Estimação Empírica da Distribuição da Estatística de Teste para o Sensoriamento Espectral por Máximo Autovalor sob a Hipótese H 1

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1 Estmação Empírca da strbução da Estatístca de este para o Sensoramento Espectral por Máxmo Autovalor sob a Hpótese H 1 João S. eto, ayan A. Gumarães e Rausley A. A. de Souza Resumo este artgo é mostrado que a dstrbução Log- Pearson 3P é uma boa aproxmação para a função densdade de probabldade da estatístca de teste para detecção por máxmo autovalor (ME) no sensoramento espectral cooperatvo em aplcações de rádo cogntvo, sob a hpótese de que o snal transmtdo pela rede prmára está presente. Este resultado complementa os já exstentes na lteratura que consderam a hpótese de que o snal transmtdo não está presente. Em conjunto, estes resultados são útes para a concepção e avalação de desempenho da técnca ME em termos das probabldades de falso alarme e de detecção. Palavras-Chave etecção por máxmo autovalor, rádo cogntvo, sensoramento espectral por autovalores. Abstract In ths paper t s showed that the Log-Pearson 3P s a good approxmaton of the probablty densty functon of the maxmum egenvalue detecton (ME) test statstc for cooperatve spectrum sensng n cogntve rado applcatons, under the hypothess that the prmary transmtted sgnal s present. hs result complements those already avalable n the lterature, whch consder the hypothess that the transmtted sgnal s not present. Jontly, these results are useful for the desgn and performance assessment of the ME technque n terms of the false alarm and detecton probabltes. Keywords Cogntve rado, egenvalue-based spectrum sensng, maxmum egenvalue detecton. I. IROUÇÃO A polítca de alocação espectral vgente é conhecda como polítca de alocação fxa. Para cada sstema de comuncação sem fo é destnada uma banda de frequêncas e sua utlzação normalmente é vnculada ao pagamento de uma lcença de uso. Porém, como o espectro é lmtado, observa-se que em determnadas faxas não há mas espaço para alocar novos servços. al fato servu de motvação para pesqusas que concluíram que grande parte das faxas de frequênca já alocadas encontra-se subutlzada [1, ]. este contexto surge então o conceto de Rádo Cogntvo (RC) [3], uma revoluconára tecnologa que tem potencal para ser o novo paradgma em comuncações sem fo. Através do sensoramento espectral, tarefa fundamental a ser desempenhada por um RC, é possível detectar partes do espectro de frequêncas alocadas aos chamados usuáros prmáros ou lcencados e que estejam temporaramente fora de uso, permtndo assm o acesso oportunsta por parte dos usuáros secundáros ou não lcencados (os RCs). O sensoramento espectral pode ser realzado de forma ndependente por cada rádo cogntvo ou pode ser realzado de manera cooperatva, sendo que esta últma tem potencal para operar de forma mas efcaz e é a que tem sdo mas explorada nas pesqusas recentes. Pouco mas de dez anos se passaram desde que o conceto de Rádo Cogntvo fo proposto. Váras técncas de sensoramento espectral foram propostas, dentre elas podendo ser ctadas a detecção por fltro casado, a detecção por atrbutos ou propredades cclo-estaconáras do snal e a detecção de energa [4, 5]. Entre as técncas de detecção mas recentes e promssoras estão aquelas baseadas nos autovalores da matrz de covarânca do snal recebdo [6-8]. Merece destaque especal a técnca ME cooperatva, também conhecda como teste de Roy de máxma raz (RLR, Roy s Largest Root est) [7] ou como detecção de energa com combnação cega (BCE, Blndly Combned Energy etecton) [8], a qual apresenta o melhor desempenho sob o modelo de sstema aqu adotado [7]. A. rabalhos Relaconados uas fguras de mérto assocadas ao desempenho do sensoramento espectral são a probabldade de falso alarme, P FA, e a probabldade de detecção P. A probabldade de falso alarme representa a probabldade de se decdr que o snal prmáro está presente na banda de frequêncas sensorada, sendo que de fato ele não está presente. A probabldade de detecção representa a probabldade de se decdr que o snal prmáro está presente, sendo que ele realmente está presente na banda sensorada. Para a técnca ME cooperatva, a determnação de P FA e P de forma analítca passa pelo conhecmento da função densdade de probabldade (fdp) da estatístca de teste, que é o máxmo autovalor da matrz de covarânca. Sob a hpótese H 0, ou seja, consderando que o snal prmáro não está presente na banda de frequêncas a ser sensorada, a matrz de covarânca do snal recebdo é uma matrz Wshart [9], podendo-se a partr dela encontrar a fdp da estatístca de teste e, a partr desta, a P FA [8]. Sob a hpótese H 1, ou seja, consderando que o snal prmáro está presente, anda não há solução exata para a dstrbução dos autovalores da matrz de covarânca do snal recebdo, sob o modelo aqu consderado, representando este um mportante desafo para novas pesqusas. O modelo a que se refere este trabalho consdera que os snas transmtdos pela rede prmára, antes de chegarem aos RCs, passam por um canal com desvanecmento Raylegh plano e com ruído João S. eto, ayan A. Gumarães, Rausley A. A. de Souza, Insttuto aconal de elecomuncações Inatel, Santa Rta do Sapucaí-MG, Brasl, , E- mals: jscudeler_neto@yahoo.com.br, dayan@natel.br, rausley@natel.br.

