UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 2

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA N O 4 Prof.: William Morán Sem. I - 0 ) Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico que têm um volume líquido de 6,0 onças. O volume de enchimento pode ser suposto normal com um desvio padrão = 0,05 onça. Um membro do grupo de engenheiros da qualidade suspeita que ambas as máquinas encham até o mesmo volume líquido médio, independente desse volume ser ou não de 6,0 onças. Uma amostra aleatória de 0 garrafas é retirada na saída de cada máquina. Máquina Máquina 6,03 6,0 6,0 6,03 6,04 5,96 5,97 6,04 6,05 5,98 5,96 6,0 6,05 6,0 6,0 6,0 6,0 5,99 5,99 6,00 a) Você acha que o engenheiro está correto?. Use = 0,05. b) Qual é p valor de P para esse teste? c) Qual é a potência do teste ( - ) no item a para uma diferença verdadeira nas médias de 0,08? d) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias. Dê uma interpretação prática desse intervalo. e) Supondo tamanhos iguais de amostra, que tamanho da amostra deveria ser usado para assegurar = 0,05 se a diferença verdadeira nas médias for 0,08?. Considere = 0,05. Respostas: Não rejeitar Ho b) 0,3 c) d) (-0,0098; 0,098) e) 3 ) Dois tipos de plásticos são adequados para uso por um fabricante de componentes eletrônicos. A resistência à quebra desse plástico é importante. É sabido que =,0 psi. A partir de uma amostra aleatória de tamanho n = 0 e n =, obtemos x = 6,5 e x = 55,0. A companhia não adotará o plástico, a menos que sua resistência média à quebra exceda àquela do plástico por, no mínimo, 0 psi. a) Baseados na informação da amostra, eles deveriam usar o plástico?. Use = 0,05 para decidir algo. b) Suponha que a diferença verdadeira nas médias seja realmente psi. Encontre a potência do teste ( - ) considerando = 0,05. Se realmente for importante detectar essa diferença, os tamanhos das amostras usadas são adequadas em sua opinião? Respostas: b) n ; 0; Potência =. 3) O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n = 5 e n = 7 são selecionadas e as médias e as variâncias das amostras são x = 8,73 e x = 8,68, s = 0,35 e s = 0,40. Suponha que e que os dados sejam retirados de uma população normal. a) Há evidência que confirme a afirmação de que as duas máquinas produzem bastões com diferentes diâmetros médios?. Use = 0,05 para chegar a essa conclusão. b) Encontre o valor de P para a estatística t que você calculou no item a. c) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo. Respostas: a) Não rejeitar Ho b) Valor P > 0,80 c) 0,45 µ - µ 0,55 4) Está sendo investigada a temperatura em que ocorre uma deflexão, devido à carga, em dois tipos diferentes de tubo plástico. Duas amostras aleatórias de 5 tubos são testadas e as temperaturas (em F) observadas em que ocorre a deflexão são transportadas a seguir:

