PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA FACSUL 2017 MATEMÁTICA

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA FACSUL 2017 MATEMÁTICA

2 Coleta de Dados O estudo que fizemos sobre distribuição de frequência, até agora, permitenos descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. Desta forma podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, se há uma distribuição por igual. 2

3 Coleta de Dados Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição: Medidas de posição Medidas de variabilidade ou dispersão Medidas de assimetria Medidas de curtose 3

4 Coleta de Dados Dentre os elementos típicos, destacamos, neste capítulo, as medidas de posição estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal. As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. 4

5 Coleta de Dados Dentre as medidas de tendência central, destacamos: A média aritmética A mediana A moda 5

6 Média As medidas de posição pode traduzir algumas características interessantes dos conjuntos estudados, mas não permitem um estudo analítico mais profundo. Para que isso seja feito, é preciso definir uma medida de posição do conjunto que é a média. 6

7 Média Assim como em outros conceitos, também o de média faz parte de nossa linguagem cotidiana, pois costumamos realizar com bastante frequência cálculos de médias, ainda que de maneira informal e intuitiva. Por exemplo, quando saímos para trabalhar, sabemos aproximadamente quanto tempo demoraremos no trajeto, e assim também sabemos quais são, em média, os nossos gastos com determinados itens comumente comprados, etc. 7

8 Média Obs.: As médias são as grandezas mais comumente utilizadas nas análises estatísticas. 8

9 Média Aritmética A chamada média aritmética, ou média ou média simples, é mais utilizada no cotidiano e estabelece que todos os elementos têm a mesma importância. 9

10 Média Aritmética Para saber o valor gasto efetivo de cada um, temos que somar todos os gastos individuais e dividi-los pelo número de pessoas. 10

11 Média Aritmética Nesse caso, teremos: Gasto médio = = 30 Ir para Slide 44 11

12 Média Aritmética Dessa maneira, determinamos que a média de gastos foi de R$ 300,00, ou seja, esse é o valor correspondente aos gastos de cada um. É interessante observar que o valor da média não precisa ser um valor encontrado no conjunto. 12

13 Média Aritmética Utilizando o exemplo anterior, vamos agora formalizar o cálculo da média aritmética. Logo, x = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 N x = σ x i N 13

14 Média Aritmética Gastos efetuados por ocupante da mesa da lanchonete 14

15 Média Aritmética No exemplo, como a soma das frequências nos dá o total de pessoas na mesa, que são 10, temos uma conta de R$ 140,00 a ser dividida por 10 pessoas. A média, portanto, será de R$ 14,00. Na tabela é apresentada uma forma prática de se efetuar a conta. Acrescentamos uma coluna à tabela, na qual, para cada valor de x se coloca o 15 resultado do produto x i * f i.

16 Média Aritmética Coloca-se também uma linha adicional ao final da tabela, na qual se apresentam os resultados dos somatórios que serão utilizados no cálculo da média. 16

17 Média Aritmética Dessa maneira, o cálculo da média é feito dividindose o valor da soma da terceira coluna, R$ 140,00, pela soma da segunda coluna, 10 pessoas. Como vimos anteriormente, a média sera de R$ 14,00. 17

18 Média Aritmética Em intervalos Tabela de Referência 18

19 Média Aritmética Em intervalos Quando a tabela de frequências traz classes de dados em intervalos em lugar de valores individuais, assumimos que o valor que melhor representa a classe é o valor referente ao meio do intervalo. Tomando como exemplo os intervalos da tabela ao lado, os intervalos teriam por valores representativos: O intervalo 1-5 tem como valor representativo x 1 = 3 O intervalo 6-10 tem como valor representativo x 2 = 8 O intervalo tem como valor representativo x 3 = 13 19

20 Média Aritmética Em intervalos Para efeito de cálculo, remontamos a tabela Como os valores tratados dessa maneira não consideram exatamente o valor de cada um dos dados, a média será um valor aproximado. Portanto quando houver acesso aos dados brutos e também necessidade de um cálculo preciso, é preferível utilizar os dados brutos para efetuar o cálculo da media. 20