2 AWG (addtve whte Gaussan nose). Este modelo melhor se adéqua a um cenáro real, se comparado com aqueles que consderam apenas o efeto do ruído AWG, os quas são comumente adotados na análse da dstrbução de autovalores da matrz de covarânca do snal recebdo. Além dsso, a maor parte das análses é assntótca. ela, o número de lnhas (número de RCs sob cooperação) e de colunas (número de amostras colhdas por cada RC) da matrz de covarânca tendem a nfnto, mantendo-se constante a relação entre eles. Apenas mas recentemente começaram a ser publcados resultados obtdos a partr de análses não assntótcas, consderando números realstas de RCs e amostras. Claramente a análse assntótca resulta em uma manpulação matemátca facltada se comparada à análse não assntótca. A publcação mas recente sobre o assunto conhecda pelos autores apresenta de manera unfcada os mas mportantes resultados já obtdos no que dz respeto à análse teórca das dstrbuções de autovalores ou de estatístcas de teste baseadas em autovalores, tanto do ponto de vsta assntótco quando não assntótco [10]. Entretanto, tal publcação não contempla o modelo adotado neste artgo. Em [11, Cap. 1] adota-se um modelo smlar àquele aqu consderado e uma análse não assntótca do máxmo autovalor da matrz de covarânca tanto sob a hpótese H 0 quanto sob a hpótese H 1. Entretanto, como os própros autores lá afrmam, o uso das correspondentes dstrbuções de probabldade é bastante complexo em termos computaconas, posto que envolve determnantes de matrzes cujos elementos são funções especas, [11, eqs. (5) e (8)]. Em [8] a elevada complexdade computaconal é atrbuída ao cálculo de valores da função hpergeométrca com argumento matrcal. B. Contrbuções e Estrutura do Artgo Este trabalho propõe contrbur em parte com a solução dos problemas supramenconados, através de uma análse empírca em que a fdp da estatístca de teste sob a hpótese H 1 na técnca ME é determnada, permtndo que se obtenha uma expressão fechada smples para o cálculo da P. O restante do artgo está organzado da segunte manera: a Seção II apresenta o prncípo de operação da técnca ME cooperatva. a Seção III é abordado o método empírco utlzado na estmação da fdp do máxmo autovalor da matrz de covarânca do snal recebdo sob a hpótese H 1. A Seção IV traz resultados de smulação. A conclusão do trabalho está presente na Seção V. II. A ÉCICA ME COOPERAIVA o sensoramento cooperatvo centralzado, dados coletados por cada RC em cooperação (por exemplo, amostras de snal recebdo) são envados a um centro de fusão (CF) por meo de um canal de controle. A este processo dá-se o nome de fusão de dados (data-fuson). epos de processar os dados recebdos dos RCs, o CF decde sobre o estado de ocupação do canal sensorado. O sensoramento cooperatvo centralzado também pode ser executado a partr de decsões sobre o estado de ocupação do canal montorado, tomadas por todos os RCs em cooperação. este caso tem-se o que é denomnado fusão de decsões (decson-fuson), onde as decsões tomadas pelos RCs são combnadas no CF através de operações artmétcas bnáras antes que a decsão fnal seja tomada. Em ambos os esquemas centralzados a decsão fnal é nformada aos RCs va canal de controle, segundo-se o algortmo de acesso adotado pela rede secundára. este artgo consdera-se o sensoramento cooperatvo centralzado do tpo fusão de dados, para o qual comumente adota-se o modelo de canal MIMO (multple nput, multple output) dscreto no tempo e sem memóra. Em uma de suas varantes admte-se