2 Tipo I Tipo II a) Construa diagramas de caixa e gráficos de probabilidade normal para as duas amostras. Esses gráficos confirmam as suposições de normalidade e variâncias iguais?. Escreva uma interpretação prática para esses gráficos. b) Os dados confirmam a afirmação de que a temperatura em que ocorre a deflexão, devido à carga, no tubo tipo excede aquela do tipo?. Para concluir algo, use = 0,05. c) Calcule o valor de P para o teste do item a. d) Suponha que, se a temperatura média em que ocorre a deflexão no tubo tipo exceder aquela do tubo tipo por 5 F, é importante detectar essa diferença com probabilidade de no mínimo 0,90. Você julga adequada a escolha de n = n = 5 no item a do problema? 5) O gerente de uma loja de carros está testando duas marcas de pneus radiais. Ele coloca, ao acaso, um pneu de cada marca nas duas rodas traseiras de oito carros e anda com os carros até que os pneus se desgastem. Os dados (em quilômetros) são mostrados a seguir. Encontre um intervalo de confiança de 99% para a diferença na vida média. Baseado em seus cálculos, qual a marca que você prefere? Carro Marca Marca Resposta: 77,46 µ d 464, 6) Dez indivíduos participaram de um programa de modificação alimentar para estimular a perda de peso. Seus pesos antes e depois da participação no programa são mostrados na lista a seguir. Há evidência para confirmar a afirmação de que esse programa particular de modificação alimentar seja efetivo na redução do peso médio?. Use = 0,05. Indivíduo Antes Depois Resposta: t o = 8,387, rejeitar Ho 7) O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n = 5 e n = 7 são selecionadas e as médias e as variâncias das amostras são x = 8,73 e x = 8,68, s = 0,35 e s = 0,40. Suponha que os dados sejam retirados de uma população normal. Construa o seguinte: a) Um intervalo bilateral de confiança de 90% para /. b) Um intervalo bilateral de confiança de 95% para /. Comente sobre a comparação da largura desse intervalo com a largura do intervalo no item a. c) Um intervalo unilateral inferior de confiança de 90% para /. 8) Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque é uma característica importante nesse processo e é sabido que ela segue uma distribuição normal. Duas soluções diferentes para ataque químico têm sido comparadas, usando duas amostras aleatórias de 0 pastilhas para cada solução. (0 3 polegada/min) são dadas a seguir: Solução 9,9 9,4 9,3 9,6 0, 0,6 0,3 0,0 0,3 0, Solução 0, 0,6 0,7 0,4 0,5 0,0 0, 0,7 0,4 0,3

3 a) Os dados confirmam a afirmação de que a taxa média de ataque é a mesma para ambas as soluções?. Para concluir algo, use = 0,05 e considere que ambas as populações têm variâncias iguais. b) Calcule o valor de P para o teste realizado no item a. c) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a diferença nas taxas médias de ataque químico. d) Construa gráficos de probabilidade normal para as duas amostras. Esses gráficos confirmam as suposições de normalidade e variâncias iguais?. Escreva uma interpretação prática para esses gráficos. e) Teste a hipótese Ho: contra, usando = 0,05, e tire conclusões. f) Suponha que, se a variância de uma população fosse duas vezes maior que a outra, gostaríamos de detectar isso com uma probabilidade de no mínimo 0,90 (usando = 0,05). Os tamanhos das amostras n = n = 0 são adequados? Respostas: a) Rejeitar Ho b) 0,0 P 0,0 c) 0,749 µ - µ - 0,5 f) fo = 3,45; rejeitar Ho 9) Dois tipos diferentes de máquinas de injeção-moldagem são usadas para formar peças de plásticos. Uma peça é considerada defeituosa se ela tiver excesso de encolhimento ou se for descolorida. Duas amostras aleatórias, cada uma de tamanho 300, são selecionadas e 5 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina, enquanto 8 peças defeituosas são encontradas na amostra da máquina. a) É razoável concluir que ambas as máquinas produzam a mesma fração de peças defeituosas, usando = 0,05?. Encontre o valor de P para esse teste. b) Suponha que p = 0,05 e p = 0,0. Com os tamanhos das amostras dados aqui, qual é a potência do teste ( - ) para essa alternativa bilateral? c) Considerando o item b, determine o tamanho de amostra para detectar essa diferença com uma probabilidade de no mínimo 0,9. Use = 0,05. Respostas: a),9; não rejeitar Ho; P = 0,36 b) 0,8859 c) 383 3