21 Média Ponderada Até aqui tratamos todos os dados com tendo a mesma importância para o cálculo da média. No entanto, sabemos que na realidade há gradações de importância que fazem com que esse cálculo de média simples não seja uma descrição apropriada da realidade. 21

22 Média Ponderada O cálculo de uma média ponderada se faz de maneira similar ao cálculo em que são utilizadas tabelas de frequência. Tomando como exemplo das notas, digamos que o professor assuma que a prova é quatro vezes mais importante que o trabalho; ele então atribuirá peso 1 ao trabalho e peso 4 à prova. Para o cálculo da nota final, chamaremos de n 1 e p 1 a nota e o peso do trabalho, respectivamente. Do mesmo modo, chamaremos de n 2 e p 2 a nota e o peso da prova. 22

23 Média Ponderada Em analogia ao cálculo das médias pela tabela de frequência, poderíamos imaginar que a situação equivalente seria termos 1 trabalho e 4 provas e calcularíamos a nota final como se fossem 5 avaliações em lugar de duas: Um trabalho Quatro provas Sendo, as quatro com a mesma nota O cálculo da média final do aluno seria dado, então, por: M = p.n + p.n => M = 1.n +4.n 1 2 p 1 +p => M = n 1 +4n

24 Média Ponderada Nesta tabela apresentamos alguns exemplos de cálculo de médias para diversos conjuntos de notas citados anteriormente. 24

25 Média Ponderada A partir do exemplo anterior, podemos agora apresentar a fórmula geral para o cálculo de médias ponderadas: ҧ x = σ p i. xi σ p i 25

26 Média Ponderada Exercício: Suponhamos que o cálculo de inflação levasse em conta somente os aumentos de cinco artigos num dado período, conforme tabela abaixo: Calcule a média aritmética do aumento; 26

27 Média Ponderada Se adicionássemos importâncias aos itens, como calcularíamos a média ponderada? 27

28 Média Ponderada Calculando a média dessa maneira, a inflação recalculada nesses moldes é de 1, 13%, o que é muito mais condizente do que o valor anterior de 4,8%, pois temos um número próximo àquele do aumento dos itens importantes. 28

29 Média - Propriedades Se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número a todos os elementos do conjunto, a média será acrescida de mesmo valor Pensando em uma média de idade. Um conjunto que tenha uma média de idade de 6 anos, passados 3 anos, todos terão envelhecido o mesmo tempo e a idade média do conjunto será acrescida de 3 anos. Se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos do conjunto por um mesmo número, a média será acrescida de mesmo valor. Pensando em uma lanchonete. Se todos se reunirem uma vez por semana na mesma lanchonete e consumirem a mesma coisa todas as vezes, o gasto mensal de cada um será multiplicado por quatro e o gasto médio será a soma dos gastos médios diários, resultando num gasto mensal 4 vezes maior. 29

30 Moda A palavra moda é utilizada cotidianamente com um significado parecido com a definição em estatística. No dia a dia, dizemos que algo está na moda se muita gente o está usando ou está fazendo. Em estatística, moda é o valor que mais aparece no conjunto, aquele que é a característica da maioria. Quando há um valor que se sobressai em frequência, com relação aos demais valores, dizemos que o conjunto tem uma moda, é modal. 30

31 Moda A Moda (m 0 ) é, portanto, o valor de maior frequência em um conjunto de dados, ou seja é o valor que aparece mais vezes neste conjunto. Exemplo: Na série X: 2; 8; 3; 5; 4; 5; 3; 5; 5; 1 O valor de maior frequência é o 5. Portanto m 0 = 5 31

32 Moda Moda é especialmente útil quando os valores ou as observações não são numéricos, casos em que a média e a mediana não podem ser definidas. Uma amostra pode ser unimodal (uma moda), bimodal (duas modas), multimodal (várias modas) e amodal (nenhuma moda). 32