que haja m antenas em um RC ou m RCs com antenas smples, cada um coletando n amostras dos snas recebdos de p transmssores prmáros durante um período de sensoramento. as amostras são arranjadas em uma matrz Y m n. e forma análoga, as amostras referentes ao snal transmtdo pelos p transmssores prmáros são arranjadas em uma matrz X p n. Seja H m p a matrz de canal com elementos {h j }, = 1,,..., m e j = 1,,..., p, os quas representam o ganho do canal entre o j- ésmo transmssor prmáro e o -ésmo sensor (elemento em um arranjo de antenas ou receptor com antena smples). Fnalmente, seja V m n a matrz que contém as amostras de ruído térmco que contamnam o snal recebdo pelos m sensores. A matrz de amostras do snal recebdo é então dada por Y = HX + V. o sensoramento cooperatvo baseado em autovalores, as lacunas espectras são detectadas por meo de um teste de hpóteses baseado nos autovalores da matrz de covarânca do snal recebdo, a qual tem sua estmação de máxma verossmlhança dada pela méda amostral R = (YY )/n, onde sgnfca conjugado transposto. O máxmo autovalor de R, λ max, é então computado e a estatístca de teste ME é calculada através de [7] λmax =, (1) onde é a potênca méda do ruído térmco na entrada de cada RC, a qual admte-se ser conhecda a pror ou estmada. A partr de (1) utlza-se o segunte algortmo de detecção: se > γ, consdera-se que o snal prmáro está presente na banda de frequêncas sensorada; caso contráro consdera-se que o snal prmáro não está presente, onde γ representa o lmar de decsão utlzado pelo centro de fusão. Logo a probabldade de detecção de tal algortmo é defnda por P [ > H ] = f ( t)dt = Pr, () γ 1 onde f (t) representa a função densdade de probabldade da varável de decsão sob a hpótese H 1. III. γ ESIMAÇÃO A ISRIBUIÇÃO A ESAÍSICA E ESE A proposta desta seção é determnar a dstrbução f (t) através de uma análse empírca fundamentada no teste de aderênca (goodness-of-ft) de Kolmogorov-Smrnov [1], para posterormente aplcá-la na determnação de uma expressão para o cálculo de P em função do lmar de decsão γ. A. O este de Kolmogorov-Smrnov Com base em um conjunto de dados provenentes da observação da varável aleatóra de decsão é possível seleconar dstrbuções de probabldade teórcas que a represente. A fm de se realzar esta seleção pode-se utlzar, dentre outros, o teste de aderênca de Kolmogorov-Smrnov [1]. Seja F(t) a dstrbução de probabldade cumulatva teórca assumda para os dados estudados e F (t) a dstrbução de probabldade cumulatva empírca defnda como

3 1 F ( t) = ( I( t ) t), (3) = 1 onde t representa a observação, = 1,,...,, da varável aleatóra em questão e a função ndcadora I(t ) vale 1 se t t e 0 caso contráro. efne-se a varável do teste de Kolmogorov-Smrnov como a máxma dstânca vertcal entre as funções teórca F(t) e empírca F (t) nos pontos t e t -1 : [ F( t ) F ( t ), F ( t ) F( t )] = 1 max 1. (4) A partr de uma análse de têm-se duas hpóteses: 1) a dstrbução seleconada representa os dados de forma adequada, denomnada de hpótese H A, ) a dstrbução seleconada não representa os dados de forma adequada, denomnada de hpótese H B. Quando > 40, caso consderado neste trabalho, a hpótese H A será rejetada se for maor que o valor crítco apresentado na abela I para dferentes níves de sgnfcânca α. Para valores de 40 o prncípo é o mesmo, porém os valores crítcos podem ser obtdos através da tabela dsponível em [16]. Um nível de sgnfcânca α menor corresponde a uma chance maor de a dstrbução empírca apresentar