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA N O 3 Prof.: William Morán Sem. I - 0 ) Uma máquina automática de produção de pizza em uma fábrica de alimentos tem 5 componentes principais, com confiabilidade individuais (probabilidade de o componente não falhar), como segue: R (misturador de massa) = 0,95 R (rolo e cortador de massa) = 0,99 R (aplicador de massa de tomate) = 0,97 R (aplicador de queijo) = 0,90 R (forno) = 0,98 Se uma dessas partes do sistema falhar, todo o sistema parará de funcionar. Sendo assim: a. Qual é a confiabilidade da máquina automática? b. O dono da pizzaria decidiu que o aplicador de queijo na máquina automática é pouco confiável e, portanto, é necessário adaptar na máquina um segundo aplicador de queijo que entrará em ação se o primeiro falhar. Se a confiabilidade da máquina deveria ser 8%, qual deveria ser a confiabilidade do segundo aplicador? ) Uma empresa que fornece serviços de Buffet nas residências das pessoas para jantares festivos tem encontrado diversos problemas. Com base em suas atividades passadas, os gerentes identificaram quantas vezes esses problemas ocorreram e classificaram-nos por severidade (quanto maior a severidade pior a falha) e por probabilidade de detecção pelo cliente, como mostrado abaixo. Os gerentes desejam melhorar sua reputação de um serviço de qualidade. A qual área você recomendaria dar mais atenção em primeiro lugar? Problemas encontrados Freq. de ocorrência dos problemas Severidade da falha Probabilidade de o cliente descobrir Comida insuficiente / % O anfitrião deseja ser envolvido /5 0% Alimentos estragados no transporte /3 7 0% Alimentos mantidos a temperaturas erradas / % Quebras dos equipamentos dos clientes / % 3) Vera Johnson e Merris Williams produzem creme hidratante. Encontram-se indicadas a seguir as operações e as confiabilidades de sua operação de embalagem. As confiabilidades são as probabilidades de que cada operação será executada de acordo com as especificações desejadas. OPERAÇÃO CONFIABILIDADE Misturar 0,99 Preencher 0,98 Fechar 0,99 Etiquetar 0,97 a. Qual a confiabilidade da operação de embalagem? b. Se você fosse realizar um plano de melhoria, qual seria a ordem que você recomendaria para fazer essa melhoria em relação às operações? 4) Três componentes, que funcionem independentemente, são ligados em um sistema único, como estão indicados na figura abaixo. Suponha que a confiabilidade de cada um dos componentes, para um período de operação de t horas, é dada por R(t) = e 0,03 t. a. Qual será a confiabilidade do sistema para t = 5 horas? b. Qual será a confiabilidade do sistema para t = horas? c. Qual será a confiabilidade do sistema, em função de t?

5 5 C C 3 C 5) Supondo as seguintes confiabilidades: Componente Confiabilidade 0,90 0,98 0,98 0,95 0,95 0,95 0,90 0,94 0,96 0,96,00 Determine a confiabilidade do sistema mostrado abaixo:

6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA N O Prof.: William Morán Sem. I - 0 ) Considere a seguinte função distribuição conjunta: X Y 0 0,7 0,0 0,0 0,3 a) Calcule as distribuições de probabilidade marginais de X e Y. b) Calcule a covariância e a correlação entre X e Y. c) Calcule a média e a variância para a função linear W = 3X + 4Y. ) Um agente imobiliário encontra-se a estudar a relação entre o número de linhas nos anúncios em jornais relativos à venda de um apartamento (X) e o número de pedidos de esclarecimento resultantes deste anúncio (Y). Seja a variável aleatória X, o número de pedidos de esclarecimento, composta de três categorias 0, pouco interesse,, algum interesse e, muito interesse. O agente imobiliário estimou a seguinte probabilidade conjunta: X 0 3 0,09 0,4 0,07 Y 4 0,07 0,3 0,6 5 0,03 0,0 0, a) Qual o valor da função probabilidade conjunta quando X= e Y=4? Interprete o valor. b) Deduza a função probabilidade condicionada de Y dado X=0. c) Deduza a função probabilidade condicionada de X dado Y=5. d) Calcule e interprete a covariância entre X e Y. e) Conclua se as variáveis são ou não independentes. 3) A seguinte tabela mostra para os titulares de cartões de crédito a probabilidade conjunta do número de cartões de crédito (X) e o número de compras a crédito realizadas numa semana (Y). Y ,08 0,3 0,09 0,06 0,03 X 0,03 0,08 0,08 0,09 0,07 3 0,0 0,03 0,06 0,08 0,08 a) Para uma pessoa escolhida aleatoriamente deste grupo de titulares de cartões de crédito qual a função probabilidade para o número de compras numa semana? b) Para uma pessoa possua três cartões de crédito qual a função probabilidade para o número de compras numa semana? c) Serão o número de cartões de crédito e o número de compras a crédito realizadas numa semana variáveis estatisticamente independentes? 4) Num estudo de mercado pretende-se saber se um novo modelo de computador pessoal que foi promovido num programa televisivo conseguiu tornar-se numa marca conhecida entre as pessoas que assistem ao programa regularmente. Depois de realizado um inquérito concluiu-se que 5% das pessoas assistem com regularidade ao programa e reconhecem a marca. Também se concluiu que 6% das pessoas assistem regularmente ao programa e que 45% das pessoas conhecem a marca. Defina o seguinte para de variáveis aleatórias:

