CCI-22 CCI-22. EXEMPLO Forma geral: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Forma geral: Forma matricial: 5 x. = 1. Prof. Paulo André
|
|
- Mauro Mota de Caminha
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 CCI - ATEÁTICA COPUTACIONA RESOUÇÃO DE SISTEAS INEARES Prof. Pulo André puloc@it.br Sl Prédio d Computção CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODOS DE RESOUÇÃO Pr resolução de um sistem liner de equções, há dois grupos de métodos: étodos diretos: solução é obtid trvés d plicção de um número finito de operções ritmétics Regr de Crmer Eliminção de Guss e de Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos: solução é obtid trvés de um sequênci de proimções sucessivs, té se lcnçr um respost que stisfç precisão eigid Guss-Jcobi Guss-Seidel SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES Form gerl: onde:... n n b... n n b O n... b n nn n n ij são os coeficientes i são s incógnits b i são os termos independentes n é ordem do sistem EXEPO Form gerl: Form mtricil: A b onde: A n n K K O n n n nn n b b b bn Form mtricil:
2 CÁCUO DAS FORÇAS E UA TREIÇA Um eemplo: F h F fcos5 f f5cos5 F f f f5 Fy f f f F F F Condições de equilíbrio: N junção : N junção : F f f 6 Gerrá um sistem de ordem 7 7 Fy F f F h Idem pr demis junções CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis REGRA DE CRAER Em um sistem de ordem n, quntos determinntes serim clculdos? n pr os numerdores e pr o denomindor TEPO DE PROCESSAENTO Número m de multiplicções, no cso de 7 equções: 8 det 7 8 ( 7m 7 det 6 ) multiplicções 8 ( 7m 7 ( 6m 6 det 5 )) 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 det ))) 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 ( m (... ( m ( m )...))))) embrndo: TEPO DE PROCESSAENTO 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 ( m (... ( m ( m )...))))) m ( : : ) 8! ( (/!) (/!)... (/6!) ) multiplicções 9,6 5 multiplicções TEPO DE PROCESSAENTO Quntidde de multiplicções: 9,6 5 Utilizndo um supercomputdor tul: multiplicções por segundo Tempo gsto: 9,6 s di Se o sistem fosse de ordem, eigiri cerc de 8 nos de processmento nesse mesmo computdor! Um lgoritmo bem mis eficiente é o étodo d Eliminção de Guss
3 CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODO DA EIINAÇÃO DE GAUSS Objetivo Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr Operções válids Troc d ordem ds linhs ultiplicção de um equção por um número rel não nulo Substituição de um equção por um combinção liner del mesm com outr equção SISTEAS INEARES TRIANGUARES Tringulr superior: A n Tringulr inferior: A n n K K K O K nn K n K n K n O K nn RESOUÇÃO DE U SISTEA TRIANGUAR Eemplo: 5 Pssos d resolução: ( ) 5 5 PASSOS Considere mtriz umentd Ab: n n K K O n n n nn b b bn inh inh inh n Psso : nulr os coeficientes de ns linhs n Substituir linh pel combinção liner: m, onde m Se, trocr com k, onde k Se k não eistir, então o sistem não tem solução Continur nlogmente pr linhs i, < i n Psso i, < i < n: nulr os coeficientes de i ns linhs i n EXEPO 5 5 m, m [ ] [ 5] 7 [ ] m, m [ ] [ 5] [ 6 6]
4 EXEPO EXEPO (ANTISSA IGUA A ) [Ab] m, m [ 6 6] [ 7] [ 5 5] m [ 7 ] (7/) [ 5 57] [ ] m [ 8] ( /) [ 5 57] [ 86 ] [Ab] EXEPO 5 57 [Ab] 86 m [ 86 ] ( 86/ ) [ ] [ 6 68] [Ab] -68/(-6). [ - (-).]/. [ ]/ No entnto, solução et é: X X X EIINAÇÃO DE GAUSS Eliminção Pr cd pivô k do primeiro té o penúltimo Fç Pr tods s linhs i eceto primeir Fç i i m ik * i Resolução (n)b(n)/(n,n) Substitui o vlor de (n) n linh n- e determinr (n-). Substituir o vlor de (n) e (n-) n linh n- e determinr (n-) continur té determinr todos (k) AGORITO EIINAÇÃO DE GAUSS Pr k...n- Pr ik...n m(i,k)/(k,k) (i,k) Pr jk,n (i,j)(i,j)-m*(k,j) b(i)b(i)-m*b(k) RESOUÇÃO DO SISTEA INEAR %Resolução pós Eliminção (n)b(n)/(n,n) Pr k n-... s Pr jk... n % Coloc os vlores de (n-) () ss(k,j)*(j) (k)(b(k)-s))/(k,k)