um valor crítco maor, ou seja, de estar menos aderente à dstrbução teórca sob análse. Assm, quanto maor o nível de sgnfcânca, mas severo é o teste de aderênca. Caso seja menor que o valor crítco consderado, concluí-se que os dados analsados seguem a dstrbução estpulada com (1 α) 100% de confança. ABELA I. VALORES CRÍICOS PARA O ESE E KOLMOGOROV- SMIROV. α 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 1,07 1, 1,36 1,5 1,63 Valor Crítco B. Base de ados Para obter uma amostra de tamanho da varável de decsão, utlzou-se o programa em Mathcad presente no Apêndce. Seu prncípo de funconamento consste em gerar as matrzes X, V e H segundo modelo apresentado na Seção II, calcular Y = HX + V, determnar a matrz de covarânca R = (YY )/n, extrar seu máxmo autovalor e por fm computar a estatístca de teste como defnda em (1). Assm, ao fnal de terações se obtém a amostra desejada. Para geração das matrzes X, V e H foram consderados 36 conjuntos de valores para os parâmetros m (número de RCs), n (número de amostras colhdas por cada RC) e SR (relação snal-ruído SR), consderando um transmssor prmáro (p = 1). Com estes valores foram obtdas 36 amostras de tamanho = da varável de decsão. C. Análse e etermnação da strbução de sob H 1 Para se determnar emprcamente a dstrbução de probabldade defnda em (3) para cada amostra da varável de decsão e posterormente atrbur a cada uma um conjunto de dstrbuções de probabldade teórcas que as descrevem de manera adequada, utlzou-se o teste de aderênca de Kolmogorov-Smrnov mplementado pelo programa EasyFt [14]. A abela II apresenta a classfcação das 10 dstrbuções mas bem colocadas nos testes de aderênca, bem como o número de vezes em que cada uma esteve presente entre as 1 prmeras colocadas nos 36 testes realzados. A dstrbução Log-Pearson 3P [15] esteve entre as 1 prmeras colocadas em 36 dos 36 testes, sendo classfcada em 1º lugar em apenas um deles e em 11º em 3 deles. Entretanto, mesmo estando em 11º ou 1º lugar, ela fo aceta no teste de aderênca para o crtéro mas severo (maor nível de sgnfcânca). Embora a dstrbução Lognormal 3P tenha sdo colocada entre as 1 prmeras com a mesma frequênca de ocorrênca que a Log- Pearson 3P, ela fcou em 8º e 9º lugares mutas vezes e, por esta razão, fo colocada na segunda classfcação na abela II. Conclu-se, desta manera, que tal dstrbução representa uma boa estmatva para a dstrbução da estatístca de teste sob a hpótese H 1 para os casos nvestgados. ABELA II. FREQUÊCIA E OCORRÊCIA AS ISRIBUIÇÕES. Classfcação strbução Frequênca 1 Log-Pearson 3P 36 Lognormal 3P 36 3 Fatgue Lfe 3P 34 4 Gen. Gamma 4P 33 5 Gamma 3P 8 6 Gen. Extreme Value 8 7 Johnson SB 8 8 Pearson 5 3P 8 9 Wakeby 4 10 Pearson 6 4P 3 A função densdade de probabldade da dstrbução Log Pearson 3P é dada por f ( t) ( ) a 1 1 ln( t) c ln( t) c = exp t b Γ a b b, (5) onde a, b e c são, respectvamente, os parâmetros de forma, escala e posção de tal dstrbução e Γ(x) é a função Gamma. a abela III estão lstados os parâmetros m, n e SR utlzados nos testes de aderênca supramenconados e os correspondentes parâmetros a, b e c da dstrbução Log- Pearson 3P obtdos pelo teste de aderênca de Kolmogorov- Smrnov realzado pelo EasyFt. e posse desta tabela pode-se efetuar o cálculo teórco da probabldade de detecção P para quasquer das combnações de parâmetros lstadas. Por fm, substtundo (5) em () tem-se a segunte expressão fechada para P : ln Γ a, P = Γ ( t) ( a) c b, onde Γ(x, y) é a função Gamma ncompleta.. Resultados de Smulação A Fgura 1 mostra três funções densdade de probabldade Log-Pearson 3P, obtdas por meo da eq. (5), para três dos conjuntos de parâmetros da abela III e as correspondentes densdades empírcas obtdas por smulação. Observa-se que há grande aderênca, conforme comprovado pelo teste de Kolgomorov-Smrnov. A Fgura traz a relação P versus γ para dos conjuntos de valores de m, n e SR dferentes daqueles fornecdos na (6)