7 7 X = se assiste regularmente ao programa X = 0 caso contrário Y = se a marca é identificada Y = 0 caso contrário a) Descreva a função probabilidade conjunta de X e Y. b) Deduza a função condicionada de Y dado X=. c) Calcule a covariância entre X e Y. 5) Um sinal consiste numa serie de vibrações de magnitude X, tendo os valores -, 0,, cada um com probabilidade /3. Um ruído consiste numa série de vibrações, de magnitude Y, tendo os valores -, 0,, com probabilidades /6, /3, /6, respectivamente. Combinando-se o sinal com o ruído, obtemos o sinal efetivamente observado, Z=X+Y. Construa a função de probabilidade para Z e calcule a sua média e variância, admitindo que sinal e ruído são independentes. 6) Numa comunidade onde apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais: Casal Rendimento do Homem (X) Rendimento da mulher (Y) a) Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja X o rendimento do homem e Y o da mulher. b) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y. c) Determine as distribuições marginais de X e Y. d) X e Y são va independentes? Justifique. e) Calcule as médias e variâncias de X e Y e a covariância entre elas. f) Considere a va Z igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e a variância de Z. g) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 0, qual a probabilidade de que o casal escolhido posa efetuar a compra? 7) Suponha que realizemos um experimento e os resultados possíveis sejam ω, ω, ω 3, ω 4 e ω 5. Definamos as va X e Y cujos valores em CAD a ponto são dados BA tabela a seguir. Resultado X Y ω 3 ω ω 3 0 ω 4 0 ω 5 3 Obtenha a distribuição de probabilidade de X, Y, X+Y, X-Y- e X-Y, supondo que os cinco resultados tenham a mesma probabilidade. Faça um diagrama de dispersão para as variáveis X e Y. Idem para X e X+Y. 8) Numa sala estão cinco crianças cujas idades são (em anos): 3, 3, 4, 5, 5. Escolhem-se três crianças ao acaso para formar uma trinca. X indica a idade da mais nova da turma e Y a da mais velha. a) Escreva a fdp conjunta de X e Y b) Calcule E(x) e var(x). c) Calcule Cov(X,Y) d) Calcule Var(X+Y).