5 PIVOTEAENTOS PARCIA E COPETO Pivôs pequenos germ multiplicdores grndes, que umentm os erros de rredondmento... Um simples lterção no método de Guss é escolher como pivô o elemento de mior módulo: em cd colun (pivotemento prcil) dentre todos os elementos possíveis no processo de eliminção (pivotemento completo) Iremos resolver o eemplo nterior com pivotemento prcil e precisão de css decimis: EXEPO CO PIVOTEAENTO PARCIA m [ 5 57] (/7) [7 ] [ ] m [ 8] (/7) [7 ] [ ] [ ] m [ ] (.7/87.6) [ ] 7 X 5.8/ X [-7-6.5,99]/(-87.6).997 X [ (-),99.997]/ CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem, com finlidde de obter um sistem digonl equivlente, isto é, os elementos ij d mtriz A, onde i j, são todos nulos. A idéi é similr Eliminção de Guss porém sendo feito pr crir zeros bio d digonl principl e depois cim d digonl principl. K K [A] O K K nn EXEPO GAUSS-JORDAN m [ 5 ] (/5) [ 5 ] [.6..6] m [ ] (/5) [ 5 ] [..8.] EXEPO GAUSS-JORDAN m [..8.] (. /.6) [.6..6] [.69.9] 5 A EIINAÇÃO CONTINUA m [.6..6 ] (./.69) [.69.7 ] [.6. ] 5
6 EXEPO m [ 5 ] ( /.6) [.6.] [ 5.57] m [ 5.57] (/.69) [.69.9] [ ] A solução é: X -,56 X -,86 X,78 RESÍDUOS Se () for encontrdo como solução do sistem A b, então o erro dess solução é (). ultiplicndo o erro por A: A(- () ) A A () b b () r () resíduo O resíduo pode ser utilizdo pr se encontrr um solução melhord () : () () δ (), onde δ () é um vetor de correção A () b A( () δ () ) b Aδ () b - A () r () δ () é solução do sistem Aδ r () Esses cálculos permitem um processo de refinmento d solução do sistem A b. EXEPO Vmos refinr o sistem bio: EXEPO Cálculo do vetor de correção δ () : 8,7, 9,, 6,,5 8,8,5 5, 9,7 5, 8,8,5, 8,8, 8,,,5 6, Atrvés do método de Guss, podemos encontrr solução bio: () T [,97,98,97,] Cálculo do resíduo: r () b A (),,,59,59 Não está bom... 8,7, 9,,5 5, 8,8 8,8,5,5, 8,, Solução: δ, δ, 5, δ,, δ,59,5 δ,59,95 (),95,9, Solução melhord: () () δ (),,,9999, EXEPO Novo resíduo: r () b A Cálculo do novo vetor de correção: Outr solução melhord: ) (),9,,, δ,,,, (),,,7, Novo ( resíduo: elhor que o nterior r ( ) EHOR APROXIAÇÃO Ddo um sistem A b, sejm y e z dus proimções d solução et. Como sber qul dels é melhor? A estrtégi mis lógic prece ser comprr os respectivos resíduos: o menor seri d melhor solução Infelizmente, isso nem sempre é verdde... Eemplo:,,6,,8,, 6,,5, 5,,5,6 5 y z, r y,,8, r z,,5 Conclusão: nem sempre proimção de menor resíduo é melhor ou mis et Se encontrr resíduos menores não grnte melhores soluções, como sber se o processo de refinmento por resíduos funcion? 6
7 CONDICIONAENTO DE PROBEAS Um problem é dito ml condiciondo se pequens lterções nos ddos de entrd ocsionm grndes erros no resultdo finl Eemplo:,99,87y, 9,8, y,6 Solução: e y- Suponh que os vlores desse sistem sejm obtidos eperimentlmente, e por isso os termos independentes possm vrir de ±,:,99,87y,,8, y,6 Vlor perturbdo Solução:,85 e y-,789 OUTRO EXEPO Considere os seguintes sistems: y (),5,5 y 6,5 (b) Solução: e y () (b) y (),5,5 y 6,5 (c) Solução:,8 e y, (c) Erro n entrd: (,9-, /.9 ),8% Erro no resultdo: (.-,85 /. ) 8,5% ÉTRICAS DE CONDICIONAENTO Há métrics pr o condicionmento de sistems de equções, bseds em norms de vetores e mtrizes (vide Cláudio & rins) No entnto, esses cálculos não resolvem o ml condicionmento pens indicm eistênci... Pode ser demonstrdo que é possível detectr o mu condicionmento de um sistem de equções pens com o uso dos refinmentos: Se os resíduos r (), r (),..., r (n) são pequenos, ms s correções δ (), δ (),..., δ (n) são grndes, então o sistem é ml condiciondo Pr sistems bem condiciondos, bstm no máimo dois refinmentos Ao longo desse processo, os resíduos e s correções devem ser clculdos com precisão dupl EXEPO Considere o sistem bio,759,65,6,67,75,9589,5,7,695,8965,79,6789 Primeiro refinmento Resolução de Aδ () r () : (),86,77,9,68,688,8 r b A,7,75577,5577 () (),6789,6788,76696,8 () δ,5,57765 Correções pequens Solução melhord () () δ () Sistem : bem condiciondo (),85,77,9 Resíduos pequenos UA OUTRA FORA DE VER... Consideremos o sistem de equções A b: () A A b b b b Após primeir fse d eliminção de Guss: () () () () A () () () () ().A, () () onde m m Após segund fse d eliminção de Guss: () () A () () () () () ().A, () () onde m UA OUTRA FORA DE VER... Resumindo: A A () A () ().A () ().A A () ().A () (). ().A A ( (). () ) -.A () A ( () ) -.( () ) -.A () É fácil comprovr que: Portnto: () () ( ) ( ) m m m () () () () () A m.u () m m 7
