Planejamento de Grade de Horário em uma Universidade Brasileira usando Algoritmos Genéticos

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1 Planejamento de Grade de Horário em uma Universidade Brasileira usando Algoritmos Genéticos Rosângela da Silva Nunes 1, Norton Coelho Guimarães 2, Cedric Luiz de Carvalho 3 1 Centro de Recursos Computacionais Universidade Federal de Goiás (UFG) Brazil 2 Instituto Federal Goiano Câmpus Morrinhos Brazil 3 Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás Brazil Abstract. This paper presents a genetic algorithm to solve the school timetabling problem applied to a brazilian university data set. The main idea of the proposed algorithm is to use a repair function after the application of crossover and mutation operators. This function aims to deal with the infeasable individuals. This algorithm was implemented and tested at a data set of the Instituto de Informátcia of the Universidade Federal de Goiás. The results had revealed that the proposed algorithmo generated better and fatest solutions than the basic genetic algorithms does. Resumo. Este artigo apresenta uma proposta para resolver o problema de alocação de horários através de Algoritmos Genéticos em uma universidade brasileira. A ideia principal do algoritmo proposto é a inclusão de uma função de reparação, após a aplicação dos operadores genéticos padrão, crossover e mutação, com o objetivo de tratar as infactibilidades dos indivíduos. Este algoritmo foi implementado e testado com dados do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás. Os resultados dos experimentos indicaram que o algoritmo proposto gera soluções mais próximas da ótima convergindo mais rapidamente do que os algoritmos genéticos básicos. 1. Introdução O problema de planejamento do quadro de horário universitário é um problema de otimização sujeito a restrições e tem sido estudado por diversos pesquisadores. A principal tarefa é encontrar um quadro de horários que satisfaça um conjunto de restrições. Estas restrições podem ser essenciais e não essenciais. As restrições essenciais são aquelas que, se não forem satisfeitas, geram um quadro de horários inviável, enquanto que as restrições não essenciais são aquelas que buscam melhorar a qualidade do

2 quadro. As restrições essenciais devem ser satisfeitas, pois, estão relacionadas a infactibilidades 1. As restrições não essenciais buscam melhorar as soluções encontradas. Este é um problema complexo do tipo NP-hard [Wang et al. 2009]. Estudos recentes demonstram que algoritmos genéticos tem sido empregado para resolver este tipo de problema devido à sua eficiência na resolução de problemas combinatórios [Jat and Yang 2011], [Raghavjee and Pillay 2010], [Wang et al. 2009], [Colorni et al. 1998]. Os algoritmos genéticos (AGs) baseiam-se nos princípios da genética e seleção natural, discutidos por Charles Darwin [Darwin 1859]. A ideia consiste na evolução de uma população, composta por muitos indivíduos, pela seleção dos mais aptos para recombinação e mutação, criando-se novas gerações de indivíduos. Os AGs são particularmente aplicados em problemas complexos de otimização, problemas com diversos parâmetros ou características que precisam ser combinadas em busca da melhor solução e que não podem ser representadas matematicamente [Huapt and Huapt 2004]. Dentre estes problemas destacam-se: o problema do caixeiro viajante, a decodificação de mensagem secreta, o planejamento de trajetória de robô, a otimização de redes neurais artificiais, o escalonamento de horários [Huapt and Huapt 2004], [Linder 2008]. Este artigo estuda o emprego de uma variação do algoritmo genético básico [Linder 2008]. Na variação proposta é incluída uma função de reparação com o objetivo de tratar as infactibilidades. O algoritmo proposto foi testado sobre uma base de dados do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás. O desempenho do algoritmo genético proposto foi comparado com o modelo básico. Este artigo está organizado da seguinte forma. Na seção 2, são discutidos alguns trabalhos relacionados. Na seção 3, o problema é apresentado. Na seção 4, a solução proposta é discutida e os experimentos e resultados são fornecidos na seção 5. Por último, as conclusões são apresentadas. 2. Trabalhos Relacionados Várias pesquisas têm aplicado diversas técnicas para encontrar boas soluções que possam resolver o problema de alocação de horários. Dentre estas técnicas, pode-se citar Tabu search, [Souza 2004], [Colorni et al. 1998], [Jat and Yang 2011], simulate annealing [Soares 2011], raciocínio baseado em casos [Burke et al. 2006], Algoritmos Meméticos [Coelho and de Souza 2006]. Também há vários estudos que aplicam algoritmos genéticos na solução destes problemas. Ellingsen e Penaloza [Ellingsen and Penaloza 2003], tratam da aplicação de algoritmos genéticos para resolver o problema de agendamento do horário de classe. O diferencial neste trabalho é a utilização de operadores de crossover somente entre linhas e, posteriormente, somente entre colunas. Uma das questões abordadas em muitos dos trabalhos analisados é a aplicação de diversos métodos para tratar as soluções infactíveis, ou seja, que não atendem as restrições essenciais. Em [Raghavjee and Pillay 2010], foi aplicado um algoritmo em que o pro- 1 Algo que não pode ser feito.[de Holanda Ferreira et al. 1999]