8 8 9) A distribuição de notas de certo tipo de teste é normal com µ H = 70 e σ H = 0 para os homens e µ M = 65 e σ M = 8 para as mulheres. Se esse teste for proposto numa classe na qual o numero de homens é igual ao dobro do número de mulheres, qual a porcentagem de pessoas que deverá ter nota maior que 80? 0) Se E(X)= µ e Var(x)= σ, escreva em função de µ e σ as seguintes expressões: a) E (X ) b) E [X(X-)] ) Num estudo sobre rotatividade de mão de obra, foram definidas para certa população as va X = número de empregos que um funcionário teve no ultimo ano e Y= salário. Observe a seguinte distribuição conjunta: X ,00 0,00 0,0 0,0 Y.00 0,05 0,05 0,0 0, ,05 0,0 0, ,0 0,05 0,05 0 São dados E(X) =,5, DP(X) =,0, E(Y) =.0, DP(Y) =.505, (DP significa desvio padrão) a) Calcule P(X=) e P(X=/Y=.00); X e Y são independentes? b) Obtenha o coeficiente de correlação entre X e Y e interprete esse coeficiente para as variáveis em estudo. ) Uma urna contém três bolas numeradas 0,,. Duas bolas são retiradas ao acaso e sucessivamente. Sejam as va X = número da primeira bola retirada e Y = número da segunda bola retirada. Calcule: a) E(XY) b) Cov(X,Y) c) Var(X+Y), Nos casos em que as bolas são retiradas (i) com reposição; (ii) sem reposição. 3) Se ρ(x,y) for o coeficiente de correlação entre X e Y, e se tivermos que Z=AX + B, W = CY+D, com A > 0, C >0, prove que ρ(x,y) = ρ(z,w). 4) Uma urna contém n bolas numeradas de ate n. Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição. Determine a distribuição do modulo da diferença entre os dois números observados. 5) Suponha que X e Y sejam va com Var(X) =, Var(Y)= e ρ(x,y) = /. Determine Var(X-Y). 6) Sejam X e Y variáveis com E(X) = E(Y) = 0 e Var(Y) =. Prove que ρ(z, U) = 0, se Z = X+Y e U= X-Y. a) Se X ~ N(µ,σ ) e Y~N(µ,σ ), e se X e Y são indepedentes, encontre a distribuição, a media e a variância da va ax + y, a e b constantes. b) Um fato importante é o seguinte: se X,...,X n são va normais e independentes, X +...X n é uma va normal. Qual é a media e a variância de X +X +...+X n se cada X~N(µ i,σ i), i=,...,n? 7) Se X,...,X n são va independentes, cada X i com media µ i e variância σ i, i=,,...,n, calcule E( X ) e Var( X ), com X = (X +...+X n)/n. 8) Refaça o problema anterior para o caso de as va terem todas as mesmas medias µ e a mesma variância σ. 0) Supondo que X ~ b(n,p) e Y ~ b(m,p), sendo ainda X e Y va independentes. Mostre que X+Y ~ b(m+n;p). ) Se X e Y forem va independentes, com distribuição de Poisson, com parâmetros λ e λ, respectivamente, mostre que X + Y terá distribuição de Poisson com parâmetro λ + λ. ) Uma variável aleatória bidimensional contínua (X,Y) tem a função densidade de probabilidade: f(x,y) = kx y, definida no triângulo formado pelos pontos (0,0), (,0) e (0,). Determinar:

9 9 a) O valor da constante k. b) P(Y < ). c) P(Y < X). d) As distribuições marginais de X e Y. 3) Demonstre que: a) E(X+Y) = E(X) + E(Y) b) E(XY) = E(X).E(Y) quando X e Y são variáveis aleatórias independentes. 4) Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória discreta (X,Y). Calcule todas as distribuições marginais e verifique se são variáveis aleatórias independentes. X 3 / /6 0 Y 0 /9 /5 3 /8 /4 /5 5) As variáveis aleatórias X e Y são discretas em N = {0,,,...} com distribuição conjunta: 7 m n m e 4 3, m 0,,,...,n P(X m; Y n) m! (n m)! 0, caso contrário Verifique se X e Y são variáveis aleatórias independentes. com n N 6) Assuma que a variável aleatória (X,Y) tem f.d.p. conjunta: f(x,y) = / para (x,y) dentro do quadrado (a, a), (a, -a), (-a, a) e (-a, -a) e f(x,y) = 0 caso contrário. a) Encontre o valor de a b) Encontre as funções de densidade marginais. 7) Assuma que duas pessoas estão um uma fila do guichê do Banco do Brasil. Seja X o tempo que a pessoa A demora para ser atendida e Y o tempo que a pessoa B demora para ser atendida. Se a pessoa A está na frente da pessoa B, certamente será atendida primeiro, isto é, X < Y. Seja a função de probabilidade conjunta: f (x, y) = e y, 0 < x < y, > 0 a) Verifique se essa função é uma função de distribuição de probabilidade conjunta. b) Calcule as probabilidades marginais. c) Calcule P(X < /, Y< / ). 8) Dada a função c(x + y), a) Determine o valor de c que faz a função c(x + y) ser uma função de densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 < x < 3 e x < y < x +. b)p (X < ; Y < ) c) P ( < X < ) d) P (Y > ) e) P (X < ; Y < ) f) E(X) g) a distribuição de probabilidades marginais da va X. h) a distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado X =. i) E(Y x = ) j) a distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y =.

