Seja uma rede de Petri definida pela tripla (L, T, A), e por sua marcação inicial M 0.

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1 AULA 22 ESTUDO E APLICAÇÕES DAS REDES DE PETRI COMO MECANISMO DE DESCRIÇÃO DE SISTEMAS. 6. Propriedades das redes Seja uma rede de Petri definida pela tripla (L, T, A), e por sua marcação inicial M 0. a) Rede DEMARCADA a.1) Definição de Lugar Demarcado Um lugar L i do conjunto L = { L1 L2... Ln} é dito demarcado a partir da marcação inicial M 0, se e somente se, para todas as marcações M i M 0 existe um número N, inteiro e positivo, tal que: o número de marcas contidas no lugar Li em qualquer caso é menor ou igual a N, ou seja: M i (L i ) N, a.2) Definição de rede Demarcada Uma rede de Petri é dita demarcada, a partir de uma marcação inicial M0, se e somente se, todos os lugares Li do conjunto E são demarcados para M0. Para o exemplo da figura 7 a seqüência de disparo S = (,, ) é ativável indefinidamente. Isto provoca um crescimento ilimitado do número de marcas na rede. Esta rede, portanto não é demarcada. e2 e1 e3 Figura 7: - REDE NÃO DEMARCADA Pode-se demonstrar que uma rede de Petri é demarcada para uma marcação M0, se e somente se, a classe de marcações subsequentes de M0 é finita. A análise do caráter demarcado de uma rede é muito importante, pois permite detectar erros de descrição dos sistemas. B) Rede de Petri Segura Uma rede de Petri é dita segura a partir de uma marcação inicial M0, se e somente se, todos os lugares da rede são demarcados com N=1, ou seja: Cada lugar da rede pode conter apenas uma ou nenhuma marca para qualquer marcação possível da rede. Exemplo: A rede da figura 8a é segura para M0 = (100), pois seu diagrama de marcações (indicado na figura 8b mostra que todas as etapas são demarcadas para n = 1. pág. 138

2 L2 L1 L3 M 1 t 1 t 3 M 0 = (1 0 0) M 0 M 1 = (0 1 0) t 4 t 2 M 2 = (0 0 1 ) M 2 (a) (b) Figura 8a : Rede segura para a marcação M 0 = (100) A mesma rede indicada na figura 8a, entretanto, não é segura para M0 = (101), conforme indica seu diagrama de marcações (figura 9). M1 Mo M2 M 0 = (1 0 1) M 1 = (0 1 1 ) M 2 = (0 0 2) M 3 = (2 0 0) M 4 = (1 1 0) M4 M5 M3 M 5 = (0 2 0) Figura 9. - Grafo de marcações da rede da fig.3.8a com M0 = (101) c) Rede de Petri Viva. Uma rede de Petri é viva a partir de uma marcação inicial M 0, se e somente se, para todas as transições ti pertencentes ao conjunto T, e todas as marcações Mi de M0, existir numa seqüência de disparo S englobando ti e ativável a partir de Mi. No exemplo da figura 10 vemos, pelo diagrama de marcações, que a transição não dispara nunca, pois não existe nenhuma seqüência de disparo da rede, que torne esta transição ativável, seja a partir de M0=(10) ou de M1=(01). A rede da figura 10, portanto, não é viva. pág. 139

3 P 1 T1 T 1 T3 Mo M1 T2 P 2 T 2 Mo = (10) M1 = (01) Figura 10 : REDE VIVA PARA M0 = (11) Neste mesmo exemplo (fig.10), entretanto, se tomarmos M0 = (11) como marcação inicial, obteremos o diagrama de marcações da figura M 0 = (1 1) M 1 = (0 2) M1 Mo M2 M 2 = (2 0) Figura 11 A partir de qualquer uma das marcações Mi, pode-se obter uma seqüência ti englobando todas as transições da rede. So = {t 3, t 1, t 2 } S 1 = {t 2, t 3, t 1 } e S 2 = {t 1, t 2, t 3 } Esta mesma rede, portanto, é viva para M 0 = (11) O caráter vivo de uma rede de Petri é muito importante porque: Ele assegura que a rede não possui bloqueios (deadlock). O bloqueio corresponde a uma marcação, a partir da qual, nenhuma transição pode ser disparada. Ele assegura também que todas as partes da rede são acessíveis. d) - Rede de Petri Reinicializável Uma rede de Petri é reicializável para uma marcação inicial M0, se e somente se, para todas as marcações Mi, de M0 existir uma seqüência de disparos S, ativável a partir de Mi,que conduz novamente a marcação inicial M0. No exemplo da figura 12, não existe seqüência de disparos a partir de nenhuma das três marcações M1, M2 e M3, que conduza novamente a M0. Esta rede, portanto, não é reinicializável, embora seja VIVA. pág. 140