33 Moda Sejam os conjuntos Si com i = 1, 2, 3 Para S1 = {1,1,1,1,1,1,1}, a moda é 1 Para S2 = {1,1,2,2,3,4}, as modas são 1 e 2 Para S3 = {1,1,2,2,3,3,4,4}, as modas são 1, 2, 3 e 4 33

34 Moda Moda é útil quando um ou dois valores ocorrem com maior frequência em um conjunto de dados. Entretanto, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma frequência. Se nenhum valor ocorre com maior frequência em um conjunto de dados, então todos os valores que ocorrem com a maior frequência são chamados valores modais. Sejam os conjuntos S i com i = 1,2. Para S`1 = {1,2,3,4,5,6,7}, não há moda. Para S`2 = {1,2,3,4,5,6,...}, não há moda 34

35 Mediana A mediana é uma medida de tendência central que considera não os valores intrínsecos dos dados, mas a posição que eles ocupam no conjunto de dados ordenados. A mediana de um conjunto de dados será o valor que o divide em dois subconjuntos, um contendo os 50% menos valores e o outro contendo os 50% maiores valores. É, dessa forma, considerada uma medida de posição. Em um conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem crescente ou decrescente a mediana é o termo central desse conjunto ou o elemento que está bem no meio. 35

36 Mediana Exercício Considere a seguinte sequência de dados: X: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8 A mediana desta série será: 36

37 Mediana A = {2, 4, 4, 6, 7, 8} Note que essa sequência é formada por um número par de termos, ou seja, por seis termos. Portanto existem dois termos centrais: os que ocupam a 3ª e 4ª posições. Logo qualquer valor que se encontre entre esses dois termos, no caso, o 4 e o 6, pode dividir o conjunto em duas partes com a mesma quantidade de elementos. Porém, de acordo com a própria definição, nesses casos em que o conjunto apresenta dois termos centrais, consideramos a média aritmética entre esses dois termos para ser o termo central, ou seja, no nosso caso devemos somar os dois termos centrais 4+6=10 e dividir o resultado por 2, assim obteremos o valor 5 como resposta para o termo central do conjunto A. 37

38 Mediana Quando há um número ímpar de termos em um conjunto, existirá um único termo central. Nestes casos a mediana será o próprio termo central, sem dificuldades. 38

39 Medidas de Dispersão O conteúdo anterior no apresenta grandezas que nos trazem um valor significativo dos dados de um conjunto; Agora analisaremos se ele esses dados estão concentrados em torno do valor médio ou se estão espalhados, dispersos em torno dele. 39

40 Medidas de Dispersão Intervalo O conceito de intervalo é bastante intuitivo e coincide com o significado da linguagem cotidiana. O intervalo de valores é aquele que vai do menor ao maior valor. O intervalo é uma medida de dispersão fácil de calcular, porém de utilidade limitada, pois traz apenas informações sobre os valores extremos. 40

41 Medidas de Dispersão Quando não é de interesse saber exatamente qual o maior e qual o menor valor, mas apenas saber qual o tamanho do intervalo, este será encontrado, subtraindo-se o menor valor do maior valor do conjunto. Tomando agora os dados da tabela ( Slide 11), vemos que o maior gasto foi de R$ 47,00 e o menor foi de R$ 19,00. Desse modo, o intervalo seria de 19 a 47, o que nos dá um intervalo de tamanho 28. No entanto, como comentamos anteriormente, nesse exemplo as diferenças de gasto eram apenas circunstanciais e, após feito o acerto de contas, todos teriam gasto exatamente o mesmo valor: R$ 30,00. 41

42 Medidas de Dispersão Se utilizarmos em nossa análise o gasto efetivo, teremos então R$ 30,00 como a maior e a menor despesa, simultaneamente, e o intervalo indo de 30 a 30, com tamanho zero. Ou seja, se todos os dados têm o mesmo valor, dizemos que são dados sem qualquer dispersão, ou dizemos, formalmente, que a dispersão é nula. 42