8 CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis DECOPOSIÇÃO U A comprovção nterior pode ser generlizd em um teorem m A.U m mn m mn K u u K u K O mn K u K un u K un u K un O K u nn Dd um mtriz qudrd de ordem n, sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Suponh que det(a k ), k n-. Então: Eiste um únic mtriz tringulr inferior (m ij ), com m ii, i n. Os demis são os multiplicdores d Eliminção de Guss Eiste um únic mtriz tringulr superior U(u ij ), tis que.u A. det(a) u.u.....u nn DECOPOSIÇÃO U Portnto, ddos o sistem liner A b e decomposição (ou ftorção).u d mtriz A, temos: A b (.U) b Sej y U. A solução do sistem pode ser obtid d resolução de dois sistems tringulres: y b U y É possível verificr que y é o vetor constnte do ldo direito obtido o finl d Eliminção de Guss No eemplo do sistem com equções: y b y - b Como ( () ) -.( () ) -, - (). () Portnto, y (). ().b A EXEPO / / / / / / / / / / U / multiplicdores / / / / / / / EXEPO y b U y / / y /y y /y y y / / 5/ U / y 5/ 5 / DECOPOSIÇÃO U CO PIVOTEAENTO É possível incorporr s estrtégis de pivotemento prcil ou totl à decomposição U As eventuis permutções de linhs n mtriz A (k) podem ser relizds trvés d multiplicção de mtrizes Um mtriz qudrd de ordem n é um mtriz de permutção se for obtid d correspondente mtriz identidde trvés ds permutções de sus linhs ou coluns Eemplo: A P.A
9 9 EXEPO CO PIVOTEAENTO PARCIA 9 A ) ( / / / / A ) ( P ) (.A P A () () '() P ) ( / / / /.A P A () () '() EXEPO CO PIVOTEAENTO PARCIA 5/8 / / / / A ) ( / / / 5/8 / U A P.A, onde P P ().P () :. P.A A ' EXEPO CO PIVOTEAENTO PARCIA y Pb 5/ / y y U 9 / / / 5/8 / U 9. y y y. / / / 5/ /. 5/8 / AGORITO DA FATORAÇÃO U CO PIVOTEAENTO PARCIA Pr cd linh k d mtriz A Selecionr linh r com mior módulo possível pr pivô Trocr linh r por linh k Fzer eliminção dos elementos bio de (k,k), rmzenndo os multiplicdores m Fzer troc de linhs correspondente em b, cp.b Resolver ycpb Resolver Uy AGORITO DA FATORAÇÃO U CO PIVOTEAENTO PARCIA / Pr i..n p(i)i Pr k...(n-) % pr cd linh pv (k,k) rk Pr i(k)...n % selecion linh Se ( (i,k) > pv então pv (i,k) ri Se pv então Escrev( mtriz singulr ); sir;... AGORITO DA FATORAÇÃO U CO PIVOTEAENTO PARCIA / Se r k então up(k) p(k)u p(r)u Pr j...n % troc linh r por linh k u(k,j) (k,j)(r,j) (r,j)u Pr i(k)...n % eliminção m(i,k)/(k,k) (i,k)m Pr j(k)...n (i,j)(i,j)-m*(k,j) % Fim do Pr k...(n-)
10 AGORITO DA FATORAÇÃO U CO PIVOTEAENTO PARCIA / Pr i...n% troc de linhs em b, isto é cp*b rp(i) c(i)b(r) Pr i...n % Resolução do sistem yc som Pr j...(i-) somsom(i,j)*y(i) y(i)c(i)-som Pr in... % Resolução do sistem Uy som Pr j(i)...n somsom(i,j)*(j) (i)(y(i)-som)/(k,k) CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODOS ITERATIVOS Como foi inicilmente comentdo, os métodos itertivos pr resolução de sistems lineres consistem em encontrr um sequênci de proimções sucessivs Dd um estimtiv inicil (), clcul-se sequênci (), (), ()..., té que determindo critério de prd sej stisfeito O sistem A b é trnsformdo em (k), C (k-) g, k>, onde C é um mtriz e g um vetor Critérios de prd: áimo erro bsoluto ou máimo erro reltivo Número de iterções étodos: Guss-Jcobi e Guss-Seidel CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODO DE GAUSS-JACOBI Considere o sistem em su form inicil:... n n... n n O n n... nn n b b bn Isolndo i-ésim incógnit n i-ésim equção: (/ ) (b n n ) (/ ) (b n n )... n (/ nn ) (b n - n n,n- n- ) ÉTODO DE GAUSS-JACOBI Dess form, pr (k) C (k-) g: / C n / nn / / Eemplos de critérios de prd: Erro bsoluto: d (k) m i (k) (k-) < ε Erro reltivo: d r (k) d (k) /(m i (k) ) < ε n nn / n / n O b / b / g bn/ nn