3 blema é resolvido em duas fases. Na primeira, é aplicado um algoritmo genético com o intuito de gerar soluções que atendem somente a restrições essenciais. Na segunda fase, a partir da população inicial gerada na primeira fase, são utilizados algoritmos genéticos para atender somente as restrições não essenciais. Em [Guo et al. 2011], foi proposta uma abordagem gulosa para gerar uma população inicial infactível e, posteriormente aplicouse algoritmos genéticos para otimizar a solução inicial encontrada. Os requisitos essenciais são aqueles que, se não forem satisfeitos, geram um quadro de horários inviável, enquanto que os requisitos não essenciais são aqueles que buscam melhorar a qualidade do quadro. Outros trabalhos [Aghagolzadeh 2007] e [Turabieh 2008], propõem o uso de uma função de reparação, introduzida após as operações de crossover e mutação, com o intuito de tratar as soluções infactíveis tornando-as factíveis. Em [Turabieh 2008] e [Colorni et al. 1998], é proposto o uso de métodos de busca local para melhoria da solução, buscando reduzir o número de violações das restrições não essenciais. Estes métodos normalmente são aplicados após a geração de cada população no processo de evolução. 3. O problema de planejamento da grade de horário O presente artigo investiga uma solução computacional para o planejamento da grade de horário e nos testes realizados para avaliar a solução proposta utilizou-se como base a grade de horários do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás. Este problema refere-se ao problema de horário escolar, também conhecido como Problema Classe-Professor, que trata da geração de quadros de horários das aulas semanais dos professores. O problema básico consiste em, dados os conjuntos classes, professores e períodos, encontrar uma grade de horário que atenda alguns requisitos. Os requisitos podem ser alterados de instituição para instituição tornando o problema de difícil generalização. Neste caso, as aulas são ministradas em um mesmo turno (manhã, tarde ou noite) e, para cada classe, há um professor e uma carga horária semanal para cada disciplina. O processo de elaboração dos horários dos professores desta instituição de ensino é elaborado em duas etapas. Primeiro, é definida uma grade de horários em que as disciplinas são fixadas em dias determinados, formando turmas. Em seguida, os professores são alocados às turmas conforme a sua preferência, obedecendo um conjunto de restrições. Nesta alocação, deve-se respeitar as seguintes restrições: 1. Um professor não pode ser associado a duas disciplinas que tenham aulas no mesmo horário; 2. Cada professor deve indicar três disciplinas com prioridade alta, três com prioridade média e três com prioridade baixa. O sistema deve alocar para um professor, as disciplinas que tenham maior prioridade; 3. Um professor deve ter de uma à três disciplinas por semestre; 4. Um professor deve ser associado a, pelo menos, uma disciplina de prioridade alta ou média, segundo suas preferências. 4. Solução Proposta A solução do problema proposta neste artigo, constitui-se de uma variação do algoritmo genético tradicional. Neste caso, propõe-se a inclusão uma função de reparação após a