4 abela III, a saber: (SR, m, n) = (0 db,, 4) e (0 db,, 5). A razão para a escolha destes valores fcará clara logo adante. As curvas tracejada e contínua representam cálculos teórcos realzados através da expressão (6) e os quadrados e círculos correspondem a resultados va smulação de Monte Carlo. 1 corresponde ao uso da matrz de covarânca nr = YY no programa em Mathcad presente no Apêndce. ABELA III. ALGUS VALORES PARA m, n E SR COM A RESPECIVA RELAÇÃO COM OS PARÂMEROS a, b E c A ISRIBUIÇÃO LOG-PEARSO 3P. SR, db m n a b c ,63 0,0686 0, ,185 0,0594 1, ,769 0,0580, ,55 0,007 4, ,18 0,005 1, ,38 0,038 1, ,4 0, , ,49 0,06 10, ,31 0, , ,815 0,068 4, ,4 0,0017 3, ,69 0,007 7, ,4 0,003 16, ,06 0,0046, , 0,0009 0, , , ,8 0,0034, ,76 0,0046 4, ,8 0,0031 7, ,63 0,0536 3, ,8646 0,0634 4, ,61 0,067 1, ,51 0,0491 3, ,031 0,0471 4, ,638 0,046, ,745 0,053 3, ,56 0,0178 3, ,07 0,051 14, ,733 0, , ,77 0, , ,89 0,0435 1, ,89 0,065 10, ,396 0, , ,73 0, , ,41 0, , ,598 0, ,718 Observa-se na Fgura que há grande aderênca entre os resultados teórcos e aqueles obtdos por smulação. Vale ressaltar que a faxa de varação do lmar de decsão na Fgura Fg. 1. Funções densdade de probabldade teórcas e obtdas por smulação (empírcas). A Fgura 3 apresenta curvas ROC (recever operatng characterstc) consderando os mesmos conjuntos de parâmetros da Fgura. Para város valores do lmar de decsão, as correspondentes probabldades de falso alarme foram calculadas usando a expressão exata da dstrbução cumulatva do máxmo autovalor, fornecda em [8, eq. (10)]. A solução de tal expressão pressupõe o uso da rotna para cálculo da função hypergeométrca com argumento matrcal proposta em [16]. urante os cálculos envolvendo tal rotna verfcou-se que pode haver problemas de convergênca do algortmo proposto pelo autor, quem generosamente revelou aos autores deste artgo que se trata de um comportamento prevsível e nevtável para certos argumentos matrcas da função hypergeométrca, traduzdos aqu em certos valores de m, n e γ. Fg.. Curva teórca e obtda por smulação para P versus γ. Segundo o autor de [16], a rotna para cálculo da função hypergeométrca com argumento matrcal utlza a sére de aylor, a qual apresenta problemas de convergênca em artmétca de precsão fnta: certos valores dos argumentos da função hypergeométrca, produzem termos de valor elevado que se cancelam antes que a sére convrja. Por esta razão, os parâmetros escolhdos para gerar as Fguras e 3 foram aqueles que, dentre poucos, não produzram problemas de

5 convergênca na rotna para cálculo da função hypergeométrca. e posse do conjunto de lmares de decsão, as probabldades de detecção foram estmadas por smulação de Monte Carlo. Juntamente com os resultados apresentados nas Fguras 1 e, os resultados da Fgura 3 permtem afrmar que a dstrbução Log-Pearson 3P é realmente uma boa aproxmação para a função densdade de probabldade da estatístca de teste ME sob a hpótese de que o snal transmtdo pela rede prmára está presente. Fg. 3. ROCs teórcas e obtdas por smulação. IV. COCLUSÕES A partr da análse