4 L1 L2 M 0 =( ) M 1 =( ) M 2 = ( ) M 3 = ( ) Mo M1 L4 L3 M3 M2 Figura 12: Rede reinicializável para M 0 = (1100) Na mesma rede da figura 12, entretanto, se partirmos da marcação inicial M0 = (1100), obteremos o diagrama de marcação da figura 13. Este diagrama indica que a partir de qualquer marcação Mi, é possível encontrar uma seqüência Si que conduz a M0. S 0 = {t 2, t 1, t 3 } S 1 = {t 1, t 3 } S 2 = {t 3 } A rede é, portanto, reinicializável para esta nova marcação inicial, e igualmente VIVA Mo Mi M2 M 0 = ( ) M 1 = ( ) M 2 = ( ) Figura 13: Diagrama de marcações da rede (fig. 10) p/ M 0 = (1100) O caráter reinicializável de uma rede traduz, portanto, sua capacidade de descrever sistemas que retornam ao estado inicial após terem executado uma seqüência de tarefas exigidas. 6. Interpretação do modelo Até este ponto, as redes de Petri foram definidas como um modelo abstrato. Uma rede, entretanto, passa a representar um sistema quando é associada uma interpretação às entidades que a compõe, ou seja: aos LUGARES, às TRANSIÇÕES e às MARCAS. O exemplo a seguir ilustra o conceito de interpretar uma rede de Petri para descrever a solução do seguinte problema: Um barqueiro precisa atravessar um rio levando um lobo, uma cabra e um maço de couve. Em cada travessia, somente podem ir no barco o barqueiro e uma das três cargas que devem ser transportadas. pág. 141

5 A figura 14 descreve uma possível solução para este problema, com redes de Petri, nas seguintes condições: 1) o lobo e a cabra 2) a cabra e a couve Nunca podem ficar sozinhos, sem o barqueiro, em qualquer lado d Tira a cabra LÔBO CABRA COUVE Barqueiro com a cabra cruza Coloca Lôbo no bote Cruzando cruza Barqueiro sozinho Cruza Coloca cabra no Bote Barqueiro sozinho Cruza Coloca couve no Bote Cruza Cruza Deixa o Lôbo Deixa a cabra Deixa a couve e coloca a cabra LÔBO CABRA COUVE Figura 14: Descrição do problema do barqueiro Algumas interpretações típicas utilizadas no modelamento de sistemas descritos com essas redes são as seguintes: As transições representam eventos, e os lugares representam condições. Uma transição possui certo número de lugares de entrada e lugares de saída, que passam a representar respectivamente précondições e pós-condições à ocorrência daquele evento. Nesse caso, a presença de uma marca num lugar é interpretada como tendo ocorrido a condição a ela associada. Outra interpretação consiste em colocar certo numero de marcas num determinado lugar da rede, para indicar uma certa quantidade de itens ou recursos disponíveis. Nesses casos, juntamente com a utilização da função de ponderação dos arcos, conforme definido no item III.1, pode-se modelar situações onde haja necessidade condicionar a ocorrência de eventos (disparo de transições) a uma certa quantidade de itens (recursos) disponíveis. pág. 142

6 Exemplos de aplicação no modelamento de sistemas Este item apresenta alguns exemplos de modelamento de sistemas usando redes de Petri. Exemplo1: Protocolos de comunicação podem se representados e analisados com o auxilio dessas redes. A figura 15 exemplifica este modelamento, sendo a análise do protocolo feita com a aplicação das propriedades apresentadas anteriormente (rede viva, segura e reinicializável), e do diagrama de marcações alcançáveis da rede. Envia mensagem Pronto p/ enviar Buffer cheio Pronto p/ receber Recebe mensagem Processo # 1 Espera ACK Buffer cheio Mensagem recebida Processo # 2 Envia ACK ACK recebido ACK enviado Figura 15: Representação de protocolos Exemplo 2: As redes de Petri, quando aplicadas ao modelamento de sistemas digitais, podem ser usadas também para descrever o fluxo de dados. Na figura 16 esta representada uma computação dirigida pelo fluxo de dados, onde as instruções são habilitadas para execução assim que os operandos necessários ficam disponíveis, e podem ser executadas de forma concorrente e assíncrona. Neste tipo de representação, as marcas correspondem aos valores atuais dos dados e também sua disponibilidade. As instruções (operações que devem ser realizadas sobre os dados) estão representadas pelas transições, e os lugares recebem os valores computados. Este exemplo enfatiza a flexibilidade e abrangência dessas redes para descrição de problemas. copia dado X multiplica X*Y divide X*Y Z= X-Y X copia dado Y subtrai se X-Y = 0 Y se X-Y = 0 X-Y Z é indefinido pág. 143

7 Figura 16: Fluxo de dados para computação de (X*Y)/(X-Y) NOTAS DE AULA NE7720 SISTEMAS DIGITAIS - II Exemplo 3: Modelagem de situações de conflito e de concorrência Situações de conflito caracterizam-se, ao nível do modelo, por possuírem duas ou mais transições habilitadas, mas o disparo de uma delas inibe o disparo das outras. Essas situações são modeladas conforme indicado na figura 17a, (transições, e são transições em conflito). A figura17b apresenta um exemplo de aplicação, onde a situação de conflito é usada para modelar um mecanismo de sincronização para um processo de leitura e escrita com mutua exclusão (por exemplo, o acesso seqüencial às informações contidas numa memória). L1 L2 L4 L5 L6 Figura 17a: Modelamento de uma situação de conflito Solicitação de leitura Leitura Recurso disponível Escrita Solicitação de escrita Fim Fim Figura 17b: Representação do processo de escrita e leitura com mútua exclusão Situações de concorrência (execução de atividades paralelas), também podem ser expressas facilmente conforme indicado na figura 18. Após o disparo de, o ramo L2,, L4 da rede pode evoluir em paralelo e de forma independente do ramo L3,, L5, cada um deles modelando atividades distintas que devem ser executadas em paralelo. Ainda neste exemplo, a transição representa uma forma de modelar situações onde é necessário sincronizar diversas atividades que estão sendo executadas de forma independente. pág. 144

8 L1 L2 L4 L3 L5 L6 L7 t5 L8 Figura 18 : Trecho de uma rede de Petri genérica modelando uma situação de concorrência pág. 145

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