10 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LISTA N O Prof.: William Morán Sem. I - 0 ) Num esforço por melhorar a qualidade de uma fita de gravação marca X, três novos tipos de fitas são testadas. Um mesmo som é gravado e comparado, obtendo-se os seguintes dados de distorção do som nas fitas de teste (valores de distorção de som menores são melhores): Fita A 66,7 65,7 60,3 Fita B 56,7 50,6 56,5 49,6 44,7 Fita C 65,4 55,9 57,5 6,3 a) Ao nível de 0,05 de significância, teste se as diferenças entre as três médias amostrais podem ser atribuídas ao acaso. Se existem diferenças significativas, determine qual das fitas é a melhor. Rta.: y 64,33; y 5,6; y 60,05 3 SST = 347,578 v = SSE = 80,4 v = 9 F = 8,68 F(, v, v) = F(0,05; ; 9) = 4,6 Existem diferenças significativas Q(, k, n k) = Q(0,05; 3; 9) = 3,86 A melhor fita é a fita B. b) Comente as condições do problema. Rta.: Revisar se as variâncias estão próximas, deve ser feito um amostragem aleatório, e deve ser feito um planejamento do experimento. ) Testam-se 5 tipos de creme dental para reduzir a caries dental. Para tamanhos de amostras de n = 4, os valores da redução média das caries dentais para cada tipo de creme são: X =,976; X =,56; X 3 =,798; X 4 =,04; X 5 =,8. Se a hipótese nula (H o = μ i, i =,..5) foi rejeitada (ou seja, pelo menos uma média é diferente), se pede determinar qual é a melhor creme dental, para = 0,0, v = 4, v = 5, com MSE = 8,3766 e ICi =,794. 3) O gerente de varejo de uma cadeia de alimentos deseja determinar se a localização do produto tem algum efeito sobre a venda de brinquedos para animais domésticos. Três diferentes localizações em corredores serão consideradas: frente, meio e fundo. Uma amostra aleatória de 8 lojas é selecionada, com 6 lojas, designadas aleatoriamente, para cada localização no corredor. O tamanho da área de exposição e o preço do produto são constantes para todas as lojas. Ao final do período de teste de semana, os volumes de vendas (em milhares de reais) do produto em cada loja foram os seguintes: Frente 8,6 7, 5,4 4,0 5,0 6, Meio,0 3,,4,8,4,6 Fundo 4,6,8 6,0,,8 4,0 a) Ao nível de significância de 0,05, há evidências de diferença na média de vendas entre as várias localizações nos corredores?. Se for apropriado, utilize comparações múltiplas para determinas a melhor localização. b) Para um caso real, comente as condições do problema. c) Utilize o anova de dois fatores para responder as questões anteriores. 4) O gerente de pessoal de uma grande seguradora deseja avaliar a eficácia de quatro diferentes programas de treinamento de vendas, desenvolvidos para novos empregados. Um grupo de 6 alunos recém-formados na faculdade é aleatoriamente indicado para os quatro programas, de modo que existam

11 quatro sujeitos em cada programa. Ao final do período de treinamento, cuja duração foi de um mês, é aplicado um exame padrão aos 6 sujeitos; os resultados são apresentados na tabela a seguir: Programa y 75,75 Programa y 60,5 Programa y 3 59,50 Programa y 4 7,00 a) A variação dentro dos grupos parece ser semelhante para todos os grupos? A idéia aqui é calcular a variância de cada programa (linha). S = 4.9; S = 75.33; S 3 = 3; S 4 = 9.3; Como a variação dentro de cada tratamento não é semelhante, então a aplicação da ANOVA não é confiável. b) Se as condições forem apropriadas, em um nível de significância = 0,05, utilize o teste F de fator único para determinar se há evidências de diferença entre os programas de treinamento de vendas. Fazendo as contas, F = 5,5 e de tabelas F(4; ; 0,5) = 3,6 Como F > F(4; ; 0,05) então as médias dos programas são diferentes. c) Faça comparações múltiplas dos programas de treinamento e determine que programa é o melhor. Utilize = 0,05. Resposta: os melhores programas são o programa e o programa 4 d) Utilize o anova de fatores para responder as questões anteriores.