmte estpulado. Dentre esses, 17 casos, cerca de 31%, a relaação Lagrangeana encontrou o valor ótmo em poucos segundos. O AGC contnua ornecendo bons resultados em tempos bastante compettvos em relação às demas soluções. Para cada problema, o valor em negrto mostra a melhor solução. Problema CPLEX Relaação Lagrangeana AGC Solução Gap (%) Tempo (s) Lb Ub Gap (%) Tempo (s) Melhor solução Solução méda Tempo (s) Desvo % 30_2_0_0_ , ,29 0,00 30_3_0_0_ , ,64 0,00 30_4_0_0_ , ,12 0,00 30_2_0_1_ , ,39 0,20 30_3_0_1_ , ,97 0,00 30_4_0_1_ ,28 0,00 30_2_0_2_ , ,57 0,00 30_3_0_2_ , ,85 0,00 30_4_0_2_ ,32 0,00 30_2_0_0_ ,74 0,00 30_3_0_0_ ,10 0,00

10 30_4_0_0_ , ,68 0,00 30_5_0_0_ , , ,15 0,00 30_6_0_0_ , ,40 0,30 30_2_0_1_ , ,21 0,00 30_3_0_1_ , ,57 0,57 30_4_0_1_ , ,32 0,00 30_5_0_1_ ,03 0,00 30_2_0_2_ , ,29 0,18 30_3_0_2_ , ,92 0,00 30_4_0_2_ ,09 0,00 30_3_1_48_ , ,07 0,00 30_4_1_48_ , ,49 0,00 30_5_1_48_ , ,50 0,42 30_6_1_48_ , ,69 1,39 30_7_1_48_ , , ,15 1,61 30_8_1_48_ , ,36 0,00 30_3_1_49_ , ,09 0,00 30_4_1_49_ , ,53 0,07 30_5_1_49_ , , ,10 0,28 30_6_1_49_ , , ,04 0,23 30_7_1_49_ , , ,35 0,40 30_3_1_50_ , ,46 0,00 30_4_1_50_ , ,95 0,05 30_5_1_50_ , ,08 0,00 30_6_1_50_ , ,60 0,00 30_7_1_50_ , ,01 0,00 30_2_1_40_ , ,09 0,66 30_3_1_40_ , , ,11 0,87 30_4_1_40_ , , ,38 0,82 30_5_1_40_ , , ,65 1,64 30_6_1_40_ , , ,02 0,00 30_7_1_40_ , ,35 0,00 30_8_1_40_ , ,94 0,00 30_2_1_41_ ,19 0,00 30_3_1_41_ , ,16 0,30 30_4_1_41_ , ,45 0,28 30_5_1_41_ , ,00 0,45 30_6_1_41_ , , ,61 1,01 30_7_1_41_ , ,89 0,37 30_8_1_41_ ,06 0,00 30_2_1_42_ , ,89 0,00 30_3_1_42_ , ,29 0,00 30_4_1_42_ , ,81 0,00 30_5_1_42_ , ,19 0,00 5. CONCLUSÃO Tabela 2 Comparação entre os resultados para a rede de 30 nós Este trabalho apresentou uma comparação entre soluções para uma ormulação encontrada na lteratura para o Problema Probablístco de Localzação-Alocação de Máma Cobertura. Os resultados obtdos mostram que as abordagens da relaação Lagrangeana e AGC são compettvas para a resolução desse problema, em tempos computaconas razoáves. Para váras nstâncas de 30 nós, os valores ótmos oram encontrados. Portanto, esses resultados valdam a aplcação dessas abordagens para o QM-CLAM. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Church, R. L.; ReVelle, C. Mamal coverng locaton problem, Papers o the Regonal Scece Assocaton, v. 32, p , [2] Daskn, M. S. Network and dscrete locaton: models, algorthms and applcatons. New York, NY: John Wley & Sons, Inc,

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