43 Medidas de Dispersão A exemplo do que discutimos para as medidas de posição, quando abordamos a média, vamos agora definir uma medida de dispersão que considere cada uma dos valores individuais. 43

44 Medidas de Dispersão Definição Tomemos como exemplo similar àquele dos gastos na lanchonete, em que analisaremos os gastos de 5 amigos em um restaurante. Para analisar quanto a divisão igualitária das despesas foi justa (ou injusta), o primeiro passo é comparar cada valor consumido com o valor efetivamente pago. Formalmente, isso significa subtrair o valor médio do valor específico. 44

45 Medidas de Dispersão Como essa análise é um refinamento do estudo da média, continuaremos seguindo um procedimento similar para a realização dos cálculos. Assim, retomamos a tabela já com a linha e a coluna adicionais para o cálculo da média e acrescentamos uma coluna com o valor dessas diferenças, conforme colocamos na tabela a seguir. 45

46 Medidas de Dispersão Ir para o Slide 11 46

47 Medidas de Dispersão O cálculo da média se dá simplesmente pela soma das despesas individuais dividida pelo número de pessoas, com resultado 30; Na terceira coluna, temos as diferenças entre os gastos individuais e a média; Essas diferenças são obtidas pela subtração X i തX, logo, um resultado positivo significa que a pessoa consumiu mais do que pagou; ao contrário, quando o resultado é menor do que zero, isso significa que a pessoa consumiu menos do que pagou. 47

48 Medidas de Dispersão Por exemplo, Alberto gastou R$ 25,00 e pagou R$ 30,00, a diferença citada é de R$ -5,00. Já Beatriz consumiu R$ 31,00, portanto, sua diferença é de R$ 1,00. Para analisar a dispersão dos dados, uma primeira proposta seria a de somar as diferenças. No entanto, como poder ver na última linha da terceira coluna, a soma das diferenças dá zero. Esse resultado era esperado, visto que houve equilíbrio entre os consumos maiores ou menores que a média. 48

49 Medidas de Dispersão Uma segunda proposta seria considerar as diferenças sem o sinal, ou seja, o valor absoluto delas e dividir pelo número de pessoas para ter uma média desses desvios. Existe de fato uma medida de dispersão assim calculada, mas sua utilização não é frequente, então passaremos a discutir outra proposta matematicamente mais significativa: a variância. 49

50 Medidas de Dispersão A variância utiliza as distâncias entre os valores individuais e as médias, mas o faz elevando esses valores ao quadrado. Não cabe aqui discutir os motivos de tal definição, dada a complexidade da matemática envolvida, mas vale uma discussão qualitativa dessa escolha. 50

51 Medidas de Dispersão Ao utilizarmos os quadrados das diferenças, garantimos que os parâmetros de desvio serão sempre positivos, já que o produto de números com sinais é sempre positivo. Além disso, esse critério faz com que tenhamos ainda mais rigor da injustiça, pois quanto maior a diferença, maior o peso com que ela será contada. Por exemplo: a diferença referente a Beatriz, que é de 1, entrará na conta da injustiça com seu quadrado, que é também 1, e a diferença devida a Alberto, que é de -5, entrará na conta da injustiça com seu quadrado, que é

52 Medidas de Dispersão Há duas grandezas que descrevem a dispersão dos dados utilizando o critério acima: a variância e o desvio-padrão. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e será denotado pela letra sigma minúscula (σ). A variância é, portanto, o quadrado do desvio-padrão e se denota por σ 2. 52

53 Medidas de Dispersão Quando nossos dados trazem a totalidade da população estudada, como é o caso do exemplo anterior, a variância é definida como a média dos quadrados das diferenças entre o valor individual e o valor médio, conforme formalizado a seguir: σ 2 = σ x xҧ 2 N O desvio-padrão será simplesmente a raiz da variância: σ = σ 2 53