4 aplicação dos operadores de crossover e mutação conforme Figura 1. Figura 1. Algoritmo proposto Após os operadores de crossover e mutação, os indivíduos podem representar soluções infactíveis. Muitos autores [Raghavjee and Pillay 2010], [Aghagolzadeh 2007], [Turabieh 2008], propõem a aplicação de uma função de reparação para tratar as soluções infactíveis geradas durante o processo evolucionário. O algoritmo proposto neste artigo apresenta um processo de reparação que assegura que todos os indivíduos infactíveis são reparados. A função de reparação proposta foi construída da seguinte forma: 1. Se há mais de um docente alocado para a mesma turma, é escolhido aleatoriamente um dos docentes para assumir a turma; 2. Se algum docente não está associado a nenhuma disciplina, é escolhida aleatoriamente uma disciplina para ele, observando-se os seguintes aspectos: disciplina sem professor alocado; choque de horário; docente com maior número de disciplina; 3. Se houver um mesmo docente que estiver alocado para mais de uma turma no mesmo horário, somente uma das turmas é escolhida aleatoriamente para o docente; 4. Se alguma turma não for associada a nenhum docente, o docente com o menor número turmas é associado à turma. Definir uma representação da solução é uma tarefa importante quando aplica-se Algoritmos Genéticos na solução de um problema. A matriz representada na Figura 2 é usada para resolver o problema em estudo. Nesta representação, uma linha representa um docente e uma coluna representa uma turma. Uma turma é definida por uma disciplina e o horário em que é ministrada. Uma célula contém uma informação binária indicando se o docente está ou não alocado para a turma. Por exemplo, observando-se a Figura 2, conclui-se que o docente 2 está alocado à disciplina 3 e o docente 3 não está alocado à disciplina 1. Para avaliar a qualidade de um quadro de horário, é necessário definir uma função de avaliação. Este é um tipo de problema que possui diferentes objetivos, os quais muitas vezes, são conflitantes entre si. Por exemplo: um professor não pode ser associado a duas disciplinas que tenham aulas no mesmo horário

5 Figura 2. Representação da solução e, ao mesmo tempo, deve ser associado a disciplinas conforme sua preferência. Observa-se na li-teratura [Coelho and de Souza 2006], [Raghavjee and Pillay 2010], [Aghagolzadeh 2007], [Turabieh 2008], [Colorni et al. 1998] que a maioria dos problemas de horários usam um única função que minimiza a soma dos pesos de penalidade para avaliar as soluções e um horário. A solução com a mais baixa penalidade total é retornada como resultado. Para avaliar um quadro de horário, os requisitos são separados em subconjuntos denominados requisitos essenciais e requisitos não essenciais. A Tabela 1 mostra os requisitos definidos para o problema analisado e quais foram os requisitos essenciais e não essenciais considerados neste trabalho. Tabela 1. Requisitos do problema estudado Requisitos Um professor não pode ser associado a duas disciplinas que tenham aulas no mesmo horário Um professor deve ficar, necessariamente, com de uma a três disciplinas por semestre Todas as disciplinas devem, necessariamente, estar associadas a um único docente Cada professor deve ser associado a pelo menos uma disciplina de prioridade 01 ou 02, segundo suas preferências Cada professor deve indicar três disciplinas com prioridade maior, três de prioridade média e três de prioridade baixa. O sistema deve, na medida do possível, alocar para um professor, as disciplinas que ele assinalou como de maior prioridade Classificação Essencial Essencial Essencial Não essencial Não essencial Colorni, em [Colorni et al. 1998], categoriza as restrições não essencias em nível de satisfação do requisitos didáticos, nível de satisfação dos requisitos organizacionais e nível de satifiação dos requisitos dos docentes. Então, uma solução Q foi avaliada, usando a seguinte função, definida por Colorni [Colorni et al. 1998]: f(q) = α f 1 (Q) + β 1 f 2 (Q) + β 2 f 3 (Q) + β 3 f 4 (Q) onde Q representa uma solução; f 1 (Q) é o número de infactibilidades; f 2 (Q) avalia o nível de satisfação dos requisitos didáticos; f 3 (Q) avalia o nível de satisfação dos