11 EXEPO C /5 /5 / / / /5 7/ g 8/5 6/ EXEPO / C /5 /5 / / /5 7/ g 8/5 6/ (),96,86,9 ε,5 (),7,6,6 () () C,96 g,86,9 ( () C,978 g,98 d () r,/,98,66 > ε ),966 () (),6 () (),6 () (), d r (),/(m i () ),88 > ε () () C,999 g,9888,998 d r (),/,9888,6 < ε CRITÉRIO DAS INHAS A convergênci de um método itertivo pr solução et não é grntid: é preciso que o sistem stisfç lgums condições De cordo com Demidovich & ron (Computtionl themtics, 97), há um critério suficiente pr convergênci do método de Guss-Jcobi: EXEPOS Considere o eemplo nterior: 7 < < 5 Considere o eemplo bio: < Grnti de convergênci n j j i ij < ii, pr i,,...,n Ess condição é conhecid como o critério ds linhs < Não há grnti de convergênci No entnto, o método de Guss-Jcobi converge neste sistem pr solução et /. Verifique! Isso mostr que o critério ds linhs é suficiente, ms não necessário EXEPOS Reescrevendo o sistem nterior como : < Não há grnti de convergênci AIS U EXEPO Considere o sistem seguir: > > 6 < 8 Não há grnti de convergênci Agor, o método de Guss-Jcobi diverge pr este sistem Qundo o critério não é vlido nd se pode firmr sobre convergênci,... não ser plicndo o próprio método Guss- Jcobi e verificndo convergênci... No entnto, um permutção entre s dus primeirs linhs grnte convergênci: 5 < < 6 < 8 Grnti de convergênci Qundo o critério ds linhs não for stisfeito, convém tentr um permutção de linhs e/ou coluns
12 CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis ÉTODO DE GAUSS-SEIDE Anlogmente o método de Guss-Jcobi, clcul-se (k) C (k-) g: / C n / / / No entnto, utiliz-se no cálculo de : Vlores clculdos n mesm iterção: Vlores d iterção nterior: nn n nn / n / n O (k) (k) j,..., n b / b / g bn/ nn j (k ) (k ),..., j EXEPO ε,5 6 Processo itertivo: (k ) (k ) (k ),,5,5,75, (k ) (k ),5,5 (k ) () EXEPO ) Primeir iterção (k): () () () (k (k (k ) ),,5,5,75,5,75.,75 (k, (k ),5.,5.,75,875 () () () (),75 () (),875 ),5,5 (k ) (),75,875 d r () /(m i () ) > ε EXEPO (k ) (k ) (k ),5 Segund iterção (k):,,5,75, (k ) (k ),5,5 (k ) EXEPO (k ) (k ) (k ),5 Terceir iterção (k):,,5,75, (k ) (k ),5,5 (k ) ( ) ( ) ( ),.,75,.,875,5,5,75.,5,5.,875,95,5.,5,5.,95,9875 (),5,95,9875 ( ) ( ) ( ),.,95,.,9875,75,5,75.,75,5.,9875,99,5.,75,5.,99,999 (),75,99,999 () (),5 () (),75 () (), d r (),/(m i () ),95 > ε () (), d r (),/(m i () ),9 < ε () (),5 () (),8
13 INTERPRETAÇÃO GEOÉTRICA No cso de um sistem de ordem, é possível visulizr convergênci do método: * Os pontos ( (k), (k) ) stisfzem primeir equção, enqunto os pontos ( (k), (k) ) stisfzem segund CRITÉRIO DE SASSENFED Sejm os seguintes vlores: β i n j j β i n ij βj ij, pr < i n ii j j i β m {β j }, j n * Alterndo ordem ds linhs, no mesmo sistem convergênci pode não ocorrer... Se β <, então o método de Guss-Seidel ger um sequênci convergente, qulquer que sej () Qunto menor for β, mis rápid será convergênci Eercício: Demonstre vlidde do critério! EXEPO,,,,6,6, 7,8,,,,,,,8, β β β β β,7 < (,, ),7 (,6,7,6, ), (,,7,,,),58 (,,7,,,8,58 ),76 EXEPOS Considere o sistem bio, nteriormente visto: β / β (.) / / β No entnto, o método de Guss-Seidel converge neste sistem pr solução et /. Verifique! Isso mostr que o critério de Sssenfeld, como o ds linhs, é suficiente, ms não necessário EXEPOS - Considere mis um sistem: 6 8 β /, β ( 6., )/, β, < O critério de Sssenfeld grnte convergênci, ms o ds linhs, não fornece grntis nesse cso... N verdde, sempre que o critério ds linhs for verddeiro o critério de Sssenfeld tmbém será... Eercício: Demonstre que se o critério ds linhs é stisfeito Sssenfeld tmbém é stisfeito! CCI- étodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U étodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis
14 CONSIDERAÇÕES FINAIS Se um sistem stisfz o critério ds linhs, então stisfrá tmbém o critério de Sssenfeld (vide Ruggiero & opes). Portnto, pode ser plicdo tmbém o método de Guss-Seidel Os critérios presentdos são condições suficientes, ms não necessáris Em sistems esprsos (com grnde número de coeficientes nulos), o método de Eliminção de Guss não é proprido, pois não preserv est qulidde vntjos. Nesses csos, convém utilizr métodos itertivos Os métodos itertivos são menos suscetíveis o cúmulo de erros de rredondmento ÉTODOS DIRETOS VERSUS ITERATIVOS Solução Diretos: sempre ocorre (em sistems não singulres) Itertivos: ocorre sob determinds condições (convergênci) Esprsidde d mtriz de coeficientes Diretos: lterm estrutur d mtriz Itertivos: não lterm estrutur d mtriz Erros de rredondmento Diretos: ocorrem cd etp e podem cumulr-se Itertivos: somente os erros d últim etp fetm solução
CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
CCI - MATEMÁTICA COMPUTACIONA RESOUÇÃO DE SISTEMAS INEARES Prof. Pulo André http://www.comp.it.br/~puloc puloc@it.br Sl Prédio d Computção CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss
Leia maisCCI-22. Eliminação de Gauss, Gauss-Jordan, Decomposição LU, Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel
CCI- ) Rízes de Sistems Lineres Eliminção de Guss, Guss-Jordn, Decomposição LU, Guss-Jcobi, Guss-Seidel CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento
Leia maisResolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems ineres Form Gerl... n n b... n n
Leia maisSistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...
Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes
Leia maisCálculo Numérico Módulo III Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Prof: Reinldo Hs Sistems Lineres Form Gerl... n n b... n n b onde: ij n n coeficientes i incógnits b i termos independentes... nn
Leia maisResolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@univsf.edu.br MATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Sistems
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.
CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Dr. Yr de Souz Tdno yrtdno@utfpr.edu.br Aul 0 0/04 Sistems de Equções Lineres Prte MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico /9 MOTIVAÇÃO Os métodos itertivos ou de proimção fornecem um
Leia maisAula 9. Sistemas de Equações Lineares Parte 2
CÁLCULO NUMÉRICO Aul 9 Sistems de Equções Lineres Prte FATORAÇÃO LU Cálculo Numérico /6 FATORAÇÃO LU Um ftorção LU de um dd mtriz qudrd é dd por: onde L é tringulr inferior e U é tringulr superior. Eemplo:
Leia maisÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS
EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre
Leia mais1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T
ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh
Leia maisProblemas e Algoritmos
Problems e Algoritmos Em muitos domínios, há problems que pedem síd com proprieddes específics qundo são fornecids entrds válids. O primeiro psso é definir o problem usndo estruturs dequds (modelo), seguir
Leia maisMATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos
Leia maisGabarito Sistemas Lineares
Gbrito Sistes ineres Eercício : () rieir inh :. > Segund inh :. > Terceir inh :. Qurt inh :. α á( α ) > ogo, não stisfz o Critério ds inhs. (b) rieir inh : > Segund inh : 6 > Terceir inh : > Qurt inh :
Leia maisMaterial envolvendo estudo de matrizes e determinantes
E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este
Leia maisétodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Erivelton Gerldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE
Leia maisProf. Ms. Aldo Vieira Aluno:
Prof. Ms. Aldo Vieir Aluno: Fich 1 Chmmos de mtriz, tod tbel numéric com m linhs e n coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é do tipo m x n (onde lemos m por n ) ou que su ordem é m x n. Devemos representr
Leia mais6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES
MATRIZES. ÁLGEBRA LINEAR Definição Digonl Principl Mtriz Unidde Mtriz Trnspost Iguldde entre Mtrizes Mtriz Nul Um mtriz m n um tbel de números reis dispostos em m linhs e n coluns. Sempre que m for igul
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X,
Leia maisRresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Rresumos ds uls teórics ------------------ Cp ------------------------------ Cpítulo. Mtrizes e Sistems de Equções ineres Sistems de Equções ineres Definições Um sistem de m equções lineres n incógnits,
Leia maisApós encontrar os determinantes de A. B e de B. A, podemos dizer que det A. B = det B. A?
PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO ============================================================================================= Determinntes - O vlor
Leia maisResolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
Cálclo Nmérico Resolção Nméric de Sistems Lineres Prte I Prof. Alirio Sntos de Sá lirios@fb.br Mteril dptd dos slides d disciplin de Cálclo nmérico dos professores Brno Qeiroz, José Qeiroz e Mrcelo Brros
Leia maisResolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II
Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti jorgecvlcti@uivsfedubr MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/ Sistems
Leia maisALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson
LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento
Leia maisConceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa
Algebr Liner Boldrini/Cost/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Clculr determinntes pelo desenvolvimento de Lplce Inverter Mtrizes Conceito Representção Proprieddes Desenvolvimento de Lplce Mtriz Adjunt e Mtriz
Leia maisDETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2
DETERMINANTES A tod mtriz qudrd ssoci-se um número, denomindo determinnte d mtriz, que é obtido por meio de operções entre os elementos d mtriz. Su plicção pode ser verificd, por exemplo, no cálculo d
Leia maisMódulo 02. Sistemas Lineares. [Poole 58 a 85]
Módulo Note em, leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d iliogrfi principl d cdeir Chm-se à tenção pr importânci do trlho pessol relizr pelo luno resolvendo os prolems presentdos
Leia maisMÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO
MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Vimos que o Método d Bissecção encontr um novo intervlo trvés de um médi ritmétic. Ddo o intervlo [,], o método d posição fls utiliz médi ponderd de e com pesos f( e f(, respectivmente:
Leia maisDefinição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det
5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) 5 7 5 Definição O erminnte de um mtriz qudrd
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis
Leia maisFormas Quadráticas. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominação de uma função especial, definida genericamente por: 1 2 n ij i j i,j 1.
Forms Qudrátics FUNÇÕES QUADRÁTICAS: denominção de um função especil, definid genericmente por: Q x,x,...,x x x x... x x x x x... x 1 n 11 1 1 1 1n 1 n 3 3 nn n ou Qx,x,...,x 1 n ij i j i,j1 i j n x x
Leia maisEstatística e Matrizes
Esttístic e Mtrizes Introdução à Análise Multivrid Análise multivrid: De um modo gerl, refere-se todos os métodos esttísticos que simultnemente nlism múltipls medids sobre cd indivíduo ou objeto sob investigção.
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes
Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd
Leia maisMatrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos
Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos
Leia maisAula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência
Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:
Leia maisAula 6: Determinantes
Aul 6: Determinntes GAN-Álg iner- G 8 Prof An Mri uz F do Amrl Determinntes Relembrndo Vimos que: Se A é x e det(a) então existe A - ; Se existe A - então o sistem liner Axb tem solução únic (x A - b)
Leia maisCapítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
------------- Resumos ds uls teórics ------------------Cp 4------------------------------ Cpítulo 4. Mtrizes e Sistems de Equções Lineres Conceitos Geris sobre Mtrizes Definição Sejm m e n dois inteiros,
Leia maisDefinição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.
DETERMINANTES INTRODUÇÃO Funções determinnte, são funções reis de um vriável mtricil, o que signific que ssocim um número rel (X) um mtriz qudrd X Sus plicções envolvem crcterizção de mtriz invertível,
Leia maisMatemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo
Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Álgebr Mtricil Conceitos Básicos
Leia maisy 5z Grupo A 47. alternativa A O denominador da fração é D = 46. a) O sistema dado é determinado se, e somente se: b) Para m = 0, temos: = 2 x y
Grupo A 4. lterntiv A O denomindor d frção é D = 4 7 = ( 0 ) = 4. 46. ) O sistem ddo é determindo se, e somente se: m 0 m 9m 0 9 m b) Pr m, temos: x + y = x = y x + y z = 7 y z = x y + z = 4 4y + z = x
Leia maisSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:
Leia maisTÓPICOS. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema. Método de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.
Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir ÓPICOS Equção liner. AUA 4 Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo
Leia maisMATRIZES. 1) (CEFET) Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A.B.C. (a) é matriz do tipo 4 x 2
MATRIZES ) (CEFET) Se A, B e C são mtrizes do tipo, e 4, respectivmente, então o produto A.B.C () é mtriz do tipo 4 () é mtriz do tipo 4 (c) é mtriz do tipo 4 (d) é mtriz do tipo 4 (e) não é definido )
Leia maisMatrizes e Determinantes
Págin de - // - : PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE =============================================================================================
Leia maisx 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,
- Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor
Leia maisAula 10 Estabilidade
Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser
Leia maisfundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:
Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo
Leia maisEQE-358 Métodos Numéricos em Engenharia Química
UIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JAEIRO ESCOLA DE QUÍMICA EQE-358 Métodos uméricos em Engenri Químic EXERCÍCIOS COMPUTACIOAIS Implementr em um lingugem computcionl (C, C++, C#, FORTRA, PYTHO, JAVA, BASIC,
Leia maisMATEMÁTICA PARA REFLETIR! EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES OPERAÇÕES COM MATRIZES PARA REFLETIR!...437
ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!...
Leia maisExercícios. setor Aula 25
setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7
Leia maisMarcone Jamilson Freitas Souza. Departamento de Computação. Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação
Método SIMPLEX Mrcone Jmilson Freits Souz Deprtmento de Computção Progrm de Pós-Grdução em Ciênci d Computção Universidde Federl de Ouro Preto http://www.decom.ufop.br/prof/mrcone E-mil: mrcone@iceb.ufop.br
Leia maisEQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.
EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - CAPES MATRIZES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis
Leia mais3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
. Itrodução SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES A solução de sistems lieres é um ferrmet mtemátic muito importte egehri. Normlmete os prolems ão-lieres são soluciodos por ferrmets lieres. As fotes mis comus de
Leia maisFunção Modular. x, se x < 0. x, se x 0
Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática + = B =.. matrizes de M )
Se ( ij ) é um mtri, definid pel lei Universidde Federl de Viços Centro de Ciêncis Ets e ecnológics Deprtmento de Mtemátic LIS DE EXERCÍCIOS M 7 Prof Gem/ Prof Hugo/ Prof Mrgreth i j, se i j ij, clcule
Leia maisFUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x
FUNÇÕES ) Se f() = 6, então f ( 5) f ( 5) é igul () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 ) (UNIFOR) O gráfico bio 0 () não represent um função. (b) represent um função bijetor. (c) represent um função não injetor. (d)
Leia maisLinhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.
Resumos ds uls teórics -------------------- Cp 5 -------------------------------------- Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje
Leia maisResolução de sistemas lineares SME 0200 Cálculo Numérico I
Resolução de sistems lieres SME Cálculo Numérico I Docete: Prof. Dr. Mrcos Areles Estgiário PAE: Pedro Muri [reles@icmc.usp.br, muri@icmc.usp.br] Itrodução Sistems lieres são de grde importâci pr descrição
Leia maisMétodo de Eliminação de Gauss. Método de Eliminação de Gauss
Método de Elimição de Guss idei básic deste método é trsormr o sistem b um sistem equivlete b, ode é um mtriz trigulr superior, eectudo trsormções elemetres sobre s lihs do sistem ddo. Cosidere-se o sistem
Leia mais20/07/15. Matemática Aplicada à Economia LES 201
Mtemátic Aplicd à Economi LES 201 Auls 3 e 4 17 e 18/08/2015 Análise de Equilíbrio Sistems Lineres e Álgebr Mtricil Márci A.F. Dis de Mores Análise de Equilíbrio em Economi (Ching, cp 3) O significdo do
Leia maisn. 6 SISTEMAS LINEARES
n. 6 SISTEMAS LINEARES Sistem liner homogêneo Qundo os termos independentes de tods s equções são nulos. Todo sistem liner homogêneo dmite pelo menos solução trivil, que é solução identicmente nul. Assim,
Leia maisFormas Lineares, Bilineares e Quadráticas
Forms Lineres Bilineres e Qudrátics Considere V um R-espço vetoril n-dimensionl Forms Lineres Qulquer trnsformção liner d form f : V R é denomind um funcionl liner ou form liner Eemplos: f : R R tl que
Leia mais1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <
MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação
Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis
Leia mais1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que
2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1
Leia maisResolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.