54 Medidas de Dispersão Nos casos em que temos os dados em tabelas de freque ncia, precisamos que lembrar que cada valor xi aparece fi vezes e, a exemplo do que fizemos para o cálculo da média, é preciso multiplicar a quantidade de vezes que cada valor aparece para que todas as diferenc as sejam computadas. Assim sendo, teremos: σ 2 = σ f i. x xҧ 2 σ f i E, novamente, o desvio-padrão será simplesmente a raiz da variância. 54

55 Medidas de Dispersão Variância e desvio-padrão para amostras Nos casos que temos dados para uma amostra e não para toda a população, em lugar de dividirmos por N, a divisão será feita por N-1. Quando o número de dados é grande, o valor final não será muito afetado pela substituição de N por N-1. Quando o número de dados é pequeno, a dispersão encontrada dividindo-se por N-1 é maior, refletindo o fato de que se espera que haja maior diversidade de valores na população em geral que na observada na amostra. 55

56 Medidas de Dispersão Por fim, temos as definições: Ou E, como nas outras vezes: σ 2 = σ x xҧ 2 N 1 σ 2 = σ f i x xҧ 2 (σ f i ) 1 σ = σ 2 56

57 Medidas de Dispersão Dados não agrupados Para efetuar os cálculos, é preciso lembrar que nesse caso temos uma população, já que temos os valores referentes a todos os ocupantes da mesa estudada. Utilizaremos aqui um procedimento similar ao usado no cálculo das medias, colocando os valores intermediários que precisamos para os cálculos em colunas adicionais e realizando as somas pertinentes nas colunas respectivas. 57

58 Medidas de Dispersão Dados agrupados No intuito de construir o procedimento para o caso de dados agrupados, vamos calcular a variância e o desvio-padrão para um conjunto de dados em que haja valores repetidos. A partir de agora, passaremos a utilizar a fórmula da variância para amostras, visto que sua utilização é mais frequente, pois é mais comum termos estudos que utilizam amostras que estudos que trazem informações sobre toda a população. 58

59 Medidas de Dispersão Cálculo do desvio-padrão para um conjunto de dados brutos de uma amostra. 59

60 Medidas de Dispersão Assim como no cálculo da média quando há valores repetidos, podemos agrupar os dados e fazer com que os termos referentes a valores iguais sejam multiplicados pelas suas frequências. Desse modo, todos os dados serão incluídos na conta de uma maneira mais prática e concisa. 60

61 Medidas de Dispersão Cálculo do desvio-padrão para um conjunto de dados amostrais agrupados 61

62 Medidas de Dispersão Média Ponderada Vamos ver agora um procedimento para o cálculo quando os dados têm pesos diferentes. Lembramos que, para efeito dos cálculos, o peso e a frequência têm papéis similares. Assim sendo, montaremos a tabela e efetuaremos os cálculos seguindo os mesmos passos descritos anteriormente, mas tendo em lugar das frequências f i os pesos p i. 62

63 Medidas de Dispersão 63

64 Medidas de Dispersão Exercícios Calcule a variância e o desvio padrão da série X: 4; 5; 6; 5. 64

65 Medidas de Dispersão Exercícios Calcule a variância e o desvio padrão da série: x i f i

66 Medidas de Dispersão Exercícios Calcule a variância e o desvio padrão da série: Classe Int. de Classe f i 66

67 Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 67

68 Medidas de Dispersão Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, media essa denominada coeficiente de variação (CV). CV = σ x 100 xҧ 68

69 Medidas de Dispersão Exemplo: Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos: xҧ σ ESTATURAS 175 cm 5,0 cm PESOS 68 kg 2,0 kg 69