6 requisitos organizacionais e f 4 (Q) avalia o nível de satisfação dos requisitos dos docentes. α, β 1, β 2 e β 3 são as penalidades impostas para cada subconjunto de requisitos. Pode-se observar que uma solução somente é viável se f 1 (Q) for igual a zero. As penalidade α, β 1, β 2 e β 3 dadas refletem a importância relativa de cada uma delas. Para o problema estudado, a função f 1 (Q) foi definida como f 1 (Q) = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 onde: R 1 : é a soma das turmas não associadas a algum docente; R 2 : é a soma das turmas associadas a mais de um docente; R 3 : é a soma dos docentes não associados a alguma turma; R 4 : é a soma dos docentes associados a mais de três turmas; R 5 : é a soma dos docentes alocados em mais de uma turma no mesmo horário. Não foi definido nenhum requisito didático nem organizacional para o problema estudado, portanto, f 2 (Q) = 0 e f 3 (Q) = 0. A função f 4 (Q) foi definida como f 4 (Q) = R 6 + R 7, onde: R 6 : é a soma do número de docentes não associados a nenhuma turma de preferência 1 ou 2; R 7 : é a soma das disciplinas associadas aos docentes que não tiveram suas preferências respeitadas. Os valores para penalidades foram definidos com base nos experimentos de [Colorni et al. 1998], ou seja, α = 1000 e β 4 = 300. A população inicial foi escolhida aleatoriamente e o método de seleção dos indivíduos empregado foi o método da roleta viciada [Linder 2008]. O operador crossover empregado foi o de um ponto onde dois indivíduos são selecionados aleatoriamente da população, então, um gene é sorteado e as partes são recombinadas. Em relação ao operador de mutação, um gene é modificado aleatoriamente de cada indivíduo da população. 5. Experimentos e Resultados A solução proposta foi implementada em Java, empregando o framework Java Genetic Algorithms Package - JGAP. O JGAP é um componente que utiliza a linguagem JAVA para auxiliar na implementação de Algoritmos genéticos e programação genética. Ele fornece o mecanismo básico que pode ser facilmente usado para aplicar os princípios evolucionários na resolução de problemas. O JGAP foi projetado para ser facilmente utilizado e é altamente modular [Rotstan 2012]. O quadro de horários utilizado para o teste da solução da primeira etapa, ou seja, geração de quadro de horários de docentes, foi fornecido pelo Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás e refere-se às turmas oferecidas no primeiro semestre de 2012, do curso de Ciência da Computação (Figura 3). Ao todo são oferecidas 36 turmas aos alunos que foram distribuídas a 15 docentes. Conforme descrição do problema, cada docente deve informar a preferência por disciplinas. Nos testes realizados neste trabalho, tais preferências foram definidas aleatoriamente. O primeiro teste executado fez uma comparação entre o algoritmo genético tradicional e o proposto neste texto, isto é, com a inclusão de uma função de reparação após a aplicação dos operadores genéticos de crossover e mutação. Observou-se que, ao incluir a função de reparação, o algoritmo convergiu mais rapidamente, gerando resultados mais próximos da solução ótima, como pode ser visto nas Figuras 4 e 5. Cada um dos algoritmos foi executado 30 vezes, a população inicial foi definida com 100 indivíduos e o número de gerações para cada execução foi definido igual a Para efeito de

7 Figura 3. Parte do horário oferecido ao Curso de Ciência da Computação da UFG - 1 o semestre/2012 apresentação, os valores da Função Fitness foram normalizados entre 0 (zero) e 1 (um). Figura 4. Evolução da Função Fitness empregando algoritmo tradicional Em seguida, foi aplicado um segundo teste para verificar se, ao mudar o número de indivíduos na população inicial, é possível conseguir uma solução melhor. Este teste demonstrou que houveram pequenas variações nas soluções encontradas. Estas variações correspondem ao atendimento dos requisitos não essenciais tais como: Cada professor deve ser associado a pelo menos uma disciplina de prioridade 01 ou 02 e O sistema deve, na medida do possível, alocar para um professor, as disciplinas que ele assinalou como de maior prioridade. Foram utilizados no teste uma população inicial com número de indivíduos iguais a 100, 150, 200 e 250. Para cada número de indivíduos da população definido, o algoritmo foi executado 20 vezes. A Tabela 2 mostra as melhores soluções