empírca baseada no teste de aderênca de Kolmogorov-Smrnov fo possível estmar a função densdade de probabldade da estatístca de teste (1) para o caso onde cada rádo cogntvo recebe snal mas ruído, sto é, quando o snal prmáro está presente na banda de frequêncas sensorada (hpótese H 1 ). Graças a este resultado é possível computar faclmente a probabldade de detecção do algortmo de sensoramento baseado no máxmo autovalor da matrz de covarânca do snal recebdo. Uma extensão natural deste trabalho consste em realzar um número de testes de aderênca com uma gama maor de parâmetros sstêmcos m, n e SR para, em seguda, procurar uma relação matemátca entre tas parâmetros e os parâmetros a, b e c da dstrbução Log-Pearson 3P. Isto facltara anda mas as nvestgações sobre a probabldade de detecção em outros cenáros além daqueles consderados na abela III. Outra extensão natural sera a determnação empírca da dstrbução da estatístca de teste sob as hpóteses H 0 e H 1, com mas de um transmssor prmáro (p > 1). REFERÊCIAS [1] M. A. McHenry, P. A. enhula and. McCloskey, Chcago Spectrum Occupancy Measurements & Analyss and a Long-term Studes Proposal, Shared Spectrum Co. report, ovember 005. [] M. H. Islam et al., Spectrum survey n Sngapore: occupancy measurements and analyss, n Proceedngs of the CROWCOM 08, Sngapore, May 008. [3] J. Mtola, Cogntve rado: An ntegrated agent archtecture for software defned rado, octor of echnology, KH, Sweden, 000. [4] Y. Zeng, et al., A Revew on Spectrum Sensng for Cogntve Rado: Challenges and Solutons, EURASIP Journal on Advances n Sgnal Processng, vol [5] I. F. Akyldz, B. F. Lo, and R. Balakrshnan, Cooperatve Spectrum Sensng n Cogntve Rado etworks: A Survey, Elsever Physcal Comm. 4, pp. 40-6, 010. [6] A. Kortun, et al., On the Performance of Egenvalue-Based Cooperatve Spectrum Sensng for Cogntve Rado, IEEE J. of Selected opcs In Sgnal Processng, vol. 5, no. 1, February 011. [7] B. adler, F. Penna, and R. Garello, Performance of Egenvalue-based Sgnal etectors wth Known and Unknown ose Level, In: Proc. of the IEEE ICC, Kyoto, Japan, June 011. [8] A. Kortun,. Ratnarajah, and M. Sellathura, Exact Performance Analyss of Blndly Combned Energy etecton for Spectrum Sensng, IEEE PIMRC 10, 010. [9] Wkpeda contrbutors, Wshart strbuton, Wkpeda, he Free Encyclopeda: (accessed March 15, 01). [10] W. Zhang et al. Spectrum Sensng Algorthms va Fnte Random Matrces. IEEE rans. on Commun. Vol. 60, o. 1, Jan 01. [11] S. Cheng (Ed.), Foundaton of Cogntve Rado Systems. Croata: Intech Inc. 01. [1] Wkpeda contrbutors, Kolmogorov Smrnov test, Wkpeda, he Free Encyclopeda, 80%93Smrnov_test (accessed March 15, 01). [13] ERI LC, able 7: Kolmogorov-Smrnov test. Avalable: ppendx&fleame=able7 (accessed March 01). [14] EasyFt - strbuton Fttng Software. (accessed March 15, 01). [15] Wkpeda contrbutors, Pearson strbuton, Wkpeda, he Free Encyclopeda, (accessed March 15, 01). [16] P. Koev and A. Edelman, he Effcent Evaluaton of the Hypergeometrc Functon of a Matrx Argument, Math. Comp. 75 (006), pp APÊICE I O programa em Mathcad apresentado a segur tem como objetvo gerar uma amostra de tamanho da varável de decsão defnda em (1). Os parâmetros de entrada são, m, n, p e, sendo que este últmo pode assumr qualquer valor sem provocar alterações nos resultados. : = for for j 0.. p 1 j 1 1 H rnorm m,0, + j rnorm m,0, for k 0.. n 1 SR SR k X rnorm p,0, + j rnorm p,0, k V rnorm m,0, + j rnorm m,0, Y H X + V k k k nr Y ( Y ) ( ( )) max egenvals nr