70 Medidas de Dispersão Temos: CVE= CVE= 2 68 x 100 = 0,0285 x 100 = 2,85% x 100 = 0,0294 x 100 = 2,94% 70

71 Medidas de Dispersão Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que as estaturas. 71

72 Medidas de Dispersão Exercícios 1. Calcule o coeficiente de variação do slide 59 72

73 Medidas de Dispersão Exercícios 2. Calcule o coeficiente de variação da tabela abaixo 73

74 Medidas de Dispersão Exercícios 2. Calcule o coeficiente de variação da tabela abaixo 74

75 Conceitos básicos de probabilidade Utilizamos o conceito intuitivo de probabilidade em diversas situações de nossas vidas, diariamente. Antes de sair de casa, analisamos, por exemplo, a probabilidade de chover para decidir se levamos ou não o guarda-chuva. Utilizamos neste exemplo o conceito intuitivo de probabilidade para tomar nossa decisão. 75

76 Conceitos básicos de probabilidade As probabilidades dizem respeito a situações em que existe aleatoriedade. Ou seja, em que o resultado a ser obtido depende de fatores imponderáveis do acaso. 76

77 Conceitos básicos de probabilidade Em estatística, quando falamos em um resultado, ele se expressa no valor de uma variável. Se o valor depende do acaso, a variável que expressa esse valor é chamada de variável aleatória. 77

78 Conceitos básicos de probabilidade Podemos chamar de variável aleatória, por exemplo, o resultado de um jogo de par ou ímpar, sendo que a variável "resultado" poderia assumir os valores "par" ou "ímpar". Cada resultado de uma variável aleatória terá uma chance, maior ou menor, de ser observado. Estabelecer a magnitude dessas chances é o que se busca no cálculo de probabilidades. 78

79 Conceitos básicos de probabilidade Para determinar a probabilidade de que ocorra um determinado evento E como resultado de uma variável aleatória, precisamos analisar quantos são os resultados possíveis em geral e quantos são aqueles favoráveis ao evento E. A probabilidade de o evento E ocorrer, que será denotada por P(E), será a razão entre o número específico de eventos que são favoráveis a E, ao qual chamaremos n E, pelo número total de eventos possíveis, ao qual chamaremos n tot. 79

80 Conceitos básicos de probabilidade O conjunto de todos os eventos possíveis também é chamado de "espaço amostral". A fórmula para este cálculo será, então: P E = n E n tot O valor da probabilidade P será sempre um número entre 0 e 1. 80

81 Conceitos básicos de probabilidade Vejamos porque: A maior probabilidade possível está relacionada ao maior número possível de eventos favoráveis a E. O número de eventos favoráveis a E será, no máximo, igual ao número total de eventos possíveis. Dessa forma, n E será igual a n tot e a divisão de um pelo outro será igual a 1. 81

82 Conceitos básicos de probabilidade A menor probabilidade possível está relacionada ao menor número possível de eventos favoráveis a E. O número de eventos favoráveis a E será, no mínimo, zero, visto que uma contagem de eventos não pode ser negativa. Assim sendo, a menor probabilidade possível é zero. 82

83 Conceitos básicos de probabilidade É bastante comum falar de porcentagens utilizando a notação percentual. Por exemplo, uma probabilidade 0,6 seria descrita como uma probabilidade de 60%. Para chegarmos a este número, simplesmente multiplicamos o valor encontrado no cálculo da probabilidade por 100. Trata-se simplesmente de duas maneiras de escrever o mesmo valor. 83

84 Conceitos básicos de probabilidade Vejamos então como se calcula a probabilidade de ocorrência de um determinado evento: Exemplo: Numa festa de escola são realizados alguns sorteios de brindes entre os alunos, cujas idades estão apresentadas na tabela ao lado: 84

85 Conceitos básicos de probabilidade Um aluno será sorteado para ganhar o primeiro brinde. Qual é a probabilidade de ser um aluno de 8 anos? Resolução: N tot = 85 Número de eventos favoráveis: n 8 = 17 Teremos, então: P 8 = n 8 = 17 n tot 85 = 0,2 ou 20% 85

86 Conceitos básicos de probabilidade Exercício: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de ser sorteada uma face de número par? a) 10% b) 20% c) 40% d) 50% e) 70% 86