8 Figura 5. Evolução da Função Fitness empregando função de reparação para cada uma dos valores testados. Nestes testes, foi utilizada a função de reparação. Nesta tabela, as colunas Pref. 1, Pref. 2 e Pref. 3 indicam o número de disciplinas alocadas aos docentes que correspondem as suas preferências 1, preferências 2 e preferências 3 respectivamente. A coluna Sem Pref indica o número de disciplinas alocados que não eram preferidas pelos docentes. Tabela 2. Resultados encontrados no teste variando-se o número de indivíduos da população Número de Número de turmas alocadas Indivíduos Pref. 1 Pref. 2 Pref. 3 Sem Pref Conclusão Neste trabalho, aplicou-se Algoritmos Genéticos para resolver o problema de alocação de docentes em um quadro de horário fixo do curso de Ciência da Computação da Universidade Federal de Goiás. Para resolver este problema, foi proposto o uso de algoritmos genéticos com a adição de uma função de reparação. Tal função tem como objetivo reparar cada indivíduo, que representa uma solução infactível, tornando-o uma solução factível. Em todos os experimentos realizados, o algoritmo proposto é capaz de encontrar soluções que atendem à maioria das restrições, essenciais e não essenciais, apresentadas. Há alguns trabalhos [Turabieh 2008], [Raghavjee and Pillay 2010] que utilizam métodos de busca local com o intuito de melhorar a solução encontrada. Sugere-se, para trabalhos futuros, a alteração do método empregado através do estudo de tais soluções.

9 7. References Referências Aghagolzadeh, S. G. M. V. A. (2007). Using a genetic algorithm optimizer tool to sove university timetable scheduling problem. 9th International Symposium on Signal Processing and Its Applications. Burke, E., Petrovic, S., and Q.U., R. (2006). Case-based heuristic selection for timetabling problems. Journal of Scheduling, 9: /s y. Coelho, A. M. and de Souza, S. R. (2006). Um algoritmo híbrido baseado em algoritmos meméticos e reconexão por caminhos para resolução do problema de horário escolar. SR Souza Anais do XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional. Colorni, A., Dorigo, M., and Maniezzo, V. (1998). Metaheuristics for high school timetabling. Computational Optimization and Applications, 9: /A: Darwin, C. (1859). A Origem das Espécies. Lello & Irmão Editores. de Holanda Ferreira, A. B. et al. (1999). Aurélio Século XXI: O Dicionário da Língua Portuguesa. Nova Fronteira, 3 edition. Ellingsen, K.-E. and Penaloza, M. (2003). A genetic algorithm approach for finding a good course schedule. Proceedings of the Midwest instruction and Computing Symposium. Guo, P., Chen, J., and Zhu, L. (2011). The design and implementation of timetable system based on genetic algorithm. International Conference on Mechatronic Science, Electric Engineering and Computer. Huapt, R. and Huapt, S. E. (2004). Practical Genetic Algorithms. Wiley, 2th edition. Jat, S. N. and Yang, S. (2011). A hybrid genetic algorithm and tabu search approach for post enrolment course timetabling. J. Scheduling, 14(6): Linder, R. (2008). Algoritmos Genéticos. Brasport, 2th edition. Raghavjee, R. and Pillay, N. (2010). An informed genetic algorighm for the high school timetambling problem. South African Institute for Computer Scientists and Information Technologists. Rotstan, K. M. N. (2012). Java genetic algorithms package. sourceforge.net/, último acesso em janeiro de Soares, H. C. d. A. (2011). Um estudo sobre o problema de alocação. Master s thesis, UNIFESP, São José dos Campos/SP. Souza, H. S. L. S. O. M. (2004). A tabu search heristic with efficient diversification strategies for the class/teacher timetabling problem. ACM Journal of Experimental Algorithmics. Turabieh, S. A. H. (2008). Generating university course timetable using genetic algorithms and local search. International Conference on Convergence and Hybrid Information Technology.

10 Wang, Z., Liu, J.-l., and Yu, X. (2009). Self-fertilization based genetic algorithm for university timetabling problem. In Proceedings of the first ACM/SIGEVO Summit on Genetic and Evolutionary Computation, GEC 09, pages , New York, NY, USA. ACM.

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