O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic (PA) de números inteiros, de rzão r, formm, nest ordem, um Progressão Geométric (PG), de rzão q, com qer ~ (nturl diferente de
Leia mais( 2 5 ) simplificando a fração. Matemática A Extensivo V. 8 GABARITO. Matemática A. Exercícios. (( ) ) trocando a base log 5 01) B 04) B.
Mtemátic A Etensivo V. Eercícios 0) B 0) B f() = I. = y = 6 6 = ftorndo 6 = = II. = y = 6 = 6 = pel propriedde N = N = De (I) e (II) podemos firmr que =, então: ) 6 = = 6 ftorndo 6 = = pel propriedde N
Leia mais1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES
- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES.- Métodos etos pr solução de sistems lieres Métodos pr solução de sistems de equções lieres são divididos priciplmete em dois grupos: ) Métodos Etos:
Leia maisIntegral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i
Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos
Leia maisOs números racionais. Capítulo 3
Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,
Leia maisDesigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2.
Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b
Leia maisCAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES
CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.
CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A
Leia maisBhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes
1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como
Leia maisAula 09 Equações de Estado (parte II)
Aul 9 Equções de Estdo (prte II) Recpitulndo (d prte I): s equções de estdo têm form (sistems de ordem n ) = A + B u y = C + D u onde: A é um mtriz n n B é um mtriz n p C é um mtriz q n D é um mtriz q
Leia maisPOLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou
POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos
Leia maisLISTA GERAL DE MATRIZES OPERAÇÕES E DETERMINANTES - GABARITO. b =
LIS GERL DE MRIZES OPERÇÕES E DEERMINNES - GBRIO Dds s mtries [ ij ] tl que j ij i e [ ij ] B tl que ij j i, determine: c Solução Não é necessário construir tods s mtries Bst identificr os elementos indicdos
Leia mais1 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA EM CAMPOS DE GALOIS GF(2 m )
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA EM CAMPOS DE GALOIS GF m.. INTRODUÇÃO O propósito deste texto é presentr conceitução básic d álgebr em Cmpos de Glois. A bordgem usd pr presentção deste ssunto é descritiv e com vários
Leia maise dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris
Leia maisDiogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito
Leia maisIncertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha
Incertezs e Propgção de Incertezs Cursos: Disciplin: Docente: Biologi Biologi Mrinh Físic Crl Silv Nos cálculos deve: Ser coerente ns uniddes (converter tudo pr S.I. e tender às potêncis de 10). Fzer um
Leia maisProva 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões
Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl
Leia maisFUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te
Leia maisINTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS
ITRODUÇÃO AOS MÉTODOS UMÉRICOS Professor: Dr. Edwin B. Mitcc Mez emitcc@ic.uff.r www.ic.uff.r/~emitcc Ement oções Básics sore Erros Zeros Reis de Funções Reis Resolução de Sistems Lineres Introdução à
Leia maisdx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =
Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess
Leia maisMATEMÁTICA II - Engenharias/Itatiba MATRIZES
MTEMÁTI II - Engenhris/Ittib o Semestre de 9 Prof Murício Fbbri -9 Série de Eercícios MTRIZES Um mtriz de dimensões m n é um conjunto ordendo de mn elementos, disostos em um grde retngulr de m linhs e
Leia maisResolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
Cálclo Nérico Resolção Néric de Sistes ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@nivsf.ed.br ATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUÉRICO DA UFCG - www.dsc.fcg.ed.br/~cn/ Sistes ineres itos
Leia maisEntão, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) =
Determinnte de um mtriz Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det - E.: Sej mtriz Então, det Determinnte de um mtriz Regr de Srrus Pierre Frédéric Srrus Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det Regr
Leia maisElementos de Análise - Lista 6 - Solução
Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto
Leia maisEquações diofantinas lineares a duas e três variáveis
Equções diofntins lineres dus e três vriáveis Eudes Antonio Cost Fbino F. T. dos Sntos Introdução O objetivo deste rtigo é presentr teori básic envolvid ns equções diofntins lineres dus e três incógnits
Leia maisÁrea entre curvas e a Integral definida
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções
Leia maisTÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes.
Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi,
Leia maisResumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral
www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A
Leia maisMATRIZES E DETERMINANTES
Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests
Leia maisQuadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.
Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O
Leia maisResolução 2 o Teste 26 de Junho de 2006
Resolução o Teste de Junho de roblem : Resolução: k/m m k/m k m 3m k m m 3m m 3m H R H R R ) A estti globl obtém-se: α g = α e + α i α e = ret 3 = 3 = ; α i = 3 F lint = = α g = Respost: A estrutur é eteriormente
Leia maisCapítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade
Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do
Leia maisProfª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet
Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes Pr responder ess pergunt considermos um ponto
Leia maisIME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:
IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três
Leia mais