87 Conceitos básicos de probabilidade Alguns cuidados na interpretação de uma probabilidade. O estudo das probabilidades é uma importante ferramenta matemática para tomarmos decisões em relação a eventos futuros, tomando por base o conhecimento adquirido em experiências passadas. Existem, entretanto, alguns cuidados que precisam ser tomados na interpretação de resultados de probabilidade para não se chegar a conclusões equivocadas. 87

88 Conceitos básicos de probabilidade Lembrar que a portabilidade dos resultados para as probabilidades calculadas a partir de certo conjunto de dados só vale se a situação descrita for similar àquela em questão. É comum que se utilizem estudos gerados em um país para analisar a economia de outro, ou produtos com diferentes especificações etc. Há vezes em que a utilização é válida, mas em outras não. Assim, busque ter um olhar crítico. 88

89 Conceitos básicos de probabilidade Quando a probabilidade de um evento é zero, isso não quer dizer obrigatoriamente que ele não ocorrerá. Quer dizer somente que entre os dados disponíveis não havia nenhum que correspondesse ao evento em questão. Temos, como exemplos de casos assim, todos os eventos historicamente novos ou aqueles que são extremamente raros. No entanto, tudo aquilo que é impossível terá, necessariamente, probabilidade nula. 89

90 Conceitos básicos de probabilidade Do mesmo modo que a probabilidade nula (zero) não quer dizer que algo seja totalmente impossível, também a probabilidade de valor 1 (ou 100%) não significa certeza absoluta de que algo acontecerá. Entram nessa categoria os eventos cuja não ocorrência é extremamente rara ou são aqueles que acabam não ocorrendo por causa de um evento imponderável e imprevisível. Do mesmo modo, algo que seja certeza terá probabilidade igual a um. 90

91 Conceitos básicos de probabilidade Origem dos dados: Quando estudamos probabilidades, podemos analisar situações em que os valores conhecidos das variáveis são empíricos ou analíticos. Na sequência definiremos cada um deles. Os dados analíticos e os empíricos são tratados de maneira diferente. Vamos verificar essa distinção, mostrando como utilizar os dados de ambos os tipos. 91

92 Conceitos básicos de probabilidade Dados empíricos: São aqueles cujos valores são observados na prática. Fazem parte dessa classificação todos os dados oriundos de pesquisas de campo, como a idade das pessoas de certo grupo, os valores de preços de mercado etc. Para efeitos didáticos, os dados do tipo empírico utilizados não foram retirados da realidade, mas simulam valores que poderiam ter sido encontrados dessa maneira. 92

93 Conceitos básicos de probabilidade Dados analíticos: Os dados analíticos têm um caráter diferente, eles não precisam ser medidos diretamente, visto que a análise das características do sistema estudado já nos dá os valores possíveis da variável aleatória, bem como a proporção em que eles se encontram. Como exemplo dessa classe de dados temos os jogos de azar, como o jogo de uma moeda, o jogo de dados ou o sorteio de cartas, por exemplo. 93

94 Conceitos básicos de probabilidade Dados analíticos: Por exemplo, quando jogamos uma moeda, sabemos que haverá somente dois resultados possíveis: face cara ou face coroa. Em princípio, podemos assumir que a moeda é equilibrada e que a ocorrência de uma ou outra face dependerá somente do acaso e com igual proporção. 94

95 Conceitos básicos de probabilidade Dados analíticos: Assim, a própria análise do lançamento de uma moeda já nos dá a informação necessária para calcularmos as probabilidades de ocorrência de um evento relacionado: P (cara) = 1/2 = 0,5 = 50% P (coroa) =1/2 = 0,5 = 50% 95

96 Conceitos básicos de probabilidade No lançamento simultâneo de 2 moedas, qual é a probabilidade de obtermos 2 caras? a) 1/4 b) 2/4 c) 3/4 d) 4/4 e) 0 96